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ESTRUTURAS EM 
CONCRETO ARMADO
ESTRUTURAS EM 
CONCRETO ARMADO
Estruturas em
 Concreto Arm
ado
Niander Aguiar Cerqueira Niander Aguiar Cerqueira 
GRUPO SER EDUCACIONAL
gente criando o futuro
O dimensionamento de estruturas de concreto é uma das grandes atribuições dos 
engenheiros, principalmente porque o concreto é o segundo material mais utilizado 
no mundo, perdendo apenas para a água. Assim, apreender os conceitos ligados ao 
concreto armado e protendido é de suma importância para o exercício pro� ssional 
de qualquer engenheiro civil. A� nal de contas, é muito provável que, ao longo da vida 
pro� ssional, um engenheiro precise realizar o dimensionamento estrutural, ou até 
mesmo � scalizar a execução de serviços ligados ao concreto armado ou protendido.
Dentro dos conceitos mais importantes, destacam-se os estudos de vigas, pilares e 
lajes, além de elementos de fundação, que são os tipos mais importantes de com-
ponentes estruturais. O cálculo de carregamentos, de dimensões mínimas, o pré-di-
mensionamento dos elementos, a análise dos esforços e a compreensão dos crité-
rios normativos estabelecidos pela Associação Brasileira de Normas Técnicas serão 
discutidos e estudados nessa disciplina, possibilitando a compreensão dos conceitos 
essenciais para realização do projeto estrutural em concreto armado ou protendido.
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mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
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Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
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CONTEXTUALIZANDO
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
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Unidade 1 - Pilares de concreto armado
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12
Introdução ao estudo de pilares ........................................................................................ 13
Seções retangulares ....................................................................................................... 13
Pilares-parede ................................................................................................................. 17
Pilares circulares e pilares compostos ....................................................................... 20
Cálculo de carregamentos ............................................................................................. 21
Classificação de pilares ..................................................................................................... 24
Deslocamento da estrutura ........................................................................................... 26
Análise de momentos .......................................................................................................... 27
Momento de primeira ordem e momento mínimo ...................................................... 27
Momento de segunda ordem: método da curvatura aproximada ........................... 31
Momento de segunda ordem: método da rigidez aproximada ................................ 34
Dimensionamento estrutural .............................................................................................. 37
Elementos submetidos à compressão axial ................................................................ 37
Elementos submetidos à flexão composta .................................................................. 38
Detalhes construtivos ..................................................................................................... 41
Sintetizando ........................................................................................................................... 43
Referências bibliográficas ................................................................................................. 45
Sumário
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Sumário
Unidade 2 - Elementos de fundação
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 46
Introdução ao dimensionamento de fundação. .............................................................. 47
Análise de esforços em pilares de borda .................................................................... 47
Dimensionamento de blocos à compressão simples ................................................ 49
Dimensionamento de cintas à flexão e ao cisalhamento ......................................... 52
Dimensionamento de fundação rasa ................................................................................ 57
Dimensionamento de sapatas isoladas à flexão ....................................................... 59
Dimensionamento de sapatas em estruturas indeslocáveis ................................... 62
Classificação de sapatas quanto à esbeltez .............................................................. 59
Dimensionamento de sapatas associadas ................................................................. 65
Cisalhamento e punção .................................................................................................. 67
Detalhes construtivos ..................................................................................................... 71
Dimensionamento de fundação profunda ........................................................................ 72
Dimensionamento de estacas à flexão composta ..................................................... 73
Dimensionamento de blocos de estacas .................................................................... 75
Detalhes de blocos .......................................................................................................... 79
Sintetizando ........................................................................................................................... 81
Referências bibliográficas ................................................................................................. 82
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Sumário
Unidade 3 - Reservatórios, escadas e elementos de concreto protendido
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 84
Dimensionamento de reservatórios .................................................................................. 85Cálculo dos esforços ...................................................................................................... 85
Dimensionamento de lajes de tampa e fundo ............................................................ 91
Dimensionamento de paredes ...................................................................................... 96
Dimensionamento de escadas ......................................................................................... 100
Tipos de escadas ........................................................................................................... 101
Análise dos esforços .................................................................................................... 102
Dimensionamento e detalhes de escadas usuais ................................................... 104
Materiais e disposições construtivas de concreto protendido ................................ 107
Sistema de protensão ................................................................................................... 109
Traçado geométrico de cabos em estruturas de protensão .................................. 112
Critérios de projeto: estimativa da força de protensão e valores representativos ........115
Sintetizando ......................................................................................................................... 119
Referências bibliográficas ............................................................................................... 120
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Sumário
Unidade 4 – Dimensionamento de elementos à flexão simples
Objetivos da unidade ......................................................................................................... 122
Hipóteses de cálculo ......................................................................................................... 123
Estádios de cálculo ....................................................................................................... 123
Domínios de deformação ............................................................................................. 126
Tipos de flexão ............................................................................................................... 129
Hipóteses básicas ......................................................................................................... 130
Flexão: procedimentos de cálculo .................................................................................. 132
Equações teóricas ......................................................................................................... 134
Dimensionamento de armadura dupla ....................................................................... 139
Detalhes construtivos ................................................................................................... 141
Dimensionamento de armadura transversal ................................................................. 143
Dimensionamento de armadura de cisalhamento ................................................... 145
Detalhamento de estribos ............................................................................................ 146
Sintetizando ......................................................................................................................... 150
Referências bibliográficas ............................................................................................... 151
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O dimensionamento de estruturas de concreto é uma das grandes atribui-
ções dos engenheiros, principalmente porque o concreto é o segundo mate-
rial mais utilizado no mundo, perdendo apenas para a água. Assim, apreender 
os conceitos ligados ao concreto armado e protendido é de suma importância 
para o exercício profi ssional de qualquer engenheiro civil. Afi nal de contas, é 
muito provável que, ao longo da vida profi ssional, um engenheiro precise reali-
zar o dimensionamento estrutural, ou até mesmo fi scalizar a execução de ser-
viços ligados ao concreto armado ou protendido.
Dentro dos conceitos mais importantes, destacam-se os estudos de vigas, 
pilares e lajes, além de elementos de fundação, que são os tipos mais impor-
tantes de componentes estruturais. O cálculo de carregamentos, de dimen-
sões mínimas, o pré-dimensionamento dos elementos, a análise dos esforços 
e a compreensão dos critérios normativos estabelecidos pela Associação Bra-
sileira de Normas Técnicas serão discutidos e estudados nessa disciplina, pos-
sibilitando a compreensão dos conceitos essenciais para realização do projeto 
estrutural em concreto armado ou protendido.
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Apresentação
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Dedico essa obra a meu pai, Josué G. Cerqueira, e a minha mãe, Carmen 
L. A. Cerqueira, minhas maiores referências de vida; a Deus, que me deu 
a vida e me dotou de capacidades plenas; a minha esposa, por seu apoio 
constante; a toda minha família; ao amigo Markssuel T. Marvila, pelo 
apoio; e aos meus alunos.
O professor Niander Aguiar Cer-
queira é doutor em Engenharia Civil 
(2017), mestre em Ciências de Enge-
nharia (2001) e graduado em Enge-
nharia Civil (1999) pela Universidade 
Estadual do Norte Fluminense Darcy 
Ribeiro – UENF, bem como especia-
lista em Engenharia de Segurança do 
Trabalho e Gestão de IES pelo Centro 
Universitário Redentor – UniReden-
tor (2014). 
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/1313037582197604
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 10
O autor
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PILARES DE 
CONCRETO ARMADO
1
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Compreender o cálculo de carregamentos de pilares;
 Classificar os pilares quanto à sua posição e rigidez;
 Dimensionar elementos de concreto armado tipo pilar;
 Detalhar as armaduras de aço calculadas.
 Introdução ao estudo de pilares
 Seções retangulares
 Pilares-parede
 Pilares circulares e pilares 
compostos
 Cálculo de carregamentos
 Classificação de pilares
 Deslocamento da estrutura
 Análise de momentos
 Momento de primeira ordem e 
momento mínimo
 Momento de segunda ordem: 
método da curvatura aproximada
 Momento de segunda ordem: 
método da rigidez aproximada
 Dimensionamento estrutural
 Elementos submetidos à com-
pressão axial
 Elementos submetidos à flexão 
composta
 Detalhes construtivos
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Introdução ao estudo de pilares
Os pilares de concreto armado podem ser defi nidos como elementos linea-
res de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças de com-
pressão são predominantes, segundo a defi nição da NBR 6118/2014 (Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento). A norma brasileira também destaca 
que os pilares exercem, junto com as vigas, uma importante função: possibili-
tar a estabilidade global da estrutura e o contraventamento, devido à forma-
ção dos pórticos estruturais que formam o esqueleto das edifi cações.
Embora a norma estabeleça, de maneira clara, que os pilares são predomi-
nantemente submetidos às cargas de compressão, na prática, o dimensiona-
mento dos pilares é realizado por meio de efeitos de fl exo-compressão ou de 
fl exo-tração, quando ocorrem efeitos elevados da carga de ventos para prédios 
muito altos. 
Seções retangulares
A primeira etapa para realizar o dimensionamento correto dos pilares, con-
forme destacado pelas normas brasileiras, consiste em determinar as caracte-
rísticas geométricas deles. Na seção transversal do pilar, independentemente 
de sua forma geométrica, nenhuma dimensão deve ser inferior a 19 cm. Em 
casos extremos, em que seria viável apenas a utilização de dimensões meno-
res, permite-se o uso de dimensões entre 12 e 19 cm, desde que o dimensio-
namento estrutural (Tabela 1) sejarealizado com a aplicação de um coefi ciente 
adicional de majoração dos esforços (γn).
b (cm) ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12
γn 1 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35γ 1 1,051,05 1,101,10 1,151,15 1,20 1,25 1,301,30 1,351,35
TABELA 1. VALORES DO COEFICIENTE ADICIONAL γn EM FUNÇÃO DE b
No caso da necessidade do cálculo do coefi ciente para valores diferentes 
dos que constam na Tabela 1, pode-se utilizar a equação (sendo b igual à menor 
dimensão do pilar, em cm):
Fonte: ABNT, 2014. (Adaptado).
