Apostila-2

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA E GRAVITAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
GUARULHOS – SP 
 
 
 
SUMÁRIO 
1 Movimentos unidimensionais .................................................................................. 4 
1.1 Classificação dos movimentos unidimensionais ............................................... 10 
1.2 Determinação de x(t) a partir de v(t) e de v(t) a partir de a(t) ............................ 10 
1.3 Aceleração constante ....................................................................................... 12 
2 Equações Diferenciais .......................................................................................... 15 
2.1 Teoria das Equações Diferenciais Lineares ...................................................... 16 
2.2 Equação Homogênea ....................................................................................... 17 
3 Equações Não-Lineares ........................................................................................ 18 
3.1 Estudo de equação lineares de uma variável ................................................... 20 
3.2 Existência e unicidade de soluções .................................................................. 21 
3.3 Método da Bissecção ........................................................................................ 22 
3.4 O método de Newton ........................................................................................ 24 
4 Cinemática e Dinâmica das Rotações .................................................................. 28 
4.1 A primeira lei de Newton - a lei da inércia ......................................................... 29 
4.1.1 Força Resultante ............................................................................................. 30 
4.2 A Segunda lei de Newton ................................................................................. 32 
4.3 A terceira Lei de Newton ................................................................................... 33 
5 Cinemática vetorial ................................................................................................ 34 
5.1 Projeção do movimento num eixo ..................................................................... 34 
5.2 Aceleração da gravidade .................................................................................. 35 
5.3 Vetores ............................................................................................................. 40 
5.4 Propriedades dos vetores ................................................................................. 41 
5.5 Velocidade e aceleração vetoriais .................................................................... 45 
 
 
 
5.6 Lançamento de projéteis ................................................................................... 49 
5.7 Velocidade e aceleração relativas .................................................................... 52 
5.8 Movimentos dependentes ................................................................................. 54 
5.9 Produto escalar ................................................................................................. 59 
6 Forças centrais ...................................................................................................... 62 
7 Movimento Circular ............................................................................................... 63 
7.1 Movimento circular uniforme (MCU) ................................................................. 65 
7.2 Velocidade escalar no MCU ............................................................................. 67 
7.3 Força centrípeta no MCU e no MCUV .............................................................. 68 
7.4 Movimento circular uniformemente variado (MCUV) ........................................ 70 
7.5 Resumo sobre MCUV ....................................................................................... 71 
7.6 Exemplos de movimento circular ...................................................................... 71 
8 Movimento uniforme .............................................................................................. 75 
8.1 Fórmulas do movimento uniforme ..................................................................... 76 
8.2 Referenciais e classificação do movimento ...................................................... 76 
8.3 Velocidade média ............................................................................................. 78 
8.4 Unidades de medida da velocidade .................................................................. 78 
8.5 Gráficos do movimento uniforme ...................................................................... 80 
9 Movimento uniformemente variado ....................................................................... 84 
9.1 Equação de Torricelli ........................................................................................ 89 
10 Lançamento de Projéteis ...................................................................................... 91 
10.1 A queda livre dos corpos: ............................................................................... 92 
10.2 O lançamento oblíquo: .................................................................................... 92 
11 HISTÓRIA DA ASTRONOMIA .............................................................................. 94 
11.1 A Astronomia através dos tempos .................................................................. 94 
 
 
 
12 A Astronomia Pré-Histórica ................................................................................... 94 
12.1 A Astronomia na Mesopotâmia ....................................................................... 95 
12.2 A Astronomia Chinesa .................................................................................... 96 
12.3 A Astronomia entre os Egípcios ...................................................................... 97 
12.4 A Astronomia Grega ....................................................................................... 97 
12.5 Os Astrônomos da Grécia Antiga ................................................................... 98 
12.6 A Astronomia na Idade Média ....................................................................... 103 
12.7 A Nova Astronomia ....................................................................................... 107 
12.8 A Astronomia Moderna ................................................................................. 108 
13 Gravitação Universal ........................................................................................... 109 
13.1 Fórmula da Gravitação Universal ................................................................. 109 
13.2 Gravitação Universal e a Terceira Lei de Kepler .......................................... 111 
13.3 Constante de gravitação universal ................................................................ 112 
14 Leis de Kepler ..................................................................................................... 114 
14.1 Leis de Kepler e a Gravitação Universal ....................................................... 117 
15 Bibliografia Básica ............................................................................................... 118 
 
 
 
 
 
4 
 
1 MOVIMENTOS UNIDIMENSIONAIS1 
Dentre os vários movimentos que iremos estudar, o movimento unidimensional é 
o mais simples, já que todas as grandezas vetoriais que descrevem o movimento são 
paralelas. Como o movimento ocorre em apenas uma dimensão, é necessária apenas 
uma coordenada para especificar a posição de um corpo em cada instante de tempo. 
Consideremos um corpo que no instante t1 encontra-se na posição x1. Após um 
intervalo de tempo ∆t = t2 – t1, o corpo estará na posição x2 no instante de tempo t2. 
Definimos o deslocamento como sendo ∆x = x2– x1 e a velocidade média do corpo 
neste intervalo de tempo como: 
 
 
 
 
O sentido do deslocamento do corpo é dado pelo sinal do próprio deslocamento 
ou da velocidade média (são proporcionais). Geometricamente, a velocidade média 
entre os pontos x2 e x1 corresponde à inclinação da reta que passa por estes pontos, 
conforme mostra a Fig. 2.1. 
 
 
Fonte: ifsc.usp.br 
 
1 Texto extraído de: fotonica.ifsc.usp.br 
http://www.fotonica.ifsc.usp.br/ebook/book3/Capitulo2.pdf
 
5 
 
 
Quanto menor for o intervalo de tempo considerado, isto é, quanto mais 
próximos estiverem os pontos x1 e x2, mais fielmente representará a velocidade 
real do corpo naquele intervalo de tempo. Logo, a velocidade instantânea (real) é 
definida como: 
 
 
 
 
que nada mais é do que a derivada da posição com relação ao tempo. 
Geometricamente, se tivermos um gráfico de posição contratempo, a velocidade 
instantânea corresponde à inclinação da reta tangente à curva num determinado 
instante de tempo, como ilustra a Fig. 2.2. 
 
 
 
Fonte: ifsc.usp.br 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
Quando a velocidade instantânea é constante num determinado intervalo de 
tempo, dizemos que o movimento é uniforme e que v (t) = . Por outro lado, 
quando a velocidade não é constante no tempo, o movimento é chamado de 
acelerado. Neste caso, a variação da velocidade com o tempo é caracterizada por 
uma grandeza denominada aceleração. Se a velocidade do corpo no instante t1 é v1 
e no instante t2 é v2, a aceleração média é definida como: 
 
 
 
 
 
e no gráfico de velocidade contratempo ela corresponde à inclinação da reta que 
passa pelos pontos v1 e v2. Quando consideramos o limite em que ∆t tende a zero, 
surge a ideia de aceleração instantânea, grandeza esta que caracteriza localmente a 
variação da velocidade do corpo. Logo: 
 
 
 
 
Geometricamente, a aceleração é a inclinação da reta tangente à curva no 
gráfico de velocidade, como mostra a Fig. 2.3. 
 
 
Fonte: ifsc.usp.br 
 
7 
 
O movimento do corpo pode ser classificado de acordo com a maneira em que 
a aceleração se comporta no tempo. Quando a aceleração é constante, o movimento 
é chamado de uniformemente acelerado e se constitui numa classe importante de 
situações que analisaremos. Antes de prosseguirmos, vamos mostrar alguns 
exemplos dos conceitos que acabamos de ver. 
Exemplo 1: Seja um corpo deslocando-se de tal forma que sua posição é dada 
por x(t) = 4t2 , com t dado em s e x em cm. Na Fig. 2.4(a) vemos o gráfico desta função. 
A velocidade do corpo em cada instante de tempo pode ser encontrada tomando-se a 
derivada de x(t) e assim, 
 
 
Fonte: ifsc.usp.br 
 
 
 
 
que é a equação da linha reta mostrada na Fig. 2.4(b). Se quisermos calcular a 
aceleração como função do tempo, devemos tomar a derivada de v(t) que é 
obviamente uma constante. 
 
 
 
 
8 
 
 
A velocidade média do corpo entre os instantes t = 1s e t = 3s pode ser calculada 
através da expressão: 
 
 
 
Este mesmo resultado poderia ser obtido da seguinte forma: 
 
 
 
ou seja: “A velocidade média é a média das velocidades nos instantes considerados”. 
Este é um resultado que só vale para um movimento cuja aceleração é constante. 
Exemplo 2: O movimento de um corpo é descrito por x(t) = 3t2 + 4t + 1, sendo 
esta função mostrada na Fig. 2.5. A posição inicial do corpo é x0 = 1 cm e pelo gráfico 
vemos que nos instantes iniciais do movimento, o deslocamento se dá no sentido 
positivo do eixo x, até atingir um ponto máximo a partir do qual o movimento se inverte, 
ocorrendo a partir daí no sentido negativo do eixo x. 
Queremos responder à seguinte pergunta: quanto tempo o corpo leva para 
voltar à posição inicial? Para isto fazemos x(t) = 1, isto é, 
 
 
 
 
de onde tiramos que o corpo está na posição x = 1 nos instantes t = 0 (posição inicial) 
é t = 4/3 s, que corresponde ao tempo necessário para a partícula voltar à posição 
inicial. 
 
 
 
9 
 
 
Fonte: ifsc.usp.br 
 
A velocidade é dada por v(t) = dx/dt = -6t + 4 (cm/s), que está mostrada na Fig. 
2.6. Notamos que: v > 0 para t < 2/3 s, v = 0 para t = 2/3 s e v < 0 para t > 2/3 s. O 
gráfico da velocidade do corpo corresponde à uma reta com coeficiente angular 
negativo. O tempo t = 2/3 s define o ponto de retorno. A aceleração é dada por: 
 
 
 
 
e é no sentido oposto ao da velocidade na fase inicial (t < 2/3 s). 
 
