notas-prova-i-01-09-2011

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2011
Notas de Aula — FIS0728
Movimento 1D e 2D
Material para prova do dia
15/09/2011
Ezequiel C. Siqueira
Departamento de F́ısica e Qúımica
Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira
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Sumário
1 Conceitos e Definições 7
1.1 O Sistema Internacional de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Notação Cient́ıfica & Ordem de grandeza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Algarismos Significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Apresentação de grandezas f́ısicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Mudanças de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Movimento Unidimensional 13
2.1 Posição e Deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Velocidade Média e Velocidade Escalar Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Movimento com aceleração constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.1 Equações para aceleração constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Movimento em duas dimensões 31
3.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.1 Operações com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.2 Decomposição de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.3 Vetores Unitários (versores) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.1.4 Somando vetores algebricamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Posição, Velocidade e Aceleração Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Movimento com aceleração constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1
2 SUMÁRIO
3.4 Movimento de Projéteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.1 Análise do movimento de um projétil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5 Movimento Circular Uniforme (MCU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Movimento Relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
FIS0728—Fundamentos de F́ısica I
Ezequiel C. Siqueira — Depto. de F́ısica e Qúımica
Ementa
Os tópicos que serão abordados na disciplina são os seguintes:
1. Medidas, Algarismos Significativos.
2. Movimento Retiĺıneo
3. Movimento em duas e três dimensões
4. Força e Movimento
5. Conservação da Energia
6. Sistemas de part́ıculas, conservação do momento linear e Colisões
Informações mais detalhadas podem ser encontradas na ementa da disciplina, dispońıvel na página:
http://www.dfq.feis.unesp.br/ementa_matematica.php
Provas (conteúdo por prova sujeito à alterações )
Serão realizadas três provas, a média final obtida a partir da média aritmética destas provas.
• 1a Prova: 08/09/2011 — Movimentos em 1, 2 e 3 dimensões
• 2a Prova: 20/10/2011 — Força e Movimento + Conservação da Energia
• 3a Prova: 02/12/2011 — Conservação da Energia + Colisões
3
http://www.dfq.feis.unesp.br/ementa_matematica.php
4 SUMÁRIO
Referências Bibliográficas
Livros principais (usados como livros-texto)
O curso será baseado nos seguintes livros:
• HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fundamentos de F́ısica, Rio de Janeiro-RJ, Livros
Técnicos e Cient́ıficos Editora S/A, v. 1, 6a Edição, 2002.
• NUSSENSVEIG, H. M., Curso de F́ısica Básica, Rio de Janeiro, Edgar Blucher, v.1., 4a Edição,
2002.
• Apostila de Lab de F́ısica I, do prof. Haroldo N. Nagashima no link:
www.dfq.feis.unesp.br/docentes/haroldo/ApostilaLabFisicaI-Agosto2011.pdf.
Nesta referência tem uma discussão detalhada de números significativos, visto no ińıcio do curso.
As edições podem variar, na biblioteca estão dispońıveis várias versões destes livros, mas não existem
mudanças drásticas de uma edição para outra.
Outros livros de mesmo ńıvel
• ALONSO, M., FINN, E.J., F́ısica, São Paulo, Addison Wesley Longman do Brasil Ltda, 1999, v.1,
936p.
• TIPLER, P.A. F́ısica. 3a Ed., Livros Técnicos e Cient́ıficos Editora S/A, 1995, v. 1
• CHAVES, A., F́ısica Básica, Livros Técnicos e Cient́ıficos Editora S/A, 2007, v. 1
• YOUNG,H.D., FREEDMAN, R.A. Sears-Zemansky. F́ısica. 10a Edição, Addison Wesley, 2001.
Vol. 1 e 2
livros de ńıvel intermediário
• KITTEL, C.; KNIGTH, W.D. e RUDERMAN, M.A. Mecânica: Curso de F́ısica de Berkeley. São
Paulo, Editora Edgard Blucher Ltda., 1973. v.1.
• FEYNMAN R, LEIGHTON R, and SANDS, M. The Feynman Lectures on Physics, 1964, 1966,
v.1, Addison Wesley Longman.
www.dfq.feis.unesp.br/docentes/haroldo/Apostila Lab Fisica I - Agosto 2011.pdf
SUMÁRIO 5
As referências The Feynman Lectures on Physics e Mecânica: Curso de F́ısica de Berkeley são particu-
larmente interessantes. As leituras destes livros em paralelo podem ajudar no entendimento do conteúdo
exposto em sala de aula.
livros de ńıvel “avançado”
Os livros a seguir NÃO SERÃO USADOS neste curso, mas são recomendados para aqueles que
desejam se aventurar em alguma coisa mais avançada!
• THORNTON, S. T., MARION, J. B., Classical dynamics of particles and systems, 2004, Bro-
oks/Cole.
• ARYA, A. P., Introduction to Classical Mechanics, Prentice Hall, 1998
• BEER, F. P., JOHNSTON Jr. , RUSSELL E., EISENBERG E. R., CLAUSEN W. E. , STAAB G.
H. Vector Mechanics for Engineers, Statics and Dynamics, McGraw-Hill, 2003.
Referências Multimı́dia
Cursos de f́ısica básica
Fundamentals of Physics-I with Professor Ramamurti Shankar
Para quem arranha no inglês, existem alguns cursos completos em v́ıdeo de f́ısica básica. O curso do
prof. Ramamurti Shankar de Universidade de Yale é altamente recomendável. No link abaixo, é posśıvel
fazer o download do curso completo gratuitamente:
http://oyc.yale.edu/physics/fundamentals-of-physics
Os v́ıdeos apresentam uma transcrição em inglês do que é dito na aula o que pode ajudar no enten-
dimento do conteúdo.
MIT OpenCourseWare
Vários dos cursos oferecidos pelo MIT na área de f́ısica estão dispońıveis em v́ıdeo. É interessante dar
uma olhada na página
http://ocw.mit.edu/courses/physics/
http://oyc.yale.edu/physics/fundamentals-of-physics
http://ocw.mit.edu/courses/physics/
6 SUMÁRIO
Cursos avançados
Para alguém que tenha interesse em material extra-classe e mais avançado, recomendo os cursos do Prof.
Leonard Susskind de Stanford no link: http://www.youtube.com/watch?v=pyX8kQ-JzHI
http://www.youtube.com/watch?v=pyX8kQ-JzHI
Caṕıtulo 1
Conceitos e Definições
1.1 O Sistema Internacional de Unidades
A f́ısica está fundamentada em medidas. Desta forma, ao longo do tempo a metodologia e a padro-
nização das grandezas f́ısicas tem sido aprimorada. O sistema internacional de unidades (SI) escolheu
sete grandezas fundamentais a partir das quais outras grandezas derivadas podem ser definidas. No curso
de F́ısica I, três grandezas serão importantes: o tempo, o comprimento e a massa. Na tabela abaixo estas
grandezas e as respectivas unidades são mostradas:
Grandeza Nome da Unidade Śımboloda unidade
Comprimento metro m
Tempo segundo s
Massa quilograma kg
A partir das unidades da tabela podemos definir outras. Por exemplo, a unidade SI de potência,
chamada de watt (śımbolo: W), é definida da seguinte forma
1 watt = 1 W = 1 kg× m
2
s3
onde o último conjunto de śımbolos de unidades é lido como quilograma metro quadrado por segundo ao
cubo.
1.2 Notação Cient́ıfica & Ordem de grandeza
Ordem de grandeza é a potência de 10 com expoente inteiro que mais se aproxima do valor medido de uma
determinada grandeza a ser analisada. Qualquer que seja o número (q) que corresponde a essa medida em
7
8 CAPÍTULO 1. CONCEITOS E DEFINIÇÕES
módulo, está compreendida entre duas potências de 10, inteiras e consecutivas, ou seja, 10n ≤ |q| ≤ 10n+1
Para obter a ordem de grandeza de um número, devemos inicialmente colocá-la em notação cient́ıfica
(por ex: q = a× 10n), com o número “a” obedecendo à relação 1 ≤ a ≤ 10. Nesta notação,
3.560.000.000 m = 3, 56× 109 m
0, 000 000 492 s = 4, 92× 10−7 s.
A notação cient́ıfica em computadores é usada de maneira mais abreviada como por exemplo, 3, 56E9
e 4, 92E− 7, onde E representa o “expoente de dez”. Em algumas calculadoras a notação é mais concisa
substituindo-se o E por um espaço em branco.
A decisão de usar 10n ou 10n+1 (ordem de grandeza n ou n+ 1) é feita comparando-se o módulo de
“a”com o valor 101/2 ≈ 3, 16, uma vez que a variação do expoente é igual à unidade. Assim temos:
1. Se |a| < 3, 16 a ordem de grandeza é 10n,
2. Se |a| > 3, 16 a ordem de grandeza é 10n+1
O número 2, 7 × 106 possui portanto ordem de grandeza 106 e o número 5, 9 × 106 possui ordem de
grandeza igual a 106+1 = 107.
Também são utilizados prefixos para denotar as potências de 10. Isto é muito útil quando lidamos
com números muito grandes ou muito pequenos.
Fator Prefixo Śımbolo
109 giga- G
106 mega- M
103 quilo- k
10−2 centi- c
10−3 mili m
10−6 micro µ
10−9 nano n
10−12 pico p
Estes são os prefixos mais comumente usados. Acrescentando um prefixo a uma unidade no SI produz
o efeito de multiplicá-la pelo fator associado. Assim, podemos escrever uma dada potência elétrica como
1, 27× 109 watts = 1, 27 gigawatts = 1, 27 GW
1.2. NOTAÇÃO CIENTÍFICA & ORDEM DE GRANDEZA 9
ou um intervalo de tempo particular como
2, 35× 10−9 s = 2, 35 nanosegundos = 2, 35 ns
Alguns prefixos, como os usados em mililitro, cent́ımetro, quilograma e megabyte, são certamente
familiares ao leito de ĺıngua portuguesa.
1.2.1 Algarismos Significativos
Suponha que uma pessoa ao fazer uma série de medidas do comprimento de uma barra (l), tenha obtido
os seguintes resultados:
1. comprimento médio: l̄ = 92,8360 cm.
2. erro estimado: ∆l = 0,312 cm.
Supondo que o erro da medida está na casa dos décimos de cm, não faz sentido fornecer os algarismos
correspondentes dos centésimos ou milésimos de cm e assim por diante. Isso quer dizer que o erro estimado
em uma medida deve conter apenas o seu algarismo mais significativo. Os algarismos menos significativos
do erro são utilizados apenas para efetuar arredondamentos ou simplesmente são desprezados. Neste caso,
∆l deve ser representado apenas por:
∆l = 0, 3 cm
Os algarismos 9 e 2 do valor médio são exatos, porém o algarismo 8 já é duvidoso, pois o erro estimado
afeta a casa que lhe corresponde. Deste modo, os algarismos 3 e 6 são desprovidos de significado f́ısico e
não é correto escrevê-los. Estes algarismos são utilizados para efetuar arredondamentos ou simplesmente
são desprezados. Sendo assim, o modo correto de expressar o resultado desta medida será então:
l = (92, 8± 0, 3) cm
Nos casos em que o erro da medida não é estimado devemos também escrever o algarismo significativo
com critério. Em problemas de engenharia, os dados raramente são conhecidos com uma precisão superior
a 2%. Portanto é desnecessário realizar cálculos com precisão superior a 2%.