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Outra medida importante no 
estudo de pilares é o comprimen-
to equivalente (Figura 1), definido, 
conforme a norma brasileira, por 
meio da equação (sendo que le des-
creve o comprimento equivalente; l0 
descreve a distância entre as faces 
internas dos elementos estruturais 
horizontais que limitam o pilar; e l 
descreve a distância entre eixos dos elementos estruturais aos quais o 
pilar está vinculado, todos em cm):
γn = 1,95 - 0,05 . b
Ainda sobre as dimensões, quando se trata de pilares retangulares, deve-
mos destacar que o dimensionamento está relacionado aos que não se com-
portam como paredes. Para saber se o pilar apresenta um comportamento de 
parede, é necessário verificar suas duas dimensões, em sua seção transversal 
(b e h), seguindo a equação (sendo h igual à maior dimensão do pilar, em cm):
h ≥ 5 . b
No caso de pilares convencionais, é necessário que a área de seção trans-
versal seja superior a 360 cm². Assim, por exemplo, se uma das dimensões 
for b = 15 cm, a outra dimensão deve ser de pelo menos h = 24 cm, ou ainda, 
se a menor dimensão do pilar for o valor mínimo permitido por norma (isto é, 
b = 12 cm), obrigatoriamente a outra dimensão da seção transversal do pilar 
deve ser de h = 30 cm.
(1)
(2)
CURIOSIDADE
Esse cuidado de ter uma seção transversal superior a 360 cm2, embora 
simples, é difícil de ser seguido em aplicações reais, pois os pilares ficam 
escondidos pelas paredes de alvenaria, que geralmente apresentam medi-
das de 18 a 20 cm. Assim, é inevitável que, em alguns casos, a arquitetura 
apresente dentes nas quinas, devido à presença de pilares, que nessa 
posição são comumente mais sobrecarregados.
le ≤
l0 + h (3)
l
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h
h/2
h/2
ℓ0 + hℓ0 ℓ
Figura 1. Representação esquemática dos parâmetros de um pilar vinculado. Fonte: ABNT, 2014. (Adaptado).
Esses cálculos são válidos quando o pilar está vinculado, ou seja, engastado 
nas duas extremidades. No caso do pilar que é livre no topo e engastado na 
base, admite-se que le = 2 . l. Além das características geométricas, duas impor-
tantes propriedades relacionadas às medidas dos pilares são o raio de giração 
e o índice de esbeltez. O raio de giração é uma forma de mensurar a tendência 
de giro dos pilares quando submetidos a momentos fletores, sendo descrita 
pela equação (em que i é o raio de giração, em cm, I é o momento de inércia da 
seção transversal, em cm4, e Ac é a área da seção transversal, em cm
2):
No caso da seção retangular, o raio de giração resulta em uma expressão 
mais simples, muito utilizada por engenheiros no dimensionamento de pilares, 
definida pelas equações:
(4)IAc
I = (5)b 
. h³
12
(6)Ac = b . h
(7)i = = = =I h
2 h
b . h³
b . hAc 12 12
12
i =
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O índice de esbeltez representa uma medida de rigidez dos pilares. De ma-
neira mais simples, podemos considerar que pilares esbeltos são mais altos, e 
pilares não esbeltos são mais curtos e menos submetidos a deflexões laterais. 
O cálculo do índice de esbeltez é realizado pela equação (em que λ é o índice de 
esbeltez, sendo este adimensional):
(8)λ =
Ie
i
Para assimilar os conceitos aprendidos até aqui, avaliemos, por exemplo, 
o comportamento de dois pilares: o primeiro (P1) apresenta seção transversal 
20 x 20 cm e distância entre as faces internas, dos elementos estruturais que 
o restringem, de 260 cm, que também é o pé direito da edificação; o segundo 
pilar (P2) apresenta seção transversal de 15 x 60 cm e pé direito de 380 cm. 
Analisando as medidas dos pilares, observa-se que o P1 respeita o valor mí-
nimo da norma para dimensões da seção transversal, pois suas duas medidas 
são maiores do que 19 cm. Além disso, uma vez que P1 é um pilar quadrado, te-
mos b = 20 cm e h = 20 cm, o que leva à conclusão de que sua seção transversal 
é de A = b . h = 20 . 20 = 400 cm², sendo, então, superior aos 360 cm² preconi-
zados como mínimos para a norma. Observa-se, também, que o comprimen-
to l0 do P1 é de 260 cm, o que leva ao cálculo do comprimento efetivo como 
le = l0 + h = 260 + 20 = 280 cm.
Avaliando P2, verifica-se que o pilar não res-
peita à dimensão mínima estabelecida pela 
NBR 6118/2014 (ABNT, 2014), uma vez que 
b = 15 cm < 19 cm. Isso indica que o dimensionamento 
estrutural desse pilar deve ser realizado utilizan-
do um coeficiente adicional de ponderação das 
ações de 1,20. Observa-se que h = 60 cm e que o 
cálculo da área indica A = b . h = 15 . 60 = 900 cm², 
também atendendo ao mínimo da norma para se-
ção transversal de 360 cm². O comprimento efetivo 
desse pilar é 380 + 60 = 440 cm, devido à soma de l0 + h.
Comparando os dois pilares, em termos de raio de giração, verifica-se que:
i = = = 5,77 cm, para P1; e
h 20
12 12
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 16
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i = = 17,32 cm, para P2.
60
12
Isso nos leva à conclusão de que a tendência de girar do P1 é menor do que 
do P2. Ou seja, comparando o comportamento dos dois pilares, P2 apresenta 
uma tendência maior de sofrer giros. Verifi cando os índices de esbeltez, ob-
tém-se:
=
=
= 48,53, para P1; e
= 25,40, para P2.
280
440
5,77
17,32
λ =
Ie
i
λ =
Ie
i
É possível, então, comprovar que o P2 é menos esbelto do que o P1. Em ou-
tras palavras, por mais que P2 apresente uma altura maior do que P1, como o 
raio de giração e a tendência de sofrer giros de P2 são menores do que as de P1, 
os efeitos de deformabilidade são maiores para P1. E essas análises se tornam 
importantes para o dimensionamento estrutural.
Pilares-parede
Também conhecidos como paredes estruturais, o dimensionamento dos 
pilares-parede segue as mesmas recomendações dos pilares retangulares. 
Esse tipo de estrutura é muito usual no centro dos edifícios, em geral próxi-
mos aos fossos de elevador, e deve ser verifi cado quanto aos esforços de mo-
mento torçor. Depois das defi nições geométricas, é necessário estabelecer os 
conceitos ligados à agressividade do meio. 
De acordo com a NBR 6118/2014 (ABNT, 2014), a agressividade do meio 
ambiente está diretamente relacionada às ações físicas e químicas que atuam 
sobre a estrutura de concreto, independentemente das ações mecânicas que 
ocorrem devido aos carregamentos, das variações volumétricas de 
origem térmica, da retração hidráulica que ocorre durante a etapa 
de endurecimento do cimento e das outras ações previs-
tas no dimensionamento estrutural. A classifi cação da 
agressividade é baseada na localização da estrutura 
(Quadro 1) e indica as condições de exposição dos 
elementos estruturais, como é o caso dos pilares.
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 17
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Classe de 
agressividade 
ambiental
Agressividade
Classifi cação geral 
do tipo de ambiente 
para efeito de 
projeto
Risco de 
deterioração da 
estrutura
I Fraca Rural/submersa Insignifi cante
II Moderada Urbana Pequeno
III Forte Marinha/industrial Grande
IV Muito forte Industrial/respingos de maré Elevado
Concreto Classe de agressividade ambiental
I II III IV
Relação água/cimento em massa ≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45
Classe de concreto (NBR 8953/2015) ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40
I
III
IV
FracaFraca
ModeradaModeradaModerada
ForteForte
Muito forte
Rural/submersa
Muitoforte
Rural/submersa
Muito forte
Rural/submersaRural/submersa
Urbana
Marinha/industrial
Rural/submersa
Urbana
Marinha/industrial
Industrial/respingos 
Urbana
Marinha/industrial
Industrial/respingos 
Marinha/industrial
Industrial/respingos 
Marinha/industrial
Industrial/respingos 
de maré
Insignifi cante
Marinha/industrial
Industrial/respingos 
de maré
Insignifi cante
Industrial/respingos 
Insignifi cante
Pequeno
Insignifi cante
PequenoPequeno
GrandeGrande
ElevadoElevadoElevado
Relação água/cimento em massaRelação água/cimento em massa
Classe de concreto (NBR 8953/2015)
Relação água/cimento em massa
Classe de concreto (NBR 8953/2015)
Relação água/cimento em massa
Classe de concreto (NBR 8953/2015)
Relação água/cimento em massa
Classe de concreto (NBR 8953/2015)
Relação água/cimento em massa
Classe de concreto (NBR 8953/2015)
Relação água/cimento em massa
Classe de concreto (NBR 8953/2015)
Relação água/cimento em massa
Classe de concreto (NBR 8953/2015)
Relação água/cimento em massa
Classe de concreto (NBR 8953/2015)
Relação água/cimento em massa
Classe de concreto (NBR 8953/2015)Classe de concreto (NBR 8953/2015)
≤ 0,65
Classe de concreto (NBR 8953/2015)
≤ 0,65≤ 0,65
≥ C20≥ C20
II
≤ 0,60≤ 0,60
≥ C25≥ C25
III
≤ 0,55≤ 0,55
≥ C30≥ C30
IV
≤ 0,45≤ 0,45
≥ C40≥ C40
QUADRO 1. CLASSES DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL
TABELA 2. CLASSE DE AGRESSIVIDADE AMBIENTAL E QUALIDADE DO 
CONCRETO ARMADO
Fonte: ABNT, 2014. (Adaptado).
Em um ambiente urbano, por exemplo, admite-se que a classe de agressi-
vidade é moderada (II), sendo pequeno o risco de deterioração da estrutura. 
