A Arte de Projetar Estruturas de Concreto Armado

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MATHEUS S. 
BORGES 
 
 
 
 
 
 
 
A ARTE DE PROJETAR 
ESTRUTURAS 
DE CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
1ª Edição 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
A arte de projetar estruturas de 
concreto armado 
Aprenda sobre a mais bela das artes dentro da engenharia: a de projetar estruturas de 
concreto armado! 
 
 
 
 
Prof. Matheus Silveira Borges 
 
 
 
 
 
1ª edição 
 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 2 
 
 
Direitos autorais © 2023 Matheus Silveira Borges. 
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a arte de projetar estruturas de concreto armado 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ame ao teu próximo. Nenhum conhecimento te fará um 
grande profissional se não for aplicado em favor da 
humanidade 
 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 4 
 
 
Índice 
1. O material concreto armado 6 
1.1 O concreto sozinho 6 
1.2 O concreto armado 6 
1.3 Produção do concreto e suas falhas… 8 
1.4 O tal do Fck 8 
2. Ações estruturais 11 
4.1 O que são as ações estruturais 11 
4.2 Tipos de ações estruturais 11 
4.3 Valores característicos e de projeto 12 
4.4 Segurança estrutural 13 
4.5 A combinação das ações 14 
3. Concepção Estrutural e Estabilidade Global 18 
3.1 Introdução à tal de estabilidade global 18 
4 - Lajes de concreto armado 25 
6.1 Lajes Treliçadas 25 
5. Escadas de concreto armado 27 
6 - Vigas de concreto armado 30 
6.1 Um pouco sobre vigas de concreto armado 30 
6.1.1 Conceito de vigas 30 
6.1.2 Como funcionam as vigas de concreto armado 31 
8.1.3 Domínios do concreto 32 
6.2 Pré-dimensionamento de vigas 33 
6.2.1 Método Simplificado 34 
6.2.2 Método da Flecha 35 
6.2.3 Método dos Domínios do Concreto 41 
6.3 Prescrições (regras) de dimensionamento 43 
6.3.1 Dimensões mínimas 43 
6.3.2 Armadura mínima 44 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 5 
 
 
6.3.3 Armadura máxima 44 
6.3.4 Espaçamentos mínimos entre barras 44 
6.4 Métodos de dimensionamento 45 
6.4.1 Método K3 e K6 45 
6.4.1.1 Dimensionamento de vigas simplesmente armadas 45 
Seção 7 - Pilares de concreto armado 55 
7.1 Introdução ao estudos dos pilares 55 
7.2 Anatomia de um pilar de concreto armado 55 
7.3 O que você precisa saber para calcular um pilar 56 
7.4 O tal do índice de esbeltez 57 
7.5 Classificação dos pilares quanto ao tipo de carregamento e geometria na arquitetura 59 
7.6 Prescrições normativas 60 
7.6.1 Seção de concreto 60 
7.6.2 Diâmetro de armaduras 61 
7.6.1 Área de aço 61 
7.6.2 Espaçamentos entre armaduras 62 
7.6.3 Espaçamento entre estribos 62 
7.7 Dimensionamento das armaduras 62 
Anexos 75 
 
 
 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 6 
 
 
1 
O material concreto armado 
O concreto armado é o material mais utilizado nas construções ao redor do mundo. Mas 
quais seriam os motivos para essa ampla utilização? Quais vantagens deste material fazem com 
ele seja escolhido diante das demais opções de materiais estruturais? É isso que você vai descobrir 
agora! 
1.1 O concreto sozinho 
 Sabe quando o pessoal faz aquelas “misturas” de cimento, areia e brita na rua para 
“encher” uma laje (e depois, aquele almoço com farofa para todo mundo)? 
 Pois é… Aquela “mistura” que toma conta da rua na verdade é o que chamamos de 
concreto. Feito essencialmente por cimento, água e agregados, o concreto é o material 
empregado na construção de lajes, vigas, pilares e fundações da maior parte das construções 
brasileiras. 
 A ilustração abaixo mostra como esses componentes se interagem para a confecção deste 
tão utilizado material de construção: 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 7 
 
 
 
 O interessante é que esse mesmo concreto, da forma com que apresentamos, pode ser 
utilizado em diversos casos em que apenas a compressão é solicitada (ou a tração é muito baixa), 
como por exemplo, enchimentos de pisos, lastro para recebimento de fundação, etc. 
Ou seja, o concreto sozinho, apesar de ser até bom na resistência à compressão, não 
resiste muito bem à tração. Isso quer dizer que, se “esticado”, ele irá se romper. 
E isso é algo bem ruim pela ótica das estruturas, pois normalmente, os elementos 
estruturais são a todo momento tracionados (e comprimidos também). 
1.2 O concreto armado 
Com isso, um dia tiveram uma ideia magnífica: “Vamos colocar um material bom à tração 
dentro desse concreto que já é bom à compressão. Aí teremos um novo material, bom de 
compressão e também de tração”. 
E qual material colocamos? Um chiclete? 
“Não! Vamos colocar o aço, que tem um coeficiente de dilatação térmica semelhante ao 
do concreto” 
“Aí, na hora que um dilatar, o outro vai junto”. 
E assim nasceu o material compósito concreto armado, que é o assunto que vamos tratar 
daqui para frente! 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 8 
 
 
1.3 Produção do concreto e suas falhas… 
 Porém, o fato do concreto ser confeccionado em usinas ou no canteiro de obras o torna 
suscetível a uma possibilidade de erros de produção. 
 Às vezes, colocam água demais, outrora aproveitam restos do dia anterior. Verdade é que, 
por poder ser moldado com relativa facilidade, o concreto é ainda muito dependente do controle 
de qualidade da obra. 
 Com isso, o concreto passa a ser um material com uma razoável margem de incerteza no 
seu processo produtivo. E isso é, para nós, um grande desafio. 
1.4 O tal do Fck 
 Por esse (e por outros) motivos, existe uma grande preocupação em determinar qual seria 
a resistência, de fato, de um concreto que foi implementado em alguma obra. 
 E para isso, são necessários ensaios de laboratório que nos dão uma pista do quanto um 
concreto aguenta. 
 Ah! Matheus, e como funcionam esses ensaios? 
 Imagine que você moldou 100 corpos de prova de uma obra. Depois de 28 dias, você irá 
rompê-los na prensa. 
 Durante o processo, você foi contabilizando a resistência de cada um. Ao terminar as 100 
rupturas, você pegou os valores de resistência e ordenou do menor para o maior. 
 Fck é a resistência do 5º corpo de prova da lista. Ou seja, fck é a resistência do concreto 
que tem a probabilidade de apenas 5% dos demais corpos de prova ter uma resistência igual ou 
inferior. 
 
1.5 E o aço? 
 Bom, ao contrário do concreto e sua frágil cadeia de produção, o aço é um material 
com um maior controle de qualidade em sua produção. Isso faz com que sua utilização 
não precise de tanta preocupação quanto à sua qualidade original. 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 9 
 
 
1.6 Então por que usamos concreto armado e não uma estrutura 
somente de aço? 
 Essa é uma dúvida bem interessante, já que o aço se apresenta como um material 
resistente, com ótimo controle de qualidade e ainda, relativamente leve. 
 O que acontece no Brasil é que o concreto armado pode ser moldado em locais 
de difícil acesso, como por exemplo localidades rurais. Uma outra questão é a quantidade 
de mão de obra disponível para cada tecnologia construtiva, já que a grande maioria dos 
trabalhadores da construção civil estão acostumados com os métodos construtivos do 
concreto armado. 
 Ainda, de forma mais técnica, o concreto armado apresenta a vantagem de ser 
moldado conforme a necessidade. Isso gera uma vantagem enorme do concreto armado 
sobre o aço, que ao contrário do concreto, é produzido em indústrias de forma 
padronizada e inflexível. 
 No quesito resistência, não tem como comparar: o aço é muito melhor. Isso acaba 
gerando outro contraste entre as duas e que o concreto armado perde: as estruturas de 
aço ficam bem mais leves. 
 Agora, mesmo com todas as vantagens que o aço apresenta, no Brasil, oconcreto 
armado ainda reina! E por esse motivo, nas próprias faculdades, se ensina muito mais o 
concreto armado, que é o grande assunto deste nosso livro! 
Exercícios 
2.1 O concreto é um material de construção que pode ser empregado em duas vertentes na 
engenharia civil: como material de construção e como material estrutural. 
A grande diferença entre as aplicações está na capacidade resistente aos esforços estruturais. 
Vamos à algumas análises importantes: 
a) Um supermercado está prevendo um piso de concreto. Esse material, após a concretagem, se 
comportará como _____________________. 
b) A parede em um canal hidráulico para fins de escoamento de um curso d’água em um perímetro 
urbano suportará o empuxo do solo e quando cheio (dias de chuva), também a carga d’água. Esse 
material, após a concretagem, se comportará como _____________________. 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 10 
 
 
c) As sarjetas são executadas em concreto, visando a durabilidade como ferramenta importante 
no processo de drenagem urbana. Esse material, após a concretagem, se comportará como 
_____________________. 
2.2 O aço e o concreto tem uma propriedade física extremamente importante em comum, que 
torna possível a formação do compósito concreto armado. Que propriedade física é essa e qual o 
seu valor? 
2.3 Qual a diferença entre concreto armado e concreto protendido. 
2.4 Na sua opinião, qual a principal vantagem do concreto armado? 
2.5 Nós temos três tipos de aço para construção civil: CA-25, CA-50 e CA-60. Eles têm a mesma 
aderência ao concreto? (Se vocês ainda não conhecem os tipos de aço, uma rápida consulta à 
internet irá auxiliá-los) 
2.6 Para relembrarmos de Resistência dos Materiais: Qual é o esforço que o aço causa no concreto 
quando eles são submetidos aos esforços de tração? 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 11 
 
