PROPRIEDADES DA ESPERANÇA E DA VARIÂNCIA

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DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADEDISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
PROPRIEDADES DA ESPERANÇA E DAPROPRIEDADES DA ESPERANÇA E DA
VARIÂNCIAVARIÂNCIA
Autor: LUCIANA DE CASTRO LUGLI E ROBERTA MENDIONDO
Revisor : ANTONIO GOMES DE MATTOS NETO
I N I C I A R
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introdução
Introdução
Nesta unidade, você estudará a esperança e variância de variáveis aleatórias. A média (ou valor
esperado, ou ainda a “esperança” matemática) de uma variável aleatória X, denotada por E(X) é
uma medida que dá ideia de qual valor de X seria o esperado, caso o experimento ao qual a
variável está associada fosse repetido inúmeras vezes. Para uma variável aleatória discreta, o
valor esperado E(X) é a média ponderada de todos os possíveis valores de X com pesos iguais às
respectivas probabilidades desses valores. Para variáveis aleatórias contínuas, o valor esperado
é calculado por um processo de integração, já que denota uma área sob uma curva (função).
A variância de uma variável aleatória X é uma medida de sua dispersão estatística e corresponde
ao valor esperado do quadrado de quanto ela se afasta de seu valor esperado.
Você estudará, também, as propriedades e formas de cálculo dessas medidas.
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O conceito de variável aleatória nos permite associar resultados de um experimento aleatório a
números reais para que, juntamente com o conceito de função, possamos calcular mais
facilmente as probabilidades de um evento. As variáveis aleatórias podem ser discretas ou
contínuas, conforme os seus possíveis valores formem: um conjunto enumerável de valores ou
intervalos contínuos da reta real (ARA; MUSETTI; SCHNEIDERMAN, 2003).
Exemplos:
a) Variável discreta: lançamento de um dado → podemos obter CARA ou COROA
X = número de caras num lançamento  o valor de P(x) pode ser:
Tabela 2.1 - Resultados e suas probabilidades 
Fonte: Elaborada pela autora.
b) Variável contínua: o estudo de uma variável pode ser de�nido pela função F(x) = para 
.
Esperança e Variância para VariáveisEsperança e Variância para Variáveis
Aleatórias Discretas e ContínuasAleatórias Discretas e Contínuas
4.x3
0  ≤  x  ≤  1
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Calcule 
De�niremos, a seguir, alguns valores que chamaremos Parâmetros de Posição. Esses valores
nos auxiliam na identi�cação a distribuição de probabilidades que queremos estudar.
Média ou Esperança Matemática ou Valor Esperado
A média de uma variável aleatória é o principal parâmetro de posição.
A média (ou valor esperado, ou ainda a “esperança” matemática) de uma variável aleatória X,
denotada por E(X), é uma medida que dá ideia de qual valor de X seria o esperado, caso o
experimento ao qual a variável está associada fosse repetido inúmeras vezes.
Se a variável aleatória for discreta, o valor esperado E(X) é a média ponderada de todos os
possíveis valores de X com pesos iguais às respectivas probabilidades desses valores.
Símbolo: Ա ou E(x) e é de�nida por:
 → para valores discretos.
Se a variável aleatória for contínua o valor esperado é calculado pela seguinte integral:
 → para valores contínuos
A média é, em geral, usada para a caracterização do centro da distribuição que pretendemos
trabalhar. Ela indica, também, o valor para a qual deve tender a média aritmética de valores da
variável aleatória obtidos ao longo de nossa pesquisa (COSTA NETO; CYMBALISTA, 2005).
A média tem algumas propriedades:
(a) Propriedade 1:  a média de uma constante é igual à própria constante       →     E(x) = k ,  onde
k = constante.
(b) Propriedade 2:   multiplicando-se todos os valores de uma variável aleatória por uma
constante, a média �ca multiplicada por essa constante:  E(k.x) = k.E(x).
