Matematica 2

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AlfaCon Concursos Públicos
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins comerciais ou 
não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
ÍNDICE
Análise Combinatória ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2
2
AlfaCon Concursos Públicos
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins comerciais ou 
não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
Análise Combinatória
Disciplina que tem como objetivo descobrir o número 
(total) de maneiras possíveis de se realizar determinado 
“evento”, sem que seja necessário descrever todas essas maneiras.
 » Exemplo:
Quais todos os resultados possíveis para o lançamento de 
um dado 2 vezes seguidas.
Resolução:
(1o lançamento, 2o lançamento)
(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), 
(2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), 
(4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), 
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6).
Logo temos 36 possibilidades.
Obs.:
O dado lançado 4 vezes formaria 1296 quadras.
Para resolver as questões de analise combinatórias 
usaremos algumas técnicas que veremos a partir de agora.
Fatorial (!)
Considerando um numero “n” natural maior que 1, 
podemos definir como fatorial desse número, o numero n!, 
tal que:
n! = n . (n – 1) . (n – 2) . (n – 3) . ... . 3 . 2 . 1
Logo, fatorial de um número nada mais é do que a multi-
plicação desse número por seus antecessores, em ordem, ate o 
número 1.
Obs.:
0! = 1
1! = 1
 » Exemplo:
a) 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
b) 5! = 5 . 4! = 5 . 24 = 120
c) 5! . 3! = 5 . 4 . 3! . 3! = 20 . (3!)2 (Obs.: (3!)2 ≠ 9!)
d) 7!/5! = 7 . 6 . 5!/5! = 7 . 6 = 42
e) (5 – 3)! = 2! = 2 . 1 = 2
Principio Fundamental da Contagem (PFC)
Estrutura básica da análise combinatória, usada sempre 
que os elementos envolvidos nos cálculos puderem ser repeti-
dos ou que a ordem faça diferença no resultado.
 ˃ Princípio multiplicativo: associado ao uso do conec-
tivo “e”.
Todas as vezes que os elementos do cálculo forem ligados 
pelo conectivo “e” faremos uma multiplicação desses elementos.
 ˃ Princípio aditivo: associado ao uso do conectivo 
“ou”.
Todas as vezes que os elementos do cálculo forem ligados 
pelo conectivo “ou” faremos uma adição desses elementos.
 » Exemplo:
a) quantas placas de veículos existem (são possíveis) no 
estado do Paraná?
(Espaço para resolução)
EXERCÍCIOS
01. O número de centenas ímpares e maiores do que trezen-
tos, com algarismos distintos, formadas pelos algarismos 
1, 2, 3, 4 e 6, é igual a:
a) 15.
b) 9.
c) 18.
d) 6.
e) 12.
02. Dos aprovados em um concurso público, os seis pri-
meiros foram Ana, Bianca, Carlos, Danilo, Emerson e 
Fabiano. Esses seis aprovados serão alocados nas salas 
numeradas de 1 a 6, sendo um em cada sala e obede-
cendo a determinação de que na sala 1 será alocado um 
homem. Então, o número de possibilidades distintas de 
alocação desses seis aprovados é igual a:
a) 720.
b) 480.
c) 610.
d) 360.
e) 540.
GABARITO
01 - A
02 - B
Anotações:
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Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins comerciais ou 
não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
ÍNDICE
Analise Combinatória ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2
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Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins comerciais ou 
não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
Analise Combinatória
Arranjo e Combinação
Duas técnicas usadas para resolução de problemas de 
analise combinatória, sendo importante saber quando usa cada 
uma delas.
Essas técnicas são usadas para resolver questões em que os 
elementos dos grupos formados não podem ser repetidos.
A diferença entre quando usar os Arranjos ou as Combina-
ções está na ordem dos elementos no grupo.
Caso a ordem dos elementos no grupo faça diferença no re-
sultado, resolveremos a questão por Arranjo, caso a ordem não 
faca diferença, resolveremos então por Combinação.