Uma das principais aplicações da defi nição da classe de agressividade ambien-
tal é a defi nição da qualidade do concreto e do cobrimento, uma vez que es-
sas duas propriedades são altamente dependentes da durabilidade do meio. 
Pela norma brasileira, a qualidade do concreto é avaliada por sua classe, 
que indica a resistência à compressão característica do material ( fck) e pela 
reação água/cimento (a/c) em massa, a ser aplicada na dosagem do concreto. 
Enquanto a relação a/c (Tabela 2) não apresenta uma aplicação direta no di-
mensionamento estrutural, a classe do concreto é um dos parâmetros iniciais 
no cálculo estrutural. 
Fonte: ABNT, 2014. (Adaptado).
Para completar a informação a respeito das classes do concreto, é valido 
destacar que, de acordo com a NBR 8953/2015 (ABNT, 2015), o concreto es-
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 18
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trutural pode ser separado em dois grandes grupos. No grupo I, os concretos 
apresentam de 20 até 50 Mpa e são nomeados de C20 a C50; e, no grupo II, 
os concretos apresentam resistência de 55 a 100 Mpa e são nomeados com o 
mesmo padrão do grupo I.
Toda a classifi cação dos concretos estruturais é estabelecida com base 
no fck, que, conforme citado, consiste na resistência à compressão carac-
terística do concreto, após 28 dias de cura. Essa propriedade mecânica é 
escolhida porque o concreto é um 
material que se encaixa na classe de 
materiais cerâmicos, em que a resis-
tência à compressão é muito maior 
do que a resistência à tração. 
Outra propriedade defi nida em 
função da agressividade do meio é 
o cobrimento da armadura (Figura 
2), que é defi nido como a espessura 
da camada de concreto responsável 
pela proteção da armadura em um 
elemento (pilar, viga ou laje). Para de-
fi nir o valor do cobrimento nominal 
em função da agressividade do meio, 
utiliza-se a Tabela 3.
Figura 2. Espessura de cobrimento da armadura pelo 
concreto. Fonte: ABNT, 2014. (Adaptado).
Estribo
Cnom
Cnom
Elemento
Classe de agressividade ambiental
I II III IV
Cobrimento nominal (mm)
Laje 20 25 35 45
Viga/pilar 25 30 40 50
Elementos em contato com o solo 30 30 40 50
Laje
Elementos em contato com o solo
Laje
Elementos em contato com o solo
Viga/pilar
Elementos em contato com o solo
Viga/pilar
Elementos em contato com o solo
Viga/pilar
Elementos em contato com o soloElementos em contato com o soloElementos em contato com o soloElementos em contato com o soloElementos em contato com o solo
20
Elementos em contato com o solo
25
25
30
30
35
30
40
45
40
50
50
TABELA 3. CLASSE DE AGRESSIVIDADE E COBRIMENTO NOMINAL
Fonte: ABNT, 2014. (Adaptado).
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Pilares circulares e pilares compostos
Após defi nidas as principais recomendações para os pilares retangulares 
e os pilares-parede, é necessário realizar algumas defi nições a respeito de 
pilares circulares e de pilares compostos. No estudo de pilares circulares, 
destaca-se, como primeira diferença signifi cativa, o fato de o momento de 
inércia, a área de concreto e o raio de giração serem calculados, respectiva-
mente, por meio das equações (sendo D igual ao diâmetro do pilar, em cm, e 
a seção transversal mínima também sendo de 360 cm²):
I = (9)π 
. D4
64
Ac = (10)
π . D2
4
(11)i = = = =I D
2 D
π . D4
π . D2Ac 16 4
64
4
Sabendo que a área do pilar circular é calculado pela Equação 10, obser-
va-se que o diâmetro mínimo para pilares circulares é de aproximadamente 
22 cm. Assim, supondo um pilar de 22 cm de diâmetro e 280 cm de compri-
mento, verifi ca-se que a área de concreto é de aproximadamente 380 cm², 
o momento de inercia é de 11.495 cm4, e o raio de giração vale 5,5 cm. Isso 
levaria a um índice de esbeltez de, aproximadamente, 50,91.
Os pilares compostos, por sua vez, consistem em pilares formados pela 
sobreposição de retângulos ou quadrados, sendo muito comuns em estrutu-
ras de escadas, reservatórios e fossos de elevador. Os tipos mais comuns de 
pilares compostos são os de formato em U ou em L. O cálculo desses pilares é 
muito mais complexo do que o cálculo dos pilares retangulares ou circulares. 
Por isso, realiza-se uma simplifi cação da geometria do elemento, por meio de 
uma técnica chamada pilar virtual.
O método do pilar virtual consiste em substituir um pilar de geometria 
complexa por um pilar quadrado, de forma que a área do pilar virtual seja a 
mesma do pilar original. Além disso, deve-se localizar o pilar virtual no centro 
de gravidade de onde estava o pilar original. Supondo que existe um pilar em 
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L com medidas de 25 x 60 cm na parte inferior e 25 x 60 cm na parte superior, 
observa-se que a área total do pilar é de 3000 cm². Desse modo, pode-se subs-
tituir o pilar original por um pilar equivalente, que é chamado de pilar virtual, 
cujas dimensões sejam de 54,77 x 54,77 cm.
Cálculo de carregamentos
Para entender como os carregamentos devem ser calculados, é preciso en-
tender o caminho das ações em uma estrutura de concreto armado. O primeiro 
elemento que recebe os carregamentos é a laje, que será solicitada devido ao 
peso dos móveis, a passagem de pessoas, veículos e animais, o peso de ele-
mentos fi xos da edifi cação (paredes, piso, contrapiso etc.) e seu próprio peso.
Os carregamentos resistidos pela laje são transmitidos às vigas, que apoiam 
esse primeiro elemento estrutural. A viga resiste às ações provenientes das la-
jes somadas ao peso de elementos fi xos (como alvenaria) e ao próprio peso, 
transmitindo esses carregamentos aos pilares. Os pilares, por sua vez, resis-
tem às cargas derivadas das vigas, além de seu próprio peso, transmitindo es-
sas ações para os elementos da fundação (blocos, radiers, sapatas ou estacas).
De maneira geral, os pilares podem ser submetidos a solicitações normais 
de compressão e tração simples (Figura 3), em casos mais específi cos, ou a so-
licitações do tipo fl exão composta. A compressão simples, também chamada 
de compressão uniforme ou centrada, consiste na aplicação de uma força nor-
mal que age no elemento, no sentido de encurtar o comprimento do material. 
(a)
P1 20 x 60 V1 14 x 50
V2 14 x 50
V3 14 x 50
P2 20 x 60
P4 20x 60P3 20 x 60
V4
 1
4 
x 
50
P5 20 x 60 P6 20 x 60
450
45
0
V5
 1
4 
x 
50
L1
h = 8
L2
h = 8
(b)
P1 20 x 60 V1 14 x 50
225
225
225
225
112,5
112,5
112,5
V2 14 x 50
V3 14 x 50
P2 20 x 60
P4 20 x 60P3 20 x 60
V4
 1
4 
x 
50
P5 20 x 60 P6 20 x 60
V5
 1
4 
x 
50
L1
h = 8
L2
h = 8
112,5
Figura 3. Planta de forma: informações gerais (a) e com a divisão de lajes (b).
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Como o concreto sozinho, sem o auxílio de barras, apresenta bons parâ-
metros de resistência à compressão, nesse tipo de solicitação, geralmente, se 
utilizam armaduras mínimas. Em casos específicos de edifícios muito altos, ou 
em galpões industriais abertos, o efeito do vento é muito agressivo e pode pro-
vocar o efeito contrário nos pilares. 
Outro tipo de solicitação que pode ocorrer é a flexão composta, que con-
siste em uma atuação conjunta do momento fletor e do esforço normal, em 
geral, de compressão. A flexão composta pode ser reta ou normal, quando o 
momento fletor atua em apenas uma direção (x ou y); ou oblíqua, quando a 
flexão ocorre nas duas direções principais do pilar (x e y).
Com base na Figura 3a, que apresenta uma planta de forma, e sabendo que 
o peso específico do concreto é 28 kN/m³ e que sobre as lajes atua uma sobre-
carga de 1,0 kN/m², calcularemos os esforços que atuam no pilar P3 ou P4 (sen-
do este simétrico ao P3, conforme visto na planta da Figura 3a), considerando 
o coeficiente de majoração das ações como 1,4.
Consideraremos o comprimento equivalente ao dos pilares de 280 cm. Para 
resolver esse problema, primeiro é necessário compreender o que está sendo 
exigido. A planta (Figura 3) apresenta dois panos de laje iguais (L1 e L2), com 
espessura de 8 cm. Esses panos de laje apresentam comprimento de 450 cm, 
em sua direção maior, e 450 ⁄ 2 = 225 cm, em sua direção menor.
Também podemos apontar, na Figura 3, cinco vigas (V1, V2 e V3, dispostas 
horizontalmente, e V4 e V5, dispostas verticalmente) com base de 14 cm e al-
tura de 50 cm, além de um comprimento total de 450 cm. Na planta de forma, 
também são indicados seis pilares, todos com dimensões b = 20 cm e h = 60 cm. 
Assim, o cálculo dos carregamentos deve ser feito por etapas, sendo necessá-
rio primeiro calcular a carga que atua em cada pano de laje. O peso da própria 
laje deve ser calculado por:
G = 28 (kN/m³) . 0,08 (m) . 1,4 (coeficiente das ações) = 3,136 kN/m²
A sobrecarga de utilização é definida seguindo a equação:
Q = 1 (kN/m²) . 1,4 (coeficiente das ações) = 1,4 kN/m²
A carga das lajes é calculada pela equação: 
C = 3,136 + 1,4 = 4,536 kN/m²
A carga é, então, descarregada nas vigas, que, além de receber as cargas pro-
venientes das lajes, devem suportar seu próprio peso. A laje L1, por exemplo, irá 
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descarregar nas vigas V1, V2, V4 e V5, enquanto a laje L2 descarregará nas vigas 
V2, V3, V4 e V5 (Figura 3b). É possível identificar que a viga V2 receberá, simulta-
neamente, os carregamentos de L1 e L2, enquanto as demais vigas receberão o 
carregamento de apenas uma das lajes. Assim, percebe-se que cada pano de laje 
deve ser repartido em quatro partes, para descarregar nas vigas. 
