disserta--o-de-mestrado---luiz-alberto-final

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Metalúrgica, Materiais e de Minas 
 
 
 
 
 
 
 
Dissertação de Mestrado 
 
 
 
 
 
 
 
APLICAÇÃO DE MÉTODOS DE SIMULAÇÃO PARA A 
ESTIMATIVA DE RECURSOS MINERAIS. 
 
 
 
 
Autor: Luiz Alberto de Carvalho 
Orientador: Prof. Dr. Roberto Galéry 
 
 
 
Fevereiro/2018 
 
 
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Metalúrgica, Materiais e de Minas 
Luiz Alberto de Carvalho 
 
 
 
 
 
APLICAÇÃO DE MÉTODOS DE SIMULAÇÃO PARA A ESTIMATIVA DE 
RECURSOS MINERAIS. 
 
 
 
 
Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de 
Pós-Graduação em Engenharia Metalúrgica, 
Materiais e de Minas da Universidade Federal de 
Minas Gerais, como requisito parcial para a obtenção 
do Grau de Mestre em Engenharia Metalúrgica, 
Materiais e de Minas 
 
 
Área de Concentração: Tecnologia Mineral 
Orientador: Professor Roberto Galery 
 
 
 
Belo Horizonte 
Universidade Federal de Minas Gerais 
Escola de Engenharia 
2018 
 
 
Agradecimentos 
 
Primeiramente, agradeço a Deus, por sempre estar ao meu lado. 
 
Agradeço à minha familia, em especial minha esposa Ana Flávia e nosso filho Luiz 
Miguel por sempre me apoiar e fazer cada dia mais feliz que o anterior. 
 
Aos meus pais, José Eustáquio e Geralda Maria, por me darem uma educação e 
perserverança eterna para sempre buscar os meus sonhos e aos meus irmãos Leonardo 
Eustáquio e Leandro Henrique por terem me dado todo apoio nas decisões mais dificeis. 
 
Ao meu orientador Roberto Galéry por ter me acolhido nesta jornada. 
 
Aos meus amigos de graduação, “Bita”, “Jacoso”, “Dudu” “Tonico”, “John”, “Silada” , 
“Lucão” , “Leozin” e “Rafa” pelos momentos de alegria e diversão que fazem da minha 
vida cada vez mais alegre e cheia de risos. 
 
Aos meus amigos da UFMG, Angelo, Felipe, Leonardo, Hudson, Ricardo, Michel, Kelly, 
Fabiano, Gisele entre outros que espero continuar mantendo o elo de amizade que 
conquistei ao longo desses últimos anos. 
 
Ao professor Cláudio Lúcio, por ser sempre solicito e esclarecedor quanto as minhas 
dúvidas. 
 
Aos professores do DEMET, Roberto Parreiras e Aline Lima com quem espero trabalhar 
novamente no futuro 
 
Ao professor Beck Nader, Vidal Torres e Taís Câmara por terem me dado a oportunidade 
de trabalhar nesse projeto, cujo aprendizado foi grandioso. 
 
A CAPES-PROEX, pelo apoio financeiro na realização desta pesquisa. 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 1 
2 OBJETIVOS ............................................................................................................. 4 
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................. 5 
3.1 Estimativa de Recursos ........................................................................................... 5 
3.1.1 Variografia .................................................................................................. 5 
3.1.2 Krigagem .................................................................................................... 7 
3.2 Simulação de Recursos minerais .......................................................................... 10 
3.2.1 Bandas Rotativas ............................................................................................ 10 
3.2.2 Simulação por Multipontos ........................................................................... 12 
4 METODOLOGIA ................................................................................................... 18 
Banco de dados ........................................................................................................... 19 
Simulação multiponto ................................................................................................. 19 
Krigagem Ordinária .................................................................................................... 21 
Simulação por bandas rotativas .................................................................................. 22 
Análise dos resultados ................................................................................................ 22 
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO ............................................................................ 23 
Simulação Multiponto ................................................................................................. 23 
Resultado estatístico dos dados ................................................................................... 26 
Resultados da Krigagem Ordinária ............................................................................. 33 
6 CONCLUSÕES ...................................................................................................... 42 
7 RELEVÂNCIA DOS RESULTADOS ................................................................... 43 
8 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS .................................................. 44 
9 REFERÊNCIAS ...................................................................................................... 45 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1 - Exemplo da obtenção de pares de pontos para utilização no variograma. A 
direita para direção norte, e a esquerda para direção 45º oeste (Isaaks & Srivastava, 
1989) ................................................................................................................................. 6 
Figura 2 - Exemplo do semivariograma para três diferentes direções (Goovaerts, 1997) 6 
Figura 3 - Exemplo de modelagens de semivariograma (Isaaks & Srivastava, 1989) ..... 7 
Figura 4 - Bandas rotativas (adaptado de Journel e Huijbregts, 1989) ........................... 11 
Figura 5 - Modelo de um template para um evento com n igual a 9 (Fonte: Autor). ..... 12 
Figura 6 - exemplo de uma imagem de treinamento (Fonte: Autor) .............................. 13 
Figura 7 - Imagem de treinamento e os eventos que a compõem (MARIETHOZ e 
CAERS, 2015) ................................................................................................................ 16 
Figura 8 - Árvore de busca para a imagem de treinamento anterior com as respectivas 
frequências absolutas dos eventos (MARIETHOZ e CAERS, 2015) ............................ 17 
Figura 9 – Organograma da metodologia de trabalho .................................................... 18 
Figura 10 – Vista superior da localização dos furos de sondagem utilizados no estudo 
(Fonte: Autor) ................................................................................................................. 19 
Figura 11 – Seções verticais referentes interpretação da litologia hematita. .................. 20 
Figura 12 – Vista superior do corpo tridimensional das litologias hematita (verde) e 
itabirito (vermelho) provenientes do processo de geração da imagem de treinamento .. 20 
Figura 13 – Imagem de treinamento dos dados de estudo. Em verde litologia hematita e 
em vermelho itabirito (Fonte: Autor). ............................................................................. 21 
Figura 14 - Distribuição relativa das litologias das simulações e da Imagem de 
treinamento. .................................................................................................................... 24 
Figura 15 - Vista de topo da imagem de treinamento ..................................................... 25 
Figura 16 - vista de topo dos resultados das simulações ................................................ 25 
Figura 17 – Distribuição de frequência dos teores de ferro global nos dados amostrais.
 ........................................................................................................................................ 27 
Figura 18 – Resultados do processo de determinação dos melhores tamanhos de janela 
para declusterização. .......................................................................................................28 
Figura 19 - Distribuição de frequência dos teores de ferro global nos dados amostrais 
declusterizados. ............................................................................................................... 29 
 
