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Resumos - Lógica - Prof. Ricardo P. Tassinari - Departamento de Filosofia - Unesp/Marília - 2009 NOSSA 2ª CONCEITOGRAFIA: O SISTEMA FORMAL L PARA A LÓGICA DE PREDICADOS DE PRIMEIRA ORDEM Nesta seção, vamos apresentar o desenvolvimento de uma conceitografia para a Lógica de Predi- cado de Primeira Ordem (ou, como também chamamos aqui, Lógica Intra-sentencial), o Sistema Formal L; ou seja, apresentamos uma “linguagem” tal que a utilização de suas regras sintáticas apenas garante a validade dos argumentos nela desenvolvidos. Para tal, expomos a seguir, primei- ramente, a noção de conseqüência semântica que e, logo em seguida, o sistema formal Formal L. A NOÇÃO DE CONSEQÜÊNCIA SEMÂNTICA NA LÓGICA DE PREDICADOS DE PRIMEIRA ORDEM Assim como na Lógica Proposicional Clássica, podemos definir a noção de conseqüência semântica na Lógica de Predicados de Primeira Ordem a partir da noção de argumento válido como a seguir. Definição. Uma fórmula B é uma conseqüência semântica de um conjunto Γ de fórmulas se, e so- mente se, Γ|=B (isto é, sempre que todas as fórmulas de Γ são válidas, B também é válida). O SISTEMA FORMAL L O Sistema Formal L se baseia sobre a noção geral de sistema formal apresentada na primeira parte para introdução do sistema formal L para a Lógica Proposicional Clássica. Assim, para defi- nir o Sistema Formal L, temos de introduzir seus símbolos, suas fórmulas, seus axiomas e suas regras de inferência. Para maiores detalhes a respeito de L, e de suas propriedades, consultar CASTRUCCI 1982, FEITOSA & PAUDOVICH 2005 e MENDELSON 1997 Os Símbolos (alfabeto de L) Conectivos (condicional e negação): → ~ Símbolos auxiliares (parênteses e vírgula): ( ) , Variáveis individuais: xi Constantes individuais: ai Letras Predicativas: Ain (n e i são numerais representando números naturais, n é chamado de ari- dade de Ain) Quantificador Universal: ∀ As Fórmulas de L Se Ain é uma letra predicativa e α1, α2, ..., αn são termos (i.e., por definição, constantes individuais ou variáveis individuais), então: a. Ainα1, α2, ..., αn é uma fórmula (chamada de fórmula atômica)*; b. Se B eC são fórmulas, então ~B , ~C , (B →C ) são fórmulas; c. Se B é uma fórmula e α é uma variável individual, então ∀αB é uma fórmula; d. As fórmulas são apenas aquelas decorrentes dos itens a, b e c acima. * Notar que A00, A10, A20, ..., etc. são fórmulas atômicas, que denominaremos de letras proposi- cionais. Os Axiomas de L São axiomas as fórmulas que tem a seguinte forma (esquemas de axiomas): (B → (C → B )) ((B → (C →D )) → ((B → C ) → (B → D ))) ((~C → ~B ) → (( ~C →B ) → C ))) (∀xB(x) → B(t)), se t é um termo livre para x em B(x) (IU)1; (∀x(B→C ) → (B→∀xC )), se x não ocorre livre em B ; As Regras de Inferência de L Modus Ponens: Generalização Universal: B , (B →C ) B C ∀xB As outras constantes lógicas (∨, ∧, ↔ e ∃) são definidas por: (B ∨ C ) :=def. (~B →C ) (B ∧ C ) :=def. ~(B →~C ) (B ↔C ) :=def. ((B →C )∧(C →B )), ou seja, ~((B →C )→~(C →B )) ∃xB :=def. ~∀x~B As definições de demonstração, teorema, dedução, conseqüência sintática e uso do Símbolo de Dedução |–L , são exatamente como em A NOÇÃO DE SISTEMA FORMAL E A NOSSA 1ª CONCEITOGRAFIA: O SISTEMA FORMAL L. INDEPENDÊNCIA DOS AXIOMAS, CONSISTÊNCIA, DEDUÇÃO E L COMO EXTENSÃO DE L Metateorema da Independência dos Axiomas Os esquemas de axiomas e regras de inferência de L são independentes. Metateorema da Consistência L é consistente (i.e., por definição, não existe uma fórmula B tal que |–L B e |–L ~B). Metateorema da Dedução Seja Γ um conjunto de fórmulas e sejam B eC fórmulas, se Γ, B |–L C e nessa dedução não se aplica Generalização Universal em uma fórmula que depende de B 2, então: Γ |–L B →C . 1 Este esquema de axiomas expressa a Instanciação Universal, abreviada por IU. Para maiores detalhes e para as definições de “termo livre para uma variável em uma fórmula” e de “ocorrên- cia livre de uma variável em uma fórmula”, que entram, respectivamente, nas definições dos es- quemas de axiomas 4 e 5, veja as referências bibliográficas. 