10 
 
 
Fonte: ifsc.usp.br 
1.1 Classificação dos movimentos unidimensionais 
O movimento unidimensional é classificado de acordo com as variações da 
posição, velocidade e aceleração com o decorrer do tempo. Assim, temos os 
seguintes tipos de movimentos: 
Progressivo: x(t) aumenta com o tempo; 
Retrógrado: x(t) diminui com o tempo; 
Acelerado: v(t) e a (t) tem o mesmo sentido; 
Retardado: v(t) e a(t) tem sentidos opostos. 
 
No exemplo anterior (Exemplo 2), a classificação do movimento é: t < 2/3s → 
movimento progressivo e retardado e t > 2/3x → movimento retrógrado e acelerado. 
 
1.2 Determinação de x(t) a partir de v(t) e de v(t) a partir de a(t) 
Como vimos anteriormente, o conhecimento de x(t) permite o cálculo de v(t) 
através de uma derivação e também a(t) através de outra derivação. O problema 
inverso consiste na determinação de x(t) a partir de v(t) ou a(t). Para isto, temos que 
 
11 
 
realizar uma integração, pois estamos procurando a função cuja derivada é conhecida. 
Assim, 
 
 
 
Conhecendo-se a velocidade do corpo, determinamos sua posição como 
função do tempo através de uma integração simples. Lembre-se que o que estamos 
fazendo nada mais é do que dividir o intervalo de tempo total em pequenos intervalos 
dt nos quais a velocidade é considerada constante. O produto vdt fornece a pequena 
distância percorrida (ou deslocamento sofrido) em dt e a soma deles, que é a operação 
de integração, fornece o deslocamento total do corpo. Num gráfico de v(t) contra t, o 
deslocamento do corpo é a área sob a curva, como mostrado na Fig. 2.7. Note que 
área negativa indica deslocamento no sentido negativo do eixo x. 
 
Fonte: ifsc.usp.br 
 
Exemplo 1: A velocidade de um corpo é dada por: v(t) = 3t + 4 e sabemos que para t 
= 0 ele localiza-se em x0 = 1. Vamos calcular x(t). Assim, 
 
 
 
12 
 
 
Exemplo 2: Dado a(t) = 3t, calcular v(t) e x(t) 
 
 
 
 
Vemos que para conhecer v(t) precisamos saber a velocidade inicial. Para achar x(t) 
fazemos: 
 
 
 
 
 
Deste exemplo podemos concluir que para a determinação de v(t) a partir de a(t) 
é necessário o conhecimento do valor inicial v0 da velocidade. A determinação precisa 
de x(t) a partir de v(t) implica no conhecimento da posição x0 inicial. x0 e v0 são 
denominados de condições iniciais do movimento. 
1.3 Aceleração constante 
Este caso envolve um número grande de problemas e, assim, devemos trata-lo 
em particular. Sendo a aceleração constante, podemos calcular a velocidade como: 
 
 
 
e o deslocamento através de outra integração: 
 
 
13 
 
 
 
 
Podemos eliminar o tempo da primeira equação: v = v0 + at e substituí-lo na 
segunda: 
 
 
 
 
Logo: que é conhecida como equação de Torricelli, válida 
apenas quando a aceleração é constante. 
Um caso especial do movimento uniformemente acelerado ocorre para a = 9.81 
m/s2 = g, que corresponde ao movimento vertical de corpos sujeitos ao campo 
gravitacional da Terra, próximos à superfície. Neste caso, é comum tratar o 
deslocamento como altura (h) e adotar o sentido positivo de h como sendo oposto ao 
de g. 
Exemplo: Uma bola é lançada para cima, com velocidade inicial v0 como mostra 
a Fig. 2.8. Assim, usando a equação de Torricelli temos: 
 
 
 
Para um determinado h, existem duas soluções para v. A positiva representa o 
corpo em ascensão e a negativa o corpo está na descendente. Vemos também que o 
ponto de retorno (v = 0) ocorre para uma altura máximamostrada na 
Fig. 2.9. Por outro lado, a dependência temporal é dada por 
 
 
 
14 
 
 
Fonte: ifsc.usp.br 
 
Ao atingir o ponto máximo da trajetória, 
como obtido anteriormente, para a obtenção do tempo total da trajetória fazemos 
 que nos dá duas soluções: ti = 0 (início do 
movimento) que é o dobro do tempo gasto para que a bola atinja 
hmax. 
 
 
 
 
Fonte: ifsc.usp.br 
 
15 
 
 
2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS2 
Uma equação da forma 
 
 
 
onde x é a incógnita e função de uma variável, chama-se equação diferencial 
ordinária. 
Aplica-se tais equações às leis gerais da Física, Biologia, Economia. Também 
inúmeras questões da própria Matemática são formuladas por equações diferenciais 
ordinárias, como por exemplo, questões de Topologia, Geometria Diferencial e 
Cálculo Variacional. 
O estudo das equações diferenciais ordinárias iniciou-se com os métodos do 
Cálculo Diferencial e Integral, desenvolvidos por Newton e Leibniz no final do século 
XVII. Esses métodos conduziram à consolidação das Equações Diferenciais como um 
novo ramo da Matemática, que se transformou em disciplina independente no início 
do século XVIII. 
No fim do século XVIII a Teoria das Equações Diferenciais se transformou 
numa das disciplinas matemáticas mais importantes e o método mais efetivo para a 
pesquisa científica. As contribuições de Euler, Lagrange, Laplace e outros expandiram 
de maneira notável o conhecimento dentro dos cálculos das Variações, Mecânica 
Celeste, Teoria das Oscilações, Elasticidade, Dinâmica dos Fluídos, etc. 
No século XIX passou-se a considerar como questão prévia em cada problema 
a existência e unicidade de soluções satisfazendo dados iniciais. Este é conhecido 
como o Problema de Cauchy. 
Em 1881, Poincaré publica um trabalho em que são lançadas as bases da 
Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais. Esse trabalho dá a base para o estudo 
da Estabilidade das soluções de um sistema de EDO. 
 
2 Texto extraído de: mat.ufpb.br 
http://www.mat.ufpb.br/milton/disciplinas/edo/livro_edo.pdf
 
16 
 
2.1 Teoria das Equações Diferenciais Lineares 
Uma equação diferencial linear de ordem n é uma equação da forma 
 
 
 
 
Podemos admitir, por simplicidade, que as funções P0, · · · , Pn e G sejam funções 
reais e contínuas num intervalo I : α < x < β, e que P0 não tenha nenhum zero neste 
intervalo. Então podemos reescrever a equação (1.1) do seguinte modo 
Se definimos um operador L na forma: 
 
 
Se definimos um operador L na forma: 
 
 
 
então L é dito um operador linear de ordem n e a equação (1.2) é dada na seguinte 
maneira 
 
 
 
Consideremos a equação diferencial linear (1.3) com as condições iniciais 
 
 
 
 
17 
 
Teorema 1 Se as funções p1, p2, . . . , pn e g forem contínuas no intervalo aberto I, 
então existe somente uma solução y = φ(x) da equação diferencial (1.2) que obedece 
às condições iniciais (1.4). Esta solução existe sobre todo o intervalo I. 
 
2.2 Equação Homogênea 
Considere a equação homogênea 
 
 
é também uma solução da equação (1.5), com c1, · · · , cn constantes arbitrárias. 
Fazemos a seguinte questão: Toda solução de (1.5) pode ser escrita na forma (1.6)? 
Isto é verdade se independente das condições iniciais (1.4) for possível escolher 
constantes c1, · · · , cn de modo que (1.6) obedeça tais condições, ou seja, devemos 
ter 
 
 
 
As equações (1.7) podem ser resolvidas univocamente nas constantes c1, · · · , cn se 
o determinante dos coeficientes for não nulo. Desse modo, uma condição necessária 
e suficiente para a existência de solução para as equações (1.7), com valores 
arbitrários y0, y1, · · · , yn−1 é a de que o Wronskiano 
 
 
 
18 
 
 
 
 
não seja nulo em x = x0. Uma vez que x0 pode ser qualquer ponto do intervalo I, é 
necessário e suficiente que W (y1, · · ·, yn) não seja nulo em todo ponto do intervalo. 
Pode-se mostrar que se y1(x), y2(x), · · ·, yn(x) forem soluções da equação diferencial 
(1.5), então W(y1, · · · , yn) ou é nulo para todo x no intervalo I, ou nunca se anula 
nesse intervalo. 
Teorema 2 Se as funções p1, · · · , pn forem contínuas no intervalo I, e se as funções 
 forem soluções da equação (1.5) e se 
para pelo menos um ponto de I, então qualquer solução da equação (1.5) pode ser 
expressa como combinação linear das soluções 
Um conjunto de soluções da equação (1.5) cujo 
wronskiano não é nulo é um conjunto fundamental de soluções. 
3 EQUAÇÕES NÃO-LINEARES3 
A resolução de equações não lineares surge naturalmente em diversas 
aplicações. Vamos começar com um exemplo simples. Considere que temos um 
canhão que dispara seus projéteis a uma velocidade inicial v0. O objetivo é definir o 
ângulo θ de disparo para atingir um alvo que está a distância d do canhão. 
Nesse caso precisamos calibrar θ de forma a garantir que o projétil caia 
exatamente à distância dada. Dois fatores devem ser considerados. Logo após o 
disparo o projétil irá subir um pouco até a ação da gravidade inverter sua velocidade 
vertical ele começar a cair. O tempo total de voo é o tempo de subida mais o tempo 
de queda. Vamos considerar que apenas a força da gravidade age sobre o projétil, 
desconsiderando o efeito do atrito com o ar. Nesse caso temos que a aceleração 
vertical é constante igual −g, ou seja temos: 
 
3 Texto extraído de: ime.unicamp.br 
https://www.ime.unicamp.br/~pjssilva/pdfs/notas_de_aula/ms211/Equa%C3%A7%C3%B5es_N%C3%A3o-Lineares.pdf
 
19 
 
 
 
 
 
O tempo total até o impacto será T > 0 é obtido resolvendo y(t) = 0, t > 0, que é dado 
por 
 
 
 
 
Já a distância horizontal percorrida é dada por 
 
 
 
 
De novo estamos desprezando o atrito com o ar. 
O objetivo final é encontrar θ tal que x(T) = d. Ou seja queremos resolver a equação 
 
 
 
em função de θ. 
Em outras palavras, se definirmos 
 
 
 
Desejamos encontrar θ tal que a equação não-linear 
 
 
20 
 
 
seja válida. 
Apesar de essa equação admitir solução usando-se identidades trigonométricas, 
vamos encará-la como uma equação que não admite solução fechada. Nesse caso 
precisamos de um método que nos permita resolver equações gerais, além daquelas 
que conseguimos resolver manualmente usando manipulações algébricas. Esse é o 
objetivo das próximas aulas. 
 
