estimacao---propriedades--int-confianca-tamanho-de-amostra

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Material didático – Profa. Dra. Adriana Barbosa Santos 
 
Estimação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inferência estatística: Trata-se do processo de generalização sobre 
parâmetros populacionais a partir da análise dos dados amostrais. Isto é 
conseguido pela construção de modelos que descrevam a origem dos dados, 
com suas respectivas suposições. 
 
Estimador pontual: A combinação dos elementos da amostra, construída 
com a finalidade de representar, ou estimar, um parâmetro de interesse na 
população. Produz uma estimativa única de um parâmetro. Na verdade, um 
estimador de um parâmetro  é uma função das variáveis aleatórias 
constituintes da amostra, isto é, 𝑓(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛). Logo, um estimador 
também é uma variável aleatória. 
 
Estimativas: valores numéricos assumidos pelos estimadores. 
 
Propriedades dos estimadores: 
Vício ou viés: Um estimador 𝜃 é dito não viciado ou não viesado para um 
parâmetro  se 𝐸(𝜃) = 𝜃. 
Consistência: Um estimador 𝜃 é dito consistente se, à medida que o 
tamanho da amostra aumenta, seu valor esperado converge para o 
parâmetro de interesse e sua variância converge para zero. Deste modo, 
deve satisfazer as duas propriedades abaixo: 
i) lim
𝑛→∞
𝐸(𝜃) = 𝜃; 
ii) lim
𝑛→∞
𝑉( (𝜃) = 0. 
Observe que para ser consistente o estimador depende de n, o tamanho da 
amostra, e somente será não viciado se n for grande. Na definição de 
estimador não viciado, a propriedade deve valer para qualquer n. 
Eficiência: Dados dois estimadores 𝜃1 e 𝜃2, não viciados para um 
parâmetro , dizemos que 𝜃1 é mais eficiente do que 𝜃2 se 𝑉(𝜃1) <
𝑉(𝜃2). 
 
Exercícios: 
1. Analise as propriedades dos estimadores �̅� =
∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
, �̂� e 
𝑆2 =
∑ (𝑋𝑖 − �̅�)
2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
 
2. Foram sorteadas 15 famílias com filhos num certo bairro e observado o 
número de crianças de cada família, matriculadas na escola. Os dados 
foram: 1, 1, 2, 0, 2, 0, 2, 3, 4, 1, 1, 2, 0, 0, e 2. Obtenha as estimativas 
correspondentes aos seguintes estimadores da média de crianças na 
escola nesse bairro: 
 
�̂�1 =
(𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 + 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜)
2
 
�̂�2 =
(𝑋1 + 𝑋2)
2
 
�̂�3 = �̅� 
 
Qual deles é o melhor estimador da média e por que? 
3. Seja 𝑀𝑑 a mediana amostral da amostra 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛. Sendo 
𝑉(𝑀𝑑) = (
𝜋
2⁄ )(
𝜎2
𝑛⁄ ) a variância da mediana amostral, qual 
estimador é mais eficiente, a média ou a mediana amostral? 
Intervalo de confiança 
 
Intervalo de confiança para um parâmetro: método de estimação que 
atribui à estimativa pontual do parâmetro informações a respeito de sua 
variabilidade e são obtidos por meio da distribuição amostral de seus 
estimadores. É uma estimativa mais informativa para o parâmetro que inclui 
na estimativa a variabilidade amostral. Não dá só uma estimativa, mas o 
quanto confiável ela é. 
 
Intervalo de confiança para a média populacional - µ: Seja (X1, ...., Xn) 
uma amostra aleatória de tamanho n de uma variável aleatória X. Para 
calcularmos uma estimativa de µ que incorpore uma medida de sua 
precisão, teremos que produzir uma estimativa �̅� que não difira de µ por 
mais que uma quantia  com probabilidade igual a (1-α), ou seja: 
 
𝑃(|�̅� − 𝜇| < 𝜀) = 1 − 𝛼 
 
Como vimos pelo Teorema Limite Central, a média amostral �̅� tem 
distribuição normal com média µ e variância 𝜎2/𝑛, então: 
�̅� − 𝑧
(
𝛼
2
)
𝜎
√𝑛
< 𝜇 < �̅� + 𝑧
(
𝛼
2
)
𝜎
√𝑛
 
Assim, o intervalo de confiança para µ, com coeficiente de confiança 
(1-α), é dado por: 
 
𝐼𝐶𝜇(1 − 𝛼) = (�̅� − 𝑧(𝛼
2
)
𝜎
√𝑛
; �̅� + 𝑧
(
𝛼
2
) 
𝜎
√𝑛
) 
Como �̅� é uma variável aleatória, pelo fato de seus valores variarem de 
acordo com a amostra selecionada, o intervalo de confiança também é 
aleatório. Ao se definir o nível de confiança (1-α), e conhecido o valor de , o 
IC passa a ser um intervalo numérico. 
 
