FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS WPD07

Prévia do material em texto

FUNÇÕES  DE  VÁRIAS  VARIÁVEIS 
 
1) Uma loja vende um certo produto P de duas marcas distintas, A e B. A demanda do produto com 
marca A depende do seu preço e do preço da marca competitiva B. A demanda do produto com 
marca A é ܦ஺ ൌ 1300 െ 50ݔ ൅ 20ݕ unidades /mês, e a do produto com marca B é ܦ஻ ൌ 1700 ൅
12ݔ െ 20ݕ unidades/mês, onde x é o preço do produto A e y é o preço do produto B. Escrever 
uma função que expresse a receita total da loja., obtida com a venda do produto P. 
 
2) Determinar o domínio das seguintes funções e representá‐lo graficamente: 
a) ݖ ൌ ݔݕ 
b) ݓ ൌ ଵ
௫మା௬మା௫మ
 
c) ݖ ൌ ଵ
ඥ௫మି௬మ
 
d) ݖ ൌ ௫
௬మାଵ
 
e) ݖ ൌ ඥݔଶ ൅ ݕଶ െ 1 
f) ݖ ൌ ln൫4 െ ඥݔଶ ൅ ݕଶ൯ 
g) ݖ ൌ ݁௫/௬ 
h) ݕ ൌ ටଵା௫
ଵା௭
 
i) ݓ ൌ ଵ
ඥଽି௫మି௬మି௭మ
 
j) ݖ ൌ ସ
௫ା௬
 
k) ݖ ൌ lnሺݔ ൅ ݕ െ 3ሻ 
l) ݖ ൌ √௫ାସ
ඥ௬ିଵ
 
m) ݖ ൌ lnሺ5ݔ െ 2ݕ ൅ 4ሻ 
 
3) Esboçar o gráfico dos seguintes parabolóides: 
a) ݖ ൌ 2ݔଶ ൅ 2ݕଶ 
b) ݖ ൌ െ2ݔଶ െ 2ݕଶ 
c) ݖ ൌ ݔଶ ൅ ݕଶ ൅ 1 
d) ݖ ൌ ሺݔ െ 1ሻଶ ൅ ሺݕ െ 1ሻଶ 
e) ݖ ൌ ݔଶ ൅ 2ݕଶ 
 
4) Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico: 
a) ݖ ൌ 3 െ 2ݔ െ 2ݕ 
b) ݖ ൌ െඥݔଶ ൅ ݕଶ 
c) ݖ ൌ ඥ9 െ ݔଶ െ ݕଶ 
d) ݖ ൌ 8 െ ݔ² െ ݕ² 
e) ݖ ൌ 4ݔଶ ൅ ݕ 
 
5) Sabendo que a função ܶሺݔ, ݕ, ݖሻ ൌ 30 െ ቀݔ² ൅ ଵ
ସ
ݕ² ൅ ଵ
ଽ
ݖ²ቁ representa a temperatura nos pontos 
da região do espaço delimitada pelo elipsóide ݔ² ൅ ଵ
ସ
ݕ² ൅ ଵ
ଽ
ݖ² ൌ 1 pergunta‐se: 
a) Em que ponto a temperatura é mais alta possível? 
b) Se uma partícula se afasta da origem, deslocando‐se sobre o eixo positivo dos x, sofrerá 
aumento ou diminuição da temperatura? 
c) Em que pontos a temperatura é mais baixa possível? 
 
6) Fazer um esboço de algumas superfícies de nível da função ݓ ൌ ඥݔ² ൅ ݕ² ൅ ݖ². O que ocorre 
com os valores da função ao longo de semi‐retas que partem da origem? 
 
