AOL 4 Calculo Integral UNINASSAU

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Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário
Cristina Amanda de Lima Barros Torres
Pergunta 1 -- /1
As integrais são instrumentos matemáticos valiosos para o cálculo de áreas, volumes e comprimentos de 
arcos de funções. Para o cálculo de áreas entre curvas, especificamente, elas podem ser manipuladas 
com somas e subtrações para a determinação de uma área de interesse.
Considere o cálculo da seguinte área, definida por uma reta e uma parábola:
Com base no seu conhecimento acerca do cálculo de áreas entre curvas por meio de integrais e do 
entendimento acerca de funções quadráticas e lineares, analise as afirmativas a seguir e assinale V para 
a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A área hachurada na figura pode ser calculada pela fórmula da área de um triângulo, (base*altura)/2, 
que resultaria em 3/2.
II. ( ) As funções referentes a essa representação são y= x²+1 e y= 2.
III. ( ) A área hachurada na figura pode ser encontrada resolvendo as seguintes integrais: 
integral subscript 1 superscript 2 x squared plus 1 space d x space minus space integral subscript 1 
superscript 2 2 space d x
IV. ( ) É possível a determinação dessa área hachurada com apenas uma integral.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
1.png
9/10
Nota final
Enviado: 06/09/21 15:03 (BRT)
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V, F, F, V.
F, V, V, F.
F, F, V, V.
V, F, V, F.
F, V, F, F.
Pergunta 2 -- /1
A integral definida possui diversas interpretações geométricas importantes. A mais simples é a da integral 
de uma função definida em um intervalo, que nos dá o valor da área da região sob a curva. Os intervalos 
de integração da integral definida podem ser manipulados para a resolução dessas integrais de outras 
maneiras.
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral definida e com seus conhecimentos 
acerca dos diversos métodos de integração, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) A área delimitada pela curva f(x) = 1/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2.
II. ( ) Mesmo que a função não seja convergente, é possível calcular sua área dividindo o intervalo em 
subintervalos.
III. ( ) A área delimitada pela curva h(x) = 2/x, o eixo x e as retas x = 1 e x = e² vale 2.
IV. ( ) A força em um deslocamento de 100m é dada por f(x) = x - 50. Sabendo que o trabalho dessa força 
é dado pela integral da força vezes o deslocamento, pode-se dizer que o trabalho dessa força é nulo 
para esse deslocamento.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
V, F, F, V.
V, V, F, F.
F, V, F, V.
V, F, F, F.
F, F, V, F.
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Pergunta 3 -- /1
As substituições trigonométricas são úteis para facilitar a resolução de inúmeras integrais com 
integrandos que são compostos de raízes específicas. Busca-se substituir os argumentos dessas raízes 
por algumas funções trigonométricas, tais como sen(x), sec(x) e tg(x).
Com base nos seus conhecimentos acerca da interpretação geométrica do método de substituições 
trigonométricas e dos conceitos estudados em Cálculo Diferencial e integral, associe os itens a seguir 
com os processos de substituição descritos:
1) x²/√(4 – x²).
2) 1/√(16 + x²).
3) (x² -16)/ √(x² + 8x + 16).
4) (x² – 16).
( ) Substituição x = 2sen(w).
( ) Substituição x = 4sec(w).
( ) Substituição x = 4tg(w).
( ) Não é necessário realizar substituição trigonométrica.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
2, 1, 3, 4.
1, 4, 2, 3.
2, 3, 1, 4.
1, 3, 2, 4.
1, 4, 3, 2.
Pergunta 4 -- /1
As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo cálculo. É por meio delas que se 
tem uma mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimento de arcos de funções.
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De acordo com seu conhecimento acerca das integrais definidas, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) As integrais definidas de interesse para o cálculo de áreas entre curvas podem ser definidas em 
termos de subtrações ou soma de outras integrais.
II. ( ) A fórmula 
V space equals space integral subscript a superscript b straight pi left square bracket straight f left 
parenthesis straight x right parenthesis right square bracket squared dx
 representa o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de rotação em x.
III. ( ) 
L space equals space integral subscript a superscript b square root of 1 plus left parenthesis f 
apostrophe left parenthesis x right parenthesis right parenthesis squared end root d x
 representa a fórmula para o cálculo do comprimento do arco de uma função.
IV. ( ) 
V space equals space integral subscript a superscript b straight pi left square bracket straight f left 
parenthesis straight x right parenthesis right square bracket squared dx
pode ser utilizada para o cálculo do volume de um sólido de revolução construído com eixo de rotação y.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
V, V, V, F.
V, V, F, V.
V, V, F, F
F, F, V, F.
V, F, V, V.
Pergunta 5 -- /1
O método da integração de funções racionais por frações parciais possui fundamental importância no que
diz respeito à integração de funções mais complexas em relação às habituais, que aparecem em tabelas 
de integração. Esse método consiste em reescrever a função como a soma de frações cujos 
denominadores são fatores do denominador original e, apenas após isso, realizar a integração de fato.
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por frações 
parciais, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral de f(x) = (x²+x)/(x-1) é igual a x²/2 + 2x + 2ln|x-1| + C, e pode ser calculada pelo método da 
integração de frações parciais.
Porque:
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II. Separamos f(x) = (x²+x)/(x-1) como f(x) = x²/(x-1) + x/(x+1), e depois fazemos essas divisões polinomiais, 
obtendo f(x) = x + 1 + 1/(x-1) + 1 + 1/(x-1) = x + 2 + 2/(x-1), para então integrar utilizando a regra da 
integral da soma de vários termos.
