ESTATISTICA APLICADA Unidade I

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Autores: Prof. Edwin F. F. Silva
 Prof. Wesley Cândido de Melo 
Colaboradores: Prof. Santiago Valverde
 Prof. Jean Carlos Cavaleiro
 Prof. Daniel Scodeler Raimundo
Estatística Aplicada
Professores conteudistas: Edwin F. F. Silva e Wesley Cândido de Melo
Edwin F. F. Silva
Possui licenciatura em Física pela Universidade Católica de Brasília (2005); especialização em Higiene das radiações 
ionizantes (Senacap, 2011); em Metodologia do Ensino e Aprendizagem em Matemática (2009); pós-graduação em 
Transporte (em andamento) pela Universidade de Brasília. Atualmente, é professor da Faculdade Fortium, ministrando 
aulas de cálculo e estatística nos cursos de Sistema de Informações e Administração, e da Universidade Paulista, no 
curso de Engenharia. Atua em pesquisas relacionadas à poluição sonora, na área de polos geradores de viagens e 
também como corretor de questões dos cursos de graduação a distância da UNIP e como tutor do curso de RH da 
UNIP Interativa.
Wesley Cândido de Melo
Possui licenciatura em Física pela Universidade Católica de Brasília (2006); especialização em Matemática 
e Estatística pela FACITEC (2008); pós-graduação em Transporte (em andamento) pela Universidade de Brasília. 
Atualmente, é professor da Universidade Paulista, ministrando aulas para os cursos de Engenharia, Gestão de RH 
e Segurança Privada; da Faculdade JK, nos cursos de Administração e Radiologia. Atua também como corretor de 
questões dos cursos de graduação a distância da UNIP e como tutor do curso de RH da UNIP Interativa. É pesquisador 
vinculado ao grupo de pesquisa em Poluição sonora com ênfase em Ruídos aeronáuticos no curso de Física da 
Universidade Católica de Brasília.
© Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma e/ou 
quaisquer meios (eletrônico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem 
permissão escrita da Universidade Paulista.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
S586e Silva, Edwin F.
Estatística aplicada / Edwin F. Silva; Wesley Cândido de Melo. – 
São Paulo: Editora Sol, 2012.
112 p., il.
Nota: este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e 
Pesquisas da UNIP, Série Didática, ano XVII, n. 2-064/12, ISSN 1517-9230.
1. Estatística. 2. Distribuição de frequências. 3. Probabilidades. 
I. Título.
CDU 519.2
U502.71 – 19
Prof. Dr. João Carlos Di Genio
Reitor
Prof. Fábio Romeu de Carvalho
Vice-Reitor de Planejamento, Administração e Finanças
Profa. Melânia Dalla Torre
Vice-Reitora de Unidades Universitárias
Prof. Dr. Yugo Okida
Vice-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Profa. Dra. Marília Ancona-Lopez
Vice-Reitora de Graduação
Unip Interativa – EaD
Profa. Elisabete Brihy 
Prof. Marcelo Souza
Prof. Dr. Luiz Felipe Scabar
Prof. Ivan Daliberto Frugoli
 Material Didático – EaD
 Comissão editorial: 
 Dra. Angélica L. Carlini (UNIP)
 Dra. Divane Alves da Silva (UNIP)
 Dr. Ivan Dias da Motta (CESUMAR)
 Dra. Kátia Mosorov Alonso (UFMT)
 Dra. Valéria de Carvalho (UNIP)
 Apoio:
 Profa. Cláudia Regina Baptista – EaD
 Profa. Betisa Malaman – Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos
 Projeto gráfico:
 Prof. Alexandre Ponzetto
 Revisão:
 Andréia Gomes
 Geraldo Teixeira Jr.
Sumário
Estatística Aplicada
APRESENTAÇÃO ......................................................................................................................................................7
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................................7
Unidade I
1 HISTÓRIA DA ESTATÍSTICA ..............................................................................................................................9
1.1 Introdução à estatística ........................................................................................................................9
1.2 Importância da estatística .................................................................................................................11
1.3 Elementos fundamentais da estatística ...................................................................................... 12
1.3.1 População e amostra ............................................................................................................................. 12
1.4 Fases do método estatístico ............................................................................................................. 13
1.5 Dados estatísticos ................................................................................................................................ 13
1.6 Formas iniciais de tratamento dos dados................................................................................... 15
1.7 Notações por índices .......................................................................................................................... 16
1.7.1 Notação sigma (∑) ................................................................................................................................. 16
1.8 Séries estatísticas ................................................................................................................................. 19
2 APRESENTAÇÃO DE DADOS – GRÁFICOS E TABELAS ........................................................................ 21
2.1 Elementos básicos das tabelas ........................................................................................................ 27
3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL: MÉDIA, MODA E MEDIANA PARA 
DADOS SIMPLES .................................................................................................................................................. 27
3.1 A média aritmética simples (x) ....................................................................................................... 28
3.2 A média aritmética ponderada xp ................................................................................................. 30
3.3 A mediana (Md)..................................................................................................................................... 32
3.4 A moda ..................................................................................................................................................... 35
3.5 Posição relativa da média, moda e mediana ............................................................................. 37
4 MEDIDAS DE DISPERSÃO PARA DADOS SIMPLES .............................................................................. 37
4.1 Amplitude total ..................................................................................................................................... 39
4.2 Desvio médio absoluto ....................................................................................................................... 40
4.3 Variância .................................................................................................................................................. 41
4.4 Desvio padrão ........................................................................................................................................ 46
4.5 Coeficiente de variação ..................................................................................................................... 47
Unidade II
5 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS ............................................................................................................. 53
5.1 A construção de uma distribuição de frequências para dados contínuos .................... 54
5.2 A construção de uma distribuição de frequências para dados discretos ...................... 60
5.3 Representações gráficas de dados agrupados .........................................................................61
6 AS MEDIDAS DE POSIÇÃO E VARIABILIDADE NUMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA.................70
6.1 As medidas de posição ........................................................................................................................71
6.1.1 A média ....................................................................................................................................................... 71
6.1.2 A mediana .................................................................................................................................................. 72
6.1.3 A moda ........................................................................................................................................................ 73
6.2 As medidas de dispersão numa distribuição de frequência ................................................ 74
6.2.1 O desvio médio ........................................................................................................................................ 74
6.2.2 Variância ..................................................................................................................................................... 75
6.2.3 Desvio padrão ........................................................................................................................................... 76
7 INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE ............................................................................................................. 81
7.1 Teorias dos conjuntos, espaço amostral e eventos ................................................................. 82
8 PROBABILIDADE: ORIGEM, MÉTODOS E PRINCIPAIS TEOREMAS ................................................ 92
8.1 Origens da probabilidade .................................................................................................................. 93
8.1.1 Métodos objetivos .................................................................................................................................. 93
8.1.2 Método subjetivo .................................................................................................................................... 97