Façamos, então, o cálculo do carregamento nas vigas, começando pela car-
ga proveniente das lajes em V1 e V3 (que devem ser multiplicadas pela área do 
triângulo de influência e divididas pelo comprimento da viga):
Q = 4,536 (kN/m²) . = 2,55 kN/m
11254,5 .
4,5
2
Em seguida, calculemos a carga proveniente das lajes em V4 e V5:
Q = 4,536 (kN/m²) . = 5,10 kN/m
2,25
2,252,25 .
2
Seguimos com o cálculo da carga proveniente das lajes em V2:
Q = 2 . 4,536 (kN/m²) . = 5,10 kN/m
11254,5 .
4,5
2
O peso das próprias vigas deve ser calculado por:
G = 28 (kN/m³) . 0,14 (m) . 0,50 (m) . 1,4 (coeficiente das ações) = 2,74 kN/m
A carga total nas vigas V2, V4 e V5, então, segue a equação:
C = 5,10 + 2,74 = 7,84 kN/m
A carga total nas vigas V1 e V3 é calcula pela equação:
C = 2,55 + 2,74 = 5,29 kN/m
E, por fim, dá-se o cálculo de cargas em cada pilar, que deve ser aplicado na 
forma de carga pontual):
G = 28 (kN/m³) . 0,2 (m) . 0,6 (m) . 2,8 (m) . 1,4 
(coeficiente das ações) = 13,17 kN
Após o cálculo dos carregamentos, é possível montar 
os pórticos para analisar e obter os esforços solicitantes. 
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No caso do pilar P3, monta-se um pórtico ao longo da menor direção do pilar 
(P1 – P4 – P7 sobre a viga V4) e um pórtico ao longo da maior direção do pilar 
(P3 – P4 sobre a viga V2). 
Classificação de pilares
De uma maneira bem simplifi cada, os pilares podem ser classifi cados em 
função de dois critérios: a solicitação inicial, também relacionada ao posiciona-
mento em projeto, e a esbeltez. Para compreender a classifi cação da solicita-
ção inicial, é necessário avaliar as informações presentes na Figura 4.
Figura 4. Planta de forma para análise. Fonte: BASTOS, 2017, p. 75. (Adaptado).
O pilar P5, por exemplo, é classifi cado como um pilar central, ou interme-
diário, e se caracteriza por apresentar duas vigas contínuas em suas duas dire-
ções principais, que nesse projeto correspondem às vigas V2 e V5. Esses pilares 
são submetidos apenas às cargas de compressão.
540 540
19V1 (19 X 45)
V2 (19X45)
V3 (19 X 45)
V6
 (1
9 
X 
35
)
V4
 (1
9 
X 
35
)
41
0
41
0
V5
 (1
9 
X 
35
)
38
1,
5
A
A
A
A A A
511,5 511.5
51
1,
5
19 19
B
19
19
B
B
B
19
P1
25/60
P2
25/60
P3
25/60
P6
25/60
P7
25/60
P8
25/60
P9
25/60
P5
25/60
P4
25/60
L1
(h = 10)
L3
(h = 10)
L2
(h = 10)
L4
(h = 10)
B B
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Outra classificação importante é atribuída aos pilares P2, P4, P6 e P8, defini-
dos como pilares de extremidade. Nesse caso, os pilares recebem vigas contí-
nuas em apenas uma direção, sendo que, em outro momento, fletores atuaram 
sobre o elemento. Assim, esses pilares devem ser dimensionados à flexão com-
posta reta. 
Por fim, eles também podem ser classificados como pilares de canto ou de 
bordo, como ocorrem com os pilares P1, P3, P7 e P9, que apresentam vigas não 
contínuas nas duas direções principais, levando à ocorrência de momentos ini-
ciais nas duas direções dos pilares, o que caracteriza um dimensionamento à 
flexão composta oblíqua.
A análise em função da esbeltez é importante para saber se os efeitos de 
flambagem serão elevados ou desprezados, no dimensionamento estrutural 
de um pilar. A flambagem pode ser definida por um deslocamento lateral do 
elemento na direção de maior esbeltez, com força proveniente de um car-
regamento inferior ao de ruptura. Podemos ver, na Figura 5, a relação entre 
o tipo de apoio (simples, engaste ou livre), o comprimento real do pilar e o 
equivalente. Assim, em função do índice de esbeltez, os pilares podem ser 
classificados como:
ℓe = L
F F
F
F
F
A. Simples
A. Simples
E. Móvel
E. Elástico
E. ElásticoA. Simples Engaste Engaste
Engaste
B B B
B
B
Livre
A A A A
Aℓe = 0,7 L ℓe = 0,5 L 0,5 L < ℓe < L ℓe = 2 L
L
Figura 5. Comprimentos equivalentes (ou de flambagem). Fonte: ABNT, 2014. (Adaptado).
• Curtos: λ ≤ 35;
• Médios: 35 < λ ≤ 90;
• Medianamente esbeltos: 90 < λ ≤ 140;
• Esbeltos: 140 < λ ≤ 200.
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DICA
A fl ambagem é calculada por meio dos conceitos relacionados à carga 
crítica de Euler, estudados em mecânica dos sólidos, sendo proporcional 
ao módulo de elasticidade e ao momento de inércia do material.
No primeiro exemplo, apresentado na discussão sobre seções retangulares, 
verifi camos que o P1 apresentava um índice de esbeltez de 48,53, sendo classifi -
cado como médio, enquanto o pilar P2 apresentou um índice de esbeltez de 25,40, 
podendo ser caracterizado como curto. Aimportância desse efeito no dimensio-
namento estrutural é que, no caso dos pilares curtos, pode-se desprezar os efeitos 
da fl ambagem, o que não pode ser feito nos demais casos. Uma forma mais rápida 
de avaliar o índice de esbeltez em pilares retangulares é por meio da substituição 
de √12, da Equação 7, por 3,46, conforme podemos ver a seguir:
(12)
3,46 . le
h
λy =
(13)
3,46 . le
b
λx =
Deslocamento da estrutura
Embora não seja aplicada especifi camente para os pilares, a classifi cação 
das estruturas quanto ao seu deslocamento está diretamente relacionada à 
ação dos pilares. Duas classes são elencáveis (Figura 6): as estruturas de nós 
fi xos, ou indeslocáveis; e as estruturas de nós móveis, ou deslocáveis.
Figura 6. Defi nição de estruturas de nós deslocáveis e indeslocáveis. Fonte: FUSCO, 1981, p. 112. (Adaptado).
(a) Estrutura deslocável (b) Estrutura indeslocávelNós móveis Nós fi xos
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Segundo a NBR 6118/2014 (ABNT, 2014), estruturas de nós fi xos são aque-
las em que os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e, por decor-
rência disso, os efeitos globais de segunda ordem são desprezíveis (inferiores 
a 10% dos respectivos esforços de primeira ordem). Nessas estruturas, basta 
considerar os efeitos locais e localizados de segunda ordem.
As estruturas de nós móveis, segundo a NBR 6118/2014 (ABNT, 2014), 
são caracterizadas por apresentar deslocamentos horizontais elevados e, em 
decorrência disso, os efeitos globais de segunda ordem são 
importantes (superiores a 10% dos respectivos esforços de 
primeira ordem). Nessas estruturas, devem ser considera-
dos tanto os esforços de segunda ordem globais, como os 
locais e localizados.
Análise de momentos
Uma vez defi nidas as dimensões e os carregamentos dos pilares, é necessá-
rio realizar o dimensionamento estrutural. A primeira parte do cálculo con-
siste em defi nir os momentos de primeira ordem e verifi car os momentos míni-
mos. Depois, é necessário avaliar se é necessário ou não calcular os momentos 
de segunda ordem e realizar o cálculo das armaduras de aço. Por fi m, realiza-se 
o detalhamento das armaduras, que consiste em realizar os desenhos esque-
máticos de como as armaduras se distribuem. 
Momento de primeira ordem e momento mínimo
Tomando como base a classificação dos pilares em função da solicitação 
inicial, verifica-se que alguns pilares são submetidos a momentos fletores, 
devido à sua posição em planta de forma. Esse momento é chamado de 
momento de primeira ordem. Conforme vimos no exemplo apresentado 
durante a discussão sobre a classificação de pilares, a análise estrutural do 
P2, por meio da montagem dos pórticos adequados, torna possível obter 
um momento de primeira ordem na direção X e outro na direção Y, além 
de uma carga de compressão, devido aos carregamentos de lajes, vigas e 
do próprio pilar. 
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(14)
(15)
M1d,x ≤ M1d,x,mín = Nd . (1,5 + 0,03 . b)
M1d,x ≤ M1d,y,mín = Nd . (1,5 + 0,03 . h)
Figura 7. Situação de projeto do pilar P2. Fonte: BASTOS, 2017, p. 25. (Adaptado).
Verifica-se, portanto, que a compressão à qual o elemento é submetido é 
excêntrica, isto é, gera um deslocamento em relação ao centro de gravidade do 
pilar, tanto em X quanto em Y (Figura 7). Conforme destacado, o momento de 
primeira ordem deve ser comparado ao momento mínimo. No dimensiona-
mento de pilares de canto, como o P2 do exemplo, as duas direções principais 
do pilar devem ser analisadas. O momento mínimo, então, é calculado para as 
direções X e Y, respectivamente, pelas equações:
Sendo que:
• M1d,x descreve o momento de primeira ordem de cálculo na direção X, ob-
tido pela análise estrutural do pilar, em kN/cm;
• M1d,x,mín descreve o momento de primeira ordem mínimo de cálculo na di-
reção X, obtido pela Equação 10, em kN/cm;
• M1d,y descreve o momento de primeira ordem de cálculo na direção Y, obti-
do pela análise estrutural do pilar, em kN/cm;
• M1d,y,mín descreve o momento de primeira ordem mínimo de cálculo na di-
reção Y, obtido pela Equação 11, em kN/cm; e
Planta
Situação de projeto
y
x
Nde
1,
y
e1,x
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• Nd é a carga de compressão de cálculo obtido pela análise estrutural, 
em kN.