 
2 
Ações estruturais 
Aprenda a determinar as ações que atuam na estrutura e como são feitas as combinações delas 
dentro dos estados limites de desempenho. 
2.1 O que são as ações estruturais 
Quando aplicamos uma força para abrir uma porta, por exemplo, nada mais ocorre do 
que a simples aplicação de uma ação sobre a maçaneta da porta. 
Neste caso específico, o conjunto porta e maçaneta é projetado intencionalmente para 
não reagir à nossa ação e a porta acaba se abrindo. 
Ou seja, uma ação representa nada mais do que um esforço para que algo se movimente. 
Porém, se não tivermos movimentação, não quer dizer que não tivemos a ação. Apenas, alguma 
reação exercida por algum elemento da estrutura foi competente o bastante para bloquear a 
eficácia desta ação em um processo físico de ação e reação. 
2.2 Tipos de ações estruturais 
 Agora, imagine a nossa porta do exemplo anterior. Apesar do peso próprio da porta 
sempre está ali, a força que exercemos na intenção de abri-la é aplicada por apenas alguns 
instantes. 
 Ou seja, existe uma certa lógica da duração das ações estruturais. Nesse sentido, podemos 
classificar as nossas ações da seguinte forma: 
● Permanentes: São aquelas que permanecem com um valor fixo em toda a vida útil de uma 
edificação. Um bom exemplo disso é o peso do tronco de uma árvore após essa alcançar 
a fase adulta. 
Durante toda a vida desta árvore, o tronco estará aplicando seu peso sobre as raízes. 
● Variáveis: São aquelas que se apresentam de forma totalmente incerta, tanto em questão 
de valores quanto em duração de aplicação. Ou seja, em alguns casos, a ação estará na 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 12 
 
 
estrutura. Em outros, já não estará mais. E quando estiver, apresentará sempre um valor 
diferente um do outro. Um bom exemplo disso é o peso das folhas e frutos da nossa 
árvore. Em algum momento, teremos folhas e frutos. Em outros, apenas folhas. No 
outono, até as folhas irão cair. Ou seja, teremos diferentes valores de carga sendo 
aplicados nos diferentes períodos da vida útil da estrutura. 
● Excepcional: São aquelas que possivelmente nunca ocorrerão na vida útil da edificação. 
Mas, se ocorrer, será por um curto período de tempo. É o caso, por exemplo, do dia que 
a gente cai de uma bicicleta ou sofre um escorregão. 
 A imagem abaixo ilustra como essas ações podem aparecer na estrutura: 
 
 E as ações excepcionais? Por que não apareceram na árvore? Bom, por que o melhor 
exemplo de ação excepcional em uma árvore é um machado cortando a coitada! Então é melhor 
deixar sem ela no nosso exemplo, não é mesmo? 
2.3 Valores característicos e de projeto 
 No Brasil, os valores das ações estruturais são orientados pela NBR 6120:2019. Nela, 
temos tabelas dos pesos dos mais diversos elementos de uma estrutura e também taxas de cargas 
para as mais diversas funções arquitetônicas (ex: academia, biblioteca). 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 13 
 
 
 Porém, nessa norma, o que temos como dados de consulta são valores característicos de 
ações. E o que vem a ser isso na prática? 
 Bom, os valores característicos são intensidades de cargas estimadas para uma 
determinada situação. Porém, esta estimativa não contempla combinações possíveis ou 
imperfeições nos processos construtivos. Ou seja, esses valores não possuem ponderações de 
segurança ou de baixa probabilidade de ocorrência. 
 Portanto, sobre um valor característico de ação, temos ainda que aplicar as devidas 
considerações de majoração ou minoração. 
 Na NBR 6118:2014, essas ponderações são feitas pelo método dos estados limites. Ou 
seja, ao invés de majorar uma carga especificamente com um coeficiente de segurança fixo 
(estratégia determinística), fazemos as combinações das mais diversas cargas contemplando as 
chances de que elas ocorram de forma simultânea (estratégia probabilística). 
 Basicamente, deixamos de lado a ideia de aplicar um coeficiente de segurança único em 
todos os casos possíveis de uma estrutura e passamos a pensar tentando visualizar como cada 
caso poderá, junto aos demais, impactar a estrutura. 
 Assim, o que achamos ao fim deste processo, será o que chamamos de solicitação de 
projeto, que é o que de fato usamos para dimensionar um elemento estrutural. 
 Trocando em miúdos, não é com a carga do vento que dimensionamentos um pilar, e sim 
com o valor de solicitação ponderada a partir das ações do vento, do peso das pessoas, dos 
móveis, do próprio concreto armado, etc. e ainda, prevendo a pior situação dentre as inúmeras 
possíveis combinações dessas ações. 
2.4 Segurança estrutural 
Para que a segurança estrutural seja mantida, temos que respeitar a seguinte inequação: 
 
 
onde Sd é a solicitação de cálculo, ou seja, os esforços solicitantes já majorados e Rd a resistência 
de cálculo, ou seja, a resistência do material já minorada. 
Agora, vamos aprender a como calcular o Sd, que é feito, segundo as normas brasileiras, 
por um processo de combinação de ações. 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 14 
 
 
2.5 A combinação das ações 
 
A combinação de ações visa analisar a estrutura sob toda e qualquer agrupamento 
possível de ações. Segundo a NBR 6118, para as combinações normais, especiais ou de construção, 
essa ação combinada, ou ação de projeto Fd é dada por: 
 
 
Onde γg pondera uma ação permanentes Fgk (k aqui no sentido de o F ser característico, 
ou seja, não majorado), γq pondera as ações variáveis Fqk, γε pondera as ações indiretas e 
impostas Fεk, como recalques de apoio, retração e cargas de dilatação térmica. 
Para montarmos as combinações de ações com as devidas ponderações, precisamos 
utilizar a tabela abaixo: 
Valores γf 
Tipo de combinação de 
ações 
Permanentes (g) Variáveis (q) 
Recalques de apoio e 
retração (ε) 
D F G T D F 
Normais 1,4(a) 1 1,4 1,2 1,2 0 
Especiais/ construção 1,3 1 1,2 1 1,2 0 
Excepcionais 1,2 1 1 0 0 0 
OBS: D é desfavorável, F é favorável, G representa as cargas variáveis em geral e T é a temperatura.(a) Para 
as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das estruturas, especialmente as 
pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3. 
Exemplo 1 
Em um pilar de concreto armado, temos a ocorrência de uma carga permanente de 10tf 
de compressão, uma variável de tração por motivos gerais de 2tf e outra de compressão por 
motivos gerais de 3tf. Assim, para uma primeira combinação com todas as possíveis ações, 
teremos: 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 15 
 
 
Perceba que nesta combinação, temos uma carga que alivia o pilar, ou seja, com ela, o 
pilar fica menos carregado. O complicado é que essa é uma ação variável e portanto, pode ser que 
em algum momento não esteja carregando a estrutura. Com isso, precisamos fazer uma 
combinação retirando ela para ver o que teremos atuando no nosso pilar: 
 
Ou seja, sem essa ação, a estrutura alcançará seu ponto crítico. Assim, Fd = 18,2tf. 
Exemplo 2 
Em um pilar de concreto armado, temos a ocorrência de uma carga permanente de 4tf de 
compressão, uma variável de tração por motivos gerais de 7tf e outra de compressão por motivos 
gerais de 0,5tf. Assim, para uma primeira combinação com todas as possíveis ações, teremos: 
 
Agora, perceba que a carga permanente atua em sentido contrário à resultante das forças. 
Isso é interessante pois neste caso, a carga permanente atua aliviando a estrutura. Mas aí surge 
outra dúvida: E se este elemento estrutural for executado com alguma diferença que o faça ter 
um peso próprio menor? 
Perceba que uma valor de cargas permanentes eleva a carga final de projeto desta 
combinação. Apenas como exemplo, retire a carga permanente da combinação. Sobrará 9,1tf de 
tração, ou seja, bema cima do 4,05tf de tração que a combinação 1 entregou. 
Assim, prever alguma falha na execução das cargas permanentes pode ser algo 
interessante de fazermos. E para isso, podemos usar a coluna favorável da tabela de coeficientes, 
que diz que nesse caso, temos que multiplicar a carga por 1. 
Assim, teremos: 
 
Perceba ainda que a carga variável de 0,5 ainda está aliviando a estrutura, ou seja, no 
momento em que ela não estiver ocorrendo, atingiremos o ponto máximo de carga de tração. 
Olha só: 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 16 
 
 
 
Ou seja, neste caso, a carga crítica é -5,8tf. 
Exercícios 
1 Sobre um determinado pilar está atuando exclusivamente uma ação de valor característico de 
1000Kgf. Assumindo-se que essa ação é permanente e que faremos uma consideração de 
combinações de ações normais em uma situação desfavorável, qual será o seu valor de projeto 
no cálculo estrutural? 
2 Em um pilar de uma residência a qual você está projetando, estão sendo aplicadas as seguintes 
ações axiais: 
- Ações permanentes = 20KN 
- Ação variável 1= 10KN 
- Ação variável 2 = - 5KN 
a) Faça a combinação de ações dentro do ELU considerando que estará atuando: Ações 
permanentes D, Ação variável 1 e Ação variável 2. 
b) Faça a combinação de ações dentro do ELU considerando que estará atuando: Ações 
permanentes F, Ação variável 1. 
c) Qual das combinações de ações dentro do ELU acima oferece a situação mais crítica de 
projeto, ou seja o Nd do pilar? 
3 Você está desenvolvendo um projeto estrutural de uma viga de concreto armado solicitado por 
ações permanentes e variáveis. Esse projeto está ilustrado abaixo: 
 
OBS: Os valores acima representam as ações características. L1 = 4m e L2 = 1,5m. 
Os valores das ações são os seguintes: 
A1 = Ação permanente de 10KN/m 
A2 = Ação variável de 7KN/m 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 17 
 
 
A3 = Ação permanente de 15KN 
Com base nas informações apresentadas, proceda com as seguintes questões: 
a) Faça a combinação das ações acima no ELU para o Nd do pilar A considerando todas como 
desfavoráveis. 
b) Faça a combinação das ações acima no ELU para o Nd do pilar A considerando que a ação 
permanente A3 seria favorável. 
c) Para qual combinação (a ou b), devemos dimensionar o nosso pilar? 
4 Para o projeto estrutural da viga abaixo, encontre quais são os valores de projeto dos momentos 
fletores máximos, considerando uma combinação de ações normais. 
 
