prova 1 de cientométricos avançados

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Álgebra Linear Aplicada — 2017/01 — Turma B1 — Prova 1 (03/05/2017)
• É recomendável fazer a prova a lápis, mas escreva a caneta as suas respostas finais,
bem como o número de cada questão e item.
• É proibido: consultar livros ou anotações; comunicar-se com colegas; usar calculadora,
celular, ou qualquer dispositivo eletrônico.
• É necessário exibir seus cálculos e/ou raciocínio. Respostas finais sem justificativa,
ainda que corretas, não receberão crédito.
• A falta de capricho e de legibilidade pode custar pontos!
Q1. (a) Escreva a matriz completa do seguinte sistema linear nas variáveis x, y e z:2,5 pts.
(a) 0,5 pts.
(b) 2,0 pts.

x + 2y + z = 2
2x − 2y + 3z = 1
x + 2y − (a2 − 3)z = a
(b) Determine o(s) valor(es) de a tal(is) que o sistema acima tenha: (i) nenhuma
solução, (ii) uma única solução, e (iii) uma infinidade de soluções. Dê respostas
separadas para cada parte, justificando cada uma.
Q2. Faça o que se pede em cada item. Dica: É possível resolvê-los simultaneamente!2,5 pts.
(a) 1,3 pts.
(b) 1,2 pts. (a) Resolva a seguinte equação matricial para X:1 −1 12 3 0
0 2 −1
X =
−1 50 −3
5 −7

Observação: A equação acima equivale a dois sistemas lineares “tradicionais”,
com a matriz de coeficientes em comum.
(b) Calcule a inversa da matriz A =
1 −1 12 3 0
0 2 −1
 , se tal inversa existir.
Q3. Seja B =
1 1 21 0 1
1 2 1
. Resolva os itens abaixo, justificando cada passo dos cálculos.2,5 pts.
(a) 0,7 pts.
(b) 0,6 pts.
(c) 0,6 pts.
(d) 0,6 pts. (a) Calcule det(B6).
(b) Calcule det(3B).
Sejam agora A e P matrizes 3× 3, com P invertível, tais que B = P−1AP .
(c) Escreva A em termos de B e P .
(d) Calcule det(A). Observação: É possível resolver este item sem usar o item (c).
Q4. Para que valor(es) de h a matriz2,5 pts.
A =
2− h 3 03 −6− h 0
5 8 4− h
 .
é não invertível? Dica: Considere o determinante de A.
No verso: problemas para pontuação adicional.
Escolha apenas uma das seguintes questões, valendo um ponto adicional.
Q5. Seja A uma matriz n×n e b um vetor (coluna) de Rn. Suponha que todas as entradas
da matriz A e do vetor b sejam números inteiros, e que detA seja igual a 1 ou −1.
Mostre que a solução x do sistema linear Ax = b tem entradas inteiras.
Q6. Obtenha o determinante de uma matriz n× n da forma
0 · · · 0 0 a1
0 · · · 0 a2 0
0 · · · a3 0 0
... ... ... ... ...
an · · · 0 0 0

em termos das entradas a1, a2, . . . , an.
Sugestão: Considere, inicialmente, os casos n = 1, 2, 3, 4 e 5.
Boa Prova!