Para entender como esses conceitos se aplicam, é necessário analisar ou-
tro exemplo: suponhamos que o pilar P2 (20 x 60 cm), do exemplo anterior, 
apresente, por meio da análise estrutural, um momento de primeira ordem 
de cálculo de 2500 kN/cm em X e 2000 kN/cm em Y, além de uma carga de 
compressão de cálculo de 750 kN. Calcularemos, então, os momentos mínimos 
e indicaremos quais momentos devem ser utilizados na análise estrutural. Pri-
meiro, é necessário realizar a análise na direção X:
M1d,x,mín = Nd . (1,5 + 0,03 . b) = 750 . (1,5 + 0,03 . 20) = 1575 kN/cm
Como o momento mínimo é menor do que o momento de primeira ordem 
obtido na análise, usa-se, no dimensionamento, o momento de 2500 kN/cm. Ao 
analisarmos a direção Y, teremos:
M1d,y,mín = Nd . (1,5 + 0,03 . h) = 750 . (1,5 + 0,03 . 60) = 2475 kN/cm
Como o momento mínimo nessa direção é maior do que o momento de pri-
meira ordem obtido na análise estrutural M1d,y,mín > M1d,y, usa-se, no dimensio-
namento estrutural, o momento de 2475 kN/cm, ou seja, o momento mínimo. 
Além da abordagem que utiliza os momentos calculados, é possível fazer 
o cálculo estrutural por meio do conceito de excentricidade. Com base na Fi-
gura 7, é possível compreender as equações para cálculo de excentricidade de 
primeira ordem em X e em Y, além dos cálculos de excentricidades mínimas, 
estabelecidos pelas equações:
(18)
(19)
(16)
M1d,x
Nd 
e1,x =
(17)
M1d,y
Nd 
e1,y =
M1d,x,mín Nd . (1,5 + 0,03 . b)
Nd Nd 
=e1,x,mín = = 1,5 + 0,03 . b
M1d,y,mín Nd . (1,5 + 0,03 . h)
Nd Nd 
=e1,y,mín = = 1,5 + 0,03 . h
Sendo que:
• e1,x descreve a excentricidade de primeira ordem na direção X, em cm;
• e1,y descreve a excentricidade de primeira ordem na direção Y, em cm;
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• e1,x,mín descreve a excentricidade de primeira ordem mínima na direção X, 
em cm; e
• e1,y,mín descreve a excentricidade de primeira ordem mínima na direção Y, 
em cm.
Uma característica muito importante do cálculo das excentricidades é que, ba-
seando-se nessa análise, é possível incluir outros efeitos importantes no dimen-
sionamento de pilares. Uma dessas características é o desaprumo (Figura 8), cal-
culado pela equação:
(20)
θ1 . l
2ea =
Sendo que:
• ea descreve a excentricidade acidental, em cm;
• θ descreve a alteração angular provocada pelo desaprumo, em graus (º); e
• l descreve o comprimento ao longo do desaprumo, em cm.
Outra excentricidade que também deve ser considerada no dimensionamento 
de pilares é a excentricidade suplementar, que leva em consideração o efeito da 
fluência. Esse cálculo precisa ser realizado em pilares médios, em que o índice de 
esbeltez é maior que 90 (λ > 90). No cálculo, aplica-se as equações:
Figura 8. Desaprumo ou falta de retilinidade em um pilar. Fonte: ABNT, 2014. (Adaptado).
(22)
10 . Eci .I
le2Ne =
(21)ec = . (2,718 - 1)
Msg 
Nsg
φ . Nsg
Ne - Nsg
O1
ℓ
ℓ/2
+ ea
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(23)Eci = 5600 . fck
Sendo que:
• ec descreve a excentricidade suplementar, em cm;
• Ne descreve a força de fl ambagem de Euler, em kN;
• φ descreve o coefi ciente de fl uência (adimensional);
• Eci descreve o módulo de elasticidade do concreto, em kN/cm²;
• fck descreve a resistência à compressão característica do concreto, em kN/m²; e
• Msg e Nsg descrevem os esforços solicitantes devido à combinação quase 
permanente, em kN/cm e kN.
Momento de segunda ordem: método da curvatura 
aproximada
Os momentos de segunda ordemocorrem devido aos efeitos da flam-
bagem, que estabilizam os pilares lateralmente, provocando deslocamen-
tos adicionais nesses elementos, de maneira localizada. Um conceito que 
precisa estar muito claro é que os efeitos de segunda ordem estão relacio-
nados à não linearidade geométrica, que é facilmente confundida com a 
não linearidade física que alguns elementos podem apresentar.
A não linearidade física está ligada a materiais que não obedecem à lei 
de Hooke, quando submetidos a carregamentos. Sabe-se que materiais 
que apresentam um regime elástico quando submetidos a cargas, apre-
sentam um trecho linear entre tensão e deformação, em que essas duas 
propriedades mecânicas são proporcionais entre si. Para verificarmos se, 
no dimensionamento de um pilar, deve-se considerar ou não os efeitos de 
segunda ordem, é necessário calcular o índice de esbeltez (nas direções x 
e y) e classificar o pilar. 
Assim, caso ele se comporte como um pilar curto, podem ser despre-
zados os efeitos de segunda ordem. Porém, caso o pilar seja classificado 
como médio, medianamente esbelto ou esbelto, deve-se considerar os 
efeitos de segunda ordem no dimensionamento do pilar. São dois os mé-
todos analíticos que podem ser utilizados para o cálculo dos efeitos de se-
gunda ordem: o método da curvatura aproximada (Figura 9) e o método 
da rigidez aproximada.
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e2
y
x
ℓ
Nd
Figura 9. Simplificação do pilar padrão. Fonte: BASTOS, 2017, p. 10. (Adaptado).
O pilar apresentado na Figura 9 é vinculado apenas com um engaste na 
base, sendo livre no topo. O método da curvatura aproximada consiste em 
estimar uma curvatura por meio do cálculo de uma flecha lateral, confor-
me as equações:
(25)
Nd
Ac . fcd
ν =
Sendo que:
• (1/r) descreve a curvatura aproximada, em cm -1;
• ν descreve o parâmetro de compressão (adimensional); e
• fcd descreve a resistência à compressão de cálculo do concreto, em 
kN/cm².
É valido destacar que fcd é um parâmetro obtido por meio da divisão 
do fck pelo coeficiente de segurança (usualmente 1,4). Esse procedimento 
é chamado de minorar a resistência do material. Após calculado o valor 
da curvatura aproximada, é possível obter a excentricidade de segunda 
ordem (detalhada na Figura 9), por meio da Equação 26. Uma vez obtida a 
(24)0,005 0,005
h . (υ + 0,5) h
=1
r
≤
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 32
SER_ENGCIV_ECA_UNID1.indd 32 28/08/20 09:40
excentricidade, o cálculo do momento é uma consequência, chegada por 
meio da Equação 27:
(26). 
le
2
10
e2 =
1
r
(27)M2d = Nd . e2
Sendo que:
• e2 descreve a excentricidade de segunda ordem, em cm;
• M2d descreve o momento de segunda ordem, em kN/cm.
Ilustremos esses conceitos, então, por meio de um novo exemplo: cal-
culemos o momento de segunda ordem de um pilar 15 x 60 cm, utilizando 
o método da curvatura aproximada, sabendo que o comprimento efetivo 
do pilar é de 300 cm, que a carga de compressão característica vale 600 kN 
e que temos um concreto C25. Assim, o primeiro passo consiste em veri-
ficar se é ou não necessária a análise dos efeitos de segunda ordem. Para 
isso é necessário calcular o índice de esbeltez nas direções X e Y:
le 300
b 15
λx = 3,46 . = 3,46 . = 69,2 > 35
le 300
h 60
λy = 3,46 . = 3,46 . = 17,3 < 35
(pilar médio)
(pilar curto: desprezar os efeitos de segunda ordem)
Por meio dessa análise, observa-se que não é necessário calcular os efeitos de 
segunda ordem na direção Y, apenas na X. Assim, calcula-se o valor da curvatura:
1 0,005 0,005
r b . (v + 0,5) b
= ≤
Observa-se que, como o pilar apresenta uma das dimensões menores do 
que 19 cm, precisa ser aplicado ao valor de γn, que nesse caso será igual a 1,20 
(extraído da Tabela 1). Assim:
Nd = Nk . 1,4 . �n = 600 . 1,4 . 1,2 = 1008 k
fck 25
1,4 1,4
fcd = = = 17,86 MPa = 1,79 kN/cm²
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 33
SER_ENGCIV_ECA_UNID1.indd 33 28/08/20 09:40
0,0050,005
1515 . (0,62 + 0,50)
= 2,98 . 10-4 cm-1 ≤ = 3,33 . 10-4 cm-1
1 0,005 0,005
r b . (v + 0,5) b
= ≤
Nd 1008
(Ac . fcd) (900 . 1,79)
v = = = 0,62
Ac = b . h = 15 . 60 = 900 cm² > 360 cm² (atende as condições mínimas)
Adota-se o (1/r) = 2,98 . 10-4 cm-1, menor valor entre os calculados. Na se-
quência, realiza-se o cálculo da excentricidade de segunda ordem:
le
2
10
e2 =
1 3002 2,98
r 10 10 - 4
= = = 2,682 cm.
E, por fi m, calcula-se o momento de segunda ordem pelo critério da curva-
tura aproximada:
Momento de segunda ordem: método da rigidez 
aproximada
O cálculo do momento de segunda ordem também pode ser realizado 
através do método da rigidez aproximada. A base desse método é calcular 
o momento solicitante total por meio da equação:
M2d = Nd . e2 = 1008 . 2,682 = 2703,46 kN/cm
A resposta fi nal do momento é 2703,46 kN/cm, que deverá ser somado ao 
momento de primeira ordem, para realizar o dimensionamento estrutural.
