2021-dis-garmendes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA E AMBIENTAL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
GUILHERME ANDERSON RODRIGUES MENDES
OTIMIZAÇÃO E PREVISÃO DE PARÂMETROS PARA DEFINIÇÃO DO
COMPORTAMENTO CISALHANTE DE DESCONTINUIDADES ROCHOSAS POR
MEIO DE MÉTODOS META-HEURÍSTICOS E REDES NEURAIS ARTIFICIAIS
FORTALEZA
2021
GUILHERME ANDERSON RODRIGUES MENDES
OTIMIZAÇÃO E PREVISÃO DE PARÂMETROS PARA DEFINIÇÃO DO
COMPORTAMENTO CISALHANTE DE DESCONTINUIDADES ROCHOSAS POR MEIO
DE MÉTODOS META-HEURÍSTICOS E REDES NEURAIS ARTIFICIAIS
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Engenharia Civil do Centro
de Tecnologia da Universidade Federal do
Ceará, como requisito parcial à obtenção do
título de mestre em Engenharia Civil. Área de
Concentração: Geotecnia
Orientador: Prof. Dr. Silvrano Adonias
Dantas Neto
FORTALEZA
2021
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação 
Universidade Federal do Ceará
Biblioteca Universitária
Gerada automaticamente pelo módulo Catalog, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a)
M491o Mendes, Guilherme Anderson Rodrigues.
 Otimização e previsão de parâmetros para definição do comportamento cisalhante de descontinuidades
rochosas por meio de métodos meta-heurísticos e redes neurais artificiais / Guilherme Anderson
Rodrigues Mendes. – 2021.
 119 f. : il. color.
 Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Tecnologia, Programa de Pós-
Graduação em Engenharia Civil: Geotecnia, Fortaleza, 2021.
 Orientação: Prof. Dr. Silvrano Adonias Dantas Neto.
 1. Algoritmo Genético. 2. Funções de Base Radial. 3. Descontinuidades Rochosas. 4. Resistência ao
Cisalhamento. 5. Perceptrons. I. Título.
 CDD 624.15
GUILHERME ANDERSON RODRIGUES MENDES
OTIMIZAÇÃO E PREVISÃO DE PARÂMETROS PARA DEFINIÇÃO DO
COMPORTAMENTO CISALHANTE DE DESCONTINUIDADES ROCHOSAS POR MEIO
DE MÉTODOS META-HEURÍSTICOS E REDES NEURAIS ARTIFICIAIS
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Engenharia Civil do Centro
de Tecnologia da Universidade Federal do
Ceará, como requisito parcial à obtenção do
título de mestre em Engenharia Civil. Área de
Concentração: Geotecnia
Aprovada em: 30/09/2021
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Silvrano Adonias Dantas Neto (Orientador)
Universidade Federal do Ceará (UFC)
Prof. Dr. Aldo Durand Farfán
Universidade Estadual do Norte Fluminense (UENF)
Prof. Dr. Francisco Chagas da Silva Filho
Universidade Federal do Ceará (UFC)
Dedico este trabalho a Deus, autor de meu des-
tino, a minha mãe Ana Maria Rodrigues de An-
drade e ao meu irmão Matheus Rodrigues Men-
des que, com muito amor e apoio, não mediram
esforços para que eu realizasse meus sonhos.
AGRADECIMENTOS
A Deus, em primeiro lugar, pela bênção da vida, por renovar minhas forças e
esperanças cada dia.
A minha mãe, Ana Maria Rodrigues de Andrade, e a meu irmão e companheiro de
Engenharia, Matheus Rodrigues Mendes, pelo carinho, atenção e empenho dedicado em meu
aprendizado e formação.
Ao Prof. Dr. Silvrano Adonias Dantas Neto, de quem tive a honra de ser orientando,
por toda a dedicação e cooperação ao longo deste projeto, e pelo empenho em transmitir seu
conhecimento e experiência.
Aos demais professores do Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental da
Universidade Federal do Ceará, por contribuírem para minha formação acadêmica e profissional.
Aos colegas e amigos do Programa de Pós-Graduação em Geotecnia, pela convivên-
cia, troca de conhecimentos e companheirismo.
O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de
Pessoal de Nível Superior – Brasil (CAPES) – Código de Financiamento 001.
“A oportunidade favorece a mente preparada.”
(Louis Pasteur)
RESUMO
A utilização de métodos de ensaio que considerem de forma mais realista as condições de con-
torno atuantes permitiu o desenvolvimento de formulações analíticas que levem em consideração
os principais fatores que governam o comportamento cisalhante das descontinuidades presentes
nos maciços rochosos, podendo-se citar como exemplo o modelo analítico de Oliveira e Indra-
ratna (2010). Neste caso em particular, a aplicação da formulação analítica se torna dificultada
em virtude da necessidade de determinação de constantes necessárias ao ajuste dos resultados do
modelo aos dados experimentais, uma vez que não há uma metodologia de obtenção bem clara e
estabelecida para tais constantes. Assim sendo, este trabalho tem por objetivo apresentar uma
metodologia de otimização e previsão dos parâmetros de ajuste do modelo analítico proposto
por Oliveira e Indraratna (2010) empregando-se métodos meta-heurísticos (algoritmos genéticos
e PSO) associados a funções de base radial (RBF) para determinar os parâmetros de ajuste do
modelo analítico a partir de dados de ensaios de cisalhamento direto em grande escala, e posteri-
ormente aplicando-se redes neurais do tipo perceptron para o estabelecimento de relações entre
os parâmetros de ajuste e as características das descontinuidades rochosas. A partir da definição
do mecanismo de cisalhamento idealizado e das variáveis que caracterizam as descontinuidades
rochosas, estabeleceu-se uma base de dados experimentais formada a partir dos resultados de
110 ensaios de cisalhamento direto em grande escala realizados em descontinuidades com e sem
preenchimento e ensaiadas sob condições CNL e CNS. Em razão das particularidades do modelo
analítico de Oliveira e Indraratna (2010), o qual pressupõe a determinação do ângulo de dilatân-
cia, funções de base radial foram aplicadas na representação das curvas deslocamento cisalhante
versus dilatância. Através da implementação computacional de um algoritmo de otimização em
software de código aberto, foram determinadas as constantes de ajustes do modelo analítico a
partir de uma combinação apropriada entre variáveis que garantiram o mínimo erro de ajuste
aos dados experimentais. Posteriormente, desenvolveram-se modelos de previsão baseados nos
valores ótimos encontrados utilizando redes neurais artificiais do tipo perceptron, os quais foram
definidas em função da rigidez normal de contorno, da tensão normal inicial, do coeficiente de
rugosidade, da resistência à compressão simples da rocha intacta, do ângulo de atrito básico, da
relação entre a espessura do preenchimento e a altura da aspereza e do ângulo de atrito interno
do material de preenchimento. Os resultados obtidos mostraram que a utilização dos métodos
meta-heurísticos e das redes neurais artificiais permitiram nos testes realizados uma interpolação
satisfatória dos dados experimentais. Além disso, a aplicação da metodologia desenvolvida neste
trabalho possibilitou a obtenção de soluções geotécnicas - a partir de análises de equilíbrio limite
- compatíveis com outros modelos matemáticos disponíveis. Isto mostra que o estabelecimento
de um modelo de previsão desenvolvido com base em dados de entrada obtidos a partir de
um processo de otimização robusto permite a obtenção das constantes do modelo analítico de
forma simples, contribuindo para sua implementação e utilização na representação satisfatória
do comportamento cisalhante das descontinuidades rochosas.
Palavras-chave: Algoritmo Genético. PSO. Funções de Base Radial. Descontinuidades Rocho-
sas. Resistência ao Cisalhamento. Perceptrons.
ABSTRACT
The use of test methods that more realistically address the acting boundary conditions has allowed
development of analytical formulations that take into consideration the main factors governing
shear behavior of the discontinuities in rock masses. An example worth mentioning could
be the analytical model of Oliveira and Indraratna (2010). In this particular case, application
of the analytical formulation is hindered because it is necessary to determine constants whenadjusting the results of the model to the experimental data, since there is no very clear obtainment
methodology established for such constants. Therefore, the purpose of this paper is to address
parameter optimization and prediction methodology to adjust an analytical model proposed by
Oliveira and Indraratna (2010). To do so, metaheuristic methods (genetic algorithms and particle
swarm optimization-PSO) associated with radial basis functions (RBF) are used to determine
the adjustment parameters of the analytical model based on large-scale direct shear test data,
and next by applying perceptron neural networks to establish relations between the adjustment
parameters and characteristics of the rock discontinuities. From the definition of the idealized
shear mechanism and the variables that characterize the rock discontinuities, an experimental
database was established based on the results of 110 large-scale direct shear tests carried out in
discontinuities with and without filling and tested under CNL and CNS conditions. Due to the
particularities of the analytical model of Oliveira and Indraratna (2010), which presupposes the
determination of the dilation angle, radial basis functions were applied in the representation of
the shear displacement versus dilation curves. Through the computational implementation of
an optimization algorithm in open source software, the adjustment constants of the analytical
model were determined from an appropriate combination of variables that ensured the minimum
adjustment error to the experimental data. Subsequently, prediction models were developed
based on the optimal values found using perceptron-type artificial neural networks, which were
defined as a function of the normal boundary stiffness, the initial normal stress, the roughness
coefficient, the compressive strength of the intact rock, the angle of basic friction, the relationship
between the thickness of the fill and the height of the roughness, and the internal friction angle
of the fill material. The results showed that the use of metaheuristic methods and artificial neural
networks in the tests permitted a successful interpolation of experimental data. Furthermore, the
application of the methodology developed in this work made it possible to obtain geotechnical
solutions - from equilibrium analysis - compatible with other available mathematical models.
This demonstrates that setting a prediction model based on input data obtained from a robust
optimization process allows a simple form for obtaining analytical model constants, facilitating
their implementation and use in the satisfactory representation of the shear behavior of rock
discontinuities.
