Integrais_ Conceitos, propriedades e técnicas de integração

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17/03/2023, 21:42 Integrais: Conceitos, propriedades e técnicas de integração
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Objetivos
Módulo 1
Teorema fundamental do cálculo
Aplicar o conceito da integral indefinida, definida e do teorema fundamental do cálculo.
Acessar módulo
Módulo 2
Técnica de integração por substituição de variável
Empregar a técnica de integração por substituição de variável na resolução de problemas envolvendo integrais.
Integrais: Conceitos, propriedades e
técnicas de integração
Prof. Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
Descrição
Aplicação do conceito de integração de funções reais e do teorema fundamental do cálculo.
Propósito
Determinar a integração indefinida e definida e aplicar tais conceitos na resolução de problemas de integração por meio
de algumas técnicas de integração: substituição de variáveis, integração por partes e frações parciais.
Preparação
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
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Módulo 3
Técnica de integração por partes
Aplicar a técnica de integração por partes na resolução de problemas envolvendo integrais.
Acessar módulo
Módulo 4
Técnica de integração por frações parciais
Empregar a técnica de integração por frações parciais na resolução de problemas envolvendo integrais.
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Introdução
Olá! Antes de começarmos, assista ao video e entenda os principais aspectos que serão abordados ao longo deste conteúdo.

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1
Teorema fundamental do cálculo
Ao final deste módulo, você será capaz de aplicar o conceito da integral indefinida, definida e do teorema fundamental do cálculo.
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Primeiras palavras
A integração de uma função real é uma operação com diversas aplicações práticas. Neste módulo vamos analisar e distinguir as integrações
indefinida e definida:
Integração inde�nida
Também conhecida como antiderivada, é oriunda da operação inversa da derivação, e tem como resultado uma família de funções.
Integração de�nida
É oriunda de um somatório, denominado Soma de Riemann, e tem como resultado um número real.
Também vamos analisar o teorema fundamental do cálculo, que permitirá a relação entre os dois tipos de integração e o cálculo das integrais
definidas de uma forma mais direta.
Integração inde�nida
O primeiro conceito para estudar a operação da integração indefinida é o conceito da antiderivada de uma função.
Assim, uma função é denominada de antiderivada ou primitiva de uma função em um intervalo se
 para todo do intervalo Assim, por exemplo, é uma função primitiva, em todo
conjunto real, da função pois para todo real.
Mas repare que a função real, também será primitiva de Isso ocorre porque a derivada de um número real é zero,
assim A conclusão é que não existe apenas uma antiderivada de uma função, mas uma família de antiderivadas.
Teorema
Se for antiderivada de em um intervalo , então toda função que pertence à família de funções real, é uma antiderivada de
 em 
A família de primitivas ou antiderivadas de uma função será denominada de integral indefinida da função e usará uma notação 
Dessa forma, real, em que é uma primitiva de isto é, 
O termo dentro do símbolo da integral, ou seja, é denominado integrando. O diferencial determina em função de que variável a
antiderivada é obtida.

F(x) f(x) I
F ′(x) = f(x) x I. F(x) = x2
f(x) = 2x, F ′(x) = 2x = f(x), x
G(x) = x2 + k,  k f(x) = 2x.
G′(x) = F ′(x) = f(x).
F(x) f(x) I F(x) + k, k
f(x) I.
∫ f(x)dx.
∫ f(x)dx = F(x) + k, k F(x) f(x), F ′(x) = f(x).
f(x), dx
Atenção!

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Exemplo 1
Determine 
Solução
Repare o integrando Assim, deve ser obtida uma primitiva de em outras palavras, qual a função cuja derivada é 
Sabemos das tabelas de derivação que Assim:
Rotacione a tela. 
Exemplo 2
Determine a função da família de funções obtidas por sabendo que 
Solução
No exemplo anterior, já obtivemos a família de funções:
Rotacione a tela. 
Assim:
Rotacione a tela. 
Logo 
Pelo enunciado, assim Portanto,
O resultado de uma integração indefinida é uma família de funções. Para se determinar uma função específica, deve-se obter uma
informação adicional, denominada condição inicial, como o valor da função ou de sua derivada em um ponto do seu domínio.
∫ cosxdx :
f(x) = cosx. F(x), cosx.
F(x) = senx → F ′(x) = cosx.
∫ cos  x d x = senx + k,  k real
g(x) ∫ cosxdx, g(0) = 1 :
∫ cosxdx = senx + k, k real 
g(x) = senx + k
g(0) = 0 + k = k.
g(0) = 1, k = 1.
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Rotacione a tela. 
Integrais imediatas
Repare que no exemplo tivemos que obter a função cuja derivada era o integrando. Com isso, podemos definir uma tabela de integrais cujos valores
são conhecidos. Esta tabela é obtida diretamente pela operação contrária à derivação.
Estas integrais serão denominadas de imediatas, pois são obtidas diretamente das fórmulas das antiderivadas.
A tabela a seguir apresenta as integrais imediatas para as principais funções.
Se a integral não for uma integral imediata, terá que trabalhar com o integrando de forma a transformá-lo até se obter uma integral imediata. Essa
técnica é conhecida como método de primitivação ou técnica de integração e será estudada nos próximos módulos.
Propriedades das integrais inde�nidas
g(x) = senx + 1
∫ pdx = px + k,  com p,  k real ∫ xβdx = x
β+1
β + 1
+ k,  k real e β ≠ 1
∫ exdx = ex + k,  k real ∫ 1
x + a
dx = ln |x + a| + k,  k real
∫ senxdx = − cosx + k,  k real ∫ cosxdx = senx + k,  k real
∫ sec2 xdx = tgx + k,  k real ∫ cossec2 xdx = − ctgx + k,  k real
∫ secx tgxdx = secx + k,  k real ∫ cossecx ctgxdx = − cossecx + k,  k real
∫ 1
1 + x2
dx = arctgx + k,  k real ∫
1
√1 − x2
dx = arcsenx + k,  k real
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Outro ponto importante é que as integrais indefinidas apresentam duas propriedades que são oriundas da antiderivação:
a)
Rotacione a tela. 
b)
Rotacione a tela. 
Exemplo 3
Determine 
Solução
Usando as propriedades:
Rotacione a tela. 
Analisando as integrais, verifica-se que são integrais imediatas e conhecemos o resultado.
Rotacione a tela. 
Repare que a derivada de é igual ao integrando
Rotacione a tela. 
Repare que a derivada de é igual ao integrando
∫ pf(x)dx = p∫ f(x)dx, (p real )
∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx
∫ (3x − 2 cosx)dx :
∫ (3x − 2 cosx)dx = 3∫ xdx − 2∫ cosxdx
∫ xdx = x
2
2
+ k, k real 
x2
2
∫ cosxdx = senx + k, k real 
senx
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Assim:
Rotacione a tela. 
Uma forma de se verificar se a resposta está correta é derivar a resposta e comparar com o integrando, que deve ser igual. Observe que a derivada
de em função de vale 
Integração de�nida
Diferentemente do caso da integração indefinida, que tem como resultado uma família de funções, a integral definida tem como resultado um
número real. A integração definida foi criada inicialmente na busca do cálculo de áreas.
Um método adotado desde a Grécia antigase baseava na substituição da região analisada por retângulos, de forma
que esse conjunto de retângulos cobrisse a região e, assim, pela soma das áreas dos retângulos, obtinha-se a área
da região.
Veja as figuras a seguir.
Observe que a área entre a função e o eixo x está sendo coberta por um conjunto de retângulos. Conforme se diminui a largura dos retângulos,
o casamento da área e dos retângulos é melhor, e, dessa forma, graças a essa metodologia, o cálculo da área fica mais preciso.
∫ (3x − 2 cosx)dx = 3∫ xdx − 2∫ cosxdx = 3
2
x2 − 2 senx + k, k real 
3
2 x
2 − 2 senx + k x, 3x − 2 cosx.
f(x)
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Vamos agora trabalhar este conceito por um somatório que será denominado Soma de Riemann.
Soma de Riemann
Tomemos um intervalo 
Definimos a partição de um intervalo a um conjunto finito que divide em subintervalos tal que
A amplitude de cada subintervalo é dada por 
Atenção!
Se trabalhássemos com retângulos com larguras tendendo a zero, otimizaríamos o casamento e o cálculo da área ficaria preciso.