OBS: Os valores acima representam as ações características. L1 = 4m e L2 = 1,5m. 
G1 = 10KN/m 
G2 = 5KN/m 
Q1 = 20KN 
Q2 = 5KN 
Combinações de ações desejáveis: 
C1 = G1D + G2D + Q1 + Q2 
C2 = G1D + G2F + Q1 + Q2 
C3 = G1D + G2D + Q1 
C4 = G1D + G2D + Q2 
C5 = G1D + G2D 
 
 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 18 
 
 
3 
Concepção Estrutural e Estabilidade Global 
Compreenda como funcionam os coeficientes de instabilidade e como eles impactam a estrutura. 
3.1 Introdução à tal de estabilidade global 
 Sabe aquela brincadeira de andar em cima da guia de calçadas? Sim, eu fazia 
muito isso quando era criança. 
 Porém, o que eu não sabia é que aquela brincadeira escondia um dos conceitos 
mais importantes da engenharia estrutural: o de estabilidade. 
 Mas olha só: Durante a faculdade, aprendemos muito sobre uma coisa que tem 
um nome parecido: estaticidade. 
 E como você já deve está esperando, essas duas coisas não são iguais. Mas 
então, o que vem a ser estabilidade? 
 Fisicamente, estabilidade é a condição que algo tem de permanecer em um 
determinado estado. 
 Assim, trazendo para a nossa engenharia de estruturas, a estabilidade é a 
capacidade que uma estrutura terá de não ter seu comportamento alterado. Ainda está 
difícil de entender, né? 
 Então vamos para uma ilustração para entendermos isso melhor? 
 Imagine que você está carregando um saco de cimento nas costas. O fato de você 
está aguentando carregar o cimento já indica que existe ali um equilíbrio. Se você ficar 
parado com saco de cimento nas costas, é um equilíbrio estático. Se você andar e tudo 
ficar certinho ainda, passa a ser um equilíbrio dinâmico. 
 Até aí tudo bem. O grande problema é que, depois de algum tempo, você vai cansar 
e com isso, o cimento vai começar a “querer” cair dos seus braços. 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 19 
 
 
 Sua postura também vai alterar e toda uma geometria inicialmente existente será 
perdida. 
 Agora, apesar do equilíbrio ainda existir, ele começou a mostrar que pode ser 
perdido a qualquer momento. Ou seja, agora ele está um equilíbrio instável. 
 Se porventura alguém aparecer e te ajudar segurando o cimento para você, o 
equilíbrio voltará a ser estável. 
 Assim, quando tratamos do termo estabilidade em estruturas, estamos falando 
do potencial que uma estrutura tem de perder seu equilíbrio (estático ou dinâmico). 
3.2 E como medir uma instabilidade? 
 Vamos imaginar uma situação bem simples: Alguém que não sabe andar de 
bicicleta tentando aprender. 
 É esperado que essa pessoa dê uma balançada para cá e pra lá durante a 
pedalada, não é mesmo? 
 E o interessante é que, até um certo limite, essa pessoa não perderá o equilíbrio. 
Passando deste ponto, a queda é certa! 
 Então como podemos medir esse potencial de queda? Talvez pela distância que 
seu corpo sai do centro de massa quando tá aquela balançada! Sim, medir o 
deslocamento horizontal é uma boa alternativa. 
 Nas estruturas de concreto armado, as coisas funcionam de forma similar. Nós 
metrificamos os deslocamentos que acontecem na estrutura para identificar como está 
a estabilidade dela. 
 Ah! Matheus, mas medir o deslocamento lateral não é uma boa… Imagine que o 
ciclista esteja fazendo uma curva. É natural que ele incline a bicicleta para fazer a curva 
e isso nada tem a ver com o ciclista cair, não é mesmo? 
 Então, além de medir o deslocamento do ciclista, precisamos também identificar 
o motivo desse deslocamento. 
 E em estruturas, é exatamente isso que acontece! Vamos entender melhor? 
3.2 O gama-z 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 20 
 
 
 O gama-z é o coeficiente de instabilidade que faz exatamenteisso! Ele compara 
os deslocamentos causados pela ação do vento (que são normais e esperados) com os 
que acontecem por outros motivos (como por exemplo assimetria na estrutura). 
 Com isso, ele consegue medir o que vai acontecer em dias que não estiverem 
ventando, ou seja, causados por características “pessoais” da estrutura. 
Isso é muito interessante, pois assim, conseguimos modelar a estrutura para que, 
sem a interferência de ventos, ela fique certinha! Na hora que ventar, a estrutura desloca, 
mas quando o vento parar, ela irá voltar para o lugar de origem! Isso é que é a nossa 
famosa estabilidade! 
Mas e como o nosso gama-z é calculado? Da seguinte forma: 
 
Onde P são as cargas verticais e V as cargas de vento. Vamos então a um exemplo 
resolvido? 
Exemplo 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 21 
 
 
Suponha que, em um prédio com 80tf de cargas verticais e deslocamento horizontal no 
topo de 28mm, temos a atuação de um Vento x Gabarito total de 30.000tf.mm. 
 
Exercícios 
1. Segundo a NBR 6118:2014, um dos instrumentos de metrificação da estabilidade global de um 
edifício é o Coeficiente de Instabilidade Gama-Z, cuja fórmula é apresentada abaixo: 
 
onde, 
- ΔMtot,d é o somatório dos produtos das forças gravitacionais pelos deslocamentos 
horizontais de primeira ordem; 
- M1tot,d é o somatório dos momentos causados pelas forças horizontais em cada 
pavimento da estrutura. 
Faça uma análise desta fórmula e indique qual a importância de cada elemento no resultado final. 
2. Modele as estruturas abaixo no Ftool e após, calcule o coeficiente Gama-Z seguindo as 
especificações de rigidez: 
a) Todos os elementos possuem a mesma rigidez. 
E = 25GPa e I = 5e-3m^4 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 22 
 
 
 
 
b) Vigas: E = 25GPa e I = 5e-3m^4; Pilares: E = 25GPa e I = 1e-2m^4 
 
3. A estrutura abaixo apresenta Gama-Z maior que 1,10, o que na prática de projeto, indica que 
os efeitos de 2ª ordem são significativos. Considerando que esses efeitos não são desejáveis para 
este projeto, resolva esse problema de forma que o Gama-Z seja menor que 1,10. 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 23 
 
 
 
E = 10GPa; Seção de todos os elementos: 13cm x 13cm 
4. Calcule o coeficiente Gama-Z da estrutura abaixo sem e com contraventamento (escolha algum 
tipo). 
E = 10GPa 
Seções (inclusive do elemento de contraventamento): 20cm x 20cm 
 
O que você conclui a partir dos resultados encontrados? 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 24 
 
 
5. Agora, compare os resultados da estrutura contraventada com uma outra opção de projeto, 
onde os apoios serão engastados e não teremos contraventamento. Qual apresentou melhor 
resultado no que se refere à estabilidade global? 
6. Ainda, na sua opinião, o resultado que você encontrou é uma verdade plena? Ou existem 
variáveis na estrutura modelada que, se alteradas, mudarão totalmente os resultados? 
7. Faça uma pesquisa na internet e descubra como os contraventamentos são feitos em estruturas 
de concreto armado. 
 
 
 
 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 25 
 
 
4 
Lajes de concreto armado 
Aprenda todo o processo de projeto de lajes de concreto armado 
4.1 Lajes Treliçadas 
 
Nos mais diversos cursos de engenharia civil distribuídos pelo nosso país, o conteúdo de 
lajes de concreto armado foca apenas em lajes maciças. Eu mesmo aprendi somente laje maciça 
na faculdade, o que ressalto ser extremamente importante! 
No entanto, não podemos limitar o ensino de lajes apenas às maciças, visto que a cada 
dia que se passa, mais se utilizam as modalidades de lajes pré-moldadas na construção civil, área 
que mais empregará vocês! 
Como a teoria das lajes maciças é idêntica à das vigas e nosso tempo não permite estudar 
todos os tipos de lajes, vamos focar nas lajes pré-moldadas. 
O que precisamos saber para calcular as lajes treliçadas? 
O cálculo deste tipo de laje é feito basicamente dimensionando as vigotas treliçadas! 
Vamos ver como tudo funciona? 
No fim deste livro, eu adicionei um manual de lajes treliçadas (o fabricante em questão é 
a ArcelorMittal, mas poderia ser qualquer outro, desde que respeitadas as especificações de cada 
produto). 
Nesse manual, temos diversas especificações sobre o projeto das lajes treliçadas. Como 
muito do que tem no manual já lhes foi apresentado previamente, vamos focar especificamente 
no dimensionamento das vigotas treliçadas! 
Para tal, o manual traz tabelas de dimensionamento a partir da página 23 do arquivo PDF. 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 26 
 
 
 
Acima, eu reproduzi uma das tabelas que tem no manual, que foi feita especificamente 
para a vigota modelo TB 8L. 
Esse código quer dizer T = treliça, B = Belgo (marca), L = Leve, 8 = 8cm de altura h. Maiores 
detalhes podem ser vistos diretamente no manual. 
Agora, com os valores de carga acidental da laje e o vão livre, você consegue encontrar a 
quantidade de armadura adicional necessária (se for necessária). 
 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 27 
 
 
Vamos a um exemplo? 
Exemplo 1 
Dimensione uma laje treliçada para o seguinte ambiente: 
 
Iremos utilizar enchimento de bloco cerâmico e a carga acidental de projeto é 70Kgf/m² 
ou 0,7KN/m². 
Uma decisão que precisamos tomar também é o sentido das vigotas. Na maioria dos 
casos, jogamos a vigota no sentido do menor vão. Assim, teremos: 
 
Agora, iremos consultar as tabelas. A ideia é iniciar pela primeira tabela (mais econômica) 
e somente ir para a próxima se a vigota treliçada não puder ser utilizada! Vamos lá então? 
Ao analisar a primeira tabela, temos que pelo cruzamento da nossa carga acidental com 
o nosso vão (se não tiver a informação exata, pegue uma maior), a situação que atenderá a nossa 
laje será: 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 28 
 
 
 
Consultando a legenda... 
 
… Temos que uma vigota TB 8L sem nenhuma armadura adicional já atende à nossa laje. 
Vamos ver outro exemplo, agora de um ambiente um pouco maior e com mais carga. 
 
Iremos utilizar enchimento de bloco cerâmico e a carga acidental de projeto é 200Kgf/m² 
ou 2KN/m². 
 
