Aula 00 - Sistemas de Numeração

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CIRCUITOS DIGITAIS I 
Aula 00
 Introdução a 1s e 0s Digitais
● Na eletrônica, um Sinal é uma representação elétrica.
○ Analógica, como uma onda senoidal contínua.
○ Digital, como uma série de pulsos discretos.
● Sistemas Digitais são sistemas eletrônicos que operam com sinais digitais, 
representado por valores discretos (0 ou 1).
○ São compostos por componentes eletrônicos (transistores, resistores, portas lógicas) que 
executam operações lógicas e aritméticas. 
Dispositivos Digitais
 Introdução a 1s e 0s Digitais
Diagramas de Tempos - Um diagrama de tempos mostra em qual estado (1 ou 0) o 
sistema está em qualquer momento e também mostra o tempo exato em que uma 
mudança de estado ocorre. 
 Introdução a 1s e 0s Digitais
Diagramas de tempos são bastante usados para mostrar como sistemas digitais 
mudam e, especialmente, para mostrar a relação entre dois ou mais sinais digitais 
no mesmo circuito ou sistema. 
 Introdução a 1s e 0s Digitais
Ao exibirmos um ou mais sinais digitais usando instrumentos de teste, como o 
osciloscópio, comparamos os sinais reais com a operação esperada do sistema. 
 Introdução a 1s e 0s Digitais
● Questões para revisão:
1. Quantos estados fundamentais existem em um sistema digital? 
2. Como chamamos um gráfico que mostra mudanças entre dois estados (1s 
e 0s) em relação ao tempo?
Representações Numéricas 
● Existem basicamente dois modos de representação dos valores das 
quantidades: o analógico e o digital.
● Na representação analógica, uma quantidade é representada por um 
indicador proporcional continuamente variável. 
○ Quantidades analógicas têm uma importante característica: podem variar ao longo de uma 
faixa contínua de valores.
Representações Numéricas 
● Exemplo de representação analógica: Aparência do sinal de voz analógico.
● A frequência ( f ) mostra quantos 
ciclos de onda acontecem em uma 
determinada quantidade de tempo 
(ciclos por segundo).
Representações Numéricas 
● Exemplo de representação analógica: Aparência do sinal de voz analógico.
● O eixo horizontal (tempo) dá uma 
indicação do tempo de cada ciclo, 
conhecido como o período ( T ) da 
onda (segundos por ciclo). 
Representações Numéricas 
● Na representação digital, as quantidades são representadas não por 
indicadores continuamente variáveis, mas por símbolos chamados dígitos.
○ Quantidades digitais variam em incrementos discretos (muda repentinamente).
Representações Numéricas 
● Podemos dizer que a maior diferença entre as representações é que: 
analógica ≡ contínua 
digital ≡ discreta (passo a passo)
Representações Numéricas: Analógica vs. Digital 
● Exemplo: Classifique os itens a seguir conforme a sua forma de representação:
A) Subida usando uma escada. 
B) Subida usando uma rampa. 
C) Corrente que flui de uma tomada elétrica por meio um motor. 
D) Altura de uma criança medida por uma fita métrica em divisão de 1 cm. 
E) Altura de uma criança colocando uma marca na parede. 
F) Volume de areia em um balde. 
G) Volume de água em um balde. 
Representações Numéricas: Analógica vs. Digital 
● Exemplo: Classifique os itens a seguir conforme a sua forma de representação:
A) Subida usando uma escada. Digital
B) Subida usando uma rampa. Analógica
C) Corrente que flui de uma tomada elétrica por meio um motor. Analógica
D) Altura de uma criança medida por uma fita métrica em divisão de 1 cm. Digital
E) Altura de uma criança colocando uma marca na parede. Analógica
F) Volume de areia em um balde. Digital
G) Volume de água em um balde. Analógica
Representações Numéricas: Analógica vs. Digital 
● Questões para revisão:
1. Qual método de representar quantidades envolve passos discretos? 
2. Qual método de representar quantidades é continuamente variável?
Sistemas Analógicos e Digitais
● Um sistema digital é uma combinação de dispositivos que manipulam 
quantidades físicas representadas no formato digital.
○ As quantidades podem assumir apenas valores discretos.
● Um sistema analógico contém dispositivos que manipulam quantidades físicas 
representadas na forma analógica. 
○ As quantidades físicas podem variar ao longo de uma faixa contínua de valores.
Sistemas Analógicos e Digitais
● Vantagens das técnicas digitais:
○ Os sistemas digitais são geralmente mais fáceis de ser projetados.
○ O armazenamento de informação é mais fácil.
○ É mais fácil manter a precisão e exatidão em todo o sistema.
○ As operações podem ser programadas. 
○ Os circuitos digitais são menos afetados por ruído.
○ . CIs (chips) digitais podem ser fabricados com mais dispositivos internos. 
Sistemas Analógicos e Digitais
● Limitações das técnicas digitais:
○ O mundo real é analógico. 
○ Processar sinais digitais leva tempo.
Sistemas Analógicos e Digitais
● Processamento digital sob entradas e saídas analógicas:
1. Converter a variável física em um sinal elétrico 
(analógico). 
2. Converter as entradas elétricas (analógicas) do mundo 
real no formato digital. 
3. Realizar o processamento (operação) da informação 
digital. 
4. Converter as saídas digitais de volta ao formato 
analógico (o formato do mundo real).
Sistemas de Numeração Digital 
● Um Sistema de Numeração é um sistema matemático usado para 
representar quantidades.
○ Conjunto de símbolos (ou dígitos) e regras de combinação para representar números. 
○ Cada sistema de numeração tem uma base, que é o número de símbolos diferentes 
que ele usa. 
○ Alguns sistemas são considerados sistemas de valor posicional, na qual, a posição do 
do símbolo representa seu peso.
■ O Sistema Decimal possui a propriedade de valor posicional.
■ O Sistema Romano não possui essa propriedade.
Sistemas de Numeração Digital 
● Os sistemas de numeração mais comuns em uso 
na tecnologia digital são:
○ Decimal (base 10) - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
○ Binário (base 2) - 0, 1
○ Octal (base 8) - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
○ Hexadecimal - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
Decimal Binário Octal Hexadecimal
0 0000 0 0
1 0001 1 1
2 0010 2 2
3 0011 3 3
4 0100 4 4
5 0101 5 5
6 0110 6 6
7 0111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
Sistemas de Numeração Digital 
Os números podem se representar em diversos sistemas de numeração, que se 
diferenciam por sua base.
N = anb
n + an-1b
n-1 + ... + aib
i + ... + a0b
0 + a-1b
-1 + ... + a-pb
-p 
- Sendo b a base do sistema de numeração e ai um número pertencente ao sistema 
e que cumpre a condição 0 ≤ ai ≤ b. 
- n+1 e p representam o número de dígitos inteiros e fracionários, respectivamente.
Exemplo: Considere o sistema de base, b=10 e 0 ≤ ai ≤ 10
87,54 = 8*101 + 7*100 + 5*10-1 + 4*10-2
Sistema Decimal
● O sistema decimal (ou sistema de base 10) é composto de 10 numerais ou 
símbolos. São eles: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
O sistema decimal é um sistema de valor posicional, no qual o valor de cada dígito 
depende de sua posição no número. 
Classe dos Milhões Classe dos Milhares Classe das Unidades
9ª 
ordem
8ª 
ordem
7ª 
ordem
6ª 
ordem
5ª 
ordem
4ª 
ordem
3ª 
ordem
2ª 
ordem
1ª 
ordem
C D U C D U C D U
Sistema Decimal
● Exemplo: Sistema decimal como um sistema de valor posicional. 
453 = 4 centenas + 5 dezenas + 3 unidades
453 = 4*100 + 5*10 + 3*1
- O dígito 4 é o de maior peso entre os três, sendo denominado dígito 
mais significativo (most significant digit — MSD).
- O dígito 3 é o de menor peso, sendo denominado dígito menos 
significativo (least significant digit — LSD).
Sistema Decimal
● Exemplo: Sistema decimal como um sistema de valor posicional. 
27,35 = 2 dezenas + 7 unidades + 3 décimos + 5 centésimos
27,35 = 2*10 + 7*1 + 3*0,1 + 5*0,01
- A vírgula decimal separa a parte inteira da parte fracionária.
- O dígito 2 é o MSD e o dígito 5 o LSD.
Sistema Decimal
● Exemplo: Sistema decimal como um sistema de valor posicional. 
2745,214 (2*10+3)+(7*10+2)+(4*10+1)+(5*100)+(2*10–1)+(1*10–2)+(4*10–3)- As diversas posições relativas à vírgula decimal têm pesos que podem 
ser expressos em potências de 10.
- Qualquer número é uma soma de produtos do valor de cada dígito pelo 
seu valor posicional (peso). 
Sistema Decimal
● Exemplo: Sistema decimal como um sistema de valor posicional. 
2745,214 (2*10+3)+(7*10+2)+(4*10+1)+(5*100)+(2*10–1)+(1*10–2)+(4*10–3)
Sistema Binário
● O sistema binário (ou sistema de base 2) é composto de 2 símbolos ou 
dígitos. São eles: 0 e 1.
○ Pode representar qualquer quantidade representada em outro sistema de numeração.
○ Geralmente utiliza um número maior de dígitos para expressar determinado valor.
○ Também é um sistema de valor posicional, em que cada dígito binário tem um valor 
próprio, ou peso, expresso como uma potência de 2.
Sistema Binário
● O sistema binário (ou sistema de base 2) é composto de 2 símbolos ou 
dígitos. São eles: 0 e 1.
○ O termo dígito binário (binary digit) é quase 
sempre abreviado com o uso do termo bit.
○ O bit mais significativo (MSB) é o da esquerda 
(o de maior peso), e o menos significativo (LSB) 
é o da direita (o de menor peso).
Sistema Binário
● O sistema binário (ou sistema de base 2) é composto de 2 símbolos ou 
dígitos. São eles: 0 e 1.
○ Usando N bits ou posições, podemos contar 2N números.
■ Com 2 bits podemos contar 2² = 4 contagens (002 até 112).
■ Com 4 bits podemos contar 24 = 16 contagens (00002 até 11112)
○ A última contagem terá todos os bits em 1, que é igual a 2N–1 no sistema decimal.
■ Usando 4 bits, a última contagem é 11112 = 24 –1 = 1510.
Sistema Binário
● Os pesos de cada dígito binário aumentam por um fator de 2 à medida que a 
posição se desloca da direita para a esquerda.
○ Cada posição do dígito tem um peso, positivo antes da vírgula e negativo após a vírgula.
... 24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4 ...
... 16 8 4 2 1 0.5 0.25
0.12
5
0.06
25
...
Sistema Binário
● Exemplo: Sistema binário como um sistema de valor posicional. 
1011,1012 = (1*2
3)+(0*22)+(1*21)+(1*20)+(1*2–1)+(0*2–2)+(1*2–3) 
= 8 + 0 + 2 + 1 + 0,5 + 0 + 0,125 
= 11,62510
- As posições à esquerda da vírgula binária são potências de 2 com 
expoente positivo, e as posições à direita são potências de 2 com 
expoente negativo.
Sistema Binário
● Exemplo: Sistema binário como um sistema de valor posicional. 
1011,1012 = (1*2
3)+(0*22)+(1*21)+(1*20)+(1*2–1)+(0*2–2)+(1*2–3) 
Sistema Binário: Contagem
● O bit menos significativo, LSB (posição de 
peso 1) fica em 0 por “uma” contagem e 
depois em 1 por “uma” contagem.
● O segundo bit menos significativo (posição 
de peso 2) fica em 0 por “duas” contagens e 
depois em 1 por “duas” contagens.
● O terceiro bit menos significativo (posição de 
peso 4) fica em 0 por “quatro” contagens e 
depois em 1 por “quatro” contagens.
Sistema Binário
Exemplo: Qual é o maior número que pode ser representado usando 8 bits?
Sistema Binário
Exemplo: Qual é o maior número que pode ser representado usando 8 bits?
Solução → 2N-1 = 28-1 = 25510 = 111111112
27 = 128 26 = 64 25 = 32 24 = 16 23 = 8 22 = 4 21 2 20 = 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Sistema Binário
● Questões para revisão:
1. Qual é o número decimal equivalente a 11010112? 
2. Qual é o número binário seguinte a 101112 em uma sequência de contagem?
 
3. Qual é o valor do maior número decimal que pode ser representado usando 12 bits?
Conversão entre 
Sistemas de Numeração
Sistemas de Numeração: Conversão Binário → Decimal
● Converta o número binário 110112 para para o decimal.
● Converta o número binário 101101012 para para o decimal.
27 = 128 26 = 64 25 = 32 24 = 16 23 = 8 22 = 4 21 2 20 = 1
1 0 1 1 0 1 0 1
24 = 16 23 = 8 22 = 4 21 2 20 = 1
= 16 + 8 +2 + 1 = 27101 1 0 1 1
= 128 + 32 + 16 + 4 + 1 = 18110
Sistemas de Numeração: Conversão Binário → Decimal
● Exercício: Converta o número binário 101012 para para o decimal.
● Exercício: Converta o número binário 111100012 para para o decimal.
Sistemas de Numeração: Conversão Binário → Decimal
● Exercício: Converta o número binário 101012 para para o decimal.
● Exercício: Converta o número binário 111100012 para para o decimal.
27 = 128 26 = 64 25 = 32 24 = 16 23 = 8 22 = 4 21 2 20 = 1
1 1 1 1 0 0 0 1
24 = 16 23 = 8 22 = 4 21 2 20 = 1
= 16 + 4 + 1 = 21101 0 1 0 1
= 128 + 64 + 32 + 16 + 1 = 24110
Sistemas de Numeração: Conversão Decimal → Binário
● Método que utiliza divisões sucessivas por 2.
São realizadas divisões sucessivas pelo número decimal 2 
e a escrita, de modo inverso, dos restos de cada divisão, 
até que um quociente 0 seja obtido. 
O resultado binário é alcançado escrevendo-se:
- o primeiro resto na posição do LSB 
- e o último resto na posição do MSB.
Sistemas de Numeração: Conversão Decimal → Binário
2510 → 110012
Sistemas de Numeração: Conversão Decimal → Binário
3710 → ?2
Sistemas de Numeração: Conversão Decimal → Binário
3710 → 1001012
Sistemas de Numeração: Faixas de Contagem
Usando N bits, podemos contar 2N diferentes números em decimal (de 0 a 2N-1). 
Exemplo: 
Para N = 4, podemos contar de 00002 a 11112 , que corresponde a 010 a 1510, 
em um total de 16 números diferentes. Nesse caso, o valor do maior número 
decimal é 24-1 = 15, e há 24 números diferentes. 
Portanto, geralmente, podemos dizer: 
Usando N bits, podemos representar números decimais na 
faixa de 0 a 2N -1, em um total de 2N números diferentes.
Sistemas de Numeração: Faixas de Contagem
Exemplo: Qual é o maior número que pode ser representado usando 8 bits?
Solução → 2N-1 = 28-1 = 25510 = 111111112
27 = 128 26 = 64 25 = 32 24 = 16 23 = 8 22 = 4 21 2 20 = 1
1 1 1 1 1 1 1 1
= 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 25510
Sistemas de Numeração: Sistema Octal
● O sistema de numeração octal tem base oito (b=8), o que significa que 
existem oito dígitos possíveis: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
● Assim como nos sistemas decimal e binário, cada posição do dígito tem um 
peso, positivo antes da vírgula e negativo após a vírgula.
84 83 82 81 80 8-1 8-2 8-3 8-4 
,
vírgula octal
Sistemas de Numeração: Conversão Octal → Decimal
Conversão Octal/Decimal: Multiplica-se cada dígito octal por seu peso posicional.
● Exemplo 1: 3778 = 3*(8
2) + 7*(81) + 7*(80)
= 3*64 + 7*8 + 7*1 
= 25510
● Exemplo 2: 24,68 = 2*(8
1) + 4*(80) + 6*(8-1)
= 2*8 + 4*1 + 6*(0,125)
= 16 + 4 + 0,75 
= 20,7510
Sistemas de Numeração: Conversão Decimal → Octal
● Um inteiro decimal pode ser 
convertido para o octal 
utilizando o mesmo método 
das divisões sucessivas da 
conversão decimal binário, 
mas com o fator de 
divisão 8 ao invés de 2.
- O primeiro resto se torna o 
dígito menos significativo (LSD) 
e o último resto se torna o dígito 
mais significativo (MSD).
Sistemas de Numeração: Conversão Octal → Binário
● Na conversão Octal/Binário: A conversão de octal para binário é realizado 
convertendo-se cada dígito octal nos três bits binários equivalentes.
Os oito dígitos possíveis são convertidos conforme a tabela.
Dígito 
Octal
0 1 2 3 4 5 6 7
Equivalente 
Binário
000 001 010 011 100 101 110 111
Sistemas de Numeração: Conversão Octal → Binário
Dígito 
Octal
0 1 2 3 4 5 6 7
Equivalente 
Binário
000 001 010 011 100 101 110 111
Exemplo: 4728 → 1001110102 Exemplo: 54318 → 1011000110012
Sistemas de Numeração: Conversão Binário → Octal
● Na conversão Binário/Octal: Os bits do número binário são resumidos em 
grupos de três bits iniciando-se no LSB. 
Então, cada grupo é convertido para o seu equivalente octal (conforme tabela).
Dígito 
Octal
0 1 2 3 4 5 6 7
Equivalente 
Binário
000 001 010 011 100 101 110 111
Sistemas de Numeração: Conversão Binário → Octal
Dígito 
Octal
0 1 2 3 4 5 6 7
Equivalente 
Binário
000 001 010 011 100 101 110 111
Exemplo: 1001110102 → 4728 Exemplo: 54318 → 110101102
Sistemas de Numeração: Conversão Binário → Octal
Dígito 
Octal
0 1 2 3 4 5 6 7
Equivalente 
Binário
000 001 010 011 100 101 110 111
Exemplo: 1001110102 → 4728 Exemplo: 54318 → 0110101102
Sistemas de Numeração: Conversão Decimal→ Octal → Binário
● Exemplo: Converta o 17710 para o seu equivalente binário de oito bits, 
convertendo primeiramente para octal.
Decimal → Octal
17710 = 2618
Octal → Binário
2618 = 101100012
2 = 010
6 = 110
1 = 001 (LSB)
Sistemas de Numeração: Sistema Hexadecimal
● O sistema de numeração hexadecimal tem 
base 16, o que significa que existem 16 
símbolos possíveis: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Cada dígito hexadecimal representa um grupo 
de quatro dígitos binários.
Decimal Binário Hexadecimal
0 0000 0
1 0001 1
2 0010 2
3 0011 3
4 0100 4
5 0101 5
6 0110 6
7 0111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F
Sistemas de Numeração: Sistema Hexadecimal
As posições dos dígitos recebem pesos como potências de 16, em vez de usar as 
potências de 10 como no sistema decimal e de 8 como no sistema octal.
164 163 162 161 160 16-1 16-2 16-3 16-4 
,
vírgula hexadecimal
Sistemas de Numeração: Conversão Hexa → Decimal
Conversão Hexadecimal/Decimal: Multiplica-se cada dígito hexa por seu peso posicional.
● Exemplo 1: 35616 = 3*(16
2) + 5*(161)+ 6*(160)
= 3*256 + 5*16 + 6*1
= 768 + 80 + 6 
= 85410 
● Exemplo 2: 2AF16 = 2*(16
2) + A 10*(161) + F 15*(160) 
= 2*256 + 10*16 + 15*1
= 512 + 160 + 15 
= 68710
Sistemas de Numeração: Conversão Decimal → Hexa
● Método que utiliza divisões sucessivas por 16.
Converta 42310 Converta 21410
Sistemas de Numeração: Conversão Hexa → Binário
● Na conversão Hexa/Binário: Semelhante a conversão octal/binário, cada 
dígito hexa é convertido no equivalente binário de quatro bits.
Dígito 
Hexa
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Equivalent
e Binário
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Sistemas de Numeração: Conversão Binário → Hexa
● Na conversão Hexa/Binário: O número binário é disposto em grupos de 
quatro bits, e cada grupo é convertido no dígito hexa equivalente.
Dígito 
Hexa
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Equivalent
e Binário
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111