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Prof. Dr. Ricardo Cardoso de Oliveira
FUNDAMENTOS 
BÁSICOS DA 
ENGENHARIA
GEOMETRIA E A ENGENHARIA
Geometria euclidiana é a geometria sobre planos ou objetos em três
dimensões, com base nos postulados de Euclides de Alexandria.
Os Elementos 
• Um dos livros mais influentes na história, tanto pelo seu
método quanto pelo seu conteúdo matemático.
• O método consiste em assumir um pequeno conjunto de
axiomas ou postulados, para então provar várias outras
proposições a partir desses axiomas.
• Muitos dos resultados apresentados já haviam sido
afirmados por matemáticos gregos anteriores, porém ele foi
o primeiro a demonstrar como essas proposições poderiam
ser reunidas juntas, em um abrangente sistema dedutivo.
GEOMETRIA E A ENGENHARIA
Geometria euclidiana
• Postulado 1 - Com dois pontos distintos, há um único segmento de reta que os une.
• Postulado 2 - Um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para
construir uma reta.
• Postulado 3 - Com um ponto qualquer e uma distância qualquer, pode-se construir
uma circunferência de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada.
• Postulado 4 - Todos os ângulos retos são congruentes (semelhantes).
• Postulado 5 - Se duas linhas intersectam uma terceira linha de tal forma que a soma
dos ângulos internos em um lado seja menor que dois ângulos retos, então as duas
linhas devem intersectar-se neste lado, caso sejam estendidas indefinidamente
(Postulado das Paralelas).
GEOMETRIA E A ENGENHARIA
Geometria euclidiana
Representação do postulado das paralelas
GEOMETRIA E A ENGENHARIA
Geometria esférica - Bernhard Riemann
Geometria euclidiana - Euclides
Geometria hiperbólica - Nikolai Lobachevsky
Representação triângulos em diversas 
geometrias
GEOMETRIA E A ENGENHARIA
O perímetro é a medida do comprimento de um contorno. A unidade
de medida empregada no cálculo do perímetro é a mesma unidade de
medida de comprimento, isto é, metro, centímetro, quilômetro, pé,
polegada etc.
EXEMPLO 1
(ENEM – Adaptado) Para o reflorestamento de uma área, deve-se
cercá-la, totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o
lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que
será comprado para a confecção da cerca contém 48 metros de
comprimento. Determine a quantidade mínima de rolos que deve
ser comprada para cercar esse terreno.
Solução:
Representação para o exercício
EXEMPLO 2
Em escoamento em canais, o perímetro molhado é definido como
o comprimento relativo ao contato do líquido com o conduto.
Determine o perímetro molhado para a situação de escoamento em
canal aberto, ilustrado pela Figura.
Solução:
Representação de um canal
EXEMPLO 3
(ENEM – Adaptado) Sobre um sistema cartesiano, considera-se uma malha formada
por circunferências de raios com medidas dadas por números naturais e por 12
semirretas com extremidades na origem, separadas por ângulos de
�
�
rad, conforme a
figura. Suponha que os objetos se desloquem apenas pelas semirretas e pelas
circunferências dessa malha, não podendo passar pela origem (0,0). Determine a
distância mais curta possível ao longo da malha, para que um objeto saia do ponto B e
chegue até o ponto A.
Representação do exercício
EXEMPLO 3
Solução:
Representação do exercício
EXEMPLO 4
O losango representado na Figura 1 foi formado pela união dos centros das
quatro circunferências tangentes, de raios de mesma medida. Ao dobrar o
raio de duas das circunferências centradas em vértices opostas ao losango
e ainda ao manter a configuração das tangências, obtém-se uma situação
conforme a ilustrada pela Figura 2. Determine o aumento percentual do
perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do
losango da Figura 1.
EXEMPLO 4
Solução:
EXEMPLO 5
(ENEM – Adaptado) O mapa a seguir representa um bairro de
determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido do tráfego.
Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada
na figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros. Ao
desconsiderar a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que
um ônibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h, partindo do
ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y?
Representação do exercício
EXEMPLO 5
Solução:
Representação do exercício