Geometria-Analítica

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2ª Edição
Florianópolis, 2010
Geometria 
Analítica
Licio Hernanes Bezerra
Ivan Pontual Costa e Silva
Governo Federal
Presidência da República
Ministério de Educação
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Universidade Aberta do Brasil
Universidade Federal de Santa Catarina
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Curso de Licenciatura em Matemática na
Modalidade à Distância
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Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância.
Ficha Catalográfica
 
B574g Bezerra, Licio Hernanes 
 Geometria analítica / Licio Hernanes Bezerra, Ivan Pontual Costa 
 e Silva. – 2. ed. – Florianópolis : UFSC/EAD/CED/CFM, 2010. 
 170p. 
 
 ISBN 978-85-99379-87-5 
 
 1. Geometria analítica. I. Silva, Ivan Pontual Costa e. II. Título. 
 CDU 514.2
 
Elaborada pela Bibliotecária Eleonora M. F. Vieira – CRB – 14/786
Sumário
Apresentação ............................................................................. 7
1. Plano Cartesiano .................................................................. 9
1.1 Introdução ................................................................................... 11
1.2 Distância entre dois pontos ...................................................... 13
1.3 Circunferência ............................................................................ 15
Resumo .............................................................................................. 18
Bibliografia comentada .................................................................... 18
2. Retas no Plano .................................................................... 19
2.1 Equações de Retas ...................................................................... 21
2.2 Ângulo entre duas retas ............................................................ 25
2.3 Distância de ponto a reta .......................................................... 28
Resumo .............................................................................................. 34
Bibliografia comentada .................................................................... 35
3. Cônicas ................................................................................. 37
3.1 Introdução ................................................................................... 39
3.2 Parábola ....................................................................................... 42
3.3 Elipse ............................................................................................ 49
3.4 Hipérbole ..................................................................................... 52
3.5 Rotação de eixos ......................................................................... 57
3.6 Observações finais ..................................................................... 63
Resumo .............................................................................................. 66
Bibliografia comentada .................................................................... 66
4. Vetores .................................................................................. 67
4.1 Espaço cartesiano ....................................................................... 69
4.2 Vetores na geometria analítica ................................................. 72
4.2.1 Vetores e a Física ................................................................ 72
4.2.2 Vetores e a Geometria Euclidiana ....................................74
4.2.3 Operações com vetores ..................................................... 78
4.2.4 Norma de um vetor ........................................................... 82
4.2.5 Produto interno .................................................................. 83
4.2.6 Dependência linear ........................................................... 84
4.2.7 Base ortonormal ................................................................. 86
4.2.8 Orientação do espaço ........................................................ 87
4.2.9 Sistema cartesiano de coordenadas no espaço ............... 87
4.2.10 O produto vetorial ............................................................ 88
4.2.11 Produto misto ................................................................... 94
Bibliografia comentada .................................................................... 98
5. Retas e Planos no espaço ................................................... 99
5.1 Equação cartesiana do plano ...................................................101
5.2 Equações paramétricas do plano ........................................... 105
5.3 Equação da reta ........................................................................ 108
5.4 Posições relativas de planos .....................................................112
5.5 Posições relativas de reta e plano ............................................115
5.6 Posições relativas de duas retas ..............................................117
5.7 Distâncias no espaço ................................................................ 125
5.7.1 Distância de ponto a plano .............................................. 125
5.7.2 Distância de ponto a reta ................................................. 128
5.7.3 Distância entre planos e de reta a plano ....................... 133
5.7.4 Distância de reta a reta .................................................... 135
Bibliografia Comentada ................................................................. 138
6. Superfícies Quádricas ..................................................... 139
6.1 Revisão de matrizes ..................................................................141
6.2 Determinantes e sistemas lineares ........................................ 150
6.3 Quádricas ...................................................................................157
6.3.1 Quádricas centrais ...........................................................159
6.3.2 Quádricas não–centrais ...................................................166
Bibliografia ......................................................................................169
Referência .............................................................................. 170
Apresentação
Quando formulamos o curso de Licenciatura em Matemática, a 
disciplina de Geometria Analítica foi pensada de tal modo que 
contemplasse duas abordagens: a clássica, que se refere apenas a 
conceitos de Geometria Euclidiana; a vetorial, que utiliza o con-
ceito de vetor, definido a partir da teoria moderna de conjuntos. 
Essas duas abordagens são necessárias à formação do professor 
de ensino médio e fundamental, que deve compreender tanto 
a construção concreta dos conceitos em Matemática (Geome-
tria Analítica clássica) como a formulação totalmente abstrata 
de conceitos, usual em Matemática avançada. Assim, dividimos 
a disciplina em duas partes: Geometria Analítica Plana, que é 
abordada, classicamente, nos capítulos 1-3; a Geometria Analítica 
Espacial, na qual usamos vetores para interpretar os conceitos 
básicos da Geometria Euclidiana Espacial, que é apresentada nos 
capítulos 4-6.
Esperamos que o leitor faça todos os exercícios da primeira parte 
e que adquira, ao final, um condicionamento físico e mental, pois 
os exercícios são braçais e exigem muita atenção: um leve erro de 
cálculo e todo o trabalho é perdido. Gostaríamos, também, que o 
leitor, ao final do livro, compreenda a economia de trabalho que o 
conceito de vetor oferece no estudo de Geometria Analítica. 
Existe uma lacuna, propositalmente deixada para o leitor preen-
cher: como fazer Geometria Analítica Plana usando as técnicas 
vetoriais estudadas na Geometria Analítica Espacial? Uma dica 
é a seguinte: pense que toda Geometria Analítica Plana pode ser 
feita a partir da Espacial no plano 0z = .
Finalmente, introduzimos matrizes e determinantes no capítulo 
6, para a formulação das equações quadráticas em três variáveis. 
O conceito de matriz é definido a partir do conceito de função - 
uma forma diferente de se apresentar uma matriz. Na verdade, 
o conjunto das matrizes reais, de ordem m n× , que comumente 
é introduzido como m n× em Álgebra Linear, é visto aqui como 
o conjunto das funções de { } { }1,..., 1,...,m n× em  . Parece uma 
complicação desnecessária, mas essa é uma forma de se introdu-
zir produtos cartesianos de um conjunto. Por exemplo, 3 pode 
ser visto como o conjunto das funções de { }1,2,3 em  . Ou seja, 
é mais um pretexto para se trabalhar conceitos da teoria de con-
juntos.
Licio Hernanes Bezerra
Ivan Pontual Costa e Silva
Capítulo 1
Plano Cartesiano
Capítulo 1
Plano Cartesiano
Este capítulo é introdutório, uma vez que é uma prepara-
ção e um prenúncio do que virá em seguida. De forma sis-
temática, entretanto, vamos listar alguns dos objetivos al-
mejados pelos autores: apresentar o plano cartesiano - uma 
representação gráfica do produto cartesiano 2 = ×  ; 
introduzir a métrica usual, isto é, como usualmente me-
dimos a distância entre dois pontos no plano cartesiano; 
introduzir a noção de lugar geométrico - um conjunto de 
pontos que satisfazem uma propriedade geométrica; uti-
lizar a dedução da fórmula de equação de circunferência 
como um modo de traduzir algebricamente uma proprie-
dade geométrica, de tal modo que o lugar geométrico defi-
nido pela propriedade seja identificado com essa tradução 
algébrica. Esperamos que os leitores reflitam, ao final do 
capítulo, sobre o seu conteúdo e comparem-no com os ob-
jetivos listados.
1.1 Introdução
O plano cartesiano é um conceito introduzido no século XVII, inde-
pendentemente, pelos matemáticos franceses René Descartes e Pier-
re de Fermat para representar graficamente pares ordenados ( , )x y 
de números reais. 
Basicamente, identifica-se cada ponto de um plano com suas coorde-
nadas em relação a um sistema que consiste de duas retas orientadas 
– uma horizontal, outra vertical. O ponto de interseção (em ângulo 
reto) desses dois eixos é dito a origem do sistema. O eixo horizontal 
é denominado eixo das abcissas e o eixo vertical, eixo das ordena-
das. O plano cartesiano fica, assim, dividido em quatro regiões, que 
são denominadas quadrantes: o primeiro fica acima do eixo das ab-
cissas e à direita do eixo das ordenadas; o segundo, acima do eixo 
das abcissas e à esquerda do eixo das ordenadas; o terceiro, abaixo 
René Descartes (1596-1650). 
 Também conhecido como 
Cartesius, Descartes foi 
filósofo, físico e matemático 
francês. Notabilizou-se 
sobretudo pelo seu trabalho 
revolucionário na Filosofia, 
mas também foi famoso 
por inventar o sistema 
cartesiano de coordenadas, 
que influenciou o 
desenvolvimento do 
cálculo moderno.
12
do eixo das abcissas e à esquerda do eixo das ordenadas; e, o quarto, 
abaixo do eixo das abcissas e à direita do eixo das ordenadas. A cada 
ponto do plano corresponde, então, um par de coordenadas ( , )x y , 
em que | |x é a distância do ponto ao eixo das ordenadas e | |y , 
a distância do ponto ao eixo das abcissas. O sinal de x e o sinal de 
y dependem do quadrante em que o ponto está situado. A origem 
do plano cartesiano, denotada por O, tem, assim, ambas as coorde-
nadas nulas.
y
x0
4º quadrante
(+,−)
1º quadrante
(+,+)
2º quadrante
(−,+)
3º quadrante
(−,−)
Figura 1.1
Quadrante Abcissa Ordenada
1º quadrante + +
2º quadrante — +
3º quadrante — —
4º quadrante + —
Tabela 1.1
O plano cartesiano é um modelo da geometria euclidiana plana. Ou 
seja, uma vez definidos um sistema de eixos cartesianos (perpendi-
culares entre si e com uma unidade de medida comum a ambos os 
eixos) e interpretados os conceitos primitivos da geometria euclidia-
na nesse sistema, verifica-se que nele os axiomas da geometria são 
válidos e, por conseguinte, os teoremas também o serão. 
A geometria euclidiana interpretada no plano cartesiano é dita geome-
tria analítica plana. Chamamos também o plano cartesiano de plano 
numérico, pois associamos cada ponto do plano a um par ordenado 
de números reais ( , )x y : x, a abscissa e y, a ordenada do ponto, ditas 
coordenadas cartesianas do ponto. De agora em diante, escreveremos 
( , )P x y= para denotar que ( , )x y é o par associado ao ponto P.
13
Exercício
Represente em um plano cartesiano os seguintes conjuntos de 1) 
pontos:
{(0, 1), (0,3), ( 2,0), (1,0), (3,0)}− −a) ;
{(1,2), (2,3), (3,4)}b) ;
2{( , ) / , 2 3}x x x x∈ − ≤ ≤c) ;
 {( , ) / , e }x y x y x y∈ ∈ = d) ;
 {( , ) / = }x y x ye) ;
{( , ) / }x y x y>f) ;
{( , ) / 1 e 2}x y x y> <g) ;
{( , ) / 1 ou 2}x y x y> <h) ;
{( , ) / 1 2}x y x y> ⇒ <i) ;
 {( , ) / 1 2}x y x y> ⇔ <j) .
1.2 Distância entre dois pontos
Dados dois pontos, 1 1( , )A x y= e 2 2( , )B x y= , a distância entre eles é 
dada por 
2 2
2 1 2 1( , ) ( ) ( )d A B x x y y= − + − 
que é o comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo com ca-
tetos de comprimentos iguais a 2 1| |x x− e 2 1| |y y− , respectivamente.
B
AC
y2
y1
x2 x1
Figura 1.2 
14
Ponto médio de um segmento
Considere a figura abaixo, na qual M é o ponto médio do segmento 
AB. Observe que, por semelhança de triângulos, as coordenadas 
de M são 1 2 1 2,
2 2
x x y y+ + 
 
