Edicoes ASA - 10 Ano 2021-22 - 2 Teste

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Teste N.º 2 de Matemática A_10.º Ano Expoente10 | Daniela Raposo e Luzia Gomes 
 
 
Teste de Matemática A 
2021 / 2022 
 
Teste N.º 2 
Matemática A 
Duração do Teste: 90 minutos 
10.º Ano de Escolaridade 
Nome do aluno: __________________________________________ N.º: ___ Turma: ___ 
 
 
 
 
 
Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta azul ou preta. 
Não é permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que não seja classificado. 
É permitido o uso de calculadora. 
Apresente apenas uma resposta para cada item. 
As cotações dos itens encontram-se no final do enunciado. 
 
 
 
 
Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva na folha de 
respostas o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. 
Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas 
as justificações necessárias. Quando para um resultado não é pedida a aproximação, 
apresente sempre o valor exato. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teste N.º 2 de Matemática A_10.º Ano Expoente10 | Daniela Raposo e Luzia Gomes 
 
1. Sem recurso à calculadora, determine a solução positiva da seguinte equação: (3 + √2)𝑥2 + (2 − √2)𝑥 − 1 = 0 
Apresente a resposta na forma 𝑎 + √𝑏, com 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ. 
 
 
2. Considere a figura constituída por paralelogramos geometricamente iguais. 
Considere as seguintes afirmações: 
I. 𝐴 + 2𝐺𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑆 
II. 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑇𝑉⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
III. 𝑆 − 2𝐴𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝐷𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝐷 
Acerca destas afirmações, pode afirmar-se que: 
(A) são todas falsas. 
(B) apenas II e III são falsas. 
(C) apenas I e II são falsas. 
(D) apenas I e III são falsas.
 
 
3. Na figura estão representadas, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦, duas circunferências de centro de 
coordenadas (3, 0), uma que passa na origem e a outra que passa no ponto de coordenadas (2, 0), e a reta vertical tangente á circunferência de menor raio. 
 
 
 
Qual das condições seguintes define o domínio plano representado a sombreado? 
(A) [(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 ≤ 3 ∨ 𝑥 < 2 ∨ 𝑦 > 0] ∧ [1 ≤ (𝑥 − 3)2 + 𝑦2 ≤ 3 ∨ 𝑥 > 2 ∨ 𝑦 < 0] 
(B) [(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 ≤ 3 ∧ 𝑥 < 2 ∧ 𝑦 > 0] ∨ [1 ≤ (𝑥 − 3)2 + 𝑦2 ≤ 3 ∧ 𝑥 > 2 ∧ 𝑦 < 0] 
(C) [(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 ≤ 9 ∨ 𝑥 < 2 ∨ 𝑦 > 0] ∧ [1 ≤ (𝑥 − 3)2 + 𝑦2 ≤ 9 ∨ 𝑥 > 2 ∨ 𝑦 < 0] 
(D) [(𝑥 − 3)2 + 𝑦2 ≤ 9 ∧ 𝑥 < 2 ∧ 𝑦 > 0] ∨ [1 ≤ (𝑥 − 3)2 + 𝑦2 ≤ 9 ∧ 𝑥 > 2 ∧ 𝑦 < 0] 
 
Teste N.º 2 de Matemática A_10.º Ano Expoente10 | Daniela Raposo e Luzia Gomes 
 
4. Na figura está representado, num referencial ortogonal e monométrico 𝑂𝑥𝑦, um trapézio [𝐴𝐵𝐶𝐷], de bases [𝐴𝐵] e [𝐶𝐷]. 
Sabe-se que: 
 o ponto 𝐴 tem coordenadas (2,2); 
 o ponto 𝐵 tem coordenadas (6,4); 
 o ponto 𝐷 tem coordenadas (1, −2); 
 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ = 3√5. 
4.1. Determine as coordenadas do ponto 𝐶. 
 
4.2. Seja 𝑃 um ponto do segundo quadrante tal que 
a sua ordenada é igual ao quadrado da sua 
abcissa. Sabe-se que o ponto 𝑃 está à mesma distância de 𝐴 e de 𝐷. 
Determine as coordenadas de 𝑃. 
 