3.1 Estudo de equação lineares de uma variável 
Como vimos anteriormente podemos ter interesse de resolver uma equação do 
tipo 
 
 
em que Um x que obedece à equação acima será chamado de um zero 
ou raiz de f. 
Vamos ver a seguir que isso pode ser resolvido por alguns métodos iterativos 
que irão encontrar soluções aproximadas dessa equação com precisão cada vez mais 
alta. 
Inicialmente note que há algumas questões fundamentais que devem ser 
tratadas. Primeiro é preciso se perguntar se a equação tem solução. Se tal solução 
existir, ela é única? Vamos apresentar abaixo algumas condições matemáticas para 
isso. A situação mais confortável ocorre quando há solução e ela é única. Nesse caso 
não há dúvidas de qual o papel do método numérico: encontrar essa única raiz. 
Quando há mais de um zero a situação já não é tão clara. Será que todas as raízes 
têm sentido Físico? O método teria que encontrar todas as possíveis soluções? Isso 
é possível? Se o método for capaz de encontrar apenas uma solução, será que é 
possível escolher, ou guiar o algoritmo, para uma das raízes em particular? Quanto 
tempo o método demora para encontrar uma boa aproximação da, ou de uma, 
solução? 
 
21 
 
3.2 Existência e unicidade de soluções 
Um resultado de cálculo fundamental para tratar da existência de soluções de 
uma equação não linear é o teorema de Bolzano. 
Teorema de Bolzano Seja uma função contínua em um 
intervalo então existe 
Ou seja, se uma função contínua troca de sinal em um intervalo, entãoela possui 
pelo menos um zero (nesse intervalo). 
 
 
 
 
(-2.2,2.2,-5.215660458552187,7.215660458552187) 
 
Note que essa condição é apenas uma condição necessária para a existência 
de zero. É claro que uma função pode ter o mesmo sinal nos extremos de um 
 
22 
 
intervalo e mesmo assim ter zeros dentro dele. Considere o caso acima no intervalo 
[−2, 1.5]. 
Já para garantir a unicidade é preciso exigir mais da função f . Uma hipótese razoável 
é que ela seja constantemente crescente ou decrescente dentro do intervalo. Para 
isso basta exigir que a derivada da função não troque de sinal. 
Teorema Seja diferenciável em um intervalo 
e a derivada de f tem sinal constante (a, b), então existe um único 
Aqui note que temos que considerar os valores da derivada em todo o intervalo e não 
apenas nos extremos. Exercício. Estude os zeros da função acima, encontre 
intervalos que contém os três zeros apresentados de forma única usando os teoremas 
apresentados. 
3.3 Método da Bissecção 
O teorema de Bolzano serve de ponto de partida para um primeiro método 
iterativo para resolução de equações não-lineares conhecido como bissecção. A ideia 
dele é simples. Imagine que f é contínua e temos na mão um intervalo [a, b] como no 
teorema. Isso quer dizer que temos certeza que existe uma raiz nesse intervalo. Uma 
aproximação razoável para essa raiz usando apenas essa informação é o ponto médio 
do intervalo. Aparentemente isso é tudo o que se pode fazer com essa informação. 
Porém podemos também calcular a função nesse ponto médio 
e há três possibilidades: 
 
 Nesse caso demos sorte, de fato o ponto médio é uma raiz que foi 
encontrada. 
 2. Sinal de f(m) é o mesmo sinal de f(a). Nesse caso podemos concluir, usando o 
teorema de Bolsano, que há uma raiz no intervalo [m, b]. Note que esse intervalo é 
bem menor que o original, tendo metade do seu comprimento. 
 3. Sinal de f(m) é o mesmo sinal de f(b). Nesse caso podemos concluir, usando o 
teorema de Bolsano, que há uma raiz no intervalo [a, m]. Note que esse intervalo é 
bem menor que o original, tendo metade do seu comprimento 
 
 
23 
 
 
Ou seja, ao avaliarmos f(x) conseguimos no mínimo melhorar a aproximação 
obtida, obtendo a cada passo um intervalo cada vez menor, dividindo o seu tamanho 
por 2. Note que o ponto médio do intervalo está à distância máxima de (b – a)/2 de 
uma raiz real do problema, já que existe raiz no intervalo. Dessa forma é natural parar 
o método quando a largura do intervalo for pequena o suficiente para aceitar o ponto 
médio como uma boa aproximação da raiz. 
Isso sugere o seguinte método: 
 
 
 
Uma característica interessante do método da bissecção é que ele pede usa 
apenas os valores da função em alguns pontos para decidir o que fazer. Além disso o 
seu comportamento é bem previsível. O comprimento do intervalo é dividido por 2 a 
cada iteração. Assim podemos prever quantas iterações serão necessárias para 
terminar o método como função do comprimento inicial e da precisão, epsilon, 
desejada. Isso fica como exercício. 
 
24 
 
 Como foi possível ver acima essa convergência ainda é um pouco lenta. 
Vamos estudar as seguir um outro método com comportamento, em geral, bem mais 
rápido. 
3.4 O método de Newton 
O método da bissecção tem algumas vantagens interessantes. Em primeiro lugar 
sua convergência é garantida, já que a cada passo a distância a uma raiz é divida por 
dois, indo, naturalmente, para zero. Uma segunda vantagem interessante é a 
possibilidade de estimar a priori o número de iterações necessárias para se obter a 
precisão desejada. Por fim, ele pode ser implementado somente usando informação 
sobre o cômputo da função. 
Vamos agora estudar um outro método que usa mais informação, além dos 
simples valores funcionais. Se f for diferenciável podemos aproveitar informação sobre 
a sua derivada para obter um algoritmo extremamente rápido em vários casos. A ideia 
fundamental é lembrar que se f é diferenciável, então sabemos aproximar a função 
localmente por uma função linear, usando uma expansão de Taylor de primeira ordem. 
 
 
 
 
Agora imagine que o ponto já conhecido, xk , está próximo da raiz, de modo que 
a aproximação de Taylor apresentada acima é muito boa para prever o 
comportamento de f de xk até a raiz. Podemos então pensar em substituir f por essa 
aproximação linear, achar a raiz da aproximação e tomá-la como nova estimativa da 
raiz original. Ou seja, queremos encontrar xk+1 tal que 
 
 
 
 
É fácil ver que a nova estimativa é dada por 
 
25 
 
 
 
 
 
Veja o gráfico abaixo para ter uma ideia do que está ocorrendo. Nela o ponto 
xk = −1/2 e a aproximação linear da curva azul é a reta verde. O ponto xk+1 é então 
ponto em que a aproximação linear cruza o eixo x. 
 
 
O método de Newton tem normalmente convergência extremamente rápida se 
o ponto inicial é uma boa aproximação da solução desejada. Um primeiro exemplo 
disso que vamos explorar é pensar no método de Newton sendo usado para calcular 
a raiz quadrada de um número. O problema de calcular a raiz de um número a > 0 
dado pode ser visto como o problema de resolver a equação 
 
 
 
 
 
26 
 
Nesse caso é muito fácil calcular a derivada e a iteração 
 
 
pode ser escrita como 
 
 
Vamos implementar o método e tentar calcular √ 10 partindo de x0 = 1. 
 
Note que a convergência ocorre de forma extremamente rápida. Na iteração 2, 
o número já foi calculado com 1 casa correta, na próxima iteração o número de casa 
corretas já duplicou passando para 2, depois para 4, depois para 8 casas e por fim 15. 
Ou seja, o número de casas corretas dobrou aproximadamente por iteração. 
Para entender porque isso ocorre vamos lembrar o que nos diz o teorema de Taylor 
se f for n + 1 vezes diferenciável. 
Teorema de Taylor. Seja diferenciável n + 1 vezes em um intervalo que 
contenha os valores x e y. Então existe ξ no intervalo aberto que une x e y tal que 
 
 
 
De posse desse resultado podemos provar que: 
Teorema (da Convergência Quadrática de Newton). Seja uma função 
duas vezes continuamente diferenciável. Se x0 inicia perto de uma raiz x ∗ onde a 
derivada de f é não nula, então o método de Newton está bem definido e gera uma 
sequência convergindo para x ∗ . Além disso, existe M > 0 tal que 
 
 
Prova. Usando o teorema de Taylor com x = xk e y = x ∗ temos 
 
 
27 
 
 
 
 
em que ξk está no intervalo que une xk e x∗. Por outro lado podemos deduzir alguns 
limitantes interessantes se fizermos hipóteses sobre a distância de xk até x∗. 
 