 
.
B
A
M
y1
y2
x1 x2
y
x
C
Figura 1.3
Exercícios 
Ache o comprimento e o ponto médio dos segmentos, cujos 2) 
extremos são dados pelos pontos abaixo:
 a) (1, 2) e (2,4);
 b) (1,0) e (0,1);
 c) (1,1) e (3,1);
 d) ( 1,0) e ( 2,3)− − ;
 e) ( 1, 1) e ( 2, 4)− − − − .
Divida os segmentos 3) AB abaixo, em n (indicado em cada item) 
partes iguais e calcule as coordenadas dos pontos resultantes.
 a) (1,0), (5,0), 4A B n= = = ;
 b) (0,0), (10,10), 8 A B n= = = ;
 c) (0,0), (2,3), 3 A B n= = = ;
 d) (1,1), (3, 4), 3A B n= = = ;
 e) (1,1), (3, 4), 4A B n= = = ;
 f) (1,1), (5,9), 8A B n= = = ;
Deduza esse resultado.
15
 g) ( 5, 6), ( 1, 2), 8A B n= − − = − = ;
 h) (2, 4), (6,12),8A B n= = = ;
 i) (1, 2), (2,1), 4A B n= = = ;
 j) (3,5), (4, 4), 4A B n= = = .
Sejam 4) 1 1( , )A x y= e 2 2( , )B x y= . Mostre que um ponto ( , )P x y= 
pertence ao segmento AB se, e somente se, existe [0,1]t∈ tal 
que 
1 2
1 2
(1 ) 
.
(1 ) 
x t x t x
y t y t y
= − +
 = − +
1.3 Circunferência
Podemos definir uma circunferência, de raio r e centro em C, como 
sendo o lugar geométrico dos pontos P tais que ( , )d P C r= . 
Se 0 0( , )C x y= , então essa circunferência é o conjunto dos pontos 
( , )P x y= tais que 2 20 0( ) ( )x x y y r− + − = , ou seja, 
2 2 2
0 0( ) ( )x x y y r− + − = .
Essa equação é chamada de equação da circunferência de raio r 
e centro em 0 0( , )x y . Por exemplo, a equação 
2 2( 3) ( 4) 36x y− + + = 
é uma equação da circunferência de raio 6 e centro em (3, 4)− . Eu 
disse uma equação e não a equação porque, depois de alguns cálcu-
los, a equação acima se torna 2 2 6 8 11 0x y x y+ − + − = , e esta é outra 
equação que descreve a mesma circunferência.
A palavra equação quer dizer igualdade. As igualdades, 
2 2( 3) ( 4) 36x y− + + = e 2 2 6 8 11 0x y x y+ − + − = são obviamente di-
ferentes, mas elas são equivalentes, no sentido que os pares de nú-
meros, x e y, que tornam a primeira equação verdadeira fazem com 
que a segunda equação também seja verdadeira, e reciprocamente. 
Por exemplo, 2 2(3 3) (2 4) 36− + + = , ou seja, a primeira equação é 
verdadeira quando 3x = e 2y = ; substituindo-se esses valores na 
segunda equação, ela fica 2 23 2 18 16 11 0+ − + − = , que também, é 
verdadeira. Agora, se eu tomar algum outro valor para x e algum 
Você saberia escrever qual é 
essa recíproca? Escreva-a!
16
outro valor para y que tornem a segunda equação verdadeira, esses 
valores também, tornarão a primeira equação verdadeira (experi-
mente fazer isso com alguns pares de números !).
Assim, tanto uma como a outra são equações da mesma circunfe-
rência. Vamos ver se você sabe passar de uma para outra.
Exercícios 
Escreva as equações abaixo na forma 5) 2 2 2( ) ( )x a y b r− + − = .
 a) 2 2 2 6 15;x y x y+ − + =
 b) 2 2 4 6 23;x y x y+ − − =
 c) 2 2 6 0;x y y+ + =
 d) 2 2 15,5 0;x y x y+ − + − =
 e) 2 2 8,5 0;x y x y+ − − − =
 f) 2 22 2 4 6 12.x y x y+ − + =
Esboce no plano cartesiano as circunferências do exercício 6) 
anterior.
Calcule a distância entre os dois pontos dados em cada item 7) 
abaixo. 
(3, 0), ( 2, 0)P Q= = −a) ; 
(0, 10), (0, 2)P Q= = −b) ; 
(3, 0), (0, 4)P Q= =c) ; 
(1,1), ( 1, 1)P Q= = − −d) ; 
(0, 0), (5, 12)P Q= =e) ; 
(1, 1), (9, 16)P Q= =f) ; 
( 1, 1), (23,6)P Q= − − =g) ; 
(0,1), (40,10)P Q= =h) ; 
(1, 2), (13,33)P Q= − =i) ; 
(10,11), (150, 40)P Q= = −j) .
17
Ache uma equação da circunferência em cada item abaixo.8) 
com centro em a) (1, 2)− e raioraio = 3;
com centro em b) (0, 2) e que passa por ( 1,1)− ;
tal que c) (1, 2)− e (3, 4) sejam diametralmente opostos;
que passa por d) (0, 0), (2, 2) e ( 1, 3)− − ;
situada no primeiro quadrante, tangente aos eixos coorde-e) 
nados e de raioraio = 2;
tangente às retas f) 1x = − e 1x = , e que passa por (0, 0);
situada no 1º quadrante, tangente às retas g) 3y = e 0y = , e 
que passa por ( 1, 2)− ; 
inscrita no triângulo h) ABC, em que (0,0)A = , (4,0)B = e 
(2 3,2)C = ;
circunscrita ao triângulo i) ABC, em que (0,0)A = , (4,0)B = 
e (2 3,2)C = .
Ache o centro e o comprimento do raio das seguintes circun-9) 
ferências.
2 2 2x y x+ = +a) ;
2 2 2 1x y x+ = −b) ;
2 2( 2) 2x y x+ − =c) ;
2 2 4x y x y+ = + +d) ;
yxyx 2222 +=+e) ;
yxyx 2222 22 +=+f) .
Ache a interseção das circunferências abaixo (ou seja, en-10) 
contre o conjunto de pontos correspondentes à interseção das 
figuras).
 a) 122 =+ yx e 2 2( 1) 1x y+ − = ;
 b) 122 =+ yx e 222 +=+ xyx ;
 c) 122 =+ yx e yxyx +=+ 22 ;
 d) 122 =+ yx e 422 ++=+ yxyx .
18
 Sejam 11) (1,1)A = , ( 1, 1)B = − − . Em cada item abaixo, ache as co-
ordenadas do(s) ponto(s) C de maneira que o(s) triângulo(s) 
ABC satisfaça(m) as condições dadas.
a) ABC é eqüilátero.
b) AB é a hipotenusa e AC é um cateto de comprimento 2.
c) ABC é isósceles e a altura em relação à base AB é 2.
Resumo
coordenadas de um ponto;•	
distância entre dois pontos;•	
ponto médio de um segmento;•	
equação da circunferência;•	
interseção de circunferências.•	
Bibliografia comentada
IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar. 4. ed. São Paulo: 
Atual, 1993. v. 7.
A coleção do Iezzi é muito bem organizada, mas o seu conteúdo é dirigido 
para os alunos do Ensino Fundamental e Médio, e não especificamente 
para o aluno de licenciatura. É um livro que funciona bem, por exemplo, 
como um dicionário para um professor de Ensino Médio. Nele se acham 
informações claras sobre grande parte da geometria analítica.
Capítulo 2
Retas no Plano
Capítulo 2
Retas no Plano
A intenção deste capítulo é aprofundar os objetivos lista-
dos no capítulo anterior. Gostaríamos que os leitores se fa-
miliarizassem com o plano cartesiano e compreendessem 
ainda mais o que é um lugar geométrico. Neste capítulo, 
apresentamos uma forma bem costumeira de como a Ma-
temática é construída: a classificação. As retas compreen-
dem uma classe de lugares geométricos - aqueles que são 
traduzidos por uma equação (igualdade) de primeiro grau, 
envolvendo as coordenadas de seus pontos.
2.1 Equações de Retas
Vimos, anteriormente, que um ponto é interpretado no plano carte-
siano como sendo um par ordenado de números. Vamos ver, agora, 
que a reta vai ser interpretada como um conjunto de pares orde-
nados que satisfazem uma equação linear do tipo ax by c+ = , com 
0≠a ou 0≠b . Observemos que o conjunto dos pares ( , )x y que sa-
tisfazem ax by c+ = é igual ao conjunto dos pares que satisfazem 
kax kby kc+ = , 0≠k , pois essas equações são equivalentes entre si. 
Uma vez interpretada a reta como um conjunto de pontos que 
satisfazem ax by c+ = , em que , , a b c são números reais fixos e 
2 2 0a b+ ≠ (o que é equivalente a 0≠a ou 0≠b ), será que o axio-
ma de geometria euclidiana “por dois pontos distintos passa uma 
única reta” é válido? No caso, deve-se verificar se a proposição 
“dados dois pares ordenados distintos, existe um único conjun-
to de pares ordenados que satisfazem uma equação ax by c+ = , 
2 2 0a b+ ≠ , que contém os dois pares” é verdadeira no plano carte-
siano, que é o que faremos a seguir.
Proposição 2.1. Se 1 1( , )P x y= e 2 2( , )Q x y= são distintos então exis-
tem a, b e c, com 2 2 0a b+ ≠ , tais que 1 1ax by c+ = e 2 2ax by c+ = . 
22
Além disso, se existem outros cba ′′′ ,, , com 2 2( ') ( ') 0a b+ ≠ , tais que 
cybxa ′=′+′ 11 e cybxa ′=′+′ 22 , então existe um número k tal que 
' .a k a= , ' .b k b= , .c k c′ = .
Demonstração:
Observe que 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )y y x x x y y y x x x y− − − = − − − é uma 
equação do tipo procurado, pois é da forma ax by c+ = e a equação 
é satisfeita pelos pontos P e Q .
Vamos mostrar, agora, a segunda parte da proposição. 
Vamos supor, então, que 1 1ax by c+ = e 2 2ax by c+ = , e que 
cybxa ′=′+′ 11 e cybxa ′=′+′ 22 . 
Temos, então, que 2 1 2 1( ) ( ) 0a x x b y y− + − = e 
 2 1 2 1( ) ( ) 0a x x b y y′ ′− + − = . (*)
Se 21 xx = , então, 21 yy ≠ , pois P e Q são distintos. Obtemos, nesse 
caso, que 0=′= bb . Logo, tanto a como a′ são não nulos. Assim,
a
c
a
cxx
′
′
=== 21 .
Logo, k
c
c
a
a
=
′
=
′
. E, como 0=′= bb , 'b k b= ⋅ .
Se 21 yy = , por raciocínio análogo, chegamos ao mesmo resultado.
Vamos supor, agora, que 21 xx ≠ e 21 yy ≠ . Por (*), temos que 
a
a
b
a
xx
yy
−=
′
′
−=
−
−
12
12 .
Logo, k
b
b
a
a
=
′
=
′
. Por conseguinte, 
1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ' ' '.k c k ax by k a x k b y a x b y c⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ = + =
■
Definição 2.1. (Coeficiente angular de uma reta não vertical): o 
coeficiente angular m (ou a inclinação, ou a declividade) da reta que 
passa por dois pontos 1 1( , )P x y= e 2 2( , )Q x y=, tais que 21 xx ≠ , é
2 1
2 1
y ym
x x
−
=
−
.
Mais adiante, veremos que 
essa equação não foi tirada 
da cartola.
Com base no que foi 
desenvolvido no caso 
anterior, tente verificar este 
resultado!
23
B
Ay1
y2
x1 x2
y2 − y1
x2 − x1
y
x
Figura 2.1
Observe que esse número é a razão entre a variação de ordenadas e 
a variação de abcissas dos dois pontos. Ele corresponde à tangente 
do ângulo que a reta, determinada por esses dois pontos, faz com o 
eixo horizontal. 
No caso das retas verticais, cujos pontos têm uma mesma abcissa, 
dizemos informalmente que elas têm declividade infinita. A equa-
ção delas tem a forma 0xx = , em que 0x é a abcissa comum a todos 
os pontos da reta.
Agora, sejam dados dois pontos, 1 1( , )P x y= e 2 2( , )Q x y= , em que 
21 xx ≠ . Seja r a reta que passa por eles. Observe que o que chama-
mos de reta é um conjunto de pontos que satisfaz uma equação line-
ar em x e y, que é algo muito abstrato. Se esse conjunto realmente 
representa uma reta como a que estamos acostumados em geome-
tria euclidiana plana, um ponto ( , )x y , desse conjunto, ( , )x y P≠ , é 
tal que a declividade da reta que passa por ( , )x y e P é a mesma que 
a da reta P e Q . Traduzindo para a linguagem matemática,
( , ) ,x y r∈ ( , ) Px y ≠ ⇔
1
1
xx
yy
−
− 2 1
2 1
y y
x x
−
=
−
,
ou seja,
2 1
1 1
2 1
( )y yy y x x
x x
−
− = −
−
.
 
