FILIPE ROCHA GUEDES e RENAN GODOY BURGOS - ANÁLISE ESTRUTURAL DE LAJE DE FUNDAÇÃO TIPO RADIER EM CONCRETO ARMADO

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CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS UFPE 
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO 
BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE ESTRUTURAL DE LAJE DE FUNDAÇÃO TIPO 
RADIER EM CONCRETO ARMADO 
 
Filipe Rocha Guedes 
Renan Godoy Burgos 
Orientador Prof. Dr. Paulo Marcelo V. Ribeiro 
 
 
 
RECIFE 
2014 
 
 
 
FILIPE ROCHA GUEDES 
RENAN GODOY BURGOS 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE ESTRUTURAL DE LAJE DE FUNDAÇÃO TIPO 
RADIER EM CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
Trabalho de conclusão de curso de 
graduação apresentado à Universidade 
Federal de Pernambuco como requisito 
parcial para obtenção do grau de Bacharel 
em Engenharia Civil. 
Área de concentração: Engenharia Civil 
e Engenharia Estrutural 
Orientador: Prof. Dr. Paulo M. Ribeiro 
 
RECIFE 
2014 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Catalogação na fonte 
Bibliotecária Valdicéa Alves, CRB-4 / 1260 
 
FILIPE ROCHA GUEDES 
RENAN GODOY BURGOS 
 
 
 
 
 
 
G924a Guedes, Filipe Rocha . 
Análise estrutural de laje de fundação tipo radier em concreto armado. / 
Filipe Rocha Guedes - Recife: O Autor, 2014. 
112folhas, Ils., e Tabs. 
 
Orientador: Profº. Dº Paulo Macelo V. Ribeiro. 
 
 
TCC (Graduação) – Universidade Federal de Pernambuco. CTG. 
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, 2014. 
Inclui Referências. 
 
1. Engenharia Civil. 2.Radier. 3. Análise estrutural. 4.Concreto Armado. I. 
Burgos, Renan Godoy. II. Ribeiro, Paulo Marcelo V.(Orientador). III. Título. 
 
 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
Agradecemos, inicialmente, a nossa família: nossos pais e irmãos, que não mediram 
esforços para que chegássemos até esta etapa de nossas vidas. 
A todos os amigos do curso de graduação de Engenharia Civil por estarem presentes e 
dispostos para nos ajudar e nos motivar durante todos estes anos. 
A Universidade Federal de Pernambuco (UFPE) por nos proporcionar uma formação 
profissional e humana. 
Aos professores do curso de Engenharia Civil pelos ensinamentos passados durante 
estes cinco anos de curso. 
Agradecimento especial ao professor Paulo Marcelo Ribeiro, pela dedicação, paciência, 
convívio e incentivo como professor e orientador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 “Os bons engenheiros são aqueles que, em vez de se 
limitarem a seguir cegamente as normas e códigos, 
preferem obedecer às leis da natureza". 
 T. Y. Lin 
 
 
 
LISTA DE ILUSTRAÇÕES 
Figura 2.1 – Vigas e pilares de concreto armado numa construção simples ................... 15 
Figura 2.2 – Elementos estruturais bidimensionais: placas, chapas e cascas .................. 16 
Figura 2.3 – Bloco de fundação (elemento tridimensional) ............................................ 17 
Figura 2.4 – Esforços solicitantes. Corpo recortado virtualmente (a). Distribuição de 
forças ao longo da superfície recortada (b) ..................................................................... 18 
Figura 2.5 – Esforço de cisalhamento e esforço normal.................................................. 19 
Figura 2.6 – Esforços de flexão e torção ......................................................................... 19 
Figura 2.7 – Viga de concreto armado apoiada em dois pilares de concreto .................. 20 
Figura 2.8 – Modelo estrutural para a viga real da figura 2.7 ......................................... 21 
Figura 2.9 – Sapata isolada .............................................................................................. 22 
Figura 2.10 – Radier liso ................................................................................................. 24 
Figura 2.11 – Radier com pedestais ou congumelos ....................................................... 24 
Figura 2.12 – Radier nervurado ....................................................................................... 24 
Figura 2.13 – Radier em caixão ....................................................................................... 25 
Figura 2.14 – Detalhe de cordoalha de sete fios .............................................................. 29 
Figura 3.1 – Divisão esquemática do solo em regiões .................................................... 32 
Figura 3.2 – Diferentes casos de interação solo-estrutura ............................................... 34 
Figura 3.3 – Representação do radier pelo método de grelha sobre base elástica ........... 35 
Figura 3.4 – Representação da Hipótese de Winkler ...................................................... 36 
Figura 3.5 – Analogia entre coeficiente de mola e coeficiente de reação vertical .......... 37 
Figura 3.6 – Fatores 0 e 1 para o cálculo do recalque imediato em camada argilosa 
finita ................................................................................................................................. 43 
Figura 4.1 – Placa submetida à carregamento normal externo pz(x,y) ........................... 46 
Figura 4.2 – Elemento de placa detalhado ....................................................................... 48 
Figura 4.3 – Malha para solução de aproximação de derivadas por diferenças finitas ... 54 
Figura 4.4 – Elemento estrutural atual (placa) e sistema de grelhas substituinte 
(representação da placa através de grelha) ...................................................................... 57 
Figura 5.1 – Grelha sobre base elástica ........................................................................... 59 
Figura 5.2 – Carregamento concentrado numa grelha ..................................................... 60 
Figura 5.3 – Modelo estrutural do edifício ...................................................................... 61 
Figura 5.4 – Modelo estrutural para processamento ....................................................... 62 
Figura 5.5 – Cargas de vento nulas.................................................................................. 62 
Figura 5.6 – Discretização da malha ............................................................................... 63 
Figura 5.7 – Alteração do multiplicador de deslocamentos verticais para simular 
deformação lenta.............................................................................................................. 64 
Figura 5.8 – Coeficiente de mola..................................................................................... 65 
Figura 5.9 – Extração de dados do modelo estrutural ..................................................... 66 
Figura 5.10 – Geração do modelo de grelha .................................................................... 66 
Figura 5.11 – Discretização de um elemento de geometria regular utilizando malha com 
elementos cujos intervalos entre os nós adjacentes sejam constantes ............................. 68 
Figura 5.12 – Discretização de um elemento de geometria irregular utilizando malha 
com elementos cujos intervalos entre os nós adjacentes sejam constantes ..................... 69 
 
 
 
Figura 5.13 – Discretização de um elemento de geometria circular através de uma malha 
de elementos com geometrias diferenciadas ................................................................... 69 
Figura 5.14 – Discretização de um elemento de geometria irregular através de uma 
malha de elementos com diferentes geometrias .............................................................. 70 
Figura 5.15 – Modelo de inicialização do SAP2000 ‘grid only’ ..................................... 72 
Figura 5.16 – Linhas da grade no SAP2000 .................................................................... 73 
Figura 5.17 – Grade correspondente à um retângulo de 12 por 8 no SAP2000 .............. 74 
Figura 5.18 – Definição de materiais no SAP2000 ......................................................... 75 
Figura 5.19 – Definição daspropriedades do novo material ........................................... 75 
Figura 5.20 – Janela de definição de novos materiais ..................................................... 76 
Figura 5.21 – Definição da ‘Area Section’ ...................................................................... 76 
Figura 5.22 – Definição da espessura do radier de 20 cm ............................................... 77 
Figura 5.23 – Janela de definição de ‘Area Sections’no SAP2000 ................................. 78 
Figura 5.24 – Desenho manual de elemento de área retangular no SAP2000................. 78 
Figura 5.25 – Divisão do elemento em vários elementos de área menores ..................... 79 
Figura 5.26 – Divisão do elemento em vários elementos de área menores de 40x40 ..... 80 
Figura 5.27 – Elemento de placa (radier) dividido em vários elementos menores de 
40x40cm no SAP2000 ..................................................................................................... 80 
Figura 5.28 – Selecionando todos os elementos de uma única vez a partir do comando 
‘Select All’ no SAP2000 ................................................................................................. 81 
Figura 5.29 – Inserção dos apoios elásticos de translação a partir de ‘Area Springs’..... 82 
Figura 5.30 – Criação do padrão de cargas ‘SOBRECARGA’ como carga viva ........... 83 
Figura 5.31 – Inserção das forças nos nós ....................................................................... 83 
Figura 5.32 – Resultado da modelagem com as cargas inseridas .................................... 84 
Figura 5.33 – Modelo de análise utilizando apenas o plano XY ..................................... 84 
Figura 5.34 – Processamento da estrutura no SAP2000 .................................................. 85 
Figura 5.35 – Mostrar resultados de elementos de área ‘Shells’ no SAP2000 ................ 85 
Figura 5.36 – Mostrar resultados relativos a momentos na direção local 2 e cargas de 
sobrecarga apenas ............................................................................................................ 86 
Figura 5.37 – Resultados para momentos fletores de valores característicos ................. 86 
Figura 5.38 – Áreas de influência que contribuem para o valor da rigidez da mola em 
unidade de força por metro. ............................................................................................. 87 
Figura 6.1 – ‘Planta de forma’ da estrutura que será modelada para o estudo 01 ........... 90 
Figura 6.2 – Isovalores para os momentos fletores na direção X obtidos do SAP2000 .. 91 
Figura 6.3 – Isovalores para os momentos fletores na direção Y obtidos do SAP2000 .. 92 
Figura 6.4 – Configuração deformada da placa modelada no SAP2000 ......................... 92 
Figura 6.5 – Isovalores para os momentos fletores na direção X obtidos do TQS ......... 93 
Figura 6.6 – Isovalores para os momentos fletores na direção Y obtidos do TQS ......... 93 
Figura 6.7 – Configuração deformada da placa modelada no TQS................................. 94 
Figura 6.8 – Analogia com êmbolo (placa) exercendo pressão num fluido .................... 98 
Figura 6.9 – Esquema de apoios elásticos à translação numa placa ................................ 98 
Figura 6.10 – Comparativo entre os valores das rijezas das molas no SAP2000. ........... 99 
Figura 6.11 – Planta de forma utilizada para o estudo de caso 02. .............................. 101 
Figura 6.12 – Isovalores para os momentos fletores na direção X (caso 2) .................. 102 
 