 → Arranjo
A fórmula de arranjo é a seguinte:
Cujo:
n é o número total de elementos do conjunto; e
p é o número de elementos utilizados.
Obs.:
As questões de ARRANJO podem ser feitas também por 
P.F.C.
 → Combinação
A fórmula de combinação é a seguinte:
Cujo:
n é o número total de elementos do conjunto; e
p é o número de elementos utilizados.
Obs.:
Os arranjos e as combinações são iguais apenas quando 
p = 0 ou p = 1.
 » Exemplo:
Num grupo de 10 pessoas, todos capacitados para exercer 
qualquer função, deseja-se escolher um presidente, um vice e 
um diretor; de quantas maneiras é possível fazer essa escolha?
(espaço para resolução)
 » Exemplo:
De um grupo de 15 alunos deseja-se escolher 3 para repre-
sentá-los numa reunião com a diretoria; de quantas maneiras 
pode-se fazer essa escolha?
(espaço para resolução)
 → Permutação
Trata-se de um caso especial de ARRANJO, cujo “p” é 
igual a “n”.
A fórmula de permutação é a seguinte:
Cujo:
n é o número total de elementos do conjunto.
 » Exemplo:
Quantos anagramas têm a palavra DANIEL.
Obs.:
ANAGRAMA: todas as palavras formadas com todas as 
letras de uma palavra, que podem ter ou não significado na 
linguagem comum.
(espaço para resolução)
EXERCÍCIOS
01. De um grupo com 5 homens e 4 mulheres, deseja-se 
formar uma comissão com exatamente 3 pessoas. A 
exigência é que nessa comissão precisa ter pelo menos 2 
mulheres. Então, o número de possibilidades de formar 
essa comissão é igual a:
a) 20
b) 42
c) 24
d) 34
e) 48
Considerando que, em um planejamento de ações de au-
ditoria, a direção de um órgão de controle tenha mapeado a 
existência de 30 programas de governo passíveis de análise, 
e sabendo que esse órgão dispõe de 15 servidores para a 
montagem das equipes de análise e que cada equipe deverá 
ser composta por um coordenador,um relator e um técnico, 
julgue os próximos itens.
02. A quantidade de maneiras distintas de serem escolhi-
dos 3 dos referidos servidores para a montagem de uma 
equipe de análise é superior a 2.500.
Certo ( ) Errado ( )
03. A quantidade de maneiras distintas de se escolherem 3 
desses programas para serem acompanhados pelo órgão 
é inferior a 4.000.
Certo ( ) Errado ( )
GABARITO
01 - D
02 - C
03 - E
Anotações:
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Análise Combinatória ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2
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Análise Combinatória
Casos Especiais de Análise Combinatória
 → Permutação Com Elementos Repetidos
Se entre os “x” elementos de um conjunto, existem “y” 
elementos repetidos, “z” elementos repetidos e assim sucessiva-
mente, o número total de permutações que podemos formar é 
dado por:
Cujo:
x é o total de elementos do conjunto; e
y, z, w são as quantidades de elementos repetidos.
 » Exemplo:
Quantos anagramas têm a palavra LUSTOSA e 
BANANA?
(espaço para resolução)
 → Permutação Circular
Quando os elementos estiverem distribuídos “ao redor” ou 
“em volta” de algo, usaremos essa técnica.
Cujo:
n é o número total de elementos do conjunto.
Pc = permutação circular.
 » Exemplo:
De quantas maneiras distintas 5 pessoas podem sentar-se 
ao redor de uma mesa com 5 lugares.
(espaço para resolução)
 → Combinação com Repetição
Usada quando p > n ou quando a ordem dos elementos 
não fizer diferença no resultado, e a questão indicar ou deixar 
entendido que os elementos podem se repetir.
 = 
Onde:
n é o número total de elementos do conjunto;
p é o número de elementos utilizados.
Cr = combinação com repetição.