 
Concluímos então que nesse caso a sequência converge a x∗ e todas as 
propriedades obtidas continuam valendo. Portando se podemos concluir 
que: 
1. Toda a sequência se mantem a essa distância máxima de x∗. 
2. Em toda a sequência a derivada f ′ (xk ) tem módulo maior ou igual a | f ′ (x∗)|/2, 
portando é sempre não nula e o método está bem definido. 
3. Por fim, chamando de M teremos 
 
 
 
O fato da distância à solução, uma vez que cai abaixo de 1, diminuir elevando 
o valor anterior ao quadrado explica o comportamento observado no exemplo, com o 
número de casas decimais corretas duplicando a cada iteração. 
 
28 
 
 Um fato importante é que o teorema acima só garante a convergência quando 
o ponto inicial x0 estiver perto de uma raiz com derivada não nula. Caso contrário não 
há garantias para a convergência, em particular se o ponto inicial estiver longe das 
raízes. De fato, a convergência pode falhar. 
Colocar um exemplo de divergência baseado em uma função sigmoide. 
Existem algumas alternativas para se obter um método que convirja a partir de 
qualquer ponto inicial (globalização do método): 
 
• Começar com outro método com convergência garantida. 
• Fazer algum tipo de buscano passo de Newton para forçar a 
diminuir, encurtando o passo se necessário (busca linear) 
• Região de confiança. 
 
Outro problema que também pode ocorrer é encontrar um ponto de derivada nula 
(ou de derivada muito pequena). Esse tipo de situação pode também ser resolvido 
com estratégias parecidas com as estratégias descritas acima. 
 
• Usar a derivada no ponto anterior. 
• Usar uma iteração de outro algoritmo. 
4 CINEMÁTICA E DINÂMICA DAS ROTAÇÕES4 
No estudo do movimento, a cinemática, propõe-se descrevê-lo sem se preocupar 
com as suas causas. Quando nos preocupamos com as causas do movimento, 
estamos entrando em uma área da mecânica conhecida como dinâmica. 
Da dinâmica, temos três leis em que todo o estudo do movimento pode ser 
resumido. Essas leis são conhecidas como as leis de Newton: 
 
Primeira lei de Newton - a lei da inércia 
Segunda lei de Newton - o princípio fundamental da dinâmica 
Terceira lei de Newton - a lei da ação e reação 
 
4 Texto extraído de: https://educacao.uol.com.br/disciplinas/fisica/dinamica-as-leis-de-newton.htm 
https://educacao.uol.com.br/disciplinas/fisica/dinamica-as-leis-de-newton.htm
 
29 
 
 
A primeira lei de Newton descreve o que ocorre com os corpos que estão em 
equilíbrio. A segunda lei explica o que ocorre quando não há o equilíbrio, e a terceira 
lei mostra como é o comportamento das forças quando temos dois corpos interagindo 
entre si. 
Para o entendimento dessas leis, é necessário conhecer alguns conceitos 
físicos muito importantes, como força e equilíbrio. 
Observe a sua situação nesse exato momento: provavelmente você está 
sentado em uma cadeira lendo esse texto. Nesse momento existem forças agindo 
sobre você: elas vêm da cadeira, do chão e de algum outro objeto em que esteja 
encostado. Observe que, mesmo com a existência dessas forças, você continua 
parado. Isso ocorre porque elas estão se cancelando. Podemos dizer, portanto, que 
você se encontra em equilíbrio. 
O repouso não é a única situação de equilíbrio possível. Imagine-se de pé em 
um ônibus em movimento: se ele acelerar, frear ou fizer uma curva, você pode acabar 
se desequilibrando e caindo. Mas existe um caso que, mesmo com o ônibus em 
movimento, não haverá perigo nenhum de você cair. Isso acontecerá caso o ônibus 
execute um movimento retilíneo e uniforme (em outras palavras, quando ele se 
movimenta em linha reta e com velocidade constante). Nessa situação, podemos dizer 
que o ônibus está em equilíbrio. 
Os dois casos exemplificados anteriormente ilustram situações de corpos em 
equilíbrio. O primeiro mostra o equilíbrio dos corpos em repouso, que é conhecido 
como equilíbrio estático. O segundo mostra o equilíbrio dos corpos em movimento, 
que é conhecido como equilíbrio dinâmico. Nos dois casos temos algo em comum que 
define a situação de equilíbrio, e esse algo em comum é o fato de que todas as forças 
que estão atuando estarem se anulando. 
O equilíbrio ocorre em toda a situação em que as forças atuantes em 
determinado corpo se cancelam. 
4.1 A primeira lei de Newton - a lei da inércia 
Na natureza, todos os corpos apresentam certa resistência a alterações no seu 
estado de equilíbrio, seja ele estático ou dinâmico. Imagine que você tenha que chutar 
 
30 
 
duas bolas no chão: uma de vôlei e uma de boliche. É claro que a bola de vôlei será 
chutada com mais facilidade que a de boliche, que apresenta uma maior resistência 
para sair do lugar, maior tendência em se manter em equilíbrio, ou ainda, apresenta 
uma maior inércia. Define-se inércia como uma resistência natural dos corpos a 
alterações no estado de equilíbrio. 
A primeira lei de Newton trata dos corpos em equilíbrio e pode ser enunciada da 
seguinte forma: 
Quando as forças atuantes em um corpo se anulam, ele permanecerá em 
repouso ou em movimento retilíneo uniforme 
Um objeto que repousa sobre sua mesa, por exemplo, está em equilíbrio 
estático, e tende a ficar e permanecer nessa situação indefinidamente. No caso dos 
corpos em movimento, podemos imaginar um carro em movimento que freia 
bruscamente. Os passageiros serão lançados para frente porque tendem a continuar 
em movimento. 
 
4.1.1 Força Resultante 
 
No nosso cotidiano, é impossível encontrar um corpo sobre o qual não existam 
forças atuando - só o fato de vivermos na Terra já nos submete à força da gravidade. 
Muitas vezes essas forças se anulam, o que resulta em equilíbrio. Em outros casos, a 
resultante das forças que atuam sobre um corpo é diferente de zero. Quando isso 
ocorre, o resultado dessas forças é definido como força resultante. 
A determinação de uma força resultante não é algo simples, já que se trata de 
uma grandeza vetorial. Isso quer dizer que uma força é definida por uma intensidade, 
uma direção e um sentido. Como a força se trata de uma grandeza vetorial, não 
podemos determinar a força resultante utilizando a álgebra com que estamos 
acostumados. É preciso conhecer um processo matemático chamado de soma 
vetorial. 
A seguir, estão ilustrados os casos mais conhecidos para a determinação da 
força resultante de duas forças aplicadas em um corpo. 
 
Caso 1 - Forças com mesma direção e sentido 
 
31 
 
 
 
 Caso 2 - Forças perpendiculares 
 
 
 
 
Caso 3 - Forças com mesma direção e sentidos opostos 
 
 
 
 
Caso 4 - Caso Geral - Com base na lei dos Cossenos 
 
 
 
32 
 
 
4.2 A Segunda lei de Newton 
Quando diversas forças atuam em um corpo e elas não se anulam, é porque 
existe uma força resultante. E como se comporta um corpo que está sob a ação de 
uma força resultante? A resposta foi dada por Newton na sua segunda lei do 
movimento. Ele nos ensinou que, nessas situações, o corpo irá sofrer uma aceleração. 
Força resultante e aceleração são duas grandezas físicas intimamente ligadas. 
A segunda lei de Newton também nos mostra como força e aceleração se 
relacionam: essas duas grandezas são diretamente proporcionais. Isso quer dizer 
que, se aumentarmos a força, a aceleração irá aumentar na mesma proporção. A 
relação de proporção entre força e aceleração é mostrada a seguir. 
 
 
Onde é o símbolo de proporção. Para que possamos trocar a proporção por uma 
igualdade, precisamos inserir na equação acima uma constante de proporcionalidade. 
Essa constante é a massa do corpo em que é aplicada a força resultante. Por isso, a 
segunda lei de Newton é representada matematicamente pela fórmula. 
 
 
 
 
A segunda lei de Newton também nos ensina que força resultante e aceleração 
serão vetores sempre com a mesma direção e sentido. 
 
 
33 
 
 
Fonte: educacao.uol.com.br 
 
Unidades de força e massa no Sistema Internacional. 
Força - newton (N). 
Massa - quilograma (kg). 
4.3 A terceira Lei de Newton 
A terceira lei de Newton nos mostra como é a troca de forças quando dois corpos 
interagem entre si, seja essa interação por contato ou por campo. Segundo a terceira 
lei, se um corpo faz uma força em outro, imediatamente ele receberá desse outro 
corpo uma força de igual intensidade, igual direção e sentido oposto à força aplicada, 
como é mostrado na figura a seguir. 
 
Fonte: guiadoestudante.abril.com.br 
 
34 
 
5 CINEMÁTICA VETORIAL5 
Quando um objeto se desloca no espaço sem seguir uma trajetória determinada, 
a sua posição já não pode ser definida com uma única variável como nos exemplos 
estudados no capítulo anterior. No século XVII, o matemático Gottfried 
Leibniz escreveu que seria desejável criar uma área da matemática que descrevesse 
a posição diretamente, assim como na álgebra usam-se variáveis para representar 
valores numéricos. Na mesma época, Isaac Newton enunciou a lei do paralelogramo 
para somar forças. No entanto, o conceito de vetor usado hoje em dia, que permite 
concretizar o sonho de Leibnitz, só foi inventado muitos anos depois, no século XIX. 
 