Keywords: Genetic Algorithm. PSO. Radial Basis Functions. Rock Discontinuities. Shear
Strength. Perceptron.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Critério de falha bilinear de Patton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Figura 2 – Modelo adimensional para a relação tensão de cisalhamento versus desloca-
mento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Figura 3 – Procedimento de cálculo para modelar a dilatância sob condições CNS. . . . 28
Figura 4 – Variação da taxa dv/a em função da tensão normal. . . . . . . . . . . . . . 30
Figura 5 – Variação da taxa de dilatância com o deslocamento cisalhante. . . . . . . . 34
Figura 6 – Modelo empírico proposto para a resistência ao cisalhamento de pico. . . . 36
Figura 7 – Modelo de resistência para descontinuidades preenchidas. . . . . . . . . . . 37
Figura 8 – Formulação do modelo hiperbólico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Figura 9 – Modelo de resistência ao cisalhamento para descontinuidades preenchidas. . 41
Figura 10 – Mecanismo de ruptura do preenchimento para pequenas espessuras. . . . . . 43
Figura 11 – Crossover por combinação linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 12 – Crossover pela metodologia clássica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Figura 13 – Fluxograma do Algoritmo Genético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 14 – Diagrama esquemático do método PSO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Figura 15 – Topologias PSO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Figura 16 – Tratamento de restrições laterais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Figura 17 – Fluxograma do PSO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Figura 18 – Representação das etapas de desenvolvimento do modelo. . . . . . . . . . . 54
Figura 19 – Mecanismo de ruptura do preenchimento para pequenas espessuras. . . . . . 55
Figura 20 – Parâmetro σ (função gaussiana). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Figura 21 – Representação (a) de um neurônio artificial e (b) de uma rede neural. . . . . 64
Figura 22 – Execução do processo de otimização - BIOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Figura 23 – Processo de convergência da função objetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Figura 24 – Histograma dos valores de c1, c2 e c3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Figura 25 – Histograma dos valores de NRMSE (AG). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Figura 26 – Histograma dos valores de NRMSE (PSO). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Figura 27 – Dilatância vs. Deslocamento Cisalhante: (a) sem e (b) com preenchimento.
Tensão de Cisalhamento vs. Deslocamento Cisalhante: (c) sem e (d) com
preenchimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Figura 28 – Avaliação do número de neurônios do modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Figura 29 – Avaliação do número de iterações do modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Figura 30 – Arquitetura dos modelos de RNA A:7-5-1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Figura 31 – Tensão de Cisalhamento vs. Deslocamento Cisalhante: (a) amostra 1, (b)
amostra 2, (c) amostra 3 e (d) amostra 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Figura 32 – Talude rochoso reforçado com grampos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Figura 33 – Resultados de ensaio (descontinuidade sem preenchimento). . . . . . . . . . 80
Figura 34 – Fatores de segurança em função do deslocamento. . . . . . . . . . . . . . . 81
Figura 35 – Resultados de ensaio (descontinuidade com preenchimento). . . . . . . . . 82
Figura 36 – Fatores de segurança em função do deslocamento. . . . . . . . . . . . . . . 83
Figura 37 – Estágios de carga para estabilidade de blocos de rocha. . . . . . . . . . . . 84
Figura 38 – Forças atuando no prisma: (a) estado inicial (elástico) e (b) estado de equilí-
brio limite após as cargas externas e relaxação da descontinuidade. . . . . . 85
Figura 39 – Fatores de segurança do bloco em função do deslocamento vertical do bloco. 88
Figura 40 – Fatores de segurança do bloco em função da espessura do preenchimento. . 88
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Constantes empíricas do modelo proposto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Tabela 2 – Valores para os coeficientes x e y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Tabela 3 – Base de dados utilizada no desenvolvimento do modelo. . . . . . . . . . . . 58
Tabela 4 – Exemplos de funções de base radial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Tabela 5 – Parâmetros de entrada (Algoritmo Genético). . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Tabela 6 – Parâmetros de entrada (PSO). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Tabela 7 – Valores usados para a normalização das variáveis de entrada e saída. . . . . 66
Tabela 8 – Coeficientes de ajuste das RBF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Tabela 9 – Pesos sinápticos e bias dos neurônios da camada intermediária (parâmetro
c1) – Wi j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Tabela 10 – Pesos sinápticos e bias dos neurônios da camada de saída (parâmetro c1) – W Tj1. 76
Tabela 11 – Pesos sinápticos e bias dos neurônios da camada intermediária (parâmetroc2) – Wi j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Tabela 12 – Pesos sinápticos e bias dos neurônios da camada de saída (parâmetro c2) – W Tj1. 76
Tabela 13 – Pesos sinápticos e bias dos neurônios da camada intermediária (parâmetro
c3) – Wi j. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Tabela 14 – Pesos sinápticos e bias dos neurônios da camada de saída (parâmetro c3) – W Tj1. 76
Tabela 15 – Base de dados utilizada na validação do modelo. . . . . . . . . . . . . . . . 77
Tabela 16 – Parâmetros do modelo obtidos com os métodos PSO e AG. . . . . . . . . . 77
Tabela 17 – Parâmetros do modelo obtidos com o modelo neuronal (RNA). . . . . . . . 77
Tabela 18 – Parâmetros do modelo proposto (descontinuidade sem preenchimento). . . . 81
Tabela 19 – Parâmetros do modelo proposto (descontinuidade com preenchimento). . . . 82
Tabela 20 – Parâmetros do problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
LISTA DE SÍMBOLOS
τ Tensão de cisalhamento atuante
σn Tensão normal atuante para um dado deslocamento cisalhante us
σn0 Tensão normal inicial atuante
σc Resistência à compressão simples da rocha intacta
φb Ângulo de atrito básico
φr Ângulo de atrito residual – interface preenchimento/rocha
φpeak Ângulo de atrito de pico do material de preenchimento
φ f ill Ângulo de atrito interno do material de preenchimento
i Ângulo de dilatância para um dado deslocamento cisalhante us
i0 Ângulo inicial da aspereza
kn Rigidez normal de contorno
un Dilatância
us Deslocamento cisalhante
upeak Deslocamento cisalhante correspondente à tensão de pico
η Fator de compressão modificado
JRC Coeficiente de rugosidade da descontinuidade
c1 Constante empírica que controla a taxa de compressão do preenchimento
c2 Constante empírica que controla a degradação da aspereza
c3 Constante de ajuste do modelo
a Amplitude da aspereza
t Espessura do preenchimento
a0, an e bn Coeficientes da série de Fourier
T Período de Fourier
Nh Número de harmônicos da série de Fourier
L f Fator sigma de Lanczos
Φ Função de base radial
βi Constantes de ajuste das funções de base radial
NΦ Número de funções de base radial
usi Pontos amostrados (centros das funções de base radial)
σ Parâmetros de ajuste das funções de base radial
N Número de pontos amostrados ao longo de um ensaio de cisalhamento
τ̂ Resistência ao cisalhamento estimada pelo modelo analítico
τi Resistência ao cisalhamento obtida de forma experimental
pi Probabilidade do indivíduo i ser selecionado para cruzamento
Nind Número de indivíduos pertencentes à população
xg Melhor posição obtida pelas partículas vizinhas
xp Melhor posição obtida até a presente iteração pela partícula
x(i) Vetor posição para a partícula
v(i) Vetor velocidade para a partícula
α1 Parâmetro cognitivo
α2 Parâmetro social
ω Função de inércia
r, r1 e r2 Números aleatórios entre 0 e 1
X Vetor de variáveis de entrada do modelo neuronal
W Matriz de pesos sinápticos do modelo neuronal
y1 Valor do neurônio da camada de saída
b1 Bias do neurônio da camada de saída
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Estrutura da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 COMPORTAMENTO CISALHANTE DE DESCONTINUIDADES . . . 23
2.1 Modelos do comportamento cisalhante de descontinuidades sem preen-
chimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1 Patton et al. (1966) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.2 Ladanyi e Archambault (1970) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.3 Propostas de Barton (1973, 1977, 1982) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.4 Skinas et al. (1990) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.5 Seidel e Haberfield (1995) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.6 Indraratna et al. (1998) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.7 Indraratna e Haque (2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.8 Indraratna et al. (2015) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Modelos do comportamento cisalhante de descontinuidades com preen-
chimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Papaliangas et al. (1990) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2 Phien-Wej et al. (1990) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.3 Toledo et al. (1993) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.4 Indraratna et al. (1999) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.5 Fishman (2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.6 Indraratna et al. (2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.7 Indraratna et al. (2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.8 Shrivastava e Rao (2018) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Conclusões Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 MÉTODOS META-HEURÍSTICOS PARA OTIMIZAÇÃO . . . . . . . 46
3.1 Aspectos Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Algoritmo Genético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Otimização por Nuvem de Partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 Conclusões Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 DESENVOLVIMENTO DO MODELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2 Definição do mecanismo de cisalhamento das descontinuidades rochosas 55
4.3 Coleta de Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4 Ajuste das curvas de dilatância utilizando Funções de Base Radial . . . 59
4.5 Otimização por Métodos Meta-heurísticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6 Desenvolvimento de modelo neuronal para a previsão dos parâmetros
do modelo de Oliveira e Indraratna (2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5 RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1 Obtenção dos parâmetros via métodos de otimização meta-heurísticos . 67
5.2 Modelo neuronal de previsão dos parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.3 Validação dos modelos neuronais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.4 Análises de Equilíbrio Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4.1 Problema de Estabilidade de Taludes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4.2 Problema de Estabilidade de Blocos em Túneis . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS . . . 90
6.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.2 Sugestões para Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
APÊNDICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
APÊNDICE A – Arquivos de Entrada BIOS . . . . . . . . . . . . . . . . 98
APÊNDICE B – Código-fonte BIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
APÊNDICE C – Código-fonte Rede Neural Artificial . . . . . . . . . . . 114
APÊNDICE D – Valores sugeridos para as constantes do modelo de Oli-
veira e Indraratna (2010) . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
19
1 INTRODUÇÃO
Dada a sua importância no comportamento mecânico dos maciços rochosos, diversos
modelos têm sido desenvolvidos ao longo do tempo para descrever o comportamento cisalhante
das descontinuidades rochosas. Nestes modelos, em geral, busca-se representar o comportamento
cisalhante das descontinuidades rochosas a partir de parâmetros como: presença, espessura e
resistênciaao cisalhamento do material de preenchimento; tensão normal inicial atuante no
plano da descontinuidade; rigidez normal de contorno; rugosidade da descontinuidade; e as
características de resistência e deformabilidade da rocha intacta (PATTON et al., 1966; JAEGER,
1971; BARTON, 1982; LADANYI; ARCHAMBAULT, 1977; PAPALIANGAS et al., 1990;
PHIEN-WEJ et al., 1990; JOHNSTON; LAM, 1989; SKINAS et al., 1990; INDRARATNA; HA-
QUE, 2000; INDRARATNA et al., 2010a; OLIVEIRA; INDRARATNA, 2010; INDRARATNA
et al., 2015; SHRIVASTAVA; RAO, 2018).
