Exercicios sobre Curva de Diamond

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1 
 
MACROECONOMIA I – 1E201 
Licenciatura em Economia – 2011/12 
7. MERCADO DE TRABALHO , EMPREGO E DESEMPREGO – EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 
 
 
ENUNCIADOS 
 
1. 
Suponha que o comportamento de uma dada economia pode ser modelizado de 
acordo com o modelo de Solow. A função produção agregada é dada por 
Y=K0,5(AN)0,5, o stock de capital deprecia-se anualmente a uma taxa de 16% e a 
população e a força de trabalho crescem à mesma taxa, 1%/ano. Sabe-se ainda que o 
Investimento bruto corresponde a 10% do PIB e que o PIB real cresce, em steady-
state, a uma taxa anual de 1%. 
Actualmente, a população desta economia é de 10 milhões de pessoas, 5 milhões das 
quais empregada e que trabalha, anualmente, 9600 milhões de horas. O índice 
tecnológico está estimado em 1 (A=1). 
a) Deduza a forma intensiva da função produção. 
b) Calcule o rácio capital-trabalho, o produto real por hora de trabalho, o produto real 
per capita e as taxas de crescimento destas variáveis no equilíbrio de steady-state. 
Represente graficamente. 
c) Verifique se na situação de crescimento equilibrado desta economia se verificam os 
factos estilizados de Kaldor (nota: suponha que os preços dos factores produtivos 
coincidem com os valores das produtividades marginais respetivas). 
d) Imagine que o governo promove medidas que façam convergir a economia para o 
equilíbrio de golden-rule. Descreva sucintamente a dinâmica de transição das 
principais variáveis para o novo equilíbrio. A que ritmo passarão a crescer, em 
steady-state, as variáveis por hora de trabalho e em nível? 
e) Considere agora que os dados recentemente libertados nos Census revelam que a 
população e a força de trabalho estagnaram. Neste novo contexto estrutural, 
i. Qual o esforço tecnológico que seria exigido a esta economia para manter o 
actual nível (óptimo) de produto por unidade de trabalho eficiente? 
ii. A que ritmo passarão a crescer, em steady-state, as variáveis por hora de 
trabalho e em nível? 
iii. Prove que se verificam todos os factos estilizados de Kaldor. 
 
2 
 
2. 
Imagine que a função de produção que descrevia uma dada economia em 1976 era 
dada pela expressão 5,05,0 NKY = . Adicionalmente, considere que neste período a 
taxa de depreciação do stock de capital rondava os 10%, a taxa de poupança os 21%, 
a taxa anual de crescimento do factor trabalho era nula e a taxa de progresso técnico 
também era nula. Tenha, ainda em atenção, que a população existente nesta 
economia ascendia a cerca de 10 milhões de pessoas e que a população activa 
empregue trabalhava anualmente 8,5 biliões de horas. Com base nesta informação, 
responda às seguintes questões: 
a) Deduza a forma intensiva da função de produção apresentada. 
b) Determine o rácio capital-trabalho, o produto real por hora de trabalho, o produto 
real per capita bem como as taxas de crescimento destas variáveis no equilíbrio de 
steady-state. Represente graficamente. 
c) Imagine que a taxa de poupança nesta economia em 2003 era de 30%. 
Quantifique, descreva e represente as consequências deste aumento da taxa de 
poupança sobre o produto real per capita durante a transição e no steady-state. 
Calcule a taxa de crescimento anual média do produto real per capita nesta 
economia em 2003, 2004 e 2005. 
d) Analise em que sentido e medida se alteraria a taxa de crescimento do produto per 
capita nesta economia no período 1976-2003 caso o factor trabalho apresentasse 
uma taxa de crescimento anual de 1,5% e o progresso técnico evoluísse a uma 
taxa anual de 2,5%. 
 