5.1 Projeção do movimento num eixo 
Quando a trajetóriade um ponto num objeto em movimento não é conhecida 
previamente, para determinar a posição do ponto em cada instante de tempo t serão 
necessárias duas variáveis, se o ponto estiver confinado a mover-se numa superfície, 
ou três variáveis, no caso geral. 
Uma forma conveniente de indicar a posição é usando coordenadas cartesianas 
(x , y , z ). Os valores dessas coordenadas deverão ser funções contínuas do 
tempo, x(t), y(t) e z(t). O movimento do ponto no espaço pode então ser dividido em 
três movimentos retilíneos: os movimentos das projeções do ponto em cada um dos 
eixos cartesianos. Em cada um desses 3 movimentos podem ser aplicadas as 
equações cinemáticas estudadas no capítulo anterior. As velocidades instantâneas 
desses 3 movimentos são as derivadas das funções x(t), y(t) e z(t), em ordem ao 
tempo: 
 
 
 
Observe-se que se uma ou duas dessas velocidades forem nulas num instante, 
isso não implica que a velocidade v seja nula, pois a terceira velocidade pode ter valor 
 
5 Texto extraído de: fe.up.pt 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#sec-2.6
 
35 
 
diferente de zero. 
As acelerações instantâneas associadas a esses 3 movimentos são as 
derivadas das respetivas velocidades, em ordem ao tempo: 
 
 
 
Já não é preciso dizer que são acelerações tangenciais, porque em cada um 
desses três movimentos não pode existir componente perpendicular da aceleração, 
por serem movimentos ao longo duma reta. O tempo pode ser eliminado entre as 
equações 2.1 e as respetivas equações 2.2, obtendo-se as equações que relacionam 
as acelerações com as velocidades e as posições: 
 
 
 
 Quando o movimento do ponto está restringido a um plano, os eixos x e y podem 
ser escolhidos nesse plano, facilitando o estudo, porque as equações 
para vz e az deixam de ser necessárias. E se o movimento do ponto estiver restringido 
a uma reta, essa reta pode ser usada como eixo dos x, sendo apenas necessárias as 
equações que relacionam x, vx, ax e t . 
 Em geral, as 9 equações diferenciais 2.1, 2.2 e 2.3 poderão ter de ser resolvidas 
em simultâneo, porque o movimento da projeção num dos eixos pode depender dos 
movimentos das outras duas projeções. Nos casos em que não exista essa 
dependência, as equações para o movimento da projeção em cada eixo podem ser 
resolvidas independentemente. 
5.2 Aceleração da gravidade 
No seu livro de 1638, "Diálogos Acerca de Duas Novas Ciências", Galileu Galilei 
explicou, pela primeira vez, que o movimento de um projétil no ar pode ser 
decomposto na sobreposição de dois movimentos: o movimento da projeção do 
projétil num eixo horizontal e o movimento da sua projeção num eixo vertical. A 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.1
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.2
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.1
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.2
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.3
 
36 
 
figura 1.10 é igual à figura 108 no livro de Galileu e representa um objeto que foi 
lançado numa plataforma horizontal, abandonando a plataforma no ponto b. 
 
 
Fonte: ifsc.usp.br 
Galileu também descobriu que, quando a resistência do ar pode ser 
desprezada, por exemplo, se o projétil tem forma compacta e a sua trajetória não é 
muito comprida, o movimento da projeção horizontal é retilíneo e uniforme. Ou seja, 
em intervalos de tempo iguais, os deslocamentos horizontais do objeto 
são etc, todos com o mesmo comprimento. Na direção vertical, as 
distâncias que o objeto cai durante esses intervalos de tempo aumentam 
quadraticamente; isto é, durante o primeiro intervalo de tempo a distância descida 
é durante o segundo intervalo já tem descido uma distância total que é quatro 
vezes maior que e durante o terceiro intervalo a distância total descida é nove 
vezes maior do que 
A componente vertical da velocidade aumenta, mas como os deslocamentos 
verticais nos intervalos de tempo iguais, estão na proporção 1, 3, 5 
e 7, então a componente vertical da aceleração (aumento da componente vertical da 
velocidade) é constante. Galileu também observou que essa aceleração é igual para 
todos os objetos, independentemente do seu tamanho ou da sua massa, e é a 
aceleração da gravidade, representada pela letra g. 
O valor da aceleração da gravidade é ligeiramente diferente em diferentes 
locais na superfície da Terra, mas é aproximadamente igual a 9.8 m/s2. A resistência 
do ar produz outra aceleração que contraria o movimento, mas quando essa 
 
37 
 
resistência for desprezável, admite-se que o valor da aceleração é constante e igual 
a g . 
Se o eixo dos y for definido na vertical e apontando para cima, então as 
componentes da aceleração são ay = −g = − 9.8 m/s2 e ax = 0. O movimento da 
projeção horizontal é uniforme e o movimento da projeção horizontal é uniformemente 
acelerado. Usando as equações dos movimentos uniforme e uniformemente 
acelerados estudadas no capítulo anterior, obtêm-se as seguintes equações: 
 
 
 
Onde são as projeções horizontal e vertical da velocidade inicial vi. 
Por exemplo, se um projétil for lançado com uma velocidade inicial vi, inclinada um 
ângulo θ por cima da horizontal, então 
Do ponto de vista da trajetória parabólica do objeto, a aceleração 
tangencial at produzida pela gravidade pode ser positiva, negativa ou nula, já que 
pode fazer aumentar ou diminuir a velocidade do objeto, e pode ter um valor menor 
que g se a trajetória não for vertical, mas existirá também outra aceleração, a 
aceleração normal ou centrípeta; a soma das componentes verticais dessas duas 
acelerações deverá ser sempre igual a g e a soma das componentes horizontais igual 
a zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.1 
Atira-se uma pedra desde uma ponte que está 5 m acima de um rio, com velocidade de 
15 m/s e dirigida 36.9° para cima da horizontal. Determine a velocidade que terá a 
pedra quando entrar na superfície do rio e a altura máxima da sua trajetória, medida 
desde a superfície do rio (admita que a resistência do ar pode ser desprezada). 
 
 
 
38 
 
Resolução. A componente horizontal da velocidade inicial é 15 c o s 3 6.9◦=12.0  m/s 
e a componente vertical é 15 sen 3 6.9º=9.0  m/s. é conveniente escolher o eixo 
dos x na horizontal, seguindo a direção da projeção horizontal da velocidade, e o eixo 
dos y na vertical e apontando para cima. A origem pode ser escolhida no ponto onde 
a pedra foi lançada, mas neste caso vamos escolhê-la diretamente por baixo desse 
ponto e sobre a superfície do rio. Nesse sistema de coordenadas, a posição inicial 
é x=0 e y=5 (unidades SI), as componentes da velocidade são vx=12, vy=9 e as 
componentes da aceleração são ax=0 , ay=−9.8 . 
 
Os dois movimentos ao longo dos dois eixos podem ser analisados 
independentemente. Como o movimento ao longo do eixo dos y é uniformemente 
acelerado, podem usar-se as equações 2.4, 2.5, 2.6 e 2.7. No entanto, mostraremos 
como resolver o problema usando o método de separação de variáveis, que é mais 
geral. 
O valor constante de ay pode substituir-se na segunda equação 2.2 e na segunda 
equação 2.3, obtendo-se duas equações diferenciais ordinárias de primeira ordem: 
 
 
 
 
 
Para obter a velocidade da pedra quando entra na água, é necessário resolver a 
segunda equação, que pode ser feito separando as variáveis y e vy aos dois lados da 
equação 
 
 
A seguir, integra-se o lado esquerdo da equação, desde a altura inicial y=5, até à 
altura final y=0 e o lado direito integra-se desde a velocidade inicial vy=9 até o seu 
valor final, vf , ainda desconhecido 
 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.4
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.5
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.6https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.7
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.2
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.3
 
39 
 
Calculam-se estes dois integrais (no máxima usa 
se integrate (9.8, y, 5, 0) e integrate (vy, vy, 9, vf)) e o resultado é 
 
 
 
(a segunda solução, corresponde à velocidade que a pedra teria se 
tivesse sido lançada para cima desde o rio, passando pela ponte com componente 
vertical da velocidade igual a 9 m/s e para cima). 
 
Assim sendo, a componente vertical da velocidade quando a pedra entra no rio 
é vf=−13.38  m/s. Como o movimento na horizontal é uniforme, a componente 
horizontal da velocidade é sempre igual ao seu valor inicial 12.0 m/s e a velocidade 
com que a pedra entra no rio é 
 
 
No ponto da trajetória onde a altura é máxima, a componente vertical da velocidade é 
nula, porque a pedra para de subir e começa a descer. Os mesmos dois integrais já 
calculados podem ser calculados novamente, mas mudando o ponto final do integral 
do ponto onde a pedra entra no rio, para o ponto onde está na sua altura máxima, com 
valor de y ainda desconhecido, mas com componente vertical da velocidade vy nula 
 
 
 
onde ym é a altura máxima. Resolvem-se esses integrais e obtém-se assim o valor da 
altura máxima 
 
 
40 
 
5.3 Vetores 
Uma grandeza que tem sempre o mesmo valor, quando é medida por diferentes 
observadores em diferentes referenciais, chama-se escalar. Algumas das grandezas 
usadas no capítulo anterior são escalares; por exemplo, o deslocamento ∆s e o 
intervalo de tempo ∆t. 
Alguns exemplos de grandezas físicas que não são escalares são as 
componentes da posição, velocidade e aceleração ao longo de um eixo. Alterando a 
direção, o sentido ou a origem desse eixo, os valores dessas grandezas também se 
alteram. 
É útil escrever as equações da física de forma a que sejam iguais em qualquer 
referencial e os vetores permitem atingir esse objetivo. Um exemplo típico de vetor é o 
vetor deslocamento, que é um segmento de reta orientado entre dois pontos P1 e 
P2 no espaço, em que o primeiro ponto é considerado a origem do segmento e o outro 
ponto o fim. 
Por exemplo, na figura 2.2 está representado o vector com origem num ponto 
P1 e fim num ponto P2; a seta indica qual é o ponto final e por cima da letra usada para 
representar o vetor coloca-se também uma seta, para que fique claro que se trata 
de um vetor e não de uma variável algébrica comum. 
 