Um dos primeiros modelos clássicos desenvolvido para representar o comportamento
cisalhante de descontinuidades rochosas foi proposto por Patton et al. (1966). Baseado no critério
de Coulomb, Patton et al. (1966) propôs um modelo de falha bilinear para representar a tensão
cisalhante de pico em descontinuidades não preenchidas baseado em resultados de ensaios de
cisalhamento direto realizados sobre condições de carregamento normal constante (CNL), para
o qual o mecanismo de ruptura da descontinuidade rochosa se dava por deslizamento entre
os planos das asperezas (rocha intacta) e cisalhamento das asperezas que compõem o perfil
de rugosidade da descontinuidade rochosa. Embora apresentasse certas limitações, o modelo
de Patton et al. (1966) teve grande importância histórica, sobretudo por servir de base para o
desenvolvimento de diversas outras formulações.
Barton (1973), baseado no modelo de Patton et al. (1966), considerou que a resis-
tência ao cisalhamento de pico de uma descontinuidade rochosa sem preenchimento é também
função do atrito mobilizado durante o processo de cisalhamento devido ao cisalhamento entre
as faces das asperezas – representado pelo ângulo de atrito básico (φb) –, e pela rugosidade da
descontinuidade representada aqui pelo coeficiente de rugosidade da junta (JRC). O modelo
proposto por Barton (1973) também levou em consideração a influência da degradação das
asperezas em função da resistência à compressão simples da rocha intacta (σc) e da tensão
normal atuante em condições CNL.
Posteriormente, Barton e Choubey (1977) sugeriram a alteração do modelo de Barton
(1973) com o intuito de possibilitar a aplicação do modelo para casos mais realistas, levando
20
em consideração o nível de alteração da rocha que interfere diretamente na sua resistência
ao cisalhamento. Para isso, substituiu-se o valor do ângulo de atrito básico (φb) pelo ângulo
de atrito residual (φr), e a resistência à compressão simples da rocha intacta pelo coeficiente
de resistência da junta (JCS), o qual representa uma medida mais realista da resistência à
degradação das asperezas, uma vez que leva em consideração a ação das intempéries atuantes
na descontinuidade rochosa. Em seguida, Barton (1982) modificou a proposta de Barton e
Choubey (1977), introduzindo os conceitos de resistência ao cisalhamento mobilizada (τmob) e
do coeficiente de rugosidade mobilizada da descontinuidade (JRCmob), permitindo assim que tal
modelo possa ser aplicado para a previsão da tensão cisalhante levando-se em conta a diminuição
da rugosidade das descontinuidades devido à degradação que ocorre durante o processo de
cisalhamento.
Diante da necessidade de modelos que representassem o comportamento cisalhante
de descontinuidades sob condições de contorno mais realistas – uma vez que modelos tradicionais
como os de Patton et al. (1966), Barton (1973), Barton e Choubey (1977), Barton (1982), entre
outros, foram desenvolvidos apenas para a previsão da tensão de pico em descontinuidades
rochosas sem preenchimento sob condições CNL – vários estudos foram desenvolvidos com
o objetivo de avaliar a influência de parâmetros que também influenciam no comportamento
cisalhante das descontinuidades rochosas, sendo um dos primeiros a ser avaliado a rigidez normal
de contorno (SKINAS et al., 1990; HEUZE; BARBOUR, 1981; INDRARATNA et al., 1998;
INDRARATNA et al., 1999). Entre estes estudos, pode-se citar a proposta de Indraratna e Haque
(2000), a qual utilizou-se de séries de Fourier para representar a relação deslocamento cisalhante
versus dilatância em descontinuidades rochosas, permitindo a previsão do comportamento
cisalhante das descontinuidades rochosas não preenchidas tanto em condições CNL, como
em condições de rigidez normal constante (CNS). Posteriormente, Indraratna et al. (2015)
propuseram um modelo do comportamento cisalhante de descontinuidades rochosas naturais sob
condições CNS, desta vez com a consideração do efeito de degradação das asperezas.
Além da influência da rigidez de contorno, outros estudos buscaram também avaliar o
comportamento cisalhante de descontinuidades rochosas levando-se em conta o efeito da presença
de material de preenchimento entre as paredes rochosas (LADANYI; ARCHAMBAULT, 1977;
TOLEDO et al., 1993; PAPALIANGAS et al., 1993; LAMA, 1978; PHIEN-WEJ et al., 1990;
INDRARATNA et al., 1999; INDRARATNA et al., 2010a).
Entre as formulações analíticas existentes para a definição do comportamento ci-
21
salhante das descontinuidades rochosas, utilizou-se neste trabalho a proposta de Oliveira e
Indraratna (2010), desenvolvida com o intuito de representar a influência tanto do material de
preenchimento quanto da rigidez normal de contorno no comportamento cisalhante de descon-
tinuidades rochosas, assumindo-se, para isso, que o modelo se comporta de acordo com um
mecanismo de cisalhamento descrito por Toledo et al. (1993). Embora a proposta de Oliveira e
Indraratna (2010) considere os principais fatores que governam o comportamento cisalhante das
descontinuidades mencionados anteriormente, a dificuldade na determinação das constantes de
ajuste do modelo aos dados experimentais torna-se o principal obstáculo para a sua aplicação
prática, em virtude do extensivo trabalho laboratorial e modelagem matemática necessários.
Diante deste cenário, a aplicação de métodos meta-heurísticos de otimização e a
utilização das redes neurais artificiais apresentam-se como alternativas de modelagem práticas
e viáveis, especialmente por sua capacidade de resolver problemas complexos e multidimen-
sionais, podendo-se citar aplicações em várias áreas da Mecânica das Rochas como exemplo:
a determinação do perfil de rugosidade de rochas (BABANOURI et al., 2013); definição de
parâmetros geomecânicos e geotécnicos (MAJDI; BEIKI, 2019; SONG et al., 2015); análises
da resistência à compressão uniaxial de rochas (MOHAMAD et al., 2018; MOMENI et al.,
2015); tratamento estatístico em descontinuidades rochosas (SONG et al., 2017); obtenção de
informações em análises de estabilidade de taludes rochosas (KALATEHJARI et al., 2014);
avaliação da capacidade de carga de estacas (ARMAGHANI et al., 2017); escavações de túneis
(XING et al., 2010; ANNAN; ZHIWU, 2011; YAGIZ; KARAHAN, 2015; LI et al., 2017);
previsão da resistência ao cisalhamento em maciços rochosos (GAO et al., 2020); previsão da
resistência ao cisalhamento em descontinuidades rochosas (Dantas Neto et al., 2017; LEITE;
Dantas Neto, 2020); entre outras aplicações.
1.1 Objetivos
Este trabalho tem por objetivo geral aplicar métodos meta-heurísticos e redes neurais
artificiais no estudo do comportamento cisalhante de descontinuidades rochosas.
Em paralelo, tem-se os seguintes objetivos específicos definidos:
• Apresentar uma metodologia de otimização e comparar a aplicação de diferentes métodos
meta-heurísticos (algoritmo genético e PSO) na determinação dos valores ótimos dos
parâmetros de ajuste do modelo analítico proposto por Oliveira e Indraratna (2010),
segundo um indicador padrão de performance;
22
• Desenvolver e avaliar a capacidade de um modelo de previsão utilizando redes neurais
artificiais do tipo perceptron a partir do conhecimento das variáveis governantes do
comportamento cisalhante das descontinuidades rochosas;
• Avaliar a utilização de funções de base radial na determinação da relação deslocamento
cisalhante versus dilatância;
• Aplicar a metodologia desenvolvidana obtenção de soluções geotécnicas a partir de
análises de equilíbrio limite.
1.2 Estrutura da Dissertação
Esta dissertação é composta por seis capítulos. No primeiro deles, uma introdução
geral ao tema é apresentada. Em seguida, no segundo capítulo, são destacados os principais
modelos do comportamento cisalhante de descontinuidades, desenvolvidos ao longo de décadas
de estudo por diferentes pesquisadores. Neste capítulo, tais modelos são apresentados segundo a
ordem cronológica que foram desenvolvidos, separados em duas seções principais de acordo
com a consideração ou não de material de preenchimento em suas formulações.
No terceiro capítulo, aspectos gerais acerca dos algoritmos meta-heurísticos de
otimização são introduzidos. Dentre tais estratégias, destacam-se o Algoritmo Genético (Genetic
Algorithm - GA) e a Otimização por Nuvem de Partículas (Particle Swarm Optimization - PSO).
No quarto capítulo, apresenta-se o desenvolvimento do modelo proposto, de acordo
com as etapas de definição do mecanismo de cisalhamento; coleta de dados; ajuste das curvas de
dilatância; otimização; e treinamento, teste e validação do modelo de previsão.
No quinto capítulo, são apresentados os resultados obtidos. Neste capítulo, além
dos aspectos referentes ao conjunto de dados experimentais coletados, discute-se a utilização
da metodologia desenvolvida para a obtenção de soluções geotécnicas a partir de análises de
equilíbrio limite. Por fim, no sexto capítulo, apresentam-se as conclusões, considerações finais e
sugestões para trabalhos futuros.
23
2 COMPORTAMENTO CISALHANTE DE DESCONTINUIDADES
Com base em hipóteses simplificadoras e em resultados de ensaios experimentais,
diversos modelos de resistência ao cisalhamento para descontinuidades rochosas têm sido de-
senvolvidos ao longo das últimas décadas. Tais modelos disponíveis vão desde adaptações
do modelo de Mohr-Coulomb com superfícies rugosas idealizadas, a formulações mais realis-
tas baseadas na degradação das asperezas e no ângulo de dilatância, por exemplo. A seguir,
apresentam-se os principais modelos de resistência ao cisalhamento para descontinuidades ro-
chosas, segundo a ordem cronológica de desenvolvimento destes modelos e a consideração de
material de preenchimento em suas formulações.
2.1 Modelos do comportamento cisalhante de descontinuidades sem preenchimento
2.1.1 Patton et al. (1966)
Baseado no critério de Coulomb, Patton et al. (1966) realizaram uma série de ensaios
de cisalhamento direto sob carga normal constante (CNL). A partir desses testes, estabeleceu-se
um critério de falha bilinear com uma tensão de transição, a qual define a mudança de ruptura
por deslizamento para ruptura por cisalhamento da aspereza, conforme a Figura 1.