 
Figura 20 – Variograma omnidirecional para os dados de ferro .................................... 30 
Figura 21 - Variogramas direcionais para 10 diferentes direções para os dados de ferro
 ........................................................................................................................................ 30 
Figura 22 – Variograma direcional na direção N40 e em sua perpendicular D-90 ........ 31 
Figura 23 – Ajuste do variograma N40 pelo modelo esférico ........................................ 32 
Figura 24 - Histograma dos dados de teores de ferro gaussianos ................................... 32 
Figura 25 - Variograma ajustado dos dados gaussianos ................................................. 33 
Figura 26 – Resultados da Krigagem para o ferro (vista superior) ................................. 34 
Figura 27 – Resultados da krigagem (vista lateral) ........................................................ 34 
Figura 28 – Resultados da krigagem ordinária de ferro .................................................. 35 
Figura 29 – Resultados do desvio padrão da krigagem .................................................. 35 
Figura 30 – Vista de topo das simulações 1, 5, 10, 15, 20 e 25 ...................................... 37 
Figura 31 – Média das simulações por bandas rotativas (vista superior) ....................... 38 
Figura 32 – Média das simulações por bandas rotativas (vista lateral) .......................... 38 
Figura 33 – Média das simulações por bandas rotativas ................................................ 39 
Figura 34 – Desvio padrão da média das simulações por bandas rotativas .................... 39 
Figura 35 – Comparação entre a média das simulações por bandas rotativas (esquerda) e 
a krigagem ordinária (direita) ......................................................................................... 40 
Figura 36 – Exemplo da presença de ruídos na simulação por bandas rotativas ............ 41 
 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 1 - Parâmetros de entrada para o algoritmo da MPS. ......................................... 23 
Tabela 2 – Estatística básica do teor de ferro global das amostras de furo de sondagem
 ........................................................................................................................................ 26 
Tabela 3 - Limites das variações para determinação dos melhores tamanhos das janelas 
para a melhor declusterização ......................................................................................... 28 
Tabela 4 - Valores ótimos para declusterização dos dados ............................................ 28 
Tabela 5 - Dados de ajuste do variograma experimental e as dimensões do elipsóide de 
busca ............................................................................................................................... 31 
Tabela 6 - Dados de ajuste do variograma experimental e das dimensões do elipsóide de 
busca para os dados gaussianos ...................................................................................... 33 
Tabela 7 – Comparação entre os blocos krigados e simulados ....................................... 41 
 
 
 
RESUMO 
 
Para o sucesso de um empreendimento minerário é necessário estimar e determinar o 
tamanho das reservas minerais, tarefa de extrema relevância para a mineração. Para tal, 
existem diversos métodos de estimativa de recursos, dentre os quais se destacam a 
krigagem ordinária, que é o método mais utilizado e conceituado. Nos últimos anos com 
o avanço técnológico, com a melhoria na capacidade de processamento computacional, 
os métodos de simulação de modelos geológicos vêm ganhando destaque, principalmente 
por conseguir suprir algumas lacunas deixadas pelos métodos determinísticos. Porém 
ainda existe uma barreira cultural na indústria que age de impecilho quanto ao uso de 
simulações. Este trabalho realizou uma análise e comparação entre a krigagem ordinária 
e a simulação por bandas rotativas, e também simulou a litologia de um depósito mineral 
através do método de simulação multiponto. Para sua realização, utilizou um banco de 
dados de uma mina de minério de ferro da região do Quadrilátero Ferrífero. Os resultados 
mostraram que a simulação multiponto apresentou bons resultados quanto a simulação do 
depósito, possuindo um leque de possibilidades de variação quanto ao seu uso. Já a 
comparação entre a krigagem ordinária e a simulação por bandas rotativas mostrou não 
haver diferença significativa entre os métodos, de forma que esses resultados consolidam 
esse algoritmo de simulação como ferramenta para estimar teores em depósito mineral. 
 
Palavras-Chave: Krigagem Ordinária, Simulação por Bandas Rotativas, Simulação 
Multiponto, Estimativa de recursos minerais. 
 
 
 
ABSTRACT 
For the success of a mining enterprise it is necessary to estimate and determine the size 
of the mineral reserves, a task of extreme relevance for mining. For this, there are several 
methods of resource estimation, among them the ordinary kriging is the method most used 
and conceptualized. In the last years with the technological advance, with the 
improvement in the computational processing capacity, the methods of simulation of 
geological models have been gaining spotlight, mainly for managing to fill some gaps left 
by deterministic methods. However, there is still a cultural barrier in the industry that acts 
as an impediment to the use of simulations. This work performed an analysis and 
comparison between ordinary kriging and turning band simulation, and also simulated the 
lithology of a mineral deposit through the multi-point simulation method. For its 
accomplishment, it used a database of an iron ore mine of the region of the Ferriferous 
Quadrangle. The results showed that the multi-point simulation presented good results 
regarding the simulation of the deposit, having a range of variation possibilities in its use. 
The comparison between ordinary kriging and turning bands simulation showed no 
significant difference between the methods, so that these results consolidate this 
simulation algorithm as a tool to estimate mineral deposit contents. 
 
Keywords: Ordinary Kriging, Turning Bands Simulation, Multi-point Simulation, 
Mineral resource estimation. 
 
 
1 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
A mineração é uma das áreas mais antigas da sociedade e sempre possuiu papel 
fundamental no desenvolvimento do Homem. Com a evolução da sociedade e o 
concomitante aumento da população mundial, necessitou-se também de uma maior 
obtenção de recursos minerais que possibilitassem atender a demanda cada vez maior. 
Infelizmente os recursos minerais não são renováveis e a medida que estes vêm sendo 
consumidos, sua obtenção passa a ser cada vez mais difícil. 
 
Diferentes regiões do planeta apresentam distintas características geológicas que podem 
ser usufruidas em projetos minerários. Mesmo em regiões próximas uma das outras os 
projetos de mineração apresentam diversas peculiaridades, porém um fato é comum a 
todos eles: a estimativa dos recursos. Todo projeto mineral requer a realização de 
procedimentos que visem estimar quais os recursos disponíveis e dentre as ferramentas 
disponíveis uma das mais poderosas é a Geoestatística. 
 
A Geostastítica é um setor da estatística espacial que estuda variáveis georeferenciadas e 
através de modelos matemáticos visa estimar valores de variáveis em locais não 
amostrados. O ponto de partida para aplicação de métodos geoestatísticos são os dados 
amostrais, normalmente furos de sonda, que em projetos minerais são normalmente 
escassos devido seu alto custo e demora de obtenção. Os métodosgeoestatísticos podem 
ser em geral definidos como procedimentos matemáticos que estudam um conjunto de 
dados gerando uma função, que é utilizada na predição de valores em regiões não 
amostradas (YAMAMOTO, 1998). 
 
Dentre os métodos existentes estes podem ser definidos como globais ou locais: os 
globais atuam buscando encontrar uma função que tenha capacidade de interpolar um 
valor em qualquer região do dominio amostral, de forma que uma alteração em qualquer 
região deste domínio propaga em todo o domínio. Em contrapartida, os métodos locais 
define funções que são válidas apenas para pequenas regiões do domínio, tais funções são 
2 
 
replicadas sucessivamente até abrangir todo o domínio, de forma que qualquer alteração 
resultará em uma interferencia apenas a pontos próximos a esta. 
 