Agora, vamos procurar a treliça adequada ao nosso projeto. Na primeira opção, vemos 
que a vigota não nos atende. 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 29 
 
 
 
Agora, vamos para a próxima tabela: 
 
Agora, a vigota nos atende. Porém, precisamos de uma armadura adicional na mesa da 
treliça de duas barras de 4.2mm (nada mal). 
Ainda, pela cor da legenda, precisamos especificar para o pessoal da obra deixar uma 
contra-flecha de 1,5cm. 
Pronto! Agora é só construir e ser feliz! 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 30 
 
 
 
 
 
 
5 
Vigas de concreto armado 
Aprenda todo o processo de projeto de vigas de concreto armado. 
5.1 Um pouco sobre vigas de concreto armado 
5.1.1 Conceito de vigas 
As vigas são elementos lineares em que o comprimento longitudinal L é ao menos 3 vezes 
maior que a maior dimensão da seção transversal do elemento. Essas vigas atuam combatendo 
principalmente a esforços de flexão e cisalhamento oriundos de cargas verticais. 
Caso tenhamos cargas horizontais, o modelo estrutura de viga de Euller-Bernoulli não é 
mais válido, sendo que o ideal é projetar a estrutura usando o modelo de pórticos. Aqui, por uma 
questão pedagógica, iremos considerar que as nossas vigas estarão submetidas apenas à flexão e 
cisalhamento. 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 31 
 
 
Nesse sentido, para o dimensionamento de vigas de concreto armado, precisamos 
primeiramente distinguir como os esforços solicitantes de flexão e cisalhamento podem atuar: 
● Flexão pura: é quando apenas um momento fletor atua na viga. Isso só ocorre em pontos 
onde o cisalhamento é nulo (neste caso, derivada da função momentoé nula, ou seja, em 
um máximo/mínimo de momento) 
● Flexão simples: junto ao momento, temos cisalhamento. Isso ocorre em todos os pontos 
de uma viga, com exceção do ponto de momento máximo ou momento nulo. 
● Flexão composta: junto ao momento e ao cisalhamento, agora teremos forças normais. 
Isso ocorre quando a viga é solicitada por uma ação ou componente de ação horizontal. É 
um caso teoricamente raro e portanto, não será contemplado neste livro. 
A flexão pura, tal como calculamos, é uma abstração teórica (tal como muita coisa em 
cálculo estrutural), porém, de grande valor pedagógico. Vale lembrar ainda que a flexão é um tipo 
de solicitação que automaticamente traz junto de si esforços de compressão e de tração. 
5.1.2 Como funcionam as vigas de concreto armado 
 No entanto, nós sabemos que o concreto é um material que resiste bem apenas aos 
esforços de compressão. Por esse motivo, teríamos, em uma viga feita apenas de concreto, 
grandes problemas na parte tracionada. 
 Por esse motivo, temos que adicionar, na parte tracionada, um material que resiste bem 
à tração. E ainda, que possui propriedades físicas similares ao concreto, para não ter problemas 
como dilatações distintas ou coisas do tipo. 
 Assim, com essas especificações, o melhor material até então desenvolvido é o aço de 
construção civil. A imagem a seguir mostra como tudo isso funciona: 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 32 
 
 
 
 Perceba que, onde temos tração, precisamos colocar as armaduras. O legal é que nos 
diagramas de momento, temos as regiões positivas e negativas. No cotidiano de projetos e obras, 
as armaduras que combatem esses esforços recebem exatamente os mesmos nomes: armaduras 
positivas atuando no combate ao momento positivo e armaduras negativas combatendo os 
momentos negativos. 
 Mas o que tem por trás dessa ideia de usar armaduras para combater tração? Como se 
comporta o concreto quando inserimos um material estranho a ele. A seguir, vamos dar uma 
olhada em um dos fundamentos mais importantes do dimensionamento de vigas de concreto 
armado: os domínios do concreto. 
5.1.3 Domínios do concreto 
Os domínios do concreto são classificações de uma peça estrutural de acordo com a 
posição de sua linha neutra, ou seja, a região de transição entre tração e compressão em uma viga 
de concreto armado, conforme ilustrado a seguir: 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 33 
 
 
Basicamente, o que teremos nestes domínios são situações de comportamento mecânico à 
ruptura do concreto e da armadura. 
Os três domínios típicos da flexão são: 
- Domínio I, onde a peça trabalha somente a uma tração não uniforme. 
- Domínio II, onde a peça trabalha sob tração, mas agora também com um pouco de 
compressão. 
- Domínio III, onde a peça trabalha de uma forma mais equilibrada os esforços de tração e 
compressão. 
Na prática, usamos muito o Como o Domínio III oferece a relação mais favorável entre os 
desempenhos do concreto e do aço, iremos focar o dimensionamento das vigas neste domínio. 
5.2 Pré-dimensionamento de vigas 
O pré-dimensionamento é uma etapa importante e imprescindível da concepção 
estrutural. É com o pré-dimensionamento que desenvolvemos que são feitas as análises 
estruturais iniciais de um projeto. 
Cabe ressaltar aqui que temos diversas “dimensões” a serem determinadas em uma viga. 
No entanto, nesta etapa específica, conseguimos obter essencialmente a base bw e a altura h. 
As demais dimensões serão determinadas conforme avançamos no processo do projeto 
estrutural! 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 34 
 
 
 
E para encontrarmos nossos bw e h, temos muitas técnicas de pré-dimensionamento à 
disposição na literatura e internet. E além delas, temos algumas que eu mesmo desenvolvi nestes 
anos que trabalho o conteúdo de estruturas, que, baseadas em conceitos fundamentais do 
projeto de estruturas de concreto armado, concede bons resultados no processo de concepção 
estrutural. 
Nesse sentido, vou apresentar para vocês os seguintes métodos de pré-dimensionamento 
de vigas: 
- Método simplificado; 
- Método da Flecha; 
- Método dos Domínios do Concreto. 
5.2.1 Método Simplificado 
O método simplificado é uma estratégia extremamente simples e eficiente para o pré-
dimensionamento. Essencialmente, ele torna diversas variáveis matemáticas, que na prática se 
repetem para a maioria dos casos reais, em uma simples constante. 
Assim, a gente consegue definir a altura total h de uma seção transversal apenas 
aplicando a seguinte fórmula: 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 35 
 
 
 
 
onde L é o vão teórico da viga. 
5.2.2 Método da Flecha 
Outra técnica que vou discutir com vocês é o pré-dimensionamento usando o estado 
limite de serviço de deformações (flechas) excessivas. Em tese, ao pré-dimensionar para esse 
critério, sua estrutura somente precisará ser validada pelos demais (estados limites de serviço e 
estado limite último). 
Vamos ver como isso funciona? 
Suponha que a gente tenha a seguinte viga em um projeto que estamos começando a 
desenvolver. 
 
Quais serão as suas dimensões? 
Bem, as dimensões finais é difícil de saber, pois precisamos fazer muitas verificações para 
saber ao certo. Porém, pré-dimensionar, ou seja, “chutar” valores de dimensão é plenamente 
possível. 
Vamos fazer o seguinte: A fórmula da flecha para esse caso é: 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 36 
 
 
Consideraremos E = 21GPa (iremos tratar especificamente do E mais para frente na nossa 
disciplina). 
E como temos os limites de serviço de deformações excessivas para respeitar, vamos 
consultar a tabela 13.3 da norma 6118, que diz quais são os limites de deslocamento: 
 
Assim, teremos que condicionar nossa flecha ao limite l/250. Como aqui temos uma flecha 
para baixo, iremos adotar -l/250. Teremos então: 
 
Como temos os valores de Q, L e E, podemos substituir na fórmula e deixar I como 
incógnita. 
 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: O Q merece um detalhe especial nesta parte: nós não temos 
o peso próprio da estrutura, pois ainda não temos sua dimensão. Esse é um problema recorrente 
no cálculo estrutural e que é resolvido (amenizado) de diversas maneiras. Aqui, vamos apenas 
desconsiderar sua existência, visto que, na prática, essa defasagem no Q total irá gerar apenas 
alguns ajustes dimensionais no processo de dimensionamento no ELU. 
Voltando ao cálculo… 
Isolando o I, temos: 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 37 
 
 
Teoricamente, qualquer seção transversal com esse valor de I seria aceita. Mas vamos 
mergulhar um pouco mais? Vamos considerar que temos duas geometrias possíveis para essa 
viga: 
 
Se usarmos nosso valor de inércia, teremos para cada seção as seguintes dimensões: 
 
Percebam que as duas soluções são válidas! Elas resolvem o problema da flecha. Porém, 
a seção à direita consome menos concreto e tem uma menor largura (bw). 
E aí? Qual escolher? 
Parte II - Usando um software. 
Em algumas situações, a fórmula da flecha de um sistema estrutural não é algo simples 
de se obter, dificultando o processo de pré-dimensionamento usando essa estratégia. 
Quando isso ocorre, podemos recorrer a um software de análise estrutural, tal como o 
Ftool. 
Vamos ver como isso funciona? 
Vamos pré-dimensionar a viga abaixo. Percebam que a sua flecha máxima não é 
facilmente determinada por fórmulas como o caso anterior, visto que não temos em tabelas da 
literatura qual seria a sua fórmula diretamente. 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 38 
 
 
 
Assim, vamos modelá-la no Ftool. A parte de lançamento geométrico segue o mesmo 
fluxo das demais estruturas que vocês já estão acostumados a lançar: 
 
O que temos que fazer a mais é apenas configurar o material com o E = 21GPa, 
 
 
e também, “chutar uma seção transversal” e ir avaliando se o limite da flecha estásendo atingido 
ou não. O ideal nessa etapa é chegar a um limite inferior próximo ao valor de l/250, que nesse 
caso será 0,02m (20mm) para o vão e 2 x 0,08m = 0,016m (16mm) para o balanço, considerando 
a nota 1 da tabela 13.3 da NBR 6118:2014, que instruir que o l deve ser dobrado no balanço: 
. 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 39 
 
 
Assim, eu comecei meu “chute” da seguinte forma: 
 
Vamos ver o que deu? 
 