Figura 1 – Critério de falha bilinear de Patton.
Tensão Normal, σn
i
φμ
σT
σn
τp
T
en
sã
o 
C
is
al
ha
n
te
, τ
p
cj
φr ≈ φμ
Fonte: Adaptado de Seidel e Haberfield (1995).
Para valores de tensão normal (σn) menores que a tensão de transição (σT ), a tensão
de cisalhamento de pico (τp) é governada pelo mecanismo de deslizamento e é função do ângulo
24
de atrito de deslizamento (φµ) e da inclinação da aspereza (i). Acima dessa tensão de transição,
a tensão de cisalhamento de pico é governada pela resistência ao cisalhamento através das
asperezas e é função do intercepto coesivo (c j) e do ângulo de atrito interno residual (φr):
τp =

σn · tan(φµ + i) , para σn < σT
c j +σn · tan(φr) , para σn ≥ σT
(2.1)
onde a tensão de transição (σT ) é dada por:
σT =
c j
tan(φµ + i)− tan(φr)
(2.2)
2.1.2 Ladanyi e Archambault (1970)
Ladanyi e Archambault (1970) forneceram uma extensão ao modelo de Patton
et al. (1966) para explicar os mecanismos de deslizamento e cisalhamento encontrados nas
descontinuidades naturais rochosas. Para isso, foi considerada a resistência ao cisalhamento de
descontinuidades compreendendo asperezas triangulares regulares com ângulos de aspereza de
±i. No entanto, em vez de adotar a abordagem por equilíbrio de força usada por Patton et al.
(1966), foram adotados princípios de energia.
Deste modo, a resistência ao cisalhamento total (S) pode ser considerada como a
soma de quatro componentes, sendo três relacionadas com o mecanismo de deslizamento da
aspereza (S1,S2,S3) e uma relacionada com o mecanismo de cisalhamento da aspereza (S4):
S = (S1 +S2 +S3) · (1−as)+S4 ·as (2.3)
onde S1 é a componente devido ao trabalho externo realizado na dilatância contra a força
normal, S2 é a componente devido ao trabalho interno adicional do atrito devido à dilatância,
S3 é a componente devido ao trabalho realizado pelo atrito interno se a amostra não mudou de
volume durante o cisalhamento, S4 é a componente devido ao cisalhamento através das asperezas
rochosas, e as é a proporção da superfície da descontinuidade que é cisalhada (As) em relação ao
material intacto (A).
Assumindo-se que o mecanismo de deslizamento é preponderante no comportamento
da descontinuidade, assume-se:
S = S1 +S2 +S3 (2.4)
S = N · dy
dx
+S · tanφu ·
dy
dx
+N · tanφu (2.5)
25
onde N é a força normal, (dy/dx) é a taxa de dilatância e φu é o ângulo de atrito básico.
Baseando-se na hipótese de aspereza rígida, estabelece-se a taxa de dilatância
(dy/dx) igual à tangente do ângulo da aspereza (i). Diante disso, tem-se:
τ =
σn · (tan i+ tanφu)
1− tan i · tanφu
(2.6)
onde τ é a resistência ao cisalhamento da descontinuidade, e σn é a tensão normal. Para
superfícies irregulares de geometria complexa, o ângulo de aspereza (i) não pode ser determinado,
devendo-se substituir tan i por ν = dy/dx.
2.1.3 Propostas de Barton (1973, 1977, 1982)
Barton (1973) estudou o comportamento das descontinuidades em rochas e propôs
um critério que é uma modificação do modelo de Patton et al. (1966), o qual é definido como:
τ = σn · tan
[
φb + JRC · log
(
σc
σn
)]
(2.7)
onde τ é a resistência ao cisalhamento da descontinuidade, σn é a tensão normal, φb é o ângulo
de atrito básico, JRC é o coeficiente de rugosidade da descontinuidade, e σc é a resistência à
compressão da rocha intacta.
Conforme pode ser observado, existe uma similaridade entre a Equação 2.7 e aquela
proposta por Patton et al. (1966), de modo que a dilatância variável pode ser deduzida a partir da
relação:
iτ p = JRC · log
(
σc
σn
)
(2.8)
onde iτ p é o ângulo de dilatância no pico. Contudo, é importante destacar a principal diferença
entre os modelos de Patton et al. (1966) e Barton (1973): enquanto o primeiro usa o ângulo
de dilatância inicial, o segundo adota o ângulo de dilatância na tensão de pico, de modo que a
relação i0 = JRC pode ser considerada.
Com base neste modelo, Barton e Choubey (1977) sugeriram a alteração da Equa-
ção 2.7 com o intuito de possibilitar sua aplicação para casos mais gerais. Para isso, substituiu-se
o valor do ângulo de atrito básico (φb) pelo ângulo de atrito residual (φr), e a resistência à
compressão uniaxial da rocha intacta (σc) pelo coeficiente de resistência da descontinuidade
(JCS), o qual representa uma medida mais realista da resistência à degradação das asperezas,
uma vez que leva em consideração a ação das intempéries atuantes da descontinuidade rochosa.
τ = σn · tan
[
φr + JRC · log
(
JCS
σn
)]
(2.9)
26
Posteriormente, Barton (1982) modificou a Equação 2.9, a qual representa a resis-
tência de pico, e introduziu os conceitos de resistência ao cisalhamento mobilizada (τmob) e
coeficiente de rugosidade mobilizada da descontinuidade (JRCmob), podendo assim ser aplicada
para tensões pré e pós-pico.
τmob = σn · tan
[
φr + JRCmob · log
(
JCS
σn
)]
(2.10)
O coeficiente de rugosidade mobilizada (JRCmob) é empiricamente reduzido para
considerar o cisalhamento e dano nas asperezas como uma função do deslocamento cisalhante
normalizado (us/upeak), como mostrado na Figura 2.
Figura 2 – Modelo adimensional para a relação tensão de cisalhamento versus deslocamento.
Degradação das 
asperezas
Rugosidade Mobilizada
Início dadilatância
us / upeak JRCmob / JRCo
0,0 -φr/i
0,3 0,00
0,6 0,75
1,0 1,00
2,0 0,85
4,0 0,70
10,0 0,50
100,0 0,00
0 1 2 3 4 5 6
Deslocamento cisalhante normalizado (us / upeak)
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
JR
C
m
ob
/ J
R
C
o
Fonte: Adaptado de Oliveira e Indraratna (2010).
O deslocamento cisalhante de pico (upeak) é estimado por:
upeak =
Ln
500
(
JRCn
L0
)0,33
(2.11)
onde Ln é o comprimento da descontinuidade na escala de campo, L0 é o comprimento da
descontinuidade na escala de laboratório, e JRCn é o coeficiente de rugosidade da descontinuidade
na escala de campo.
27
Os incrementos de tensão de cisalhamento (∆τ) e de deslocamento (∆us) são então
definidos por:
∆τ =

∆us ·σn ·
(
tan(0,75 ·φr)
0,2 ·upeak
)
·L , para (us/upeak)< 0,2
∆us ·σn ·
(
tan(0,25 ·φr)
0,1 ·upeak
)
·L , para (us/upeak)> 0,2
(2.12)
onde L é o comprimento da descontinuidade.
O deslocamento normal mobilizado (∆un) é definido por:
∆un = ∆us · tan
[
0,5 · JRCmob · log
(
JCS
σn
)]
(2.13)
2.1.4 Skinas et al. (1990)
Skinas et al. (1990) descreveram o comportamento de descontinuidades baseado
em condições CNS adotando o conceito de dilatância mobilizada, inicialmente proposto por
Barton (1973) para condições CNL. A variação da dilatância (∆v) em função da variação do
deslocamento cisalhante (∆u) é definida como:
∆v = ∆u · tan(dn,mob) (2.14)
dn,mob =
1
M
· JRCmob · log
(
JCS
σn
)
(2.15)
onde M é o fator de dano, JRCmob é o coeficiente de rugosidade da descontinuidade mobilizado,
JCS é a resistência à compressão na parede da descontinuidade, e σn é a tensão normal. Os
valores de M para tensões de pico foram definidos por Barton e Choubey (1977) como iguais a 1
e 2 para baixas e elevadas tensões normais, respectivamente. Skinas et al. (1990) estabeleceram
que, para tensões elevadas e pós-pico, M pode assumir o valor de 5.
A dilatância em um ponto Q qualquer, na curva dilatância versus deslocamento
cisalhante (Figura 3), e a tensão normal correspondente podem ser definidos por:
vi+1 = vi +(ui+1−ui) · tan(dn,i+1) (2.16)
σn,i+1 = σn,i +K · (vi+1− vi) (2.17)
Considerando-se a dilatância mobilizada, pode-se estabelecer:
vi+1 = vi +(ui+1−ui) · tan
[
1
M
· JRCmob,i · log
(
JCS
σn,i+1
)]
(2.18)
28
Figura 3 – Procedimento de cálculo para modelar a dilatância sob condições CNS.
ui
1/K
σn σni+1 σni ui+1 u
vi+1
vi
vi'
dni
dni+1
P
Q
σni
σni+1
v
Fonte: Adaptado de Skinas et al. (1990).
Deste modo, o incremento de tensão normal (∆σ) pode ser calculado a partir da
dilatância conhecida vi+1 como:
∆σ =
K · vi+1
A
(2.19)
onde A é a área total da descontinuidade.
Por fim, a tensão de cisalhamento mobilizada para qualquer estágio do processo de
cisalhamento pode ser calculada por:
τmob = σn,i+1 · tan
[
φr + JRCmob,i+1 · log
(
JCS
σn,i+1
)]
(2.20)
onde φr é o ângulo de atrito residual. Alguns estudos mostram que os valores de φr e φb são
aproximadamente iguais e portanto é aceitável substituir φr por φb.
Tal modelo é baseado na hipótese de que o comportamento cisalhante de uma
descontinuidade é independente do histórico de tensões, o que nem sempre pode ser aplicável,
visto que o aumento da tensão normal durante o processo de cisalhamento pode causar diferentes
graus de degradação das asperezas ao longo da superfície da descontinuidade. Além disso, de
acordo com Indraratna e Haque (2000), o uso deste modelo é complicado porque é baseado no
JRC mobilizado, o qual é de difícil obtenção.
