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CAMPO ELÉTRICO E CONTORNOS EQUIPOTENCIAIS
UNESP - Faculdade de Engenharia - Campus de Guaratinguetá 1
0.1. Introdução
Nesta prática vamos obter o traçado de contorno equipotenciais na vizinhança de eletrodos em
uma cuba eletroĺıtica e determinar o campo elétrico em alguns pontos desta região.
0.2. Fundamentos
0.2.1. Superf́ıcies e contornos equipotenciais.
Em um corpo condutor eletricamente car-
regado e em equiĺıbrio eletrostático o potencial
elétrico é igual em todos os pontos, tanto no inte-
rior quanto na sua superf́ıcie. Na região externa
o módulo do potencial varia, diminuindo a me-
dida que nos afastamos do corpo. A superf́ıcie do
corpo constitui a primeira superf́ıcie equipotencial
e sua geometria, é claro, é a do próprio corpo. A
medida que nos afastamos sua forma se altera até
atingir uma geometria esférica em pontos muito
distantes. Neste limite o corpo de dimensões fini-
tas passa a ser considerado uma carga pontual.
Fig. 1 - Superf́ıcies equipotenciais e contornos de
equipotenciais de um disco eletricamente carregado.
Aqui nos interessa a região próxima aos corpos carregados, como a mostrada na Fig.1. A figura
ilustra as superf́ıcies equipotenciais de um disco carregado e os contornos equipotenciais formados
pela intersecção destas superf́ıcies com um plano. Ilustração semelhante é mostrada na Fig.2 para
um anel ou um cilindro vazado finito e carregado. Já na Fig.3 temos o gráfico do potencial de dois
anéis carregados com cargas de sinais opostos e mesma magnitude. A figura mostra o contornos
equipotenciais e sua projeção no plano. Contornos semelhantes podem ser obtidos em uma cuba
eletroĺıtica, onde em uma solução eletroĺıtica colocamos dois eletrodos na forma de anéis e , com
um circuito de alimentação, fazermos uma corrente fluir entre os eletrodos através da solução.
0.2.2. Campo elétrico. O campo elétrico E⃗ e o potencial elétrico ϕ estão relacionados pela
equação:
E⃗(x, y, z) = −∇ϕ(x, y, z)(0.1)
Experimentalmente, com um volt́ımetro, mede-se a diferença de potencial (ddp) V (x, y, z). Na
medição conectamos o terminal COM (ou o polo −) do instrumento em um ponto (x0, y0, z0) do
1Roteiro para laboratório de Eletricidade, Magnetismo e Ótica elaborado por Milton E. Kayama, docente do
Departamento de F́ısica e Qúımica. abr-2010
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circuito onde o potencial é ϕ(x0, y0, z0) = ϕ0. O segundo terminal é conectado ao ponto (x, y, z) do
mesmo circuito onde o potencial é ϕ(x, y, z). Portanto a ddp V medida é:
V (x, y, z) = ϕ(x, y, z) − ϕ0(0.2)
Substituindo 0.2 em 0.1 e como ∇ϕ0 = 0 teremos:
E⃗(x, y, z) = −∇V (x, y, z)(0.3)
No caso unidimensional onde V depende apenas da coordenada espacial x teremos:
E⃗(x) = − d
dx
V (x) ≈ −∆V
∆x
(0.4)
onde ∆x = x2 − x1 e ∆V = V (x2) − V (x1), supondo ∆x suficientemente pequeno.
Fig. 2 - Equipotenciais em um anel carregado.
-5
0
5
10
-15
-10
-5
0
5
10
15
-10
-5
0
5
10
- 1 V
0 V
 ( 
vo
lt 
)
y ( cm
 )
x ( cm )
UNE
SP - 
M.E.
KAY
AMA
0 V
- 1 V
+1 V
+1 V
Fig. 3 - Potencial elétrico em um arranjo de
dois anéis carregados.
A derivada pode ser também calculada usando o método das diferenças finita. Para isso vamos
supor um conjunto de N valores de V medidos ao longo do eixo x e arranjados na forma:
Segundo este método, supondo intervalos espaciais xj+1 −xj pequenos, o campo elétrico Ej no
ponto xj é dado por:
Ej = −
Vj+1 − Vj−1
2∆x
(0.5)
onde
∆x = xj+1 − xj = xj − xj−1(0.6)
0.3. PRÁTICA 3
Esta fórmula se aplica em pontos intermediários. Para o primeiro e último ponto usamos respecti-
vamente:
E1 = −
V2 − V1
∆x
(0.7)
EN = −
VN − VN−1
∆x
(0.8)
que dependem apenas do ponto vizinho imediato.
