Lista 5-Sistemas Lineares

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1 
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PIAUÍ -UESPI 
CENTRO DE CIÊNCIAS DA NATUREZA-CCN 
CURSO LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I -2014.1 
CARGA HORÁRIA: 90 HORAS 
PROFESSOR: AFONSO NORBERTO DA SILVA 
 
SISTEMAS LINEARES 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1(Uepg 2010) Considerando o sistema de equações
px 6y 2
qx 3y q
 

 
, assinale o que for 
correto. 
01) Se p = 0 e q  0, o sistema não possui solução. 
02) O sistema possui solução quaisquer que sejam p e q. 
04) O sistema possui solução única, se p  2 q. 
08) Se p = q = 0, o sistema é impossível. 
16) O sistema possui infinitas soluções se det
p 6
q 3
 
 
 
0. 
Solução: 
O sistema terá solução única 
3
6
q
p
D   0  3p - 6q  0  p  2q. 
Se p = 2q, temos 
2qx 6y 2(-1/2) -qx 3 1 ( ) 3 1
qx 3y q qx 3y q 0 0 1
y qx y
q
           
   
        
 se q = 1 
o sistema terá infinitas soluções e se q 1 o sistema será impossível. 
 
(01) Falso, o sistema terá uma única solução. 
(02) Falso, o sistema pode ser impossível. 
(04) Verdadeiro 
(08) Verdadeiro, p = 2q e q  1 
(16) Falso,neste caso possui solução única. 
 
2(Fgv 2010) O sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y: 
x 3y m
2x py 2
 

 
 
Será impossível quando: 
a) Nunca b) p ≠ –6 e m = 1 c) p ≠ –6 e m ≠ 1 
d) p = –6 e m = 1 e) p = –6 e m ≠ 1 
Solução:E 
Se D = 0  SPI ou SI 
D = 6060
2
31


pp
p
 
Fazendo p = -6, temos: 





262
3
yx
myx
 
Resolvendo temos 0 = -2m + 2 
Logo, o sistema será impossível quando – 2m + 2 for diferente de zero, ou seja, 
quando m  1. 
 
3(Fgv 2010) Em um quadrado mágico, como o indicado na figura, a soma dos 
números em cada linha, em cada coluna e em cada diagonal assume o mesmo 
valor. 
 
A 24 B 
18 C D 
25 E 21 
 
Se as letras A, B, C, D e E representam números, então D + E é igual a: 
a) 43. b) 44. c) 45. d) 46. e) 47. 
Solução:D 
2 
 
 
 
 
43 + A = 21 + A + C  c = 22 
43 + A = A + B  B = 19 
25 + B + C = 66 
B + D + 21= 66  D = 26 
25 + E + 21 = 66  E = 20 
Logo, D + E = 26 + 20 = 46 
 
4(Fgv 2010) Diofante de Alexandria, que viveu cerca do ano 250, publ icou na sua 
obra Aritmét ica extensos estudos sobre equações indeterminadas, em que as soluções 
eram pares ordenados de números naturais. 
a) Uma das equações era esta: xy – 5x + 4y = 0, em que as variáveis x e y são 
números naturais. Expresse a variável x em termos da var iá vel y e tente, por 
subst i tuição, encontrar todos os pares ordenados (x, y) que são soluções da equação. 
b) Resolva o problema: 
As i rmãs Ana e Marta receberam de seu avô cer ta quantia cada uma, somente em 
notas, sem nenhuma moeda. Também não receberam nenhuma nota de R$ 1,00. A 
soma das quantias mais a di ferença entre a quant ia de Ana e a de Marta, mais o 
produto delas, é igual a 100. Se Ana, que é mais velha, recebeu uma quantia maior 
que a de Marta, quantos reais pode ter recebido cada uma? 
 Solução: 
a) xy- 5x + 4y = 0  5x – xy = 4y  x( 5 - y ) = 4y  x =
y
y
5
4
. 
Sabemos que 5 – y > 0 logo y < 5 e que 4y > 0 logo y > 0 
Se y = 4 teremos x = 16 
Se y = 3 teremos x = 6 
Se y = 2 teremos x = 
8
3
(não convém) 
Se y =1 termos x = 1 
Se y = 0 termos x = 0 
Logo os pares ordenados são: 
(16,4) , (6,3) , (1,1) e (0, 0) 
 
b) Chamando de x o valor de Ana e de y o valor de Marta, temos: 
x + y + x – y + x.y = 100  2x + xy = 100  x(2 + y ) = 100  x = 
y2
100
 
Temos duas soluções de acordo com as condições do problema. 
Marta R$2,00 e Ana 25,00 ou Marta R$8,00 e Ana R$10,00. 
 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
1) Resolva e classifique os sistemas seguintes: 
a) 








22
2
12
zyx
zyx
zyx
 b) 








022
232
12
tzyx
tyx
zyx
 c) 








10435
4453
223
zyx
zyx
zyx
 
d) 








11464573221342134
670213457322134
7866213421345732
zyx
zyx
zyx
 
2) Determine para que valores de m e n o sistema 
2 3 1
2 4
3
x y z
x y z
x y mz n
  

  
   
 seja: 
a) indeterminado b) impossível 
3 
 
3.a) Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de caju e 
castanha-do-pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$ 5,00, o quilo da 
castanha de caju, R$ 20,00, e o quilo de castanha-do-pará, R$ 16,00. Cada lata 
deve conter meio quilo da mistura e o custo total dos ingredientes de cada lata 
deve ser de R$ 5,75. Além disso, a quantidade de castanha de caju em cada lata 
deve ser igual a um terço da soma das outras duas. Determin e as quantidades, em 
gramas, de cada ingrediente por lata. 
 
b) Duas velas de mesmo comprimento são acesas simultaneamente. A primeira 
queima completamente em 4 horas e a segunda, em 3 horas. Depois de acesas, 
em quanto tempo uma delas terá o triplo do comp rimento da outra? 
 
4) Seja o sistema linear em x, y e z dado por: 





13
52
zyx
zyx


 
onde  e  são números reais. Analise para que valores de  e  este sistema 
admite mais de uma solução. 
 
5) Determine todos os valores de  2,0a , distintos, para os quais o sistema nas 
incógnitas x,y e z, dado por 








azyx
asenzyx
azyx
cos2436
252
3cos64
, seja possível e não 
homogêneo. 
 
6(FUVEST) João diz a Pedro: se você me der 1/5 do dinheiro que possui eu 
ficarei com uma quantia igual ao dobro do que lhe restará. Por outro lado, se eu 
lhe der R$ 6.000,00 do meu dinheiro nós ficaremos com quantias iguais. Quanto 
dinheiro possui cada um? 
7(ITA) Considere o sistema Ax = b, em que
1 2 3 1
2 6 , 6 e 
1 3 3 0
A k b k IR
k
   
     
   
       
. 
Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema impossível e 
sendo S a soma de todos os valores de k que tornam o sistema possível e 
indeterminado, então o valor de T - S é : 
a) – 4 b) – 3 c) 0 d) 1 e) 4 
 
8(UNESP) Uma lapiseira, três cadernos e uma caneta custam, juntos, 33 reais. 
Duas lapiseiras, sete cadernos e duas canetas custam, juntos, 76 reais. O custo de 
uma lapiseira, um caderno e uma caneta, juntos, em reais, é: 
a) 11. b) 12. c) 13. d) 17. e) 38. 
 
9(UFG) Para se produzir 40 toneladas de concreto gasta -se o total de R$ 
2.040,00 com areia, brita e cimento. Sabe-se que 15% da massa final do concreto 
é constituída de água e que o custo, por tonelada, de areia, é R$ 60,00, de brita, 
é R$ 30,00 e de cimento, é R$ 150,00. Qual é a razão entre as quantidades, em 
toneladas, de cimento e brita util izadas na produção desse concreto? 
a) 1/2 b) 1/3 c) 1/5 d) 2/3 e) 2/5 
 
10(PUC) Uma pessoa tem apenas x moedas de 5 centavos, y moe das de 10 
centavos e z moedas de 25 centavos. A equação matricial seguinte permite 
determinar as possíveis quantidades dessas moedas. 
 
1 2 5
1 1 1
 . 
𝑥
𝑦
𝑧
 = 
78
32
 
Com base nesses dados, é correto afirmar que: 
a) há exatamente 7 possibilidades de solução para essa equação. 
b) não podem existir dois tipos de moedas distintas em quantidades iguais. 
c) os três t ipos de moedas totalizam a quantia de R$ 78,00. 
4 
 
d) se o número de moedas de 10 centavos fosse 4, o problema admitiria uma 
única solução. 
e) o número de moedas de 25 centavos deve ser menor do que 5. 
 
11(UFRJ) Um buquê contém flores, entre as quais rosas vermelhas. Se retirarmos 
todas as flores de cor vermelha, restarão 14 flores. Se retirarmos todas as rosas, 
restarão 17 flores. Se retirarmos todas as flores que n ão são vermelhas, restarão 
19 flores e, se retirarmos todas as rosas vermelhas, restarão 26 flores. Determine 
o número de flores desse buquê e o número de rosas que não são vermelhas. 
 
12(UFC) Uma fábrica de confecções produziu, sob encomenda, 70 peças de 
roupas entre camisas, batas e calças, sendoa quantidade de camisas igual ao 
dobro da quantidade de calças. Se o número de bolsos em cada camisa, bata e 
calça é dois, três e quatro, respectivamente, e o número total de bolsos nas peças 
é 200, então podemos afirmar que a quantidade de batas é: 
a) 36 b) 38 c) 40 d) 42 e) 44 
 
13(UFPR) Marina será madrinha de casamento de sua irmã e pretende presenteá -
la com artigos de cozinha. Na primeira loja por ela visitada, o preço de um 
conjunto que tem 3 panelas, 2 fri gideiras e 1 leiteira é de R$ 169,00; na segunda 
loja visitada, o preço de um conjunto composto por 4 panelas, 1 frigideira e 1 
leiteira é de R$ 179,00; na terceira loja visitada o preço de um conjunto com 3 
panelas, 1 frigideira e 1 leiteira é de R$ 144,0 0. Se o preço de cada panela, da 
frigideira e da leiteira é o mesmo em todas as lojas por ela visitada, então pode -
se afirmar que o preço de um conjunto composto por 4 panelas, 2 frigideiras e 1 
leiteira é igual a: 
a) R$ 204,00. b) R$ 193,00. c) R$ 174,00. 
d) R$ 109,00. e) R$ 74,00. 
 
14(FGV) "Um galo custa 5 moedas; uma galinha, 3 moedas e 3 frangos custam 1 
moeda. Com 100 moedas, compram-se 100 dessas aves. Quantos galos, galinhas 
e frangos são?" 
Esse é o problema chinês do Cento de Aves, que foi enunciad o pela primeira vez 
no livro Manual Matemático, de Zhang Quijian, editado no século V. O problema 
ficou famoso e apareceu, mais tarde, em diversos textos matemáticos na Índia, 
no mundo islâmico e na Europa. 
a) Expresse o enunciado do problema chinês median te um sistema de equações. 
b) Dê a solução geral do sistema. 
c) Nessa época, o zero não era considerado um número e, por isso, não entrava 
na solução dos problemas. Então, quais as prováveis respostas que o matemático 
chinês deve ter encontrado para o problema do Cento de Aves? 
 
15(FATEC) Pelo fato de estar com o peso acima do recomendado, uma pessoa 
está fazendo o controle das calorias dos alimentos que ingere. Sabe -se que 3 
colheres de sopa de arroz, 2 almôndegas e uma porção de brócolis têm 274 
calorias. Já 2 colheres de sopa de arroz, 3 almôndegas e uma porção de brócolis 
têm 290 calorias. Por outro lado, 2 colheres de sopa de arroz, 2 almôndegas e 2 
porções de brócolis têm 252 calorias. Se ontem seu almoço consistiu em uma 
colher de sopa de arroz, duas almôndegas e uma porção de brócolis, quantas 
calorias teve essa refeição? 
a) 186 b) 170 c) 160 d) 148 e) 126 
 
16(UFPI) Sobre o sistema de equações abaixo, 








111563
81042
452
zyx
zyx
zyx
 
é correto afirmar que: 
a) Possui uma única solução. 
b) Possui infinitas soluções. 
c) Seu conjunto solução é vazio. 
5 
 
d) As soluções formam uma reta no espaço que passa pela origem do sistema 
cartesiano tridimensional. 
e) As soluções formam um plano no espaço que não passam pela origem. 
 
17(UESPI) Um teatro tem capacidade para 1.200 pessoas. Em determinada noite, 
o teatro não ficou lotado e o total arrecadado com a venda dos ingressos foi de 
R$ 66.000,00. O preço dos ingressos era de R$ 60,00 para entrada inteira e de 
R$ 30,00 para meia entrada. Qual o número mínimo de presentes no teatro que 
pagou inteira? 
a) 801 b) 900 c) 1001 d) 800 e) 901 
 
18) O sistema 





aayx
ayax
3
3
 não tem solução se e só se : 
a) a ≠ -3 b) a ≠ 3 c) a = 0 d) a = -3 e) a = 3 
 