Essa equação é a que vamos chamar de equação reta-2 pontos, para 
chamar a nossa atenção sobre o que utilizamos para determinar 
uma equação de reta.
Observe que essa equação é da forma ax by c+ = .
Esta equação é aquela que 
apareceu na demonstração 
da primeira proposição 
deste capítulo, como 
tirada da cartola. Você 
lembra? Se não, retome a 
discussão que realizamos no 
início deste capítulo.
24
Exemplo: Achar uma equação da reta que passa por (2,1) e (0,3). 
Resolução: Usando a fórmula acima, temos que 3 11 ( 2)
0 2
y x−− = −
−
, 
ou seja, 3+−= xy .
Note que, se 2 1
2 1
y ym
x x
−
=
−
, então a equação reta-2 pontos pode ser 
reescrita como 1 1( )y y m x x− = − que vamos chamar de equação 
reta-declividade mais um ponto.
Exemplo: Achar uma equação da reta que tem declividade 2 e pas-
sa por (2,3). 
Resolução: Pela fórmula acima, então, temos que uma equação é 
3 2( 2)y x− = − , isto é, 12 −= xy .
Conclusão: se , e a b c ∈  , ax by c+ = é equação de reta se e só 
se 0 ou 0a b≠ ≠ . Ou seja, a única coisa que não pode ocorrer é 
ambos os coeficientes e a b serem nulos, pois assim a equação se 
torna 0 0x y c+ = , que ou não tem solução ( 0c ≠ ), ou todos os pa-
res ordenados são soluções ( 0c = ), ou seja, o conjunto-solução é o 
plano todo.
Temos então um outro modo de achar equação de reta, dados dois 
pontos: eu substituo as coordenadas de cada ponto na equação da 
forma ax by c+ = , obtendo assim um sistema de duas equações, cujas 
incógnitas são , e a b c.
Exemplo: Achar equação da reta que passa por (0,1) e (2,3). 
Resolução: Substituindo os dois pontos em ax by c+ = , obtenho 
0 1
2 3
a b c
a b c
⋅ + ⋅ =
 ⋅ + ⋅ =
 
que é equivalente ao sistema 
2 3
b c
a b c
=
 ⋅ + ⋅ =
, ou seja, 



−=
=
ca
cb
. 
Atribuindo um valor qualquer a c, diferente de zero (pois a e b não 
podem ser ambos nulos), obtemos a reta cuja equação é 1x y− = − .
25
Exercício 
Achar equação para a reta1) 
que passa por a) (1, 2) e (2,1);
que passa por b) (1,1) e (2, 2);
que passa por c) (0,1) e (0,5);
que passa por d) (2,0) e (0,0);
que tem declividade e) ( 2)− e passa por (0,0);
que tem declividade f) 3 e passa por (1,1).
2.2 Ângulo entre duas retas
Duas retas distintas no plano podem ser ou concorrentes ou para-
lelas. Retas paralelas são aquelas que têm mesma declividade. Por 
exemplo, as retas : 1r x = e : 3s x = − são paralelas; assim como as 
retas : 2 1q y x= + e : 2 3t y x= − . O caso de retas coincidentes é con-
siderado em alguns livros como um caso particular de retas para-
lelas. Notemos que duas equações de reta representam a mesma 
reta se e só se os coeficientes , e a b c de uma são múltiplos dos coe-
ficientes respectivos da reta. Concluímos, então, que duas retas são 
concorrentes se e somente se suas declividades são distintas uma 
da outra.
Exercícios
Sejam 2) ax by d+ = e cx dy f+ = , equações das retas e r s, res-
pectivamente. Quais as condições que , , ,a b c d devem satisfa-
zer para que as retas sejam concorrentes?
Verifique se cada par de equações seguinte corresponde a um 3) 
par de retas paralelas ou de retas coincidentes ou de retas con-
correntes. Nestes casos, ache o ponto de interseção.
a) 



=+
=+
364
132
yx
yx
; b) 



=
=+
36
132
y
yx
;
26
c) 



=+
=+
324
132
yx
yx ; d) 



=
=
36
12
y
x
;
e) 



=+
=+
264
132
yx
yx
.
 
Um caso particular e interessante de retas concorrentes é quando 
elas são perpendiculares entre si. Note que o problema se resume 
às declividades das retas envolvidas. Excluindo o caso de pares de 
retas em que uma é vertical e a outra é horizontal, pares de retas do 
tipo 1 1
2 2
y m x b
y m x b
= +
 = +
, com 1 2 0m m⋅ ≠ , são perpendiculares se os ângu-
los 1 e 1 2 1 2 (0 < < < 180 )e   
  , que as retas fazem respectivamente 
com o eixo horizontal, forem tais que 2 1 90 − =
. 
Os coeficientes angulares (a terminologia que se adapta melhor a 
esse caso) das retas são 1 1tan( )m = e 2 2tan( )m = . 
Por relações trigonométricas, concluímos então que
2 2 1
1 1
1 1tan( ) tan( 90 )
tan( )
m
m
 

= = + = − = − .
Mostramos, deste modo, o seguinte resultado:
1 1 1 2 2 2 ( 0) e ( 0)y m x b m y m x b m= + ≠ = + ≠
2
1
1são perpendiculares m
m
⇔ = − .
Raciocínio análogo poderia ser aplicado para calcular a tangente do 
ângulo  entre duas retas concorrentes quaisquer, e r s, não per-
pendiculares entre si. Vejamos os casos:
•	 0 : ( ) e : , 0r x x vertical s y mx b m= = + ≠
Há dois subcasos, que estão ilustrados pela figura 2.2. Verifi-
que que, em ambos os subcasos:
1
1 1tan ( ) .
tanm
= =

27
y r
s
θ
θ = 90°− θ1
tg θ1 = m
θ1
xx0
y r
s
θ
θ1
θ = θ1 − 90°
tg θ1 = m
xx0
θ1
A
B
Figura 2.2
•	 1 1 2 2 1 2: e : , ( 1)mr y x b s y m x b m m⋅= + = + ≠ −
Verifique, de modo análogo ao caso anterior, que
1 2
1 2
tan ( ) .
1
m m
m m
−
=
+

Exercício 
Calcule o ângulo entre as retas abaixo.4) 
a) 



=
=+
3
122
y
yx
; b) 
(2 3) 1
3
y x
y x
 = − + +

= +
; 
c) 
1
( 3 2)
y x
y x
= −

= +
; d) 
( 5 1) 2 1
( 5 1) 2 0
x y
x y
 − + =

+ − =
. 
28
2.3 Distância de ponto a reta
Vamos considerar o problema de calcular a distância de um pon-
to 0 0( , )P x y= a uma reta, que não é nem vertical nem horizontal, 
:r y mx b= + . Vamos supor, obviamente, que P não pertence à reta. 
Quando falamos a distância do ponto à reta, queremos dizer com 
isso a menor distância, que corresponde ao comprimento do seg-
mento que vai do ponto P à reta, perpendicularmente. 
Uma solução seria encontrarmos a reta s, que passa por P e é per-
pendicular a r; depois, acharmos o ponto Q de interseção das duas 
retas e, então, calcularmos a distância de P a Q.
Exemplo: Calcule a distância do ponto (1,0) à reta : 2 3r y x= + . 
Resolução: A reta 
1: 0 ( 1)
2
s y x− = − −
 
é a reta perpendicular a r 
que passa por (1,0). Resolvendo o sistema 




+−=
+=
2
1
2
1
32
xy
xy
 temos que 
o ponto ( 1,1)Q = − é a interseção das duas retas. Logo, a distância 
pedida é dd( , ) 5P Q = .
Outra solução, que é uma versão resumida da primeira, seria achar 
o ponto Q da reta r tal que a declividade de P a Q é a de uma 
reta perpendicular a r. Ou seja, o ponto 1 1( , )Q x y= é a solução do 
sistema
0
0
1
y mx b
y y
x x m
= +

− = − −
.
 
A solução é 0 01 2 ,1
x m y m bx
m
+ ⋅ + ⋅
=
+
 1 1y mx b= + .
A distância de P a Q é, então, igual a 2 21 0 1 0( ) ( )x x y y− + − , ou 
seja,
0 0
2
| |( , )
1
b y m xd P Q
m
− + ⋅
=
+
.
29
Exercícios 
Calcule a distânciado ponto 5) P à reta r, em cada item abaixo.
(1, 5), : 2P r x= − = −a) ;
 b) ( 1, 5), : 2 P r y= − − = ;
 c) (1,1), : 2 P r y x= = − ;
 d) (0,0), : 2 3P r y x= = − + ;
 e) (0,1), : 2 3P r y x= = + ;
 f) (3,1), :P r y x= = . 
Calcule a área dos triângulos 6) ABC, dados abaixo, calculando a 
altura pela fórmula de distância de ponto a reta.
(1,0), = (0,0), (0, -2)A B C= =a) ;
(1,1), (1,3), (2,5)A B C= = =b) ;
(0,1), (0, 4), (1,1)A B C= = =c) ;
(1,1), =(3,0), (4,3)A B C= =d) ;
 e) (0, 2), (2,0),C (1,4)A B= = = ;
(0,0), ( 1,1), (1,1)A B C= = − =f) .
Observação avançada (no sentido de avançarmos até a unidade 
seguinte a essa – Álgebra Vetorial): 
A área de um triângulo pode ser calculada via álgebra vetorial, sub-
mergindo três pontos do plano cartesiano nos três pontos correspon-
dentes a eles no plano 0z = . Por exemplo, os pontos = (1,1), (2,3) e (3, 4)A B C= =, = (1,1), (2,3) e (3, 4)A B C= = 
e = (1,1), (2,3) e (3, 4)A B C= = corresponderiam a ' (1,1,0), ' (2,3,0) e ' (3, 4,0)A B C= = = . 
Esses pontos dão origem aos vetores (2 1) (3 1)a i j= − + −
 

 e 
(3 1) (4 1)b i j= − + −

 
, em que i

, j

 e k

 são vetores unitários na di-
reção dos 3 eixos ortogonais do espaço cartesiano (observe que as 
coordenadas do vetor a são as diferenças das coordenadas respec-
tivas de 'A e 'B ; as de b