Interpretação: Se obtivermos várias amostras de mesmo tamanho e para 
cada uma delas calcularmos os intervalos de confiança com nível (1-α), 
esperamos que a proporção de intervalos que contenham o valor de µ seja 
igual a (1-α). 
O nível de confiança (1-α) é a taxa de sucesso do método de estimação. 
 
Intervalo de confiança para a proporção populacional - p: 
Seja (X1, ...., Xn) uma amostra aleatória de tamanho n de uma variável 
aleatória X que assume valores 0 ou 1. Uma estimativa de p que incorpore 
uma medida de sua precisão de modo que a estimativa �̂� que não difira de p 
por mais que uma quantia  com probabilidade igual a (1-α) , ou seja: 
𝑃(|�̂� − 𝑝| < 𝜀) = 1 − 𝛼 
Como vimos pelo Teorema Limite Central, a média amostral �̅� tem 
distribuição normal com média µ e variância 𝜎2/𝑛, então: 
�̂� − 𝑧𝛼/2√
𝑝𝑞
𝑛
< 𝜇 < �̂� + 𝑧𝛼/2√
𝑝𝑞
𝑛
 
 
Assim, o intervalo de confiança para p, com coeficiente de confiança 
(1-α), é dado por: 
 
𝐼𝐶𝑝(1 − 𝛼) = (�̂� − 𝑧𝛼
2
√
�̂��̂�
𝑛
; �̂� + 𝑧𝛼
2
√
�̂��̂�
𝑛
) (otimista) 
 
𝐼𝐶𝑝(1 − 𝛼) = (�̂� − 𝑧𝛼
2
√
1
4𝑛
; �̂� + 𝑧𝛼
2
√
1
4𝑛
) (conservativo) 
 
Margem de erro: quantia somada e subtraída da estimativa pontual do 
parâmetro que mostra o grau de precisão que acreditamos que nossa 
conjectura tenha baseado na variabilidade da estimativa. Quanto menor, 
mais precisão terá o intervalo de confiança 
 
Nível de confiança: A escolha do nível de confiança, quase sempre 90% ou 
mais, dependerá de quanto seguro o pesquisador deseja estar de suas 
conclusões. Não temos certeza porque não conhecemos o parâmetro. 
Distribuição da variável de 
interesse na população 
Teorema do Limite 
Central 
População Amostras 
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O coeficiente de confiança (1 − 𝛼) é a probabilidade de que um 
intervalo de confiança selecionado aleatoriamente inclua o parâmetro 
da população. Formalmente, queremos informar se há um percentual de 
90%, 95% ou 99% das amostras deste tamanho produzirem intervalos de 
confiança que cobrem o verdadeiro parâmetro. Neste caso, informamos o 
nível ou grau de confiança 
Em termos práticos nunca teremos essa certeza, mas sendo 𝛼 = 0,05, o 
Teorema do Limite Central assegura que somente 5%, em média, não 
alcançam o objetivo. Por isso, dizemos que estamos 95% confiantes na 
estimativa produzida pelo intervalo. 
 
 
Determinação de tamanho de amostra 
 
O intervalo de confiança para a média de uma população com distribuição 
Normal terá uma margem de erro especificada 𝜖 quando o tamanho da 
amostra for: 
𝑛 = 𝑧
(
𝛼
2
)
2 𝜎2/𝜖2 
 
 onde z dependerá do grau de confiança desejado. 
 
Obs.: 1. A margem de erro deve ser fixada antes do cálculo de n, além disso, 
deve-se ter algum conhecimento sobre dispersão dos dados (). Este 
conhecimento pode provir de estudo piloto ou de algum estudo anterior já 
realizado envolvendo esta população. 
2. A utilização dessa fórmula pressupõe que a população seja infinita. No 
caso de populações finitas deve-se usar: 
 
𝑛 =
𝑁𝜎2𝑧
(
𝛼
2
)
2
(𝑁 − 1)𝜖2 + 𝜎2𝑧
(
𝛼
2
)
2 
 
Tamanho de n para estimar a proporção p: 
 
𝑛 = 𝑧
(
𝛼
2
)
2 �̂��̂�/𝜖2 
 
𝑛 =
𝑁�̂��̂�𝑧
(
𝛼
2
)
2
(𝑁 − 1)𝜖2 + �̂��̂�𝑧
(
𝛼
2
)
2
 
 
TEOREMA: 
Seja (X1, ...., Xn) uma amostra aleatória de tamanho n de uma variável 
aleatória X com média µ e variância 2, √𝑛(�̅� − 𝜇)/𝑠 tem distribuição t de 
Student com n-1 graus de liberdade. Então, o intervalo de confiança para a 
média com desvio padrão  desconhecido é dado por: 
 