8.2 Principais teoremas de probabilidade .......................................................................................... 97
7
APRESENTAÇÃO
O objetivo deste material é fazer com que o aluno tenha condições de interpretar um conjunto 
de observações de forma clara e objetiva, a fim de distinguir as limitações e as vantagens do uso de 
amostras, assim como os métodos para sua obtenção; tenha habilidade para descrever e interpretar 
dados por meio de figuras (tabelas e gráficos), estimativas pontuais e de variabilidade; calcular o intervalo 
de confiança da proporção e média, assim como identificar sua aplicação; coletar e interpretar dados 
de forma sistematizada e imprimir credibilidade a análises quantitativas dos fenômenos de realidade 
investigada.
Assim, esperamos contribuir da melhor forma possível com seu aprendizado.
Com nossos cumprimentos,
Equipe organizadora.
INTRODUÇÃO
Desde a Antiguidade, a estatística faz parte da vida das pessoas, mesmo que de forma indireta, mas o 
certo é que essa ciência está presente na vida das pessoas o tempo todo. Quando abrimos um jornal, por 
exemplo, lá está uma série de gráficos e tabelas que nos auxiliam no entendimento de determinado tema, 
ou quando lemos uma reportagem que traz como tema a probabilidade de o mercado financeiro fechar 
em alta ou em baixa, ou, ainda, virando a página desse mesmo jornal, temos a manchete divulgando os 
dados do Censo 2010.
Diante desses fatos, nos perguntamos de que forma a estatística pode nos ajudar, seja no levantamento 
de dados para uma empresa saber como vão suas vendas, seja para saber os riscos de investir nas ações 
de uma empresa, ou, ainda, como o governo pode determinar as características dos vários aspectos, 
sociais, econômicos e ambientais dos estados e até mesmo de nosso país.
São perguntas como essas que a estatística nos ajuda a responder, e ainda não podemos pensar 
nessa ciência como se ela se limitasse a apenas compilar tabelas de dados e os ilustrar graficamente. 
Dessa forma, é de sua importância conhecer as inúmeras variáveis associadas a ela, pois em qualquer 
ramo da sociedade contemporânea estão presentes os processos estatísticos. E o estudante que não 
souber trabalhar com esses conceitos estará em desvantagem no mercado de trabalho.
Para tirar o máximo proveito da interpretação de um determinado fenômeno, deve-se seguir algumas 
etapas, como, por exemplo, planejar a obtenção de dados, interpretar e analisar os dados obtidos e 
apresentar os resultados de maneira a facilitar a tomada de decisões razoáveis.
É fundamental que o texto produzido neste material leve o aluno a pensar em situações do seu 
cotidiano e que dessa forma ele possa associar a teoria com a prática vivenciada em seu dia a dia. 
Pensando nisso, ele foi dividido em duas unidades, nas quais serão abordados, na primeira unidade: 
séries estatísticas, gráficos estatísticos, medidas de tendência central, medidas de dispersão, entre outros 
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temas; já na segunda unidade, serão apresentados: dados tabulares, distribuição de frequência, medidas 
de posição e variabilidade numa distribuição de frequência, probabilidade, bem como alguns de seus 
teoremas, entre outros temas.
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ESTATÍSTICA APLICADA
Unidade I
Como a União realiza a distribuição de renda para os Estados, Municípios e o Distrito Federal? Como 
saber quem deve receber mais ou menos verbas? Como saber se determinado trecho de uma via ou 
rodovia é ou não perigoso?
São questões como essas que a disciplina Estatística procura responder.
1 HISTÓRIA DA ESTATÍSTICA
Na história do desenvolvimento humano, a sociedade primitiva se deparou com os primeiros 
problemas para saber o tamanho da sua população, a quantidade de terras e suas riquezas, por isso teve a 
necessidade de contá-las. Em decorrência disso, os governantes das grandes civilizações antigas fizeram 
indiretamente um estudo estatístico para saber os bens que seu Estado possuía e como a população 
desse Estado estava distribuída.
No Antigo Egito, aproximadamente 3040 a.C., Heródoto pediu que fosse feito um estudo sobre a 
riqueza da população, com o objetivo de saber a quantidade de recursos econômicos e humanos para 
realizar a construção das pirâmides. Na China, aproximadamente 2238 a.C., o imperador Yao pediu que 
fosse feito um estudo da população, com objetivos industriais e comerciais.
A palavra “estatística” foi sugerida pelo alemão Gottifried Achemmel (1719/1772) e é associada à 
palavra latina status (Estado).
Essa ciência teve acelerado desenvolvimento a partir do século XVII, com os estudos de Bernoulli, 
Fermat, Laplace, Gauss e outros que estabeleceram suas características atuais.
 Saiba mais
Para uma abordagem mais detalhada da história da estatística, ler o 
artigo: “Conceitos iniciais e breve histórico da estatística”, disponível em: 
<http://mundobr.pro.br/uneal/wp-content/uploads/2010/04/01.conceitos_
inicias-historico-somatorio.pdf>. Acesso em: 12 jul. 2012.
1.1 Introdução à estatística
A todo instante, nos noticiários, em revistas, jornais, internet, ouvimos falar na palavra “estatística”, 
o que é possível perceber o quanto é importante conhecermos a fundo essa ciência. Algumas de 
suas aplicabilidades podem ser observadas nas pesquisas de opinião pública e nos dados publicados 
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diariamente na imprensa. Na realidade, a estatística contempla muitos outros aspectos, sendo de vital 
importância na interpretação de processos em que exista variabilidade.
De acordo com Dervalmar, é possível distinguir duas concepções para a palavra “estatística”. No 
plural, “estatísticas” indica qualquer coleção de dados quantitativos ou, ainda, ramo da matemática que 
trata da coleta, da análise, da interpretação e da apresentação de massa de dados numéricos. Assim, 
por exemplo, as estatísticas demográficas referem-se aos dados numéricos sobre o quantitativo de 
nascimentos, falecimentos, matrimônios, desquites etc. As estatísticas econômicas estão relacionadas 
aos dados numéricos como emprego, produção, vendas e com outras atividades ligadas aos vários 
setores da vida econômica.
No singular, “estatística” indica a atividade humana especializada, ou um corpo de técnicas, ou ainda 
uma metodologia desenvolvida para a coleta, a classificação, a apresentação, a análise e a interpretação 
de dados quantitativos e a utilização desses dados para a tomada de decisões.
Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir os 
fenômenos coletivos.
Para fins didáticos, é comum os livros-textos apresentarem a estatística em duas grandes áreas, 
embora não se trate de áreas isoladas: estatística descritiva e estatística inferencial.
•	 estatística descritiva: é aquela que tem por objetivo descrever e analisar determinada população, 
utilizando métodos numéricos e gráficos para se determinarem padrões em um conjunto de 
dados, e, assim, apresentar a informação em uma forma conveniente;
•	 estatística inferencial: é aquela que tem por objetivo analisar e interpretar os dados coletados de 
uma determinada população, na maioria das vezes, a partir de resultados observados na amostra. 
Constitui o conjunto de métodos para a tomada de decisões nas situações em que há incerteza, 
variações ou outras generalizações acerca de um conjunto maior de dados.
Exemplo 1: O gráfico a seguir apresenta a participação relativa das bandeiras de cartões de crédito, 
no quarto trimestre de 2010.
Visa
52,2%
Outras
9,4%
Master Card
38,4%
Figura 1 - Participação relativa das bandeiras (quantidade de transações)
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Por meio do gráfico, é possível ver claramente que mais da metade das transações são feitas com 
a bandeira Visa e que aproximadamente 40% são feitas com a bandeira MasterCard. Como o gráfico 
descreve os tipos de bandeiras de cartões utilizadas em todas as transações do quarto trimestre de 2010, 
o gráfico é um exemplo de estatística descritiva.
Exemplo 2: Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC)
Sua apresentação envolve a sintetização, em um único dado, dos aumentos dos produtos de uma 
cesta básica. Trata-se de um exemplo de estatística inferencial.
Exemplo 3: Análise de mercado
Quando uma empresa pretende lançar um produto, precisa conhecer as preferências dos consumidores 
no mercado de interesse. Faz-se necessária uma pesquisa de mercado.
Exemplo 4: Ocorrência de terremotos
Os geólogos estão continuamente coletando dados sobre a ocorrência de terremotos. Gostariam de inferir 
quando e onde ocorrerão tremores e qual a sua intensidade. Trata-se, sem dúvida, de uma questão complexa 
que exige longa experiência geológica, além de cuidadosa aplicação de métodos estatísticos.
1.2 Importância da estatística
Com o desenvolvimento humano e tecnológico, temos presenciado grandes descobertas na área 
da saúde, da engenharia, da economia etc.; por outro lado, também observamos os problemas que 
se espalham pelo mundo, por exemplo, a ameaça com a degradação do meio ambiente, as epidemias 
(H1N10) causando grandes preocupações para os governantes e para a população mundial. Como 
ajudar pesquisadores, cientistas, engenheiros etc. a se nortearem com o que deve ser feito tanto para 
criar novas possibilidades como também para solucionar os problemas existentes?
O método estatístico lida com informações, associando os dados ao problema, mostrando como e o 
que coletar para obter conclusões a partir de todos os dados, de tal forma que essas conclusões possam 
ser entendidas por outras pessoas. Assim, esse método auxilia os vários profissionais no planejamento e 
na tomada de decisões.
 Saiba mais
O artigo “A elaboração de estatísticas de mortalidade segundo causas 
múltiplas” apresenta uma aplicação da estatística mostrando a sua 