 
Fonte: def.fe.up.pt 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#fig-2.2
 
41 
 
5.4 Propriedades dos vetores 
A distância entre o ponto inicial e final de um vetor deslocamento chama-
se módulo, ou norma. Se um vetor é representado por então neste livro o módulo 
desse vetor representa-se por a (a mesma letra mas sem seta). Como a distância 
entre dois pontos é um escalar, o módulo de um vetor é uma grandeza escalar. Um 
vetor é caraterizado pelo seu módulo, pela sua direção, que é a orientação da reta 
que passa pelos dois pontos, e pelo seu sentido, que indica qual o ponto inicial e qual 
o ponto final nessa reta. 
Dois vetores são iguais se, e só se, a suas direções, sentidos e módulos são 
iguais. Por exemplo, na figura 2.2 o vetor entre os pontos P1 e P2 e o vetor entre os 
pontos P3 e P4 consideram-se iguais e, por isso, foram identificados com a mesma 
letra, A distância entre P3 e P4 é igual à distância entre P1 e P2 e as retas que 
passam por esses dois pares de pontos são paralelas. O vetor entre os pontos 
P5 e P6, não é igual a por ter módulo e direção diferentes. Este tipo de vetores 
chama-se vetores livres porque não interessam os pontos específicos onde estejam 
colocados, sempre que esses pontos definam corretamente o módulo, direção e 
sentido do vetor. 
Na figura 2.3, partindo do ponto P o vetor produz um deslocamento até o 
ponto Q; a seguir, o vetor provocará um deslocamento até o ponto R; assim 
sendo, o deslocamento combinado de é equivalente ao deslocamento desde 
P até R, representado na figura pelo vetor Diz-se que é igual à soma dos 
vetores 
 
 
 
 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#fig-2.2
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#fig-2.3
 
42 
 
 
Fonte: def.fe.up.pt 
 
Ou seja, a adição de dois vetores consiste em deslocar um deles de forma a 
fazer coincidir o seu ponto inicial com o ponto final do primeiro, obtendo-se como 
resultado o vetor que vai desde o ponto inicial do primeiro vetor até o ponto final do 
segundo. 
A equação implica que e a figura 2.3 mostra que o 
vetor vai desde o ponto final de até o ponto final de quando os pontos 
iniciais de coincidem. Como tal, para subtrair dois vetores deslocam-se para 
um ponto inicial comum e o resultado da subtração é o vetor que vai desde o ponto 
final do segundo vetor, até o ponto final do primeiro vetor. 
A adição de vetores é comutativa: deslocar o vetor a continuação do 
vetor produz o mesmo resultado do que deslocar o vetor a continuação do 
vetor (figura 2.4). A soma dos vetores é a diagonal do paralelogramo em 
que dois dos lados são iguais a e os outros dois lados são iguais a A soma 
de vários vetores também verifica a propriedade associativa. 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#fig-2.3
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#fig-2.4
 
43 
 
 
Fonte: def.fe.up.pt 
 
Considere-se um sistema de coordenadas cartesianas, como na figura  2.6. 
Cada ponto P tem 3 coordenadas cartesianas (x, y, z) e está no vértice de um 
paralelepípedo com arestas x, y e z, fases paralelas aos três planos xy , xz e yz e o 
vértice oposto a P encontra-se na origem O do referencial. 
 
 
 
 
Fonte: def.fe.up.pt 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#fig-2.6
 
44 
 
Existem duas formas diferentes de definir os sentidos positivos dos três 
eixos x, y e z. A forma habitual consiste em seguir a regra da mão direita: fecha-se 
o punho direito, esticam-se os dedos maior, indicador e polegar, de forma a formarem 
ângulos retos entre si; o indicador apontará no sentido do eixo do x, o dedo maior no 
sentido do eixo do y e o polegar no sentido do eixo do z. Um referencial cartesiano 
pode ser definido indicando o ponto que define a origem e 3 versores perpendiculares, 
que definem as direções e sentidos dos 3 eixos. 
Qualquer vetor pode ser obtido somando 3 deslocamentos ao longo dos 3 eixos; por 
exemplo, 
 
 
em que (ax , ay , az ) e (bx , by , bz ) são as componentes cartesianas dos vetores. 
Usando as propriedades da soma vetorial e do produto de escalar por vetor, a soma 
dos dois vetores pode ser obtida somando as respetivas componentes: 
 
 
Ou seja, a soma de dois vetores é outro vetor com componentes iguais à soma das 
componentes dos vetores originais. Observe que a direção, o sentido e o módulo de 
um vetor são independentes do sistema de eixos usado e da escolha da origem 
O; no entanto, as suas componentes (ax, ay , az ) são diferentes em diferentes 
sistemas de eixos. Se dois vetores são iguais, as suas componentes, no mesmo 
sistema de eixos, também devem ser iguais. 
O vetor posição de um ponto P, com coordenadas (x , y , z ), é o vetor que vai 
desde a origem O até o ponto P e pode ser obtido somando 3 deslocamentos ao longo 
dos 3 eixos (ver figura 2.6): 
 
 
 
 
Observe-se que as componentes desse vetor posição são iguais as coordenadas 
cartesianas do ponto P, (x, y, z). O vetor posição do ponto P depende da origem do 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#fig-2.6
 
45 
 
sistema; ouseja, em dois sistemas com origens diferentes os vetores posição do ponto 
P são diferentes. Em dois sistemas diferentes, mas com a mesma origem, o vetor 
posição de P é o mesmo, mas as suas componentes são diferentes nos dois sistemas. 
 
5.5 Velocidade e aceleração vetoriais 
A trajetória de um ponto em movimento pode ser definida em cada 
instante t através do vetor posição do ponto, 
 
 
 
 
Cada uma das três componentes, x(t) , y(t) e z(t) , é uma função do tempo. Num 
intervalo de tempo ∆t=t2−t1 o deslocamento do ponto (ver figura 2.7) é igual a 
 
 
 
em que são os vetores posição nos instantes t1 e t2 . 
 
 
Fonte: def.fe.up.pt 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#fig-2.7
 
46 
 
 
O vetor obtido dividindo o deslocamento é o vetor velocidade média, 
com a mesma direção e sentido do deslocamento Define-se o vetor 
velocidade em cada instante, igual ao deslocamento dividido por no limite em 
que se aproxima de zero, 
 
 
Como as componentes cartesianas do deslocamento vetorial 
então o vetor velocidade é igual a 
 
 
As equações obtidas aplicando a equação 1.8 às três componentes do vetor posição 
combinam-se numa única equação vetorial: 
 
 
O aumento do vetor velocidade, durante o intervalo de tempo 
 
 
e as suas componentes são as derivadas das componentes da velocidade: 
 
 
 
As equações obtidas aplicando a equação 1.22 às três componentes do vetor 
velocidade combinam-se também numa única equação vetorial: 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica.html#eq-1.8
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica.html#eq-1.22
 
47 
 
 
 
As equações 2.15 e 2.18 são as mesmas 6 equações 2.1 e 2.2, combinadas em duas 
equações vetoriais, usando o facto que a igualdade de dois vetores implica a 
igualdade das suas componentes. 
 
As restantes 3 equações 2.3 também podem ser combinadas numa equação vetorial: 
 ondeo ponto "· " representa o produto escalar, que será introduzido no fim 
do capítulo. No entanto, para resolver equações diferenciais usando o método de 
separação de variáveis usado no capítulo anterior, é mais útil usar as 3 
equações 2.3 por separado. 
 
A rapidez |v| referida no capítulo anterior é o módulo do vetor Quando o movimento 
pode ser em qualquer direção do espaço, chamaremos simplesmente velocidade ao 
vetor e "valor da velocidade" a |v| ; de forma análoga, o vetor chamar-se-á 
simplesmente aceleração e será o valor da aceleração. 
 
 
 
Resolução. As componentes da velocidade podem ser representadas por uma lista 
no Maxima: 
 
 
 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.15
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.18
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.1
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.2
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.3
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.3
 
48 
 
As funções diff e integrate aceitam também uma lista com expressões, derivando (ou 
integrando) cada um dos elementos da lista. Assim sendo, a aceleração (derivada da 
velocidade em ordem ao tempo) é, 
 
 
 
As componentes do vetor obtêm-se a partir da equação 2.16. 
 
 
usou-se o comando assume para indicar que t é positiva; se não tivesse sido usado, 
Máxima teria perguntado o sinal de t , já que o resultado do integral depende desse 
sinal. 
O vetor posição, a velocidade e a aceleração aos 15 segundos são, 
 
Para obter os vetores no limite do tempo infinito, usa-se a função limit e o 
símbolo inf que representa infinito: 
 
 
 
 
 
 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.16
 
49 
 
 
 
 
 
Ou seja, a partícula atinge velocidade constante afastando-se até infinito. 
Para traçar o gráfico da trajetória, usa-se a opção parametric da função plot2d. As 
componentes x e y do vetor posição devem ser dadas por separado, porque a 
função plot2d não admite que sejam dadas numa lista. O primeiro elemento da 
lista r (componente x ) identifica-se usando a sintaxe r [1] e o segundo elemento 
(componente y ) com r[2] 
 
 
O intervalo de tempo desde 0 até 60 foi indicado usando a notação [t, 0, 60]. O 
resultado mostra-se na figura 2.7. 
 