Em resumo: algarismos significativos são todos os algarismos corretos de um número mais o primeiro
duvidoso. Exemplos:
• 0,00007 tem 1 algarismo significativo.
10 CAPÍTULO 1. CONCEITOS E DEFINIÇÕES
• 0,0080 tem 2 algarismos significativos.
• 23,00 tem 4 algarismos significativos.
• 3,2×105 tem 2 algarismos significativos.
1.3 Apresentação de grandezas f́ısicas
Um grandeza f́ısica pode ser representada como X = x̄±∆x, onde x̄ é o valor médio da grandeza e ∆x o
seu desvio. O desvio deve ser escrito com um único algarismo significativo e o valor médio da grandeza
deve ter a mesma precisão do desvio.
Vejamos um exemplo: Se após uma série de medidas o valor da área de uma chapa metálica for
apresentada como A = (42, 2921 ± 0, 03875) m2 todos os algarismos devem ser considerados para efeito
de cálculo. No entanto, para apresentação final a grandeza deve ser reescrita. No exemplo apresentado o
desvio afeta a segunda casa decimal do valor médio da área, desta forma, os outros algarismos posteriores
perdem o significado, i.e., não são significativos e devem ser desprezados. Assim, escreve-se o resultado
final da seguinte maneira:
A = (42, 29± 0, 04) m2
ou em notação cient́ıfica, como
A = (4, 229± 0, 004)× 10 m2
O desvio foi obtido a partir da regra do arredondamento e o valor médio da grandeza foi reescrito
com a precisão do desvio.
A tabela abaixo mostra a forma errada e a forma correta de se apresentar medidas de algumas
grandezas f́ısicas.
Grandeza F́ısica Errada Correta
Comprimento (3,4563 ± 0,0037) m (3,456 ± 0,004) m
Área (54,3524 ± 1,884) m2 (5,4 ± 0,2)×10 m2
Volume (346,43 ± 13,2) m3 (3,5 ± 0,1)×102 m3
Intervalo de tempo (345765,31546 ±205, 440) s (3,458 ±0, 002)×105 s
Carga Elétrica (0,03464±0,000489) C (3,46 ± 0,05)×10−2 C
1.4. MUDANÇAS DE UNIDADES 11
1.4 Mudanças de Unidades
Freqüentemente precisamos trocar de unidades nas quais está expressa a grandeza f́ısica. Fazemos a
mudança por um método chamado de conversão encadeada. Neste método, multiplicamos a medida
original por um fator de conversão. Por exemplo, pelo fato de 1 min e 60 s serem intervalos de tempo
idênticos, temos
1 min
60 s
= 1 e
60 s
1 min
= 1
de modo que as razões
1 min
60 s
e
60 s
1 min
= 1 podem ser usadas como fatores de conversão. Isto não é a
mesma coisa que escrever 1/60 ou 60 = 1; cada número e sua unidade devem ser tratados em conjunto.
Como nenhuma grandeza se altera ao ser multiplicada pela unidade, podemos introduzir tais fatores
onde quer que os achemos úteis. Neste método usamos os fatores para eliminar as unidades que não nos
interessam, por exemplo:
2 min = 2× (1) min = 2×
(
60 s
1 min
)
× 1 min = 120 s
Exemplos
1. (a) Supondo que cada cent́ımetro cúbico de água possui uma massa de exatamente 1 g, determine
a massa de um metro cúbico de água em quilogramas. (b) Suponha que demore 10,0 h para esvaziar
um recipiente de 5700 m3 de água. Qual a “taxa de escoamento de massa” da água do recipiente em
quilogramas por segundo?
(a)
1 m3 = (102)3 cm3 = 106 cm3
mas cada cent́ımetro cúbico tem exatamente 1 g, assim, a massa de um metro cúbico é dada por,
m1m3 = 10
6 ×m1cm3 = 106 × 1 g = 106 g = 103 kg
(b)
A taxa de escoamento é obtida simplesmente dividindo-se o volume do recipiente pelo tempo que leva
para esvaziá-lo:
taxa =
massa contida em 5700 m3
10 h
=
5700× 103 kg
10× 1 h× 60min
1 h
× 60 s
1 min
= 158 kg
12 CAPÍTULO 1. CONCEITOS E DEFINIÇÕES
2. (a) O ferro possui uma massa de 7,87 g por cent́ımetro cúbico de volume, e a massa do ferro
é 9,27×10−26 kg. Se os átomos são esféricos e firmemente dispostos uns contra os outros. (a) qual o
volume de um átomo de ferro e (b) qual a distância entre os centros de átomos adjacentes.
(a)
Em um cent́ımetro cúbico temos uma massa de 7,87 g. Assim, se dividimos esta massa pela massa
de cada átomo, então sabemos quantos átomos estão contidos em 1 cm 3 de ferro, ou seja,
no de átomos =
7, 87× 10−3 kg
9, 27× 10−26kg
= 8, 49× 1022 átomos
Se dividimos o cent́ımetro cúbico pelo número de átomos então descobrimos quanto volume cada átomo
ocupa. Isto é posśıvel porque é assumido que os átomos são esferas que distribúıdas uniformemente sobre
o volume, assim, segue que:
Vol. por átomo =
1× 10−6 m3
8, 49× 1022 átomos
= 1, 18× 10−29 m3
(b)
A distância entre os centros de duas esferas em contato é simplesmente igual ao diâmetro de uma
das esferas. Assim, basta calcular o diâmetro de uma esfera de volume igual a 1, 18 × 10−29 m3, assim,
usamos,
distância entre os centros dos átomos =
3
√
6× 1, 18× 10−29 m3
π
= 0, 282 nm
3. Uma unidade astronômica (UA) é a distância média do Sol a Terra, aproximadamente 1, 5 ×
108 km. A velocidade da luz é aproximadamente 3, 0 × 108 m/s. Expressa a velocidade da luz em
unidades astronômicas por minuto.
3, 0× 108 m
s
= 3, 0× 108 m
s
1 UA
1, 5× 1011 m
60 s
1 min
= 0, 12 UA/min
Caṕıtulo 2
Movimento Unidimensional
A mecânica é o ramo da f́ısica em que se estuda o movimento dos corpos. Começamos o estudo da
Mecânica considerando o movimento mais simples posśıvel: movimento em uma dimensão ou ao longo
de uma linha reta. Além disso, por ora não estaremos preocupados com a causa do movimento, mas
apenas com a sua descrição. Assim, estaremos focados na cinemática do movimento como é chamado o
conjunto de conceitos que intervêm na descrição do movimento. Mais tarde vamos considerar que tipo de
movimento é causado por um determinado tipo de força, o que é chamado de dinâmica do movimento.
Além de considerar que o movimento está restrito em uma linha reta1, também consideramos que o
objeto em movimento é uma part́ıcula (termo usado para dizer o objeto é um pontual, como um elétron)
ou que se move como uma part́ıcula de forma que todas as partes do objeto se movem na mesma direção
e ao mesmo tempo. Os objetos que têm esta propriedade são chamados de corpos ŕıgidos.
Para descrever o movimento, precisamos primeiramente de um sistema de referência, i.e., um sis-
tema de eixos que permita localizar a part́ıcula no espaço. Também é necessário saber o quão rápida
esta part́ıcula está se deslocando e ainda se esta “rapidez” varia no tempo. Em f́ısica, todas essas ca-
racteŕısticas do movimento, que são intuitivas para nós, são definidas de maneira formal. Isto permite
caracterizar o movimento e obter equações que permitam prever como um corpo irá se mover a partir
do conhecimento prévio de alguns parâmetros. A seguir, vamos definir as quantidades necessárias para
descrever o movimento unidimensional.
1o movimento pode ser vertical como uma pedra caindo, ou horizontal como um carro em uma rodovia, ou inclinado,
mas o importante é que seja em linha reta.
13
14 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
2.1 Posição e Deslocamento
Localizar uma part́ıcula se movendo em uma dimensão significa determinar a posição desta part́ıcula
em relação a algum ponto de referência. Este ponto normalmente é escolhido como o zero de uma reta
orientada (eixo), chamada referencial ou sistema de referência. O zero é chamado de “origem” do sistema
de referência. Como ilustrado na figura 2.1, se a part́ıcula está localizada à esquerda da origem, sua
posição no sistema de referência é negativa; caso a part́ıcula se encontre à direita da origem então sua
posição é positiva. Assim, se a posição da part́ıcula é x = 3 m, então sabemos que a part́ıcula se encontra
à direita de zero na posição x = +3 m. Caso a posição da part́ıcula seja −1 m, então sabemos que
a part́ıcula está localizada à esquerda de zero na posição x = −1 m. O sinal positivo não precisa ser
explicitado e quando encontramos um número sem sinal, fica subentendido que a posição é positiva, ou
seja, à direita de zero. No entanto, o sinal de menos deve ser sempre mostrado.
Uma mudança de uma posição qualquer x1 para outra posição x2 é chamada de deslocamento ∆x:
∆x = x2 − x1. (2.1)
Usamos o śımbolo ∆ para denotar variação de uma grandeza, neste caso a variação é na posição. Note
que o deslocamento é definido como a posição final menos a inicial. Assim, um deslocamento positivo
implica um movimento no sentido positivo do eixo x. Por exemplo, imagine que a posição inicial da
part́ıcula seja x1 = −2 m e a posição final seja x = +3 m. Assim, ∆x = +3 m−(−2 m) = +5 m. Ou seja, a
part́ıcula se deslocou 5 m no sentido positivo do eixo x. Agora considere que a part́ıcula estava inicialmente
em x1 = −2 m e deslocou-se para x2 = −10 m. O deslocamento será então ∆x = −10 m−(−2 m) = −8 m.
O deslocamento neste caso é no sentido negativo do eixo x, a part́ıcula estava inicialmente no lado negativo
da origem e se moveu para uma posição mais distante do lado negativo do eixo.
Da mesma forma que no caso da posição, é crucial explicitar o sinal negativo do deslocamento e a
ausência de sinal é interpretada como sendo um sinal positivo. O deslocamento é uma quantidade vetorial,
e portanto, para caracterizá-la é necessário fornecer seu módulo, direção e sentido. No caso presente,
a direção já está impĺıcita quando dizemos que o movimento é horizontal ou vertical, etc. O sentido é
determinado pelo sinal da quantidade, ou seja, se o sinal é positivo então temos um deslocamento da
esquerda para a direita (no caso da figura 2.1) e o sentido inverso para o sinal negativo. No estudo
do movimento em 2 e 3 dimensões o caráter vetorial vai ficar mais claro do que no caso presente. O
módulo do deslocamento indica a distância percorrida entre as posições final e inicial. Assim, no primeiro
exemplo, apesar da posição inicial ser x1 = −2 m e a posição final seja x = +3 m a distância percorrida
foi de 5 m embora a part́ıcula tenha ficado na posição +3 m.