4.3. Seja 𝑟 a reta paralela a 𝐴𝐷 que passa no ponto 𝐵. Sejam 𝑄 e 𝑅 os pontos de interseção da 
reta 𝑟 com o eixo das abcissas e com o eixo das ordenadas, respetivamente. 
A área do triângulo [𝑂𝑄𝑅] é igual a: 
(A) 30 
(B) 40 
(C) 50 
(D) 60 
 
4.4. Seja 𝑆 um ponto de coordenadas (𝑘2 + 1, 2𝑘), com 𝑘 ∈ ℝ. Sabe-se que 𝐵 é o ponto médio 
do segmento de reta [𝐴𝑆]. 
Determine o valor de 𝑘. 
 
 
5. Considere, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, a região definida por: (𝑥 − 2)2 + 𝑦2 + (𝑧 − 3)2 ≤ 25 ∧ 𝑧 = 0 
Qual é a área dessa região? 
(A) 4π 
(B) 5π 
(C) 16π 
(D) 25π 
 
 
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6. Na figura está representada, num referencial o.n. 𝑂𝑥𝑦𝑧, a pirâmide quadrangular regular [𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸]. 
Sabe-se que: 
 a base da pirâmide está contida 
no plano 𝑥𝑂𝑧; 
 o vértice 𝐴 pertence ao semieixo 
positivo 𝑂𝑧 e o vértice 𝐵 pertence 
ao semieixo negativo 𝑂𝑥; 
 o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ tem coordenadas (−1, 0,−3); 
 o vértice 𝐷 tem coordenadas (−3, 0, 4); 
 o volume da pirâmide é 30. 
6.1. Qual das equações seguintes define uma equação vetorial da aresta [𝐷𝐶]? 
(A) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−3,0,4) + 𝑘(−1,0,−3), 𝑘 ∈ [−1,0] 
(B) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−3,0,4) + 𝑘(−1,0,−3), 𝑘 ∈ [0,1] 
(C) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−3,0,4) + 𝑘(−1,0,−3), 𝑘 ∈ {0,1} 
(D) (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−3,0,4) + 𝑘(−1,0,−3), 𝑘 ∈ {−1,0} 
 
6.2. Mostre que os pontos 𝐴 e 𝐵 têm coordenadas (0, 0, 3) e (−1, 0, 0), respetivamente. 
 
6.3. Determine as coordenadas do ponto 𝐸. 
 
6.4. Determine a equação reduzida da superfície esférica que passa nos quatro vértices da 
base da pirâmide. 
 
6.5. Determine uma equação do plano 𝐵𝐸𝐷. 
 Apresente essa equação na forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0. 
 
FIM 
 
COTAÇÕES 
 
 
Item 
Cotação (em pontos) 
1. 2. 3. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 5. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 
20 10 10 20 20 10 15 10 10 15 20 20 20 200 
 
 
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Teste N.º 2 – Proposta de resolução 
 
 
 
1. (3 + √2)𝑥2 + (2 − √2)𝑥 − 1 = 0 ⇔ 𝑥 = −(2−√2) ± √(2−√2)2−4×(3+√2)×(−1)2(3+√2) 
 ⇔ 𝑥 = −2+√2 ± √4−4√2+2+4(3+√2)6+2√2 
 ⇔ 𝑥 = −2+√2 ± √4−4√2+2+12+4√26+2√2 
 ⇔ 𝑥 = −2+√2 ± √186+2√2 
 ⇔ 𝑥 = −2+√2+3 √26+2√2 ∨ 𝑥 = −2+√2−3 √26+2√2 
 ⇔ 𝑥 = −2+4 √26+2√2 ∨ 𝑥 = −2−2 √26+2√2⏟ ∈IR− 
 Como 𝑥 ∈ IR+, então: 
 𝑥 = −2+4 √26+2√2 ⇔ 𝑥 = (−2+4 √2)(6−2√2)36−8 ⇔ 𝑥 = −12+4√2+24√2−1628 
 ⇔ 𝑥 = −28+28√228 
 ⇔ 𝑥 = −1+ √2 
 
2. Opção (C) 
 𝐴 + 2𝐺𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴 + 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑀, logo a proposição 𝐴 + 2𝐺𝑅⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑆 é falsa. 
 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑇𝑉⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗, logo a proposição 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑇𝑉⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ é falsa. 𝑆 − 2𝐴𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝐷𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝑆 + 2𝐾𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐼𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝑆 + 𝑆𝐼⃗⃗ ⃗ + 𝐼𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐼 + 𝐼𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐷, logo a proposição 𝑆 − 2𝐴𝐾⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝐷𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝐷 é 
verdadeira. 
 