A flecha máxima foi de 1.528 mm, ou seja, bem inferior ao limite. Se avançarmos com 
essa seção, é bem provável que que ela não terá problemas em ser aprovada no ELU, porém, 
compensa dar uma diminuída nela para ver o que vai dar… 
Como a flecha deu muito abaixo, vou diminuir drasticamente a seção: 12cm x 15cm. O 
resultado foi uma flecha de 14,25mm. 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 40 
 
 
 
Uma outra análise que podemos fazer é considerar agora o peso próprio acrescido à carga 
que está atuando: 
Como o concreto armado pesa 25KN/m³, podemos considerar que nessa seção, teremos 
um peso de 0,45KN/m. O resultado foi: 
 
Ou seja, ao acrescentar o peso próprio, a flecha aumenta, mas não de forma a ultrapassar 
o limite. 
Vamos à algumas considerações finais? 
Vocês perceberam que a seção de concreto ficou bem menor do que estamos 
acostumados? 
A carga utilizada está dentro do usual (algo em torno de 13 KN/m ou um pouco mais 
dependendo do ambiente). Então a carga não é o motivo da discrepância com o que estamos 
acostumados. 
O módulo de elasticidade do concreto Fck 25MPa é algo em torno de 21GPa, então isso 
também está ok? 
Então, o que foi que aconteceu? Vou mostrar para vocês… 
Voltando ao Ftool, fiz uma pequena modificação didática na nossa estrutura: 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 41 
 
 
 
Retirei o balanço e avaliei a flecha pós alteração. Olhem só: 23,48mm. Com a mesma 
configuração, porém sem o balanço, a flecha aumentou 8,9mm, ou seja, 61%. Incrivel, não? 
Ou seja, duas coisas são intuitivas: o balanço ajuda e muito a redução de flechas, o que 
fica atestado na arquitetura que marcou o Brasil na década de 90, onde as lajes 
“inexplicavelmente” saiam para fora da casa: 
 
Eu morei em uma casa assim em Montes Claros! A ideia desse balanço era diminuir a 
flecha das lajes! Legal, não é? 
Outra coisa que podemos concluir: O critério da flecha não é uma estratégia muito boa 
para esses casos, visto que o sistema estrutural é bem eficiente, entregando flechas muito baixas. 
Esse tipo de estrutura vai ter problema mais no ELU do que no ELS. 
Portanto, precisamos de mais métodos de pré-dimensionamento, que entreguem 
realidades mais abrangentes. 
5.2.3 Método dos Domínios do Concreto 
O método dos domínios é uma estratégia não tão simples quanto as outras duas, mas 
talvez que entrega os melhores resultados. Isso porque variáveis importantes como os resultados 
de uma análise estrutural, a classe do concreto e o “quanto” de armadura queremos ter na viga 
impactar no processo. 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 42 
 
 
Essencialmente, o método consiste em determinar qual a posição da linha neutra 
queremos ter na nossa viga. Com isso, as pré-dimensões são determinadas. 
Vamos ver como isso funciona na prática? 
No pré-dimensionamento pelos Domínios do Concreto, o ideal é escolhermos uma 
profundidade de linha neutra que atenda ao nosso interesse. 
Eu pessoalmente gosto de trabalhar no limite entre os domínios II e III, onde x = 0,259d. 
Eu faço assim para que, sob qualquer alteração que fizermos na viga durante as demais 
etapas do cálculo, não corrermos o risco de sairmos dos domínios II e III. 
Dessa premissa, podemos partir para uma análise bem simples usando as tabelas de K3 e 
K6 (Anexo I). 
Nela, podemos ver quais são os valores de K6 para cada classe de concreto para que x = 
0,259d: 
ξ = x/d C-20 C-25 C-30 
0,259 62,1 49,7 41,4 
 
Assim, com um concreto C-25, por exemplo, teremos um K6 de 49,7. 
Usando uma estratégia de engenharia reversa, podemos estimar a altura útil d aplicando 
a fórmula do K6. 
 
Vamos à um exemplo? 
Considere uma viga de concreto armado com M = 10KN.m e bw = 15cm. Qual seria a pré-
dimensão h? 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 43 
 
 
Exercícios 
1. Pré-dimensione as vigas abaixo pelos métodos simplificado, das flechas e dos domínios do 
concreto. 
Q = 10 kn/m; L1 = 3m; L2 = 5m; L3 = 2m; Econcreto = 25GPa; bw = 14cm 
a) 
 
b) 
 
 
5.3 Prescrições (regras) de dimensionamento 
 Para o dimensionamento e detalhamentos de vigas de concreto armado, temos algumas 
regras a serem seguidas. Essas regras visam garantir uma boa execução das peças e ainda, garantir 
a segurança estrutural da edificação. A seguir, iremos ver quais são as principais regras, segundo 
a NBR 6118:2014, que são utilizadas no dimensionamento e detalhamento de uma viga: 
5.3.1 Dimensões mínimas 
 Segundo a norma, a menor dimensão de uma viga é 12cm. Porém, em casos devidamente 
justificados, pode-se chegar a 10cm. 
 Esse valor de 12cm tinha muito sentido quando os pilares também podiam ter 12cm de 
menor lado. Porém, após a revisão da norma em 2014, os pilares passaram a ter lado mínimo de 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 44 
 
 
14cm. Então, por questão construtiva e prática, podemos deliberar que, na maioria das vezes, 
utilizaremos 14cm em nossas vigas. 
 Uma outra questão é que a norma, em momento algum, dá um valor limite para a altura 
da viga, ou seja, qualquer valor pode ser usado, desde que atendidas as verificações de segurança 
dos estados limites. 
5.3.2 Armadura mínima 
Para que consideremos eventuais momentos mínimos e que as nossas vigas não fiquem 
subarmadas, basta que usemos a seguinte tabela com os valores mínimos de taxa de armadura: 
Fck 20 25 30 35 40 45 50 
ρmín 0,15 0,15 0,15 0,164 0,179 0,194 0,208 
 
 Ou seja, a área de aço As,mínima de uma viga será: 
 As,mín = ρmín.Ac 
 Para o caso dos estribos, temos que o diâmetro mínimo é de 5,0mm. Ou seja, aquele 
famoso estribo de 4,2mm não está adequado pela ótica da norma. 
5.3.3 Armadura máxima 
 Em contraste, para evitar que a viga fique superarmada, precisamos limitar a taxa de 
armadura a um valor máximo de 4% da área de concreto. 
 Ainda, considerando as regiões de traspasse, é prudente considerar, na prática, a taxa de 
armadura máxima igual a 2%. 
Ou seja, a área de aço As máxima de uma viga será, na prática: 
 As,max = 0,02.Ac 
 No caso dos estribos, temos que o seu diâmetro não pode exceder 10% da base bw da 
viga. 
5.3.4 Espaçamentos mínimos entre barras 
 Para evitar também falhas no processo de moldagem do concreto, a norma também 
especifica espaçamentos mínimos entre barras. 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 45 
 
 
A seguir, temos a listagem desses valores mostrando três opções a serem verificadas para 
os espaçamentos horizontal e vertical. A nossa viga será aprovada caso o maior entre esses valores 
seja respeitado pelo nosso detalhamento. 
No espaçamento horizontal, temos que respeitar o maior dos valores abaixo: 
- 2 cm 
- diâmetro da barra longitudinal 
- 1,2 x dimensão máxima do agregado graúdo 
No espaçamento vertical, temos que respeitar o maior dos valores abaixo: 
- 2 cm; 
- diâmetro da barra longitudinal 
- 0,5 x dimensão máxima do agregado graúdo 
 E se esses valores não forem atendidos pelo nosso detalhamento? A sugestão é modificar 
o nosso detalhamento, para que nada contra a norma seja mandado para a obra, ok? 
5.4 Métodos de dimensionamento 
5.4.1 Método K3 e K6 
Nas seções anteriores, vimos a teoria fundamental para o dimensionamento de vigas à 
flexão. Agora, vamos para a parte prática! 
Mas antes, convém relatar que temos dois tipos de processos de dimensionamento: um 
para vigas simplesmente armadas (quando temos armaduras de tração na parte tracionada e 
porta-estribos na comprimida)e outro para vigas duplamente armadas (quando temos além da 
armadura de tração, armadura para combate à compressão). 
 Aqui neste livro, você vai aprender as duas formas de dimensionamento! Vamos lá então? 
5.4.1.1 Dimensionamento de vigas simplesmente armadas 
 As vigas simplesmente armadas são aquelas que não tiveram a sua profundidade de linha 
neutra com valor maior do que 0,45d. Ou seja, são vigas que estão no domínio II ou III abaixo do 
0,45d. 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 46 
 
 
 
 Para o devido dimensionamento dessas vigas, siga os seguintes passos: 
1. Levante todos os parâmetros da viga para o dimensionamento, especificados a seguir: 
a. Pré-dimensões da seção transversal. 
b. Classe do concreto (e consequentemente o fcd), tipo de aço e nível de 
agressividade ambiental (e consequentemente o recobrimento c). 
c. Esforços solicitantes de projeto, construídos com base nas combinações de ações. 
2. Com todos os parâmetros especificados, determine a altura útil d, onde: 
 
Como não sabemos o diâmetro ϕt (dos estribos) e ϕl (das armaduras longitudinais), eu 
particularmente sugiro usar apenas o h-c mesmo. Dá um valor próximo ao que será na realidade 
e torna o processo bem mais prático! 
3. Agora, calcule o coeficiente adimensional K6: 
 
Esse 10 no denominador é apenas para garantir automaticamente que bw e d sejam em 
cm e Md em KN.m. 
OBS: Aqui, é necessário sempre analisar o ξ da viga, deve ser menor que 0,45, sendo a 
NBR 6118. Se for maior, teremos uma viga duplamente armada, que é algo que ainda vamos ver… 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 47 
 
 
4. Com o K6 determinado, iremos encontrar o K3 na tabela de K6 e K3. Como é pouco provável 
encontrar um valor exato de K6 na tabela, vamos combinar de pegar sempre um valor 
imediatamente menor, ok? 
5. Agora, vamos calcular o As com base no valor de K3 encontrado: 
 
7. Agora, precisamos escolher qual armadura utilizar, por meio da tabela de diâmetros, abaixo 
apresentada: 
 
Tabela 1 
Bitola Número de barras e As (cm²) 
ϕ (mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 
5,0 0,20 0,39 0,59 0,79 0,98 1,18 1,37 1,57 
6,3 0,31 0,62 0,94 1,25 1,56 1,87 2,18 2,49 
8,0 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 
10,0 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 
12,5 1,23 2,45 3,68 4,91 6,14 7,36 8,59 9,82 
16,0 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 
20,0 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 
22,0 3,80 7,60 11,40 15,21 19,01 22,81 26,61 30,41 
25,0 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 
32,0 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 
40,0 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 
 
8. Para cada dimensionamento feito, precisamos verificar o detalhamento proposto que se refere 
às prescrições da NBR 6118:2014. Vou lista abaixo quais devemos verificar: 
- Taxa de armadura e As,mín, seguindo a tabela abaixo: 
Taxa de armadura mínima ρ (As/Ac) para diferentes resistências características 
Fck 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 48 
 
 
ρ,mín 0,15 0,15 0,15 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256 
 
- Espaçamento entre barras (ah e av), seguindo o esquema abaixo: 
 
OBS: O bw mínimo deve ser verificado já no pré-dimensionamento, ou seja, antes de se fazer os 
demais cálculos. 
Vamos então para um exemplo prático? 
Exemplo Resolvido 
Dimensione a As de uma viga de concreto armado submetida a um momento de 10KN.m. 
- Seção transversal pré-dimensionada: 14cm x 30cm. 
- Nível de agressividade I com recobrimento de 2,5cm. 
- Concreto C25 e Aço CA-50. 
 
