EXEMPLO 005 - M-N 1r (MOMENTO CURVATURA) - 1

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Escola Politécnica da Universidade de São Paulo
Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações
Estabilidade Global e Análise de Estabilidade Global e Análise de 
Peças EsbeltasPeças Esbeltas
Estabilidade Global e Análise de Estabilidade Global e Análise de 
Peças EsbeltasPeças Esbeltas
Prof. Ricardo Leopoldo e Silva FrançaProf. Ricardo Leopoldo e Silva França
Exemplo de Utilização dos Diagramas M-N-1/r 
para um Pilar em Balanço
Prof. Ricardo Leopoldo e Silva FrançaProf. Ricardo Leopoldo e Silva França
Exemplo de Utilização dos Diagramas M-N-1/r 
para um Pilar em Balanço
r3
VARIABILIDADE DA RESPOSTA DO VARIABILIDADE DA RESPOSTA DO 
CONCRETOCONCRETO
� Relação Tensão – Deformação do concreto com as 
diferentes resistências de um mesmo produto 
2
VARIABILIDADE DA RELAÇÃOVARIABILIDADE DA RELAÇÃO
MOMENTO MOMENTO -- CURVATURACURVATURA
M
.
3
Variabilidade das relações momento-curvatura para u ma determinada estrutura
1/r
.
Mu ELU
0,85 fcd
NOVA NBNOVA NB--1 Cap.15 1 Cap.15 --Instabilidade eInstabilidade e
efeitos de segunda ordemefeitos de segunda ordem
� 15.1 Campo de aplicação e conceitos
fundamentais
� 15.2 Princípio básico de cálculo
• 15.2.1 Relações momento-curvatura
4
Dados Gerais do Exemplo PropostoDados Gerais do Exemplo Proposto
Seja analisar os efeitos de 2Seja analisar os efeitos de 2aaordem e estabilidadeordem e estabilidade
do equilíbrio de um pilar de concreto armado, do equilíbrio de um pilar de concreto armado, 
de seção constante, e em balanço.de seção constante, e em balanço.
5
•Concreto 
fck = 18 Mpa
•Aço 
CA50 A
8φ16
Astot = 16 cm
2
Os carregamentos são supostos como de origem acidental, casoOs carregamentos são supostos como de origem acidental, caso
contrário deveriam ser considerados os efeitos da deformação contrário deveriam ser considerados os efeitos da deformação 
lenta, pois :lenta, pois :
Dados Gerais do Exemplo PropostoDados Gerais do Exemplo Proposto
8093
46,35,32 >=⋅⋅=λ
6
8093
26,0
46,35,32 >=⋅⋅=λ
Serão analisados os esforços de 2Serão analisados os esforços de 2aaordem na direção y, para ordem na direção y, para 
duas hipóteses de carregamento, ou seja, diferentes valores de duas hipóteses de carregamento, ou seja, diferentes valores de 
HHBB e Me MBB..
O carregamento I será dado por:O carregamento I será dado por:
Dados Gerais do Exemplo PropostoDados Gerais do Exemplo Proposto



=
=
tfM
tfH
Bd
Bd
60.0
40,0
Logo, os momentos de 1Logo, os momentos de 1aaordem são (valores de cálculo):ordem são (valores de cálculo):
7
0,60 tf.m
2 tf.m
O carregamento II será dado por:O carregamento II será dado por:
Dados Gerais do Exemplo PropostoDados Gerais do Exemplo Proposto



==
=
? Possível Máximo
0
Bd
Bd
M
H
(de primeira ordem)
8
MBd = ?
MAd = ? M1d (tf.m)
Para caracterização da deformabilidade será adotado:Para caracterização da deformabilidade será adotado:
Cálculo da Relação Cálculo da Relação 
Momento Momento -- Normal Normal -- Curvatura Curvatura 
(M (M –– N N –– 1/r)1/r)
aço o para e
concreto o para 10,1 
ydy
cdc
ff
ff
=
⋅=α
9
aço o para e ydy ff =
Para caracterização da capacidade resistente da seção (E.L.U.)Para caracterização da capacidade resistente da seção (E.L.U.)
será adotado: será adotado: 
aço o para e
concreto o para 85,0 
ydy
cdc
ff
ff
=
⋅=α
Cálculo da Relação Cálculo da Relação 
Momento Momento -- Normal Normal -- Curvatura Curvatura 
(M (M –– N N –– 1/r)1/r)
Dos ábacos de interação NDos ábacos de interação Nuu –– MMu u acoplados com valores de acoplados com valores de 
rigidez secante temos:rigidez secante temos:


 =



⋅⋅
⋅= 60,0
1800
40,026,0
574,1ν
10 



=⋅⋅⋅=
=⋅⋅⋅=
==⇒













==
=





⋅⋅





⋅
=




⋅⋅
22
sec
2
ud
cs
. 551
4,1
1800
26,040,061EI 
. 95,6
4,1
1800
26,040,020,0
:Logo .61 e 0,20 B15F0 ábaco no acima valoresos Lançando
 
15,0
26,0
039,0'
52,0
4,1
1800
40,026,0
15,1
50000
16
4,1
40,026,0
mtfe
mtf
h
d
µ
κµ
ω
11
Cálculo da Relação Cálculo da Relação 
Momento Momento -- Normal Normal -- Curvatura Curvatura 
(M (M –– N N –– 1/r)1/r)
12
Diagrama Momento – Curvatura Relativa 
A reta B da figura caracteriza a linearização da relaçãoA reta B da figura caracteriza a linearização da relação
M M –– N N –– 1/r dada por 1/r dada por κκcscsou Eiou Eisecsec
(é uma simplificação da curva A).(é uma simplificação da curva A).
Cálculo da Relação Cálculo da Relação 
Momento Momento -- Normal Normal -- Curvatura Curvatura 
(M (M –– N N –– 1/r)1/r)
13
(é uma simplificação da curva A).(é uma simplificação da curva A).
A curva A é a relação M A curva A é a relação M –– N N –– 1/r do problema 1/r do problema 
(não linearizada) e foi obtida utilizando(não linearizada) e foi obtida utilizando--se um se um 
software apropriado.software apropriado.
Efeitos de 2Efeitos de 2aa Ordem para oOrdem para o
Carregamento ICarregamento I
Para a consideração da nãoPara a consideração da não--linearidade geométrica linearidade geométrica 
serão utilizados os seguintes processos:serão utilizados os seguintes processos:
14
••Integração direta da linha elástica Integração direta da linha elástica (processo numérico)(processo numérico)
••Processo do Pilar Padrão Simples Processo do Pilar Padrão Simples 
••Processo do Pilar Padrão MelhoradoProcesso do Pilar Padrão Melhorado
••Processo PProcesso P––∆∆
Efeitos de 2Efeitos de 2aa Ordem para o Ordem para o 
Carregamento ICarregamento I
Para a consideração da nãoPara a consideração da não--linearidade física, a linearidade física, a 
relação M relação M –– N N –– 1/r será considerada através de:1/r será considerada através de:
15
••Curva A Curva A 
••Reta B, ou seja, o uso da rigidez secanteReta B, ou seja, o uso da rigidez secante
Os momentos finais (com 2Os momentos finais (com 2aaordem) possuem, ordem) possuem, 
ao longo da coluna, o aspecto mostrado na ao longo da coluna, o aspecto mostrado na 
figura abaixo:figura abaixo:
Efeitos de 2Efeitos de 2aa Ordem para oOrdem para o
Carregamento ICarregamento I
16
Efeitos de 2Efeitos de 2aa Ordem para o Ordem para o 
Carregamento ICarregamento I
Em resumo, o quadro abaixo apresenta os valores obtidosEm resumo, o quadro abaixo apresenta os valores obtidos..
Valor mais preciso
17
• Método Geral com Integração Direta da Linha Método Geral com Integração Direta da Linha 
Elástica e Consideração da NãoElástica e Consideração da Não--LinearidadeLinearidade
Geométrica por um Processo IterativoGeométrica por um Processo Iterativo
Solução do Carregamento I, por Integração Solução do Carregamento I, por Integração 
Direta e M Direta e M –– N N –– 1/r dada pela Curva A1/r dada pela Curva A
18
A solução pelo método geral de problemas simples, A solução pelo método geral de problemas simples, 
como o da coluna desse exemplo, pode ser feita por como o da coluna desse exemplo, pode ser feita por 
um processo iterativo, onde em cada etapa se integram um processo iterativo, onde em cada etapa se integram 
as curvaturas e rotações para obtenção dos as curvaturas e rotações para obtenção dos 
deslocamentos. deslocamentos. 
O processo adotado segue os seguintes passos:O processo adotado segue os seguintes passos:
a)a) Discretização da coluna em um número adequado Discretização da coluna em um número adequado 
de segmentos; aqui foram utilizados 10 de segmentos; aqui foram utilizados 10 
Solução do Carregamento I, por Integração Solução do Carregamento I, por Integração 
Direta e M Direta e M –– N N –– 1/r dada pela Curva A1/r dada pela Curva A
19
de segmentos; aqui foram utilizados 10 de segmentos; aqui foram utilizados 10 
(ver fig. na próxima página).(ver fig. na próxima página).
b) Cálculo dos valores de Mb) Cálculo dos valores de Mii, (h/r), (h/r)ii, , ϕϕii, e f, e fii
Solução do Carregamento I, por Integração Solução do Carregamento I, por Integração 
Direta e M Direta e M –– N N –– 1/rdada pela Curva A1/r dada pela Curva A
20 Discretização adotada 
b) Cálculo dos valores de Mb) Cálculo dos valores de Mii, (h/r), (h/r)ii, , ϕϕii, e f, e fii
O cálculo dos valores das curvaturas relativas O cálculo dos valores das curvaturas relativas 
(h/r)(h/r) , das rotações , das rotações ϕϕ e dos deslocamentos fe dos deslocamentos fseráserá
Solução do Carregamento I, por Integração Solução do Carregamento I, por Integração 
Direta e M Direta e M –– N N –– 1/r dada pela Curva A1/r dada pela Curva A
21
(h/r)(h/r)i i , das rotações , das rotações ϕϕii e dos deslocamentos fe dos deslocamentos fii seráserá
obtido em cada iteração j do processo por:obtido em cada iteração j do processo por:
Iteração j:Iteração j:
base) na (engaste 0f 0 1111 ==ϕ
h
l
r
h
r
h
h
l
r
h
iii
ii ⋅⋅
∆⋅