 
Fonte: def.fe.up.pt 
5.6 Lançamento de projéteis 
O movimento de projéteis sob a ação da gravidade, estudado na secção 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#fig-2.7
 
50 
 
pode também ser analisado de forma vetorial. Escolhendo o eixo dos y na direção 
vertical, com sentido positivo para cima, tal como na secção 
o vetor aceleração será: 
 
 
 
onde a aceleração da gravidade g é, aproximadamente 9.8 m/s2. 
 
Se um projétil for lançado com velocidade inicial a aceleração da gravidade 
alterará essa velocidade, na direção vertical, mas a componente horizontal de 
permanecerá constante. O resultado será um vetor velocidade que se 
encontra no mesmo plano vertical em que está a velocidade inicial 
Conclui-se assim que a trajetória do projétil será sempre plana, no plano vertical 
definido por 
 
A única exceção a essa regra é quando não tiver componente horizontal; nesse 
caso, são paralelos, não definem nenhum plano e a trajetória é uma reta 
vertical. 
 
 
 
 
Resolução: Usando o sistema de eixos definido no enunciado do problema, o vetor 
aceleração é A expressão do vetor velocidade em função 
de t instante obtém-se a partir da equação 2.19 e calculando a primitiva, 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.19
 
51 
 
 
Fonte: def.fe.up.pt 
 
 
 
 
 
 
 
Onde foi arbitrado ti=0 no instante em que a bala é disparada. 
 
Substituindo essa expressão e a posição inicial na equação 2.16, obtém-se a 
expressão do vetor posição em qualquer instante 
 
 
A altura máxima será atingida no instante em que a velocidade seja na horizontal, ou 
seja, quando a componente vz da velocidade for nula 
 
 
 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.16
 
52 
 
nesse instante, a componente z do vetor posição determina a altura máxima: 
 
 
Para calcular o instante em que a bala bate no chão, calcula-se o tempo t em que a 
componente z da posição é igual a zero, 
 
 
 
e nesse instante a posição da bala é, 
 
 
5.7 Velocidade e aceleração relativas 
A figura 2.9 mostra os vetores posição de dois pontos P e Q, no mesmo 
instante t . O vetor desde o ponto Q até o ponto P, é a posição do ponto P, 
relativa a Q. Esses três vetores posição estão relacionados pela seguinte equação: 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#fig-2.9
 
53 
 
 
Fonte: def.fe.up.pt 
Os vetores velocidade dos dois pontos são as derivadas dos seus vetores posição, 
em ordem ao tempo 
 
 
 
E a derivada do vetor posição relativa, em ordem ao tempo, é a velocidade de P 
relativa a Q: 
 
 
 
Como tal, derivando os dois lados da equação 2.21, em ordem ao tempo, obtém se a 
relação entre as 3 velocidades: 
 
 
 
Isto é, a velocidade do ponto P é igual à sua velocidade relativa a outro ponto Q, mais 
a velocidade desse ponto Q. E a velocidade do ponto P, relativa a outro ponto Q, é 
igual à velocidade de P menos a velocidade de Q. 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.21
 
54 
 
A relação entre as velocidades pode ser derivada novamente, em ordem ao tempo, 
obtendo-se uma relação semelhante para a aceleração relativa: 
 
 
 
Assim, por exemplo, se viajarmos num comboio que se desloca com velocidade 
e observarmos um objeto com velocidade dentro do comboio, a velocidade 
desse objeto em relação à Terra será igual a Mas como a Terra se 
desloca em relação aoSol, a velocidade do objeto em relação ao Sol seria 
 em que é a velocidade da Terra relativa ao Sol. Em relação à 
Galáxia teríamos de somar também a velocidade do Sol na galáxia e assim 
sucessivamente. 
 O princípio de adição de acelerações relativas é aproveitado para treinar os 
candidatos a astronautas. Se o astronauta, a bordo de um avião, tropeça e cai para o 
chão, a sua aceleração durante a queda, em relação à Terra, é o vetor 
que aponta para o centro da Terra e com valor igual à aceleração da gravidade. Se o 
avião também estiver em queda livre, a sua aceleração em relação à Terra será o 
mesmo vetor (figura 2.10). A aceleração do astronauta em relação ao avião é igual 
à diferença entre essas duas acelerações em relação à Terra, que é zero. Ou seja, 
em relação ao avião, o astronauta não acelera em nenhuma direção, mas flutua no 
meio do avião durante os segundos que o piloto conseguir manter o avião em queda 
livre. 
 
5.8 Movimentos dependentes 
Em alguns sistemas em que aparentemente são necessárias várias variáveis 
para descrever o movimento das diferentes componentes do sistema, o número de 
graus de liberdade pode ser menor devido à existência de restrições no movimento. 
A figura 2.11 mostra um exemplo; enquanto o cilindro desce, o carrinho desloca-se 
sobre a mesa. 
 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#fig-2.10
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#fig-2.11
 
55 
 
 
Fonte: def.fe.up.pt 
O movimento do carrinho pode ser descrito pela variação da distância 
horizontal x até o eixo da roldana fixa. O movimento do cilindro é igual ao movimento 
da roldana móvel e, como tal, pode ser descrito pela expressão para a distância 
vertical y entre os centros das roldanas, em função do tempo. 
Mas enquanto o fio permanecer esticado e sem se quebrar, existirá uma 
relação entre as velocidades e as acelerações do carrinho e do cilindro. Para encontrar 
essa relação, escreve-se a o comprimento do fio, L, em função das distâncias x e y: 
 
 
em que r1 e r2 são os raios das duas roldanas. O fio toca um quarto do perímetro da 
roldana fixa e metade do perímetro da roldana móvel Tendo em 
conta que L, d, r1 e r2 são constantes, e derivando a equação anterior em ordem ao 
tempo, obtém-se, 
 
 
 
56 
 
Ou seja, o valor da velocidade do carrinho será sempre o dobro do valor da velocidade 
do cilindro. O sinal negativo na equação acima indica que se o cilindro desce o 
carrinho desloca-se para a direita e vice-versa. 
Derivando novamente essa última equação em ordem ao tempo, conclui-se que a 
aceleração tangencial do carrinho é também o dobro da aceleração tangencial do 
cilindro: 
 
 
 
Essas relações entre as posições, velocidades e acelerações implicam que o 
sistema tem apenas um grau de liberdade. Uma vez conhecidas as expressões para 
a posição, velocidade e aceleração de um dos objetos, as expressões da posição, 
velocidade e aceleração do outro objeto serão obtidas multiplicando (ou dividindo) por 
2. 
Um segundo exemplo, com dois graus de liberdade, é o sistema de três 
roldanas e três cilindros na figura 2.12. As alturas dos três cilindros são determinadas 
pelos valores das 3 distâncias yA , yB e yC ; como existe um único fio em movimento, 
existe apenas uma restrição (comprimento do fio constante), que permitirá expressar 
uma das três distâncias em função das outras duas. 
 
Fonte: def.fe.up.pt 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#fig-2.12
 
57 
 
 
O comprimento do fio é, 
 
 
em que a constante é a soma de metade dos perímetros das roldanas, que não é 
importante conhecer, já que vai desaparecer quando a equação for derivada e só 
altera as posições num valor constante. 
A derivada da equação anterior em ordem ao tempo é, 
 
 
 
 
Neste caso existem vários possíveis movimentos; por exemplo, se o cilindro A estiver 
a subir e o cilindro C estiver a descer com a mesma velocidade, o cilindro B 
permanecerá estático; ou um dos cilindros poderá estar a descer e os outros dois a 
subir. O que sim não é possível é que os 3 cilindros estejam simultaneamente a descer 
ou a subir. 
A derivada da equação 2.30 conduz à relação entre as acelerações, 
 
 
 
 
Exemplo 2.4 
No sistema da figura, calcule o valor da velocidade com que sobe o cilindro, quando 
o anel A for puxado para baixo com velocidade de valor 2 m/s. 
 
 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.30
 
58 
 
 
Fonte: def.fe.up.pt 
 
Resolução: Neste caso há 4 sistemas em movimento, as três roldanas móveis e o 
anel A (o movimento do cilindro é igual ao da roldana móvel da qual está pendurado) 
e 3 fios inextensíveis; portanto, este sistema tem apenas um grau de liberdade. Com 
o valor da velocidade de A dada no enunciado será possível calcular as velocidades 
de todas as roldanas móveis. 
Sendo y1 a distância desde o teto até o anel e y2, y3 e y4 as distâncias desde o teto 
até cada uma das roldanas móveis, os comprimentos dos 3 fios são: 
 
 
 
 
 
Derivando essas três equações, obtém-se: 
 
 
 
 
59 
 
 
 
e substituindo, encontra-se a relação entre vy1 e vy4 , 
 
 
 
isto é, o valor da velocidade com que desce o anel é 8 vezes o da velocidade com que 
o cilindro sobe. Assim sendo, o cilindro sobe com velocidade de valor 0.25 m/s. 
 
5.9 Produto escalar 
O produto escalar entre dois vetores indicado por meio de um ponto entre 
os vetores, define-se como o produto entre os módulos dos dois vetores e o 
cosseno do ângulo θ entre eles: 
 
 
 
A figura 2.13 mostra dois vetores e o ângulo θ entre eles. A projeção do vetor 
 na direção paralela ao vetor é igual a e a projeção do vetor 
na direção paralela ao vetor Assim sendo, o produto escalar 
entre os dois vetores é igual ao produto do módulo de um dos vetores pela projeção 
do outro vetor na direção do primeiro. 
 
