Linha resumo

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Linhas de Transmissão
(Resumo)
SEL 369 Micro-ondas
Amílcar Careli César
Departamento de Engenharia Elétrica da EESC-USP
LINHAS DE TRANSMISSÃO
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 2
Atenção!
� Este material didático é 
planejado para servir de apoio 
às aulas de SEL-369: Micro-
ondas, oferecida aos alunos 
regularmente matriculados no 
curso de engenharia 
elétrica/eletrônica e 
engenharia de computação.
� Não são permitidas a 
reprodução e/ou 
comercialização do material.
� solicitar autorização ao 
docente para qualquer tipo de 
uso distinto daquele para o 
qual foi planejado.
3SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL12/03/2015
Linhas de Transmissão
�Transmissão de sinais de um ponto para outro
– cabo coaxial em linhas de assinantes de TV via 
cabo
�Análise pela teoria dos elementos 
concentrados
– modelo obedece a lei de Kirchhoff
– comportamento analisado pela teoria de circuitos
– análise fasorial para descrever ondas senoidais
�Descrição das propriedades da onda
�Comportamento da linha em função da 
terminação
12/03/2015 4SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Perturbação mecânica em corda-1 
12/03/2015 5SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
repouso
perturbação
Perturbação mecânica em corda-2
12/03/2015 6SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Dois Tipos de Linhas
12/03/2015 7SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Questões-3
�Características mais importantes das 
linhas de transmissão de energia elétrica
– Perdas nos condutores
– Radiação eletromagnética no entorno
�Telecomunicações
– Reflexão de onda
– Impedância característica
– Atraso de fase
12/03/2015 8SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Comparação entre comprimentos de onda-1
12/03/2015 9SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
t=10-9 s
V0=1 V
c= 3×108 m/s
0 2000 4000 6000 8000 10000
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
 
 
A
m
p
li
tu
d
e
 (
v
o
lt
)
Distância (metro)
 60 Hz
 6E+4
 6E+5
0
( , ) cos
z
v t z V t vo t
c
lω
   = −      
Comparação entre comprimentos de onda-2
12/03/2015 10SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
t=10-9 s
V0=1 V
c= 3×108 m/s
0 1000 2000 3000 4000 5000
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
 
 
A
m
p
li
tu
d
e
 (
v
o
lt
)
Distância (quilômetro)
 60 Hz 120 Hz 240 Hz
0
( , ) cos
z
v t z V t vo t
c
lω
   = −      
Comparação entre comprimentos de onda-3
12/03/2015 11SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
0 1x10
6
2x10
6
3x10
6
4x10
6
5x10
6
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
 f=60 Hz
 
 
A
m
p
lit
u
d
e
 (
u
.a
.)
Distância ao longo da linha (metros)
0,0 5,0x10
-7
1,0x10
-6
1,5x10
-6
-1
0
1
 
v=3x10
8
 m/s
 193,5x10
12
 Hz
Comparação entre comprimentos de onda-4
12/03/2015 12SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
0,0 3,0x10
-7
6,0x10
-7
9,0x10
-7
1,2x10
-6
1,5x10
-6
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
 