importância para a tomada de decisões. Disponível em: <http://www.
scielosp.org/pdf/rbepid/v3n1-3/03.pdf>. Acesso em: 15 jul. 2012.
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Vejamos alguns exemplos:
O governo anualmente divulga o censo sobre a dinâmica da população brasileira, apresentando seu 
crescimento demográfico, suas características e como vivem os brasileiros.
As grandes empresas fazem levantamentos sobre vendas, produção, inventário, folha de pagamento 
e outros dados, a fim de verificar se a empresa está crescendo, como seu crescimento está em relação a 
outras empresas e como tomar decisões futuras.
A análise dos dados é muito importante para fazer um planejamento adequado.
 Saiba mais
Para mais informações sobre o Censo, acesse o site do IBGE: 
<http://www.ibge.gov.br>.
1.3 Elementos fundamentais da estatística
1.3.1 População e amostra
Para o pesquisador, o estudo de qualquer fenômeno, seja ele natural, econômico, social ou biológico, 
necessita da coleta e da análise de dados estatísticos. A coleta de dados é parte inicial de qualquer 
pesquisa.
• População: é o conjunto de todos os itens (pessoas, coisas e objetos) que interessam ao estudo de 
um fenômeno coletivo. 
• Amostra: é qualquer subconjunto não vazio de uma população. 
• Amostragem: é o meio de escolha da amostra e consiste na seleção criteriosa dos elementos a 
serem submetidos ao estudo. 
• Parâmetro: é a denominação de uma característica numérica estabelecida para toda uma população. 
• Estimador: é a característica numérica estabelecida para toda a amostra.
Exemplo: pesquisas sobre tendências de votação.
Em épocas de eleição, é comum a realização de pesquisas com o objetivo de conhecer as tendências 
do eleitorado. Para que os resultados sejam, de fato, representativos, deve-se atentar para que as 
características da população à qual os resultados da pesquisa serão estendidos sejam tão próximas 
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quanto possível. A escolha da amostra, o questionário, a entrevista, a sintetização dos dados e a 
representação dos resultados são as etapas desse tipo de pesquisa.
População 
são todos 
os eleitores 
habilitados do 
município.
Fenômeno coletivo
(Eleições para Prefeitura 
de um município).
Amostra é um grupo 
numérico de eleitores 
selecionado na 
população do município
Parâmetro é uma 
proporção de votos 
para o candidato 
A obtida na 
população
Estimador é 
uma proporção 
de votos para 
o candidato A 
obtida na amostra
Amostra
Figura 2
1.4 Fases do método estatístico
Em uma pesquisa, quando se deseja empreender um estudo estatístico completo, existem fases do 
trabalho que devem ser trabalhadas para se chegar aos resultados finais do estudo.
As principais fases são:
•	 definição do problema – delimitação do problema;
•	 planejamento – organização das ações que serão realizadas na pesquisa de campo;
•	 coleta de dados – ir a campo buscar as informações;
•	 apuração dosdados – organização das informações coletadas;
•	 apresentação dos dados – gráficos e tabelas;
•	 análise e interpretação dos dados – por meio da linguagem matemática (média, mediana, 
moda, desvio padrão, percentuais etc.).
Observe quais são as fases principais do método estatístico – compõem a organização de um projeto, 
sua execução e apresentação final.
1.5 Dados estatísticos
Quando se trabalha com a observação, a mensuração, a análise e a interpretação de números, esses 
números nos conduzem a índices inflacionários, índices de desemprego, probabilidade de determinado 
candidato ganhar as eleições etc. Esses números, portanto, serão chamados de dados estatísticos, os 
quais precisarão ser organizados e sumarizados para sua correta interpretação.
O dado bruto significa que os dados não estão numericamente organizados e processados. 
É o processamento e a organização dos dados que os transformam em informação, enfatizando 
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seus aspectos mais importantes. A informação, portanto, é resultado de um tratamento dos 
dados.
Para organizar e processar os dados estatísticos, podem-se utilizar resumos visuais e numéricos, 
como gráficos, mapas, tabelas e modelos numéricos.
A mensuração ou a observação de itens como índices de preços, renda mensal per capita de um Estado 
etc. dão origem aos dados estatísticos. Como esses itens originam valores que tendem a apresentar 
certo grau de variabilidade quando são medidos sucessivas vezes, iremos chamá-los, então, de variáveis.
É importante identificar os quatro tipos de variáveis: variáveis contínuas, variáveis discretas, variáveis 
nominais e variáveis ordinais.
•	 Variáveis contínuas: podem assumir qualquer valor num intervalo contínuo (dado contínuo), ou 
seja, será um número real. Exemplos: altura, peso, velocidade etc.
•	 Variáveis discretas: em geral, originam-se da contagem de itens e só podem assumir valores 
inteiros. Exemplos: número de alunos em sala de aula, número de professores que trabalham na 
escola etc.
•	 Variáveis nominais: são aquelas que existem com o objetivo de definir categorias, e as observações, 
mensurações e análises são feitas levando-se em conta essas mesmas categorias. Exemplos de 
categoria seriam: separação por sexo, estado civil, esporte predileto, cor etc.
•	 Variáveis ordinais: quando existe o desejo de dispor os elementos observados segundo uma 
ordem de preferência ou desempenho, atribuem-se valores relativos para indicar essa ordem. 
Exemplo: primeiro, segundo, terceiro grau de escolaridade etc.
As variáveis discretas e contínuas são ditas variáveis quantitativas porque envolvem dados numéricos. 
Já as variáveis nominais e ordinais precisam ser transformadas em valores numéricos para serem objeto 
da análise estatística, e são ditas variáveis qualitativas. Por exemplo: em um departamento da empresa 
JJ, que tem 36 funcionários, fez-se uma pesquisa para verificar alguns dados. Classifique as variáveis, 
conforme os dados da tabela a seguir.
Tabela 1
Estado civil Grau de instrução Nº filhos Salário (X. min) Idade (anos-meses)
Solteiro Ensino Fundamental - 4,00 23 03
Casado Ensino Fundamental 1 4,56 32 10
Casado Ensino Superior 3 19,40 48 11
Solteiro Ensino Médio - 10,53 25 08
Solteiro Ensino Médio - 16,22 31 05
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Resolução
Variável qualitativa nominal: estado civil.
Variável qualitativa ordinal: grau de instrução.
Variável quantitativa discreta: número de filhos.
Variável quantitativa contínua: salário e idade.
Variáveis discretas e contínuas = variáveis quantitativas.
Variáveis nominais e ordinais = variáveis qualitativas.
E ainda:
Dados qualitativos: consistem em atribuir qualidade ou atributo à variável pesquisada.
Dados quantitativos: consistem em números que representam contagens ou medidas.
1.6 Formas iniciais de tratamento dos dados
Em geral, quando nos propomos a buscar ou construir informações a partir de dados, deparamo-nos, 
inicialmente, com um conjunto de dados brutos que pouco nos dizem. É preciso organizá-los 
minimamente para que comecem a fazer algum sentido, viabilizando sua análise.
Exemplo 1: a tabela a seguir apresenta as notas de 40 estudantes da disciplina de estatística.
Tabela 2
50 96 75 87 65 45 72 10
32 54 25 69 72 30 81 20
24 45 80 90 64 95 23 90
80 35 96 47 65 70 73 63
60 20 45 89 20 90 80 70
Essa tabela é chamada de tabela primitiva ou dados brutos, pois os dados coletados estão dispostos 
conforme a ordem da coleta e não na ordem de numeração.
Observando os dados anteriores, tabela primitiva, fica difícil visualizar em torno de que valor tendem 
a se concentrar as notas dos estudantes, qual a maior ou qual menor nota, e ainda quantos alunos se 
acham abaixo de uma dada nota.
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Uma primeira forma de organização dos dados brutos é o chamado rol. Obtemos o rol quando 
organizamos os dados brutos em ordem crescente ou decrescente de grandeza.
Ainda com respeito à tabela de nota dos 40 estudantes da disciplina de estatística, vejamos como fica:
Tabela 3
10 20 20 20 23 24 25 30
32 35 45 45 45 47 50 54
60 63 64 65 65 69 70 70
72 72 73 75 80 80 80 81
87 89 90 90 90 95 96 96
Agora, podemos saber, com relativa facilidade, qual a menor nota (10) e qual a maior nota (96). Para 
determinar a amplitude do rol, basta realizar a diferença entre o maior e o menor número do rol, ou seja, 
para o exemplo, a amplitude de variação foi de 96 – 10 = 86.
Exemplo 2: seja A = {10, 7, 3, 9, 1, 5, 10, 4, 2, 8} o conjunto das notas dos alunos, determine o rol 
e a amplitude do rol:
{10, 7, 3, 9, 1, 5, 10, 4, 2, 8} à dado bruto
{1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 10} à rol
Amplitude = {maior valor do rol – menor valor do rol}
à A = 10 – 1 = 9
Limites de classe: são os números extremos de cada classe; sendo assim, temos um limite inferior 
e um superior, que denominamos de amplitude de variação.
A = Lsup. - Linf.
1.7 Notações por índices
A notação por índices é bastante utilizada na estatística, sendo importante esclarecer seu significado. 
O símbolo xi (lê-se “x índice i”) irá representar qualquer um dos n valores assumidos pela variável x, x1, 
x2, x3, x4, ..., xn. “n” é denominado índice e poderá assumir qualquer dos números entre 1, 2, 3, 4,..., n.
1.7.1 Notação sigma (∑)
A maioria dos processos estatísticos vai exigir o cálculo da soma de um conjunto de números. A letra 
maiúscula grega sigma (∑) é utilizada para representar o somatório.
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ESTATÍSTICA APLICADA
Assim, se determinada variável y tiver os valores 3, 5, 7, 9 e 11, o ∑y será:
∑y = 3 + 5 + 7 + 9 + 11
∑y = 35
Por outro lado, se o consumo semanal de arroz por x, durante um mês, foi 2 kg, 4 kg, 3 kg, 5 kg, o 
total consumido por x no mês teria sido:
∑x = 2 + 4 + 3 + 5
∑x = 14, x teria consumido 14 kg de arroz durante o mês referido.
A notação sigma possui algumas propriedades que precisamos desenvolver para facilitar os conteúdos 
que estudaremos nesta disciplina.
A) x x x
i
n
i1
1
  