[a, b].
P [a, b] P = u0,u1, . . . ,un [a, b] n [ui−1,ui],
a = u0 < u1 <. . . < un−1 < un = b.
[ui−1,ui] Δui = u1 − ui−1.
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Sejam uma função uma partição do intervalo e um ponto pertencente ao subintervalo escolhido arbitrariamente,
denomina-se Soma de Riemann de em relação à partição e ao conjunto de pontos a expressão:
Rotacione a tela. 
Repare na parcela Ela pode ser analisada com a área de um retângulo de base e altura 
Se você retornar às figuras anteriores, poderá observar que a Soma de Riemann pode ser analisada como a soma das áreas dos retângulos
apresentados.
Cada retângulo tem sua base e altura dadas pelo valor da função no ponto dentro do seu subintervalo.
Assim, a parcela fica negativa, não podendo corresponder a uma área que é sempre positiva. Nesse caso, ela corresponde a menor área
do retângulo.
As figuras a seguir apresentam este conceito desenhando apenas um retângulo.
f(x), P [a, b] pi [ui−1,ui],
f(x) P pi
n
∑
i=1
f (pi)Δui = f (p1)Δu1 + f (p2)Δu2 + … + f (pn)Δun
f (pi)Δui. Δui f (pi).
pi
Atenção!
Se a função estiver abaixo do eixo o valor de será negativo.

x, f(pi)
f (pi)Δui
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Se cobrirmos toda a região com todos os retângulos correspondentes a cada partição, podemos dizer que a Soma de Riemann poderia ser
analisada como a soma das áreas de todos os retângulos acima do eixo menos a soma das áreas de todos os retângulos abaixo do eixo, sendo
uma boa aproximação para o valor da área acima do eixo menos a área abaixo do eixo.
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É óbvio que essa aproximação ficará cada vez melhor conforme diminuirmos a base do retângulo, e isso se faz aumentando a partição do intervalo
que faz com que os subintervalos fiquem com largura menor. Se a maior amplitude do subintervalo tender para zero, todos os subintervalos terão
suas amplitudes tendendo para zero, assim teremos a melhor aproximação.
Chegamos ao momento de determinar a integração definida.
Definição: Seja uma função contínua definida no intervalo seja a partição deste intervalo, que divide em 
subintervalos tal que sejam a amplitude de cada subintervalo e
 pontos arbitrariamente escolhidos, tais que cada pertencente ao subintervalo a integral definida de de para 
será dada por:
Rotacione a tela. 
Repare, portanto, que a integral definida é na verdade o limite da Soma de Riemann para quando as larguras dos subintervalos tendem a zero. Se o
limite existir e der um número real, a integral existe e tem o valor deste limite.
Ao invés de fazermos no limite que corresponde a ter todas as amplitudes tendendo para zero, poderia ter sido usado que
corresponderia a ter um número infinito de subintervalos, que na prática significa a mesma coisa.
O teorema determina a integração definida para uma função contínua em Não iremos trabalhar com a condição que leva uma função a ser
integrável. O que precisamos saber é que, se uma função for contínua em ou até mesmo tiver algumas descontinuidades pontuais, a integral
definida pode ser obtida da forma apresentada.
A obtenção da integral definida pelo limite da Soma de Riemann não é simples. Vamos ver um exemplo de como se faz. De qualquer maneira, vale
lembrar que existe um teorema no cálculo – analisado no próximo item – que permitirá calcular a integral definida de forma mais direta.
Exemplo 4
Atenção!
No caso de termos apenas área acima dos eixos, a Soma de Riemann seria uma boa aproximação para área entre a função e o eixo
 no intervalo do domínio de até 

f(x)
x, a b.
f(x) (a, b); P = u0,u1, . . . ,un, [a, b] n
[ui−1,ui], a = u0 < u1 <. . . < un−1 < un = b; Δui = u1 − ui−1 [ui−1,ui]
p1, p2, . . . , pn, pi [ui−1,ui], f(x) a b
∫
b
a
f(x)dx = lim
Δumax→0
n
∑
i=1
f (pi)Δui
Δumax → 0, n → ∞,
(a, b).
(a, b)
Atenção!
A notação da integral definida para o intervalo e é bem similar à notação da integral indefinida, apenas se colocando a mais os limites
de integração e Por isso ressaltamos que são operações matemáticas bem diferentes.

a b
a b.
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Determine o valor de 
Solução
Necessitamos inicialmente montar uma Soma de Riemann para esta função e este intervalo Depois, precisamos obter o limite
desta soma para quando o número de subintervalos tender ao infinito.
Rotacione a tela. 
Repare que o resultado deve ser o mesmo, não importando a partição nem a escolha arbitrária dos pontos Assim, dividiremos os subintervalos
de forma igual:
Rotacione a tela. 
Com isso, os extremos dos subintervalos seriam:
Rotacione a tela. 
E escolheremos o ponto como o ponto médio de cada subintervalo, de forma que:
Rotacione a tela. 
Substituindo:
∫ 10 xdx :
f(x) = x [0, 1].
∫
1
0
xdx = lim
n→∞
n
∑
i=1
f (pi)Δui,  onde f(x) = x
pi.
Δui =
b − a
n
=
1 − 0
n
=
1
n
{ 1
n
,
2
n
, … ,
i
n
, … ,
n
n
}
pi
pi =
( i
n
+ (i−1)
n
)
2
=
i
n
−
1
2n
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Rotacione a tela. 
Portanto:
Rotacione a tela. 
Substituindo no limite:
Rotacione a tela. 
Propriedades
Assim como as integrais indefinidas, a integral definida tem um conjunto de propriedades que podem ser usadas para ajudar no seu cálculo. Todas
elas são demonstradas pela definição por meio do limite da Soma de Riemann:
Rotacione a tela. 
∫
1
0
xdx = lim
n→∞
n
∑
i=1
f ( i
n
−
1
2n
) 1
n
= lim
n→∞
n
∑
i=1
( i
n
−
1
2n
) 1
n
n
∑
i=1
( i
n
−
1
2n
) 1
n
=
n
∑
i=1
( i
n2
−
1
2n2
) =
n
∑
i=1
( i
n2
) −
n
∑
i=1
( 1
2n2
) = 1
n2
n
∑
i=1
(i) −
1
2n2
n
∑
i=1
(1)
n
∑
i=1
(i) = 1 + 2 + … + n =
n + 1
2
n  e 
n
∑
i=1
(1) = 1 + 1 + … + 1 = n
n
∑
i=1
( i
n
−
1
2n
) 1
n
=
1
n2
n + 1
2
n −
1
2n2
⋅ n =
n + 1
2n
−
1
2n
=
n
2n
=
1
2
∫
1
0
xdx = lim
n→∞
n
∑
i=1
( i
n
−
1
2n
) 1
n
= lim
n→∞
1
2
=
1
2
∫
a
a
f(x)dx = 0
∫
b
a
k[f(x) ± g(x)]dx = k∫
b
a
f(x)dx ± k∫
b
a
g(x)dx, k real 
∫
b
a
f(x)dx = −∫
a
b
f(x)dx
∫
b
a
f(x)dx = ∫
c
a
f(x)dx + ∫
b
c
f(x)dx
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onde é um ponto do intervaloEssas propriedades serão usadas em alguns exemplos nos próximos itens.
Teorema fundamental do cálculo
Até este ponto, tem-se uma integração indefinida – relacionada à derivação, isto é, ao cálculo diferencial – e uma integração definida – associada ao
cálculo integral.
O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) tem sua importância, pois permitiu a conexão entre o cálculo diferencial e o integral.
TFC – parte 1
Seja a função integrável em com a real, e seja sua primitiva neste intervalo, então:
Rotacione a tela. 
Repare que:
c (a, b).