 
A
m
p
lit
u
d
e
 (
u
.a
.)
Distância ao longo da linha (metros)
 f=60 Hz 193,5x10
12
 Hz
Distinção entre os comportamentos
�Comprimento de onda correspondente 
às componentes de freqüências do sinal 
são da ordem de grandeza do 
comprimento da linha
�Efeitos podem alterar o comportamento 
esperado
– Atraso de fase
– Interferência entre ondas
12/03/2015 13SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Modelo de linha de transmissão
12/03/2015 14SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
H
���
I I+ + + + +
H
���
I I− − − − −
E
��
infinito
z∆
condutor 1
condutor 2
1V 2V
zR∆ zL∆
zG∆ zC∆
Equação de onda
12/03/2015 15SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
2 2
2 2
( , ) ( , )v z t v z t
LC
z t
∂ ∂
=
∂ ∂
2 2
2 2
( , ) ( , )i z t i z t
LC
z t
∂ ∂
=
∂ ∂
Linha curta, sem perdas, R=G=0
Equação de onda para tensão
Equação de onda para corrente
Sistemas que obedecem a estas equações podem ser utilizados 
para transmitir informações sob a forma de onda eletromagnética 
Solução da equação de onda para tensão-1
12/03/2015 16SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( , )
f f
z z
v z t v t v t
v v
+ −
       = − + +         
2 2
2 2
( , ) ( , )v z t v z t
LC
z t
∂ ∂
=
∂ ∂
1
f
v
LC
= Velocidade de propagação da onda (velocidade de fase)
Solução da equação de onda para tensão-2
12/03/2015 17SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( , )
f f
z z
v z t v t v t
v v
+ −
       = − + +         
Onda propagando na 
direção positiva de z
Onda propagando na 
direção negativa de z
z
0z =
carga
Solução da equação de onda
12/03/2015 18SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
2 2
2 2
( , ) ( , )v z t v z t
LC
z t
∂ ∂
=
∂ ∂
( ) ( )0 0( , ) cos cosz zv z t V t k z V t k zω φ ω φ+ + − −= − + + + +
( )0( , ) cos zv z t V t k zω φ+ + += − +
( )0( , ) cos zv z t V t k zω φ− − −= + +
Onda propagando na 
direção positiva de z
Onda propagando na 
direção negativa de z
Representação complexa-1
12/03/2015 19SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )0( , ) cos zv z t V t k zω φ+ + += − +
( ) ( ) ( ){ }0( , ) Re exp exp expzv z t V jk z j j tφ ω+ + += −
( ){ }0( , ) Re exp zv z t V j t k zω φ+ + + = − +  
( ) ( ){ }0( , ) Re cos senz zv z t V t k z j t k zω φ ω φ+ + + + = − + + − +  
Representação complexa-2
12/03/2015 20SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )0( , ) cos zv z t V t k zω φ+ + += − +
( ) ( ) ( ){ }0( , ) Re exp exp expzv z t V jk z j tφ ω+ + += −
fasor
Representação complexa (fasor)
Representação complexa-3
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 21
http://en.wikipedia.org/wiki/Phasor
( )0( , ) cos zv z t V t k zω φ+ + += − +
( ) ( ) ( )0( , ) exp exp expzV z t V jk z j tφ ω+ + += −
Solução da equação de onda para tensão
12/03/2015 22SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Constante de propagação
0 0
( , ) cos cos
f f
z z
v z t V t V t
v v
ω φ ω φ+ + − −
             = − + + + +                  
( ) ( )0 0 cos) os( , c z zV t k zt zv t kz V ω φω φ+ − −+− + + += +
z
f
k
v
ω
=
Comprimento de onda
12/03/2015 23SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
π/k
z
2 /
z
kλ π=
0 π/2kz
π/kz
3π/2kz 2π/kz
0
( , 0) cos( )ztv z t V t k zω
+ +
=
= = −
2
0
z
k
π
λ = −
kz: constante de propagação
[rad/unid. compr.] ou [(unid. compr.)-1]
2
z
k
π
λ
=
Resumo das equações fundamentais de uma L.T.
SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Z R j Lω= +
Y G j Cω= +
( ) ( )2ZY RG LC j RC LGω ω= − + +
2k ZY=
zR∆ zL∆
zG∆ zC∆ zG∆ zC∆
A B
z∆
),( tzv ),( tzzv ∆+
),( tzi ),( tzzi ∆+Gi Ci
zR∆ zL∆
zG∆ zC∆ zG∆ zC∆
A B
z∆
),( tzv ),( tzzv ∆+
),( tzi ),( tzzi ∆+Gi Ci
12/03/2015 24
2
2
2
2
2
2
( )
( )
( )
( )
(
( )
( )
( )
)
d
d v z
k v
i z
k i z
dz
d
z
dz
i z
dv z
Yv z
dz
Zi z
dz
=
= −
=
= −
Solução das equações de onda-1
12/03/2015 25SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )
( )
dv z
Zi z
dz
=−
( ) kz kzv z V e V e+ − − += + em
( )( ) kz kzki z V e V e
Z
+ − −= −
( ) kz kzi z I e I e+ − −= −
2
0
1k ZY ZY Y
Z Z Z ZZ
= = = ≡ 1
k
ohm
Z
−  = 
 