Normalmente, técnicas de regressão linear que minimizem o erro das estimativas são 
denominadas krigagem. Dentre as diversas técnicas de krigagens, as mais famosas são a 
krigagem simples, a krigagem ordinária e a krigagem universal. Por apresentar um alto 
grau de confiabilidade e precisão local, a krigagem é a mais popular e utilizada técnica 
para modelagem espacial, tais como para cubagem de jazidas, dimensionamento de 
reservatório de petróleo e delimitação de áreas contaminadas (FURUIE, 2009). 
 
Mesmo tendo tamanha popularidade, a krigagem apresenta limitações que inibem sua 
aplicação. As limitações mais impactantes na aplicação da técnica são: ocorrência de 
pesos negativos e a suavização das estimativas resultantes. Esta última, também chamada 
de “efeito de suavização da krigagem”, é a mais problemática e discutida na literatura 
atualmente. Esse efeito acontece em decorrência da krigagem ser uma técnica de precisão 
local, ou seja ela tende a “suavizar” os valores dos dados, o que proporciona uma perda 
no modelo de variabilidade da distribuição global. Em tentativa de superar as limitações 
da krigagem, que na verdade são comuns a todas técnicas de interpolação que buscam a 
minimização da variância dos erros, utiliza-se o método de simulação estocástica. 
 
Na simulação estocástica utiliza-se um algoritmo que simule o comportamento da 
variável de estudo, que neste caso é o seu comportamento espacial. Essa metodologia 
recebe o nome de estocástica devido a presença de um fator aleatório existente no 
processo de simulação, ou seja, em algum ponto da execução do algoritmo a escolha se 
dará de forma aleatória, o que pode gerar inúmeras realizações a partir de um mesmo 
conjunto de dados amostrais. 
 
Simulações estocástica possuem precisão global, ao contrário da krigagem, e também não 
apresentam o problema de suavização uma vez que irão reproduzir a variabilidade 
3 
 
espacial dos dados amostrais. Um ponto negativo no uso destas técnicas é que a mesma 
gera n resultados a partir de um mesmo conjunto de dados, todos equiprováveis, 
dificultando assim a escolha de uma realização ótima para a situação. Essas técnicas de 
simulação não eram muito utilizadas devido uma alta demanda computacional, mas 
atualmente tal demanda já foi superada pela evolução tecnológica dos últimos anos. 
 
As simulações estocásticas não são livres de erros (OLEA, 1999) e por isso é sempre 
importante avaliar o erro de suas realizações e compará-los com os métodos de precisão 
local, tal como a krigagem ordinária, para consequentemente avaliar a sua aplicabilidade 
no setor mineral que tange a área de estimativas de recursos minerais. 
 
4 
 
2 OBJETIVOS 
 
Este trabalho tem por objetivo avaliar a aplicabilidade do uso de métodos de simulação 
estocástica para a estimativa de recursos minerais, tanto no que tange a estimativa de 
teores quanto na caracterização litológica. A krigagem ordinária será utilizada como 
comparativo uma vez que a mesma é o método padrão utilizado na estimativa de teores. 
 
5 
 
3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
 
3.1 Estimativa de Recursos 
 
Os métodos determinísticos de estimativa mineral se baseiam em uma distribuição normal 
dos dados, de forma a se utilizar uma função que os representem. O conceito mais básico 
é fundamental para sua realização é sobre o variograma 
 
3.1.1 Variografia 
 
Para se compreender o variograma é necessário ter clara a condição de estacionaridade 
dos dados, que pode ser definida como: 
Um fenômeno A, pertencente a um campo aleatório Z(A) onde o fenômeno pertence ao 
espaço tridimensional ℜ³, tem-se que sua esperança matemática independe do suporte ou 
de sua localidade; 
 E{Z(A)} = k, onde k = constante (1) 
A lei espacial que se destina tal função não varia em qualquer translação. 
A covariância entre os pontos depende da separação dada por um vetor h, ou seja, os 
dados não são independentes. 
O variograma é a principal ferramenta para se estudar a variabilidade de fenômenos 
regionalizados. Essa ferramenta estuda a relação entre diferentes pares de pontos, 
separados por uma distância h cuja direção é pré-determinada (Figura 1)(Yamamoto & 
Landim, 2013). Dessa forma, se avalia a existência da continuidade do fenômeno e 
também sua magnitude. 
 
2𝛾(ℎ) =
1
𝑛
∑{[𝑍(𝑥 + ℎ) − 𝑍(𝑥)]2}
𝑛
 
 
(2) 
6 
 
 
Nessa equação 2𝛾(ℎ) é a função variograma; n é o número de pares de pontos separados 
pela distância h; Z(x) é o valor da variável regionalizada no ponto x; e Z(x+h) é o valor 
da variável regionalizada no ponto (x+h). Esses conjuntos de pares de pontos para 
diferentes valores de h são plotados em um gráfico, onde o eixo x corresponde aos 
diferentes valores de h, e o eixo y o valor da função variograma. 
 
Figura 1 - Exemplo da obtenção de pares de pontos para utilização no variograma. A 
direita para direção norte, e a esquerda para direção 45º oeste (Isaaks & Srivastava, 1989) 
 
É mais comum encontrar a utilização da função semivariograma, que nada mais é a 
metade da função variograma, cujo gráfico que a exemplifica pode ser visto na figura 2. 
 
Figura 2 - Exemplo do semivariograma para três diferentes direções (Goovaerts, 1997) 
 
7 
 
O gráfico do semivariograma fornece duas informações importantes: o alcance, que se 
refere à distancia a qual existe relação entre as amostras; o patamar, que é o limite da 
relação entre os pares de pontos. Após se encontrar o variograma, é necessário realizar 
uma modelagem matemática, onde os mais comuns são os modelos esférico, exponencial 
e gaussiano (Figura 3). 
 
Figura 3 - Exemplo de modelagens de semivariograma (Isaaks & Srivastava, 1989) 
 
Os resultados da modelagem do variograma, são utilizados em diversas estimativas, onde 
a mais conhecida é a Krigagem. A simplicidade do semivariograma é positiva no 
momento em que se avalia sua realização, porém esta é falha na determinação de 
estruturas mais complexas, tais como dobramentos e falhas. Seu ponto falho se dá 
principalmente por esta ser fundamentada em informações de pares de pontos e esses 
tipos de estruturas necessitarem de mais informações. 
 
3.1.2 Krigagem 
 
A krigagem é uma técnica de estimativa que busca trabalhar com a minimização do erro 
de estimativa, ou seja, minimização da variância dos dados e por isso é amplamente 
reconhecida pelo acrônimo BLUE (do inglês best linear unbiased estimator) (ISAAKS e 
SRIVASTAVA, 1989). O método utiliza da distância entre os dados providos e o local a 
8 
 
ser estimado, e a redundância dos dados, por exemplo agrupamento espacial. Além disso 
é necessário informações de uma função que represente a continuidade do espaço 
amostral, ou seja, o variograma, para fazer estimativas lineares dos dados. 
 