f(x) [a,x], F(x)
g(x) = ∫
x
a
f(x)dx = F(x) − F(a)
g′(x) = F ′(x) − F ′(a)
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Rotacione a tela. 
Mas é um número, então Assim:
Rotacione a tela. 
Note que a primeira parte do TFC nos mostra que, ao derivarmos a integral definida com um dos limites variáveis, o resultado é o próprio integrando.
Exemplo 5
Determine a derivada de sabendo que:
Rotacione a tela. 
Solução
Não será necessário resolver a integral para depois executar a derivada.
O TFC nos mostra que é o próprio integrando, assim:
Rotacione a tela. 
Usando a regra da cadeia e as propriedades das integrais, podemos achar variações para este TFC:
Rotacione a tela. 
F(a) F ′(a) = 0.
g′(x) = F ′(x) = f(x)
g(x)
g(x) = ∫
x
1
sen (t2)
√1 + t2
dt
g′(x)
g′(x) =
sen (x2)
√1 + x2
g(x) = ∫
x
a
f(x)dx → g′(x) = f(x),  a real
g(x) = ∫
u(x)
a
f(x)dx → g′(x) = f(u(x))u′(x),  a real
g(x) = ∫
u(x)
v(x)
f(x)dx → g′(x) = f(u(x))u′(x) − f(v(x))v′(x)
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Exemplo 6
Determine a derivada de sabendo que:
Rotacione a tela. 
Solução
Não será necessário resolver a integral para depois executar a derivada.
Ainda assim, devemos tomar cuidado, pois o limite de integração não é mais a variável e sim uma função de isto é, 
Dessa forma, o TFC e a regra da cadeia nos mostram que 
Rotacione a tela. 
A segunda parte é a mais importante para as nossas aplicações, pois nos ajudará a calcular a integral definida por meio das integrais indefinidas. O
TFC - parte 2 é obtido substituindo um número real b no lugar do limite 
TFC – parte 2
Seja a função integrável em com a e reais, e seja sua primitiva neste intervalo, então:
Rotacione a tela. 
Existem diversas notações para:
Rotacione a tela. 
g(x)
g(x) = ∫
x2
1
sen(√t)
√1 + t2
dt
x, x, u(x) = x2.
g′(x) :
g′(x) = f(u(x))u′(x) =
sen(√u(x))
√1 + (u(x))2
u′(x) =
sen(√x2)
√1 + (x2)2
(x2)′ =
sen(|x|)
√1 + x4
⋅ 2x
x.
f(x) [a, b], b F(x)
∫
b
a
f(x)dx = F(b) − F(a)
F(b) − F(a) = [F(x)]ba = F(x)|
b
a
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Exemplo 7
Determine o valor de 
Solução
O integrando é a função sua primitiva será 
Essa primitiva foi obtida pela integral indefinida, vista no primeiro item deste módulo. Pelo TFC:
Rotacione a tela. 
Compare esta solução com a feita anteriormente e com a determinação da integral definida. Assim, você terá a medida da importância do TFC no
cálculo integral.
Exemplo 8
Determine o valor de:
Rotacione a tela. 
Inicialmente vamos usar as propriedades da integral:
Rotacione a tela. 
Rotacione a tela. 
Para esta:
∫ 10 xdx :
f(x) = x, F(x) = x
2
2
∫
1
0
xdx = [ x
2
2
]
1
0
=
12
2
−
02
2
=
1
2
∫
π/2
0
(3 x − π
4
− cosx)dx∣ ∣∫ π/20 3 x − π4 dx − ∫ π/20 cosxdx∣ ∣∫ π/20 cosxdx = [senx]π/20 = sen( π2 )− sen(0) = 1 − 0 = 1
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Rotacione a tela. 
Repare que:
Rotacione a tela. 
Portanto são funções diferentes para cada intervalo. Logo, não podemos integrar diretamente entre 0 e e devemos usar as propriedades da
integral definida para determinar os intervalos em que a função tem a mesma equação em todos os pontos.
Rotacione a tela. 
Portanto, integral:
Rotacione a tela. 
Mão na massa
Questão 1
∫
π/2
0
3 x −
π
4
dx = 3∫
π/2
0
x −
π
4
dx∣ ∣ ∣ ∣x − π4 =∣ ∣ ⎧⎪⎨⎪⎩ π4 − x,x ≤ π4x − π4 ,x ≥ π4 π2∫ π/20 x − π4 dx = ∫ π/40 x − π4 dx + ∫ π/2π/4 x − π4 dx∫ π/20 x − π4 dx = ∫ π/40 π4 − xdx + ∫ π/2π/4 x − π4 dx = [ π4 x − x22 ] π40 + [ x22 − π4 x] π2π4= [( π4 π4 − 12 ( π4 )2) − 0] + [( 12 ( π2 )2 − π4 π2 ) − ( 12 ( π4 )2 − π4 π4 )]= 12 ( π4 )2 + 12 ( π2 )2 − 12 ( π4 )2 − π28 + π216 = π2 ( 14 − 18 + 116 ) = 3π216∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣∣ ∣∫ π/20 3 x − π4 dx − ∫ π20 cosxdx = 3 ⋅ 3π216 − 1 = 9π216 − 1∣ ∣
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Determine a integral
Questão 2
Determine a função sabendo que faz parte da família de funções definidas por: e 
∫ (3 secx tgx − 2 cosx)dx.
A 2cossecx + 3cosx + k, kreal
B 3secx − 2senx + k, kreal
C 3sec2x + 2cosx + k, kreal
D 3tgx + 2senx + k, kreal
E 3cosecx − 2senx + k, kreal
Responder
g(√3), g(x) ∫ ( 1
u
+ 21+u2 )du g(1) = π.
A 12 ln 6 +
7π
3
B ln 3 + π6
C ln 3 − π6
D 12 ln 3 +
7π
6
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Questão 3
Seja . Determine o valor de 
Questão 4
Determine o valor de 
E 14 ln 3 +
π
6∣ ∣ Responderh(x) = ∫ x3 3 lnx√2+2x2 dx h′(2).A 3√1010 ln 2B √1010 ln 2 − 3C 3 + √1010 ln 2
D √10
10 ln 3
E 3 − 3√1010 ln 2
Responder
∫ 21 (3x
2 − 4x−1 + √x)dx.
A 9 + ln 2 + 13 (2√2 + 1)
B 7 − 3 ln 2 + 23 (√2 + 1)
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Questão 5
Determine o valor de 
Questão 6
Determine o intervalo em que a função é estritamente crescente.
C 7 − 4 ln 2 + 23 (2√2 − 1)
D 9 + 4 ln 2 + 23 (1 − 2√2)
E 7 + 4 ln 2 + 23 (1 + 2√2)∣ ∣ Responder∫ 20 x2 + x − 2 dx.∣ ∣A 4B 3C 2D 1E 0 Responder
h(x) = ∫ x
2
0
2x+4
(1+x) dx.
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Teoria na prática
A área entre a função o eixo para pode ser obtida pela integral definida de entre e Obtenha essa área.
A x < 0
B x > 0
C –1 < x < 1
D x < –3
E x > +3
Responder
_black
f(x) = 2ex + 3x2, x, 0 ≤ x ≤ 2 f(x) 0 2.
Mostrar solução

Falta pouco para atingir seus objetivos.
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Vamos praticar alguns conceitos?
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Questão 1
Determine a expressão de sabendo que e é da família da integral .
Questão 2
Determine o valor de:
g(x), g(0) = (0) g(x) ∫ (2ex + 5 senx − 4x+1 )dx
A 2ex − 5 cosx − 4 ln |x + 1|
B ex + 5 senx − ln |x − 1| + 2
C 2ex − 5 cosx − 4 ln |x + 1| + 3
D 2ex + 5 cosx − 4 ln |x + 1| + 4
E ex − 5 cosx − 5 ln |x + 1| + 1
Responder
∫ 41 (
32
x3
+ 35 x
2 − 1
x+4 )dx.
A 78 − ln ( 85 )
B 86 + ln ( 15 )
C 36 + ln ( 38 )
D 66 − ln ( 35 )
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2
Técnica de integração por substituição de variável
Ao final deste módulo, você será capaz de empregar a técnica de integração por substituição de variável na resolução de problemas envolvendo
integrais.
Técnicas de integração
Compreendendo a técnica de integração por substituição de variável
Veja a técnica de integração por substituição de variável naresolução de problemas com integrais.
E 56 − ln ( 25 )
Responder


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A resolução de integrais definidas ou indefinidas que não são integrais imediatas requer uma transformação de seu integrando de forma a convertê-
lo em uma função cuja função primitiva seja conhecida, o que possibilita solucionar a integral.
Essas técnicas são conhecidas como técnicas de integração ou de primitivação. Aqui analisaremos as três de maior abrangência, entre elas a
técnica de integração por substituição de variável, que usa uma filosofia de alterar a variável do integrando de forma a transformá-la em uma função
de integral conhecida.
A técnica de integração é um conjunto de ferramentas que permite solucionar integrais cujo integrando não são funções com primitivas conhecidas.
Em outras palavras, são técnicas que permitem transformar a integral em uma integral imediata, de solução conhecida.
Imagine a técnica de integração como uma ferramenta, assim cada uma se aplica melhor a determinada situação. O conhecimento de que técnica
deve ser utilizada se adquire com a experiência obtida na resolução de grande número de integrais.
Na literatura que consta em nossas referências, existe uma gama de técnicas disponíveis. Neste conteúdo veremos as três de maior importância:
Substituição de variável
Integração por partes
Atenção!
A mesma integral pode ser solucionada por várias técnicas diferentes, bem como, em certas oportunidades, existe a necessidade de se
usar mais de uma técnica, uma após a outra, para solucionar a integral.