2.2. VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA 15
direção positiva
direção negativa
Origem
Figura 2.1: A posição é determinada em um eixo que é marcado em unidades de comprimento (neste caso metros)
e que se estende indefinidamente em ambas as direções. O lado direito corresponde a valores positivos de x e o
lado esquerdo corresponde a valores negativos.
2.2 Velocidade Média e Velocidade Escalar Média
Uma vez que definimos a posição e o deslocamento da part́ıcula, o próximo passo é considerar a variação
destas quantidades com o tempo. De fato, o movimento é um fenômeno dinâmico e, portanto, a descrição
do movimento consiste em determinar a função x(t), a posição em função do tempo. O conhecimento
de x(t) nos permite determinar todas as propriedades cinemáticas da part́ıcula. O gráfico de x(t) é
particularmente interessante e ilustrativo. Na figura 2.2 temos dois gráficos ilustrando duas situações: o
primeiro, mostrado na figura 2.2a, é uma linha reta horizontal que indica que a posição x(t) é constante
para todos os valores do tempo. Portanto, esta é uma representação de uma part́ıcula em repouso. No
segundo gráfico, mostrado na figura 2.2b, temos um gráfico onde x(t) varia desde −5 m, passando pela
origem em t = 3 s e finalmente atinge o valor 3 m em t = 5 s. Este gráfico ilustra um movimento em
linha reta da posição x(t) = −5 m para a x(t) = +3 m, veja figura 2.2c. Além de ilustrar o deslocamento
da part́ıcula, podemos obter mais informações sobre o movimento da mesma usando o gráfico x(t). Com
efeito, podemos determinar o quão rápido a part́ıcula se deslocou ao longo da trajetória. Isso é feito
através da definição da velocidade média, vméd, definida da seguinte forma,
vméd =
∆x
∆t
=
x2 − x1
t2 − t1
(2.2)
que é a razão do deslocamento ∆x pelo tempo ∆t em que este deslocamento ocorreu. A velocidade
média tem unidades de metros por segundo (m/s) no sistema internacional, mas também é comum
16 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
expressá-la em quilômetros por hora (km/h) ou ainda em cent́ımetros por segundo(cm/s). O significado
f́ısico da definição é obvio: a velocidade é uma medida da “rapidez” com que um determinado corpo se
movimenta. A partir do gráfico de x(t) podemos atribuir um significado geométrico para a velocidade
(a)
(c.)
(b)
Figura 2.2: (a) mostra um gráfico de x(t) para uma part́ıcula em repouso. (b) caso em que x(t) mostra um objeto
em movimento na direção x desde x = −5 m até x = +3 m. (c) trajetória real da part́ıcula.
média. Conforme ilustrado na figura 2.3, a velocidade média é o módulo do coeficiente angular da reta
que passa pelos pontos (x2, t2) e (x1, t1). Assim como o deslocamento e posição, a velocidade média
possui módulo direção e sentido, desde que é uma quantidade vetorial. Neste caso, valores positivos da
velocidade média, significam que a reta que liga os pontos é inclinada para cima à medida que a part́ıcula
se desloca para a direita. No caso de um sinal negativo, temos uma reta inclinada para baixo à medida
que a part́ıcula se desloca para a direita.
Outra maneira de quantificar a “rapidez” de um objeto é por meio da chamada velocidade escalar
média , definida como a razão da distância total percorrida pelo corpo em movimento pelo tempo gasto
no percurso. Assim, escrevemos,
sméd =
dist. total percorrida
∆t
. (2.3)
Como o próprio nome diz, sméd é uma quantidade escalar e é dada apenas pelo módulo do deslocamento
total pelo tempo percorrido. Por esta razão, existem situações em que sméd e vméd são bem diferentes.
2.2. VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA 17
v =inclinação desta linhaméd
Figura 2.3: Demonstração da velocidade média como o coeficiente angular da reta que passa pelo par de pontos
(x2, t2) e (x1, t1).
Exemplo
Vamos considerar o exemplo resolvido no livro do Halliday para ilustrar o uso das definições acima.
1. Você dirige uma picape mal-conservada numa estrada reta por 8,4 km a 70 km/h, quando a picape
pára por falta de gasolina. Nos 30 min seguintes, você caminha adiante por outros 2,0 km pela estrada
até chegar a um posto de gasolina. (a) Qual o seu deslocamento total desde a sáıda com a picape até a
sua chegada ao posto de gasolina. (b) Qual o intervalo de tempo ∆t do ińıcio da viagem até a chegada
ao posto? (c) Qual a velocidade média vméd do ińıcio da viagem até a chegada no posto? Determine esta
velocidade tanto numérica quanto graficamente. (d) Suponha que para colocar gasolina, pagar e voltar
para a picape você leve mais 45 min. Qual a velocidade escalar total do ińıcio da viagem até você voltar
para a picape com gasolina?
(a)
Vamos considerar que estamos nos movendo na direção positiva do eixo x a partir da origem, i.e.,
supomos que o ponto inicial x1 = 0 e ponto x2 é o posto de gasolina. Assim, considerando que com a
picape ocorreu um deslocamento de 8,4 km e, em seguida, um segundo deslocamento de 2,0 km, então o
deslocamento total é dado por:
∆x = x2 − x1 = 8, 4 km + 2, 0 km− 0 = 10, 4 km
18 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
(b)
O tempo do ińıcio da viagem até a chegada ao posto é composto por duas contribuições: a viagem
com a picape mais o tempo gasto à pé da picape até o posto. O tempo gasto na viagem com a picape
pode ser facilmente determinado usando-se a definição da velocidade média:
vméd =
∆x
∆t
onde ∆x = 8, 4 m e vméd = 70 km/h. Assim, substituindo na definição para a velocidade média, podemos
determinar o intervalo de tempo correspondente à viagem com a picape, que chamamos ∆t1:
∆t1 =
∆x
vméd
=
8, 4 km
70 km/h
= 0, 12 h.
Considerando que o tempo da caminhada foi de ∆t2 = 30 min = 0, 5 h, podemos escrever o tempo
total gasto na viagem,
∆t = ∆t1 +∆t2 = 0, 12 h + 0, 5 h = 0, 62 h
(c)
A velocidade média desde o ińıcio da viagem até a chagada ao posto (viagem completa), é determi-
nada considerando-se que a posição e tempo iniciais são iguais a zero (escolhido como origem de nosso
referencial) e o tempo e posições finais são 10,4 km e 0,62 h, calculado no item anterior, assim escrevemos:
vméd =
10, 4 km
0, 62 h
≈ 17 km/h
(d)
Neste caso, precisamos considerar que ocorreu um deslocamento adicional de 2 km em um tempo de
45 min que corresponde a 0,75 h. Assim, a velocidade escalar média é dada pela soma do trajeto total
pelo tempo total assim, escrevemos:
sméd =
8, 4 km + 2, 0 km + 2, 0 km
0, 12 h + 0, 5 h + 0, 75 h
= 9, 1 km/h
2.3 Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar
Até agora descrevemos a velocidade média de uma part́ıcula, no entanto, muitas vezes se faz necessário
determinar a velocidade em um determinado instante de tempo, da mesma maneira que determinamos a
posição de uma part́ıcula em um ponto. Isto é posśıvel, tomando-se a velocidade média em instantes de
2.4. ACELERAÇÃO 19
tempo cada vez mais curtos de maneira que no limite em que o intervalo de tempo tende a zero, temos
a velocidade no instante de tempo t. Assim, tomando-se a Eq. (2.2) no limite de ∆t → 0, obtemos:
v(t) = lim
∆t→0
vméd = lim
∆t→0
∆x
∆t
=
dx
dt
ou seja,
v(t) =
dx
dt
(2.4)
que é a derivada da função x(t) em relação ao tempo. Assim, em um gráfico da posição em função do
tempo, a velocidade em certo instante de tempo é determinada tomando-se uma reta tangente à curva
x(t) no instante considerado. Este é o processo limite obtido geometricamente a partir da velocidade
média tomando-se os pares (x2, t2) e (x1, t1) cada vez mais próximos.
A exemplo do que ocorre com a velocidade média, podemos definir aqui uma velocidade escalar
que é simplesmente o módulo da velocidade instantânea. Esta velocidade apenas nos retorna o módulo
da velocidade sem qualquer menção à direção e sentido do movimento. Esta quantidade é encontrada
nos veloćımetros dos carros e nos informa sempre a magnitude da velocidade independente se estamos
andando para a frente ou de marcha-a-ré.
2.4 Aceleração
Até o momento consideramos como a posição da part́ıcula depende do tempo e a velocidade que permite
descrever a “rapidez” com que a part́ıcula se desloca. Neste caso, podemos trabalhar com valores médios,
ou ainda com o valor instantâneo da velocidade tomando-se um limite infinitesimal do intervalo de tempo
em que ocorre o deslocamento. A próxima questão seria perguntar como a própria velocidade varia em
um determinado intervalo de tempo. Quando isso ocorre, dizemos que a part́ıcula está acelerada (ou sofre
aceleração). Para o caso simples, unidimensional que consideramos aqui, a aceleração média é definida
por,
améd =
v2 − v1
t2 − t1
=
∆v
∆t
(2.5)
onde a part́ıcula tem a sua velocidade alterada de v1 no instante t1 para v2 no instante t2.
Da mesma forma que no caso da velocidade, a aceleração num dado instante de tempo é determinada
aplicando-se o limite ∆t → 0 na Eq. (2.5), ou seja,
a = lim
∆t→0
∆v
∆t
20 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
ou seja,
a =
dv
dt
(2.6)
que é simplesmente a derivada temporal da velocidade. Assim, se substituirmos a Eq. (2.4) em (2.6),
podemos escrever ainda,
a =
d2x
dt2
. (2.7)
Assim, a aceleração é obtida através da segunda derivada da posição em relação ao tempo. A
unidade usual da aceleração é o metro por segundo ao quadrado (m/s2). Existem outras unidades em que
podemos expressar a aceleração, mas sempre será na forma comprimento por tempo ao quadrado. Além
disso, a aceleração é uma grandeza vetorial de modo que é caracterizada por um módulo, direção e sentido.