2 Em particular, isso ocorre se B é fechada, i.e., não tem variáveis livres. Para as definições de “fórmula fechada” e “fórmula que depende de uma fórmula” em uma demonstração e para mais detalhes, veja as referências bibliográficas. Resumos - Lógica - Prof. Ricardo P. Tassinari - Departamento de Filosofia - Unesp/Marília - 2009 Definição. Uma fórmula B é da Lógica Proposicional se todas as suas letras predicativas são le- tras proposicionais. Metateorema de L como Extensão da Lógica Proposicional Todo teorema de L que é da Lógica Proposicional pode ser demonstrado utilizando apenas os es- quemas de axiomas 1, 2 e 3 e a regra de inferência Modus Ponens. CORREÇÃO, COMPLETUDE E DECIDIBILIDADE DO SISTEMA FORMAL L Os metateoremas a seguir dependem de definições semânticas (interpretação, fórmula verdadei- ra em uma interpretação e tautologia) que não daremos aqui e que podem ser encontradas nas re- ferências bibliográficas. Lembremos apenas a definição de fórmula válida. Definição. Uma fórmula B é válida se é verdadeira em toda interpretação. Em particular, temos que se uma fórmula B é da Lógica Proposicional, então: B é válida se, e somente se, B é uma tautologia. Metateorema da Correção Todo teorema de L é uma fórmula válida. Em particular, todo teorema que é da Lógica Proposi- cional é uma tautologia. Metateorema da Completude Toda fórmula válida é teorema de L. Em particular, toda tautologia pode ser demonstrada utili- zando apenas os esquemas de axiomas 1, 2 e 3 e a regra de inferência Modus Ponens Metateorema da Decidibilidade da Lógica Proposicional Dada uma fórmula B da Lógica Proposicional, existe um método efetivo para se determinar se B é, ou não, teorema de L. Em particular, as Tabelas-Verdade e o Método das Ramificações (ou Método dos Tableaux) são métodos que permitem determinar se B é, ou não, uma tautologia, logo, pelos Metateoremas da Correção e Completude, as Tabelas-Verdade e o Método das Ramificações podem determinar se B é, ou não, um teorema de L.. Metateorema da Indecidibilidade da Lógica de Primeira Ordem Não existe um método efetivo para determinar se uma fórmula B qualquer de L é, ou não, teor- ema de L. 3 Porém, existe um método efetivo M tal que: se B é teorema de L, então M determina que B é teorema de L ; se B não é teorema de L , então M não determina que B não é teorema de L . Metateorema da Indecidibilidade da Validade em Primeira Ordem 3 Porém, para algumas classes de fórmulas, o problema de se determinar se as fórmulas são, ou não, teoremas de L (e, conseqüentemente, pelo Metateorema da Completude, se são ou não váli- das) é decidível, por exemplo: para as classes das fórmulas apenas com letras sentenciais (Lógica Proposicional), como vimos; para as classes das fórmulas apenas com letras sentenciais e letras predicativas Ain, com n = 1 (Lógica de Primeira Ordem Monádica); para a classe das fórmulas sem quantificadores; ou, ainda, para a classe das fórmulas apenas com quantificadores universais. Não existe um método efetivo para determinar se uma fórmula B qualquer de L é, ou não, válida. Porém, existe um método efetivo M tal que: se B é válida, então M determina que B é válida; se B não é válida, M não determina que B não é válida. Em particular, podemos considerar o Método das Ramificações como sendo o método M citado nos metateoremas acima, ou seja: se uma fórmula é válida (ou teorema de L), então o Método das Ramificações permite verificar que ela é válida (ou teorema de L); porém, se a fórmula não é váli- da (ou não é teorema de L), o Método das Ramificações nem sempre mostra que ela não é válida (ou não é teorema de L). Notemos, então, que, para uma fórmula qualquer, o método não permite saber se a fórmula é, ou não, válida ou teorema de L, pois, se até um certo momento, a aplicação do método não forneceuresposta, não sabemos se é porque a fórmula é válida (e teorema de L) e o método não terminou o computo, ou se nunca retornará resposta, pois a fórmula não é válida (e não é teorema de L). Por fim, temos os seguintes metateoremas fundamentais para nossa questão aqui. Metateorema da Correção Forte Se Γ |–L B , então Γ|=B . Em particular, quando Γ é vazio temos o Metateorema da Correção: se |–L B , então |=B Metateorema da Completude Forte Se Γ|=B , então Γ |–L B . Em particular, quando Γ é vazio temos o Metateorema da Completude: se| =B , então |– L B Notemos que: todas as regras de inferência derivadas de L são regras de inferência válidas (pelo Metateorema da Correção Forte) e que todas as regras de inferência válidas da Lógica Proposi- cional são regras derivadas no sistema L (pelo Metateorema da Completude Forte). Temos assim estabelecida as bases para nossa conceitografia tal que uma fórmula é válida, ou seja, é verdadeira em qualquer interpretação, se e somente se, é teorema de L, ou seja, existe uma demonstração dessa fórmula a partir dos axiomas. Mais ainda, pelo metateoremas da corre- ção forte e da completude forte, chegamos a conceitografia proposta no início da disciplina: Significados Signos Que, Proposições Sentenças em nosso caso, Operações sobre significados Operações sobre signos torna-se: Conseqüência semântica Conseqüência Sintática (Demonstrações) Γ|=B Γ |–L B Vamos, a partir daqui, ver algumas definições e alguns resultados sobre teorias formais que usam o sistema formal L como sua lógica subjacente.
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