 
 
Figura 6.13 – Isovalores para os momentos fletores na direção Y (caso 2) .................. 102 
Figura 6.14 – Armadura horizontal positiva .................................................................. 103 
Figura 6.15 – Armadura horizontal negativa ................................................................. 103 
Figura 6.16 – Armadura vertical positiva ...................................................................... 104 
Figura 6.17 – Armadura vertical negativa ..................................................................... 104 
 
 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 2.1 – Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto .. 28 
Tabela 2.2 – Características das cordoalhas engraxadas de sete fios ............................. 29 
Tabela 3.1 – Valores de Kv segundo Terzhagi ............................................................... 39 
Tabela 3.2 – Valores de Kv segundo Moraes ................................................................. 39 
Tabela 4.1 – Expressões obtidas para as derivadas parciais necessárias à análise de 
placas retangulares por diferenças finitas ....................................................................... 54 
Tabela 6.1 – Resumo dos resultados obtidos para o estudo de caso 01 .......................... 94 
Tabela 6.2 – Resultados para esforços característicos de momentos fletores e 
deslocamentos a partir da variação do coeficiente de reação do solo (e 
consequentemente da rigidez do apoio elástico) utilizando o SAP2000 ......................... 96 
Tabela 6.3 – Resultados para os maiores valores de momentos fletores característicos 
quando comparadas as modelagens utilizando apoios elásticos do tipo ‘Area Springs’ 
(considerando a área de influência, AS) e ‘Joint Springs’ (JS, sem considerar a variação 
do valor da rijeza elástica nas bordas) ............................................................................. 99 
Tabela 6.4 – Variação dos esforços característicos e deslocamentos imediatos em função 
do Kv ............................................................................................................................. 105 
Tabela 6.5 – Resultados para diferentes espessuras da laje ........................................... 106 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO 
 
O presente trabalho visa realizar um estudo de lajes de concreto do tipo radier - solução 
comum para fundações de estruturas de pequeno porte – através de diferentes estratégias 
de modelagem, levando-se em conta sempre a interação solo-estrutura. São apresentadas 
como principais focos as análises estruturais utilizando modelo de grelha e método dos 
elementos finitos, objetivando um estudo comparativo entre os resultados encontrados. 
A fundação em radier pode ser uma solução técnica ou economicamente mais viável em 
alguns casos, e no Brasil não há apoio de norma técnica pertinente exclusiva para o 
dimensionamento e análise deste tipo de estrutura. Em estudos de caso, exemplos reais 
são analisados utilizando os dois modelos de análise, visando obter sempre resultados 
comparativos tanto nos métodos em si quanto na influência do solo em relação à 
estrutura e por fim realizando um orçamento simplificado em função da variação de 
parâmetros de cálculo da estrutura. 
Palavras-chave: Radier. Análise estrutural. Concreto armado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABSTRACT 
 
The present paper aims to conduct a study of concrete slabs radier type – a common 
solution for foundation of small structures – through different modeling strategies, using 
the soil-structure interaction. It is presented as major focus the structural analysis using 
grid model and finite element method, aiming at a comparative study of the results 
found. The radier foundation can be a solution more feasible technically or 
economically in some cases, and in Brazil there isn’t any support of a pertinent 
technical manual for the design and analysis of such structure. In case studies, real 
examples are analyzed using both analytical models, aiming to obtain comparative 
results related not only to the methods themselves but also to the influence of the soil on 
the structure and finally performing a simplified budget due to the variation of analysis 
parameters of the structure. 
Keywords: Radier. Structuralanalysis. Reinforced concrete. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1. INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 10 
1.1 Apresentação ......................................................................................................... 10 
1.2 Justificativa ........................................................................................................... 11 
1.3 Metodologia .......................................................................................................... 12 
1.3.1 Tipo de pesquisa ............................................................................................. 12 
1.3.2 Procedimentos ................................................................................................ 12 
1.4 Objetivos ............................................................................................................... 13 
1.4.1 Objetivos gerais .............................................................................................. 13 
1.4.2 Objetivos específicos...................................................................................... 13 
2. REVISÃO DA LITERATURA .................................................................................. 14 
2.1 Breve revisão estrutural ........................................................................................ 14 
2.1.1 Elementos estruturais lineares ........................................................................ 14 
2.1.2 Elementos estruturais bidimensionais ............................................................ 15 
2.1.3 Elementos estruturais tridimensionais ............................................................ 16 
2.1.4 Cargas e esforços nas estruturas ..................................................................... 17 
2.1.5 Análise estrutural............................................................................................ 20 
2.2 Fundações ............................................................................................................. 21 
2.3 Radiers .................................................................................................................. 23 
2.3.1 Definição e classificação ................................................................................ 23 
2.3.2 Materiais ......................................................................................................... 27 
2.3.3 Disposições construtivas ................................................................................ 30 
3. PARÂMETROS GEOTÉCNICOS ............................................................................ 31 
3.1 Interação solo-estrutura ......................................................................................... 31 
3.1.1 Fatores de influência no mecanismo da interação solo-estrutura ................... 33 
3.2 Hipótese de Winkler e constantes elásticas do solo .............................................. 35 
3.2.1 Determinação do coeficiente de reação vertical a partir do uso de tabelas .... 38 
3.2.2 Determinação do coeficiente de reação vertical a partir de ensaios de placa 40 
3.2.3 Determinação do coeficiente de reação vertical a partir do cálculo do recalque 
vertical estimado ..................................................................................................... 41 
4. ANÁLISE E MODELOS PARA CÁLCULO DE PLACAS ..................................... 44 
4.1 Elementos estruturais de placas ............................................................................ 44 
4.1.1 Teorias de placa e soluções analíticas para placas delgadas .......................... 45 
 
 
 
4.1.2 Métodos numéricos para solução de problemas de placas delgadas .............. 50 
4.2 Estabilidade, capacidade de porte e modelagem da estrutura ............................... 50 
4.3 Métodos de cálculo para fundações Radiers ......................................................... 51 
4.3.1 Método Estático.............................................................................................. 51 
4.3.2 Método do American Concrete Institute (ACI).............................................. 52 
4.3.3 Método das Diferenças Finitas ....................................................................... 52 
4.3.4 Método da placa sobre solo de Winkler ......................................................... 55 
4.3.5 Método dos Elementos Finitos ....................................................................... 55 
4.3.6 Método da Analogia de Grelha ...................................................................... 56 
5. PROCEDIMENTOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL UTILIZANDO MÉTODO DA 
ANALOGIA DE GRELHA E MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS .................... 58 
5.1 Procedimento de análise estrutural automatizada utilizando método da analogia de 
grelha .......................................................................................................................... 58 
5.1.1 Fundamentação do método............................................................................. 58 
5.1.2 Software utilizado .......................................................................................... 60 
5.1.3 Etapas da modelagem ..................................................................................... 61 
5.2 Procedimento de análise estrutural automatizada utilizando Método dos 
Elementos Finitos ....................................................................................................... 67 
5.2.1 Fundamentação do método............................................................................. 67 
5.2.2 Software utilizado – SAP2000 ....................................................................... 71 
5.2.3 Etapas da modelagem ..................................................................................... 71 
5.2.4 Considerações sobre apoios elásticos à translação ......................................... 87 
6. ESTUDOS DE CASO ................................................................................................ 89 
6.1 Estudo de caso 01 ................................................................................................. 89 
6.1.1 Comparativo entre os dois métodos de cálculo, resultados e conclusões ...... 91 
6.1.2 Variação do coeficiente de reação vertical do solo e análise dos resultados . 95 
6.1.3 Estudo da variação da rigidez elástica nos apoios ao longo da placa ............ 96 
6.2 Estudo de caso 02 ............................................................................................... 100 
6.2.1 Resultados iniciais ........................................................................................ 101 
6.2.2 Variação do coeficiente de reação vertical do solo e análise dos resultados 105 
6.2.3 Variação da espessura do radier: um estudo simplificado de viabilidade 
econômica.............................................................................................................. 106 
6.3 Conclusões finais relativas aos estudos de caso ................................................. 107 
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 108 
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 110 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
1.1 Apresentação 
 
Este texto é desenvolvido através de sete capítulos, que consistem de introdução do 
trabalho, revisão bibliográfica, aplicação para estudos de caso e finalmente resultados e 
conclusões obtidas. A estruturação do trabalho é apresentada da seguinte maneira: 
 No primeiro capítulo são apresentados os objetivos, justificativa e metodologia 
do trabalho; 
 O capítulo 2 trata da revisão da literatura, onde é abordada inicialmente uma 
breve revisão estrutural em relação a aspectosgerais de análise e elementos 
estruturais, seguido de aspectos relativos especificamente às lajes radiers, como 
definição e classificação, materiais utilizados e disposições construtivas; 
 No capítulo 3 é abordada a questão da interação solo-estrutura como definições e 
embasamento teórico em relação ao módulo de reação do solo, que se trata de 
um conceito importante que será abordado ao longo dos demais capítulos; 
 O capítulo seguinte aborda resumidamente as teorias analíticas de placas de 
Kirchhoff e em seguida os métodos de cálculo existentes para lajes radiers; 
 No capítulo 5 há o emprego de ferramenta computacional para análise estrutural 
do elemento em questão. São expostos dois casos práticos de análise. Os 
fundamentos de cada método bem como um roteiro para modelagem do radier 
também são abordados ao longo do capítulo; 
 A seguir realiza-se dois estudos de caso no capítulo 6, utilizando os programas 
computacionais SAP2000 e CAD/TQS para tal, conforme metodologia abordada 
no capítulo anterior; 
 Finalmente no último capítulo são abordadas as conclusões e considerações 
finais. 
 