2.1.5 Seidel e Haberfield (1995)
Seidel e Haberfield (1995) desenvolveram um modelo baseado no conceito de energia
apresentado por Ladanyi e Archambault (1970). Diferentemente destes, Seidel e Haberfield
29
(1995) consideraram que as asperezas deformariam inelasticamente, e não como elementos
rígidos, o que resultaria em permanentes e não-recuperáveis deformações na rocha, e a energia
usada para causar tais deformações seria perdida no processo de esmagamento.
Por analogia ao conceito de Ladanyi e Archambault (1970) definiram-se:
S = S1 +S2 +S3 (2.21)
S =
(
N · dy−d p
dx
+N · d p
dx
)
+S ·ν · tanφu +N · tanφu (2.22)
S = N · tan i+S ·ν · tanφu +N · tanφu (2.23)
onde d p é a deformação inelástica gradativa.
Nesse caso, adotando-se a mesma terminologia usada por Ladanyi e Archambault
(1970), verifica-se que a redução do trabalho realizado devido à dilatância contra a força normal
(S1) é equilibrada pelo trabalho necessário e perdido na produção de deformações inelásticas,
mantendo-se S1 inalterada. Além disso, a quantidade de movimento de dilatância é reduzida
devido aos movimentos inelásticos (isto é, degradação), o que modifica a componente S2
(ν < tan i). Por outro lado, a componente devido ao trabalho realizado pelo atrito interno se a
amostra não alterar o volume (S3) não é afetada. Assim, estabelece-se:
τ =
σn · (tan i+ tanφu)
(1−ν · tanφu)
(2.24)
Além disso, Seidel e Haberfield (1995) consideraram que a descontinuidade seria
composta por n asperezas com diferentes inclinações (i j). Deste modo, a resistência ao cisalha-
mento de uma descontinuidade seria determinada como a soma das resistências individuais por
aspereza, as quais são uma função da tensão normal atuante (σn j) e do ângulo de aspereza (i j).
τ =
1
A
j=n
∑
j=1
a j ·σn j ·
(tan i j + tanφu)
(1−ν · tanφu)
(2.25)
onde A é a área total de contato da descontinuidade, a j é a área de contato individual da aspereza,
e σn j é a tensão normal de contato local.
2.1.6 Indraratna et al. (1998)
Indraratna et al. (1998) verificaram que a Equação 2.9 pode ser usada para estimar a
resistência ao cisalhamento de pico, assumindo que a tensão normal permaneça momentanea-
mente constante sob condições CNS. Contudo, ao aplicar tal equação, nota-se que a resistência
30
ao cisalhamento para uma variedade de tensões normais tende a subestimar os resultados de
laboratório.
Para se adequar à condição CNS e incorporar o efeito das asperezas no que diz
respeito à dilatância e degradação da superfície, propôs-se a seguinte relação usando os resultados
de descontinuidades artificiais (tipos I, II, III):
iτ p = i0 ·
(
1− σn
σc
)β
(2.26)
onde β é um parâmetro que considera o efeito da degradação das descontinuidades. Para as
descontinuidades artificiais testadas pelos autores, Tipo I, Tipo II e Tipo III, os valores de β
obtidos foram 0.19, 1.5 e 3.0, respectivamente.
Além disso, é demonstrado na Figura 4 que o aumento da tensão normal sob condi-
ções CNS é regido pela dilatância das descontinuidades durante o cisalhamento. Pode-se notar
que a relação normalizada entre a dilatância no pico de cisalhamento e a altura da aspereza
(dv/a) possui uma relação com a tensão normal inicial (σn0) para um determinado perfil de
descontinuidade.
Figura 4 – Variação da taxa dv/a em função da tensão normal.
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,0 1,0 2,0 3,0
D
ila
tâ
nc
ia
 / 
A
ltu
ra
 d
a 
A
sp
er
ez
a 
(d
v 
/ a
)
Tensão Normal Inicial (MPa)
TIPO I
TIPO II
TIPO III
TIPO I: dv/a = 0,67 e-0,78σno
TIPO II: dv/a = 0,63 e-0,97σno
TIPO III: dv/a = 0,38 e-1,02σno
Fonte: Adaptado de Indraratna et al. (1998).
Portanto, a tensão normal (σn) correspondente ao pico de tensão de cisalhamento
sob rigidez normal constante (CNS) pode ser calculada conhecendo a dilatância associada e a
rigidez normal da descontinuidade:
31
σn,CNS = σn0 +∆σn = σn0 +
k ·dv
A
(2.27)
onde σn,CNS é a tensão normal correspondente a tensão de cisalhamento de pico para um dado
valor de σn0 sob rigidez normal constante, k é a rigidez normal, dv é a dilatância correspondente
a tensão de cisalhamento de pico, e A é a área da superfície da descontinuidade.
Diante disso, propôs-se a seguinte equação:
τp,CNS = σn,CNS · tan
[
φb + i0 ·
(
1− σn
σc
)β]
(2.28)
2.1.7 Indraratna e Haque (2000)
Indraratna e Haque (2000) adotaram as considerações propostas por Seidel e Haber-
field (1995) para modelar o comportamento cisalhante de uma descontinuidade não preenchida
com formatriangular e asperezas regulares. Neste modelo, séries de Fourier foram utilizadas
para representar o comportamento da dilatância (δv) de uma descontinuidade em função do
deslocamento cisalhante (h), segundo a forma:
δv(h) =
a0
2
+
∞
∑
n=1
[
an · cos
(
2πnh
T
)
+bn · sin
(
2πnh
T
)]
(2.29)
an =
2
T
∫ b
a
f (x) · cos
(
2πnh
T
)
·dx (2.30)
bn =
2
T
∫ b
a
f (x) · sin
(
2πnh
T
)
·dx (2.31)
onde a0, an e bn são parâmetros determinados de acordo com os dados experimentais, e T é
o período das funções (T = b− a). Para um grande número de pontos, os valores de an e bn
podem ser simplificados segundo as equações a seguir, dividindo-se o gráfico dilatância versus
deslocamento cisalhante em m partes iguais, e usando-se o método de integração retangular:
an ≈
2
m
m−1
∑
k=0
yk · cos
(
2πnk
m
)
(2.32)
bn ≈
2
m
m−1
∑
k=0
yk · sin
(
2πnk
m
)
(2.33)
Conhecida a relação dilatância versus deslocamento cisalhante, a variação da tensão
normal em função de uma rigidez normal constante (kn) pode ser determinada por:
σn(h) = σn0 +∆σnh = σn0 +
kn ·δv(h)
A
(2.34)
32
onde σn(h) é a tensão normal para um deslocamento cisalhante h, σn0 é a tensão normal inicial,
∆σnh é o acréscimo de tensão normal para um deslocamento cisalhante h, kn é a rigidez normal,
δv(h) é a dilatância correspondente ao deslocamento cisalhante h, e A é a área superficial da
descontinuidade.
Dados o ângulo da aspereza inicial (i) e a taxa de dilatância (ih), a resistência ao
cisalhamento em função do deslocamento cisalhante pode ser calculada por meio de uma forma
modificada da equação de Patton et al. (1966), como apresentado a seguir:
τh = (σn0 +∆σnh) · tan(φb + ih) = (σn0 +∆σnh) ·
[
tanφb + tan i
1− tanφb · tan ih
]
(2.35)
onde φb é o ângulo de atrito básico, e ih é a inclinação da reta tangente à curva da dilatância para
o deslocamento cisalhante h.
Substituindo σn(h) na Equação 2.35 e expressando em termos da série de Fourier,
estabelece-se:
τh =
[
σn0 +
kn
A
(
a0
2
+
∞
∑
n=1
(
an cos
(
2πnh
T
)
+bn sin
(
2πnh
T
)))][
tanφb + tan i
1− tanφb tan ih
]
(2.36)
Uma vez que σn e ih são funções contínuas, a tensão de cisalhamento de pico τp
sempre existe, podendo ser definida graficamente ou usando métodos computacionais. Embora
este modelo considere a trajetória de tensões durante o processo de cisalhamento, ele pode não
representar o verdadeiro comportamento de descontinuidades naturais, visto que foi validado
essencialmente para descontinuidades sintéticas com asperezas de geometria regular.
2.1.8 Indraratna et al. (2015)
Indraratna et al. (2015) propuseram um modelo do comportamento cisalhante de
descontinuidades naturais rochosas com degradação das asperezas sob condições CNS. Neste
modelo, assume-se que, sob condições CNS, o incremento de tensão normal (dσn) pode ser
representado por:
dσn = Kn ·dδv (2.37)
onde Kn é a rigidez normal de contorno.
Além disso, com base na proposta de Heuze et al. (1979), estabelece-se que o
incremento de deslocamento normal (dδv) pode ser expresso por:
dδv =
(
∂δv
∂δh
)
σn
·dδh +
(
∂δv
∂σn
)
δh
·dσn (2.38)
33
onde dδh é um incremento de deslocamento cisalhante, dσn é um incremento de tensão normal,
(∂δv/∂δh)σn é a taxa de dilatância para tensão normal constante e (∂δv/∂σn)δh é a taxa de
fechamento da descontinuidade devido à compressão.
Combinando-se a Equação 2.38 com a Equação 2.37 e substituindo-se (∂δv/∂δh)σn
= (∂δv/∂δh)CNL e (∂δv/∂σn)δh = (1/kn)δh , a taxa de dilatação de uma descontinuidade sujeita à
cisalhamento sob condições CNS para qualquer deslocamento cisalhante δh pode ser obtida por:
(
dδv
dδh
)
CNS
=
(
∂δv
∂δh
)
CNL
1− Kn
(kn)δh
(2.39)
Além disso, assume-se que o deslocamento cisalhante de pico (δh,peak) correspon-
dente à tensão de cisalhamento de pico é similar para as condições CNL e CNS. Assim, a taxa
de dilatância da descontinuidade no pico sob condições CNL pode ser expressa pela equação de
Barton e Choubey (1977):(
∂δv
∂δh
)
CNL,peak
= tan
(
1
M
· JRC · log
(
JCS
σ∗n
))
(2.40)
onde JRC é o coeficiente de rugosidade da descontinuidade, JCS é a resistência à compressão no
plano da descontinuidade, σ∗n é a tensão normal aplicada e M é o coeficiente de degradação, o
qual recebe o valor de 1 (baixas tensões normais) ou 2 (elevadas tensões). Além disso, assume-se
que σ∗n = σn0 para condições CNS, visto que segundo a Equação 2.40 σ
∗
n não varia com o
deslocamento cisalhante.