Solução das equações de onda-2
12/03/2015 26SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )( ) R Ikz k jk zv z V e V e+ + − + − += =
( ) R Ik z jk zv z V e e+ + − −=
( )( ) cosRk z Iv z V e t k zω
+ + −= −
Amplitude decrescendo
exponencialmente
kR : constante de atenuação: [metro
-1]
kI : constante de fase: [metro
-1] 
Solução das equações de onda-3
12/03/2015 27SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
0 2 4 6 8 10
-1
0
1
a
m
p
li
tu
d
e
 (
a
rb
it
rá
ri
a
)
distância ao longo de z (arbitrária)
Linha 
com 
perdas
Linha 
sem 
perdas
t = 0
V+ = 1 volt
Impedância característica-212/03/2015 28SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
0
s
p
ZZ R j L
Z
Y G j C Z
ω
ω
+
= = =
+
0
R j L
Z
G j C
ω
ω
+
=
+
2
0
1k ZY ZY Y
Z Z Z ZZ
= = = ≡
ohm
Aproximação para a impedância característica
12/03/2015 29SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
/ 2 100ω π >
L Rω ≫
C Gω ≫
0
L
Z
C
≈
/ 2 1ω π ≃
L Rω ≪
C Gω ≪
0
R
Z
G
≈
kHz kHz
0
R j L
Z
G j C
ω
ω
+
=
+ 0
R j L
Z
G j C
ω
ω
+
=
+
Impedância: variação da capacitância-1
12/03/2015 30SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
10 100 1k 10k 100k 1M 10M
100
1000
10000 R=0,001 Ω/m
L=0,1 µH/m
G=10
-12
 S/m
 C=0,1 pF/m
 1 pF/m
 10 pF/m
 
R
e
 {
Im
p
e
d
â
n
c
ia
} 
(o
h
m
s
)
frequência (hertz)
0
R j L
Z
G j C
ω
ω
+
=
+
Impedância: variação da capacitância-2
12/03/2015 31SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
1 10 100 1k
-12k
-10k
-8k
-6k
-4k
-2k
0
R=0,001 Ω/m
L=0,1 µH/m
G=10
-12
 S/m
 C=0,1 pF/m
 1 pF/m
 10 pF/m
 
Im
 {
Im
p
e
d
â
n
c
ia
} 
(o
h
m
s
)
frequência (hertz)
0
R j L
Z
G j C
ω
ω
+
=
+
Par de fios trançados
12/03/2015 32SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
G=10-12 S/m
Ref.: Belden Cable, http://bwccat.belden.com
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
100
1000
 
R
e
 {
Im
p
e
d
â
n
c
ia
} 
(o
h
m
s
)
frequência (Hertz)
CARACTERÍSTICAS ELÉTRICAS 
Belden Cable 9815 Twinax, 20 AWG, polietileno (2,25-2,3 em 1 kHz) 
Aplicações Computação, instrumentação 
Impedância característica 100 Ω 
Indutância 0,509 µH/m 
Capacitância @ 1 kHz 47,57 pF/m 
Velocidade de propagação 66 % 
Atraso 5,05 ns/cm 
Resistência DC @ 200 C 0,032 Ω/m 
 