A direção é determinada pelo eixo sobre o qual se desenvolve o movimento e o sentido é determinado pelo
sinal algébrico da mesma forma que no caso da velocidade e deslocamento, ou seja, a aceleração com um
valor positivo está na direção positiva do eixo e um valor negativo está apontando no sentido negativo do
eixo. Com o objetivo de ilustrar a relação entre a posição, velocidade e aceleração, na figura 2.4 os gráficos
da posição, velocidade e aceleraçãosão mostrados para um elevador que está inicialmente em repouso
e então descreve um movimento de subida até parar. A curva da posição x(t) exibe uma curvatura
inicial no intervalo de 0s a 3s, seguida por um comportamento linear entre 3s e 8s e finalmente exibe um
curvatura contrária de 8s a 9s tornando-se constante novamente em 10s. Considerando que a curvatura
é quadrática, então a velocidade instantânea, mostrada no gráfico de v(t) pode ser estimada usando-se
a definição da derivada da posição. No intervalo em que o movimento começa e termina (0-3s e 8-9s)
a velocidade é linear, pois corresponde a derivada de uma função quadrática. No entanto, a inclinação
da reta deve ser oposta desde que a curvatura no ińıcio do intervalo é positiva e no final, negativa. Na
região linear de x(t), a velocidade deve exibir um valor constante desde que estamos considerando aqui
a derivada de uma função linear. Dada a curva da velocidade, podemos estimar a curva da aceleração
fazendo mentalmente a derivada da velocidade em função do tempo. De fato, a aceleração é diferente
de zero somente nos intervalos (0-3s e 8-9s) onde a velocidade exibe um comportamento linear. Nas
demais regiões a velocidade é constante e não temos aceleração. Além disso, notamos que o elevador está
acelerando no ińıcio do movimento, portanto, a > 0 e no final do movimento o elevador começa a frear
até parar e, com isso, a < 0.
2.4. ACELERAÇÃO 21
P
o
si
çã
o
 (
m
)
V
el
o
ci
d
ad
e 
(m
/s
)
A
ce
le
ra
çã
o
 (
m
/s
 )2
Tempo (s)
Tempo (s)
Tempo (s)
Inclinação
de x(t)
Inclinação
de v(t)
(a)
(b)
(c )|
Figura 2.4: (a) gráfico da posição em função do tempo para um elevador que parte do repouso e se move para
cima até parar. (b) velocidade do elevador. (c) aceleração.
22 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
2.5 Movimento com aceleração constante
Até o momento definimos algumas grandezas f́ısicas que nos permite descrever o movimento de um corpo
ŕıgido que se comporta como uma part́ıcula movendo-se em 1 dimensão. O próximo passo é relacionar
estas quantidades de maneira a prever o movimento que a part́ıcula ou corpo irá exibir a partir de alguns
valores iniciais de velocidade e posição. Em outras palavras, pretendemos determinar a função x(t) que
nos fornece a posição da part́ıcula para todos os instantes de tempo. A partir desta função, conseguimos
determinar todas as quantidades que caracterizam o movimento como a velocidade e aceleração.
Os movimentos dos corpos podem ser muito complicados desde que a aceleração e velocidade em
prinćıpio podem assumir qualquer dependência com o tempo. No entanto, um caso particular é de
grande interesse: os movimentos em que a aceleração dos corpos é constante no tempo. O principal
exemplo deste tipo de movimento é a queda livre dos corpos na superf́ıcie da Terra, onde os corpos
que estão a uma certa altura em relação ao chão experimentam a aceleração da gravidade que pode ser
aproximada para um valor constante e igual2 a: g = −9, 8 m/s2. Assim, dada a relevância deste caso,
vamos estudá-lo em detalhes nesta seção.
2.5.1 Equações para aceleração constante
Para determinar o movimento com aceleração constante, partimos da definição da aceleração como a
derivada temporal da velocidade:
a =
dv
dt
que pode ser reescrita na forma,
dv = a dt
e integrando em ambos os lados em relação ao tempo, segue que:∫
dv =
∫
a dt,
e desde que estamos supondo que a é constante podemos escrever:
v + C1 = at+ C2
2denotamos a aceleração da gravidade pelo śımbolo g, reservando o a para acelerações gerais que não são devido a força
gravitacional
2.5. MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE 23
ou ainda,
v = at+ C (2.8)
onde agrupamos as duas constantes de integração na forma: C = C2 − C1. Para determinar o valor da
constante C, basta utilizar uma condição inicial. Neste caso, supomos que no tempo t = t0 a velocidade
da part́ıcula é v0, assim, temos que,
v0 = at0 + C
o que nos permite obter,
C = v0 − at0
e substituindo na Eq. (2.8), obtemos a primeira equação para o movimento com aceleração constante:
v(t) = v0 + a(t− t0) (2.9)
onde explicitamos que v = v(t), ou seja, a velocidade é uma função do tempo. Vemos então que a
velocidade é linear com o tempo no caso em que a é constante.
Uma vez que conhecemos v(t), podemos determinar a variação da posição com o tempo. Para isso,
usamos a definição da velocidade:
v =
dx
dt
ou ainda,
dx = v dt
e integrando em relação ao tempo, segue que∫
dx =
∫
v dt.
A integral no primeiro membro é direta, ou seja x + K1, com K1 sendo a constante de integração.
Assim, temos
x+K1 =
∫
v dt.
Para determinar a segunda integral, precisamos saber como a velocidade varia com o tempo. Isso é
determinado pela Eq. (2.9), assim, substituindo na integração, obtemos:
x+K1 =
∫
[v0 + a(t− t0)] dt
24 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
e lembrando que v0, a e t0 são constantes, podemos escrever
x+K1 = v0
∫
dt+ a
∫
t dt− at0
∫
dt
e resolvendo as integrações escrevemos
x+K1 = v0t+K2 +
at2
2
+K3 − at0t+K4
onde K1,K2,K3 e K4 são constantes de integração. Escrevemos ainda,
x+K1 = v0t+
a
2
(
t2 − 2t0t
)
+K2 +K3 +K4
e completando o quadrado no parênteses, podemos obtemos
x = v0t+
a
2
(
t2 − 2t0t+ t20
)
− at
2
0
2
−K1 +K2 +K3 +K4
e desde que
at20
2
é também uma constante arbitrária, desde que t0 é arbitrário, podemos agrupar este termo
junto com as demais constantes de integração. Além disso, podemos escrever o termo entre parênteses
na forma (t− t0)2, assim segue que
x = v0t+
a
2
(t− t0)2 +K (2.10)
onde, K = −at
2
0
2
−K1 +K2 +K3 +K4.
Resta agora determinar a constante K na Eq. (2.10). Para isso, consideremos que no tempo t = t0 a
part́ıcula encontra-se na posição x = x0, assim, obtemos,
x0 = v0t0 +
a
2
(t0 − t0)2 +K
o que leva a,
K = x0 − v0t0
e substituindo este valor de volta na Eq. (2.10), podemos escrever
x(t) = x0 + v0(t− t0) +
a
2
(t− t0)2 (2.11)
onde deixamos expĺıcita a dependência temporal da posição com o tempo x = x(t).
Existem situações em que se faz necessário trabalhar com apenas velocidade e posição da part́ıcula
em movimento. Podemos obter uma equação relacionando estas quantidades diretamente por meio da
regra da cadeia do cálculo. Para isso, escrevemos a definição da aceleração na forma:
a =
dv
dt
=
dv
dx
dx
dt
2.5. MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE 25
e identificando o segundo fator com a definição de velocidade podemos escrever,
a = v
dv
dx
o que pode ser colocado na forma:
v dv = a dx
e integrando esta equação em ambos os lados, obtemos:∫
v dv =
∫
a dx
As integrais são diretas desde que consideramos que a aceleração é constante também em relação à
posição, logo
v2
2
+ L1 = ax+ L2
e agrupando as constantes de integração na forma L = L2 − L1, podemos escrever ainda,
v2
2
= ax+ L
E para determinar a constante L, consideramos que para uma dada posição inicial x = x0 a part́ıcula
tenha uma velocidade v = v0, assim, obtemos:
v20
2
= ax0 + L
e isolando L, temos
L =
v20
2
− ax0
e substituindo novamente na equação para v, obtemos:
v2
2
= ax+
v20
2
− ax0
o que pode ser escrito na forma
v2 = v20 + 2a(x− x0) (2.12)
que é a relação procurada envolvendo apenas posições e velocidades.
As Eqs. (2.9), (2.11) e (2.12) permitem determinar o movimento de uma part́ıcula com aceleração
constante. Podemos aplicá-las para vários tipos de movimento, conforme ficará claro nos exemplos
26 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
seguintes. No entanto, é interessante combinar estas equações com o objetivo de determinar algumas
propriedades interessantes decorrente da aceleração constante. Para isso, considere novamente a Eq.
(2.12),
v2 = v20 + 2a(x− x0)
que pode ser escrita na forma
v2 − v20 = 2a(x− x0)
(v − v0)(v + v0) = 2a(x− x0) (2.13)
masa diferença v − v0, pode ser escrita em termos da aceleração usando a Eq. (2.9):
v − v0 = a(t− t0)
e substituindo na Eq. (2.13), obtemos
a(t− t0)(v + v0) = 2a(x− x0)
e eliminando a aceleração, podemos escrever:
x− x0
t− t0
=
1
2
(v + v0) (2.14)
e identificando o primeiro membro com a velocidade média, podemos escrever ainda
vméd =
1
2
(v + v0). (2.15)
E vemos que no movimento com aceleração constante, a velocidade média pode ser obtida a partir
de uma média aritmética entre dois valores de velocidade. Isto é uma conseqüência do movimento ser
com aceleração constante e não pode ser generalizado para casos em que a aceleração tenha outros
comportamentos.
Podemos obter uma segunda equação, combinando as Eqs. (2.9) e (2.11). Para isso primeiramente
multiplicamos a Eq. (2.9) pela diferença de tempo t− t0:
v(t− t0) = v0(t− t0) + a(t− t0)2 (2.16)
Retomando a Eq. (2.11), temos:
x− x0 = v0(t− t0) +
1
2
(t− t0)2 (2.17)
2.5. MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE 27
No da Eq. Equações Parâmetro ausente
(2.9) v(t) = v0 + a(t− t0) x− x0
(2.11) x(t) = x0 + v0(t− t0) +
a
2
(t− t0)2 v
(2.12) v2 = v20 + 2a(x− x0) t
(2.14) x− x0 =
1
2
(v + v0)(t− t0) a
(2.18) x− x0 = v(t− t0)−
1
2
(t− t0)2 v0
Tabela 2.1: Equações para o movimento com aceleração constante.
Agora subtráımos a Eq. (2.16) da (2.17), obtendo-se:
x− x0 − v(t− t0) = −
1
2
(t− t0)2
o que pode ser colocado na forma final:
x− x0 = v(t− t0)−
1
2
(t− t0)2 (2.18)
que tem a vantagem de não fazer referência à velocidade no tempo inicial. Esta é a última equação
deduzida para o caso da aceleração constante. Com este conjunto de equações podemos investigar várias
situações envolvendo problemas com aceleração constante. Na tabela abaixo fazemos um resumo das
principais expressões obtidas.