19) O sistema 








0
0
02
zypx
zpyx
zyx
 admite solução diferente de (0,0,0) se e somente se: 
a) p = 1 b) p ≠ 0 c) p = 0 d) p = 0 ou p = -1 e) p
2
 – p ≠ 0 
 
 
20) Considere o sistema de equações 








322
122
2
zyx
zyax
bzyax
, onde a e b são números 
reais. Pode-se afirmar corretamente que: 
a) O sistema possui solução única se a = 2. 
b) O sistema é indeterminado se a = 2 e b = 3. 
c) O sistema é impossível se a ≠ 2 e b = 3. 
d) O sistema é indeterminado se a = 2 e b ≠ 3. 
e) O sistema é impossível se a ≠ 2 e b ≠ 3. 
 
21) O curso de Álgebra, no semestre passad o, teve três provas. As questões 
valiam um ponto cada uma, mas os pesos das provas eram diferentes. Pedro, que 
acertou 4 questões na primeira prova, 5 na segunda e 3 na terceira, obteve no 
final um total de 15 pontos. Joana acertou 3 na primeira, 4 na segu nda e 4 na 
terceira prova, totalizando também 15 pontos. Por sua vez, Leandro acertou 5 na 
primeira, 5 na segunda e 2 na terceira prova, atingindo a soma de 14 pontos no 
final. Já Fernando fez 4 questões certas na primeira prova, 6 na segunda e 3 na 
terceira. Qual foi o total de pontos de Fernando? 
a) 16 b) 15 c) 13 d) 17 e) 18 
 
22(UNESP) Uma pessoa consumiu na segunda -feira, no café da manhã, 1 pedaço 
de bolo e 3 pãezinhos, o que deu um total de 140 gramas. Na terça -feira, no café 
da manhã, consumiu 3 pedaços de bolo e 2 pãezinhos (iguais aos do dia anterior 
e de mesma massa), totalizando 210 gramas. A tabela seguinte fornece 
(aproximadamente) a quantidade de energia em quilocalorias (kcal) contida em 
cada 100 gramas do bolo e do pãozinho. 
ALIMENTO ENERGIA 
100g bolo 420 kcal 
100g pãozinho 270 kcal 
 
Após determinar a quantidade em gramas de cada pedaço de bolo e de cada 
pãozinho, use a tabela e calcule o total de quilocalorias (kcal) consumido pela 
pessoa, com esses dois alimentos, no café da manhã de segunda -feira. 
 
23(UNIFESP) Em uma lanchonete, o custo de 3 sanduíches, 7 refrigerantes e 
uma torta de maçã é R$ 22,50. Com 4 sanduíches, 10 refrigerantes e uma torta de 
maçã, o custo vai para R$ 30,50. O custo de um sanduíche, um refrigerante e 
uma torta de maçã, em reais, é: 
6 
 
a) 7,00. b) 6,50. c) 6,00. d) 5,50. e) 5,00. 
 
24(UFG) Para se deslocar de casa até o seu trabalho, um trabalhador percorre 
550 km por mês. Para isso, em alguns dias, ele util iza um automóvel e, em 
outros, uma motocicleta. Considerando que o custo do quilômetro rodado é de 21 
centavos para o automóvel e de 7 centavos para a motocicleta, calcule quantos 
quilômetros o trabalhador deve andar em cada um dos veículos, para que o custo 
total mensal seja de R$ 70,00. 
 
25(UERJ) Observe a equação química que representa a fermentação do açúcar: 
𝑥𝐶6𝐻12𝑂6 → 𝑦𝐶𝑂2 + 𝑧𝐶2𝐻5𝑂𝐻. 
Uma das formas de equilibrar essa equação é igualar, em seus dois membros, as 
quantidades de átomos de cada elemento químico. Esse processo dá origem ao 
seguinte sistema linear: 
 
6𝑥 = 𝑦 + 2𝑧
12𝑥 = 6𝑧
6𝑥 = 2𝑦 + 𝑧
 
Determine o conjunto-solução do sistema e calcule os menores valores inteiros 
positivos de x, y e z que formam uma das soluções desse sistema. 
 
26(Uerj 2010) Um conjunto de 100 copos descartáveis, dispostos em um 
suporte, será usado em uma festa. 
 