, as diferenças das de 'A e 'C ). No espaço 
cartesiano, podemos definir uma função que leva dois trios ordena-
30
dos, 1 1 1( , , )x y z e 2 2 2( , , )x y z , em um terceiro trio ordenado, chama-
do de produto vetorial, cujas coordenadas são 
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1( . . , ( . . ), . . )y z y z x z x z x y x y− − − − .
O cálculo dessas coordenadas segue a seguinte regra prática:
=
222
111
zyx
zyx
kji


 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1( . . ) ( . . ) ( . . )y z y z i x z x z j x y x y k− − − + −

 
.
No caso acima, aplicando-se a regra, vê-se que a b×


, o produto 
vetorial de a por b

 (nessa ordem), é o vetor c k= −


. Mostra-se, por 
outro lado, que a norma desse vetor (ou do trio ordenado formado 
pelas coordenadas do vetor) é duas vezes a área do triângulo for-
mado pela origem e os dois pontos cujas coordenadas são os trios 
ordenados dados pelas coordenadas de a e b

. Ou, no nosso caso, 
do triângulo ' ' 'A B C . Note que as coordenadas de a e b

 corres-
pondem a dois pontos, e P Q , e que o triângulo de vértices OPQ 
é congruente ao triângulo ' ' 'A B C , como se 'A fosse trazido para 
a origem, 'B a P (ponto cujas coordenadas são as diferenças das 
de 'e 'A B ), e 'C a Q (ponto cujas coordenadas são as diferenças 
das de 'e 'A C ). 
Finalmente, a área do triângulo ABC, que é a área do triângulo 
' ' 'A B C , é 1, que é a norma do trio (0,0, 1)− , que são as coordena-
das do vetor kji


−+ .0.0 .
O uso de álgebra vetorial em geometria analítica pode ser visto 
em [1], [8] e [9]. 
Exercícios
Achar uma equação de reta em cada item abaixo.7) 
que passa por a) (0, 0) e (0, 2)− ;
que passa por b) (1, 0) e (0, 2);
mediatriz do segmento c) AB, em que ( 3, 0)A = − e (1, 0)B = ;
mediatriz do segmento d) AB, em que (1, 1)A = e (3, 1)B = ;
paralela à reta de equação e) 1x y+ = e que passa por (0, 2);
31
paralela à reta de equação f) 1x = e que passa por (3, 2);
paralela à reta de equação g) 2 1x y+ = e que passa por (1, 1);
paralela à reta de equação h) 2 1x y+ = , cuja distância a essa 
reta é 2;
cuja declividade é i) 3 e passa por ( 1, 1)− − ;
perpendicular à reta de equação j) 2 1x y+ = e que passa por 
(1, 2);
mediatriz do segmento k) AB, em que (1,1)A = e (3,5)B = ;
bissetriz do (menor) ângulo formado entre a reta de equa-l) 
ção 1x y+ = e a reta de equação 2 1x y+ = (lembrar que a 
bissetriz é o lugar geométrico dos pontos no interior do ân-
gulo que eqüidistam das retas dadas).
Calcular a distância pedida em cada item abaixo.8) 
entre o ponto a) (0, 2) e a reta de equação 1x y+ = ;
entre as retas b) : 1r x y+ = e : 2s x y+ = ;
entre o ponto c) (1, 2)− e a circunferência 2 2( 1) 1x y+ + = ;
entre as circunferências d) 2 2( 1) 1x y+ + = e 
2 2( 1) ( 3) 1x y− + − = ;
entre a reta e) : 2r x = e a circunferência 2 2( 1) ( 3) 1x y− + − = ;
entre a reta f) : 1r x y+ = e a circunferência 2 2( 1) 1x y+ + = .
Sejam 9) (1,1)A = , ( 1, 1)B = − − . Em cada item abaixo, ache as co-
ordenadas do(s) ponto(s) C de maneira que o(s) triângulo(s) 
ABC satisfaça(m) as condições dadas.
 a) AC é hipotenusa de comprimento 4;
 b) BC é hipotenusa de comprimento 3;
 c) ABC é isósceles e a altura em relação a AB é 3;
 d) AB é hipotenusa e a altura do triângulo em relação a ela é 3;
 e) Â= 30 e B̂= 60;
 f) Â= 90 e B̂= 60
;
 g) ˆ ˆA= B= 30.
32
Comentamos no início do livro que a Geometria Analítica Plana é 
um modelo da Geometria Euclidiana Plana. Isto significa que a in-
terpretação dos conceitos primitivos da Geometria Euclidiana Plana 
no Plano Cartesiano resulta na veracidade dos axiomas da teoria 
no modelo. Há cinco conceitos primitivos na Geometria Euclidiana 
Plana que são as bases para se definirem todos os outros termos 
geométricos da teoria. São eles: ponto, reta, relação de incidência, 
relação de vizinhança e relação de congruência. 
A relação de incidência tem a ver com as expressões seguintes: “a 
reta r passa pelo ponto P”, “o ponto P pertence à reta r”, “o ponto P é 
incidente com a reta r” “por dois pontos passa uma única reta”, etc. 
A relação de vizinhança é simplesmente a relação dada pela expres-
são “o ponto	C 	está entre os pontos A e B”. Finalmente, a relação de 
congruência é a que está contida nas expressões “os lados AB e AC 
têm o mesmo tamanho”, “os ângulos de um triângulo eqüilátero 
são iguais”. Ou seja, é a relação que nos permite dizer que ângulos 
têm o mesmo número de graus ou que segmentos têm o mesmo 
tamanho (congruência de triângulos é um conceito definido). Mais 
informações sobre a axiomatização da Geometria Euclidiana Plana 
pode ser vista no excelente livro do Greenberg (ver bibliografia co-
mentada).
Na Geometria Analítica Plana, pontos são interpretados como pares 
ordenados; retas, como conjunto de pares ordenados que satisfazem 
uma equação linear em x e y; a relação de incidência é interpretada 
como a relação de pertinência entre um par ordenado e um con-
junto de pares ordenados; a relação de vizinhança é interpretada 
assim: C está entre ( , ')A a a= e ( , ')B b b= se e só se existe ,t, 0 1,t< < , 
tal que ((1 ) ’, (1 ) ’).C t a ta t b tb= − + − + Finalmente, a relação de 
congruência: AB CD= se e só se ( , ) ( , )d A B d C D= ;  = se e só se 
tan tan = , em que as tangentes são dadas pela fórmula do ângulo 
entre duas retas.
É um bom exercício mostrar que os axiomas da Geometria Euclidia-
na Plana valem na Geometria Analítica Plana. Fazer demonstrações 
de teoremas geométricos via Geometria Analítica é bastante inte-
ressante. Por exemplo, vamos demonstrar o seguinte teorema:
33
Seja 10) ABC um triângulo. Mostre que as mediatrizes dos la-
dos encontram-se em um ponto, que é dito o circuncentro do 
triângulo.
Demonstração: Seja ABC um triângulo qualquer. Escolha eixos carte-
sianos de tal modo que o eixo das ordenadas coincida com a mediatriz 
do lado AB e o eixo das abcissas contenha o lado AB. Assim, o pon-
to A tem coordenadas ( ,0)−a , o ponto B tem coordenadas ( ,0)a , 
0a > , e o ponto C tem coordenadas ( , )b c . Basta mostrar, então, que 
a interseção das mediatrizes de AC e BC está sobre o eixo das orde-
nadas (uma vez que a mediatriz de AB é o eixo das ordenadas). 
A
(−a , 0)
y
x
C
B
(a , 0)
Figura 2.4
A mediatriz de AC , a reta r, contém o ponto médio de AC, 
,
2 2
a b c+ 
 
 
, e é perpendicular à AC. Logo, a equação de r é
 
2 2
c a b a by x
c
− + − = − 
 
.
A mediatriz de BC , a reta s , contém o ponto médio de BC , 
,
2 2
a b c− + 
 
 
, e é perpendicular a BC . Logo, a equação de s é
 
2 2
c a b b ay xc
+ − − = − − 
 
.
A interseção dessas duas mediatrizes é o ponto cujas coordenadas são 
dadas pela solução do seguinte sistema:
2 2
2 2
c a b a by x
c
c a b b ay x
c
 −  + − = −  