 » Exemplo:
De quantas maneiras, uma oficina pode pintar cinco auto-
móveis iguais, recebendo cada um, tinta de uma única cor, se a 
oficina dispõe apenas de três cores e não quer misturá-las?
(espaço para resolução)
 ˃ Resumindo a Análise Combinatória tem-se:
Obs.:
Permutação = Arranjo (com p = n)
EXERCÍCIOS
01. Um pintor expõe seus 8 quadros na parede de uma 
sala redonda, 2 a 2 igualmente espaçados. De quantas 
maneiras diferentes será possível dispor as obras?
a) 120.
b) 256.
c) 720.
d) 5.040.
e) 40.320.
02. Quantos são os anagramas da palavra ANANIAS?
a) 5040
b) 2160
c) 860
d) 540
e) 420
03. Uma floricultura vende orquídeas de 4 cores diferentes 
(vermelha, azul, amarela e branca). Aproveitando o Dia 
dos Namorados, a floricultura resolveu fazer uma oferta 
relâmpago: o cliente pode escolher 6 orquídeas e pagar 
apenas por 4 delas. De quantas maneiras diferentes um 
cliente pode aproveitar esta promoção?
a) 15.
b) 21.
c) 45.
d) 84.
GABARITO
01 - D
02 - E
03 - D
Anotações
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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
ÍNDICE
Probabilidade ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2
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AlfaCon Concursos Públicos
Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins comerciais ou 
não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
Probabilidade
Disciplina que tem como objetivo quantificar as chances 
de determinado evento ocorrer.
Obs.:
Chance de determinado acontecimento ocorrer ≠ total de 
maneiras possíveis de se realizar determinado evento.
Conceitos Importantes
 → Experimento aleatório: é um experimento que não tem 
como garantir seu resultado, mesmo que ele seja realizado 
varias vezes, nas mesmas condições.
 » Ex: retirar uma peça do dominó.
 → Espaço amostral: representado pela letra U ou pelo 
símbolo W, é o conjunto que reúne todos os resultados 
possíveis para um experimento aleatório.
 » Ex: as peças do dominó.
 → Evento: é o acontecimento do qual queremos descobrir 
qual a probabilidade dele ocorrer. Logo se trata de um 
subconjunto do espaço amostral. Representamos evento 
por qualquer letra do alfabeto.
Fórmula de Probabilidade
Ou
Os valores da probabilidade variam de 0 (0%) a 1 (100%).
Quando a probabilidade é de 0 (0%), diz-se que o evento é 
impossível.
Quando a probabilidade é de 1 (100%), diz-se que o evento 
é certo.
Qualquer outro valor entre 0 e 1, caracteriza-se como a 
probabilidade de um evento.
 » Exemplo:
a) qual a probabilidade de, ao retirar uma peça do dominó, 
essa ter o número 6?
(espaço para resolução)
Eventos Complementares
A probabilidade de um evento ocorrer somado a dele não 
ocorrer será sempre igual a 1. Representados pelas letras A e 
A, o evento A é a negação de A; é o subconjunto do espaço 
amostral em que não acontece o evento A.
Calcula-seda seguinte forma: P(A) + P(A) = 1
 » Exemplo:
Ao retirar uma carta do baralho qual a chance dela não ser 
uma letra?
(espaço para resolução)
EXERCÍCIOS
01. Para efetuar um determinado trabalho, 3 servidores do 
DNIT serão selecionados ao acaso de um grupo com 4 
homens e 2 mulheres. A probabilidade de serem selecio-
nados 2 homens e 1 mulher é igual a:
a) 55%
b) 40%
c) 60%
d) 45%
e) 50%
02. Uma instalação (obra de arte composta por diversos 
elementos em um ambiente), em um museu de arte 
moderna, brinca com a incerteza humana representa-
da por um jogo probabilístico: um computador mostra 
aleatoriamente 5 figuras e pede que a pessoa escolha 
mentalmente 2 delas. De modo aleatório, o computador 
“chuta” a possível escolha. A probabilidade de o compu-
tador acertar a escolha das duas figuras é de
a) 1/5.
b) 2/5.
c) 3/5.
d) 1/10.
e) 2/25.