Agora, assinale a alternativa correta:
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
As asserções I e II são proposições falsas.
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
Pergunta 6 -- /1
Os conhecimentos acerca dos métodos de integração são essenciais para os estudantes de Cálculo 
Integral. Esses métodos possibilitam a reescrita de algumas integrais que, sem eles, não seriam 
resolvidas. Um dos métodos importantes de integração é o método conhecido como frações parciais.
Tendo em vista o método supracitado, analise os procedimentos a seguir e ordene as etapas de acordo 
com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização desse método de integração:
( ) Fragmentar a integral inicial em outras integrais solúveis e efetuar os cálculos dessas integrais.
( ) Reescrever o denominador da função racional em fatoração polinomial.
( ) Substituir os valores nas integrais.
( ) Fragmentar a fração racional em outras frações.
( ) Encontrar os numeradores de cada uma dessas frações
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
3, 4, 2, 1, 5
5, 1, 4, 2, 3.
5, 2, 3, 4, 1.
2, 4, 1, 5, 3.
2, 1, 3, 4, 5.
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Pergunta 7 -- /1
O método da integração trigonométrica possui fundamental importância no que diz respeito à integração 
de funções mais complexas do que as habituais, que aparecem em tabelas de integração. Esse método 
consiste em substituir um dos termos por uma função trigonométrica, para que se encontre alguma 
identidade que simplifica a expressão, possibilitando a sua integração. 
Considerandoessas informações e seus conhecimentos sobre a técnica de integração por substituições 
trigonométricas, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. A integral de 1/[x²√(x²+4)] é igual a √(x²+4)/4x + C, e pode ser calculada pelo método da substituição 
trigonométrica, por meio da substituição x = 2sec(w).
Porque:
II. Consideramos a regra da integração por substituição trigonométrica e com x = 2sec(w), temos que 
√(x²+4) = √[4sec²(w)+4] = √[4(sec²(w)+1), e como sec²(w) + 1 = tg²(w), √(x²+4) = 2tg(w). Substituindo na 
fórmula inicial e integrando, encontramos a expressão dada.
Agora, assinale a alternativa correta:
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
As asserções I e II são proposições falsas.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
Pergunta 8 -- /1
O estudo dos métodos de integração é importante no uso das ferramentas do cálculo por nos possibilitar 
a encontrar uma função primitiva F(x) de uma certa função f(x). Além do método da substituição, outra 
técnica de integração importante é o da integração por partes, na qual tomamos uma função e a 
separamos em duas partes para acharmos sua integral indefinida.
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Considerando f(x) = u e g(x) = v, de forma que f’(x)dx = du e g’(x)dx = dv e de acordo com seus 
conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as afirmativas a seguir.
I. A Regra de Substituição para a integração corresponde à Regra da Cadeia para a derivação.
II. Integrar por partes significa fazer a integral de u.dv igual a uv menos a integral de v.du.
III. A técnica da integração por partes corresponde à Regra do Quociente para a derivação.
IV. Assim como na derivação, existem regras que sempre garantem a obtenção da integral indefinida de 
uma função.
Está correto apenas o que se afirma em:
I, II e III.
I, e IV.
II e III.
II e IV.
I e II.
Pergunta 9 -- /1
O conhecimento acerca dos métodos de integração é essencial, de forma que a integração por 
substituições trigonométricas possui diversas aplicações no escopo do cálculo e da física, já que, muitas 
vezes, essas substituições são as únicas saídas para resolver uma integral definida cujo valor numérico 
equivale, por exemplo, à área sob uma curva, a um volume de rotação ou translação, ao comprimento de 
um arco, etc.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos sobre as técnicas de integração, analise as 
afirmativas a seguir:
I. O cálculo da área de elipses, da forma x²/a² + y²/b² = 1, pode ser feito substituições trigonométricas em 
integrais, pois isolando y encontramos a raiz de a² – x².
II. Expressões que envolvem a raiz quadrada de a² - x² podem ser integradas fazendo a substituição x = 
asen(w), devido ao fato de recorrerem na identidade 1-sen²w = cos²w.
III. As substituições trigonométricas consistem na aplicação da regra da substituição para integração em 
casos específicos, nos quais pode-se recorrer a certas substituições, baseando-se nas identidades 
trigonométricas, para chegar a expressões integráveis.
IV. Ao realizar o cálculo da integral indefinida de uma função por meio de substituições trigonométricas, 
nem sempre é preciso retornar à variável x original.
Está correto apenas o que se afirma em:
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II e III.
I, II e IV.
I e III.
I, II e III.
II e IV.
Pergunta 10 -- /1
A matemática pauta sua construção de conhecimento com base em seus axiomas, que são premissas 
assumidas como verdadeiras, isto é, proposições inquestionáveis. A partir dessas proposições, outros 
conhecimentos são gerados, tais como teoremas, propriedades, corolários e afins. Esses conhecimentos 
vão gerando outros, e assim sucessivamente.
Considerando essas informações, pode-se afirmar que a propriedade da derivada do produto de duas 
funções é relevante para a integração por partes porque:
funciona como uma premissa verdadeira que serve como base para a dedução do método 
de integração por partes.
deve-se derivar as funções antes de integrá-las
ambas são axiomas da matemática.
as derivadas do produto são equivalentes as integrais dos produtos.
a propriedade derivativa é utilizada para a resolução de problemas que envolvem integral 
por partes.