3. Opção (D) 
Sabemos que a circunferência de maior raio é definida por (𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = 9. 
A circunferência de menor raio é definida por (𝑥 − 3)2 + 𝑦2 = 1. A reta vertical tangente à 
circunferência de menor raio é definida por 𝑥 = 2. 
A condição (𝑥 − 3)2 + 𝑦2 ≤ 9 ∧ 𝑥 < 2 ∧ 𝑦 > 0 define a interseção do círculo de centro no ponto 
de coordenadas (3,0) e raio 3 com o semiplano aberto à esquerda da reta vertical definida por 𝑥 = 2 e com o semiplano aberto superior à reta horizontal definida por 𝑦 = 0. 
A condição 1 ≤ (𝑥 − 3)2 + 𝑦2 ≤ 9 ∧ 𝑥 > 2 ∧ 𝑦 < 0 define a interseção da coroa circular de 
centro no ponto de coordenadas (3,0) e raio 3 da circunferência externa e raio 1 da 
circunferência interna com o semiplano aberto à direita da reta vertical definida por 𝑥 = 2 e com 
o semiplano aberto inferior à reta horizontal definida por 𝑦 = 0. 
 
 Teste N.º 2_ Matemática A_10.º Ano Expoente10 | Daniela Raposo e Luzia Gomes 
 
Assim, a condição pedida é: ((𝑥 − 3)2 + 𝑦2 ≤ 9 ∧ 𝑥 < 2 ∧ 𝑦 > 0) ∨ (1 ≤ (𝑥 − 3)2 + 𝑦2 ≤ 9 ∧ 𝑥 > 2 ∧ 𝑦 < 0) 
 
4. 
4.1. 𝐶 = 𝐷 + 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑘𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑘(4, 2), 𝑘 ∈ IR = (4𝑘, 2𝑘), 𝑘 ∈ IR 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (6, 4) −(2, 2) = (4, 2) 
 ‖𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = 3√5 ⇔ ‖𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗‖ = √45 ⇔ √16𝑘2 + 4𝑘2 = √45 
 ⇔ √20𝑘2 = √45 
 ⇔ √20 × |𝑘| = √45 
 ⇔ |𝑘| = √45√20 
 ⇔ |𝑘| = √4520 
 ⇔ |𝑘| = √94 
 ⇔ |𝑘| = 32 
 ⇔ 𝑘 = 32 ∨ 𝑘 = − 32 
Como 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ têm o mesmo sentido, 𝑘 = 32. 
 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (4 × 32 , 2 × 32) = (6, 3) 
 𝐶 = 𝐷 +𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1,−2) + (6, 3) = (7, 1) 
 
4.2. 𝑃(𝑥, 𝑥2) 
 𝑑(𝑃, 𝐴) = 𝑑(𝑃, 𝐷) ⇔ √(𝑥 − 2)2 + (𝑥2 − 2)2 = √(𝑥 − 1)2 + (𝑥2 + 2)2 
 ⇔ (√(𝑥 − 2)2 + (𝑥2 − 2)2)2 = (√(𝑥 − 1)2 + (𝑥2 + 2)2)2 
 ⇔ 𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑥4 − 4𝑥2 + 4 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 𝑥4 + 4𝑥2 + 4 
 ⇔ −4𝑥2 − 4𝑥2 − 4𝑥 + 2𝑥 + 4 − 1 = 0 
 ⇔ −8𝑥2 − 2𝑥 + 3 = 0 
 ⇔ 𝑥 = 2±√4−4×(−8)×3−16 
 ⇔ 𝑥 = 2±10−16 
 ⇔ 𝑥 = 12 ∨ 𝑥 = − 34 
Dado que 𝑃 pertence ao 2.º quadrante, a sua abcissa é negativa. 
Como 𝑥 < 0, então 𝑥 = − 34. 
Logo, 𝑃 (− 34 , 916). 
 
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4.3. Opção (C) 
 𝑟: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (1,−2) − (2, 2) = (−1,−4) 
 𝑦 = 4𝑥 + 𝑏 𝑚𝐴𝐷 = −4−1 = 4 
Como 𝐵 pertence a reta: 
 4 = 4 × 6 + 𝑏 ⇔ 4 = 24 + 𝑏 ⇔ 4 − 24 = 𝑏 ⇔ −20 = 𝑏 
 𝑦 = 4𝑥 − 20 
 𝑄(𝑎, 0) 
 0 = 4𝑎 − 20 ⇔ 4𝑎 = 20 ⇔ 𝑎 = 5 
 𝑄(5, 0) 
 𝑅(0, 𝑏), logo 𝑅(0,−20), 
 𝐴[𝑂𝑄𝑅] = 𝑂𝑄×𝑂𝑅2 = 5×202 = 50 
 
4.4. Coordenadas do ponto médio do segmento de reta [AS]: 
 (2+𝑘2+12 , 2+2𝑘2 ) = (𝑘2+32 , 𝑘 + 1) 
 
𝑘2+32 = 6 ∧ 𝑘 + 1 = 4 ⇔ 𝑘2 + 3 = 12 ∧ 𝑘 = 3 
 ⇔ 𝑘2 + 3 = 12 ∧ 𝑘 = 3 
 ⇔ 𝑘2 = 9 ∧ 𝑘 = 3 
 ⇔ (𝑘 = 3 ∨ 𝑘 = −3) ∧ 𝑘 = 3 
 ⇔ 𝑘 = 3 
 
5. Opção (C) {(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 + (𝑧 − 3)2 ≤ 25𝑧 = 0 ⇔ {(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 + 9 ≤ 25𝑧 = 0 ⇔ {(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 ≤ 16𝑧 = 0 
Esta condição define o círculo de centro em (2, 0, 0) e raio 4 contido no plano 𝑧 = 0. 
Logo, a sua área é igual a π × 42 = 16π. 
 
6. 
6.1. Opção (B) 
 𝐷(−3, 0, 4) 𝐶 = 𝐷 + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−3, 0, 4) + 𝑘(−1, 0, −3), 𝑘 ∈ [0,1] 
 
6.2. 𝐴(0, 0, 𝑎) e 𝐵(𝑏, 0, 0) 
 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−1, 0, −3) ⇔ (𝑏, 0, 0) − (0, 0, 𝑎) = (−1, 0, −3) ⇔ (𝑏, 0, −𝑎) = (−1, 0, −3) 
 ⇔ 𝑏 = −1 ⋀ 𝑎 = 3 
 𝐴(0, 0, 3) e 𝐵(−1, 0, 0) 
 
 
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6.3. Como se trata de uma pirâmide quadrangular regular, a projeção ortogonal de 𝐸 sobre o 
plano 𝐴𝐵𝐶 é o ponto médio do segmento de reta [𝐵𝐷]. Logo, a abcissa e a cota de 𝐸 são 
iguais à abcissa e à cota do ponto médio do segmento de reta [𝐵𝐷]. Seja 𝑀 o ponto médio 
de [𝐵𝐷]: 𝑀(−1 − 32 , 0 + 02 , 0 + 42 ) = (−2, 0, −2) 
Logo, 𝐸(−2, 𝑦, 2). 𝑉pirâmide = 30 ⇔ 13 × ‖𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗‖2 × ℎ = 30 ⇔ (√10)2ℎ = 90 ⇔ ℎ = 9 
Então, 𝐸(−2,−9, 2). 
 
6.4. O centro da superfície esférica admite como centro o ponto médio do segmento de reta [𝐵𝐷]: 
 (−1−32 , 0+02 , 0+42 ) = (−2, 0, 2) 
 Sabemos que o raio é igual a 
‖𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖2 . 
 𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐷 − 𝐵 = (−3, 0, 4) − (−1, 0, 0) = (−2, 0, 4) 
 ‖𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √4 + 16 = √20 
 𝑟 = ‖𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖2 = √202 = 2√52 = √5 
 Logo, a equação pedida é: (𝑥 + 2)2 + 𝑦2 + (𝑧 − 2)2 = 5 
 
6.5. O plano 𝐵𝐸𝐷 é o plano mediador do segmento de reta [𝐴𝐶]. 
 𝐶 = 𝐷 + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (−3, 0, 4) + (−1, 0, −3) = (−4, 0, 1) 
 (𝑥 + 4)2 + 𝑦2 + (𝑧 − 1)2 = (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 + (𝑧 − 3)2 
 ⇔ 𝑥2 + 8𝑥 + 16 + 𝑦2 + 𝑧2 − 2𝑧 + 1 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 6𝑧 + 9 
 ⇔ 8𝑥 − 2𝑧 + 6𝑧 + 16 + 1 − 9 = 0 
 ⇔ 8𝑥 + 4𝑧 + 8 = 0 
 ⇔ 2𝑥 + 𝑧 + 2 = 0