  , isso significa que devemos somar as n observações de x, começando com 
a primeira.
Por exemplo, num conjunto de dados x = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, em que n = 6, temos:
x x
x
i
i
n
i
i
i
 
 

      

1 1
6
2 4 6 8 10 12
42
Por outro lado, épossível utilizar essa notação quando se pretende analisar a soma de apenas uma 
parte dos dados disponibilizados, podendo-se, portanto, abreviar a soma de um conjunto de dados. 
Dessa forma, podemos ter:
x x x xi1 2 3
1
3
  

x x x x xi
i
8 9 10 11
8
11
   


B) Se cada valor da variável x é multiplicado ou dividido por uma constante, temos que isso será 
igual ao valor da constante multiplicado ou dividido pela somatória de x.
c x c x. .

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Assim,
4 4 4 4 4
4 4
1 2 3 4
1
4
1 2 3 4
1
4
x x x x x
x x x x x
i
i
i
i
   
    




( )
Por exemplo: se xi = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, n = 6, e cada valor de x é multiplicado pela constante 
c = 2, temos:
cx c x

cx c xi
i
i
i
       
 
 
 
1
6
1
6
2 2 2 4 2 6 2 8 2 10 2 12
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) (44 2 6 2 8 2 10 2 12
2 2 2 42 84
1
6
1
6
) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
   
  


x xi i
ii
C) O somatório de uma constante c será igual ao produto da constante pelo número de vezes (n) que 
ela se repete. Assim, temos:
c nci
i i
n



Por exemplo, numa determinada observação, o conjunto de dados de xi = {7, 7, 7, 7, 7, 7}, n = 6, 
temos que xi é uma constante c que se repete. Então, temos:
x c
xi c nc
i i
i
ii

         


1
6
1
6
7 7 7 7 7 7 6 7 42( )
D) O somatório de uma soma ou de uma diferença de duas variáveis será igual à soma ou diferença 
dos somatórios individuais das duas variáveis. Assim, temos:
( )
( )
x y x y
x y x y
i i i i
i
n
i
n
i
n
i i i i
i
n
i
n
i
n
  
  




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Por exemplo:
i X Y (X-Y)
( )x y
x y
 
   

 
9
20 11 9
1 8 5 3
2 3 2 1
3 4 0 4
4 5 4 1
- - - -
Σ 20 11 9
Figura 3
E) O somatório de um conjunto de dados x ao quadrado nos obriga a elevar cada elemento de xi ao 
quadrado para efetuar a soma. Assim, temos:
x x x x xi
i
n
n
2
1
1
2
2
2
3
2 2


    ...
Por exemplo, numa dada observação, o conjunto de dados de xi = {2, 4, 6, 8, 10}, n = 5; temos, então:
xi
i
2
1
5
2 2 2 2 22 4 6 8 10
4 16 36 64 100 220


     
     
F) O somatório ao quadrado de um conjunto de dados será obtido tomando-se a soma dos valores 
de xi e elevando-se ao quadrado. Assim, temos:
( ) ( ... )x x x x xi
i
n
n


    
1
2
1 2 3
2
Por exemplo, se temos um mesmo conjunto xi = {2, 4, 6, 8, 10}, n = 5, tal qual no exemplo do item 
E, teremos um resultado distinto. Vejamos, neste caso:
( ) ( ) ( )xi
i