(c) Propriedade 3:  a média da soma ou da diferença de variáveis aleatórias é igual à soma ou à
diferença das médias dessas variáveis: E(X ± Y) = E(X) ±E(Y).
(d) Propriedade 4:   somando ou subtraindo um valor constante de todos os valores de nossa
variável aleatória, a média �cará acrescida ou diminuída dessa constante. E(X ± k) = E(x) ± k
P (0  ≤ x  ≤  0,5)P (0  ≤ x  ≤  1)   =   f (x)dx  =   4.x dx  =  X4 |0,50  =   (0,54  −  04)   =  0,0625∫ 0,50 ∫
0,5
0
3
E(x)   =  u  =  Σxi.P (xi)
E (x)   =  u  =    x. f (x) .dx∫ +∞−∞
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(d) Propriedade 5:  a média do produto de duas variáveis aleatórias independentes é igual ao
produto das médias dessas variáveis: E(X.Y) = E(X).E(Y).
Exemplo resolvido para variável discreta: o gerente de vendas da empresa WTZ quis avaliar
os seus funcionários com relação ao desempenho, a �m de efetivar a contratação. Para isso, fez
um levantamento do número de vendas realizadas durante 15 dias de experiência, e irá efetivar
o funcionário se o número de vendas por dia for maior do que três (3). O resultado dessas
vendas está representado na tabela a seguir:
Tabela 2.2 - Distribuição de frequências 
Fonte: Elaborada pela autora.
Determine a média de vendas neste período de 15 dias.
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Tabela 2.3 - Desenvolvimento do problema 
Fonte: Elaborada pela autora.
E(x) = 𝝻 = 0*0,133 + 2*0,2 + 4*0,2667 + 5*0,4 = 0 + 0,4 + 1,0668 + 2 = 3,4668. Como a média foi
3,4668, esse funcionário será efetivado.
Exemplo resolvido para variável contínua: seja X uma variável aleatória cuja função é dada por:
 determine o valor esperado entre 0 < x < 1
Resolução:
 Portanto, o valor esperado de F(X) entre 0 e 1 é de .
praticar
Vamos Praticar
Um armarinho na região da 25 de março, está funcionando no mesmo lugar há 10 anos. Em um
determinado setor dessa loja, o número de produtos vendidos em um dia por seus funcionários é
F (x) = f (x) = { 2x,   para 0 ≤ x ≤ 1
0,   x > 1
E(x) =  x ⋅ f (x)  dx  =  x ⋅ 2x  dx =  2   dx = 2     dx = 2 ⋅ = 2 ⋅ [( − 0) − ( − 0)]  ∫ 10 ∫
1
0 ∫
1
0 x
2 ∫ 10 x
2 [ ]x33
1
0
13
3
03
3
= 2 ⋅ =13
2
3
2
3
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descrito na variável P com a seguinte distribuição de probabilidades (esse estudo foi realizado nos
últimos 5 anos de venda dessa loja), conforme Tabela 2.4 a seguir:
Tabela 2.4 - Distribuição de probabilidades de vendas de produtos por dia 
Fonte: Elaborada pela autora
Cada vendedor recebe comissões de venda, distribuídas da seguinte forma: se ele vende até 3
produtos em um dia, ganha uma comissão de R$ 12,00 por produto vendido. A partir da terceira
venda, a comissão passa para R$ 60,00. Nesse sentido, qual é o número médio de produtos
vendidos por cada vendedor E(P), e qual a comissão média de cada um deles E(C)?
a) E(P) = 3,1 produtos  e E(C) = R$ 99,60.
b) E(P) = 3,1 e E(C) = R$ 93,60
c) E(P) = 3,1 e E(C) = 468.
d) E(P) = 2,5 e E(C) = 99,60
e) E(P) = 15 e E(C) = 99,60.