(28)Md,tot = ≥ M1dλ²
αb . M1d
ν
1 -
120 κ
Sendo que:
• Md,tot descreve o momento solicitante total a ser utilizado no dimensiona-
mento estrutural, em kN/cm;
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 34
SER_ENGCIV_ECA_UNID1.indd 34 28/08/20 09:40
• αb descreve o coeficiente que indica a relação entre o momento na parte 
superior e na parte inferior dos pilares (pode ser considerado como 1); e
• κ descreve a rigidez aproximada do pilar (adimensional).
Os demais parâmetros foram definidos anteriormente, como o índice de 
esbeltez (λ) e o parâmetro de compressão (ν). Para esse cálculo, é necessário 
obter o valor da rigidez (κ), aproximada, que é obtida por meio da equação 
(sendo Mrd,tot o momento resistente total, em kN/cm):
(29)κ = 32 . 1 + 5 . . ν
Mrd,tot
h . Nd
Uma forma de obter uma resposta sem a necessidade de realizar iterações 
matemáticas é impondo a igualdade entre o momento solicitante e o momento 
resultante. Assim, é possível obter o método analítico para resolver esse pro-
blema, que consiste na resolução de uma equação de 2º grau em que o valor 
da incógnita é justamente o momento solicitante total:
(30)a . Md,tot
2 + b . Md,tot + c = 0
Sendo que:
• a é igual a 19.200;
• b é igual a 3840 . h . Nd - λ² . h . Nd - 19.200 . αb .M1d; 
• c é igual a -3840 . αb . b . Nd . M1d; e
• Md,tot descreve o momento total de cálculo, já somando os efeitos de pri-
meira e segunda ordem, em kN/cm.
EXPLICANDO
Equações de 2º grau, do tipo a ∙ x² + b ∙ x + c = 0, devem ser resolvidas pela 
fórmula de Báskara, em que calcula-se o Δ = b² - 4 ∙ a ∙ c, e a incógnita 
x =
(-b ± √Δ)
(2 . a)
Para ilustrar melhor essas relações, calculemos os momentos totais ne-
cessários para o dimensionamento estrutural de um pilar 20 x 60 cm, pelo 
método da rigidez aproximada, supondo que os momentos de primeira 
ordem de cálculo em X e Y (não precisando majorar) valem 2500 e 4000 
kN/cm, respectivamente, e que o esforço de compressão de cálculo vale 
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 35
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850 kN. Consideraremos que será utilizado concreto C25 e que o compri-
mento efetivo é de 280 cm. 
Primeiro, é necessário obter os momentos de primeira ordem mínimos 
e comparar aos momentos de primeira ordem de cálculos apresentados. 
Assim, analisando a direção X, temos:
M1d,x,mín = Nd . (1,5 + 0,03 . b) = 850 . (1,5 + 0,03 . 20) = 1785 kN/cm
Como o momento mínimo é menor do que o momento de primeira ordem 
obtido na análise, usa-se, no dimensionamento, o momento de 2500 kN/cm. 
Em seguida, analisando a direção Y, temos:
M1d,y,mín = Nd . (1,5 + 0,03 . h) = 850 . (1,5 + 0,03 . 60) = 2805 kN/cm
Na direção Y, observa-se que o momento mínimo também é menor do que 
o momento de primeira ordem de cálculo. Logo, na direção Y, deve-se utilizar 
o momento informado no enunciado da questão, que vale 4000 kN/cm. Por 
outro lado, para verificar a necessidade dos esforços de segunda ordem, é ne-
cessário calcular o índice de esbeltez na direção X e Y e classificar o pilar:
le 280
b 20λx = 3,46 . = 3,46 . = 48,44 > 35
le 280
h 60
λy = 3,46 . = 3,46 . = 16,15 < 35
(pilar médio)
(pilar curto: desprezar os efeitos de segunda ordem)
Por meio dessa análise, observa-se que não é necessário calcular os efei-
tos de segunda ordem na direção Y, apenas na X. Com isso, conclui-se que, 
para a direção Y, o momento total que deve ser utilizado no cálculo é igual 
a 4000 kN/cm. O momento total em X será calculado pelo método da rigidez 
aproximada (substituindo h por b, porque o cálculo é na direção X). Sendo assim:
• a é igual a 19.200;
• b é igual a 3840 . b . Nd – λ2 . b .Nd - 19.200 . αb . M1d, o que nos leva a 
3840 . 20 . 850 - 48,44² . 20 .850 - 19.200 . 1 . 2500 ou -22.609.371,2; e
• c é igual a -3840 . αb . b . Nd . M1d, o que nos leva a -3840 . 1 . 20 . 850 . 2500 
ou -1,632 . 1011.
O αb foi considerado como 1, uma vez que o momento ao longo de todo o 
pilar é o mesmo. Por fim, aplicamos as equações de Báskara:
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 36
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19.200 . M²d,tot - 22.609.371,2 . Md,tot - 1,632 . 10
11 = 0
Δ = b² - 4 . a . c = 1,30 . 1016
= 3558 kN/cmx =
(-b ± √Δ)
(2 . a)
O momento de cálculo total na direção X deve ser considerado como 
3558 kN/cm, já contemplando os momentos de primeira e segunda ordem.
Dimensionamento estrutural
Neste último tópico, serão apresentados os conceitos relacionados ao di-
mensionamento estrutural dos pilares, unifi cando todos os conceitos aprendi-
dos nas demais unidades.
Elementos submetidos à compressão axial
Os pilares de centro podem apresentar uma configuração estrutural 
que os submete a uma compressão axial, simples ou uniforme. Nesse 
caso, é necessário calcular a armadura de aço, para auxiliar o concreto. 
Partindo de um concreto com resistência característica à compressão fck 
e de um aço com resistência característica à tração fyk, calcula-se as resis-
tências de cálculo para os dois materiais, aplicando o método dos estados 
limites. Nessa etapa, também é necessário calcular as cargas de compres-
são de cálculo. Aplica-se, então, as equações:
(31)
(32)
(33)
fck
1,4
fcd =
fyk
1,15
fyd =
Nd = Nk . 1,4 . γn
Sendo que:
• Nk descreve a carga de compressão característica, em kN;
• fyk descreve a resistência característica do aço à tração, em kN/cm²; e
• fyd descreve a resistência de cálculo do aço à tração, em kN/cm².
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 37
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O dimensionamento do elemento comprimido deve ser realizado pela 
equação:
(34)Nd ≤ Rd =αc . fcd . Ac + fyd . As
Sendo que:
• As descreve a área de aço necessária para combater os esforços, em 
cm; e
• αc descreve o fator devido ao efeito Rusch, que deve ser considerado 
como 0,85 para concretos classe 1 (fck ≤ 50 MPa).
Calculemos, então, a armadura de aço necessária para um pilar de 50 x 
40 cm, sujeito a uma carga de compressão características de 890 kN, utili-
zando aço CA-50 e concreto C20. O primeiro passo é aplicar o método do 
estado limite, ou seja, reduzir a resistência e aumentar os carregamentos, 
por meio das equações:
(devido ao aço CA-50, usa-se fyd = 50 kN/cm²)
fyk 50
1,15 1,15
fyd = 43,5 kN/cm
2= =
Nd = Nk . 1,4 = 890 . 1,4 . 1,4 = 1246 kN
fck 20
1,4 1,4
fcd = = = 14,28 MPa = 1,43 kN/cm²
Na sequência, calcula-se a armadura de aço:
Ac = b . h = 20 . 40 = 800 cm²
Nd = 1246 ≤ αc . fcd . Ac + fyd . As = 0,85 . 1,43 . 800 + 43,5 . As
As ≥ = 6,29 cm²
(1246 - 972,4)
43,5
Elementos submetidos à flexão composta
Uma aplicação mais prática do dimensionamento de pilares pode ser 
feita por meio de elementos submetido à flexão composta. Para realizar 
esse cálculo, é necessário obter dois parâmetros importantes: o parâme-
tro ν, definido pela Equação 25, e o parâmetro μ, denominado como coe-
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 38
SER_ENGCIV_ECA_UNID1.indd 38 28/08/20 09:40
ficiente de flexão e definido pelas equações (sendo μx e μy parâmetros de 
flexão adimensionais):
(35)
(36)μy =
Mdtot,y
Ac . h . fcd
μx =
Mdtot,x
Ac . b . fcd
Com base nesses parâmetros (Figura 10), é possível obter a taxa de aço (�) 
e calcular a área de aço pela equação:
(37)As =
ω . Ac . fcd
fyd
2,6
2,4
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8
ν
μ
ω = 1,80
DOMÍNIO 5
CO
M
PR
ES
SÃ
O
DOMÍNIO 4a
DOMÍNIO 4
DOMÍNIO 3
ω = 1,50
ω = 1,20
ω = 0,90
ω = 0,60
ω = 0,30
ω = 0,00
Nd
2
2
2
2
b
d’
d’
e
As
h
h
Figura 10. Ábaco para flexão composta. Fonte: VENTURINI; RODRIGUES, 1987, p. 109. (Adaptado).
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 39
SER_ENGCIV_ECA_UNID1.indd 39 28/08/20 09:40
M1d,mín = Nd . (1,5 + 0,03 . b) = 1350 . (1,5 + 0,03 . 30) = 3240 kN/cm
Para ilustrar essas relações, dimensionemos um pilar com dimensões 30 x 
30 cm, com carga de compressão de cálculo de 1350 kN, momento nas direções 
X e Y de 6500 kN, utilizando aço CA-50 e concreto C30. Primeiro, é necessário 
obter os momentos de primeira ordem mínimos e compará-los aos momentos 
de primeira ordem dos cálculos apresentados. Como o pilar é quadrado, as 
duas dimensões serão analisadas em conjunto. Assim, temos:
Como o momento mínimo é menor do que o momento de primeira ordem 
obtido na análise, usa-se no dimensionamento o momento de 6500 kN/cm. 