A krigagem tem por objetivo gerar superfícies que incorporem estatísticas presentes nos 
dados, e a partir daí atribuir pesos em cada um dos valores observados para que assim 
seja minimizada a variância dos mesmos sempre considerando sua distribuição espacial 
(MATHERON, 1970). 
 Variância [Z(x) – Z*(x)] = 0 = σ𝐸
2 (3) 
 
Onde s² é a variânciados erros de estimativa, Z(x) é o valor de um dado no ponto x, e 
Z*(x) é o valor estimado neste mesmo ponto. Para que isso ocorra, são atribuidos pesos 
nas amostras (l), de forma que: 
 
𝑍∗(𝑥) = ∑ 𝜆𝑖𝑍(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
 
 
(4) 
 
∑ 𝜆𝑖
𝑛
𝑖=1
= 1 
(5) 
 
E a partir da equação da variância dos erros de estimativa, é possível se obter a mesma 
em função da covâriancia (C(0)), que é conhecida pelo variograma (YAMAMOTO e 
LANDIM, 2013): 
 σ𝐸
2 = 𝐸 [(𝑍(𝑥0) − 𝑍
∗(𝑥0))
2
] − (𝐸[𝑍(𝑥0) − 𝑍
∗(𝑥0)])² 
(6) 
 
 σ𝐸
2 = 𝐶(𝑂) − 2 ∑ 𝜆𝑖𝐶(𝑥0 − 𝑥𝑖)
𝑖
+ ∑ ∑ 𝜆𝑖𝜆𝑗𝐶(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)
𝑗𝑖
 
(7) 
 
 
9 
 
Para se encontrar os pesos (l) ótimos utiliza-se a técnica dos multiplicadores de Lagrange 
(µ), de onde se obtém a lagrangiana 𝐿(𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛, 𝜇): 
 
𝐿(𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑛, 𝜇) = 𝐶(0) − 2 ∑ 𝜆𝑖𝐶(𝑥0 − 𝑥𝑖)
𝑖
+ ∑ ∑ 𝜆𝑖𝜆𝑗𝐶(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗)
𝑗𝑖
− 2𝜇 (∑ 𝜆𝑗 − 1
𝑖
) 
(8) 
 
Igualando-se as derivadas parciais da lagrangiana à zero e derivando-a em função de µ, 
obtém-se o sistema de equações da krigagem ordinária (JOURNEL e HUIJBREGTS, 
1989). 
 
∑ 𝜆𝑗𝐶(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗) − 𝜇 = 
𝑛
𝑗=1
𝐶(𝑥𝑖 − 𝑥0) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 𝑛 
 ∑ 𝜆𝑗
𝑛
𝑗=1
= 1 
 
(9) 
 
Essas funções escritas em com base na função variograma: 
 
∑ 𝜆𝑗𝛾(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗) + 𝜇 = 
𝑛
𝑗=1
𝛾(𝑥0 − 𝑥𝑖) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 𝑛 
∑ 𝜆𝑗
𝑛
𝑗=1
= 1 
 
(10) 
Por fim obtém-se a equação da variância da krigagem ordinária em função do variograma: 
 
σ𝐸
2 = ∑ 𝜆𝑖𝛾(𝑥0 − 𝑥𝑖) + 𝜇 
𝑛
𝑖=1
 
(11) 
 
O uso desse método estima os valores pontualmente, pondendo ser extrapolado para uma 
região no espaço. No caso da mineração cujo o objetivo é estimar um bloco, pode-se 
dividir este bloco em sub-blocos menores. E se estimar cada um desses sub-blocos pela 
krigagem de seu centróide e atribuir tal valor a todo o bloco. Dessa forma o bloco assume 
valor da média dos sub-blocos que o compõe (YAMAMOTO e LANDIM, 2013). 
10 
 
 
3.2 Simulação de Recursos minerais 
 
Existem diversas técnicas para a simulação de recursos minerais, dentre as quais a 
simulação por bandas rotativas junto com a simulação sequencial gaussiana se destacam 
como as mais populares na simulação de teores. A simulação por multi-pontos é uma 
técnica relativamente nova, (GUARDIANO e SRIVASTAVA, 1993), que vem sido 
desenvolvida nos últimos anos por diversos autores (STREBELLE, 2002), (JOURNEL e 
ZHANG, 2006) (CAERS, 2001) (CAERS, 2002). Este trabalho utilizará de duas técnicas 
de simulação: a de bandas rotativas para simular os teores e a de multi-pontos para 
simulação da litologia. 
 
3.2.1 Bandas Rotativas 
 
O método de bandas rotativas, do inglês Turning Bands, é um método estocástico de 
simulação espacial que utiliza da transformação não linear dos dados para o domínio 
gaussiano (MATHERON, 1973). O método é considerado um algoritmo aproximado, 
pelo fato de gerar realizações de forma aleatória em que suas distribuições são próximas 
da multigaussiana dos dados de entrada, uma vez que o campo simulado não é ergódico 
(FURUIE, 2009). 
 
Essa metodologia trabalha com uma redução do espaço dimensional, ou seja, ela utiliza 
de dados em 2 dimensões ou 3 dimensões e os reduz a várias simulações independentes 
unidimensionais (FURUIE, 2009). Segundo (EMERY e LANTUÉJOUL, 2006) uma das 
propriedades dessa técnica permite que a simulação de um campo aleatório 
multidimensional, cuja covariância é Cy, seja substituido pela covariância Cx de um 
campo unidimensional simulado, por consequência obtem-se que Cx é isotrópico a Cy. 
 
11 
 
O método funciona da seguinte maneira: uma linha no espaço em ℜ³ possui uma função 
aleatória unidimensional Y(xD1). Essa função deverá ser estacionária, com esperança 
E{ Y(xD1)}=0 e com covariância unidimensional C
(1)(hD1). Tendo xD1 como projeção de 
um ponto no espaço, x, na linha D1, e considerando a função aleatória tridimensional dos 
dados Z1(x) = Y(xD1), para todo x pertencendo ao ℜ³, a função Z1(x) terá esperança igual 
a zero, será estacionária e sua covariância será (JOURNEL e HUIJBREGTS, 1989): 
 
 𝐸 {𝑍1(x). 𝑍1(x + h)} = 𝐸{Y(𝑥𝐷1). Y(𝑥𝐷1 + ℎ𝐷1)} = 𝐶
(1)(ℎ𝐷1) 
Onde hD1 é a projeção do vetor h na linha D1 (figura 4). 
 
 
(12) 
A reprodução de uma simulação (Z1 (x)) será proveniente do valor z(xD1) simulado no 
ponto xD1 , como explicado anteriormente, que é atribuido a todo o espaço dentra da banda 
centrada no plano perpendicular a D1 no ponto xD1. A largura da banda é determinada 
pela equidistância entre os valores simulados na linha D1 (Figura 4). 
 