Fonte: def.fe.up.pt 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#fig-2.13
 
60 
 
 
Este produto denomina-se escalar porque os módulos dos dois vetores e o 
ângulo entre as direções são grandezas escalares, que não dependem do referencial 
usado para os medir; consequentemente, o produto é também um escalar, 
independente do sistema de eixos usado. 
Duas retas que se cruzam num ponto definem dois ângulos θ e (18 0◦−θ). No caso de 
vetores, não existe ambiguidade na definição do ângulo, porque deslocando os 
vetores para um vértice comum, mede-se o ângulo na região por onde passa o vetor 
 (ver figura 2.14). 
O produto escalar entre dois vetores com módulos a e b está sempre no 
intervalo [−ab, ab ]. Se o ângulo entre os vetores é agudo, co sθ>0, o produto é 
positivo. Se o ângulo é obtuso, co sθ<0 , o produto é negativo e se os vetores são 
perpendiculares, co sθ=0 , o produto é nulo (figura 2.14). O valor mínimo do 
produto, −ab , obtém-se quando os vetores têm a mesma direção, mas com sentidos 
opostos. O valor máximo, ab , obtém-se quando os vetores têm a mesma direção e o 
mesmo sentido. 
 
 
Fonte: def.fe.up.pt 
Como o módulo dos versores é igual a 1, o produto entre dois versores é 
sempre igual ao cosseno do ângulo entre eles. Assim sendo, o ângulo entre duas 
direções no espaço pode ser determinado calculando o arco cosseno do produto 
escalar entre dois versores nessas direções 
 
 
Em função das componentes cartesianas dos vetores, o produto escalar é, 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#fig-2.14
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#fig-2.14
 
61 
 
 
 
 
Usando a propriedade distributiva do produto escalar e o facto de que o produto 
escalar entre dois dos versores cartesianos diferentes é zero, por serem 
perpendiculares, e o produtode um desses versores consigo próprio é 1, obtém-se 
uma expressão útil para calcular o produto escalar em função das componentes 
cartesianas, 
 
 
As componentes dos dois vetores são diferentes em diferentes referenciais, 
mas o produto (axbx + ayby + azbz) deve dar o mesmo resultado em qualquer 
referencial, já que é um escalar. 
Usando as duas expressões 2.32 e 2.35 para calcular o produto escalar de um 
vetor consigo próprio, obtém-se: 
 
 
 
 
Conclui-se que o módulo de um vetor com componentes (ax , ay , az) é dado 
pela expressão, 
 
 
 
 
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.32
https://def.fe.up.pt/dinamica/cinematica_vetorial.html#eq-2.35
 
62 
 
6 FORÇAS CENTRAIS6 
Quando o momento da força aplicada num corpo em movimento curvilíneo é 
nulo, temos que 
 
 
 
que implica que: 
 
 
 
 
isto é, , o momento angular, é um vector constante. Para que o momento da força 
seja nulo basta que esta seja também nula ou, caso exista, que seja paralela ao vector 
(em direção ao centro da trajetória). 
A uma força cuja direção passe sempre pelo centro da trajetória chamamos força 
central. Podemos então enunciar o seguinte princípio: 
 
Um corpo sob ação de uma força central tem momento angular constante ou 
conserva-se o momento angular de um corpo sob ação de forças centrais 
 
Este princípio tem uma aplicação muito geral, uma vez que muitas das forças 
na Natureza são centrais. Os planetas do nosso sistema solar orbitam em torno do 
Sol sob o efeito da atração gravítica, que tem sempre a direção do vector que une os 
dois corpos. O centro da trajetória é o Sol, um dos corpos. Cada planeta tem, portanto, 
momento angular constante. Aliás, as órbitas de (quase) todos os planetas estão 
assentes no mesmo plano. Tal deve-se à conservação do momento angular do 
sistema, que começou por ser uma única nuvem de gás girando sobre si própria. Outro 
exemplo é o do electrão do átomo de hidrogénio, que gira em torno do núcleo com 
momento angular constante. 
Se considerarmos agora a área varrida pelo vector enquanto o corpo percorre o 
arco d , é igual a metade do paralelogramo formado por e rd 
 
6 Texto extraído de: e-escola.tecnico.ulisboa.pt 
http://e-escola.tecnico.ulisboa.pt/topico.asp?id=102
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http://e-escola.tecnico.ulisboa.pt/topico.asp?id=41#player
http://e-escola.tecnico.ulisboa.pt/topico.asp?id=41#player
 
63 
 
 
 
 
Mas também sabemos que (considerando a massa do corpo constante e unitária) 
 
 
 
 
Se notarmos que a área varrida por unidade de tempo 
 
 
 
 
e compararmos as duas últimas equações chegamos à conclusão de que a área varrida 
por unidade de tempo é constante . A esta conclusão chamamos a Segunda Lei de Kepler. 
 
7 MOVIMENTO CIRCULAR7 
Movimento circular é o movimento de rotação de um corpo em torno de um eixo 
ao longo de uma trajetória circular de raio constante. Esse movimento pode 
ser uniforme, caso a velocidade de rotação seja constante, ou variado, caso sua 
velocidade sofra variações ao longo do tempo. 
O movimento circular ocorre quando uma força de módulo constante é aplicada 
em uma direção perpendicular à velocidade de um móvel, de forma que o módulo 
dessa velocidade mantenha-se constante, alterando somente sua direção e seu 
sentido. A força aplicada nesse caso é denominada força centrípeta. 
Para que seja melhor entendido, o movimento circular é dividido em duas 
partes: a parte angular e a parte espacial. Enquanto o móvel desloca-se no espaço, o 
ângulo formado em relação ao seu eixo de rotação também varia. Por isso, ao 
 
7 Texto extraído: brasilescola.uol.com.br 
http://e-escola.tecnico.ulisboa.pt/topico.asp?id=41#player
http://e-escola.tecnico.ulisboa.pt/topico.asp?id=41#player
http://e-escola.tecnico.ulisboa.pt/personalidade.asp?per=43
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/movimento-circular.htm
 
64 
 
tratarmos do movimento circular, falamos de conceitos como deslocamento angular 
e velocidade angular. 
Observe a figura abaixo: 
 
Fonte: brasilescola.uol.com.br 
A figura acima mostra a trajetória de um móvel que executa um movimento 
circular uniforme, ou seja, com velocidade tangencial (v) constante. Caso sua 
velocidade apresente aceleração ou desaceleração constante, o movimento 
executado por esse corpo é circular uniformemente variado. 
 
 
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/movimento-circular-uniforme-mcu.htm
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/movimento-circular-uniforme-mcu.htm
 
65 
 
 
Fonte: brasilescola.uol.com.br 
7.1 Movimento circular uniforme (MCU) 
No movimento circular uniforme (MCU), a velocidade tangencial com a qual o 
móvel desloca-se permanece constante e pode ser escrita como a divisão entre 
o deslocamento (ΔS) e o intervalo de tempo do movimento (Δt): 
 
 
 
O deslocamento (ΔS) sofrido pelo móvel é dado 
pelo comprimento da circunferência de raio R e é calculado por meio da expressão: 
 
66 
 
 
 
Além disso, chamamos de período (T) o tempo necessário para que o móvel 
complete uma volta em torno de seu eixo de rotação. Podemos, assim, reescrever a 
equação da velocidade para o MCU da seguinte forma: 
 
 
Chamamos de velocidade angular (ω) a variação do ângulo θ formado entre 
o raio e seus eixos horizontal e vertical. Observe a figura abaixo: 
 
Fonte: brasilescola.uol.com.br 
A velocidade angular média pode ser calculada, portanto, por meio do 
deslocamento angular de uma volta completa (2π em radianos) divido 
 
67 
 
pelo período (T) dessa volta. Além disso, devemos lembrar que período (T) 
e frequência (f) de rotação são grandezas inversas. Há, portanto, mais de uma forma 
de calcularmos a velocidade angular de um movimento circular: 
 
 
 
De acordo com o Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade utilizada 
para calcularmos a velocidade angular é o radianos por segundo (rad/s). Lembre-se: 
• 1 radiano é o ângulo cujo arco (ΔS) tem comprimento igual ao raio (R) 
da sua circunferência. 
• Uma volta completa em torno de uma circunferência equivale a 360º 
ou 2π radianos. 
Caso saibamos a frequência de rotação de um móvel e queiramos determinar 
seu período, ou vice-versa, podemos usar a identidade apresentada abaixo: 
 
A unidade de frequência no SI é o hertz (Hz), que é equivalente à unidade s-
1 (unidade que mede a quantidade de oscilações ou rotações 
completadas a cada segundo). Outra unidade comumente usada para frequência é 
o rpm (rotações por minuto). Para convertermos essas unidades basta lembrarmos 
que 1 Hz = 60 rpm. 
 
7.2 Velocidade escalar no MCU 
É possível relacionar velocidade escalar (ou tangencial) e velocidade angular 
de um móvel que executa um MCU por meio da seguinte fórmula: 
 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-frequencia-e-periodo.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/fisica/o-que-e-frequencia-e-periodo.htm
 
68 
 
 
 
A fórmula acima permite relacionar a velocidade escalar à velocidade angular 
de um móvel que executa um MCU. 
Confira abaixo um quadro-resumo que pode nos ajudar a entender o MCU: 
 
7.3 Força centrípeta no MCU e no MCUV 
Força centrípeta é toda força central (que aponta para o centro) que age em 
direção perpendicular à velocidade de um móvel, mudando, assim, sua direção e seu 
sentido sem alterar o módulo de sua velocidade. A força centrípeta pode ser calculada 
por meio da expressão abaixo: 
 
 
É importante lembrar que, mesmo que um corpo mova-se 
em movimento circular uniforme (MCU), seu movimento será acelerado. Nesse caso, 
a aceleração que o corpo sofre é centrípeta e aponta sempre para o centro de sua 
trajetória, na direção de seu raio. 
A aceleração centrípeta pode ser calculada por meio da fórmula abaixo: 
https://brasilescola.uol.com.br/fisica/aceleracao-centripeta.htm
 
69 
 
 
 
Quando o corpo em