A rigidez normal da descontinuidade para o deslocamento cisalhante no pico é dada
por:
(kn)δh=δh−peak =
1
−α · sec2 β +λ
(2.41)
sendo:
α =
δh−peak · JRC ·π
M · ln10 ·σn0 ·180
(2.42)
β =
1
M
· JRC · log
(
JCS
σn0
)
(2.43)
λ =
kni ·V 2m
(kni ·Vm +σn0)2
(2.44)
onde kni é a rigidez normal inicial, Vm é o máximo fechamento da descontinuidade e σn0 é a
tensão normal inicial. Combinando-se as equações anteriores e substituindo σ∗n = σn0 como a
34
tensão inicial, a seguinte equação pode ser utilizada para o cálculo da taxa de dilatância de pico
(ν̇peak) sob condições CNS:
ν̇peak =
(
dδv
dδh
)
CNS,peak
=
(
tanβ
1−Kn · (−α · sec2 β +λ )
)
(2.45)
A variação da taxa de dilatância pode ser caracterizada por três zonas com base na
relação δh/δh−peak, conforme a Figura 5.
Figura 5 – Variação da taxa de dilatância com o deslocamento cisalhante.
Deslocamento / Deslocamento de Pico, δh / δh-peak
1
Contração
0 < (δh / δh-peak) ≤ c0
T
ax
a
de
D
il
at
ân
ci
a,
 𝒗
c0
�̇�peak
Aumento na interferência das asperezas
c0 < (δh / δh-peak) ≤ 1 
Aumento na degradação das asperezas
(δh / δh-peak) > 1 
(δh / δh-peak)max
Fonte: Adaptado de Indraratna et al. (2015).
0 < δh/δh−peak ≤ c0: no início do cisalhamento, o contato entre as asperezas apre-
sentará comportamento elástico. Como consequência, a dilatância será aproximadamente nula
dentro de uma pequena faixa de valores para os deslocamentos cisalhantes. Assim, assume-se
ν̇ = 0. O valor de c0 é considerado aproximadamente 0,3 para descontinuidades rugosas.
c0 < δh/δh−peak ≤ 1: as asperezas deslizam-se umas sobre as outras ao longo dos
pontos de contato, de modo que a taxa de dilatância aumenta de zero até o valor de pico onde
δh/δh−peak = 1. Neste caso, assume-se que a taxa de dilatância segue uma função quadrática:
ν̇ = ν̇peak ·
[
1− 1
(c0−1)2
(
δh
δh−peak
−1
)2]
(2.46)
δh/δh−peak > 1: a taxa de dilatância diminui continuamente com o deslocamento
cisalhante como resultado do aumento da degradação das asperezas no plano da descontinuidade.
Tal redução é representada segundo uma função exponencial:
ν̇ = ν̇peak · exp
(
−
(
c1
(
δh
δh−peak
−1
))c2)
(2.47)
35
onde c1 e c2 são constantes definidas a partir de dados experimentais.
Uma vez que a variação da taxa de dilatância (ν̇) com o deslocamento cisalhante
(δh) é conhecida, a dilatância (δv) para qualquer deslocamento (δh) pode ser calculada como:
δv =
∫
δh
0
ν̇ ·dδh (2.48)
Adotando-se o conceito de rugosidade mobilizada, a tensão de cisalhamento mobili-
zada (τmob) para qualquer deslocamento (δh) sob condições CNS pode ser calculada por:
τmob =
(
σn0 +Kn ·
∫
δh
0
ν̇ ·dδh
)(
tanφb + ν̇
1− ν̇ · tanφb
)
(2.49)
A resistência ao cisalhamento mobilizada representada pela equação é válida quando
a rugosidade começa a ser mobilizada no plano da descontinuidade. Consequentemente, essa
equação não descreve o comportamento cisalhante dentro de uma pequena faixa de deslocamentos
no início do processo de cisalhamento, devendo ser assumido comportamento elástico a partir da
consideração da rigidez cisalhante da descontinuidade (ks), a qual pode ser calculada a partir da
inclinação da curva tensão versus deformação no início do processo de cisalhamento.
2.2 Modelos do comportamento cisalhante de descontinuidades com preenchimento
2.2.1 Papaliangas et al. (1990)
Papaliangas et al. (1990) propuseram uma relação empírica a partir de resultados
experimentais para estimar a resistência ao cisalhamento de descontinuidades preenchidas.
Ensaios de cisalhamento diretoforam realizados em descontinuidades rochosas com duas
amplitudes de rugosidade diferentes, usando-se cinzas de combustível pulverizadas, pó de
mármore e argila como material de preenchimento.
Assim, utilizando-se dos resultados de ensaios, estabeleceram-se relações matemáti-
cas em termos de porcentagem entre tensões, conforme a seguir:
µ = µmin +(µmax−µmin)n (2.50)
n =
[
1− 1
c
( t
a
)]m
(2.51)
onde µ = (τ/σ) ·100, µmax = (τmax/σ) ·100, µmin = (τmin/σ) ·100, n é uma função da espessura
do preenchimento válida para o intervalo (0 < t/a < c), t é a espessura da descontinuidade, a é
a amplitude média da rugosidade, m é uma constante de ajuste, τmax é a tensão de cisalhamento
36
de pico para a descontinuidade sem preenchimento, τmin é a resistência ao cisalhamento do
material de preenchimento (descontinuidades rugosas) ou a resistência ao longo da interface
(descontinuidades lisas), e c é a relação t/a crítica, em que a resistência ao cisalhamento é
mínima. A Figura 6 apresenta o modelo proposto.
Figura 6 – Modelo empírico proposto para a resistência ao cisalhamento de pico.
Relação t/a 
t/a
T
ax
a
μ
 =
 τ
/σ
μ = μmin + (μmax - μmin)n
n = (1 – t/ca)m
Valores típicos
Areias: c = 1,5 e m = 1,0 – 1,5
Argilas: c = 1,0 e m = 2,0 – 4,0
μmax
μmin
μ
c
Fonte: Adaptado de Papaliangas et al. (1990).
Para uma série de ensaios realizados por Papaliangas et al. (1990), as constantes c e
m foram consideradas como 1,5 e 1,0 para o pico, respectivamente. A maior desvantagem deste
modelo é que exige-se a avaliação da constante m para diferentes relações t/a previamente, e
não consideram-se alguns parâmetros relevantes como o ângulo de atrito básico (φb), ângulo de
atrito do material de preenchimento (φ f ill) e o ângulo de dilatância (i).
2.2.2 Phien-Wej et al. (1990)
Phien-Wej et al. (1990) propuseram um modelo para representação da resistência ao
cisalhamento de descontinuidades rochosas com preenchimento a partir de uma função exponen-
cial. Para isso, foi utilizado gesso para modelar a rugosidade da descontinuidade e bentonita seca
como material de preenchimento. Com base nos valores observados das tensões de cisalhamento
de pico obtidas de descontinuidades do tipo rocha/rocha, rocha/preenchimento/rocha e apenas do
material de preenchimento, sob diferentes tensões normais e ângulos das asperezas, definiram-se:
τp
σn
=
τ0
σn
− k1
σn
·
( t
a
)
· e
k2
(
t
a
)
(2.52)
37
τp é a resistência ao cisalhamento da descontinuidade preenchida, σn é a tensão normal, τ0 é
a resistência ao cisalhamento da descontinuidade sem preenchimento, k1 e k2 são constantes
que variam com a rugosidade da descontinuidade e com a tensão normal, t é a espessura do
preenchimento, e a é a amplitude média da rugosidade.
O modelo é válido até a espessura do preenchimento na qual a resistência da descon-
tinuidade preenchida é igual à resistência do preenchimento, ou seja, t ≤ a
k2
.
2.2.3 Toledo et al. (1993)
Toledo et al. (1993) propuseram um modelo geral para estimar a resistência ao
cisalhamento de descontinuidades preenchidas baseado em observações experimentais. Para isso,
definiram três faixas de valores para a espessura do preenchimento que podem ser usadas para
descrever a resistência ao cisalhamento de uma descontinuidade preenchida. Conforme a Figura
7, tais intervalos são classificados como:
Figura 7 – Modelo de resistência para descontinuidades preenchidas.
Relação t/a 
1
R
es
is
tê
nc
ia
 a
o 
C
is
al
h
am
en
to
, τ
Não Interferência
(t/a)crit
Interferência
Intertravamento
Fonte: Adaptado de Toledo et al. (1993).
Zona de Intertravamento: as superfícies das rochas entram em contato.
Zona de interferência: não há contato entre rochas, mas a resistência da desconti-
nuidade é maior que a resistência do preenchimento apenas.
Zona de não interferência: a resistência da descontinuidade equivale à resistência
do preenchimento.
O limite entre as zonas de interferência e de não interferência é definido pela relação
crítica (t/a)crit , além da qual o comportamento cisalhante da descontinuidade é governado pelo
38
material de preenchimento apenas. Tal relação crítica é função do tamanho dos grãos do material
de preenchimento, da espessura do material de preenchimento e da altura da aspereza.
2.2.4 Indraratna et al. (1999)
Indraratna et al. (1999) utilizaram séries de Fourier para representar a redução na
resistência ao cisalhamento de descontinuidades em razão do preenchimento. Nesta abordagem,
a redução na resistência ao cisalhamento de descontinuidades preenchidas (∆τp) foi ajustada à
uma função hiperbólica, e os parâmetros de ajuste α e β foram determinados assumindo-se que
a redução na resistência é função da razão t/a.
Deste modo, a resistência ao cisalhamento da descontinuidade preenchida foi repre-
sentado como uma combinação de séries de Fourier simulando a mudança na tensão normal a
partir da tensão inicial (σn0), conforme as equações a seguir:
(τp)in f illed = (τp)clean−∆τp (2.53)
∆τp = σn0 ·
(
t/a
α · (t/a)+β
)
(2.54)
(τp)clean =
[
σn0 +
kn
A j
·
(
a0
2
+a1 · cos
2πhτ p
T
)]
·
(
tanφb + tan i
1− tanφb tan ihp
)
(2.55)
onde hτ p e ihp são o deslocamento cisalhante e o ângulo de dilatância correspondente à tensão de
cisalhamento de pico respectivamente, kn é a rigidez normal, i é o ângulo da aspereza inicial, σn0
é a tensão normal inicial, φb é o ângulo de atrito básico, A j é a área superficial da descontinuidade,
a0 e a1 são coeficientes de Fourier, T é o período de integração da série de Fourier, t/a é a razão
entre a espessura do preenchimento e a altura da aspereza, e α e β são constantes hiperbólicas.