 
 
11 
 
 
1.2 Justificativa 
 
As lajes de fundação do tipo radier, mais conhecidas simplesmente por radiers, 
mostram-se como uma solução para fundações rasas, conforme a NBR 6122/96 – 
Projeto de Fundações – em seu item 3.4, sendo utilizadas principalmente para obras de 
programas de habitação financiadas pelo governo federal, nas quais objetiva-se a 
construção de um grande volume de moradias em um pequeno período de tempo. As 
fundações em lajes radiers também podem se mostrar viáveis para outras estruturas de 
pequeno porte, como pequenos blocos residenciais e comerciais ou casas térreas. 
Segundo Velloso e Lopes (2004), o radier encontra-se sempre como solução 
mais custosa devido ao alto consumo de concreto, porém seu uso se torna mais 
satisfatório quanto mais o número de pavimentos aumenta, de modo que Velloso e 
Lopes (2004) ressaltam que a economia fica mais evidente quando a soma das cargas na 
estrutura dividido pela resistência admissível do solo for maior que metade da área da 
edificação. No caso de estruturas de pequeno porte fica, portanto, evidente que a 
solução em lajes radier é de maior custo. 
Estudos comparativos como o de Pacheco (2010) revelam que a solução em 
sapatas corrida é mais econômica para os vários estudos de caso. É válido, contudo, 
ressaltar que “as fundações em radier podem ser mais eficientes e até mais econômicas 
se for levado em consideração seu tempo e praticidade de execução” (PACHECO, 2010, 
p. 14). 
A análise e dimensionamento de estruturas de laje do tipo radier, todavia, é 
ausente em literatura técnica brasileira dedicada. A NBR 6122/2010 – Projeto de 
fundações - e a própria NBR 6118/2007 – Projeto e execução de estruturas de concreto 
– mostram-se um tanto ineficazes quanto ao dimensionamento e análise estrutural de 
lajes do tipo radier, isto é, não há um item exclusivo para cálculo deste tipo de estrutura. 
É necessário que o engenheiro estrutural realize seu próprio modelo para dimensionar e 
verificar a estrutura. É importante ressalvar que “a escolha do tipo de fundação deve ser 
fruto da análise de diversas alternativas e não se deve deixar levar pelas imposições do 
sistema que se apresente no mercado” (DÓRIA, 2007, p. 1). Desta maneira, dada a 
exiguidade de material bibliográfico e programa computacional dedicado que sintetize o 
dimensionamento de lajes radier, surge-se a necessidade de realizar uma análise 
12 
 
 
estrutural criteriosa através de estudos de casos reais para verificação deste tipo de 
estrutura. 
 Espera-se, desta forma, que o conteúdo deste trabalho gere contribuições para a 
área da Engenharia Estrutural, e, possivelmente, para algumas formas de literaturas 
técnicas futuras que digam a respeito do dimensionamento de lajes de fundação 
(radiers). 
1.3 Metodologia 
 
1.3.1 Tipo de pesquisa 
 
Para este trabalho, será realizada uma pesquisa do tipo exploratória a nível de 
objetivos, uma vez que os estudos de caso e resultados estimulam a compreensão do 
fenômeno em estudo e a construção de hipóteses. A nível de procedimentos, esta será 
uma pesquisa experimental com estudos de caso, onde, segundo Gil (1991), consiste em 
determinar um objeto de estudo, selecionar as variáveis que seriam capazes de 
influenciá-lo e definir as formas de controle e de observação dos efeitos que as variáveis 
produzem no objeto. 
1.3.2 Procedimentos 
 
Para o projeto estrutural de lajes radier o engenheiro pode se dispor de diversos 
modelos de cálculo. Neste trabalho optou-se por utilizar o Método dos Elementos 
Finitos (MEF) e o Método da Analogia de Grelha (MAG) para modelar a estrutura 
através de ferramentas computacionais. As ferramentas aqui utilizadas foram o 
SAP2000 – integrated software for structural analysis and design e o CAD/TQS para 
análise estrutural e dimensionamento; e o Microsoft Excel para realização das planilhas 
comparativas e análises de custos. 
 
 
 
13 
 
 
1.4 Objetivos 
 
1.4.1 Objetivos gerais 
 
O objetivo geral do trabalho é realizar uma análise estrutural de uma laje de 
concreto do tipo radier usando ferramenta computacional através de dois modelos: MEF 
e MAG, obtendo os esforços na estrutura e comparando os resultados. Também visa-se 
obter a influência do módulo de reação do solo, isto é, o quanto a precisão geotécnica 
influencia numa análise estrutural. Também pretende-se realizar outra análise, desta vez 
fixando-se os parâmetros geotécnicos e carregamentos e variando a altura útil e 
consequentemente espessura da laje. Para isso a estrutura será processada para os vários 
tipos de casos, alterando os parâmetros que serão estudados. Em seguida será realizado 
um orçamento simplificado, mostrando a influência dos resultados de esforços no custo 
de materiais da estrutura de fundação (concreto e aço). 
1.4.2 Objetivos específicos 
 
Os objetivos específicos do trabalho são: 
 Sistematizar os conceitos teóricos existentes a respeito dos métodos de cálculo 
estudados (MEF e MAG); 
 Processar os casos práticos estudados e estudar comparativamente os resultados 
encontrados; 
 Estudar e interpretar os resultados relativos aos programas computacionais 
utilizados; 
 Avaliar sobre a influência do tipo de solo (constante de reação do terreno) nos 
resultados; 
 Avaliar sobre a influência da altura útil e espessura da laje radier em relação ao 
custo total de aço e concreto na execução da fundação. 
 
 
 
14 
 
 
2. REVISÃO DA LITERATURA 
 
2.1 Breve revisão estrutural 
 
Neste item serão apresentados brevemente conceitos importantes para o melhor 
entendimento das estruturas e da análise estrutural, como classificações dos elementos 
estruturais e esforços atuantes. 
No contexto da engenharia civil, o termo estrutura refere-se à sistemas 
compostos por peças estruturais ligadas entre si de modo a formar um conjunto estável, 
isto é, um conjunto capaz de receber solicitações externas, absorvê-las internamente e 
transmiti-las até os seus apoios, onde estas solicitações externas encontrarão seu sistema 
estático equilibrante (VANDERILEI, 2007). Em outras palavras, tratam-se de objetos 
com diferentes formas e tamanhos, construídos pelo homem, fixados permanentemente 
em superfície terrestre, como resultado de uma construção. Exemplos práticos são casas, 
edifícios, pontes, viadutos, torres de transmissão, etc. Podem ser utilizados materiais 
diversos para as peças estruturais, porém os materiais mais comumente utilizados 
atualmente na construção civil são o aço e o concreto. 
Os vínculos ou apoios são elementos que podem impedir o deslocamento de 
pontos das peças, introduzindo como consequência esforços nesses pontos 
correspondentes aos deslocamentos que impedem. Logo, estes têm a função de travar 
possíveis deslocamentos que a estrutura venha a ter.No plano estes apoios impedirão 
três movimentos que um provável corpo rígido causará. Para isso deve-se ter um 
sistema de carregamento aplicado, onde este sistema é equilibrado por um conjunto de 
carregamentos reativos que foi introduzido através dos vínculos ligados à estrutura 
(CAMPANARI, 1985). 
2.1.1 Elementos estruturais lineares 
 
Os elementos estruturais lineares tratam-se de elementos onde uma de suas 
dimensões é predominante em relação às outras, isto é, tem-se que uma das dimensões é 
significativamente maior do que as outras duas. Em termos convencionais, considera-se 
uma dimensão é significativamente maior quando esta for da ordem de cinco vezes 
maior que outra. 
15 
 
 
Exemplos clássicos de estruturas lineares na engenharia civil são as barras, onde 
geralmente se tratam de vigas e pilares. Nestes casos pode-se claramente notar que as 
dimensões da seção transversal são menores que a extensão de sua linha central, 
podendo estes ser considerados elementos de apenas uma dimensão no âmbito da 
análise estrutural. 
 
Figura. 2.1 – Vigas e pilares de concreto armado numa construção simples. FONTE: FRAGA, 2013. 
 