Fig. 4 - Cuba eletroĺıtica. Fig. 5 - Circuito elétrico da experiência
da cuba eletroĺıtica.
0.3. Prática
Para determinaremos contornos equipotenciais e o campo elétrico vamos usar uma cuba eletroĺıtica.
Na cuba (Fig.4) teremos uma solução aquosa de um sal (solução condutora) onde colocamos os
eletrodos metálicos. Conectando os eletrodos a uma fonte de alimentação externa e teremos uma
corrente elétrica fluindo pela solução. Nesta condição os contornos equipotencias na solução são
idênticos a desses eletrodos em vácuo, carregados com a mesma carga mas de sinais opostos.
Para a montagem da experiência, siga as etapas:
1 - em duas folhas de papel milimetrado, trace duas retas ortogonais (eixo x e eixo y). Cruze-
os próximo ao meio da folha e defina eixo x como o eixo maior;
2 - use uma das folhas para definir um sistema de coordenadas na cuba. Para isso coloque a
cuba sobre uma dessas folhas com seus lados paralelos aos eixos. A outra folha será usada
para marcar os pontos de contornos equipotenciais, como explicado mais adiante;
3 - coloque os eletrodos no interior da cuba posicionando seu centro sobre eixo x e simétricos
em relação ao eixo y;
4 - despeje o eletrólito ( solução aquosa de sulfato de cobre ) na cuba até uma altura aproxi-
mada de 5mm.
Atenção: a solução de sulfato de cobre é tóxica.
Não ingerir. Ao entrar em contato com a pele lave
imediatamente o local com água corrente.
5 - ligue os eletrodos ao circuito de elimentação mostrado no esquema da Fig.5. Neste esquema
Rs é a resistência elétrica do do arranjo eletrodo-eletrólito-eletrodo.
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6 - coloque no zero os botões de controle da fonte girando-os para a esquerda. Depois ligue
a fonte e coloque no valor ditado pelo professor. Procure deixar o circuito sem corrente
caso não esteja fazendo as medições.
0.3.1. Contornos Equipotenciais. Para determinarmos os contornos equipotenciais vamos
usar um microampeŕımetro que fornece valores positivos e negativos da corrente. Este instrumento
indicará uma corrente nula quando seus dois terminais estiverem sobre uma mesma equipotencial.
Para a medição, supondo a cuba ligada como instruido no item anterior, proceda da seguinte forma:
1 - fixe o suporte de terminal na borda da cuba deixando a extremidade do condutor no
interior da solução;
2 - conecte este terminal a um dos terminais do microampeŕımetro. Esta é a ponta fixa;
3 - no outro terminal do microampeŕımetro conecte um fio que tenha um ponta de prova fina
e longa. Esta será a ponta móvel
Atenção: nunca submergir a ponta móvel na solução em um ponto distante
daquele onde se encontra a ponta fixa. A ddp entre os dois pontos pode ser elevada
e a alta corrente decorrente irá danificar o microampeŕımetro.
4 - coloque a ponta móvel na solução, encostada à ponta fixa. Mova-a e localize os pontos
onde a corrente é nula. Anote o ponto na segunda folha milimetrada. Continue movendo
e localizando outros pontos da equipotencial até poder vizualizar todo seu contorno;
5 - mude a posição da ponta fixa na solução e repita o procedimento para traçar o contorno
equipotencial que passa por este novo ponto.
6 - posicione a ponta fixa em diversos locais da cuba de modo que no final seja possivel
visualizar diversas equipotenciais.
0.3.2. Campo elétrico. Vamos determinar o campo elétrico entre os eletrodos, ao longo da
reta que une os centros dos eletrodos. Para isso vamos realizar medições de V com um volt́ımetro
que forneçe valores positivos e negativos da ddp. Primeiro, ligue a cuba conforme instruções dadas
anteriormente e proceda da seguinte forma:
1 - conecte, com um fio, o terminal COM (ou o polo −) do volt́ımetro em um ponto qualquer
do circuito;
2 - no outro terminal do volt́ımetro conecte um fio que tenha uma ponta de prova fina e longa.
Será a ponta móvel;
3 - com a ponta móvel no interior da solução realize as medições de V ao longo da reta que
une o centro dos eletrodos. Use intervalos regulares de 5 mm.
0.4. Relatório
Usando os pontos identificados como sendo de uma mesma equipotencial, determinados com
o microampeŕımetro, interpole manualmente os pontos e obtenha o esboço dos contornos equipo-
tenciais. Usando estes contornos faça o esboço de algumas linhas de campoelétrico. Com as
ddp’s medidas com o volt́ımetro, determine o campo elétrico ao longo da reta que une o centro dos
eletrodos.