0
R j L
Z
G j C
ω
ω
+
=
+
Coeficiente de Reflexão
SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )
( )
( )
- -
2
0 0- -
kz kz
kz
kz kz
v z V e e
z e
V e ev z
++
  Γ = = = Γ = Γ   
( ) ( )0 00 exp r
V
z j
V
φ
−
+
Γ = = ≡ Γ = Γ
( ) ( )20 r
kz j
z e
φ+
Γ = Γ
I
k jk=
( ) ( )0 exp 2 I rz j k z φ Γ = Γ +  
Coeficiente de reflexão na carga 
Linha curta, R=G=0
12/03/2015 33
Impedância ao Longo de Linha sem Perdas-4
12/03/2015 34SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
0 0
1 / 1 tg
1 1 / 1 tg
I
I
j k z
Z z Z
j k z
 + Γ −Γ −  =
 − + Γ −Γ  
( ) ( )0 0 0/L LZ Z Z ZΓ = − +Mas,
( ) ( )0 0 01 / 1 /LZ Z+ Γ −Γ =e
( )
( )
( )
0
0
0
-
-
L I
L I
Z jZ tg k z
Z z Z
Z jZ tg k z
= 0z ≤
Terminação: Curto-circuito
Curto-circuito 0Z =
12/03/2015 35SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
0
L
Z =
( )
( )
0
0 0
0
0 tg
tg( )
0 tg
I
I
I
jZ k l
Z z l Z jZ k l
Z j k l
+
= − = =
+
( ) ( )0/ tg( )IZ z Z j k l jX= − = =ℓ
curto
normalização
( ) 0tg( )IZ z l jZ k l=− =
Terminação: Circuito aberto
Circuito 
aberto ∞⇒Z
12/03/2015 36SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
L
Z → ∞
( )
( )
( )
0
0 0
0
1 / tg( )
cotg( )
/ tg( )
L I
I
L I
j Z Z k l
Z z l Z jZ k l
Z Z j k l
+
= − = = −
+
( )
0
cotg( )
I
Z z
j k l jX
Z
= −
= − = −
ℓ
( ) 0cotg( )IZ z l jZ k l= − = −
Circuito aberto
normalização
Terminações: Curto e aberto
0-λ/4-λ/2-3λ/4-λ
Distância ao longo da linha, z
Im
p
e
d
â
n
c
ia
, 
X
posição
do 
curto
ou
aberto
curto
aberto
0
+
-
0-λ/4-λ/2-3λ/4-λ
Distância ao longo da linha, z
Im
p
e
d
â
n
c
ia
, 
X
posição
do 
curto
ou
aberto
curto
aberto
0
+
-
0
+
-
12/03/2015 37SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )
0
tg( )
I
Z z
j k l jX
Z
= −
= =
ℓ
( )
0
cotg( )
I
Z z
j k l jX
Z
= −
= − = −
ℓ
Circuito aberto
Curto-circuito
Linha Terminada em Curto-circuito-1
SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( ) ( )0 0 00 / 0 1Z ZΓ = − + =−
( ) ( )
( ) ( )
0
( ) exp exp
exp exp
I I
I I
v z V jk z jk z
V jk z jk z
+
+
 = − + Γ =  
 − −  
( )( ) 2 sen Iv z j V k z
+= −
Curto-circuito 0Z =
0z =
coeficiente de reflexão
tensão
12/03/2015 38
Linha Terminada em Curto-circuito-1
SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( ) ( )0 0 00 / 0 1Z ZΓ = − + = −
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
( ) / exp exp
exp exp
I I
I I
i z V Z jk z jk z
V
jk z jk z
Z
+
+
 = − −Γ =  
 − +  
( )
0
2
( ) cos
I
V
i z k z
Z
+
=
Curto-circuito 0Z =
0z =
coeficiente de reflexão
corrente
12/03/2015 39
Linha curto-circuitada: Tensão
12/03/2015 40SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )( ) 2 sen Iv z j V k z
+= −
( ){ }( , ) Re 2 sen j tIv z t j V k z e ω+= −
( ) ( )( , ) 2 Iv z t V sen k z sen tω
+=
Linha curto-circuitada: Corrente
12/03/2015 41SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )
0
2
( ) cos
I
V
i z k z
Z
+
=
( )
0
2
( , ) Re cos j t
I
V
i z t k z e
Z
ω
+   =  
   
( ) ( )
0
2
( , ) cos cos
I
V
i z t k z t
Z
ω
+
=
Linha curto-circuitada: Resumo
12/03/2015 42SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( ) ( )
0
2
( , ) cos cos
I
V
i z t k z t
Z
ω
+
=
( ) ( )( , ) 2 Iv z t V sen k z sen tω
+=
( )( ) 2 sen Iv z j V k z
+= −
( )
0
2
( ) cos
I
V
i z k z
Z
+
=
Cargas diversas: Tensão
SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
-400 -300 -200 -100 0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
 