Figura 4 - Bandas rotativas (adaptado de Journel e Huijbregts, 1989) 
 
 
12 
 
3.2.2 Simulação por Multipontos 
 
A simulação de multiponto (SMP) possui um grande diferencial que é sua capacidade de 
reproduzir as estruturas de maior complexidade (MARIETHOZ e CAERS, 2015)Dessa 
forma, essa metodologia consegue reproduzir características como falhas e dobramentos 
que não conseguem ser reproduzidas pelos modelos clássicos (estatística de dois pontos). 
(CAERS e ZHANG, 2004) 
 
A SMP simula as variáveis através do estudo da vizinhança de um nó central, onde nessa 
vizinhança se avalia n pontos avaliados em conjunto. O template é definido como um 
evento (dn) de tamanho n,cujo nó central A é o ponto a ser simulado (figura 5). 
 
Figura 5 - Modelo de um template para um evento com n igual a 9 (Fonte: Autor). 
A imagem de treinamento (IT) é escaneada para a obtenção da estrutura do template. 
 
3.2.2.1 Imagem de Treinamento 
 
A imagem de treinamento (IT) é uma representação simplificada das principais 
características do fenômeno (Mariethoz & Caers, 2015)(Figura 6). Na modelagem 
geológica, a IT deve apresentar características como falhas e dobramentos presentes na 
13 
 
geologia do corpo mineral, além de uma interpretação simplificada do formato das 
características presentes. 
 
Figura 6 - Exemplo de uma imagem de treinamento (Fonte: Autor) 
 
3.2.2.2 Probabilidade condicional na SMP 
 
A SMP utiliza-se da probabilidade condicional para determinar o valor de um ponto a ser 
simulado. A probabilidade condicional da variável categórica (S(x)) em assumir um valor 
sk é dado a ocorrência evento dev(x). O valor de k varia de 1 até o número total de 
variáveis (K): 
 𝑃[𝑆(𝑥) = sk│dev(x)] = 𝑓(x, k, 𝐝𝐞𝐯(𝐱))𝑘 = 1, … , 𝐾 (13) 
Com a vizinhança com n pontos definida como: 
 𝐝𝐞𝐯(𝐱) = {𝒔(𝒙 + 𝒉1, … , 𝒔(𝒙 + 𝒉𝜶), … , 𝒔(𝒙 + 𝒉𝑛)} = 𝑑𝑛 (14) 
 
Essa probabilidade condicional é semelhante a da krigagem, porém na SMP o número de 
pontos (n) da função vai além dos pares de pontos considerados na krigagem. Na SMP 
não sabemos a distribuição local da probabilidade, mas assumimos que esta é a fornecida 
na IT. Para isso se estabelece uma relação entre o evento dn em sua totalidade e o ponto 
14 
 
a ser simulado (Mariethoz& Caers, 2015), onde se define uma variável b indicatriz binária 
que determina quando o evento existe ou não: 
 
𝐼𝐝𝐞𝐯(𝐱) = {
1 𝑠𝑒 𝑆(𝑥 + ℎ𝛼) = 𝑠(𝑥 + ℎ𝛼) ∀𝛼
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
(15) 
O ponto a ser simulado é composto pelas tradicionais variáveis indicadoras 
(GOOVAERTS, 1997): 
 
𝐼k = {
1 se S(x) = 𝑠𝑘
0, caso contrário 
 
(16) 
Como ∀𝛼 temos que não consideramos queo evento de dados consistem de um conjunto 
de amostras individuais, cada uma tendo uma correlação com o desconhecido e entre si. 
Ao invés disso, consideramos que o evento de dados é um padrão considerado por 
completo, onde queremos estabelecer uma relação com o ponto desconhecido, através da 
probabilidade condicional. Consequentemente,temos a probabilidade condicional dada 
pela equação da krigagem simples: 
 𝑃(𝐼k(𝑥) = 1|𝐼𝐝𝐞𝐯(𝐱)) = E[𝐼k(𝑥)] + 𝜆(1 − 𝐸[𝐼𝐝𝐞𝐯(𝐱)]) (17) 
Essa última equação se refere ao estabelecimento de que a expectativade uma variável 
binária aleatória é a probabilidade da variável sendo igual a 1. Dessa forma o valor 1 é 
simplesmente um valor indicador, que indica a presença de um único evento. A resolução 
dessa equação é obtida utilizando-seda equação normal simples (Guardiano & Srivastava, 
1993). 
 
𝑃(𝐼𝑘(𝑥) = 1 |𝐼𝒅𝒆𝒗(𝑥) = 1) = 
𝑃(𝐼𝑘(𝑥) = 1 , 𝐼𝑑𝑒𝑣(𝑥) = 1)
𝑃(𝐼𝑑𝑒𝑣(𝑥) = 1)
 
 
(18) 
Os dados do numerador e do denominador da equação são obtidos pela IT, de forma que 
o valor para a variável bináriai passa a ser determinada pela frequência do evento na IT 
em função da configuração dos dados: 
15 
 
 
𝑖 (x) = 
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝐼𝑇𝑐𝑑(𝑖, 𝑖𝑑𝑒𝑣)
𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝐼𝑇𝑐𝑑(𝑖𝑑𝑒𝑣)
 
 
(19) 
3.2.2.3 Algoritmo SNESIM – Single Normal EquationSimulation 
 
Desenvolvido em 2002, o algoritmo do SNESIM atua realizando a varredura da IT 
obtendo-se assim a frequência de cada padrão existente nos eventos de dados, onde tais 
frequências são posteriormente armazenadas em uma árvore de busca. O algoritmo atua 
seguindo os passos (STREBELLE, 2002): 
1. Armazenagem na árvore de busca dos eventos de dados existentes na IT; 
2. Carimbar as amostras existes nos nós mais próximos e definir um caminho 
aleatório visitando apenas uma vez todos os nós não amostrados; 
3. Em cada local sem amostragem u, obter os dados condicionantes presentes dentro 
do template de busca máximo e utilizado para construir a árvore de busca; 
4. Carimbar o nó u aleatoriamente utilizando a distribuição acumulada e a 
informação presente na árvore de busca. Esse valor é adicionado ao banco de 
dados para ser utilizado na simulação do próximo nó; 
5. Ir para o próximo nó pelo caminho aleatório e repetir os passos 3 e 4; 
6. Realizar o loop até que todos os nós sejam simulados. 
 
3.2.2.4 Árvore de busca 
 
A obtenção da árvore de busca ocorre da conforme a Figura 7, onde se avaliam todos os 
diferentes padrões para o template escolhido. 
16 
 
 
Figura 7 - Imagem de treinamento e os eventos que a compõem (MARIETHOZ e CAERS, 
2015) 
 
Para a IT acima, a árvore de busca resultante seria como na Figura 8. Para essa imagem, 
podemos exemplificar da seguinte maneira com base nas figuras demarcadas em 
vermelho: quando vai ser realizada a simulação de um nó cujo vizinho de cima é preto e 
os vizinhos laterais são brancos, esse evento ocorre 2 vezes, sendo a probabilidade de 0/2 
do bloco ser branco e de 2/2 do bloco ser preto, ou seja, a probabilidade de que o bloco 
seja preto é de 100% neste caso. 
17 
 
 
Figura 8 - Árvore de busca para a imagem de treinamento anterior com as respectivas 
frequências absolutas dos eventos (MARIETHOZ e CAERS, 2015) 
 
18 
 
4 METODOLOGIA 
 
A metodologia utilizada foi dividida em cinco etapas. A primeira consistiu em um ajuste 
no banco de dados, uma vez que o mesmo apresentou diversas informações não relevantes 
para este estudo, foi realizada uma filtragem nos parâmetros de forma a se utilizar apenas 
aqueles que possuem informação a sere utilizadas nesse projeto. A segunda consistiu na 
preparação e realização da simulação por multiponto, uma vez que esta necessitou-se da 
criação da imagem de treinamento pra a sua realização. 
 