−




+
⋅
∆⋅




+=
++
+ 3
1
3
1
1 10210
ϕϕ
Solução do Carregamento I, por Integração Solução do Carregamento I, por Integração 
Direta e M Direta e M –– N N –– 1/r dada pela Curva A1/r dada pela Curva A
h
l
r
h
r
h
h
l
r
h
l
iii
ii ⋅⋅
∆⋅










−




+
⋅⋅
∆⋅




+∆⋅+=
++
++ 3
2
1
3
2
1
11i 106102
ff ϕ
22
Os valores de (h/r)Os valores de (h/r)ii são dados em ( )são dados em ( ) e , para e , para 
simplificar a notação, adotarsimplificar a notação, adotar--sese--á: á: 
00
0
hh
l
⋅
∆=
⋅
∆=∆=
⋅
∆=
⋅
∆=
6000
l
E 
2000
D lC 
h2000
l
B 
h1000
l
A
22
Solução do Carregamento I, por Integração Solução do Carregamento I, por Integração 
Direta e M Direta e M –– N N –– 1/r dada pela Curva A1/r dada pela Curva A
Para os valores de momentos fletores, será adotado: Para os valores de momentos fletores, será adotado: 
1-j iteração i,1ij iteração i, eNM M ⋅+≈
Sendo
23
Sendo
j iteração i,M --momento fletor total em cada seção i, momento fletor total em cada seção i, 
na iteração jna iteração j
1iM --momento fletor de primeira ordem, dividido momento fletor de primeira ordem, dividido 
por por γγf3f3, na seção i, na seção i
Solução do Carregamento I, por Integração Solução do Carregamento I, por Integração 
Direta e M Direta e M –– N N –– 1/r dada pela Curva A1/r dada pela Curva A
--força normal de cálculo dividida por força normal de cálculo dividida por γγf3f3N
j iteração i,e --excentricidade da força normal N em relação excentricidade da força normal N em relação 
24
a uma seção i, calculada com base nos a uma seção i, calculada com base nos 
deslocamentos da iteração jdeslocamentos da iteração j--1 1 
Os valores das curvaturas relativas (h/r)Os valores das curvaturas relativas (h/r)ii serão obtidos a serão obtidos a 
partir dos valores de Mpartir dos valores de Mii, usando, usando--se as relações momentose as relações momento--
curvatura obtidas anteriormente.curvatura obtidas anteriormente.
Para a primeira iteração do processo supõePara a primeira iteração do processo supõe--se que os se que os 
momentos totais sejam os de primeira ordem, ou seja, momentos totais sejam os de primeira ordem, ou seja, 
eeii = 0.= 0.
Para um dado carregamento, a solução é obtida quando osPara um dado carregamento, a solução é obtida quando os
Solução do Carregamento I, por Integração Solução do Carregamento I, por Integração 
Direta e M Direta e M –– N N –– 1/r dada pela Curva A1/r dada pela Curva A
25
Para um dado carregamento, a solução é obtida quando osPara um dado carregamento, a solução é obtida quando os
valores de uma iteração não diferem da iteração anterior valores de uma iteração não diferem da iteração anterior 
além de uma tolerância desejada.além de uma tolerância desejada.
Esta solução será possível se, em todas as seções, os Esta solução será possível se, em todas as seções, os 