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Esses parâmetros são usados para determinar o grau de variabilidade dos dados em torno da
região central. Trabalharemos com os seguintes parâmetros: variância, desvio-padrão,
coe�ciente de variação e amplitude.
Variância
A variância é simbolizada por ou somente 𝜎² e de�nida por:
 para variáveis discretas.
para variáveis contínuas.
Parâmetrosde DispersãoParâmetros de Dispersão
σ (X)2
σ (x)   =  E (x )   =  E [(X −  u) ]   =  Σx .P (xi)2 2 2 2
E(x )   = x . f (x)  dx2 ∫ ∞−∞
2
- A variância de uma constante é nula  𝞂²(K) = 0  onde K = constante 
- Se multiplicarmos todos os valores de uma variável aleatória por uma constante, sua variância �ca multiplicada
pelo quadrado de sua constante: 
𝞼²(k.X) = k².σ²(X)
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Desvio-padrão
É a raiz quadrada da variância. Usamos o seguinte símbolo para desvio-padrão: σ(x) ou
simplesmente σ.  
Desvio Padrão 
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σ  = σ2−−√
eflitae�ita
que serve o desvio-padrão, se já conhecemos o valor esperado (média) de um conjunto de dados?
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Coe�iciente de Variação
É a relação entre desvio-padrão e a média   C.V. = 
O coe�ciente de variação é usado quando desejamos ter uma ideia da dispersão relativa dos
dados que estamos estudando. O coe�ciente de variação  mostra a extensão da variabilidade
em relação à média, em termos proporcionais, o que permite que se possa estabelecer
comparações entre conjuntos de dados, já que é uma medida que indica percentuais de
dispersão.
Amplitude
É dada pela diferença entre o maior e o menor valor da variável que estamos estudando. Em
geral, seu símbolo é dado por A.
Exercícios Resolvidos:
1) Ao lançarmos dois dados, determine a função probabilidade da soma dos pontos obtidos.
Determine a média, a variância e o desvio-padrão dessa distribuição.
σ
m diaé
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Tabela 2.6 - Resultado e suas probabilidades de ocorrência (exercício 1) 
Fonte: Elaborada pela autora.
Valor esperado: 
Variância: 
Desvio-padrão = 
A) Calcule a média, variância e desvio-padrão da variável aleatória discreta, de�nida pela função
probabilidade dada, conforme tabela a seguir:
x = quantidade de livros vendidos
E(x)   = Σxi.P (xi) =  1.   +  2. +  3. +  4. +  5. + 6.   =  3,516
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
E(x )   = Σx .P (x) =  1 .   +  2 . +  3 . +  4 . +  5 . + 6 .   =  1.   +  4. +  9. +  16. +  25. + 36. =2 2 2 16
2 1
6
2 1
6
2 1
6
2 1
6
2 1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
  (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) . =  16
91
6
= =  3,894916
−−
√ 15,1666− −−−−−−√
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Tabela 2.7 - Distribuição de probabilidades de x 
Fonte: Elaborada pela autora.
O desenvolvimento do problema consta da tabela a seguir:
x P(x)
30 0,15
35 0,30
38 0,25
40 0,15
43 0,05
45 0,10
Total 1
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Tabela 2.8 - Desenvolvimento 
Fonte: Elaborada pela autora.
O valor esperado será E(x) = = 4,5 + 10,5 + 9,5 + 6 + 2,15 + 4,5 = 37,15
A variância será 𝜎²(x) = 1398,45 - (37,15)² = 1398,45 - 1380,1225 = 18,3275
O desvio-padrão será σ = = 4,28106
B) Um jogo consiste em se lançar uma moeda. Se sair cara, ganha-se R$ 10,00 e se sair coroa,
perdem-se R$ 5,00. Qual o lucro médio e qual a sua variância?
ARA, A. B.; MUSETTI, A. V.; SCHNEIDERMAN, B. Introdução à estatística. São Paulo: Edgard
Blucher; Instituto Mauá de Tecnologia, 2003.