2.1.2 Elementos estruturais bidimensionais 
 
Os elementos estruturais bidimensionais ou planos são elementos em que uma de 
suas dimensões é significativamente menor do que as outras duas. Nota-se que o termo 
‘plano’ refere-se ao elemento possuir duas dimensões, e não do fato do elemento estar 
contido necessariamente num plano. A dimensão significativamente menor é tratada 
como a espessura do elemento. 
Os tipos de elementos estruturais bidimensionais são as placas, cascas e chapas. 
O que difere uma das outras é a forma física e, consequentemente, o modo como as 
solicitações externas e internas acontecem. 
As placas são elementos estruturais bidimensionais com carregamento normal à 
sua superfície. Assim sendo, nelas estarão ocorrendo flexão (em uma ou nas duas 
16 
 
 
direções) e cisalhamento. Os principais representantes destes elementos são as lajes em 
geral, incluindo as lajes de fundação do tipo radier, que serão o objeto de estudo deste 
trabalho, e serão mais detalhadas nos próximos capítulos. 
As chapas são elementos estruturais bidimensionais com carregamento ao longo 
de sua superfície (plano composto pelas duas maiores dimensões). São, portanto, 
elementos que recebem as ações diretamente, geralmente os comprimindo ao longo de 
toda a sua extensão. Os principais representantes destes elementos são paredes de 
alvenarias estruturais e vigas parede. 
As cascas são elementos superficiais semelhantes às placas, porém estas 
possuem curvaturas, com seus carregamentos tanto ao longo da superfície como normal 
ou inclinado à superfície. As principais representantes destes elementos são as cascas 
cilíndricas e abóbodas. Por serem elementos curvos, as cascas se aproximam do 
comportamento de arcos. 
 
Figura 2.2 – Elementos estruturais bidimensionais: placas, chapas e cascas. Fonte: ANDRADE, 2011. 
 
2.1.3 Elementos estruturais tridimensionais 
 
São elementos que possuem três dimensões com a mesma ordem de grandeza, 
isto é, não possuem nenhuma dimensão predominante. Exemplo clássico de elementos 
tridimensionais ou espaciais na engenharia civil são os blocos de fundações. 
17 
 
 
 
Figura 2.3 – Bloco de fundação (elemento tridimensional). FONTE: Construtora Lix da Cunha, 2007. 
 
2.1.4 Cargas e esforços nas estruturas 
 
Toda estrutura está submetida a esforços, isto é, forças e tensões de origens 
diversas que produzirão esforços variados conforme forem dispostas ao longo de suas 
dimensões. Ainda que não haja nenhum tipo de sobrecarga atuando na estrutura, esta 
ainda estará sujeita ao seu peso próprio. As ações externas (por assim dizer) produzidas 
na estrutura gerarão esforços internos que tenderão a ser resistidos pelo material da 
mesma. 
2.1.4.1 Esforços externos (ações externas) 
 
Os esforços externos atuam no sistema material em análise (por contato ou ação 
à distância) oriundos da ação de outro sistema. O peso próprio, a ação do vento e 
esforços vinculares são exemplos de esforços externos (CAMPOS, 2010). Estes 
esforços estão subdivididos em ativos e reativos. 
Os esforços externos ativos serão classificados de permanentes quando atuam 
constantemente sobre a estrutura (como seu peso próprio) e acidentais quando atuam de 
18 
 
 
forma transitória (o efeito do vento nas construções, carga de partida das máquinas, etc.) 
(CAMPOS, 2010). 
Os esforços ativos são conhecidos a priori, uma vez que no projeto são 
estabelecidas as dimensões da peça para cálculo do peso próprio, por exemplo. 
Os esforços reativos, produzidos pelos vínculos, são denominados de reações de 
apoio, sendo determinados pelas equações da estática que regem o equilíbrio das forças 
sobre um corpo em repouso (CAMPOS, 2010). 
2.1.4.2 Esforços internos solicitantes 
 
Os esforços internos solicitantes das estruturas são esforços a nível molecular 
exercidos sobre uma ou mais seções do material da estrutura oriundos das ações 
externas. 
As forças internas geralmente são distribuídas de forma complexa sobre as 
seções, mas, no entanto, as condições de equilíbrio são satisfeitas para cada parte 
separadamente. Isto significa que a resultante das forças internas na seção genérica pode 
ser obtida tanto na parte esquerda quanto na direita do corte imaginário (LIMA, 2010). 
 
Figura 2.4 – Esforços solicitantes. Corpo recortado virtualmente (a). Distribuição de forças ao longo da 
superfície recortada (b). Fonte: LIMA, 2010. 
 
As resultantes dos esforços internos poderão ser esforços normais, esforços 
cortantes, momentos fletores e momentos torsores, onde a maioria é presente nas 
pequenas e grandes estruturas. 
O esforço normal corresponde à componente da resultante de forças 
perpendicular à seção transversal. Esta solicitação tem como efeito sobre a peça a 
19 
 
 
tendência de tracioná-la (distendê-la) ou comprimi-la (encurtá-la), ou seja, sendo a peça 
retilínea, aumentar ou diminuir seu comprimento (SOARES, 2010). 
O esforço cortante é um esforço que tende a “cisalhar” o objeto, ou seja, faz com 
que a peça tenha a tendência de fazer as suas seções transversais deslizarem umas sobre 
as outras. Corresponde às componentes de resultantes de forças contidas no plano da 
seção transversal. 
O momento fletor representa a resultante dos momentos relativos à seção 
transversal, contidos no eixo da peça, gerados por cargas aplicadas transversalmente ao 
eixo longitudinal. O esforço tende a curvar o eixo longitudinal, provocando tensões 
normais de tração e compressão na peça. 
O momento torsor representa a resultante dos momentos gerados por cargas 
contidas ou que possuam componentes no plano perpendicular ao eixo da peça. Seu 
efeito sobre a peça é a tendência das diversas seções transversais girarem umas em 
relação às outras em torno do eixo longitudinal, torcendo a peça. 
 
Figura 2.5 – Esforço de cisalhamento e esforço normal (da esquerda para a direita). FONTE: 
CAROPRESI, 2010. 
 
Figura 2.6 – Esforços de flexão e torção (da esquerda para a direita). FONTE: PALACIOS, 2011. 
20 
 
 
 2.1.5 Análise estrutural 
 
A análise estrutural trata-se da determinação dos efeitos das cargas 
externas sobre as estruturas físicas, que, no ramo da engenharia civil, compreendem 
todas as estruturas que devem resistir a cargas como: edifícios residenciais de concreto 
armado, estruturas metálicas, pontes e viadutos, fundações, estruturas pré-moldadas e 
outros. A análise estrutural incorpora os campos da mecânica estrutural, ciência dos 
materiais e matemática aplicada, a fim de calcular todas as deformações da estrutura, 
bem como os esforços internos, tensões e reações de apoio. Seus resultados são usados 
para verificar a aptidão de uma estrutura para seu uso, de forma que a estrutura 
proporcione um bom desempenho e seja segura, sólidae funcional. A análise estrutural 
é, portanto, uma parte fundamental do projeto de engenharia de estruturas. 
Em suma, no âmbito da Engenharia de Estruturas, a análise estrutural tem então 
como objetivo a determinação do estado de tensão e de deformação de um sólido de 
geometria arbitrária sujeito a ações exteriores. 
Em toda e qualquer tipo de análise estrutural no ramo da engenharia civil, dada 
complexidade de qualquer estrutural real, o engenheiro é forçado a simplificar o seu 
modelo, que deve ser montado apenas com os parâmetros mais importantes do 
elemento. No caso de uma viga, por exemplo, para modelo de análise estrutural deverão 
ser consideradas apenas o seu comprimento, apoios, materiais e carregamento, tratando-
a com uma barra de apenas uma dimensão. Em geral, os elementos estruturais ao ser 
representados em modelos de análise estrutural tem “dimensões reduzidas” quando 
comparados ao mesmo elemento real. Essa entre outras hipóteses simplificadoras tem de 
ser aplicadas diante da complexidade de análise de uma estrutura tridimensional real. 
 
Figura 2.7 – Viga de concreto armado apoiada em dois pilares de concreto. 
21 
 
 
 
Figura 2.8 – Modelo Estrutural para a viga real da figura 2.7. 
 
2.2 Fundações 
 
Do latim fundare, que significa apoiar, firmar, fixar, segundo Caputo (1987), 
fundação é a parte de uma estrutura que transmite a carga da obra ao terreno subjacente, 
o qual pode ser composto por rochas, solos (pedregulhos, areias, argilas, etc.) ou aterros. 
O estudo de toda fundação compreende preliminarmente o cálculo das cargas atuantes 
na fundação e o estudo do terreno. 
Depois do estudo preliminar, deve-se escolher o tipo de fundação, atentando-se, 
segundo Caputo (1987), para alguns fatores: 
 As cargas da estrutura devem ser transmitidas às camadas de terreno 
capazes de suportá-las sem ruptura; 
 As deformações das camadas de solo subjacentes às fundações devem ser 
compatíveis com as da estrutura; 
 A execução das fundações não deve causar danos às estruturas vizinhas; 
 A escolha e o tipo de fundação deve atentar também para o aspecto 
econômico. 
Por fim, tem-se o dimensionamento e detalhamento, estudando-se a fundação 
como elemento estrutural. 
Os diferentes tipos de fundações podem ser separados em dois grandes grupos: o 
das fundações profundas e o das fundações superficiais. 
Dentro do primeiro grupo, podemos destacar alguns tipos: As estacas, que são 
peças alongadas, cilíndricas ou prismáticas cravadas no solo para transmitir as cargas da 
estrutura a uma camada profunda e resistente; Os tubulões, que possuem forma 
cilíndrica, com base alargada ou não, com função semelhante a das estacas; Os caixões, 
22 
 
 
que são de seção retangular e normalmente possuem volumes muito maiores que os 
tubulões. 
Já com relação às fundações superficiais, podem ser destacados os seguintes 
tipos: 
 Fundação isolada: suporta apenas a carga de um pilar. Pode ser um 
bloco, que é normalmente feito de concreto simples ou ciclópico e com 
grande altura, garantido uma boa rigidez, ou uma sapata, que é feita de 
concreto armado e possui pequena altura com relação às dimensões da 
base, além de ter certa flexibilidade; 
 Fundação excêntrica: a resultante das cargas aplicadas não passa pelo 
centro de gravidade da base, como no caso de fundações em divisas de 
terreno; 
 Fundação corrida: transmite a carga de um muro, parede ou fila de 
pilares, como as sapatas corridas e a viga de fundação; 
 Placas de fundação, radiers ou “mat foundation”: reúnem num só 
elemento de transmissão de carga um conjunto de pilares. Este tipo de 
fundação será o foco deste trabalho e será abordado de maneira mais 
detalhada a seguir. 
 