1. Definindo a altura útil: 
 
2. Calculando o K6: 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 49 
 
 
Verificando a linha neutra, temos que ξ = 0,12. Ou seja, estamos no domínio II. 
3. Na tabela, podemos obter um K3 = 0,338. 
4. Com isso, podemos calcular o As: 
 
5. Agora, temos que partir para o detalhamento. Um primeiro ponto é que o mínimo de barras 
que podemos usar é 4 (2 na parte superior e 2 na inferior), pois precisamos ter uma armadura em 
cada canto do estribo dando o formato retangular para ela! 
 
Assim, temos que conferir na Tabela 1 qual o As maior e mais próximo do que calculamos e ver a 
viabilidade de sua utilização. Vamos lá? 
Vou reproduzir a tabela abaixo, colorindo os campos em que o As é maior e próximo ao nosso 
Bitola Número de barras e As (cm²) 
ϕ (mm) 1 2 3 4 5 6 7 8 
5,0 0,20 0,39 0,59 0,79 0,98 1,18 1,37 1,57 
6,3 0,31 0,62 0,94 1,25 1,56 1,87 2,18 2,49 
8,0 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 
10,0 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 
12,5 1,23 2,45 3,68 4,91 6,14 7,36 8,59 9,82 
16,0 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 
20,0 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 
22,0 3,80 7,60 11,40 15,21 19,01 22,81 26,61 30,41 
25,0 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 
32,0 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 
40,0 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 
 
As barras de 5,0mm e 6,3mm não são recomendadas na prática por serem pouco rígidas, 
podendo apresentar problemas na hora da concretagem. Assim, vamos focar as armaduras 
dimensionadas nas bitolas 8,0mm em diante. 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 50 
 
 
OBS: Podemos utilizar essas bitolas mais finas nos porta-estribos, que são as armaduras colocadas 
apenas para garantir o formato retangular da viga. 
Assim teremos 2 de 10,0mm ou 3 de 8,0mm. Teoricamente, pela ótica da aderência, 3 de 
8,0mm é melhor por ter maior área de contato concreto-armadura. Dobrar barras mais finas 
também é mais fácil. 
Agora, uma coisa que pode determinar qual escolheremos é o preço. Suponha que uma 
barra (12m) de 8,0mm é vendida à R$50,00 e que a barra (12m) de 10,0mm é vendida a R$65,00. 
Suponha ainda que a viga tem 4m, ou seja, precisaremos de 8m de barra. 
 
Se comprarmos a barra 8,0mm, teremos um custo de R$50,00 e nenhuma sobra. Se 
comprarmos a barra de 10,0mm, teremos um custo de R$65,00 e uma sobra de 4m. 
Olhando essa viga isoladamente, percebemos que a barra de 8,0mm é mais viável. Vamos 
continuar nossa análise amplificando o projeto. Agora, vamos fazer três vigas iguais com esse 
mesmo detalhamento (em projetos reais, ocorre de termos vigas iguais). 
Para 8,0mm, precisamos de 3 barras, em custo total de R$150,00. Para 10,0mm, 
precisamos de 2 barras, em um custo total de R$130,00. Em ambas as situações, não teremos 
sobras… 
Interessante, não? E como isso é feito na prática? Considera-se todo o projeto estrutural, 
com cada elemento contribuindo de alguma forma com os demais e assim, chega-se a um ponto 
otimizado de compras de armaduras. 
Ah! Matheus, e na prática, posso trocar 2 de 10,0mm por 3 de 8,0mm? Não, porque 
1,51cm² é menor que 1,57cm² e nem sempre a troca será válida. Percebam que apenas quando 
As calculado for < 1,51, a permuta entre as bitolas será permitida. E isso vale para todas as demais 
bitolas, quando trocas forem necessárias. 
Agora, eu penso que em caso de trocar isso direto na obra, não o façam sem a 
comunicação e autorização do projetista, pois pode colocar em risco a garantia da 
responsabilidade técnica dele e com isso, você assumiria riscos além dos de sua atribuição 
inicialmente prevista. 
Exemplo Resolvido 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 51 
 
 
Em pontes de concreto armado, temos a presença de vigas chamadas transversinas e longarinas. 
Neste exemplo, vamos dimensionar uma transversina, conforme ilustrada a seguir: 
 
Para tal, considere que todas as ponderações necessárias já foram desenvolvidas e que o esforço 
máximo de dimensionamento é o presente na ilustração. 
Considere também: 
- Pré-dimensionamento de 20cm x 70cm 
- Ações permanentes (Ap) = 4KN/m 
- Concreto C-25 e Aço CA-50 
- Diâmetro máximo do agregado = 19mm 
- Classe de agressividade II 
- Pelo fato da estrutura ser pré-moldada, iremos considerarligação transversina-pilar como 
totalmente articulada. 
 
Resolução: 
Parte I - Análise Estrutural 
Iremos desenvolver inicialmente a análise estática da estrutura no Ftool: 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 52 
 
 
Assim, teremos os seguintes resultados para o diagrama de momento fletor: 
 
Com isso, teremos que dimensionar nossa viga para um momento negativo de 38KN.m. 
Parte II - Dimensionamento 
Iremos fazer o dimensionamento utilizando o método k3 e k6. Para isso iremos definir alguns 
parâmetros: 
- Recobrimento de 30mm (vide Tabela 7.2 da NBR 6118:2014) 
- Com isso d = 67cm 
- bw = 20cm 
Agora, iremos determinar o k6: 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 53 
 
 
 
Com isso, podemos encontrar na tabela nosso k3 = 0,329. Tabela disponível no final deste livro, 
no Anexo I. 
Agora, podemos encontrar a As: 
 
Precisamos agora verificar se essa quantidade de aço pode ser utilizada, dados os limites 
de taxa de armadura. Para concreto C-25, os limites são 0,15%.Ac para o mínimo e 4%.Ac para o 
máximo. Lembrando que é prudente considerar o máximo como 2%.Ac por conta das regiões de 
transpasse. Agora, iremos verificar esses limites: 
 
Percebam que nossa As = 1,86cm² não atende o limite mínimo, que é de 2,1cm². Assim, 
teremos que utilizar As = 2,1cm². 
Agora, percebam que isso ocorreu por conta do pré-dimensionamento não adequado 
para o caso. Um sinal de que isso iria ocorrer estava no k6 encontrado, que foi relativamente alto, 
conforme Botelho e Marchetti discute na página 324 do livro Concreto Armado eu te amo. Isso 
então nos mostra que podemos trabalhar com uma seção transversal com menores dimensões. 
Vamos fazer esse teste? 
Agora, irei pré-dimensionar a viga com 20cm x 60cm. O k6 passa a valer = 171. Assim, o 
k3 passa a valer = 0,331. Com isso As passa a valer = 2,20cm². Conferindo a taxa de armadura, 
teremos um limite mínimo de 1,8cm² e máximo (prático) de 24cm². Percebam que agora eu estou 
trabalhando com a armadura acima do mínimo, ou seja, o dimensionamento destas não foi 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 54 
 
 
elevado para seguir o critério da norma. Percebam que aumentamos apenas um pouco no aço, 
mas conseguimos economizar de forma interessante no concreto! 
Vamos agora para o detalhamento da armadura: Se partirmos nossa análise da armadura 
ϕ 8.0mm, perceberemos que seriam necessárias 5 barras. Partindo para ϕ 10.0mm, teremos 3 
barras. Testando a armadura ϕ 12.5mm, teremos 2 barras. 
Vamos adotar aqui, apenas para exemplificar, 2 ϕ 12,5mm. Percebam que, se nós 
estivéssemos no outro formato da transversina (20cm x 70cm), teríamos As = 2,1cm². Deduzindo 
essa As em barras de ϕ 12.5mm, teremos 2 barras, tal como na transversina de 20cm x 60cm! Ou 
seja, o projeto da viga com h = 60cm demonstrou-se muito mais eficiente! 
Agora, temos apenas que verificar a questão do espaçamento entre barras. Como são apenas 2 ϕ 
12,5mm, o espaçamento entre elas é: 
eh = bw - 2r - 2ϕ 
eh = 20cm - 2.2,5cm - 2.1,25cm 
eh = 12,5cm 
Como os limites mínimos são: 2cm, ou ϕl, ou 1,2.ϕag, temos que o mínimo, de fato, será 2,28cm. 
Ou seja, o critério da distância mínima foi atendido também! 
Exercícios 
 
Q = 10KN/m, L1 = 4m e L2 = 1m 
 
1. Dimensione a viga acima para que ela trabalhe dentro do Domínio II. 
2. Dimensione a viga acima para que ela trabalhe dentro do Domínio III. 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 55 
 
 
7 
Pilares de concreto armado 
Aprenda todo o processo de projeto de pilares de concreto armado 
7.1 Introdução ao estudos dos pilares 
Um pilar é basicamente um elemento estrutural com potencial de absorção de cargas 
gravitacionais, ou seja cargas verticais. No entanto, ele pode absorver também cargas horizontais 
(como a do vento) por conta do funcionamento aporticado de algumas estruturas. 
Ou seja, além de projetarmos nossos pilares para receberem o peso das coisas, temos 
também que prepará-lo para absorver o impacto dos ventos, situação em que eles acabam se 
tornando também os chamados elementos de contraventamento. 
Ainda, em algumas obras arquitetônicas, temos pilares que não necessariamente são 
verticais por opção estética. Em algumas obras de Niemeyer, por exemplo, temos a ocorrência de 
pilares inclinados. 
Não obstante, independente de sua função e geometria, temos que garantir que nossos 
pilares suportem os esforços a eles aplicados. E é exatamente isso que vamos aprender neste 
Seção! 
7.2 Anatomia de um pilar de concreto armado 
Especificamente nos pilares de concreto armado, o concreto é responsável por suportar 
os esforços de compressão, enquanto as armaduras longitudinais auxiliam o concreto a suportar 
os esforços de compressão e também resistem a eventuais esforços de tração que possam 
ocorrem por conta de pilares com reações negativas que surgem por motivo da atuação de cargas 
de vento em prédios altos ou até mesmo a flexão em pilares de borda e de canto. 
Os pilares de concreto possuem uma anatomia bem interessante, mostrada na figura a 
seguir: 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 56 
 