2.5.2 Exemplos
1. Um elétron com velocidade inicial v0 = 1, 50 × 105 m/s penetra em uma região de comprimento
L = 1, 00 cm, onde é eletricamente acelerado (Fig. 2.5) e sai dessa região com v = 5, 70×106 m/s. Qual
é a aceleração do elétron, supondo que seja constante?
O problema pode ser facilmente resolvido usando-se a equação de Torricelli, assim,
v2 = v20 + 2a∆x
e resolvendo para a, obtemos:
a =
1
2
(
v2 − v20
∆x
)
a =
1
2
(
(5, 70× 106 m/s)2 − (1, 50× 105 m/s)2
1, 00 cm
)
28 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
sem aceleração
Trajetória do
elétron
com aceleração
Figura 2.5: Veja exemplo 1.
e resolvendo para a aceleração, temos finalmente:
a = 1, 62× 1015 m/s2.
2. Quando um trem de passageiros de alta velocidade (trem-bala) que se move a 161 km/h faz uma
curva, o maquinista leva um susto ao ver que uma locomotiva entrou indevidamente nos trilhos através
de um desvio e se encontra a uma distância D = 676 m à frente, veja Fig. 2.6. A locomotiva está se
movendo a 29, 0 km/h. O maquinista do trem de alta velocidade imediatamente aciona os frios. (a) Qual
é o valor mı́nimo do módulo da desaceleração (suposta constante) para que a colisão não ocorra? (b)
Suponha que o maquinista está em x = 0 quanto, em t = 0, avista a locomotiva.
Trem de alta
velocidade locomotiva
Figura 2.6: Veja exemplo 2.
O trem-bala deve reduzir a sua velocidade até um valor de mı́nimo igual à velocidade da locomotiva
vl, caso contrário irá colidir com a mesma. Esta redução deve ocorrer dentro da distância igual a
∆x = D + vl∆t
2.5. MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE 29
desde que no processo de desaceleração, que ocorre dentro do intervalo de tempo ∆t = t − t0. Assim,
para determinar a aceleração temos que:
∆x =
1
2
[v(t) + v0]∆t
e assim, substituindo o valor de ∆x = D + vl∆t, o valor final da velocidade v = vl, temos:
D + vl∆t =
1
2
[vl + v0]∆t
onde vl é a velocidade final do trem-bala que deve ser igual à da locomotiva. Dividindo a expressão acima
por ∆t, temos ainda:
D
∆t
+ vl =
1
2
[vl + v0].
O tempo ∆t pode ser determinado pela equação,
v(t) = v0 + a∆t
logo,
∆t =
v(t)− v0
a
e considerando ainda que no tempo t a velocidade do trem-bala deve ser igual a vl, podemos escrever
∆t =
vl − v0
a
logo,
aD
vl − v0
+ vl =
1
2
[vl + v0].
o que pode ser escrito na forma,
aD
vl − v0
=
1
2
[v0 − vl].
logo,
a = − 1
2D
[vl − v0]2.
e substituindo os valores correspondentes segue que:
a = − 1
2× 0, 676 km
[29, 0 km/h− 161 km/h]2.
30 CAPÍTULO 2. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
3. A água pinga de um chuveiro em um piso situado 200 cm abaixo. As gotas caem a intervalos
de tempo regulares (iguais) com a primeira gota atingindo o piso quando a quarta gota começa a cair.
Quando a primeira gota atinge o piso, a que distância do chuveiro se encontram (a) a segunda e (b) a
terceira gota?
Primeiro, precisamos determinar o tempo t1 que a primeira gota leva para atingir o chão. Isto pode
ser obtido via equação para a queda livre:
y1(t) = y0 + v0t1 −
g
2
t21
e definindo a posição −h no piso e 0 a posição do chuveiro em relação ao chão, podemos escrever
−h = 0 + 0− g
2
t21
o que pode ser colocado na forma:
t1 =
√
2h
g
e substituindo os valores correspondentes, segue que:
t1 =
√
2× 2 m
9, 8 m/s2
= 0, 639 s.
Como os intervalos de tempo são regulares, assim, dividindo o tempo t1 por 3, obtemos o intervalo
de tempo entre as gotas,
∆t =
t1
3
=
0, 639 s
3
= 0, 213 s.
O tempo t2 que deve ser usado para determinar a posição da segunda gota, é dado por:
t2 = 2×∆t = 0, 426 s
assim, substituindo este tempo na equação para a queda livre obtemos,
y2(t2) = y0 + v0t2 −
g
2
t22
e substituindo-se os valores correspondentes, obtemos:
y2(t2) = 0 + 0−
g
2
(0, 426 s)2 = −0, 889 m.
E usando o mesmo racioćınio, temos que:
y3(t3) = y0 + v0t3 −
g
2
t23
onde t3 = 0, 213 s. Assim, temos que:
y3(t3) = 0 + 0−
g
2
(0, 213 s)2 = −0, 222 m.
Caṕıtulo 3
Movimento em duas dimensões
Aqui generalizamos os conceitos desenvolvidos no caṕıtulo anterior para outras dimensões. Recomenda-
mos a leitura do caṕıtulo 3 do Halliday para uma revisão das propriedades básicas de vetores.
3.1 Vetores
No caṕıtulo anterior definimos a posição de uma part́ıcula a partir de um sistema de referência de modo
que se a part́ıcula esta à direita da origem a posição assume valores positivos enquanto que no caso inverso
a posição tinha valores negativos. O conhecimento da posição da part́ıcula com o tempo significava um
conhecimento completo das propriedades do movimento da part́ıcula como a velocidade e a aceleração.
No caso de movimento em 2 e 3 dimensões, especificar a posição apenas usando sinais de + e − não
é suficiente. Neste caso, a utilização de vetores é necessária desde que para caracterizar a posição da
part́ıcula é necessário indicar a orientação do movimento da mesma. Da mesma forma, grandezas como
o deslocamento, velocidade e aceleração também requerem a especificação de suas orientações no plano
ou no espaço.
Para representar estas grandezas usamos vetores, que são representados geometricamente por meio
de setas cujo tamanho representa o módulo e a orientação desta seta no espaço ou no plano especifica
sua direção e sentido. Grandezas que requerem este tipo de especificação são chamadas de grandezas
vetoriais. É importante notar que nem todas as grandezas f́ısicas são grandezas vetoriais. Temperatura,
pressão, energia, massa, etc., são exemplos de grandezas que não necessitam da especificação de suas
orientações em relação a um sistema de referências. Estas são completamente definidas especificando
apenas seu módulo e sinal, da mesma forma que as grandezas que estudamos no caso 1D.
A grandeza vetorial mais simples é o deslocamento, ou mudança de posição. Um vetor que representa
31
32 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES
um deslocamento é chamado de vetor deslocamento. Conforme mostrado na Fig. 3.1, se a part́ıcula
se desloca da posição A para a posição B, representamos o deslocamento por uma seta apontando de A
para B.A seta especifica o vetor graficamente.
Figura 3.1: (a) As três setas têm o mesmo módulo e orientação e, portanto, representam o mesmo deslocamento.
(b) As três trajetórias que unem os dois pontos correspondem ao mesmo vetor deslocamento.
Na Fig. 3.1a, as três setas de A para B, de A′ para B′ e de A′′ para B′′ têm o mesmo módulo e
orientação; assim, especificam vetores deslocamento iguais e representam a mesma variação na posição
da part́ıcula. Um vetor pode ser deslocado sem que seu valor mude caso o comprimento, a direção e o
sentido sejam os mesmos.
O vetor deslocamento nada diz sobre a trajetória percorrida por uma part́ıcula. Na Fig. 3.1b, por
exemplo, as três trajetórias que unem os pontos A e B correspondem ao mesmo vetor deslocamento da
Fig. 3.1a. Um vetor deslocamento representa apenas o resultado final do movimento, não o movimento
propriamente dito.
3.1.1 Operações com vetores
Para descrever o movimento de uma part́ıcula usando vetores é necessário conhecer a álgebra vetorial
que especifica as regras para combinar vetores, i.e., somar, subtrair e multiplicar vetores. No caso em
particular, somente a soma e subtração vetoriais serão de interesse aqui, a multiplicação será deixada
para caṕıtulos posteriores. É importante notar que a divisão de vetores não é definida de maneira que
apenas as três operações fundamentais são posśıveis.
A operação mais simples é a soma vetorial, que pode ser ilustrada considerando novamente desloca-
mentos no plano. Assim, considere o deslocamento de uma part́ıcula que parte do ponto A até B e então,
3.1. VETORES 33
vai de B para C (veja Fig. 3.2a). Podemos representar o deslocamento total através de vetores deslo-
camentos, o primeiro ligando os pontos A e B e o segundo ligando os pontos B e C. O deslocamento
total é um único deslocamento de A para C. Chamamos o vetor que liga os pontos A e C de vetor soma
(ou vetor resultante) dos vetores AB e BC. Esta soma não é uma soma algébrica comum.
Trajetória
real
Deslocamento total
é a soma dos vetores
Figura 3.2: (a) As três setas têm o mesmo módulo e orientação e, portanto, representam o mesmo deslocamento.
(b) As três trajetórias que unem os dois pontos correspondem ao mesmo vetor deslocamento.
Na Fig. 3.2b, os vetores foram rotulados por a⃗, b⃗ e s⃗, onde a seta em cima da letra indica que se
trata de uma grandeza vetorial. Na maioria dos livros, os vetores são representados por letras em negrito,
assim, os vetores da Fig. 3.2b podem ser representados por a, b e c ficnado subentendido que se trata
de grandezas vetoriais. Assim, podemos representar algebricamente a soma dos três vetores na forma:
s⃗ = a⃗+ b⃗, ou,
s = a+ b
lembrando que esta não é uma soma algébrica comum, mas uma soma que leva em conta, além do módulo
das grandezas, o sentido e a direção.
A maneira de somar vetores geometricamente é feita desenhando o primeiro vetor na orientação
apropriada. A seguir desenhamos o segundo vetor com direção e sentidos apropriados mas com a origem
deste vetor coincidindo com a extremidade do primeiro vetor. O vetor soma é o que vai da origem do
primeiro à extremidade do último. Na Fig. 3.3 é mostrado um exemplo de soma de dois vetores a⃗ e b⃗.
Da Fig. 3.3 notamos que a ordem em que a soma é feita é irrelevante. Podemos representar este fato
através da equação vetorial
a⃗+ b⃗ = b⃗+ a⃗ (lei comutativa)
34 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES
Vetor soma
FimInício
Figura 3.3: A ordem em que os vetores a⃗ e b⃗ são somados não afeta o resultado.