Figura 2.9 – Sapata isolada. FONTE: Construtora Gabriel Bacelar, 2009. 
23 
 
 
2.3 Radiers 
 
2.3.1 Definição e classificação 
 
Radier é um tipo de fundação superficial que suporta uma estrutura e transmite 
toda a sua carga uniformemente ao solo. Normalmente é executado em concreto armado 
ou protendido. Segundo a NBR 6122/96, o radier é definido como um elemento de 
fundação superficial que abrange todos os pilares da obra ou carregamentos distribuídos 
(por exemplo: tanques, depósitos, silos, etc.). 
Fundações do tipo radier são geralmente utilizadas quando o solo tem baixa 
capacidade de suporte de carga, quando se quer uniformizar os recalques (o uso do 
radier gera uma redução tanto nos recalques totais quanto nos diferenciais, sendo estes 
últimos os que geram maiores danos às obras) ou quando as áreas das sapatas se 
aproximam umas das outras. 
Além da qualidade do concreto utilizado para a construção do radier, o 
desempenho deste também depende das propriedades do solo que serve de suporte. 
Assim, para o cálculo estrutural e dimensionamento do radier, deve-se fazer a 
classificação adequada do solo, conhecendo-se seu módulo de reação e sua resistência, a 
qual é interferida pelo grau de compactação e pelo teor de umidade. Esse conhecimento 
é necessário para identificar solos potencialmente problemáticos. No capítulo 3 será 
abordado mais sobre questão da interação solo-estrutura. 
Quanto à classificação dos radiers, estes podem ser diferenciados com relação à 
geometria, rigidez à flexão e tecnologia empregada na execução. 
Quanto à geometria, segundo Dória (2007), os radiers podem ser de quatro 
diferentes tipos, em ordem crescente de rigidez: lisos, com pedestais ou cogumelos, 
nervurados e caixão. 
 Radier liso: é apenas uma laje com espessura constante e sem nenhuma viga 
enrijecedora. Forma de execução muito simples é sua principal vantagem; 
24 
 
 
 
Figura 2.10 – Radier liso. FONTE: Construção civil, blog do engenheiro civil, 2012. 
 
 Radier com pedestais ou cogumelos: há uma melhoria na resistência à flexão e 
ao cisalhamento devido a um aumento de espessura sob os pilares. Os pedestais 
podem ser superiores ou inferiores (estes últimos deixam a superfície do piso 
plana); 
 
Figura 2.11 – Radier com pedestais ou cogumelos. FONTE: Construção civil, blog do engenheiro 
civil, 2012. 
 
 Radier nervurado: são colocadas nervuras principais e secundárias sob os 
pilares, as quais podem ser inferiores ou superiores (nestas últimas precisa-se da 
colocação de agregado para que a superfície do piso fique plana); 
 
Figura 2.12 – Radier nervurado. FONTE: Construção civil, blog do engenheiro civil, 2012. 
25 
 
 
 Radier em caixão: tem a vantagem de possuir uma grande rigidez e poder ser 
executado com vários pisos. 
 
Figura 2.13 – Radier em caixão. FONTE: Construção civil, blog do engenheiro civil, 2012. 
 
As condições de cada obra determinarão a escolha do tipo mais adequado. 
Fatores como cargas a transmitir, terreno da fundação, recalques máximos 
permitidos, viabilidade econômica e método e prazo de execução devem ser 
avaliados na hora de se escolher o tipo do radier. 
Quanto à rigidez, segundo Dória (2007), os radiers podem ser dividos em 
rígidos e elásticos. 
Radier rígido é aquele que, por ter uma rigidez à flexão elevada, os 
deslocamentos relativos da placa são desprezíveis e assim pode ser tratado como um 
corpo rígido. O contrário ocorre para o radier elástico, que possui menor rigidez. 
Segundo o American Concrete Institute – ACI (1997), o radier pode ser 
considerado rígido se, e somente se, as duas seguintes condições abaixo forem 
atendidas: 
1- o espaçamento l entre as colunas deve atender a: 
 
√ 
 
 ⁄
 
onde b é a largura da faixa de influência da linha de colunas, kv é o 
coeficiente de reação vertical e Ec x I é a rigidez à flexão da faixa; 
2- a variação nas cargas e espaçamento das colunas deve ser menor ou igual 
a 20%. 
26 
 
 
Caso contrário, o radier será considerado flexível. 
Quanto à tecnologia utilizada na construção, segundo Dória (2007), o radier 
pode ser construído em concreto armado ou concreto protendido. 
Radier em concretoarmado é aquele que é construído com armardura 
passiva. A NBR 6118/03 define elementos de concreto armado como aqueles cujo 
comportamento estrutural depende da aderência entre concreto e armadura, e nos 
quais não se aplicam alongamentos iniciais das armaduras antes da materialização 
dessa aderência. A NBR 6118/03 ainda define armadura passiva como qualquer 
armadura que não seja usada para produzir forças de protensão, isto é, que não seja 
previamente alongada. 
Determinar a resistência à compressão do concreto é essencial para o 
funcionamento do radier em concreto armado. Essa resistência tem papel 
fundamental para determinar a espessura do radier, além de influenciar na 
deformação por retração, deformação lenta e deformação causada pela a variação de 
temperatura. 
Além da resistência à compressão do concreto, também têm importância no 
desempenho do radier a concretagem e o acabamento superficial na fase de 
execução. Essas duas operações têm efeito relacionado com a qualidade da camada 
fina na superfície superior do radier. Cuidados com essa etapa são necessários para 
evitar o aparecimento de fissuras, as quais podem ocorrer devido à movimentação 
do solo e ao comportamento térmico ou de retração do concreto. Segundo Dória 
(2007), os tipos de fissuração mais frequentes em placas de concreto do tipo radier 
são as fissuras paralelas à junta de movimentação, fissuras superficiais concentradas 
e fissuras de retração. 
Radier em concreto protendido é aquele que é construído com uso de 
armadura ativa. A NBR 6118/03 define elementos de concreto protendido como 
aqueles nos quais parte das armaduras é previamente alongada por equipamentos 
especiais de protensão com a finalidade de, em condições de serviço, impedir ou 
limitar a fissuração e os deslocamentos da estrutura e propiciar o melhor 
aproveitamento de aços de alta resistência no estado limite último (ELU). A NBR 
6118/03 ainda define armadura ativa como aquela que é constituída por barra, fios 
27 
 
 
isolados ou cordoalhas, destinada à produção de forças de protensão, isto é, na qual 
se aplica um pré-alongamento inicial. 
Atualmente, no Brasil, a tecnologia de radier em concreto protendido tem 
sido bastante utilizada, principalmente em construções mais simples dos programas 
de habitação financiadas pelo governo federal. Fatores como simplicidade, rapidez, 
segurança e vantagens técnicas e econômicas são responsáveis pelo seu uso. Na 
prática, este tipo de radier é usado para construções de até 14 pavimentos. 
Segundo o Concrete Society (2000), o radier em concreto protendido pós-
tracionado tem certas vantagens em relação ao construído em concreto armado. 
Dentre essas vantagens, pode ser dito que o primeiro possui menor espessura de laje, 
reduz fissuração, tem uma execução mais rápida e é mais impermeável. 
Ainda segundo o Concrete Society (2000), algumas perdas que ocorrem 
desde o início da aplicação da tensão nos cabos até o estágio final da protensão 
podem ser dividias em dois tipos diferentes. Um deles se referem às perdas 
imediatas, que podem ser por atrito, na ancoragem ou devido ao encurtamento 
elástico do concreto. O segundo tipo é o das perdas progressivas, que podem ser por 
retração do concreto, por fluência do concreto sob efeito da protensão e por 
relaxação do aço. 
Em termos de análise estrutural, a laje do tipo Radier pode ser considerada 
como um elemento estrutural bidimensional de duas dimensões, conforme 
conceituado anteriormente. Mais precisamente, o Radier pode ser tratado como uma 
placa, isto é, elemento que estará sujeito a ações normais à sua superfície e tenderá a 
ser solicitado por flexão predominantemente. A análise de elementos de placa será 
feita mais adiante. 
2.3.2 Materiais 
 
Para construção do radier são necessários principalmente os materiais concreto, 
armadura passiva (aço para concreto armado) e cordoalhas (aço para concreto 
protendido). 
Segundo Battagin (2009), o concreto é uma mistura homogênea de cimento, 
agregados miúdos e graúdos, com ou sem incorporação de componentes minoritários 
28 
 