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Integração por frações parciais
Na técnica de substituição de variável, busca-se alterar a variável utilizada na integral, de forma a transformar o integrando em uma função cuja
primitiva é conhecida.
Esta técnica de alterar a variável é bastante ampla, podendo apresentar várias versões, cada uma com um conjunto de integrais que podem ser
aplicadas. Existem métodos que envolvem produtos de seno e cosseno, produtos de secante e tangente, supressão de raízes quadradas etc.
Integração por substituição de variável
Seja uma integral cuja variável de integração é a variável mas que não se conheça a primitiva de f(x), devendo, portanto, empregar-se
um método para o cálculo da integral.
A metodologia buscada por este método visa encontrar uma função ou uma variável de forma a transformar a integral em uma
nova integral na variável u que seja imediata.
Ao realizarmos uma substituição de variável na integral, devemos usar a regra da cadeia para a substituição do
diferencial.
Seja a função contínua, portanto, integrável, no intervalo seja a função com imagem no conjunto se utilizarmos a mudança de
variável pela função logo teremos:
Rotacione a tela. 
Assim a integral indefinida em foi transformada em uma integral na variável Para o caso da integral definida deve-se lembrar de alterar também
os limites de integração.
Assim:
Rotacione a tela. 
Em que e 
Exemplo 1
Determine 
Solução
Observe que não se conhece a integral imediata para este integrando. Mas, aplicando:
∫ f(x)dx, x,
g(u) = x u = g(x)
f(x) I; g(u) I,
x = g(u), dx = g′(u)du,
∫ f(x)dx = ∫ f(g(u))g′(u)du = ∫ h(u)du
x u.
∫
b
a
f(x)dx = ∫
d
c
f(g(u))g′(u)du = ∫
d
c
h(u)du
g(c) = a g(d) = b.
∫ √4x + 7dx :
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Rotacione a tela. 
Temos:
Rotacione a tela. 
Assim:
Rotacione a tela. 
Portanto:
Rotacione a tela. 
Esta agora é uma integral imediata, logo:
Rotacione a tela. 
Retornando para a variável inicial:
Rotacione a tela. 
u = 4x + 7 → x =
1
4
u −
7
4
= g(u)
dx = g′(u)du =
1
4
du
√4x + 7dx = √u
1
4
du
∫ √4x + 7dx = ∫ 1
4
√udu =
1
4
∫ √udu
∫ √4x + 7dx = 1
4
( u
1
2 +1
1
2 + 1
) = 1
6
u
3
2 + k, k real 
∫ √4x + 7dx = 1
6
√(4x + 7)3 + k, k real 
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Exemplo 2
Determine 
Solução
Os primeiros passos foram realizados no exemplo anterior. Necessitamos apenas obter os novos limites:
Rotacione a tela. 
Assim:
Rotacione a tela. 
Podemos usar também uma substituição do tipo Considere a integral da qual não se conhece a primitiva de 
Se mudarmos a variável de forma que Assim, deve-se tentar obter a função de tal forma a se transformar a integral anterior:
Rotacione a tela. 
Para o caso da integral definida, usa-se o mesmo raciocínio, apenas com o passo intermediário da transformação dos limites de integração.
Exemplo 3
Determine o valor da integral 
Solução
Observe que não se conhece a primitiva do integrando, mas fazendo:
Rotacione a tela. 
∫ 31 √4x + 7dx :
x =
1
4
u −
7
4
= g(u) → {x = 1 → u = 4x + 7 = 11
x = 3 → u = 4x + 7 = 19
∫
3
1
√4x + 7dx =
1
4
∫
19
11
√udu =
1
4
[ 2
3
u
3
2 ]
19
11
=
1
6
(19√19 − 11√11)
u = g(x). ∫ f(x)dx f(x).
u = g(x). g(x) = u
∫ f(x)dx = ∫ f(g(x))g′(x)dx = ∫ f(u)du = F(u) + k = F(g(x)) + k, k real 
∫ 3x2 cos (x3)dx :
u = x3 → du = 3x2dx
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Portanto:
Rotacione a tela. 
Retornando à variável inicial:
Rotacione a tela. 
Observe que, para verificar se está correta a resposta, pode-se derivar a resposta e comparar com o integrando analisado.
Exemplo 4
Determine o valor da integral:
Rotacione a tela. 
Solução
Os passos iniciais já foram dados, transformando os limites de integração:
Rotacione a tela. 
Como já comentado, existem métodos específicos para integrandos particulares que podem ser encontrados nas referências deste conteúdo. Para
exemplificar, vamos apenas mencionar um caso.
Seja com real e e inteiros positivos. Repare que é um produto de senos e cossenos do mesmo arco. Para
o caso que se tenha pelo ou ímpares, podemos usar o seguinte método:
∫ 3x2 cos (x3)dx = ∫ cos(u)du = senu + k, k real 
∫ 3x2 cos (x3)dx = sen (x3) + k, k real 
∫
3√ π2
0
3x2 cos (x3)dx
u = x3 → → ∫
3√ π2
0
3x2 cos (x3)dx = ∫
π
2
0
cos(u)du = [senu]
π
2
0 = sen
π
2
− sen 0 = 1
⎧⎪⎨⎪⎩ x = 0 → u = 0x = 3√ π2 → u = π2f(x) = Csenm(x) cosn(x) C m n f(x)m n
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Se for ímpar
Fazer:
Usar a relação fundamental e substituir:
Assim, transformaremos o integrando em uma função polinomial cujas primitivas conhecemos.
 1 de 3 
Este método só não pode ser usado quando se tem e pares.
Exemplo 5
Determine a integral:
Rotacione a tela. 
Verifique que é um produto de senos e cossenos do mesmo arco. Como tanto o número que eleva o seno quanto o número que eleva o cosseno são
ímpares, temos liberdade de escolher ou Se apenas um dos expoentes fosse ímpar, a variável deveria ser,
obrigatoriamente, igual à função trigonométrica elevada ao expoente par.
Pelo método de substituição de variável para:
Rotacione a tela. 
Vamos lembrar também que:
m
u = cos(x) → du = − senxdx
sen2 x = 1 − cos2 x = 1 − u2
m n
∫ sen3(2x) cos3(2x)dx
u = cos 2x u = sen 2x. u
u = sen 2x → du = 2 cos 2xdx
sen2(2x) + cos2(2x) = 1 → cos2 2x = 1 − sen2 2x
 
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Rotacione a tela. 
Então:
Rotacione a tela. 
Repare que agora se tem uma função polinomial cuja primitiva conhecemos:
Rotacione a tela. 
Retornando à variável inicial:
Rotacionea tela. 
Mão na massa
Questão 1
Determine a integral 
sen3(2x) cos3(2x)dx = sen3(2x) cos2(2x) cos(2x)dx = sen3(2x)(1 − sen2(2x))
2
cos(2x)dx
= u3(1 − u2)2
1
2
du
∫ sen3(2x) cos3(2x)dx = 1
2
∫ u3(1 − u2)2du
1
2
∫ u3(1 − u2)2du = 1
2
∫ (u3 − 2u5 + u7)du = u
4
8
−
u6
6
+
u8
16
+ k, k real 
∫ sen3(2x) cos3(2x)dx = sen
4(2x)
8
−
sen6(2x)
6
+
sen8(2x)
16
+ k, k real 

∫ 33√4x−5 dx.
A 98
3√(4x − 5)2 + k,  k real 
B
9
8
1
3√(4x−5)2
+ k, k real 
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Questão 2
Determine a integral 
Questão 3
Determine a integral 
C 98 √4x − 5 + k, k real 
D 94
1
√4x−5
+ k,  k real 
E 38
1
√4x−5
+ k,  k real 
Responder
∫ 10 x
2e−x
3
dx.
A 13 +
1
3e
B 13 −
1
e
C 13 +
1
e
D 13 −
1
3e
E − 13 +
1
3e∣ ∣ Responder∫ sen2 x cos3 xdx.
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A sen
3 x
3 −
sen5 x
5 + k,  k real 
B cos
3 x
5 −
cos5 x
3 + k,  k real 
C sen
3 x
5 +
sen5 x
3 + k,  k real 
D cos
3 x
3 −
cos5 x
5 + k, k real 
E ∣ cos
3 x
3 +
cos5 x
5 + k,  k real 
Responder
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Questão 4
Determine o valor de 
Questão 5
Determine o valor da integral 
∫ (x3 + 1) cos (x4 + 4x)dx.
A 14 cos (x
4 + 4x) + k,  k real 
B sen (x4 + 4x) + k, k real 
C 14 sen (x
4 + 4x) + k, k real 
D cos (x4 + 4x) + k,  k real 
E − 14 cos (x
4 + 4x) + k, k real 
Responder
∫ 10
3u
1+u4 du.
A 3π5
B 3π8
C 5π8
D π8
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Questão 6
Determine a integral 
Teoria na prática
Um arquiteto precisava estimar a área entre uma linha de uma construção e o chão. Para isso, modelou a linha desejada aplicando a função:
Para com e medidos em metros. Sabendo que essa área pode ser obtida pela integral definida de entre os valores de 
dados, obtenha o valor.
E π5
Responder
∫ 6x−18
x2−6x+7 dx.
A 3 ln |x| + k,  k real 
B ln x2 − 6x + 7 + k, k real ∣ ∣C 3 ln x2 − 6x + 7 + k,  k real ∣ ∣D ln |x + 7| + k, k real E ln x2 − 3x + 7 + k, k real ∣ ∣ Responder_black h(x) = 2x√4 + 3x20 ≤ x ≤ 1, h(x) x h(x) x
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Mostrar solução

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
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Questão 1
Determine 
Questão 2
Determine 
∫ 3√3x − 5dx.
A (x − 5)
4
3 + k, k real 
B (3x − 5)
1
3 + k, k real 
C 14 (3x − 5)
4
3 + k,  k real 
D 14 (x + 5)
4
3 + k, k real 
E 14 (x − 4)
4
3 + k,  k real 
Responder
∫ 10 2u
3√1 + u2du.
A (√2+1)
15
B 4(√2+1)
15
C 4(√2−1)
15
D (√2−1)
15
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3
Técnica de integração por partes
Ao final deste módulo, você será capaz de aplicar a técnica de integração por partes na resolução de problemas envolvendo integrais.
Integração por partes
Compreendendo a técnica de integração por partes
Veja a técnica de integração por partes na resolução de problemas com integrais.
E 3(√2−1)
15
Responder


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A integração por partes é uma técnica com bastante aplicação. Este método de primitivação tem uma correspondência com a regra do produto na
diferenciação, o que por ela é definido.
Vamos, portanto, definir a regra que pode ser aplicada na resolução de diversas integrais que não são imediatas. Suponha as funções e 
deriváveis em um intervalo então:
Rotacione a tela. 
Integrando os dois lados da equação:
Rotacione a tela. 
Como:
Rotacione a tela. 
Tem-se a regra de integração por partes:
f(x) g(x)
I,
(f(x) ⋅ g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)
f(x)g′(x) = (f(x) ⋅ g(x))′ − f ′(x)g(x)
∫ f(x)g′(x)dx = ∫ (f(x) ⋅ g(x))′dx − ∫ f ′(x)g(x)dx
∫ (f(x) ⋅ g(x))′dx = f(x)g(x)
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Rotacione a tela. 
Usando uma nova simbologia de e consequentemente:
Rotacione a tela. 
Obtém-se uma forma mais usual da regra de integração por partes:
Rotacione a tela. 
Foque na regra de integração por partes! Ela mostra que podemos calcular a integral mais complexa, pelo cálculo de outra integral, 
teoricamente mais simples. A constante de integração real da integral indefinida pode ser colocada no fim do processo.
Exemplo 1
Determine a integral:
Rotacione a tela. 
A integral não é uma integral imediata. Assim, ela necessita de uma técnica de integração para transformar o integrando:
O integrando deve ser transformado totalmente no produto Todos os termos do integrando devem fazer parte da função ou da
função Esses termos só podem aparecer uma vez. Neste exemplo, os termos são: e 
Escolhe-se como assim O que resta do integrando deve fazer parte do Dessa forma, então:
Rotacione a tela. 
Veja que é a função cuja diferencial vale 
∫ f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) − ∫ f ′(x)g(x)dx
u = f(x) v = g(x),
du = f ′(x)dx  e  dv = g′(x)dx
∫ udv = uv − ∫ vdu
∫ udv$$, ∫ vdu,
∫ x senxdx
∫ x senxdx
x senxdx udv. u
dv. x, senx, dx.
u = x, du = dx. dv. dv = senxdx,
v = (−1) cosx = (− cosx)
V senxdx.
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Usando a integração por partes:
Rotacione a tela. 
A integral é imediata e se sabe a solução:
Rotacione a tela. 
Portanto:
Rotacione a tela. 
No caso da integral definida, a regra é semelhante. Aplicando o cálculo da integral definida estudada anteriormente:
Rotacione a tela. 
Exemplo 2
Determine a integral:
Rotacione a tela. 
Solução
Usando o mesmo raciocínio do exemplo anterior, será escolhido:
∫ x senxdx = x ⋅ (− cosx) − ∫ (− cosx)dx
∫ x senxdx = −x cosx + ∫ cosxdx
∫ cosxdx
∫ cosxdx = senx + k, k real 
∫ x senxdx = −x cosx + senx + k, k real 
∫
b
a
udv = [uv]ba − ∫
b
a
vdu
∫
π
0
x senxdx
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Rotacione a tela. 
Portanto:
Rotacione a tela. 
Assim:
Rotacione a tela. 
Repare que os limites de integração já poderiam ter sido aplicados diretamente na solução da integral indefinida:
Rotacione a tela. 
Volte no Exemplo 1. Se ao invés de ter escolhido e fossem escolhidos 
Rotacione a tela. 
u = x → du = dx  e  dv = senxdx → v = − cosx
∫
π
0
x senxdx = [−x cosx]π0 − ∫
π
0
(− cosx)dx = [−x cosx]π0 + ∫
π
0
cosxdx
∫
π
0
x senxdx = [−x cosx]π0 + [senx]
π
0
∫
π
0
x senxdx = [−π cos(π) − 0 ⋅ cos(0)] + [sen(π) − sen(0)] = −π(−1) − 0 + 0 − 0 = π
∫
π
0
x senxdx = [−x cosx + senx]π0 = π
Atenção!
Deve ser feita a escolha correta das funções e A escolha errada, ao invés de simplificar o problema, irá complicá-lo.

u dv.
u = x dv = senxdx, u = senx ∈ dv = xdx.
u = senx → du = cosxdx  e  dv = xdx → v =
1
2
x2
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Assim:
Rotacione a tela. 
Veja como a escolha errada tornou o método sem efetividade, transformando a integral em uma integralmais complicada.
A escolha de termos é aprendida com a prática dos exercícios. Mas, existe uma regra prática que é guardada pela palavra LIATE, que mostra a
prioridade do segmento do integrando que deve fazer parte do A seta aponta da maior para a menor prioridade de escolha para parte do 
Observe:
Assim, no Exemplo 1, havia no integrando uma parte algébrica e uma parte trigonométrica portanto, pela regra prática, a algébrica tem
prioridade sobre a trigonométrica, por isso foi escolhido e não 
Às vezes, para resolução da integral, é necessária a aplicação da integração por partes mais de uma vez ou até mesmo a integração por partes
combinada com outro método de integração, como a substituição de variável.
Exemplo 3
Determine a integral:
Rotacione a tela. 
Solução
Usando a regra do LIATE para separar os termos do integrando, a função trigonométrica é prioridade em relação à função exponencial, assim:
∫ x senxdx = 1
2
x2 senx −
1
2
∫ x2 cosxdx
u. u.
(x) (senx),
u = x, u = senx.
∫ 2 cosxexdx
u = cosx → du = − senxdx e dv = 2exdx → v = 2ex
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Rotacione a tela. 
Usando a integração por partes:
Rotacione a tela. 
Aparentemente, fez-se a escolha errada, mas não. Precisamos aplicar novamente a integração por partes, mas agora no termo:
Rotacione a tela. 
Usando a regra LIATE na nova integral:
Rotacione a tela. 
Portanto:
Rotacione a tela. 
Substituindo na equação inicial:
Rotacione a tela. 
Repare que a integral desejada aparece novamente no lado direito com sinal negativo, podendo ser jogada para o lado esquerdo. Façamos:
Rotacione a tela. 
∫ 2 cosxexdx = 2ex cosx − ∫ 2ex(− senx)dx = 2ex cosx + ∫ 2ex senxdx
∫ 2ex senxdx
u = senx → du = cos dx  e  dv = 2exdx → v = 2ex
∫ 2ex senxdx = 2ex senx − ∫ 2ex cosxdx
∫ 2ex cosxdx = 2ex cosx + ∫ 2ex senxdx = 2ex cosx + 2ex senx − ∫ 2ex cosxdx
I = ∫ 2ex cosxdx
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Rotacione a tela. 
Mão na massa
Questão 1
Determine a integral 
Questão 2
Determine a integral 
I = 2ex(cosx + senx) − I → 2 = 2ex(cosx + senx) → I = ex(cosx + senx) + k, kr real 

∫ 20 xe
xdx.
A e2 + 1
B e2 − 1
C e2
D 1
E 0
Responder
∫ 4x cos(2x)dx.
A 2x cos(2x) − sen(2x) + k, k real 
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Questão 3
Determine o valor de sabendo que e que 
Questão 4
Determine o valor sabendo que 
B 2x sen(2x) + cos(2x) + k, k real 
C 2x sen(2x) − cos(2x) + k, k real 
D 2x cos(2x) + sen(2x) + k, k real 
E 2x cos(x) + sen(x) + k,  k real 
Responder
 g(e)  g(x) = ∫ lnxdx g(1) = 0.
A e − 1
B e
C 1
D e + 1
E 2e + 1
Responder
h(π), h(x) = ∫ ex senxdx e h(0) = − 12 .
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A 12 e
π
B 12
C eπ
D 1
E 1 − e
Responder
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Questão 5
Sabe-se que e que é uma das funções obtidas pela integral Determine o valor de 
Questão 6
Determine o valor de 
m(0) = − 14 m(x) ∫
z2
e2z
dz. m ( 12 ).
A 18e
B − 58e
C − 18e
D 58e
E 2e
Responder
∫ 10 2 arctgxdx.
A ln 2
B π2
C π2 + ln 2
D π2 − ln 2
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Teoria na prática
Uma barra de de comprimento tem uma densidade linear de massa dada pela equação: medida em kg/m, em que é a
distância entre o ponto da barra e a extremidade inferior da barra.
Verifica-se, portanto, que a massa da barra não é dividida uniformemente. Determine a massa da barra de lembrando que a massa é obtida
pela integral da densidade de massa.
Questão 1
Determine a integral 
E 2 ln 2
Responder
_black
π
2 m δ(x) = 2x
2 cosx, X
π
2 m,
Mostrar solução

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
∫ 3x cos(3x)dx.
A x cos(3x) − 13 cos(3x) + k, k real 
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Questão 2
Determinada área é calculada pela integral Marque a alternativa que apresenta o valor da área.
B x sen(3x) − 13 cos(3x) + k, k real 
C x sen(3x) + 13 cos(3x) + k, k real 
D x sen(3x) + 13 sen(3x) + k, k real 
E x cos(3x) + 13 cos(3x) − k, k real 
Responder
∫ 0−2(−2) × e
−xdx.
A 2e2 + 2
B 3e2 − 1
C 5 − e2
D 1 + 3e2
E 3e2 − 3
Responder

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4
Técnica de integração por frações parciais
Ao final deste módulo, você será capaz de empregar a técnica de integração por frações parciais na resolução de problemas envolvendo integrais.
Revisão de funções racionais
Compreendendo a técnica de integração por frações parciais
Veja a técnica de integração por frações parciais na resolução de problemas com integrais.

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Outra técnica de integração com aplicação no cálculo de integrais cujo integrando é uma fração racional é a integração por frações parciais. Esse
método de primitivação transforma o integrando em uma soma de frações mais simples, denominadas frações parciais, cuja primitiva conhecemos.
Função racional é uma função que representa o quociente entre dois polinômios, assim onde são polinômios.
Polinômio é uma função do tipo:
Rotacione a tela. 
Com número natural diferente de zero, sendo que denominado coeficientes, são números reais. O número é o grau do polinômio, com
Veja os exemplos abaixo:
f(x) = P(x)
Q(x) , P(x)  Q(x)
anx
n + an−1x
n−1 + … + ajx
j + … a2x
2 + a1x + a0
j aj, n
an ≠ 0.
Atenção!
Se o grau do polinômio  grau do polinômio então a função será imprópria.
Se o grau do polinômio grau do polinômio então a função  será própria.

P(x) > Q(x), f(x)
P(x) ≤ Q(x), f(x)
f(x) = 3x+52x2−4−4
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É uma função racional própria, pois o grau do numerador vale e o grau do denominador vale Assim o grau do numerador é menor do
que o grau do denominador.
É uma função racional própria, pois o grau do numerador vale e o grau do denominador vale Assim o grau do numerador é menor do
que o grau do denominador.
É uma função racional imprópria, pois o grau do numerador vale e o grau do denominador vale. Assim o grau do numerador é maior do
que o grau do denominador.
O método de frações parciais serve para um integrando com uma função racional própria. Se a função for imprópria, passa a ser necessário um
passo intermediário, executando uma divisão entre os polinômios para transformar a função racional própria em um polinômio mais uma função
racional própria.
Assim, seja uma função racional imprópria, com:
Rotacione a tela. 
Dividindo por podemos transformar:
Rotacione a tela. 
Em que é um polinômio de grau  correspondente à parte inteira da divisão, e é uma função racional própria, ou seja, grau 
 O valor de  
Veja um exemplo de passo intermediário.
Exemplo 1
Transforme a integral em um integrando com função racional própria:
1 2.
g(x) = 5
x3+6x+1
0 3.
h(x) = 2x
2+3x−3
x+7
2
T (x)
T (x) =
P(x)
Q(x)
P(x) Q(x),
T (x) =
P(x)
Q(x)
= S(x) +
R(x)
Q(x)S(x) m, R(x)
Q(x)
R(x) <   grau  Q(x). m = grau  P(x)–  grau  Q(x).
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Rotacione a tela. 
Solução
O integrando é uma função racional imprópria com numerador de grau 4 e denominador de grau 2. Assim, deve-se dividir os dois polinômios para se
obter a função racional própria mais o polinômio:
Logo:
Rotacione a tela. 
Portanto:
Rotacione a tela. 
∫ 2x
4 − x2 + 2x − 1
x2 − 1
dx
2x4 − x2 + 2x − 1
x2 − 1
= (2x2 + 1) +
2x
x2 − 1
∫ 2x
4 − x2 + 2x − 1
x2 − 1
dx = ∫ (2x2 + 1)dx + ∫ 2x
x2 − 1
dx
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A primeira integral é de um polinômio, sendo uma integral imediata. Na segunda parcela, o integrando é uma função racional própria, que vai ser
resolvida pelo método do próximo item.
Integração por frações parciais
O método de frações parciais é um método utilizado quando o integrando é uma função racional. Cabe ressaltar, porém, que há casos em que,
embora o integrando não seja uma função racional, após a aplicação de uma substituição de variável, ele se transforma em uma, podendo ser
trabalhado por essa técnica de integração.
O método se inicia fatorando o polinômio do denominador, , em fatores lineares do tipo e fatores quadráticos irredutíveis do
tipo em que e são reais e 
Existe um teorema da álgebra que garante que sempre será possível fazer essa fatoração. Os fatores lineares correspondem às raízes reais do
polinômio e os fatores quadráticos irredutíveis, às raízes complexas conjugadas do polinômio . Este material considerará que você sabe
obter raízes de um polinômio.
Dividiremos o método em quatro casos:
 apenas com raízes reais sem multiplicidade
 com raízes reais com multiplicidade
Atenção!
Lembre-se de que para integrandos polinomiais, usaremos a integral imediata:

∫ xndx = x
n+1
n + 1
+ k,n ≠ −1 e k real 
Atenção!
Essa técnica é utilizada somente quando a função racional for própria, isto é, quando o grau do numerador for menor do que o do
denominador. Para funções racionais impróprias, necessitamos do passo intermediário.

Q(x) (x − p),  p real ,
(ax2 + bx + c), a, b c a2 − 4bc < 0.
Q(x) Q(x)
Q(x)
Q(x)
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 com raízes complexas sem multiplicidade
 com raízes complexas com multiplicidade
 com raízes complexas com multiplicidade
Tomemos o polinômio de grau n que apresenta apenas n raízes reais sem multiplicidade. Para este caso, após a fatoração de ele será
transformado em um produto de fatores lineares diferentes entre si:
Rotacione a tela. 
Com real e raízes reais. Assim, chegamos à função:
Rotacione a tela. 
Com reais.
Cada raiz real corresponderá a uma parcela do tipo 
Dessa forma, a integral será transformada em soma de integrais do tipo:
Rotacione a tela. 
Os valores de serão obtidos colocando o lado direito com o mesmo denominador e igualando ao numerador que se obterá
na direita. Veja o exemplo a seguir.
Exemplo 2
Determine a integral:
Q(x)
Q(x)
Q(x)
Q(x) Q(x),
Q(x) = k (x − α1) (x − α2) … (x − αn)
k α1,α2, … ,αn
f(x) =
P(x)
Q(x)
=
P(x)
k (x − α1) (x − α2) … (x − αn)
=
A1
(x − α1)
+
A2
(x − α2)
+ … +
An
(x − αn)
A1,A2, . . . ,An
αj
Aj
(x−αj)
.
∫
Aj
(x − αj)
dx = Aj ln |x − αi| + k, k real 
A1,A2, . . . ,An P(x)
∫ 2x
4 − x2 + 2x − 1
x2 − 1
dx
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Rotacione a tela. 
Solução
Como o integrando é uma função racional imprópria, o primeiro passo é transformá-la em uma função racional própria. Essa transformação já foi
feita no exemplo anterior. Temos, então:
Rotacione a tela. 
E, portanto:
Rotacione a tela. 
Vamos agora calcular a integral aplicando o método de frações parciais.
Analisando  verifica-se que   e   são as raízes. Dessa forma:
Rotacione a tela. 
Transformando o lado direito no mesmo denominador:
Rotacione a tela. 
Temos:
Rotacione a tela. 
Agora deve-se comparar o numerador da esquerda com o numerador da direita. Para que os dois polinômios sejam iguais, eles devem
ser iguais termo a termo, assim:
2x4 − x2 + 2x − 1
x2 − 1
= (2x2 + 1) +
2x
x2 − 1
∫ 2x
4 − x2 + 2x − 1
x2 − 1
dx = ∫ (2x2 + 1)dx + ∫ 2x
x2 − 1
dx
∫ 2x
x2−1 dx 
Q(x) = x2–1, 1 –1
Q(x) = x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)  e 
2x
x2 − 1
=
A
x − 1
+
B
x + 1
A
x − 1
+
B
x + 1
=
A(x + 1) + B(x − 1)
(x + 1)(x − 1)
=
(A + B)x + (A − B)
x2 − 1
2x
x2 − 1
=
(A + B)x + (A − B)
x2 − 1
P(x) = 2x
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Rotacione a tela. 
Logo:
e
Rotacione a tela. 
As integrais agora são todas imediatas.
Rotacione a tela. 
 apresenta raízes reais com multiplicidade
Neste caso, o polinômio de grau n terá apenas raízes reais, porém algumas sem multiplicidade e outras com multiplicidade.
Após a fatoração de ele será transformado em um produto de fatores lineares elevados à sua multiplicidade.
Rotacione a tela. 
2x = (A + B)x + (A − B) → { → A = B → 2A = 2 → A = B = 1A + B = 2
A − B = 0
∫ 2x
x2 − 1
dx = ∫ 1
x + 1
dx + ∫ 1
x − 1
dx
∫ 2x
4 − x2 + 2x − 1
x2 − 1
dx = ∫ (2x2 + 1)dx + ∫ 1
x + 1
dx + ∫ 1
x − 1
dx
∫ 2x
4 − x2 + 2x − 1
x2 − 1
dx =
2
3
x3 + x + ln |x + 1| + ln |x − 1| + k, k real 
Q(x)
Q(x)
Atenção!
Lembre-se de que multiplicidade é o número de vezes que a mesma raiz aparece no polinômio.

Q(x),
Q(x) = k(x − α1)
r1(x − α2)
r2 ⋯ (x − αn)
rn
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Com real, reais e naturais diferentes de zero. O número corresponde à multiplicidade da raiz 
O raciocínio é análogo ao caso anterior. Toda raiz real sem multiplicidade, ou que seria sinônimo de multiplicidade será transformada
em uma parcela do tipo 
Toda raiz real com multiplicidade será transformada em termos do tipo:
Rotacione a tela. 
Será usada neste caso a seguinte integral imediata:
Rotacione a tela. 
Após a transformação de na soma de parcelas que foram definidas, a solução segue os mesmos passos do primeiro caso.
Exemplo 3
Determine a integral:
Rotacione a tela. 
Solução
O integrando já é uma função racional própria, podendo, portanto, aplicar diretamente o método das frações parciais.
Analisando as raízes de verifica-se que são uma raiz dupla (multiplicidade 2) e é uma raiz sem multiplicidade. Dessa
forma:
Rotacione a tela. 
O termo correspondente à raiz será 
Os termos correspondentes à raiz serão 
k α1,α2, … ,αn r1, r2, … , rn rj αj.
αj 1(r = 1),
Aj
(x−αj)
.
αi (r ≠ 1) r
B1
(x − αj)
+
B2
(x − αj)
2
+ … +
Br
(x − αj)
r , comB1,B2, … ,Br reais 
∫ Br
(x − αj)
r dx, (r ≥ 2) = −
Br
(r − 1)
1
(x − αj)
r−1
+ k, k real 
f(x) = P(x)
Q(x)
∫
5
3
2x + 5
x3 − 3x − 2
dx
Q(x) = x3–3x–2, –1 2
Q(x) = x3 − 3x − 2 = (x − 2)(x + 1)2
2 Ax−2 .
–1 Bx+1 +
C
(x+1)2
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Assim:
Rotacione a tela. 
Com e reais. Transformando o lado direito no mesmo denominador:
Rotacione a tela. 
Temos:
Rotacione a tela. 
Agora, deve-se comparar o numerador da esquerda com o numerador da direita. Para que dois polinômios sejam iguais, eles devem ser
iguais termo a termo, assim:
Rotacione a tela. 
Logo:
Rotacione a tela. 
Resolvendo as integrais imediatas, temos:
2x + 5
x3 − 3x − 2
=
A
x − 2
+
B
x + 1
+
C
(x + 1)2
A,B C
A
x − 2+
B
x + 1
+
C
(x + 1)2
=
A(x + 1)2 + B(x + 1)(x − 2) + C(x − 2)
(x − 2)(x + 1)2
=
Ax2 + 2Ax + A + Bx2 − Bx − 2B + Cx − 2C
x3 − 3x − 2
=
(A + B)x2 + (2A − B + C)x + (A − 2B − 2C)
x3 − 3x − 2
2x + 5
x3 − 3x − 2
=
(A + B)x2 + (2A − B + C)x + (A − 2B − 2C)
x3 − 3x − 2
P(x) = 2x
2x + 5 = (A + B)x2 + (2A − B + C)x + (A − 2B − 2C)
→ A = −B → → 9A = 9rightarrowA = 1,B = −1eC = −1
⎧⎪⎨⎪⎩ A + B = 02A − B + C = 2A − 2B − 2C = 5 ⎧⎪⎨⎪⎩ 3A + C = 23A − 2C = 5∫ 53 2x + 5x3 − 3x − 2 dx = ∫ 53 1(x − 2) dx + ∫ 53 (−1)(x + 1) dx + ∫ 53 (−1)(x + 1)2 dx
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Rotacione a tela. 
 apresenta raízes complexas sem multiplicidade
Neste caso, o polinômio de grau n terá pelo menos um par de raízes complexas sem multiplicidade. Lembre-se da álgebra, em que as raízes
complexas aparecem em pares (complexos conjugados).
Assim, após a fatoração, apresentará, para cada par de raízes complexas sem repetição, um termo do tipo com 
que são fatores quadrados irredutíveis, isto é, não podem ser transformados no produto de dois fatores lineares.
Cada par de raízes complexas terá uma parcela associada do tipo com e reais. Então, este termo levará à integral:
Rotacione a tela. 
Para cálculo dessa integral, dependendo do caso determinado pelos valores das constantes obtidas, utilizaremos as integrais imediatas envolvendo
 ou 
As raízes reais com ou sem multiplicidade que podem aparecer seguem o raciocínio dos itens anteriores. Os demais passos são idênticos aos
casos anteriores.
 apresenta raízes complexas com multiplicidade
Neste caso, o polinômio de grau terá pares de raízes complexas repetidas, isto é, com multiplicidade Assim, após a fatoração,
apresentará, para cada par de raízes complexas com multiplicidade um termo quadrático irredutível elevado à sua multiplicidade. Ou seja,
 com e reais e r natural maior do que 
∫
5
3
2x + 5
x3 − 3x − 2
dx = [ln |x − 2|]53 − [ln |x + 1|]
5
3 + [
1
(x + 1)
]
5
3
= ln 3 − ln 1 − ln 6 + ln 4 +
1
6
−
1
4
∫
5
3
2x + 5
x3 − 3x − 2
dx = ln( 3.4
6
) + 2 − 3
12
= ln 2 −
1
12
Q(x)
Q(x)
Q(x), (ax2 + bx + c), b2–4ac,
Ax+B
(ax2+bxc) A,B, a, b c
∫ Ax + B
(ax2 + bx + c)
dx
ln(u) arctg(u).
Atenção!
Lembre-se de que:

∫ du
u2 + a2
=
1
a
acrtg( x
a
)+ k, k real .
Q(x)
Q(x) n r. Q(x),
r,
(ax2 + bx + c)r, a, b c 1.
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A solução da integral envolvendo esses termos usa integrais imediatas relacionadas a e funções racionais.
As demais raízes reais e complexas sem multiplicidade que aparecerem seguem os termos vistos nos casos anteriores. Os demais passos são
idênticos aos apresentados.
Mão na massa
Questão 1
Determine a integral 
Comentário
Cada par de raízes complexas com multiplicidade r estará associada a uma soma de parcelas do tipo:
Em que é a multiplicidade do par de raízes.

Ax + B
(ax2 + bx + c)
+
Cx + D
(ax2 + bx + c)2
+ … +
Bx + F
(ax2 + bx + c)r
r
ln(u), arctg(u)

∫ 52
x−8
(x−1)(x+6) dx.
A ln ( 121256 )
B 2 ln ( 256121 )
C 2 ln ( 121256 )
D ln ( 256121 )
E 3 ln ( 256121 )
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Questão 2
Determine o valor de sabendo que faz parte da família de funções geradas pela integral e que 
Questão 3
Determine a integral indefinida 
Responder
f(8), f(x) ∫ 2x−1(x+2)(x−3) dx f(4) = ln6.
A ln 20
B ln 30
C ln 40
D ln 50
E ln 60
Responder
∫ x
2+x+25
(x+1)(x−4)2 dx.
A ln |x + 4| − 9(x−4) + k,  k real 
B ln |x + 1| + ln |x − 4| + 1(x−4) + k, k real 
C ln |x + 1| − 9(x−4) + k, k real 
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Questão 4
Determine o valor de 
Questão 5
Determine o valor da integral 
D 2 ln |x + 1| + 1(x−4) + k, k real 
E |2 ln |x + 1 ∣ + 5(x−4) + k, k real 
Responder
∫ 20
x3+4x+3
x2+4 dx.
A π8 −
1
2
B 3π5 +
3
2
C 3π8 +
1
2
D π8 +
3
2
E π5 −
1
2
Responder
∫ 21
10x2+40x+12
x(x+1)2 dx.
A arctg(4) + 2ln3 − 6
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Questão 6
Determine o valor de 
B 2ln3 + 4ln2 − 5
C 14ln2 − 2ln3 + 3
D 10ln2 + ln3 + 6
E 9ln2 + 3ln3 + 6
Responder
∫ 42
5
(x−1)(x2+4) dx.
A ln( 3√10
√30
)+ 12 arctg 4 +
π
8
B ln( 3√8
√20
)− 12 arctg 2 +
π
8
C ln( 3√8√20 )−
1
2 arctg 20 +
π
6
D ln( 3√8
√20
)+ 18 arctg 2 +
π
32
E ln( 3√8
√20
)+ 14 arctg 20 +
π
3
Responder
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Teoria na prática
Sabemos da física que a derivada da posição com o tempo é a velocidade. Dessa forma, a variação de posição pode ser obtida por meio da integral
da função velocidade entre dois intervalos de tempo.
Exemplo: Determine a variação da posição entre os instantes t = 0s e t = 10s, sabendo que a velocidade do objeto é dada pela função
_black
v(t) =
100
t3 + 5t2 + 100t + 500
,  em m/s 
Mostrar solução

Vamos praticar alguns conceitos?
Falta pouco para atingir seus objetivos.
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Questão 1
Determine a integral 
Questão 2
Determine o valor de 
∫ x
x2+x−2 dx.
A 12 ln |x + 1| +
2
3 ln |x − 2| + k, k real 
B 12 ln |x + 2| +
2
3 ln |x − 1| + k, k real 
C 13 ln |x − 1| +
2
3 ln |x + 2| + k, k real 
D 13 ln |x − 2| +
1
2 ln |x − 12| + k,  k real 
E 12 ln |x + 2| +
1
3 ln |x − 2| + k, k real 
Responder
∫ 30
x4+9x2+1
x2+9 dx.
A π4 + 3
B π12 + 9
C π4 − 9
D π12 − 3
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Considerações �nais
Definimos e utilizamos a operação da integração indefinida e definida. Inicialmente, analisamos a integração indefinida como a antiderivada que tem
como resultado uma família de funções denominadas primitivas. Posteriormente, determinamos a integral definida, que tem como resultado um
número real. Ela é obtida pelo limite de uma Soma de Riemann.
Apresentamos o Teorema Fundamental do Cálculo e vimos a sua importância no relacionamento do cálculo integral, principalmente na obtenção
das integrais definidas de forma mais direta, usando as funções primitivas do integrando. No segundo, terceiro e quarto módulos, introduzimos as
principais técnicas de integração, que permitiram a resolução de integrais indefinidas e definidas com integrandos mais complexos.
A partir de agora, você seja capaz de aplicar a integração definida e indefinida nos diversos problemas do cálculo integral.
E π4 − 12
Responder

Referências
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo – Volume 1. 5 ed. São Paulo: LTC, 2013.
KHAN ACADEMY. Curso de Cálculo Integral – Integração. Consultado na internet em 14 jul. de 2020.
LARSON, R.; EDWARDS, B.H. Cálculo – Com aplicações. 6 ed. São Paulo: LTC, 2003.
STEWART, J. Cálculo – Volume 1. 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008.
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