 
 
Na prática dos nossos projetos estruturais, as dimensões de concreto são normalmente 
pré-concebidas com base em restrições normativas e também nas restrições dimensionais da 
arquitetura. 
Com o pré-dimensionamento da seção transversal de concreto efetuado, partimos para 
um dimensionamento do aço, fazendo as devidas verificações normativas. 
Dito isso, podemos perceber que o fluxo do projeto de um pilar de concreto armado é 
diferente do que normalmente imaginamos antes de entrar na disciplina: 
 
1. “Chutamos” as dimensões de concreto por meio de técnicas empíricas de pré-
dimensionamento em uma etapa chamada Concepção Estrutural. 
2. Calculamos as propriedades geométricas usando as dimensões “chutadas” e fazemos a 
Análise Estrutural. 
3. Encontramos as dimensões e quantidades de aço para suportar os esforços com base na 
dimensão “chutada” nos itens anteriores. Essa etapa é chamada de Dimensionamento. 
4. Verificamos quais detalhamentos podem ser utilizados e se eles obedecem as limitações 
normativas. Essa etapa é chamada de Detalhamento. 
7.3 O que você precisa saber para calcular um pilar 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 57 
 
 
 Um pilar é calculado contemplando diversas óticas e situações. Neste livro, iremos tratar 
cada uma individualmente, mostrando o funcionamento físico e matemático que norteia o 
processo. 
O primeiro ponto que temos que conhecer é acerca da esbeltez do pilar em relação a uma 
potencial flambagem. 
 Os diferentes índices de esbeltez que encontramos irão ditar o comportamento do pilar 
que estamos calculando (inclusive como iremos calculá-lo nas próximas etapas), o que faz uma 
diferença enorme no quesito econômico. 
 Depois, iremos determinar quais esforços solicitantes atuam no pilar em função do seu 
índice de esbeltez. Aqui, teremos que considerar a atuação de esforços de 1ª e 2ª ordem, de 
acordo com o que orienta a norma NBR 6118:2014. 
 Feito isso, iremos partir para o dimensionamento (já imaginando um possível 
detalhamento), usando os ábacos de Venturini. 
 Após, iremos detalhar nossos pilares considerando as restrições normativas para tal. 
 Simples igual morder água, não é mesmo? Vamos lá então para o nosso estudo? 
7.4 O tal do índice de esbeltez 
 Para o cálculo dos nossos pilares, o primeiro passo é compreender a sua esbeltez. Isso, 
inclusive, ajuda no pré- dimensionamento do pilar, que é necessário para determinarmos as suas 
armaduras. 
O índice de esbeltez é um valor numérico adimensional que classifica um pilar quanto a 
sua tendência de flambar. Com essa classificação, conseguimos prever o comportamento do pilar, 
inclusive de ruptura, e assim, dimensioná-lo (para não romper). 
 O índice de esbeltez é calculado da seguinte forma: 
 
onde λ (lambda) indica o índicede esbeltez do pilar, le o comprimento equivalente do pilar e r o 
raio de giração. Vamos entender isso direitinho… 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 58 
 
 
O le é um comprimento ajustado de um pilar de acordo com seu comprimento de 
flambagem. Tem toda uma teoria por trás disso e que é trabalhada em Resistência dos Materiais 
II. Aqui, iremos ir diretamente para a formulação e os valores já determinados. 
 Vamos considerar então que o le é determinado por: 
 
onde K é o coeficiente de flambagem e l o comprimento do pilar. Para esse K (que é algo que cai 
em diversos concursos), temos a seguinte tabela: 
 
Para cada pilar, temos que verificar o índice de esbeltez em todos os sentidos, ou seja, em 
x e em y. O maior índice de esbeltez (e consequemente o pior caso), será o seu índice de esbeltez 
final. 
Outra coisa: Nessa situação de termos que calcular o índice de esbeltez em x e y, pode ser 
que tanto o K, como l sejam modificados (o r é sempre diferente para seções retangulares). 
Com o valor de λ, podemos classificar os pilares da seguinte forma: 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 59 
 
 
Índice de Esbeltez Classificação Situação 
0 <= λ <= 35 Pouco esbelto Apenas esforços de 1ª ordem 
são considerados. 
35 < λ <= 90 Esbelto São considerados os esforços 
de 1ª e 2ª ordem 
90 < λ <= 140 Muito esbelto Somente os programas 
calculam. 
λ > 140 Excessivamente Normalmente, nem os 
programas calculam estes 
aqui… 
 
Exercícios 
1. Determine quais devem ser as dimensões mínimas possíveis de uma seção transversal de um 
pilar de concreto armado com L = 6m para cada tipo de situação de flambagem (k = 0,5; k = 0,7, k 
= 1 e k = 2) para que seja possível o cálculo usando um software. 
2. Determine quais devem ser as dimensões mínimas possíveis de uma seção transversal de um 
pilar de concreto armado com L = 3m para cada tipo de situação de flambagem (k = 0,5; k = 0,7, k 
= 1 e k = 2) para que seja possível o cálculo de forma manual. 
3. Considere que eu um projeto estrutural, um pilar apresentou um índice de esbeltez maior que 
o que você esperava, quais medidas você propõe para resolver esse problema? 
4. Qual deve ser a seção mínima (quadrada) para um pilar de um galpão com k=2 e L = 7m? 
 
7.5 Classificação dos pilares quanto ao tipo de carregamento e 
geometria na arquitetura 
 Os pilares de concreto armado são classificados da seguinte forma: 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 60 
 
 
 
 Essa classificação, além de possuir uma lógica de localização do pilar no projeto, também 
indica qual caso de dimensionamento iremos utilizar. Nas próximas seções, isso vai ficar ainda 
mais claro. 
7.6 Prescrições normativas 
 O dimensionamento de pilares é feito usando uma série de prescrições (regras) 
normativas. A seguir, detalhamos elas para vocês: 
7.6.1 Seção de concreto 
 A seção transversal de um pilar de concreto armado deve ter, no mínimo, 360cm² de área. 
Ainda, a menor dimensão de um dos lados é 19cm. 
 No entanto, para casos especiais (obras de pequeno porte), é permitido um mínimo dos 
mínimos de 14cm, mas com o acréscimo de um coeficiente adicional. Vamos entender isso 
melhor? 
A norma NBR 6118:2014 especifica que o lado mínimo de um pilar de concreto armado 
retangular, em T, em L ou seção caixão deve ser de 19cm. Porém, com a ponderação de um γn, 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 61 
 
 
podemos ir até o limite mínimo de 14cm. A tabela dos valores de γn em função da menor 
dimensão da seção transversal é apresentada abaixo: 
 
b >= 19cm 18cm 17cm 16cm 15cm 14cm 
γn 1 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 
 
Na prática, usar um pilar de 14cm aumenta em 25% os carregamentos aplicados. Isso 
pode impactar consideravelmente os dimensionamentos em alguns casos, mas em outros não 
fazer muita diferença. 
Um caso que não faz diferença prática é quando você tem um pilar pouco carregado e 
com as especificações mínimas de norma. Neste caso, nosso dimensionamento trabalha com folga 
em termos de segurança quanto aos carregamentos. 
Assim, você majorar 25% de uma carga pequena talvez nem altere o dimensionamento, 
visto que ela já estava bem acima do admissível. 
Nessa ótica, se você tiver como escolher, a análise estrutural mostra que é viável e a 
arquitetura não ficar comprometida, na minha opinião, o melhor pilar mínimo é 20cm x 20cm. 
Para grandes taxas de carga, ele ainda permanece com 4@10.0mm, pois essas cargas não são 
majoradas. Outra vantagem é que ele tem inércia boa para os dois sentidos. 
Mas como eu disse, tem que sempre verificar qual a melhor solução para cada projeto! A 
ideia dessa minha fala é apenas passar um pouco de minha experiência e sairmos um pouco das 
páginas da literatura e irmos para a prática de projeto! 
7.6.2 Diâmetro de armaduras 
 O diâmetro mínimo possível para uma armadura longitudinal é 10mm. Para os estribos, o 
diâmetro mínimo é 5mm. 
 Vale comentar que na grande maioria das edificações já construídas aqui no Brasil, a 
armadura dos pilares é a 8mm e a dos estribos 4,2mm, ambas incorretas de acordo com a norma. 
7.6.1 Área de aço 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 62 
 
 
 A área de aço mínima possível para um pilar é a relativa a 4@10mm, que é 3,14cm². Por 
conta da própria montagem das armaduras, é impossível, dentro da norma, ter uma área menor. 
 A máxima, por sua vez, está condicionada ao fato de que os diâmetros das armaduras não 
podem ser maior que 1/8 do menor lado do pilar. Ainda, nessa análise, impacta também os 
espaçamentos mínimos entre barras. 
 Agora, algo que temos que verificar são situações em que não se limitam a esses fatores 
construtivos e sim em fatores da mecânica do concreto armado. 
 Assim, temos que, respeitando o funcionamento do concreto armado e suas necessárias 
características, a área de aço de um pilar deve está compreendida as taxas de armadura mínima 
e máxima. 
 Para a taxa de armadura mínima, temos que As,mín = 0,15.Nd/Fyd, limitado a 0,004.Ac. 
Para a taxa de armadura máxima, temos que considerar o limite de 8%. 
7.6.2 Espaçamentos entre armaduras 
7.6.3 Espaçamento entre estribos 
 
7.7 Dimensionamento das armaduras 
 Para o dimensionamento das armaduras dos pilares, iremos utilizar os Ábacos de 
Venturini (anexo no fim deste livro). 
 Neles, podemos determinar, de acordo com uma relação d’/h e o formato de distribuição 
das armaduras que queremos, qual dos 43 ábacos especificamente iremos utilizar. 
 Vamos entender isso melhor? Na imagem a seguir, temos um exemplo de ábaco. Perceba 
que ele tem um nome (Ábaco A-1) que o identifica entre os demais. Já no cabeçalho, percebemos 
três informações: o tipo de aço que deve ser utilizado, qual o coeficiente de ponderação usado 
para o aço e por fim, o valor d’/h. 
 Esse último é explicado no desenho da seção que vemos logo abaixo, onde d’ é a distância 
entre entre a face do pilar e o centroide da armadura (que podemos considerar a nível de 
simplificação o próprio recobrimento) e h a dimensão vertical total da seção. 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 63 
 
 
 Ou seja, se seu pilar de 20cm x 40cm tiver recobrimento de 3cm e armadura de 10mm, 
teremos um d’ = 3,5cm. Fazendo nosso d’/h teremos: 0,0875. 
 Você irá perceber que esse valor não existe nos ábacos. Ou vamos no valor de 0,05 ou 
vamos no de 0,10. Neste caso, o mais próximo é o de 0,10. 
 
 
Exemplo Resolvido 7.1 
 
Dimensione o pilar com compressão centrada abaixo, com carregamento Nd = 1200 KN: 
 
Observações: 
- Concreto C25 e Aço CA50. 
- Classe de agressividade I, com recobrimento de 3cm. 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 64 
 
 
- Fcd = 17850KPa. 
- Fyk = 434782KPa. 
- kflambagem = 1. 
 
1. Determinação do Índice de Esbeltez λ do pilar: 
O primeiro passo para tal é encontrar a inércia do pilar. Aqui, deveriamos encontrar um Ix e um 
Iy. Porém, como a seçãoé quadrada, Ix = Iy = I. Assim: 
 
Agora, iremos encontrar a Ac (área da seção transversal do pilar de concreto): 
 
Com os valores de I e A, podemos determinar o raio de giração i: 
 
Com o valor do raio de giração i, podemos calcular o índice de esbeltez λ: 
 
Com isso, temos que nosso pilar será classificado como robusto λ <= 35, e portanto, somente o 
momento a consideração do momento de 1ª ordem será necessário. 
Assim, iremos calcular o nosso M1xd,min = M1yd,min = M1d,min: 
 
Substituindo os parâmetros de projeto do nosso pilar na fórmula, temos que: 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 65 
 
 
 
Agora, iremos proceder quanto ao cálculo da armadura. Para tal, iremos calcular o valor de υ. 
Nesta etapa do cálculo, visando o uso dos Ábacos de Venturini (1987), vamos calcular os valores 
adimensionais υ e μ: 
 
OBS: Considere que a unidade de Nd é KN, M1d = KN.m, de Ac é m² e de Fcd é KPa. Para consultar 
o Ábaco de Venturini e Rodrigues (1987), temos ainda que conhecer qual o valor da relação d’/h, 
sendo d’ a distância da face externa da seção transversal até o centro da armadura e h a altura 
total da seção transversal de concreto: 
 
Com isso, iremos usar o Ábaco A-2 (p. 39 do material disponibilizado neste tópico do Classroom) 
para encontrar o ω: 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 66 
 
 
 
 
Com isso, achamos um ω em torno de 0,05. Interessante aqui pontuarmos que: 
- Nosso pilar está no limite inferior do domínio 5. 
- Como encontrarmos um ω relativamente baixo, podemos entender que a seção de 
concreto poderia ser reduzida, fazendo com que a armadura trabalhasse mais no pilar. 
 
Vamos agora determinar a área de aço: 
 
Onde fyd = fyk/1,15. 
Como fyk = 500000 KPa, temos que fyd = 434782KPa. Assim, teremos que: 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 67 
 
 
 
Como é costume de representarmos As em cm², podemos converter o resultado acima nesta 
unidade multiplicando por 104. Assim, teremos que: 
 
Convém agora verificarmos se esse valor de As atende a taxa de armadura mínima permitida pela 
NBR 6118, que é de 0,4% de Ac, ou seja = 3,6cm². Ou seja, As < Asmín. Com isso, teríamos que 
usar Asmín. 
Notadamente, tínhamos previsto isso no momento que encontramos ω no ábaco. Infelizmente, 
o pré-dimensionamento não ficou bom e agora, deixamos nossa peça com uma área de Ac e de 
aço acima do que, de fato, era necessário. 
Exemplo Resolvido 7.2 
 - DIMENSIONAMENTO DE PILARES COM COMPRESSÃO CENTRADA E 35 ≤ λ ≤ 90 
No exemplo anterior, fizemos o dimensionamento da armadura para um pilar 0,30 x 0,30 de λ ≤ 
35. Porém, podemos melhorar esse dimensionamento alterando alguns parâmetros de projeto. 
Experimentando, por exemplo, uma seção de 0,25 x 0,25, teríamos: 
A = 0,0625m² 
I = 3,25 x 10-4 
i = 0,072m 
λ = 41 
 
Também podemos lembrar que: 
d’/h = 0,10 
Nd = 1200 KN 
Fcd = 17857 KPa 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 68 
 
 
Fyd = 434782 KPa 
 
Calculando o momento mínimo: 
 
Agora, iremos calcular os valores adimensionais υ e μ: 
 
Como o nosso λ está entre 35 e 90, além do M1d, temos que calcular o M2d. Para isso, vamos 
usar o Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada, descrito no item 15.8.3.3.2 da norma 
NBR 6118:2014. (AltoQI, 2021). Para isso vamos, assumir que as seguintes relações são válidas: 
 
Onde 1/r é a curvatura aproximada do pilar, h é a altura da seção transversal de concreto e υ é o 
valor adimensional relativo aos esforços normais. Assim, temos que: 
 
Ainda, 
 
Conhecendo a curvatura aproximada, podemos calcular o M2d ou MdTot (momento total 
máximo) com a seguinte fórmula: 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 69 
 
 
Consideramos aqui que Le = L = 3m. Ou seja: 
 
Como Mtot = M1d + M2d, temos que: 
 
Com todos os valores acima encontrados, podemos proceder quanto ao dimensionamento das 
armaduras. Como já encontramos o υ ( υ = 1,07), agora iremos determinar o valor de μ: 
 
Com isso, vamos ao ábaco A-2: 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 70 
 
 
Encontramos assim um ω em torno de 0,63. Percebam que ainda estamos no limite inferior do 
domínio 5, mas agora, teremos uma taxa de armadura maior que no exemplo anterior. Vamos ver 
agora como ficará a nossa área de aço: 
 
Onde fyd = fyk/1,15. 
Como fyk = 500000 KPa, temos que fyd = 434782KPa. Assim, teremos que: 
 
É notável o quanto As aumentou! No exemplo anterior, tínhamos Ascalculada = 1,84cm² e As = 
3,6cm². Agora, temos mais de 9x mais área de aço (se comparado com Ascalculada somente). Isso 
ocorreu por conta da redução da Ac. 
Fica como exercício para vocês a verificação da taxa de armadura e os possíveis detalhamentos! 
Exercícios 
Observações para os exercícios a seguir: 
- Nd = N x 1,4. 
- Concreto C25 e Aço CA50. 
- Classe de agressividade I, com recobrimento de 3cm. 
- Fcd = 17850KPa. 
- Fyk = 434782KPa. 
- Dada a natureza estrutural das estruturas das nossas pontes, ou seja, construída com 
concreto pré-moldado e com ligações articuladas, iremos considerar kflambagem = 1. 
 
1. Dado o pilar representado abaixo com N = 5000KN, 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 71 
 
 
 
- 
 
a) Pré-dimensione- o (seção quadrada a x a) para que λ ≤ 35. 
b) Dimensione a armadura do pilar. Se o pré-dimensionamento não se mostrar adequado, refaça-
o e em sequência, proceda quanto ao dimensionamento. 
c) Detalhe o projeto do pilar. 
2. Dimensione e detalhe a armadura do pilar abaixo: 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 72 
 
 
Nd = 1580KN 
Seção 20cm x 40cm 
λ ≤ 35 
3. Agora, vamos para um caso interessante. Considere que o pilar acima tem carga Nd = 0KN. 
Seção 20cm x 30cm 
λ ≤ 35 
a) Faça o dimensionamento e detalhamento de sua armadura. 
b) O que você identificou de diferente nesse dimensionamento? 
 
4. Pré-dimensione a seção transversal de concreto e após, dimensione as armaduras longitudinais 
do seguinte pilar: 
 
Nd = 20KN. 
OBS: O pré-dimensionamento deve seguir as restrições normativas, considerando que o menor 
lado possível é 19ccm. 
5. Para o pilar da questão anterior, execute um detalhamento, usando a escala 1:25. 
6. No detalhamento da questão anterior, você percebeu algum problema na representação 
gráfica? Se sim, explique qual a sua impressão e como podemos resolver este problema. 
7. Dimensione e detalhe a armadura do pilar abaixo: 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 73 
 
 
 
Nd = 2000KN 
Mxd = 1000KN.cm 
Seção 20cm x 20cm 
λ ≤ 35 
8. Dimensione e detalhe a armadura do pilar abaixo: 
 
Nd = 2000KN 
Mxd = 1000KN.cm 
Seção 20cm x 20cm 
λ = 90 
9. Dimensione e detalhe a armadura do pilar abaixo: 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 74 
 
 
 
Nd = 2000KN 
Mxd = 1000KN.cm 
Seção 20cm x 20cm 
λ = 35 
 
 
a arte de projetar estruturas de concreto armado 75 
 
 
Anexos 
Anexo I - Tabela do Método K3 e K6 
ξ = x/d Dom. 
VALORES DE K6 PARA FCK VALORES DE K3 PARA AÇOS 
20 25 30 CA25 CA50A CA60B 
0,01 
D 
O 
M 
Í 
N 
I 
O 
 
II 
1447,0 1158,0 965,0 0,647 0,323 0,269 
0,02 726,0 581,0 484,0 0,649 0,325 0,271 
0,03 486,0 389,0 324,0 0,652 0,326 0,272 
0,04 366,0 293,0 244,0 0,655 0,327 0,273 
0,05 294,0 235,0 196,0 0,657 0,329 0,274 
0,06 246,0 197,0 164,0 0,66 0,33 0,275 
0,07 212,0 169,0 141,0 0,663 0,331 0,276 
0,08 186,0 149,0 124,0 0,665 0,333 0,277 
0,09 166,0 133,0 111,0 0,668 0,334 0,278 
0,1 150,0 120,0 100,1 0,671 0,335 0,28 
0,11 137,0 110,0 91,4 0,674 0,337 0,281 
0,12 126,0 100,9 84,1 0,677 0,338 0,282 
0,13 117,0 93,6 78,0 0,679 0,34 0,283 
0,14 109,0 87,2 72,7 0,682 0,341 0,284 
0,15 102,2 81,8 68,1 0,685 0,343 0,285 
0,16 96,2 77,0 64,2 0,688 0,344 0,287 
0,167 92,5 74,0 61,7 0,69 0,345 0,288 
0,17 91,0 72,8 60,6 0,691 0,346 0,288 
0,18 86,3 69,0 57,5 0,694 0,347 0,289 
0,19 82,1 65,7 54,7 0,697 0,349 0,29