+ −  − = − −   
, ou seja,
34
 
2 2
2 2
a b b a a b a bx x
c c
c a b b ay x
c
 + − − +   − − = −       

+ −  − = − −   
, isto é,




+−
=
=
c
cbay
x
2
0
222
. 
Logo, o ponto está sobre o eixo das abcissas, como queríamos mostrar.
 Seja 11) ABC um triângulo. Escolha um sistema de eixos carte-
sianos tal que ( ,0)A a= , ( ,0)B b= e (0, )C c= . Mostre que as 
alturas dos lados encontram-se em um ponto, que é dito o or-
tocentro do triângulo (sugestão: mostre que as alturas em rela-
ção a AC e a BC encontram-se no eixo das ordenadas, que é o 
suporte da altura em relação a AB ).
Seja 12) ABC um triângulo. Escolha um sistema de eixos carte-
sianos tal que ( ,0)A a= − , ( ,0)B a= e ( , )C b c= . Mostre que as 
medianas dos lados encontram-se em um ponto, que é dito o 
baricentro do triângulo (sugestão: mostre que as medianas de 
AC e BC encontram-se sobre a mediana de AB).
Resumo
declividade de uma reta não vertical;•	
equação da reta, dados dois pontos;•	
equação da reta não vertical, dados um ponto e a declividade;•	
retas paralelas;•	
retas perpendiculares;•	
distância de ponto a reta;•	
distância entre duas retas paralelas;•	
ângulo entre retas concorrentes.•	
35
Bibliografia comentada
BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana. 6. ed. Rio de Janeiro: 
SBM, 2004.
LIMA, E. L. de. Coordenadas no plano. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM, 
2002.
LIMA, E. L. de. Coordenadas no espaço. 3. ed. Rio de Janeiro: SBM, 
1998.
Esses dois livros são complementares. O primeiro é mais próximo ao que 
apresentamos até aqui. São livros essenciais, no sentido que há muitos 
exercícios, alguns elementares, para que o leitor aprofunde seu conheci-
mento geométrico no plano cartesiano. Recomendado. 
GREENBERG, M. J. Euclidean & non-Euclidean geometry: 
development and history. 3. ed. New York: W. H. Freeman, 1993.
Esse livro é a melhor fonte para um estudo axiomático da Geometria Eu-
clidiana Plana que eu conheço. É um livro rigoroso e didático (a junção 
dessas qualidades é rara num livro). Além disso, é um excelente livro para 
se iniciar nas Geometrias não-Euclidianas.
Capítulo 3
Cônicas
Capítulo 3
Cônicas
Este capítulo apresenta outra classe de lugares geométricos – 
aqueles que são descritos por uma equação de segundo grau, 
envolvendo as coordenadas dos seus pontos. Ao longo do ca-
pítulo, procuramos envolver o leitor em deduções algébricas – 
uma cadeia lógica de equações, cujos elos são operações 
algébricas, que são bem apresentadas através de produ-
tos notáveis. Vemos aqui, também, dois movimentos rígi-
dos que fazemos com os eixos: translação e rotação. Essas 
mudanças de variáveis chamam a nossa atenção para o 
fato de que a descrição dos objetos geométricos no plano 
cartesiano depende bastante dos eixos de referência. Por 
outro lado, tanto a translação como a rotação preservam 
as classes de lugares geométricos descritos por equações 
polinomiais. Por exemplo, uma equação de segundo grau 
permanece de segundo grau depois da mudança de variá-
veis dada por esses movimentos. O objetivo final deste ca-
pítulo é a identificação da cônica a partir dos coeficientes 
dos termos de segundo grau de sua equação.
3.1 Introdução
Os geômetras gregos anteriores a Apolônio de Pérgamo necessita-
vam de três tipos de cone para obterem seções cônicas pela interse-
ção de um plano (sempre) perpendicular a uma geratriz qualquer 
de um cone circular reto. Notemos que os gregos, naquela época, 
imaginavam um cone circular reto como sendo gerado pela revolu-
ção de duas retas em torno de um eixo de simetria (conforme figura 
3.1). Se o ângulo  , que as duas retas geratrizes formam entre si, for 
agudo, teremos uma elipse; se for reto, uma parábola; se for obtuso, 
uma hipérbole. A palavra elipse, na sua etimologia, significava que 
se alcançaria a outra geratriz quando uma das duas fosse intercepta-
da pelo plano; a parábola, que o plano era paralelo à outra geratriz; a 
hipérbole, que o plano se afastaria cada vez mais da outra geratriz. 
σ
Figura 3.1
40
Foi Apolônio quem mostrou que bastaria um cone circular reto de duas 
folhas qualquer para se obter as três (seções) cônicas; o que deveria va-
riar era o ângulo de interseção do plano com uma das duas geratrizes. 
Na verdade, basta fazer a revolução de apenas uma reta (a geratriz) 
para gerar um cone de 2 folhas, conforme a definição seguinte.
Definição 3.1: Consideremos um cone de duas folhas, uma figura 
que pode ser gerada pela revolução de uma reta g (geratriz) em 
torno de outra reta e (eixo) que a corta segundo um ângulo  em 
um ponto V (veja a figura 3.2). Chamamos de geratriz qualquer 
reta do cone que passa por V . Consideremos agora o conjunto de 
todos os planos que não passam por V . A curva que resulta da in-
terseção de um plano desse conjunto com o cone é dita uma seção 
cônica ou, simplesmente, uma cônica (veja a figura 3.4).
V
g
θ
V
e
Figura 3.2
Note que a interseção de um plano, que passa por V , com o cone 
pode resultar ou no ponto V , ou em uma reta (interseção do cone 
com um plano tangente a ele) ou em duas retas (interseção do cone 
com um plano secante que contenha V ), que alguns autores cha-
mam de cônicas degeneradas (veja a figura 3.3).
(um ponto)
(r1 e r2: um par de
retas concorrentes)
r1 r2
V V
α
α
V
α
(r: uma reta)
r
A B C
Figura 3.3
Apolônio de Pérgamo foi 
um matemático grego da 
escola alexandrina 
(c. 261 a.C.), chamado de 
o grande geômetra. Viveu 
em Alexandria, Éfeso e 
Pérgamo. Sua principal obra 
é um tratado intitulado As 
cônicas, trabalho composto 
de oito livros, dos quais 
sobreviveram sete. 
Fonte: http://pt.wikipedia.
org/wiki/Apol%C3% 
B4nio_de_Perga.
41
Um conjunto de pontos que satisfaz uma propriedade geométrica é 
dito um lugar geométrico. O Teorema de Apolônio, enunciado abai-
xo, afirma que uma cônica é um dos três lugares geométricos defi-
nidos a seguir:
elipse•	 – seja dado um número positivo 2a, sejam dados dois 
pontos fixos 1F e 2F (ditos focos), cuja distância entre si, 2c, é me-
nor que 2a. O conjunto dos pontos P, tais que a soma das dis-
tâncias de P a 1F e de P a 2F é igual a 2a, é dito uma elipse.
parábola•	 – seja dada uma reta (diretriz) d, seja dado um ponto 
F (foco) fora da reta. O conjunto dos pontos, tais que a distân-
cia de cada ponto à diretriz é igual à distância dele até o foco, 
é dito uma parábola.
hipérbole•	 - seja dado um número positivo 2a, sejam dados 
dois pontos fixos 1F e 2F (ditos focos), cuja distância entre si, 2 ,c 
é maior que 2a. O conjunto dos pontos P, tais que a diferen-
ça das distâncias de P a 1F e de P a 2F é igual a 2a± , é dito 
uma hipérbole.
Figura 3.4 - Seções cônicas
Teorema de Apolônio: Seja C um cone de duas folhas, de vértice V . 
Seja p um plano que não contém V . Consideremos a cônica obtida 
pela intersecção de C com p . Então:
se •	 p não é paralelo a nenhuma geratriz, então a cônica é uma 
elipse. Observe que p corta o eixo e em um ângulo  e que 
2
p
 < ≤ (note que, quando 
2
p
 = , a curva é uma circunfe-
rência, que é uma elipse, então);
Paralelo a nenhuma 
geratriz: o plano paralelo 
a p passando por V 
não contém nenhuma 
geratriz do cone.
42
se •	 p é paralelo a somente uma geratriz, a cônica é uma pará-
bola (observe que, nesse caso,  = );
se •	 p é paralelo a duas geratrizes, a cônica é uma hipérbole 
(note que, se p cortar o eixo e, 0  < < ).
θθθ
α
α > θ α = θ α < θ
α
α
Elipse Parábola Hipérbole
V V V
π
π π
Figura 3.5
Não apresentaremos aqui a prova desse teorema, também chamada 
de prova de Dandelin, que utiliza esferas inscritas em um cone — 
essas esferas, hoje, são conhecidas como esferas de Dandelin, em 
homenagem a esse matemático belga. A prova pode serencontrada 
em alguns livros (por exemplo, em [7]). Há vários sítios na rede com 
essa prova, que depende muito de uma boa representação gráfica 
para ser bem compreendida. A seguir, um pouco de teoria sobre 
cada cônica.
3.2 Parábola
Definição 3.2. Dados uma reta r e um ponto F no plano 2 , tais 
que F não pertence a r, uma parábola p de foco F e diretriz r é o 
conjunto dos pontos P eqüidistantes de F e de r , isto é,
Paralelo a somente uma 
geratriz: o plano paralelo a 
p passando por V contém 
somente uma geratriz 
do cone.
Paralelo a duas geratrizes: 
o plano paralelo a p 
passando por V contém 
duas geratrizes do cone.
43
2{P | (P,F) (P, )}p d d r= ∈ = .
F
r
Figura 3.6
Uma parábola no plano cartesiano é descrita por uma equação al-
gébrica, isto é, podemos considerar uma parábola qualquer como 
um conjunto de pontos ( , )x y do plano tais que suas coordenadas 
x e y satisfazem uma certa equação. 
Exemplo 1: Considere a reta 
5:
4
r y -= e o ponto 32,
4
F - =  
 
. Seja 
( , )x y um ponto P arbitrário da parábola p, definida a partir dessa 
diretriz e desse foco. Temos que
( , ) ( , )d P F d P r= ⇔ 
2
2 3 5( 2)
4 4
 - + + = + ⇔ 
 
x y y 
2 2
2 3 5( 2)
4 4
x y y   ⇔ - + + = +   
   
;
que, por sua vez, é equivalente à equação
.342 +-= xxy
Dada agora a função quadrática :g →  definida por 
2( ) 4 3g x x x= - + , a parábola acima é o gráfico de g. 
Parábola é a primeira cônica ao qual somos apresentados, ainda no 
nível fundamental, como sendo a curva que representa o gráfico de 
uma função quadrática no plano cartesiano. 
Lembre-se que o gráfico da 
função g é o conjunto 
{( , ( )) : }∈x g x x .
44
Definição 3.3. Uma função :f →  é dita ser quadrática (ou do 
segundo grau) se, e somente se, existirem constantes reais , e a b c, 
com 0a ≠ , tais que 2, ( )x f x ax bx c∀ ∈ = + + .
As funções :f →  dadas por 2( )f x x= , 2( ) ( 3)f x x= + , ou 
2( ) 0,5 0,9f x x x= - + são, todas, exemplos de funções quadráticas. 
Observe que nem toda parábola é o gráfico de uma função quadrá-
tica, como mostra o exemplo seguinte.
Exemplo 2: Vamos obter uma equação para a parábola de foco 
( 1,1)F = - e diretriz :r y x= . Se ( , )P x y= é um ponto arbitrário 
dessa parábola, temos:
2 2( , ) ( , ) ( 1) ( 1)
2
y x
d P F d P r x y
-
= ⇒ + + - = .
Calculando, obtemos (verifique!) que essa equação é equivalente à 
equação
2 22 4 4 4 0.x xy y x y+ + + - + =
Note que a equação encontrada no exemplo 1 corresponde a uma 
equação que define uma função quadrática. Porém, a equação do 
exemplo 2 não corresponde a uma equação de função quadrática, 
pois dado um valor arbitrário para x (com exceção de apenas um 
valor, descubra qual) existem dois valores possíveis para y . A figu-
ra abaixo nos dá um esboço desta parábola, cujos eixos de simetria 
não são paralelos aos eixos cartesianos.
d
y
F
x
Figura 3.7
45
Exemplo 3: Vamos obter uma equação para a parábola de foco 
(0, )F p= e diretriz : = -r y p, 0p > . Se ( , )P x y= é um ponto arbi-
trário dessa parábola, temos:
( , ) ( , )d P F d P r= ⇔ 
2 2( 0) ( )- + - = + ⇔x y p y p
2
2 23( 0) ( )
4
 ⇔ - + + = + ⇔ 
 
x y y p
2 4 0⇔ - =x yp .
Note que se 1
4
=p
a
, então obtemos a parábola 2=y ax . Deste modo, 
o foco e a diretriz da parábola 2=y ax são, respectivamente, 
10,
4
 
 
 a
 e 
1:
4
= -r y
a
.
Exercício 
Obtenha uma equação para as parábolas, cujo foco e cuja dire-1) 
triz são dados abaixo, esboçando-as:
 a) (0, 1), : 1F r y= - = ;
 b) 
1 1,0 , :
4 4
F r x = = - 
 
;
 c) (0,0), : 1F r y x= = + .
O eixo de uma parábola é, por definição, a reta perpendicular à sua 
diretriz que passa por seu foco. Esse eixo é um eixo de simetria da 
figura (a definição de parábola resulta em uma figura simétrica em 
relação à reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz) . O 
eixo de uma parábola é uma reta vertical se, e somente se, a diretriz 
dessa parábola é uma reta horizontal. O eixo de simetria da parábola 
intercepta-a em um ponto chamado de vértice. Vamos mostrar que a 
equação de uma parábola é da forma 2y ax bx c= + + , com 0≠a , se, e 
somente se, o seu eixo de simetria é paralelo ao eixo das ordenadas.
Proposição 3.1. O gráfico de uma função quadrática é uma parábo-
la, cujo eixo é paralelo ao eixo das ordenadas.
46
Demonstração: Considere a função quadrática 2y ax bx c= + + , em 
que 0≠a . Note que essa equação é equivalente à equação 
2 2
2
24 4
b b by a x x c
a a a
 
= + + - + 
 
.
Denotando 2 4-b ac por ∆, essa equação também é equivalente à 
equação
2
4 2
by a x
a a
∆  + = + 
 