momentos e a força normal, majorados de momentos e a força normal, majorados de γγf3f3, forem , forem 
menores ou iguais aos últimos a que a seção e a armadura menores ou iguais aos últimos a que a seção e a armadura 
consideradas resistirem. consideradas resistirem. 
CasoCaso nãonão sejaseja encontradaencontrada aa convergênciaconvergência dodo processoprocesso
iterativoiterativo parapara umum númeronúmero suficientesuficiente dede iterações,iterações, podepode--sese
dizerdizer queque oo equilíbrioequilíbrio éé instávelinstável parapara oo carregamentocarregamento emem
análiseanálise..
Solução do Carregamento I, por Integração Solução do Carregamento I, por Integração 
Direta e M Direta e M –– N N –– 1/r dada pela Curva A1/r dada pela Curva A
26
análiseanálise..
TodoTodo esseesse processoprocesso foifoi automatizadoautomatizado comcomauxílioauxílio dede
planilhaplanilha eletrônicaeletrônica ememumummicrocomputadormicrocomputador compatívelcompatível
comcomoo IBMIBM--PC,PC, adotandoadotando--sese comocomo padrãopadrão 5050 iteraçõesiterações..
Solução do Carregamento I, por Integração Solução do Carregamento I, por Integração 
Direta e M Direta e M –– N N –– 1/r dada pela Curva A1/r dada pela Curva A
27
Valores obtidos para o carregamento I, com Integração Direta (10 segmentos) e curva A para M – N – 1/r
Solução do Carregamento I, por Integração Solução do Carregamento I, por Integração 
Direta e M Direta e M –– N N –– 1/r dada pela Reta B1/r dada pela Reta B
28
Valores obtidos para o carregamento I, com Integração Direta (10 segmentos) e reta B para M – N – 1/r
Solução do Carregamento I, por PP e Solução do Carregamento I, por PP e 
M M –– N N –– 1/r dada pela Curva A1/r dada pela Curva A
OO momentomomento solicitantesolicitante nana basebase (ponto(ponto A)A) pelopelo processoprocesso dodo
PilarPilar PadrãoPadrão SimplesSimples éé dadodado porpor::
ou 
1
N
10
MM d
2
1AdtotAd,
e
r
l





⋅⋅+=
29
ou N
10
MM d1AdtotAd,
Ar




⋅⋅+=
 
10
N
10
MM
3
d4
2
1AdtotAd,
A
e
r
hh
h
l





 ⋅⋅⋅⋅




+=
 
10
8,79
10
26,0
26,0
5,32
0,2M
3
4
2
totAd,
A
r
h





 ⋅⋅⋅⋅




 ⋅+=
 )M do vezesas (faz 
10
504,10,2M e
3
totAd,
A
r
h





 ⋅⋅+=
A solução é dada quando Mi=Me, que feita graficamente 
apresenta o aspecto dado na figura abaixo:
Solução do Carregamento I, por PP e Solução do Carregamento I, por PP e 
M M –– N N –– 1/r dada pela Curva A1/r dada pela Curva A
30
Solução do Carregamento I, por PP e Solução do Carregamento I, por PP e 
M M –– N N –– 1/r dada pela Reta B1/r dada pela Reta B
OO processoprocesso dodo PilarPilar PadrãoPadrão SimplesSimples ememconjuntoconjunto comcom
aa relaçãorelação MM –– NN –– 11/r/r linearizadalinearizada éé dadodado porpor::
Eα−
⋅=
1
1
MM 1AdtotAd,
l 
2
31
csf
e
e
h
l
l
κγ
ν
γα ⋅⋅