Verifica-se também a necessidade do cálculo de momentos de segunda ordem, 
por meio do índice de esbeltez:
 (pilar curto: desprezar os efeitos de segunda ordem)
le 280
b 30
λ = 3,46 . = 3,46 . = 32,30 < 35
Assim o momento total utilizado no dimensionamento será 6500 kN/cm. A 
próxima etapa é aplicar o método dos estados limites, reduzindo as resistên-
cias dos materiais, e calcular os parâmetros para análise do ábaco:
Ac = b . h = 30 . 30 = 900 cm²
(devido ao aço CA-50, usa-se fyk = 50 kN/cm²)
ν = = = 0,70
Nd 1350
(Ac . fcd ) (900 . 2,14)
fyk 50
1,15 1,4
fyd = 43,5 kN/cm
2= =
fck 30
1,4 1,4
fcd = 21,43 MPa = 2,14 kN/cm²= =
= = 0,11μ =
Md,tot 6500
(Ac . b . fcd) (900 . 30 . 2,14)
Observa-se, então, na Figura 10, que o � é igual a 0,20, obtendo a área de 
aço indicada por meio de:
As =
fcd 2,14
fyd 43,5
ω . Ac 0,20 . 900 . = 1,93 cm²
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 40
SER_ENGCIV_ECA_UNID1.indd 40 28/08/20 09:40
Detalhes construtivos
Segundo as recomendações da norma brasileira, o diâmetro mínimo para 
pilares é de 10 mm, enquanto o diâmetro máximo é de b/8. A armadura máxi-
ma longitudinal dos pilares é de 8% da área de concreto, enquanto a armadura 
mínima (As,mín) pode ser calculada pela equação:
(38)
Nd
fyd
As,mín = 0,15 . ≥ 0,004 . Ac
Outro critério importante no detalhamento é a defi nição da armadura 
transversal (estribos), que deve ter um diâmetro de no mínimo 5 mm, ou do 
diâmetro longitudinal dividido por quatro. Além disso, os estribos devem apre-
sentar um espaçamento máximo que atenda a três critérios: 20 cm, b e 12 vezes 
o diâmetro do aço longitudinal. O espaçamento é o menor valor entre os três. 
Para compreender esses conceitos, devemos retomar os dados do exemplo 
apresentado durante a discussão de compressão axial: detalhemos a arma-
dura de aço necessária para um pilar de 20 x 40 cm, sujeito a uma carga de 
compressão características de 890 kN, utilizando aço CA-50, concreto C20, e 
sabendo que o As calculado foi de 6,29 cm². Assim, dado Nd = 1246 kN e fyd = 43,5 
kN/cm², primeiro deve-se verifi car se a armadura calculada é maior do que a 
mínima e menor do que a máxima:
As,máx = 8% . Ac = 0,08 . 20 . 40 = 64 cm²
Nd 1246
fyd 43,5
As,mín = 0,15 . = 0,15 . = 4,29 cm² ≥ 0,004 . Ac = 0,004 . 20 . 40 = 3,2 cm²
Verifi ca-se que a área de aço calculado é coerente, por ser maior do que a 
mínima e menor do que a máxima. A bitola do aço deve estar entre 10 mm e 
b/8 = 20/8 = 2,5 cm ou 25 mm. Assim, é possível calcular a quantidade de barras 
utilizando a bitola mínima de 10 mm:
102
4
A barra = π . = 78,54 mm² = 0,7854 cm²
Desse modo, a quantidade de barras é N = 6,29/0,7854 ou oito barras. 
Por fim, é necessáriodefinir os estribos, que terão bitola de 5 mm (maior 
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 41
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valor entre 5 mm e 10/4 = 2,25 mm). O espaçamento dos estribos 
é definido como 20 cm (menor valor entre 20 cm, b = 20 cm 
e 12 vezes o diâmetro longitudinal, ou seja, 
12 x 10 mm = 120 mm ou 12 cm).
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 42
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Sintetizando
Nesta unidade, foram estudados conceitos ligados ao dimensionamento 
de pilares, desde as recomendações normativas (em que foram abordadas as 
dimensões mínimas desses elementos construtivos) até o dimensionamento. 
Foram estudados os conceitos de agressividade do meio, cobrimento, classe e 
qualidade do concreto e os procedimentos para cálculo dos carregamentos so-
bre os pilares, por meio do peso das próprias lajes, vigas e pilares, bem como da 
sobrecarga.
Também compreendemos a classificação dos pilares. As estruturas, como 
um todo, podem ser classificadas em função da sua deslocabilidade, como de 
nós móveis ou de nós fixos. Da mesma forma, exploramos os momentos, que 
devem ser analisados quanto aos efeitos de primeira ordem, devendo ser com-
parados aos momentos mínimos, e os momentos de segunda ordem, devendo 
ser calculados sempre que os pilares não forem curtos. 
O cálculo do momento de segunda ordem pode ser feito pelo método da 
curvatura aproximada ou pelo método da rigidez aproximada, sendo que todas 
essas análises podem ser realizadas, também, por meio do cálculo de excentri-
cidades. Por fim, foram apresentadas as equações para dimensionamento de 
pilares submetidos à compressão simples e à flexão composta, sendo possível 
calcular a área de aço por meio dessa análise. Além disso, discutimos também os 
principais critérios de detalhamento das armaduras.
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SER_ENGCIV_ECA_UNID1.indd 43 28/08/20 09:40
Referências bibliográficas
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto 
de estrutura de concreto – Procedimentos. Rio de Janeiro, 2014. Disponível em: 
<https://docente.ifrn.edu.br/valtencirgomes/disciplinas/construcao-de-edifi-
cios/abnt-6118-projeto-de-estruturas-de-concreto-procedimento>. Acesso em: 
14 jul. 2020.
ABNT – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 8953: Concreto 
para fins estruturais – Classificação pela massa específica, por grupos de resis-
tência e consistência. Rio de Janeiro, 2015.
BASTOS, P. S. S. Estruturas de concreto armado: notas de aula. Pilares de 
Concreto Armado. Bauru/SP: UNESP – Departamento de Engenharia Civil, 2017.
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto – solicitações normais. 1. ed. Rio de Janei-
ro, Guanabara Dois, 1981.
VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. Dimensionamento de peças retangu-
lares de concreto armado solicitadas à flexão reta. 1987. 133 p. Material 
de aula utilizado nas disciplinas de Concreto Armado (Engenharia Civil) - De-
partamento de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos – USP, São 
Paulo, 1987. Disponível em: <http://www.set.eesc.usp.br/mdidatico/concreto/
Textos/23%20Abacos%20flexao%20normal%20-%20Venturini%20-%20Walter.
pdf>. Acesso em 07 jul. 2020.
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 44
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ELEMENTOS DE 
FUNDAÇÃO
2
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Analisar esforços que agem no elemento de fundação;
 Dimensionar e detalhar elementos de fundação rasa;
 Avaliar os efeitos do dimensionamento de flexão, cisalhamento e punção;
 Dimensionar e detalhar estacas e blocos de estacas.
 Introdução ao dimensionamen-
to de fundação
 Análise de esforços em pilares 
de borda
 Dimensionamento de blocos à 
compressão simples
 Dimensionamento de cintas à 
flexão e ao cisalhamento
 Dimensionamento de fundação 
rasa
 Dimensionamento de sapatas 
isoladas à flexão
 Dimensionamento de sapatas 
em estruturas indeslocáveis
 Classificação de sapatas quan-
to à esbeltez
 Dimensionamento de sapatas 
associadas
 Cisalhamento e punção
 Detalhes construtivos
 Dimensionamento de fundação 
profunda
 Dimensionamento de estacas à 
flexão composta
 Dimensionamento de blocos 
de estacas
 Detalhes de blocos
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 46
SER_ENGCIV_ECA_UNID2.indd 46 28/08/20 09:40
Introdução ao dimensionamento de fundação
As fundações de uma edifi cação 
podem ser defi nidas como elementos 
estruturais, que têm como principal 
função transmitir as cargas de uma 
estrutura para as camadas resisten-
tes do solo, sem provocar colapso no 
terreno onde se localiza a fundação. 
Tradicionalmente, os profi ssionais que 
trabalham no dimensionamento de fundações precisam possuir um conheci-
mento aprofundado da parte geotécnica e estrutural do concreto armado.
As fundações podem ser classifi cadas em profundas e rasas, dependo da 
profundidade de assentamento e do mecanismo pelos quais as cargas são 
transmitidas para o solo. Nessa unidade, serão abordadas as fundações rasas 
do tipo bloco, sapata isolada e sapata associada, além do dimensionamento 
das cintas. Na parte de fundações profundas, será estudado o dimensiona-
mento de estacas e de blocos de coroamento, popularmente conhecidos como 
blocos de estacas.
Análise de esforços em pilares de borda
Os esforços aplicados sobre os elementos de fundação são provenientes 
das reações de apoio dos pilares, uma vez que quem vincula os pilares da edi-
fi cação são os elementos de fundação. Tomando como base o que ocorre num 
pilar de borda, que fi ca submetido a momentos fl etores nas direções X e Y, é 
possível observar os esforços atuantes nas fundações.
Analisemos a Figura 1, que apresenta um pórtico estrutural formado por 
uma viga e dois pilares de borda. Verifi ca-se que os apoios são de engaste, 
o que levaria a uma reação vertical e outra horizontal, além de uma reação 
de momento. Verifi ca-se que a viga está submetida a um carregamento de 10 
kN/m, que se deve ao peso da própria viga e da laje, além de sobrecarga de 
utilização, cargas de pessoas e mobílias, e peso dos próprios elementos cons-
trutivos, como alvenaria, piso e contrapiso, por exemplo. 
ESTRUTURAS EM CONCRETO ARMADO 47
SER_ENGCIV_ECA_UNID2.indd 47 28/08/20 09:41
6.00
3.
00
10.00 kN/m 15.0 kN15.0 kN
2.
50
 k
N/
m
2.
50
 k
N/
m
Figura 1. Pórtico para análise de esforços.