Outra propriedade importante da soma vetorial é a associatividade, i.e., quando existem mais de
dois vetores, podemos agrupá-los em qualquer ordem para somá-los. Assim, se temos três vetores a⃗, b⃗
e c⃗, podemos primeiramente somar a⃗ com b⃗ e somar o resultado com c⃗. Ou ainda, somar primeiro b⃗ e
c⃗ e depois somar o resultado com a⃗, o resultado é o mesmo conforme mostra a Fig. 3.4 Este resultado
Figura 3.4: Os vetores a⃗, b⃗ e c⃗ podem ser agrupados em qualquer ordem para serem somados sem alterar o
resultado final.
também pode ser escrito na forma de uma equação vetorial:
(⃗a+ b⃗) + c⃗ = a⃗+ (⃗b+ c⃗) (lei associativa)
Quando multiplicamos um vetor por um escalar positivo, modificamos o seu módulo. Assim, o vetor 2⃗b
é um vetor com a mesma direção e sentido de b⃗ mas com o dobro do comprimento. Quando multiplicamos
um vetor por um escalar negativo, então além da possibilidade de modificar o módulo do vetor, invertemos
o seu sentido. Assim, o vetor −b⃗ é um vetor com o mesmo módulo de b⃗ mas com sentido contrário (veja
3.1. VETORES 35
Fig. 3.5). Quando somamos vetores com módulo e direções iguais mas com sentidos opostos o resultado
é zero. Em termos de deslocamento, isso equivale a se deslocar uma certa distância e depois voltar ao
mesmo ponto de origem. O deslocamento final é zero. Esta situação pode ser representada pela seguinte
equação vetorial:
b⃗+ (−b⃗) = 0
Figura 3.5: Os vetores b⃗ e −b⃗ têm mesmo módulo e direção mas sentidos opostos.
Vemos então que somar −b⃗ é o mesmo que subtrair b⃗. Usamos esta propriedade para definir a
subtração de vetores. Seja d⃗ o resultado da subtração dos vetores a⃗ e b⃗, então escrevemos esta diferença
como
d⃗ = a⃗− b⃗ = a⃗+ (−b⃗), (subtração de vetores).
ou seja, calculamos a subtração somando o vetor −b⃗ com o vetor a⃗. A Fig. 3.6 nos mostra como a
subtração é feita geometricamente.
Como na álgebra comum, podemos manipular a equação vetorial da mesma forma que uma equação
algébrica comum no que diz respeito às operações de soma e subtração. Assim, quando passamos um
vetor de um lado da equação para o outro este ganha um sinal de menos. Assim, considerando a última
equação, podemos escrevê-la na forma:
d⃗+ b⃗ = a⃗ ou a⃗ = d⃗+ b⃗.
3.1.2 Decomposição de vetores
Até o momento consideramos a representação geométrica de vetores e baseado-se nesta representação,
conseguimos mostrar as propriedades básicas dos vetores. No entanto, operar com vetores na forma
36 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES
Note a posição
dos vetores para
a soma
Figura 3.6: (a) Os vetores a⃗, b⃗ e −b⃗. (b) Para subtrair o vetor b⃗ do vetor a basta inverter b⃗ e somar com a⃗.
geométrica é bastante trabalhoso ainda mais quando consideramos equações mais complicadas envolvendo
somas e subtrações de vários vetores. A decomposição de vetores permite somar e subtrair vetores usando
álgebra comum. Neste procedimento, representamos os vetores no sistema de coordenadas retangulares.
Os eixos x e y são normalmente desenhados no plano do papel. O eixo z normalmente é perpendicular ao
plano do papel. No entanto, como estamos considerando movimentos em duas dimensões, vamos ignorar
o eixo z por ora.
Uma componente de um vetor é a projeção do vetor em um eixo. Na Fig. 3.7a, por exemplo, ax
é a projeção do vetor a⃗ na direção x e ay é a projeção do vetor a⃗ na direção y. Ainda considerando a
Fig. 3.7a, notamos que o processo de decomposição consiste em traçar retas perpendiculares aos eixos
passando pela origem e extremidade do vetor. Com isso, fica claro que o vetor é a hipotenusa de um
triângulo retângulo cujos catetos são as componentes ax e ay do vetor.
A Fig. 3.7b nos mostra que o deslocamento do vetor para outra região do plano-xy não afeta as
componentes do vetor tão logo seu módulo e orientação não sejam modificados. Note que o sentido e
direção das componentes (em relação ao eixo) são as mesmas que as do vetor. Assim, caso o vetor tivesse
sua orientação invertida, as componentes estariam apontando na direção inversa em relação àquelas da
Fig. 3.7.
Podemos determinar geometricamente o módulo das componentes do vetor a⃗, através do triângulo
retângulo ilustrado na Fig. 3.7c. Considerando o ângulo θ que o vetor a⃗ faz com o semi-eixo positivo,
3.1.VETORES 37
Figura 3.7: (a) As componentes ax e ay do vetor a⃗. (b) As componentes não mudam quando o vetor é deslocado,
desde que o módulo e a orientação sejam mantidos. (c) As componentes correspondem aos catetos de um triângulo
retângulo cuja hipotenusa é o módulo do vetor.
então segue que:
ax = a cos θ e ay = a sin θ.
Através da Fig. 3.7c fica claro como formar o vetor a⃗ a partir das componentes, podemos escrevê-lo
como:
a⃗ = a⃗x + a⃗y
o que significa colocar a origem de uma das componentes na extremidade da outra e formar o triângulo
da soma dos vetores.
Uma vez que conhecemos as componentes de um vetor, podemos especificá-lo através das componentes
ax e ay, ou através de seu módulo a e ângulo θ. Os dois pares de valores são equivalentes na especificação
do vetor desde que podemos determiná-los um a partir do outro. De fato, podemos calcular ax e ay a
partir de a e θ com as seguintes relações:
a =
√
a2x + a
2
y e θ = arctan
(
ay
ax
)
.
No caso mais geral de três dimensões, precisamos do módulo e de dois ângulos (a, θ e ϕ, digamos) ou
de três componentes (ax, ay e az) para especificar um vetor.
38 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES
(a) (b)
Figura 3.8: Componentes vetoriais do vetor a⃗ = a em termos dos vetores unitários î e ĵ.
3.1.3 Vetores Unitários (versores)
A maneira de representar vetores no sistema de coordenadas, é feita usando-se a decomposição vetorial
que discutimos na última seção. No entanto, uma maneira mais prática de se lidar com vetores é através
do uso de vetores unitários, também chamados de versores. O vetor unitário é um vetor que tem
módulo igual a 1 e aponta em uma certa direção. Este vetor não possui dimensão nem unidade, sua
única função é especificar uma orientação. Os versores que indicam o sentido positivo dos eixos x e y são
representados por î e ĵ, respectivamente, onde o śımbolo “∧”sobre os vetores indica que o módulo destes
vetores é igual a 1. No caso tridimensional temos ainda o versor k̂ indicando o sentido positivo do eixo
z. Na Fig. 3.8a temos a representação dos três vetores unitários e os eixos x, y e z. Usando os vetores
unitários podemos expressar o vetor da Fig. 3.7 da seguinte forma:
a = a⃗ = axî+ ay ĵ
onde simplesmente usamos o fato dos vetores a⃗x e a⃗y formados pelas projeções de a sobre os eixos x
e y podem ser escritos como múltiplos dos vetores unitários, veja a Fig. 3.8b. Sendo assim, podemos
escrever,
a⃗x =axî
a⃗y =ay ĵ.
Desde que os vetores unitários são ortogonais, não é posśıvel escrever o versor î como um múltiplo
de ĵ. Isso garante que, quando queremos descobrir se dois vetores são iguais basta comparar as suas
3.1. VETORES 39
componentes em cada eixo e verificar se estas são iguais. Em caso positivo, temos que os vetores são
idênticos.
3.1.4 Somando vetores algebricamente
Agora que sabemos decompor vetores algebricamente através dos versores, podemos fazer soma e sub-
tração de vetores sem a necessidade de desenhá-los no plano-xy. Antes de considerar a soma, vamos
denotar vetores usando śımbolos em negrito em vez da seta sobre o śımbolo. Assim, consideremos dois
vetores a e b, cuja soma resulta no vetor r, assim, escrevemos1:
r = a+ b
O vetor a tem projeções ax, ay e az nos eixos coordenados. O vetor b também apresenta as três
projeções correspondentes que chamamos de bx, by e bz. Assim, podemos escrever r na forma:
r = axî+ ay ĵ+ azk̂+ bxî+ by ĵ+ bzk̂
assim, podemos escrever:
r = (ax + bx)̂i+ (ay + by )̂j+ (az + bz)k̂
que é o resultado da soma dos dois vetores. Note que terminamos com um vetor com as seguintes
projeções ao longo dos eixos x, y e z:
rx =ax + bx
ry =ay + by
rz =az + bz
A subtração de vetores também é direta. Seja d o vetor resultante da diferença entre os vetores a e
b, assim, temos que:
d = a− b
e substituindo os vetores a e b na forma de componentes, e fazendo a subtração como no caso anterior,
obtemos:
d = (ax − bx)̂i+ (ay − by )̂j+ (az − bz)k̂
1De modo equivalente podeŕıamos ter escrito r⃗ = a⃗+ b⃗, usando a notação com setas.
40 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES
Figura 3.9: Vetor posição, vetor deslocamento e a trajetória de uma part́ıcula em um plano.
e terminamos novamente com um vetor d com componentes dadas por:
dx =ax − bx
dy =ay − by
dz =az − bz
3.2 Posição, Velocidade e Aceleração Vetoriais
Agora que já sabemos como localizar um ponto em um plano usando vetores, podemos voltar ao estudo
do movimento de uma part́ıcula agora em duas dimensões. Para isso, precisamos redefinir novamente
as grandezas f́ısicas que caracterizam o movimento usadas no caso 1-D para o caso mais geral de 2 e 3
dimensões.
Na Fig. 3.9 temos a representação do movimento de uma part́ıcula que descreve a trajetória APB
no plano-xy. Para localizar a part́ıcula usamos o chamado vetor posição que liga a origem ao ponto onde
se encontra a part́ıcula. No instante t a part́ıcula está localizada no ponto P , assim o vetor posição para
a part́ıcula neste ponto é r(t) dado por:
r(t) = x(t)̂i+ y(t)̂j
3.2. POSIÇÃO, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO VETORIAIS 41
onde x(t) e y(t) são as coordenadas do ponto P e o módulo do vetor r(t) é simplesmente igual ao tamanho
do segmento de reta OP . Após um intervalo de tempo ∆t a part́ıcula agora se encontra no ponto P ′ e
um segundo vetor posição r(t+∆t) é usado para localizá-la, assim escrevemos
r(t+∆t) = x(t+∆t)̂i+ y(t+∆t)̂j
O deslocamento da part́ıcula do ponto P ao ponto P ′ é dado por:
∆r = r(t+∆t)− r(t) (3.1)
Substituindo os vetores r(t+∆t) e r(t) na definição de deslocamento, podemos escrever,
∆r = x(t+∆t)̂i+ y(t+∆t)̂j− x(t)̂i− y(t)̂j
ou seja,
∆r = ∆x̂i+∆yĵ
onde ∆x = x(t+∆t)−x(t) que é o deslocamento na direção x e ∆y = y(t+∆t)−y(t) que é o deslocamento
na direção y.