M
ó
d
u
lo
 d
a
 t
e
n
s
ã
o
 t
o
ta
l 
(v
o
lt
s
)
Distância ao longo da linha (metros)
 Z
L
=0 Z
L
=infinito Z
L
=50 ohms Z
L
=25
vf=3x10
8 m/s
f=1 MHz
V+=2 volts
12/03/2015 43
Coeficiente de Reflexão na Carga
12/03/2015 44SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
0z =
( ) ( ) ( )0 0 00 1 / 1 LZ z Z Z= = +Γ −Γ =
0
0
0
L
L
Z Z
Z Z
−
Γ =
+
em
( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
0 0
1 / 1 tg
1 1 / 1 tg
I
I
j k z
Z z Z
j k z
 + Γ −Γ −  =
 − + Γ −Γ  
Coeficiente de transmissão-1
12/03/2015 45SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
z=0
z
ZL
Z02
incidente
transmitida
refletida
linha 1, Z01 linha 2, Z02
z=0
z
z=0
z
ZL
Z02
incidente
transmitida
refletida
linha 1, Z01 linha 2, Z02
( )
( )
( )
2
0
kz
v z
z e
v z
−
+
Γ = = Γ
coeficiente de transmissão coeficiente de reflexão
( )
( )
( )
t
v z
z
v z
τ
+
+
=
Coeficiente de transmissão-2
12/03/2015 46SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( 0) ( 0) ( 0)
t
v z v z v z+ + −= = = + =
( 0)v z+ =dividindo por
( 0) ( 0) ( 0) ( 0)
1
( 0) ( 0) ( 0) ( 0)
t
v z v z v z v z
v z v z v z v z
+ + − −
+ + + +
= = = =
= + = +
= = = =
0
( 0) / ( 0)v z v z− +Γ = = =
0 0
1τ = + Γ
mas,
em geral, os dois coeficientes 
são números complexos
Potência Média Transportada pela Onda
12/03/2015 47SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
A potência instantânea transportada pela onda incidente é 
( , ) ( , ) ( , ) Wp z t v z t i z t+ + +=
A potência instantânea transportada pela onda incidente é 
( )
22
01
/ 2 W
m
p V Z− += Γ
{ }
2
0 011
2
( )1 1
Re ( ) ( ) Re W
1
22 2m
V z
V z I z
Z
V
p
Z
+
+
∗
+ +
+       = =        
=