.
Fazendo '
4
∆
= +y y
a 
e
 
'
2
= +
bx x
a
, podemos reescrever esta equa-
ção da seguinte forma 2' ( ')=y a x , que corresponde (ver exemplo 3) 
a uma parábola cujos foco e diretriz, no eixo 0 '0 'x y , são 10,
4
 
 
 a
 e 
1:
4
= -r y
a
, respectivamente (ver figura 3.8).
y y'
x'
x0
∆
4a−
b
2a−
Figura 3.8
Deste modo, no sistema 0 0x y , 2y ax bx c= + + é a equação da pa-
rábola cujo foco é o ponto 
1,
2 4
b
a a
-∆ + - 
 
 e cuja diretriz é a reta 
a
y
4
1-∆-
= . 
Por conseguinte, o seu eixo de simetria, que é perpendicular à diretriz, 
é uma reta vertical, isto é, paralelo ao eixo das ordenadas.
■
47
Exercício 
Obtenha o foco e a diretriz das parábolas dadas por 2) 
 a) ;2xy = ;
 b) ;22 += xy ;
 c) ;442 ++= xxy ;
 d) ;2xy -= ;
 e) 272 2 +-= xxy ;
 f) .2 2 xxy +-=
Vamos mostrar agora a recíproca da proposição anterior.
Proposição 3.2. Uma parábola cujo eixo é uma reta vertical é o grá-
fico de uma função quadrática. 
Demonstração: Seja p uma parábola com eixo vertical. Logo, sua di-
retriz é uma reta horizontal: y c= , em que c denota uma constante. 
Seja ( , )F r s= seu foco. Como F não pertence à diretriz, s c≠ . 
Assim, para todo ponto ( , )x y da parábola, temos que
2 2( ) ( )x r y s y c- + - = - . 
Logo, 2 2 2 22( ) 2s c y x rx r s c- = - + + - .
Como s ≠ c, podemos definir
1:
2( )
=
-
a
s c
, :
( )
= -
-
rb
s c
, 
2 2 2
: .
2( )
r s cc
s c
+ -
=
-
 
Assim, a equação acima fica na forma 2y ax bx c= + + , que define 
uma função quadrática.
■
Exercício 
Aplicando a técnica utilizada na demonstração da proposição 3) 
acima, obtenha funções quadráticas cujos gráficos são as pará-
bolas com foco e diretriz, dadas a seguir:
48
 a) 
3 1 ,0 , :
2 2
F r y = = - 
 
;
 b) 
7 1,0 , :
2 2
F r y = = 
 
;
 c) 
3 50, , :
4 4
F r y = - = - 
 
.
Observação: No exercício 1 b), vimos que uma equação da parábola 
com foco 
1 ,0
4
 
 
 
 e diretriz 
1:
4
= -r y
a
 é 2yx = , cujo traçado cor-
responde à união dos gráficos das funções xy = e xy -= , em 
que 0≥x . Da mesma forma, o gráfico da função 00 xxyy -=- , 
0xx ≥ , é um dos ramos da parábola 
2
0 0( )y y x x- = - , cujo eixo de 
simetria é a reta 0yy = e o vértice, o ponto 0 0( , )x y . Note que 
2
0 0 0 0( )y y x x y y x x- = - ⇒ - = - 
mas que a recíproca não é válida.
Exercício 
Esboce o gráfico das funções abaixo.4) 
 a) 12 +-= xy ;
 b) 12 +--= xy ;
 c) 12 ---= xy ;
 d) 122 +-= xy .
Uma parábola, cujo eixo é paralelo é paralelo a um dos eixos 
coordenados, é descrita por uma das duas (famílias de) equa-
ções seguintes (a equação normal de uma parábola):
2
0 0( )y y x x- = -•	 (o eixo de simetria é a reta 0=y y );
2
0 0( )x x y y- = -•	 (o eixo de simetria é a reta 0=x x ).
49
3.3 Elipse
Definição 3.4. Seja dado um número positivo 2a, sejam dados dois 
pontos fixos 1 2eF F (ditos focos), cuja distância entre si, 2c, é me-
nor que 2a. A elipse E de focos 1 2eF F , de excentricidade 
c
a
, é o 
conjunto dos pontos P, tais que a soma das distâncias de P a 1F e 
de P a 2F é igual a 2a, isto é,
2
1 2{ | ( , ) ( , ) 2 }E P d P F d P F a= ∈ + = .
Uma elipse no plano cartesiano é descrita por uma equação algé-
brica, isto é, podemos representar uma elipse qualquer como um 
conjunto de pontos ( , )x y , doplano cartesiano, tais que suas coorde-
nadas x e y satisfazem uma certa equação. 
Exemplo 1: Considere os focos 1 2( ,0), ( ,0)F c F c= - = e 1 2( ,0), ( ,0)F c F c= - = , 0c > , e a ex-
centricidade 
c
a
. Seja ( , )x y um ponto P arbitrário da elipse, defini-
da a partir desses dados. Temos que
1 2( , ) ( , ) 2 d P F d P F a+ = ⇔
2 2 2 2( ) ( ) 2⇔ + + + - + = ⇔x c y x c y a
2 2 2 2( ) 2 ( )x c y a x c y⇔ + + = - - + ⇔
2 2( )x c y⇔ + + = 2 2 2 2 24 4 ( ) ( )- - + + - + ⇔a a x c y x c y 
2 2 2( )a x c y a cx⇔ - + = - ⇔ 
2 2 2 2 2 4 2 2 2( 2 ) 2a x cx c a y a a cx c x⇔ - + + = - + ⇔
⇔-=+-⇔ 224222222 caayaxcxa
2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )a c x a y a a c⇔ - + = - ⇔
 
122
2
2
2
=
-
+⇔
ca
y
a
x
.
A excentricidade de uma 
elipse é um número entre 
0 e 1 0 1c
a
 < < 
 
, que 
determina a sua forma. 
Se este número for 
próximo de zero, então 
a elipse se aproxima de 
uma circunferência e se 
for próximo de 1 então a 
elipse se aproxima de um 
segmento de reta. 
50
Definindo o número positivo b tal que 222 cab -= , temos que 
esta equação é equivalente a
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
que é uma equação da elipse dada.
b a
(−c, 0) (c, 0)
Figura 3.9
Observações:
se um ponto •	 ( , )x y satisfaz a equação acima, então ( , )x y- tam-
bém a satisfaz (simetria em relação ao eixo das ordenadas);
se um ponto •	 ( , )x y satisfaz a equação acima, então ( , )x y- 
também a satisfaz (simetria em relação ao eixo das abcissas).
Esses eixos são os eixos de simetria da elipse. Note que, nesse 
caso, a figura também é simétrica em relação à origem (0,0) , 
pois, se ( , )x y satisfaz a equação, ( , )x y- - também a satisfaz.
Note que se 1 2(0, ), (0, )F c F c= - = e a excentricidade for a mes-
ma, a elipse definida a partir desses dados será a mesma que a 
resultante de uma rotação de 90° da elipse acima (ver figura 3.10). 
Sua equação será, agora,
12
2
2
2
=+
b
x
a
y
.
Agora, se girarmos a elipse de 45o, as coordenadas dos focos são 
diferentes: 
1 2, , ,2 2 2 2
c c c cF F   = - - =   
   
.
a
b
(0,c)
(0,−c)
Figura 3.10
51
Vamos calcular a sua equação, como antes:
1 2( , ) ( , ) 2 d P F d P F a+ = ⇔
⇔=





-+





-+





++





+⇔ acycxcycx 2
2222
2222
⇔





-+





--=





++





+⇔
2222
22
2
22
cycxacycx
⇔





-+





--





-+





-+=





++





+⇔
2222
2
22
22
4
22
4
22
cycxacycxacycx
 













2222
2
22
cycxacycxa
 












 xyccyacxaycxcacyacxa 2
222222
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2222
 
 xycycxcacayaxa 2
2222
4222222
22
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2(2 ) (2 ) 2 2( )a c x a c y c xy a a c⇔ - + - - = - ⇔
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2( ) 2a b x a b y a b xy a b⇔ + + + - - = .
b
a
Figura 3.11
52
Exercício 
Ache equação para a elipse5) 
cujos focos são a) ( 3,0)- e (3,0), e cuja excentricidade é 3
5
;
cujos focos são b) (0, 4) e (0, 4)- , e cuja excentricidade é 4
5
;
cujos focos são c) 0( ,0)c x- + e 0( ,0)c x+ , 
e cuja excentricidade é 
c
a
;
cujos focos são d) 0(0, )c y- + e 0(0, )c y+ , 
e cuja excentricidade é 
c
a
;
cujos focos são e) 0 0( , )c x y- + e 0 0( , )c x y+ , 
e cuja excentricidade é 
c
a
;
cujos focos são f) 0 0( , )x c y- + e 0 0( , )x c y+ , 
e cuja excentricidade é 
c
a
;
cujos focos são g) ( 2 2, 2 2)- - e (2 2,2 2), 
e cuja excentricidade é 
4
5
;
cujos focos são h) ( 3,3) e (3,3)- , e passa pelo ponto (0,7);
cujos focos são i) ( 3, 1) e (5, 1)- - - , e passa pelo ponto (1, 2).
3.4 Hipérbole
Definição 3.5. Seja dado um número positivo 2a, sejam dados dois 
pontos fixos 1 2eF F (ditos focos), cuja distância entre si, 2c, é maior 
que 2a. A hipérbole H de focos 1 2eF F , de excentricidade 
c
a
, é o 
conjunto dos pontos P , tais que o valor absoluto da diferença das 
distâncias de P a 1F e de P a 2F é igual a 2a, isto é,
2
1 2{ ; | ( , ) ( , ) | 2 }.H P d P F d P F a= ∈ - =
A excentricidade de uma 
hipérbole é um número 
maior do que 1 1
c
a
 < 
 
 
que está relacionado com 
a abertura da hipérbole. 
Quanto maior ele for, maior 
é a abertura da hipérbole.
53
Como anteriormente, uma hipérbole no plano cartesiano é descrita 
por uma equação algébrica, isto é, é um conjunto de pontos ( , )x y , do 
plano cartesiano, tais que suas coordenadas x e y satisfazem uma 
certa equação. 
Exemplo 1: Considere os focos 1 2( ,0), ( ,0)F c F c= - = e a excentrici-
dade 
c
a
. Seja ( , )x y um ponto P arbitrário da hipérbole, definida a 
partir desses dados. Temos que
 
1 2| ( , ) ( , ) | 2 d P F d P F a- = ⇔
2 2 2 2( ) ( ) 2⇔ + + - - + = ⇔x c y x c y a
2 2 2 2 2 2( ( ) ( ) ) 4x c y x c y a⇔ + + - - + = ⇔
2 2 2 2( ) ( )x c y x c y⇔ + + + - + =
2 2 2 2 24 2 ( ) ( )a x c y x c y= + + + - + ⇔
2 2 2 2 2 2 2 22 ( ) ( )x y c a x c y x c y⇔ + + - = + + - + ⇔
2 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 ) [( ) ][( ) ]x y c a x c y x c y⇔ + + - = + + - + ⇔
=--+-+++++⇔ 2222222222224444 4424224 acaycyaxcxyxacyx
2 2 2 2 2 2 4( ) [( ) ( ) ]x c y x c x c y= - + + + - + ⇔ 
⇔++-=-⇔ 222222224 44444 ayaxcxaca
⇔-=--⇔ 422222222 acayaaxcx
 
2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )c a x a y a c a⇔ - - = - ⇔
122
2
2
2
=
-
-⇔
ac
y
a
x
.
Definindo o número positivo b, tal que, 222 acb -= , temos que esta 
equação é equivalente a
54
12
2
2
2
=-
b
y
a
x
,
que é uma equação da hipérbole dada. 
(−c,0) (c,0)
(a,0)(−a,0)
Figura 3.12
Observações:
se um ponto •	 ( , )x y satisfaz a equação acima, então ( , )x y- tam-
bém a satisfaz (simetria em relação ao eixo das ordenadas);
se um ponto •	 ( , )x y satisfaz a equação acima, então ( , )x y- tam-
bém a satisfaz (simetria em relação ao eixo das abcissas);
se um ponto •	 ( , )x y satisfaz a equação acima, então ( , )x y- - 
também a satisfaz (simetria em relação à origem (0,0) );
os pontos dessa hipérbole têm abcissas não nulas e •	
2 2 2 2
2 2 2 2
y b b b
x a x a
= - ≤ . Logo, 
2
2 2
2≤
by x
a
, ou seja, os pontos dessa 
hipérbole estão entre as retas x
a
by ±= ; 
os pontos da hipérbole, quando •	 x tende a ∞± , tendem a se 
aproximar das retas x
a
by ±= . Por isso, chamamos essas retas 
de assíntotas da hipérbole.
 
