17102022-AV1-Contextualizada_Cálculo_Vetorial

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CÁLCULO VETORIAL – TRABALHO E TRAJETÓRIA APLICADO EM 
UMA PARTÍCULA 
 
Aluno: Marcos Antonio Ferreira da Costa 
Matrícula: 0409495 
Engenharia Civil 
 
 
Foi apresentado o campo vetorial F1 (x, y, z) = − 
1 
2
𝑥𝑖 −
1 
2
𝑦𝑗 + 
1 
4
𝑘 , devemos 
determinar o Trabalho (W) realizado por uma partícula, que longo de uma curva C= 
r(t) cos(t) i + sen(t)j +tk; onde (A,B) são os pontos iniciais e finais, respectivamente, 
sendo A (l,0,0) e B (-1,0,4π) contido neste trajeto. Devemos também analisar a 
sugestão dada por um colega de trabalho, que indica uma mudança no trajeto da 
partícula entre os pontos (A, B), com a intenção de reduzir o trabalho realizado por 
essa partícula. 
 
Resolução da questão 1: 
 
Para essa questão usaremos a equação F1 (x, y, z) = − 
1
2
𝑥𝑖 −
1 
2
𝑦𝑗 + 
1 
4
𝑘 e a 
equação da curva parametrizada C= r(t) cos(t)i + sen(t)j +tk, sendo que a partícula 
se move do ponto A (1,0,0) até o ponto B (-1,0,4π). 
 
A equação do trabalho, que é dada por: 
 
W = ∫ 𝐹 ∗ 𝑑𝑟 = ∫ 𝐹(𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡), 𝑧(𝑡)) ∗ 𝑟′(𝑡)𝑑𝑡
𝑏
𝑎𝑐
 Onde: x(t) = cos(t), y(t) = sen(t), z(t) = t 
W = F (r(t)) → F(x(t), y(t), z(t)) = (-1/2 cos(t)i, -1/2 sen(t)j, 1/4k) 
Vamos encontrar o vetor tangente, por meio das derivadas parciais 
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝑡 = 𝑟′𝑡 =
𝜎 cos(𝑡) 𝑖
𝜎𝑡
+ 𝜎
𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑗
𝜎𝑡
+
𝜎𝑡𝑘
𝜎𝑡
 
 𝑟′𝑡 = −𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑖 + cos(𝑡) 𝑗 + 𝑡𝑘 
 
De posse do vetor F1 e do vetor tangente, temos: 
W = ∫ (−
1
2
cos (𝑡)𝑖 −
1
2
(𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑗 + 1/4𝑘 ∗ (𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑖 + cos (𝑡)𝑗 + 𝑘)𝑑𝑡
𝑏
𝑎
 
W = ∫
1
2
𝑠𝑒𝑛(𝑡) ∗ cos (𝑡) −
1
2
(𝑠𝑒𝑛(𝑡) ∗ cos (𝑡) +
1
4
𝑑𝑡)
𝑏
𝑎
 
W = ∫
1
4
4𝜋
0
 dt 
W = ¼ t 4π 
 0 
W = 4π/4 
W = π ≅ 3,1416... 
 
Se o trabalho realizado pela partícula ao longo do seu percurso é dado pela integral 
do produto escalar entre o vetor tangente ao trajeto realizado pela partícula e um vetor 
do campo vetorial dentro dos limites da variável (t), o resultado será sempre um 
escalar. 
 
Resolução da questão 2: 
Imaginemos agora a segunda situação, onde um colega de trabalho sugeriu uma 
alteração da trajetória da partícula, vamos mudar o caminho feito entre A e B, supondo 
que existem outros caminhos a serem percorridos, o resultado seria um menor 
trabalho realizado por essa partícula. 
Podemos definir que “Uma força é chamada de Conservativa, se o trabalho que ela 
realiza em um objeto que se move do ponto A para o ponto B seja sempre a mesma, 
não importando qual será o caminho feito por ela, ou seja, a integral que define esse 
trabalho será independente do caminho”. 
Campos vetoriais conservativos são campos vetoriais que representam as forças de 
sistemas físicos onde a energia é conservada. Nesses sistemas, o trabalho realizado 
para mover uma partícula no espaço depende apenas dos pontos final e inicial. 
Portanto, podemos resolver a 2ª questão solucionando o gradiente: 
 
∇f(x,y, z) = F(x,y,z) 
∇𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝜎𝑓
𝜎𝑥
+
𝜎𝑓
𝜎𝑦
+
𝜎𝑓
𝜎𝑧
= (−
1
2𝑥
, −
1
2𝑦
, −
1
4𝑧
) 
 
Dessa forma, podemos observar que não existe diferença de potencial neste campo, 
ou seja, não há alteração no trabalho realizado pela partícula independente do 
caminho percorrido entres os pontos. 
 
REFERENCIAS 
 
VALLE M. E., Campos Vetoriais e Integrais de Linha. 2019. Departamento de 
Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica 
Universidade Estadual de Campinas. PDF. Acesso em 20 outubro 2022. 
 
ARAUJO, Y. Apostila de Cálculo Vetorial. Disponível em: 
https://petemb.ufsc.br/files/2015/03/Apostila-Calculo-Vetorial-PROTEGIDA.pdf 
 
SAUTER, E., AZEVEDO, F. S. DE., KONZEN, P. H. DE A. - Cálculo Vetorial - Um 
Livro Colaborativo, 2022. PDF. Acesso em 21