Considere, agora, as seguintes informações: 
 
– sempre se tenta retirar apenas 1 copo de cada vez desse suporte; 
– quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 2 saem juntos, 1 deles é 
desperdiçado; 
– quando se tenta retirar 1 copo, e exatamente 3 saem juntos, 2 deles são 
desperdiçados; 
– quando se tenta retirar 1 copo, nunca saem 4 ou mais de 4 juntos; 
– foram retirados todos os copos desse suporte, havendo desperdício de 35% 
deles. 
– a razão entre o número de vezes em que foram retirados exatamente 2 copos 
juntos e o número de vezes em que foram retir ados exatamente 3 juntos foi de 
3
2
. 
O número de vezes em que apenas 1 copo foi retirado do suporte é igual a: 
a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 
 
27(Ufba 2010) Um quadrado mágico é uma matriz quadrada de ordem maior ou 
igual a 3, cujas somas dos termos de cada linha, de cada coluna, da diagonal 
principal e da diagonal secundária têm o mesmo valor, que é chamado de 
constante mágica. 
Estabeleça um sistema de equações que permita determinar os valores de x, y e z 
que tornam a matriz 
2x 3 z 9 x 2y 1
A x y 2 y 8 x 8
4z 5 y z 1 x z 4
     
 
       
        
um quadrado mágico ecalcule 
esses valores. 
 
28(Unicamp 2010) Uma confeitaria produz dois t ipos de bolos de festa. Cada 
quilograma do bolo do tipo A consom e 0,4 kg de açúcar e 0,2 kg de farinha. Por 
sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 kg de açúcar e 0,3 kg de farinha para cada 
quilograma produzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe de 10 kg 
de açúcar e 6 kg de farinha, responda às questões a se guir. 
a) Será que é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo 
B? Justifique sua resposta. 
b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser 
produzidos se a confeitaria pretende gastar toda a farinha e todo o açú car de que 
dispõe? 
 
7 
 
29) Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens, 
quando tiveres a idade que eu tenho a soma das nossas idades será 45 anos. 
Quantos anos tu tens? 
30) Encontre o valor de a para que o sistema 
seja possível. Para o valor encontrado de a ache a solução geral do sistema, isto 
é, ache expressões que representem todas as soluções do sistema. Explicite duas 
dessas soluções. 
 
31) Resolva e interprete, geometricamente, o sistema matricial abaixo, em 
função de  e  . 
 
 
32) Determine  para que seja impossível o sistema: 
 
 
GABARITO 
1.a) SPD (-11, -6 , -3) b) SPI (-12-13 , -11-11 ,  , 5+5) 
c) Impossíve l d) SPD(1, -1,2) 
2 .a) m = 3 e n = 11/2 b) m = 3 e n ≠ 11/2 
3 .a) amendo im = 250g , cast anha de ca ju = 125g e cast anha -do-pará = 125g 
b) 2h40min 
4)  ≠ -2/3 e  ≠ -3/2 5) 
6
7
a ou 
6
11
a
 
6) João R$ 42.000,00 e Pedro R$ 30.000,00 
7)A 8)C 9)B 10)A 
11)26 e 9 
12)C 13)A 
14.a) 
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 100
5𝑥 + 3𝑦 +
𝑧
3
= 100
 , onde x, y e z representam, respect ivamente, as quant idades de ga los, 
ga linhas e frangos. 
b) 𝑆 = 
4𝛼−300
3
,
600−7𝛼
3
,𝛼 ,𝛼 ∈ 𝑁 c) (12, 4 , 84) ou (8, 11, 81) ou (4, 18, 78) 
15)A 16)C 17)C 18)E 19)D 20) 21)A 
22)453 kcal 23)B 
24) 325 km com a motocic let a e 225 km com o carro . 
25) (𝛼, 2𝛼, 2𝛼)/𝛼 ∈ 𝑅 ; 𝑥 = 1,𝑦 = 2, 𝑧 = 2 26) C 
27) 
   

   

   
   
x 2y z 5
x y 4z 8
 
3x y z 3
x y 4z 4
 
Reso lvendo o sist ema por esca lonamento, t em-se x = – 2 , y = 2, z = – 1. 
28.a) Não será possíve l, po is fa lt ará far inha. 
b) 22,5kgdo t ipo A e 5kg do t ipo B. 
12) 15 anos 
13) a = 2 S = {[(7-5z)/5, (5z+4)/5, z)]} (z IR) 
14) SPD:  ≠ -22, SPI :  = -22 e  = 36 e SI :  = -22 e  ≠ 36 15)  = - 4 . 
2 3
2 3
7 4 3 13
x y z a
x y z
x y z
  

  
   




































8
4
86
765
321
z
y
x








2)14(4
253
432
2  zyx
zyx
zyx