Note que se 1 2(0, ), (0, )F c F c= - = e a excentricidade for a mesma, a 
hipérbole definida a partir desses dados será a mesma que a resul-
tante de uma rotação de 90 da hipérbole acima.
55
Sua equação será, agora, 12
2
2
2
=-
b
x
a
y e suas assíntotas, x
b
ay ±= .
(0,−c)
(0,c)
(0,a)
(0,−a)
Figura 3.13
A hipérbole de excentricidade 
c
a
 e focos 
1 2, , ,2 2 2 2
c c c cF F   = - - =   
   
pode ser calculada, a partir da definição de hipérbole, analogamente 
a como foi feito com a elipse:
1 2| ( , ) ( , ) | 2d P F d P F a- = ⇔ 
2 2 2 2
2
2 2 2 2
c c c cx y x y a       ⇔ + + + - - + - = ⇔       
       
=





-+





-+





++





+⇔
2222
2222
cycxcycx
⇔





-+





-





++





++=
2222
2
2222
24 cycxcycxa
56
2 2 2 22⇔ + + - =x y c a
 
2 2 22 2 2
2 2 2 22 ( )
2 2 2
     
= - + - + - + - ⇔     
     
c c cx y xy c x y
2 2 2 2 2( 2 )⇔ + + - =x y c a
2 2 22 2 2
2 2 2 22 ( )
2 2 2
c c cx y xy c x y
     
= - + - + - + - ⇔     
     
=--+-+++++⇔ 2222222222224444 4424224 acaycyaxcxyxacyx
4 4 4
4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2
4 4 2
c c cx c x y c y x y xyc c x c y c xy⇔ = + - + + - + + - + + - ⇔
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 42 2 2 2 2c x a x c y a y c xy c a a⇔ - + - + = - ⇔
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 2( )c a x a x c a y a y c xy c a a⇔ - - + - - + = - ⇔
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2( ) 2b a x b a y b a xy b a⇔ - + - + + = .
Observe na equação acima que, se 2== ab , então 2=c . Logo, 
1
=y
x
, e o gráfico da hipérbole, nesse caso, é o seguinte:
( ),2 2
( ),2 2− −
Figura 3.14
ExercícioAche equação para a hipérbole6) 
cujos focos são a) ( 5,0) e (5,0)- , e cuja excentricidade é 5
3
;
57
cujos focos são b) (0, 5) e (0,5)- , e cuja excentricidade é 5
4
;
cujos focos são c) 0 0( ,0) e ( ,0)c x c x- + + , 
e cuja excentricidade é 
c
a
;
cujos focos são d) 0(0, )c y- + e 0(0, )c y+ , 
e cuja excentricidade é 
c
a
;
cujos focos são e) 0 0( , )c x y- + e 0 0( , )c x y+ , 
e cuja excentricidade é 
c
a
;
cujos focos são f) 0 0( , )x c y- + e 0 0( , )x c y+ , 
e cuja excentricidade é 
c
a
;
cujos focos são g) 5 5,
2 2
- - 
 
 
 e 5 5,
2 2
 
 
 
, 
e cuja excentricidade é 
5
4
;
cujos focos são h) ( 5,3) e (5,3)- , e passa pelo ponto (3,3);
cujos focos são i) ( 3, 6) e (-3,4)- - , e passa pelo ponto ( 3,3)- .
3.5 Rotação de eixos
Veremos que uma curva no plano cartesiano é uma cônica somente 
se as coordenadas cartesianas de seus pontos satisfazem uma equa-
ção do tipo
2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + = .
Além disso, uma cônica c será identificada por uma regra simples: 
 •	 c é uma hipérbole somente se 2 4 0B AC- > ;
 •	 c é uma elipse somente se 2 4 0B AC- < ;
 •	 c é uma parábola somente se 2 4 0B AC- = .
58
Essa regra não é da forma “se e somente se” porque a equação ge-
ral acima pode representar vários conjuntos diferentes de cônicas: 
o conjunto vazio (por exemplo, 2 2 0x + = ), duas retas paralelas (por 
exemplo, 2 1 0x - = ), uma reta (por exemplo, 2 0x = ). 
Lembre que as formas normais das cônicas, isto é, as suas 
expressões quando seus eixos de simetria são paralelos aos 
eixos coordenados são:
 •	 20 0( )y y x x- = - 
(parábola cujo eixo de simetria é a reta 0yy = );
 •	 20 0( )x x y y- = - 
(parábola cujo eixo de simetria é a reta 0xx = );
 •	
2 2
0 0
2 2
( ) ( ) 1x x y y
a b
- -
+ = 
(elipse cujos eixos de simetria são 0xx = e 0yy = );
 •	
2 2
0 0
2 2
( ) ( ) 1x x y y
a b
- -
- = ±
 
(hipérbole cujos eixos de simetria são 0xx = e 0yy = ).
Em todas essas equações não há termos (de segundo grau) em xy. 
Então a nossa estratégia para identificar uma curva, dada por uma 
expressão de segundo grau em e x y , será a seguinte: eliminar esse 
termo cruzado por uma mudança de variáveis conveniente. Se essa 
curva for uma cônica, então essa curva aparecerá na forma normal 
se os seus eixos de simetria forem paralelos aos novos eixos coor-
denados.
Para isso, iremos então girar os eixos até que fiquem paralelos aos 
eixos de simetria da cônica. Como descobriremos a direção desses ei-
xos? Simples, aplicaremos uma rotação de um ângulo simbólico, ob-
tendo uma nova expressão da curva. Calcularemos, então, qual deve 
ser o ângulo real zerando o coeficiente de xy na nova expressão.
59
A rotação dos eixos, no sentido anti-horário, de um ângulo , 
0 90< < , dá origem a novos eixos, em relação aos quais um ponto 
P, de coordenadas originais ( , )x y , terá, agora, coordenadas ( ', ')x y . 
Essas novas coordenadas estão relacionadas às antigas pelas seguin-
tes equações:
P
V U
S
R
O
Y
y
x'
y'
x
Y'
X
X'θ
θ
Figura 3.15
' cos sen
' sen cos
x x y
y x y
 
 
= +
 = - + .
Essas equações são a expressão algébrica das seguintes relações 
geométricas: 
OS OR RS
OU OV VU
= +
 = -
.
Mas a nossa expressão original é em e x y, ou seja, preciso saber 
como essas coordenadas são escritas em função das novas:
' cos ' sen
' sen ' cos
x x y
y x y
 
 
= -
 = +
.
Substituindo-as na expressão 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + = , temos:
60
2( ' cos ' sen ) ( ' cos ' sen )( ' sen ' cos )A x y B x y x y     - + - + + 
2( ' sen ' cos )C x y + + + 
( ' cos ' sen ) ( ' sen ' cos ) 0D x y E x y F   + - + + + = .
Fazendo os cálculos,
2 2 2( cos sen cos sen ) 'A C B x   + + + 
2 2 2( sen cos cos sen ) 'A C B y   + + - + 
2 2[( ) 2cos sen (cos sen )] ' 'C A B x y   + - + - + 
( cos sen ) ' ( cos sen ) ' 0D E x E D y F   + + + - + = .
Agora, sejam: 
A' = 2 2( cos sen cos sen )   + +A C B , 
B' = 2 2[( ) 2cos sen (cos sen )]   - + -C A B , 
C' = 2 2( sen cos cos sen )   + -A C B , 
D' = ( cos sen ) +D E ,
E' = ( cos sen ) -E D e 'F F= , 
Então temos 2 2' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 0A x B x y C y D x E y F+ + + + + = .
Queremos que ' 0B = , isto é,
2 2[( ) 2cos sen (cos sen )] 0C A B   - + - = 
ou seja, que ( ) sen 2 cos 2 0C A B - + = .
Temos, assim, dois casos:
 a) C A= e, logo, 45 = ;
 b) C A≠ e, nesse caso, 2 Btg
A C
 =
-
.
 
Agora, fica fácil identificar que curva é descrita pela equação de 2º 
grau: 2 2 0, 0 ou 0A x C y D x E y F A C′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + + = ≠ ≠
se for parábola, ou •	 ' 0 ou ' 0= =A C , o que é equivalente a 
'. ' 0=A C ;
se for elipse, •	 ' e 'A C têm o mesmo sinal, isto é, '. ' 0>A C ;
se for hipérbole, •	 ' e 'A C têm sinais contrários, ou seja, '. ' 0<A C .
61
Mas,
2 2 2 2'. ' ( cos sen cos sen )( sen cos cos sen )       = + + + - =A C A C B A C B
2 2 2 2 2 2 2( cos sen )( sen cos ) cos senA C A C B     = + + - +
2 2 2 2cos sen ( sen cos cos sen )B A C A C     + + - - =
2 2 2 2 4 4 2 2 2( ) cos sen (sen cos ) cos senA C AC B     = + + + - +
cos sen ( cos 2 cos 2 )B C A   + - =
2 2 2 2 4 2 2 4 2 2( ) cos sen (sen 2 cos sen cos ) 2 cos senA C AC AC       = + + + + - +
2 2 2 2 4 2 2 4 2 2( ) cos sen (sen 2 cos sen cos ) 2 cos senA C AC AC       = + + + + - + B(C - A)( ) 2 2 2sen 2 cos 2 cos sen
2
B C A B   + - - =
2 2 2 2 2 2 2( 2 ) cos sen (sen cos )A AC C AC   = - + + + +
2 2 2sen 2( ) cos 2 cos sen
2
B C A B   + - - =
2
2 2 sen 2 sen 2[( ) ] ( ) cos 2
4 2
A C B AC B C A  = - - + + - =
2 2
2 2 2sen 2 cos 2[( ) ]
4 2
A C B B AC = - - - + ,
pois o ângulo  é tal que ( ) sen 2 cos 2A C B - = . Agora, como 
2 2sen 2 cos 2 1 + = , essa expressão é igual a
2 2 2 2
2 2 2 2sen 2 sen 2 cos 2 cos 2( )
4 4 4 4
A C B B B AC   - - - - + =
2 2 2
2 2sen 2 cos 2( )
4 4 4
BA C B AC = - - - + =
2 2 2 2 2( ) sen 2 cos 2
4 4
A C B BAC - -= + - =
2
4
BAC= - ,
novamente, pela igualdade ( ) sen 2 cos 2A C B - = .
62
Assim, 
2
' '
4
= -
BA C AC . Então,
2
2' ' 0 0 4 0
4
= ⇔ - = ⇔ - =
BA C AC B AC•	 ;
2
2' ' 0 0 4 0
4
> ⇔ - > ⇔ - <
BA C AC B AC•	 ;
2
2' ' 0 0 4 0
4
< ⇔ - < ⇔ - >
BA C AC B AC•	 .
Terminamos de provar o seguinte teorema:
Teorema. Se uma curva no plano cartesiano é uma cônica 
então as coordenadas dos pontos da curva satisfazem uma 
equação do tipo 2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F+ + + + + = , em que 
0≠A ou 0≠B ou 0≠C , e a curva, então, será
parábola•	 se, e somente se, 2 4 0B AC- = ;
elipse•	 se, e somente se, 2 4 0B AC- < ;
hipérbole•	 se, e somente se, 2 4 0B AC- > . 
Exercícios 
Identifique as cônicas abaixo, transformando as equações na 7) 
sua forma normal.
 a) 2 29 6 18 36 0x y x y+ + - + = ;
 b) 2 29 6 18 36 0x y x y- + - - = ;
 c) 2 6 12 0x x y+ - - = ;
 d) 012 =-++ yxx ;
 e) 2 12 0y x- + - = ;
 f) 2 24 4 12 0x y x- + - = ;
2 2( ) ( ) 20 8 6x y x y x y+ + - - + =g) .
63
Ache um ângulo apropriado para girar os eixos e eliminar o 8) 
termo xy nas equações a seguir; calcule a equação nesses novos 
eixos e esboce, então, o gráfico correspondente. 
 a) 2 1xy = ;
 b) 2 23 2 3 4x xy y+ + = ;
 c) 2 22 3x xy y+ + = ;
 d) 2 221 10 3 31 144x xy y- + = ;
 e) 2 22 3 2 10 0x xy y- - + = ;
 f) 2 23 1x xy y x y- + + - = ;
 g) 2 216 24 9 60 80 100 0x xy y x y+ + + - + = ;
 h) 2 23 2 2 2x xy y x y- + + + = ;
 i) 2 23 8 3 4 5 8 5 0x xy y x y+ - - + = ;
 j) 2 23 2 3 2 2 3 0x xy y x y- + + + = .
Identifique as cônicas abaixo.9) 
 a) 2 22 9 6 18 100x xy y x y+ + + - = ;
 b) 2 22 3 2 100x xy y x y+ + + - = ;
 c) 2 22 3 2 100x xy y x y+ + + - = ;
 d) 2 3 2 100x xy x y+ + - = ;
 e) 2 2( ) ( ) 2 100x y x y y+ + - - = ;
 f) 2 24 4 3 2 100x xy y x y+ + + - = .
3.6 Observações finais
Vimos que o gráfico da função recíproca 1=y
x
 é a hipérbole 
cujos eixos de simetria são as retas y x= e y x= - , cujos focos são 
( 2, 2)- - e ( 2, 2), e2 2 2a = . Há outras funções que podem 
ser definidas a partir de elipses e hipérboles, que pertencem à classe 
das funções irracionais.
64
Algumas funções irracionais
Funções do tipo
2
0
0 2
( ) 1 x xy y b
a
-
- = ± - , 0b > ,
cujos gráficos são semi-elipses, ou funções do tipo 
2
0
0 2
( ) 1 x xy y b
a
-
- = ± + , 0b > ,
cujos gráficos são um dos ramos de uma hipérbole, ou do tipo 
2
0
0 2
( ) 1x xy y b
a
-
- = ± - , 0b > , 
cujos gráficos dão semi-hipérboles, são funções ditas irracio-
nais (lembre-se que c, o raio focal da hipérbole satisfaz a relação 
2 2 2c a b= + ). Observe os gráficos a seguir.
22
0 xaa
byy --=-i) 
 