 
(aditivos químicos e adições), que desenvolve suas propriedades pelo endurecimento da 
pasta de cimento. O concreto pode ser dividido em dois estados físicos: fresco e 
endurecido. 
No primeiro estado, o concreto tem como principal característica a 
trabalhabilidade. Quando nessa fase, este material é plástico e assim é possível ser 
modelado em formas e dimensões das mais variadas. Os fatores que mais influenciam 
para esta característica são a relação de água com mistura seca (esse considerado o 
principal), a granulometria dos agregados e o formato e textura dos grãos (quanto mais 
arredondados e lisos, melhor para a trabalhabilidade). 
No estado endurecido, o concreto tem como algumas características a 
resistência, impermeabilidade e durabilidade, sendo a primeira delas a mais importante. 
O fator água/cimento é o que mais influencia na resistência. Quanto menor essa relação, 
maior será a resistência à compressão e à abrasão do concreto. 
Na fabricação do concreto, segundo Dória (2007), devem-se ter alguns cuidados, 
tais como a verificação da resistência a compressão do concreto, quantidade mínima de 
cimento, tamanho máximo do agregado graúdo, slump (abatimento) e uma pequena 
quantidade de ar incorporado. Ainda segundo Dória (2007), a durabilidade, resistência 
requerida nas primeiras idades, materiais disponíveis e fatores econômicos influenciam 
na escolha do tipo e classe do concreto. 
A tabela a seguir, retirada da NBR 6118/03, mostra a relação entre a classe de 
agressividade e qualidade do concreto. 
Tabela 2.1 – Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto. 
29 
 
 
Com relação à armadura passiva, a NBR 6118/03 recomenda a utilização de aço 
para concreto armado com valor característico da resistência ao escoamento nas 
categorias CA-25, CA-50 e CA-60. A seguir serão apresentadas algumas características 
para esse tipo de armadura: 
 Massa específica: 7850 kg/m³ 
 Coeficiente de dilatação térmica: 10-5 oC-1 
 Módulo de elasticidade: 210 GPa 
Já para o radier protendido, um aço de alta resistência é utilizado pra protender o 
concreto. Normalmente utiliza-se uma cordoalha engraxada e plastificada formada por 
sete fios. Esta cordoalha, entregue na obra em bobinas, é beneficiada de acordo com 
especificações e tamanhos exigidos pelo engenheiro projetista. Para este tipo de 
cordoalha são utilizadas ancoragens e cunhas para protensão do radier. 
 
Figura 2.14 – Detalhe de cordoalha de sete fios. FONTE: Revista Téchne, 2012. 
Segundo Emerick (2002), as cordoalhas devem estar sempre limpas e livre de 
corrosão, além do que rasgos ou falhas da cobertura plástica devem ser reparados antes 
do lançamento do concreto com fita plástica para isolar a cordoalha do concreto. 
A tabela a seguir apresenta algumas propriedades físicas e geométricas de 
cordoalha engraxada de sete fios. 
Tabela 2.2 – Características das cordoalhas engraxadas de sete fios. FONTE: DÓRIA, 2007. 
30 
 
 
2.3.3 Disposições construtivas 
 
A seguir serão apresentadas algumas recomendações para construção de uma 
fundação em radier, segundo Dória (2007): 
 Recomenda-se, contra fissuras fragmentadas, utilizar secagem leve e não 
adicionar cimento seco à superfície para absorver água exsudada. Contra 
fissuras de retração plástica, utiliza-se uma cobertura de controle da 
evaporação pulverizada no concreto fresco em tempo quente ou ventoso; 
 Deve-se colocar água no concreto em uma quantidade para que se tenha 
um slump máximo de 12,7 cm; 
 Deve-se fazer o nivelamento e compactação do solo antes de execução da 
fundação. Assim, exige-se ter um controle do CBR e ensaios devem ser 
feitos para se comprovar os valores adotados pelo projetista; 
 É pertinente que se tenha as tubulações para instalações hidro-sanitárias, 
os eletrodutos e as saídasdas armaduras de escadas e pilares já 
posicionadas no solo sob a placa para evitar futuros cortes na laje já 
concretada; 
 Faz-se a escavação da viga do radier e coloca-se formas nas suas laterais; 
 É recomendado isolar o solo do concreto com uma manta plástica após a 
instalação das tubulações e eletrodutos. 
Já segundo Almeida (2001), o subleito deve servir de suporte firme e 
razoavelmente uniforme para a estrutura, ainda quando estiver molhado. Caso contrário, 
utiliza-se brita graduada. Além disso, antes de ser lançado o concreto, o solo de argila 
expansiva deve estar úmido e acima do seu teor de umidade ótima. 
 
 
 
 
 
31 
 
 
3. PARÂMETROS GEOTÉCNICOS 
 
O presente capítulo foca a questão da interação solo-estrutura, fator importante a 
ser considerado para a análise estrutural. Além disso, será também abordado sobre o 
módulo de reação do solo. 
3.1 Interação solo-estrutura 
 
É de fundamental importância conhecer a estrutura do solo, pois esta tem 
influência direta no comportamento do mesmo, tanto em termos de resistência ao 
cisalhamento quanto de compressibilidade e até de permeabilidade. Segundo Machado e 
Machado (2001), a estrutura dos solos finos possui maior diversificação e complexidade 
do que a dos solos grossos, pois estes últimos possuem comportamento baseado na 
gravidade enquanto os solos finos em forças elétricas, ou seja, forças de atração e 
repulsão entre suas partículas. 
Considera-se que as cargas em uma estrutura são aplicadas sobre as lajes, as 
quais transferem para as vigas, passando depois para os pilares e por fim chegam na 
fundação. Esta é a interface entre o solo e a estrutura, onde toda a carga da edificação 
será jogada no solo, e assim, supõe-se que nessa parte seja garantida a indeslocabilidade 
da base dos pilares. Com isso, muitos projetos estruturais são feitos com base na 
hipótese de solo rígido e indeslocável. 
Mas na verdade tal hipótese pode ser considerada equivocada, e para se projetar 
de acordo ou mais próximo da realidade, deve ser considerada a deformabilidade do 
solo nos projetos de estrutura. A superestrutura e a infraestrutura irão trabalhar de forma 
conjunta. Daí a necessidade de se estudar a interação solo-estrutura. 
Segundo Antoniazzi (2011), a interação solo-estrutura nada mais é do que a 
ligação entre a estrutura, a fundação e o solo. O processo tem início juntamente com a 
fase inicial da construção e se estende até que haja uma situação de equilíbrio, ou seja, 
até que as tensões e deformações tanto no maciço de solo quanto na estrutura se 
estabilizem. 
32 
 
 
O termo interação solo-estrutura compreende um vasto campo de estudo que 
abrange todos os tipos de estrutura em contato com o solo, como por exemplo, estrutura 
de prédio, pontes, silos e muros de arrimos (COLARES, 2006). 
No passado de fato seria inviável a consideração detalhada da interação solo-
estrutura no processo de dimensionamento devido à complexidade englobada e aos 
cálculos requeridos para tal avaliação. Porém, com o avanço e disseminação de 
softwares e modelos computacionais que simplifiquem a quantidade de cálculos 
realizados, recomenda-se a adoção de critérios que gerem um modelo mais próximo da 
realidade e não apenas se basear em hipóteses simplificadoras que adotam o solo como 
rígido e indeslocável. 
A consideração da interação solo-estrutura permite ao calculista estimar os 
efeitos da redistribuição dos esforços nos elementos estruturais, assim como a forma e a 
intensidade dos recalques diferenciais, contribuindo para a obtenção de projetos mais 
eficientes e eficazes (IWAMOTO, 2000). Assim, muitos problemas e patologias podem 
ser evitados ou ter seus efeitos minimizados. 
A figura a seguir mostra um esquema de divisão do solo em duas regiões com 
características distintas. A região I é aquela onde o solo é considerado deformável, 
enquanto que na região II considera-se o solo como rígido. Segundo Dória (2007), o 
limite entre as duas regiões é determinado através de uma análise mais detalhada e a 
região I pode ser modelada como uma parte do sistema estrutural inteiro. 
 
Figura 3.1 – Divisão esquemática do solo em regiões. FONTE: DÓRIA, 2007. 
33 
 
 
3.1.1 Fatores de influência no mecanismo da interação solo-estrutura 
 
Dentre os vários fatores que influenciam na interação solo estrutura, serão 
abordados aqui a influência de edificações vizinhas, rigidez relativa entre radier e solo e 
influência do tempo. 
Costa Nunes (1956) divide os movimentos característicos devido aos 
carregamentos vizinhos em quatro tipos, considerando edificações semelhantes e de 
acordo com a época da construção. 
O primeiro tipo refere-se a prédios vizinhos construídos simultaneamente. Nesse 
caso, há uma superposição de tensões entre os prédios, induzidas por seus 
carregamentos. 
O segundo tipo aborda prédios vizinhos construídos em tempos diferentes. O 
primeiro prédio construído gera pré-adensamento do solo sob sua base, enquanto o 
segundo gera um acréscimo de tensões que, juntamente com as tensões já existente do 
primeiro prédio, provoca um aumento nos recalques. 
O terceiro tipo considera uma nova edificação construída entre outras duas já 
existentes. O prédio construído por último gera um acréscimo de tensões no maciço e, 
consequentemente, recalques nos dois prédios mais antigos. 
Por fim, o quarto tipo se refere a duas novas edificações construídas vizinhas a 
uma outra já existente. A edificação mais antiga provoca o pré-adensamento do solo e 
os novos prédios, ao serem construídos, sofrerão tombamento em sentidos contrários. 
A rigidez relativa entre o radier e o solo é um fator importante na definição das 
pressões de contato. Quanto mais flexível for a fundação, mais as pressões de contato 
refletirão o carregamento. Segundo Meyerhof (1953), a rigidez relativa (Rr), em radiers, 
pode ser calculada pela expressão seguinte: 
 
 
 
 
onde Ec é o módulo de elasticidade do material da placa, I é o momento de inércia da 
seção transversal da placa por unidade de largura, E é o módulo de elasticidade do solo 
e B é a largura da placa. 
34 
 
 
Com relação à influência do tempo, baseado em Chamecki (1969), a figura a 
seguir mostra quatro casos para demonstrar a interação que ocorre entre o solo e 
estruturas com diferentes valores de rigidez. 
 