Por analogia com o que fizermos no caso 1D, aqui definimos a velocidade média como a razão entre
o deslocamento pelo intervalo de tempo em que este deslocamento ocorreu, assim escrevemos:
vméd =
∆r
∆t
(3.2)
e considerando que ∆r = ∆x̂i+∆yĵ, podemos escrever da mesma forma:
vméd = vméd,xî+ vméd,y ĵ. (3.3)
onde, vméd,x = ∆x/∆t e vméd,y = ∆y/∆t. Estas são as componentes da velocidade média na direções x e
y. Continuando com as nossas definições, vemos que é posśıvel determinar, de maneira análoga ao caso
unidimensional, a velocidade instantânea da part́ıcula tomando-se o limite ∆t → 0. Assim, a velocidade
instantânea no tempo t pode ser escrita como:
v(t) = lim
∆t→0
∆r
∆t
o que nos permite escrever:
v(t) = vx(t)̂i+ vy(t)̂j
42 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES
(a) (b)
Figura 3.10: (a) Velocidade de uma part́ıcula. (b) Aceleração de uma part́ıcula.
onde,
vx(t) = lim
∆t→0
∆x
∆t
vy(t) = lim
∆t→0
∆y
∆t
Observando o que ocorre com o vetor ∆r a medida que o intervalo de tempo vai a zero (Fig. 3.10a),
vemos que a direção da velocidade instantânea v(t) é da tangente à trajetória em P , e o sentido é o
sentido de percurso da trajetória da part́ıcula para t crescente. Observamos, sem prova, que tanto a
velocidade quanto o deslocamento obedecem às regras de composição de vetores. Assim, conclúımos que
a derivada de um vetor, é também um vetor. Portanto, escrevemos a velocidade instantânea na forma:
v(t) =
dr
dt
=
dx
dt
î+
dy
dt
ĵ. (3.4)
Para definir a aceleração média, tomamos o vetor velocidade em dois instante de tempo, v(t+∆t) e
v(t) nos pontos correspondentes a P (t) e P (t+∆t), veja a Fig. 3.10b. Assim, definimos:
améd =
∆v
∆t
=
v(t+∆t)− v(t)
∆t
(3.5)
A aceleração instantânea é determinada tomando-se o limite ∆t → 0, assim segue que:
a(t) = lim
∆t→0
∆v
∆t
= lim
∆t→0
v(t+∆t)− v(t)
∆t
que é a derivada do vetor velocidade, assim escrevemos ainda:
a(t) =
dv
dt
=
dvx
dt
î+
dvy
dt
ĵ. (3.6)
que pode ser escrita em termos do vetor deslocamento na forma:
a(t) =
d2r
dt2
=
d2x
dt2î+
d2y
dt2
ĵ. (3.7)
3.3. MOVIMENTO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE 43
3.3 Movimento com aceleração constante
No caso unidimensional, consideramos caso especial em que a aceleração é constante. Com esta premissa,
obtivemos várias equações descrevendo o movimento da part́ıcula. Em duas dimensões temos dois tipos
de movimento com aceleração constante que são importantes: o movimento de projéteis e o movimento
circular uniforme. Para entender estes movimentos, precisamos escrever as equações para o vetor posição
em função do tempo. Para isto basta integrar a definição da aceleração. Como resultado, obtemos uma
equação para a velocidade instantânea que pode ser usada para obter r(t). O procedimento é idêntico ao
realizado no caṕıtulo anterior e não será repetido aqui. As duas equações principais para o movimento
com aceleração constante são dadas por:
r(t) = r0 + v0(t− t0) +
1
2
a(t− t0)2 (3.8a)
v(t) = v0 + a(t− t0) (3.8b)
onde consideramos que em t = t0 a part́ıcula está localizada na posição r0 = x0î + y0ĵ com velocidade
v0 = v0xî+ v0y ĵ. Das equações (3.8), notamos que o movimento no plano é uma composição movimentos
independentes nas direções x e y. Assim, as duas Eqs. (3.8) se reduzem a quatro equações unidimensio-
nais. A seguir consideramos alguns exemplos de aplicação destas equações no movimento de projéteis e
movimento circular uniforme.
3.4 Movimento de Projéteis
Aqui vamos estudar um caso particular de movimento bidimensional: uma part́ıcula que se move em
um plano vertical com velocidade v0 e com uma aceleração constante igual à aceleração de queda livre
g, dirigida para baixo. Uma part́ıcula que se move desta forma é chamada projétil (o que significa que
é lançada, projetada) e seu movimento é chamado de movimento baĺıstico. Este é um movimento
bastante comum no nosso dia-dia, desde que qualquer objeto que é lançado descreve um movimento
baĺıstico: uma bola em um jogo de futebol, algo lançado de um avião, etc. Usando a notação vetorial
que desenvolvemos na seção anterior, podemos escrever a velocidade inicial como:
v0 = v0xî+ v0y ĵ (3.9)
onde as componentes nas direções x e y são dadas por:
v0x = v0 cos θ0 e v0y = v0 sin θ0 (3.10)
44 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES
com θ0 sendo o ângulo entre o vetor v0 e o eixo horizontal.
No movimento de projétil tanto a velocidade quanto a posição da part́ıcula estão variando no tempo,
mas a aceleração sempre será constante e dirigida para baixo. Assim, podemos escrever:
a = −gĵ (3.11)
o que implica que na direção horizontal a velocidade é constante. Na Fig. 3.11a, é mostrada uma
fotografia estroboscópica de uma bola de tênis quicando sobre uma superf́ıcie dura. Entre os impactos a
bola descreve uma trajetória baĺıstica, que pretendemos estudar. Na Fig. 3.11b, é feita uma comparação
entre o movimento de uma bola em queda livre (amarela) e outra bola que também está em queda livre
mas que apresenta uma velocidade com componente horizontal. Assim, desde que ambas sofrem a ação
de uma aceleração dada pela Eq. (3.11), o movimento na direção vertical para as duas bolas é idêntico.
(a) (b)
Figura 3.11: (a) Fotografia estroboscópica de uma bola de tênis amarela quicando em uma superf́ıcie dura. Entre
os impactos, a trajetória da bola é baĺıstica. (b) Uma bola é deixada cair a partir do repouso no mesmo instante
que a outra bola é lançada horizontalmente para a direita. Os movimentos verticais das duas bolas são iguais.
Este exemplo nos mostra que os movimentos nas duas direções são independentes e podem ser tratados
individualmente. Com isso, podemos decompor o problema complicado de duas dimensões em dois
problemas unidimensionais separados mais fáceis de serem resolvidos, um para o movimento horizontal
(com aceleração nula) e outro para o movimento vertical (com aceleração constante para baixo).
3.4. MOVIMENTO DE PROJÉTEIS 45
3.4.1 Análise do movimento de um projétil
Para determinar o movimento de um projétil, nas condições dadas pelas Eqs. (3.9) a (3.11), precisamos
do vetor posição r(t) para todos os instantes de tempo. Para isso, consideramos a equação:
r(t) = r0 + v0(t− t0) +
1
2
a(t− t0)2 (3.12)
onde,
r(t) = x(t)̂i+ y(t)̂j
assim, da mesma forma r0 = x0î + y0ĵ e v0 e a são dados pelas Eqs. (3.9) e (3.11), respectivamente.
Substituindo todas estas definições na Eq. (3.12), segue que:
x(t)̂i+ y(t)̂j = x0î+ y0ĵ+ (v0xî+ v0y ĵ)(t− t0) +
1
2
(−gĵ)(t− t0)2
o que pode ser colocado na forma
x(t)̂i+ y(t)̂j = x0î+ y0ĵ+ v0x(t− t0)̂i+ v0y(t− t0)̂j−
1
2
g(t− t0)2ĵ
ou ainda,
x(t)̂i+ y(t)̂j = [x0 + v0x(t− t0)]̂i+
(
y0 + v0y(t− t0)−
1
2
g(t− t0)2
)
ĵ
Neste ponto, lembramos que os versores î e ĵ são linearmente independentes. Isto significa que se
multiplicamos estes versores por qualquer escalar, nunca será posśıvel obter o outro vetor. De fato, um
número multiplicando um vetor apenas modifica o seu módulo e sentido deixando sua direção inalterada.
Assim, a única maneira da equação acima ser satisfeita é através da igualdade entre os coeficientes de î
e ĵ, nos dois membros. Desta forma, escrevemos:
x(t) = x0 + v0x(t− t0) (3.13a)
y(t) = y0 + v0y(t− t0)−
1
2
g(t− t0)2 (3.13b)
que descreve movimentos independentes nas direções x e y. Afirmamos que são independentes porque a
coordenada x não aparece na equação para y e vice-versa.
Movimento Horizontal
O movimento horizontal é descrito pela Eq. (3.13a) com v0x = v0 cos θ0, logo
x(t) = x0 + (v0 cos θ0)(t− t0). (3.14)
46 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES
Movimento Vertical
O movimento vertical é dado pela Eq. (3.13) com v0y = v0 sin θ0, assim:
y(t) = y0 + (v0 sin θ0)(t− t0)−
1
2
g(t− t0)2. (3.15)
As relações do movimento retiĺıneo com aceleração constante obtidas no caṕıtulo anterior podem
aplicadas aqui, trocando apenas a velocidade inicial por v0y = v0 sin θ0, a aceleração a por −g e o eixo x
pelo eixo y. Assim, podemos escrever,
vy = v0 sin θ0 − g(t− t0),
v2y = (v0 sin θ0)
2 − 2g(y − y0).
Conforme mostrado na Fig. 3.12, a componente vertical da velocidade se comporta exatamente como
a de uma bola lançada verticalmente para cima. Inicialmente ela está dirigida para cima, e seu módulo
diminui continuamente até se anular, o que determina a altura máxima da trajetória. Em seguida, a
componente vertical da velocidade muda de sentido e seu módulo passa a aumentar com o tempo.
Figura 3.12: Trajetória de um projétil que é lançado em x0 = 0 e y0 = 0 com uma velocidade inicial v0. São
mostradas a velocidade inicial e as velocidades em vários pontos ao longo da trajetória, juntamente com suas
componentes. Observe que a componente horizontal de velocidade permanece constante, mas a componente vertical
muda continuamente. O alcance R é a distância horizontal percorrida pelo projétil quando retorna à altura do
lançamento.