(a, y0)(−a, y0)
(0, −b+y0)
x
y
Figura 3.16
22 xa
a
by +=ii) 
(0, b)
y = − xba y = x
b
a
y
x
Figura 3.17
65
 iii) 22 ax
a
by -= 
(−a, 0) (a, 0)
y
x
y = − xba y = x
b
a
Figura 3.18
Exercício
Esboce o gráfico de cada função abaixo.10) 
 a) 
1
( 1)
y
x
=
-
;
 b) 
11- =y
x
;
 c) 
11
( 1)
- =
-
y
x
;
 d) . 0x y = ;
 e) . 2x y = ;
 f) 2 2 1, 0x y y+ = ≥ ;
 g) 2 2( 1) 4, 0x y y- + = ≥ ;
 h) 2 1y x= - - ;
 i) 21 4y x= - ;
 j) 2 1y x= - - ;
 k) 22 2 1y x- = - ;
 l) 22 2 1y x- = - ;
 m) 22 2 1 4y x- = - ;
 n) 22 2 1 2y x x- = - + ;
 o) 22 2 2y x x- = + ;
 p) 2
22 2
3
y x x- = - .
66
Resumo
seções cônicas;•	
equação de parábola;•	
 equação de elipse;•	
equação de hipérbole;•	
rotação de eixos;•	
identificação de cônicas a partir dos coeficientes dos seus ter-•	
mos de segundo grau.
Bibliografia comentada
LINDQUIST, M. M. et al. Aprendendo e ensinando geometria. São 
Paulo: Atual, 1994.
Esse livro é uma coletânea de artigos de professores de ensino médio dos 
Estados Unidos. A seção sobre cônicas é ótima, recomendo-a para ser lida 
por todos aqueles que querem aprender bastante sobre cônicas. Entretanto, 
não apresenta a identificação de cônicas via rotação de eixos.
SAFIER, F. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2003. (Schaum)
Um dos poucos livros modernos onde se pode ler sobre rotação de eixos e 
sua conseqüência no estudo de cônicas. Recomendo, fortemente, a todos 
que querem fixar este conteúdo.
Capítulo 4
Vetores
Capítulo 4
Vetores
Neste capítulo, introduziremos a noção de vetor, que será 
de enorme utilidade no estudo da geometria analítica.
4.1 Espaço cartesiano
Na primeira parte deste livro, você estudou Geometria Plana, 
utilizando coordenadas cartesianas no plano. Ou seja, no pla-
no euclidiano P, foi fixada uma unidade de medida e foram fixa-
dos dois eixos ortogonais, OX

 e OY

 (os eixos coordenados), inter-
ceptando-se em um ponto O, a origem. Escolhido um ponto P∈P, 
traçam-se retas perpendiculares a OX

 e OY

, passando por P, 
que interceptam OX

 e OY

 nos pontos R e S. Os comprimentos dos 
segmentos OR e OS, Px e Py , respectivamente, são ditos as coor-
denadas cartesianas de P. Associamos assim a todo ponto P∈P um 
par ordenado ( , )P Px y de números reais. Note que essa associação 
depende sempre da escolha da unidade de medida, dos eixos e da 
origem; outras escolhas podem associar coordenadas diferentes a 
um mesmo ponto.
Reciprocamente, tendo fixados uma unidade de medida, a origem e 
os eixos coordenados, dado um par ( , )x y de números reais, pode-
se obter, de modo único, um ponto P do plano cuja abscissa é x 
e cuja ordenada é y. Em outras palavras, fixado um sistema de eixos 
ortogonais no plano, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos 
do plano e pares ordenados de números reais. Esse é o fato fundamental 
que nos permite desenvolver a Geometria Analítica plana.
Passos inteiramente análogos podem ser utilizados para estudar a 
Geometria Espacial. No espaço euclidiano E, fixados três eixos mu-
tuamente ortogonais OX

, OY

 e OZ

 intersectando-se na origem O, 
dado um ponto P∈E, podem se traçar uma reta perpendicular ao 
eixo OZ e uma outra reta perpendicular ao plano contendo as retas 
OX

 e OY

, o plano XY , passando por P.
Em Matemática, vetor 
tem um sentido bem 
mais geral do que o 
conceito apresentado 
aqui. No entanto, os 
vetores em geometria 
são fundamentais para a 
formação de uma intuição a 
respeito desses objetos em 
contextos mais avançados.
70
O comprimento do segmento que vai da origem ao ponto de inter-
seção da primeira perpendicular com o eixo OZ , Pz é dito a cota de 
P. A segunda perpendicular intersecta o plano XY em um único 
ponto, digamos 'P . A seguir, por este ponto traçamos retas perpen-
diculares a OX

 e OY

, interceptando esses eixos em pontos cujas 
distâncias até a origem são Px e Py , respectivamente a abscissa e a 
ordenada de P. Os números reais Px , Py e Pz são as coordenadas car-
tesianas de P no espaço (ver figura 4.1). Associamos, assim, a todo 
ponto P∈P um terno ordenado ( , , )P P Px y z de números reais. No-
vamente, essa associação depende sempre da escolha dos eixos e da 
origem; outras escolhas associariam outras coordenadas ao mesmo 
ponto. Usaremos ainda a notação ( , , )P x y z para indicar que o ponto 
P do espaço tem coordenadas cartesianas x, y e z.
xp
x
zp
z
P(xp , yp , zp)
y
yp
Figura 4.1
Exemplo: Uma sala tem 6m de largura por 8m de comprimento e 
4m de altura. Estabelecer um sistema adequado de eixos e dar as 
coordenadas dos seguintes pontos:
dos oito cantos da sala;a) 
do ponto de interseção das diagonais do piso;b) 
de um ponto situado a 2m de altura e sobre a vertical que con-c) 
tém a interseção das diagonais do plano.
71
D
P3P2
P1
z
P6
8
P5 P4
P7
P6
4
x
y
P8
Figura 4.2
Resolução:
a) Embora possamos escolher um sistema de coordenadas de várias ma-
neiras, a escolha de um dos cantos inferiores da sala é a mais simples. 
Pela simetria da sala, é natural também que alinhemos os eixos ao 
longo das três arestas da sala concorrentes com o canto que toma-
mos como origem.
Um sistema assim está mostrado na fig. 4.2. Em relação a tal sistema, 
temos as seguintes coordenadas para os cantos da sala:
1(0,0,0)P , 2 (6,0,0)P , 3 (6,8,0)P , 4 (0,8,0)P , 
 5 (6,0, 4)P , 6 (6,8, 4)P , 7 (0,8, 4)P , 8 (0,0, 4)P .
b) Uma vez que o ponto procurado D está no plano XY , sua terceira 
coordenada é nula, isto é, 0Dz = . As coordenadas Dx e Dy de D 
são, respectivamente, 3 e 4, como mostra a fig. 4.3. Logo (3, 4,0)D .
D2
D1
3
4 D4
D3
6
y
x
P
8
Figura 4.3
72
c) As duas primeiras coordenadas do ponto buscado P coincidem com 
as de D, pois P e D estão em uma mesma vertical. A terceira co-
ordenada de P é 2 porque P está situado duas unidades acima do 
plano XY . Logo, (3, 4, 2)P .
Exercícios
Representar graficamente os seguintes pontos:1) 
(1,3, 2)A , (0, 1,0)B − , ( 2,0,1)C − .
Representar graficamente:2) 
A reta definida pelos pontos a) (2,1,3)A e (4,5, 2)B − .
O plano definido pelos pontos b) (0,0,3)A , (2,3,1)B e (0,3, 4)C .
Descreva e represente graficamente os seguintes conjuntos de 3) 
pontos:
{( , , ) : 0}A x y z x y= = =a) ;
{( , , ) : 2 3}B x y z x e y= = =b) ;
{( , , ) : 1}C x y z z= =c) ;
2 2{( , , ) : 1}D x y z x y= + =d) .
4.2 Vetores na geometria analítica
Poderíamos estudar geometria analítica espacial do mesmo modo 
como estudamos a plana. Vamos, porém, escolher um caminho dife-
rente. Vamos construir um sistema cartesiano de coordenadas para 
o espaço a partir da noção de vetor. Veremos que isso nos permitirá 
calcular distâncias entre ponto e reta, entre ponto e plano, etc, de 
uma forma mais concisa e eficiente.
4.2.1 Vetores e a Física
Em cursos básicos de Física, é estabelecida uma distinção entre 
grandezas escalares e vetoriais. Grandezas escalares (por exemplo, 
a temperatura) são especificadas se damos um número (sua mag-
73
nitude) e uma unidade de medida. No caso de grandezas vetoriais, 
por outro lado, além de sua magnitude (em uma unidade de medi-
da), requer-se que conheçamos sua direção e sentido espaciais, para 
uma descrição completa. Os exemplos mais comuns de tais grande-
zas são