⋅
=
⋅⋅
=
3
2
secf3
d
E 10EI10
N
 sendo
713,0 temos
 1 adotando e 61 
26,0
5,32
h
l
 0,60 como
E
f3cs
e
=
==⋅==
α
γκν
)(M tf.m6,95 tf.m97,6
713,01
1
0,2M logo udtotAd, ≈=−
⋅=
Solução do Carregamento I, por PPM e Solução do Carregamento I, por PPM e 
M M –– N N –– 1/r dada pela Reta B1/r dada pela Reta B
O processo do Pilar Padrão Melhorado pode ser dado por: O processo do Pilar Padrão Melhorado pode ser dado por: 
E
Ec
α
αα
−
⋅−⋅=
1
1
MM 1AdtotAd,
2
 l
32
anterior) item ao (igual 713,0
10
 sendo
3
E =⋅⋅





⋅
=
csf
e
h
l
κγ
ν
α
0417,0
4,22,16
1
 e 21 =−−= ααα c
 tf.m76,6
713,01
713,0417,01
0,2M logo totAd, =−
⋅−⋅=
Nessa solução, será adotada uma só subdivisão, conformeNessa solução, será adotada uma só subdivisão, conforme
indicado na figura abaixo:indicado na figura abaixo:
Solução do Carregamento I, por PSolução do Carregamento I, por P--∆∆ e e 
M M –– N N –– 1/r dada pela Reta B1/r dada pela Reta B
33
OO parpar dede forçasforças fictíciasfictícias HH∆∆ii éé dadodado porpor::
Solução do Carregamento I, por PSolução do Carregamento I, por P--∆∆ e e 
M M –– N N –– 1/r dada pela Reta B1/r dada pela Reta B
anterior iteração 
 da B em flecha a é f onde , 
fN
H1-i
1-id
i l
⋅
=∆
34
1-ii f 80,22H ⋅=∆
i0
3
i
0i H0259,0fEI3
H
ff ∆
∆ ⋅+=
⋅
⋅+= l
AA flechaflecha ffii éé dadadada porpor ::
B) em ordem 1 de (flecha m 0170,0
EI2
M
EI3
H
f sendo a
2
Bd
3
0 =⋅
⋅+
⋅
⋅= llBd
Solução do Carregamento I, por PSolução do Carregamento I, por P--∆∆ e e 
M M –– N N –– 1/r dada pela Reta B1/r dada pela Reta B
2
sec tf.m551EIEI e m 5,3 adotados ===l
aa iteraçãoiteração PP ––∆∆ éé aa dadadada nana tabelatabela abaixoabaixo::
35
 tf.m31,55,39456,00,20415,08,790,2M totAd, =⋅+=⋅+=
assimassim::
Efeitos de 2Efeitos de 2aa Ordem para o Ordem para o 
Carregamento ICarregamento I
Em resumo, o quadro abaixo apresenta os valores obtidosEm resumo, o quadro abaixo apresenta os valores obtidos..
Valor mais preciso
36
O problema aqui colocado é o de se determinar qual é o O problema aqui colocado é o de se determinar qual é o 
máximo momento Mmáximo momento M1Bd1Bd que pode ser aplicado no pilar, que pode ser aplicado no pilar, 
supondo Hsupondo HBdBd=0. O diagrama de momentos de 1=0. O diagrama de momentos de 1
aaordem ordem 
resultante é constante ao longo da altura do pilar, como poderesultante é constante ao longo da altura do pilar, como pode
Valor Máximo para o Momento de Valor Máximo para o Momento de 
11aa Ordem para uma Distribuição Ordem para uma Distribuição 
dada pelo Carregamento IIdada pelo Carregamento II
37
resultante é constante ao longo da altura do pilar, como poderesultante é constante ao longo da altura do pilar, como pode
ser visto na figura abaixo:ser visto na figura abaixo:
MBd = ?
MAd = ? M1d (tf.m)
Valor Máximo para o Momento de Valor Máximo para o Momento de 
11aa Ordem para uma Distribuição Ordem para uma Distribuição 
dada pelo Carregamento IIdada pelo Carregamento II
Esse problema será resolvido, analogamente ao que foi feitoEsse problema será resolvido, analogamente ao que foi feito
anteriormente, por três processos para consideração da anteriormente, por três processos para consideração da 
nãonão--linearidade geométrica e duas variantes para a linearidade geométrica e duas variantes para a 
consideração da nãoconsideração da não--linearidade física (curva A e reta B). linearidade física (curva A e reta B). 
38
consideração da nãoconsideração da não--linearidade física (curva A e reta B). linearidade física (curva A e reta B). 
Os resultados obtidos estão apresentados no próximo slide.Os resultados obtidos estão apresentados no próximo slide.
Valor Máximo para o Momento de Valor Máximo para o Momento de 
11aa Ordem para uma Distribuição Ordem para uma Distribuição 
dada pelo Carregamento IIdada pelo Carregamento II
Valor mais preciso
39
Valor Máximo para o Momento de Valor Máximo para o Momento de 
11aa Ordem para uma Distribuição Ordem para uma Distribuição 
dada pelo Carregamento IIdada pelo Carregamento II
Os processos mais precisos são os de integração direta Os processos mais precisos são os de integração direta 
(com número suficiente de subdivisões) ou o processo P (com número suficiente de subdivisões) ou o processo P ––∆∆
(também subdividido em um número razoável de trechos)(também subdividido em um número razoável de trechos)
em conjunto com a reta B, e conduzem a um valor máximo em conjunto com a reta B, e conduzem a um valor máximo 
40
em conjunto com a reta B, e conduzem a um valor máximo em conjunto com a reta B, e conduzem a um valor máximo 
para Mpara M1Bd1Bd de 1,870 tf.m. de 1,870 tf.m. 
Os resultados de outros processos que apresentem valores Os resultados de outros processos que apresentem valores 
de Mde M1Bd 1Bd superiores a 1,870 tf.m estão contra a segurança. superiores a 1,870 tf.m estão contra a segurança. 
Solução do Carregamento II, por Solução do Carregamento II, por 
Integração Direta e Relação M Integração Direta e Relação M –– N N –– 1/r 1/r 
dada pela Curva A dada pela Curva A 
O procedimento é análogo ao apresentado no item , e O procedimento é análogo ao apresentado no item , e 
testandotestando--se sucessivos valores para Mse sucessivos valores para M1Bd1Bd chegachega--se a um se a um 
valor máximo possível de 1,870 tf.m, ao qual corresponde valor máximo possível de 1,870 tf.m, ao qual corresponde 
um valor Mum valor M =5,05 tf.m, que esgota a capacidade =5,05 tf.m, que esgota a capacidade 
41
um valor Mum valor MAd,totAd,tot=5,05 tf.m, que esgota a capacidade =5,05 tf.m, que esgota a capacidade 
resistente do pilar devido ao equilíbrio ser instável. resistente do pilar devido ao equilíbrio ser instável. 
Os valores obtidos estão apresentados no slide seguinte.Os valores obtidos estão apresentados no slide seguinte.
Solução do Carregamento II, por Solução do Carregamento II, por 
Integração Direta e Relação M Integração Direta e Relação M –– N N –– 1/r 1/r 
dada pela Curva A dada pela Curva A 
42 Valores obtidos para o carregamento II, por Integração Direta (10 segmentos) e curva A para M – N – 1/r
Solução do Carregamento II, por Solução do Carregamento II, por 
Integração Direta e Relação M Integração Direta e Relação M –– N N –– 1/r 1/r 
dada pela Reta B dada pela Reta B 
Com procedimento semelhante ao exposto no item anteriorCom procedimento semelhante ao exposto no item anterior
obtêmobtêm--se Mse M1Bd1Bd =1,65 tf.m, ao qual corresponde M=1,65 tf.m, ao qual corresponde MAd,totAd,tot=6,95=6,95
tf.m, que esgota a capacidade resistente na seção A. tf.m, que esgota a capacidade resistente na seção A. 
43
tf.m, que esgota a capacidade resistente na seção A. tf.m, que esgota a capacidade resistente na seção A. 
Os valores obtidos estão apresentados no próximo slide.Os valores obtidos estão apresentados no próximo slide.
Solução do Carregamento II, por Solução do Carregamento II, por 
Integração Direta e Relação M Integração Direta e Relação M –– N N –– 1/r 1/r 
dada pela Reta B dada pela Reta B 
44 Valores obtidos para o carregamento II, por Integração Direta (10 segmentos) e reta B para M – N – 1/r
Solução do Carregamento II, por PP e Solução do Carregamento II, por PP e 
Relação M Relação M –– N N –– 1/r dada pela Curva A 1/r dada pela Curva A 
A solução aqui segue procurandoA solução aqui segue procurando--se qual o valor de Mse qual o valor de M1Ad1Ad , , 
que no caso é igual a Mque no caso é igual a M1Bd1Bd , que leva a reta que define M, que leva a reta que define MBB
ser ser 
45
tangente a curva A, ou atingir Mtangente a curva A, ou atingir Mudud ..
A solução encontrada para MA solução encontrada para M1Bd1Bd =2,0 tf.m já era um =2,0 tf.m já era um 
ponto de tangência, caracterizando portanto, neste processo, ponto de tangência, caracterizando portanto, neste processo, 
um ponto de equilibro instável, e definindo o maior um ponto de equilibro instável, e definindo o maior 
momento possível para Mmomento possível para M1Ad1Ad..
Solução do Carregamento II, por PP e Solução do Carregamento II, por PP e 
Relação M Relação M –– N N –– 1/r dada pela Reta B 1/r dada pela Reta B 
O valor máximo de MO valor máximo de M1Bd1Bd , que é igual a M, que é igual a M1Ad1Ad , é dado por: , é dado por: 
 tf.m994,1
MM
MM udtotAd,1Ad1Bd ====
46
 tf.m994,1
1
1
1
1
MM 1Ad1Bd =






−
=






−
==
EE αα
 713,0 e tf.m95,6M sendo Eud == α
O resultado apresentado é um pouco contra a segurança. O resultado apresentado é um pouco contra a segurança. 
Solução do Carregamento II, por PPM e Solução do Carregamento II, por PPM e 
Relação M Relação M –– N N –– 1/r dada pela Reta B 1/r dada pela Reta B 
Tomando MTomando M1Bd 1Bd = M= M1Ad 1Ad (pois H(pois HBd Bd = 0), decorre que = 0), decorre que 
αα2 2 = 0 e = 0 e αα1 1 = 0 = 0 
25,0
4,22,16
1
 logo 21c −=−−=
ααα
47
e com Me com MAd,tot Ad,tot = M= Mud ud = 6,95 tf.m e = 6,95 tf.m e ααE E = 0,713 temos:= 0,713 temos:
4,22,16
( ) ( ) tf.m692,1
713,01
713,025,01
6,95
1
1
M
MM totAd,1Ad1Bd =






−
⋅−−
=






−
⋅−
==
E
Ec
α
αα
NoteNote--se que com esta melhorao processo do Pilar Padrão se que com esta melhora o processo do Pilar Padrão 
apresenta um resultado a favor da segurança. apresenta um resultado a favor da segurança. 
Solução do Carregamento II, por PSolução do Carregamento II, por P--∆∆ e e 
Relação M Relação M –– N N –– 1/r dada pela Reta B 1/r dada pela Reta B 
O procedimento apresentado no item O procedimento apresentado no item -- solução do solução do 
carregamento I pelo processo Pcarregamento I pelo processo P--∆∆ -- em iguais condições em iguais condições 
ao aqui tratado, foi automatizado em uma planilha de ao aqui tratado, foi automatizado em uma planilha de 
cálculo, e adotados valores sucessivos de Mcálculo, e adotados valores sucessivos de M1Bd 1Bd , chegou, chegou--se se 
48
cálculo, e adotados valores sucessivos de Mcálculo, e adotados valores sucessivos de M1Bd 1Bd , chegou, chegou--se se 
a um valor máximo possível igual a 2,192 tf.m, que a um valor máximo possível igual a 2,192 tf.m, que 
conduziu a Mconduziu a MAd,tot Ad,tot = 6,95 tf.m na seção A.= 6,95 tf.m na seção A.
Este resultado fica contra a segurança, e isto se deve a Este resultado fica contra a segurança, e isto se deve a 
pobre discretização adotada. Se o processo for refeito o pobre discretização adotada. Se o processo for refeito o 
valor de Mvalor de M1Bd,max 1Bd,max deve decrescer.deve decrescer.
Solução do Carregamento II, por PSolução do Carregamento II, por P--∆∆ e e 
Relação M Relação M –– N N –– 1/r dada pela Reta B 1/r dada pela Reta B 
49
Valores obtidos para o carregamento II, por P-∆∆∆∆ (1 segmento) e reta B para M – N – 1/r
Valor Máximo para o Momento de Valor Máximo para o Momento de 
11aa Ordem para uma Distribuição Ordem para uma Distribuição 
dada pelo Carregamento IIdada pelo Carregamento II
Valor mais preciso
50