Além disso, é possível observar, na Figura 1, uma carga pontual de 15 kN 
que atua em cada pilar, que se deve ao peso próprio desse elemento. Verifica-
-se também uma carga de 2,5 kN/m, distribuída ao longo das laterais, usual-
mente atribuída à carga de ventos. Nos pilares de bordo, é possível calcular as 
reações de apoio vertical (V), horizontal (H) e de momento (M).
Utilizando os conceitos de análise estrutural, é possível obter as reações 
como V = 45 kN, H = 7,5 kN e M = 9,4 kN.m. Ou seja, o elemento de fundação, 
que pode ser um bloco, uma sapata ou uma estaca, deve ser dimensionado 
para combater os esforços destacados, sendo 45 kN de esforço normal de 
compressão, 7,5 kN de esforço cisalhante e 9,4 kN.3m de momento fletor. O 
elemento de fundação deve ser dimensionado à flexão composta, sendo que 
devem ser verificados o cisalhamento e o puncionamento.
Uma vez que os esforços muito provavelmente já foram majorados para 
dimensionamento dos elementos estruturais, como vigas, pilares e lajes, não 
é necessário que os valores de reação calculados sejam multiplicados pelos 
coeficientes de segurança (γc). Entretanto, se os carregamentos aplicados na 
estrutura ainda não tiverem sido majorados, é necessário que as reações cal-
culadas sejam multiplicadas por um coeficiente γc, que normalmente tem o va-
lor de 1,40.
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Dimensionamento de blocos à compressão simples
Os elementos tipo bloco são classifi cados em fundações rasas ou super-
fi ciais, nas quais ocorremesforços predominantemente compressivos, sendo 
usualmente construídos em concreto simples, sem armaduras de aço. Nesse 
tipo de elemento, a geometria é calculada de forma que a rigidez seja bastante 
elevada, possibilitando que os esforços de tração sejam absorvidos pelo pró-
prio concreto, sem necessitar do uso de aço.
Os blocos podem de dois tipos: escalonados ou de seção simples (Figura 2). 
O cálculo estrutural desses elementos consiste em fi xar uma altura h e verifi car 
se os esforços de tração podem ser de fato absorvidos pela parte executada 
em concreto. Para isso, é necessário conhecer os valores do carregamento apli-
cado no material, além do valor da resistência do solo onde será executado o 
bloco, nomeado como σs.
P P
σs σs
α
αp
αb
Bloco simples Bloco escalonado 
αb
b b b bb pd
d
Figura 2. Representação dos elementos tipo bloco. Fonte: MOTA, 2017, p. 21.
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O cálculo das dimensões do bloco ab, bb e d segue um procedimento que 
pode ser obtido por meio da aplicação das equações:
∆ = ab - bb = ap - bp (1)
(2)d = = =
ab - ap bb - bp
2 2
(3)bb + ∆ ⋅ bb - P = 0σs
2
ab = ∆ + bb (4)
Sendo que:
• d descreve o afastamento do pilar aos extremos do bloco, em cm;
• ab descreve a maior dimensão do bloco, em cm;
• bb descreve a menor dimensão do bloco, em cm;
• ap descreve a maior dimensão do pilar, em cm;
• bp descreve a menor dimensão do pilar, em cm;
• ∆ descreve a diferença entre as dimensões do pilar e/ou bloco, em cm;
• P descreve a carga de compressão aplicado ao pilar, em kN; e
• σs descreve a resistência do solo onde será executado o 
bloco, em kN/cm².
O dimensionamento do bloco é finalizado quando se 
calcula a altura (h) do bloco, que pode ser realizada com 
a Equação 5. Observa-se que é necessário definir um 
ângulo de inclinação limite (α), a partir do qual a 
rigidez do bloco é adequada para evitar tensões de 
tração no material. Porém, para que seja possível uti-
lizar a curva do ângulo (Figura 2), é necessário que seja 
calculada a resistência do concreto à tração, obtida pela Equação 6.
h = tg(α) ⋅ d (5)
(6)σct = 0,084 ⋅ fck ≤ 0,80 MPa 
2
3
Sendo que:
• h descreve a altura do bloco, em cm;
• α descreve o ângulo de inclinação limite, em graus;
• fck descreve a resistência à compressão característica do concreto, em MPa; e
• σct descreve a resistência à tração do concreto, em MPa. 
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80,0
70,0
60,0
50,0
40,0
30,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
σs/σct
α
2,5 3,0 3,5
Figura 3. Curva para cálculo do ângulo de inclinação limite. Fonte: MOTA, 2017, p. 25.
Para explicar a metodologia de cálculo apresentada, tomemos como exem-
plo o dimensionamento de um elemento de fundação tipo bloco à compressão 
simples, para um pilar de 20 x 50 cm, sujeito à carga de compressão caracterís-
tica de 800 kN. Sabe-se que o solo da região apresenta uma resistência de 0,45 
MPa e que o bloco será executado com concreto C25. Assim, primeiramente, 
é necessário majorar a carga de compressão que atua sobre o pilar e o bloco. 
Conforme destacado no tópico de análise de esforços, utiliza-se um coeficien-
te de segurança de 1,4:
P = 800 ⋅ 1,4 = 1120 kN
O procedimento seguinte é calcular o parâmetro ∆. Sabe-se que ap = 50 cm 
(maior dimensão do pilar) e bp = 20 cm (menor dimensão do pilar). Logo:
∆ = ap - bp = 50 - 20 =30 cm
Na sequência, calculam-se as dimensões do bloco (ab e bb), por meio do 
cálculo:
bb2 + ∆ · bb -
P = 0σs
bb2+ 30 · bb -bb2+ 30 · bb -
1120
0,45
10
= 0
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É necessário dividir o valor de σs por 10, para transformar em kN/cm²:
bb2 + 30 · bb - 24888,88 = 0
Resolvendo a equação de 2ª grau, é possível obter o valor de bb igual a 143,5 cm, 
aproximadamente. O valor de ab é calculado somando o valor de bb ao valor de ∆.
ab = bb + ∆ = 143,5 + 30 = 173,5 cm
Uma vez conhecidos os valores das dimensões do bloco e da sapata, calcu-
la-se d:
d =
2
(ab - ap) = = 61,75 cm(173,5 - 50)
2
Para fi nalizar o dimensionamento do bloco, é necessário calcular o valor da 
altura (h). Inicialmente, calcula-se a resistência à tração do concreto. Sabendo 
que o concreto é C25, o valor do fck é igual a 25 MPa.
3
σct = 0,084 ⋅ fck = 0,084 ⋅
2
3 252 = 0,72 MPa
Se o valor calculado da resistência à tração fosse maior do que 0,80 MPa, a 
resistência à tração adotada seria de 0,80 MPa. Porém, como foi menor, ado-
ta-se o valor calculado de 0,72 MPa. Para obter o ângulo de inclinação limite, é 
necessário calcular:
= 0,625= σct
σs 0,45
0,72
Utilizando as informações encontradas na Figura 3, é possível obter que α 
vale aproximadamente 60º. Assim, fi naliza-se o cálculo de h:
h = tg(α) · d = tg(60o) · 61,75 = 106,95 cm
O dimensionamento do bloco é, então, fi nalizado. Ele deve apresentar as di-
mensões de 173,5 x 143, 5 cm em planta e uma altura total de 106,95 cm. Além 
disso, o afastamento do pilar aos extremos do bloco deve ser de 61,75 cm.
Dimensionamento de cintas à flexão e ao cisalhamento
As cintas de fundação (Figura 4) são elementos que servem de 
associação para vários pontos de carregamento da fundação. 
São obrigatórias nas extremidades de cada sapata ou bloco de 
coroamento, pois possibilitam o travamento e o reforço das liga-
ções entre todos os elementos de fundação. 
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A presença da cinta diminui o risco do aparecimento de fissuras nas pare-
des da edificação, em caso de recalque diferencial, além de distribuir as cargas 
concentradas sobre o plano das fundações. Ou seja, os principais objetivos 
das cintas são: absorver esforços não previstos, suportar pequenos recalques, 
distribuir o carregamento da estrutura e combater os esforços horizontais.
Figura 4. Representação da cinta de amarração das fundações. Fonte: VELLOSO; LOPES, 2012, p. 63.
Cinta
Toco de pilar
Sapata
 O dimensionamento das cintas é realizado da mesma maneira que o di-
mensionamento de qualquer outra viga estrutural. São considerados os carre-
gamentos de peso próprio e uma sobrecarga adicional, que serve para repre-
sentar os esforços não previstos em projetos e a carga de empuxo de terra, que 
também pode agir sobre as cintas.
Sobre as dimensões da cinta, observa-se que a base da cinta (b) deve es-
tar contida na dimensão do pilar, na direção de travamento analisada. A ou-
tra dimensão da cinta, a altura (h), deve ser calculada de forma que não seja 
necessária uma quantidade excessiva de armadura na seção do material. O 
comprimento da cinta será definido pelo distanciamento dos pilares e pelas 
informações observadas na planta de forma.
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O cálculo da cinta é feito por meio de flexão simples, observando-se a atua-
ção de um momento fletor e de um esforço cisalhante. A cinta pode ser con-
siderada uma estrutura linear biapoiada, devendo-se, portanto, obter esses 
esforços por análise estrutural, por meio das expressões apropriadas. Após 
o cálculo dos esforços, a armadura longitudinal é calculada por meio do uso 
de coeficientes, relacionados ao dimensionamento à flexão. Calcula-se o coefi-
ciente Kc, por exemplo, por meio da equação:
Kc = Md
b · (0,9 · h)² (7)
Sendo que:
• Kc descreve o coeficiente de cálculo, em cm²/kN;
• b descreve a base da cinta, em cm;
• h descreve a altura da cinta, em cm;
• Md descreve o momento fletor de cálculo, em kN.cm.
DICA
A análise estrutural de vigas biapoiadas é muito utilizada em cálculo de 
estruturas de concreto armado. É necessário lembrar que o momento máxi-
mo e o esforço cortante máximo apresentam equações específicas, quando 
se analisa uma viga submetida a uma carga linear, que usam Mmáx para 
descrever o momento fletor máximo (em kN.cm); o Vmáx para o esforço 
cisalhante máximo