A potência média transportada pela onda refletida é 
( )
22
, 02
/ 2 W
m t t
p V Zτ+ +=
A potência média transportada pela onda transmitida é 
Resumo
12/03/2015 48SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
0 0 0
01 01 02
( 0) ( 0) ( 0)( 0)
L
v z v z v zv z
Z Z Z Z
τ τ+ + ++ Γ = = ==
− = +
01 02
0 0
02
1 L
L
Z Z Z
Z Z
τ
 +  − Γ =   
// 01
0
// 01
//
0
// 01
2
Z Z
Z
Z
Z Z
Z
τ =
Γ
+
−
=
+
( )02 02/L LZ Z Z Z Z= +�
associação em paralelo entre Z02 e ZL
z=0
z
ZL
Z02
incidente
transmitida
refletida
linha 1, Z01 linha 2, Z02
z=0
z
z=0
z
ZL
Z02
incidente
transmitida
refletida
linha 1, Z01 linha 2, Z02
Relação de Onda Estacionária (ROE)
SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )
( )
( )
( )
0max
0mi
0
n 0
11(
0
)
( ) 1 1
Vv z
v z
R
V
E
+
+
+ Γ+ Γ
= =
− Γ − Γ
=
( )
( )
( )
( )
0 0max0 0min
( ) 1 1
0 
( ) 1 1
i z I
R E
i z I
+
+
+ Γ + Γ
= = =
− Γ − Γ
0 0Γ = 0 1R E =
0 1Γ = 0R E → ∞
0 1R E ≥
Casamento de impedância
Reflexão total
12/03/2015 49
CARTA DE SMITH
12/03/2015 SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL 50
Carta de Smith
�Publicada por P. H. Smith em 1939
�Técnica gráfica muito útil
� Ferramenta gráfica para a soluções de problemas 
envolvendo coeficientes de reflexão e 
transmissão
�Visualização de variação de impedância em linhas 
de transmissão
�Como ábaco auxiliar de projetos envolvendo 
linhas de transmissão é menos útil hoje do foi na 
época da sua publicação
�Nos dias de hoje projetos em altas freqüências 
são feitos por meio de programas de computador
12/03/2015 51SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Coeficiente de reflexão e carta de Smith-1
12/03/2015 52SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Em qualquer ponto de uma linha de transmissão
( ) 20 I
jk
e
−
Γ − = Γ
ℓ
ℓ
( ) 00Γ = Γ
em z = −ℓ
em 0z =
supondo ( ) 1zΓ ≤ O coeficiente de reflexão pode ser
representado no plano complexo, Re(ΓΓΓΓ) x Im(ΓΓΓΓ)
( )
( )
( )
2
0 0
I I
I
I I
jk z jk z
jk z
jk z jk z
V z V e e
z e
VV z e e
− −
+ − −+
  Γ = = = Γ = Γ   
Coeficiente de reflexão e carta de Smith-2
12/03/2015 53SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
círculo
unitário
Im(Γ)
Re(Γ)
( )Γ −ℓ
0Γ
I
2k ℓ
• Movimento do 
coeficiente de reflexão 
no plano complexo
• nas 2 posições o módulo 
é o mesmo 
• a defasagem entre as 2 
posições é 2kΙ l
Coeficiente de reflexão e carta de Smith-3
12/03/2015 54SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
O coeficiente de reflexão e a impedância são dados por
2
0
0 2
0
1
( )
1 -
I
I
j k z
j k z
e
Z z Z
e
+ Γ
=
Γ
2
0
( ) I
j k z
z eΓ = Γe
Combinando as 2 expressões
0
1 ( )
( )
1 - ( )
z
Z z Z
z
+ Γ
=
Γ
0
( ) 1 ( )
( )
1 ( )
Z z z
z z
Z z
+ Γ
≡ =
− Γ
Normalizando o valor da impedância
� A cada valor de ΓΓΓΓ
corresponde um 
valor de zzzz e vice-
versa
Im(Γ)
Re(Γ)
( )Γ −ℓ
0Γ
I2k ℓ
Coeficiente de reflexão e carta de Smith-4
12/03/2015 55SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
1,0
Círculo
unitário
Im(Γ)
Re(Γ)- 1,0
-1,0
1,0
0,5
0,5-0,5
-0,5
Z=(1+j2)Z0
Γ=(0,5+j0,5)
0
1 ( )
( )
1 - ( )
z
Z z Z
z
+ Γ
=
Γ
Impedância na carta de Smith
12/03/2015 56SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Rescrevendo a expressão do coeficiente de reflexão
z r jx= +
1
1
z
U jV
z
−
Γ = + =
+
1
1
r j x
U jV
r j x
+ −
+ =
+ +
e
( )
2 2
2
2
p a r t e
1
a
1
r e l
r x
U
r x
− +
=
+ + ( )
2
2
p a rte im ag in á r i
2
1
a
x
V
r x
=
+ +
Im(Γ)
Re(Γ)
Im(Γ)
Re(Γ)
Parte Real da Impedância na Carta de Smith-1
12/03/2015 57SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
2 2
2 1
1 1