3. 
A economia da República Rosa, no ano de 2005, caracteriza-se pela seguinte função 
de produção agregada: Y = 0,720615 K0,45 N0,55. Conhecem-se, também, os seguintes 
dados relativos a esta economia em 2005: 
- a taxa de poupança (s) é igual a 40%; 
- o investimento por trabalhador (I/N) (preços constantes) é de 0,975; 
- o crescimento da população faz-se a uma taxa anual constante n; 
- a depreciação do stock de capital ocorre a uma taxa anual constante (δ) de 3%; 
- não existe progresso tecnológico; 
- o país encontra-se numa situação de equilíbrio de longo prazo (equilíbrio de steady-
state). 
 
3 
 
a) Calcule o consumo por trabalhador (C/N) neste país em 2005 e indique a respectiva 
taxa de crescimento. 
b) Represente graficamente a actual situação de equilíbrio da economia. 
c) Preocupado com o ritmo de crescimento do produto real, o Eng. José Trócaste, 
primeiro-ministro da República Rosa, afirmou em conferência de imprensa: 
“A partir de hoje, serão accionados mecanismos que permitem aumentar a taxa de 
poupança, de modo a provocar um acréscimo da taxa de crescimento do produto 
no longo prazo (em steady-state)”. Sem recorrer a qualquer cálculo, comente, de 
forma sucinta, esta afirmação. 
 
4. 
Um estudo recente concluiu que a Cotalândia se caracteriza por uma função de 
produção agregada dada por Y = 5K0,3N0,7, em que Y representa o produto real, K o 
stock de capital e N a quantidade de factor trabalho. Esta economia apresenta uma 
taxa de crescimento da produtividade total dos factores nula, uma taxa anual de 
crescimento do factor trabalho de - 2%, uma taxa anual de depreciação de 10% e uma 
taxa de poupança de 14%. 
a) Determine o valor de equilíbrio do produto por trabalhador. 
b) Qual o impacto de um aumento da taxa de crescimento populacional sobre o valor 
de equilíbrio do produto per capita? E sobre a taxa de crescimento do produto (no 
longo prazo)? 
 
5. 
Um estudo recente concluiu que a Stagnalândia se caracteriza por uma função de 
produção agregada dada por Y = 2 K0,25 N0,75, em que Y representa o produto real, K o 
stock de capital e N a quantidade de factor trabalho. Este ano, o stock de capital e a 
quantidade de factor trabalho foram estimados em K=20 e N=50. 
 
Esta economia, apresenta uma taxa de crescimento da produtividade total dos factores 
nula, uma taxa anual de crescimento do factor trabalho de 2%, uma taxa anual de 
depreciação de 8% e uma taxa de poupança de 12%. 
 
a) Calcule os valores actuais e os valores de steady-state do Produto por Trabalhador 
e do rácio Capital-Trabalhador. 
4 
 
b) Em steady-state, qual será a taxa de crescimento do Produto por Trabalhador, e 
dos rácios Capital-Produto e Capital-Trabalho? Estes valores estão de acordo com 
os factos estilizados de Kaldor? 
c) A Multidonlândia distingue-se da Stagnolândia unicamente pelo facto de a sua força 
de trabalho crescer à taxa anual de 7%. Em steady-state, qual das economias terá 
o nível de Produto por Trabalhador mais elevado? E qual das economias terá a 
maior taxa de crescimento do Produto e do Produto por Trabalhador? Quantifique. 
 
6. 
A Postacolândia, uma economia imaginária que se encontra em equilíbrio de steady-
state, tem no momento actual (período 0) um PIB natural de 77 644,8 milhões de u.m, 
uma população de 7,764 milhões de pessoas e uma população activa empregada de 
4,0 milhões de pessoas que trabalham em média 8 horas por dia durante 240 dias do 
ano. A função de produção que caracteriza esta economia é Y=4K0,3 N0,7, em que Y 
representa o produto real, K o stock de capital e N o factor trabalho. A taxa de 
progresso técnico nesta economia é nula, a taxa de depreciação é de 9% por período, 
a taxa de crescimento do factor trabalho é de 1% e a taxa de crescimento da 
população é de 1%. Com base nesta informação e recorrendo ao modelo de Solow, 
responda às seguintes questões: 
a) Determine a taxa de poupança prevalecente nesta economia no momento actual. 
b) Calcule o PIB natural e o PIB natural per capita nesta economia no período 1. 
Justifique devidamente. 
 
7. 
A função de produção que no momento presente caracteriza a economia da Grotlândia 
é dada pela expressão Y = 9 K1/3 N2/3, em que Y representa o produto real, K o stock 
de capital e N o factor trabalho. Sabe-se que esta economia se encontra em equilíbrio 
de steady-state, que a sua taxa de progresso técnicoé nula, que a sua taxa de 
depreciação é de 7%, a sua taxa de poupança é de 8% e que a taxa de crescimento 
de longo prazo do seu produto real é de 1%. Com base nesta informação e recorrendo 
ao modelo de Solow, responda às seguintes questões: 
a) Determine o nível de produto por hora de trabalho nesta economia e a respectiva 
taxa de crescimento desta variável. 
b) Analise o efeito de uma redução da taxa de poupança sobre a taxa de crescimento 
do produto real nesta economia no médio-longo prazo. 
5 
 
 
8. 
A função de produção agregada que descreve a economia dum determinado país é 
dada por Y = K0,4 N0,6, em que Y representa o produto real, K o stock de capital e N a 
quantidade de trabalho. Admita que a quantidade de trabalho e a população variam 
identicamente. Sabe-se ainda que, nesta economia, a taxa de depreciação do stock de 
capital é de 8%, a taxa de crescimento da quantidade de trabalho é de 2% e a taxa de 
poupança é de 20%. Presentemente, não existe progresso técnico, pelo que a 
produtividade do trabalho está estagnada. 
a) Calcule o stock de capital por unidade de trabalho e o produto real por unidade de 
trabalho de steady-state desta economia. 
b) Calcule que taxa de poupança permitiria maximizar o consumo por unidade de 
trabalho, no longo prazo. Comente a situação actual da economia em termos de 
(in)eficiência dinâmica. 
c) O governo deste país declarou que, em resultado das suas políticas estruturais 
recentes, a partir do próximo ano haveria progresso técnico labour-augmenting e, 
portanto, crescimento da produtividade do trabalho. Esse crescimento garantiria 
uma taxa de crescimento do produto real per capita igual a metade da taxa de 
crescimento do produto real, em steady-state. Demonstre a que taxas se espera 
que cresçam o produto e produto per capita em steady-state, e calcule a taxa de 
progresso técnico prevista pelo governo. 
d) Considere agora que se planeia abrir a economia deste país ao exterior, fixando a 
taxa de câmbio da sua moeda contra a moeda dum país líder cuja taxa de inflação 
é de 1%. Admitindo que a velocidade de circulação da moeda deste país não tende 
a variar significativamente, calcule a taxa de crescimento da quantidade nominal de 
moeda que as autoridades desta economia devem definir como meta para o longo 
prazo. 
 
9. 
A função de produção agregada que descreve a economia dum determinado país é 
dada por Y = K0,3 N0,7, em que Y representa o produto real, K o stock de capital e N a 
quantidade de trabalho. Admita que a quantidade de trabalho e a população variam 
identicamente. Sabe-se ainda que, nesta economia, a taxa de depreciação do stock de 
capital é de 10%, a taxa de crescimento da quantidade de trabalho é de 1% e que o 
produto por unidade de trabalho em steady-state é de 1,73895. Presentemente, não 
existe progresso técnico, pelo que a produtividade do trabalho está estagnada. 
6 
 
a) Calcule a taxa de poupança atual desta economia. 
b) Calcule qual a taxa de poupança necessária se o Governo optasse por maximizar o 
consumo por unidade de trabalho, no longo prazo. Comente a situação actual da 
economia em termos de (in)eficiência dinâmica. 
c) Numa recente declaração à imprensa, o líder da oposição referiu: “Apesar do 
governo ter divulgado, recentemente, que o crescimento do produto se vai manter, 
as recentes previsões de estagnação da população vão exigir à população que, 
com o mesmo esforço de poupança (exigido em b), tenham um menor consumo por 
unidade de trabalho, no longo prazo, prejudicando o bem-estar.” Identifique a fonte 
de crescimento económico, as estimativas de crescimento do produto per capita 
que estão na posse do Governo e comente a afirmação da oposição. 
d) Considere agora que se planeia abrir a economia deste país ao exterior, fixando a 
taxa de câmbio da sua moeda contra a moeda dum país líder cuja taxa de 
crescimento do produto é de 2%. Admitindo que a velocidade de circulação da 
moeda não tende a variar significativamente em ambas as economias e que as 
estimativas da oposição estão corretas, diga se o Banco Central deste país deverá 
fixar como objetivo uma taxa de crescimento da massa monetária superior, inferior 
ou igual à do país líder. Justifique. 
 
10. 
Conhece-se os seguintes dados relativos a uma determinada economia que se 
encontra, nos últimos 10 anos, em trajectória de crescimento em equilíbrio sustentado 
(steady state): 
- Função de produção agregada: Y=0,64K0,4N0,6 
- Taxa média anual de depreciação do stock de capital = 5% 
- Taxa média anual de crescimento da população = 3%. 
Responda às questões seguintes: 
a) Qual o valor da propensão marginal ao consumo, no período em causa, se o stock 
de capital por trabalhador for de 2,194 unidades? 
b) Será que o nível adequado de poupança por trabalhador, tendo em vista a 
maximização do consumo per capita, é de 0,75 unidades, conforme sugerem 
alguns membros da oposição? Justifique, de forma quantificada. 
c) Compare graficamente as situações descritas nas questões a) e b). 
d) Imagine que ocorre uma alteração da função de produção agregada, tal como se 
espera, em resultado da existência de progresso tecnológico: Y=K0,4(AN)0,6. 
7 
 
Sabendo que o Governo anuncia um crescimento sustentado do produto per capita 
de 10%, qual a taxa de poupança ideal no novo contexto tecnológico? 
Nota: A – eficiência do trabalho; os restantes parâmetros da economia mantêm-se. 
 
 
 
 
RESOLUÇÕES 
 
1. 
a) (Y/AN)=(K/AN)0,5 
 
b) ka(n+a+d)=sf(ka) 
a=0 porque ∆Y/Y=∆N/N=0,01. 
ka(0,01 + 0 + 0,16)=0,1*ka0,5 
ka = 0,346021 unidades = k, porque A=1 
ya = 0,588235 unidades = y, porque A=1 
K = k*9600 = 3321,8 milhões de unidades 
Y = y*9600 = 5647,06 milhões de unidades 
Y/Q = 56,47 unidades 
 
c) K/Y constante: OK 
k cresce continuadamente: NÃO 
y cresce continuadamente: NÃO 
PmgN = w = 0,5ka-0,5A crescente : NÃO 
PmgK = r = 0,5ka-0,5 constante : OK 
wN/Y constante: OK + rK/Y constante: OK 
 
d) ka= 8,650519 
ya= 2,941176 
sGR=0,5 
∆y/y=∆ka/ka=0 
∆Y/Y=∆K/K=n=0,01 
 
e) 
i. a=0,01 
ii. ∆y/y=∆k/k=a=0,01 
∆Y/Y=∆K/K=n+a=0,01 
8 
 
iii. K/Y constante: OK 
k cresce continuadamente: OK 
y cresce continuadamente: OK 
PmgN = w = 0,5ka-0,5A crescente : OK 
PmgK = r = 0,5ka-0,5 constante : OK 
wN/Y constante: OK + rK/Y constante: OK 
 
2. 
a) Forma intensiva da função de produção 
5,05,05,0
5,05,0 .. 




=⇔










=⇔=
N
K
N
Y
N
N
N
K
N
Y
NKY 
 
b) Rácio capital-trabalho no equilíbrio de steady-state 
41,4
1,0
21,0
1,0.21,00
2*5,0
=




=




⇔




=




⇔




=





⇒=




∆
N
K
N
K
N
K
N
K
N
K
sf
N
K δ 
 
Produto real por hora de trabalho no equilíbrio de steady-state 
10,2)41,4( 5,0
5,0*
==




=





N
K
N
Y 
 
Produto real per capita no equilíbrio de steady-state 
785.1
000.000.10
000.000.500.81,2
==






=
x
Q
N
N
Y
Q
Y (País pobre) 
 
Taxas de crescimento das variáveis no equilíbrio de steady-state 
∆k/k = ∆y/y = 0 
 
9 
 
Representação gráfica 
 
c1) Descrição da dinâmica de transição 
.....)'()'( ykyks ++++ ∆⇒∆⇒∆⇒∆⇒↑ até que 0=∆k 
 
Representação gráfica 
 
Linha de depreciação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s.y 
y 
y, sy 
k 
y*=2,1 δk 
 
E* 
k*= 4,41 
(sy)*=0,4y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s0y 
y 
y, 
 
sy 
 Γ 
y0
* 
s 1 y 
E0
*
 
Γ0* 
(sy)0
* 
(s y) 1
* 
y1
* 
Γ 1* 
E1
*
 
y 
 
Tempo 
Tempo 
 y 
∆y/y 
tn 
tn 
y1 
* 
t 0 
t 0 
y0
* 
∆y /y 
0 
10 
 
 
Efeito sobre o rácio capital-trabalho e sobre o produto por hora de trabalho: 
Ano de 2003 
1,241,4
*
2002
*
2002
=




=





N
Y
e
N
K 
189,041,41,01,23,0'.
*
2002
*
2002
=−=




−




=




∆ xx
NK
N
Y
s
N
K δ 
599,4189,041,4
2003
=+=





N
K 
1445,2)599,4( 5,0
5,0
2003
==




=





N
K
N
Y 
823.1
000.000.10
000.000.500.81445,22003
2003
==






=




 x
Q
N
N
Y
Q
Y
 
 
Ano de 2004: 
1835,0599,41,01445,23,0'
200320032003
=−=




−




=




∆ xx
N
K
N
Y
s
N
K δ 
7825,41835,0599,4
2004
=+=





N
K 
1869,2)7825,4( 5,0
5,0
2004
==




=





N
K
N
Y 
9,858.1
10
500.81869,22004
2004
==






=




 x
Q
N
N
Y
Q
Y 
 
Ano de 2005: 
1778,07825,41,01869,23,0'
200420042004
=−=




−




=




∆ xx
N
K
N
Y
s
N
K δ 
960,41778,07825,4
2005
=+=





N
K 
227,2)960,4( 5,0
5,0
2005
==




=





N
K
N
Y 
95,892.1
10
500.8227,22005
2005
==






=




 x
Q
N
N
Y
Q
Y 
 
11 
 
c2) Taxa de crescimento do produto per capita 
%13,2
)Q/Y(
)Q/Y()Q/Y(
)Q/Y%(
2002
20022003
2003 =
−
=∆ 
%97,1
)Q/Y(
)Q/Y()Q/Y(
)Q/Y%(
2003
20032004
2004 =
−
=∆ 
%83,1
)Q/Y(
)Q/Y()Q/Y(
)Q/Y%(
2004
20042005
2005 =
−
=∆ 
 
c3) Novo equilíbrio de steady-state para s’ = 30% 
∆Y/Y = n = 0% 
%0
Q/Y
)Q/Y( =∆
 
O produto per capita aumenta para Y/Q=(Y/N)*(N/Q) = 3*8500/10= 2550 unidades.
 
 
 
d) Novo equilíbrio de steady-state 
∆Y/Y = n + a = 1,5% + 2,5% = 4% 
%5,2a
Q/Y
)Q/Y( ==∆
 
 
3. 
a) Segundo a condição de equilíbrio no mercado de bens e serviços, temos: 
I = S ⇔ I/N = S/N ⇔ 0,975 = s Y/N ⇔ y = 2,4375. 
Então, S/N = s y = 0,4 * 2,4375. 
Como C = Y - sY, então também C/N = y - sy. 
Logo, C/N = (1-s) y ⇔ C/N = (1-0,4) * 2,4375 = 1,4625. 
 
Como estamos em steady-state (sem progresso tecnológico), a taxa de crescimento 
de Y/N é nula; como C/N é uma fracção constante, (1-s), de y, então a sua taxa de 
crescimento também é nula ⇒ a taxa de crescimento de C é n. 
 
Cálculo do valor de n: 
Da função produção retiramos 2,4375= 0.720615 (K/N)0.45 ⇒ (K/N)* = 15. 
Em steady-state sabemos que 
∆(K/N)=0 ⇒ s(Y/N) = (n+δ)(K/N) ⇔ 0,4*2,4375 = (n+δ)x15 ⇔ (n+0,03) = 0,065 ⇔ 
n=3,5%. 
 
12 
 
b) 
 
c) De acordo com o modelo de Solow (versão sem progresso tecnológico), no longo 
prazo (em equilíbrio de steady-state) o produto por trabalhador (Y/N) está constante 
e o produto real (Y) cresce sempre à taxa n, independentemente do valor de s. 
Logo, a afirmação está errada. 
Nota: Um aumento de s levará apenas a uma subida do K/N (uma poupança maior 
por trabalhador permite sustentar um stock de capital por trabalhador 
permanentemente mais elevado) e, consequentemente, do Y/N de steady-state. 
Verificar-se-á uma taxa de crescimento de Y e de K superior a n apenas durante 
o período de transição do antigo para o novo equilíbrio de steady-state (para 
possibilitar que os rácios K/N e Y/N cresçam até atingirem o novo nível de 
steady-state). 
 
4. 
a) sy = (n+d+a)k 
0,14x5k0,3 = (-0,02+0,1)k 
y =Y/N= 12,66741 
b) diminui; aumenta. 
 
5. 
a) Valores actuais: K/N = 20/50 = 0,4; Y/N = 2(K/N)0,25 = 1,59 
Steady- state: 
s(2k0,25) = (n+δ)k 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C/N 
k* = 15 
y*=2,4375 0,065k 
sy 
y=0,7206 
k 
13 
 
0,24 k0,25 = (0,02+0,08)k 
K* = 3,213 
Y* = 2x3,2130,25 = 2,67(7) 
 
b) ∆y/y = ∆k/k = 0, Não. 
∆(K/Y)/(K/Y) = 0, Sim. 
 
c) Na Multidonlândia o produto por trabalhador é menor porque a “erosão” de K por 
trabalhador é menor: 
s(2k0,25) = (n+δ)k 
0,24 k0,25 = (0,07+0,08)k 
K* = 1,871 
Y* = 2x1,8710,25 = 2,34 
 
A Multidonlândia e a Stagnolândia têm a mesma taxa de crescimento real do 
produto por unidade de trabalho, ∆y/y = 0, mas a taxa de crescimento real do 
produto é superior na Multidonlândia (∆Y/Y = n = 0,07), enquanto na Stagnolândia é 
de apenas (∆Y/Y = n = 0,02). 
 
6. 
a) Y/N = 77644,8/(4x8x240) = 10,11 
K/N = (10,11/4)(1/0,3) = 21,99 
s x 10,11 = (0,01+0,09) x 21,99 
s = 0,2175 
 
b) PIB natural (período 1) = PIB natural (período 0) x (1 + n) = 77 644,8 x (1+0,01) = 
= 78 421,25 
PIB natural per capita (período 1) = PIB natural per capita (período 0) x (1 + a) = 
= (77 644,8/7,764) x 1 = 10 000,62. 
 
7. 
a) Como em steady-state, ∆Y/Y = n = 0,01, 
0,08(9k1/3) = (0,01 + 0,07)k 
14 
 
k* = 27 
y* = 27 
∆y/y = 0 
 
b) Uma diminuição de s levará apenas a uma descida do K/N (uma poupança menor 
por trabalhador só permite sustentar um stock de capital por trabalhador 
permanentemente mais baixo) e, consequentemente, do Y/N de steady-state. No 
longo prazo ∆Y/Y = ∆K/K = n. Verificar-se-á uma taxa de crescimento de Y e de K 
inferior a n apenas durante o período de transição do antigo para o novo equilíbrio 
de steady-state (para possibilitar que os rácios K/N e Y/N desçam até atingirem o 
novo nível de steady-state). 
 
8. 
a) F. Produção: 0,4 0,6.Y K N= 
Forma intensiva: 
0,4 0,6 0,4
0,4 0,6 0,4. .
Y K N Y K
Y K N y k
N N N N N
     = ⇔ = ⇔ = ⇔ =     
     
 
Steady-state: 0 *k k k∆ = ⇔ = 
Dado que, por definição, ( ).k s y d n k∆ = − +
 
Então, em steady-state, ( ).s y d n k= +
 
( ) 0,40,2. 0,08 0,02 0,2. 0,1.y k k k= + ⇔ =
 
0,6
0,4
0,2
2 * 3,175
0,1
k
k k
k
= ⇔ = ⇔ =
 
0,4 0,4* * * 3,175 * 1,587y k y y= ⇔ = ⇔ =
 
 
b) Máximo de C/N: Golden Rule. Steady-state: * , *GR GRk y 
Taxa de poupança que maximiza C/N 
 
0 '( ) ( ) 0 Pmgk
C
N
f k d n d n
k
 ∂  
  = ⇔ − + = ⇔ = +
∂
 
Nesta economia: 
0,60,4 0,08 0,02k − = + 
( )10,6 0,60,25 4 * 10,0794GRk k k− = ⇔ = ⇒ = 
Max ( ) ( )
C
y sy f k d n k
N
 = − = − +  
15 
 
A taxa de poupança que permitiria este steady-state é: 
0,4.10,0794 0,1 10,0794s = × 
0,4s = 
 
O stock de capital por trabalhador de steady-state (k*) está aquém do stock de golden-
rule (kG): k* < kG 
A economia encontra-se actualmente numa situação de eficiência dinâmica. 
O consumo de steady-state é inferior ao consumo de golden-rule num contexto em 
que a taxa de poupança é demasiado baixa: para a economia se aproximar do steady-
state de golden-rule a taxa de poupança teria de aumentar, mais em concreto duplicar. 
Para que a geração futura possa aumentar sustentadamente o consumo per capita, 
exige-se á geração actual que aumente a sua taxa de poupança, ou seja, reduza o seu 
consumo. 
 
c) Com progresso técnico labour-augmenting, a função de produção deve ser usada 
na forma intensiva relativamente a trabalho-eficiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A taxa de crescimento do produto real per capita, y=Y/N, em steady-state é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dado que, por definição, ∆yA = 0 no steady-state do novo modelo da economia. 
( )
A A
Y F (K , AN)
Y 1
F K , AN
A N A N
Y K
F ,1
AN AN
Y K
f
AN AN
y f (k )
=
=
 =  
 
 =  
 
=
( )
A
A A
y y A
y A y y A
y
y A
A
A
y y
A
y
a
y
Y
N a
Y
N
=
∆ = ∆ + ∆
∆ = ∆
∆∆ =
∆ =
∆
=
16 
 
A taxa de crescimento do produto real, Y, em steady-state é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado que nesta economia n = 0,02, então a única taxa de progresso técnico a 
compatível com [∆(Y/N)/(Y/N)] = 0,5×∆Y/Y, é 
( )0,5 0,02a n a a n a+ = ⇔ = ⇒ = 
 
d) A equação geral das trocas, em taxas de crescimento, é: 
m + v = π + y 
No longo prazo, verifica-se a teoria quantitativa da moeda: 
 , 0Ny y v= ≈
 
s Nm yπ = −
 
 
O equilíbrio externo requer que no longo prazo se verifique o princípio da paridade dos 
poderes de compra, que em taxas de crescimento pode ser escrito como: 
*
0
S
S
σ π π
σ
σ
σ
∆ ∆ = + −
∆ =

 
 
Dado que esta economia aderirá a um regime de câmbio fixo, então 
0 *
0
σ π π
σ
σ
σ
∆ = + −
∆ =

 
Pelo que a inflação doméstica terá de ser necessariamente igual à do país-âncora: 
0 0 * *π π π π= + − ⇔ =
 
 
Então, a inflação doméstica terá de ser igual a 1%. 
E segundo a TQM, 
Y yN
Y N y y N
y Y
Y Ny N
y N
Y y N
Y N Y
N y N
Y
a n
Y
=
∆ = ∆ + ∆
∆∆ = + ∆
∆ ∆∆ = +
∆ = +
170,01 s Nm y= −
 
Conforme cálculo na alínea anterior, 
*
0,04
*
N Yy
Y
∆= =
 
Então, a quantidade nominal de moeda deverá crescer à taxa de 5 por cento: 
0,01 0,04 0,05 5%sm = + = = 
 
9. 
a) F. Produção: 0,3 0,7.Y K N= 
Forma intensiva: 
0,3 0,7 0,3
0,3 0,7 0,3. .
Y K N Y K
Y K N y k
N N N N N
     = ⇔ = ⇔ = ⇔ =     
     
 
Sabe-se que em steady-state * 1.73895y = 
Então 0,3 (1/0,3)* * * 1,73895 * 6.32344y k k k= ⇔ = ⇔ = 
Por definição, em steady-state, ( ). 0k s y d n k∆ = − + =
 
Então, ( ).s y d n k= +
 
( ).1,73895 0,1 0,01 6,32344 0,4s s= + ⇔ =
 
 
b) Máximo de C/N: Golden Rule. Steady-state: * , *GR GRk y 
Taxa de poupança que maximiza C/N: 
0 '( ) ( ) 0 Pmgk
C
N
f k d n d n
k
 ∂  
  = ⇔ − + = ⇔ = +
∂
 
Nesta economia: 
0,70,3 0,1 0,01k − = + 
( )10,7 0,70,36(6) 0,36(6) * 4,192464GRk k k− −= ⇔ = ⇒ = 
A taxa de poupança que permitiria este steady-state é: 
0,7.4,192464 0,11 4,192464s = × 
0,3s = 
 
c) No modelo de Solow mais geral, a taxa de crescimento do produto real em steady-
state é dada por: 
Max ( ) ( )
C
y sy f k d n k
N
 = − = − +  
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado que a taxa de crescimento do produto real per capita, y=Y/N, em steady-state é 
dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O governo prevê que n passe de 0,01 para 0,00. Então, a única forma do produto 
manter a taxa de crescimento de steady-state actual é existir progresso técnico a uma 
taxa igual a 0,01: 
Actualmente: 0,00 0,01 0,01
Y Y
a n
Y Y
∆ ∆= + ⇒ = + = 
Futuramente: 
0,01 0,00 0,01
Y Y
a n
Y Y
∆ ∆= + ⇒ = + =
 
Se A =1 a oposição não tem razão. 
d) A equação geral das trocas, em taxas de crescimento, é: . .m v yπ=
 
No longo prazo, verifica-se a teoria quantitativa da moeda: 
 , 0Ny y v= ≈ 
s Nm yπ = −
 
 
O equilíbrio externo requer que no longo prazo se verifique o princípio da paridade dos 
poderes de compra, que em taxas de crescimento pode ser escrito como: 
Y yN
Y N y y N
y Y
Y Ny N
y N
Y y N
Y N Y
N y N
Y
a n
Y
=
∆ = ∆ + ∆
∆∆ = + ∆
∆ ∆∆ = +
∆ = +
( )
A
A A
y y A
y A y y A
y
y A
A
A
y y
A
y
a
y
Y
N a
Y
N
=
∆ = ∆ + ∆
∆ = ∆
∆∆ =
∆ =
∆
=
19 
 
*
0
S
S
σ π π
σ
σ
σ
∆ ∆ = + −
∆ =

 
 
Dado que estamos em câmbios fixos, π = π* e, logo, no longo prazo m* > m porque 
yN*>YN.
 
 
10. 
a) c = (1 - s) = 0,799. 
b) sGR = 0,4 => sGR.y*= 0,556 < 0,75: a oposição não tem razão. 
c) 
 
d) sGR = 0,4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
kGR = 6,95
yGR =1,39
0,0 8k
k
y*= 0,76
 
 k* = 2,194
y=0,64k0,4 
sGRy = 0,4y 
sy = 0,2y