Figura 3.2 – Diferentes casos de interação solo-estrutura. FONTE: ANTONIAZZI, 2011. 
 
O caso “a” mostra uma estrutura infinitamente rígida, a qual apresenta recalques 
uniformes, apoiada em meio elástico. Este tipo é independente do tempo. Como 
exemplo pode-se ter edifícios muito altos e com fechamento das paredes resistentes 
trabalhando em conjunto com a estrutura. 
No caso “b” tem-se uma estrutura perfeitamente elástica, que possui rigidez que 
não depende da velocidade de progressão dos recalques, ou seja, não depende do tempo. 
Estruturas de aço possuem comportamento semelhante a este caso. 
No caso “c” refere-se a uma estrutura visco-plástica, que possui rigidez que 
depende da velocidade de progressão dos recalques diferenciais, isto é, ela depende do 
tempo. Se os recalques acontecem em pouco tempo, o comportamento da estrutura 
tende para o caso “b”. Mas se a progressão dos recalques acontecer de forma lenta, o 
comportamento da estrutura tenderá para o caso “d”. Estruturas de concreto armado 
apresentam comportamento semelhante a este caso. 
35 
 
 
Já no caso “d”, a estrutura não apresenta rigidez aos recalques diferenciais, ela se 
adapta perfeitamente às deformações do solo. Logo, este caso também não depende do 
tempo. Pode-se ter como exemplo aproximado as estruturas isostáticas e edifícios 
compridos ao longo do eixo horizontal. 
3.2 Hipótese de Winkler e constantes elásticas do solo 
 
Dentre os modelos conhecidos para se considerar a interação solo-estrutura nos 
projetos estruturais, em virtude da simplicidade, os mais utilizadosatualmente nos 
escritórios de cálculo são os que separam o sistema estrutural do maciço de solo. Dessa 
forma, a deformabilidade do solo pode ser representada por meio de molas elásticas no 
contorno da estrutura-solo, considerando as propriedades mecânicas do maciço e a 
compatibilização dos recalques (ANTONIAZZI, 2010). Tais molas funcionam para o 
modelo como apoios elásticos à translação, cuja constante da mola, ou módulo de 
reação vertical, pode ser estimado em função dos parâmetros do solo. 
Assim um modo de representar o radier é como uma grelha sobre base elástica, 
em que as molas são posicionadas nos nós da grelha, como mostrado na figura a seguir: 
Figura 3.3 – Representação do radier pelo método de grelha sobre base elástica. FONTE: PACHECO, 
2010. 
 
36 
 
 
O modelo citado, o qual admite que as cargas aplicadas na superfície do solo 
geram deslocamentos somente nos pontos de aplicação das mesmas e, 
consequentemente, desconsidera o efeito da descontinuidade do meio, foi proposto em 
1867 por Winkler. Assim, esse modelo ficou conhecido como Hipótese de Winkler ou 
modelo da fundação elástica simples. 
A figura a seguir mostra o solo se deformando segundo esse modelo, ou seja, se 
deformando somente no ponto de aplicação da carga, no local da fundação, sem 
considerar o efeito de outras cargas que não sejam aquelas da estrutura. 
 
Figura 3.4 – Representação da hipótese de Winkler. FONTE: ANTONIAZZI, 2011. 
 
A Hipótese de Winkler tem base em um sistema de molas com resposta linear, 
ou seja, as pressões de contato são proporcionais aos deslocamentos. Estes, por sua vez, 
podem ser tanto devido a ações verticais quanto a ações horizontais. 
Logo, devem ser determinados valores de coeficiente de reação para cada tipo de 
solo e de sistema de fundação. Define-se então o parâmetro kv (coeficiente de reação 
vertical) para representar o coeficiente de rigidez que o solo possui para resistir ao 
deslocamento mobilizado por uma pressão imposta. Enquanto o coeficiente de mola 
está relacionado a uma força, o coeficiente de reação vertical relaciona-se com uma 
pressão. 
 
37 
 
 
 
Figura 3.5 – Analogia entre coeficiente de mola e coeficiente de reação vertical. FONTE: ANTONIAZZI, 
2011. 
 
Apesar da vantagem da simplicidade, esse modelo tem a limitação de não 
considerar as fundações vizinhas nas constantes de mola, ou seja, não considera o efeito 
de grupo no cálculo dos recalques. 
Para o caso de deformação vertical, a Hipótese de Winkler é dada pela seguinte 
equação: 
 
Onde, 
 é a tensão de contato média na base da fundação; 
 é o deslocamento vertical; 
 é o módulo de reação vertical, sendo este valor definido em função do tipo de 
solo que compõe o maciço de fundação (DÓRIA, 2007). 
Com base na Hipótese de Winkler, Scarlat (1993) demonstra uma forma mais 
simples de quantificar o efeito da deformabilidade dos solos. Segundo ele, o método 
mais preciso seria através de uma análise interativa tridimensional em que o solo e a 
estrutura são idealizados como um sistema único, mas pela sua complexidade não é 
muito utilizada na prática. Sua forma simplificada seria considerar uma série de molas 
discretas sob a base da fundação. As molas são representadas pelo coeficiente de apoio 
elástico Ks, o qual é diretamente proporcional ao módulo de reação ki e à área carregada 
Af. 
38 
 
 
 
 
 
 
Segundo Souza (2006), se for assumido que a base da fundação permanece 
rígida após a deformação elástica do solo, tem-se aproximadamente uma variação linear 
das tensões e assim, o conjunto de molas pode ser substituído por três molas globais no 
centro da fundação: 
Kv (kN/m) coeficiente de mola para os deslocamentos verticais, w; 
Kh (kN/m) coeficiente de mola para os deslocamentos horizontais, (x,y); 
K (kN/m) coeficiente de mola para as rotações, (). 
Assim, pela Hipótese de Winkler, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, para o dimensionamento do radier é necessário conhecer o coeficiente de 
mola, o qual depende do tipo de solo. No estudo de caso prático em questão, será 
considerado apenas o coeficiente de reação vertical para a modelagem. Existem alguns 
métodos para se obter esse valor. A seguir será apresentado como se obter o coeficiente 
de reação vertical pelo ensaio de placa, recalque vertical estimado e tabelas com alguns 
valores padronizados. 
3.2.1 Determinação do coeficiente de reação vertical a partir do uso de tabelas 
 
Terzaghi (1995) sugere valores padronizados para o módulo de reação vertical 
para diferentes características de solos (tabela 3.1). 
Moraes (1976) também propôs alguns valores para o módulo de reação vertical 
na falta de métodos apropriados (tabela 3.2). 
39 
 
 
Certamente a utilização de tabelas não é o método mais apropriado para se obter 
o coeficiente de reação vertical de um maciço de solo. Mas, por conter valores 
aproximados, eles ajudam a construir modelos para estudo que considerem a 
deformação do solo, ou seja, modelos mais próximos da realidade. 
Tabela 3.1 – Valores de (kN/m³) segundo Terzaghi. FONTE: ANTONIAZZI, 2011. 
 
Tabela 3.2 – Valores de (kN/m³) segundo Moraes. FONTE: ANTONIAZZI, 2011. 
 