Tabela 2.9 - Dados do experimento e cálculos 
Fonte: Elaborada pela autora.
x P(x) x.P(x) x².P(x) P(x).100%
30 0,15 30*0,15=4,5 30².0,15 = 135 15
35 0,30 35*0,30=10,5 35².0,30 = 367,5 30
38 0,25 38*0,25=9,5 38².0,25 = 361 25
40 0,15 40*0,15=6 40².0,15=240 15
43 0,05 43*0,05=2,15 43².0,05=92,45 5
45 0,10 45*0,10=4,5 45².0,10=202,5 10
total 1 37,15 1.398,45 100
Σx.P (x)
18,3275− −−−−−−√
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Valor esperado = média = xi.P(xi) = 10. + (-5). = 5 - 2,5 = 2,5
Logo, o ganho médio do jogo é R$ 2,50.
A variância pode ser calculada da seguinte forma:
praticar
Vamos Praticar
As peças fabricadas pela empresa OPT seguem uma distribuição de probabilidade de seus defeitos,
conforme tabela descrita a seguir. Calcule a média e o desvio-padrão da variável aleatória discreta,
de�nida pela função descrita na tabela a seguir.
COSTA NETO, P. L. de O.; CYMBALISTA, M. Probabilidades: resumos teóricos, exercícios
resolvidos, exercícios propostos. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2005.
Σ 12
1
2
V ar  (x)   =  Σxi .P (xi)   −  μ =  100.0,5  +  25.0,5  −   (2,5)   =  50  +  12,5  −  6,25  =   62,5  −  6,25  =  56,252 2 2
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Distribuição de probabilidades de x 
Fonte: Elaborada pela autora.
a) Média = 255,55 e desvio-padrão = 13,7475
b) Média = 255,55 e desvio-padrão = 3,708.
c) Média = 65319,55 e desvio-padrão = 255,55.
d) Média = 1 e desvio-padrão = 3,708.
e) Média = 65319,55 e desvio-padrão = 3,708.
praticar
Vamos Praticar
Calcule a esperança da variável aleatória X, que tem a função densidade de probabilidade dada por:
x P(x)
250 0,10
253 0,35
256 0,30
259 0,15
262 0,05
265 0,05
Total 1
F (x) =
⎧
⎩
⎨
⎪
⎪
2x,       para 0 ≤ x ≤ 0,5
− x + ,        para 0,5 ≤ x ≤ 223
4
3
                    0,    para qualquer outro valor 
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a) .
b) .
c) .
d) 
e) 0.
Funções de Variáveis Aleatórias
Se X e Y são variáveis aleatórias de�nidas em um espaço amostral, podemos obter uma função 
 que pertença ao espaço amostral em que:
● (X + Y)( ) = X( + Y(
● (X - Y)( ) = X( ) - Y( )
Da mesma forma que a soma de variáveis aleatórias gera uma nova variável, as operações
elementares de produto e quociente também produzem novas  variáveis aleatórias, que podem
ser de�nidas da seguinte forma (DANTAS, 2004):
● (X,Y) ( = X( ).Y( )
● ( )( ) =   o denominador deve ser diferente de zero
Para cada par de valores de X e de Y podemos determinar o menor e o maior valor entre eles.
Esse processo será denotado por min{X,Y} e max{X,Y}, e também geram   variáveis aleatórias
de�nidas no espaço amostral . Essas variáveis são de�nidas essencialmente da seguinte
forma:
● min (X,Y)( ) = min {X( ), Y( )}
● max(X,Y)( ) = max {X( ),Y( )}
As de�nições de soma, produto, min. e máx. se estendem para um número �nito de variáveis
aleatórias.
1
12
63
36
1
4
.3036
ω Ω
ω ω) ω)
ω ω ω
ω) ω ω
X
Y ω
X(ω)
Y (ω)
Ω
ω ω ω
ω ω ω
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Aplicações de Funções de Variáveis Aleatórias
Neste tópico, você acompanhará a resolução de exercícios de aplicação sobre funções de
variáveis aleatórias.