Além disso, Indraratna et al. (1999) verificaram que, além de um certo limite, a
redução na resistência ao cisalhamento (∆τp) torna-se insignificante, ou seja, o preenchimento
controla o processo de cisalhamento, conforme a Figura 8. Deste modo, sugere-se que a função
se torne assintótica em 1/α , e a partir de um fator de redução R f , define-se (t/a)crit . De acordo
com os autores, o fator R f varia de 0,8 a 0,9.
Apesar de ser conveniente sua utilização na determinação da resistência ao cisa-
lhamento, a maior desvantagem deste modelo é a necessidade de avaliar com antecedência as
constantes hiperbólicas para várias relações t/a e diferentes perfis de asperezas. Além disso,
estas constantes são frequentemente sensíveis ao tipo de material de preenchimento, e o ajuste
pela função hiperbólica nem sempre é adequada para alguns tipos de preenchimento como o
grafite.
39
Figura 8 – Formulação do modelo hiperbólico.
Descontinuidade Não Preenchida(a) (b)
(c) (d)
Queda na tensão de pico (Δτp)
Descontinuidade Preenchida
Relação t/a
Relação t/a
τ p
N
SD
 =
 Δ
τ p
 /σ
n
o
Relação t/a
Aspereza + preenchimento
Preenchimento
𝐭/
𝐚
𝐍
𝐒
𝐃
β
α
1
Relação t/a
N
SD
 =
 Δ
τ p
 /σ
n
o
(t/a)crit
1/α (assíntota)
Rf / α
Fonte: Adaptado de Indraratna et al. (1999).
2.2.5 Fishman (2004)
Fishman (2004) desenvolveu um modelo matemático a partir de um grande número
de investigações de campo em descontinuidades rochosas, realizadas do ano de 1961 a 1993 na
Rússia. Os dados incluíam 156 ensaios de campo realizados em diversos locais com característi-
cas geológicas distintas. Tal modelo foi desenvolvido com a finalidade principal de generalizar
os dados experimentais a partir de propriedades conhecidas das descontinuidades.
Boas correlações foram obtidas assumindo-se que o coeficiente de cisalhamento
(tanψ) varia segundo uma função logarítmica, e que o modelo de resistência ao cisalhamento da
descontinuidade pode ser apresentado conforme a seguir:
tanψ =
τp
σ
= a−b · ln
( t
a
)
(2.56)
onde tanψ é o coeficiente de cisalhamento, τp e σ são a tensão de cisalhamento de pico e a
tensão normal ao longo do plano de cisalhamento, respectivamente, a e b são coeficientes de
ajuste do modelo, e t/a é a razão entre a espessura do preenchimento e a amplitude média da
rugosidade.
Dentreas limitações do modelo, cita-se o fato de não considerar a influência da
rugosidade, da resistência à compressão da descontinuidade e a degradação das asperezas durante
40
o processo de cisalhamento. Consequentemente, espera-se que exista uma grande variabilidade
entre a resistência esperada e o observado por ensaios de laboratório ou de campo.
2.2.6 Indraratna et al. (2005)
Indraratna et al. (2005) desenvolveu um modelo de estimativa da resistência ao
cisalhamento de descontinuidades preenchidas com base em uma série de ensaios realizados
em dois tipos de modelos de descontinuidades, com ângulos de asperezas de 9,5◦ e 18,5◦ e
grafite e bentonita usados como materiais de preenchimentos. Seu modelo considera o efeito da
rugosidade da descontinuidade, sua degradação e a mudança da tensão no plano de cisalhamento
durante o processo de cisalhamento, bem como a influência da razão t/a para descontinuidades
preenchidas.
Assim, definiram-se duas funções algébricas A e B cuja soma é equivalente à resis-
tência ao cisalhamento normalizada τs/σn para diferentes valores de t/a menores que um valor
crítico (t/a)cr.
A = tan(φb + i) · (1−κ)α (2.57)
B = tanφ f ill ·
(
2
1+1/κ
)β
(2.58)
σn
σn0
=
(
2
1+κ
)γ
(2.59)
τs
σn
= A+B = tan(φb + i) · (1−κ)α + tanφ f ill ·
(
2
1+1/κ
)β
(2.60)
onde κ = (t/a)/(t/a)cr, σn é a tensão normal, σn0 é a tensão normal inicial, φ f ill é o ângulo
de atrito de pico do preenchimento, e α , β e γ são constantes empíricas definidas a partir dos
resultados de ensaios. Para (t/a)> (t/a)cr, a resistência ao cisalhamento normalizada é dada
pela constante:
τs
σn
= tanφ f ill (2.61)
A definição das duas funções algébricas (A e B) que controlam as parcelas de
resistência da rocha e do preenchimento baseia-se nas regiões de interferência e não interferência,
propostas por Toledo et al. (1993). A função A, que controla a influência da superfície da
descontinuidade da rocha, diminui gradualmente até 0 para t/a ≈ (t/a)crit , além do qual o
processo de cisalhamento é controlado apenas pelo material de preenchimento. Por outro lado,
41
a função B aumenta até tanφ f ill . A zona de interferência é representada pela soma das duas
funções A e B, conforme a Figura 9.
Figura 9 – Modelo de resistência ao cisalhamento para descontinuidades preenchidas.
Relação t/a 
R
es
is
tê
nc
ia
 a
o 
C
is
al
h
am
en
to
 N
or
m
al
iz
ad
a,
 τ
s 
/σ
n
(t/a)crit
Interferência
t/a < (t/a)crit
Não Interferência
t/a > (t/a)crit
Intertravamento
tan (φb + i)
A + B
A
B
tan φfill
A = tan (φb + i) (1 – κ)α
B = tan φfill
𝟐
𝟏 𝟏/κ
β
onde κ = (t/a) / (t/a)crit
Fonte: Indraratna et al. (2005).
Em ambas as situações, qualquer coesão (c j) das descontinuidades é desconsiderada.
A coesão pode ser considerada, por exemplo, quando o preenchimento é composto por material
coesivo. Em tais circunstâncias, a parcela (c j)/σn deve ser adicionada. Na Tabela 1 são
apresentados alguns valores para as constantes do modelo.
Tabela 1 – Constantes empíricas do modelo proposto.
Tipo de descontinuidade Material de preenchimento (t/a)crit α β
Tipo 1 Grafite (φ f ill = 21◦) 1,2 1,7 1,3
i = 9,5◦ Bentonita (φ f ill = 25◦) 1,5 1,2 1,4
a = 2,5 mm Areia Argilosa (φ f ill = 30◦) 1,4 1,1 2,5
Tipo 2 Grafite (φ f ill = 21◦) 1,4 1,5 2,2
i = 18,5◦ Bentonita (φ f ill = 25◦) 1,8 1,1 3,1
a = 5,0 mm Areia Argilosa (φ f ill = 30◦) 1,6 1,1 4,4
Fonte: Adaptado de Indraratna et al. (2005).
2.2.7 Indraratna et al. (2010)
Indraratna et al. (2010a) propuseram um critério cisalhamento-deslocamento semi-
empírico que incluiu a contribuição do preenchimento. Tal critério é baseado em um modelo de
42
deslizamento do tipo Coulomb no qual a influência do preenchimento durante o cisalhamento é
considerada como:
τ = σn ·
{[
tanφb + tan i0
1− tanφb · tan i
]
·η + tan(φ f ill + i) · (1−η)
}
(2.62)
i = tan−1
(
∂un
∂us
)
(2.63)
un =
a0
2
+
Nh
∑
n=1
L f ·
[
an · cos
(
2π ·n ·us
T
)
+bn · sin
(
2π ·n ·us
T
)]
(2.64)
L f =

1 se
n ·π
Nh
= 0
sin
(
n ·π
Nh
)
n ·π
Nh
se
n ·π
Nh
6= 0
η =

0 se < 0
us−u0
c1 ·us + c2
se < 1
1 caso contrário
(2.65)
onde τ é a tensão de cisalhamento, σn é a tensão normal, i é o ângulo de dilatância para um dado
deslocamento cisalhante, i0 é o ângulo da aspereza inicial, un é o deslocamento normal, us é o
deslocamento cisalhante, u0 é o deslocamento cisalhante além do qual a interferência da aspereza
é observada, c1 e c2 são constantes empíricas que definem a geometria da função η , a0, an e bn
são coeficientes da série de Fourier, T é o período de Fourier, Nh é o número de harmônicas, L f
é o fator sigma de Lanczos, e η é o fator de compressão.
O modelo acima é baseado em um mecanismo de cisalhamento que ocorre em três
fases distintas, conforme Toledo et al. (1993):
Fase I. A primeira fase é controlada principalmente pela resistência do material de
preenchimento. Neste caso, a função da rocha é estabelecer os limites para as superfícies de
ruptura do solo, as quais são definidas pela geometria ou rugosidade da descontinuidade.
Fase II. Durante a segunda fase, conforme o cisalhamento prossegue, o preenchi-
mento acima da superfície de deslizamento é "espremido"de sua posição entre as asperezas para
preencher o espaço gerado no lado descarregado da descontinuidade, conforme a Figura 10.
Após algum deslocamento, as duas superfícies da rocha eventualmente entrarão em contato.
Fase III. A partir de então, o processo de cisalhamento será regido pela forma das
asperezas e pela resistência da rocha, o que marca o início da terceira fase. Dependendo do nível
da tensão normal aplicada, pode ocorrer dilatância devido ao deslizamento de um bloco sobre o
outro e quebra das asperezas, como normalmente ocorre em descontinuidades não preenchidas.
43
Figura 10 – Mecanismo de ruptura do preenchimento para pequenas espessuras.
Descontinuidade 
deslocada
Direção do 
cisalhamento
Preenchimento
Fonte: Adaptado de Toledo et al. (1993).