7) Calcular as derivadas parciais de 1ª ordem: 
 
a) ݂ሺݔ, ݕሻ ൌ ݁௫మ௬ 
b) ݂ሺݔ, ݕሻ ൌ ݔ cosሺݕ െ ݔሻ 
c) ݂ሺݔ, ݕሻ ൌ ݔݕଶ ൅ ݔݕ ൅ ݔଶݕ 
d) ݂ሺݔ, ݕሻ ൌ ݕଶ lnሺݔଶ ൅ ݕଶሻ 
e) ݖ ൌ ඥܽଶ െ ݔଶ െ ݕଶ 
f) ݖ ൌ ඥݔଶ ൅ ݕଶ 
g) ݖ ൌ ௫
మି௬మ
௫మା௬మ
 
h) ݃ሺݔ, ݕሻ ൌ ܽݎܿݐ݃ ௬
௫
 
i) ݖ ൌ ሺݔ ൅ ݕሻ݁௫ାଶ௬ 
j) ݖ ൌ ௫
మ௬
௫మାଶ௬మ
 
k) ݖ ൌ ݁௫మା௬మିସ 
l) ݖ ൌ 2ݔݕ ൅ ݏ݁݊ଶݔݕ 
m) ݖ ൌ lnሺݔ ൅ ݕሻ െ 5ݔ 
n) ݖ ൌ ඥݔଶ ൅ ݕଶ െ 1 
o) ݖ ൌ ඥݔݕ െ ݔݕ 
p) ݂ሺݓ, ݐሻ ൌ ݓଶݐ െ ଵ
௧
 
q) ݂ሺݑ, ݒሻ ൌ ݑݒ െ lnሺݑݒሻ 
r) ݖ ൌ ݔଶݕଶ െ ݔݕ 
s) ݖ ൌ ඥݔଶ ൅ ݕଶ െ ሺݔଶ ൅ ݕଶሻ 
t) ݖ ൌ ݁௫²ሺݔଶ ൅ ݕଶሻ 
 
8) Verificar se a função ݖ ൌ ݔ³ݕ² satisfaz a equação ଵ
௫
డ௭
డ௬
െ ଶ
ଷ௬
డ௭
డ௫
ൌ 0 , para ݔ ് 0 ݁ ݕ ് 0. 
9) Verificar se ݖ ൌ ݏ݁݊ ሺݔ ൅ ݕሻ satisfaz a equação డ௭
డ௫
െ డ௭
డ௬
ൌ 0 
10) Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da interseção de ݖ ൌ ݂ሺݔ, ݕሻ com o 
plano ݔ ൌ ݔ଴ no ponto ܲሺݔ଴, ݕ଴, ݖ଴ሻ: 
a) ݖ ൌ 5ݔ െ 2ݕ  ;  ܲሺ3, െ1,17ሻ 
b) ݖ ൌ ඥݔ² ൅ ݕ² െ 1  ;  ܲሺ1, െ1,1ሻ 
 
11) Seja ݖ ൌ 3ݔ² െ 2ݕ² െ 5ݔ ൅ 2ݕ ൅ 3. Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante 
da interseção de ݖ ൌ ݂ሺݔ, ݕሻ com ݕ ൌ 2 no ponto ሺ1,2, െ3ሻ. 
 
12) Dada a superfície ݖ ൌ ඥx² ൅ y² determinar a reta tangente à curva de interseção da superfície 
com : a) o plano x = 2 ;  b) y = √5  no ponto ܲ൫2, √5, 3൯. 
 
13) Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico das funções dadas, nos pontos indicados: 
 
a) ݂ሺݔ, ݕሻ ൌ ඥ1 െ ݔଶ െ ݕଶ  ;   ଵܲሺ0,0,1ሻ ݁ ଶܲ ቀ
ଵ
ଶ
, ଵ
ଶ
, √ଶ
ଶ
ቁ. 
b) ݂ሺݔ, ݕሻ ൌ ݔݕ ; ଵܲሺ0,0,0ሻ ݁ ଶܲሺ1,1,1ሻ 
c) ݖ ൌ ඥሺݔ െ 1ሻଶ ൅ ሺݕ െ 1ሻ² ; ଵܲሺ1,1,0ሻ ݁ ଶܲሺ1,2,1ሻ 
d) ݖ ൌ 2ݔଶ െ 3ݕଶ ; ଵܲሺ0,0,0ሻ ݁ ଶܲሺ1,1, െ1ሻ 
e) ݖ ൌ ଵ
ඥ௫మା௬మ
 ; ଵܲ ቀ1,1,
√ଶ
ଶ
ቁ ݁ ଶܲሺ0,1,1ሻ 
f) ݖ ൌ ݔ݁௫ା௬ ; ଵܲ൫1,1, ݂ሺ1,1ሻ൯ ݁ ଶܲሺ1,0, ݂ሺ1,0ሻሻ 
 
14) Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados: 
a) ݖ ൌ ݔඥݔଶ ൅ ݕଶ ; ܲሺ1,1ሻ 
b) ݖ ൌ ݔଶݕ ൅ 3ݔݕ ൅ ݕଶ ; ܲሺ0,3ሻ 
c) ݖ ൌ ݏ݁݊ ሺ3ݔ ൅ ݕሻ ; ܲ ቀ0, గ
ଶ
ቁ 
d) ݖ ൌ ඥ4 െ ݔଶ െ ݕଶ ; ܲሺ0,0ሻ 
e) ݖ ൌ ݔଶ ൅ ݕଶ െ 3 ; ܲሺ0,0ሻ 
f) ݖ ൌ ݔݕ െ ݏ݁݊ ሺݔ ൅ ݕሻ ; ܲ ቀగ
ଶ
, 0ቁ 
g) ݂ሺݑ, ݒ, ݓሻ ൌ ݑଶ ൅ ݒଶ െ ݓଶ ൅ ݑݒݓ ; ܲሺ0,1,0ሻ 
h) ݖ ൌ ሺݔଶ ൅ ݕଶሻݏ݁݊ ሺݔଶ ൅ ݕଶሻ ; ܲሺ0,0ሻ 
i) ݂ሺݔ, ݐሻ ൌ ሺݔ ൅ 2ݐሻ lnሺݔ ൅ 2ݐሻ ; ܲሺ݁, 1ሻ 
j) ݂ሺݔଵ, ݔଶ, ݔଷ, ݔସሻ ൌ ݔଵݔଶ െ ݔଵݔଷ ൅ ݔସ ; ܲሺ2,2,1,3ሻ 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1) ܴሺݔ, ݕሻ ൌ 1300ݔ ൅ 1700ݕ ൅ 32ݔݕ െ 50ݔଶ െ 20ݕଶ 
2)  
a) ܦሺݖሻ ൌ Թଶ 
b) ܦሺݖሻ ൌ Թଷ െ ሼሺ0,0,0ሻሽ 
c) ܦሺݖሻ ൌ ሼሺݔ, ݕሻ א Թଶ||ݔ| ൐ |ݕ|ሽ 
d) ܦሺݖሻ ൌ Թଶ 
e) ܦሺݖሻ ൌ ሼሺݔ, ݕሻ א Թଶ|ݔଶ ൅ ݕଶ ൒ 1ሽ 
f) ܦሺݖሻ ൌ ሼሺݔ, ݕሻ א Թଶ|ݔଶ ൅ ݕଶ ൏ 16ሽ 
g) ܦሺݖሻ ൌ ሼሺݔ, ݕሻ א Թଶ|ݕ ് 0ሽ 
h) ܦሺݕሻ ൌ ሼሺݔ, ݖሻ א Թଶ|ሺݔ ൒ െ1 ݁ ݖ ൐ െ1ሻ݋ݑ ሺݔ ൑ െ1 ݁ ݖ ൏ െ1ሻሽ 
i) ܦሺݓሻ ൌ ሼሺݔ, ݕ, ݖሻ א Թଷ|ݔଶ ൅ ݕଶ ൅ ݖଶ ൏ 9ሽ 
j) ܦሺݖሻ ൌ ሼሺݔ, ݕሻ א Թଶ|ݕ ് െݔሽ 
k) ܦሺݖሻ ൌ ሼሺݔ, ݕሻ א Թଶ|ݔ ൅ ݕ ൐ 3ሽ 
l) ܦሺݖሻ ൌ ሼሺݔ, ݕሻ א Թଶ|ݔ ൒ െ4 ݁ ݕ ൏ 1ሽ 
m) ܦሺݖሻ ൌ ሼሺݔ, ݕሻ א Թଶ|5ݔ െ 2ݕ ൅ 4 ൐ 0ሽ 
 
5) a) Na origem.    b) Diminuição.      c) Sobre a superfície do elipsóide. 
6) Os valores da função crescem à medida que nos afastamos da origem. 
7)  
a) 2ݔݕ݁௫²௬ , ݔ²݁௫²௬ 
b) ݔݏ݁݊ ሺݕ െ ݔሻ ൅ cosሺݕ െ ݔሻ , െݔݏ݁݊ ሺݕ െ ݔሻ 
c) ݕଶ ൅ ݕ ൅ 2ݔݕ , 2ݔݕ ൅ ݔ ൅ ݔଶ 
d) ଶ௫௬
మ
௫మା௬మ
 , ଶ௬
య
௫మା௬మ
൅ 2ݕ lnሺݔଶ ൅ ݕଶሻ 
e) ି௫
ඥ௔²ି௫²ି௬²
 , ି௬
ඥ௔²ି௫²ି௬²
  
f) ௫
ඥ௫మା௬మ
 , ௬
ඥ௫మା௬మ
 
g) ସ௫௬
మ
ሺ௫మା௬మሻమ
 , ିସ௫
మ௬
ሺ௫మା௬మሻమ
 
h) –௬
௫మା௬మ
 , ௫
௫మା௬మ
 
i) ሺݔ ൅ ݕ ൅ 1ሻ݁௫ାଶ௬ , ሺ2ݔ ൅ 2ݕ ൅ 1ሻ݁௫ାଶ௬ 
j) ସ௫௬³ሺ௫మାଶ௬మሻమ , 
௫రିଶ௫²௬²
ሺ௫మାଶ௬మሻమ
 
k) 2ݔ݁௫²ା௬²ିସ , 2ݕ݁௫²ା௬²ିସ 
l) 2ݕ ൅ 2ݕ ݏ݁݊ ݔݕ cos ݔݕ , 2ݔ ൅ 2ݔ ݏ݁݊ ݔݕ cos ݔݕ 
m) ଵ
௫ା௬
െ 5 , ଵ
௫ା௬
 
n) ௫
ඥ௫మା௬మିଵ
 , ௬
ඥ௫మା௬మିଵ
  
o) ௬
ଶ√௫௬
െ ݕ , ௫
ଶ√௫௬
െ ݔ 
p) 2ݓݐ , ݓଶ ൅ ଵ
௧మ
 
q) ݒ െ ଵ
௨
 , ݑ െ ଵ
௩
 
r) 2ݔݕଶ െ ݕ , 2ݕݔଶ െ ݔ 
s) ௫
ඥ௫మା௬మ
െ 2ݔ , ௬
ඥ௫మା௬మ
െ 2ݕ 
t) 2ݔ݁௫మሾ1 ൅ ݔଶ ൅ ݕଶሿ , 2ݕ݁௫మ 
 
8) Satisfaz. 
9) Satisfaz. 
10)   a) ‐2     b) ‐1 
11) 1 
 
 
12)  a) ቊݖ ൌ
√ହ
ଷ
ݕ ൅ ସ
ଷ
ݔ ൌ 2
       b) ൝
ݖ ൌ ଶ
ଷ
ݔ ൅ ହ
ଷ
ݕ ൌ √5
 
13)  
a) ݖ ൌ 1 , √2ݔ ൅ √2ݕ ൅ 2ݖ ൌ 2√2 
b) ݖ ൌ 0 , ݔ ൅ ݕ െ ݖ ൌ 1 
c) Não existe   ,   ݕ െ ݖ ൌ 1 
d) ݖ ൌ 0 , 4ݔ െ 6ݕ െ ݖ ൌ െ1 
e) ݔ ൅ ݕ ൅ 2√2ݖ ൌ 4 , ݕ ൅ ݖ ൌ 2 
f) 2݁ଶݔ ൅ ݁ଶݕ െ ݖ ൌ 2݁ଶ , 2݁ݔ ൅ ݁ݕ െ ݖ ൌ ݁ 
 
14)  
a) ቀଷ√ଶ
ଶ
, √ଶ
ଶ
ቁ 
b) ሺ9,6ሻ 
c) ሺ0,0ሻ 
d) ሺ0,0ሻ 
e) ሺ0,0ሻ 
f) ቀ0, గ
ଶ
ቁ 
g) ሺ0,2,0ሻ 
h) ሺ0,0ሻ 
i) ሺ1 ൅ lnሺ݁ ൅ 2ሻ , 2 ൅ lnሺ݁ ൅ 2ሻሻ 
j) ሺ1,2, െ2,1ሻ