𝐼𝐶𝜇(1 − 𝛼) = (�̅� − 𝑡𝑛−1(𝛼
2
)
𝑠
√𝑛
; �̅� + 𝑡
𝑛−1(
𝛼
2
) 
𝑠
√𝑛
) 
 
Exercícios 
1. Uma amostra de trinta dias do número de ocorrências policiais em um 
certo bairro de São Paulo, apresentou os seguintes resultados: 7, 11, 8, 
9, 10, 14, 6, 8, 8, 7, 8, 10, 10, 14, 12, 9, 11, 13, 13, 8, 6, 8, 13, 10, 14, 5, 
14, 10, 13, 12. 
a) Fazendo as suposições devidas, construa um intervalo de confiança 
para a proporção de dias violentos (com pelo menos 12 ocorrências). 
Use os dois enfoques e a confiança de 88%. b) Em um ano (360 dias) e 
com a mesma confiança de 88%, qualseria a estimativa do número de 
dias violentos nesse bairro? 
2. O secretário de habitação de um governo estadual deseja estudar 
várias características correspondentes a domicílios unifamiliares na 
cidade. Uma amostra aleatória de 70 casas revela o seguinte: 
- Área aquecida da casa (em metros quadrados): média=1759; desvio 
padrão=380 
- 42 casas têm ar condicionado 
(a) desenvolva uma estimativa, com intervalo de confiança de 95%, da 
população correspondente á área aquecida média da casa 
(b) desenvolva uma estimativa, com intervalo de confiança de 95%, da 
população da proporção de casas que têm ar-condicionado. 
3. Um aluno lê que um intervalo de confiança de 95% para a média do 
escore quantitativo da NAEP de homens na faixa etária de 21 a 25 anos 
é de 267,8 a 276,2. Solicitado a explicar o significado desse intervalo, o 
aluno diz: “95% de todos os homens jovens têm escore entre 267,8 e 
276,2”. O aluno está correto? Justifique sua resposta. 
4. Para avaliar a precisão de uma balança de laboratório, pesa-se 
repetidas vezes um objeto padrão de peso conhecido igual a 10 
gramas. As leituras da balança têm distribuição normal com média 
desconhecida (essa média é 10 gramas, se a balança é equilibrada). 
Sabe-se que o desvio padrão das leituras é 0,0002 grama. Pesa-se o 
objeto 5 vezes e o resultado médio é 10,0023 gramas. Estabeleça um 
intervalo de 95% de confiança para a média de repetidas pesagens do 
objeto, sabendo-se que a confiança nos diz com que freqüência o 
nosso método irá produzir um intervalo que contém o verdadeiro 
parâmetro populacional, se usássemos o método um número muito 
grande de vezes. Quantas observações ou medidas devem entrar no 
cálculo da média, a fim de que se obtenha uma margem de 0,0001 de 
erro com 95% de confiança? 
5. Suponha que estejamos interessados em estimar a porcentagem de 
consumidores de certo produto. Se a amostra de 300 forneceu 100 
indivíduos que consomem o dado produto, determine: a) o intervalo de 
confiança de p, a proporção de pessoas que consomem o produto, com 
coeficiente de 95% (interprete o resultado). b) o tamanho da amostra 
para que o erro da estimativa não exceda a 2% com probabilidade de 
95% (interprete o resultado). 
6. Numa pesquisa sobre a opinião dos moradores de duas cidades, A e B, 
com relação a um determinado projeto, obteve-se a tabela abaixo. 
Utilize o Int. confiança para avaliar a diferença entre os percentuais de 
favoráveis nas duas cidades. 
Cidade A B 
Num. entrevistados 400 600 
Num. favoráveis 180 350 
7. Um estudo de saúde envolve 1000 mortes selecionadas 
aleatoriamente, dentre as quais 131 causadas por intoxicação 
alimentícia. a) com os dados amostrais, construa um int. de confiança 
de 99% para a proporção de mortes causadas por intoxicação. b) 
utilizando os dados amostrais como estudo piloto, determine o tamanho 
da amostra necessário para estimar a proporção de mortes por 
intoxicação em uma cidade. Admita um nível de confiança de 95%, em 
que o erro da estimativa não supere 0,01. c) Sabe-se que a cidade tem 
cerca de 250.000 habitantes. Você acha que esse dado poderia ser 
utilizado para melhorar a estimativa do tamanho da amostra? Como?