2.2.8 Shrivastava e Rao (2018)
Shrivastava e Rao (2018) aplicaram o modelo de resistência bilinear desenvolvido
por Patton et al. (1966) para descontinuidades sem preenchimento sob condições CNL como
base para o desenvolvimento de um novo modelo, o qual foi aplicado para descontinuidades
com preenchimento. Para isso, o modelo de Patton et al. (1966) foi modificado para incluir a
influência da tensão normal no plano de cisalhamento em condições CNS e considerar a redução
da influência da aspereza no comportamento cisalhante da descontinuidade devido a um aumento
na espessura do material de preenchimento.
Além disso, considerou-se que na tensão de cisalhamento de pico, sob condições
CNS, a tensão normal permanece momentaneamente constante. Tal equação é representada a
seguir:
τp,in f ill = Pn · tan(φb + i′in f ill) (2.66)
onde τp,in f ill é a tensão de cisalhamento de pico de descontinuidades preenchidas, Pn é a tensão
normal correspondente à tensão de cisalhamento de pico, φb é o ângulo de atrito básico, e i′in f ill é
o ângulo efetivo da aspereza preenchida.
Segundo os resultados de ensaios realizados, verifica-se que há uma relação linear
entre a tensão normal correspondente à tensão de cisalhamento de pico (Pn) e a tensão normal
inicial (Pi), como mostrado:
Pn = a ·Pi +b (2.67)
onde a e b são constantes. Análises de regressão indicam que a constante a é praticamente
insensível ao ângulo da aspereza e à razão t/a e pode ser aproximadamente igual a 1, o que é
44
semelhante em descontinuidades não preenchidas. O coeficiente b, por simplicidade, pode ser
aproximado por b = 0,04 · kn.
Além disso, verificou-se que o aumento na taxa t/a causa uma redução na contribui-
ção das asperezas na resistência. Tal influência é considerada no modelo por meio do ângulo
efetivo da aspereza preenchida (i′in f ill), o qual depende das relações Pn/σc e t/a para diferentes
ângulos de aspereza (i). A seguinte equação descreve o comportamento analisado:
i′in f ill
i
= x · ln(
Pn
σc
)
+ y (2.68)
onde i é o ângulo inicial da aspereza, σc é a resistência à compressão uniaxial da rocha, e x e y
são coeficientes que dependem da relação t/a e do ângulo da aspereza, conforme a Tabela 2.
Tabela 2 – Valores para os coeficientes x e y.
Ângulo da aspereza (i) t/a X Y R2
30◦ - 30◦ 0,0 -0,30 -0,356 0,95
1,0 -0,26 -0,494 0,96
1,4 -0,33 -0,821 0,99
2,0 -0,13 -0,906 0,75
15◦ - 15◦ 1,0 -0,51 -1,140 0,88
0◦ - 0◦ t = 5 mm -0,07 0,730 0,99
Fonte: Adaptado de Shrivastava e Rao (2018).
A Equação 2.68 será válida apenas para t/a < (t/a)cr. Para t/a≥ (t/a)cr a resistên-
cia ao cisalhamento precisa ser calculada a partir da resistência ao cisalhamento do preenchimento
apenas. Neste caso, aplicam-se as seguintes equações:
τp = Pn · tanφ (2.69)
φ
φb
= x · ln
(
Pn
σc
)
+ y (2.70)
onde φ é o ângulo de atrito da descontinuidade preenchida.
Os parâmetros básicos como φb, σc e kn são necessários para qualquer descontinui-
dade em rocha, e podem ser determinados em laboratório ou a partir de revisão bibliográfica.
O ângulo da aspereza (i) pode ser medido ou calculado a partir do valor de JRC pelo método
sugerido por Maksimović (1996), o qual pode ser aproximado por i = 2 · JRC.
Dentre as limitações do modelo, destaca-se o fato de: ser desenvolvido para rochas
com baixas resistências e baixas rigidezes; ter sido formulado com base apenas em asperezas
de perfil triangular, segundo uma abordagem bidimensional; os ensaios terem sido realizados
45
segundo condições estáticas; a influência dos diferentes tipos de preenchimentos e da espessura do
preenchimento demandarem validação adicional, tendo sido investigados apenas preenchimentos
em condições secas, ou seja, sem considerar a influência da umidade.
2.3 Conclusões Parciais
Com base nas formulações disponíveis, percebe-se que diversos modelos foram
desenvolvidos para representar a condição CNL apenas. Embora a consideração da rigidez de
contorno seja mais realista em muitos casos, a escassez de ensaios compatíveis e o contexto
histórico no qual tais modelos foram desenvolvidos podem justificar a não inclusão de kn nesses
modelos.
Nos casos em que a condição CNS é considerada, a acurácia do modelo depende
sobretudo da estimativa da dilatância, a qual depende fortemente da geometria das asperezas,
da resistência da rocha intacta e da tensão normal atuante na descontinuidade. Esse aspecto é,
sem dúvidas, o grande desafio dos modelos que buscam representar a influência da rigidez de
contorno no comportamento cisalhante de descontinuidades.
Em alguns dos modelos, a utilização das asperezas segundo um perfil triangular
ainda demanda de validação adicional, uma vez que partem de uma situação idealizada. Deste
modo, faz-se necessária a validação prévia em descontinuidades com superfícies naturais.
No caso de descontinuidades preenchidas, a qualidade do modelo depende sig-
nificativamente da forma como a relação (t/a) ou simplesmente a espessura do material de
preenchimento são consideradas. Na grande maioria dos casos, a espessura do material de
preenchimento é definida por um valor único, o que pode comprometer a aplicação em situações
reais de campo.
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3 MÉTODOS META-HEURÍSTICOS PARA OTIMIZAÇÃO
3.1 Aspectos Gerais
A formulação matemática de um problema de otimização fundamenta-se na extremi-
zação de uma ou mais funções representativas do problema, com um ou mais objetivos e sujeito
ou não a restrições. A forma padrão de um problema de otimização é:
Minimize fi(x),x ∈ R, i = 1, 2, . . . ,L (3.1)
sujeito às restrições:
g j(x)≤ 0 , j = 1, 2, . . . ,M (Restrições de Comportamento) (3.2)
xin fk ≤ xk ≤ x
sup
k , k = 1, 2, . . . ,N (Restrições Laterais) (3.3)
onde fi e g j são funções não-lineares. O vetor de projeto x = (x1,x2, . . . ,xn)T pode ser composto
por variáveis contínuas, discretas ou mistas, dentro do espaço de dimensão N. As funções fi
são chamadas funções objetivo ou funções custo, e quando i > 1 a otimização é denominada
multiobjetivo ou multicritério (SAWARAGI et al., 1985). Em geral, problemas de otimização
são definidos como problemas de minimização, embora também possam ser definidos como um
problema de maximização, substituindo-se fi(x) por − fi(x).
Segundo Yang et al. (2012), os algoritmos de otimização podem ser classificados
de várias maneiras, dependendo do foco ou das características que estamos tentando comparar.
Basicamente, os algoritmos podem ser classificados como determinísticos ou estocásticos. Se um
algoritmo trabalha de maneira mecanicamente determinística, sem qualquer natureza aleatória, é
chamado determinístico. Para esse algoritmo, alcança-se a mesma solução final se começarmos
pelo mesmo ponto inicial. Por outro lado, se houver alguma aleatoriedade no algoritmo, este
geralmente alcançará um ponto diferente toda vez que for executado, independentemente do
ponto de partida. O Algoritmo Genético e o PSO são bons exemplos de algoritmos estocásticos.
O método mais simples e muito frequentemente usado para introduzir aleatoriedade
em um algoritmo é escolher o ponto de partida de forma aleatória. Entretanto, uma maneira mais
elaborada de fazê-lo é usar a aleatoriedade dentro de diferentes componentes de um algoritmo.
Nesse caso, geralmente chamamos esse algoritmo de meta-heurístico.
Em um processo de otimização usando algoritmos meta-heurísticos, variáveis de
projeto são atribuídas aleatoriamente e, em seguida, as funções objetivo são avaliadas. O conjunto
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de variáveis de projeto, ou o vetor de projeto, é gerado várias vezes e armazenado como uma
matriz contendo possíveis soluções. Esta é a parte inicial do algoritmo e o processo é semelhante
para todas os algoritmos meta-heurísticos.
Após esse processo inicial, o objetivo é tentar melhorar os resultados com base
nos princípios especiais do algoritmo de interesse. Esses princípios são diferentes para cada
algoritmo meta-heurístico e geralmente são inspirados ou relacionados a um processo biológico.
Algoritmos meta-heurísticos inspirados nas observações de um processo geralmente fornecem
um conjunto de equações que podem ser usadas para atualizar as variáveis de projeto durante a
iteração, conforme se verifica nas seções a seguir.
3.2 Algoritmo Genético
A ideia de um Algoritmo Genético fundamenta-se na Teoria Darwinista da Evolução
(HOLLAND, 1975). Segundo esta, Darwin afirmava que apenas os mais aptos sobrevivem às
adversidades do meio ambiente e, portanto, conseguem transmitir seus genes aos descendentes.
De modo análogo, a aplicação de Algoritmos Genéticos baseia-se na premissa de que, partindo-se
de uma população diversa e aleatória de soluções, um número finito de seleções, mutações e
crossovers encontraria um indivíduo com características ótimas para um dado problema.
Em outras palavras, os Algoritmos Genéticos buscam, dentro dos limites laterais
do problema, encontrar o projeto com melhor desempenho que atenda a todas as restrições
estabelecidas. O algoritmo define então que, a princípio, um conjunto de indivíduos deva ser
gerado aleatoriamente dentro do espaço de busca, sendo que cada indivíduo é composto pelas
variáveis de projeto. Deste modo, as possíveis soluções são então avaliadas de acordo com suas
respectivas aptidões, determinando o quão bom é o indivíduo para o dado problema. Sendo
assim, define-se que os mais aptos terão consequentemente maiores probabilidades de serem
selecionados para reprodução, semelhante ao que propôs Darwin.
Para a etapa de seleção, diversos métodos podem ser aplicados, dentre os quais
destacam-se os métodos da Roleta e do Ranking (ARORA, 2012). No método da Roleta, por
exemplo, assume-se que a probabilidade de um indivíduo ser selecionado parte explicitamente
do valor da função aptidão:
pi =
Fiti
Nind
∑
k=1
Fitk
(3.4)
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onde pi é a probabilidade do indivíduo i ser selecionado e Nind é o número de indivíduos. No
caso do método do Ranking, a probabilidade de um indivíduo ser selecionado é definida de
acordo com sua