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Álgebra Linear Aplicada — 2017/01 — Turma B1 — Prova 1 (03/05/2017) • É recomendável fazer a prova a lápis, mas escreva a caneta as suas respostas finais, bem como o número de cada questão e item. • É proibido: consultar livros ou anotações; comunicar-se com colegas; usar calculadora, celular, ou qualquer dispositivo eletrônico. • É necessário exibir seus cálculos e/ou raciocínio. Respostas finais sem justificativa, ainda que corretas, não receberão crédito. • A falta de capricho e de legibilidade pode custar pontos! Q1. (a) Escreva a matriz completa do seguinte sistema linear nas variáveis x, y e z:2,5 pts. (a) 0,5 pts. (b) 2,0 pts. x + 2y + z = 2 2x − 2y + 3z = 1 x + 2y − (a2 − 3)z = a (b) Determine o(s) valor(es) de a tal(is) que o sistema acima tenha: (i) nenhuma solução, (ii) uma única solução, e (iii) uma infinidade de soluções. Dê respostas separadas para cada parte, justificando cada uma. Q2. Faça o que se pede em cada item. Dica: É possível resolvê-los simultaneamente!2,5 pts. (a) 1,3 pts. (b) 1,2 pts. (a) Resolva a seguinte equação matricial para X:1 −1 12 3 0 0 2 −1 X = −1 50 −3 5 −7 Observação: A equação acima equivale a dois sistemas lineares “tradicionais”, com a matriz de coeficientes em comum. (b) Calcule a inversa da matriz A = 1 −1 12 3 0 0 2 −1 , se tal inversa existir. Q3. Seja B = 1 1 21 0 1 1 2 1 . Resolva os itens abaixo, justificando cada passo dos cálculos.2,5 pts. (a) 0,7 pts. (b) 0,6 pts. (c) 0,6 pts. (d) 0,6 pts. (a) Calcule det(B6). (b) Calcule det(3B). Sejam agora A e P matrizes 3× 3, com P invertível, tais que B = P−1AP . (c) Escreva A em termos de B e P . (d) Calcule det(A). Observação: É possível resolver este item sem usar o item (c). Q4. Para que valor(es) de h a matriz2,5 pts. A = 2− h 3 03 −6− h 0 5 8 4− h . é não invertível? Dica: Considere o determinante de A. No verso: problemas para pontuação adicional. Escolha apenas uma das seguintes questões, valendo um ponto adicional. Q5. Seja A uma matriz n×n e b um vetor (coluna) de Rn. Suponha que todas as entradas da matriz A e do vetor b sejam números inteiros, e que detA seja igual a 1 ou −1. Mostre que a solução x do sistema linear Ax = b tem entradas inteiras. Q6. Obtenha o determinante de uma matriz n× n da forma 0 · · · 0 0 a1 0 · · · 0 a2 0 0 · · · a3 0 0 ... ... ... ... ... an · · · 0 0 0 em termos das entradas a1, a2, . . . , an. Sugestão: Considere, inicialmente, os casos n = 1, 2, 3, 4 e 5. Boa Prova!
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