03. Ordenando ao acaso todas as letras da palavra 
TRIBUNAL, o que inclui a própria palavra 
TRIBUNAL, teremos 40320 palavras (palavras com 
ou sem significado). Escolhendo ao acaso uma dessas 
palavras, a probabilidade de que ela comece e termine 
por vogal é igual a
a) 3/14,
b) 5/28.
c) 1/7.
d) 1/14
e) 3/28.
GABARITO
01 - C
02 - D
03 - E
Anotações:
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não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
ÍNDICE
Probabilidade ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������2
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Lei do Direito Autoral nº 9.610, de 19 de Fevereiro de 1998: Proíbe a reprodução total ou parcial desse material ou divulgação com fins comerciais ou 
não, em qualquer meio de comunicação, inclusive na Internet, sem autorização do AlfaCon Concursos Públicos.
Probabilidade
Casos Especiais de Probabilidade
Devemos estar atentos nesses casos aos princípios de 
contagem, tanto o principio multiplicativo (associado ao uso 
do conectivo E = multiplicação) quanto o principio aditivo (as-
sociado ao uso do conectivo OU = soma).
Probabilidade Condicional
É a probabilidade de ocorrer um evento, sabendo que já 
ocorreu outro evento relacionado a ele.
Obs.:
Em outras palavras, apenas ocorre uma redução do espaço 
amostral.
A formula para o cálculo dessa probabilidade é:
Ou
 » Exemplo:
Considere que há três formas de Ana ir para o trabalho: 
de carro, de ônibus e de bicicleta. Em 20% das vezes ela vai 
de carro, em 30% das vezes de ônibus e em 50% das vezes de 
bicicleta. Do total das idas de carro, Ana chega atrasada em 
15% delas, das idas de ônibus, chega atrasada em 10% delas e, 
quando vai de bicicleta, chega atrasada em 8% delas. Sabendo-
se que um determinado dia Ana chegou atrasada ao trabalho, a 
probabilidade de ter ido de carro é igual a:
a) 20%.
b) 40%.
c) 60%.
d) 50%.
e) 30%.
(espaço para resolução)
Probabilidade da União de Dois Eventos
Sempre que nas questões aparecer a partícula OU para o 
calculo de 2 probabilidades trata-se de uma questão do tipo 
união de dois eventos.
A formula para o cálculo dessa probabilidade é:
 » Exemplo:
Sorteando-se um número de uma lista de 1 a 100, qual a 
probabilidade de o número ser divisível por 3 ou por 8?
a) 41%
b) 44%
c) 42%
d) 45%
e) 43%
(espaço para resolução)
Probabilidade Binomial
Caso especial de probabilidade, quando o evento acontece 
repetidas vezes, no qual temos que ter bastante cuidado na 
hora de resolver uma questão desse tipo.
A formula para o cálculo dessa probabilidade é:
Cujo:
C = combinação
n = número de repetições do evento
s = números de “sucessos” desejados
f = número de “fracassos”
 » Exemplo:
A prova objetiva de um concurso público é formada 
de itens para julgamento. O candidato deverá julgar cada 
um deles e marcar na folha de respostas, para cada item, o 
campo indicado com a letra C se julgar que o item é CERTO, 
ou o campo indicado com a letra E, se julgar que o item é 
ERRADO. Nenhum item poderá ficar sem marcação nem 
poderá haver dupla marcação, C e E. Em cada item, o candi-
dato receberá pontuação positiva se acertar a resposta, isto é, 
se sua marcação, C ou E, coincidir com o gabarito divulgado 
pela organização do concurso. Nos cinco itens que avaliavam 
conhecimentos de matemática, um candidato fez suas mar-
cações de forma aleatória. Nesse caso, a probabilidade de esse 
candidato.
1. Acertar exatamente três desses itens de matemática é
inferior a 1/3.
(espaço para resolução)
Anotações:
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