Apostila Formato A4 - Módulo I Completa - 04 02 21 - Rev 00

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FÍSICA DE REATORES 
NUCLEARES 
Autor: Alessandro da Cruz Gonçalves 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão - 00 
 
 
 
Prefácio 
Os fenômenos nucleares ocorrem em escalas microscópicas da ordem de 10-15 m, e são por sua 
vez inalcançáveis pelos sentidos humanos, mas por outro lado são completamente inteligíveis à 
Física. E foi por meio do avanço do conhecimento científico em Física Nuclear que se tornou 
possível o surgimento de uma gama enorme de tecnologias voltadas à medicina nuclear, 
instrumentação, geração de energia, etc.... Mesmo com todo avanço tecnológico ocorrido nas 
últimas décadas, faz-se necessário a busca por novas tecnologias que possam trazer inovações 
com respeito à segurança e operação de plantas nucleares, assim como tratamento e 
armazenamentos de rejeitos radiativos de alta intensidade. 
 
Tendo em vista o interesse no desenvolvimento nacional da Engenharia Nuclear e a melhor 
qualidade na formação dos nossos profissionais, o presente material apresenta-se como um 
complemento destinado aos alunos de graduação e pós-graduação, objetivando levar os leitores a 
uma compreensão conceitual dos fenômenos físicos que ocorrem dentro de um reator nuclear, 
além de proporcionar ao leitor uma visão básica da Física Reatores Nucleares e suas aplicações 
na Engenharia Nuclear. 
 
Esta apostila se deve a enorme escassez de material didático com respeito à Física de Reatores 
Nucleares em língua portuguesa. Na bem da verdade, nós não temos nenhum livro de Física de 
Reatores Nucleares em português. Portanto, essa apostila apresenta-se como alternativa aos 
alunos que desejam se aventurar no conhecimento da Física de Reatores; não pretendendo ser um 
livro, mas sim um material de apoio aos alunos. A apostila vem sendo desenvolvida visando 
atender as necessidades do Departamento de Engenharia Nuclear e do Programa de Pós-
graduação em Engenharia Nuclear, com respeito ao ensino das disciplinas de Física de Reatores 
I e II nos cursos de graduação e pós-graduação. Além disso, a apostila tem por objetivo apresentar 
ao leitor o universo nuclear por meio de uma visão clara e objetiva, discutindo conceitualmente 
os modelos físicos que permeiam a Física de Reatores Nucleares. 
 
 
CAPÍTULO I 
UMA BREVE HISTÓRIA DA ENERGIA NUCLEAR 
 
A radiação ionizante foi descoberta por Röntgen em 1895, pela passagem de uma corrente 
eléctrica através de um tubo de vidro em vácuo, produzindo continuamente raios-X. No ano 
seguinte em 1896, Henri Becquerel verificou acidentalmente que um composto de Urânio causava 
o escurecimento de filmes fotográficos, isso levou Becquerel conjecturar que o escurecimento 
dos filmes fotográficos devia-se à radiação beta (elétrons) e as partículas alfas (núcleos de hélio) 
que eram emitidas pelo composto de Urânio. Essas descobertas renderam a Henry Becquerel o 
prêmio Nobel de Física no ano de 1903. Algum tempo depois, Pierre e Marie Curie identificaram 
os elementos: Polônio e Rádio, bem como suas respectivas características físicas, denominando-
os de “radioativos”. A descoberta destes elementos trouxe aplicações imediatas no campo da 
medicina, tanto que em 1898, Samuel Prescott mostrou que a radiação era capaz de destruiu as 
bactérias presentes em alimentos. 
 
Em 1911, o físico Ernest Rutherford propôs um modelo revolucionário para explicar a estrutura 
atômica, oito anos depois Rutherford realizou um experimento colidindo um feixe de partículas 
alfa contra uma folha delgada de ouro, o que evidenciou que a estrutura atômica era composta por 
um núcleo com cargas positivas e elétrons orbitando entorno do núcleo. No ano de 1932, James 
Chadwick “descobriu” o nêutron e neste mesmo ano Cockcroft e Walton produziram 
transformações nucleares através do bombardeio de átomos com prótons acelerados, em seguida, 
em 1934 Irene Curie1 e Frederic Joliot descobriram que algumas dessas transformações geravam 
radionuclídeos artificiais. No ano seguinte Enrico Fermi descobriu uma maior variedade de 
radionuclídeos artificiais formados através do bombardeamento de nêutrons em Urânio. 
 
No final de 1938, Otto Hahn e o então jovem Fritz Strassmann em Berlim mostraram que o 
bombardeamento do Urânio por nêutrons dava origem a observação de um isótopo do Bário, essas 
observações induziram a pensar que o átomo de Urânio se dividia em dois átomos mais leves, 
esse fenômeno foi denominado de fissão nuclear. Posteriormente, Lise Meitner2 e seu sobrinho 
Otto Frisch, juntamente com Niels Bohr, propuseram um modelo capaz de explicar e calcular a 
energia liberada no processo de fissão nuclear. Eles previam que a energia liberada durante a 
fissão nuclear do Urânio era da ordem de 200MeV, o que foi confirmado algum tempo depois 
 
1 A descoberta redeu a casal o prêmio Nobel de Química em 1935, tornando assim a família Curie a maior ganhadora de prêmios 
Nobel da história da ciência. 
2 A Sociedade Alemã de Física concedeu-lhe a Medalha Max Planck em 1949. Lise não foi incluída no prêmio 
Nobel, mas dividiu o Prêmio Enrico Fermi, em 1966, com Otto Hahn e Fritz Strassmann, pela descoberta da fissão 
nuclear. Einstein até a chamou de “nossa Marie Curie”. 
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pelo próprio Otto Frisch, em um experimento realizado em janeiro de 1939. Todas essas 
contribuições valeram a Frisch o Prêmio Nobel de Química em 1944. As contribuições de Frisch 
levam a confirmação experimental do trabalho de Albert Einstein em 1905, no qual propôs a 
famosa equação � = ���. 
 
O resultado decorrente do experimento de 1939 desencadeou um enorme interesse científico em 
muitos laboratórios, mostrando ser possível uma reação em cadeia sustentável que conduz a uma 
enorme liberação de energia. Esta sugestão foi logo confirmada experimentalmente por Joliot e 
seus colegas de trabalho em Paris, e também por Leo Szilard e Fermi, em Nova York. Diante da 
euforia da descoberta da energia gerada pela fissão nuclear, surgiram os modelos físicos capazes 
de explicarem o processo de fissão. Niels Bohr foi um dos que propôs que a fissão era muito mais 
provável de ocorrer no isótopo U235 do que no U238, e que a fissão poderia ocorrer de forma 
mais eficaz com nêutrons térmicos do que com nêutrons rápidos, o que foi confirmado 
experimentalmente por Szilard e Fermi. 
 
Todas essas descobertas trouxeram a possibilidade de gerar energia por meio da fissão do Urânio. 
Contudo, a geração de energia a partir da fissão do Urânio enfrentava um enorme desafio 
tecnológico, que era a necessidade de se aumentar a concentração do isótopo de U235 por meio 
de um processo denominado de enriquecimento, a fim de desencadear uma reação em cadeia. 
Todas essas descobertas científicas ocorreram no início da segunda grande guerra, o que acabou 
desvirtuando o propósito da energia nuclear. Essas descobertas juntamente com os conflitos, 
motivaram o governo dos Estados Unidos a uma corrida pelo domínio da tecnologia de 
enriquecimento de Urânio, tanto que em junho de 1942, o Exército Norte Americano assumiu o 
desenvolvimento do processo de enriquecimento e construção das bombas nucleares, reunindo 
uma equipe de cientistas brilhantes no chamado projeto Manhattan, o que culminou nas 
construções das duas primeiras bombas nucleares da história da humanidade. A primeira bomba, 
que continha U235, foi lançada sobre Hiroshima em 6 de agosto de 1945 e a segunda bomba, 
contendo Pu239, foi lançada sobre Nagasaki em 9 de agosto do mesmo ano. Após o fim da 
segunda grande guerra, nos anos cinquenta, o presidente Eisenhower promoveu um programa 
para o uso pacífico da energia nuclear chamado de “Átomos para a Paz”. O programa dedicou um 
esforço significativo à pesquisa para a geração de eletricidade, a fim de definir um novo rumo 
para o desenvolvimento de energia nuclear. 
 
Já na antiga União Soviética, o trabalho da geração de eletricidade por meio daenergia nuclear 
encontrou um campo bastante promissor, pois o Institute of Physics and Power Engineering - FEI 
vinha trabalhando para o desenvolvimento da tecnologia para a geração termonuclear, partindo 
da modificação de um reator para produção de plutônio, com uma capacidade projetada para gerar 
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30 MWt, além disso, O FEI foi responsável também pelo desenvolvimento dos chamados Fast 
Bread Reactor - FBR. 
 
O principal esforço dos EUA estava sob a responsabilidade do almirante Hyman Rickover, que 
coordenou desenvolvimento do reator a água pressurizada (PWR) para uso naval. O Mark I 
protótipo de reator naval começou a operar em março de 1953, em Idaho, o que acabou 
conduzindo a Comissão de Energia Atômica dos EUA construir um reator a água pressurizada 
(PWR) de 60 MWe no estado da Pensilvânia, que operou entre 1957 a 1982. Todos esses 
investimentos deram aos Estados Unidos à hegemonia da tecnologia nuclear no ocidente, tanto 
que, no fim dos anos cinquenta a Westinghouse e General Eletric projetaram e comercializaram 
reatores do tipo PWR e BWR, respectivamente. 
 
Toda essa revolução tecnológica fez com que a geração de energia termonuclear, tivesse em 
meados dos anos 80 uma participação de aproximadamente de 16% da energia elétrica gerada no 
mundo, consolidando a relevância desta tecnologia para geração de energia elétrica. Isso ficou 
mais evidenciado no início do novo século, quando vários fatores trouxeram uma maior 
perspectiva para a energia nuclear. Entre estes, podemos citar o aumento da demanda energética 
mundial, o avanço tecnológico na segurança dos reatores e a necessidade de se reduzir as emissões 
de carbono devido à preocupação com o aquecimento global. Todos esses fatores culminaram na 
disponibilidade de uma nova geração de reatores nucleares, de forma que em 2004 um dos 
primeiros reatores de terceira geração foi encomendado pela Finlândia (PWR de 1600 MWe de 
tecnologia EPR). No ano de 2015 a Westinghouse e a Blue Castle Holdings assinaram um acordo 
de cooperação para a construção de dois novos reatores de terceira geração do tipo AP1000 no 
Estado de Utah nos Estados Unidos. Atualmente existem oito reatores AP1000 em construção no 
mundo, das quais quatro nos Estados Unidos (duas em Vogtle e duas em V.C. Summer) e quatro 
na China (duas em Sanmen e duas em Haiyang). Só a China caminha em direção de um enorme 
aumento da capacidade nuclear até 2020, onde se pretende ter aproximadamente 100 reatores 
nucleares operando. 
 
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REFERENCIAS 
 
Principal Fonte: http://www.world-nuclear.org 
 
Alexander Petrov, “A Short History of the Ioffe Institute”, ITER Domestic Agency of the Russian 
Federation, (2009), 
https://www.iter.org/doc/www/content/com/Lists/Stories/Attachments/273/Ioffe_TRULY%20F
INAL_pics.pdf 
 
Carl H. Meyer and Günter Schwarz, “The Theory of Nuclear Explosives that Heisenberg did not 
Present to the German Military”, Max Planck Institute for the History of Science, (2015). 
 
Clarence Hardy and Glen Haven, “Atomic Rise and Fall, the Australian Atomic Energy 
Commission”, Peakhurts, N.S.W., (1999). 
 
Spencer Weart, “Nuclear Fear”, Harvard UP, (1988). 
 
 
CAPÍTULO II 
REATORES NUCLEARES 
 
Os reatores nucleares produzem e controlam a liberação de energia a partir da fissão dos núcleos 
dos isótopos de Urânio e Plutônio. Em um reator nuclear, a energia liberada na forma de calor é 
utilizada para produzir vapor, que, por sua vez é utilizado para gerar eletricidade. Os princípios 
para a utilização da energia nuclear para produzir eletricidade são os mesmos para os principais 
tipos de reatores. Atualmente temos aproximadamente seis tipos de tecnologia de reatores 
comerciais em operação, os quais podem ser classificados quanto à reação de fissão, tipo de 
refrigerante e/ou moderador 
 
Classificação quanto aos Tipos de Reação Nuclear 
� Reatores Térmicos: São reatores em que a reação em cadeia é sustentada 
predominantemente pela fissão por nêutrons térmicos, cuja energia média é de 0,025 eV; 
� Reatores Rápidos: São reatores em que a reação em cadeia é sustentada 
predominantemente pela fissão por nêutrons rápidos, cuja energia é da ordem de 1 MeV. 
 
Classificação quanto aos Tipos de Moderadores 
� Reatores de Água Leve (LWR): São reatores em que usam a água desmineralizada 
(H2O) como moderador; 
� Reatores de Água Pesada: São reatores em que usam a água pesada (D2O) como 
moderador. 
 
Classificação quanto aos Tipos de Refrigerantes 
� Reatores a Água Pressurizada (PWR): São reatores em que utilizam a água (em sua 
fase líquida submetida a uma pressão típica de 15,5 MPa) como refrigerante; 
� Reatores a Água Fervente (BWR): São reatores em que usam a água fervente (em duas 
fases com uma pressão típica de 7 MPa); 
� Reatores Refrigerados a Metal-líquido: São reatores em que usam a sódio (NaK), 
Chumbo, Chumbo-bismuto e mercúrio como refrigerante; 
� Reatores Refrigerados a Gás: São reatores que empregam o Hélio, Nitrogênio e 
Dióxido de Carbono (CO2) como refrigerante. 
 
Os reatores térmicos a água leve representam aproximadamente 80% dos reatores comerciais em 
operação no mundo, por esse motivo apresentaremos a seguir uma breve descrição dos Reatores 
a Água Pressurizada (PWR) e Reatores a Água Fervente (BWR). 
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2.1 - Reatores a Água Pressurizada (PWR) 
Esses reatores são assim chamados por causa da água desmineralizada, que é pressurizada e serve 
como refrigerante e moderador dentro do núcleo do reator. Nestes reatores a água é submetida a 
uma pressão típica de 15,5 MPa, a fim de evitar a sua ebulição a uma temperatura de 
aproximadamente 320 °C em condições típicas de operação. A Figura 2.1 mostra um esquema 
simplificado representativo de uma planta nuclear do tipo PWR. A figura ilustra dois Circuitos 
de Circulação: o Primário e o Secundário. O circuito de circulação Primário é aquele em que a 
água na fase líquida circula sobre pressão passando pelo vaso de pressão do reator, pressurizador 
e gerador de vapor; esse circuito é dito fechado, pois não existe contato direto entre água do 
circuito primário com a água do circuito secundário. O circuito secundário é responsável pela 
geração do vapor e por seu transporte para a turbina. 
 
Figura 2.1 – Esquema Simplificado de uma Planta Nuclear do Tipo PWR 
 
2.2 - Reatores a Água Fervente (BWR) 
Esses reatores são assim chamados por causa da água, que é encontrada em duas fases, e é usada 
como refrigerante e moderador dentro do núcleo do reator. Nestes reatores a água é submetida a 
uma pressão típica de 7 MPa e a temperatura do refrigerante variaentre 278 ºC e 288 ºC em 
condições típicas de operação. A Figura 2.2 mostra um esquema simplificado de uma planta 
nuclear do tipo BWR. A principal diferença entre BWR e PWR é a geração direta de vapor no 
vaso de pressão, o que elimina a necessidade de geradores de vapor e a existência de dois circuitos 
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de circulação separados. Essa particularidade simplifica enormemente a estrutura da planta e 
permite a redução do tamanho da contenção, tornando-a muito menor para BWR’s do que para 
os PWR’s. 
 
Figura 2.2 – Esquema Simplificado de uma Planta Nuclear do Tipo BWR 
 
2.3 - Vaso de Pressão 
A principal função do vaso de pressão do reator é conter o núcleo do reator e seus sistemas 
auxiliares, dos quais podemos destacar: Elemento combustível, barril do núcleo, refrigerante, 
barras de controle e instrumentação do núcleo. Do ponto de vista de segurança, o vaso de pressão 
se constitui a principal peça de contenção, servindo de barreira contra o vazamento dos produtos 
de fissão em caso de acidente. O interior do vaso de pressão de um típico PWR de 1300 Mwe tem 
aproximadamente 12 m de altura e 5 m de diametro e uma espessura de aproximadamente de 30 
cm, seu interior é revestido em aço austenítico a fim de proteger contra a corrosão, além de ser 
projetado para suportar uma pressão de 17 MPa e uma temperatura de 350 ºC. Já os vasos de 
pressão dos BWR’s são típicamente muito maiores do que os do PWRs, além disso, possuem uma 
espessura entre 15 e 20 cm por conta de estarem submetido a uma pressão muito mais baixa do 
que as dos reatores a àgua pressurizada. A Figura 2.3 ilustra os vasos de pressão de reatores a 
água pressurizada e reatores a água fervente. 
 
O vaso de pressão é projetado de forma que suas paredes internas suportem as cargas criadas 
durante o funcionamento do reator, resultante do fluxo do refrigerante e do gradiente de 
temperatura. Além disso, os vasos de pressão são projetados para suportarem vibrações 
provocadas por terremotos. 
 
 
 
 
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Figura 2.3 – Vaso de Pressão de um BWR (esquerda) e PWR (direita) 
2.4 - Elemento Combustível 
Cada um dos diferentes tipos de reatores nucleares possui uma forma particular de Elemento 
Combustível (EC), conforme mostrado na Figura 2.4. Os ECs dos PWR’s e BWR’s são formados 
por varetas cilíndricas, cuja pastilha combustível é feita de um material cerâmico. Os PWR’s têm 
pastilhas combustíveis cilíndricas de UO2 encapsuladas em varetas metálicas, que são fixadas no 
EC por meio de grades espaçadoras que servem de estrutura, a fim de manter o espaçamento das 
varetas combustíveis dando rigidez ao conjunto, bem como provendo guias para elementos de 
controle do reator. A seguir é apresentada uma breve descrição de um típico EC de um Reator a 
Água Pressurizada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 – Elemento Combustível de PWR (esquerda) e BWR (direita) 
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A Figura 2.5 exemplifica os detalhes do elemento combustível de um típico PWR, dos quais 
podemos destacar os seguintes componentes: 
 
� Vareta Combustível; 
� Tubo Guia; 
� Grades Espaçadoras; 
� Bocais de Extremidade; 
� Mola de Fixação do EC. 
 
 
Figura 2.5 – Componentes do Elemento Combustível de um PWR 
 
A vareta combustível é constituída de pastilhas combustíveis, pastilha isolante, mola de fixação 
da coluna de pastilha, tubo metálico de revestimento e tampões de extremidade. A pastilha 
combustível é constituída de UO2 sinterizada com enriquecimento, variando entre 2 a 4%. A 
pastilha tem forma cilíndrica com cavidades nas extremidades e chanfros nas bordas, de forma a 
minimizar as expansões térmicas axiais e radiais das extremidades da pastilha de modo a melhorar 
o desempenho da vareta combustível durante irradiação, uma vez que o gradiente térmico radial 
na pastilha é bastante acentuado. Para manter a coluna de pastilhas unidas dentro da vareta 
combustível são criados espaços vazios para acomodar os gases de fissão produzidos durante a 
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irradiação, é colocada uma mola na parte superior da vareta, a fim de acomodar também as 
expansões diferenciais entre a coluna de pastilha e o revestimento evitando altas tensões. Entre a 
mola e a coluna de pastilhas combustíveis é colocada uma pastilha isolante de Al2O3 (alumina) 
de forma a diminuir o fluxo de calor da pastilha combustível para a região da mola (plenum) bem 
como evitar reações entre a pastilha e a mola, uma vez que as temperaturas na região central da 
pastilha podem ultrapassar os 600°C. 
 
Na extremidade inferior das varetas combustíveis são colocadas pastilhas isolantes, a fim de evitar 
o contato direto da parte central da pastilha combustível com o tampão de extremidade; além 
disso, as pastilhas isolantes servem para ajustar o posicionamento axial da coluna de pastilhas. As 
varetas combustíveis assim como os tampões das suas extremidades servem para manter 
estanques as pastilhas combustíveis, assim como os produtos de fissão gasosos produzidos na 
pastilha durante a irradiação. Os tampões são soldados ao tubo de revestimento. Qualquer ruptura 
do tubo, durante a operação no reator, leva a liberação de produtos de fissão radioativos para o 
refrigerante. A vareta combustível de um típico PWR é revestida de uma liga de zircônio 
(zircaloy-4) resistente à corrosão e com baixa seção de choque de absorção, preenchidas 
internamente com gás hélio a fim de equalizar a pressão interna da vareta com a pressão externa 
de forma a melhorar a transferência de calor das pastilhas para o revestimento e deste para o 
refrigerante. 
 
As varetas combustíveis são projetadas para ficarem regularmente separadas no reticulado do 
Elemento Combustível (EC) com base no projeto neutrônico e na transferência de calor. O número 
de varetas combustíveis no reticulado do EC depende da relação entre a potência global do reator 
e a densidade linear de potência desejada para cada vareta. Algumas posições do reticulado dos 
ECs são ocupados por tubos guias abertos na parte superior servindo para instrumentação e para 
movimentação de barras de controle, além disso, os tubos possuem um estreitamento na parte 
inferior com alguns furos que permitem o escoamento do refrigerante por dentro do tubo fazendo 
um efeito de “amortecimento hidráulico” (dashpot) quando da queda de uma Barra de Controle 
(BC) dentro do EC. 
 
A posição central do reticulado do EC costuma conter um tubo guia para instrumentações internas 
do núcleo, onde são utilizados detectores de nêutrons para medida de fluxo e termopares para 
medir temperatura. Nas posições de fixação das varetas combustíveis existe um sistema mola-
batente que permite a fixação da vareta no plano da grade e ainda possibilita o deslizamento da 
vareta no sentido perpendicular à grade, de modo a permitir expansões axiais e diferenciais entre 
varetas combustíveissem causar tensões excessivas. 
 
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As grades espaçadoras possuem também aletas defletoras para prover maior agitação na água de 
refrigeração que passa ao longo do EC, a fim de melhorar a transferência de calor das varetas 
combustíveis para o refrigerante. Os bocais de extremidade do EC servem de orientadores do 
fluxo de água para os canais de refrigeração entre as varetas combustíveis e também como peças 
estruturais de ligação do EC com as estruturas do reator. O elemento combustível possui uma 
estrutura principal denominado de “esqueleto”, a qual é formada pela junção rígida dos tubos 
guias das barras de controle, grades espaçadoras e os bocais de extremidade. As varetas 
combustíveis são fixadas pelas grades espaçadoras através do sistema mola-batente, na qual as 
extremidades são livres, a fim de comportar a expansão térmica axial. A expansão diferencial 
entre varetas combustíveis ou entre varetas e os tubos guias dá-se pelos gradientes térmicos 
existentes (devido à geração de potência diferenciada entre varetas combustíveis e potência 
próxima de zero no tubo guia) e ao crescimento axial de tubos de zircaloy dependentes da fluência 
neutrônica. 
 
2.5 - Elementos de Controle 
Os elementos de controle3 são utilizados para controlar a reação em cadeia dentro do núcleo do 
reator, bem como para manter a distribuição de potência mais homogênea no núcleo. Os 
elementos de controle podem ser utilizados para controlar o reator em termos de modificar a 
reatividade do núcleo através da inserção e retirada do material absorvedor, de forma a mudar os 
níveis de potência do reator, além de compensar o excesso de reatividade do núcleo ao longo da 
queima. Os materiais absorvedores para esta função podem estar em componentes mecânicos do 
reator que são denominados de Barra de Controle (BC) ou estar diluídos de forma homogênea no 
refrigerante, como no caso do ácido bórico. 
 
Os elementos de controle têm também a finalidade de manter a segurança do reator durante a 
operação, uma vez que são eles que devem fornecer a reatividade negativa disponível para 
desligar o reator em qualquer situação, seja ela de operação normal ou acidente. A inserção desses 
materiais absorvedores no núcleo do reator torna o reator subcrítico com uma margem de 
reatividade negativa estabelecida por critérios neutrônicos conforme normas técnicas. Os 
materiais para esta função podem ser fisicamente idênticos aos de controle, ou seja, podem estar 
em componentes mecânicos do reator que são denominados Elementos de Segurança e podem 
estar em forma líquida para serem diluídos no refrigerante, como o ácido bórico, ou na forma de 
Barras de Controle. 
 
 
3 Além disso, os elementos de controle servem para compensar o excesso de reatividade do núcleo ao longo da queima 
 
Os elementos de controle podem ser usados também como veneno queimável, cujo objetivo é 
fornecer excesso de reatividade negativa ao núcleo para compensar a reatividade positiva 
provenientes do material físsil, além de proporcionar uma distribuição de potência mais 
homogênea no núcleo do reator. Os principais materiais absorvedores utilizados como veneno 
queimável são: Silicato de Boro, Gadolínio (Gd2O3) e Ácido Bórico. 
 
2.5.1 - Silicato de Boro 
O Silicato de Boro4 em forma vítrea é um material absorvedor utilizado como veneno queimável 
em reatores a Água Leve Pressurizada, com as seguintes características: 
� Baixo custo e disponibilidade do material; 
� Facilidade de fabricação a baixo custo; 
� Boa homogeneidade do Boro; 
� Baixa susceptibilidade de haver interação mecânica entre a pastilha e o revestimento; 
� Alta liberação de Hélio; 
� Baixa rigidez que leva a problemas de sustentação da coluna da pastilha; 
� Baixa resistência à corrosão ao refrigerante. 
 
2.5.2 - Gadolínio - Gd2O3 
O Gadolínio é um material absorvedor misturado homogeneamente ao material combustível 
utilizado como veneno queimável em reatores a Água Leve Pressurizada, com as seguintes 
características: 
� Menor efetividade (neutrônica) ao final do ciclo de irradiação; 
� Baixo custo de fabricação; 
� Baixo custo de reprocessamento de rejeitos; 
� Melhora a flexibilidade de projeto de recargas de reatores; 
� Diminui o custo de recargas dos reatores; 
� O controle dos picos de potência nos PWR requer análise detalhada; 
� Incertezas na previsão da queima do Gadolínio levam a incertezas das margens de 
desligamento, tempo de queima de um ciclo, e nos fatores de pico de potência do núcleo 
do reator; 
� Experiência limitada com altas concentrações de Gadolínio para altas queimas no reator. 
 
2.5.3 - Ácido Bórico 
Os reatores do tipo PWR usam um tipo especial de veneno solúvel, para ajudar a controlar o reator 
durante a queima do combustível nuclear denominado de ácido bórico (H3BO3), que tem a 
 
4 Este tipo de veneno queimável foi amplamente utilizado no reator de Angra 1 durante vários ciclos. 
 
vantagem de poder ser diretamente diluído no refrigerante para absorver nêutrons. A variação da 
concentração do ácido bórico no refrigerante torna possível os ajustes sutis no nível de potência 
do reator, sendo muito mais simples de serem executados do que aqueles realizados pela 
movimentação de barras de controle. Entretanto, mudanças da concentração do ácido bórico não 
produzem respostas tão rápidas quantas aquelas obtidas pela movimentação de barras de controle. 
Portanto, o controle químico por meio da diluição do ácido bórico não pode ser usado para 
controlar grandes inserções de reatividade. Sendo assim, os PWRs sempre usam em conjunto a 
movimentação de barras de controle e o controle químico para o controle de reatividade. Por 
exemplo: 
� Barras de controle são usadas para fornecer o controle de reatividade para o caso de um 
desligamento rápido do reator, e para compensar a variação da reatividade devido à 
mudança de temperatura do combustível e do refrigerante; 
 
� O ácido bórico é usado para manter o reator crítico durante transientes de xenônio e para 
compensar a queima do combustível, como ilustrado pela Figura 2.6. 
 
 
 
Figura 2.6 – Curva da Concentração de Boro Solúvel versus o Tempo de Operação, para 
um Típico PWR 
 
Quando o ácido bórico é injetado no refrigerante, a concentração de Boro aumenta, e 
consequentemente o nível de potência do reator é reduzido, uma vez que mais nêutrons são 
absorvidos. Se porventura for adicionado um excesso de ácido bórico ao refrigerante, isso fará 
com que o reator se torne subcrítico. Portanto, ao longo da operação do reator é necessário 
controlar a concentração de ácido bórico no refrigerante a fim de manter o reator crítico até o final 
do seu ciclo de operação, de modo que concentração do ácido bórico é reduzida 
 
proporcionalmente a queima do combustível nuclear, mantendo o reator crítico e uma distribuição 
de potência mais homogênea. Além disso, uma das vantagens do uso do ácido bórico no controle 
da reatividade em PWR’s de grande porte, é que este contribui significativamente para redução 
do custo do projeto, de modo que estes reatores necessitam de um número menor de barras 
controle, reduzindo assim o custo total do reator; uma vez que as barras de controle são 
dispendiosas ao projeto. Outra vantagem do uso do ácido bórico, é que este é distribuído 
uniformemente no núcleo do reator, de modo que alterações na sua concentração produzem 
perturbações mínimas na distribuição de potência. 
Além do ácido bórico, existem outros tipos de venenos solúveis, como o nitrato de gadolínio e 
perborato de sódio que podem ser injetados diretamente no sistema de refrigeração se umaemergência se desenvolver. Estes venenos são eficazes na absorção de nêutrons quando um reator 
precisa ser desligado rapidamente. Eles podem ser injetados automaticamente no refrigerante ou 
podem ser injetados manualmente no refrigerante se o sistema de injeção de emergência vier a 
falhar. 
 
Todos os elementos de controle citados nesta seção são de vital importância para manter o bom 
funcionamento do reator nuclear, pois são eles que garantem a segurança do reator durante a 
operação, proporcionando uma queima do combustível nuclear mais homogênea, além garantir 
um excesso de reatividade negativa disponível para desligamento do reator em qualquer situação, 
seja ela de operação normal ou de acidente. 
 
 
REFERENCIAS 
 
Bahman Zouhri and Nima Fathi, “Thermal-Hydraulic Analisis of Nuclear Reactors”, Springer 
Science, (2015). 
 
Robert E. Masterson, “Nuclear Engineerring Fundamentals a Practical Perspective”, Taylor & 
Francis Group, (2017). 
 
José Augusto Perrotta, “Curso de Introdução à Engenharia de Reatores, IPEN, (1999). 
 
Tatjana Jevremovic, “Nuclear Principles in Engineering”, Springer Science, (2009). 
 
Yoshiaki Oka, “Nuclear Reactor Design”, Springer Tokyo Heidelberg New York Dordrecht 
London, (2014). 
 
 
CAPÍTULO III 
CONCEITOS BÁSICOS DE FÍSICA NUCLEAR 
 
A descoberta do núcleo levantou no início do século XX uma questão bastante importante: Qual 
é a força que mantem os prótons e os nêutrons confinados no núcleo? Aja vista que os nêutrons e 
prótons estão confinados em uma região de 10��� m de diâmetro, isso nos leva a concluir que as 
forças que mantem o núcleo coeso devem ser extremamente intensas, de tal forma a superar a 
repulsão eletrostática dos prótons. Essa nova força foi “descoberta” no início do século passado, 
a qual denominamos de força nuclear. Atualmente nós sabemos que essa força se trata de uma 
manifestação particular da chamada interação forte. Além disso, sabemos também que todos os 
fenômenos físicos da natureza são descritos basicamente por quatro interações fundamentais, a 
saber: interação gravitacional, eletromagnética, nuclear forte e nuclear fraca. A interação nuclear 
forte é responsável por quase todas as propriedades dos núcleos atômicos, mas não produz efeitos 
diretamente observáveis na experiência cotidiana. Contudo, a interação nuclear fraca, é 
responsável pela transformação espontânea de prótons em nêutrons (decaimento β+) e de nêutrons 
em prótons (decaimento β−). 
 
3.1 - Propriedades Fundamentais do Núcleo 
Todos os modelos existentes para estudar o núcleo são relativamente rudimentares quando 
comparados aqueles utilizados para descrever a estrutura atômica. Isso se deve ao fato de que as 
forças nucleares não estão completamente esclarecidas do ponto de vista físico. Desta forma, 
mesmo os modelos atuais em vigor usados para calcular as interações mútuas entre os núcleons 
requerem um enorme esforço computacional. No entanto, alguns poucos modelos simples que 
têm sido desenvolvidos permitem a interpretação e interpolação de dados nucleares. Portanto, 
vamos iniciar nossa discussão sobre modelos nucleares, revendo algumas propriedades básicas, e 
em seguida, apresentaremos um panorama sobre a estrutura do núcleo. 
 
As primeiras pesquisas sobre a estrutura dos átomos revelaram várias propriedades importantes 
acerca do núcleo. Os experimentos realizados por J. J. Thomson em 1913 e Aston em 1919 
mostraram que as massas dos átomos eram números quase inteiros. Thomson já havia mostrado 
em 1898 que os átomos contêm elétrons, cuja massa é consideravelmente menor do que a massa 
do átomo, por exemplo: um átomo de C12 tem uma massa de 12u (por definição), enquanto que 
a massa dos seus seis elétrons é de apenas 0,00329u. Em 1911, Rutherford demonstrou por meio 
de uma experiência com espalhamento alfa que o núcleo do átomo contém carga positiva e que a 
maior parte da massa do átomo encontra-se contida em uma região muito pequena (~10-14m) 
muito menor do que o átomo (~10-8m). 
 
Experimentos realizados usando o espalhamento por feixes de elétrons de alta-energia, 
permitiram que o grupo de Robert Hofstadter em 1956 construísse um modelo que explicasse a 
distribuição da densidade de carga em núcleos esféricos, mostrando que a densidade de carga é 
dada por: 
ρ�(�) =
���
1 + exp �
� − �
� �
																																																																																																																					(3.1) 
 
onde, � é a distância a partir do centro do núcleo, � é o raio do núcleo (é definido como a distância 
em que a densidade de carga caí a metade do seu valor máximo) e � é uma constante relacionada 
a “espessura da superfície” sobre a qual a densidade de carga torna-se desprezível. A Figura 3.1 
mostra o comportamento da densidade de carga em função da distância ao centro do núcleo, onde 
podemos observar que a densidade de carga no interior do núcleo é praticamente constante, igual 
a ���, e tende cair rapidamente na superfície do núcleo. Essa diminuição abrupta da densidade de 
carga mostra que os núcleos não têm um raio bem definido, mas uma região de superfície com 
certa espessura, na qual a densidade cai de 90% para 10% do seu valor central. 
 
 
Figura 3.1 – Densidade de Carga em Função da Distância do Centro Núcleo 
 
A Figura 3.2 exemplifica os valores típicos da distribuição da densidade de carga para diferentes 
nuclídeos. Observe por meio da figura que a densidade de carga no interior do núcleo, ρ�(�), 
diminui à medida que o número de massa no núcleo aumenta, isso nos permite concluir que a 
densidade de núcleons de um núcleo é proporcional à densidade de carga. 
 
 
Figura 3.2 – �(�) de alguns nuclídeos. 
 
Admitindo que a razão entre a densidade de nêutrons e a densidade de carga no núcleo seja 
constante, ou seja, ρ�(�) ρ�(�)⁄ =
N
Z� . Logo podemos expressar a densidade de núcleons, 
ρ�(�), em função da densidade de carga no núcleo. Tal que: 
ρ�(�) = ρ�(�) + ρ�(�) = �1 +
� − �
�
� ρ�(�) → ρ�(�) =
A
Z� ρ�(�). 
 
De forma mais explicita temos que:	 
ρ�(�) =
��
1 + exp �
� − �
� �
,																																																																																																																			(3.3) 
sendo,	�� ≡
A
Z� 	��� . 
 
Esses resultados mostram que a densidade de massa no interior do núcleo é praticamente igual 
para todos os núcleos. Isso implica em dizer que ao aumentar o número de núcleons, não faz com 
que a densidade de massa seja aumentada, mas apenas o tamanho do núcleo. 
 
3.2 - Modelo Próton-Nêutron 
Em 1932 Chadwick verificou a existência do nêutron, uma partícula sem carga com uma massa 
ligeiramente maior do que a do próton (�� = 1,008665�, �� = 1,007276�). A concepção 
moderna de que os núcleos são compostos por prótons e nêutrons foi sugerida pela primeira vez 
por Heisenberg em 1932. Por este modelo, um núcleo com um número de massa � contém � 
prótons e � = � − � nêutrons. 
 
O avanço da física quântica consolidou o modelo nêutron-próton, de forma que experimentos 
possibilitaram a formulação de uma regra empírica que conecta o número de massa e o momento 
 
angular, mostrando que os nêutrons, assim como os prótons, tem spin semi-inteiro, ou seja, um 
núcleo de massa �, contendo � prótons e � nêutrons deve, portanto, ter um múltiplo inteiro ou 
semi-inteiro	ℎ/2�, dependendo se o número de massa é par ou ímpar. O modelo nêutron-próton 
proposto mostrou-se consistente com o fenômeno da radioatividade, demonstrando que um 
elétron é criado através de um processo de decaimento β−. Esse tipo de decaimento é observado 
no interior do núcleo, transformando um nêutron em próton, com a emissão de um elétron, 
deixando assim o núcleo com mais prótons e menos nêutrons. Outro fenômeno da radioatividade 
igualmente importante que pode ser explicado através deste modelo, foi o decaimento alfa, onde 
dois pares nêutrons e prótons são ejetados do núcleo.Uma das maiores dificuldades com o modelo próton-nêutron é a forma como que os prótons e 
nêutrons no núcleo são mantidos juntos. Uma vez que os núcleos têm diâmetros da ordem de 
alguns ��, logo os prótons estão muito próximos uns dos outros, de forma que, as forças de 
repulsão eletrostática tentando separá-los são enormes. Isso nos leva a concluir que a força nuclear 
forte que mantém os núcleons coesos é bastante “intensa” e de curto alcance. Isso fica mais 
claramente exemplificado no caso de núcleos com muitos prótons, pois neste caso a força de 
atração nuclear tem que superar a enorme força de repulsão eletrostática entre os muitos prótons, 
mas isso é possível, porque a força de atração nuclear é de curto alcance (da ordem de 1	��) e se 
dada entre dois nêutrons, entre dois prótons e também entre prótons e nêutrons. A magnitude da 
força nuclear forte é tal que o trabalho para separar o último núcleon de um núcleo é milhões de 
vezes maior que o trabalho para remover um elétron da camada mais externa de um átomo. 
Contudo, a força nuclear forte diminui muito rapidamente para fora núcleo, de tal forma que a 
força de repulsão eletrostática responsável pelo espalhamento Rutherford domina. 
 
 
Figura 3.3 – Energia Potencial em função das suas distâncias ao centro. 
 
A Figura 3.3 exemplifica o comportamento típico da energia potencial de um próton em função 
da distância ao centro do núcleo, observe que a energia potencial tende a zero à medida que o 
 
próton se afasta do centro do núcleo, mas quando o próton se aproxima do núcleo a força de 
repulsão eletrostática torna-se intensa fazendo com que a energia potencial aumente. Contudo, 
quando o próton alcança a superfície do núcleo, a força nuclear atrai o próton tentando a ligá-lo 
ao núcleo criando uma energia potencial negativa. Porém, observe na Figura 3.3b que quando um 
nêutron se aproxima do núcleo não estará sujeito à força de repulsão eletrostática como no caso 
do próton, e consequentemente a energia potencial do nêutron permanece nula, até que ele alcance 
a superfície do núcleo, e sofra a atração da força nuclear forte, tornando-o ligado ao núcleo. 
 
3.3 - Estabilidade do Núcleo 
A força nuclear forte é a principal interação por manter a estabilidade dos núcleos, pois ela age 
intensamente de forma atrativa entre prótons e nêutrons, nêutrons e nêutrons e prótons e prótons 
para distâncias menores que 10-15m, porém é praticamente nula para distâncias superiores. 
Todavia, a força de repulsão eletrostática é uma força de alcance “infinito” e inversamente 
proporcional ao quadro da distância da separação. Para o caso dos núcleos pesado a força nuclear 
forte de atração para próton-próton em lados opostos do núcleo, ou seja, separados por distâncias 
maiores que 10-15m é muito menor que a força de repulsão eletrostática de modo a causar 
instabilidades, tal que os núcleos pesados são menos estáveis do que os leves. Logo os núcleos 
leves são aqueles que têm aproximadamente o mesmo número de prótons e nêutrons. Contudo, à 
medida que a massa dos núcleos aumenta o número de nêutrons cresce para tentar equilibrar a 
força de repulsão eletrostática, de modo que núcleos mais pesados têm mais nêutrons do que 
prótons. No entanto, mesmo com o aumento do número de nêutrons a força nuclear forte não 
consegue sobrepujar a força de repulsão eletrostática, de forma que todos os núcleos com mais de 
83 prótons (Bismuto) são instáveis. Porém, todos os núcleos instáveis tendem inerentemente 
atingirem a estabilidade seja por emissão de partícula e/ou emissão de fótons, a todos esses 
núcleos denominamos de radioativos. 
 
A Figura 3.4, mostra que os núcleos radioativos ao emitirem partículas ou fótons tendem a se 
aproximar da região de estabilidade. Além disso, a figura mostra que os núcleos leves que têm o 
número de prótons e nêutrons iguais encontram-se também na região de estabilidade. 
 
 
 
Figura 3.4 – Número de Prótons versus Número de Nêutrons 
Devido à instabilidade dos núcleos radioativos, seria intuitivo pensarmos que os núcleos pesados 
com muitos nêutrons ou prótons para alcançar a estabilidade simplesmente expulsariam os 
nêutrons ou prótons. Contudo, é muito mais frequente se observar durante os fenômenos de 
decaimento radioativo a emissão de pares de prótons e nêutrons, ou seja, partículas alfas (núcleo 
do átomo de Hélio) do que a emissão de prótons ou nêutrons isoladamente. Essa observação indica 
que nos núcleos pesados e leves os prótons e nêutrons se agrupam em pares. Os núcleos 
compostos por múltiplos de pares de prótons e nêutrons são extremamente estáveis, de modo que 
é necessária uma energia enorme para separar qualquer núcleons destes núcleos. 
 
3.4 - Energia de ligação 
Quando duas partículas se aproximam uma da outra sob a influência de uma força atrativa, sua 
energia diminui, de modo que está diferença de energia é emitida. Consequentemente, quando os 
prótons e nêutrons livres se juntam para formar um núcleo, sua energia nesse estado deve ser 
menor do que era quando estavam separados. Essa diferença de energia é denominada de Energia 
de ligação ��, vem da conversão de uma pequena fração das massas oriundas dos nêutrons e 
prótons em energia (como prescrito pela famosa equação de Einstein � = ���). Assim, podemos 
escrever que o equivalente em massa para energia de ligação como sendo ∆� = �� �
�⁄ . Deste 
modo, podemos concluir que a massa de um núcleo é ligeiramente menor que a soma das massas 
de seus respectivos núcleons. 
����
�� < ��� + (� − �)��																																																																																																														(3.3) 
 
Sendo assim, quando prótons e nêutrons se combinam para formação de um núcleo, ocorre o que 
denominamos de defeito de massa em decorrência da variação de energia emitida, 
��� + (� − �)�� → ����
�� + �� �
�⁄ 	,																																																																																										(3.4) 
 
 
ou seja, 
�� �
�⁄ = ∆� = ��� + (� − �)�� − ����
��	.																																																																															(3.5) 
 
Logo fica evidente que a energia de ligação é dada por: 
�� = ∆��
� = ���� + (� − �)�� −����
��� ��.																																																																									(3.6) 
 
A energia de ligação total de um núcleo é a energia com a qual todos os núcleons são mantidos 
coesos neste núcleo. Por sua vez, também pode ser interpretada como a quantidade de trabalho 
ou energia necessária para separar o núcleo em seus respectivos núcleons. Analogamente 
podemos proceder com mesma ideia para o caso do átomo, pois os elétrons se ligam ao núcleo, 
de modo que a energia emitida é igual à energia de ligação dos elétrons ���. Portanto, para 
remover todos os elétrons de um átomo é necessária uma energia de ionização que seja igual à 
energia de ligação dos elétrons ao núcleo. Tal que: 
����
�� + ��� → ����
�� + ��� �
�⁄ 	,																																																																																																(3.7) 
 
deste modo podemos escrever que, 
 ����
�� = ����
�� + ��� −��� �
�⁄ 	.																																																																																																(3.8) 
 
Contudo, o termo ��� �
�⁄ 	pode ser desprezado, uma vez que este é muito pequeno em comparação 
com os demais termos. Por exemplo: para ionizarmos o átomo de hidrogênio é necessário 
aproximadamente 13,6	��, o que equivale a uma correção de massa de 
���� �
�⁄ ~
��,���
�,���∗�����/�
~1,4. 10��	��. Essa correção de massa é insignificante em comparação 
com a massa do átomo e a massa nuclear, e até mesmo desprezível quando comparada com a 
massa do elétron, que é cerca de aproximadamente	5,5. 10��	�. 
 
É importante observar que não existem medidas experimentais com respeito à massa nuclear. 
Entretanto, dispomos de medidas das massas atômicas dos nuclídeos, de modo que a energia de 
ligaçãode um núcleo de massa atômica ��
�	é dada por: 
�����
��
��
= ��� + (� − �)�� − �����
�� − ��� +
���
��
�.																																																										(3.9) 
 
Entretanto, é bem mais comum representarmos o termo ��� em função da massa do átomo de 
Hidrogênio, tal que: 
��� = � ��(��
�) −�� +
���
��
�.																																																																																																					(3.10) 
 
 
Substituindo a equação (3.9) em (3.10), obtém-se que: 
�����
��
��
= � ��(��
�) −�� +
���
��
� + (� − �)�� − �����
�� − ��� +
���
��
� ∴ 
 
�����
�� = ���(��
�) + (� − �)�� −����
����� + (���� − ���).																																									(3.11) 
 
Todavia, os dois últimos termos da equação (3.11)	podem ser ignorados, pois são milhões de 
elétrons volts menores que os demais termos. Sendo assim, podemos escrever que a energia de 
ligação para um núcleo de massa ����
��	como sendo aproximadamente: 
�����
�� ≅ ���(��
�) + (� − �)�� −����
��� ��																																																																							(3.12) 
 
As nomenclaturas	��	e �� são usadas para denotarem a massa de repouso do nêutron e do próton, 
respectivamente. Já a nomenclatura ����
�� designa a massa de repouso do núcleo, enquanto 
����
��	é usado para denotar a massa atômica de repouso. 
 
Exemplo-3.1: Determine o defeito de massa e a energia de ligação do núcleo de Hélio, sabendo 
que a massa do nêutron é 1,0086649u e as massas atômicas do Hidrogênio e do Hélio são 
�(��
�) = 1,0078250� e �(��
�) = 4,0026032�, respectivamente. 
∆� =
�����
��
��
≅ 2 ∗ (1,0078250�	) + 2 ∗ 1,0086649u − 4,0026032 ∴ 
∆� = 0,0303766�. 
 
Sendo assim, 
�����
�� ≅ ∆��� = 0,0303766� ∗
931,5���
�
= 28,30	��� 
 
Exemplo-3.2: Determine o defeito de massa e a energia de ligação do núcleo de Deutério, 
sabendo que a massa do nêutron é 1.0086649u e as massas atômicas do Hidrogênio e do Deutério 
são �(��
�) = 1,0078250� e �(��
�) = 2,013553�, respectivamente. 
∆� =
�����
��
��
≅ 1 ∗ (1,0078250�	) + 1 ∗ 1,0086649u − 2,013553 ∴ 
∆� = 0,0029369�. 
 
Sendo assim, 
�����
�� ≅ ∆��� = 0,0029369� ∗
931,5���
�
= 2,73	��� 
 
 
Observação: A unidade de massa atômica é definida como sendo 1/12 da massa do átomo de 
�12, de modo que 1� ≡ 1,6605 ∗ 10�����. A partir da definição exposta podemos determinar a 
energia associada a uma unidade de massa atômica, usando a relação de Einstein, � = ���, tal 
que: 
 � = 1��� = 1,6605 ∗ 10����� ∗ (2,9979 ∗ 10�	�/�)� ≃ 931,5��� → �� ≃ 931,5���/�. 
 
3.5 - A Estabilidade do Núcleo e a Energia de ligação 
Quanto maior a energia de ligação de um núcleo mais energia será necessário para separá-lo em 
seus núcleons, ou seja, dividi-lo em seus prótons e nêutrons constituintes. A energia de ligação 
por núcleon fornece uma medida quanto à estabilidade do núcleo, ou seja, quanto maior a razão 
��/�,	maior será a energia necessária para separar o núcleo em seus respectivos núcleons. 
Note que é possível verificar por meio da Figura 3.7 que a ��/� tem um comportamento bem 
regular, variando lentamente desde o	�12 até �238, de modo que a variação de energia é de 
aproximadamente zero. Entretanto, ��/� é muito maior na região entre os núcleos de número de 
massa � = 40 até � = 100 do que para aqueles núcleos fora desta região, o que indica que estes 
núcleos intermediários são mais estáveis do que aqueles estão fora desta região. Sendo assim, 
podemos concluir que os isótopos (��, ��, ��) próximos da região de máximo �~58 são aqueles 
que apresentam maior estabilidade, uma vez que a razão ��/� são as maiores. Por outro lado, 
��/� tem uma ampla variação para os núcleos leves, justamente para os isótopos que são 
formados por pares do núcleo do átomo de Hélio, de modo que a fusão destes núcleos leves leva 
ao aumento da estabilidade, e a fissão dos núcleos pesados leva também ao aumento da 
estabilidade. Sendo assim, a curva ��/� versus � sugere que fusão e fissão são duas maneiras de 
extrair energia dos núcleos atômicos. 
 
 
Figura 3.7 – A ��/� em função do número de Massa 
 
 
Exemplo-3.3: Determine a energia liberada no processo de fusão de dois deutérios. Sabendo que 
a energia de ligação do deutério e do Hélio são dadas por, ��(��
�) = 2,225	��� e ��(��
�) =
28,296	���, respectivamente. 
 
A energia liberada na fusão dos dois deutérios é equivalente ao decréscimo de massa que leva a 
formação do núcleo do átomo de Hélio. Consequentemente podemos escrever que: 
����ã� = �2�(��
�) −�(��
�)���. 
 
Usando equação (3.8) podemos rescrever a equação acima da seguinte forma: 
 
����ã� = �2(�(��
�) − �� +��� �
�⁄ ) − (�(��
�) − 2�� +��� �
�⁄ )��� 				 ∴	 
����ã� = �2�(��
�) −�(��
�)��� 	= ⌈2(2,014102�) − 4,002603�⌉
931,5���
�
	 
����ã� = 23,85	���																	 
 
Por outro lado, podemos interpretar que a variação da energia de ligação é igual a energia liberada 
no processo de fusão dos dois deutérios, tal que: 
��
� + ��
� → ��
� 
����ã� = ∆�� = ��(��
�) − 2��(��
�) = 23,85	���. 
 
Esta liberação de energia por meio da fusão de dois núcleos leves é o mecanismo responsável pela 
geração de energia nas estrelas. Além disso, todos os elementos leves acima do lítio e 
aproximadamente abaixo do ferro foram formados por reações de fusão durante a vida das 
estrelas. Em cada reação de fusão exotérmica, produtos mais pesados são formados, de modo que 
a ��/� aumenta, tornando assim os núcleos formados neste processo mais estáveis. Elementos 
mais pesados que o ferro são formados apenas durante os momentos finais de uma estrela, tal 
como a explosão de uma supernova. A enorme energia liberada durante uma explosão de uma 
supernova permite que os nuclídeos de massa intermediários se fundam (uma reação endotérmica) 
para elementos além do ferro. 
 
Exemplo-3.4: Determine a energia liberada no processo de fissão do �235, liberando os isótopos 
de �����	e ����. 
 
Quando há um aumento na energia de ligação total de um sistema, o sistema torna-se mais estável 
liberando uma quantidade de energia igual ao aumento da energia de ligação total do sistema. 
 
Portanto, no processo de fissão, a energia liberada na fissão é igual ao aumento da energia de 
ligação total do sistema. Deste modo, podemos usar a curva da Figura 3.7 para estimarmos a 
energia liberada neste processo de fissão, bastando apenas identificar ��/� para cada um dos 
núcleos envolvido na reação, e multiplicar pelos seus respectivos números de massa a fim de obter 
as energias de ligação de cada um dos isótopos. 
 
 
 
 
 
 
 
Energia de Ligação calculada a partir da ��/� 
Núcleo ��/� Nº de Massa 
(�) 
(��/�) ∗ � 
���� 
����� 
���� 
8,7 MeV 
8,4 MeV 
7,6 MeV 
93 
140 
235 
809 MeV 
1176 MeV 
1786 MeV 
 
�����ã� = ∆�� = ��(��
��) + ��(�����) − ��(����) ≃ 199	��� 
 
Típicas reações químicas, por exemplo, a formação de uma única molécula de ��2	a partir da 
queima de oxigênio libera em média 4,08	��. Já as reações nucleares de fusão e fissão liberam 
de 5 a 50 milhões de vezes a energia necessária para a formação de uma molécula de ��2, 
respectivamente. Este enorme potencial de concentração da energia por meio do processo de 
fissão confere às centrais nucleares uma grande vantagem com respeito às “usinas de 
combustíveis fósseis”. Uma vez que, para gerar a mesma capacidade de energia, uma usina 
nuclear requer cerca de um milionésimo da massa de combustível usada em uma usina baseada a 
combustível fóssil. Por exemplo: uma usina a carvão de 1000 MWe consome em média 
11, 10���	 de carvão diariamente, enquanto uma usina nuclear de mesma capacidade requer em 
média apenas 3,8�� de �235 por dia. 
 
3.6 - Energia de Separação 
Um conceito estritamente relacionado ao conceito da energia de ligação é a energia necessária 
para remover um único próton ou nêutron de um núcleo. Um exemplo típico seria determinar a 
energia necessária para remover o último nêutron de um núcleo de massa�. 
 
��
� → ��
��� + � 
 
Entretanto, por simplicidade podemos imaginar uma reação “invertida”, ou seja, a adição de um 
nêutron a um núcleo de massa � − 1,	para formar um núcleo de massa �, de modo que: 
��
��� + � → ��
�. 
 
Vimos anteriormente que a massa do lado esquerdo é maior que a massa do lado direito. 
Consequentemente a energia associada ao decréscimo de massa é igual energia necessária para 
remover último nêutron do núcleo de massa �. Portanto, podemos escrever a energia de separação 
como sendo: 
�����
�� = �����
���� + �� −����
��� �� ≅ �����
���� + �� −����
��� ��.																			(3.13) 
 
Contudo, é bem mais conveniente expressarmos a energia de separação em termos das energias 
de ligação dos núcleos participantes da reação. Para tanto, podemos utilizar o conceito de energia 
ligação apresentado pela equação (3.12), de maneira que: 
����
������ ≅ (��(��
�) + (� − �)�� − ��)�
� − �����
����,																																															(3.14) 
e 
����
���� ≅ (��(��
�) + (� − �)��)�
�	−�����
��.																																																																				(3.15) 
 
Substituindo-se as equações (3.14) e (3.15) na equação (3.13) obtemos finalmente uma expressão 
para energia de separação em função das energias de ligação dos núcleos envolvidos na reação, 
�����
�� ≅ �����
���� +�� −����
��� �� = �����
�� − �����
����.																			(3.16) 
 
Observe que a energia para separar qualquer núcleon e/ou núcleo de um núcleo de massa ����
�� 
sempre será expresso pela diferença de energia de ligação dos núcleos antes e após a reação. Note 
que as partículas livres não são levadas em consideração, uma vez que estas não têm energia de 
ligação associadas a elas. 
 
O raciocínio análogo pode ser usado para determinarmos a energia mínima necessária para separa 
o último próton do núcleo de massa �. 
��
� → ����
��� + � 
 
Similarmente ao exemplo anterior, por simplicidade podemos imaginar uma reação “invertida”, 
ou seja, a adição de um próton a um núcleo de massa � − 1,	para formar um núcleo de massa � 
����
��� + � → ��
�. 
 
 
A energia de separação para essa reação pode ser determinada usando-se a equação (3,16), tal 
que: 
�����
�� ≅ �������
���� +�� −����
��� �� = �����
�� − �������
����.																																				(3.16�) 
 
Exemplo-3.5: Determine a energia mínima necessária separar o último nêutron do isótopo de 
���. 
Aplicando-se a ideia da reação invertida, 
��
�� + � → ��
��. 
 
Consequentemente, 
��(��
��) ≅ �����
��� +�� −�(��
��)� �� = ��(��
��) − �����
��� ≅ 15,66	���. 
 
Observe que a energia de separação é excepcionalmente alta para retirada de apenas um único 
núcleon, ou seja, ��/�	é muito maior para ��
��	do que para ��
��, indicando que o isótopo do ��
��	é 
muito mais estável que o isótopo do ��
��. 
 
3.7 - Reações Nucleares 
As reações nucleares desempenham um papel muito importante na ciência e na engenharia 
nuclear, por meio destas reações somos capazes de produzir radioatividade que podem auxiliar 
na agricultura e medicina, gerar energia em larga escala, bem como ajudar a compreender melhor 
a estrutura interna dos próprios núcleos. As principais reações nucleares dividem-se basicamente 
em duas grandes categorias. 
 
Na primeira categoria estão as reações espontâneas, onde o reagente inicial � é um átomo ou 
núcleo que espontaneamente “transforma-se” emitindo uma ou mais partículas, ou seja, 
� → �� + ��. 
 
Essas reações são denominadas de decaimento radioativo. Vimos no início deste capítulo, Figura 
3.4, que a vasta maioria dos nuclídeos conhecidos são radioativos. Portanto, no próximo capítulo 
nós examinaremos com mais detalhes os diferentes tipos de decaimento radioativos, bem como o 
número de átomos radioativos varia com o tempo. Por enquanto, nós simplesmente trataremos o 
decaimento radioativo como um tipo particular de reação nuclear que ocorre espontaneamente, e 
deve necessariamente ser exotérmica; ou seja, a massa deve diminuir durante este processo e 
consequentemente a energia deve ser emitida, geralmente sob a forma de energia cinética relativa 
aos produtos de reação nuclear. 
 
 
Na segunda categoria estão as reações nucleares binárias nas quais duas partículas nucleares 
(núcleons, núcleos ou fótons) interagem para formar diferentes partículas. Os tipos mais comuns 
de tais reações nucleares são aqueles em que um núcleo ou núcleon, �, com energia cinética 
“colide” com um núcleo � formando um par de núcleos � e �, isto é, 
� + � → � + �. 
 
É bastante comum representar as reações binárias usando uma notação mais simplificada, tal que: 
� + � → � + � = �(�, �)�	��		(�, �)	. 
 
Para cada reação nuclear, podemos escrever uma equação de reação como mostrado 
anteriormente. Estas equações de reações devem ser “balanceadas”, assim como as equações das 
reações químicas, pois certas grandezas sempre serão conservadas. No caso das reações nucleares, 
grandezas como a carga (o número de prótons), número de massa (o número de núcleons) e a 
energia total do sistema serão sempre conservadas durante as quais quer reações nucleares, seja 
ela espontânea ou binária. Vamos ilustrar isso melhor por meio de alguns exemplos típicos de 
reações nucleares. 
 
Exemplo-3.6: A reação (�, �) foi induzida pela primeira vez por Rutherford, bombardeando 
Nitrogênio com partícula alfa (���
�), produzindo assim próton e o ���, 
���
� + ��
�� → ��
�� + ��
� ou (�, �). 
 
Observe que a equação fica perfeitamente “balanceada” de modo que existem nove prótons e 
nove nêutrons de ambos os lados da equação. 
 
Exemplo-3.7: A reação (�, �) foi induzida pela primeira vez por Chadwick, a fim de comprovar 
a existência do nêutron. Chadwick bombardeou Berílio com partícula alfa (�	��	���
�), 
produzindo nêutron e ���. 
���
� + ���
� → ��
�� + � ou (�, �) 
 
Exemplo-3.8: A reação (�, �) – Dados experimentais comprovam que fótons altamente 
energéticos podem interagir com núcleos. Por exemplo: nêutrons podem ser produzidos 
irradiando-se deutério com fótons suficientemente energéticos conforme mostrado pela reação 
abaixo. 
� + ��
� → ��
� + � ou (�, �) 
 
 
Exemplo-3.9: A reação (�, �) – Uma outra reação bastante interessante são quando nêutrons 
rápidos, por exemplo, produzidos dentro do núcleo de reatores interagem com ��
�� produzindo o 
��
��	e prótons. 
� + ��
�� → ��
�� + ��
� ou (�, �) 
 
Mencionamos anteriormente que independente da categoria da reação nuclear, a energia total do 
sistema sempre será conservada, de modo que as energias relativas às massas de repouso mais a 
energia cinética antes e pós a reação serão sempre a mesma, ou seja, 
�(�� + ���
�)
�
= �(�′� + �′��
�),
�
																																																																																														(3.17) 
 
sendo, ��,���
�, 	�′�	�	�′��
�	as energias cinéticas e as energias de repouso da i-ésima partícula 
antes e após a reação. 
 
Qualquer alteração na energia cinética total das partículas antes e após a reação resultará em uma 
alteração equivalente na massa total de repouso das partículas antes e após a reação, a fim de que 
seja mantida a conservação da energia total do sistema. Portanto, quantificar a mudança da energia 
cinética total do sistema ou da energia total repouso é importante durante as reações nucleares, 
pois podemos determinar a energia liberada durante a reação ou a energia necessária para que a 
reação ocorra. A variação de energia cinética durante as reações nucleares pode ser definida pelo 
fator �, 
� ≡ �(�′� − ��)
�
.																																																																																																																															(3.18) 
 
Assim sendo, o valor � quantifica a quantidade de energia cinética obtida em uma reação. 
Equivalentemente, da equação (3.17), esse ganho ou perda em energia cinética deve ser resultante 
da diminuição ou aumento da massa restante,ou seja, 
� = �(���
� − �′��
�).
�
																																																																																																																				(3.19) 
 
Observe na equação acima que o fator � de uma reação nuclear pode ser positivo ou negativo. Se 
as massas de repouso dos reagentes forem maiores que as massas de repouso dos produtos, o fator 
� da reação será positivo, o que implica em uma diminuição da massa de repouso sendo 
convertida em um ganho em energia cinética; tal reação é denominada de exotérmica. Por outro 
lado, se � for negativo, a reação é endotérmica. Neste caso, a energia cinética das partículas 
iniciais é convertida em energia de repouso relativa aos produtos da reação, ou seja, a diminuição 
da energia cinética é igual ao aumento da energia de repouso. Isso indica que tais reações não 
 
podem ocorrer a menos que as partículas envolvidas na reação tenham no mínimo certa 
quantidade de energia cinética. 
 
Exemplo-3.10: Determine o fator � das reações nucleares ���
�(�, �)	��
��	e ��
��(�, �)	��
��, e diga 
quais destas duas reações não pode ocorrer espontaneamente5. 
Dados: 
 �(���
�	) = 9,012182�; 	�(��
��) = 12,000000�; 
�(��
��) = 15,99195�; 	�(��
��, ) = 13,003579; 	�(��
�	) = 4,002603�;	 
�� = 1,008664u;	�
� = 931,5���/� 
���,� = (�(���
�	)�� + �(���
�)��) − (�(��
��	)�� + ���
�) → � = 5,702��� 
�����,� = (�(��
��	)�� + ���
�) − (�(��
��	)�� + �(��
�)��) → � = −2,215���. 
 
A reação ��
��(�, �)	��
��	não pode ocorrer espontaneamente, pois trata-se de uma reação 
endotérmica. 
 
Acabamos de mencionar que as reações endotérmicas só podem ocorrer mediante o fornecimento 
de uma energia mínima. Portanto, torna-se bastante interessante determinarmos a energia mínima 
que deve ser fornecida para que a reação nuclear endotérmica venha ocorrer. Em inglês nós 
chamamos isso de “Threshold Energy”. Observe, para o caso em que o fator � < 0	 podemos 
escrever a relação da Equação (3.18) como sendo: 
���
�
≡ ����
�
+ |�|.																																																																																																																								(3.20) 
 
No caso de uma reação nuclear binária podemos simplificar a Equação (3.20), como sendo: 
� ≡ �′ + |�|.																																																																																																																																									(3.21) 
 
Note que ao impor que a energia cinética final seja igual a zero, �� = 0, obtemos a energia 
cinética mínima necessária para que a reação ocorra, ou seja, isso equivale a dizer que um 
“projétil” com uma energia cinética inicial � = |�| ao colidir com um núcleo alvo estacionário6 
teria energia suficientemente para fornecer o aumento na massa de repouso dos produtos, de modo 
que emerjam da reação com energia cinética nula. No entanto, esse raciocínio é enganoso, pois 
 
5 Observe que no cálculo do fator � foram adotadas as massas atômicas, em vez de usarmos as massas nucleares. Nós encorajamos 
o leito a mostrar que a expressão do fator � não se altera quando considerada a massa atômica. 
 
6 Nós estamos admitindo uma reação binária na qual um dos produtos encontra-se em repouso, ou seja, apenas um único reagente 
encontra-se com energia cinética, e após a reação admitimos que os produtos emergem da reação com enérgicas cinéticas iguais a 
zero. 
 
omite o fato de que o momento linear não pode ser conservado nas condições experimentais 
apresentadas. Se os produtos da reação emergem com energia cinética nula, seu momento linear 
deve ser zero. Contudo, o momento linear da reação nuclear antes da “colisão” é claramente maior 
que zero. Portanto, fica claro que a energia mínima, ����, que tornar energeticamente possível a 
reação deve ser ligeiramente maior que o fator � da reação, de modo a permitir que os produtos 
de reação emerjam com velocidades diferentes de zero, conservando assim o momento linear. 
Portanto, a fim de encontrarmos a energia cinética mínima necessária para que a reação ocorra, 
vamos supor um sistema binário de massas �	e �, observado no referencial do centro de massa, 
de modo que ��	e �� são as velocidades do “projetil” e do núcleo alvo antes da colisão neste 
referencial. Sendo assim, pela conservação do momento linear podemos escrever que: 
��� − ��� = 0.																																																																																																																																				(3.22) 
 
Se supusermos que a reação binária que estamos analisando está sujeita a uma colisão frontal 
perfeitamente inelástica, podemos admitir que as energias cinéticas dos núcleos são convertidas 
em energia interna, já que os dois núcleos permanecerão em repouso após a colisão. Essa hipótese 
é perfeitamente plausível, uma vez que não viola a conservação do momento linear, pois o 
momento linear total é zero antes e após a colisão. Portanto, a energia cinética mínima necessária 
para que o corra uma reação endotérmica é dada por: 
��� =
1
2
���
� +
1
2
���
� ≥ |�|.																																																																																																								(3.23) 
 
Note que a relação dada pela Equação (3.23) é decorrente de uma análise do sistema no referencial 
do centro de massa. Contudo, as medidas experimentais só podem ser realizadas no sistema do 
laboratório. Portanto, faz necessário encontrar uma relação entre as velocidades no sistema centro 
de massa e do laboratório7, tal que: 
�� =
�
� +�
��																																																																																																																																						(3.24) 
e 
�� =
�
� +�
��																																																																																																																																							(3.25) 
Substituindo as Equações (3.24) e (3.25) na Equação (3.23) chegamos a seguinte relação: 
��� = �
1
2
� �
�
�+�
�
�
+
1
2
� �
�
� +�
�
�
� ��
� ≥ |�|. 
 
Colocando em evidência o termo, 
�
�
���
�, tal que: 
 
7 Encorajamos o leitor a tentar demonstrar as relações apresentadas pelas Equações (3.24) e (3.25). Contudo, tais relações serão 
apresentadas em mais detalhes no Capítulo 6. 
 
��� = ��
�
�+�
�
�
+
�
�
�
�
� +�
�
�
�
1
2
���
� ≥ |�|. 
 
Agora vamos colocar em evidencia � em ambos os termos, de modo que:	
��� = �
� �⁄
�1 +
�
��
�
�
�
+
� �⁄
�1 +
�
��
��
1
2
���
� ≥ |�|. 
Note que podemos colocar em evidência o termo,
� �⁄
���
�
�
�
�, a fim de simplificar o denominado de 
ambas as frações, tal que: 
��� =
� �⁄
�1 +
�
��
� �
�
�
+ 1�
1
2
���
� ≥ |�| → ��� =
�
� +�
1
2
���
� ≥ |�| → 
��� = 	�1 +
�
�
�
��
�� ≥ |�|	,																																																																																																											(3.26) 
onde ��, é a energia cinética do “projétil” no sistema do laboratório. 
 
Sendo assim, a energia cinética mínima fornecida pelo “projétil” para que a reação nuclear venha 
ocorrer é dada por: 
���� ≥ 	�1 +
�
�
� |�|	.																																																																																																																									(3.27) 
 
Note que no caso de uma reação de um núcleon com núcleos pesados, é razoável supormos que 
� ≫ �, de modo que a energia cinética mínima é aproximadamente igual ao módulo do fator �, 
ou seja, 
���� ≅ 	 |�|	.																																																																																																																																										(3.28) 
 
Sendo, ����	a energia cinética mínima fornecida pelo “projétil” no sistema do laboratório. 
 
Exemplo-3.11: Determine a energia mínima do nêutron para que a reação nuclear ���(�, �)��� 
ocorra. 
Dados: �(���	) = 14,007550�; 	�(���) = 11,012811�;	�� = 931,5���/� 
�(�) = 4,003879�;	�� = 1,008708u.	 
 
Escrevendo a reação de forma mais explicita, temos que: 
� + ��� → � + ��� 
 
 
O primeiro passo é determinar o fator � da reação nuclear mostrando que se trata de uma reação 
endotérmica,ou seja, só pode ocorrer mediante o fornecimento de energia. 
��,� = (�(�
��	)�� +���
�) − (�(���	)�� +�(���
�)��) → � ≅ −0,4��� 
 
A partir deste resultado podemos determinar a energia mínima para que a reação ocorra, usando 
a Equação (3.27), tal que: 
���� ≥ 	 �1 +
�
�
� |�| = �1 +
1,008708u
14,007550
�0,4��� ≅ 0,43��� 
 
Propomos ao leitor que determine também a energia cinética da partícula alfa no caso em que o 
nêutron incidente tem uma energia de 1MeV. 
 
Note que o procedimento usado para determinar o fator � em termos das massas atômicas, não 
pode ser usado quando o número de prótons e nêutrons não é “conservado”, e nestes casos uma 
análise mais cuidadosa faz-se necessária. Tais reações envolvem a chamada força fraca que é 
responsável por transforma os nêutrons em prótons e vice-versa. Estas reações são reconhecidas 
pelo aparecimento de um neutrino ou antineutrinos. Para que o fator � de tais reações sejam 
determinados é necessário adicionarmos conceitualmente elétrons em ambos os lados da equação 
de reação a fim de tornarmos os átomos neutros, o que resulta em muitas vezes no aparecimento 
ou desaparecimento de um elétron extra. Ilustraremos isso melhor por meio do exemplo a seguir. 
 
Exemplo-3.12: Determine o fator � para a reação em que dois prótons se “fundem”. 
Especificamente, nesta reação o número de nêutrons e prótons são alterados. 
� + � → ��
� + �� + � 
Para calcular o fator � desta reação em termos das massas atômicas, podemos adicionar 
conceitualmente dois elétrons para ambos os lados da reação, isso torna os prótons em Hidrogênio 
e o deutério em um átomo deutério, de modo que as massas atômicas se tornam nulas. Sendo 
assim, podemos escrever a reação equivalente como: 
��
� + ��
� → ��
� + �� + �� + � 
Então o fator � desta reação pode ser determinado da seguinte forma: 
� = (2 ∗ �(��
�	)�� − �(��
�)�� − 2�� −��) ∴ 
� ≃ (2 ∗ �(��
�	)�� − �(��
�)�� − 2��) = 0,0420	���. 
 
Vale observar que a massa de repouso do neutrino é desprezada, pois é muito menor que as massas 
dos demais elementos envolvidos na reação. 
 
 
Pare e Pense: No “mundo macroscópico” uma colisão de uma bola de tênis e uma parede quase 
sempre será perfeitamente elástica, e o resultado será sempre parede e bola de tênis, mas 
diferentemente do que ocorre no “mundo macroscópico”, uma colisão binária no “mundo 
microscópico” poderá produzir diversos resultados diferentes a partir de um mesmo par de 
“reagentes”, como por exemplo, a “colisão” de nêutron com um núcleo de ���
��. Desta simples 
reação binária poderá resultar uma “colisão” elástica, ou uma “colisão” inelástica, ou produção 
de fóton ou até mesmo produção de próton. Tudo isso dependerá da energia cinética do nêutron 
e da estrutura do núcleo com quem o nêutron irá interagir. Isso nos leva a pensar que os produtos 
de uma mesma reação binária serão sempre dependentes do núcleo alvo e da energia cinética do 
nêutron8. 
 
 
8 Denominamos esse fenômeno de interação nêutron-núcleo, de seção de choque microscópica, que depende essencialmente da 
estrutura do núcleo alvo e da energia cinética do nêutron. 
 
REFERENCIAS 
 
Elmer E. Lewis, “Fundamentals of Nuclear Reactor Physics”, Elsevier, (2008). 
 
Emrico Fermi E. Lewis, “Nuclear Physics for Nuclear Reactor”, World Scientific, (2010). 
 
Gilberto E. Paredes & Rodolf V. Rodríguez, “Física de Reactores Nucleares I – Un Enfoque 
Conceptual”, World Scientific, (2010). 
 
E. Lewis, “Fundamentals of Nuclear Science and Engineering”, Omnia Science, (2016). 
 
James O’Brien, “Fundamentals Handbook, Nuclear Physics and Nuclear Reactor Theory”, 
Prentice-Hall, (2001). 
 
Jonh R. Lamarsh and Anthony J. Baratta, “Introduction to Nuclear Reactor Engineering”, Office 
of Health, Safety and Security, (2015). 
 
Paul Reuss, “Neutron Physics”, EDP Science, (2008). 
 
Robert E. Masterson, “Nuclear Engineerring Fundamentals a Practical Perspective”, Taylor & 
Francis Group, (2017). 
 
S. E. Leverhant, “Elementary Introduction to Nuclear Reactor Physics”, JonhWiley & Sons, 
(1960). 
 
Tatjana Jevremovic, “Nuclear Principles in Engineering”, Springer Science, (2009) 
 
CAPÍTULO IV 
DECAIMENTO RADIOATIVO 
 
 No ano de 1896 Henri Becquerel verificou acidentalmente que um composto de Urânio causava 
o escurecimento de filmes fotográficos, isso levou Becquerel a conjecturar que o escurecimento 
dos filmes fotográficos se devia à radiação beta (elétrons) e as partículas alfas (núcleo do átomo 
de hélio) que eram emitidas pelo composto de Urânio. Alguns anos depois, Pierre e Marie Curie 
identificaram os elementos Polônio e Rádio e suas respectivas características físicas, 
denominando-os de “Radioativos”, devido as suas propriedades de sofrem transmutação. 
 
A propriedade de transmutação está presente em todos radionuclídeos da natureza. Portanto, é 
fundamental entendermos a dinâmica do decaimento radioativo, bem como a energia liberada 
durante o decaimento. Contudo, antes de iniciarmos um estudo sobre a “dinâmica” do decaimento 
radiativo, cabe primeiro realizarmos um breve estudo com respeito às energias durante os 
processos de decaimento radioativos. Vimos no início do terceiro capítulo que a maioria dos 
núcleos existentes na natureza são instáveis, e emitem radiação a fim de se tornarem mais estáveis. 
Nesta seção são abordados os tipos de decaimento radioativos mais comuns, são eles: decaimento 
alfa, beta e gama. 
 
4.1 - Decaimento Gama 
Durante o processo de decaimento radioativo são produzidos novos nuclídeos, e em muitas das 
vezes esses nuclídeos são deixados em um estado excitado. Contudo, tais estados excitados 
decaem muito rapidamente dentro de 10����� para o estado fundamental emitindo energia na 
forma de um fóton chamado raio gama9. No entanto, alguns nuclídeos excitados permanecem em 
estado excitado por muito mais tempo antes de descaírem por emissão gama. Esses nuclídeos 
excitados de “vida longa” são chamados de metaestáveis. Quando tais nuclídeos excitado decaem 
por emissão gama, o decaimento é denominado de transição isomérica. Um simples exemplo é 
mostrado na Figura 3.8. O primeiro estado excitado de ����
��,� é um estado metaestável com meia 
vida de 90,5 dias. Após esse tempo ele decai para o estado fundamental por emissão de um fóton 
de 96,5 keV, denominado de radiação gama. 
 
 
2 Todos os fótons emitidos a partir de um núcleo são denominados fótons gama, ou simplesmente de raios gama. Já os fótons emitidos 
durante as transições atômicas são denominados de raios x. 
 
 
 
Figura 4.1 – Decaimento por Emissão Gama do Tecnécio Metaestável 
 
A reação de decaimento gama de um isótopo excitado do elemento � pode ser escrita como: 
��
�∗ → ��
� + γ. 
 
Aplicando o princípio da conservação de energia para reação de decaimento gama, podemos 
escrever que: 
�(��
�∗)�� = �(��
�)�� + �∗ = �(��
�)�� + �� + ��, 
 
sendo, �∗	a energia de um estado excitado do núcleo “progenitor”, �� a energia do fóton gama 
emitido durante o decaimento, ��	a energia cinética de recuo do núcleo devido ao decaimento 
para o estado fundamental. 
 
Se supusermos que inicialmente o núcleo “progenitor” estava em repouso, o fator � desta reação 
será dado apenas pelas energias cinéticas dos produtos desta reação, ou seja, 
�� = �� + �� = �
∗.																																																																																																																																(4.1) 
 
Nesta reação nuclear o momento linear também deve ser conservado também. Como foi admitido 
que o núcleo “progenitor” estivesse em repouso antes do decaimento, ou seja, momento linear 
inicial igual a zero, o fóton e o núcleo que sofre o recuo devem se mover em direções opostas. 
 
Sabemos que o fóton tem momento linear,	�� = ��/�, e o núcleo após a reação tem momento 
linear, �� = �2�(��
�)��. Portanto, usando a conservação do momento linear e a equação 
(4.1)	podemos determinar o fator � dareação em função da energia cinética associada ao raio 
gama e da energia de repouso do núcleo ��
� é dado por: 
��
��
= �2�(��
�)�� 	∴ �� =
��
�
�����
����
→ �� = �� �1 +
��
�����
����
�≃��.																																						(4.2)	
 
 
De forma geral as energias cinéticas associadas aos raios gamas são da ~	10	��, enquanto as 
energias de repouso do núcleo	��
� são da ~	10���. Sendo assim, para os processos de decaimento 
gama podemos desprezar a energia cinética de recuo em comparação à energia cinética dos raios 
gama. 
 
4.2 - Decaimento Alfa 
No estudo do capítulo III vimos que os núcleos pesados são formados por pares de prótons e 
nêutrons, ou seja, pelo núcleo do átomo de Hélio, frequentemente denominado também de 
partículas alfa. Assim sendo, não é nenhuma surpresa que núcleos pesados com muitos prótons 
para alcançarem a estabilidade sofram decaimento por emissão de partículas alfa. 
 
No processo de decaimento alfa, o átomo, ��
�, emite uma partícula alfa, ��
�, resultando assim em 
outro átomo, ����
���, que tem menos dois nêutrons e dois prótons. Inicialmente, o átomo originado 
do decaimento fica ionizado formando um íon duplamente negativo, pois este átomo possui ainda 
Z elétrons, entretanto, os elétrons extras rapidamente se separam do átomo “filho”, deixando-o 
em um estado neutro, e a partícula alfa emitida perde sua energia cinética rapidamente para os 
átomos por ionização ao longo de seu caminho, adquirindo assim dois elétrons orbitais e tornando-
se átomo neutro de Hélio. 
 
O processo de reação de decaimento alfa pode ser representado da seguinte forma: 
��
� → [����
���]�� + ��
� → ����
��� + ���
�																																																																																																(4.3) 
 
Usando o fator � podemos determinar a energia de desintegração para os processos de decaimento 
alta da seguinte forma10: 
�� ≃ �(��
�)�� − ������
������ − �(���
�)��.																																																																																		(4.4) 
 
Procedendo de maneira análoga ao que foi feito para o caso do decaimento gama, considerando 
que inicialmente o núcleo estava em repouso, e usando a conservação do momento linear. 
Podemos concluir que a partícula alfa e o átomo gerado a partir do decaimento se movem em 
direções opostas, ou seja, 
������
�������� = �(���
�)��,																																																																																																															(4.5) 
 
 
10
As energias de ligação dos dois elétrons do átomo ionizado, bem como os elétrons do átomo Hélio foram negligenciados, uma vez 
que são muito menores que o valor de ��. 
 
 
sendo, ���� o modulo da velocidade associada ao núcleo do átomo	����
��� e ��	o modulo da 
velocidade do núcleo do átomo de Hélio ou da partícula alfa. Por outro lado, sabemos que o fator 
� pode ser escrito também como a diferença de energia cinética após e antes da reação, de modo 
que11, 
�� =
������
��������
�
2
+
�(���
�)��
�
2
	.																																																																																														(4.6) 
 
Combinando as duas últimas equações obtemos finalmente a energia cinética da partícula alfa em 
função da energia de desintegração e das massas dos átomos envolvidos na reação, tal que: 
�� =
�(���
�)��
�
2
�
�(���
�)
�(����
���)
+ 1�.																																																																																																		(4.7) 
 
Consequentemente, obtemos que a energia cinética da partícula alfa é dada por: 
�� = �� �
������
����
�(����
���) +�(���
�)
� ≃ �� �
�� − 4
�� − 4 + ��
�.																																																														(4.8) 
 
Observe que durante o processo de decaimento a partícula alfa é emitida com uma energia bem 
definida. 
 
Exemplo-3.12: Determine a energia de desintegração e a energia cinética da partícula alfa gerada 
pelo decaimento alfa do isótopo do ����
���. 
����
��� → ����
��� + ���
� 
 
Vimos que a energia de desintegração é determinada pelo cálculo do fator �. 
�� ≃ �(����
���)�� − �(����
���)�� −�(���
�)�� ∴ 
�� ≃ [226,025402 − 222.017571 − 4,00260325	]�	 ∗ 931,5
���
�
∴ �� ≃ 4,870	���. 
 
A energia cinética da partícula alfa é dada por: 
�� ≃ 4,870�
�����
�������
� ≃ 4,784	���. 
 
Nos cálculos realizados anteriormente admitimos que tanto o núcleo do átomo ����
��� quanto o 
núcleo do átomo ����
���	estavam no estado fundamental. Entretanto, isso não ocorre sempre, às 
vezes o núcleo do átomo é deixado em um estado excitado, que decai posteriormente para o estado 
fundamental por emissão de raios gama. Nestes casos, o fator � do decaimento é reduzido pela 
 
11 Observe que foi empregada uma análise não relativista, uma vez que a energia liberada durante o processo de decaimento alfa é 
menor que 10 MeV, enquanto que a energia de repouso de uma partícula alfa é de cerca de 3700 MeV. 
 
energia de excitação do núcleo do átomo. Durante o processo de decaimento alfa é verificado 
experimentalmente que as partículas alfas emitidas têm energias discretas. Isso indica que o 
núcleo do átomo gerado pelo decaimento é deixado em um estado excitado de energia, ou seja, 
com uma massa nuclear maior do que aquele que o núcleo tinha quando estava no estado 
fundamental de energia. 
 
 
Figura 4.2 – Níveis de Energia do Decaimento Alfa do ����
���. 
 
Um exemplo bem característico do fenômeno mencionado é o caso do decaimento do próprio 
����
���	por emissão de alfa. Na Figura 4.2 são mostradas as energias discretas das partículas alfas 
emitidas no processo de decaimento do ����
���. As energias discretas das partículas alfas emitidas 
durante o processo de decaimento, bem como as diferentes energias de emissão de raios gamas 
observados, indicam que o núcleo originado do decaimento, ����
���, tem estados discretos de 
energias, assim como os elétrons com respeito ao átomo. Observe também que durante a meia via 
do ����
��� existe pouca possibilidade de que ele decaia por emissão de alfa para o primeiro estado 
excitado ����
���, a maior possibilidade é de que ele decai por emissão de alfa para o estado 
fundamental do ����
���. 
 
A emissão de uma partícula alfa é um fenômeno físico que só pode ser explicado a partir da 
mecânica quântica, pois as energias cinéticas das partículas emitidas são comumente bem 
menores que a barreira de potência de Coulomb, o que seria impossível do ponto de vista das leis 
da mecânica clássica. Portanto, o que ocorre durante o processo de decaimento por emissão de 
alfa é um fenômeno quântico que denominamos de “Efeito Túnel”, é como se a partícula alfa 
passasse através da barreira, como se estivesse passando por um túnel12. 
 
12 O fenômeno de tunelamento foi estudado inicialmente por George Gamow, em 1928, com o objetivo de explicar o decaimento alfa. 
Posteriormente Max Born desenvolveu a teoria do tunelamento, percebendo-a como uma consequência da mecânica quântica, 
aplicável não só à física nuclear, mas a uma série de outros sistemas diferentes. Tanto que depois os físicos, Leo Esaki, Ivar 
 
 
Figura 4.3 – Barreira de Potencial Nuclear 
 
No processo de decaimento alfa que estamos estudando é fácil verificar que a barreira de potencial 
é finta, e a sua energia potencial é negativa dentro do poço e fora do poço está sujeita à lei de 
Coulomb, como mostrado na Figura 4.3. Um cálculo aproximado da energia máxima do poço 
pode ser feito da seguinte maneira: 
�(� = ��) ≡ � =
2(� − 2)��
��
	,																																																																																																										(4.9) 
onde, � é o número de prótons do núcleo antes do decaimento. 
 
Sendo assim, podemos determinar a energia mínima para transpor a barreira de potencial, para o 
caso exemplo do decaimento ����
��� gerando o ����
���, a partir da equação (4.9), 
� =
2 ∙ 86 ∙ (1,6 ∗ 10���)�
��
	≃ 31	���	.(4.10) 
 
A mecânica quântica fornece uma explicação bem-sucedida para o processo de decaimento alfa, 
além de possibilitar também o cálculo do raio nuclear a partir das emissões de partículas alfa. 
 
4.3 - Decaimento Beta 
Alguns nuclídeos radioativos ricos em nêutrons decaem em outros nuclídeos, a partir da 
transformação de um nêutron em um próton seguido pela emissão de um elétron energético ou a 
partir da transformação de um próton em um nêutron seguido da emissão de um pósitron. Esse 
processo de decaimento é comumente denominado de decaimento beta. Quando for observada a 
 
Giaever e Brian Josephson descobriram, respectivamente, o tunelamento de elétrons em semicondutores, supercondutores e a 
supercorrente através de junções em supercondutores, o que lhes rendeu o Prêmio Nobel de Física no ano de 1973. 
 
 
emissão de um elétron energético, dizemos que se trata de um decaimento β-, e se for observador 
a emissão de um pósitron, dizemos que se trata de um decaimento β+. Ambos os decaimentos são 
respectivamente seguidos de duas partículas peculiares, são elas: antineutrino e neutrino. 
β�:	��
� → [����
� ]� + �� + �̅	.																																																																																																												(4.11) 
e 
β�:��
� → [����
���]� + �� + �.																																																																																																													(4.12) 
Ao contrário das partículas alfas que são observadas somente em estados discretos de energia, as 
partículas β são observadas com uma distribuição contínua de energias com um valor máximo de 
energia muito bem definido, como mostrado pela Figura 4.4. 
 
 
Figura 4.4 – Espectro de Energia β-. 
 
A energia máxima do espectro β corresponde a um caso em que a energia cinética do neutrino é 
nula, fazendo com que a energia de decaimento seja dividida entre o nuclídeo gerado e a partícula 
β. 
 
Note que a energia associada ao decaimento beta pode ser obtida diretamente com o cálculo do 
fator �, de modo que: 
���
��
= �(��
�) − ��([����
� ]�) + �� +���� ∴ 
���
��
≃ �(��
�) − �(�(����
� ) −��) + �� +���� ∴ 
���
��
≃ �(��
�) −�(����
� )																																																																																																																		(4.13) 
 
 
Observe que para que o decaimento β- ocorra de forma espontânea é necessário que a massa 
atômica do núcleo progenitor seja maior que a massa atômica do núcleo gerado pelo decaimento, 
ou seja, �(��
�) > �(����
� ). 
 
É importante destacar que a expressão obtida para o cálculo da energia associada ao decaimento 
β-, equação (4.13), é válida somente quando o núcleo gerado pelo decaimento se encontra no 
estado fundamental. Entretanto, é bastante frequente durante o decaimento beta que o núcleo 
gerado seja deixado em um estado excitado de energia, como por exemplo, o caso do decaimento 
β- do isótopo de ����
��	para o ����
�� ilustrado na Figura 4.5. 
 
Figura 4.5 – Espectro de Energia β-. 
 
O exemplo ilustrado pela Figura 4.5 ilustra claramente que o nuclídeo gerado pelo decaimento 
beta tem uma boa possibilidade de ser gerado em um estado excitado de energia. Portanto, no 
cálculo da energia associado ao decaimento beta devemos levar em consideração a energia do 
estado excitado do nuclídeo, de modo que a massa nuclear do nuclídeo gerado é maior do que sua 
massa no estado fundamental, tal que: 
�(����
�	∗ ) ≃ �(����
� ) +
�∗
��
																																																																																																																(4.14) 
 
sendo, 
�(����
�	∗ ) ≡ Massa atômica do nuclídeo gerado em seu estado excitado; 
 
�(����
� ) ≡ Massa atômica do nuclídeo gerado em seu estado fundamental; 
 
�∗ ≡ A energia associada ao estado excitado do nuclídeo gerado. 
 
Substituindo a equação (4.14) em (4.13), obtemos uma formulação mais geral para o cálculo da 
energia associada ao decaimento β-, tal que: 
 
���
��
≃ �(��
�) − �(����
� ) −
�∗
��
.																																																																																																					(4.15) 
 
4.4 - Lei do Decaimento Radioativo 
O fato de que um núcleo instável poder ou não decair em um dado intervalo de tempo, remete ao 
fato que estamos diante de um processo que só pode ser descrito estatisticamente. Portanto, o 
caráter do decaimento radioativo é tal que é razoável postular que a probabilidade de que qualquer 
núcleo sofra decaimento, dentro de um intervalo de tempo, é independente da sua história passada 
ou de seus vizinhos, e é proporcional ao intervalo de tempo. Se a constante de proporcionalidade 
é λ e o intervalo de tempo é Δ�, então a probabilidade de que um núcleo decaia dentro de um 
intervalo de tempo Δ� é λΔ�. Então, a probabilidade de que um núcleo não decaia dentro do 
mesmo intervalo de tempo Δ�,	é tal que: 
��(Δ�) = (1 − 	λΔ�).																																																																																																																													(4.16) 
A probabilidade de que um núcleo instável não decaia em dois intervalos de tempo Δ� é o produto 
das probabilidades de que ele não decaia ao longo de cada intervalo, uma vez que dois eventos 
são independentes: 
��(2Δ�) = (1 − 	λΔ�)(1 − 	λΔ�) = (1 − 	λΔ�)�.																																																																												(4.17) 
 
Agora, para � eventos independentes, a probabilidade de que esse núcleo instável não decaia é 
dada por: 
��(�Δ�) = (1 − 	λΔ�)�.																																																																																																																								(4.18) 
 
Supondo que o tempo total resultante da soma de � intervalos de tempo Δ� seja igual a �, ou seja, 
� = �Δ�. Então, a probabilidade de um núcleo instável não decair durante um intervalo de tempo 
� é: 
��(�Δ�) = �1 − 	λ
�
�
�
�
.																																																																																																																								(4.19) 
 
Dada a relação inversa que existe entre Δ� e �, quando tomamos o limite em que Δ� → 0	,	implica 
que � → ∞. Portanto, tomando o limite em que � → ∞ na equação (4.19), obtemos que a 
probabilidade que um núcleo instável não decaia em um intervalo de tempo infinitesimal é: 
�� = lim
��→�
��(��) = lim
�→�
�1 − 	λ
�
�
�
�
= ���� 																																																																																(4.20) 
 
Se uma concentração inicial, ��, de átomos de um radionuclídeo particular é considerada, o 
número desses átomos por unidade de volume, �, que permanecerá após um tempo � é dado por: 
�(�) = ���
���	.																																																																																																																																				(4.21) 
 
 
A equação acima indica que a concentração de um radionuclídeo decaí exponencialmente ao 
longo do tempo. Este comportamento é observado experimentalmente e é a evidência que justifica 
a hipótese feita para a dedução da equação (4.21). 
 
4.4.1 - Vida Média 
Da lei de decaimento radioativo obtemos a probabilidade de um radionuclídeo não decair em um 
intervalo de tempo	Δ�, é tal que: 
�� =
�(�)
��
= �����	.																																																																																																																														(4.22) 
 
Consequentemente, a probabilidade de um radionuclídeo decair em um intervalo de tempo Δ� e 
dado por: 
� = 1 − �� = 1 − �����	.																																																																																																																					(4.23) 
 
Tomando o limite em que o intervalo de tempo se torna muito pequeno, ou seja, Δ� ≪ 1, podemos 
expandir em série de Taylor a exponencial da equação (4.22) de modo a obter a probabilidade de 
um radionuclídeo decair em um intervalo de tempo infinitesimal. 
� = 1 − ����� = 1 − �1 − λΔ� +
1
2
(λΔ�)� + ⋯� ≃ λΔ�	.																																																									(4.24) 
 
A partir das equações (4.22)e (4.24) podemos obter a função de distribuição de probabilidade 
para o caso do decaimento de um radionuclídeo. Para tanto, seja �(�)�� a probabilidade de que 
um radionuclídeo observado no instante de tempo � = 0, decair no intervalo de tempo entre � e 
� + ��. De modo que: 
�(�)�� = {��	(0, �)} ∗ {�(��)} = ����λd�		.																																																																																				(4.25) 
 
A partir da equação (4.16) podemos observar que é necessário um tempo de observação infinito 
para que todos os radionuclídeos de uma amostra decaiam. Entretanto, à medida que o tempo de 
observação aumenta, cada vez menos radionuclídeos decairão desta amostra. Desta forma, torna-
se importante sabermos o tempo médio de vida de um radionuclídeo. Para tanto, podemos lançar 
mão da probabilidade para calcular o tempo médio de decaimento, tal que: 
�̅ = � �	�(�)��
�
�
= λ� �	����d�
�
�
= −λ
�
�λ
� 	����d�
�
�
= λ
�
�λ
	����
λ
|�
� → λ
�
�λ
1
λ
→ 
�̅ =
1
λ
.																																																																																																																																																							(4.26) 
 
 
4.4.2 - Meia Vida 
Qualquer processo dinâmico governado por decaimento exponencial (ou crescimento) tem uma 
notável propriedade; que é o tempo que leva para decair para metade (ou crescer duas vezes) do 
valor inicial, é uma constante denominada de meia-vida, ��/�. 
����/�� =
��
2
= ���
����/� 	→ 	��/� =
��(2)
λ
.																																																																														(4.27) 
 
Observe que a meia vida independe do tempo �. Assim, após	� meias vidas, o número inicial de 
radionuclídeos diminuiu por um fator multiplicativo de 1 2�⁄ , ou seja, 
�����/�� =
1
2�
	��		.																																																																																																																												(4.28) 
 
Portanto, o número de meias-vidas, �, necessário para uma amostra radioativa decair para uma 
fração do seu valor inicial é dado por: 
�����/��
��
=
1
2�
	∴ 	�� �
�����/��
��
� = �� �
1
2�
� ∴ 	� = −
�� �
�����/��
��
�
��(2)
																															(4.29) 
 
Um bom exercício para o leitor é mostrar que a lei de decaimento radioativo, equação (4.21), pode 
ser expressa alternativamente em termos da meia-vida, tal que: 
�(�) = ��	2
��
�
��/�
�
																																																																																																																															(4.30) 
 
Na Física de Reatores nucleares nós estamos bastante interessados na concentração dos 
radionuclídeos durante a operação do reator, por conta dos venenos queimáveis que surgem 
devido à fissão nuclear, bem como por conta de salva guarda devido aos protocolos internacionais 
de segurança. Entretanto, na maior parte das aplicações nucleares é mais interessante conhecer as 
transmutações por unidade de tempo que ocorrem dentro de uma amostra, ou seja, a taxa de 
decaimento. A taxa de decaimento de uma amostra é comumente denominada de atividade, �(�), 
e é dada por: 
�(�) = −
��(�)
��
= λ�(�) = λ	���
��� 	= ���
���,																																																																							(4.31) 
 
Sendo, �� é a atividade em � = 0. 
 
No Sistema Internacional a unidade utilizada para mensurar a atividade é denominada de 
becquerel (��), que é definida como uma transmutação por segundo. Entretanto, é bastante 
 
comum o emprego de outra unidade muito antiga, denominada de Curie (��), definido como 3,7 ∗
10��	��. 
 
4.5 - Dinâmica do Decaimento Radioativo 
Durante a dinâmica de decaimento dos radionuclídeos são quase sempre gerados novos 
radionuclídeos, ou pelo decaimento dos radionuclídeos ou pelas interações de nêutrons que 
ocorrem dentro do reator nuclear. Se �(�) é uma densidade de taxa na qual o radionuclídeo de 
interesse está sendo criado, então a taxa de variação da densidade de radionuclídeos de interesse 
é dada por: 
��(�)
��
= ����	��	���������� + ����	��	�����çã� = −λ�(�) + �(�).																									(4.32)	 
 
Resolvendo a equação diferencial obtemos que, 
��(�)
��
+ λ�(�) = �(�) 	∴ 	
�
��
��(�)���� = �(�)	��� → 	����������	[0, �] → 
�
�
��′
��(�′)�������′
�
�
= ��(�′)	������
�
�
→ 	�(�)��� − �� = ��(�′)	�
�����′
�
�
→	 
�(�) = ���
��� + ��(�′)	���(����)��′
�
�
	.																																																																																									(4.33) 
 
Para o caso em que a densidade de taxa de produção é constante, ou seja, �(�′) = ��. Chegamos 
ao seguinte resultado para a concentração de radionuclídeos. 
�(�) = ���
��� + ���
��� � 	������′
�
�
			 ∴ 			�(�) = ���
��� + ���
��� �
���
λ
	−
1
λ
� 		→ 
�(�) = ���
��� +
��
λ
�1	 − �����.																																																																																																					(4.34) 
 
Observe que quando o tempo tende a infinito, � → ∞, a concentração do radionuclídeo tende ao 
equilíbrio, ou seja, alcança um limite constante igual 
��
�
. Isso é equivale a dizer que a taxa da 
variação do radionuclídeo é igual a zero, ou seja, 
��(�)
��
= 0 quando o equilíbrio é alcançado. 
lim
�→�
�(�) = ��� =
��
λ
																																																																																																																										(4.35) 
 
Exemplo-3.12: Quanto tempo é preciso para que uma amostra colocada dentro de um reator 
alcance 75% de sua atividade máxima? Admita que a taxa de produção do radionuclídeo seja 
constante, e que inicialmente não havia nenhum radionuclídeo no material da amostra. 
 
 
Observe que estamos interessados na atividade de um determinado radionuclídeo produzido a 
uma taxa constante. Para tanto, podemos utilizar a equação (4.34), bastando apenas multiplicá-la 
por λ, a fim de obtermos a atividade. 
�(�) = ���
��� + ���1	 − �
����, ����	�� = 0	��. 
 
Resolvendo obtém-se que: 
0,75 ∗ �� = ���1	 − �
���� ∴ 	 ���� = 0,25 ∴ � = −
��(�,��)
�
. 
 
Durante o processo de decaimento um radionuclídeo decai para outro radionuclídeo, que por sua 
vez decai em outro, e assim sucessivamente até que um nuclídeo estável seja alcançado. Para 
exemplificar, vamos considerar uma cadeia de decaimento com três nuclídeos, esse tipo de cadeia 
é bastante comum, por exemplo: 
����
�� 	
��/����,�	�
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� ���
��
��/����	�
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯�����	
�� (Estável). 
Observe que na cadeia de decaimento acima os radionuclídeos decaem por emissão de beta. Tais 
cadeias de decaimento de três ou mais membros podem ser esquematicamente representada como: 
�� 	
��
→ ��
��
→�� (Estável). 
 
Com base na cadeia decaimento acima podemos escrever as equações diferenciais para cada um 
dos nuclídeos usando a ideia da equação (4.32), de modo que: 
 
���(�)
��
= −λ���(�)	; 	��(� = 0) = 	��,�																																																																																								(4.36) 
���(�)
��
= −λ���(�) + λ���(�)	; 	��(� = 0) = 	��,�																																																																			(4.37) 
���(�)
��
= ��(�)	; 	��(� = 0) = 	��,�																																																																																											(4.38) 
 
Observe que a solução da equação diferencial dada pela equação (4.36) tem como solução a 
própria lei de decaimento radioativo, equação (4.21), tal que: 
��(�) = ��,��
����	.																																																																																																																															(4.39) 
 
A equação diferencial dada pela equação (4.37) é exatamente igual equação (4.33), de modo que 
podemos obter a solução usando a equação (4.40), tal que: 
��(�) = ��,��
��� + ��(�′)	���(����)��′
�
�
	; 	�(�′) = λ���(�′).	 
 
Resolvendo a integral obtemos que: 
��(�) = ��,��
���� + λ�	��,��
���� � �(�����)����′
�
�
	→ 
��(�) = ��,��
���� + λ�	��,��
����
�(�����)� − 1
(λ� − λ�)
	→ 
��(�) = ��,��
���� +
λ�	��,�
(λ� − λ�)
	������ − ������.(4.40) 
 
A concentração do último nuclídeo pode ser obtida apenas integrando-se a equação (4.38), tal 
que: 
��(�) = ��,� + λ� 	���(�′)��′.
�
�
	 
Integrando termo a termo, 
��(�) = ��,� + λ� 	����,� −
λ�	��,�
(λ� − λ�)
����������′
�
�
+
λ�	��,�
(λ� − λ�)
���������′
�
�
� 	→ 
��(�) = ��,� + ��,��1 − �
����
�
� +
	��,�
(λ� − λ�)
�1 − ������� − 
	��,�
(λ� − λ�)
�1 − �������																																																																																																																									(4.41) 
Vamos analisar agora alguns casos de interesse para a cadeia de decaimento exemplificada. 
 
Coso 1: Quando	�� < �� 
Observe que quando λ� < λ�	é	justamente	o caso em que �� 	decai mais lentamente que �� . 
Portanto, o comportamento da concentração do radionuclídeo �� 	é dado por: 
��(�) = ��,��
���� +
λ�	��,�
(λ� − λ�)
	������1 − ��(�����)��. 
 
O leitor deve notar que o coeficiente do denominador fica invertido ao colocar o termo ����� em 
evidência, e que o argumento da exponencial é positivo, ou seja, (λ� − λ�) > 0. 
 
Assintoticamente temos que ��(�����)� ≪ 1, logo podemos escrever que: 
��(�) ≃ ��,��
���� +
λ�	��,�
(λ� − λ�)
	�����.																																																																																												(4.42) 
 
Caso 2: Quando	�� > �� 
 
Observe que quando λ� > λ� é justamente o caso em que o nuclídeo �� 	tem uma meia-vida maior 
que a do nuclídeo	�� . Logo o comportamento da concentração do radionuclídeo �� 	é dado por: 
��(�) = ��,��
���� +
λ�	��,�
(λ� − λ�)
	������1 − ��(�����)��. 
 
Assintoticamente temos que ��(�����)� ≪ 1, logo podemos escrever que: 
��(�) ≃
λ�	��,�
(λ� − λ�)
	�����.																																																																																																																				(4.43) 
 
Coso 3: Quando	�� ≫ �� 
Observe que quando λ� ≫ λ� é justamente o caso limite em que o nuclídeo �� 	decai muito mais 
rapidamente que o nuclídeo	�� . Logo, o comportamento da concentração de radionuclídeo �� 	é 
dado por: 
��(�) = ��,��
���� +
λ�	��,�
(λ� − λ�)
	������1 − ��(�����)��. 
 
Se supusermos que todo nuclídeo �� 	foi gerado a parti do decaimento do radionuclídeo 
�� ,	implica que a concentração inicial do nuclídeo �� 	era zero, antes do processo de decaimento, 
ou seja, ��,� = 0	#/��
�. 
��(�) =
λ�	��,�
(λ� − λ�)
	������1 − ��(�����)��.																																																																																				(4.44) 
 
Uma vez que λ� ≫ λ� podemos escrever a equação acima como sendo: 
��(�) =
λ�	��,�
λ� �1 −
λ�
λ�
�
	����� �1 − �
������
��
��
��
� → 
��(�) =
λ�	
λ�
	��,��
�����1 − ������ 
 
Assintoticamente temos que ����� ≪ 1, logo podemos escrever que: 
��(�) ≃
λ�	
λ�
��,�	�
����.																																																																																																																								(4.45) 
 
Considerando que ��(�) = ��,�	�
���� podemos reescrever a equação (4.45) da seguinte forma: 
λ���(�) ≃ λ���(�).																																																																																																																														(4.56) 
 
Este caso extremo é conhecido como equilíbrio secular, e é característico nas cadeias de 
decaimento natural, na qual o radionuclídeo progenitor tem uma meia vida muito longa. 
 
 
Coso 4: Quando	�� ≪ �� 
Observe que quando λ� ≪ λ�, é justamente caso limite em que o nuclídeo �� decai muito mais 
lentamente que o nuclídeo �� , ou seja, ��/���� � ≫ ��/���� �. Portanto, é razoável admitir neste 
caso que o nuclídeo �� é estável. Por outro lado, λ� λ�⁄ ≪ 1, de modo que podemos simplificar 
a equação (4.40) da seguinte forma: 
��(�) = ��,��
���� +
λ�	��,�
(λ� − λ�)
	������1 − ��(�����)�� → 
��(�) = ��,��
���� +
λ�	��,�
λ� �1 −
λ�
λ�
�
	����� �1 − �
������
��
��
��
� → 
 
��(�) ≃ ��,�	�
����.																																																																																																																														(4.57) 
 
Exemplo-3.13: Uma fonte radioativa pode ser feita separando-se quimicamente ����
�� de outros 
elementos. Inicialmente, a fonte contém apenas ����
�� (��/� = 21,9	�) que decai para outro 
radionuclídeo ���
�� (��/� = 64	ℎ), que depois de algum tempo, alcança o equilíbrio secular assim 
como ����
��. Quanto tempo é necessário após a criação da fonte para que a concentração do 
radionuclídeo ���
�� alcance 5% da atividade do radionuclídeo que o gerou, ����
��? 
 
Observe que estamos diante do caso de equilíbrio secular, e na qual inicialmente a concentração 
���
��	é zero. Logo podemos escrever que: 
��(�) = ��,��
����	 
��(�) =
λ�	��,�
(λ� − λ�)
	������1 − ��(�����)��. 
 
Nós estamos buscando justamente o caso quando, 
��(�) − ��(�)
��(�)
≃ 0,05 = 1 −
λ�	
(λ� − λ�)
	�1 − ��(�����)�� → 
λ�	
(λ� − λ�)
	�1 − ��(�����)�� = 0,95 → 
� = −
1
λ� − λ�
�� �1 − 0,95
(λ� − λ�)
λ�	
� 
 
 
4.6 - Cadeia de Decaimento Geral 
Note o leitor que podemos generalizar o conceito anterior para uma cadeia mais geral, de modo 
que o nuclídeo �� 	decaí para o nuclídeo �� e assim sucessivamente até alcançar a estabilidade 
com nuclídeo �� , conforme representado abaixo: 
�� 	
��
→ ��
��
→��
��
→�� ⋯�� 	
����
�⎯�⋯
����
�⎯��� (Estável). 
 
A partir do esquema de decaimento em cadeia, podemos escrever as equações de decaimento 
analogamente ao que foi feito para o caso de três nuclídeos. 
���(�)
��
= −λ���(�)	;	��(� = 0) = 	��,�	 
���(�)
��
= λ���(�)	− λ���(�);	��(� = 0) = 	��,� 
���(�)
��
= λ���(�) − λ���(�)	;	��(� = 0) = 	��,�																																																																							(4.58) 
⋮ 
�����(�)
��
= λ�������(�) − λ�������(�)	; 	����(� = 0) = 	����,�	 
���(�)
��
= ������(�)	;	��(� = 0) = 	��,�	 
 
Admitindo que inicialmente existia apenas o radionuclídeo, �� , implica que as concentrações 
inicias dos radionuclídeos são zero, exceto o radionuclídeo, �� , ou seja, ��,� ≠
0	
����
���
	e	��,� = 0	
����
���
, � > 1. As soluções destas equações diferenciais acopladas com as 
condições iniciais especificadas são denominadas de Equações de Bateman. 
��(�) = ��,�����
����
�
���
,																																																																																																																				(4.59) 
sendo, 
�� =
∏ λ�
���
���
∏ �λ� − λ��
�
���
.																																																																																																																													(4.60) 
 
Exemplo-3.14: Usando as Equações Bateman determine a concentração do radionuclídeo �� . 
Usando as equações (3.56) e (3.57) podemos escrever que: 
��(�) = ��,����
���� + ��,����
���� 
 
sendo, � = 2	tem-se que: 
 
�� =
∏ λ�
���
���
∏ �λ� − λ��
�
���
=
λ�
(λ� − λ�)
 
�� =
∏ λ�
���
���
∏ �λ� − λ��
�
���
=
λ�
(λ� − λ�)
 
Logo obtemos que: 
��(�) = ��,�
λ�
(λ� − λ�)
����� + ��,�
λ�
(λ� − λ�)
���
���� 
 
Observe que o resultado obtido acima se encontra de acordo com solução encontrada para o caso 
de uma cadeia de três nuclídeos, equação (4.44). 
 
Pare e Pense: Todos os radionuclídeos existentes no planeta Terra surgiram basicamente de duas 
fontes. A primeira fonte tem relação com os raios cósmicos (prótons e partículas alfas) vindos do 
sol e do espaço sideral que interagem com átomos na atmosfera e produzem uma variedade de 
radionuclídeos leves. Já a segunda fonte tem relação com os radionuclídeos naturais oriundos da 
matéria primordial na qual o planeta terra foi formado. A maioria desses radionuclídeos decaíram 
durante os quatro bilhões de anos desde que a Terra foi formada. 
 
 
REFERENCIAS 
 
Elmer E. Lewis, “Fundamentals of Nuclear Reactor Physics”, Elsevier, (2008). 
 
Emrico Fermi E. Lewis, “Nuclear Physics for Nuclear Reactor”, World Scientific, (2010). 
 
Gilberto E. Paredes & Rodolf V. Rodríguez, “Física de Reactores Nucleares I – Un Enfoque 
Conceptual”, World Scientific, (2010). 
 
E. Lewis, “Fundamentals of Nuclear Science and Engineering”, Omnia Science, (2016). 
 
James O’Brien,“Fundamentals Handbook, Nuclear Physics and Nuclear Reactor Theory”, 
Prentice-Hall, (2001). 
 
Jonh R. Lamarsh and Anthony J. Baratta, “Introduction to Nuclear Reactor Engineering”, Office 
of Health, Safety and Security, (2015). 
 
Paul Reuss, “Neutron Physics”, EDP Science, (2008). 
 
Robert E. Masterson, “Nuclear Engineerring Fundamentals a Practical Perspective”, Taylor & 
Francis Group, (2017). 
 
S. E. Leverhant, “Elementary Introduction to Nuclear Reactor Physics”, JonhWiley & Sons, 
(1960). 
 
Tatjana Jevremovic , “Nuclear Principles in Engineering”, Springer Science, (2009). 
 
CAPÍTULO V 
DECAIMENTO DO 135Xe e 149Sm 
 
O estudo da dinâmica de decaimento dos radionuclídeos tem relativa importância dentro da Física 
de Reatores, pois nos permite estimar as concentrações dos radionuclídeos durante o ciclo de 
operação de um reator nuclear. Dentre os diversos radionuclídeos gerados a partir do processo de 
fissão do combustível nuclear, podemos destacar o �����e �����, que são dois nuclídeos de 
importância considerável para o controle e operação segura do reator nuclear, devido à grande 
capacidade de serem bons absorvedores de nêutrons, pois podem alterar significativamente a 
dinâmica da reação em cadeia. 
 
5.1 – Cadeia de Decaimento do Xenônio 
O ����� também denominado de veneno queimável é sem dúvida alguma um dos produtos de 
fissão mais importante para operação do reator, devido ao seu enorme potencial de absorção de 
nêutrons e sua alta taxa de produção oriunda da fissão nuclear e do decaimento da ����. O 
surgimento do ����� dentro do núcleo do reator é advindo do processo de fissão e de uma 
complexa cadeia de decaimento, como ilustrado pela Figura 5.1. 
 
Observe que o esquema de produção do �����, ilustrado pela Figura 5.1 indica claramente que a 
��/���
���� ≫ ��/����
���� e ��/���
���� ≫ ��/����
����, além disso, o processo de decaimento 
do ���� para �����	é praticamente a única forma pelo qual a concentração de ����	é “eliminada” 
do núcleo do reator, uma vez que a taxa de decaimento é muito maior que a taxa de absorção de 
nêutrons, isso se deve exclusivamente a baixa capacidade de absorção de nêutrons pelo ����. 
 
Figura 5.1 – Esquema de produção do �����. 
 
 
A partir das aproximações mencionadas, podemos simplificar o esquema de produção do �����, 
conforme ilustrado pela Figura 5.2. 
 
Figura 5.2 – Esquema simplificado de produção do �����. 
 
Tomando-se como base o esquema simplificado de produção do �����, podemos escrever o 
conjunto de equações diferenciais que regem as concentrações de ���� e �����, a saber: 
���(�)
��
= ��Σ��(�) − λ���(�)	; 	��,� ≡ ��(0)																																																																																		(5.1) 
																																						 
����(�)
��
= λ���(�) + ���Σ��(�) 	− λ�����(�) − σ�
���(�)���(�);	���,� ≡ ���(0) 
sendo, 
��Σ��(�) ≡ Taxa de produção do �
���	via fissão nuclear; 
���Σ��(�) ≡ Taxa de produção do ��
���	via fissão nuclear; 
−λ���(�) 	≡ Taxa de decaimento do �
���; 
−λ�����(�) ≡ Taxa de decaimento do ��
���; 
σ�
���(�) 	≡ Taxa de absorção do �����	via absorção de nêutrons; 
�(�) 	≡ Fluxo de nêutrons. 
 
As equações diferenciais ordinárias de primeira ordem que regem as concentrações de ���� e 
�����podem ser resolvidas de forma bem simples ao admitirmos que o fluxo de nêutrons seja 
mantido constante durante a operação do reator, ou seja, �(�) = ��,⍱�. 
 
 
Note que a equação que rege a concentração de ���� nestas condições é análoga à equação (3.44); 
o que implica que a função que rege a concentração ���� deve ser similar àquela apresentada na 
equação (4.34), ou seja, 
��(�) = ��,��
���� +
�����
λ�
	�1 − ������.																																																																																									(5.2) 
 
Procedendo com a integração para a equação que rege a concentração de ����� temos que: 
�
��
����(�)�
�������
������� = ��(�)�
�������
������ + �������
�������
������ → 
�
�
��′
����(�)�
�������
��������
�
�
��� = ���(�� + ���)��
�������
������
�
�
�
��� − 
������ + ��,����
����������
�������
�
�
��� → 
���(�)�
�������
������ − ���,� =
(�� + ���)���
λ�� + σ�
����
���������
������ − 1� − 
����� + ��,�
(λ�� − λ� + σ�
����)
������������
������ − 1� → 
 
���(�) = ���,��
��������
������ +
(�� + ���)���
λ�� + σ�
����
�1 − ���������
������� + 
��Σ��� − λ���,�
(λ�� − λ� + σ�
����)
����������
������ − ������.																																																																														(5.3) 
 
Se admitirmos que o reator nuclear existia incialmente apenas UO2, ou seja, ��,� = ���,� =
0
����
���
 . Podemos simplificar substancial a solução obtida pelas equações (5.2) e (5.3), tal que: 
��(�) =
�����
λ�
	�1 − ������.																																																																																																															(5.4) 
e 
���(�) =
(�� + ���)���
λ�� + σ�
����
�1 − ���������
������� + 
�����
(λ�� − λ� + σ�
����)
����������
������ − ������.																																																																														(5.5) 
 
Observe que quando � → ∞	obtemos as concentrações de equilíbrio do ���� e �����, e que ambas 
são dependentes do fluxo de nêutrons, tal que: 
lim
�→�
��(�) ≡ ��
��
=
�����
λ�
																																																																																																																	(5.6) 
 
lim
�→�
���(�) ≡ ���
��
=
(�� + ���)���
λ�� + σ�
����
	.																																																																																													(5.7) 
 
Veja que a concentração de equilíbrio do ����	é diretamente proporcional ao fluxo de nêutrons, 
mas o mesmo não é observado para a concentração de equilíbrio do �����, uma vez que para 
fluxo de nêutrons altos podemos simplificar a expressão de equilíbrio, de modo que: 
���
��
≃
(�� + ���)�
σ�
�� 	.																																																																																																																													(5.8) 
 
Note também que quando a condição de equilíbrio for alcançada a variação temporal das 
concentrações do ���� e ����� devem ser iguais à zero, ou seja, podemos obter ��
��
	e 
���
��
	alternativamente da equação (5.1) fazendo ���(�) ��⁄ = ����(�) ��⁄ = 0 á����� ��
�⁄ . 
 
A Figura 5.3 ilustra a relação da concentração de equilíbrio do ���� para dois diferentes valores 
do fluxo de nêutrons. Observe que a concentração de equilíbrio do ����	muda significativamente 
com o nível do fluxo de nêutrons. No entanto, o tempo necessário para que a concentração de 
equilíbrio seja alcançada é praticamente o mesmo para os diferentes valores do fluxo de nêutrons. 
 
 
Figura 5.3 – Concentração do I135 para diferentes magnitudes de ��. 
 
Já a Figure 5.4 ilustra a relação da concentração do ����� com o fluxo de nêutrons, observe que 
para um reator operando com fluxo constante precisa-se de aproximadamente dois dias para que 
o �����	alcance sua concentração de equilíbrio. 
 
 
Figura 5.4 – Concentração do Xe135 para diferentes magnitudes de ��. 
 
Do ponto de vista operacional é muito importante conhecer a evolução temporal do �����, para 
o caso de um desligamento abrupto do reator nuclear após ter operado por um longo período de 
tempo com fluxo de nêutrons constante. Note que neste caso, quando o reator é desligado a 
condição inicial é dada pelas concentrações de equilíbrio do ���� e �����, ou seja, basta 
substituirmos ��,�	por ��
��
 e ���,�	por ���
��
	nas equações (5.2) e (5.3) e tomar �� → 0,	tal que: 
��(�) = ��
��
�����																																																																																																																																			(5.9) 
e 
���(�) = ���
��
������ +
���
��
(λ� − λ��)
������� − ������.																																																																		(5.10) 
 
As Figuras 5.5 e 5.6 ilustram os comportamentos das concentrações do ���� e �����	antes do 
desligamento,durante o desligamento e após religamento do reator. 
 
 
Figura 5.5 – Comportamento do ����durante um transiente 
 
 
Figura 5.6 – Comportamento do �����antes, durante um transiente 
 
Note que a concentração ���� decai exponencialmente após o desligamento do reator, o que já era 
de se esperar, uma vez que a produção de ����	é cessada com o desligamento do reator (vide 
Figura 5.2); e imediatamente após o religamento do reator a concentração de ����	torna a subir 
até alcançar a condição de equilíbrio. É importante que o leitor observe que a concentração 
����	retornou ao mesmo patamar após o religamento, o que sugere que o reator foi religado no 
mesmo nível de fluxo que operava antes do desligamento. 
 
Para o caso da concentração ����� ocorre justamente ao contrário, pois quando o reator é 
desligado a concentração ����� cresce superando a concentração de equilíbrio, alcançando um 
 
valor máximo em aproximadamente 10 horas após o desligamento e retornando ao valor de 
equilíbrio em aproximadamente 40 horas depois do desligamento. Note ainda, que quando o reator 
é ligado novamente (religado) a concentração �����	decai abruptamente e depois cresce até 
alcançar o mesmo patamar de equilíbrio que havia antes do desligamento, o que sugere que o 
reator foi ligado novamente com o mesmo nível de fluxo que havia no início da operação. 
 
É muito importante que o leitor entenda que o acumulo da concentração de �����	após o 
desligamento deve-se ao fim do processo de absorção por captura de nêutrons pelo �����	e 
principalmente a transmutação do ����em �����	, uma vez que a maior contribuição para a 
produção �����	é advinda do decaimento do ���� (~91% - vide Figura 5.1). Esse fenômeno deve-
se também ao fato de que a taxa de decaimento de ����	em �����é maior do que a taxa de 
decaimento do �����	em �����, o que acaba também contribuindo para o acúmulo do �����no 
núcleo do reator. 
 
5.2 – Transiente do Xenônio 
A Figura 5.7 ilustra de maneira qualitativa o comportamento do ����e �����, mostrando 
claramente que as concentrações de ambos os nuclídeos são diretamente dependes do fluxo de 
nêutrons. Portanto, é de suma importância entender e prever o comportamento das concentrações 
destes nuclídeos durante transientes do fluxo de nêutrons, ou seja, mudanças do fluxo de nêutrons. 
 
Note que quando o reator sofre um transiente no fluxo de nêutrons de �� para ��, o �
���	diminui, 
mas a concentração do �����	aumenta uma vez que permanece o decaimento do ����	para �����e 
a captura de nêutrons pelo �����diminui, o que leva ao acúmulo do ����� durante o intervalo de 
tempo do transiente. Contudo, quando o reator retorna ao fluxo ��, a concentração de �
��� torna 
a crescer novamente até alcançar o equilíbrio, mas a concentração de ����� diminui 
temporariamente uma vez que o aumento do fluxo implica no aumento da captura de nêutrons, 
mas por outro lado implica no aumento da concentração do ����, que por sua vez implica no 
aumento da taxa de decaimento do ���� em �����, o que acaba levando o �����	ao estado de 
equilíbrio novamente após um longo período de tempo. 
 
 
 
 
Figura 5.7 – Comportamento do ���� e �����Durante o Transiente do Fluxo 
 
5.3 – Cadeia de Decaimento do Samário 
O ����� é também um veneno queimável e o segundo produto de fissão mais importante para 
operação do reator, devido ao seu enorme potencial de absorção de nêutrons e sua alta taxa de 
produção oriunda da fissão nuclear e do decaimento do �����, conforme ilustrado pela Figura 
5.8. 
 
 
Figura 5.8 – Esquema de produção do �����. 
 
A partir do esquema de produção do �����, podemos escrever o conjunto de equações 
diferenciais que regem as concentrações de ����� e �����. Note que a meia vida do ����� é 
muito maior que a meia vida do �����, deste modo podemos escrever as equações como: 
����(�)
��
= ���Σ��(�) − λ�����(�)	; 	���,� ≡ ���(0)																																																									(5.11) 
����(�)
��
= λ�����(�) 	− σ�
���(�)���(�);	���,� ≡ ���(0) 
sendo, 
���Σ��(�) ≡ Taxa de produção do ��
���	via fissão nuclear; 
−λ�����(�) 	≡ Taxa de decaimento do��
���; 
σ�
���(�)���(�) 	≡ Taxa de absorção do ��
���	via absorção de nêutrons. 
 
Resolvendo o conjunto de equações diferenciais, equação (5.11), de maneira análoga ao que foi 
feito para as equações do ���� e �����, com fluxo de nêutrons constante, �(�) = ��. Chegamos 
as seguintes soluções: 
 
���(�) = ���,��
����� +
������
�
	�1 − �������.																																																																				(5.12) 
e 
���(�) = ���,��
���
����� +
����
σ�
�� �1 − �
���
������ + 
���Σ��� − λ�����,�
λ�� − σ�
�� ��
���
����� − �������.																																																																														(5.13) 
 
Se admitirmos que o reator nuclear estivesse inicialmente carregado com apenas UO2, ou seja, 
���,� = ���,� = 0
����
���
 , podemos simplificar substancialmente a solução obtida pelas 
equações (5.12) e (5.13), tal que: 
���(�) =
������
�
	�1 − �������.																																																																																																		(5.14) 
e 
���(�) =
����
σ�
�� �1 − �
���
������ −
������
λ�� − σ�
�� ��
���
����� − �������																																(5.15) 
 
As concentrações de equilíbrios são dadas por: 
���
��
=
������
�
		�	���
��
=
����
σ�
�� 																																																																																																			(5.16) 
 
Vale observar que a condição de equilíbrio do �����independe do valor do fluxo de nêutrons ou 
do nível de potência do reator, ou seja, o �����alcançará sempre o mesmo patamar independente 
da condição de operação do reator, dependendo apenas dos parâmetros nucleares. 
 
A Figura 5.9 ilustra o comportamento da concentração de ����� para o caso de um transiente do 
fluxo de nêutrons, antes e durante o desligamento e também após o religamento do reator. 
 
 
Figura 5.10 – Comportamento do ����� Durante o Transiente de Potência 
 
Note que a concentração de �����alcança a condição de equilíbrio após 20 dias de operação, e 
cresce quando o reator é desligado alcançando um valor máximo em aproximadamente 10 dias. 
 
Após o religamento do reator a concentração de �����	cai quase que linearmente durante quase 
10 dias, sofrendo uma pequena oscilação e alcançando novamente o mesmo patamar de equilíbrio 
no qual estava antes do desligamento. O acúmulo da concentração de �����	 durante o 
desligamento deve-se basicamente ao fim do processo de captura de nêutrons pelo ����� e a 
continuidade da transmutação de	����� em �����. 
 
Pare e Pense: Durante a operação do reator nuclear surgem muitos outros produtos de fissão, que 
em função de suas potenciais capacidades para absorção de nêutrons térmicos, são também 
classificados como venenos queimáveis, mas individualmente, esses produtos de fissão são de 
baixa consequência para operação. Entretanto, quando "agrupados" eles têm um significativo 
impacto na operação do reator, pois acumulam em média uma taxa de 50 barns por evento de 
fissão. Além dos venenos queimáveis relativos aos produtos de fissão, outros materiais no reator 
podem decair em outros nuclídeos que atuam como venenos queimáveis, haja vista, o exemplo 
do decaimento do Trítio para Hélio-3. Normalmente este decaimento não afeta significativamente 
as operações do reator, pois a taxa de decaimento do trítio é muito lenta. No entanto, se o Trítio 
for produzido em um reator e depois mantido no reator durante um período de vários meses, uma 
quantidade suficiente de trítio pode decair para Hélio-3 e inserindo assim uma quantidade 
significativa de reatividade negativa. Porém, qualquer concentração de Hélio-3 produzida durante 
o perío de desligamento será removido durante a operação devido à interação nêutron-próton. 
 
 
REFERENCIAS 
 
James O’Brien, “Fundamentals Handbook, Nuclear Physics and NuclearReactor Theory”, 
Prentice-Hall, (2001). 
 
James J. Duderstadt & Lous Hamilton, “Nuclear Reactor Analisys”, John Willey & Sons, (1972). 
 
Jonh R. Lamarsh and Anthony J. Baratta, “Introduction to Nuclear Reactor Engineering”, Office 
of Health, Safety and Security, (2015). 
 
Robert E. Masterson, “Nuclear Engineerring Fundamentals a Practical Perspective”, Taylor & 
Francis Group, (2017). 
 
Tatjana Jevremovic , “Nuclear Principles in Engineering”, Springer Science, (2009). 
 
Weston M. Stacey, “Nuclear Reactor Physics”, Willey-VCH, (2007). 
 
 
CAPÍTULO VI 
INTERAÇÃO NÊUTRON-NÚCLEO 
 
Esse capítulo é dedicado à descrição física detalhada da interação nêutron-núcleo, pois tem uma 
importância significativa para compreensão dos fenômenos físicos dentro dos núcleos de reatores 
nucleares. Os conceitos relativos à seção de choque microscópica, seção choque macroscópica, 
bem como a formação de núcleo composto decorrente da interação nêutron-núcleo, são 
apresentados de maneira qualitativa neste capítulo. 
 
A interação nêutron-núcleo está sujeita a uma enorme diversidade de reações nucleares, cuja 
probabilidade de ocorrência tem uma relação direta com a energia cinética do nêutron e com a 
estrutura do núcleo. Por exemplo: na interação do U235 com nêutrons térmicos a probabilidade 
de que ocorra uma reação de fissão é cerca de seis vezes maior do que a reação de captura 
radiativa, e cerca de quarenta vezes maior que a interação de espalhamento elástico. 
 
6.1 – Principais Interações Nêutron-Núcleo 
Nesta seção são apresentadas as cinco principais reações nucleares decorrentes da interação 
nêutron-núcleo, a saber: 
 
Captura Radiativa 
A captura radiativa é o principal mecanismo pelo qual os nêutrons são perdidos antes de causarem 
fissão. Portanto, esse tipo de reação tem um papel fundamental para o projeto de um reator 
nuclear, pois pode ocorrer em quase todos os tipos de núcleos e com nêutrons de todas as faixas 
de energia, mas sendo bem mais provável para nêutrons térmicos do que nêutrons rápidos. Neste 
tipo de reação o nêutron é capturado pelo núcleo ��
�, e forma um núcleo composto em um estado 
excitado de energia, ���
����
∗
, que decai para o estado fundamental com emissão de um fóton de 
gama altamente energético. 
� + ��
� → ���
����
∗
→ ��
��� + � 
 
O processo de captura radiativa é consideravelmente importante, pois muitas substâncias 
absorvem nêutrons prontamente por meio deste processo. Logo os materiais estruturais, bem 
como a própria vareta de combustível são devidamente selecionados, sendo restritos àqueles 
materiais que têm baixas probabilidades de absorção de nêutrons, caso contrário, muitos nêutrons 
seriam perdidos, comprometendo assim a reação em cadeia. Por outro lado, o refrigerante usado 
para remover o calor do núcleo do reator sofre um processo de ativação em decorrência da captura 
 
radiativa, que compromete todo o sistema de refrigeração do primário, de modo que o sistema 
permanece ativado mesmo após o desligamento do reator. 
 
A captura radiativa pode converter um núcleo estável em um radioativo. Tais transformações 
podem ser intencionais, como na produção de radioisótopos para aplicações médicas, ou 
subprodutos de interações nucleares dentro do núcleo do reator. Como por exemplo: 
� + ��
�� → ���
���
∗
→ ���
� + � + � 
� + ��
� → (��
�)∗ → ��
� + � 
 
De modo geral a captura de nêutrons é um processo indesejável dentro do núcleo do reator. 
Entretanto, se o processo de captura ocorre com nuclídeos férteis13, como no caso do U238, forma-
se o núcleo composto de U239, que após sucessivos decaimentos β- transforma-se em Pu239, que 
é um nuclídeo altamente sensível a fissão por nêutrons térmicos. Logo a captura radiativa 
contribui de forma indireta para sustentação da reação em cadeia. 
 
Fissão Nuclear 
A importância de compreender o processo de fissão nuclear é bastante obvio, uma vez que esta é 
a razão fundamental pela qual os reatores nucleares produzem energia, tornando possível a 
sustentação da reação em cadeia dentro do núcleo. Portanto, compreender os princípios básicos 
do processo de fissão nuclear é fundamental para entender o projeto. 
 
Neste tipo de reação o nêutron é capturado pelo núcleo ��
�, formando um núcleo composto em 
estado excitado de energia, ���
����
∗
, na qual a energia de excitação interna do núcleo composto 
é maior que a energia crítica, de modo a induzir a fissão nuclear 
� + ��
� → ���
����
∗
→ ���
�� + ���
�� + 2	��	3	�	. 
 
Como por exemplo: 
� + ���
��� → (���
���)∗ → ����
��� + ����
�� + 2	� + �	; 
� + ���
��� → (���
���)∗ → ����
��� + ����
�� + 3	�	; 
� + ���
��� → (���
���)∗ → ����
��� + ����
�� + 3	�.	 
 
 
13 Nuclídeos férteis são todos os nuclídeos que podem sofrer transmutação para se tornarem nuclídeos físseis. Tais como: U238 e 
Th232 que produzem o Pu239 e U233, respectivamente. 
 
 
De modo geral qualquer nuclídeo pode sofrer fissão, desde que seja levado a um estado excitado 
de energia suficientemente alto para ser dividido. Entretanto, para que uma reação nuclear de 
fissão venha ocorrer é necessário que a energia de excitação esteja acima de um patamar mínimo, 
denominado de energia crítica. A energia crítica depende da natureza do nuclídeo, ou seja, da sua 
estrutura nuclear. Isso indica que núcleos leves são mais estáveis e têm energias críticas enormes 
quando comparadas as dos núcleos pesados, cujas energias críticas variam entre 4 a 6 MeV. No 
entanto, é importante destacar que alguns núcleos pesados, como no caso do Pu240 ou Cf252, 
apresentam fissão mesmo no estado fundamental, ou seja, sem energia de excitação adicionada 
externamente, denominamos esse fenômeno por fissão espontânea. Este processo ocorre sem a 
adição da energia, por meio do tunelamento quântico, no qual os nuclídeos emitidos passam 
através da barreira de Coulomb, similarmente o que ocorre no decaimento alfa. A quantidade de 
energia de excitação necessária para que ocorra a fissão pode ser estimada a partir da magnitude 
da barreira de potencial eletrostático e da energia de dissociação da fissão. 
 
 
Figura 6.1 – Representação Gráfica da Fissão Nuclear 
 
A Figura 6.1 ilustra o comportamento da energia potencial do núcleo em função da distância de 
separação dos nuclídeos gerados. Para que um núcleo seja deformado, como halteres, deve-se 
adicionar ao sistema uma energia cinética e/ou de ligação suficientemente para aumentar a 
distância média entre os núcleons, visto que eles se atraem devido à força nuclear forte. Após o 
acréscimo de energia o núcleo resultante, núcleo composto, fica em um estado intermediário, 
ponto B, com uma energia potencial maior do que a energia potencial do núcleo original. A 
energia potencial no ponto B é aproximadamente a energia potencial de Coulomb, ou seja: 
� = �
�����
�
�� + ��
	,																																																																																																																																							(6.1) 
sendo, �� e �� os respectivos raios nucleares. 
 
 
Note que quando o estado intermediário é alcançado os dois nuclídeos começam a se separar, pois 
a força de Coulomb liberará energia acelerando o efeito de separação até que a fissão ocorra. 
Contudo, o estado intermediário só é alcançado quando a energia de ligação do nêutron ao núcleo 
alvo mais a energia cinética for igual ou superior à energia crítica, tal que: 
�� ≥ ����� − ���	.																																																																																																																																					(6.2) 
Note que a energia de excitação é adicionada ao um núcleo alvo por meio da energia cinética do 
nêutron e pela sua energia de ligação ao núcleo, no entanto, essa não é a única maneira de 
induzirmos a fissão nuclear. Pois, a energia de excitação pode ser adicionada também por 
bombardeamento com fótons, dando origem a chamada fotofissão, ou também por meiode 
partículas carregadas. Entretanto, na engenharia nuclear o método mais econômico de induzir 
fissão é por meio dos nêutrons, uma vez que estes não estão sujeitos à barreira de potencial de 
Coulomb, facilitando a formação do núcleo composto, e assim fornecendo energia adicional ao 
núcleo alvo necessária para que ocorra a fissão. 
 
Tabele 6.1 – Comparação entre ����� e ��� 
Comparação entre a Energia Crítica e Energia Ligação do 
Nêutron ao Núcleo Alvo 
Nuclídeo 
(Alvo) 
�����(MeV) ��� (MeV) ��� − ����� 
(MeV) 
Th232 7,5 5,4 -2,1 
U238 7,0 5,5 -1,5 
U235 6,5 6,8 0,3 
U233 6,0 7,0 1,0 
Pu239 5,5 6,6 1,6 
 
Observe na Tabela 6.1 para que ocorra a fissão do U238 e/ou Th232 os nêutrons devem ter uma 
energia cinética de alguns poucos MeVs, enquanto que a absorção de um nêutron com energia 
cinética muito próxima de zero pode provocar fissão do U235. Por exemplo, a energia de ligação 
do último nêutron para o núcleo de U236 é de 6,8 MeV, enquanto que a energia crítica é apenas 
6,5 MeV, isso indica que um nêutron térmico ao ser absorvido por um núcleo de U235, forma um 
núcleo composto, U236, com aproximadamente 0,3 MeV acima da energia crítica, induzindo 
assim imediatamente a fissão nuclear, ou seja, núcleos como o U235, U233 e Pu239 cuja energia 
de ligação é superior à energia crítica, são denominado de núcleos físseis. De forma geral os 
 
nuclídeos com número de massa ímpar, tais como U235, U233, Pu241, Pu239, são denominados 
de físseis14. 
 
Por outro lado, a tabela nos mostra que alguns nuclídeos como U238 e Th232 necessitam de uma 
energia muito grande para que sofram fissão. Por exemplo: U238, cuja energia de ligação do 
último nêutron ao núcleo composto, U239, é de apenas 5,5 MeV, enquanto que a energia crítica 
é 7,0 MeV, isso indica que um nêutron precisa de uma energia cinética superior a 1,5 MeV para 
que ocorra fissão. Logo nuclídeos como U238, Th232 e Pu240, Pu242 só podem sofrer fissão 
com nêutrons rápidos, estes são denominados de fissionáveis. 
 
Ainda que nuclídeos físseis sejam excitados acima da energia crítica, não é certo que eles venham 
sofrer fissão, pois estão sujeitos também a reação de captura radiativa. Por exemplo, em todas 
as reações de absorção no U235, 15% resultam em captura radiativa de nêutrons e 85% em fissão. 
 
Espalhamento Elástico Potencial 
Esse tipo de reação é sem dúvida alguma uma das mais importantes reações nucleares que 
ocorrem dentro do reator nuclear, pois tem uma importância considerável para o processo de 
moderação15 dos nêutrons, uma vez que as colisões de nêutrons com núcleos leves podem reduzir 
a energia do nêutron rápido, ~106 eV, com algumas poucas colisões. Vale observar que neste tipo 
de reação o nêutron não penetra no núcleo, sendo desviado pelo potencial nuclear, e conservando 
a energia cinética do sistema, 
� + ��
� → ��
� + 	�	. 
 
Portanto, a reação de espalhamento elástico potencial é uma das reações mais importante que 
ocorrem no reator nuclear, pois pode ocorrer para nêutrons de todas as energias, e é altamente 
significativa para núcleos leves, uma vez que causam grandes perdas de energias cinéticas. Já em 
núcleos pesado é bem menos provável a ocorrência do espalhamento potencial, mas ainda que 
ocorra a perda de energia é insignificante, pois pelo princípio da conservação da energia cinética 
é como uma colisão entre uma bola tênis e uma parede. 
 
Espalhamento Elástico Ressonante 
 
14 Para nuclídeos pesados com número atômico superior a 90, a maioria dos isótopos físseis atende a regra físsil: 2 * Z - N = 43 ± 2 
(exemplo para U235: 2*92 - 143 = 41). 
 
15 Moderação de nêutrons é o processo pelo qual os nêutrons perdem energia cinética via espalhamento elástico ou inelástico. Esse 
processo é fundamental nos reatores térmicos, pois por meio dele podemos fazer com que os nêutrons alcancem energias da ~ 0,025eV, 
a fim de que ocorram as fissões nucleares. 
 
Esse tipo de reação assim como o espalhamento potencial contribui para o processo de moderação 
de nêutrons, levando o nêutron a uma perda considerável de energia. Neste tipo de reação o 
nêutron interage como o núcleo ��
�, formando um núcleo composto,	��
���, e decaindo 
posteriormente ao estado fundamental liberando um nêutron com uma energia significativamente 
menor do que a energia do nêutron que formou o núcleo composto. 
� + ��
� → ��
��� → ��
� + 	�		 
 
 
 
Espalhamento Inelástico 
Esse tipo de reação tem relativa importância para o processo de moderação de nêutrons. Neste 
tipo de reação o nêutron deve ter uma energia mínima para que ao ser capturado pelo o núcleo 
��
�, eleve o núcleo composto, pelo menos ao primeiro estado excitado de energia, ���
����
∗
, 
decaindo posteriormente ao estado fundamental liberando um foto gama e um nêutron de menor 
energia do que aquele que formou o núcleo composto. 
� + ��
� → ���
����
∗
→ ��
� + �� + �	 
 
Os núcleos pesados e intermediários estão bem mais sujeitos ao espalhamento inelástico do que 
os núcleos leves, uma vez que tais núcleos têm mais densidades de estados de energia, Figura 6.1, 
sendo assim, muito mais provável a formação do núcleo composto e consequentemente o 
espalhamento inelástico, levando assim a uma perda de energia substancial. 
 
 
Figura 6.1 – Estados de Energias de Alguns Nuclídeos 
 
 
É importante destacar que o limiar de energia para a ocorrência do espalhamento inelástico é 
determinado pela energia do menor estado excitado do núcleo alvo, enquanto a perda de energia 
do nêutron é determinada predominantemente pelo nível de energia do estado que excitado. 
 
O leitor deve ter notado que todas as reações nêutron-núcleo que nós apresentamos se classificam 
basicamente em reações de espalhamento e absorção, de modo que podemos classificá-las 
conforme o diagrama da Figura 6.2. 
 
Figura 6.2 – Classificação das Principais Reações Nêutron-Núcleo 
 
Outra observação importante ao leitor é de que todas as principais reações nêutron-núcleo 
apresentadas ocorrem a formação do núcleo composto, com exceção o espalhamento potencial. 
Portanto, a compreensão física do fenômeno de formação de núcleo composto é importante, uma 
vez que tal fenômeno se encontra presente em 4 de 5 das principais reações nêutron-núcleo. 
 
6.2 – Núcleo Composto 
O conceito do núcleo composto foi introduzido inicialmente por Niels Bohr em 1936, a fim de 
explicar o surgimento do fenômeno das ressonâncias, observado nas reações nucleares. Portanto, 
quando nêutrons com energias cinéticas da ~ 106 eV interagem com núcleos leves ou pesados, 
ocorre uma interação nêutron-núcleo, pois nêutrons com energias desta ordem têm comprimentos 
de onda de Broglie comparáveis a dimensão do núcleo alvo. Consequentemente, é bem mais 
provável que o nêutron interaja com o núcleo como um todo, ou seja, com todos os núcleons 
simultaneamente, formando inicialmente o que denominamos de núcleo composto, que surge em 
um estado altamente excitado de energia. Este núcleo composto decai cerca de 10-14 seg depois 
para o estado fundamental, dando origem a diversas reações nucleares. Entretanto, os nêutrons 
com energias cinéticas superiores a 40 MeV ao interagirem com núcleos leves ou pesados, ocorre 
uma reação nêutron-núcleon, pois nêutrons com energias desta ordem têm comprimentos de onda 
de Broglie comparáveis ao tamanho dos núcleons do núcleo alvo. Neste caso em particular, 
 
nêutrons com essas energias interagem provavelmente com um ou, no máximo, alguns núcleons 
vizinhos dentro do núcleo alvo. Os restantes dos núcleons dentro do núcleo alvo desempenham 
um papel pequeno na interação. Essas interações diretas geralmente ocorrem próximo da 
superfície do núcleo alvo e são às vezes denominadas de processos periféricos. 
 
Vimos que a ideia do núcleo composto foi originalmente proposta para explicar o fenômeno das 
ressonâncias nas reações nucleares. Tais ressonâncias ocorrerão sempre que a energiacinética do 
nêutron16 incidente mais sua energia de ligação deste nêutron ao núcleo alvo, for igual ou próxima 
da energia de um estado excitado do núcleo composto, conforme ilustrado pela Figura 6.3. 
 
 
Figura 6.3 – Formação do Núcleo Composto 
 
Os estados de energias que correspondem a uma energia de excitação maior que a energia de 
ligação do nêutron ao núcleo alvo são denominados de estados virtuais de energias. 
 
Podemos mostrar usando a boa e velha mecânica de Newton, a afirmativa feita acerca da formação 
do núcleo composto. Para tanto, vamos considerar uma reação de formação de núcleo composto, 
tal que: 
 
16 Os núcleos alvos estão em equilíbrio térmico dentro do núcleo do reator. Consequentemente têm energias cinéticas da ~ 0,025eV, 
quando comparáveis a energia cinética do nêutron incidente (~1MeV) pode ser desconsidera. Sendo assim, podemos admitir que o 
núcleo alvo se encontra em repouso durante qualquer interação nêutron-núcleo. Entretanto, essa hipótese não é totalmente verdadeira, 
pois os nêutrons térmicos têm energias cinéticas comparáveis à energia de agitação térmica dos núcleos, fazendo com que o movimento 
térmico dos núcleos alvos seja relevante. Portando, o mais correto seria dizer que a formação do núcleo composto ocorre somente se 
a soma da energia cinética do sistema CM mais a energia de ligação do nêutron ao núcleo alvo for igual a do estado excitado de 
energia. 
 
� + ��
� → ���
����
∗
.																																																																																																																																(6.6) 
 
Aplicando o princípio de conservação de energia chegamos a seguinte relação: 
��
�� +���
� + ����
���� = ���
����
∗
�� = ���
������ + �∗ → 
�∗ = ��
�� +���
� +����
���� − ����
������ → 
�∗ = ��
�� + ����
� + ����
���� − ���
�������																																																																															(6.7) 
 
Note que o último termo da Equação (6.7) é justamente a energia necessária para separar o último 
nêutron de um núcleo de massa � + 1, ou seja, essa é justamente a energia necessária para ligar 
o nêutron incidente ao núcleo de massa � 17; é o que nós havíamos chamado de energia de ligação 
do nêutron ao núcleo alvo. Consequentemente, podemos escrever que: 
�∗ = ��� + ���,																																																																																																																																								(6.8) 
onde, 
��� =
����
��
�(��
�) + ��
	�� 
��� ≡ ����
� +����
���� − ���
������� = �����
���� − �����
�� 
 
Vale destacarmos que para reações nêutron-núcleo mais relevantes, como por exemplo: a fissão 
nuclear e captura radiativa, a massa do núcleo alvo é muito maior que a massa do nêutron, 
����
�� ≫ ��. O que nos permiti dizer que a energia cinética do sistema centro de massa é 
aproximadamente igual à energia cinética do nêutron no sistema do laboratório, isto é, 
��� =
����
��
�(��
�) �1 +
��
�(��
�)
�
	�� =
1
�1 +
��
�(��
�)
�
	�� =�
����
��≫��
��																																								(6.9)	
 
Substituindo a equação (6.9) em (6.8), obtemos finalmente a condição para a formação do núcleo 
composto. Entretanto, tenha em mente que a equação (6.8) é uma relação muito mais geral, sendo 
válida para quaisquer reações nêutron-núcleo. 
�∗ =� �� + ���																																																																																																																																									(6.10) 
 
Antes de finalizarmos a seção é importante que o leitor note que os estados excitados de um 
núcleo composto tem uma meia vida, de maneira que estes podem retornar ao estado fundamental 
por meio de emissão de partículas ou radiação gama, assim como os radionuclídeos, tal que a 
 
17 Note que este caso é análogo ao do exemplo apresentado no início da seção 3.6 do capítulo III, bastando apenas substituirmos � 
por � + 1. 
 
probabilidade por segundo para decair de um estado excitado é igual ao tempo médio de 
decaimento dos radionuclídeos, ou seja, 
� =
1
�
.																																																																																																																																																						(6.11) 
 
Podemos introduzir uma nova quantidade associada às larguras de energias dos estados 
energéticos de um núcleo, de modo que: 
ΔE. ΔT ≥
ℎ
2�
	→ 	ΔE�
�
. ΔT�
�
≥
ℎ
2�
			
��	������
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 		Γ =
ℎ
2�
� =
ℎ
2��
.																																																			(6.12)	 
 
Observe que a relação apresentada pela Equação (6.12) entre a largura de energia de um estado e 
o tempo médio de decaimento deste estado, é na verdade, uma representação do princípio de 
incerteza de Heisenberg. Portanto, fica claro que quanto maior for o tempo médio de decaimento 
de um estado excitado menor será a largura de energia associada a este estado, uma vez que � é 
inversamente proporcional a �. 
 
Para o caso dos estados excitados de um núcleo composto, indica que um núcleo composto com 
um tempo médio grande (núcleo metaestável) terá um valor menor de �, e consequentemente 
apresentará uma ressonância mais estreita18. No entanto, quando o núcleo composto decaí 
rapidamente, o núcleo terá uma largura maior de energia, ou seja, um valor maior de �, e 
consequentemente terá uma ressonância larga associada a este estado de energia. 
 
 O leitor certamente se recorda que � é a constante de decaimento dos radionuclídeos, e que estes 
podem decair por emissão de partículas e/ou fótons gama. Deste modo, é razoável supormos que 
a probabilidade de um nuclídeo decair de um estado excitado de energia é a soma das 
probabilidades de decair por emissão partículas e/ou fótons gama. 
 
Um claro exemplo é a reação de espalhamento inelástico, no qual o núcleo composto decai 
emitindo � e �. De modo que a constante de decaimento do estado excitado é a soma das 
constantes de decaimento parciais relativas a cada uma das reações, ou seja, 
� = �� + ��.																																																																																																																																											(6.13) 
 
Sendo assim, a largura de energia é a soma das larguras parciais, e consequentemente uma medida 
do tempo médio que o núcleo permanece em estado excitado antes de decair. 
Γ = Γ� + Γ�.																																																																																																																																												(6.14) 
 
18 Uma ressonância é dita estreita ou larga quando a perda de energia do nêutron é muito maior ou menor que a largura da ressonância 
�, respectivamente. 
 
 
Generalizando podemos escrever que: 
Γ = Γ� + Γ� + Γ� + Γ� + ⋯.																																																																																																															(6.15) 
 
Conhecendo as larguras parciais de um estado excitado de energia podemos basicamente estimar 
a probabilidade deste núcleo decair por algumas das reações já discutidas, como por exemplo: 
Γ�
Γ
≡ É	a	probabilidade	do	núcleo	decair	por	emissão	de	raios	gama;	 
Γ�
Γ
≡ É	a	probabilidade	do	núcleo	decair	por	emissão	de	nêutrons;	 
Γ�
Γ
≡ É	a	probabilidade	do	núcleo	decair	em	decorrência	da	fissão. 
 
Na próxima seção são discutidas quantitativamente as principais reações nêutron-núcleo, por 
meio da introdução do conceito de seção de choque microscópica. 
 
6.3 – Seção de Choque Microscópica 
A seção de choque microscópica caracteriza a probabilidade de que uma dada interação nêutron-
núcleo venha ocorrer, tal que a probabilidade de interação depende diretamente da natureza do 
núcleo e da energia do nêutron. Para melhor entendermos esse conceito vamos admitir um 
experimento imaginário, de modo que um feixe de nêutrons monoenergético colide com um alvo, 
cuja espessura tem a mesma dimensão dos núcleos atômicos deste alvo, conforme mostrado pela 
Figura 6.4. 
 
 
Figura 6.4 – Feixe Mono Energético de Nêutrons 
Interagindo com Alvo de Espessura InfinitesimalComo o alvo é suficientemente fino, nenhum núcleo do alvo será protegido por outros núcleos do 
alvo, de modo que a densidade de taxa de reação	(���������) será proporcional à intensidade 
do feixe de nêutrons incidente (���������) e a densidade de núcleos atômicos do alvo (����), 
ou seja, 
�⏟
#
������
∝ �(��)���
#
������
���
#
���
																																																																																																																													(6.16) 
 
Observe que as unidades de ambos os lados são distintas, de modo que é necessária uma 
compatibilização por meio de uma constante de proporcionalidade, que denominamos de seção 
de choque microscópica (�), 
�⏟
�	���çõ��
������
= �⏟
���
�(��)���
�	������
������
���
�ú�����
���
	.																																																																																																		(6.17) 
 
Logo podemos escrever que: 
� =
�
�(��)��
																																																																																																																																										(6.18) 
 
A Equação (6.18) pode ser reescrita de uma forma mais interpretativa, tal como: 
� =
�
��
�
�(��)
=
�ú����	��	���çõ��/�ú�����/���	
�ú����	��	�ê������/���/���
																																																																				(6.19) 
 
Admitindo que a área total do alvo é �, então a probabilidade por núcleo de que um nêutron 
interaja é dada por: 
� =
�
�
																																																																																																																																																					(6.20) 
 
Se interpretarmos os nêutrons incidentes e os núcleos do alvo como “bolas de bilhar”, ou seja, 
como partículas clássicas, a seção de choque microscópica corresponde naturalmente a área da 
seção transversal apresentada por cada um dos núcleos do alvo ao feixe de nêutrons. Como o raio 
dos núcleos atômicos são ~10�����,		logo a área média da seção transversal de um núcleo 
atômico é da ~10����� ou 1	����.	Portanto, convencionou-se que a unidade de medida da seção 
de choque microscópica é o ����. Contudo, é importante destacar que essa intepretação clássica 
da seção de choque microscópica que nós apresentamos pode conduzir o leitor ao engano, uma 
vez que alguns nuclídeos podem apresentar valores maiores ou menores do que a seção transversal 
 
do núcleo atômico19. Isso se deve exclusivamente a natureza quântica que rege o mundo 
subatômico. 
 
Note o leitor que nós apresentamos o conceito de seção de choque microscópica de modo bastante 
amplo, pois ignoramos os diversos tipos de reação (captura, fissão e espalhamento). Entretanto, o 
leitor deve ter em mente que o conceito apresentado pode ser usado para caracterizar 
quantitativamente cada uma das interações nêutron-núcleo que apresentamos anteriormente, 
mesmo que a energia do nêutron varie; de modo que podemos adotar a mesma classificação 
apresentada para reações nêutron-núcleo, tal como mostrado na Figura 6.5. 
 
 
Figura 6.5 – Diagrama de Classificação das Seções de Choque Microscópicas 
 
Sendo, 
σ�(E) ≡ Seção	de	Choque	Microscópica	de	Absorção;	 
σ�(E) ≡ Seção	de	Choque	Microscópica	de	Espalhamento;	 
σ�(E) ≡ Seção	de	Choque	Microscópica	de	Espalhamento	Elástico;	 
σ��(E) ≡ Seção	de	Choque	Microscópica	de	Espalhamento	Inelástico;	 
σ�(E) ≡ Seção	de	Choque	Microscópica	de	Fissão;	 
σ�(E) ≡ Seção	de	Choque	Microscópica	de	Captura	Radiativa;	 
σ�(E) ≡ Seção	de	Choque	Microscópica	Total.	 
 
De modo geral a seção de choque microscópica depende da energia cinética do nêutron incidente 
e da direção do espalhamento, bem como da estrutura do núcleo alvo. No entanto, a dependência 
do ângulo de espalhamento é muito fraca e pode ser quase sempre ignorada, de modo que 
 
19 Um exemplo claro desse efeito é a seção de choque microscópica do Xe135 que é cerca de um milhão de vezes maior que a seção 
transversal do núcleo. 
 
σ�(E)	caracteriza a probabilidade de um nêutron com energia E sofra uma reação qualquer ao 
interagir com um núcleo alvo. 
 
Na próxima seção vamos considerar mais detalhadamente a dependência da seção de choque 
microscópica com a energia do nêutron incidente, bem como com a estrutura do núcleo alvo. 
 
 6.4 –Seção de Choque Microscópica e a Energia do Nêutron 
Em nossa discussão preliminar sobre seção de choque microscópica, notamos que σ depende da 
energia do nêutron incidente. Então, para entendermos melhor, a dependência de σ com a energia 
do nêutron, vamos analisar o comportamento energético de σ do ponto de vista qualitativo de três 
principais faixas energéticas, para o caso do Au197 e C12, Figuras 6.6 e 6.7, respectivamente. 
 
Figura 6.6a – Seção de Choque Total do Au197 
 
 
 
 
 
Figura 6.6b – Seção de Choque Total do C12 
 
Energias de �, �	eV a ���	eV: Nesta faixa de energia, a mais provável reação nêutron-núcleo é 
o espalhamento potencial σ�, para o caso dos nuclídeos leves, A<25. Entretanto, para nuclídeos 
pesados as reações de absorção e espalhamento ressonantes dominam, uma vez que a 
probabilidade de formação de núcleo composto é muito alta, por conta da alta densidade de 
estados energéticos. É importante notar que a seção de choque total para nuclídeos leves, nesta 
faixa de energia é essencialmente geométrica, 2���, ou seja, praticamente independente da 
energia do nêutron, variando entre 2 e 20 barns de acordo com o tipo do núcleo alvo. 
 
Energias de ���	eV a ���	eV: Nesta faixa de energia, para nuclídeos leves, surgem as 
ressonâncias nucleares (vide Figura 6.6b), decorrentes da formação do núcleo composto. 
 
Contudo, é importante o leitor notar que as ressonâncias nucleares surgem na região de mais alta 
energia, uma vez que os núcleos leves têm menor densidade de estados (vide a Figura 6.1). Por 
outro lado, nos núcleos pesados as ressonâncias surgem em níveis de energias baixos, Figura 6.6a, 
devido a facilidade de formação de núcleo composto por conta da alta densidade de estados 
energéticos. Um exemplo bastante típico é a primeira ressonância do U238, que é 
aproximadamente 6,8 eV. 
 
Energias menores que �, �	eV: Nesta faixa de energia os nêutrons não estarão mais interagindo 
com um núcleo livre, mas sim com um agregado de núcleos ligados, de modo que essa interação 
pode excitar os modos internos das moléculas causando vibrações e/ou rotações moleculares. 
Além disso, nesta faixa de energia os núcleos alvos já não podem mais ser considerados 
estacionários, pois os nêutrons encontram-se em equilíbrio térmico assim como os núcleos, de 
modo que o movimento térmico dos núcleos se torna relevante no cálculo da seção da choque 
microscópica, tal que as partículas nesta condição são caracterizadas por uma energia cinética ~ 
��, sendo � a constante de Boltzmann e � a temperatura de equilíbrio térmico do meio. No 
entanto, por hora podemos admitir que para nêutrons de baixíssimas energias, as seções de choque 
microscópica de captura e fissão têm um comportamento proporcional à 1/� ∝ 1/√�. 
 
Abaixo apresentamos a seção de choque microscópica de fissão, captura radiativa, espalhamento 
elástico e inelástico para o isótopo do U238. 
 
 
Figura 6.7a – Seção de Choque de Fissão do U238 
 
 
 
Figura 6.7b – Seção de Choque de Captura do U238 
 
Figura 6.7c – Seção de Choque de Espalhamento Elástico do U238 
 
 
 
 
Figura 6.7d – Seção de Choque de Espalhamento Inelástico U238 
 
As Figuras 6.7a até 6.7d ilustram o comportamento da seção de choque microscópica com a 
energia do nêutron para diferentes reações nêutron-núcleo para o isótopo do U238. Note que as 
seções de choque microscópicas de captura e espalhamento elástico são as que têm maior seção 
de choque, respectivamente (vide Figuras 6.7b e 6.7c). Já a seção de choque microscópica de 
fissão (Figura 6.7a) é praticamente zero para nêutrons de baixas energias e aproximadamente 
1barn para nêutrons de energias intermediarias. Note também por meioda Figura 6.7d que a seção 
de choque de espalhamento inelástico ocorre somente a partir de um dado limiar de energia do 
nêutron, como havíamos mencionado no início deste capítulo. 
 
A seguir discutiremos a seção de choque microscópica na região de ressonância, bem como a 
modificação da seção de choque microscópica para o caso em que o movimento térmico dos 
núcleos se torna relevante. 
 
6.5 –Ressonâncias Nucleares 
Vimos na seção 6.2 que quando ocorre a formação do núcleo composto as seções de choque de 
espalhamento e absorção exibem picos, que denominamos de ressonâncias nucleares. As Figuras 
6.6b e 6.8 ilustram claramente as regiões de ressonâncias nucleares, mostrando que cada nuclídeo 
tem uma estrutura de ressonância nuclear única, e que os nuclídeos mais pesados têm ressonâncias 
em energias menores, além de terem suas ressonâncias mais próximas umas das outras, ao 
contrário do que ocorre com os nuclídeos leves, cujas ressonâncias são observadas em energias 
mais altas e mais espaçadas uma das outras. 
 
 
Figura 6.8 – Seção de Choque Total do U238 
 
A Figura 6.8 ilustra o comportamento da seção de choque total do U238 em função da energia do 
nêutron incidente. Note que as primeiras ressonâncias que surgem são separadas por um pequeno 
intervalo de energia; denominamos tais ressonâncias como resolvidas. Contudo, à medida que a 
energia aumenta a distância entre as ressonâncias diminui, ocorrendo assim uma sobreposição das 
ressonâncias (ressonâncias não resolvidas), mesmo onde a curva demostra aparentemente um 
comportamento suave é possível observar ressonâncias não resolvidas. 
 
As Figuras de 6.6b a 6.8 mostram claramente que as seções de choques têm maior magnitude nas 
regiões de ressonância. Portanto, é fundamental um modelo que seja capaz de estimar o valor da 
seção de choque na vizinhança das ressonâncias nucleares. A formulação de Breit-Wigner 20 é 
empregada no cálculo da seção de choque de captura radiativa e espalhamento elástico, nas 
regiões de ressonâncias resolvidas. 
 
Captura Radiativa 
σ�(E) = �� 	
Γ�
Γ
�
��
�
�
�/� 1
1 + 4
(� − ��)
�
Γ�
,																																																																																							(6.21) 
 
Espalhamento Elástico 
 
20 Em 1935 Breit-Wigner propuseram um modelo para estimar o valor da seção de choque, nas regiões de ressonâncias resolvidas. 
 
 
σ�(E) = 	
���
Γ
�
��
�
�
�
� 1
1 + 4
(� − ��)
�
Γ�
	+	
��2�
���
2
(� − ��)
�
Γ�
1 + 4
(� − ��)
�
Γ�
+ 4���																													(6.22) 
 
sendo, E a energia cinética do nêutron incidente21, �� é a energia onde ocorre a ressonância, Γ a 
largura da ressonância a meia altura, ou seja, metade do valor máximo da seção de choque máxima 
(Figura 6.9), ��	é o valor máximo da seção de choque de captura radiativa na região de 
ressonância, ��� é o comprimento de onda reduzido (�� 2�⁄ ), � é o raio nuclear (�~1.25 ∙ 10
��� ∙
��/�) e Γ�	e	Γ� são as larguras parciais associadas a reação (n, γ) e (n, n), respectivamente. 
 
Figura 6.9 – Uma Representação Típica de Ressonância Nuclear 
 
A seção de choque de Breit-Wigner de captura radiativa pode ser significativamente simplificada 
para o caso em que (� − ��) ≪ Γ, de modo que: 
σ�(E) ≅ �� 	
Γ�
Γ
�
��
�
�
�
�
∝
1
�
.																																																																																																																	(6.23) 
 
Note que quando � ≫ (� − ��), recaímos justamente no comportamento 1/�	 que mencionamos 
no fim da última seção, que é justamente o caso, por exemplo, da seção de choque de captura 
radiativa do B11, mostrado na Figura 6.10. 
 
 
21 Para sermos mais preciso deveríamos usar a energia cinética do sistema centro de massa E��, mas mostramos ao leitor que para 
núcleos pesados, que ambas as energias são próximas (Vide Eq. 6.9). 
 
 
Figura 6.10 – Seção de Choque de Captura Radiativa do Boro-11 
 
O leitor deve ter notado que a seção de choque de espalhamento elástico de Breit-Wigner, tem 
três contribuições. A primeira contribuição é relativa ao espalhamento elástico ressonante, a 
segunda contribuição surge da interferência quântica entre a ressonância e o espalhamento 
potencial, a terceira e última contribuição representa o termo de espalhamento potencial que na 
verdade é análogo ao espalhamento geométrico observado no mundo macroscópico. 
σ�(E) = 	
���
Γ
�
��
�
�
�
� 1
1 + 4
(� − ��)
�
��������������������
������������	������	����������
	+	
��2�
���
2
(� − ��)
�
Γ�
1 + 4
(� − ��)
�
����������������
�����������	������
+ 4������
������������	���������
. 
 
6.6 – Fenômeno de Alargamento Doppler 
No final da seção anterior argumentamos com o leitor que o movimento térmico dos núcleos se 
torna relevante quando os nêutrons alcançam energias da ~ ��, de modo que a seção de choque 
sofre influência do movimento térmico dos núcleos. No entanto, existe uma circunstância que o 
movimento térmico dos núcleos deve ser levado em conta mesmo quando os nêutrons têm 
energias cinéticas muito maiores que ��; justamente o caso dos núcleos mais pesados nos quais 
as ressonâncias são muito estreitas (muito menores que 1eV) e de grandes magnitudes (vide as 
Figuras 6.7 e 6.8). Neste caso o mais sutil movimento térmico dos núcleos pode afetar 
significativamente a dependência energética da seção choque do nêutron próximo à região de 
ressonância, levando ao surgimento de um fenômeno denominado de Alargamento Doppler. 
Portanto, fica claro que as seções choques nas regiões de ressonância não dependem apenas da 
energia dos nêutrons, mas também da temperatura � do meio com o qual os nêutrons interagem, 
de modo que a energia do núcleo alvo aumenta com a temperatura, modificando assim a 
 
velocidade relativa nêutron-núcleo, bem como a energia associada, resultando no alargamento da 
ressonância à medida que a temperatura do meio aumenta, conforme mostrado pela Figura 6.11. 
Esse fenômeno é que denominamos de alargamento Doppler da ressonância. 
 
O efeito de alargamento Doppler sobre a seção de choque microscópica nas regiões de 
ressonâncias pode ser quantificado matematicamente calculando-se a seção de choque média 
próximo à região de ressonância usando a fórmula de Breit-Wigner, ao admitirmos que os núcleos 
alvos possam ser tratados como um gás livre em equilíbrio térmico, regidos pela distribuição de 
velocidade de Maxwell-Boltzmann22, de modo que a seção de choque média de interação nêutron-
núcleo é definida pela seguinte expressão: 
��(E, T) =
1
�
���⃗ − ��⃗ �����⃗ − ��⃗ ���(�, �)���	.																																																																												(6.24) 
 
Reescrevendo temos que: 
��(E, T) =
1
�
� ��
��(�, �)���
�
�
	� � ���(��)
�
�
��
�
���(�)����	,																																																(6.25) 
sendo, �� = ��⃗ − ��⃗ �	a velocidade relativa entre o nêutron e o núcleo alvo, � o ângulo entre	�⃗ e ��⃗ 
, e ��� = ����, vide Figura 6.12, e �(�, �)	a distribuição de Maxwell-Boltzmann, dada por: 
�(�, �) = �
�
2���
�
�/�
��� �−
���
2��
�,																																																																																													(6.26) 
 
onde, � é a massa do núcleo alvo e � a sua velocidade. 
 
 
Figura 6.11 – Efeito de Alagamento Doppler da Ressonância Nuclear 
 
22 A distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann é válida somente para partículas em equilíbrio térmico. 
 
 
 
 
Figura 6.12 – O Triângulo do Vetor Velocidade 
 
Usando a lei dos cossenos podemos encontrar a relação entre o módulo do vetor velocidade e 
módulos das velocidades do nêutron e do núcleo alvo, tal que: 
�� = ��
� +	�� + 2��
�����(�)																																																																																																								(6.27) 
 
Substituindo a equação (6.27) em (6.26), obtemos a seguinte relação: 
�(�, �) = �
�
2���
�
�/�
��� �−
�
2��
(��
� + ��)� ����−
�
2��
2�����(�)�,																										(6.28)Substituindo as equações (6.28) em (6.25), obtemos que: 
�� = �
�
2���
�
�/� 2�
�
� ��
��(��)�
��
�
����
��
�������
�
��� � ���
�
�
���
�������(�)
�
�
���(�)�� 
 
Aplicando uma mudança de variável, tal que, � ≡ ���(�)		e �� ≡ −���(�)��. Chegamos a 
seguinte expressão: 
 
�� = �
�
2���
�
�/� 2�
�
� ��
��(��)�
��
�
����
��
�������
�
��� � ���
�
�
���
�����
��
��
��.	 
 
Resolvendo a segunda integral obtemos que: 
�� = �
�
2���
�
�
� 2�
�
� ��
��(��)�
��
�
����
��
�������
�
�
��
�
���
���� − �
�
���
����
−
�
2��
2���
����.	 
 
Simplificando, temos que: 
 
�� =
1
��
�
�
2���
� ��
��(��)
�
�
��
��
�
������
�����������
− �
��
�
������
�����������
����. 
 
Note que podemos escrever os argumentos das exponencias em função da soma e da diferença de 
quadrados, de modo que: 
�� =
1
��
�
�
2���
� ��
��(��)
�
�
��
��
�
���
(����)
��
− �
��
�
���
(����)
��
� ���.																																				(6.29)	 
 
Note que podemos escrever os argumentos das exponenciais da Equação (6.29) em função da 
soma e da diferença de quadrados, de modo que: 
�� =
1
��
�
�
2���
� ��
��(��)
�
�
��
��
�
���
(����)
�� − ��
�
�
���
(����)
��
� ���.																																				(6.30)	 
 
Note que a Equação (6.30) é exata, pois a única hipótese lançada foi de que a distribuição de 
velocidade dos núcleos alvos é regida pela distribuição de Maxwell-Boltzmann, admitindo válido 
o modelo de gás livre. No entanto, podemos reescrever a Equação (6.30) em função da energia 
do nêutron no referencial do laboratório e da energia cinética do nêutron no referencial do centro 
de massa, tal que: 
� =
�
2
��;																																																																																																																																													(6.31)	 
�� =
�
2
��
�;																																																																																																																																										(6.32)	 
�� = �
2��
�
;																																																																																																																																										(6.33)	 
��� =
���
���
;																																																																																																																																										(6.34)	 
��� =
���
���
=
���
�2���
.																																																																																																																							(6.35)	 
 
Aplicando-se a mudança de variável, temos que: 
�� =
�
2�
�
�
2���
�
2��
�
�(��)
�
�
��
��
�
����
���√��
�
� − ��
�
�
����
���√��
�
�
�
���
�2���
∴	 
�� =
1
�
�
�
4����
� ����(��)
�
�
��
��
�
����
���√��
�
� − ��
�
�
����
���√��
�
�
� ��� ∴	 
 
�� =
1
�
�
�
4���
� ����(��)
�
�
��
��
�
����
���√��
�
� − ��
�
�
����
���√��
�
�
� ���.																													(6.36)	 
 
Note que nós admitimos que � ≅ �/�. 
 
Analisando o caso da seção de choque de captura na região de ressonância segundo a fórmula de 
Breit-Wigner, temos que: 
σ�(E) = �� 	
Γ�
Γ
�
��
��
�
�/� 1
1 + 4
(�� − ��)
�
Γ�
,																																																																																						(6.37) 
 
Substituindo a Equação (6.37) em (6.36), obtemos a seguinte expressão: 
 
��� =
��
√�
	
Γ�
Γ
��
�
�
�
4����
�
��
��
�
����
���√��
�
� − ��
�
�
����
���√��
�
�
�
1 + 4
(�� − ��)
�
Γ�
�
�
���.																														(6.38)	 
 
A partir de agora podemos lançar mão de algumas simplificações ao admitirmos que � ≫ �� e 
� ≈ ��.
23 
i			���� + √��
�
≫ ���� − √��
�
; 
ii			���� − √��
�
≈
(�� − �)
�
4�
; 
iii		
��
�
≈ 1. 
 
Fazendo uso das aproximações obtemos finalmente uma expressão que representa a seção de 
choque média na região de ressonância resolvida, em função da temperatura absoluta do meio e 
da energia cinética do nêutron. 
���(�, �) ≅
��
√�
	
Γ�
Γ
�
�
4����
�
��
��
�
��
(����)
�
���
�
�
1 + 4
(�� − ��)
�
Γ�
�
�
���.																																																														(6.39)	 
 
O leitor deve perceber que ao lançarmos mãos das hipóteses citadas, tornamos a Equação (6.39) 
inadequada para o caso de ressonâncias em baixas energias. No entanto, essas hipóteses podem 
ser muitas das vezes negligenciadas e a Equação (6.39) pode ser aplicada a todas as ressonâncias 
 
23 Essas aproximações para obtenção da função de alargamento Doppler foram propostas inicialmente por Bethe e Placzek. 
 
resolvidas. A Equação (6.39) pode ser reescrita de uma forma muito mais elegante se 
consideramos as seguintes definições: 
i		� ≡ 2
(� − ��)
Γ
 
ii			� ≡ 2
(�� − ��)
Γ
 
iii		∆	≡ �
4����
�
 
iv		�	 ≡
Γ
∆
 
Usando as definições acima podemos rescrever a Equação (6.39) em termos da função de 
alargamento Doppler, tal que: 
���(�, �) ≅ �� 	
Γ�
Γ
�(�, �),																																																																																																																		(6.40)	 
sendo, 
�(�, �) =
�
2√�
	�
��
��
��
�
(���)��
�
1 + ��
�
��
��.																																																																																										(6.41) 
 
O termo �(�, �)24	é denominado na física de reatores como a função de alargamento Doppler. 
Note que a função �(�, �)	mede essencialmente o alargamento das ressonâncias nucleares 
conforme a mudança de temperatura do meio. Note ainda que a Figura 6.13 nos permite verificar 
que a função de alargamento Doppler é uma função simétrica, e à medida que a variável � 
decresce a função sofre uma deformação, alargando-se e consequentemente aumentando a 
probabilidade de que os nêutrons sejam capturados. 
 
O fenômeno de alargamento Doppler da ressonância e constitui-se em uns dos mecanismos mais 
importantes de controle em reatores térmicos, pois o aumento da largura de ressonância implica 
em uma maior probabilidade de captura de nêutrons, fazendo assim com que a absorção de 
nêutrons térmicos aumente diminuindo a fissão nuclear. Portanto, no caso de uma excursão de 
potência a temperatura do meio irá crescer e consequentemente ocorrerá o fenômeno de 
alargamento das ressonâncias, aumentado assim a captura de nêutrons que por sua vez fará com 
que a potência do reator seja reduzida. 
 
 
 
 
 
24 O leito deve ter notado que nós admitimos que o limite inferior da integral é −∞. Isso é valido uma vez que a largura da ressonância 
de um modo geral é muito menor que a energia no ponto máximo da ressonância, ou seja, Γ ≪ �� → −∞. 
 
 
 
 
Figura 6.13 –	�(�, �) para Diferentes Valores �. 
 
O cálculo da função �(�, �) foi tabelado nos anos 60 por Beynon e Grant para diferentes valores 
de energia e temperatura, ou seja, � e � respectivamente. Conforme mostrado pela Tabela 6.1. 
 
Tabela 6.1 – Função de Alargamento Doppler 
 
Uma análise física bastante interessante que decorre da função de alargamento Doppler é o cálculo 
da seção de choque microscópica média no caso de uma temperatura de 0 K, pois neste caso a 
velocidade relativa tende ser aproximadamente igual à velocidade dos nêutrons e 
consequentemente a energia cinética do centro de massa tende a energia cinética dos nêutrons e 
� → �. Sendo assim, podemos escrever que: 
lim
�→�
�(�, �) = lim
�→�
�(�, �) = lim
�→�
�
2√�
	�
��
��
��
�
(���)��
�
1 + ��
�
��
�� ∴										 
 
lim
�→�
�
2√�
	
1
1 + ��
� �
��
��
�
(���)��
�
��
��
��
�
�
(���)
��������
1
√�
1
1 + ��
	 lim
�→�
� ���
�
�
��
�� ∴ 
lim
�→�
�(�, �) =
√�
√�
1
1 + ��
	 
 
Note que a última integral se trata de uma integral de uma distribuição gaussiana de −∞	a ∞, cuja 
á solução é √�. Desta forma obtemos que: 
lim
�→�
�(�, �) =
1
1 + ��
.																																																																																																																									(6.42) 
 
Portanto, o leitor deve-se atentar que a seção de choque média tende a formulação de Breit-
Wigner para energias próximas do pico de ressonância, tal que: 
lim
�→�
���(�,�) = �� 	
Γ�
Γ
lim
�→�
	�(�, �) = �� 	
Γ�
Γ
1
1 + 4
(�� − ��)
�
Γ�
.																																																	(6.42) 
 
O resultado decorrente da Equação (6.41) nos motiva a procurar uma solução assintótica para 
�(�, �), de modo que se expandirmos em série de Taylor o termo 
�
����
 da função de alargamento 
Doppler, equação (2.8), em torno de � = �, 
 
1
1 + ��
≅
1
1 + ��
−
2�
(1 + ��)�
(� − �) +
−1 + 3��
(1 + ��)�
(� − �)� ∗ 
4�(−1 + ��)
(1 + ��)�
(� − �)� + ⋯					.																																																																																																									(6.43) 
 
Ao substituirmos o termo 
�
����
 pela aproximação de Taylor, Equação (6.43), na Equação (6.41) 
alcançamos finalmente uma expansão assintótica que representa a função de alargamento. 
�(�, �) =
1
1 + ��
�1 +
2
��
(3�� − 1)
(1 + ��)�
(� − �) +
12
��
(5�� − 10�� + 1)
(1 + ��)�
…�																										(6.44) 
 
A Equação (6.44)25 apresenta-se frequente como uma possibilidade para o cálculo da função de 
alargamento Doppler para casos específicos em que a condição |�. �| > 6 é satisfeita. 
 
25 Note que na Equação (6.44) quando � → 0	recaímos novamente na Equação (6.42). 
 
 
Outro resultado decorrente da aproximação de Bethe e Placzek é que a integral da função de 
alargamento Doppler com respeito a energia independe da temperatura do meio, tal que: 
 
� = � �(�, �)��
�∞
�∞
=
�
2√�
�
1
1 + ��
�∞
�∞
�� �
�
��
�
(���)���
�∞
�∞
���. 
 
Empregando-se a mesma transformação de variável, � =
�
�
(� − �), temos que a equação pode 
ser reescrita como sendo: 
� = � �(�, �)��
�∞
�∞
=
1
√�
�
1
1 + ��
�∞
�∞
�� ���
�
��
�∞
�∞
���. 
 
O leitor deve ter notado que a segunda integral é exatamente igual à que resolvemos 
anteriormente, cujo resultado é √�. Portanto chegamos a seguinte relação: 
� = � �(�, �)��
�∞
�∞
=
1
√�
�
1
1 + ��
�∞
�∞
�� = ����(�)|�∞
�∞ = �																																																			(6.45) 
 
Podemos concluir que a integral independe da temperatura do meio, ou seja, a área sob a curva 
���(�, �)	é mantida constante à medida que a temperatura do meio varia. Sendo assim, quando o 
ponto máximo da região de ressonância diminuir, a sua largura tenderá a aumentar, ocasionando 
assim o efeito Doppler, conforme mostrado pela Figura 6.11 no início desta seção. 
 
6.7 – Termo de Interferência 
Na seção anterior estudamos o efeito de alargamento Doppler sob as ressonâncias de captura a 
partir do cálculo da seção de choque média, ���(�, �), usando o formalismo Briet-Wigner e 
distribuição de Maxwell-Boltzmann. Agora estudaremos o caso da seção de choque microscópica 
de espalhamento seguindo um raciocínio análogo ao que acabamos de apresentar, de modo que 
podemos partir de uma equação análoga a Equação (6.39) já considerando as aproximações de 
Bethe e Placzek, tal que: 
���(�, �) ≅
��
√�
	
Γ�
Γ
�
�
4����
�
��
��
�
��
(����)
�
���
�
�
1 + 4
(�� − ��)
�
Γ�
�
�
��� + 
 
 
 
2
���
���
�
�
4����
�
��
��
�
��
(����)
�
���
�
�2
(� − ��)
�
Γ�
1 + 4
(�� − ��)
�
Γ�
�
�
��� +																																																												 (6.46) 
4���
2√�
Γ		�
�
4����
� �
��
�
��
(����)
�
���
�
�
�
���	 
 
A Equação (6.46)26 pode ser reescrita de uma forma muito mais elegante, usando-se novamente 
as seguintes definições abaixo: 
i		� ≡ 2
(� − ��)
Γ
 
ii			� ≡ 2
(�� − ��)
Γ
 
iii		∆	≡ �
4����
�
 
iv		�	 ≡
Γ
∆
 
Usando as definições acima podemos rescrever a Equação (6.44) como sendo: 
���(�, �) ≅ �� 	
Γ�
Γ
�
2√�
�
��
�
��
�
(���)�
�
1 + ��
�
�
�� +
���
���
�
��
�
��
�
(���)�
�
1 + ��
�
�
�
�� + 
4���
�
2√�
	� �
�
��
�
(���)�
�
�
��																																																																																																											(6.47) 
A última integral da Equação (6.47) tem como solução 
�√�
�
, deste modo podemos reescrever que: 
���(�, �) ≅ �� 	
Γ�
Γ
�
2√�
�
��
�
��
�
(���)�
�
1 + ��
�
�
�� +
���
���
1
√�
�
��
�
��
�
(���)�
�
1 + ��
�
�
�
�� + 
4���																																																																																																																																																											(6.48) 
 
Note que na Equação (6.48) que a primeira integral é a própria função de alargamento Doppler e 
a segunda integral é o que denominamos de termo de interferência e o último termo é termo 
relativo ao espalhamento potencial. Sendo assim, podemos reescrever a Equação (6.48) como 
sendo: 
 
26 Note que a Equação (6.46) é fruto da combinação da Equação (6.22) com a Equação (6.36), aplicando-se as aproximações de Bethe 
e Placzek. 
 
 
���(�, �) ≅ �� 	
Γ�
Γ
�(�, �) +
���
���
�(�, �) 	+ 4���																																																																						(6.49�) 
sendo, 
�(�, �) =
�
2√�
	�
��
��
��
�
(���)��
�
1 + ��
�
��
��.																																																																																								(6.49�) 
�(�, �) =
1
√�
	�
��
��
��
�
(���)��
�
1 + ��
�
��
���.																																																																																								(6.49�) 
 
Observe na Figura 6.14 que diferentemente da função de alargamento Doppler o termo de 
interferência �(�, �)	é uma função assimétrica com respeito a variável �. 
 
 
Figura 6.14 –	�(�, � = �, ��) 
É importante salientar ao leitor que fisicamente a função �(�, �)	continua a representar a 
interferência quântica entre a ressonância e o espalhamento potencial. 
 
6.8 – Espalhamento Elástico Potencial em Núcleos Estacionários 
Sabemos que a seção de choque microscópica depende da energia cinética do nêutron, do tipo de 
nuclídeo com o qual o nêutron interage e da temperatura do meio. Por exemplo: σ�(E)	caracteriza 
apenas a probabilidade que uma reação de espalhamento venha a ocorrer, no entanto, não fornece 
uma medida da probabilidade de o nêutron mudar de energia e direção durante a reação de 
espalhamento potencial. Sendo assim, podemos generalizar o conceito de seção de choque 
microscópica de espalhamento levando-se em consideração a mudança na energia e direção do 
nêutron após o espalhamento. Para tanto, podemos introduzir o conceito de seção de choque 
microscópica de espalhamento duplamente diferencial, σ��E → E
�, Ω� → Ω�′�, a fim de caracterizar 
a probabilidade de que o nêutron com energia E e direção Ω� ao sofrer uma reação de espalhamento 
 
potencial mude para uma energia E′ dentro da faixa �E′ e direção Ω�′dentro de �Ω�′, conforme 
mostrado pela Figura 6.15. 
 
Nós podemos relacionar a seção de choque microscópica espalhamento duplamente diferencial 
σ��E → E
�, Ω� → Ω�′�, com a seção de choque microscópica de espalhamento diferencial 
σ�(E → E
�), apenas por integração direta da variável Ω�′, temos que: 
σ�(E → E
�) = � σ��E → E
�, Ω� → Ω�′��Ω�′
��
.																																																																																			(6.50)	 
 
Note que na Figura 6.13 que o vetor Ω��aponta na direção de espalhamento do nêutron, de modo 
que podemos decompor o vetor em coordenadas esféricas, tal que: 
� = ���(�)���(�)e�� + ���(�)���(�)e�� + ���(�)e��.																																																											(6.51)	 
 
Desta forma, podemos definir a integral sob o ângulo sólido �Ω�, como sendo: 
� �Ω�
��
≡ � ��
��
�
	� ���(�)��
�
�
= 2�	� ���(�)��
�
�
= 4�																																																												(6.52)	 
 
 
Figura 6.15 – Velocidade do nêutron em coordenadas esféricas 
 
Integrando a equação (6.50) em com respeito à energia do nêutron E�	e o ângulo sólido Ω�′ após o 
espalhamento, obtemos finalmente a seção de choque de espalhamento elástico, σ�(E), 
σ�(E) = � � σ��E → E
�, Ω� → Ω�′��Ω�′
��
��′
�
�
.																																																																																	(6.52)	 
Os cálculos das seções de choque microscópica diferenciais de espalhamento são bastantes 
complexos e é comumente requeridouma enorme quantidade de dados nucleares para uma 
 
representação adequada do fenômeno. Todavia, no caso do espalhamento potencial por núcleos 
estacionários, é possível modelarmos de modo bem simples a seção de choque microscópica de 
espalhamento diferencial, usando-se as leis da conservação da energia e momento linear. 
Portanto, é bastante razoável supormos que durante o processo de espalhamento potencial por 
núcleos estacionários, que o nêutron emerge de forma quase isotrópica após a colisão, ou seja, 
sem uma direção preferencial. Dessa forma, podemos simplificar a seção de choque de 
espalhamento elástico duplamente diferencial como sendo: 
σ��E → E
�, Ω� → Ω�′� ≅ σ��E → E
�, Ω� ∙ Ω�′�,																																																																																				(6.53)	 
 
onde, o produto escalar Ω� ∙ Ω��	indica o ângulo de espalhamento entre o nêutron e núcleo alvo no 
sistema do laboratório. 
 
Com base nas hipóteses mencionadas podemos reescrever a equação da seção de choque de 
espalhamento elástico diferencial como sendo composta pela seção de choque de espalhamento 
σ�(E), e pela função de distribuição de probabilidade ��E → E
�, Ω� ∙ Ω�′�, que rege a mudança de 
energia do nêutron durante uma reação de espalhamento potencial, tal que: 
σ�(E → E
�) = σ�(E)��E → E
�, Ω� ∙ Ω�′�,																																																																																											(6.54)	 
 
��E → E�, Ω� ∙ Ω�′��E� −	Mede a probabilidade de que um nêutron com energia E ao sofrer 
espalhamento potencial com ângulo de espalhamento � tenha sua energia mudada para E� dentro 
do intervalor [E�, E� + �E�]. 
 
A fim de harmonizarmos as notações com o modelo que será apresentado posteriormente, nós 
vamos introduzir o sobescrito ℓ na energia a fim de indicar que se trata da energia do nêutron 
medida no referencial do laboratório, tal que: 
���ℓ → �ℓ
�, Ω� ∙ Ω�′� ≡ ��E → E�, Ω� ∙ Ω�′�.																																																																																								(6.55) 
 
Note que a seção de choque diferencial de espalhamento elástico representada pela equação 
(6.54), pode ser integralmente calculada uma vez que conhecida a função de distribuição de 
probabilidade ���ℓ → �ℓ
�, Ω� ∙ Ω�′�. Para tanto, nós iremos buscar um modelo para a função de 
distribuição de probabilidade tomando-se como base as seguintes hipóteses físicas: 
 Espalhamento elástico potencial (reação mais provável em reator térmico); 
 Colisões binárias; 
 Núcleos leves, A < 25 e estacionários; 
 Nêutrons com energias da ordem de 1MeV. 
 
 
A Figura 6.16 ilustra a colisão binária de espalhamento potencial com o núcleo alvo do ponto de 
vista do referencial do laboratório e do centro de massa. É importante que o leitor observe que os 
sobescritos ℓ e �	indicam as velocidades do ponto de vista do laboratório e do centro de massa 
respectivamente e o sobrescrito linha ′ , indica as velocidades do nêutron e do núcleo após a 
colisão. 
 
 
Figura 6.16 – Colisão binária de espalhamento elástico potencial antes e após a colisão 
vista nos referencias do laboratório e centro de massa. 
 
Os processos de colisões binárias podem ser resolvidos de maneira mais simples ao adotarmos 
um referencial fixo no centro de massa, de modo que sempre podemos relacionar este referencial 
com o referencial do laboratório, assim como ilustrado pela Figura 6.17. 
 
 
Figura 6.17 – Representação do sistema de referencial 
do laboratório e centro de massa. 
 
Sendo, r⃗�� ≡ ��r⃗ℓ + �R��⃗ ℓ� (� +�)� 		o vetor posição do centro de massa, r⃗ℓ e R��⃗ ℓ	são os 
vetores posições do nêutron e do núcleo alvo no referencial do laboratório respectivamente e r⃗� e 
R��⃗ � são os vetores posições do nêutron e do núcleo alvo com respeito ao centro de massa 
respectivamente. 
 
 
A partir da Figura 6.17 podemos concluir que: 
v�⃗ �� ≡
�v�⃗ ℓ + �V��⃗ ℓ
� +�
;																																																																																																																													(6.56) 
v�⃗ ℓ = v�⃗ �� + v�⃗ �; 																																																																																																																																						(6.57) 
V��⃗ ℓ = v�⃗ �� + V��⃗ �	.																																																																																																																																						(6.58) 
 
Contudo, V��⃗ ℓ = 0�⃗ no referencial do laboratório, pois estamos analisando colisões com núcleos 
estacionários. Desta forma obtemos que: 
�⃗�� ≡
�
�+�
�⃗ℓ;																																																																																																																																	(6.59) 
�⃗� = �⃗ℓ − v�⃗ �� = v�⃗ ℓ −		
�v�⃗ ℓ
� +�
=
�
� +�
�⃗ℓ;																																																																															(6.60) 
V��⃗ � 	= −�⃗�� = −
�
� +�
�⃗ℓ.																																																																																																															(6.61) 
 
Aplicando o princípio da conservação do momento linear com respeito ao referencial do centro 
de massa, podemos escrever que: 
��⃗� +�V��⃗ � = ��⃗′� + �V��⃗ ′� → �
�
� +�
�⃗ℓ −�
�
� +�
v�⃗ ℓ = ��⃗′� + �V��⃗ ′� →								 
0�⃗ 	= ��⃗′� + �V��⃗ ′� 	→ 	��⃗′� = −�V��⃗ ′� 	→ V��⃗ ′� = −
�
�
�⃗′� 		→	 
V′� =
�
�
�′�	.																																																																																																																																											(6.62) 
 
Aplicando o princípio da conservação da energia cinética no referencial do centro de massa e 
usando as Equações (6.60) e (6.61) podemos obter a velocidade do nêutron após a colisão no 
referencial do centro de massa, tal que: 
1
2
���
� +
1
2
���
� =
1
2
����
�
+
1
2
����
�
→ 
1
2
� �
�
�+�
�
�
�ℓ
� +
1
2
��
�
� +�
�
�
�ℓ
� =
1
2
����
�
+
1
2
��
�
�
�
�
���
�
				→		 
1
2
1
(� +�)�
(��� +���)�ℓ
� =
1
2
����
�
+
1
2
��
�
���
�
				→		 
1
2
��
(� +�)�
(� +�)�ℓ
� =
1
2
��1 +
�
�
����
�
	→ 	
�
(� +�)
�ℓ
� = �1 +
�
�
����
�
	→	 
�
(� +�)
�ℓ
� =
(� +�)
�
���
�
				→ 			 ���
�
= �
�
�+�
�
�
�ℓ
� → 
�′� =
�
(� +�)
�ℓ.																																																																																																																																(6.63) 
 
Substituindo a Equação (6.63) em (6.62) obtemos a velocidade do núcleo alvo com respeito ao 
centro de massa, tal que: 
V′� =
�
(� +�)
�ℓ.																																																																																																																																(6.64) 
 
Neste ponto é importante que o leitor observe que os módulos das velocidades do nêutron e núcleo 
alvo no referencial do centro de massa não se alteram após a colisão, pois �′� = �� (compare a 
equação (6.63) com módulo da equação (6.60)) e �′� = �� (compare a equação (6.64) com módulo 
da equação (6.61)). Esse resultado nos traz uma implicação bastante interessante do ponto de vista 
físico, pois uma vez que o momento linear total é zero no referencial do centro de massa, o modulo 
das velocidades das partículas não se alteram após a colisão, ocorrendo apenas uma rotação de 
ângulo � com respeito ao referencial do centro de massa, conforme ilustrado pela Figura 6.18. 
 
Figura 6.18 – O módulo das velocidades do nêutron e núcleo 
alvo não se alteram após a colisão, ocorrendo apenas uma 
rotação com respeito ao centro de massa. 
 
Sendo assim, podemos correlacionar o ângulo de espalhamento � no referencial do centro de 
massa com o ângulo de espalhamento � no referencial do laboratório, conforme ilustrado pela 
Figura 6.19. 
 
Figura 6.19 – Triangulo de velocidade relaciona o ângulo de 
 espalhamento no ref. do CM com o do ref. Laboratório. 
 
Note o leitor que na Figura 6.19 que temos um triangulo e, portanto, podemos correlacionar seus 
lados usando a lei dos cossenos, de modo que: 
��ℓ
�
= ���
�
+ ����
�
− 2��� 	�
�
�� cos(� − �) , ����	���: cos(� − �) = −cos(�) → 
��ℓ
�
= ���
�
+ ����
�
+ 2�′� 	�′��cos(�).																																																																																									(6.65) 
 
Substituindo as Equações (6.59) e (6.63) na equação (6.65) podemos finalmente relacionar a 
velocidade do nêutron após e antes da colisão no referencial do centro de massa. 
��ℓ
�
= �
�
�+�
�
�
�ℓ
� + �
�
�+�
�
�
�ℓ
� + 2
��
(� +�)�
�ℓ
� cos(�)
�≅
�
�
�⎯⎯� 
��ℓ
�
= �
1
1 + �
�
�
�ℓ
� + �
�
1 + �
�
�
�ℓ
� + 2
�
(1 + �)�
�ℓ
� cos(�) → 
��ℓ
�
=
1
(1 + �)�
(1 + �� + 2�cos(�))�ℓ
�.																																																																																							(6.66) 
 
A Equação (6.66) pode ser reescrita de uma forma mais amigável ao definirmos a variável 
� ≡ �
���
���
�
�
, tal que: 
 
��ℓ
�
=
1
2(1 + �)�
(2 + 2�� + 4�cos(�))�ℓ
� → 
��ℓ
�
=
1
2(1 + �)�
(2 + 2�� + 4�cos(�))�ℓ
�
���(���)��(���)�
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 
��ℓ
�
=
1
2(1 + �)�
(2 + 2�� + ((� + 1)� − (� − 1)�)	cos(�))�ℓ
� → 
��ℓ
�
=
1
2
�
2 + 2��
(1 + �)�
+ (1 − �)cos(�)� �ℓ
�
�������(���)��(���)�
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 
��ℓ
�
=
1
2
�
(� + 1)� + (� − 1)�
(1 + �)�
+ (1 − �)cos(�)� �ℓ
� → 
��ℓ
�
=
�(1 + �) + (1 − �)	cos(�)�
2
�ℓ
�.																																																																																											(6.67) 
Note que quando multiplicamos a Equação (6.67) de ambos os lados pelo termo � 2⁄ , obtemos 
uma relação entre a energia cinética do nêutron após e antes da colisão: 
�′ℓ =
�(1 + �) + (1 − �)cos(�)�
2
�ℓ,																																																																																													(6.68) 
 
onde, �′ℓ é a energia do nêutron após a colisão, �ℓ	é a energia do nêutron antes da colisão e � é 
o ângulo de espalhamento no referencial do centro de massa. 
 
É importante observamos que a energia final após o espalhamento elástico potencial ficará sempre 
limitada entre um valor mínimo e máximo que depende do ângulo de espalhamento �, de modo 
que: 
 
I − cos(� = 180∘) 
��ℓ =
�(1 + �) + (1 − �)	cos(180∘)�
2
�ℓ → �
�
ℓ = ��ℓ,																																																									(6.69�) 
conduz a máxima transferência de energia durante a colisão e 
 
II − cos(� = 0∘) 
�′ℓ =
�(1 + �) + (1 − �)cos(0∘)�
2
�ℓ → �′ℓ = �ℓ,																																																																			(6.79�) 
 
conduz a mínima transferência de energia durante a colisão. 
 
A partir do resultado mostrado podemos concluir que: 
�′ℓ =
�(1 + �) + (1 − �)	cos(�)�
2
�ℓ; 					��ℓ ≤ �′ℓ ≤ �ℓ,																																																					(6.69�) 
 
onde, 
� ≡ �
� − 1
� + 1
�
�
.																																																																																																																																							(6.70) 
 
Neste ponto é importante que o leitor observe que a expressão apresentada pela Equação (6.69c) 
indica que a energia final do nêutron (�′ℓ) após a colisão depende unicamente da energia inicial 
(�ℓ) e do ângulo de espalhamento � no referencial do centro de massa. Entretanto, a Equação 
(6.69c) não é ainda completamente determinada, pois não é possível medirmos ângulo � no 
referencial do centro de massa (CM). Logo é necessário que estabeleçamos uma relação entre o 
ângulo de espalhamento � no referencial do CM com o ângulo de espalhamento � no referencial 
do laboratório. Para tanto, vamos recorrer novamente ao triangulo de velocidade ilustrado na 
Figura 6.19. Note que a projeção do vetor velocidade do nêutron com respeito ao laboratório no 
eixo �	é igual à soma da projeção do vetor velocidade do nêutron com respeito ao CM mais o 
vetor velocidade do CM com respeito ao laboratório, de modo que: 
��ℓ cos(�) = �
�
�� + �′� cos(�)	.																																																																																																		(6.71) 
 
Substituindo as Equações (6.59), (6.63) e (6.66) na equação (6.71) obtemos finalmente uma 
relação entre os ângulos de espalhamento entre o referencial do CM e laboratório: 
 
��ℓ cos(�) = �
�
� +�
��ℓ + �
�
�+�
��ℓ cos(�) → 
��ℓ cos(�) = �
� +�cos(�)
� +�
��ℓ
�≅
�
�
�⎯⎯� 
cos(�) = �
1 + � cos(�)
1 + �
�
�ℓ
��ℓ
	����
�⎯⎯�		��ℓ =
1
1 + �
�1 + �� + 2�cos(�) �ℓ →		 
cos(�) = �
1 + � cos(�)
�1 + �� + 2�cos(�)
�	.																																																																																																(6.72) 
 
O leito deve se atentar que a Equação (6.72) relaciona o cosseno do ângulo de espalhamento no 
referencial do centro de massa com o cosseno do ângulo de espalhamento no referencial do 
laboratório, respectivamente 
�(�) = cos(�)																																																																																																																																					(6.73) 
�(�) = �
1 + � cos(�)
�1 + �� + 2�	cos(�)
� = cos(�)	.																																																																															(6.74) 
 
Vamos a partir de agora pensarmos em um modelo que seja capaz de descrever o comportamento 
médio dos nêutrons com os núcleos alvos de um moderador. Para tanto, precisamos conhecer a 
função de distribuição de probabilidade que carrega as informações relativas às frequências de 
espalhamento em uma dada direção com outra direção qualquer, ou seja, ��Ω�� → Ω′� ��. De um 
modo bem geral esta função de distribuição de probabilidade ��Ω�� → Ω′� �� é bastante complexa 
para o caso de espalhamentos anisotrópicos (não isotrópicos). No entanto, se supusermos que o 
espalhamento é isotrópico27 e que ocorresse unicamente no mesmo plano, teremos sempre uma 
igual probabilidade do ângulo � assumir qualquer valor entre 0∘e 180∘. Contudo, o plano de 
espalhamento não é fixo (vide a Figura 6.20), implicando que o cosseno do ângulo ψ seja 
equiprovável entre [-1, 1], o que equivale a dizer que o nêutron pode ser espalhado entorno do 
centro de massa em qualquer direção do espaço dentro do ângulo sólido 4�, ou seja, a 
probabilidade de espalhamento no ângulo sólido �Ω′� � é ��Ω�� → Ω′� ��Ω′� � =
�����
��
. 
 
Contudo, é importante que o leitor saiba que a isotropia no referencial do centro de massa não 
implica necessariamente que o espalhamento potencial também será isotrópico no referencial do 
laboratório, pelo contrário no referencial do laboratório o espalhamento tende a ser mais 
anisotrópico a medida que núcleo alvo torna-se mais leve, ou seja, à medida em que o número de 
 
27 A hipótese do espalhamento isotrópico no referencial do centro de massa encontra amparo científico, uma vez que é possível 
verificar experimentalmente que o espalhamento de nêutrons (com energias abaixo 1���) em núcleos leves (� < 25) é isotrópico, 
ou seja, ��� =
�
�
���(�)��. 
 
massa do núcleo alvo aumenta a anisotropia diminui, de modo que para núcleos com número de 
massa A~25 faz com que ambas as Equações (6.73) e (6.74) sejam praticamente idênticas, ou 
seja, o espalhamento torna-se isotrópico também no referencial do laboratório, conforme ilustrado 
pela Figura 6.21. 
 
Note por meio da Figura 6.21 que à medida que os núcleos alvos se tornam mais pesados, as 
curvas tende a se aproximar cada vez mais da curva em vermelho, que é o cos(�) ≡Ω�� ∙ Ω′� �, de 
modo que para o caso de um moderador com água pesada (D2O) ambas as curvas são praticamente 
coincidentes, ou seja, quando o espalhamento for isotrópico no referencial do centro de massa 
também será no referencial do laboratório. 
 
 
Figura 6.20 – O espalhamento no ref. CM em dois diferentes planos. 
 
 
Figura 6.21 – Compara o comportamento entre �(�)	no ref. CM com a �(�) no ref. do 
LAB para moderadores: H, H2, H2O e D2O. 
 
 
É importante que o leitor observe que a Equação (6.69c) estabelece uma relação unívoca entre o 
ângulo de espalhamento � no centro de massa e anergia final do nêutron após a colisão (�′ℓ), de 
modo que podemos inferir que a probabilidade de o nêutron experimentar uma mudança de 
energia é igual à probabilidade de ser espalhado em um dado ângulo sólido Ω′� �, ou seja, 
���ℓ → �ℓ
�, Ω� ∙ Ω�′��E� = ��Ω�� → Ω′� ���Ω′� �. Sendo assim, podemosescrever que: 
��E → E�, Ω� ∙ Ω�′� ≅
1
4�
�Ω′� �
�E�
=
2�	���(�)
4�
��
�E�
		→ 
���ℓ → �ℓ
�, Ω� ∙ Ω�′� ≅
1
2
���(�)
��
�E�
.																																																																																														(6.75) 
 
Derivando a Equação (6.69c) com respeito ao ângulo de espalhamento �, obtemos que: 
��′ℓ
��
= −
(1 − �)	sin(�)
2
�ℓ →
��
�E�
≈ −
2
(1 − �)	sin(�)�ℓ
																																																						(6.76) 
 
O sinal de negativo na Equação (6.76) tem apenas significado físico, indicando que a energia do 
nêutron só pode sofrer decréscimo, ou seja, neste tipo de colisão é impossível que o nêutron 
aumente sua energia cinética. Por tanto, se substituirmos a Equação (6.76) ignorando o sinal em 
(6.75) obtemos finalmente a distribuição de probabilidade que rege a mudança de energia do 
nêutron durante uma colisão de espalhamento elástico potencial 
���ℓ → �ℓ
�, Ω� ∙ Ω�′� =
1
(1 − �)�ℓ
.																																																																																																				(6.77) 
 
É importante que o leitor note que a distribuição de probabilidade não depende do ângulo de 
espalhamento, e que o domínio da distribuição é o mesmo apresentado pela Equação (6.69c). 
Desta forma podemos reescrever a distribuição de probabilidade como sendo: 
�(�ℓ → �ℓ
�) =
1
(1 − �)�ℓ
; 					��ℓ ≤ �
�
ℓ ≤ �ℓ.																																																																												(6.78) 
 
O leito já deve ter observado que a probabilidade de que o nêutron emerja com uma energia no 
intervalo [��ℓ, �ℓ], após uma reação de espalhamento potencial por núcleos leves e estacionários 
é de 100%, ou seja, 
� �(�ℓ → �ℓ
�)��ℓ
�
�ℓ
��ℓ
=
1
(1 − �)�ℓ
� �E�
�ℓ
��ℓ
= 1.																																																																										(6.80) 
 
Por outro lado, a probabilidade de que o nêutron emerja com quaisquer energias fora do intervalo 
[��ℓ, �ℓ] é zero, pois a função de distribuição de probabilidade é nula fora do intervalor [��ℓ, �ℓ]. 
 
 
 Após toda essa jornada de cálculos podemos aproximar a seção de choque de espalhamento 
diferencial por: 
σ�(E → E
�) ≅
σ�(E)
(1 − �)�ℓ
; 					��ℓ ≤ �
�
ℓ ≤ �ℓ																																																																														(6.81)	 
 
É importante ainda que o leitor tenha em mente que de modo geral a reação de espalhamento 
elástico potencial nem sempre é isotrópica no referencial do laboratório, implicando em uma 
assimetria esférica. Portanto, a determinação do valor médio do cosseno do ângulo de 
espalhamento no referencial do laboratório pode representar de maneira conveniente a assimetria 
esférica devido a anisotropia. Para tanto, vamos lançar mão novamente da distribuição de 
probabilidade ��Ω�� → Ω′� ���Ω′� � que caracteriza a probabilidade de o nêutron ser espalhado 
dentro de um ângulo sólido mudar de �Ω′� � durante a reação de espalhamento potencial. Sendo 
assim, podemos escrever que: 
cos(�)��������� = � cos(�)
��
	��Ω�� → Ω′� ���Ω′� � 	
							�����→�����������
�����
��
								
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯�	 
cos(�)��������� =
1
4�
�
1 + � cos(�)
�1 + �� + 2�	cos(�)
��
	�Ω′� �
							��������������								
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 
cos(�)��������� =
1
4�
� �
1 + �cos(�)
�1 + �� + 2�	cos(�)
	���(�)����
�
�
��
�
→ 
cos(�)��������� =
1
2
�
1 + � cos(�)
�1 + �� + 2�	cos(�)
�
�
	���(�)��
							�≡���(�)							
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 
cos(�)��������� =
1
2
�
��
�1 + �� + 2A�
��
��
+
1
2
�
1 + ��
�1 + �� + 2A�
��
��
��	 → 
cos(�)��������� =
1
2�
�1 + �� + 2A��
��
��
−
1
6�
�1 + �� + 2A�	(1 + �� − 2A�)�
��
��
→ 
cos(�)��������� =
1
2�
��1 + �� + 2A −�1 + �� − 2A� − 
1
6�
��1 + �� + 2A	(1 + �� − 2A) − �1 + �� − 2A	(1 + �� + 2A)� → 
cos(�)��������� =
1
2�
��(� + 1)� − �(� − 1)�� − 
1
6�
��(� + 1)�	(1 + �� − 2A) − �(� − 1)�	(1 + �� + 2A)� → 
cos(�)��������� =
1
�
−
1
6�
�(� + 1)	(1 + �� − 2A) − (� − 1)	(1 + �� + 2A)� → 
cos(�)��������� =
1
�
−
1
3�
=
2
3�
																																																																																																																					(6.82)	 
 
O resultado da Equação (6.82) nos mostrar que para núcleos alvos pesados o cos(�)��������� tende a ser 
pequeno e consequentemente o espalhamento se torna isotrópico, já pra núcleos alvos leves o 
cos(�)���������	tende a ser grande fazendo com que o espalhamento seja anisotrópico, pois o ângulo de 
espalhamento médio para núcleo de U238 é aproximadamente 90º, já para o caso de um núcleo 
de hidrogênio o ângulo de espalhamento médio é aproximadamente 45º, vide Figura 6.22. Note 
ainda que esse resultado corrobora o resultado outrora mostrado a partir da análise do gráfico da 
Figura 6.21. 
 
 
Figura 6.22 – Comparação do Espalhamento Elástico Potencial em Núcleos Pesados e 
Leves 
 
Exemplo-6.1: Determine a energia média perdida pelo nêutron em uma reação de espalhamento 
elástico potencial por núcleos estacionários. 
Note que a partir da distribuição de probabilidade, Equação (6.78), nós podemos calcular a perda 
média de energia do nêutron, de modo que: 
�ℓ
����� =
∫ �ℓ
��ℓ
��ℓ
�(�ℓ → �ℓ
�)��ℓ
�
∫ �(�ℓ → �ℓ
�)��ℓ
��ℓ
��ℓ
=
1
(1 − �)�ℓ
� �ℓ
�
�ℓ
��ℓ
�(�ℓ → �ℓ
�)�E� 	→	 
�ℓ
����� =
1
(1 − �)�ℓ
� �ℓ
�
�ℓ
��ℓ
�E� =
1
(1 − �)�ℓ
(1 − ��)
�ℓ
�
2
=
(1 − �)(1 + �)
(1 − �)�ℓ
�ℓ
�
2
→ 
�ℓ
����� =
(1 + �)
2
�ℓ.																																																																																																																																		(6.82) 
 
A partir deste resultado podemos concluir que a perda média de energia é dada por: 
ΔE���� = �ℓ − �ℓ
����� =
(1 − �)
2
�ℓ.																																																																																																													(6.83) 
 
Exemplo-6.2: Determine a perda média de energia que um nêutron sofre com uma reação de 
espalhamento elástico potencial por núcleos estacionários de hidrogênio. 
Lembre-se que: 
� ≡ �
� − 1
� + 1
�
�
���
�⎯�	�� = 0 
Usando a Equação (6.83) para o caso do hidrogênio obtemos que a perda média de energia é dada 
por: 
ΔE���� =
1
2
�ℓ.																																																																																																																																															(6.84) 
Note que a Equação (6.84) indica que a fração de energia perdida pelo nêutron com núcleos de 
hidrogênio é de 50%, ou seja, ΔE���� �ℓ⁄ = 0,5. 
 
Exemplo-6.3: Determine o número de colisões necessária para que nêutrons com energias de 
1��� ao serem moderados por um gás de hidrogênio alcancem uma energia de 1��. Admita 
que todas as reações entre o nêutron e o gás de hidrogênio são reações de espalhamento potencial. 
 
Podemos usar a equação (6.82) aplicando um esquema de indução, tal como descrito a seguir: 
∎
								�ℓ									
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯�	∎⏟
�
								�ℓ
���������
(���)
�
�ℓ									
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯�	∎⏟
�
								�ℓ
���������
(���)�
��
�ℓ									
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯�	⋯∎⏟
�
								�ℓ
���������
(���)�
��
�ℓ									
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯�		 
�ℓ
������� =
(1 + �)�
2�
�ℓ.																																																																																																																														(6.85) 
 
Resolvendo a equação (6.85) para �, obtemos finalmente que: 
�ℓ
�������
�ℓ
=
(1 + �)�
2�
	��	
�� 		�� �
�ℓ
�������
�ℓ
� = �	�� �
(1 + �)
2
�	
		
→ 	� = 		
�� �
�ℓ
�������
�ℓ
�
�� �
(1 + �)
2 �
																													(6.86) 
Lembre-se que: 
� ≡ �
� − 1
� + 1
�
�
���
�⎯�	��� =
1
9
;	�ℓ = 1���	�	�ℓ
������� = 1��	 
��� = 		
�� �
1eV
10���
�
�� �
5
9�
≈
13
0,58
≈ 22	�����õ�� 
Entretanto se o moderador for constituído apenas por núcleo de hidrogênio, teremos que: 
� ≡ �
���
���
�
� ���
�⎯�	�� = 0;	�ℓ = 1���	�	�ℓ
������� = 1��	 
�� = 		
�� �
1eV
10���
�
�� �
1
2�
≈
13
0,69
≈ 18	�����õ��. 
 
 
Note que quanto mais leve é o moderador maior é a perda de energia e, consequentemente menor 
será o número de colisões necessária para o nêutron alcançar a energia de 1��.Exemplo-6.4: Suponha que durante uma aula prática de física de reatores o professor pede para 
que seus alunos selecionem o melhor tipo de moderador para um típico reator PWR. No entanto, 
os alunos dispõem somente dos gráficos da seção de choque de captura do U238 combinado com 
a perda média de energia do nêutron por colisão. Com base nos gráficos abaixo faça uma análise 
qualitativa indicando qual é o melhor tipo de moderador para o reator em questão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O leitor deve notar primeiramente que a ressonância é a mesma para os dois gráficos, ou seja, nós 
estamos desconsiderando o efeito de alargamento Doppler sob a ressonância. Logo a 
probabilidade de ser capturado pela ressonância depende somente do número de vezes que o 
nêutron irá passar na região de ressonância, ou seja, quanto menor for a perda de energia por 
colisão maior será a chance de o nêutron ser capturado, uma vez que o nêutron terá um número 
maior de vezes em que sua energia será coincidente com a energia da faixa de ressonância de 
captura. Sendo assim, o melhor moderador é aquele em que o nêutron tem menos vezes de 
coincidência entre a energia do nêutron e a energia da faixa de ressonância de captura, diminuindo 
assim a chance de o nêutron ser capturado pela ressonância nuclear do U328, que é caso do 
moderador de número 2. 
 
Exemplo-6.5: Determine a fração máxima de energia perdida pelo nêutron em uma reação de 
espalhamento elástico com o núcleo de Be9 e U328, e compare ambos os resultados. Considere o 
espalhamento potencial por núcleos estacionários. 
 
A equação (6.69a) nos dá a máxima energia perdida em uma reação de espalhamento elástico 
potencial com núcleos estacionários. 
��ℓ = ��ℓ 
 
Logo a fração da energia máxima perdida é dada por: 
Δ�ℓ
�ℓ
=
�ℓ − �
�
ℓ
�ℓ
= 1 − � →
Δ�ℓ
�ℓ
= 1 − �
� − 1
� + 1
�
�
 
Para Be9: 
Δ�ℓ
�ℓ
= 1 − �
8
10
�
�
= 0,36 → 36% 
Para U238: 
Δ�ℓ
�ℓ
= 1 − �
237
239
�
�
≈ 0,016 → 1,6% 
 
O resultado mostra claramente que a perda máxima de energia fracionada é maior quanto menor 
é a massa nuclear do moderador. 
 
Como o nosso objetivo é o estudo dos reatores térmicos, nós estamos particularmente interessados 
em estimar o número de colisões necessárias para a termalizar os nêutrons rápidos. Em princípio, 
poderíamos lançar mão da média de energia �′ℓ���� assim como fizemos no exemplo 6.4. No entanto, 
a energia média não se caracteriza como uma boa estimativa para o comportamento médio dos 
nêutrons após terem sofrido diversas colisões, uma vez que a maioria dos nêutrons terão energias 
bem abaixo da energia média correspondente. Estas considerações nos sugerem que seria mais 
conveniente o uso de uma nova variável independente, o logaritmo natural da energia do nêutron. 
Para tanto, podemos definir uma nova quantidade denominada de letargia, de modo que: 
�ℓ
� ≡ �� �
��
��ℓ
�.																																																																																																																																						(6.87) 
 
O valor de �� deve ser sempre escolhido como sendo a máxima energia que o nêutron pode 
alcançar, no caso dos reatores nucleares ��	será da ~ 10���. É importante que o leitor note que 
à medida que a energia diminui a letargia cresce, ou seja, a perda de energia durante o 
espalhamento potencial implica em um ganho letárgico, de forma que podemos escrever uma 
relação entre a distribuição de probabilidade que rege a mudança de energia do nêutron com a 
distribuição de probabilidade relativa ao ganho de letargia, de modo que supusermos que o 
nêutron parte de uma energia inicial ��, podemos escrever que: 
�(�� → �ℓ
�)��ℓ
� = −	�(�ℓ
�)	��ℓ
�,																																																																																																(6.89) 
 
onde, o sinal negativo indica que a variação de letargia é inversamente proporcional a variação 
da energia do nêutron. Todavia, já sabemos que no espalhamento potencial com núcleos 
estacionários que a energia do nêutron só pode diminuir durante o processo, logo a letargia só 
poderá aumentar durante este processo. 
 
�(�ℓ
�) ≅ −�(�� → �ℓ
�)
��ℓ
�
��ℓ
�
,																																																																																																										(6.90) 
 
Note que a partir da Equação (6.87) podemos aproximar a razão ��ℓ
� ��ℓ
�⁄ como sendo: 
��ℓ
�
��ℓ
� = −	
1
��ℓ
→
��ℓ
�
��ℓ
�
≅ −��ℓ.																																																																																																									(6.91) 
 
Substituindo a Equação (6.91) e (6.78) na Equação (6.90) obtemos a seguinte equação: 
�(�ℓ
�) =
1
(1 − �)
	
��ℓ
��
.																																																																																																																								(6.92) 
 
Observe que precisamos reescrever a Equação (6.92) em função da letargia. Para tanto vamos 
lançar mão da definição letargia, tal que: 
�ℓ
� ≡ �� �
��
��ℓ
� ;																																																																																																																																					(6.93) 
e 
�ℓ ≡ �� �
��
��
� = 0.																																																																																																																																	(6.94) 
 
Combinando as Equações (6.93) e (6.94) com a Equação (6.92) obtemos finalmente a distribuição 
de probabilidade em função da letargia 
�(�ℓ
�) =
1
(1 − �)
��ℓ
��
=
1
(1 − �)
�
���
��ℓ
��
�
=
1
(1 − �)
�
���
��
��
�����
��
��ℓ
�
→ 
�(�ℓ
�) =
1
(1 − �)
	���ℓ
�
, 0 ≤ ��ℓ ≤ �� �
1
�
�.																																																																										(6.95) 
 
Neste ponto é importante que observemos que a mudança de variável proposta conduz a uma 
distribuição de probabilidade, Equação (6.95), que não mais depende explicitamente da energia 
inicial antes da colisão, ��, como ocorre com a Equação (6.78), conforme ilustrado pela Figura 
6.23. 
 
Figura 6.23 – Mostra a relação entre �(�� → �ℓ
�)	e �(�ℓ
�)	devido 
a transformação de variável 
 
 
Note que �ℓ
� ≡ �� �
��
��ℓ
�. Logo o intervalo da Equação (6.95) é obtido a partir de uma simples 
substituição de ��� e ��	na definição apresentada. 
 
Portanto, a letargia média final entre duas sucessivas colisões pode ser escrita como sendo: 
�ℓ
����� = � �ℓ
�
���
�
��
�
�(�ℓ
�)��ℓ
� = �
�ℓ
�
(1 − �)
���
�
��
�
���ℓ
�
��ℓ
� =
(�ℓ
� + 1)���ℓ
�
(� − 1)
�
�ℓ
���
�ℓ
�����
�
��
 
�ℓ
����� =
1
(� − 1)
�� + ��� �
1
�
�� − �
1
(� − 1)
� =
�
(� − 1)
+
��� �
1
��
(� − 1)
−
1
(� − 1)
→ 
�ℓ
����� =
� − 1
(� − 1)
+
��� �
1
��
(� − 1)
=
(� − 1) + ��� �
1
��
(� − 1)
= 1 +
�
(� − 1)
�� �
1
�
� → 
�ℓ
����� = 1 −
�
(1 − �)
�� �
1
�
�																																																																																												(6.96) 
 
A partir da Equação (6.96) podemos calcular a variação média de letargia, de modo que: 
� ≡ ∆����� = �ℓ
����� − �ℓ = 1 −
�
(1 − �)
�� �
1
�
� − �� �
��
��
� → 
� = 1 −
�
(1 − �)
�� �
1
�
� = 1 +
�
(1 − �)
��(�) = 1 +
(� − 1)�
2�
�� �
� − 1
� + 1
�			(6.97) 
 
Observe por meio da Figura 6.24 que a Equação (6.97) conduz a uma contínua perda de energia 
durante sucessivas colisões diferentemente do que ocorre com a perda média de energia dada pela 
Equação (6.84) 
 
Figura 6.24 – Aproximação contínua para moderação 
 
O leitor deve observar que a Equação (6.97) pode ser simplificada para o caso em que a massa do 
núcleo alvo é grande, de modo que podemos expandir em série da Taylor o parâmetro �: 
 
� ≡ �
� − 1
� + 1
�
�
= �
1 −
1
�
1 +
1
�
�
�
�≡
�
�
�⎯�� = �
1 − �
1 + �
�
�
→ �(�) = �
1 − �
1+ �
�
�
. 
 
Expandindo em Taylor a função �(�)	para � = 0, temos que: 
�(�) = �(0) + ��(0)	� +
1
2!
��(0)	�� +⋯.																																																																																	(6.98) 
 
Sendo, 
�(0) = 1(6.99) 
��(�) = 2
1 − �
(1 + �)�
− 	2
(1 + �)�
(1 + �)�
→ ��(0) = −4.																																																																			(6.100) 
 
Substituindo as Equações (6.99) e (6.100) em (6.98) obtemos a seguinte aproximação para o 
parâmetro �: 
� ≅ 1 −
4
�
+⋯.																																																																																																																																		(6.101) 
 
Aplicando-se o mesmo raciocínio para o caso de �� �
�
�
� = �� ��
���
���
�
�
�, obtemos após um tedioso 
cálculo que: 
�(�) = �� ��
1 + �
1 − �
�
�
� ≅ 4� +
4
3
�� +⋯ ;� ≡
1
�
→ 
�� �
1
�
� ≅
4
�
+
4
3
�
1
�
�
�
=
4
�
�1 +
1
��
�.																																																																																												(6.102) 
 
Aplicando também o mesmo raciocínio para o termo 
�
(���)
, obtemos a seguinte aproximação: 
�
(1 − �)
≅
�
4
�1 −
1
�
�
�
.																																																																																																																					(6.103) 
 
Substituindo as aproximações das Equações (6.102) e (6.103) em (6.97), obtemos finalmente uma 
aproximação para o ganho letárgico médio, após um pouco de álgebra, temos que: 
�� ≡ � ≅ 1 −
�
4
�1 −
1
�
�
� 4
�
�1 +
1
��
� ≅
2
�
�1 −
2
3�
�.																																																													(6.104�) 
 
Observe que o termo ��, pode ser reescrito como sendo: 
�� ≅
2
3��
3� − 2
≅
2
�� +
2
3 +
4
9��
����	�	������
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯������ ≅
2
�� +
2
3�
.																																															(6.104�) 
 
 
A Figura 6.25 ilustra a comparação do ganho médio letárgico, usando as Equações (6.97), 
(6.104a) e (6.104b). Note que para � > 10 a aproximação assintótica ����� decorrente da 
aproximação em série de Taylor, conduz a um resultado melhor que a própria aproximação em 
série de Taylor, Equação (6.104a). 
 
Figura 6.25 – Comportamento ∆�����	em função do número de massa A. 
Note que usando a expressão para o ganho letárgico médio, Equação (6.97), nós podemos estimar 
o número de colisões necessárias para que um nêutron com energia inicial ��	alcance uma energia 
qualquer ��ℓ, tal que: 
� ≅
�� �
��
��ℓ
�
�
,																																																																																																																																						(6.105) 
ou ainda usando a expressão aproximada para o ganho letárgico médio podemos escrever que: 
�� ≅
�� �
��
��ℓ
�
��
,																																																																																																																																						(6.106) 
 
 Na Tabela 6.1 apresentamos os cálculos para �,		��,	�����, �, ��	�	�����,	considerando vários tipos 
de moderadores. 
 
 
 
 
 
Tabela 6.1 – Número de Colisões para os Nêutrons irem de �� = �. ��
��� até de ��� =
�. ���. 
Moderador A � �� ����� � �� ����� 
 
Hidrogênio 1 1,000 0,666 17 25 
Deutério 2 0,725 0,666 23 25 
Berílio 9 0,207 0,206 81 82 
Boro 10 0,187 0,186 90 90 
Carbono 12 0,157 0,157 107 107 
Oxigênio 16 0,119 0,119 141 141 
Urânio 238 0,008 0,00838 2006 2006 
 
Note por meio da Tabela 6.1 que a aproximação proposta, Equação (6.106), é bastante acurada 
para moderadores cujo número de massa � ≥ 9, de modo que o erro relativo percentual no caso 
do Berílio é de ~1%. Observe que podemos também constatar que quanto mais leve é o 
moderador mais eficiente é o seu ganho letárgico médio, ou seja, menos colisões são necessárias 
para que o nêutron alcance o estado térmico. Sendo assim, podemos concluir que o parâmetro � 
é um bom indicativo para medir a eficiência de um dado material como bom moderador. No 
entanto, este parâmetro não é unicamente suficiente para a escolha de um bom moderador, pois o 
parâmetro � indica claramente que o B10 necessita de menos colisões do que o C12, para 
termalizar o nêutron, o que é não é verdade, uma vez que B10 tem uma alta seção de choque de 
absorção. Logo a análise isolada do parâmetro � é de pouca utilidade para a escolha de um bom 
moderador se a probabilidade de espalhamento do material for baixa. Entretanto, o produto �Σ�28 
é uma alternativa melhor para mensurar a eficiência de um moderar do que �; �Σ�	é denominado 
de poder moderador. Contudo, é importante que o leitor observe que não levamos em 
consideração a probabilidade de o nêutron ser absorvido, ou melhor, a distância média percorrida 
pelo nêutron antes que este seja absorvido, ou seja, Σ� Σ�⁄ . Sendo, portanto, o produto �Σ� Σ�⁄ , 
um parâmetro melhor para a seleção de um bom moderador de nêutrons. Esse parâmetro é 
denominado de razão de moderação. Na Tabela 6.2 são apresentados os valores aproximados 
para poder moderador �Σ�	e a razão de moderação �
��
��
	para diferentes tipos de moderadores. 
Tabela 6.2 – Valores Aproximados dos Parâmetros ��� e �
��
��
. 
Moderador � ��� ��� ��⁄ 
Água 0,93 1,53 72 
Água Pesada 0,51 0,17 12000 
Berílio ****** 0,18 159 
Carbono 0,158 0,06 170 
 
28 A seção de choque macroscópica (�σ� = Σ�) mede essencialmente a probabilidade de o nêutron interagir com um núcleo do 
material por unidade distância e 
��
��
	mede essencialmente distância média percorrida pelo nêutron antes ser absorvido. Na próxima 
seção apresentaremos ao leito o conceito de seção de choque macroscópica de forma mais detalhada 
 
 
O leitor deve observar que quanto menor for o valor de Σ�	maior será a razão de moderação, e 
consequentemente melhor será a eficiência do moderador, pois neste caso o nêutron percorrer 
uma distância média muito maior que nos demais materiais antes de ser absorvido. 
 
6.9 – Seção de Choque Macroscópica 
O leitor deve-se recordar que ao introduzirmos o conceito de seção de choque microscópica 
partimos de um experimento imaginário, no qual supomos que um feixe de nêutrons 
monoenergético interage com um alvo de espessura infinitesimal (~10���	�) de modo que os 
nêutrons interagem apenas com um único núcleo por vez, o que nos garantia que todos os núcleos 
do alvo são expostos a mesma intensidade dos feixe de nêutrons. Entretanto, para o caso de um 
alvo de espessura macroscópica não ocorre tal fenômeno, pois os núcleos mais “profundos” 
dentro do alvo tendem a ser “protegidos” pelos núcleos da “superfície”, ou seja, núcleos próximos 
a superfície estão expostos a um feixe de nêutrons com maior intensidade que os núcleos mais 
profundos, uma vez que os nêutrons são removidos pelos núcleos próximos a superfície, causando 
um efeito que denominamos de auto blindagem sob os núcleos mais profundos. 
 
Suponhamos que um feixe de nêutrons monoenergético e homogêneo penetre em um alvo de 
espessura macroscópica, conforme mostrado pela Figura 6.23. É importante que o leitor tenha em 
mente que à medida que o feixe de nêutrons penetra no alvo mais nêutrons interagem com núcleos 
deste alvo e consequentemente são atenuados. Portanto, é relevante conhecermos a probabilidade 
de os nêutrons percorrerem uma distância Δ� sem que sofram com quaisquer interações com 
núcleos do alvo. De modo que probabilidade é dada por: 
�(Δ�) =
�(�) − �(� − Δ�)		
�(�)
.																																																																																																										(6.107) 
 
No entanto, é intuitivo que quanto maior for a distância percorrida pelo feixe de nêutrons menor 
será a chance de que os nêutrons não sofram quaisquer interações com núcleos do alvo. Logo 
uma medida da probabilidade por unidade de distância viajada pelos nêutrons é uma medida mais 
representativa do fenômeno físico no qual estão sujeitos os nêutrons. Sendo assim, podemos 
escrever que: 
�(Δ�)
Δ�
=
��(�) − ��(� − Δ�)		
��(�)
Δ�
.																																																																																																						(6.108) 
 
Neste ponto é importante que o leitor note que a atenuação do feixe de nêutrons, ��(�) −
��(� − Δ�), pode ser representado como sendo: 
��(�) − ��(� − Δ�) = �����(�)Δ�.(6.109) 
 
 
onde, 
�� ≡ ��çã�	��	�ℎ����	�������ó����	�����	(��	
��);		 
� ≡ ���������	��ô����	��	��������	 �
����
��	�
�.	 
 
Substituindo a Equação (6.109) em (6.108), obtemos o seguinte resultado: 
�(Δ�)
Δ�
=
�(�) − �(� − Δ�)		
�(�)
Δ�
= ���.																																																																																													(6.110) 
 
A quantidade ���		é o que denominamos de seção de choque macroscópica total (Σ� ≡ ���), 
caracterizando a probabilidade por unidade de distância viajada de que os nêutrons do feixe 
interajam com núcleos do alvo. Observe que diferentemente da seção de choque microscópica 
que tem unidade de ��� a seção de choque macroscópica tem unidade de ����. 
 
Note também que quando o material for homogêneo tal probabilidade é constante. Entretanto, 
para materiais heterogêneos tal probabilidade será constante apenas no limite em que o caminho 
percorrido pelo nêutron é muito pequeno, de modo que nesta pequena distância podemos 
considerar o material com homogêneo. 
 
Logo tomando o limite em que a distância Δ� tende a zero na Equação (6.110), obtermos a 
equação que rege a atenuação de um feixe de nêutrons monoenergético e homogêneo 
lim
��→�
�(Δ�)
Δ�
= lim
��→�
�(�) − �(� − Δ�)
Δ�
	
1
�(�)
= ��� → 
���(�)
��
= �����(�).																																																																																																																											(6.111) 
 
Resolvendo a equação (6.111) assumindo que �(� = 0) ≡ ��, obtemos o seguinte resultado: 
�(�) = ���
����.																																																																																																																																		(6.112) 
 
É importante observamos que a razão 	�(�) ��⁄ pode ser interpretada também como sendo a 
probabilidade de que os nêutrons se movam uma distância � sem interagir com quaisquer núcleos 
da amostra, tal que: 
�(�) =
�(�)
��
= �����.																																																																																																																							(6.113) 
 
 
Logo a probabilidade de que o nêutron percorra uma distância � sem sofre quaisquer tipos de 
interação, e tenha sua primeira interação no intervalor [�, � + ��], é dada por: 
�(�)�� = ��������.																																																																																																(6.114) 
 
Note que se o nêutron interage com um alvo de dimensão infinita, ou seja, o meio infinito, é de 
se esperar que a probabilidade de que o nêutron sofra quaisquer tipos de interação com núcleos 
deste alvo seja de 100%, ou seja, 
� �(�)��
�
�
= Σ� � �
������
�
�
= −Σ�
�����
Σ�
�
�
�
= 1.																																																																		(6.115) 
 
Nós estamos particularmente interessados em conhecer de antemão a distância em média 
percorrida pelo nêutron antes que este interaja com quaisquer núcleos do alvo. Supondo que o 
alvo seja homogêneo, podemos concluir que a distância média percorrida pelos nêutrons é dada 
por: 
�̅� = � �	�(�)��
�
�
= Σ� � �	�
������
�
�
= −Σ�
�
�Σ�
� 	�����d�
�
�
= Σ�
�
�Σ�
1
Σ�
→ 
�̅� =
1
Σ�
.																																																																																																																																																(6.115) 
 
O leitor deve observar que o conceito de seção de choque macroscópica (Σ� ≡ ���)	se estende 
também as demais reações nêutron-núcleo que estudamos, de modo que podemos adotar a mesma 
classificação apresentada para reações nêutron-núcleo, tal como, fizemos para o caso da seção de 
choque microscópica. A Figura 6.26 ilustra o diagrama de classificação da seção de choque 
macroscópica. 
 
 
Figura 6.26 – Diagrama de Classificação das Seções de Choque Macroscópicas 
 
 
Antes de finalizamos a discussão sobre seção de choque macroscópica, o leitor deve observar que 
a determinação da seção de choque macroscópica depende da seção de choque microscópica 
relativa ao material do alvo, bem como a densidade atômica deste material. Portanto, é de suma 
importância o cálculo da densidade atômica do material para a determinação da seção de choque 
macroscópica. De modo que a densidade atômica é dada por: 
� =
��. �
�
	(á����� ���⁄ ),																																																																																																											(6.116) 
 
onde, 
�� ≡ �ú����	��	��������	(6,023 ∗ 10
��)	(á����� ����⁄ ); 
� ≡ ���������	��	��������	(� ���⁄ ); 
� ≡ ����	��ô����	(� ����⁄ ) 
 
Note que para o caso de um alvo composto por uma mistura homogênea de � nuclídeos, podemos 
escrever a seção choque macroscópica total como sendo: 
Σ�
���� = ��
�
�
���
= ���σ�
�
�
���
= ��σ�
� + ��σ�
� + ��σ�
� + ⋯+ +��σ�
�		.																																(6.117) 
 
Entretanto, se o material do alvo não tiver uma composição uniforme, implica que a densidade 
atômica poderá variar ponto a ponto dentro do material, de modo que a seção de choque 
macroscópica terá uma dependência espacial associada a ela. Note ainda, que podemos 
adicionalmente supor que a densidade atômica do material varia com o tempo, ou seja, o material 
é composto por radionuclídeos, o que implica que a seção de choque também poderá variar no 
tempo. De modo geral podemos escrever que: 
Σ�
����(�, �, �) = ���(�, �)σ�
� (�)
�
���
	.																																																																																															(6.118) 
 
Para finalizarmos nossa discussão sobre seção de choque macroscópica vamos ilustrar alguns 
exemplos. 
 
Exemplo-6.6: Determine a seção de choque macroscópica de absorção do Urânio natural 
considerando as seguintes características do material: densidade 19,3g/cm3, composição 
isotópica de 99,28 % de U238 e 0,72 % de U235, e seções choque microscópicas absorção 681 
barn e 2,7 barn para o U238 e U233, respectivamente. 
 
 
O primeiro passo consiste em determinarmos as densidades atômicas do U238 e U239 por meio 
da Equação (6.116). Note que neste caso devemos levar em consideração a composição no 
cálculo, pois conhecemos apenas a densidade do Urânio natural. 
����� = 0,9928 ∗
�� ∗ �
�
= 0,9928 ∗
6,023 ∗ 10�� ∗ 19,3
238
= 4,77 ∗ 10��
����
���
 
����� = 0,0072 ∗
�� ∗ �
�
= 0,9928 ∗
6,023 ∗ 10�� ∗ 19,3
235
= 3,50 ∗ 10��
����
���
. 
 
Portanto, temos que: 
Σ�
���� = σ�
��������� + σ�
��������� = 0,367����. 
 
Exemplo-6.7: Determine a seção de choque macroscópica de captura da Água, sabendo que a 
seção de choque microscópica de captura do hidrogênio é σ�
� = 0,33	�. Admita que a seção de 
choque microscópica de captura do oxigênio é desprezível. 
O Primeiro passo consiste em determinar a densidade atômica da Água. 
���� =
��	����
����
=
��	����
(2�� + ��)
=
6,023 ∗ 10�� ∗ 1
(2 + 16)
= 0,3346 ∗ 10��
����
���
. 
 
Logo, temos que: 
�� = 2	���� = 0,6692 ∗ 10��
����
���
; 
�� = 1	���� = 0,3346 ∗ 10��
����
���
. 
 
Portanto, obtemos o seguinte resultado para a seção de choque macroscópica de captura: 
Σ�
��� = σ�
��� + σ�
��� = (0,6692 ∗ 10��) ∗ (0,33 ∗ 10���) + 0 = 0,0221����. 
 
Exemplo-6.8: Determine a seção de choque macroscópica de captura e fissão de uma pastilha de 
UO2 com 3% de enriquecimento. Os dados são: 
σ�
� = 0,33	�, σ�
���� = 2,7	�, σ�
� = 0	�	�, σ�
���� = 580	�, σ�
� = 0	�, σ�
���� = 0	�, σ�
� = 0	�	�, 
���� = 10,95	�/��
�. 
���� = 0,97 ∗ ����� + 0,3 ∗ ����� + 2 ∗ �� = 269,91
�
����
 
���� =
�� ∗ ����
����
=
�� ∗ ����
269,91
=
6,023 ∗ 10�� ∗ 10,95
269,91
= 0,244 ∗ 10��
����
���
 
����� = 0,97 ∗ ���� = 0,237 ∗ 10��
����
���
 
����� = 0,03 ∗ ���� = 0,007 ∗ 10��
����
���
 
 
�� = 2 ∗ ���� = 0,488 ∗ 10��
����
���
 
Portanto, obtemos o seguinte resultado para a seção de choque macroscópica de captura e fissão: 
Σ�
��� = σ�
��������� + σ�
��������� + σ�
��� + σ�
��� = σ�
��������� 
Σ�
��� = (0,007 ∗ 10��) ∗ (58 ∗ 10���) = 0,406	���� 
Σ�
��� = σ�
��������� + σ�
��������� + σ�
��� + σ�
��� = σ�
��������� + σ�
��� 
Σ�
��� = (0,007∗ 10��) ∗ (58 ∗ 10���) = 0,406	���� 
 
Exemplo-6.9: Determine a seção de choque macroscópica de captura e fissão de uma pastilha de 
UO2 com 3% de enriquecimento. Os dados são: 
σ�
� = 0,33	�, σ�
���� = 2,7	�, σ�
� = 0	�	�, σ�
���� = 580	�, σ�
� = 0	�, σ�
���� = 0	�, σ�
� = 0	�	�, 
���� = 10,95	�/��
�. 
 
 
 
REFERENCIAS 
 
James O’Brien, “Fundamentals Handbook, Nuclear Physics and Nuclear Reactor Theory”, 
Prentice-Hall, (2001). 
 
James J. Duderstadt & Lous Hamilton, “Nuclear Reactor Analisys”, John Willey & Sons, (1972). 
 
Jonh R. Lamarsh and Anthony J. Baratta, “Introduction to Nuclear Reactor Engineering”, Office 
of Health, Safety and Security, (2015). 
 
Robert E. Masterson, “Nuclear Engineerring Fundamentals a Practical Perspective”, Taylor & 
Francis Group, (2017). 
 
Tatjana Jevremovic, “Nuclear Principles in Engineering”, Springer Science, (2009). 
 
Weston M. Stacey, “Nuclear Reactor Physics”, Willey-VCH, (2007). 
 
 
CAPÍTULO VII 
REAÇÃO EM CADEIA 
 
Finalmente vamos abordar um dos temas mais relevantes do ponto vista neutrônico para o 
funcionamento do reator, a reação em cadeia. Note que o termo reação em cadeia, nos leva pensar 
em processos autossustentáveis, ou seja, processos que uma vez iniciado não precisam da ação de 
agentes externos para mate-los em funcionamento. Em nosso caso, o processo que nós estamos 
particularmente interessados em estudar são as reações nêutron-núcleo decorrentes das fissões 
nucleares, que resultam na “quebra” de nuclídeos físseis e consequentemente na liberação de 
energia e novos nêutrons que irão causar novas fissões e gerar novos nêutrons e assim 
sucessivamente, de modo que a população de nêutrons poderá ser crescente, estacionária ou 
decrescente conforme as gerações de neutros que se sucedem. Portanto, o desenvolvimento de um 
modelo que seja capaz de predizer a população de nêutrons ao longo das gerações de nêutrons é 
fundamental para a compreensão da dinâmica da reação em cadeia. No entanto, antes de 
abordarmos a construção de um modelo para estudar a reação em cadeia proveniente dos 
processos de fissão nuclear, convém fazermos um aprofundamento da reação nêutron-núcleo 
relativa à fissão nuclear, a fim de abordarmos aspectos físicos dos quais deixamos de mencionar 
na seção 6.1 do capítulo VI. 
 
7.1 – Aspectos Complementares da Fissão Nuclear 
É importante que o leito tenha em mente que a reação de fissão nuclear é a reação nêutron-núcleo 
mais notável entre todas reações nucleares, pois é por meio desta interação que a reação em cadeia 
se torna possível, e consequentemente a geração de energia núcleo-elétrica. Portanto, é 
fundamental que conheçamos algumas variáveis decorrentes dos processos de fissão nuclear, tais 
como: o número médio de neutros emitidos imediatamente após a fissão (nêutrons prontos), o 
espectro de energia destes nêutrons, a energia média dos fragmentos de fissão, assim como a 
fração efetiva dos nêutrons originados dos processos de decaimento (neutros atrasados). 
 
O leitor deve se recordar que na reação de fissão nuclear, um núcleo composto em estado excitado 
de energia, ���
����
∗
 é formado, e a energia de excitação interna deste núcleo composto é maior 
que a energia crítica, ocasionando assim a fissão nuclear. Como por exemplo no caso �235, que 
é “quebrado” em dois nuclídeos ���
�� e ���
��	de massas intermediarias e simultaneamente são 
liberados ��	nêutrons, conforme ilustrado pela equação da reação: 
� + ���
��� → (���
���)∗ → ���
�� + ���
�� + ��	�	; 
 
 
Note que �� representa o número líquido de nêutrons liberado no processo de fissão; todavia, a 
fissão do por nêutrons térmicos do nuclídeo �235	poderá produzir diferentes produtos de fissão 
e diferentes valores de ��, de modo que é interessante sabermos de antemão o número médio de 
nêutrons emitidos na fissão (�)	para cada tipo de nuclídeo. Felizmente, tais dados já foram 
mapeados experimental no século passado por meio de centenas de experimentos de fissão para 
uma enorme diversidade de nuclídeos, de modo que os números médio de nêutrons emitidos na 
fissão (�) já são conhecidos para os principais nuclídeos, como por exemplo o caso do U235 
ilustrado na Tabela 7.1. 
Tabela 7.1 – Dados relativos à Fissão do U235. 
��
� ��
� 
0 27 
1 158 
2 339 
3 302 
4 130 
5 34 
 
Na Tabela 7.1 constam os dados experimentais relativos ao número de nêutrons emitidos durante 
a fissão do U235, ��, bem como o número de casos para o qual o valor de ��	ocorre em cada mil 
fissões (��). Observe que a partir dos dados experimentais expostos na Tabela 7.1 podemos 
determinar o número médio de nêutrons emitidos na fissão, usando uma média aritmética 
ponderada, tal que: 
� =
∑ ��
���
��
��� 	
∑ ��
��
���
= 2,43.																																																																																																																										(7.1) 
 
Usando a metodologia apresentada é possível determinarmos o valor de � para todos o nuclídeos 
de interesse. A Tabela 7.2, mostra o número médio de nêutrons liberados na fissão para os três 
principais nuclídeos físseis. 
 
Tabela 7.2 – Dados relativos à Fissão do U235. 
������ �	������ 
	������ 
�	������ 
	����� 
U233 2,49 2,58 
U235 2,43 2,51 
Pu239 2,93 3,04 
 
 
É importante que o leitor observe que o número � não varia significativamente quando a fissão 
ocorre com nêutrons rápidos ou térmicos. Entretanto, os nêutrons térmicos têm uma probabilidade 
muito maior de serem absorvidos e causarem fissão nestes nuclídeos do que os nêutrons rápidos. 
 
 
Figura 7.1 – Rendimento de Fissão vs. Número de Massa 
 
Outro fato importante que o leitor deve-se recordar, é que a fissão do U235 por nêutrons térmicos 
produz diversos produtos de fissão distintos, conforme os exemplos ilustrados no início da seção 
6.1. Note que a Figura 7.1 mostra claramente que as abundâncias dos produtos de fissão variam 
dentro de um dado limite, e que a curva para o rendimento de fissão dos nuclídeos tem dois picos 
idênticos na distribuição de massa, com um rendimento máximo para números de massa próximos 
de 95 e 140, de modo que é possível observa que é raro o evento de fissão simétrica, de forma 
que o produtos de fissão para nêutrons térmicos são assimétricos. Entretanto, a Figura 7.1 nos 
mostra que a fissão simétrica é mais provável com nêutrons rápidos do que com nêutrons 
térmicos, tal que, no caso do nuclídeo de U235 a probabilidade de que ocorra uma fissão simétrica 
com nêutrons de energia da ~ 14��� é aproximadamente 100 vezes maior do que com nêutrons 
térmicos. 
 
Uma análise mais cuidadosa do gráfico da Figura 7.1 nos mostra também que além da massa dos 
produtos serem de modo geral assimétrica, as somas das massas deste produtos de fissão são 
ligeiramente menores do que massa do núcleo composto, o que indica que durante este processo 
é gerado uma energia significativa durante o processo, da ordem 200 MeV, dos quais 80% estão 
contidos na energia cinética dos fragmentos de fissão. A Tabela 7.3, mostra a distribuição da 
energia de fissão com respeito aos elementos que surgem em decorrência da fissão nuclear. 
 
 
Tabela 7.3 – Distribuição da Energia de Fissão para Isótopo de U235 
Elementos da 
Fissão 
Energia 
(MeV) 
Energia (%) 
Fragmentos de 
Fissão 
168 80 
Decaimento β� dos 
Produtos de Fissão 
8 4 
Decaimento γ dos 
Produtos de Fissão 
7 4 
Neutrino 12 5 
γ Emitido após 
Fissão 
7 4 
Nêutrons de Fissão 5 3 
γ Captura Radiativa ------ 
Total 207 
 
De todos os nêutrons que existem dentro do núcleo do reator, aproximadamente 99,3% destes 
nêutrons são ditos prontos e surgem imediatamente após o processo de fissão, cerca de 10-14 seg 
após a fissão nuclear. Por outro lado, os 0,07% restante dos nêutrons são ditos atrasados e são 
decorrentes dos decaimentos β- dos produtos de fissão29. Os nuclídeos decorrentes dos produtos 
de fissão quedão origem aos nêutrons atrasados são denominados de precursores de nêutrons 
atrasados. Existem dezenas de precursores de nêutrons atrasados oriundos da fissão, os quais são 
comumente classificados em seis grupos conforme suas meias-vidas que variam de um décimo 
de segundo até a ordem de dezenas segundos. Além disso, cada grupo de precursores contém 
números de nuclídeos diferentes e uma fração representativa dos neutros atrasados (��), conforme 
ilustrado pela Tabela 7.4. 
 
A partir da Tabela 7.4 podemos comparar o número médio dos nêutrons atrasados (��) com o 
número médio de nêutrons produzidos na fissão (�) para os principais nuclídeos físseis. Note que 
é razoável supormos que o número total dos nêutrons atrasados é dado pelo produto da fração 
efetiva dos nêutrons atrasados (�) pelo número médio de nêutrons produzidos na fissão, ou seja, 
�� = �	�. Por outro lado, o número médio de nêutrons é igual a soma do número médio de 
 
29 É importante que o leitor saiba que existem outras reações nucleares que podem contribuir com nêutrons atrasados para o processo 
da reação em cadeia de fissão nuclear, por exemplo, as reações que dão origem aos fotoneutrons que são particularmente importantes 
em reatores contendo quantidades apreciáveis de deutério ou berílio. Os tempos de decaimento desses processos são ainda maiores do 
que os que aqueles que caracterizam os nêutrons atrasados dos processos de decaimento β-. 
 
nêutrons atrasado mais o número médio de nêutrons prontos, respectivamente, � = �� + ��. 
Portanto, observe que a fração efetiva de nêutrons atrasados, � = ��/��� + ���, é um parâmetro 
sempre menor que a unidade, isto é, � < 1. 
 
Tabela 7.4 – Fração de Nêutrons Atrasados 
 
Meia Vida 
Fração de Nêutrons Atrasados 
 U233 U235 Pu239 
56 0,00023 0,00021 0,00007 
23 0,00078 0,00142 0,00063 
6.2 0,00064 0,00128 0,00044 
2.3 0,00074 0,00257 0,00069 
0,61 0,00014 0,00075 0,00018 
0,23 0,00008 0,00027 0,00009 
� 0,00261 0,00650 0,00210 
� 2,50 2,43 2,90 
 
A Tabela 7.5 compara o número médio de nêutrons atrasados para os três principais nuclídeos 
físseis. 
 
Tabela – 7.5 – Número médio de nêutrons atrasados 
 U235 U233 Pu239 
ν� = β	ν 0,006525 0,015795 0,00609 
 
Uma observação interessante para o leitor é que embora o número médio de nêutrons atrasados 
dependa do isótopo de interesse, estes números praticamente não variam conforme a energia do 
nêutron incidente, de modo que para nêutrons com energias abaixo de alguns poucos MeV’s este 
parâmetro independe da energia do nêutron, ou seja, podemos obter valores similares ν�	tanto 
para nêutrons rápidos quanto para nêutrons térmicos. 
 
Embora o ��	seja significativamente menor que ��	e o número de nêutrons atrasados sejam uma 
pequena fração de todos os nêutrons existem no núcleo do reator, estes nêutrons são de vital 
importância para o controle efetivo do reator, pois os nêutrons atrasados influenciam aumentando 
o período30 dos reatores térmicos, uma vez que a produção dos nêutrons atrasados ocorre em um 
período tempo muito superior à dos nêutrons prontos, de modo a permitir que o sistema de 
controle do reator responda às mudanças na população de nêutrons, em outras palavras, os 
 
30 O período do reator é o tempo necessário para que a potência do reator cresce proporcional a e, o número de Euler. 
 
nêutrons atrasados são o que permitem o controle efetivo da reação em cadeia de fissão nuclear, 
tornando possível o controle e a operação segura dos reatores térmicos de potência comerciais, 
pois quanto maior a fração efetiva dos nêutrons atrasados β, mais tempo levará para que o nível 
de potência de uma reator alcance um estado supercrítico, ou seja, quanto maior o valor de β, mais 
fácil é o controle efetivo de um reator. 
 
O estudo dos nêutrons atrasados é parte do campo da cinética de reatores, que será discutido em 
mais detalhes no Módulo II deste material. 
 
Outro ponto importante que merece ser destacado é o fato de que os nêutrons prontos emergem 
das reações de fissão com diferentes energias cuja energia média é da ~ 2MeV, de modo que os 
nêutrons prontos se distribuem sob um espectro energético que depende fracamente da energia 
do nêutron incidente e mais significativamente do tipo de nuclídeo físsil. 
 
De modo geral, os nêutrons de prontos são criados com uma distribuição energética no intervalo 
de 1 keV a 10 MeV regidas por uma distribuição de probabilidade estatística chamada “curva de 
Wat”, de forma que tais nêutrons são mais propensos a serem produzidos com certas energias do 
que outros nêutrons. A curva de Watt31 para nêutrons prontos para o nuclídeo físsil U235 é 
mostrada na Figura 7.2. 
 
 
Figura 7.2 – Curva de Watt – Espectro de Fissão do Nêutrons Prontos U235 
 
De acordo com curva Watt, Equação (7.2), os nêutrons prontos que surgem a partir do processo 
de fissão têm uma energia cinética mais provável próximo de 0,75 MeV, e essa energia 
corresponde ao pico da curva mostrada na Figura 7.2, e uma energia média da ~2MeV. 
�(�) = � ∗ ��∗����ℎ�√� ∗ ��	.																																																																																																									(7.2) 
 
31 Historicamente, essa curva recebeu o nome de um físico americano chamado B.E. Watt, que primeiro mediu em 1952 o espectro 
de fissão dos nêutrons rápidos. 
 
 
Sendo, �, �	e � constantes que dependem da faixa de energia e da natureza do nuclídeo físsil, 
conforme mostrado na Tabela 7.6. 
 
Inserir a Tabela 7.6 
 
Para o caso do nuclídeo físsil, U235, temos que a distribuição energética dos nêutrons prontos é 
dada pela seguinte curva de Watt: 
�(�) = 0,453���,�������ℎ��2,29��		.																																																																																													(7.3) 
 
Note que ao conhecermos a função de distribuição probabilidade �(�),	podemos calcular a 
energia média dos nêutrons prontos conforme o nuclídeo físsil, de modo que: 
�� = � ����(�)
�
�
� ���(�)
�
�
� 																																																																																																										(7.4) 
 
Ao aplicarmos a Equação 7.4 no cálculo da energia média dos nêutrons prontos para o caso do do 
U235 obtemos uma energia média de aproximadamente 1,98 MeV. 
 
É importante que o leitor note que ocasionalmente é possível observamos nêutrons prontos com 
energias cinéticas da ~ 10MeV, cerca de menos de 0,1% dos nêutrons prontos, no entanto, a 
energia mais provável para os nêutrons prontos é de aproximadamente 0,75MeV que corresponde 
ao máximo da curva de Watt, Figura 7.2. 
 
Assim como os nêutrons prontos, os nêutrons atrasados são regidos também por uma distribuição 
de probabilidade estatística, cujo espectro de energia é ligeiramente menor que o dos nêutrons 
prontos, dependendo diretamente do grupo de nêutrons atrasado bem como do isótopo de fissão. 
A Figura 7.4 ilustra o comportamento do espectro dos nêutrons atrasados para o nuclídeo físsil, 
U235, para o caso de alguns grupos de nêutrons atrasados. 
 
 
 
Figura 7.3 – Espectro dos nêutrons atrasados para o U235 
 
Note o leitor que o espectro efetivo dos nêutrons atrasados é formado pela composição dos 
espectros de cada um dos grupos de nêutrons atrasados, para espectros medidos tipicamente para 
os grupos de 55 seg e 22 seg do U235. 
 
Acontece que existem cerca de 66 produtos de fissão diferentes que podem produzir nêutrons 
atrasados em algum momento do seu ciclo de vida. Cada um desses produtos de fissão radioativa 
pode ainda ser subdividido em cerca de 20 cadeias de decaimento de produtos de fissão, cada uma 
com suas próprias constantes de decaimento λi e seu nêutron retardado produz βi. Quando a 
indústria nuclear foi fundada, as constantes de decaimento e os rendimentos desses 66 produtos 
de fissão não eram conhecidos com precisão e, portanto, acreditava-se geralmente que não era 
prático resolver asequações para todas as cadeias de decaimento de nêutrons atrasadas ao mesmo 
tempo, para determinar o efeito que isso teria no comportamento de um reator. Então, à medida 
que a indústria se tornou mais madura, essas cadeias de decaimento de 20 produtos de fissão 
foram reduzidas para seis ou oito, e a maioria dos comportamentos dependentes do tempo do 
reator é determinada por essas cadeias de decaimento de produtos de fissão colapsadas. 
 
É importante que o leitor tenha em mente que grande parte da física de reatores nucleares é 
determinada pela dependência energética das secções choque, principalmente no que diz respeito 
aos materiais físseis e férteis, nas faixas de energias que vão do espectro de fissão ao espectro 
térmico de Maxwell-Boltzmann, no intervalo entre [10 MeV , 0,001 eV]. Pois, os nuclídeos físseis 
têm secções choque de fissão significativas ao longo de todo este intervalo de energia, conforme 
indicado pelas Figuras 7.4 e 7.5 para nuclídeos físseis de U235 e Pu239. 
 
 
Em contrapartida, a fissão de um material fértil é possível apenas para nêutrons incidentes acima 
de algum limiar de energia; Figura 6.7b indica que o limite para o U238 é de aproximadamente 
1,0 MeV. 
 
Note o leitor que nem todos os nêutrons absorvidos por um núcleo físsil causarão fissão, pois uma 
fração destes nêutrons poderão ser capturados, e essa fração capturada é também dependente da 
energia do nêutron incidente. Portanto, é fundamental que saibamos de antemão o número de 
nêutrons produzidos na fissão por nêutron absorvido no combustível, �(�), 
�(�) =
�Σ�(�)
Σ�(�)
	,																																																																																																																																						(7.4) 
 
Figura 7.4 – Seção de Choque de Fissão do U235 
 
 
Figura 7.5 – Seção de Choque de Fissão do Pu239 
 
sendo, � o número médio de neutros produzidos na fissão e Σ�(�) = Σ�(�) + Σ�(�). 
Para que a reação em cadeia seja sustentada é necessário que valor médio de � deva ser 
substancialmente maior que 1, pois nos reatores de potência os nêutrons são perdidos via absorção 
nos materiais estruturais, refrigerantes entre outros, além do fato de que alguns fogem do sistema. 
 
A Figura 7.6 mostra a dependência energética do parâmetro � para os principais nuclídeos físseis 
(U233, U235, Pu239). Por meio da análise do comportamento � podemos observar claramente 
que os	valores de � são aproximadamente da ~ 2MeV para os quatro principais nuclídeos físseis 
no intervalo de energia entre 1,0 eV e 0,1 MeV, entretanto, o valor � cresce a partir de 0,1MeV 
uma vez que a razão de captura e fissão (σ�(�) σ�(�)⁄ ) diminui. 
 
Figura 7.5 – Comportamento de �(�)	para U233, U235 e Pu239 
 
 
Figura 7.6 – Seção de Choque de Fissão	para U235, U238, Pu239 e Pu241 
 
Fica evidente que � deve ser suficientemente maior que a unidade para que ocorra uma conversão 
apreciável de material fértil em físsil usando qualquer um desses isótopos, pois é possível produzir 
mais material físsil do que é queimado durante a reação de fissão em cadeia. Para tanto, é 
necessário operar o reator com isótopos físseis e nêutrons com energia no qual o valor � seja 
maior que duas vezes a unidade, uma vez que nesta condição parte dos nêutrons gerados são 
utilizados para manter a reação em cadeia em quanto a outra parte é utilizada para produzir novos 
nuclídeos físseis, a fim de substituir aqueles que são consumidos durante o processo de fissão. 
 
Note o leitor, que qualquer “excesso” de nêutrons pode ser usado para gerar materiais físseis, no 
entanto, é evidente que a situação mais favorável para realizar tal processo necessita de nêutrons 
rápidos no intervalor de [0,1-1,0] MeV e consequentemente o combustível mais adequado seria o 
Pu239. Essa é a principal motivação por trás do desenvolvimento dos reatores rápidos 
regeneradores, que operam com uma reação em cadeia mantida por nêutrons rápidos a partir de 
uma mistura de combustível de Pu239 e U238, a fim de alcançar elevados valores de �. 
Entretanto, o leitor deve-se recordar da dependência energética da seção de choque de fissão para 
nuclídeos físseis, vide Figura 7.6, cuja a região de fissão por nêutrons rápidos é duas ordens de 
grandezas menor que a região para nêutrons térmicos, isso nos leva concluir que usar nêutrons 
rápidos para sustentar a reação em cadeia nuclear é muito mais difícil que nêutrons térmicos, 
uma vez que a probabilidade de ser absorvido e causar fissão é consideravelmente maior para 
nêutrons térmicos. 
 
7.2 – Fator de Multiplicação e a Reação em Cadeia 
O principal objetivo do projeto de um reator nuclear consiste manter sustentável uma reação em 
cadeia, mantendo-se constante a produção de energia via fissão, de modo a alcançar um equilíbrio 
muito delicado entre as taxas de absorção e fuga de nêutrons com a taxa de produção de nêutrons 
via fissão nuclear, tornando a reação em cadeia autossustentável, isto é, uma reação em cadeia 
nem crescente nem decrescente com o tempo, de forma que os nêutrons gerados via fissão possam 
moderar-se e termalizar-se, causando novas fissões e assim sucessivamente, mantendo sustentável 
a reação em cadeia e a produção de energia via fissão, vide Figura 7.7. 
 
 
Figura 7.7 – Reação em Cadeia via Fissão Nuclear 
 
Nesta seção vamos apresentar um simples modelo de cinética capaz de prever e descrever o 
comportamento temporal da população de neutros prontos dentro do núcleo do reator, com base 
em uma equação de balanço de nêutrons. 
 
Observe na Figura 7.7 que alguns nêutrons são perdidos via captura radiativa por absorção no 
combustível e fuga do sistema, e os outros são absorvidos pelo combustível causando fissão 
nuclear e gerando novos nêutrons que poderão ser capturados, fugir do sistema ou gerar novas 
fissões nucleares. Se supusermos que somos capazes mediar o número de nêutrons entre duas 
sucessivas gerações de nêutrons, podemos definir o uma quantidade denominada de fator de 
multiplicação, �, como sendo a razão entre o número de nêutrons em uma geração	� pelo número 
de nêutrons na geração que procedeu, � − 1, tal que: 
� ≡
�ú����	��	�ê������	��	����çã�	�
�ú����	��	�ê������	��	����çã�	� − 1
	.																																																																												(7.5) 
 
O leitor deve observar que quando � > 1 indica que o número de nêutrons cresce de uma geração 
para outra geração, e assim sucessivamente, de modo que a reação em cadeia não pode ser 
controlada, dizemos que neste caso o reator se encontra em uma condição supercrítica. Por outro 
lado, quando � < 1 indica que o número de nêutrons decresce de geração após geração, fazendo 
com que reação cadeia diminua à medida que o tempo passa; dizemos neste caso que o reator se 
encontra em uma condição subcrítica. Entretanto, a condição ideal é alcançada quando � = 1, 
pois neste caso a geração de nêutrons permanece constante de geração após geração, tornando 
assim possível uma reação em cadeia autossustentável; dizemos neste caso, que o reator se 
encontra em uma condição crítica. 
 
 
A condição ideal a ser alcançada no projeto do reator nuclear é quando � = 1, pois nesta condição 
estamos equilibrando as perdas de neutros via captura e fuga do sistema com as produções via 
fissão nuclear, de modo a torna a reação em cadeia autossustentável mantendo a população de 
nêutrons aproximadamente constante de geração após geração. Deste modo, podemos redefinir 
alternativamente o fator de multiplicação, �, como sendo a razão entre a taxa de produção de 
nêutrons via fissão nuclear pela taxa de nêutrons perdidos via captura e fuga do sistema, tal que: 
� ≡
����	��	�����çã�	���	����ã�
����	��	�����	���	�������	�	����
≡
�(�)
�(�)
	.																																																																					(7.6) 
 
É importante que o leitor note que neste caso o fator de multiplicação depende explicitamente do 
tempo, uma vezque as taxas de produção e perda podem varia com o tempo, um exemplo claro, 
é o próprio consumo do combustível que altera tanto a fissão como a captura de nêutrons, 
entretanto, as mudanças causadas pelo consumo do combustível nuclear são bastante lentas, 
fazendo com que as mudanças no fator de multiplicação sejam quase estática. 
 
Nós podemos definir o tempo de vida dos nêutrons, �, de maneira bastante peculiar, como sendo 
a razão entre o número total de nêutrons no instante � dentro do reator pela taxa de nêutrons 
perdidos via captura e fuga do sistema em um mesmo instante �, tal que: 
� ≡
�ú����	��	�ê������	��	��������	�
����	��	�����	���	�������	�	����	��	��	��������	�
≡
�(�)
�(�)
	.																																		(7.7) 
 
Com base nas definições apresentadas até gora podemos definir que a taxa de variação temporal 
da população de nêutrons como sendo uma equação de balanço entre a diferença da taxa de 
produção via fissão, �(�), pela taxa de perda via captura de fuga, �(�), de modo que: 
��(�)
��
≡ �(�) − �(�)	.																																																																																																																									(7.8�) 
 
Usando a definição do fator de multiplicação podemos reescrever a equação (7.8) como sendo: 
��(�)
��
≡ �
�(�)
�(�)
− 1��(�) = (� − 1)�(�)	.																																																																																				(7.8�) 
 
Por outro lado, temos que �(�) ≡ �(�) �⁄ . Logo a equação (7.8a) assume a seguinte forma: 
��(�)
��
=
(� − 1)
�
�(�)	.																																																																																																																										(7.9) 
 
Nós vimos que os parâmetros � e � variam muito lentamente com o tempo sendo quase 
estacionários, de modo que podemos admitir que estes parâmetros são constantes com o tempo 
em certa medida (é obvio que eles não serão em geral). Portanto, admitindo tal hipótese podemos 
 
resolver a equação diferencial, Equação 7.9, assumindo de forma geral que no instante � = 0 
havia �� nêutrons dentro do reator, de modo que a solução é dada por: 
�(�) = ���
(���)
�
�.																																																																																																																																(7.10) 
 
O leitor deve observar que a solução obtida encontra-se de acordo com a definição de fator de 
multiplicação que apresentamos no início desta seção, de modo que quando � > 1 a função 
�(�)	cresce exponencialmente fazendo com que o reator fique em uma condição supercrítica, e 
quando � < 1 a função �(�)	decresce exponencialmente fazendo com que o reator fique em uma 
condição subcrítica, e quando � = 1 entramos em uma condição estacionária fazendo com que o 
reator fique em uma condição crítica, conforme ilustrado pela Figura 7.8. 
 
A partir da Equação (7.10) podemos definir o que chamamos de período do reator nuclear, como 
sendo o tempo necessário para que a população de nêutrons do reator cresce proporcional a �, tal 
que: 
�(�) = ��� = ���
(���)
�
� → 	
(� − 1)
�
�	 = 1 → � = 	
�
(� − 1)
																										(7.11) 
 
 
Figura 7.8 – Comportamento Temporal da População de Nêutrons 
 
Note o leitor que quando � > 1 o período do reator é positivo e consequentemente o reator 
encontra-se em uma condição supercrítica, já quando � < 1 o período do reator é negativo e o 
reator torna-se subcrítico, no entanto, quando � → 1 o período aproxima-se do infinito e 
consequentemente o termo �
�
� → 1, o que implica que o reator aproxima-se de uma condição 
estacionária. 
 
 
Exemplo-7.1: Determine o quanto a população de nêutrons cresce após 1 segundo, para o caso 
em que o fator de multiplicação e o tempo vida dos nêutrons prontos são dados por: � = 10����� 
e � = 1,001, respectivamente. 
 
Vamos primeiramente determinar o período do reator usando a Equação (7.11), tal que: 
� =	
10�����
(1,001 − 1)
= 0,1���. 
 
Após 1	��� temos que a população de nêutrons teve um aumento de, 
�(1) = ���
�
� → 	
�(�)
��
= �
�
�,� = ��� ≈ 22���. 
 
Fica evidente que um acréscimo de 0,1% no fator de multiplicação na condição crítica, leva a um 
aumento exorbitante de população nêutrons, fazendo com que seja impossível o controle efetivo 
do reator. Isso deve-se ao fato de que neste modelo de cinética nós desconsideramos os nêutrons 
atrasados, que são de vital importância para o controle efetivo do reator, uma vez que aumentam 
o período do reator. 
 
O tempo de vida dos nêutrons atrasados é dado por: 
�� = � + 1 �⁄ . 
 
Logo podemos escrever o tempo médio de vida dos nêutrons, considerando os nêutrons atrasados 
e prontos como sendo: 
� ̅ = (1 − �)� + ��� = � + � �⁄ →	 � ̅ = 10
�� + 0,0075 0,08⁄ ≅ 0,0938	���. 
 
Sendo assim, o período do reator considerando nêutrons prontos e atrasados é dado por: 
� =	
0,0938���
(1,001 − 1)
≅ 93,8���. 
 
Consequentemente temos que a população de nêutrons após 1	��� teve um aumento de, 
�(1) = ���
�
� → 	
�(1)
��
= �
�
��,� = ��� ≈ 1,03. 
 
O exemplo nos mostrou claramente que ao considerarmos os nêutrons atrasado o período do reator 
aumenta significativamente, tornando possível o controle do reator. Entretanto, é importante 
salientarmos ao leitor que o artificio utilizado aqui é apenas qualitativo. 
 
 
Exemplo-7.2: Analise o comportamento cinético dos nêutrons prontos em um reator com uma 
fonte externa de nêutrons constante, �(�) > ��, para o caso em que � > 1, � < 1 e � = 1. 
Admita que no início não existia nêutrons. 
 
Note o leitor que antes partirmos propriamente para análise do problema podemos modificar a 
Equação (7.9) adicionando o termo de fonte externa de nêutrons, ��, de modo que podemos 
escrever a equação como: 
��(�)
��
=
(� − 1)
�
�(�) + ��	.																																																																																																													(7.12) 
 
Resolvendo a Equação (7.12) via integração, obtemos que: 
��(�)
��
−
(� − 1)
�
�(�) = �� 	∴ 	
�
��
��(�)�
�
(���)
�
�
� = ��	�
�
(���)
�
� 	����������	[�,�]�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 
	�(�)��
(���)
�
� = �� � 	�
�
(���)
�
����
�
�
→ 	�(�)��
(���)
�
� = −
�	��
(� − 1)
��
�
(���)
�
� − 1�	 
�(�) =
�	��
(� − 1)
��
(���)
�
� 	− 1�.																																																																																																								(7.13) 
 
O resultado alcançado, Equação (7.13), nos mostra que para o caso em que � > 1	o número de 
nêutrons cresce exponencialmente, no entanto, para o caso em que � < 1 o número de nêutrons 
aumenta no início, porém a medida que o tempo cresce o termo exponencial decai contribuindo 
cada vez menos, fazendo com que a população de nêutrons alcance o equilíbrio após um longo 
período de tempo. Isso pode ser visto com mais clareza ao reescrevermos a Equação (7.13) como: 
�(�) =
�	��
(1 − �)
�1	 − �
�
(���)
�
�
�.																																																																																																						(7.14) 
 
Fica evidente que a população de nêutrons alcança um valor de equilíbrio quando � → ∞, dado 
por: 
��� ≡ lim
�→�
�(�) =
�	��
(1 − �)
	.																																																																																																													(7.15) 
 
É importante ressaltar que o caso � = 1 não é trivial, pois ambas equações (7.13) e (7.14) tende 
a zero. Neste caso podemos estudar quando � → 1 expandido em série de potência o termo 
��
(���)
�
�, de modo que: 
��
(���)
�
� = 1 +
� − 1
�
	� +
1
2
(� − 1)�
�
	�� +
1
6
(� − 1)�
�
	�� +⋯		.																																												(7.16) 
 
 
Substituindo a Equação (7.16) na Equação (7.13) obtemos a seguinte equação: 
�(�) ≅
�	��
(� − 1)
�1 +
� − 1
�
	� +
1
2
(� − 1)�
�
	�� +
1
6
(� − 1)�
�
	�� +⋯	− 1�.																								(7.17) 
 
Simplificando os termos e tomando o limite em que � → 1, obtemos que: 
�(�) = ���	.(7.18) 
 
Fica evidente para o leitor que quando � → 1 a polução cresce linearmente, isso deve-se a inserção 
de uma fonte externa, ��, de modo que nesta condição o reator torna-se supercrítico. 
 
7.3 – Fórmula dos Seis Fatores 
Nesta última seção foi possível concluirmos que a polução de nêutrons pode ser estimada, para 
o caso dos nêutrons rápidos, se conhecermos de antemão o fator de multiplicação, no entanto, o 
fator de multiplicação é determinado pela razão entre o número de nêutrons em uma geração	� 
pelo número de nêutrons na geração que procedeu � − 1. Isso nos leva a uma aparente 
contradição, pois não podemos determinar a população de nêutrons sem o valor de �, e por outro 
lado não podemos determinar o valor de � sem conhecemos a população, e tal como o cachorro 
que tenta morder a própria calda. Portanto, faz-se necessário lançarmos mão de um artifício 
alternativo para o cálculo do fator de multiplicação baseado no conhecimento prévio da 
composição do reator e de sua geometria. 
 
De modo geral, o núcleo de um reator térmico é composto basicamente por combustível nuclear, 
material absorvedor, material estrutural e refrigerante/moderador; se supusermos que somos 
capazes de tratarmos o reator como uma mistura homogênea e uniforme, podemos determinar o 
fator de multiplicação do reator com base em sua composição e geometria, aplicando-se uma 
análise probabilística relativa a trajetória de vida do nêutron dentro do núcleo do reator. 
 
Note o leitor que podemos supor de forma simplifica o seguinte esquema probabilístico, vide 
Figura 7.1, para a trajetória de vida do nêutron após a fissão até a sua subsequente absorção 
causando uma nova fissão. 
 
 
 
Figura 7.1 – Esquema Probabilístico Simplificado da Trajetória de Vida do Nêutron 
 
��� ≡ Probabilidade de que o nêutron não fugirá do reator antes de ser absorvido; 
��� ≡ Probabilidade condicional de que se o nêutron for absorvido, ele seja absorvido no 
combustível; 
�� ≡ Probabilidade condicional de que se o nêutron for absorvido no combustível, ele induza 
fissão nuclear. 
 
O esquema apresentado pela Figura 7.1 deixa evidente que podemos tratar os eventos 
probabilísticos como independentes, de modo que a probabilidade entre o nascimento do nêutron 
após a fissão até sua absorção causando uma nova fissão é dada pelo produto das probabilidades, 
tal que: 
������ = ���	���	��	.																																																																																																																														(7.1) 
 
Portanto o fator de multiplicação pode ser escrito como sendo: 
� ≡
����
��
= ������� = �	���	���	��	.																																																																																																(7.2) 
 
O leitor deve se atentar para o fato de que as probabilidades condicionais podem ser mensuradas 
a partir de grandezas físicas, por exemplo: 
 
 A probabilidade condicional de que se o nêutron for absorvido, seja absorvido no 
combustível, ���, é determinada pela razão entre a seção de choque macroscópica de 
absorção no combustível (Σ�
�) e seção de choque macroscópica de absorção total do reator 
(Σ�), Σ�
� Σ�⁄ . 
 
��� ≡ Σ�
� Σ�⁄ 																																																																																																																																												(7.3) 
 
 A probabilidade condicional de que se o nêutron for absorvido no combustível, ele induza 
fissão nuclear, ��, é dada pela razão entre a seção de choque macroscópica de absorção 
 
no combustível (Σ�
�) e seção de choque macroscópica de absorção total do reator (Σ�
�), 
Σ�
� Σ�
�⁄ . 
 
�� ≡ Σ�
� Σ�
�⁄ . 																																																																																																																																												(7.4) 
 
Sendo assim, podemos escrever o fator de multiplicação como sendo: 
� ≡
����
��
= ��� = ���		�
	Σ�
�
Σ�
	Σ�
�
Σ�
� 		.																																																																																																			(7.5) 
 
 
 
A Equação (7.5) mostra claramente que o fator de multiplicação é determinado pela composição 
do reator e pela sua geometria. O parâmetro ��� é intrinsicamente relacionado a dimensão do 
reato; note que para o caso de um reator de dimensão infinita temos que a probabilidade de que o 
nêutron não fuja do reator antes de ser absorvido é de 100%, ou seja,	��� = 1. 
Consequentemente, nesta condição o fator de multiplicação é superestimado, pois para um reator 
de dimensão finita o parâmetro ���	sempre será menor que a unidade, ou seja, 0 ≤ ��� < 1. 
�� = 	�
	Σ�
�
Σ�
	Σ�
�
Σ�
� 		.																																																																																																																																					(7.6) 
 
O fator de multiplicação infinito �� sempre será maior que o fator de multiplicação para reatores 
de dimensão finita �, ou seja, �� > �. 
 
Vale observar que tanto na Equação (7.5) como na Equação (7.6) surge o número de nêutrons 
produzidos na fissão por nêutron absorvido no combustível, �, de modo que a Equação (7.5) pode 
reescrita como sendo: 
� = ���		�
	Σ�
�
Σ�
		.																																																																																																																																							(7.7) 
 
Para o caso dos reatores térmicos em que a maior parte das fissões geradas no combustível nuclear 
são devidas aos nêutrons térmicos, podemos admitir que a probabilidade condicional de que se o 
nêutron for absorvido, seja absorvido no combustível, pode ser basicamente avaliada 
considerando apenas nêutrons térmicos, o que significa que a razão Σ�
� Σ�⁄ mede essencialmente 
a eficácia do combustível nuclear em competir com outros materiais do reator pela absorção dos 
nêutrons térmicos, isto é, a eficácia com a qual o reator utiliza os nêutrons térmicos no 
Composição do Reator Geometria do Reator 
 
combustível do reator. Portanto, devido a essência física do fator de probabilidade ���, 
convencionou-se chamá-lo por fator de utilização térmica �, tal que: ��� ≡ �. 
 
Deste modo podemos reescrever o fator de multiplicação como sendo: 
� = ���		��		.																																																																																																																																												(7.8) 
 
Consequentemente para um meio infinito, temos que o fator de multiplicação é dado pelo produto 
do parâmetro �	e o fator de utilização térmica, tal que: 
�� = ��		.																																																																																																																																																	(7.9) 
 
A essa altura o leitor deve ter percebido que no cálculo do fator de multiplicação adotamos um 
esquema probabilístico bastante simplificado para a trajetória de vida do nêutron, pois ignoramos 
a natureza energética do nêutron em nossa análise tanto para a probabilidade de não fuga do reator 
como para a probabilidade de causar fissão em nuclídeos físseis32, além disso, ignoramos também 
a probabilidade do nêutron escapar das ressonâncias nucleares. Portanto, podemos aprimorar o 
cálculo do fator de multiplicação se utilizarmos um esquema probabilístico mais detalhado do 
ponto vista físico na trajetória de vida no nêutron, de modo a considerarmos os seguintes aspectos: 
fissão por nêutrons rápidos, diferentes probabilidades de não fuga para nêutrons rápidos e 
térmico, bem como a probabilidade dos nêutrons escaparem as ressonâncias nucleares. A Figura 
7.2 apresenta o esquema probabilístico mais detalhado para a trajetória de vida do nêutron. 
 
Observe que o primeiro processo leva em conta o fato de que nem todas as fissões dentro do 
núcleo do reator são decorrentes de nêutrons térmicos em nuclídeos físseis, pois os nêutrons 
rápidos podem também induzir fissão em nuclídeos fissionáveis e físseis33. Esse processo físico 
é caracterizado pelo fator de fissão rápida, �, que leva em conta o aumentoda população de 
nêutrons rápidos dentro reator para uma dada geração de nêutrons. Para tanto, podemos definir o 
fator de fissão rápida como sendo a razão entre o número de nêutrons rápidos produzidos pelas 
fissões em todas as energias e o número de nêutrons rápidos produzidos na fissão térmica, isto é, 
 
 
32 Note que ao considerarmos a natureza energética nêutrons fica claro que os nêutrons térmicos têm maior probabilidade de não fuga 
do que os nêutrons rápidos. Além disso, os nêutrons térmicos têm maior probabilidade de causarem fissão em nuclídeos físseis do que 
os nêutrons rápidos. 
33 A fissão rápida ocorre principalmente em nuclídeos fissionáveis como no caso do U238, mas também pode ocorrer em nuclídeos 
físseis como no caso do U235 e Pu239. 
 
 
Figura 7.2 – Esquema Probabilístico Detalhado da Trajetória de Vida do Nêutron 
 
� ≡
nº	de	nêutrons	rápidos	produzidos	pelas	fissões	em	todas	as	energias	
nº	de	nêutrons	rápidos	produzidos	na	fissão	térmica
				 
 
É importante destacarmos que em um hipotético reator térmico homogêneo onde os combustível 
nuclear é cercados pelo material moderador, existe uma probabilidade muito alta de que um 
nêutron rápido tenha sua primeira colisão com um núcleo do material moderador, resultando 
assim na perda significativa de sua energia cinética inicial. Portanto, em núcleos de reatores 
homogêneos, o fator de fissão rápida é essencialmente próximo da unidade, ou seja, � = 1. Por 
outro lado, em um núcleo de reator heterogêneo, todos os núcleos de combustível estão em 
pastilhas de combustível que são encapsulados dentro de uma vareta de combustível. Esse arranjo 
aumenta a probabilidade de que a primeira colisão de um nêutron rápido seja com um núcleo de 
combustível. Portanto, em núcleos de reatores heterogêneos, o fator de fissão rápida é um pouco 
maior que a unidade, sendo de aproximadamente de � ≈ 1,03, entretanto, esse valor do fator de 
fissão rápida é minimamente afetado (quando comparado com outros fatores) por mudanças 
operacionais tais como a mudança na temperatura do moderador ou queima de combustível. 
Contudo, o fator de fissão rápida é fortemente influenciado pelo arranjo e concentrações do 
combustível, uma vez que a geometria do núcleo determina o espectro do fluxo de nêutrons. 
 
Nós vimos que para o caso de um reator infinito a probabilidade de fuga do sistema é nula, 
podendo, portanto, se negligenciada. Entretanto, para os reatores nucleares realísticos onde os 
sistemas são finitos a fuga do sistema não pode ser mais negligenciada. Logo durante o processo 
de moderação, alguns nêutrons podem fugir do reator antes de alcançarem o estado térmico, de 
 
modo que o impacto sobre o fator de multiplicação é caracterizado pela probabilidade de que os 
nêutrons rápidos não fujam do reator antes de ser absorvido, ����, tal probabilidade é definida 
como sendo a razão do número de nêutrons rápidos que não fogem do núcleo do reator durante o 
processo de moderação e o número de nêutrons rápidos produzidos nas fissões por nêutrons de 
todas as energias, isto é, 
���� ≡
nº	de	nêutrons	rápidos	que	não	fogem	do	núcleo	do	reator
nº	de	nêutrons	rápidos	produzidos	pelas	fissões	em	todas	as	energias
	.			 
 
Todavia, os nêutrons rápidos que permanecem no reator estão sujeitos ao processo de moderação 
e podem alcançar energias térmicas da ordem de 0,025	��; mesmo nêutrons com energias 
térmicas podem escapar do núcleo do reator antes de serem absorvidos no combustível, de modo 
que tais fugas podem modificar significativamente o fator de multiplicação, uma vez que a 
maioria das fissões em reatores térmicos são devidas aos nêutrons térmicos. Sendo assim, os 
reatores térmicos são projetados de formar a minimizar a fuga dos nêutrons, principalmente os 
nêutrons térmicos. A probabilidade de que os nêutrons térmicos não fujam do reator antes de ser 
absorvido, ����, é definida como sendo a razão do número de nêutrons térmicos que não fogem 
do núcleo do reator durante o processo de difusão e o número de nêutrons que atingem as energias 
térmicas, de modo que: 
���� ≡
nº	de	nêutrons	térmicos	que	não	fogem	do	núcleo	do	reator
nº	de	nêutrons	que	atingem	as	energias	térmicas
				 
 
Lembre-se que o fator de fissão rápida determina o número de nêutrons rápidos produzidos 
por fissões em todas as energias, mas em reatores térmicos a maior parte das fissões nucleares 
ocorrem em energias térmicas e, é óbvio que esses nêutrons de fissão têm que 
ser termalizados . Porém, durante o processo de termalização, os nêutrons podem colidir não 
apenas com núcleos do material moderador, mas também com núcleos do material combustível, 
os quais exibem ressonâncias nucleares entre a região rápida e a região térmica, especialmente os 
núcleos de U238, cuja ressonâncias se estendem entre [6	��, 200	��], de modo que existe uma 
probabilidade de que alguns nêutrons sejam capturados. Portanto, a probabilidade de que um 
nêutron não seja capturado em toda a região de ressonância é chamada de probabilidade de escape 
de ressonância. A probabilidade de escapar a ressonância, �, é definida como a razão entre o 
número de nêutrons que atingem as energias térmicas e o número de nêutrons rápidos que 
começam a moderar-se, ou seja, 
� ≡
nº	de	nêutrons	que	atingem	as	energias	térmicas	
nº	de	nêutrons	rápidos	que	começam	a	moderar − se
				 
 
 
A probabilidade de escapar a ressonância, �, é de modo geral sempre menor que a unidade em 
reatores heterogêneos, pois a presença dos nuclídeos de U238 e Pu240 contribuem para o processo 
de captura de ressonante removendo assim nêutrons da reação em cadeia, de modo que os reatores 
térmicos têm � em torno de 0,75. Todavia, mais do que conhecer de antemão o valor �, são mais 
importante conhecer as formas como este valor é alterado durante a operação do reator, uma vez 
que o processo de captura por ressonância é o principal fenômeno que contribui para a 
estabilidade do reator e torna o núcleo dos reator térmicos intrinsicamente seguro e resistente 
as mudanças de potência abruptas, como no caso de acidentes iniciados por inserção de 
reatividade. 
 
A Tabela 7.7 resume os valores típicos dos parâmetros da fórmula dos seis fatores para reatores 
de água leve pressurizada. 
 
Tabela 7.7 – Valores Típicos dos Parâmetros da Fórmula dos 6 Fatores 
Parâmetro Valores Típicos 
� 1,02-1,08 
���� 0,95-0,97 
� 0,75-0,85 
���� 0,98-0,99 
� 0,85-0,95 
� 1,60-1,70 
 
Usando o esquema probabilístico simplificado obtemos o fator de multiplicação por meio da 
fórmula dos quatro fatores, Equação (7.2), no entanto, mostramos ao leitor que deixamos de 
considerar eventos físicos relevantes na trajetória de vida do nêutron, tais como: a fissão por 
nêutrons rápidos, as diferentes probabilidades de não fuga dos nêutrons rápidos e térmicos, bem 
como a probabilidade dos nêutrons escaparem das ressonâncias nucleares durante o processo de 
moderação. A consideração de tais eventos contribui significativamente para um cálculo mais 
assertivo do fator de multiplicação, de modo que este fator pode ser calculado usando o diagrama 
probabilístico apresentado na Figura 7.2, a fim de alcançarmos a conhecida fórmula dos seis 
fatores, tal que: 
� ≡
����
��
= ������������	.																																																																																																													(7.10) 
 
Neste ponto é importante mantermos em mente que as expressões obtidas para o cálculo do fator 
de multiplicação usando as Equações (7.2) e (7.10) são válidas somente para o caso em que a 
composição dos reatores sejam uniforme e homogêneo, pois caso contrário a determinação dos 
 
parâmetros probabilístico são difíceis de serem realizadas, até mesmo porque em reatores 
heterogêneos dificilmente poderemos analisar os eventos como probabilidades condicionais, 
assim como supusemos na obtenção das fórmulas dos quatro e seis fatores. Mesmo assim, a 
fórmula dos quatroe seis fatores são interessantes, pois são capazes de nos fornecerem 
informações sobre os vários mecanismos que envolve a reação em cadeia e, em algumas ocasiões 
podem até serem uteis para estimar de forma grosseira o fator de multiplicação durante o 
desenvolvimento do projeto do reator. Além disso, tais fórmulas são uteis para ilustrar as 
tendências de variações dos parâmetros durante a elaboração do projeto do reator. Pois alguns 
parâmetros tendem a variar mais do que os outros, por exemplo, os parâmetros � e � são 
basicamente constantes durante a operação do reator, uma vez que já tenha sido definido o projeto 
do combustível nuclear. Entretanto, o fator de utilização térmica (�) e a probabilidade de escapar 
a ressonância (�) são bastantes sensíveis as mudanças na composição isotópica devido a queima 
do combustível nuclear e as mudanças na densidade do moderador, de modo que tais mudanças 
alteram significativamente o fator de multiplicação. 
 
Portanto, conhecer de forma detalhada todos os possíveis fatores operacionais que podem afetar 
o fator de multiplicação do sistema são importantes para controle e operação segura 
do reator nuclear, uma vez que é desejado durante toda a operação do reator manter o fator de 
multiplicação o mais próximo possível do valor da unidade, ou seja, � = 1. 
 
Nós aprendemos que a criticidade do reator é fortemente influenciada por fatores físicos e 
operacionais, de modo que os reatores de potência são projetados com fatores de multiplicação 
levemente supercrítico, esse excesso do fator de multiplicação deve-se a diversas razões como: 
acúmulos dos venenos queimáveis, queima do combustível e a questões de natureza operacional. 
Por exemplo: reatores de grande porte costumam operar por um longo período de tempo a uma 
potência constante, de modo que é necessário no projeto destes reatores fornecer um excesso de 
combustível, ou seja, � > 1, a fim de compensar a queima do combustível durante operação, uma 
vez que reatores deste tipo costumam operar em média com ciclos de aproximadamente 400 
dias34. Outra motivação para que o fator de multiplicação de um reator de potência seja projetado 
levemente supercrítico tem relação com os mecanismos de realimentação, pois a medida que a 
potência e a temperatura crescem os mecanismos de realimentação agem sobre o combustível 
nuclear e moderador diminuindo o “fator de multiplicação”, fazendo com que seja necessário um 
excesso de nêutrons (reatividade) dentro do núcleo do reator a fim de compensar a ação destes 
mecanismos. 
 
34 O ciclo de um reator é marcado pelos dias de operação deste reator desde seu carregamento até sua parada para um novo 
carregamento de combustível. Reatores com Angra 1 tem ciclos de operação em média de 380 dias, já reatores como Angra 2 podem 
alcançar ciclos de operação de até 400 dias. 
 
 
Pare e Pense: Nós já sabemos que os nêutrons se distribuem em uma ampla faixa de energia (10-
2 eV a 107 eV), e que nos reatores térmicos a maior parte das fissões geradas no combustível 
nuclear são devidas aos nêutrons térmicos, e que estes nêutrons são essenciais para sustentação 
da reação em cadeia, uma vez que cerca de 85% dos neutros prontos alcança a energia do estado 
térmico induzindo fissão, por meio do processo de moderação. Já nos reatores rápidos o processo 
é justamente ao contrário, tentamos evitar ao máximo a moderação de nêutrons, de modo que a 
reação em cadeia é sustentada por nêutrons rápidos, entretanto, alguns nêutrons sofrem leves 
moderações, de modo a serem absorvidos pelas ressonâncias nucleares. Portanto, tanto em 
reatores térmicos quanto rápidos a moderação, a fuga e absorção de nêutrons na região de 
ressonância têm um papel fundamental em ambos os tipos de reatores. 
 
Alexandre
Highlight
Alexandre
Highlight
 
REFERENCIAS 
 
James O’Brien, “Fundamentals Handbook, Nuclear Physics and Nuclear Reactor Theory”, 
Prentice-Hall, (2001). 
 
James J. Duderstadt & Lous Hamilton, “Nuclear Reactor Analisys”, John Willey & Sons, (1972). 
 
Jonh R. Lamarsh and Anthony J. Baratta, “Introduction to Nuclear Reactor Engineering”, Office 
of Health, Safety and Security, (2015). 
 
Robert E. Masterson, “Nuclear Engineerring Fundamentals a Practical Perspective”, Taylor & 
Francis Group, (2017). 
 
Tatjana Jevremovic, “Nuclear Principles in Engineering”, Springer Science, (2009). 
 
Weston M. Stacey, “Nuclear Reactor Physics”, Willey-VCH, (2007). 
 
CAPÍTULO VIII 
DIFUSÃO DE NÊUTRONS 
 
Para projetarmos um reator nuclear adequadamente é necessário prever como os nêutrons serão 
distribuídos por todo o sistema, pois é de fundamental importância o conhecimento prévio da 
distribuição de nêutrons, bem como a capacidade prever as mudanças da distribuição de nêutrons 
devido a queima do combustível e mudanças na temperatura do moderador e do próprio 
combustível. Portanto, a determinação e previsibilidade da distribuição de nêutrons se torna o 
problema central da Física de Reatores, uma vez que a partir deste conhecimento podemos 
determinar a taxa com que várias reações ocorrem dentro do núcleo, bem como prever as 
mudanças do fator de multiplicação durante queima do combustível, de modo a justar a 
concentração de ácido bórico para manter o reator crítico durante todo o período de operação. 
Mas infelizmente, determinar a distribuição de nêutrons detalhadamente é um problema bastante 
difícil em geral e, também custoso do ponto de vista computacional, pois os nêutrons movem-se 
dentro do núcleo do reator por “caminhos bem complicados” resultantes das repetidas “colisões” 
nucleares. Para tanto, é fundamental investigarmos o processo de transporte dos nêutrons, isto é, 
como os nêutrons fluem dentro do núcleo do reator de uma região para outra. 
 
Em 1879 Ludwing Boltzmann propôs uma equação fundamental para descrever o transporte de 
partículas em sistemas fechados; sua motivação era entender e prever estatisticamente o 
comportamento das moléculas de gases dentro de um sistema termodinâmico fora da condição 
equilíbrio. A equação de transporte de Boltzmann é ainda a ferramenta mais poderosa que 
dispomos, para entendermos o comportamento estatístico de um sistema complexo de muitas 
partículas que se movem aleatoriamente. Deste modo podemos estabelecer um paralelo entre as 
colisões moleculares de um gás e as colisões de nêutrons com núcleos atômicos, negligenciando 
as improváveis colisões entre nêutrons, de modo a obtermos a chamada Equação de Transporte 
de Nêutrons, que é nada mais nada menos que a forma linear da equação original proposta por 
Boltzmann. A equação de transporte de nêutrons é bastante complexa e costuma ser o mito que 
aterrorizar aqueles que se iniciam na Física Reatores, mas por conta das lendas assustadoras que 
se forjaram dentro da comunidade de Física de Reatores, associada a uma matemática impetrável 
e pesada e também ao enorme custo computacional relativo a solução da equação. Todavia, é 
lamentável o mito, pois a obtenção da equação de transporte de nêutrons é muito simples exigindo 
apenas o conceito de conservação de nêutrons dentro de um volume arbitrário de controle, 
entretanto, a solução da equação para sistemas realísticos requere um enorme esforço 
computacional, inviabilizando assim seu uso em tarefas práticas no dia-dia de uma planta nuclear. 
Felizmente podemos aproximar o transporte de nêutrons dentro do reator como um processo 
 
difusivo semelhantemente ao que ocorre com gases, de modo que podemos determinar e prever 
a distribuição de nêutrons resolvendo uma equação de difusão, que é essencialmente a mesma 
equação usada para descrever os fenômenos de difusão em outros ramos da engenharia, como o 
transporte calor. Essa aproximação é comumente chamada de aproximação da difusão, foi usado 
para o projetar a maioria dos reatores iniciais. Embora seja amplamente empregada em aplicações 
da análise de reator, sua precisãodeve-se a diversos esquemas sofisticados que têm sido 
desenvolvidos nos últimos anos para "corrigi-la", utilizando resultados provenientes da equação 
de transporte. Por exemplo: a equação da difusão de nêutrons é imprecisa próximo as regiões de 
contorno do reator e/ou próximo as regiões altamente absorvedoras, tal como barras controle. 
Entretanto, podemos continuar a usar a teoria da difusão para análise do reator desde que seja 
"corrigida" empregando-se as chamadas "correções de transporte" para condições de contorno 
que acompanham a equação da difusão. 
 
É verdadeiramente lamentável que não possamos utilizar a equação de transporte de nêutrons para 
o cálculo da distribuição de nêutrons na prática diária do projeto nuclear, uma vez que ela oferece 
uma descrição da distribuição de nêutrons mais geral e exata que a equação de difusão de 
nêutrons; na verdade a equação de transporte de nêutrons é pedra fundamental na qual todos os 
métodos utilizados na análise de reator são baseados. Portanto, realizaremos uma breve discussão 
sobre obtenção da equação de transporte de nêutrons, bem como a aproximação da difusão que 
dá origem a equação da difusão de nêutrons. 
 
8.1 – Conceitos Fundamentais da Teoria de Transporte 
Antes de iniciarmos com a dedução da equação de transporte de nêutrons, nós precisamos 
determinar quais são as variáveis do sistema que caracterizam o estado do nêutron. Note que 
qualquer nêutron do sistema pode ser completamente determinado em um dado instante de tempo, 
a partir de sua posição, sua energia e sua direção, de modo que estas variáveis são suficientes para 
descreverem completamente o estado do nêutron dentro do sistema; tais variáveis são 
tradicionalmente denominadas de espaço de fase do sistema35. 
 
A partir da caracterização das variáveis ��, �, Ω�, ��	que descrevem o estado do nêutron dentro do 
reator podemos escrever em sua forma mais geral, a densidade de nêutrons em um instante de 
tempo �, entorno de um dado ponto do espaço �, dependente da energia do nêutron (que é 
equivalente ao módulo do vetor velocidade), e da direção na qual o nêutron se move �� = �Ω��, 
como sendo: ���, �, Ω�, ��, que é a densidade angular de nêutrons, cuja unidade é dada por 
 
35 O espaço de fase é representado pelas das variáveis fundamentais que descrevem o estado de uma partícula dentro do sistema. 
 
(
�º	��	�ê������
���.		��	.		��������������	
). O termo “angular” surge do fato que a ���, �, Ω�, �� depende da 
velocidade, a qual pode ser adequadamente representada em coordenadas esféricas por meio das 
variáveis �	�	� a fim de especificar a direção �� do nêutron, conforme ilustrado pela Figura 8.1. 
 
 
Figura 8.1 – Variáveis que caracterizam o estado do nêutron 
 
Note que na Figura 8.1 que o vetor Ω�	aponta na direção do vetor velocidade do nêutron, de forma 
que podemos decompor o vetor Ω�	em coordenadas esféricas em termos dos vetores da base 
�e��, e��, e���, de modo que: 
� = ���(�)���(�)e�� + ���(�)���(�)e�� + ���(�)e��.																																																															(8.1)	 
 
Portanto, podemos escrever que ���, �, Ω�, �����	��	���		representa o número esperado de 
nêutrons no elemento de volume ���	em entorno do ponto �, com energia entre � e �+dE, 
viajando na direção Ω�		dentro do ângulo sólido ���	, em um instante de tempo �. A partir do 
conceito de densidade angular de nêutrons podemos definir o fluxo angular de neutros, como 
sendo: 
���, �, Ω�, �� ≡ �(�). ���, �, Ω�, ��.																																																																																																						(8.2) 
 
O fluxo angular de nêutrons ���, �, Ω�, ��, representa fisicamente a contagem de todos os nêutrons 
por unidade tempo, com energia entre � e �+dE que passam perpendicularmente através da 
superfície, na direção Ω� dentro ângulo sólido �Ω�, conforme ilustrado pela Figura 8.2. 
 
 
 
Figura 8.2 – Representação do fluxo angular de nêutrons 
 
Observe que ���, �,�, �� tem unidade (
�º	��	�ê������
���.��.��������������	.���
), e a sua integral sob todo ângulo 
sólido (4π esferorradiano) define o que denominamos de fluxo de nêutrons entorno de um ponto 
� do espaço, para nêutrons com energia entre � e �+dE em um instante de tempo � qualquer 
�(�, �, �) ≡ � ����, �, Ω�, �����(�)����
�
�
��
�
	.																																																																																		(8.3) 
 
É importante que o leitor se recorde que o ângulo sólido diferencial é definido como sendo a razão 
entre a área delimitada na superfície esférica e o quadrado do raio, Equação (8.4), vide Figura 8.3. 
 
 
Figura 8.3 – Definição do ângulo sólido diferencial 
 
�Ω� ≡
��
��
=
����(�)��	���
��
=
�����(�)����
��
= ���(�)����	.																																												(8.5)	 
 
Nós definimos no capítulo VI (Equação 6.52) que a integral sob o ângulo sólido �Ω�, como sendo: 
� �Ω�
��
≡ � ��
��
�
	� ���(�)��
�
�
= 2�	� ���(�)��
�
�
= 4�		.																																																												(8.5)	 
 
Consequentemente podemos reescrever a Equação (8.3) de uma forma muito mais simplificada, 
tal que: 
�(�, �, �) ≡ � ���, �, Ω�, ���Ω�
��
	.																																																																																																								(8.6) 
 
Devemos observar que �(�, �, �)	tem unidade de (
�º	��	�ê������
���.��.���
), mantendo a consistência com 
a própria definição e a unidade do fluxo angular nêutrons ���, �, Ω�, ��. Entretanto, a integral do 
o fluxo de nêutrons dependente (�, �, �), Equação (8.6), sob o espectro de energia conduz ao fluxo 
de nêutrons dependente (�, �), Equação (8.7), cuja a unidade é (
�º	��	�ê������
���.		���
), 
�(�, �) ≡ � � ���, �, Ω�, ���Ω�
��
	��
�
�
.																																																																																																	(8.7) 
 
A definição de fluxo de nêutrons é bastante controversa, pois na física a quantidade escalar fluxo 
é advinda da integral de superfície de um campo vetorial sob uma área orientada, como nos casos 
dos fluxos dos campos elétricos e magnéticos. Todavia, é importante que o leitor note que �(�, �) 
representa fisicamente a contagem de todos os nêutrons de energia � em todas as direções, que 
passam através da superfície do elemento de volume ��� por unidade tempo, ou seja, 
(
�º	��	�ê������
������
). Essa interpretação física é bastante importante, pois a unidade da grandeza � pode 
nos levar a crer que apenas os nêutrons que passam por uma dada superfície são contados. Isso 
não é verdade, pois todos os nêutrons que atravessam a superfície do elemento de volume ��� 
contribuem para a medida de �(�, �), conforme ilustrado pela Figura 8.4. Além disso, o fluxo de 
nêutrons nos permiti calcular a densidade de taxa de reação e taxa de reação, 
�(�, �) = Σ(�, �)	�(�, �) (�ê������ ������⁄ );																																																																													(8.8) 
e 
�(�) = � Σ(�, �)	�(�, �)
�
�
���	(�ê������ ���⁄ ).																																																																														(8.9) 
 
 
 
Figura 8.4 – Representação do Fluxo de nêutrons 
 
A partir do conceito de fluxo angular de nêutrons podemos definira o vetor densidade de corrente 
angular de nêutrons, como sendo: 
���, �, Ω�, �� ≡ ���, �, Ω�, ��	Ω�.																																																																																																												(8.10) 
 
Notar-se-á que as dimensões das componentes do vetor densidade de corrente de nêutrons são as 
mesmas que a do fluxo angular de nêutrons, o que em certa medida pode causar uma confusão 
aos leitores desavisados, quanto a interpretação física de ambas as grandezas. Entretanto, a 
quantidade ���, �, Ω�, �� ∙ �����Ω�, representa o número esperado de nêutrons que passam através 
de um elemento de superfície orientado ��		(sendo n� o vetor normal a superfície), por unidade 
tempo, com energias entre � e �+dE na direçãoΩ�, conforme ilustrado pela Figura 8.5. 
 
 
Figura 8.5 – Representação da densidade de corrente angular de nêutrons 
 
Perceba, se o elemento de superfície é perpendicular à direção de movimento dos nêutrons, ou 
seja, o vetor normal a superfície é paralelo ao vetor velocidade do nêutron (�� ∥ Ω�), o número de 
nêutrons com energias entre � e �+dE que cruzam a superfície perpendicularmente é igual a 
 
���, �, Ω�, ������. Neste caso específico, os conceitos de densidade de corrente de neutros e 
fluxo angular de nêutrons se confundem. 
 
Podemos escrever que a densidade de corrente de nêutrons como sendo a integral sob todas as 
direções para todos nêutrons com energias entre � e �+dE, de modo que: 
�(�, �, �) ≡ � ���, �, Ω�, ���Ω�
��
= � ����, �, �, ����
��
.																																																														(8.11) 
 
Finalmente podemos definir a corrente líquida de nêutrons como sendo a integral sob todas as 
direções e todas as energias do vetor densidade de corrente angular, de modo que: 
�(�, �) ≡ � � ���, �, Ω�, ���Ω�
��
�
�
��	.																																																																																																				(812) 
 
Observe, que por uma questão de consistência com as definições apresentadas até aqui, ambas as 
grandezas �(�, �)	e �(�, �)	têm a mesma unidade (
�º	��	�ê������
������
). Porém, �(�, �)	é o vetor que 
caracteriza a densidade de taxa líquida com que os nêutrons passam em uma dada direção através 
de uma superfície orientada (Figura 8.6), enquanto �(�, �) caracteriza a densidade taxa total com 
que os nêutrons passam através da superfície do elemento de volume ���. 
 
Perceba que a Equação (8.13) representa o número de nêutrons que passam através de superfície 
orientada por unidade tempo, ou seja, a taxa líquida com qual os nêutrons fluem através da 
superfície, �36, o que coincide justamente a definição de fluxo usualmente empregada na Física. 
� ≡ � �(�, �)
�
∙ ��	.																																																																																																																															(8.13) 
 
Note ainda que os nêutrons cuja velocidade faz um ângulo agudo com vetor normal a superfície 
são contados positivamente �Ω� ∙ �� > 0�, e os nêutrons cuja velocidade faz um ângulo obtuso com 
vetor normal a superfície são contados negativamente �Ω� ∙ �� < 0�, conforme ilustrado pela Figura 
8.6. Consequentemente podemos definir as correntes parciais de nêutrons para �Ω� ∙ �� > 0�	e 
�Ω� ∙ �� < 0�	a partir da interpretação física apresentada, como sendo: 
 
36 Se estivermos tratando de uma superfície fechada a Equação (8.13) representa a fuga de nêutrons de um volume V através de sua 
superfície S. 
 
��(�, �) ≡ � � ���, �, Ω�, �� ∙ ��	�Ω�
��∙����
�
�
��	; 																																																																																				(8.14) 
��(�, �) ≡ � � ���, �, Ω�, �� ∙ ��	�Ω�
��∙����
�
�
��	.																																																																																					(8.15) 
 
Consequentemente podemos escrever que: 
�(�, �) ∙ �� ≡ ���(�, �) − ��(�, �)�	.																																																																																																				(816) 
 
 
Figura 8.6 – Representação da corrente líquida de nêutrons 
 
Fica evidente que podemos escrever cada uma das componentes do vetor � como sendo a 
composição das correntes de saída e entrada, para cada uma das direções do espaço em 
coordenadas cartesianas: 
�(�, �) ∙ �̂� = ��(�, �) ≡ ���
�(�, �) − ��
�(�, �)�	;																																																																														(817) 
�(�, �) ∙ �̂� = ��(�, �) ≡ ���
�(�, �) − ��
�(�, �)�	; 																																																																												(818) 
�(�, �) ∙ �̂� = ��(�, �) ≡ ���
�(�, �) − ��
�(�, �)�	.																																																																																(819) 
 
De maneira análoga podemos representar o vetor � em função das correntes parciais de nêutrons 
de saída e entrada, como sendo: 
�(�, �) ≡ � ���
�(�, �) − ��
�(�, �)�
���,�,�
�̂�.																																																																																									(8.20) 
 
De acordo com a nossa definição, nós estamos admitindo que as correntes parciais de nêutrons 
��
�(�, �)	e ��
�(�, �)	são grandezas físicas sempre positivas. Contudo, alguns autores preferem usar 
 
uma corrente negativa para regiões em Ω� ∙ �� < 0, de modo que neste caso a corrente líquida é 
obtida pela soma entre as correntes parciais positivas e negativas. 
 
Exemplo 8.1: Determine a densidade de taxa líquida dos nêutrons que passam através da 
superfície orientada na direção positiva do eixo y, Figura 8.7. (Admita que os nêutrons sejam 
monoenergéticos) 
 
 
Figura 8.7 – Superfície orientada na direção positiva de y. 
 
Para realizarmos o cálculo devemos empregar a definição dada pela Equação (8.14), ignorando a 
dependência energética, já que todos os nêutrons têm a mesma energia. Sendo assim, podemos 
escrever que: 
��(�, �) = � ���, �, Ω�, �� ∙ ��	�Ω�
��∙����
= � ���, �, Ω�, ��	Ω� ∙ e��	�Ω�
��∙����
	 
 
Note que: 
Ω� ∙ e�� = ����(�)���(�)e�� + ���(�)���(�)e�� + ���(�)e��� ∙ e�� = ���(�)���(�). 
 
Consequentemente, 
��
�(�, �) = � ���, �, Ω�, ��	Ω� ∙ e��	�Ω�
��∙����
= �����, �, Ω�, ��Ω� ∙ e��	���(�)����
�
�
�
�
	 
��
�(�, �) = �����, �, �, ������(�)���(�)����
�
�
.
�
�
																																																																				(8.19) 
 
Todavia, se quisermos determinar a densidade de taxa líquida dos nêutrons que passam através 
da superfície orientada na direção negativa do eixo y, basta trocarmos o domínio da variável 
 
azimutal (� ≤ � ≤ 2�) e a orientação do vetor normal a superfície �−	e���, de modo que 
obtermos a seguinte expressão: 
��
�(�, �) = −� ����, �, Ω�, ������(�)���(�)����
�
�
.
��
�
																																																															(8.20) 
 
Se admitirmos que o fluxo angular de nêutrons é isotrópico37, ou seja, não depende de Ω�, podemos 
resolver as integrais das Equações (8.19) e (8.20), de forma que podemos escrever que: 
��
�(�, �) = ���, �, �, ��� ���(�)��� ����(�)��
�
�
. = 2.
�
2
�
�
= ���, �, �, ���	 
 
��
�(�, �) = −���, �, Ω�, �� � ���(�)��� ����(�)��
�
�
= 2.
�
2
��
�
= ���, �, �, ���	 
 
Entretanto, a partir da definição de fluxo angular de nêutrons podemos escrever que: 
�(�, �) = ���, �, �, �� � ��
��
= ���, �, Ω�, ��	4�		 → 
���, �, �, �� =
�(�, �)
4�
	. 
Consequentemente temos que: 
 
��
�(�, �) = ��
�(�, �) =
�(�, �)
4
.	 
 
Sugerimos ao leitor que mostre que o mesmo resultado é preservado para as componentes � e �, 
o que consequentemente torna a corrente líquida igual ao vetor nulo, ou seja, �(�, �) = �. 
 
Outro ponto que merece ser ressaltado é o fato de que apesar do fluxo angular de nêutrons e a 
densidade de corrente angular serem relacionados de forma direta sem a necessidade de 
aproximações, ���, �, Ω�, �� ≡ Ω�	���, �, Ω�, ��, o mesmo não é possível para o caso da corrente 
líquida de nêutrons �(�, �)	e o fluxo de nêutrons �(�, �)38. Pois não existe nenhuma forma direta 
de correlacionar �(�, �)		e �(�, �)	sem lançarmos mão de aproximações, as quais discutiremos 
mais adiante em detalhes. Tal aproximação é ponto central da teoria da difusão de nêutrons. 
 
37 De modo geral o fluxo angular de nêutrons tem uma dependência direcional – particularmente se nós estamos próximos a fronteira 
entre duas ou mais regiões distintas e/ou próximo a fontes de nêutrons. 
38 É importante que o leitor perceba que o fluxo de nêutrons é uma quantidade sempre positiva e maior que zero, ou seja, � ≥ 0. O 
que é totalmente consistente com a definição da Equação 8.6, uma vez que o fluxo angular de nêutrons é sempre maior que zero. 
 
 
8.2 – Obtenção da Equação de Transporte de Nêutrons 
Na última seção nós definimos 6 variáveis fundamentais para descrever o estado do nêutron,bem 
como a densidade angular de nêutrons, fluxo angular de nêutrons e densidade angular de nêutrons. 
A partir das variáveis de estado e das quantidades fundamentais já definidas, podemos obter uma 
equação exata para densidade angular de nêutrons por meio de um balanço entre os mecanismos 
de perda e ganho de nêutrons em um volume � arbitrário dentro do sistema. Essa equação é na 
verdade a forma linear da equação de transporte de Boltzmann empregada na teoria de transporte 
de nêutrons, a qual se constitui a base de todos os métodos determinísticos de cálculo do transporte 
de nêutrons, incluindo a teoria da difusão, que é frequentemente utilizada pelos códigos para 
simular projetos de reatores nucleares de potência. Entretanto, a equação de transporte de 
Boltzmann voltada para a o transporte de nêutrons, baseia-se nas seguintes hipóteses 
fundamentais: 
 
I. Os nêutrons podem ser tratados como partículas independentes, viajando em linha reta 
entre colisões; 
 
II. A interação nêutron-nêutron pode ser ignorada (pois a densidade de nêutrons 
(~	10��	��������/���) não é significativa em comparação com a densidade dos núcleos 
alvos (~	10��	��������/���); 
 
 
III. A ação de forças externas como a gravidade foram ignoradas, devido à massa muito baixa 
do nêutron e sua meia vida pequena em comparação as demais partícula do sistema. 
 
Para um volume arbitrário dentro do sistema podemos escrever que o número total de nêutrons 
com energia entre � e � + �� na direção Ω� dentro do ângulo sólido �Ω�, é dado por: 
�º	��	�ê������ = �� ���, �, Ω�, ��	���
�
�����	.																																															(8.21) 
 
Entretanto, podemos escrever que taxa variação temporal da população de nêutrons dentro volume 
de controle �, obedece a uma equação balanço da seguinte forma: 
�
��
�� ���, �, �, ��	���
�
����Ω� = ���ℎ��	��	� − ������	��	�																		(8.22) 
 
 
Se supusermos que o volume arbitrário � é independe do tempo podemos passar o operador 
derivada parcial para dentro do integrando, de modo que: 
��
�
��
���, �, �, ��	���
�
����Ω� = ���ℎ��	��	� − ������	��	�																		(8.23) 
 
O próximo passo é classificarmos de maneira qualitativa as contribuições relativas aos ganhos e 
perdas de nêutrons no volume arbitrário �, apenas os nêutrons com energia entre �	e � + ��	na 
direção Ω�	dentro ângulo sólido �Ω�. 
 
Mecanismos de ganhos de nêutrons: 
Contribuição I - Quaisquer nêutrons/seg emitidos com energia entre �	e � + ��	na direção 
Ω�	dentro ângulo sólido �Ω�; 
 
Contribuição II - Nêutrons com energia entre �	e � + ��		na faixa ��	na direção Ω�	dentro 
ângulo sólido �Ω� que fluem para dentro de �; 
 
Contribuição III - Nêutrons com energia �′ na direção Ω��que sofrem espalhamento dentro 
do �, e trocam sua energia �′ para � e sua direção Ω��	para Ω�, dentro da faixa de energia �� 
no ângulo sólido �Ω�. 
 
Mecanismos de perda de nêutrons: 
Contribuição IV - Nêutrons com energia entre �	e � + ��	na faixa ��	na direção Ω�	dentro 
ângulo sólido �Ω� que fluem para fora de �; 
 
Contribuição V - Toda e qualquer reação de espalhamento e/ou absorção que remove 
nêutrons com energia � e direção Ω�	 dentro do ângulo sólido �Ω�, uma vez que estamos 
acompanhando nêutrons em � com essa energia e direção específica. 
 
O leitor deve observar que é possível expressarmos cada uma destas contribuições anteriores, de 
forma quantitativa por meio de grandezas físicas. Contudo, vamos construir as representações 
físicas das contribuições citadas, partindo das mais simples para as mais complexas. 
 
Perceba que a contribuição de quaisquer nêutrons/seg emitidos com energia entre �	e � + ��	na 
direção Ω�	dentro ângulo sólido �Ω� pode ser obtida a partir do termo de fonte, ���, �, Ω�, �� 
(
�º	��	�ê������
���.��.��������������	.���
), que representa os nêutrons oriundos de uma fonte externa e/ou os 
 
oriundos da fissão nuclear. Portanto, a quantidade ���, �, Ω�, �����	��	��� , representa a taxa de 
nêutrons no elemento de volume ���	em entorno do ponto �, com energia entre � e � +dE, 
viajando na direção Ω�		dentro do ângulo sólido ���. Consequentemente temos que a contribuição 
I é dada por: 
�� ���, �, �, ��	���
�
�����	.																																																																																																												(8.24) 
 
Já a contribuição devida ao espalhamento e/ou absorção que remove nêutrons com energia � e 
direção Ω�	 do estado de interesse, pode ser obtida a partir da densidade de taxa de reação total, 
�(�, �)���, �, �, �� (
�º	��	�ê������
���.��.��������������	.���
). Deste modo, podemos quantificar a 
contribuição V como: 
�� �(�, �)���, �, �, ��	�
��
�
�����																																																																																													(8.25) 
 
Note que a probabilidade de um nêutron de energia �′ e direção Ω��	mudar para uma energia � e 
direção Ω�	ao ser espalhado, é justamente representada pela seção de choque espalhamento 
duplamente diferencial ���, �
� → �, Ω�� 	→ 	Ω��. Sendo assim, a taxa com que os nêutrons são 
espalhados é dada por: 
�� ���, �
� → �, Ω�� 	→ 	Ω�����, �, Ω�, ��	���
�
�����		.																																																														(8.26) 
 
Entretanto, para obtermos a contribuição III precisamos considerar os nêutrons com quaisquer 
energias ��	e direção Ω��, de modo que: 
�� ���
�
� ���
��
� ���, �
� → �, Ω�� 	→ 	Ω�����, �, Ω�, ��	���
�
�
�����		.																																			(8.27) 
 
O leitor atento deve ter observado que as contribuições II e IV são complementares, de modo 
que a taxa de nêutrons é justamente representada pela diferença entre os nêutrons que saem e 
entram, ou seja, a diferença entre a contribuição IV e I, é fisicamente a taxa líquida com a qual 
os nêutrons de energia � e direção Ω� fluem para fora de � através da superfície � e 
matematicamente representada por: 
�� ���, �, �, ��
�
∙ ��	����Ω�		.																																																																																																									(8.28) 
 
 
Observe que diferentemente das demais contribuições que são integrais sob o volume �, a 
Equação (8.28) é a única contribuição cuja integral é sob a superfície �. Portanto, precisamos 
compatibilizar a Equação (8.28) com as equações relativas as demais contribuições. Para tanto, 
podemos lançar mão do teorema da divergência de Gauss, de modo que podemos escrever que: 
�� ���, �, �, ��
�
∙ ��	����Ω� = �� � ∙ ���, �, Ω�, ��
�
∙ ���	� ���Ω�	.																																						(8.29) 
 
Logo taxa de variação temporal da população de nêutrons dentro volume de controle �, pode ser 
representada em termos de todas as contribuições, como sendo: 
��
�
��
���, �,�, ��	���
�
����Ω� = � + ��� − (�� − ��) − 	�		.																																																		(8.30) 
 
Consequentemente, o lado direito da equação (8.30) pode ser representado matematicamente por 
integrais no volume � usando as Equações (8.24), (8.25), (8.27) e (8.29), de modo que: 
��
�
��
���, �, �, ��	���
�
����� = �� ���, �, �, ��	���
�
����� +	 
�� ���
�
� ���
��
� ���, �
� → �, Ω�� 	→ 	Ω�����, �, Ω��, ��	���
�
�
����Ω� − 
�� �(�, �)���, �, �, ��	�
��
�
����Ω� − �� � ∙ ���, �, Ω�, ��
�
∙ ���	����Ω�	. 
 
Para melhor analisarmos a equação acima cabe reescrevê-la, a partir das seguintes definição: 
���, �, Ω�, �� ≡
1
�
�
��
���, �, Ω�, �� + � ∙ ���, �, Ω�, �� + Σ�(�, �)���, �, Ω�, �� − 
− � �Ω��
��
� ���, �
� → �, Ω�� 	→ 	Ω�����, �, Ω��, ��	���
�
�
− ���, �, Ω�, �� 
onde, 
�
��
���, �, �, �� =
1
�
�
��
���, �, �, ��. 
Logo temos que: 
�� ���, �, �, ��	���
�
����� = 0	.																																																																																																			(8.31) 
 
 
Como o volume da integral da Equação (8.31) é arbitrário, logo a única forma de que a identidade 
seja preservada, é que ���, �, Ω�, ��seja igual a zero, ou seja, 
1
�
�
��
���, �, Ω�, �� + � ∙ ���, �, Ω�, �� + Σ�(�, �)���, �, Ω�, �� − 
−� ���
�
� ���
��
� ���, �
� → �, Ω�� 	→ 	Ω�����, �, Ω��, ��	���
�
�
− ���, �, Ω�, �� = 0	. 
 
Consequentemente, 
1
�
�
��
���, �, Ω�, �� + � ∙ ���, �, Ω�, �� + Σ�(�, �)���, �, Ω�, �� = 
� ���
��
� ���, �
� → �, Ω�� 	→ 	Ω�����, �, Ω��, ��	���
�
�
+ ���, �, �, ��	,																																							(8.32) 
 
sendo o termo de fonte dado por: 
���, �, �, �� = ����, �, �, �� + ������, �, �, ��, 
 
sendo, ������, �, Ω�, ��	a fonte externa de nêutrons e ����, �, Ω�, ��	a fonte de fissão, representada 
por: 
����, �, Ω�, �� ≡
�(�)
4�
� ���
��
� ν	Σ�(�, �
�)���, ��, ��, ��	���
�
�
.																																																	(8.33) 
 
A equação de transporte de nêutrons, Equação (8.32), é a equação mais completa do ponto de 
vista físico e matemático na teoria de transporte de nêutrons, pois por meio desta equação 
podemos descrever e prever de forma “exata” o comportamento temporal da população de 
nêutrons dentro do reator. 
 
8.3 – Aproximação da Difusão 
Apesar da equação de transporte de nêutrons ser a forma mais “exata” de prevermos o 
comportamento temporal da população de nêutrons dentro do reator, a dificuldade numérica e o 
custo computacional tornam inviáveis sua aplicação para simulações diárias em reatores de 
potência. Contudo, se admitirmos que os nêutrons dentro do núcleo do reator se comportam de 
maneira difusiva, ou seja, os nêutrons migram de regiões de maior densidade para regiões 
menores densidades, tal como ocorre com na teoria cinética dos gases, de modo que muitos das 
hipóteses desta teoria podem ser aplicadas para prever o comportamento dos nêutrons em reatores 
térmicos. Portanto, a aproximação da difusão é a pedra fundamental que usamos para aproximar 
 
da equação de transporte de neutros na equação da difusão de nêutrons, além de ser uma 
aproximação amplamente utilizada para fornecer as primeiras estimativas das propriedades de 
reatores térmicos, foi também utilizada no projeto da maioria dos primeiros reatores térmicos na 
década de 50. 
 
Ao admitirmos que os nêutrons estão sujeitos a processos difusivos, estamos na verdade 
pressupondo que os nêutrons se movem aletoriamente, de modo que o fluxo angular de nêutrons 
depende fracamente da direção e o espalhamento elástico potencial depende apenas do ângulo de 
espalhamento da interação nêutron-núcleo. Sendo assim, é como se o fluxo angular de nêutrons 
fosse fracamente anisotrópico, ou seja, quase isotrópico, de modo que podemos admitir que o 
fluxo de nêutrons �(�, �, �) é uma quantidade bem representativa de como os nêutrons se 
distribuem espacialmente ao longo do tempo no núcleo do reator. Portanto, vamos iniciar o nosso 
processo de obtenção da equação da difusão, a partir da integração da Equação (8.32) sob o ângulo 
sólido, tal que: 
 
1
�
�
��
� �Ω�
��
���, �, �, ��
�������������
�
+ � ∙ � �Ω�
��
���, �, �, ��
�������������
�
+ Σ�(�, �) � �Ω�
��
���, �, �, ��
�������������
�
= 
� �Ω�
��
� ���
��
� ���, �
� → �, Ω�� 	→ 	Ω�����, �, Ω��, ��	���
�
��������������������������������������
�
+ � �Ω�
��
���, �, �, ��
�������������
�
	 
 
Observe na equação acima que as integrais 1 e 3 são por definição o fluxo de nêutrons	�(�, �, �) 
e a integral 5 por similaridade a definição de fluxo de nêutrons, Equação (8.6), conduzir ao 
seguinte resultado: 
�(�, �, �) ≡ � �Ω�
��
���, �, �, ��	.																																																																																																								(8.34) 
sendo, 
����(�, �, �) = � ��
��
������, �, �, ��,																																																																																													(8.35) 
e 
��(�, �, �) ≡
�(�)
4�
� ν	Σ�(�, �
�)	���
�
�
� ������, ��, ��, ��
���������������
�(�,��,�)
� �Ω�
�����
��
.				→ 
 
��(�, �, �) ≡
�(�)
4�
� ν	Σ�(�, �
�)	�(�, ��, �)���
�
�
.																																																																										(8.36) 
 
A integral 2 conduz a definição de densidade de corrente de nêutrons, Equação, de modo que 
podemos escrever que: 
� ∙ � �Ω�
��
���, �, Ω�, �� = � ∙ �(�, �, �)	.																																																																																												(8.37) 
 
Entretanto, para resolvermos a integral 4 podemos supor que durante o processo de espalhamento 
potencial por núcleos estacionários, os nêutrons emergem de forma quase isotrópica após a 
colisão, ou seja, sem direção preferencial. De modo que podemos simplificar a seção de choque 
de espalhamento elástico duplamente diferencial como sendo: 
Σ��E → E
�, Ω�′ → Ω�� ≅ Σ��E → E
�, Ω�′ ∙ Ω��.																																																																																				(8.38)	 
 
Consequentemente podemos escrever que a integral da Equação (8.37) sob o ângulo sólido dΩ� é 
dada por: 
 
� ���, �
� → �, Ω�� 	→ 	Ω���Ω�
��
= � ���, �
� → �, Ω�′ ∙ Ω���Ω�
��
→ 
Σ�(�, �
� → �) ≡ � Σ���, �
� → �, Ω�′ ∙ Ω���Ω�
��
→ 
Σ�(�, �
� → �) = 2π � Σ�(�, �
� → �, 	��)���
��
��
.																																																																										(8.39)		 
sendo, 	�� ≡ Ω�′ ∙ Ω�		e ��� ≡ −���(�). 
 
Sendo assim, podemos aplicar a ideia da metodologia apresentada acima para calcularmos a 
integral 4, bastando apenas invertermos a ordem de integração entre 	Ω�	e	Ω� , 
� �Ω�
��
� ���
��
� ���, �
� → �, Ω�� 	→ 	Ω�����, �, Ω�, ��	���
�
�
→ 
� ���
��
� ��� � � �����, �
� → �, Ω�� 	→ 	Ω��
��
����, �, �, ��	
�
�
→ 
� ���
��
� ����(�, �
� → �)���, �, Ω�, ��	
�
�
→ 
 
� ����(�, �
� → �) � �Ω��
��
���, �, �, ��	
�
�
 
� ����(�, �
� → �)�(�, �, �)	
�
�
																																																																																																									(8.40) 
Após a integração da Equação (8.32) sob o ângulo sólido, obtemos finalmente a equação da 
continuidade de nêutrons: 
1
�
�
��
�(�, �, �) + � ∙ �(�, �, �) + Σ�(�, �)�(�, �, �) = 
� ����(�, �
� → �)�(�, �, �)	
�
�
+ �(�, �, �)	,																																																																																	(8.41) 
 
Até agora tudo tem se demonstrado bastante simples, mas infelizmente a Equação (8.41) não pode 
ser resolvida, pois como havíamos mencionado anteriormente não existe nenhuma relação direta 
entre o fluxo de nêutrons �(�, �, �) e densidade corrente de nêutrons �(�, �, �), de modo que a 
única forma de correlacionarmos as duas grandezas é por meio da aproximação da difusão, a qual 
considera o fluxo angular de nêutrons com fraca dependência angular39, de modo que podemos 
aproximar o fluxo angular de nêutrons por: 
���, �, Ω�, �� ≅
1
4�
�(�, �, �) +
3
4�
Ω� ∙ �(�, �, �).																																																																											(8.42) 
 
No entanto, a Equação (8.40) não pode ser resolvida mesmo com o uso da aproximação acima, 
pois de qualquer maneira teremos duas incógnitas para uma equação. Implica que necessitamos 
irremediavelmente obtermos uma equação para a densidade de corrente de nêutrons, o que é 
possível se multiplicarmos a Equação (8.32) por Ω�	e integrarmos sob o ângulo sólido �Ω�, de modo 
que: 
1
�
�
��
� �Ω�
��
����, �, �, ��
�������������
�
+ � ∙ � �Ω�
��
Ω� ∙ ���, �, Ω�, ��
���������������
�
+ 
Σ�(�, �) � �Ω�
��
����, �, �, ��
�������������
�
= � �Ω�
��
����, �, �, ��
�������������
�
+ 
� �Ω�
��
� ���
��
� ���, �
� → �, Ω�� 	→ 	Ω��Ω����, �, Ω��, ��	���
�
����������������������������������������
�
 
 
39 A aproximação de fraca dependência angular é também conhecia como aproximação P1, pois tal aproximação é originalmente 
obtida pela expansão do fluxo angular de nêutrons em harmônicos esféricos de primeira ordem. 
 
 
O leitor atento já percebeu que as integrais 1 e 3 são por definição a densidade de 
nêutrons	�(�, �, �) e a integral 4 por similaridade a definição de densidade de nêutrons,Equação 
(8.11), conduzir ao seguinte resultado: 
�(�, �, �) = � �Ω�
��
����, �, �, ��	.																																																																																																				(8.43) 
 
O termo 5 pode ser reescrito multiplicando-se por Ω�� ∙ Ω��, a fim de se obter a seguinte expressão: 
� �Ω�′� dE�
�
�
����	����, �
� → �, Ω�� 	→ 	Ω�	�Ω��� ∙ Ω�����, E�, Ω�′, t�.
����
																																			(8.44) 
 
A expressão acima é bastante complexa, contudo, por simplicidade podemos analisar apenas a 
componente �, na integral sobre Ω�′, 
� ��	����, �
� → �, Ω�′ ∙ Ω�. �Ω�
�
��
= 		
1
3
� ��	��������, �
� → �, Ω�′ ∙ Ω�	�
��
=		 
2�
3
� ���	���(�, �
� → �, ��	)
��
��
≡ 		
1
3
		��(�, �
� → �	).																																																													(8.45) 
 
Realizando o mesmo procedimento paras as componentes �	�	�, obteremos a seguinte expressão: 
��(�, �
� → �	) = 2� � ���	��Σ�(�, �
� → �, ��	)
��
��
	.																																																																		(8.46) 
 
Contudo, o termo de espalhamento diferencial pode ser escrito como sendo: ��(	�, �
� → �	) ≅
Σ�(�, �
� → �	)�(	��	), de modo que: 
��(�, �
� → �	) ≅ Σ�(�, �
� → �	)2� � ���	���(	��	)
��
��
	.																																																												(8.47) 
Observe que a integral da Equação (8.47) representa o valor médio do ângulo de espalhamento, 
ou seja, 
	�̅� = 2� � ���	���(	��	)
��
��
	.																																																																																																														(8.48) 
 
Se aproximarmos ��(�, �
� → �	)	por Σ��(	�, �
� → �	) ≅ 	�̅�Σ�(�, �	)�(	�
� → �	) a Equação 
(8.44) admite o seguinte resultado: 
 
� �Ω�′� ���
�
�
����	����, �
� → �, Ω�′ ∙ Ω�	�Ω��� ∙ Ω�����, ��, Ω�′, �� →
����
	 
� ���
�
�
��(�, �
� → �	) � �Ω��Ω�����, ��, Ω�′, ��
��
= � ���
�
�
��(�, �
� → �	)�(�, ��, �) 
� ���
�
�
��(�, �
� → �	)�(�, ��, �) = 	�̅�Σ�(�, �	)� ��
�
�
�
�(	�� → �	)�(�, ��, �) → 
	�̅�Σ�(�, �	)� ��
�
�
�
�(	�� → �	)�(�, ��, �) = 	 	�̅�	Σ�(�, �	)�(�, �, �).																																									(8.49) 
 
Note que para o caso em que o espalhamento elástico potencial é isotrópico no referencial do 
centro de massa, teremos que �(	��) = sin(�)��, e consequentemente	�̅�	é equivalente ao 
cos(�)���������	,	 de modo que: 
	�̅� =
2
3�
	.																																																																																																																																														(8.50) 
 
Todavia, para resolvermos a integral 2 devemos empregar a aproximação de fraca dependência, 
Equação (8.42), de modo que podemos escrever que: 
� ∙ � Ω� ∙ Ω�	���, �, Ω�, ���Ω�
��
≅ � ∙ � Ω� ∙ Ω� 	�
1
4�
�(�, �, �) +
3
4�
�(�, �, �) ∙ Ω���Ω�
��
	 
 
 
� ∙ � Ω� ∙ Ω�	���, �, ��, ���Ω�
��
≅
1
4�
� ∙ �(�, �, �) � Ω� ∙ Ω�	�Ω�
��
+ 
3
4�
� ∙ �(�, �, �) � Ω� ∙ �Ω� ∙ Ω��	�Ω�
��
≅
1
3
� ∙ �(�, �, �)40.																																																																(8.51) 
 
 
Após a multiplicação da Equação (8.32) por Ω�	e integração sob o ângulo sólido, obtemos 
finalmente a seguinte equação: 
1
�
�
��
�(�, �, �) +
1
3
� ∙ �(�, �, �) + Σ�(�, �)�(�, �, �) = 	�̅�	Σ�(�, �	)�(�, �, �) + 
�(�, �, �). 
 
 
40 A demonstração deste resultado vai requer do leito um pequeno esforço de álgebra vetorial. 
 
 
Note que é bastante razoável supormos que os nêutrons emitidos tanto pela fonte externa de 
nêutrons quanto os oriundos da fissão são isotrópicos, o que torna o termo �(�, �, �)	igual ao vetor 
nulo, assim como no casso da corrente líquida de nêutrons, de forma que a equação acima fica 
escrita como: 
1
�
�
��
�(�, �, �) +
1
3
� ∙ �(�, �, �) + �Σ�(�, �) − 	�̅�	Σ�(�, �	)��(�, �, �) = 0.																											(8.52) 
 
De modo geral podemos admitir nos reatores térmicos que a variação temporal da densidade de 
corrente de nêutrons 
�
��
�(�, �, �) varia muito mais lentamente que frequência de interação total 
nêutron-núcleo �Σ�(�, �), ou seja, 
1
�
�
��
�(�, �, �) ≪ 	�Σ�(�, �).																																																																																																																(8.53) 
 
Portanto, desprezando-se o primeiro termo da Equação (8.52) com respeito aos demais, obtemos 
finalmente a seguinte equação: 
�(�, �, �) ≅ −
1
3�Σ�(�, �) − 	�̅�	Σ�(�, �	)�
	� ∙ �(�, �, �)	.																																																											(8.54) 
 
Se lançamos mão de algumas definições podemos reescrever a Equação (8.54) em uma forma 
mais compacta e bem mais familiar ao leitor, de modo a definirmos a seção de choque de 
transporte como sendo: 
Σ��(�, �) ≡
1
3�Σ�(�, �) − 	�̅�	Σ�(�, �	)�
,																																																																																								(8.55) 
 
e coeficiente de difusão do meio como: 
�(�, �) ≡
1
3��(�, �)
.																																																																																																																									(8.56) 
 
Sendo assim, a Equação (8.54) assume a seguinte forma: 
�(�, �, �) ≅ −�(�, �)	� ∙ �(�, �, �)	.																																																																																																(8.57) 
 
O leitor atento já deve ter sacado que a forma da Equação (8.57) é bastante conhecia em diversos 
campos da física, como por exemplo, na condução de calor que relaciona a variação espacial da 
temperatura com o fluxo de calor. Esse tipo de equação é frequentemente denominado de lei de 
Fick41, ou aproximação da difusão. Em nosso caso específico significa fisicamente que uma 
 
41 A primeira interpretação correta do processo de difusão molecular foi feita por um químico alemão com o nome de Adolf Fick em 
1855. Naquele mesmo ano, Fick introduziu a Lei de Difusão de Fick, que governava a difusão de um gás através de uma membrana 
fluida. 
 
variação espacial do fluxo de nêutrons da origem a uma corrente de nêutrons que “flui” das regiões 
alta densidade para as regiões de mais baixa densidade. 
 
Note que o coeficiente de difusão é diretamente proporcional ao livre caminho médio de 
transporte, e que para o caso de em um meio altamente espalhador, ou seja, Σ�(�, �) ≫ Σ�(�, �), 
por exemplo: um material moderador, podemos aproximar o coeficiente de difusão por: 
�(�, �) ≅
1
3	Σ�(�, �	)(1 − 	�̅�)
,																																																																																																								(8.58) 
sendo 	�̅� = 2/3A. 
 
Perceba que neste caso quanto maior a seção de choque de espalhamento Σ�(�, �), menor é a 
distância percorrida pelo nêutron antes de ser espalhado, e consequentemente menor será o 
coeficiente de difusão �(�, �). Por outro lado, quanto menor a seção choque de espalhamento, 
maior é distância percorrida pelos nêutrons antes de serem espalhados, e maior será o coeficiente 
de difusão �(�, �), que é justamente o caso de meios gasosos, em que a densidade atômica é 
comparativamente menor do que as do meios sólidos, tornando o livre caminho médio de 
espalhamento maior e consequentemente facilitando o processo difusivo, o que ocorre quando os 
nêutrons estão espalhados em materiais gasosos e em condições que podem se aproximar de um 
vácuo parcial. Consequentemente, o coeficiente de difusão � pode ser interpretado como uma 
medida da resistência física que um material apresenta ao fluxo de nêutrons �. 
 
Na tabela 8.1 são mostrados diversos valores do coeficiente de difusão calculados a partir das 
Equações (8.56) e (8.58) para diferentes materiais, considerando os nêutrons de energia térmicas. 
 
Tabela 8.1 – Comparação do Cálculo do Coeficiente de Difusão 
Materiais �(��
��) �(��
��) �(��)� �(��)� �(��)� 
H 0,002 17.10-6 493,1 493,1 --------- 
H2O 3,450 2.10-7 0,096 0,096 0,160 
D2O 0,449 33.10-6 0,742 0,742 0,870 
Grafite 0,385 103.10-5 0,865 0,865 0,840 
U238 0,397 0,367 1,310 0,840 1,312 
UO2 0,372 0,169 0,620 0,896 --------- 
a- Equação (8.56); b- Equação (8.58) e c- Experimentalmente 
 
A tabela8.1 mostra claramente que para meios altamente espalhadores que a Equação (8.58) se 
constitui uma boa aproximação para o cálculo do coeficiente de difusão, obtendo um erro relativo 
de aproximadamente 3% com respeito ao dado experimental no caso do grafite, no entanto, para 
 
núcleos pesados como no caso U238, a aproximação torna-se bastante dispara, chegando a um 
erro relativo percentual de aproximadamente 36% com respeito ao valor medido 
experimentalmente, ao contrário da Equação (8.56) que apresenta erros relativos percentuais de 
aproximadamente 0,7% com respeito ao valor medido. 
 
Retornando ao desenvolvimento, substituindo a lei de Fick, Equação (8.57), na equação da 
continuidade de nêutrons, Equação (8.41), obtemos finalmente a equação da difusão de nêutrons 
 
1
�
�
��
�(�, �, �) − � ∙ �(�, �)	� ∙ �(�, �, �) + Σ�(�, �)�(�, �, �) = 
� ����(�, �
� → �)�(�, ��, �)	
�
�
+ �(�, �, �)	,																																																																																(8.59) 
 
sendo �(�, �, �) ≡ ����(�, �, �) + ��(�, �, �), ����(�, �, �)	é a fonte externa de nêutrons e 
��(�, �, �) é a fonte de fissão, que é dada por: 
��(�, �, �) ≡ �(�)� ν	Σ�(�, �
�)�(�, ��, �)	���
�
�
.																																																																									(8.60) 
 
A aproximação mais forte que fizemos durante a obtenção da equação da difusão de nêutrons foi 
a aproximação de fraca dependência angular, Equação (8.42), que deu origem a lei de Fick para 
difusão de nêutrons. Consequentemente, as limitações da teoria da difusão de nêutrons estão 
associadas as próprias limitações da lei de Fick, e inerentemente a hipótese de fraca dependência 
angular de ���, �, Ω�, ��, por exemplo: em regiões altamente heterogêneas a corrente de nêutrons 
pode não estar mais relacionada ao gradiente do fluxo nêutrons �(�, �, �), em outras palavras, o 
fluxo pode adquirir uma forte dependência da variável angular Ω�, o mesmo fenômeno ocorre 
próximo das regiões de fronteiras, regiões altamente absorvedoras e de fontes de nêutrons; quando 
isso acontece, a aproximação da lei de Fick não é mais válida, e portanto, não é mais possível 
usarmos a teoria da difusão nêutrons nestas circunstâncias, logo nestes casos devemos lançar 
mão da teoria de transporte de nêutrons. Todavia, o leitor curioso já deve ter se perguntado, o que 
vem a ser próximo? Portanto, perceba que o fluxo de nêutrons através de um meio material 
qualquer é determinado pelo livre caminho médio de transporte em relação às estruturas físicas 
ao seu redor (lei de Fick). Se 	λ�� torna-se muito pequeno em relação estruturas físicas ao seu 
redor, então essa estrutura física afetará tanto a distribuição angular dos nêutrons quanto a maneira 
como eles se espalham dentro do reator. Acontece que essa distância é aproximadamente 
de	3λ��	para um típico nêutron. Portanto, devemos manter essa distância de uma fonte de 
nêutrons, ou de uma região altamente absorvedora de nêutrons (veneno de queimável ou barras 
 
de controles) ou ainda na regiões de fronteiras em que ocorra uma drástica mudança da densidade 
material (como a transição de combustível para moderador) para que a Lei de Fick forneça 
resultados aceitáveis, ou seja, se ultrapassarmos o limite de	3λ��, a Lei de Fick não é exata o 
suficiente para prever uma correta distribuição espacial do fluxo de nêutrons, bem como o cálculo 
das taxas de reações. Entretanto, até certo ponto, este problema pode ser corrigido usando-se 
técnicas de homogeneização espacial. 
 
8.4 – Equação da Difusão Monoenergética 
Nesta seção vamos simplificar o modelo da difusão para caso monoenergético (um grupo), ou 
seja, vamos admitir que todos os nêutrons dentro do núcleo do reator têm a mesma energia, é 
obvio que essa hipótese e um tanto absurda, pois vimos que os nêutrons podem assumir energias 
da ordem de 103 eV até 107 eV, e que as seções choque também dependem sensivelmente da 
energia cinética do nêutron. No entanto, o modelo proposto desempenha um papel didático 
bastante importante na teoria de reatores, pois trata-se de um modelo matematicamente simples 
que nos ajudará a entender os conceitos fundamentais da análise de reator. Além disso, o estudo 
do caso monoenergético se justifica até mesmo no caso da teoria da difusão dependente da energia 
(difusão multigrupo), uma vez que podemos aproximar a energia contínua por uma sequência 
sucessiva de grupos de energias constante, cuja equações são monoenergéticas e acopladas umas 
às outras. Portanto, o estudo da equação da difusão a um grupo de energia (monoenergético) não 
é vã, pois por meio deste modelo somos capazes de introduzirmos de forma intuitiva os conceitos 
relativos à geometria e massa crítica, que estão relacionados a fuga de nêutrons e a condição de 
criticalidade. 
 
A equação da difusão monoenergética pode ser obtida a partir da integração direta da equação 
(8.59) no espectro de energia do nêutron, de modo que: 
1
�
�
��
� ���(�, �, �)	
�
�
−� ��	
�
�
� ∙ �(�, �)	� ∙ �(�, �, �) + � ��	
�
�
Σ�(�, �)�(�, �, �) 
= � ��	
�
�
� ����(�, �
� → �)�(�, ��, �)	
�
�
+ � ��	
�
�
�(�, �, �)	.																																																			(8.59) 
 
O leitor deve-se recordar que: 
�(�, �) ≡ � ���(�, �, �)
�
�
;																																																																																																																	(8.60) 
Σ�(�, �) ≡ � ��Σ�(�, �
� → �)	
�
�
;																																																																																																					(8.61) 
 
�(�, �) ≡ � ��	
�
�
�(�, �, �).																																																																																																																		(8.62) 
 
Consequentemente, com uma simples mudança de variáveis de �	para ��	e de ��	para �, a integral 
da taxa de espalhamento pode ser reescrita de duas formas distintas, a saber: 
� ���	
�
�
� ���(�, �
� → �)	
�
�
�(�, ��, �) = � ��	
�
�
� ����(�, �
� → �)�(�, �, �)	
�
�
 
� ��	
�
�
�� ����(�, �
� → �)	
�
�
��(�, �, �) = � ��	
�
�
Σ�(�, �)�(�, �, �)																																				(8.63) 
 
Usando as equações (8.60), (8.61), (8.62) e (8.63) podemos reescrever a Equação (8.59) como 
sendo: 
 
1
�
�
��
�(�, �) + � ∙ � ��	
�
�
�(�, �)	� ∙ �(�, �, �) + � ��	
�
�
Σ�(�, �)�(�, �, �) 
= �(�, �)	.																																																																																																																																												(8.64) 
 
Podemos definir parâmetros nucleares médios ponderados no fluxo de nêutrons, de modo que: 
Σ�(�) ≡ � ��	
�
�
�(�, �)�(�, �, �)/� ���(�, �, �)
�
�
	,																																																																		(8.65) 
e 
�(�) ≡ � ��	
�
�
�(�, �)	� ∙ �(�, �, �)/� ���(�, �, �)
�
�
.																																																															(8.66) 
 
Sendo assim, a equação da difusão de nêutrons monoenergética assume a seguinte forma: 
1
�
�
��
�(�, �) − � ∙ �(�)	� ∙ �(�, �) + Σ�(�)�(�, �) = �(�, �),																																																				(8.67) 
 
Sendo: �(�, �) = �(�)	�(�, �) + ����(�, �). 
 
O leitor curioso já deve ter se feito a seguinte pergunta: por que a equação acima não tem 
espalhamento? O que pode levar o leitor a acreditar que o resultado é inconsistente fisicamente, 
entretanto, na verdade o resultado alcançado para o caso da equação da difusão de nêutrons a uma 
velocidade (monoenergética) é bastante consistente fisicamente, uma vez que os núcleos alvos 
 
sejam considerados estacionários, pois neste caso qualquer colisão de espalhamento potencial 
modifica a energia do nêutron, logo como os nêutrons permanecem com suas energias constantes, 
implica que não há espalhamento elástico neste caso. 
 
Perceba ainda que para caso em que o meio é homogêneo e uniforme o termo � ∙ �(�, �)	� ∙
�(�, �), pode ser reescrito como sendo, �(�, �)	�� ∙ �(�, �), e consequentemente a Equação 
(8.68)admite a seguinte forma: 
1
�
�
��
�(�, �) − �	�� ∙ �(�, �) + Σ��(�, �) = νΣ�	�(�, �) + ����(�, �).																																				(8.68) 
 
Note que a equação da difusão monoenergética para meios homogêneos e uniformes é uma 
equação diferencial parcial de segunda ordem na variável espacial e de primeira ordem na variável 
temporal, de modo que equação admite uma condição inicial e duas condições de contorno. 
 
Condição Inicial: 
��(�) ≡ �(�, � = 0), ����	��������	����	�	�����	��	�. 
 
Já as condições de contorno são de forma geral relacionadas a natureza física do problema 
abordado e a sua geometria, no entanto, existem pelo menos três condições de contorno que 
surgem com frequência em diversos problemas de difusão de nêutrons, a saber: 
 
1ª – Condição de Contorno Física: Lembre-se que o fluxo nêutrons representa fisicamente a 
contagem de todos os nêutrons de energia � em todas as direções, que passam através da 
superfície do elemento de volume ��� por unidade tempo, ou seja, (
�º	��	�ê������
������
). Portanto, de 
um modo geral � é uma quantidade não negativa e finita (mensurável), isto e´, 0 ≤ � < ∞. 
 
2ª – Condição de Contorno do Tipo Vácuo: Se admitirmos que o reator se encontra imerso no 
vácuo, fisicamente implica que os nêutrons que escapam do sistema não mais retornam, pois não 
existe no meio partículas com a qual os nêutrons possam sofrer interações de espalhamento e 
retornar para o sistema. Sendo assim, equivale a admitirmos que a corrente parcial de entrada é 
nula, ou seja, ��
�(�, �) = 0. 
 
Para melhor exemplificar a aplicação desta condição de contorno do tipo vácuo vamos admitir 
um sistema unidimensional, conforme ilustrado pela Figura 8.8., 
 
 
 
Figura 8.8 - Reator Unidimensional Imerso no Vácuo 
 
Neste caso podemos escrever que: 
��
�(�, �) = � ���, Ω�, ��Ω� ∙ (−��)	�Ω�
��∙����
= 0.																																																																																	(8.69) 
 
Note que se usarmos a aproximação de fraca dependência angular, Equação (8.42), podemos 
reescrever a Equação (8.69) como sendo42, 
��
�(�, �) ≅
1
4
�(��) +
�
2
��(�)
��
�
����
= 0,																																																																																								(8.70) 
 
ou ainda, 
1
�(��)
��(�)
��
�
����
=
1
2�
.																																																																																																																				(8.71) 
 
Neste ponto, o leitor atento já deve ter percebido que o termo do lado esquerdo da Equação (8.71) 
é na verdade inversamente proporcional a uma distância extrapolada linearmente. Isso fica mais 
evidente na Figura 8.9, 
 
 
42 Encorajamos fortemente o leitor a demonstrar o resultado da Equação (8.70). 
 
 
Figura 8.9 - Reator Unidimensional Imerso no Vácuo 
 
Observe que a extrapolação linear do fluxo de nêutrons para zero conduz ao seguinte resultado, 
��(�) =
�(��)
�
	.																																																																																																													(8.72) 
 
Por outro lado, temos que: 
��(�) =
��(�)
��
�
����
=
�(��)
2�
.																																																																																		(8.73) 
 
Combinando as Equações (8.72) e (8.73) obtemos que a distância extrapolada na qual o fluxo de 
nêutrons vai a zero é dada por: 
� = 2�.																																																																																																																																																			(8.74) 
 
A hipótese de que o fluxo vá a zero a uma pequena distância � após a superfície do sistema é 
claramente contrária a física do problema43, pois existem nêutrons do lado de fora do sistema, e 
consequentemente o fluxo de nêutrons não será igual a zero. Todavia, a aproximação não passa 
de um artificio matemático conveniente que fornece uma maior precisão para estimativas do fluxo 
nêutrons dentro do sistema próximo a região de fronteira. 
 
Portanto, nos casos em que � é significativo, devemos estabelecer um limite matemático para o 
problema. Esse limite é chamado de distância extrapolada, e está localizado a uma distância � do 
limite físico real (Figura 8.9). Entretanto, na maioria dos meios difusivos o coeficiente de difusão 
é de aproximadamente 1�� ou até mesmo menor, e como consequência � é aproximadamente 
2��, sendo, portanto, as dimensões de um típico reator de potência muito maior que �, de modo 
que nestes caso a distância extrapolada pode ser completamente desprezada. 
 
43 O fluxo de nêutrons diferente de zero fora do sistema não tem significado físico na teoria da difusão nêutrons, uma vez que não 
existe um coeficiente de difusão do vácuo, no entanto, o fluxo de nêutrons na teoria dos transportes tem um significado físico, e no 
caso 1D pode-se mostrar que o fluxo de nêutrons na teoria de transporte é constante no vácuo. 
 
Essa condição de contorno é chamada de condição de contorno do tipo vácuo ou de fluxo nulo na 
fronteira do sistema, e representada por: 
�(� = ���) = 0,																																																																																																																																					(8.75) 
 
onde: ��� = �� + 2�. 
 
A condição de contorno de fluxo de nêutrons nulo na fronteira do sistema é uma alternativa a 
condição de contorno dada pela Equação (8.69), justamente para os casos em que o meio tem 
baixa densidade ou em regiões de fronteira onde existem poucos nêutrons reentrantes. 
 
3ª – Condição de Contorno de Interface: As condições de contorno em uma interface entre dois 
diferentes meios difusivos, como por exemplo: a interface entre o núcleo do reator e o refletor. 
Neste caso, em que dois meios distintos estão em contato, a teoria de difusão supõe que a 
componente da corrente líquida normal a superfície seja contínua na interface entre os dois meios 
(vide Figura 8.10), uma vez que os nêutrons atravessam a interface sem impedimentos. Portanto, 
a corrente de entrada em uma direção é igual à corrente de saída da outra, ou seja, corrente líquida 
de nêutrons é contínua, e, como consequência, o mesmo acontece com o fluxo de nêutrons. Assim 
sendo, uma interface entre os meios 1 e 2, deve ser satisfazer as seguintes relações: 
��(� = ��) = �
�(� = ��).																																																																																																																(8.76) 
e 
��
�(� = ��) = ��
�(� = ��)	��	��
�(� = ��) = ��
�(� = ��).																																																											(8.77) 
 
 
Figura 8.10 – Continuidade da Corrente de Nêutrons em 2 Meios Distintos 
 
Apesar do fluxo de nêutrons ser contínuo na interface entre dois meios distintos, todavia, sua 
deriva não é continua na interface, logo a corrente liquida de neutros obtida a partir da lei Fick 
não será contínua também na interface, vide Figura 8.11. 
 
 
 
Figura 8.10 – Continuidade da Corrente de Nêutrons em 2 Meios Distintos 
 
Outro caso que devemos considerar são quando as interfases entre dois meios distintos não são 
livres, Figura 8.11. 
 
 
Figura 8.11 – Continuidade da Corrente de Nêutrons em 2 Meios Descontínuos 
 
Mesmo neste caso o fluxo de nêutrons permanece contínuo, mas a corrente de nêutron não será 
mais contínua na interface, de modo que a diferença entre a corrente de entrada em uma direção 
e a corrente de saída da outra será dada por: 
��(� = ��) = �
�(� = ��).																																																																																										(8.77�) 
e 
��
�(� = ��) − ��
�(� = ��) = �	��	��
�(� = ��) − ��
�(� = ��) = �.																					(8.77�) 
 
No caso em que � > 0 temos uma fonte e no caso contrário um absorvedor. 
 
8.5 – Equação da Difusão Monoenergética para Meios Não Multiplicativos 
Dando continuidade ao nosso estudo da equação da difusão nêutrons monoenergética, vamos 
abordar o caso estacionário, ou seja, não dependente do tempo, em meios homogêneos e não 
multiplicativo e sujeitos a fonte externa de nêutrons.Sendo assim, a Equação (8.68) assume a 
seguinte forma: 
−�	�� ∙ �(�) + Σ��(�) = ����(�).																																																																																																	(8.78) 
 
Note o leitor que estamos diante de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem, 
que depende da simetria do problema e exige pelo menos duas condições de contorno. 
A simetria do problema atua diretamente com respeito ao operador laplaciano ��(∙), de modo que 
podemos escrever que: 
 
Tabela 8.2 – Operador Laplaciano 
Simetria ∇�(∙) 
Cartesiana 
��(∙) ≡
��
���
(∙)
�����
��
+
��
���
(∙) +
��
���
(∙) 
Cilíndrica 
��(∙) ≡
�
�
�
��
��
�
��
(∙)�
�����������
��
+
�
��
��
���
(∙) +
��
���
(∙) 
 
Esférica 
��(∙) ≡
�
��
�
��
���
�
��
(∙)�
�����������
��
+
�
������
�
��
�����
�
��
(∙)�
+
�
�������
��
���
(∙) 
 
Observe o leitor que a parte homogênea da Equação (8.78) pode ser reescrita como sendo: 
	�� ∙ �(�) −
1
��
�(�) = 0.																																																																																																																			(8.79) 
 
onde, � = �
�
��
 é por definição denominado de comprimento de difusão de nêutrons. A quantidade 
é uma medida de quanto os nêutrons se difundem de uma fonte de nêutrons até antes de serem 
absorvidos. 
 
A Equação (8.79) é também conhecia como equação de Helmholtz, pode ser escrita em sua forma 
geral, como sendo: 
�� ∙ �(�) + ���(�) = 0.																																																																																																																					(8.80) 
 
 A equação de Helmholtz em uma dimensão, como no caso acima, admite as seguintes soluções 
gerais a depender a geometria: 
 
 
 
Tabela 8.2 – Soluções Gerais da Equação de Helmholtz 1D 
Simetria �� < 0 �� > 0 
Cartesiana ���ℎ(��)	 
���ℎ(��) 
���(��)	 
���(��) 
Cilíndrica ��(��)	 
��(��) 
��(��)	 
��(��) 
 
Esférica 
���ℎ(��) �⁄ 	 
���ℎ(��) �⁄ 
���(��) �⁄ 	 
���(��) �⁄ 
 
Muito legal! Não é mesmo? O único problema é que só funciona para geometrias 
unidimensionais. Portanto, desculpa pessoal, mas se vocês tiverem problemas bidimensionais ou 
tridimensionais, terão que resolver equação diferencial. 
 
Após essas observações vamos voltar nossa atenção para alguns problemas modelos, 
relativamente importantes na teoria da difusão de nêutrons, ainda considerando o caso 
estacionário e meio não multiplicativo, homogêneo e uniforme. 
 
Exemplo 8.2: Determine o fluxo de nêutrons gerado por uma fonte pontual e isotrópica a uma 
distância qualquer �, emitindo ��	�ê������/���, conforme ilustrado pela Figura 8.12. Admita 
que a fonte pontual encontra imersa em um meio homogêneo e infinito. 
 
 
Figura 8.12 – Fonte Pontual e isotrópica de Nêutrons 
 
1º - Passo: Antes de qualquer coisa devemos representar a natureza da fonte pontual em termos 
matemático. Neste caso a Delta Dirac é ferramenta mais adequada para descreve o fato de a fonte 
ser pontual. 
����(�) = ��	�(� − ��).																																																																																																																						(8.81) 
 
 
Se admitir que a fonte esteja localizada no centro do sistema de coordenadas, podemos reescrever 
a equação da fonte como sendo: 
����(�) = ��	�(�).																																																																																																																															(8.82) 
 
Logo temos que: 
−��� ∙ �(�) + Σ��(�) = ��	�(�),																																																																																																		(8.83) 
 
onde, �(�) é definida como sendo: 
�(�) = �
0	����	� ≠ 0
∞	����	� = 0
.																																																																																																																						(8.84) 
 
Podemos destacar pelo menos duas propriedades fundamentais da função Delta Dirac, a sabe: 
� �(�)
�
�
��� = 1;																																																																																																																																			(8.85) 
 
� �(�)�(�)
�
�
��� = �(0).																																																																																																																					(8.86) 
 
2º - Passo: Devemos neste ponto impormos as condições de contorno do problema em questão. 
Note que uma das condições de contorno vem do fato de que a fonte se encontra imersa em um 
meio homogêneo e infinito. Portanto, podemos lançar mão neste caso da 1ª Condição de Contorno 
Geral, ou seja, 
I- 0 ≤ � < ∞,																																																																																																																										(8.87�) 
 
 
Figura 8.13 – Fonte Pontual e isotrópica de Nêutrons Envolvida por Uma Esfera de raio �. 
 
A outra condição de contorno é relativa à natureza pontual da fonte. Note que se supusermos que 
a fonte pontual se encontra envolvida por uma esfera de raio �, conforme ilustrado pela Figura 
8.13. Portanto, perceba que o número de nêutrons que passam através da superfície da esfera de 
raio �, Equação (8.13), será igual a �� quando � → 0, ou seja, 
 
II- lim
�→�
�4���	��(�)� = ��,																																																																																																							(8.87�) 
 
O resultado acima pode ser matematicamente demonstrado integrando-se a Equação (8.83) sob o 
volume ���	da esfera, e depois tomando-se o limite em que o raio � tende a azero44. 
 
Note bem o leitor que a Equação (8.83) não têm solução apenas quando � = 0, uma vez que o 
fluxo nêutrons diverge para infinito neste ponto. Logo só faz sentido resolvermos essa equação 
para � ≠ 0. Sendo assim, podemos reescrever a equação da seguinte forma: 
1
��
�
��
���
�
��
�(�)� −
1
��
�(�) = 0, ����	� > 0.																																																																	(8.88) 
 
Sujeitas as condições de contorno I e II: 
I- 0 ≤ � < ∞ 
II- lim
�→�
�4���	�(�)� = ��. 
 
É importante que o leitor observe que usamos o laplaciano em coordenadas esféricas, uma vez 
que este é o melhor sistema de coordenas para resolvermos o problema, porém nada impede do 
ponto de vista matemático, que aluno empregue outro sistema de coordenadas, se o sofrimento é 
uma opção desejável. 
A Equação (8.88) pode ser reescrita como sendo: 
��
���
�(�) −
1
��
�(�) = 0,					����	� > 0,																																																																																										(8.89) 
onde, �(�) ≡ ��(�). 
 
Por meio da mudança de variável obtemos finalmente a seguinte solução geral: 
�(�) = �����(−�/�) + �����(�/�).																																																																																											(8.90) 
 
Logo o fluxo de nêutrons é dado por: 
�(�) = �� ���(−�/�) �⁄ + �� ���(�/�) �⁄ .																																																																																(8.91) 
 
Observe que a condição de contorno I implica que o fluxo de nêutrons é uma quantidade 
mensurável quando � → ∞, logo a constante ��	deve ser zero, a fim de que a condição de 
contorno seja satisfeita. Sendo assim, temos que: 
�(�) = �� ���(−�/�) �⁄ .																																																																																																																		(8.92) 
 
44 Motivamos fortemente o leitor que tente mostrar de matematicamente a segunda condição de contorno. 
 
Aplicando-se a condição de contorno II obtemos que: 
�(�) ≅ −�
�
��
�(�) = ���[���(−�/�) �
�⁄ + ���(−�/�) ��⁄ ] → 
lim
�→�
(4����(�)) = 4���� lim
�→�
(���(−�/�) + � ���(−�/�) �⁄ ) = �� → 
�� =
��
4��
.																																																																																																																																														(8.93) 
 
Como consequência obtemos que o fluxo de nêutrons gerado por uma fonte pontual localizada na 
origem do sistema de coordenadas é dado por: 
�(�) =
��
4��
���(−�/�)
�
, ����	� > 0.																																																																																				(8.93) 
 
Perceba que o fluxo de nêutrons só évalido para � > 0, uma vez que a equação da difusão de 
nêutrons não é válida para � = 0, ou seja, muito próximo as fontes. 
 
Outra análise interessante que podemos fazer neste caso, é determinar a distância radial média 
percorrida pelo nêutron antes de ser absorvido. No entanto, cabe primeiramente determinarmos 
a probabilidade de que os nêutrons sejam absorvidos ao percorrem uma distância ��, ou seja, 
determinar a razão entre o número de nêutrons absorvidos em uma casaca esférica de volume 
infinitesimal (��� = 4�����), pelo número de nêutrons emitidos pela fonte pontual ��, isto é, 
�(�)�� =
���
��
	.																																																																																																																																			(8.94) 
 
Logo o número de nêutrons absorvidos em uma casaca esférica situada a uma distância � da fonte 
pontual de nêutrons ��, é dado por (vide Figura 8.14): 
 
 
Figura 8.14 – Número de nêutrons absorvidos em uma casca esférica de espessura ��. 
 
 
��� = ��(�)�
�� = �
��
4��
���(−�/�)
�
	4�����
�������������
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 
��� = �
��
�
���(−�/�)	���
���� ��⁄
�⎯⎯⎯⎯⎯���� =
��
��
���(−�/�)	���.																																												(8.95) 
 
Portanto a probabilidade de que um nêutron seja absorvido em uma casca esférica é, 
�(�)�� =
1
��
���(−�/�)	���	.																																																																																																										(8.96) 
 
Sendo assim, a distância radial média percorrida pelo nêutron antes que seja absorvido é dada 
por: 
�̅ = � ��(�)��
�
�
=
1
��
� ���(−�/�)	����
�
�
� ���(���)	����
�
�
�
�!
����
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� �̅ =
1
��
2!
�
1
��
���→	 
�̅ = 2�.																																																																																																																																																					(8.97) 
 
A Figura 8.15 ilustra o comportamento da função densidade de probabilidade em função da 
distância radial da fonte de nêutrons. 
 
Figura 8.15 – Comportamento da Função Densidade de Probabilidade �(�). 
 
O leitor com um olhar mais observador já deve ter percebido que a partir da análise do gráfico de 
�(�), podemos determinar a distância radial a partir da fonte onde a probabilidade de serem 
absorvidos é maior, isto é, a distância a partir da fonte onde um detector de nêutrons irá medir a 
maior taxa de absorção. 
 
Perceba pela Figura 8.15 que �(�) tem um valor máximo, que é justamente a distância radial mais 
provável percorrida pelos nêutrons até serem absorvidos, ou seja, 
 
�
��
�(�) = 0 → −
1
��
��� �−
�
�
� 	� +	
1
��
��� �−
�
�
� = 0 → 
��	������ = �.																																																																																																																																						(8.98) 
 
Como era de se esperar a distância radial mais provável percorrida pelo nêutron até que ele seja 
absorvido é dada pelo comprimento de difusão, ou seja, se quisermos medir a maior taxa de 
absorção de nêutrons devemos localizar os detectores de nêutrons a uma distância radial da fonte 
que é justamente o comprimento de difusão dos nêutrons. 
 
 
Figura 8.16 – A Probabilidade de Absorção dos Nêutrons 
em Diferentes Regiões Radiais. 
 
Além disso, uma análise cuidadosa do comportamento da função densidade de probabilidade, 
Figura 8.16, indica que a uma distância entre [0, �/4]	a probabilidade de detectarmos um nêutron 
é de aproximadamente 2,65%, já entre [�, 5�/4]	a probabilidade de detectarmos um nêutron é de 
aproximadamente 9,11% e entre [23�/4,6�]		a probabilidade de detectarmos um nêutron é de 
aproximadamente 0,41%, ou seja, a medida que nos afastamos da fonte pontual temos uma menor 
probabilidade de detectarmos nêutrons. 
 
A análise nos mostra também que quando estamos a uma distância de aproximadamente 6� da 
fonte pontual de nêutrons, tem-se que cerca de 98% dos nêutrons emitidos pela fonte são 
absorvidos, vide Figura 8.17. 
 
 
 
Figura 8.17 – A Probabilidade de Absorção dos Nêutrons entre [�, ��]. 
 
Toda essa análise nos mostra claramente que a probabilidade de um nêutron ser absorvido entre 
[0,∞]	é de 100%45. Todavia, é impossível posicionarmos um detector no infinito. Portanto, qual 
seria a distância radial fisicamente aceitável que nos aproximaria dos 100%? 
 
Observe o leitor que estamos viajando no campo da estatística, e essa última pergunta não é 
diferente. Note, portanto, que podemos determinar a dispersão entorno da distância média 
percorrida pelo nêutron, ou seja, a distância quadrática média percorrida pelo nêutron em linha 
reta é 
����� = � ���(�)��
�
�
=
1
��
� ��� �−
�
�
�	����
�
�
= 6��.																																																																	(8.99) 
 
O valor acima representa estatisticamente a dispersão entorno do valor médio �̅. Sendo assim, 
podemos admitir que distância radial fisicamente aceitável que nos aproximaria dos 100% deve 
ser no mínimo maior ou igual 6��. 
�[0,6��] = � �(�)��
���
�
=
1
��
� ���(−�/�)	���
���
�
= 1 −
1 + 6�
���
≅ 1.																									(8.100) 
 
Para o caso de um meio moderado a água com � = 2,4	��, temos que a segunda parcela 
acrescenta 0,01	em uma unidade, já para o caso do grafite acrescenta-se 10���	 em uma unidade, 
ou seja, uma distância radial de aproximadamente 6�� garante que 100% dos nêutrons serão 
absorvidos. Portanto, caso um dia você tenha que escolher uma distância segura de uma fonte 
 
45 Recomendamos ao leitor que demonstre este resultado matematicamente. 
 
pontual isotrópica, não precisará ir para infinito e além, basta afastar-se a uma distância de 6�� , 
para o caso em que o meio é água temos que a distância é de aproximadamente 6 cm, já para o 
caso em que o meio é o grafite temos que a distância é de aproximadamente 144 cm. 
 
O comprimento de difusão é uma medida da distância radial média entre o local onde os nêutrons 
são produzidos até onde são absorvidos, ou seja, é a distância em linha reta entre o ponto de 
emissão do nêutron até o ponto onde é absorvido. Essa distância não deve ser confundida com a 
distância média percorrida pelos nêutrons, isto é, o livre médio de absorção �����, que é geralmente 
muito maior que a distância medida em linha reta �, do que o resultado do movimento em 
ziguezague dos nêutrons Figura 8.18. Um claro exemplo é o caso do grafite, que tem um 
comprimento de difusão de aproximadamente 59 cm, mas o livre caminho médio de absorção é 
de aproximadamente 3700 cm, que é consideravelmente maior que o comprimento de difusão. 
 
 
Figura 8.18 – A |Distância em Ziguezague representa o Livre Caminho Médio de Absorção 
����� e a Distância em Linha Reta entre os dois Pontos é Representada pelo Comprimento de 
Difusão L. 
 
Na Tabela 8.3 são mostrados os valores típicos da densidade do material, seção de choque 
macroscópica de absorção, coeficiente de difusão e o comprimento de difusão para nêutrons 
térmicos, considerando meios moderados a água leve, a água pesada e a grafite. 
 
Tabela 8.3 – Dados Nucleares dos Principais Moderadores 
Moderador �(�/���) �(��) �(��) �(��) 
H2O 1,00 2,0*10-2 0,16 2,9 
D2O 1,10 2,9*10-5 0,87 170 
Grafite 1,60 2,4*10-4 0,84 59 
 
O leitor mais curioso já deve ter se perguntado, qual é o comportamento do fluxo de nêutrons de 
uma fonte pontual isotrópica imersa no vácuo? Se fizermos uma analogia com campo elétrico de 
uma fonte pontual, é de se esperar que o fluxo gerado por essa fonte nêutrons seja inversamente 
proporcional ao quadro da distância radial � da fonte. Perceba, que neste caso particular não 
haverá absorção espelhamento, uma vez que a fonte de nêutrons se encontra imersa no vácuo. 
Consequentemente temos que: 
1
��
�
��
���
�
��
�(�)� = 0, ����	� ≠ 0.																																																																																			(8.101) 
 
Como o vácuo não contém átomos para os nêutrons interagirem, as seções de choque de 
espalhamentoe absorção são zero e o comprimento de difusão � é efetivamente infinito. Para uma 
fonte pontual ��, o fluxo de nêutrons é regido pela lei do quadrado do inverso da distância, isto 
é: 
�(�) =
��
4���
, ����	� ≠ 0.																																																																																																						(8.102) 
 
Observe que neste caso particular o fluxo de nêutrons decai mais rapidamente do que no caso em 
que a fonte se encontra imersa em um material, uma vez que neste caso o comprimento de difusão 
é mesurável. 
 
Exemplo 8.3: O segundo problema que gostaríamos de examinar é o fluxo de nêutrons gerado por 
uma fio infinito, isotrópico, localizado na origem do sistema de coordenadas, emitindo 
��	������/��
���� e imerso em um meio não multiplicativo, homogêneo e infinito, conforme 
ilustrado pela Figura 8.19. 
 
 
Figura 8.19 – Fonte Linear Infinita Localizada na Origem 
 
 
1º - Passo: Assim como fizemos em todos os problemas anteriores devemos representar a natureza 
peculiar desta fonte também em termos matemático. Sendo assim, a Delta Dirac é ferramenta 
mais adequada para descrever essa peculiaridade, de modo que: 
����(�) = ��	�(� − ��).																																																																																																																			(8.103) 
 
No entanto, a fonte linear infinita encontra-se localizada no centro do sistema de coordenadas, de 
modo que podemos reescrever a equação como sendo: 
����(�) = ��	�(�).																																																																																																																												(8.104) 
 
Logo temos que: 
−��� ∙ �(�) + Σ��(�) = ��	�(�),																																																																																															(8.105) 
 
2º - Passo: Note também que neste caso a fonte se encontra imersa em um meio homogêneo e 
infinito. Portanto, podemos lançar mão neste caso da 1ª Condição de Contorno Geral, ou seja, 
I- 0 ≤ � < ∞,																																																																																																																										(8.106) 
 
Se admitirmos que a fonte linear infinita se encontra envolvida por um cilindro de altura infinita, 
conforme ilustrado pela Figura 8.19, teremos que o número de nêutrons que cruzam a superfície 
do cilindro, Equação 8.13, será igual ao valor da fonte ��	quando � → 0, ou seja, 
II- lim
�→�
[2����(�)] = ��,																																																																																																												(8.107) 
 
O resultado acima pode ser matematicamente demonstrado integrando-se a Equação (8.105) sob 
a superfície do cilindro de raio �, e depois tomando-se o limite em que o raio � tende a azero46. 
 
Note bem o leitor que a Equação (8.105) não têm solução apenas quando � = 0, uma vez que o 
fluxo nêutrons diverge para infinito neste ponto. Logo só faz sentido resolvermos essa equação 
para � ≠ 0. Sendo assim, podemos reescrever a equação da seguinte forma: 
��
���
�(�) +
1
�
�
��
�(�) −
1
��
�(�) = 0, ����	� > 0.																																																											(8.108) 
 
Sujeitas as condições de contorno I e II: 
I- 0 ≤ � < ∞ 
II- lim
�→�
[2����(�)] = ��. 
 
A Equação (8.108) é conhecida a equação de Bessel incompleta e admite a seguinte solução geral: 
 
46 Motivamos fortemente o leitor que tente mostrar de matematicamente a segunda condição de contorno. 
 
�(�) = ����(�/�) + ����(�/�),																																																																																																		(8.109) 
 
Note que ��(�/�) e ��(�/�) são chamadas de funções de Bessel modificadas do primeiro e do 
segundo tipo, ao contrário das funções comuns de Bessel, que são funções que oscilam as ��	e 
��	são funções que decrescem e crescem exponencialmente, respectivamente. O comportamento 
das funções ��	e �� são ilustras na Figura 8.20. 
 
Figura 8.20 – Funções de Bessel Modificadas do Primeiro e do Segundo tipo. 
 
Observe que a condição de contorno I implica que o fluxo de nêutrons é uma quantidade 
mensurável quando � → ∞, logo a constante ��	deve ser zero, a fim de que a condição de 
contorno seja satisfeita. Sendo assim, temos que: 
�(�) = ����(�/�).																																																																																																																												(8.110) 
 
Aplicando-se a condição de contorno II obtemos que: 
�(�) ≅ −�
�
��
�(�) = −���[��(�/�)]/� → 
lim
�→�
[2����(�)] = ���[�	��(�/�)]/� = �� → 
�� =
���
2��
.																																																																																																																																											(8.111) 
 
Como consequência obtemos que o fluxo de nêutrons gerado por um plano infinito localizado na 
origem do sistema de coordenadas é dado por: 
�(�) =
���
2��
��(�/�), ����	� ≠ 0.																																																																																								(8.112) 
 
Exemplo 8.4: O terceiro problema que gostaríamos de examinar é o fluxo de nêutrons gerado por 
uma fonte plana infinita (no plano y-z), isotrópica, localizada na origem do sistema de 
 
coordenadas, emitindo ��	������/��
���� e imersa em um meio não multiplicativo, 
homogêneo e infinito, conforme ilustrado pela Figura 8.21. 
 
1º - Passo: Assim como feito anteriormente devemos representar a natureza peculiar desta fonte 
em termos matemático. Portanto, a Delta Dirac é ferramenta mais adequada para descrever essa 
peculiaridade, de modo que: 
����(�) = ��	�(� − ��).																																																																																																																			(8.113) 
 
No entanto, a fonte plana infinita encontra-se localizada no centro do sistema de coordenadas, 
então podemos reescrever a equação da fonte como sendo: 
����(�) = ��	�(�).																																																																																																																													(8.114) 
 
 
Figura 8.21 – Fonte Plana Infinita Localizada na Origem 
 
Logo temos que: 
−��� ∙ �(�) + Σ��(�) = ��	�(�),																																																																																														(8.115) 
 
2º - Passo: Devemos neste ponto impormos as condições de contorno do problema em questão. 
Note que uma das condições de contorno vem do fato de que a fonte se encontra imersa em um 
meio homogêneo e infinito. Portanto, podemos lançar mão neste caso da 1ª Condição de Contorno 
Geral, ou seja, 
I- 0 ≤ � < ∞,																																																																																																																										(8.116) 
 
A outra condição de contorno é relativa à natureza da fonte. Portanto, uma vez que admitimos 
que a fonte de nêutrons é isotrópica, logo a componente � da corrente de nêutrons J�(�) será 
igual a ��/2, quando � tende a zero, tanto pela esquerda quanto pela direita, ou seja, 
II- lim
�→�
J�(�) = ��/2,																																																																																																																(8.117) 
 
O resultado acima pode ser matematicamente demonstrado integrando-se a Equação (8.115) no 
intervalo [� − 0,0 + �], e depois tomando-se o limite em que o raio � tende a azero47. 
 
Note bem o leitor que a Equação (8.115) não têm solução apenas quando � = 0, uma vez que o 
fluxo nêutrons diverge para infinito neste ponto. Logo só faz sentido resolvermos essa equação 
para � ≠ 0. Sendo assim, podemos reescrever a equação da seguinte forma: 
��
���
�(�) −
1
��
�(�) = 0, ����	� > 0.																																																																																	(8.118) 
 
Sujeitas as condições de contorno I e II: 
I- 0 ≤ � < ∞ 
II- lim
�→��
J�(�) = ��/2. 
 
A Equação (8.118) tem a seguinte solução geral: 
�(�) = �����(−�/�) + �����(�/�).																																																																																							(8.119) 
 
Observe que a condição de contorno I implica que o fluxo de nêutronsé uma quantidade 
mensurável quando � → ∞, logo a constante ��	deve ser zero, a fim de que a condição de 
contorno seja satisfeita. Sendo assim, temos que: 
�(�) = �����(−�/�).																																																																																																																					(8.120) 
 
Aplicando-se a condição de contorno II obtemos que: 
�(�) ≅ −�
�
��
�(�) = −���[−���(−�/�) �⁄ ] → 
lim
�→��
J�(�) = ���[���(−�/�) �⁄ ] = ��/2 → 
�� =
���
2�
.																																																																																																																																													(8.121) 
 
Como consequência obtemos que o fluxo de nêutrons gerado por um plano infinito localizado na 
origem do sistema de coordenadas é dado por: 
�(�) =
���
2�
���(−�/�), ����	� > 0.																																																																																			(8.122) 
 
A Figura 8.22 mostra o comportamento do fluxo de nêutrons de uma fonte plana infinita. 
 
 
47 Motivamos fortemente o leitor que tente mostrar de matematicamente a segunda condição de contorno. 
 
 
Figura 8.22 – Fluxo de Nêutrons Gerado por Uma Fonte Plana Infinita Localizada na 
Origem em Um Meio Infinito 
 
Perceba que para o caso em que � < 0 teremos um resultado análogo, de modo que: 
�(�) =
���
2�
���(�/�), ����	� < 0.																																																																																					(8.123) 
 
Reescrevendo de uma forma mais geral, temos que: 
�(�) =
���
2�
���(−|�|/�), ����	� ≠ 0,																																																																															(8.124) 
 
onde, 
|�| = �
−�					����	� < 0
�			����	� > 0
.																																																																																																																	(8.125) 
 
É importante que o estudante note que o fluxo de nêutrons gerado decai exponencialmente, e 1/� 
é a constante decaimento do fluxo. Portanto, a magnitude do comprimento de difusão rege o 
decaimento do fluxo de nêutrons, ou seja, quanto maior o comprimento de difusão menor será o 
decaimento fluxo, e quanto menor o comprimento de difusão mais rápido é o decaimento do fluxo 
nêutrons. Outro ponto que vale ser observado é fato de que o fluxo de nêutrons é diretamente 
proporcional ao valor da fonte, isto é, uma fonte duas vezes maior irá gerar um fluxo de nêutrons 
duas vezes maior em qualquer ponto � distante da fonte de nêutrons. Isso deve-se ao fato de que 
a equação da difusão de nêutrons é linear, e por consequência ocorre o princípio de superposição, 
isto é, o fluxo de nêutrons gerado por duas fontes distintas em determinado ponto �, será a dado 
pela soma dos fluxos de nêutrons de cada uma das fontes neste ponto �. 
 
 
Vale lembrar ao leitor que a solução encontrada fornece uma descrição física razoável do fluxo 
de nêutrons, desde que o meio não seja altamente absorvedor. Contudo, a solução obtido pela 
teoria da difusão não representa adequadamente do ponto de vista físico o comportamento do 
fluxo de nêutrons em regiões próximas a fonte de nêutrons, e de fato estudos mais acurados 
usando a teoria de transporte de nêutrons demonstram que o fluxo de nêutrons não decai 
exponencialmente em regiões próximas a fonte, entretanto, se o meio não for fortemente 
absorvedor este comportamento transiente do fluxo próximo a fonte diminui rapidamente à 
medida que se afasta da fonte, e o comportamento exponencial obtido pela teoria da difusão é 
recuperado, de modo que o fluxo de nêutrons encontrado pela teoria de transporte é ligeiramente 
distinto do fluxo de nêutrons obtido pela teoria da difusão para meios fracamente absorvedores, 
ou seja, Σ� ≪	Σ�. 
 
Assim como no Exemplo 8.2 podemos determinar também a probabilidade de que os nêutrons 
emitidos pela fonte sejam absorvidos a uma distância infinitesimal �� da fonte, isto é, 
�(�)�� = �	��(�)�� = �	�
���
2�
����−
|�|
�
��� → 
�(�)�� = �
��
2�
���(−�/�)��	.																																																																																																						(8.126) 
 
Portanto a função densidade de probabilidade é, 
�(�) = �
��
2�
���(−�/�)	.																																																																																																																(8.127) 
 
Uma vez que, 
�̅ = � �(�)��
�
�
= 1 → �
��
2�
� ��� �−
�
�
���
�
������������
�
= 1 → � =
2
��
		.																																										(8.128) 
 
Sendo assim, a distância linear média percorrida pelo nêutron antes que seja absorvido é dada 
por: 
�̅ = � ��(�)��
�
�
=
1
�
� �	��� �−
�
�
���
�
�
� ���(���)	����
�
�
�
�!
����
�⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 
�̅ =
1
�
1
�
1
��
� →	�̅ = �.																																																																																																																									(8.129) 
 
Logo a distância linear média que o nêutron pode percorrer é igual ao comprimento de difusão do 
meio, o que é bastante coerente fisicamente. Todavia, neste caso não existe uma distância a partir 
 
da fonte de nêutrons no qual seja maior a probabilidade de os nêutrons serem absorvido, 
diferentemente do que ocorria no exemplo 8.2. Isso deve-se ao fato de que a função densidade de 
probabilidade neste caso decai exponencialmente. 
 
Exemplo 8.5: O quarto problema que vamos abordar trata-se de uma variação do problema 
anterior. Sendo que neste caso a fonte plana infinita (no plano y-z), isotrópica e localizada na 
origem do sistema de coordenadas, se encontra limitado por um meio não multiplicativo, 
homogêneo e finito de dimensão �, conforme ilustrado pela Figura 8.23. 
 
Figura 8.21 – Fonte Plana Infinita Localizada na Origem e Imersa em um Meio 
Homogêneo de Dimensão �. 
O estudante atento já deve ter sacado que estamos de um problema análogo ao anterior, e que a 
equação da difusão a ser resolvida é exatamente igual a Equação 8.118, todavia, as condições de 
contorno são ligeiramente distintas. Entretanto, as a condição simetria permanece válida, uma vez 
que a fonte é isotrópica e o meio é homogêneo, de forma que o fluxo de nêutrons gerado neste 
caso é simétrico também. 
 
Note que o sistema se encontra imerso no vácuo, de modo que a segunda condição de contorno é 
do tipo vácuo, ou seja, fluxo nulo na região de contorno extrapolada. Resumindo temos que: 
��
���
�(�) −
1
��
�(�) = 0, ����	� > 0.																																																																																(8.130) 
 
Sujeitas as condições de contorno I e II: 
I- �(��/2) = 0, sendo, ��/2 = �/2 + 2� 
II- lim
�→��
J�(�) = ��/2. 
 
A Equação (8.130) tem a seguinte solução geral: 
�(�) = �����(−�/�) + �����(�/�).																																																																																								(8.131) 
 
 
Observe que a condição de contorno I implica que o fluxo deve ser nulo em uma região próxima 
a pós o contorno, ou seja, 
�(��/2) = �����(−��/2�) + �����(��/2�) = 0 → 
�� = −�����(−��/�).																																																																																																																						(8.132) 
 
Logo o fluxo de nêutrons pode ser reescrito como sendo: 
�(�) = �����(−�/�) − ����� �
� − ��
�
�.																																																																																			(8.133) 
 
Aplicando-se a condição de contorno II, obtemos que: 
�(�) ≅ −�
�
��
�(�) = −��� �−��� �−
�
�
� − ��� �
� − ��
�
�			� /� → 
lim
�→��
J�(�) = ��� �1 + ��� �−
��
�
�� /� = ��/2 → 
��
=
���
2�
�1 + ��� �−
��
�
��
��
.																																																																																																														(8.135) 
 
Como consequência obtemos que o fluxo de nêutrons gerado por um plano infinito localizado na 
origem do sistema de coordenadas e envolto por um meio finito e homogêneo é dado por: 
�(�) =
���
2�
1
�1 + ��� �−
��
���
����(−�/�) − ��� �
� − ��
�
��.																																																	(8.136) 
 
Multiplicando e dividindo pelo termo ��� �
��
��
�, é possívelreescrevermos a expressão para o fluxo 
de nêutrons de uma forma mais elegante, usando que: 
��� �
��
2������
(−�/�) − ��� �
� − ��
� ��
��� �
��
2�� �1 + ��� �−
��
���
=
��� �
�� − 2�
2� � − ��� �−
�� − 2�
2� �
��� �
��
2�� + ��� �−
��
2��
. 
 
Sabemos que: 
sinh �
�� − 2�
2�
� =
��� �
�� − 2�
2� � − ��� �−
�� − 2�
2� �
2
, 
e 
cosh �
��
2�
� =
��� �
��
2��
+ ��� �−
��
2��
2
. 
 
 
Sendo assim, obtemos finalmente que o fluxo de nêutrons é dado por: 
�(�) =
���
2�
sinh �
�� − 2�
2� �
cosh �
��
2��
, ����	� ≥ 0.																																																																													(8.137) 
De modo geral a solução pode ser reescrita como sendo: 
�(�) =
���
2�
sinh�
�� − 2|�|
2� �
cosh �
��
2��
.																																																																																																									(8.138) 
 
A Figura 8.24 mostra o comportamento do fluxo de nêutrons de uma fonte plana envolta em um 
meio homogêneo e finito, sujeito a condição de contorno do tipo vácuo, admitindo que o meio 
seja o grafite, cuja dimensão ��		é de 300 cm, a fonte �� é 10
��	������/������, o coeficiente 
de difusão é 0,84 cm e o comprimento de difusão é 59 cm. 
 
 
Figura 8.24 – Fluxo de Nêutrons de uma Fonte Plana Infinita Localizada na Origem e 
Imersa em um Meio Homogêneo de Dimensão ���	��. 
 
 
 
Figura 8.25 – Fluxo de Nêutrons de uma Fonte Plana Infinita para Meio Infinito e Finito. 
É importante que o leitor observe que o resultado é bastante semelhante ao da fonte plana infinita 
em meio infinito. Entretanto, o comportamento do fluxo de nêutrons de uma fonte plana envolta 
em um meio homogêneo e finito decai mais rapidamente, principalmente próximo a região de 
fronteira devido a fuga de nêutrons, conforme ilustrado pela Figura 8.25. 
 
A análise da Figura 8.25 deixa evidente que a fuga de nêutrons afeta diretamente o 
comportamento do fluxo. Logo é de vital importância sabermos determinar a probabilidade de 
fuga em sistemas de dimensão finita. Note que a probabilidade de os nêutrons fugirem do sistema 
pode ser determinada como sendo: a razão entre o número de nêutrons que fogem do sistema pelo 
total de nêutrons que são produzidos dentro do sistema, isto é, 
����� =
��(��/2)
��
.																																																																																																																															(8.139) 
 
A probabilidade de fuga dos nêutrons pela borda do sistema só poderá ser determinada se 
conhecermos a fuga de nêutrons na fronteira. Para tanto, precisamos usar a lei de Fick a fim 
determinarmos a corrente de nêutrons na direção �, 
��(�) ≅ −�
�
��
�(�) = ��(�) =
��
2
cosh �
�� − 2�
2� �
cosh �
��
2��
.																																																																	(8.140) 
 
No caso em que � = ��/2, temos que: 
�� �
��
2
� =
��
2
1
cosh �
��
2��
.																																																																																																																					(8.141) 
 
 
Consequentemente temos que a probabilidade de que o nêutron fuja pela borda direita do sistema, 
ou seja, em � = ��/2, é dada por: 
����� =
��(��/2)
��
=
1
2
1
cosh �
��
2��
.																																																																																																			(8.142) 
 
Como o fluxo é simétrico, logo a probabilidade de fuga pela borda esquerda do sistema é 
exatamente a mesma. 
 
Outra análise interessante que podemos fazer a partir do resultado encontrado, Equação (8.136) 
ou (8.137), é de consistência física. Note que se o meio de espessura �� for estendido até o infinito, 
recaímos no problema anterior da fonte plana infinita imersa em meio infinito, isto é equivalente 
a escrevermos que: 
lim
��→�
�(�) =
���
2�
lim
��→�
1
�1 + ��� �−
��
���
����(−�/�) − ��� �
� − ��
�
�� →	 
lim
��→�
�(�) =
���
2�
�
���(−�/�)
lim
��→�
�1 + ��� �−
��
���
−
lim
��→�
��� �
� − ��
� �
lim
��→�
�1 + ��� �−
��
���
� → 
lim
��→�
�(�) =
���
2�
���(−�/�).																																																																																																										(8.143) 
 
O resultado obtido é fisicamente consistente, pois é idêntico ao resultado obtido pela Equação 
(8.122). 
 
Exemplo 8.6: O quinto problema que vamos abordar é bastante semelhante ao problema anterior, 
diferindo do fato que vamos utilizar uma simetria esférica. Vamos admitir que uma fonte pontual 
isotrópica se encontra localizada na origem do sistema de coordenada e envolta por um meio 
esférico de raio �, não multiplicativo, homogêneo e finito, conforme ilustrado pela Figura 8.26. 
 
O problema é análogo ao problema do Exemplo 8.2, e, portanto, a solução geral do problema é 
preserva. A modificação ocorre apenas na condição contorno, pois devemos trocar a condição de 
contorno física para meio infinito pela condição de contorno do tipo vácuo, de modo que: 
�(�) = �� ���(−�/�) �⁄ + �� ���(�/�) �⁄ , ����	0 < � ≤ ��																																						(8.144) 
 
 
 
Figura 8.26 – Fonte Pontual Isotrópica Localizada na Origem e Imersa em um Meio 
Esférico e Homogêneo de Raio �. 
 
Sujeitas as condições de contorno I e II: 
I- lim
�→�
�4���	��(�)� = ��; 
II- �(��) = 0, sendo, �� = � + 2�. 
 
Observe que a condição de contorno I, implica que o fluxo deve ser nulo em uma região próxima 
a pós o contorno, ou seja, 
�(��) = ����� �−
��
�
� /�� + ����� �
��
�
� /�� = 0 → 
�� = −����� �−2
��
�
�.																																																																																																																						(8.145) 
 
Logo o fluxo de nêutrons pode ser reescrito como sendo: 
�(�) =
����� �−
�
��
�
−
����� �
� − 2��
� �
�
.																																																																																				(8.146) 
 
Aplicando-se a condição de contorno II, obtemos que: 
��(�) ≅ 4��
���� �
��� �−
�
��
��
+
��� �−
�
��
��
+
��� �
� − 2��
� �
��
−
��� �
� − 2��
� �
��
		� 
lim
�→�
��(�) = 4���� �1 − ��� �−2
��
�
�� = �� → 
�� =
��
4��
1
�1 − ��� �−2
��
���
.																																																																																																										(8.147) 
 
Como consequência obtemos que o fluxo de nêutrons gerado por um plano infinito localizado na 
origem do sistema de coordenadas e envolto por um meio finito e homogêneo é dado por: 
 
�(�) =
��
4��
1
�1 − ��� �−2
��
���
�
��� �−
�
��
�
−
��� �
� − 2��
� �
�
�.																																															(8.148) 
 
Multiplicando e dividindo pelo termo ��� �
��
�
�, é possível reescrevermos a expressão para o fluxo 
de nêutrons de uma forma mais elegante, usando que: 
��� �
��
���
��� �−
�
��
� −
��� �
� − 2��
� �
� �
��� �
��
�� �1 − ��� �−2
��
���
=
1
�
��� �
�� − �
� �
− ��� �−
�� − �
� �
��� �
��
�� − ��� �−
��
��
. 
 
Sabemos que: 
sinh �
�� − �
�
� =
��� �
�� − �
� � − ��� �−
�� − �
� �
2
, 
e 
sinh �
��
�
� =
��� �
��
��
− ��� �−
��
��
2
. 
 
Sendo assim, obtemos finalmente que o fluxo de nêutrons é dado por: 
�(�) =
��
4���
sinh�
�� − �
� �
sinh�
��
��
, ����	� > 0.																																																																													(8.149) 
 
Note que neste caso a consistência física também é mantida, de modo que quando �� for estendido 
até o infinito, recaímos no problema anterior da fonte pontual imersa em meio infinito, isto é, 
lim
��→�
�(�) =
��
4��
1
�1 − ��� �−2
��
���
�
��� �−
�
��
�
−
��� �
� − 2��
� �
�
� →	 
lim
��→�
�(�) =
��
4��
��� �−
�
��
�
.																																																																																																										(8.150) 
 
Portanto, neste caso também o resultado obtido é fisicamente consistente, pois é idêntico ao 
resultado obtido pela Equação (8.93). 
 
A Figura 8.27 nos mostra comparativamente o comportamento do fluxo de nêutrons gerado por 
uma fonte pontual isotrópica imersa em um meio infinito e homogêneo e pela mesma fonte imersa 
em um meio esférico homogêneo de raio�. 
 
Note também que neste caso o fluxo de nêutrons gerado pela fonte pontual imersa em um meio 
finito decai muito mais rapidamente do que no caso do meio infinito, uma vez que neste caso 
ocorrem fugas de nêutrons. 
 
 
Exemplo 8.6: O sexto problema que vamos abordar é também similar ao problema anterior, 
diferindo do fato que vamos utilizar uma simetria cilíndrica. Vamos admitir que uma fonte linear 
infinita e isotrópica se encontra localizada na origem do sistema de coordenada e envolta por um 
meio cilíndrico de altura infinita e raio � não multiplicativo, homogêneo e finito, conforme 
ilustrado pela Figura 8.27. 
 
 
Figura 8.27 – Fonte Linear Infinita Localizada na Envolta por Um Cilindro Homogêneo 
de Raio � e Altura Infinita. 
 
Assim como o problema anterior este é análogo ao problema do Exemplo 8.4, e, portanto, neste 
caso também a solução geral do problema é preserva. Todavia, a condição de contorno física para 
meio infinito é substituída pela condição de contorno do tipo vácuo, de modo que: 
 
�(�) = ����(�/�) + ����(�/�), ����	0 < � ≤ ��																																																												(8.151) 
 
Sujeitas as condições de contorno I e II: 
I- �(��) = 0, sendo, �� = � + 2� 
II- lim
�→�
[2����(�)] = ��; 
Note que a condição de contorno I, implica que o fluxo deve ser nulo em uma região próxima a 
pós o contorno, ou seja, 
�(��) = ����(��/�) + ����(��/�) = 0 → 
�� = −���� �
��
�
� /��(��/�).																																																																																																													(8.152) 
 
 
Logo o fluxo de nêutrons pode ser reescrito como sendo: 
�(�) = ���� �
�
�
� −
���� �
��
��
�� �
��
��
�� �
�
�
�.																																																																																											(8.153) 
 
Aplicando-se a condição de contorno II, obtemos que: 
�(�) ≅ −�
�
��
�(�) = ��� ��� �
�
�
� +
���� �
��
��
�� �
��
��
�� �
�
�
�� /� → 
lim
�→�
[2����(�)] = ���[�	��(�/�)]/� = �� → 
�� =
���
2��
.																																																																																																																																											(8.154) 
 
Como consequência obtemos que o fluxo de nêutrons gerado por um plano infinito localizado na 
origem do sistema de coordenadas é dado por: 
�(�) =
���
2��
�� �
�
�
� −
���
2��
�� �
��
��
�� �
��
��
�� �
�
�
� 	����	� > 0.																																																												(8.155) 
 
A mesma relação de consistência também ocorre neste problema, pois quando �� → ∞	a razão 
��� �
��
�
� /�� �
��
�
�� → 0, e consequentemente recaímos novamente no fluxo gerado por uma fonte 
linear infinita em um meio infinito. 
�(�) =
���
2��
�� �
�
�
� 	����	� > 0.																																																																																																			(8.156) 
 
Até aqui o leitor já deve ter percebido que todos os problemas apresentados podem ser resolvidos 
seguindo a nossa boa velha “receita de bolo” e, que as soluções são modificadas conforme as 
condições de contorno do problema em questão. Entretanto, é uma boa oportunidade para 
introduzirmos ao leitor o método da expansão em autofunções, um dos mais poderosos métodos 
para resolver problemas de contorno (ou simplesmente problemas de valores de contorno), 
buscando a solução como uma expansão em conjunto de autofunções que caracterizam a 
geometria de interesse do problema. Portanto, vamos introduzir essa poderosa ferramenta por 
meio da aplicação de um problema específico apresentado a seguir: 
 
Exemplo 8.7: O sétimo problema que abordaremos é uma sofisticação do Exemplo 8.5, que 
consiste em determinar o fluxo de nêutrons gerado uma fonte nêutrons arbitraria de espessura � 
e infinita no plano y-z, conforme ilustrado pela Figura 8.28. 
 
 
 
Figura 8.28 – Fonte Arbitrária de Nêutrons de Espessura � Imersa no Vácuo. 
 
Note que a equação da difusão a ser resolvida é ligeiramente distinta daquela do Exemplo 8.5, 
pois neste caso a fonte não é localizada, mas sim arbitrária. Sendo assim, podemos escrever que: 
��
���
�(�) −
1
��
�(�) = −
�(�)
�
,			−
��
2
≤ � ≤
��
2
	.																																																																								(8.157) 
 
Perceba como a fonte é arbitrária, nós não podemos admitir uma simetria de modo a tratar apenas 
a região 0 ≤ � ≤ ��/2. 
 
Como o sistema encontra-se imerso no vácuo, logo as condições de contorno são: 
I- �(��/2) = 0, sendo, ��/2 = �/2 + 2�; 
II- �(−��/2) = 0, sendo, −��/2 = −(�/2 + 2�). 
 
Nossa abordagem para resolver o problema pode parecer a princípio bastante inusitada ao leitor, 
mas vamos iniciar nossa abordagem resolvendo a equação Helmholtz em uma dimensão, 
��
���
�(�) − ���(�) = 0,			 −
��
2
≤ � ≤
��
2
	.																																																																																	(8.158) 
 
sujeita as seguintes condições de contorno: 
I- �(��/2) = 0; 
II- �(−��/2) = 0. 
 
 
A solução do problema homogêneo para �� > 0 é apresentada pela Tabela 8.2 no caso de 
coordenadas cartesianas, 
�(�) = �� cos(��) + ��	���(��)	.																																																																																													(8.159) 
 
Aplicando-se as condições de contorno, obtemos que: 
��
��
2
� = �� cos ��
��
2
� + ��	��� ��
��
2
� = 0	.																																																																															(8.160) 
e 
��−
��
2
� = �� cos ��
��
2
� − ��	��� ��
��
2
� = 0	.																																																																											(8.161) 
 
Somando-se as Equações (8.160) e (8.161), temos que: 
�� cos ��
��
2
� = 0	.																																																																																																																														(8.162) 
 
Subtraindo a Equações (8.161) da (8.160), temos que: 
�� ��� ��
��
2
� = 0	.																																																																																																																													(8.163) 
 
O leitor atento já deve ter notado que quando �� = �� = 0 são iguais a zero obtemos o que 
chamamos de solução trivial. Logo devemos considerar os seguintes casos: 
 
Primeiro Caso - quando �� ≠ 0 e �� = 0. Implica que: cos(���/2) = 0 → ���/2 = ��/2 →
�� = ��/��, � = 1,3,5,⋯. Obtemos a seguinte solução: 
��(�) = ��� cos ��
��
��
� , � = 1,3,5,⋯	.																																																																																					(8.164) 
 
Segundo Caso - quando �� ≠ 0 e �� = 0. Implica que: ���(���/2) = 0 → ���/2 = ��/2 →
�� = ��/��, � = 2,4,6,⋯. Obtemos a seguinte solução: 
��(�) = ��� ��� ��
��
��
� , � = 2,4,6,⋯	.																																																																																					(8.165) 
 
Logo temos que: 
��, �ão os autovalores do problema de contorno, e são dados por: 
�� =
��
��
, � = 1,2,3,4,5,6,⋯	.	 
��(�), �ão as autofunções do problema de contorno, e são dados por: 
 
��(�) = �
��� cos ��
��
��
� , � = 1,3,5,⋯	
��� ��� ��
��
��
� , � = 2,4,6,⋯
, −
��
2
≤ � ≤
��
2
.																																																(8.166) 
 
O leitor já deve ter notado que as autofunções cos(���/��)	são simétricas com respeito a origem 
do sistema de coordenadas as autofunções ���(���/��) são assimétricas com respeito a origem. 
Se admitirmos que a fonte arbitrária é simétrica, ou seja, �(�) = �(−�), somente as autofunções 
cos(���/��)	satisfazem o problema. Sendo assim, as autofunções ��(�)	formam o que 
chamamos na matemática de uma base completa, de modo que qualquer função “bem-
comportada” pode ser representada pela combinação linear das autofunções de base, isto é, 
�(�) = ��� cos ��
��
��
�
�
���
.																																																																																																															(8.167) 
 
Outra característica bastante importante das funções de base obtidas é a ortogonalidade, ou seja, 
�cos��
��
��
� cos ��
��
��
���
��
�
�
��
�
= ���	,(8.168) 
onde, 
��� = �
0,																													� ≠ �	
��
2
,																													� = �
.																																																																																																	(8.169) 
 
O estudante atendo já percebeu que a expansão em autofunções para o problema abordado é nada 
mais nada menos que a familiar expansão em série de Fourier. Entretanto, vale informar ao leitor 
que as características de ortogonalidade e completeza das funções ��(�), são válidas também 
para autofunções mais gerais. 
 
Feito esse pequeno parêntese com respeito as autofunções, podemos retornar ao nosso problema 
original, que consiste em determinar o fluxo de nêutrons gerado por uma fonte arbitrária. 
 
Se partirmos do pressuposto que o fluxo de nêutrons é uma função “bem-comportada”, logo 
podemos escrevê-lo como sendo uma expansão das nossas funções de base ��(�), de modo que: 
�(�) = ��� cos ��
��
��
�
�
���
.																																																																																																														(8.170) 
 
Admitindo-se as mesmas hipóteses para �(�), temos que: 
 
�(�) = ��� cos ��
��
��
�
�
���
.																																																																																																															(8.171) 
 
O coeficiente �� pode ser determinado diretamente usando-se a propriedade de ortogonalidade 
das autofunções ��(�), de forma que se multiplicarmos a equação acima por ��(�)	e integramos 
no domínio, obtemos que: 
��(�)��(�)
��
�
�
��
�
�� = � �����
�
���
= 		 �� 	→ 	�� =
2
��
� �(�)��(�)��
��
�
�
��
�
																																		(8.172) 
 
O coeficiente �� pode ser determinado de modo similar, uma vez que as funções de base são 
conhecidas. Observe que a Equação (8.170) deve satisfazer a equação da difusão para o nosso 
problema de interesse, Equação (8.157), de forma que podemos escrever que: 
���
��
���
��(�)
�
���
−
1
��
� ����(�)
�
���
= −
1
�
�����(�)
�
���
.																																																							(8.173) 
 
Entretanto, usando a Equação (8.158) podemos eliminar o termo 
��
���
��(�), a fim de obter a 
seguinte expressão: 
�����
���(�)
�
���
+
1
��
� ����(�)
�
���
=
1
�
�����(�)
�
���
.																																																															(8.174) 
 
Todavia, Equação (8.174) não nos permite determinar o coeficiente �� , uma vez que temos apena 
uma equação para infinitas incógnitas. Sendo assim, precisamos lançar mão da condição de 
ortogonalidade das funções de base, de forma que se multiplicarmos a Equação (8.174) por 
��(�)	e integramos no domínio, obtemos que: 
�	�� ���
� +
1
��
� ���(�)��(�)��
��
�
�
��
�
�
���
=
1
�
���
�
���
���(�)��(�)
��
�
�
��
�
��		 → 
�	�� ���
� +
1
��
� ���(�)��(�)��
��
�
�
��
��������������
���
�
���
=
1
�
���
�
���
���(�)��(�)
��
�
�
��
�
��
�������������
���
→ 
	�� =
��/�
���
� +
1
��
�
.																																																																																																																																(8.175) 
 
 
Logo obtemos finalmente o fluxo de neutros gerado por uma fonte arbitrária, a partir da expansão 
em autofunções, como sendo: 
�(�) = �
��/�
���
� +
1
��
�
��(�)
�
���
,																																																																																																								(8.170) 
 
de forma mais explicita, 
�(�) = � �
1
Σ�
��
2
�
��(�)��(�′)
(����
� + 1)
�
���
�
��
�
�
��
�
�(�′)��′,																																																																												(8.171) 
 
A solução acima pode ser reescrita em uma forma mais elegante, usando a função Green, �(�, ��), 
tal que: 
�(�) = ��(�, ��)
��
�
�
��
�
�(��)���,																																																																																																									(8.172) 
 
onde, 
�(�, ��) =
1
Σ�
��
2
�
��(�)��(�′)
(����
� + 1)
�
���
.																																																																																																(8.173) 
 
A relação da função de Green com a expansão em autofunções é na verdade um resultado mais 
geral, de forma que a função de Green pode ser escrita de uma forma muito mais geral para 
qualquer geometria. 
�(�, ��) =
1
Σ�
�
��(�)��(�′)
(����
� + 1)
�
���
,																																																																																																				(8.174) 
 
Como consequência o fluxo de nêutrons pode ser calculado a partir da função de Green, tal que: 
�(�) = � �(�, ��)
�
�(��)����.																																																																																																									(8.175) 
 
Todavia, é importante destacarmos que dependendo do problema pode ser muito complicado de 
encontrar a função de Green, uma vez que nestes casos as autofunções podem ser difíceis de serem 
construídas. 
 
 
Vamos admitir que a fonte arbitrária seja uma fonte plana infinita localizada na origem do sistema 
de coordenadas, de modo que �(�) = ���(�). Logo o fluxo de nêutrons é determinado por: 
�� = � �(�)��(�)��
��
�
�
��
�
= 	
2��
��
� �(�) cos ��
��
��
� ��
��
�
�
��
�
= 	
2��
��
		,																																												(8.176) 
e consequentemente, temos que: 
 
�(�) = �
2��
���
cos ��
��
�� �
��
��
�� �
�
+
1
��
�
�
���
, � = 1,3,5,⋯		,																																																																										(8.177) 
 
ou ainda, 
�(�) = �
2��
���
cos ��
(2� + 1)�
�� �
��
(2� + 1)�
�� �
�
+
1
��
�
���
���
, � = 1,2,3,4,5,6⋯		.																																																		(8.178) 
 
A Figura 8.29 ilustra comparativamente o fluxo gerado por uma fonte plana infinita limitada por 
um meio finito de dimensão � envolto no vácuo ainda, Equação (8.138), e fluxo gerado pela 
combinação linear das funções de base ��(�), Equação (8.178). