Sala de Aula _ Estacio circuitos RLe RC

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07/04/2023, 11:43 Circuitos RL e RC
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DESCRIÇÃO
   

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Estudo dos circuitos RL (Resistivo-Indutivo) e RC (Resistivo-Capacitivo) ou circuitos de primeira ordem, suas
estruturas e formas de análise, suas respostas naturais e forçadas, o cálculo da constante de tempo e seu
signi�cado.
PROPÓSITO
Compreender as características e funcionalidades dos circuitos de primeira ordem é indispensável ao estudante,
uma vez que o comportamento desses é visível em outras áreas de aplicação, como eletrônica e controle. Assim,
o estudo deste conteúdo promoverá conhecimento técnico e teórico da operação e da descrição dos circuitos RL e
RC, bem como da forma de analisá-los.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, tenha em mãos caneta, papel e uma calculadora, ou qualquer outro
dispositivo que permita executar os cálculos propostos e tomar notas referentes ao conteúdo e aos exercícios
apresentados.
OBJETIVOS
Módulo 1
De�nir um circuito RC
Módulo 2
Identi�car um circuito RL
Módulo 3
Aplicar a reposta forçada aos
circuitos RL e RC
CIRCUITOS ELÉTRICOS 1, CIRCUITOS DE PRIMEIRA ORDEM
   

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
MÓDULO 1
 De�nir um circuito RC.
CIRCUITO RC
   

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CIRCUITOS ELÉTRICOS 1, CIRCUITOS RC

Os circuitos conhecidos por RC, ou circuitos de primeira ordem, contêm um elemento armazenador de energia,
neste caso, o capacitor (C). Para o estudo desses circuitos, é necessário conhecer os elementos que o compõem e
a forma com que operam.
A análise do circuito RC é apresentada nos tópicos seguintes. A abordagem deste tema parte do princípio de que o
aluno já conhece o funcionamento e o comportamento individual de cada componente do circuito. Vale destacar
que o resistor é um elemento ativo e o capacitor, um elemento passivo, que resiste à alteração brusca de tensão.
É chamado de circuito de primeira ordem aquele que é modelado por uma equação diferencial de primeira ordem.
Para avaliar o comportamento de um circuito RC, deve-se considerar que o elemento capacitivo é capaz de
armazenar energia no campo elétrico, por isso, ele pode ser excitado de duas formas distintas:
Por meio da energia
armazenada inicialmente no
capacitor. 
Pela inserção de uma fonte
externa, sendo aqui
consideradas as fontes de
corrente contínua (CC).
RESPOSTA NATURAL    

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Em um circuito RC sem a presença da fonte externa de alimentação, a fonte é desconectada
e o elemento capacitivo contém  energia que será liberada ao resistor conectado.
Nessa avaliação, é obtida a resposta natural do circuito. Como já visto, avalia-se o comportamento do circuito
proposto ao longo do tempo, considerando, porém, que a excitação é feita por meio da energia já armazenada no
capacitor.
Em um circuito cujos elementos são todos ativos (resistores), ao desconectar a
fonte, espera-se que a tensão e a corrente sejam nulas, o que não ocorre nessa
situação (circuito de primeira ordem).
O esperado é que haja uma dinâmica de descarregamento do capacitor, que ocorre por meio da dissipação da
energia via resistor. Para exempli�car essa análise, considera-se um circuito composto de um resistor e um
capacitor, como pode ser visto na imagem a seguir, conectados em série, cujo capacitor encontra-se inicialmente
carregado.
 Imagem 1 - Circuito RC sem fonte.
Deseja-se, nesse contexto, obter a resposta natural desse circuito, neste caso, a tensão em cima do capacitor,
ou seja Como o capacitor possui uma carga inicial, no instante zero haverá uma tensão devido a
essa energia, de�nida desta maneira:
v(t). (t = 0),
v(t) = V0
Como citado, é esperado que o aluno já conhece o comportamento de cada um dos componentes do circuito de
forma individual, assim a energia armazenada no capacitor é dada pela equação seguinte:
   

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w = 12 Cv
2
Considerando-se a tensão inicial, a equação pode ser reescrita como:
w = 12 CV
2
0
É importante ressaltar que todas as leis de circuitos já conhecidas são aplicáveis aos circuitos de primeira ordem.
Ao avaliar novamente a Figura 1, nota-se que a aplicação da Lei de Kirchhoff para Corrente (LKC) torna-se uma
forma viável para solucionar o circuito proposto. Assim, considerando dois nós, como indicado na imagem, pode-
se escrever a equação como:
iC + iR = 0
Dica
Pela última equação, �ca de�nido que a soma das correntes que
entram em um determinado nó é igual à soma das correntes que
saem do mesmo nó.
Sabe-se, ainda, que a corrente que circula pelo capacitor e pelo resistor, por de�nição, podem ser descritas pelas
equações:
iC = C
dv
dt
iR =
v
R
Assim, substituindo as equações de corrente na equação de�nida pela LKC, tem-se:
   
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iC + iR = 0
C
dv
dt
+
v
R
= 0
Rearranjando os membros da equação, isto é, dividindo todos os componentes por C, obtém-se a equação
diferencial de primeira ordem, aquela cuja matemática é responsável por modelar o circuito RC:
dv
dt
+
v
RC
= 0
Para solucionar a equação anterior, uma vez que apresenta uma derivada, basta seguir os passos apresentados:
Rearranjar os termos da
equação. 
Integrar os dois lados da
equação obtida.
Ao rearranjar a equação, tem-se que:
dv
v
= −
1
RC
dt
Essa mesma equação é integrada em e , fornecendo o seguinte resultado:dv dt
ln v = −
t
RC
+ ln A
No qual representa a constante de integração.
Deseja-se, contudo, expressar o valor de “v”, assim, aplica-se as propriedades do logaritmo natural (base e),
obtendo:
lnA
   
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CONSTANTE DE TEMPO EM CIRCUITO RC
v(t) = Ae−
t
RC
Em que A representa a tensão inicial no capacitor, anteriormente de�nida por sendo possível representar a
equação acima como segue:
V0,
v(t) = V0e
− t
RC
Observando a expressão que descreve a tensão em um circuito de primeira ordem resistivo-capacitivo, ou circuito
RC, conclui-se que a tensão, diferentemente de um circuito resistivo, não é zero ao se desligar as fontes externas.
Por descrição matemática, vê-se que a tensão tem o comportamento representado por uma função exponencial,
que inicia em um valor, aqui de�nido por e decresce à medida que o tempo aumenta.
Isso ocorre pois a resposta avaliada é dada em razão da energia presente no elemento capacitivo e não tem
vínculo com a fonte de alimentação externa, sendo nomeada resposta natural.
V0,
Atenção
É importante ressaltar as seguintes propriedades logarítmicas:
Soma: 
Subtração: 
lnA + lnB = ln  AB
lnA − lnB = ln A
B
A resposta natural do circuito, como já citada, pode ser descrita e analisada por meio de uma queda de
exponencial, sendo possível avaliá-la gra�camente, como mostra a imagem a seguir.
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
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 Imagem 2 - Representação grá�ca do circuito RC sem fonte.
Em um instante inicial o valor da exponencial é unitário, sendo de�nida que a tensão inicial é dada por
 Com o passar do tempo, acréscimo em o valor inicial passa a reduzir, pois a parcela exponencial assume
valores diferentes de 
A velocidade de decaimento dessa função é dada pela constante de tempo, . Essa constante representa o
tempo necessário para que aresposta decaia a 36,8% do valor inicial, isto é, quando:
(t = 0),
V0. t,
1.
τ
t = RC
Uma vez que a constante de tempo é dada por:
τ = RC
Logo:
t = τ
Assim:
   
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 Tabela: Análise da variação da constante de tempo.
Elaborado por Isabela Oliveira Guimarães.
Notas:
v(t) = V0e
− τ
RC = V0e
−1 = 0,368V0
Pode-se representar a equação que modela a resposta do circuito em função da constante de tempo:
v(t) = V0e
− tτ
Avaliação da constante de tempo
Para melhor avaliação do grá�co de decaimento, pegue uma calculadora ou utilize alguma ferramenta para cálculo
e substitua os valores de na equação anterior, na qual são encontrados os valores expressos na tabela a seguir. É
importante ressaltar que, após cinco constantes de tempo, a tensão está abaixo de do valor inicial, o que
torna possível supor que o capacitor se encontra descarregado.
t
5τ, 1
0,368
0,135
0,049
0,018
0,007
t v(t)/V0
τ
2τ
3τ
4τ
5τ
 São necessárias cinco constantes de tempo para que a resposta natural atinja o regimepermanente, ou seja, o valor �nal.

Uma constante de tempo menor proporciona uma resposta que transita para o regime mais
rapidamente, isto é, quanto menor for a constante de tempo, maior é a velocidade da resposta.
Entretanto, independentemente da velocidade da resposta, o circuito atinge o regime em cinco
constantes de tempo.
A corrente que circula pelo resistor pode ser descrita como segue:
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Notas:

iR =
v
R
iR =
V 0e−
t
τ
R
A energia armazenada no capacitor é dissipada por meio do resistor. Dessa forma, é possível calcular a energia
absorvida pelo elemento resistivo. Considerando a potência dissipada por ele de�nida pela seguinte equação:
p(t) = vi
Ao substituir a corrente e a tensão pelos valores já calculados, a equação é reescrita:
p(t) = V 0
2e−
2t
τ
R
Para calcular a energia, basta integrar ao longo do tempo de operação, a potência absorvida, o que é representado
a seguir:
wr = ∫
t
0 p(t)dt
wr = ∫
t
0
V 02e−
2t
τ
R
dt
wr =
τV 02e−
2t
τ
2R
t
0∣Considerando a alternância da variável e tem-se:t τ = RC,wr = CV 02(1−e− 2tτ )2   
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
É possível observar que com o aumento do tempo, isto é, à medida que o valor tende ao in�nito, a
energia absorvida pelo resistor é a mesma armazenada pelo capacitor, indicando que houve a
dissipação da energia.
 VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (IBADE, 2020) No circuito da imagem abaixo, e
 Se, em o valor de Vc é igual a 12V, calcule o valor de i3, quando 
R1 = 20Ω,R2, = 15Ω,R3 = 5Ω
C = 0.02F . t = 0, t > 0.
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
O primeiro passo é considerar que a análise do circuito é feita sabendo que a excitação é dada
pelo capacitor. Assim, o cálculo da corrente pode ser feito utilizando-se a equação apresentada
a seguir:
0,6e -5t AA)
0,5e -6t AB)
12e -5t AC)
3e -5t AD)
3e -6t AE)
   
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 é a associação de 
Assim:
Cálculo da constante de tempo:
Observação:
Para o cálculo da constante de tempo, deve-se primeiro associar: e em série e, em
seguida, o resultado deve ser associado em paralelo com 
Ou ainda:
Dessa forma:
iR =
V 0e−
t
τ
R
R R2 + R3.
imax =
12
20 = 0.6
τ = RC
R2 R3
R1.
τ = 0,02(10) = 0,2
τ = 0,02(10) = 15
1
τ
= 5
iR =
V 0e−
t
τ
R
iR = 0.6e
−5t
   
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2. Considere o circuito abaixo, faça a tensão inicial do capacitor sendo igual a 15V. Pede-se
a resposta natural para o circuito (tensão no capacitor).
Comentário
Parabéns! A alternativa "D" está correta.
O primeiro passo é calcular o equivalente entre os resistores do circuito. Sendo:
associação em série entre 8 e 10 ohms;
associação em paralelo entre 4 e 18 ohms.
Em seguida, deve-se calcular a constante de tempo do circuito, utilizando a resistência
equivalente:
Req = 3,27Ω
v(t) = 15e
t
0,327A)
v(t) = 1,5e−
t
0,327B)
v(t) = 15e−
t
3,27C)
v(t) = 15e−
t
0,327D)
v(t) = −15e
t
0,327E)
   
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Por �m, de�nir a resposta natural do circuito, sabendo que a tensão inicial do capacitor é 15V:
τ = RC
τ = 3,27(0,1) = 0,327s
v(t) = V0e
− t
τ
v(t) = 15e−
t
0,327
Avalie este módulo: 
MÓDULO 2
 Identi�car um circuito RL.
CIRCUITOS ELÉTRICOS 1, CIRCUITOS RL
   
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
CIRCUITO RL
Os circuitos conhecidos por RL, tal como os circuitos RC, são circuitos de primeira ordem, pois contêm um
elemento armazenador de energia, neste caso, o indutor (C). Assim como já dito, é necessário conhecer esse
elemento e a forma com que ele opera para entender melhor o comportamento do circuito.
Considerando que as características de funcionamento de um indutor, já são de conhecimento do aluno por
estudo em temas anteriores, ressaltaremos apenas as equações e propriedades a serem aplicadas neste tema. O
indutor, tal como o capacitor, é um elemento passivo que, por sua vez, resiste à alteração brusca de corrente.
Para analisar um circuito RL, é necessário solucionar uma equação diferencial de primeira ordem. Neste caso
especí�co, deve-se considerar a propriedade do elemento indutivo em armazenar energia no campo magnético.
Com isso, esse circuito pode ser excitado de duas formas distintas:
Por meio da energia
armazenada inicialmente no
indutor. 
Pela inserção de uma fonte
externa, sendo aqui
consideradas as fontes de
corrente contínua (CC).
RESPOSTA NATURAL DO CIRCUITO RL
   

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Para �ns de estudo, considera-se um circuito RL simples, sem excitação, ou seja, sem a presença da fonte externa
de alimentação, como mostrado na imagem a seguir. Nesse contexto, a fonte é desconectada e o estado inicial do
elemento indutivo é dado por carregado. Essa energia, por sua vez, será liberada ao resistor presente no circuito,
como será observado posteriormente.
 Imagem 3 - Representação do circuito RL sem fonte.
Nessa avaliação, o objetivo é a obtenção da resposta natural do circuito, também conhecida por solução em
regime. Dessa forma, o comportamento do circuito é avaliado ao longo da variação temporal, considerando,
porém, que a excitação é feita por meio da energia já armazenada no indutor. Como já visto no módulo anterior, é
esperado, nessas condições, que haja uma dinâmica de descarregamento do indutor, que ocorre por meio da
dissipação da energia via resistor.
Considerando o mesmo circuito da imagem anterior, na qual pode ser observada a presença de um resistor e um
indutor conectados em série, o indutor encontra-se inicialmente carregado.
Diferentemente do que foi proposto para o circuito RC, o cálculo da resposta natural do circuito proporciona a
corrente que circula através do indutor, Como este tem uma carga inicial, no instante zero haverá
uma corrente que circula devido a essa energia armazenada, de�nida como segue:
i(t). (t = 0),
i(0) = I0
O cálculo da energia armazenada no indutor é dado por meio da seguinte equação:
w = 12 Li
2
Ao considerar o valor inicial de corrente já de�nido, a equação pode ser reescrita, para um instante t = 0 :
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w(0)= 12 LI0
2
É importante ressaltar que todas as leis de circuitos lineares são aplicáveis aos circuitos de primeira ordem. Dessa
forma, ao avaliar novamente a Figura 3, nota-se que a aplicação da Lei de Kirchhoff para as Tensões (LKT) é a
análise mais viável para a solução do circuito proposto.
Assim, pode-se escrever a equação como apresentado adiante:
v
L
+ v
R
= 0
Atenção
Por meio da equação acima, �ca explícito que a soma das quedas de
tensão em caminho fechado é igual a zero.
Por de�nição, sabe-se que as tensões sobre os componentes indutivo e capacitivo são dadas respectivamente
por:
v
L
= L di
dt
v
R
= Ri
Assim, substituindo as equações anteriores na equação de�nida pela LKT, tem-se:
v
L
+ v
R
= 0
L di
dt
+ Ri = 0
Dividindo todos os membros da última equação pelo indutor (L), obtém-se a equação diferencial de primeira
ordem, que modela o comportamento do circuito RL:
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di
dt
+ Ri
L
= 0
Para solucionar a equação, uma vez que ela apresenta uma derivada, basta seguir os passos anteriormente
mostrados:
Clique nas informações a seguir.
Passo 1 Passo 2
Deseja-se, contudo, expressar o valor de i; assim, aplicam-se as propriedades do logaritmo natural (base e),
obtendo:
i (t) = Ae−
tR
L
Uma vez que representa a corrente inicial que circula no indutor, anteriormente de�nida por é possível
representar a mesma equação por:
A I0,
i(t) = I0e−
tR
L
Pela expressão que descreve a corrente em um circuito de primeira ordem resistivo-indutivo, ou circuito RL,
conclui-se:
A corrente, diferente de um circuito resistivo, não é zero ao se
desligar as fontes externas, como era esperado, uma vez que o
estudo para o circuito RC foi apresentado no módulo anterior.
   

javascript:void(0)
javascript:void(0)
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Por descrição matemática, percebe-se que o comportamento
atribuído à corrente é representado por uma função
exponencial, assim como ocorre com a tensão no capacitor do
circuito RC. Isso indica que o grá�co que descreve a corrente
inicia em um valor, aqui de�nido por e decresce à medida
que o tempo aumenta (tende ao in�nito).
I0,
Esse comportamento ocorre pois a resposta avaliada é dada em razão da energia presente no elemento indutivo e
não tem vínculo com a fonte de alimentação externa, sendo assim nomeada resposta natural.
CONSTANTE DE TEMPO EM CIRCUITO RL
A resposta natural do circuito, como já citada, pode ser descrita e analisada por meio de uma queda de
exponencial.
Como mencionado, em um instante inicial o valor da exponencial é unitário,
de�nindo-se que a corrente inicial é dada por Com o passar do tempo, acréscimo em o
valor passa a reduzir, pois a parcela exponencial assume valores diferentes de 
(t = 0),
I0. t,
I0 1.
O que de�ne a velocidade de decaimento da função é a constante de tempo, apresentada anteriormente para
os circuitos RC. É importante ressaltar que esse valor representa o tempo necessário para que a resposta decaia a
36,8% do valor inicial, como é representado na imagem a seguir.
τ,
 Imagem 4 - Decaimento da corrente em um circuito RL sem fonte.
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Notas:
Para o circuito indutivo, a constante de tempo é de�nida como apresentada em seguida, lembrando que se
refere a tempo, sendo assim, a constante é medida em segundos:
τ
τ = L
R
Dessa forma, é possível representar a equação que modela a resposta do circuito em função da constante de
tempo:
i(t) = I0e
− tτ
 Como já mencionado para o circuito RC, são necessárias cinco constantes de tempo para que aresposta natural atinja o regime permanente, ou seja, o valor �nal.
 A tensão sobre o resistor pode ser calculada, uma vez que se conhece o valor de corrente doresistor.
Assim:
v
R
= Ri
v
R
= RI0e−
t
τ
A energia armazenada no indutor é dissipada por meio do resistor. Dessa forma, é possível calcular a energia
absorvida pelo elemento resistivo. Considere-se a potência dissipada por ele, de�nida pela seguinte equação:
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p(t) = vi
Ao substituir a corrente e a tensão pelos valores já calculados, a equação é reescrita:
p(t) = RI 20 e
− 2tτ
Para calcular a energia, basta que integre ao longo do tempo de operação a potência absorvida pelo elemento, o
que é representado a seguir:
wr = ∫
t
0 p(t)dt
wr = ∫
t
0 RI
2
0 e
− 2tτ dt
wr =
τRI 20e
− 2tτ
2
t
0∣Considerando a variação da variável e ainda que a energia é dada como segue:t τ = L/R,wr = LI 20 (1 − e− 2tτ )2Nessa equação, é possível observar que com o aumento do tempo, isto é, à medida que o valor tende ao in�nito, aenergia absorvida pelo resistor é a mesma armazenada pelo indutor, indicando que houve a dissipação da energia. VERIFICANDO O APRENDIZADOConsidere o circuito da imagem a seguir para as atividades 1 e 2:   
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1. Para o circuito apresentado, considerando que o valor inicial da corrente que percorre o
indutor é de pede-se o valor da corrente 10A, i(t).
Comentário
Parabéns! A alternativa "E" está correta.
Aplica-se a LKT, dividindo o circuito em duas malhas, ou seja, dois laços:
Laço 1:
Laço 2:
L di
dt
+ R(i1 − i2) = 0
0,4 di1
dt
+ 2(i1 − i2) = 0
 i1(t) = 1e
− 2,5
3
tA)
 i1(t) = 15e−
2,5
3 tB)
 i1(t) = 10e
2,5
3 tC)
 i1(t) = 10e−tD)
 i1(t) = 10e
− 2,53 tE)
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Substituindo no Laço 1:
Solucionando por meio dos passos já apresentados:
Retirando o logaritmo:
6i2 − 2i1 − 3i1 = 0
i2 =
5
6 i1
0,4 di1
dt
+ 13 i1 = 0
di1
i1
= − 2,53 dt
ln i1 − ln i0 = −
2,5
3 t
ln
 i1
 i0
= − 2,53 t
 i1(t) =  i0e−
2,5
3 t
 i1(t) = 10e−
2,5
3 t
2. Para o circuito apresentado, pede-se o valor da corrente da tensão sobre o indutor.
v = (−10)e−
2,5
3
tA)
v = −e−
2,5
3 tB)
v = 103 e
− 2,53 tC)
v = (− 103 )e−
2,5
3 tD)
v = (− 103 )e−
2
3 tE)    

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Comentário
Parabéns! A alternativa "D" está correta.
Para o cálculo da tensão no indutor, assume-se a corrente calculada anteriormente:
Para isso, basta aplicar a propriedade derivada:
Assim:
 i1(t) = 10e
− 2,53 t
v = L di
dt
v = 0,4(10)(− 2,53 )e−
2,5
3 t
v = (− 103 )e−
2,5
3 t
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MÓDULO 3
 Aplicar a reposta forçada aos circuitos RL e RC.
FUNÇÕES DE SINGULARIDADE   

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CIRCUITOS ELÉTRICOS 1, RESPOSTA AO DEGRAU

Para dar continuidade aos estudos aqui propostos, é necessário se inteirar minimamente de alguns conceitos
referentes às funções de singularidade.
Essas funções, também conhecidas por comutação, servem para exempli�car situações e
fenômenos que ocorrem nos circuitos elétricos, isto é, em situações em que são observados
componentes como chaves, há uma característica descontínua.
Com isso, é possível representar as formas de onda de corrente e tensão pela utilização das funções singulares.   

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Dentre as funções de singularidade mais comuns, encontram-se:
Clique nas barras para ver as informações.
DEGRAU UNITÁRIO 
IMPULSO UNITÁRIO 
RAMPA UNITÁRIA 
Saiba mais
Destaca-se que nem sempre essa função é unitária, como se aplicará
nos exemplos propostos neste módulo.No intuito de avaliar a resposta completa dos circuitos RC e RL, será considerada, neste estudo, a aplicação de um
degrau unitário.
RESPOSTA AO DEGRAU CIRCUITO RC
Considerando o circuito de primeira ordem RC, deseja-se avaliar a resposta no cenário em que uma fonte é
aplicada. Anteriormente, o comportamento deste foi veri�cado partindo da excitação vinda da energia armazenada
no capacitor.
Para modelar o acréscimo da fonte ao circuito, utiliza-se da função degrau, que simula a comutação de uma chave
e cuja resposta obtida é conhecida por resposta ao degrau. Essa resposta representa o comportamento
decorrente da conexão repentina de uma fonte, seja ela de tensão ou de corrente.
Para ilustrar a análise, é apresentado o circuito da imagem a seguir (a e b), em que as duas representações se
referem ao degrau de tensão, ou seja, à conexão súbita da fonte que ocorre pela comutação da chave. Nesse
circuito RC, a fonte é contínua e deseja-se calcular a tensão no capacitor (resposta ao degrau).
   

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 Imagem 8 - Circuito RC com excitação externa.
Podemos assumir as seguintes condições:
Clique nas informações a seguir.
Condição 1 Condição 2
Ao aplicar a LKC no nó entre o capacitor e o resistor, como feito na análise sem excitação, o circuito pode ser
modelado conforme mostra a seguinte equação:
C
dv
dt
+
v − Vsu (t)
R
= 0
Em que representa a fonte ou o degrau unitário.
Reorganizando a expressão, tem-se:
Vsu (t)
dv
dt
+
v
RC
=
Vsu (t)
RC
Considerando o instante de aplicação do degrau, t > 0 :
dv
dt
+
v
RC
=
Vs
RC
   
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javascript:void(0)
javascript:void(0)
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Reorganizando a expressão acima, é possível reescrevê-la da seguinte forma:
dv
dt
= − v−V s
RC
Para solucionar a equação diferencial, sigamos os passos já apresentados nos módulos anteriores:
Rearranjar os termos da
equação. 
Integrar os dois lados da
equação obtida.
Assim, tem-se:
dv
v−V s
= − dt
RC
A equação anterior deve ser integrada em ambos os lados, resultando na seguinte equação:
ln (v − Vs)| = −
t
RC
v(t)
V0 ∣t0ln (v − Vs) − ln (V0 − Vs) = − tRC + 0Ou ainda, reorganizando os membros da equação e aplicando as propriedades dos logaritmos:ln ( v − VsV0 − Vs ) = − tRCAssim:    
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( v−V s
V 0−V s
) = e− tRC
Como mencionado e, com isso, a equação pode ser reescrita:τ = RC
v−V s
V 0−V s
= e−
t
τ
Ou ainda:
v − Vs = (V0 − Vs)e
−  tτ
v(t) = Vs + (V0 − Vs)e
−  tτ
Avaliando-se a resposta, tem-se que:
Clique nas barras para ver as informações.
NO INSTANTE T  < 0 
NO INSTANTE T  > 0 
CONSIDERANDO O CAPACITOR DESCARREGADO 
AINDA CONSIDERANDO QUE NÃO HAJA CARGA NO CAPACITOR 
O cálculo da corrente no capacitor pode ser feito ao se derivar a expressão obtida para a tensão dele. Dessa forma:
   

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Notas:
A resposta �nal tem duas componentes:
i(t) = C dv
dt
i(t) = Cτ Vse
−  tτ
Ou ainda:
i(t) = V s
R
e− 
t
τ  u(t)
 Resposta natural sem a presença da fonte, considerando a energia armazenada.(vn),
 Resposta forçada produzida por uma fonte externa, ou seja, considerando a fonteindependente. (vf),
A resposta completa é dada pela junção da resposta natural com a resposta forçada, que pode ser modelada
matematicamente por:
v = vn + vf
Sendo:
   

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 Imagem 9, à esquerda, comportamento da tensão. Imagem 10, à direita, comportamento da corrente.
vn = V0e
−  tτ
vf = Vs(1 − e−
t
τ )
A resposta natural se
extingue com o
tempo, bem como a
parte transiente da
resposta forçada. 
A parte transiente se
refere ao que é
modelado pela
exponencial, é a parte
que decai a zero e
desaparece quando o
tempo se aproxima
do in�nito.

A parte que �ca é a
parte permanente, é a
resposta �nal.
ANÁLISE GRÁFICA DO CIRCUITO RC
O presente tópico tem o intuito de avaliar a saída de tensão e de corrente referentes ao circuito RC. Por meio de
uma análise grá�ca, é possível comparar o comportamento de corrente e tensão em um circuito cujo capacitor se
encontra incialmente descarregado.
A primeira imagem representa o comportamento da tensão em um circuito RC, inicialmente descarregado. O
capacitor irá armazenar energia até que atinja o regime permanente, após cinco constantes de tempo. A segunda
imagem mostra um comportamento oposto para a corrente, que tem um valor inicialmente e, à medida que o
capacitor carrega, apresenta um decaimento.
RESPOSTA AO DEGRAU CIRCUITO RL   

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De forma semelhante ao que foi feito com o capacitor, deseja-se analisar a resposta ao degrau para um circuito
RL. Para isso, será considerado um circuito de primeira ordem RL, com a presença de uma fonte externa, ou seja,
um cenário de aplicação do degrau. Destaca-se que, anteriormente, o comportamento desse circuito foi veri�cado
partindo-se da excitação vinda da energia armazenada no indutor.
Para modelar o acréscimo da fonte ao circuito RL, utiliza-se a função degrau, que simula a comutação de uma
chave, embora a resposta a ser obtida seja conhecida por resposta ao degrau. Esta, por sua vez, representa o
comportamento decorrente da conexão repentina de uma fonte, seja ela de tensão ou de corrente.
Para �ns de estudo e melhor exempli�cação dos conceitos acima citados, será apresentado o circuito da imagem
a seguir (a e b), em que as duas representações se referem ao degrau de tensão, ou seja, à conexão súbita da
fonte que se dá pela comutação da chave presente. É importante ressaltar que, nesse circuito, tal como no
anterior, a fonte é contínua, e deseja-se calcular a corrente que circula no indutor (resposta ao degrau).
 Imagem 11 - Comportamento da corrente.
Podem ser assumidas as condições apresentadas a seguir:
Clique nas informações a seguir.
Condição 1 Condição 2
Há duas formas de solucionar o problema:
   
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javascript:void(0)
javascript:void(0)
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A primeira forma é aplicar a LKT no circuito proposto e seguir
todos os passos já mencionados para a análise do circuito RC
com fonte.
A segunda é utilizar o conhecimento de que a resposta
completa do circuito é dada por uma parcela transiente (que
desaparece com o tempo) e por uma parcela estacionária.
Utilizando o segundo método de solução, vimos, no tópico relacionado à resposta para o circuito RC, que a parcela
transiente é aquela que se refere ao decaimento. Sendo assim, a parcela de corrente transiente é dada por:
it = Ae
−  tτ  
Sendo A o valor inicial a ser de�nido e ainda sabendo que, pela análise RL, temos:
τ = L
R
A resposta em regime estacionário é aquela em que o sistema se encontra após passar um tempo depois da
chave fechada. Desta forma:
iss =
V s
R
 
Para determinar o valor inicial, considera-se que há uma continuidade no componente e que o valor da corrente é
dado por assim, no instante pela análise do circuito:I0, t = 0,
   
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Avaliando a resposta tem-se que:
Notas:
A = I0−
V s
R
Dessa forma, a reposta completa do circuito é de�nida por:
i(t) = V s
R
+ (I0 − V sR )e− 
t
τ
Clique nas barras para ver as informações.
NO INSTANTE T  < 0 
NO INSTANTE T  > 0 
CONSIDERANDO O INDUTOR DESCARREGADO 
AINDA CONSIDERANDO QUE NÃO HAJA CARGA NOINDUTOR 
O cálculo da tensão no indutor pode ser feito ao derivar a expressão obtida para a corrente dele. Dessa forma:
v(t) = L di
dt
i(t) = L
τR
Vse
−  tτ
Ou ainda:
i(t) = Vse
−  tτ  u(t)
   

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 A resposta transiente se extingue após cinco constantes de tempo.
 Após o transiente, o indutor se comporta como um curto-circuito, e a tensão é nula.
ANÁLISE GRÁFICA DO CIRCUITO RL
Assim como feito para o circuito RC, o presente tópico tem o intuito de avaliar a saída de tensão e de corrente
referentes ao circuito RL.
Analisando gra�camente, é possível avaliar o comportamento da corrente e da tensão no indutor em duas
situações:
Quando o indutor está com carga inicial.
Quando o indutor está descarregado, ou seja, a corrente é nula.
A imagem ao lado representa o comportamento da corrente quando o indutor está inicialmente carregado.
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 Imagem 12 - Comportamento da corrente com indutor carregado.
Ao contrário desse comportamento, na imagem seguinte é possível observar o carregamento do indutor, quando a
corrente inicial é nula e irá aumentar após a conexão da fonte.
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 Imagem 13 - Comportamento da corrente com indutor descarregado.
A imagem a seguir, representa o comportamento da tensão para um indutor inicialmente descarregado.
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 Imagem 14 - Comportamento da tensão com indutor carregado.
APLICAÇÕES DOS CIRCUITOS RC E RL
Circuitos de carga
Como exemplos de aplicação prática referentes aos circuitos RC, podem ser citados os circuitos para �ash
eletrônico de câmeras fotográ�cas. Esse é um circuito de carga, cujos principais componentes podem ser
observados de forma simpli�cada no esquema mostrado na próxima imagem. É possível identi�car a presença de
resistores e do capacitor, sendo o capacitor o responsável pelo armazenamento da energia utilizada na lâmpada
que produz a luminosidade do �ash. Ainda é inserida uma fonte de tensão CC cuja função é carregar o capacitor. O
circuito completo possui ainda um circuito do tipo chopper e um circuito de disparo, assim nomeado por sua
função de acionar a lâmpada do �ash.
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 Imagem 15 - Circuito simpli�cado do �ash da câmera.
Saiba mais
Circuitos chopper - são tipos de conversores cuja função é converter
tensão CC em CC.
EXEMPLO RESOLVIDO
Considere um circuito de carregamento de um �ash eletrônico, como mostrado na imagem a seguir. Nele,
observam-se um resistor que tem a função de limitar o valor da corrente do circuito, de 5kΩ (R1), e um capacitor
eletrolítico de 1.000µF carregado a uma tensão de 220V.
Considerando-se que a resistência da lâmpada seja de 10Ω (R2), deseja-se determinar:
A. a corrente de pico na carga;
B. o tempo necessário para que o capacitor se encontre completamente carregado;
C. a corrente de descarga de pico;
D. a energia total armazenada no capacitor; e
E. a potência média dissipada pela lâmpada.
Clique no botão para ver a resolução.
RESOLUÇÃO
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Notas:
Filtro de linha
O �ltro de linha é um dispositivo de segurança amplamente conhecido, utilizado em computadores e demais
equipamentos eletrônicos sensíveis a surtos de tensão. Além de proteger os equipamentos, o �ltro é capaz de
atenuar a interferência eletromagnética. Quanto a seus aspectos construtivos, eles são compostos,
principalmente, por disjuntores, capacitores e indutores.
Circuito de ignição
Um exemplo de aplicação referente aos circuitos RL são circuitos de ignição de motores à combustão. Esses
sistemas fazem uso de arcos voltaicos, criados a partir da propriedade do indutor em se opor às mudanças
bruscas de corrente.
 Todas as análises propostas podem ser aplicadas a qualquer circuito que possa ser reduzido a RLe RC (contendo apenas um elemento armazenador de energia).
 Há duas formas de calcular a resposta forçada, que apresentam o mesmo resultado,possibilitando a conferência dos cálculos.
 Neste estudo, foi aplicada a função degrau unitário, contudo, as demais funções de singularidadepodem ser aplicadas para �ns de representação de comportamentos de outros equipamentos.
 VERIFICANDO O APRENDIZADO
   
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1. (FGV, 2016) A imagem a seguir apresenta um circuito composto de uma fonte CC de
271,8V que alimenta, por uma chave inicialmente aberta, um circuito RC série.
Sabendo-se que o capacitor se encontra descarregado e que o valor do resistor é 1kΩ, ao
fechar a chave, o valor da corrente elétrica no circuito no instante t igual à constante de
tempo do circuito é de:
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
Sabe-se que o valor da tensão é dado.
0,10AA)
0,25AB)
0,50AC)
0,70AD)
0,85AE)
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Considerando o instante em que é igual à constante de tempo e tendo em vista que o
capacitor se encontra descarregado:
O cálculo da corrente no capacitor pode ser feito ao derivar a expressão obtida para a tensão
do capacitor. Desta forma:
Ou ainda:
Ou aproximadamente:
t
v(t) = Vs(1 − e−
t
τ )
i(t) = C dv
dt
i(t) = C
τ
Vse
−  tτ
i(t) = V sR e
−  tτ  u(t)
i(t) = 271,8
1k
e− 1 
i(t) = 0,099A
i(t) = 0,1A 
2. (FGV, 2017) A imagem a seguir apresenta um circuito composto de uma fonte CC de
90,6V que alimenta, por meio de uma chave que inicialmente está aberta, um circuito RC
série.
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Sabe-se que o capacitor se encontra descarregado e que o valor do resistor é 10kΩ. Ao
fechar a chave, o valor da corrente elétrica no circuito no instante t igual à constante de
tempo do circuito é de:
Comentário
Parabéns! A alternativa "A" está correta.
O capacitor se encontra incialmente descarregando, assim, ao fechar a chave, deve-se calcular
a carga do capacitor por meio das seguintes equações:.
v(t) = Vs(1 − e−
t
τ )
3,33mAA)
6,66mAB)
7,33mAC)
8,33mAD)
9,66mAE)
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Considerando o instante em que t é igual à constante de tempo, pode-se fazer a seguinte
análise: o capacitor encontra-se completamente carregado, com 63% da tensão.
Assim:
Para �ns de cálculo, chamaremos de A:
i(t) = V sR e
−  tτ  u(t)
0,63Vs = Vs(1 − e−1)
e−1
0,63Vs = Vs(1 − A)
(1 − A) = 0,63
(A) = 0,37
e−1 = 0,37
i(t) = V sR e
−  tτ  
i(t) = 90,6
10k
e− 1 
i(t) = 3,33A 
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CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
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Este estudo teve por objetivo a apresentação dos circuitos de primeira ordem do tipo RL e RC, englobando suas
características básicas, bem como a forma com que esses circuitos de primeira ordem são utilizados nos circuitos
elétricos. Foram utilizados exemplos para cálculos e uso de técnicas de solução e análise das repostas natural e
forçada.
O estudo foi dividido em três partes: no primeiro módulo, foram pontuados os aspectos básicos do circuito RC, a
análise da resposta natural e exemplos ilustrativos.No segundo módulo, foram apresentadas as mesmas técnicas, no entanto, com foco no circuito indutivo RL,
identi�cando as diferenças entre os dois circuitos.
Por �m, no terceiro módulo, foram apresentadas análises referentes aos dois tipos de circuitos. Dessa vez, focou-
se a resposta forçada, os métodos para avaliá-la matemática e gra�camente, as funções usadas para estudo dos
circuitos e exemplos.
Agora é possível correlacionar os tópicos, fazendo-se necessário o bom entendimento de cada um deles para
melhor absorção do conteúdo seguinte.
PODCAST
Agora, a especialista Isabela Oliveira Guimarães fará um resumo sobre o
conteúdo abordado.
0:00 3:26
REFERÊNCIAS
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2013.
BOYLESTAD, R. L. Introdução à análise de circuitos. Rio de Janeiro: Prentice/Hall do Brasil, 1998.
EDMINISTER, J. A. Circuitos elétricos: reedição da edição clássica. 2. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil,
1991.
GUSSOW, M. Eletricidade básica. São Paulo: Makron Books, 1985.
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de circuitos elétricos. Rio de Janeiro: Prentice/Hall
do Brasil, 1994. 539 p.
MARKUS, O. Circuitos elétricos: corrente contínua e corrente alternada. São José dos Campos: Érica, 2001.
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https://stecine.azureedge.net/repositorio/01411/index.html
07/04/2023, 11:43 Circuitos RL e RC
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SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL. Educação continuada: circuitos em corrente alternada.
São Paulo, 2002.
EXPLORE+
Se você deseja se aprofundar neste conteúdo, recomendamos revisar o comportamento dos elementos passivos,
que pode ser visto no livro Fundamentos de Circuitos Elétricos, de Charles K. Alexander e Matthew N. O. Sadiku.
CONTEUDISTA
Isabela Oliveira Guimarães
 Currículo Lattes
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