      
1
5
2 2 22 4 6 8 10 30 900
Não confunda xi
i
n
2∑ com xi
i
n







2
, pois, conforme se observa no exemplo anterior, seus resultados 
serão diferentes.
1.8 Séries estatísticas
Uma série estatística define-se como qualquer tabela na qual haja distribuição de um conjunto de 
dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie. Ou, ainda, no sentido mais amplo, série é 
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uma sucessão de números referidos a qualquer variável. Caso os números expressem dados estatísticos, 
a série será chamada de série estatística.
As tabelas são utilizadas para apresentar séries estatísticas. Os três caracteres presentes na tabela 
que as apresenta são:
• a época (fator temporal ou cronológico) a que se refere o fenômeno estudado;
• o local (fator espacial ou geográfico) onde o fenômeno acontece;
• o fenômeno (espécie de fato ou fator específico) que é descrito de forma categórica.
As séries são divididas em dois grupos:
1. Séries homógradas: onde há variação discreta ou descontínua na variável descrita. Podem ser 
do tipo temporal, geográfica ou específica.
• Série temporal: os dados são observados de acordo com a época de ocorrência (fator cronológico). 
Isso significa que o tempo é variável e o local e a espécie (fenômeno) são elementos fixos. Essa 
série também é chamada de histórica ou evolutiva. Exemplo:
Tabela – PIB Brasileiro de 2010 a 2015
Ano PIB (nominal) Tamanho do crescimento (real)
Posição na economia 
mundial
2015 R$ 5,904 trilhões -3,847% 9°
2014 R$ 5,521 trilhões 0,5% 7°
2013 R$ 5,316 trilhões 3,015% 7°
2012 R$ 4,806 trilhões 1,915% 7°
2011 R$ 4,375 trilhões 4% 6°
2010 R$ 3,887 trilhões 7,529% 7°
• Série geográfica: apresenta como elemento variável o fator geográfico. A localidade é o elemento 
variável e a época e o fato (espécie) são elementos fixos. Também é chamada de espacial, territorial 
ou de localização. Exemplo:
Tabela – Variação do PIB dos países em 2015 (em % sobre o ano anterior)
Países Variação do PIB (%)
China 6,9
EUA 2,4
Reino Unido 2,2
França 1,2
Alemanha 1,7
Brasil - 3,8
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ESTATÍSTICA APLICADA
• Série específica: o caráter variável é apenas o fato ou espécie, o tempo e o local são fixos. 
Também é chamada de série categórica. Exemplo:
Tabela – PIB por setor econômico – 4º trimestre de 2015
Setor Valor corrente (R$) Variação trimestral Variação anual
Brasil 1,481 Trilhão -1,7% -2,5%
Agropecuária 64,264 Bilhões -2,0% +2,1%
Indústria 295,223 Bilhões -6,7% -4,7%
Serviços 907,708 Bilhões -2,9% -1,6%
Famílias 937,195 Bilhões -4,5% -1,8%
Governo 289,137 Bilhões -0,4% -1,1%
Investimento 268,430 Bilhões -15,0% -11,2%
2. Séries heterógradas: são aquelas nas quais o fenômeno/fato apresentam gradações ou 
subdivisões. Embora seja fixo, o fenômeno varia em intensidade.
A distribuição de frequências é uma série heterógrada e será vista com detalhes mais adiante.
2 APRESENTAÇÃO DE DADOS – GRÁFICOS E TABELAS
A representação gráfica das séries estatísticas tem por finalidade sintetizar os resultados obtidos e, 
assim, chegar a conclusões sobre a evolução do fenômeno ou sobre como se relacionam os valores da 
série. O gráfico mais apropriado ficará a critério do pesquisador, respeitando os elementos de clareza, 
simplicidade e veracidade (NOGUEIRA, 2009).
Diretrizes para a construção de um gráfico:
•	 o título do gráfico deve ser o mais claro e completo possível, sendo necessário acrescentar subtítulos;
•	 a orientação geral dos gráficos deve ser da esquerda para a direita;
•	 as quantidades devem ser representadas por grandezas lineares;
•	 sempre que possível, a escala vertical há de ser escolhida de modo a aparecer a linha 0 (zero);
•	 só devem ser incluídas no desenho as coordenadas indispensáveis para guiar a vista na leitura, um 
tracejado muito cerrado dificulta o exame do gráfico;
•	 a escala horizontal deve ser lida da esquerda para a direita e a vertical de baixo para cima;
•	 os títulos e as marcações do gráfico dispor-se-ão de maneira que sejam facilmente legíveis, 
partindo da margem horizontal inferior ou da margem esquerda.
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Leitura e interpretação de um gráfico:
•	 declarar qual o fenômeno ou fenômenos representados, a região considerada,o período de tempo, 
a fonte dos dados etc.;
•	 examinar o tipo de gráfico escolhido, verificar se é o mais adequado, criticar a sua execução, no 
conjunto e nos detalhes;
•	 analisar cada fenômeno separadamente, fazendo notar os pontos mais em evidência, o máximo e 
o mínimo, as mudanças mais bruscas;
•	 investigar se há uma “tendência geral” crescente ou decrescente ou, então, se o fato exposto é 
estacionário;
•	 procurar descobrir a existência de possíveis ciclos periódicos, qual o período aproximado etc.
Eis os tipos mais comuns de gráficos:
Gráfico em linha
1 2 3 4 5 6 7
500
400
300
200
100
0
Série 1
Série 2
Figura 4
Gráfico em colunas
População
1940 1950 1960 1970
100
80
60
40
20
0
População
Figura 5
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ESTATÍSTICA APLICADA
Gráfico em barras
É semelhante ao gráfico em colunas, porém os retângulos são dispostos horizontalmente.
População do Brasil
0 20 40 60 50 100
1970
1960
1950
1940
População do 
Brasil
Figura 6
Gráfico em setores
Anos Faturamento de uma empresa (em milhões)
2008 3
2009 4
2010 5
Total 12
Figura 7
É a representação gráfica de uma série estatística, em círculo, por meio de setores. É utilizado 
principalmente quando se pretende comparar cada valor da série com o total.
Total __________360º
Parte___________ xº
• Para 2008: 12 - 360º
3 - xº
xº = 90º
• Para 2009: 12 - 360º
4 - xº
xº = 120º
• Para 2010: 12 - 360º
5 - xº
xº = 150º
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 2008
 2009
 2010
Figura 8
Gráfico polar
É a representação de uma série por meio de um polígono. Movimento mensal de compras de uma 
agência em 1972.
Tabela 4
Meses Valores (R$ 1.000,00)
Janeiro 12
Fevereiro 13
Março 14
Abril 12
Maio 15
Junho 19
Julho 17
Agosto 18
Setembro 14
Outubro 16
Novembro 12
Dezembro 18
Jan
Fev
Mar
Abr
Mai
Jun
Jul
Ago
Set
Out
Nov
Dez 20
15
10
5
0
Série 1
Figura 9
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Gráfico carta geográfica
É a representação gráfica de um mapa geográfico indicando um acontecimento, por exemplo, 
a previsão de tempo para determinado dia em determinado Estado ou país. A figura a seguir é um 
cartograma que informa a produção de petróleo segundo suas regiões geográficas.
Cartograma 1.2 – Produção de petróleo, 
segundo regiões geográficas (milhões b/d) – 2003
África
Américas 
Central e do Sul
8,4
14,2
6,7
7,9
7,9
22,6
Oriente 
Médio
Ásia-Pacífico
Europa e Ex-União Soviética
América do 
Norte
Figura 10
Nota: inclui óleo de xisto, óleo de areias betuminosas – o LGN, exceto para o Brasil.
Para o Brasil, inclui LGN e não inclui óleo de xisto e óleo de areias betuminosas.
Pictograma
É a representação gráfica mais utilizada na atualidade por jornais e revistas, pois é um gráfico de 
forma atraente e de fácil interpretação. Mostra o fenômeno estudado inserido com um gráfico de linha, 
coluna, barra ou de setor, conforme o exemplo a seguir, em que um outdoor aponta a verba gasta com 
publicidade junto com um gráfico de linha para mostrar seu desempenho anual.
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Figura 11
Publicidade em alta
Institucional De utilidade 
pública
Orçamento prevê 
aumento de 20% 
em gastos da 
administração direta
Valor da 
publicidade
Em R$ Milhões
2007 2008 2009 2010 2007 2008 2009 2010
80,1
120,2
158,1
167 532,1
425,1
294,7
152,6
Figura 12
 Saiba mais
Aplicação de gráficos de controle de Soma Acumulada (CUSUM) para 
monitoramento de um processo de usinagem. Disponível em: <http://
dspace.universia.net/bitstream/2024/542/1/ArtigoXVISIMPEP2009.PDF>. 
Acesso em: 20 jul. 2012.
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2.1 Elementos básicos das tabelas
Uma forma de sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem assumir é por meio de uma 
tabela.
Uma tabela é constituída dos seguintes elementos:
Quadro 1
Título É o conjunto de informações que precede a tabela e contém a indicação dos fatores: o quê? Quando? Onde?
Cabeçalho É a parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas.
Corpo da tabela É o espaço que contém as informações sobre o fenômeno observado.
Fonte É a indicação da entidade responsável pelo levantamento dos dados.
Título Produção de petróleo em barris/dia
Estado e Região TotalBarris/dia Cabeçalho
Rio de Janeiro 1.597.387
Coluna 
indicadora
Espírito Santo 193.962
Amazonas 52.964
Bahia 49.472
Rio Grande do Norte 60.861
Sergipe 42.072
São Paulo 16.983
Alagoas 6.300
Ceará 7.530
Paraná (xisto) 3.393
Rodapé 
Figura 13
3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL: MÉDIA, MODA E MEDIANA PARA 
DADOS SIMPLES
No desenvolvimento de um estudo estatístico, muitas vezes é inviável examinar todos os elementos 
da população de interesse para tirar conclusões; pensando nisso, há medidas que possibilitam 
condensar as informações para esclarecer a fase analítica da estatística descritiva. A inferência 
estatística nos dá elementos para generalizar, de maneira segura, as conclusões obtidas da amostra 
para a população.
Quando se trata de amostra, a preocupação central é que ela seja representativa.
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Assim que decidimos extrair informações por meio de um levantamento amostral, temos 
imediatamente dois problemas:
•	 definir cautelosamente a população de interesse;
•	 selecionar a característica que iremos pesquisar.
Portanto, temos situações profissionais em que nos bastam poucos dados ou estatísticas de dados 
simples. Por outro lado, têm-se também situações em que um número maior de elementos deve ser 
investigado e tratado como distribuições de frequência.
Quando estamos diante de um conjunto de dados, seja ele pequeno ou grande, em geral buscamos 
medidas que possam ser usadas para indicar um valor que tende a representar melhor aquele determinado 
conjunto de números. E as medidas mais usadas nesse sentido são as chamadas medidas de tendência 
eventual ou central, que são a média, a mediana e a moda.
Sabe-se que esses valores serão medidos de forma distinta conforme um grande conjunto de dados 
ou um pequeno conjunto de dados. Também o cálculo desses valores será afetado caso as variáveis 
sejam discretas ou contínuas.
Em estatística, a média é o valor médio de uma distribuição ou de um conjunto de dados, 
determinado segundo uma regra estabelecida a priori e que se utiliza para representar todos os 
valores da distribuição. Existem diversas formas de calcular a média de um conjunto de números, 
por exemplo, algumas delas são: média aritmética, média aritmética ponderada, média geométrica e 
média harmônica.
 Observação
Neste módulo, trataremos do cálculo dessas estatísticas para os 
chamados dados simples ou conjuntos de dados com menos de 30 
elementos.
3.1 A média aritmética simples (x)
A média aritmética é um dos valores mais representativos de um conjuntode dados. Obtém-se o 
valor da média aritmética dividindo-se o somatório dos valores do conjunto de dados pelo número de 
valores total desse conjunto.
Na média aritmética, temos como símbolo: x (lê-se “x traço” ou “x barra”).
Assim, temos que, para a amostra, se calcula o valor médio utilizando-se os seguintes parâmetros:
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ESTATÍSTICA APLICADA
x
x
n
i
i
n



1
, onde 
x ⇒ Média aritmética da amostra (estimativa)
n ⇒ Número de dados da amostra 
xi ⇒ Cada variável da amostra
Vamos, agora, tomar um exemplo de média aritmética. Supondo um conjunto de dados 
xi = {2, 4, 6, 8, 10,12}, onde n = 6, temos:
x
x
n
i
i
n
 
    



1 2 4 6 8 10 12
6
7
Exemplo 1:
Uma amostra das notas das provas de matemática dos estudantes da 7ª série de uma grande escola 
de São Paulo xi, em que:
xi = {87, 42, 64, 58, 90, 90, 85, 63, 47, 74, 100, 94} e n = 12, temos:
x
x
n
i
i
n
 
          



1 87 42 64 58 90 90 85 63 47 74 100 94
12
74 5,
A nota média na prova de matemática dos estudantes da 7ª série dessa escola de São Paulo, por 
amostragem, é 74,5.
 Observação
São as propriedades que a média aritmética simples possui que a fazem 
a medida de tendência central mais usada e mais importante de todas.
São propriedades da média aritmética:
•	 em um conjunto de dados, é sempre possível o cálculo da média, independentemente de quais 
elementos compõem esse conjunto de dados;
•	 em um determinado conjunto de dados, o valor da média será único e corresponderá a uma constante;
•	 todos os valores de determinado conjunto de dados irão afetar a média, se um valor se modifica, 
a média aritmética também se modificará; somando-se ou subtraindo-se uma determinada 
constante c a cada elemento de um determinado conjunto de dados xi = x1, x2, x3, ..., xn, a média 
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aritmética ficará aumentada ou diminuída dessa constante c; se, por outro lado, multiplicarmos 
cada elemento desse conjunto de dados por uma constante c, a nova média será também 
multiplicada por essa constante c; se dividirmos cada elemento do conjunto de dados por essa 
mesma constante c, a média será dividida por c.
Assim, se temos um conjunto xi = x1, x2, x2, ..., xn, a média será:
x
x
n
i
n
1
1
1



, logo:
x
c x
n
x
x
n
nc
n
x x c
i
i
n
i
i
n
2
1
2
1
2 1

     
 