Exercício  1: em uma vila com 5 residências, considere o consumo mensal de energia elétrica.
Denominaremos esses consumos elétricos X1, X2, X3, X4, X5 (que são nossas variáveis
aleatórias). Então, o consumo total dessas 5 residências, o menor e o maior consumo também
são variáveis aleatórias. Se num dado mês o consumo dessas 5 casas foram 120, 176, 149, 263 e
190 quilowatts-hora, então, para esse mês temos que:
consumo total das 5 casas será: 120 + 176 + 149 + 263 + 190 = 890
min{X1, X2, X3, X4, X5} = 120
max{X1, X2, X3, X4, X5} = 263
Exercício  2: seja a variável aleatória X, de�nida como “o ponto de um dado”, e a função y = x² -1
(COSTA NETO; CYMBALISTA, 2005).
Nesse caso, essa função encarada como função da variável aleatória X, leva a uma outra variável
aleatória Y, cujos possíveis valores deX são:
Tabela 2.10 - Desenvolvimento do problema 
Fonte: Elaborada pela autora.
No exemplo anterior, conhecida a distribuição de probabilidade de X e a função ligando os
valores de Y aos valores de X, não foi difícil descobrir a distribuição de probabilidade de Y. Em
geral, o problema que nos interessa é este: descobrir a distribuição de probabilidade de Y.
Se a variável original for contínua e a função discreta, em geral, o problema torna-se simples.
X 1 2 3 4 5 6
Y 1² - 1 = 0
2² - 1 = 4-
1 = 3
3² - 1 = 9-
1 = 8
4² - 1 = 16
- 1 = 15
5² - 1 = 25
- 1 = 24
6² - 1 = 36
- 1 = 35
Prob 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
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Exercício 3: considere o jogo da roleta. Há 37 números inteiros para jogarmos de 0 a 36, sendo
18 da cor vermelha e 18 da cor preta e branco para o 0 (zero). Há várias opções de apostas,
dentre as quais podemos destacar duas:
pode-se apostar em preto ou vermelho e, em caso de acerto, para cada real apostado
recebe-se um outro real;
pode-se apostar na primeira dúzia, isto é, no conjunto dos números de 1 a 12; caso
ocorra um desses números, recebe-se R$ 2,00 para cada real apostado.
Suponha que um   jogador aposta R$ 10,00 na primeira dúzia. Determine a distribuição de
probabilidade e a esperança de ganho (DANTAS, 2004).
Podemos chamar de X a variável aleatória que é igual ao número observado quando se gira a
roleta. Designemos por Y o seu ganho nessa rodada da roleta.
Pela de�nição, teremos, para Y:
Se 1   X   12 então  Y = 20
Se 13  X  36 ou se X = 0 então Y = -10
Vamos considerar uma roleta honesta (então, todos os valores são equiprováveis), e para isso,
teremos a seguinte distribuição de probabilidade de Y:
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Tabela 2.11 - Distribuição de probabilidades de ocorrência de Y 
Fonte: Elaborada pela autora.
A esperança de Y será calculada da seguinte forma:
E(Y) = 20.( .) - 10.( ) = - = -
Considerando, agora, a variável aleatória Y(X) de�nida no espaço amostral ,
cada um desses pontos tem probabilidade 1/37.
Y(X( ) = 20 para = 1,2,3,....12 e Y(X( )) = 0 para = 0, 13, 14, …. 36
Calculando-se a esperança dessa variável aleatória Y(X) = de�nida nesse espaço amostral,
temos:
E[Y(X)] = Y(X( )).P( ) = 20.( ) - 10.( ) = (240/37) - (250/37) =  
praticar
Vamos Praticar
Considere a v.a. X cuja fdp é dada na tabela a seguir:
valor de Y Probabilidade
20 12/37
-10 25/37
12
37
25
37
240
37
250
37
10
37
Ω  =   {0,1,2, . . . . ,  36}
ω ω ω ω
∑ 36ω = 0 ω ω
12
37
25
37
−10
37
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Distribuição de probabilidades de ocorrência de x 
Fonte: Elaborada pela autora.