A terceira etapa foi a da estimativa de recursos através da krigagem ordinária. A quarta 
foi a simulação por bandas rotativas, a qual foi realizada posteriormente à krigagem 
ordinária uma vez que alguns parâmetros utilizados são os mesmos para ambos os 
métodos. 
 
Por fim irá se realizar a comparação entre as técnicas realizadas e também analisar a 
aplicabilidade da simulação para a industria (Figura 9). Os softwares utilizado estão 
disponíveis para uso no laboratório de pesquisa mineral do Departamento de Engenharia 
de Minas. 
 
 
Figura 9 – Organograma da metodologia de trabalho 
 
19 
 
Banco de dados 
 
O banco de dados utilizado neste trabalho é composto por informações de testemunhos 
de furos de sondagem (Figura 10). As informações existentes são: localização espacial 
através do sistema de coordenadas UTM (Universal Transversa de Mercator); litologia 
da rocha em questão (canga, itabirito e hematita); teor dos elementos ferro e sílica. O 
banco de dados inicial foi ajustado uma vez que algumas informações não eram relevantes 
para o contexto desse trabalho, tais como teor de manganês, alumina, perda ao fogo e 
número da amostra, de forma que os teores de ferro foram os principais dados utilizados 
devido a serem os mais relevantes neste trabalho. 
 
Figura 10 – Vista superior da localização dos furos de sondagem utilizados no estudo 
(Fonte: Autor) 
 
Simulação multiponto 
 
Para se realizar a simulação multiponto foi necessário a criação da imagem de treinamento 
(IT). Para isso utilizou-se das litologias existentes no banco de dados. Devido a grande 
variedade presente dentro de uma mesma mineralogia, estes foram agrupados de forma a 
se obter três diferentes classes: Hematita, Itabirito e Estéril. Com essas três classes foi 
criada a imagem de treinamento que serviu como dado de entrada na simulação. O 
processo de criação passa pela visualização dos dados no espaço, de forma a se interpretar 
20 
 
os mesmo e realizar o desenho das seções que representassem os corpos litológicos 
(Figura 11). O processo foi realizado no software Micromine 2016. Essas seções são 
extrudidas e triangularizadas resultando em uma geologia em três dimensões (Figura 12). 
 
 
Figura 11 – Seções verticais referentes interpretação da litologia hematita. 
 
 
Figura 12 – Vista superior do corpo tridimensional das litologias hematita (verde) e 
itabirito (vermelho) provenientes do processo de geração da imagem de treinamento 
 
21 
 
 
Após a geração de um corpo tridimensional, o mesmo precisa ser cubado para ser 
utilizado como uma imagem de treinamento, neste caso os blocos foram de 30x30x15 
metros baseado no espaçamento dos furos de sondagem e em outros empreendimentos de 
característica semelhante (Figura 13). 
 
 
Figura 13 – Imagem de treinamento dos dados de estudo. Em verde litologia hematita e 
em vermelho itabirito (Fonte: Autor). 
 
Krigagem Ordinária 
 
A krigagem ordinária necessita-se de uma análise estatística espacial dos dados, tais como 
variografia e análise de desagrupamento. A variografia é um processo que requer análise 
minuciosa pois uma escolha errada na direção preferencial pode ocasionar grandes erros 
nas etapas posteriores. Após a escolha do variograma e de seu ajuste matemático, foi 
realizada a krigagem através do sofware SGeMS. 
 
22 
 
Simulação por bandas rotativas 
 
A simulação por bandas rotativas também foi realizada pelo software SGeMS e utilizou 
como dados de entrada dados gaussianos. Esses dados são os mesmos utilizados na 
krigagem, pórem após a transformação gaussiana deve-se reajustar o variograma tais 
como seu patamar e alcance, além do modelo utilizado. Após a obtenção do variograma 
foram geradas 25 simulações equiprováveis da região de estudo. 
 
Análise dos resultados 
 
A última etapa consiste na análise dos resultados e comparação entre os métodos 
buscando nortear a eficiência e rapidez em que as simulações podem ser realizadas, e 
principalmente uma comparação entre a krigagem ordinária e a simulação por bandas 
rotativas uma vez que os dois métodos apresentam resultados em uma mesma base 
unitária, neste caso teor mineral. 
 
23 
 
5 RESULTADOS E DISCUSSÃO 
 
Simulação Multiponto 
 
Pelo fato de serem variáveis categóricas, será apresentado primeiramente os resultados 
referentes a simulação multiponto. As simulações foram realizadas no software SGeMS 
(Stanford GeostatisticalModeling Software) que já possui o algoritmo SNESIM embutido. 
Para iniciar as simulações é necessário o preenchimento de alguns parâmetros (Tabela 1). 
Tabela 1 - Parâmetros de entrada para o algoritmo da MPS. 
Número de simulações 10 
Seednumber211175 
Número de variáveis 3 
Distribuição marginal alvo (A B C) 0.9126 0.0018 0.0856 
Número de nós no template de busca 40 
Alcance para o template de busca 200 200 50 
Ângulos para o template de busca 00 0 
Número Mínimo de replicação 10 
Fator Servosystem 0.9 
Número de Multigrids 4 
 
A função de cada uma dessas variáveis foi descrita por (LIU, 2006) e de forma geral 
estas tendem a ser modificadas em função das características dos dados de entrada. Os 
principais paramêtros são a distribuição marginal alvo, que se refere a distribuição 
percentual das variáveis a serem simuladas, que neste caso são as litologias 0, 1 e 2. Outro 
fator muito importante é o Servosystem que se refere ao quanto se deseja aproximar da 
distribuição marginal alvo, ou seja, ao se escolher servosystem igual a .99 (valor máximo), 
significa condicionar estritamente as simulações do forma que as distribuições das 
litologias dos modelos simulados serão exatamente, ou muito proximo dos valores 
escolhidos no parâmetro distribuição marginal alvo. 
24 
 
Com esses parâmetros foram gerados 10 modelos simulados, sendo este número 
escolhido apenas como forma de se realizar uma análise preliminar para um posterior 
refinamento dos parâmetros de entrada. 
O gráfico da Figura 14 ilustra a distribuição das litologias dos resultados das simulações 
e da IT. Percebe-se que houve uma superestimação da litologia 1 e uma subestimação da 
litologia 2 por parte das simulações. Isso se deve pela necessidade de um melhor 
refinamento quanto aos parâmetros de entrada e também devido a IT se tratar de um 
modelo simplificado, onde a mesma nem sempre apresenta as distribuições que realmente 
existem nos depósitos. Outro fato que influencia nessa anomalia é o fato da litologia 1 
possuir uma proporção extremamente pequena quanto comparada com as demais, dessa 
forma em um modelo de probabilidade condicional com base em variáveis aleatórias, há 
dificuldade de se ajustar a tais valores. 
 
Figura 14 - Distribuição relativa das litologias das simulações e da Imagem de 
treinamento. 
 
Visualmente verifica-se que as simulações tenderam a representar as principais formas 
do depósito apresentadas na imagem de treinamento (Figura 15), porém foi necessário 
realizar um refinamento dos parâmetros de entrada para uma melhor representação das 
extremidades da litologia 2 (Figura 16). Mesmo após o refinamento dos dados, foi 
possível visualizar alguns pontos distribuídos no espaço de simulação, os quais são 
denominados ruídos e são inevitáveis aos processos de simulação MP. 
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
IT S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10
D
is
tr
ib
u
iç
ão
 r
el
at
iv
a 
(%
)
Modelos
1 2
25 
 
 
Figura 15 - Vista de topo da imagem de treinamento 
 
Figura 16 - Vista de topo dos resultados das simulações 
26 
 
Com a realização dessas simulações concluiu-se que os resultados foram positivos uma 
vez que estas apresentaram de forma geral o que se espera da geologia local, de acordo 
com a análise da interpretação de um geólogo. Deve-se considerar que a IT não é a 
interpretação mais fiel e científica da geologia do modelo, de forma que diferenças entre 
as IT e as simulações é algo esperado nos resultados. Conclui-se também que o algoritmo 
possui uma boa possibilidade de variação quanto a variáveis de entrada, de forma que 
isso faz com que o seu operador repita o processo até obter resultados que tenham a 
característica desejada. 
 
Não foi realizada uma comparação muito aprofundada desses resultados, uma vez que a 
geologia do depósito é proveniente de uma análise subjetiva do seu elaborador. De forma 
que o que pode ser observado é uma interpretação estatística sobre a IT que é o que o 
algoritmo reproduz. 
 
Resultado estatístico dos dados 
 
Os primeiros resultados sobre a estatística básica dos dados, onde estas podem ser vistas 
na tabela 2 e no histograma da Figura 17 
Tabela 2. 
 
Tabela 2 – Estatística básica do teor de ferro global das amostras de furo de sondagem 
Variável Mínimo (%) Máximo (%) Média (%) Desvio Padrão (%) 
Ferro 5,40 69,62 47,72 11,72 
27 
 
 
Figura 17 – Distribuição de frequência dos teores de ferro global nos dados amostrais. 
 
Um dos fatores que interferem na distribuição dos dados é a alta quantidade de 
amostragem que ocorrem nas regiões de alto teor mineral. Portanto, realizou-se uma 
declusterização dos dados, para isso, utiliza-se uma função para determinar o melhor 
tamanho das janelas utilizadas no processo. Nesse processo, testou-se 100 diferentes 
combinações, onde a melhor delas é a que representa o mínimo na distribuição do gráfico 
gerado. As variáveis analisadas são as variações nos tamanhos em x, y e z (Dx, Dy e Dz 
respectivamente) cujos valores variavam dentro das faixas descritas na Tabela 3. 
 
Os resultados do gráfico gerado são importantes para a determinação de qual o tamanho 
ótimo das janelas para a declusterização, que neste caso é o valor mínimo da Figura 18. 
Esse valor corresponde ao passo 43, cujo seus valores estão descritos na Tabela 4. 
 
28 
 
Tabela 3 - Limites das variações para determinação dos melhores tamanhos das janelas 
para a melhor declusterização. 
Variável Limite Máximo (m) Valor Mínimo (m) 
Dx 12,5 3000 
Dy 12,5 3000 
Dz 10 30 
 
 
Figura 18 – Resultados do processo de determinação dos melhores tamanhos de janela 
para declusterização. 
 
Tabela 4 - Valores ótimos para declusterização dos dados 
Dx (m) Dy (m) Dz (m) Média dos pesos Desvio padrão dos pesos 
1280 1280 18,5 41,5 12,13 
 
Com esses resultados, realizou-se uma nova declusterização dos dados (Figura 19). Com 
a declusterização verifica-se uma melhor distribuição dos dados em relação a uma 
distribuição normal, de forma a existir dois conjuntos de distribuição, uma com altor teor, 
na faixa dos 58% de Ferro, e outra com baixo teor, na faixa dos 38% de ferro. Cabe 
29 
 
salientar que essa declusterização é fundamental nessa situação, uma vez que os dados 
amostrais possuem uma malha irregular. 
 
 
Figura 19 - Distribuição de frequência dos teores de ferro global nos dados amostrais 
declusterizados. 
 
Posteriormente foi realizado a análise variográfica, que é um importante procedimento 
para a estimativa de recursos. Inicialmente realizou-se a análise variográfica 
omnidirecional (Figura 20) e posteriormente uma análise variográfica direcional para 10 
diferentes direções (Figura 21). Esta última serve para se averiguar a existência de 
anisotropia dos dados, ou seja, uma tendência dos dados em apresentar maior 
continuidade em determinada direção. Esses resultados indicam que os dados possuem 
anisotropia na direção N40 (40º de azimute) cujo gráfico está representado na Figura 22. 
Uma variação na direção vertical não gerou modificações significativas nos dados, de 
forma que se considerou os estudos sem inclinação. 
 
30 
 
 
Figura 20 – Variograma omnidirecional para os dados de ferro 
 
 
Figura 21 - Variogramas direcionais para 10 diferentes direções para os dados de ferro 
 
31 
 
 
Figura 22 – Variograma direcional na direção N40 e em sua perpendicular D-90 
 
Com posse desses resultados, determinou-se as dimensões do elipsóide de busca, onde U 
é a direção preferencial (N40), V é a perpendicular no plano horizontal (D-90) e W é a 
perpendicular na vertical (Tabela 5). O ajuste do variograma foi feito com uma estrutura 
esférica e com o valor de 15 para o efeito pepita (Figura 23). 
 
Tabela 5 - Dados de ajuste do variograma experimental e as dimensões do elipsóide de 
busca 
Dados do ajuste Valor 
Alcance U 600m 
Alcance V 450m 
Alcance W 130m 
Patamar 80 
Efeito Pepita 15 
 
32 
 
 
Figura 23 – Ajuste do variograma N40 pelo modelo esférico 
 
Para a simulação por bandas rotativas é necessário uma transformação gaussiana dos 
dados de entrada (Figura 24). Após esse procedimento foifeita uma nova análise 
variográfica para esses dados, com um novo ajuste para esses dados gaussianos (Figura 
25). 
 
Figura 24 - Histograma dos dados de teores de ferro gaussianos 
 
33 
 
 
Figura 25 - Variograma ajustado dos dados gaussianos 
 
Tabela 6 - Dados de ajuste do variograma experimental e das dimensões do elipsóide de 
busca para os dados gaussianos 
Dados de ajuste Valor 
Alcance U 650m 
Alcance V 380m 
Alcance W 150m 
Patamar 0.55 
Efeito Pepita 0.22 
 
Após o ajuste do variograma foram determinados os dados para o elipsóide de busca que 
seriam utilizado na simulação por bandas rotativas (Tabela 6). 
 
Resultados da Krigagem Ordinária 
 
Com posse de todos esses dados, primeiramente realizou-se a krigagem ordinária para os 
dados referentes ao elemento ferro. Os resultados foram de encontro com o esperado, 
uma vez que o mesmo apresentou altos teores de ferro global nas regiões cujos dados 
amostrais eram mais ricos e também apresentou a suavidade na distribuição dos dados o 
que é bem característico do método (Figura 26, Figura 27,Figura 28e Figura 29). 
34 
 
 
 
Figura 26 – Resultados da Krigagem para o ferro (vista superior) 
 
 
Figura 27 – Resultados da krigagem (vista lateral) 
 
35 
 
 
Figura 28 – Resultados da krigagem ordinária de ferro 
 
Figura 29 – Resultados do desvio padrão da krigagem 
 
Para a realização da simulações, utilizou-se como parâmetro de entrada os dados 
estatísticos gaussianos ( variograma ajustado para os dados gaussianos, os dados também 
gaussianos e dimensões de elipsóide) e o número de 15 bandas rotativas como é proposto 
por (JOURNEL e HUIJBREGTS, 1989). Foram realizadas 25 simulações. Algumas 
dessas simulações podem ser vistas na Figura 30. É facil perceber uma variabilidade dos 
resultados da simulação, porém deve-se lembrar que ao se trabalhar com simulações 
36 
 
utiliza-se a média da simulações como um resultado final (Figura 31, Figura 32 e Figura 
33) o que no final não ocasiona uma variabilidade tão grande (Figura 34). 
 
37 
 
 
Figura 30 – Vista de topo das simulações 1, 5, 10, 15, 20 e 25 
38 
 
 
Figura 31 – Média das simulações por bandas rotativas (vista superior) 
 
 
Figura 32 – Média das simulações por bandas rotativas (vista lateral) 
 
39 
 
 
Figura 33 – Média das simulações por bandas rotativas 
 
 
Figura 34 – Desvio padrão da média das simulações por bandas rotativas 
 
40 
 
Em uma análise visual qualitativa os resultados da simulação por bandas rotativas seguem 
a mesma tendência da krigagem, com uma certa continuidade nas regiões de grande 
quantidade de dados como é o esperado devido este método ter como base a mesma 
direção da função variograma e utilizar-se desta para sua realização. Outro fato esperado 
é a não suavização dos dados que também é perceptível (Figura 35). 
 
 
Figura 35 – Comparação entre a média das simulações por bandas rotativas (esquerda) e 
a krigagem ordinária (direita) 
 
Um ponto negativo a ser destacado na simulação por bandas rotativas é a existência de 
ruidos, semelhante ao método de simulação multiponto, que nada mais é do que a 
presença de valores completamente diferente de sua vizinhança. Apesar de não ocorrer 
em grande escala é perceptível em diversas regiões do modelo gerado (Figura 36). 
41 
 
 
Figura 36 – Exemplo da presença de ruídos na simulação por bandas rotativas 
 
Para uma maior comparação entre os dados, se realizou uma comparação entre os blocos 
krigados e os blocos da média das simulações (Tabela 7). Os blocos que foram estimados 
ou simulados por um dos métodos e não pelo outro foram desconsiderados. Os resultados 
demonstram uma diferença pequena entre os valores dos métodos (menor do que 1% do 
teor). 
 
Tabela 7 – Comparação entre os blocos krigados e simulados 
 Médias (%) Desvio padrão (%) 
Krigagem Ordinária 44.53 10.45 
Bandas Rotativas 44.18 10.57 
Diferença entre os blocos 0.08 1.6 
 
 
42 
 
6 CONCLUSÕES 
 
A estimativa de recursos minerais é a base para os empreendimentos minerários. Por 
muitos anos a krigagem reinou como principal forma de estimativa de teores, Este 
trabalho compara a krigagem ordinária com a simulação por bandas rotativas e os 
resultados mostram que a simulação pode ser adotada como uma metodologia para 
estimar os recursos. Os resultados mostraram uma pequena diferença entre os valores, 
cuja média foi menor do que 1% entre os teores. A simulação por bandas rotativas 
apresentou como pontos positivos a não suavização dos dados, uma rapida execução com 
baixo consumo computacional e também facilidade de execução. Como ponto negativo 
foram encontrados ruídos, que são normais em métodos de simulação estocástica mas que 
devem ser reavaliados em situações práticas, porém a quantidade destes não é suficiente 
para interferir numa tomada de decisão final. 
 
Já a simulação multiponto mostrou-se uma ferramenta de grande praticidade e 
possibilidade de alteração dos resultados. O seus resultados podem ser muito sensíveis 
mediante a variação dos dados de entrada, de forma que o seu utilizador deve ter cautela 
no momento de atribuir valores nos campos requeridos. O grande diferencial do método 
é a simulação de estruturas curvilineas que são comuns em depósitos minerais utilizando 
estatística dos dados para sua realização. O seu uso juntamente com o uso de um método 
de simulação de teores, como por exemplo o de bandas rotativas, pode ser uma ferramenta 
imprescindível no uso de softwares de sequenciamento direto de blocos que almejem 
explorar ao máximo o desvio padrão dos dados para a tomada de decisão. 
 
43 
 
7 RELEVÂNCIA DOS RESULTADOS 
 
Os resultados são relevantes por se tratarem de dados não teóricos, ou seja, dados reais 
sobre um projeto de pesquisa de depósito mineral. A partir disso verifica-se a 
comprovação da eficácia do uso da simulação por bandas rotativas como método para 
estimativa de recursos minerais, uma vez que este não apresentou diferenças 
significativas com o método padrão que é a krigagem ordinária. 
 
Do ponto de vista da simulação multiponto os resultados são importantes pois mostraram 
que essa metodologia tem eficiência na geração de um modelo geológico estatístico, e 
que os resultados podem se assemelhar muito com a modelagem tradicional que é feita 
por interpretações subjetivas de geólogos. 
44 
 
8 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 
 
Para trabalhos futuros recomenda-se utilizar as metodologias estudadas em um algoritmo 
ou software de sequenciamento direto de blocos, de modo que o software possa a explorar 
a variância dos dados para a tomada de decisão sobre os blocos presentes no modelo. 
 
Outra possibilidade é utilizar a simulação multiponto em outros tipos de depósito, uma 
vez que depósitos de ferro geralmente são contínuos e de grande extensão. Seria 
interessante utilizar o método em depósitos com características mais peculiares, como 
veios ou corpos mais estreitos e estruturas geométrica mais tabulares e com dobramentos. 
 
45 
 
 
9 REFERÊNCIAS 
 
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Journal of Petroleum Science and Engineering, v. 29, p. 177-188, 2001. 
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