 
( )
•	 a soma algébrica dos desvios dos números de um conjunto de dados em torno da média é zero, 
isso pode ser representado da seguinte forma:
x xi   0
Por exemplo, se temos um conjunto de dados xi = (2, 4, 6, 8, 10), onde n = 5, temos que:
x
xi
i
 
   



1
5
5
2 4 6 8 10
5
6
Se aplicarmos a fórmula acima, temos:
x x xi i              6 2 6 4 6 6 6 8 6 10 6( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x
x x
i
i


      
 
4 2 0 2 4
0
 Observação
A média aritmética é a mais utilizada em nosso dia a dia. É obtida 
dividindo-se a soma das observações pelo número delas.
3.2 A média aritmética ponderada xp
Num conjunto de dados em que cada elemento ou cada observação possui a mesma importância, 
o cálculo da média aritmética simples mostrará bem a população ou a amostra estudada. No 
entanto, se queremos atribuir pesos distintos ou importâncias distintas aos elementos de um 
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ESTATÍSTICA APLICADA
conjunto de dados, a estatística a ser adotada é a média aritmética ponderada, em que a cada 
valor xi deverá ser atribuído um determinado peso pi. A expressão estatística para o cálculo da 
média ponderada é:
x
x p
p
p
i i
i
n
i
i
n




1
1
Supondo que um estudante tenha de efetuar uma série de quatro exames para obter sua média 
final e passar de ano, cada exame possui um peso diferente na composição dessa média, conforme a 
tabela a seguir:
x
x p
p
x
p
i i
i
n
i
i
n
p


  




1
1
0 30 68 0 20 89 0 40 45 0 1
,
( , ) ( , ) ( , ) ,
 logo
00 100
0 30 0 20 0 40 0 10
20 4 17 8 18 10 66 2
( )
, , , ,
, , ,
  
    xp
Exame Nota Peso
1 68 0,30
2 89 0,20
3 45 0,40
4 100 0,10
1,00
Figura 14
A nota média será, então, 66,2, resultado diferente do que seria obtido se utilizássemos a média 
aritmética simples.
Num conjunto de dados, em que cada elemento ou cada observação possui importância diferente, 
utilizamos a média aritmética ponderada.
Exemplificando as médias aritmética e ponderada:
Média aritmética – exemplo: um aluno tirou as notas 5, 8 e 6 em três provas. A sua média aritmética 
será (5 + 8 + 6)/3 = 6,33
Média ponderada – exemplo: um aluno fez um teste (peso 1) e duas provas (peso 2), 
tirando 8 no teste, 5 na primeira prova e 6 na segunda prova. A sua média (ponderada) 
será [(1 x 8) + (2 x 5) + (2 x 6) ]/5 = 6. Se o teste e a prova tivessem o mesmo peso (e 
não importa qual o valor do peso, importa apenas a relação entre os pesos), a média seria, 
aproximadamente, 6,33.
Distribuição por frequência é a tabela em que se organizam grandes quantidades de dados, 
determinando o número de vezes que cada dado ocorre – frequência (fi) – e a porcentagem com que 
aparece – frequência relativa (fr).
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 Observação
∑fi = n número total de observações;
xi = valor da variável ou pontos médios de classes;
k = número de classes ou de valores individuais diferente da variável.
Exemplo: em uma turma, a nota atribuída a 28 alunos, referente a um teste de estatística, foi 
disposta em ordem crescente: 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10.
Observando que algumas notas se repetem, podemos utilizar o número de observações ou frequência 
de cada um deles como o peso ou fator de ponderação.
Assim:
 (4x4)+(7x5)+(5x6)+(5x7)+(4x8)+(2x9)+(1x10)
x = ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- = 6,29
 4+7+5+5+4+2+1
Utilizando uma tabela para representar a distribuição de frequência, temos:
Tabela 5
xi fi xi fi
 ∑ xi fi 176x = ------------------------------------ = --------------------------- = 6,29
 n 28
4 4 4 x 4 = 16
5 7 5 x 7 = 35
6 5 6 x 5 = 30
7 5 7 x 5 = 35
8 4 8 x 4 = 32
9 2 9 x 2 = 18
10 1 10 x 1 = 10
∑ 28 176
3.3 A mediana (Md)
Outra medida importante de um conjunto de dados é a mediana. A mediana divide determinado 
conjunto de dados que deverá estar ordenado em dois grupos iguais, em que metade terá valores 
menores, e metade terá valores maiores que a mediana.
Antes de calcular a mediana, é preciso organizar os valores num rol em ordem crescente, para então 
contar até a metade dos valores e encontrar a mediana. Em geral, após organizarmos os dados em um 
rol, podemos calcular a posição da mediana com a fórmula a seguir:
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ESTATÍSTICA APLICADA
 (n+1)
Posição mediana = ---------------------------- 
 2
Em que n é o número de dados observados. Por exemplo, para um conjunto de dados 
xi = {6, 9, 3, 5, 2, 9, 5, 5, 8, 7, 1, 7, 2}, em que n = 13, temos primeiro que organizar esses 
dados em um rol e depois encontrar a posição da mediana para então saber qual será a 
mediana. Senão, vejamos:
rolxi - {1, 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9}
 (n+1) 13+1
Posição mediana = ---------------------------- = ---------------------------- = 7 (7º posição)
 2 2
Md = 5
A mediana é outra medida de posição definida como o número do meio, quando as medidas são 
organizadas em ordem ascendente ou descendente. Em outras palavras, a mediana de um conjunto de 
termos ordenados é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de 
mesmo número de elementos.
 
 Observação
Se o número de elementos for ímpar, então a mediana será exatamente 
o valor “do meio”. Se o número de elementos for par, então a mediana será 
exatamente a média “dos dois valores do meio”.
Para determinar a mediana:
•	 organize o conjunto de dados em um rol;
•	 para um conjunto de dados cujo n = ímpar, a mediana será o valor do meio;
•	 para um conjunto de dados cujo n = par, a mediana será a média dos dois valores do meio.
Para um conjunto de dados xi = {6, 4, 8, 3, 2, 9, 7, 1}, em que n = 8, temos, então:
rolxi = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}
 (n+1) 8+1
Posição mediana = ---------------------------- = ---------------------------- = 4,5
 2 2
A mediana será o valor que está a meio caminho dos dois valores médios; nesse caso, entre 4 e 6. 
Como fazer? Deve-se tirar a média entre os dois valores do meio para obter o valor da mediana.
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Assim, temos:
 4 + 6
Md = ---------------------------- = 5
 2
 Observação
Quando usamos a mediana?
Empregamos a mediana quando:
• desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;
• há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média;
• a variável em estudo é salário.
Em teoria da probabilidade e em estatística, a mediana é uma medida de tendência 
central, um número que representa as observações de determinada variável, de tal forma que 
esse número, a mediana, de um grupo de dados ordenados, separa a metade inferior da amostra, 
população ou probabilidade de distribuição, da metade superior. Mais concretamente, 1/2 da 
população terá valores inferiores ou iguais à mediana, e 1/2 da população terá valores superiores 
ou iguais à mediana.
Em casos de populações (n) ímpares, a mediana será o elemento de posição central 
n 







1
2
.
Para os casos de populações (n) pares, a mediana será o resultado da média simples dos elementos 
 
de posição central 
n
e
n
2
1
2














 . Por exemplo, para as seguintes séries, temos:
Exemplo 1
1, 3, 5, 7, 9, o n da série é ímpar, temos:
n 















1
2
5 1
2
3º posição
A mediana é igual a 5, pois é a 3ª posição da série.
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ESTATÍSTICA APLICADA
Exemplo 2
1, 2, 4, 7, 9, 10, o n da série é par, temos:
n n
e
e
2
1
2
6
2
6 1
2
3 4






























 
 e 
 
 3° e 4°
A média será a média entre o 3° e o 4° elemento da série, que será:
3° = 4
4° = 7
Md
Md









4 7
2
5 5,Md = 5,5
3.4 A moda
Muitas vezes, em um conjunto de dados, existem valores que se repetem com frequência maior. 
A moda é justamente esse valor ou esses valores que mais se repetem em um conjunto de dados. É 
possível haver estatísticas que não possuam moda ou que possuam mais de uma moda.
No exemplo que demos anteriormente, para um conjunto de dados xi = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}, não 
existe moda, e diz-se que o conjunto ou distribuição é amodal.
A moda é uma estatística muito mais descritiva e sua importância cresce à medida que um valor ou grupo 
de valores se repete mais que outros, e nesse sentido a moda indicaria o valor típico daquele conjunto de 
dados com maior ocorrência. Por exemplo, o conjunto de dados xi = {2, 2, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18} tem 
moda igual a 9, porque o número 9 é aquele com maior frequência, repetindo-se três vezes.
Denominamos moda o valor ou valores de um conjunto de dados que aparecem com maior 
frequência em uma série. Por exemplo: o salário modal dos professores de uma escola é o salário mais 
comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa escola.
A moda pode apresentar mais de um valor, diferentemente da média ou da mediana. É especialmente 
útil quando os valores ou observações não são numéricos, uma vez que a média e a mediana podem não 
ser bem definidas.
A moda de {pera, pera, banana, limão, limão, limão, pêssego} é limão.
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A série {1, 3, 4, 5, 5, 6, 6} apresenta duas modas (bimodal): 5 e 6.
A série {1, 3, 2, 5, 8, 7, 4, 9} não apresenta moda.
Exemplo
Sabendo-se que a produção leiteira diária de uma vaca, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 
16, 18 e 12 litros, pede-se que se encontre a média, a moda e a mediana para a produção diária de leite 
dessa vaca.
Média
x
x
n
i
i
n
 