r
U V
r r
      − + =     + +   
Eliminando a variável x
Esta equação representa uma família de círculos 
Raio:
Centro: ; 0
1
r
U V
r
= =
+
1
1r +
Im(Γ)
Re(Γ)
Im(Γ)
Re(Γ)
Parte Real da Impedância na Carta de Smith-2
12/03/2015 58SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
U
Lugar geométrico de todas as 
impedâncias com parte real nula
Raio:
Centro:
z r jx= +
U jVΓ = +
; 0
1
r
U V
r
= =
+
1
1
R
r
=
+
-1
r=0
r=1/2
r=1
r=2
+1
jV
1/3
Parte Imaginária da Impedância na Carta de Smith-1
12/03/2015 59SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Eliminando a variável r
Esta equação representa uma família de círculos 
Raio:
Centro:
( )
2 2
2 1 1
1U V
x x
      − + − =        
1
1;U V
x
= =
1
R
x
=
Im(Γ)
Re(Γ)
Im(Γ)
Re(Γ)
Parte Imaginária da Impedância na Carta de Smith-2
12/03/2015 60SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
jV
x = 1
x = 1/2
x = 2
x = 0
x = -1 x = -2
x = -1/2
+1-1
+1
+1/2
U
Raio:
Centro:
z r jx= +
U jVΓ = +
1
1;U V
x
= =
1
R
x
=
Lugar geométrico das 
impedâncias cuja parte
imaginária é x = -2
1/2
A Carta de Smith-1
12/03/2015 61SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
R/Z0=0,2
R/Z0=1,0
X/Z0= +1,0
X/Z0= +2,0
X/Z0= -2,0
X/Z0= -1,0
A Carta de Smith-2
12/03/2015 62SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
R/Z0=0,4
R/Z0=1,0
X/Z0= +1,0
X/Z0= +2,0
X/Z0= -2,0
X/Z0= -1,0
λ
para
o 
gerador
λ
para
a 
carga
Admitância na Carta de Smith
12/03/2015 63SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Admitância característica:
0
0
1
Y
Z
=
A impedância normalizada é dada por:
1
1
z
+ Γ
=
− Γ
Substituir ΓΓΓΓ por -ΓΓΓΓ equivale a trocar z por (1/z)
Localizar ΓΓΓΓ (ou z) da maneira usual
Determinar (-ςςςς) por rebatimento
Traçar um círculo passando por ΓΓΓΓ
O número complexo obtido é y = ( 1/z )
1 1 1
o u
1 1
z y
z
− Γ + Γ
= = ≡
+ Γ − Γ
Substituindo Γ por -Γ
Im(Γ)
Re(Γ)
z
1/ z
Admitância na Carta de Smith: exemplo
12/03/2015 64SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
A
B
Origem 
z = 0,5 + j1,5
y = 0,2 - j0,6
Lugar geométrico de y
Lugar geométrico de mesmo
|Γ|
ROE na Carta de Smith-1
12/03/2015 65SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
( )
( )
( )
2
0
0 2
0
1
1
I R
I R
j k z
j k z
e
Z z Z
e
θ
θ
−
− −
+ Γ
=
− Γ
O máximo de tensão da onda estacionária ocorre para
( ) 0m a x 0
0
1
1
Z Z
+ Γ
=
− Γ
ℓ
Impedância:
ou ( )m a x 0Z Z R O E=ℓ
Este valor é real e, no mínimo, igual a Z0
( )maxcos 2 1I rk ϕ− =ℓ 0,1,2...n = max
/ 2
r
I
n
k
π φ+
=ℓ
( )max 0max( ) 1V V V
+− ≡ = + Γℓ
,
ROE na Carta de Smith-2
12/03/2015 66SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
Impedância:
O mínimo de tensão da onda estacionária ocorre para
( )
m in
0
0
0
1
1
Z Z
− Γ
=
+ Γ
ℓ ou ( ) 0m in
Z
Z
R O E
=ℓ
Este valor é real e, no máximo, igual a Z0
( )cos 2 1I rk ϕ− = −ℓ 0,1,2...n =
( )
min
2 1 / 2 / 2
r
I
n
k
π φ+ +
=ℓ
( )min 0min( ) 1V V V
+− ≡ = − Γℓ
( )
( )
( )
2
0
0 2
0
1
1
I R
I R
j k z
j k z
e
Z z Z
e
θ
θ
−
− −
+ Γ
=
− Γ
,
ROE e Carta de Smith
12/03/2015 67SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
linha de 
resistência pura
1
Carta de Smith
0 ∞
Lugar geométrico dos 
pontos de máximo (ROE)
Lugar geométrico dos pontos 
de mínimo (1 / ROE)ROE (relação de onda estacionária)
( )
( )
0max
0min
1( )
0
( ) 1
V z
R E
V z
+ Γ
= =
− Γ
ROE e Carta de Smith: exemplo
12/03/2015 68SEL369 Micro-ondas Amilcar Careli César USP EESC SEL
10 ∞
Leitura = (ROE)Leitura = (1 / ROE)
zzzzLLLL
0Γ
ROE (relação de onda estacionária)
Carta de Smith( )
( )
0max
0min
1( )
0
( ) 1
V z
R E
V z
+ Γ
= =
− Γ