40 
 
 
Para todos os efeitos, ainda que existam modelos mais complexos para a 
consideração da interação solo-estrutura, como os modelos com base na teoria de 
Mindlin (1936), será adotado o modelo da fundação elástica simples para a 
consideração da interação solo-estrutura nos estudos de caso deste trabalho. A análise 
de interação solo-estrutura, portanto, será feita em método computacional com a ajuda 
de um programa de análise estrutural que represente o solo através de molas com rigidez 
equivalente que serão obtidas através das tabelas de Terzaghi e Moraes. 
3.2.2 Determinação do coeficiente de reação vertical a partir de ensaios de placa 
 
O ensaio de placa é um método experimental padronizado pela NBR 6489/1984 
que pode ser utilizado para obter o coeficiente de reação vertical. 
Esse ensaio é feito por meio de provas de carga sobre placa, em que é realizado 
um ensaio de compressão diretamente na superfície ou em determinada profundidade do 
terreno utilizando uma placa metálica e rígida de área superior a 0,5 m². São aplicadas 
cargas verticais no centro da placa de maneira incremental e para cada etapa de 
incremento de carga medem-se as deformações. O resultado do ensaio é apresentado na 
forma de um gráfico com uma curva pressão-recalque. 
A interpretação desse gráfico nos dá o coeficiente de reação vertical. Este pode 
ser obtido, segundo Cintra et al. (2003) ajustando-se uma reta à parte inicial do gráfico, 
em que se tem a relação: 
 
 
 
 
onde kv é o coeficiente de reação vertical, q é a tensão aplicada à placa e w é o recalque. 
Porém, antes de ser utilizado, segundo Velloso & Lopes (2004), o coeficiente de 
reação vertical obtido a partir do ensaio de placa necessita ser corrigido em função da 
dimensão e da forma da fundação real, de acordo com as equações apresentadas a 
seguir. 
Para solos arenosos: 
 
 
 
 
41 
 
 
Para solos argilosos: 
 
 
 
 
Onde: 
BFundação é a largura do radier; 
BPlaca é a largura da placa; 
AFundação é a área da fundação; 
APlaca é a área da placa. 
Segundo Décourt e Quaresma Filho (1996), o ensaio de placa é o método mais 
adequado para se obter os parâmetros de carga-recalque das fundações, porém tem 
pouca aplicabilidade já que possui elevado custo e longo tempo para sua execução. 
3.2.3 Determinação do coeficiente de reação vertical a partir do cálculo do 
recalque vertical estimado 
 
Apenas será considerado aqui a parcela do recalque absoluto referente ao 
recalque imediato, pois este é o responsável pela maior parte do total. 
De acordo com a teoria da elasticidade,podemos obter o recalque vertical 
estimado para solos argilosos a partir da seguinte equação: 
 (
 
 
) 
Onde: 
i é o recalque vertical estimado; 
 é a tensão média na superfície de contato entre a base do radier e a camada de 
argila; 
B é a menor dimensão do radier; 
v é o coeficiente de Poisson; 
42 
 
 
E é o módulo de elasticidade do solo; 
Ip é o fator de forma. 
Assim, temos que o módulo de reação vertical do solo é dado por: 
 
 
 
 
Esse resultado é obtido considerando uma camada de solo argilosa semi-infinita. 
Quando há uma camada de argila finita acima de outra considerada rígida, a equação do 
recalque vertical estimado precisa ser adaptada, segundo Janbu et al. (1956), apud 
Simons & Menzies (1981), da seguinte forma: 
 
 
 
 
Onde 0 e 1 são fatores obtidos pelas curvas que relacionam L/B em função de 
h/B e H/B, sendo L o comprimento e B a largura do radier, h a profundidade do radier 
com relação à superfície do terreno e H a espessura da camada compressível a partir da 
base do radier. 
43 
 
 
Figura 3.6 – Fatores 0 e 1 para o cálculo do recalque imediato em camada argilosa finita. FONTE: 
ANTONIAZZI, 2011. 
 
Já para solos arenosos pode-se utilizar esta última equação majorada pelo valor 
de 1,21 para corrigir os fatores 0 e 1, os quais foram desenvolvidos para argila 
saturada com coeficiente de poisson v = 0,5. Além disso, como as areias não apresentam 
módulo de elasticidade constante com a profundidade, deve-se subdividir o solo arenoso 
em camadas com um valor E médio para cada. 
 
 
 
44 
 
 
4. ANÁLISE E MODELOS PARA CÁLCULO DE PLACAS 
 
4.1 Elementos estruturais de placas 
 
Placas são elementos estruturais planos, diferentemente de barras, que são 
considerados elementos lineares a nível de análise estrutural, conforme conceituado 
anteriormente. Na prática, as placas são elementos que possuem uma dimensão, no caso 
a espessura, muito menor do que as outras duas, isto é, correspondem às lajes em geral. 
As ações estáticas e dinâmicas aplicadas nestas placas são, predominantemente, 
carregamentos perpendiculares à superfície da placa, gerando assim esforços internos de 
momento fletor, momento torsor e esforço cortante, assim como em barras. 
Exemplos clássicos de estruturas de placas na indústria da engenharia civil são 
lajes de concreto armado para pisos em edificações; lajes de fundo e tampa em 
reservatórios de água; patamares de escadas; lajes de fundação e outros. O último 
exemplo trata-se do estudo do trabalho: lajes de fundação de concreto armado do tipo 
radier. Esses elementos estruturais podem ser tratados como elementos de placa, que 
estarão apoiados no terreno e receberão a carga da estrutura na qual serve como apoio. 
Atualmente existem várias técnicas de análise de elementos de placa, onde 
algumas serão brevemente descritas neste projeto. O objetivo principal da análise 
estrutural é assegurar que estrutura em estudo resista aos esforços em serviço sem 
apresentar problemas econômicos ou funcionais. 
Szilard (2004) classifica as placas em função da razão da sua espessura relativa 
ao maior comprimento (h/L), e, consequentemente, do seu comportamento estrutural 
quando submetido a esforços. 
 As placas rígidas (ou placas delgadas) são placas finas com relação h/L 
variando em torno de 1/50 à 1/10, possuindo assim uma determinada rigidez à flexão e 
determinados esforços resistentes de momento fletor, momento torsor e esforço cortante 
(semelhante à vigas) quando submetidas à carregamento externo. Na prática da 
engenharia, o simples termo ‘placa’ refere-se a estas placas delgadas (placas rígidas) a 
menos que seja especificado outro tipo da placa. Exemplos são as lajes de piso ou de 
fundação. 
45 
 
 
Quando a relação h/L é inferior a 1/50 o elemento é caracterizado como 
membrana, que são placas extremamente finas praticamente sem rigidez à flexão, sendo 
assim sua resistência a momentos internos considerada nula. Exemplos de estruturas do 
tipo membranas são cobertas extremamente delgadas. 
Para relações h/L entre 1/10 e 1/5, tem-se placas moderadamente espessas, que 
apresentam comportamento um pouco diferenciado em relação às placas delgadas, pois 
agora devem ser levados em conta os efeitos das tensões normais na direção transversal 
à superfície. Quando a relação da espessura e maior comprimento ultrapassa 1/5 a placa 
deve ser considerada como placa espessa, e sua distribuição de tensões deve ser 
analisada como um meio contínuo tridimensional. 
4.1.1 Teorias de placa e soluções analíticas para placas delgadas 
 
A maioria das estruturas de placa é analisada aplicando a equação governante da 
teoria elástica de placas. Com o avanço da tecnologia e do uso de computadores, 
atualmente são utilizados vários métodos numéricos ao invés de soluções analíticas 
como o método dos elementos finitos e método das diferenças finitas para solução das 
equações de placa. 
Conforme citado anteriormente durante os conceitos de análise estrutural, para 
modelagem da estrutura, diante da complexidade de uma estrutural real, devem ser 
considerados apenas os parâmetros mais importantes para aquele elemento. No caso de 
placas tem-se a geometria da placa e suas condições de suporte; os materiais; o tipo de 
carga e a sua configuração de aplicação. A consideração de uma placa como um 
elemento tridimensional resultaria em uma análise elástica mais rigorosa, porém tal 
consideração resultaria em dificuldades matemáticas impraticáveis. 
As primeiras teorias para análise estrutural de placas foram desenvolvidas por 
Gustav R. Kirchhoff (1824 – 1887), baseado em trabalhos anteriores de L. Euler (1707 
– 1783), Jacques Bernoulli (1759 – 1789), Sophie Germain (1776 – 1831), L. Navier 
(1785 – 1836) entre outros grandes nomes da matemática e física que podem ser ditos 
como responsáveis pelo desenvolvimento das teorias de placas que são utilizadas 
(naturalmente com devidos ajustes) até hoje. Com o surgimento dos computadores de 
alto desempenho também foi possível utilizar os métodos numéricos na análise 
46 
 
 
estrutural de placas, como o método dos elementos finitos, que proporcionam resultados 
tão eficientes quanto as soluções analíticas, dependendo da área de aplicação. 
Para realização de uma análise exata de uma placa delgada submetida à 
carregamento externo perpendicular à sua superfície seria necessário uma solução de 
uma equação diferencial formulada para uma análise tridimensional. Naturalmente, 
seria uma solução matemática bastante complexa e inviável matemática e 
economicamente para a maioria dos problemas encontrados. Como já citado, 
aproximações podem ser realizadas de modo que ainda assegurem a integridade dos 
resultados, mantendo-os satisfatórios dentro da margem de segurança adequada. 
 
Figura 4.1 – Placa submetida à carregamento normal externo pz(x,y). A linha tracejada representa o plano 
médio da placa. FONTE: SZILARD, 2004. 
 
Sendo assim, as teorias clássicas de placa de Kirchhoff para placas delgadas 
oferecem soluções analíticas com precisão satisfatória, sem que haja necessidade de se 
realizar uma análise tridimensional. Ainda assim, as seguintes hipóteses 
simplificadoras são necessárias para o desenvolvimento da teoria: 
1. O material é homogêneo, isotrópico e elástico. Sendo assim, obedece à Lei de Hooke; 
2. A placa é plana e lisa, e sua espessura h é constante e pequena comparada às outras 
dimensões. Isso é, considera-se que sua espessura é pelo menos 10 vezes menor do que 
sua menor dimensão; 
47 
 
 
3. A meia altura de sua espessura, a placa possui uma superfície denominada de plano 
médio, que nem é comprimida nem tracionada. Sendo assim seções normais à superfície 
média permanecem planas após a deformação (análoga à hipótese de Navier-Bernoulli 
para vigas); 
4. As deformações transversais são pequenas comparadas à sua espessura.