     
 


1 10 14 13 15 16 18 12
7
98
7
14
Logo, x = 14 litros de leite em média por dia, o que significa uma produção de 98 litros de leite em 
média por semana.
 Observação
A média pode ser um número diferente de todos os valores da amostra 
que ela representa.
Moda
Como não possui um valor que aparece com maior frequência que os outros, não há valor de moda 
para esse exemplo.
Mediana
Ordenando os dados de forma crescente, temos: 10 - 12 - 13 - 14 - 15 – 16 – 18
Posi
Posi
Posi
çã
çã
çã
o mediana
n
o mediana


















1
2
7 1
2
oo mediana  4
Mediana será o 4° elemento da série, que é igual a 14 litros de leite por dia.
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ESTATÍSTICA APLICADA
 Observação
Cada frequência acumulada é a soma das frequências anteriores à 
classe.
f1a = f1
f2a = f1a + f2
f3a = f2a + f3
f4a = f3a + f4
...........
fna = f(n-1)a + fn
3.5 Posição relativa da média, moda e mediana
Em uma distribuição de frequências simétricas, as medidas de média, mediana e moda coincidem. 
Já quando a assimetria torna-se diferente, essa diferença é tanto maior quanto é a assimetria. 
Resumidamente, temos:
(a) (b) (c)
x = Md = Mo Mo Md x x Md Mo
Figura 15 - Distribuições: (a) simétrica, (b) assimétrica e (c) assimétrica negativa.
a) x = xmd = Mo à curva simétrica
b) Mo< xmd < x à curva assimétrica positiva
c) x < xmd < Mo à curva assimétrica negativa
4 MEDIDAS DE DISPERSÃO PARA DADOS SIMPLES
Observamos que a moda, a mediana, e a média podem ser usadas para condensar, num único número, 
aquilo queé “médio” ou “típico” de um conjunto de dados. No entanto, a informação fornecida pelas 
medidas de posição necessita, em geral, ser complementada pelas medidas de dispersão. Essas medidas 
são usadas para indicar o quanto os dados se apresentam dispersos em torno da região central. Dessa 
forma, caracterizam o grau de variação existente no conjunto de valores. As medidas de dispersão mais 
utilizadas são:
•	 amplitude total;
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•	 desvio padrão;
•	 variância;
•	 coeficiente de variação.
Note que, quanto maiores forem as medidas de dispersão, mais heterogêneos são os dados e, ao 
contrário, quanto menores forem essas medidas, mais homogêneo é o conjunto.
Vejamos a seguir alguns exemplos que mostram a necessidade de conhecermos as medidas de dispersão.
Exemplo 1
Sabe-se que em Honolulu (Havaí) e em Houston (Texas) a temperatura média diária é quase a 
mesma, em torno de 23,9 ºC. Pergunta-se: será que, por isso, podemos inferir que a temperatura seja 
basicamente a mesma em ambas as localidades? Ou não será possível que, enquanto uma cidade é 
melhor para natação, a outra o seja para atividades externas?
A temperatura em Honolulu varia muito pouco ao longo do ano, oscilando, em geral, entre 21,1 ºC 
e 26,7 ºC. Por outro lado, a temperatura em Houston pode diferir sazonalmente (nas estações do ano), 
isto é, apresentar-se baixa em janeiro (cerca de 4,4 ºC) e alta em julho e agosto (bem perto de 37,8 ºC). 
Logo, podemos perceber uma oscilação significativa. Desnecessário dizer que as praias em Houston não 
estão cheias de gente o ano todo.
Exemplo 2
Suponha que, numa particular cidade, tanto ladrões quanto professores secundários tenham uma 
renda média mensal de R$ 900,00. Será que essa informação indica que as duas distribuições de renda 
são, necessariamente, semelhantes? Muito ao contrário, poder-se-ia descobrir que elas diferem, e 
muito, num outro aspecto importante, que é o fato de as rendas dos professores concentrarem-se ao 
redor de R$ 900,00 (serem constantes, homogêneas), enquanto as dos ladrões espalham-se mais (são 
descontínuas, heterogêneas), o que reflete, portanto, maiores oportunidades para prisões, desemprego, 
pobreza e, em alguns casos, fortunas excepcionais.
Os fatos mostram que precisamos, além de uma medida de tendência central, de um índice que 
sinalize o grau de dispersão dos dados em torno da média. Esse índice é uma medida indicativa do que 
costumamos chamar de variabilidade ou dispersão.
Retornando ao exemplo 1, poderíamos concluir que a distribuição de temperatura em Houston 
(Texas) tem maior variabilidade do que a distribuição de temperaturas em Honolulu (Havaí). Da mesma 
forma, podemos dizer que a distribuição de rendas entre professores apresenta menos variabilidade do 
que a distribuição de rendas entre ladrões.
Assim, quando se deseja entender, analisar e descrever de forma adequada um determinado conjunto 
de dados, faz-se necessário dispor não apenas de informações relativas às medidas de posição. É preciso 
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ESTATÍSTICA APLICADA
que se disponha de informações relativas à variabilidade (dispersão) daqueles números que compõem o 
referido conjunto de dados. Essas medidas de variabilidade ou dispersão indicam se os dados observados 
estão próximos ou separados uns dos outros.
Diferente das medidas de posição, as medidas de dispersão não são autoexplicativas, sua aplicabilidade 
depende da comparação de populações ou de amostras do mesmo tamanho e da mesma característica 
para que se obtenha alguma informação importante a partir daquela determinada variabilidade.
As principais medidas de dispersão são: a amplitude total (ou intervalo), o desvio médio, a variância 
e o desvio padrão. A média serve de referência para todas essas medidas, exceto para o intervalo (ou 
amplitude total). À proporção que essas medidas se elevam, isso representa um aumento da dispersão, 
o que significa que, se a medida for igual a zero, não existe dispersão.
As medidas de variabilidade, que têm a média aritmética como ponto de referência, são importantes 
porque nos permitem avaliar o grau de dispersão das observações em relação a essa mesma média, 
isto é, permitem-nos avaliar o quão distante os dados de um determinado grupo de observações estão 
da média calculada, dando-nos uma noção mais precisa da situação de determinada população ou 
amostra, além de condições de tirar conclusões e informações importantes daqueles dados disponíveis.
Exemplo 3
Um estudante de economia resolve fazer uma pesquisa sobre os salários médios dos funcionários 
de determinado setor industrial em São Paulo. Nessa pesquisa, esse estudante conseguiu os seguintes 
dados em termos de salários mínimos mensais:
xi = {1.0; 1.5; 2.0; 2.0; 2.0; 2.5; 3.0; 3.0; 80.0; 85.0}
Ao calcular o salário médio desse setor, ele chegou ao valor médio de 18,2 salários mínimos por mês. 
Ora, mas esse dado, sem o cálculo de sua dispersão em relação à média aritmética, pouco nos diz sobre 
a realidade dessa população, e acabamos por ter uma visão distorcida do padrão de vida da maior parte 
dos funcionários desse setor analisado pelo estudante. As medidas de variabilidade ou dispersão nos 
permitem perceber essa distorção.
Temos, como principais medidas de dispersão, intervalo, desvio médio, variância e desvio padrão.
As medidas mais comuns de variabilidade para dados quantitativos são a variância; a sua raiz 
quadrada e o desvio padrão. A amplitude total, a distância interquartílica e o desvio absoluto são mais 
alguns exemplos de medidas de dispersão.
4.1 Amplitude total
O intervalo ou amplitude total de determinado conjunto de dados é obtido pela diferença entre o 
maior e o menor valor nesse conjunto de números. Indica, portanto, a distância entre a maior e a menor 
observação de um conjunto de dados. Assim, temos:
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Amplitudetotal = Valormáximo - Valormínimo
Por exemplo, num conjunto de dados xi = {2, 3, 3, 5, 5, 5, 8, 10, 12}, em que n = 9, a amplitude total 
será:
Atotal = Vmáximo - Vmínimo = 12 - 2 = 10
Em alguns casos, o intervalo ou amplitude total pode ser expresso simplesmente pela indicação 
do menor e do maior número do conjunto de dados. No caso do exemplo anterior, a amplitude total 
poderia ser expressa simplesmente pela identificação do menor e do maior número, indicada como 
sendo de (2 a 12) ou (2 – 12).
A grande vantagem da amplitude total é que ela apresenta certa facilidade de ser calculada, mesmo 
quando o conjunto de dados observados é relativamente grande. No entanto, como a amplitude total 
apenas leva em conta os dois extremos do conjunto de números, em alguns casos ela pode ser uma 
medida enganosa quanto à indicação da dispersão de um conjunto de números, tendo, portanto, uma 
utilidade limitada.
O intervalo de determinado conjunto de dados é obtido pela diferença entre o maior e o menor valor 
nesse conjunto de números.
4.2 Desvio médio absoluto
O desvio médio absoluto inaugura o estudo das medidas de variabilidade que têm a média como 
ponto de referência.
O chamado desvio nada mais é que a diferença entre cada valor de determinado conjunto de 
dados e a média desse mesmo conjunto de números (xi - x). O valor absoluto de um número será 
ele próprio, sem o sinal que lhe é associado, e é indicado por meio de duas linhas verticais que o 
enquadram.
Assim, |-67| = 67; |9| = 9.
É preciso calcular primeiro a média aritmética dos dados disponíveis, que em geral se apresentam 
como dadosamostrais.
O desvio médio absoluto será calculado pela média dos desvios dos valores a contar da média, 
ignorando o sinal (+ ou -) do desvio, ou seja, convertendo os valores dos desvios em valores absolutos, 
considerando-os todos desvios positivos. Assim, temos:
Dmédio = 
x x
n
i
i
n