3.4. MOVIMENTO DE PROJÉTEIS 47
Equação da Trajetória
Podemos obter a equação da trajetória, ou seja, do caminho percorrido pelo projétil eliminando-se o
tempo t− t0 nas Eqs. (3.14) e (3.15). Assim, explicitando o tempo na Eq. (3.14), obtemos:
t− t0 =
x− x0
v0 cos θ0
e substituindo em Eq. (3.15), segue que:
y(x) = y0 + v0 sin θ0
[
x− x0
v0 cos θ0
]
− 1
2
g
[
x− x0
v0 cos θ0
]2
ou ainda,
y(x) = y0 + tan θ0(x− x0)−
g
2v20 cos
2 θ0
(x− x0)2. (3.16)
que é uma equação geral de uma parábola. Note que a parábola mostrada na Fig. 3.12 é um caso
particular da Eq. (3.16) com x0 e y0 nulos:
y(x) = tan θ0x−
g
2v20 cos
2 θ0
x2. (3.17)
Alcance Horizontal
O alcance horizontal de um projétil, como mostra a Fig. 3.12, é a distância horizontal percorrida pelo
projétil até voltar à sua altura inicial (altura de lançamento). Para determinar o alcance R, fazemos
x− x0 = R na Eq. (3.14) e y − y0 = 0 na Eq. (3.15). Com isso, temos
R = v0 cos θ0(t− t0) ∴ t− t0 =
R
v0cos θ0
(3.18)
e,
0 = v0 sin θ0(t− t0)−
1
2
g(t− t0)2. (3.19)
e usando o valor de t− t0 obtido da Eq. (3.18) em (3.19) temos ainda:
0 = v0 sin θ0
R
v0 cos θ0
− 1
2
g
(
R
v0 cos θ0
)2
.
e resolvendo para R segue que:
0 = v20 cos θ0 sin θ0R−
1
2
gR2 ∴ (2v20 cos θ0 sin θ0 − gR)R = 0
48 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES
e vemos que existem duas soluções:
R = 0 e R =
2v20 cos θ0 sin θ0
g
=
v20
g
sin 2θ0
a primeira solução corresponde ao ponto inicial de onde o projétil é lançado. O segundo resultado é a
distância onde o projétil atinge o chão. Assim, temos que o alcance R é dado por:
R =
v20
g
sin 2θ0. (3.20)
Note que o alcance máximo é obtido quando θ0 =
π
4
= 45o. Neste caso o seno vale 1, e R atinge seu
maior valor dado por R =
v20
g
. Note que a Eq. (3.20) não fornece a distância horizontal percorrida
pelo objeto quando este é lançado de uma altura diferente da altura final.
Exemplos
1. Um projétil é disparado horizontalmente de uma arma que está a 45, 0 m acima de um terreno plano,
emergindo da arma com uma velocidade de 250 m/s. (a) Por quanto tempo o projétil permanece no
ar? (b) a que distância horizontal do ponto de disparo ele se choca com o solo? (c) Qual é módulo da
componente vertical da velocidade quando o projétil se choca com o solo?
(a)
Para determinar o tempo T que o projétil fica no ar, basta determinar o tempo gasto para o projétil
atingir o solo. Assim, considerando que o projétil é lançado na horizontal, então a velocidade inicial na
direção vertical é zero, assim, podemos escrever a Eq. (3.15) na forma:
y(t) = y0 −
1
2
gt2.
assim, fazendo y(t) = 0, temos:
T =
√
2y0
g
=
√
2× 45, 0 m
9, 8m/s2
= 3, 03 s.
(b)
O que é pedido é simplesmente o alcance da bala. Como a bala é disparada de uma altura y0 = 45, 0 m
e atinge o solo na posição y = 0 m não podemos aplicar a Eq. (3.20). No entanto, ainda podemos calcular
esta distância facilmente visto que temos o tempo que a bala leva para chegar ao chão. Assim, aplicando
este tempo na Eq. (3.14) com x0 = 0, t0 = 0, θ0 = 0 e ainda t = T , segue que:
x(T ) = v0T
3.4. MOVIMENTO DE PROJÉTEIS 49
ou seja,
x(T ) = 250 m/s× 3, 03 s
logo,
x(T ) = 757, 61 ≈ 758 m.
(c)
O módulo da componente vertical da velocidade pode ser determinada usando-se a equação:
vy(t) = −gt
desde que v0y = 0. Assim, substituindo-se o tempo T , obtemos:
vy(t) = −9, 8m/s2 × 3, 03 s = 29, 7 m/s
2. O chute de um jogador de futebol americano imprime à bola uma velocidade inicial de 25 m/s.
Quais são (a) o menor e (b) o maior ângulo de elevação que ele pode imprimir à bola para marcar um
field goal a partir de um ponto situado a 50 m da meta, cujo travessão está a 3, 44 m acima do gramado?
Aqui consideramos que a trave por onde a bola deve passar está na direção positiva do eixos dos x,
assim, a convenção de sinais é mesma que foi adotada na dedução das equações para o movimento do
projétil. Considerando a origem do sistema de coordenadas sobre o jogador e o tempo t0 = 0, podemos
escrever:
x(t) = v0t cos θ0
y(t) = v0t sin θ0 −
1
2
gt2.
Devemos determinar o ângulo θ0 para uma altura H = 3, 44 m e distância L = 50 m. Assim,
eliminando o tempo entre estas equações, temos:
H = v0
(
L
v0 cos θ0
)
sin θ0 −
1
2
g
(
L
v0 cos θ0
)2
.
o que pode ser escrito na forma:
H = L tan θ0 −
gL2
2v20
1
cos2 θ0
50 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES
podemos escrever 1/ cos2 θ0 na forma:
1
cos2 θ0
= 1 + tan2 θ0
e, assim, substituindo na equação acima, obtemos:
H = L tan θ0 −
gL2
2v20
− gL
2
2v20
tan2 θ0
o que pode ser colocado na seguinte forma:
gL2
2v20
tan2 θ0 − L tan θ0 +
gL2
2v20
+H = 0
que é uma equação do segundo grau para a tangente de θ0. Definindo um coeficiente auxiliar
K =
gL2
2v20
=
9, 8 m/s2 × (50 m)2
2× (25 m/s)2
= 19, 6 m
temos
K tan2 θ0 − L tan θ0 +H +K = 0
e é claro
tan θ0 =
L±
√
L2 − 4K(H +K)
2K
e substituindo-se os valores correspondentes, temos ainda:
tan θ0 =
50 m±
√
(50 m)2 − 4× 19, 6 m× (3, 44 m + 19, 6 m)
2× 19, 6 m
o que nos permite determinar dois valores:
tan θ0 = 1, 95 e tan θ0 = 0, 605
e os ângulos correspondentes, no primeiro quadrante, podem ser determinados tomando-se o arco tangente
destes valores. Obtemos então dois valores de ângulos que satisfazem a condição de obter altura H =
3, 44 m e distância H = 50 m. Assim,
θ0 = 63
o e θ0 = 31
o
portanto, conclúımos que o ângulo de maior elevação é 63o e o ângulo de menor elevação é 31o.
3.4. MOVIMENTO DE PROJÉTEIS 51
3. Os esquiadores experientes costumam dar um pequeno salto antes de chegar a uma encosta. Con-
sidere um salto no qual a velocidade inicial v0 = 10 m/s, ângulo é θ0 = 9
o, a pista antes do salto é
aproximadamente plana e a encosta tem uma inclinação de α = 11, 3o. A figura 3.13a mostra um pré-
salto no qual o esquiador desce no ińıcio da encosta. A Fig. 3.13b mostra um salto que começa no
momento em que o esquiador está chegando à encosta. Na Fig. 3.13a o esquiador desce aproximada-
mente na mesma altura em que começou o salto. (a) Qual é o ângulo ϕ entre a trajetória do esquiador
e a encosta na situação da Fig. 3.13a? Na situação da Fig 3.13b, (b) o esquiador desce quantos metros
abaixo da altura em que começou o salto e (c) qual é o valor de ϕ ? (A queda maior e o maior valor de
ϕ podem fazer o esquiador perder o equiĺıbrio.)
Figura 3.13: Veja exemplo 3.
(a)
Isto é bastante simples desde que sabemos que no ponto em que esquiador atinge novamente o solo,
é exatamente no ińıcio da encosta na mesma altura em que iniciou o salto. Logo, este deve ter um vetor
posição abaixo da horizontal mas com um ângulo igual ao ângulo θ0. Assim, o ângulo entre a encosta e
o esquiador é dado por:
ϕ = α− θ0 = 11, 3o − 9, 0o = 2, 3o
(b)
Vamos considerar que o esquiador aterriza em uma distância d da rampa. Assim usamos as seguintes
equações:
y = y0 + v0yt−
1
2
gt2
x = x0 + v0xt
e considerando um triângulo retângulo com hipotenusa igual à d fazendo um ângulo α com o prolonga-
52 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES
mento horizontal, então temos que,
x− x0 = d cosα
y − y0 = −d sinα
e além disso, temos ainda,
v0x = v0 cos θ0
e, substituindo na equação para x(t), obtemos:
d cosα = v0 cos θ0t ∴ t =
d cosα
v0 cos θ0
Para o movimento vertical temos:
−d sinα = v0t sin θ0 −
1
2
gt2
e substituindo o tempo obtido da equação para o movimento na direção horizontal, obtemos ainda:
−d sinα = v0
[
d cosα
v0 cos θ0
]
sin θ0 −
1
2
g
[
d cosα
v0 cos θ0
]2
ou ainda,
−d sinα = d tan θ0 cosα−
gd2 cos2 α
2v20 cos
2 θ0
e simplificando a distância d em ambos os membros, temos:
d =
2v20 cos
2 θ0
d cos2 α
(sinα+ cosα tan θ0)
d =
2v20 cos θ0
g cos2 α
(sinα cos θ0 + cosα sin θ0)
e a soma entre parênteses pode agrupada usando o seno da soma,
d =
2v20 cos θ0
g cos2 α
sin(α+ θ0)
Substituindo-se os valores correspondentes, obtemos ainda:
d =
2× (10 m/s)2 × cos 9, 0o
9, 8 m/s2 × cos2 11, 3o
sin(9o + 11, 3o)
3.4. MOVIMENTO DE PROJÉTEIS 53
d = 7, 27 m
o que nos fornece,
y = −d sinα = 7, 27 m× sin(11, 3o) = −1, 42 m
ou seja, o esquiador desceu 1,42 m abaixo da altura em que começou o salto.
(c)
O tempo que o esquiador gasta para aterrizar pode ser determinado pela equação do movimento
horizontal, assim:
t =
d cosα
v0 cos θ0
=
7, 27 m× cos(11, 3o)
10 m/s× cos(9, 0o)
logo,
t = 0, 72 s.
Com este tempo somos capazes de determinar a componente da velocidade vy, assim,
vy = v0y − gt = v0 sin θ0 − gt
e substituindo os valores correspondentes segue que:
vy = 10 m/s× sin 9, 0o − 9, 8 m/s2 × 0, 72 s
logo,
vy = −5, 5 m/s
Desde que temos também a componente horizontal da velocidade que não muda com o tempo, podemos
determinar o ângulo que a velocidade faz com a direção horizontal:
vx = v0x cos θ0 = 10 m/s× cos 9, 0o = 9, 9 m/s.
E, substituindo os valores na expressão para o ângulo θ :
θ = arctan
(
vy