Consideremos a função Y = g(X) = X². Calcule a nova função distribuição de probabilidade com
essa nova função.
a) A função distribuição de probabilidade de Y será:
b) A função distribuição de probabilidade de Y será:
c) A função distribuição de probabilidade de Y será:
d) A função distribuição de probabilidade de Y será:
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e) A função distribuição de probabilidade de Y será:
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indicações
Material Complementar
LIVRO
Probabilidades: resumos teóricos, exercícios
resolvidos, exercícios propostos
Pedro Luiz de Oliveira Costa Neto e Melvin Cymbalista
Editora: Edgard Blucher
ISBN: 85-212-0383-7
Comentário: nesse livro, há muitos exercícios resolvidos e propostos
com respostas, para facilitar o aprendizado da disciplina.
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LIVRO
Introdução à Estatística
Amilton Braio Ara, Ana Villares Musetti e Boris Schneiderman
Editora: Edgard Blucher
ISBN: 85-212-0320-8
Comentário: livro com explicações simples e de fácil entendimento,
com  muitos exercícios resolvidos e exercícios propostos.
FILME
Por que as companhias aéreas vendem passagens
excedentes?
 Comentário: no �lme é apresentado, o caso das companhias aéreas
que, se venderem pouco, desperdiçam assentos e, se venderem
demais, são penalizadas. A probabilidade de cada cenário é dada
pelo que chamamos distribuição binomial, que tem seu pico no
resultado mais provável, conforme pode ser observado no �lme
(grá�cos de distribuições). Uma aplicação de distribuições de
probabilidade, nesse caso, discreta, para tomada de decisão quanto
ao chamado overbooking.
T R A I L E R
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conclusão
Conclusão
Nesta unidade, veri�camos as características das variáveis aleatórias, bem como o conceito de
valor esperado e as medidas de dispersão: amplitude, variância e desvio-padrão (para variáveis
aleatórias discretas e contínuas). E conceitos para funções das variáveis aleatórias.
O conceito de valor esperado nos ajuda a estudar o comportamento da variável que
necessitamos entender e serve como parâmetro para diversos modelos de distribuição, como
Poisson, Normal e outros. O valor esperado é a medida mais popular e representa o ponto de
equilíbrio da distribuição de seus valores. Porém, é uma informação que pode provocar
distorções em nossas análises se não trabalharmos com os outros pontos, moda e mediana e as
medidas de dispersão (desvio padrão, variância e amplitude), para podermos analisar o real
comportamento das variáveis aleatórias.
referências
Referências Bibliográ�cas
ARA, A. B.; MUSETTI, A. V.; SCHNEIDERMAN, B. Introdução à Estatística. São Paulo: Edgard
Blucher: Instituto Mauá de Tecnologia, 2003.
COSTA NETO, P. L. de O.; CYMBALISTA, M. Probabilidades: resumos teóricos, exercícios
resolvidos, exercícios propostos. 2. ed. São Paulo: Edgard Blucher, 2005.
DANTAS, C. A. Probabilidade: um curso introdutório. São Paulo: EDUSP, 2004.
FARIAS, A. M. L. de; LAURENCEL, L. da C. Variáveis aleatórias discretas. Rio de Janeiro: Centro
de Estudos Gerais; Departamento de Estatística, 2008. Disponível em:
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http://www.professores.u�.br/malbi/wp-content/uploads/sites/50/2017/08/VADiscretas.pdf.
Acesso em: 5 jan. 2020.
http://www.professores.uff.br/malbi/wp-content/uploads/sites/50/2017/08/VADiscretas.pdf