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ESTATÍSTICA APLICADA
Em que n é o número de observações.
Vamos, agora, tomar um exemplo de desvio médio. Num conjunto de dados amostrais xi = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, 
em que n = 6, determine o desvio médio. Temos, então:
Dmédio =
x x
n
i 
Precisamos, primeiro, calcular a média, para então passarmos ao cálculo do desvio médio. Relembrando 
a fórmula do cálculo da média aritmética, temos:
x
x
n
x xi  
    
  

2 4 6 8 10 12
6
7 7
Agora, podemos calcular os desvios para cada valor do conjunto de dados. Assim, temos:
xi - x
Dmédio = x x
n
i 

       

5 3 1 1 3 5
6
Dmédio = 
5 3 1 1 3 5
6
3
    

Dmédio = 3
2 – 7 - 5
4 – 7 - 3
6 – 7 - 1
8 – 7 1
10 – 7 3
12 – 7 5
Σ 0
Figura 16
O valor encontrado anteriormente representa a diferença média de cada observação e a média da 
distribuição, mas também nesse caso só seria possível obter mais informações a partir do desvio médio 
comparando com outras populações ou amostras de mesmas características. Por exemplo, se outro 
conjunto de dados, com as mesmas características e tamanho, apresentasse um desvio médio absoluto 
igual a 2,4, ou seja, menor que o desvio médio absoluto calculado no exemplo anterior, poder-se-ia dizer 
que esse segundo conjunto de valores é mais homogêneo do que o nosso exemplo, já que a diferença 
de cada um dos seus elementos em relação à média aritmética é menor. Teríamos, assim, uma dispersão 
menor.
O desvio é que a diferença entre cada valor de determinado conjunto de dados é a média desse 
mesmo conjunto de números.
4.3 Variância
Como no cálculo do desvio médio, para o cálculo da variância, precisaremos utilizar o desvio de 
cada elemento de um conjunto de dados em relação à média aritmética (xi - x). No entanto, ao invés de 
42
Unidade I
Re
vi
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o:
 A
nd
ré
ia
 G
om
es
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: L
éo
 -
 0
1/
08
/2
01
2
trabalharmos com os valores absolutos (em módulo), agora os desvios são elevados ao quadrado antes 
da soma. Para o caso de dados amostrais, ao invés de dividirmos por n, dividimos por n – 1 (que é o total 
da amostra menos uma unidade).
A variância irá nos dizer o grau de dispersão de determinado grupo de dados com relação à média 
aritmética desses números. Assim, a variância populacional poderá ser calculada da seguinte forma:

2
2



( )x
n
i , onde
σ2: Variância populacional;
xi: Cada observação do conjunto de 
dados populacional;
µ: Média da população;
n: Número de observações.
A variância amostral poderá ser calculada pela seguinte fórmula:
s
x x
n
i2
2
1




( ) , onde
s2: Variância da amostra;
xi: Cada observação do conjunto 
amostral; 
x: Média da amostra;
n: Número de observações da 
amostra.
Por exemplo, seja determinado conjunto de dados xi = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13}, em que n = 7. Calcule a 
variância desse conjunto de dados, supondo:
•	 que esse conjunto de dados representa toda uma população;
•	 que esse conjunto de dados representa uma amostra.
A) Para calcular a variância desse conjunto de dados, considerando que ele representa toda uma 
população, devemos utilizar a seguinte fórmula:

2
2



( )x
n
i
Devemos passar ao cálculo da média desse conjunto de dados para, então, proceder ao cálculo da 
variância. Sendo assim, temos:
 

  

     



x
n
i
1 3 5 7 9 11 13
7
7
7
 (média populacional)
43
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o:
 A
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ia
 G
om
es
 -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: L
éo
 -
 0
1/
08
/2
01
2
ESTATÍSTICA APLICADA
Partindo da média, podemos agora calcular os desvios e partir para o cálculo da variância populacional, 
já que supomos que o conjunto de dados representava toda a população. Assim, temos:
µ xi - µ (xi - µ)
2




2
2
2
2 2 2 2 2 2
2
6 4 2 2 4 6
7
36 16 4 4 16



       

    

( )
( ) ( ) ( )
x
N
i
336
7
16
162


7 7 – 1 = 6 62
7 7 – 3 = 4 42
7 7 – 5 = 2 22
7 7 – 7 = 0 0
7 7 – 9 = - 2 (-2)2
7 7 – 11 = - 4 (-4)2
7 7 – 13 = - 6 (-6)2
Σ 0 112
Figura 17
Desse modo, a variância populacional desse conjunto de dados seria igual a 16.
B) Se, por outro lado, temos o mesmo conjunto de dados e supondo que ele representa apenas dados 
amostrais, devemos calcular a variância amostral de outra forma, partindo do cálculo da média 
para, então, calcularmos a variância.
Como vimos no item 2, a expressão para o cálculo da média aritmética em uma amostra é a mesma 
do cálculo da média para uma população, mas utilizaremos para as amostras outra notação. Vejamos:
x
x
n
xi   7 (média amostral).
Normalmente, a média amostral aproxima-se da média populacional quanto maior o tamanho da 
amostra, mas não se iguala a ela.
Passemos, então, ao cálculo da variância amostral. Utilizaremos os mesmos passos do cálculo da 
variância populacional. Dessa forma:
s
x x
n
i2
2
1




( )
x xi - x (xi - x)
2
S
x x
n
S
S
i2
2
2
2 2 2 2 2 2
2
1
6 4 2 2 4 6
7 1
36 16 4 4




       


  

( )
( ) ( ) ( )
 



16 36
7 1
112
6
18 6662S , ...
7 7 – 1 = 6 62
7 7 – 3 = 4 42
7 7 – 5 = 2 22
7 7 – 7 = 0 0
7 7 – 9 = - 2 (-2)2
7 7 – 11 = - 4 (-4)2
7 7 – 13 = - 6 (-6)2
Σ 0 112
Figura 18
44
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1/
08
/2
01
2
A variância amostral desse conjunto de dados é igual a 18,666.
Como a média aritmética, a variância possui algumas propriedades importantes que devemos colocar 
em destaque e que facilitam o cálculo de alguns problemas mais complexos.
A) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a cada elemento de um conjunto de dados, o valor 
da variância não se altera.
Por exemplo, um conjunto de dados xi = {2, 4, 6, 8}, em que n = 4, e a média é igual a 5. A variância 
desse conjunto será dada como segue:




2
2
2
2 2 2 2
2
2 2
2 5 4 5 6 5 8 5
4
3 1


 
      


 
 
 

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
n
i
 

  
 
1 3
4
9 1 1 9
4
20
4
5
2 2
Se somarmos uma constante c = 4 a cada um dos elementos do conjunto de dados, temos um novo 
conjunto de dados yi = {6, 8, 10, 12}, em que a média será igual a 9. A variância será, então:



2
2 2
2 2 2 2 2
2
2
2
6 9 8 9 10 9 12 9
4
3 1




 
 
 
 
 
 
 


 
 


( )y
n
i


 

 

  
 
2 2 21 3
4
9 1 1 9
4
20
4
5
Sendo assim, demonstramos que  2 2
2  =, ou seja, ao somarmos uma constante a cada elemento 
de um conjunto de dados, a variância permanece a mesma.
B) Ao multiplicarmos uma constante c a cada elemento de um conjunto de dados, temos uma nova 
variância ao multiplicarmos a variância do conjunto de dados original por c2.
Assim, a nova variância será representada da seguinte forma:
 2
2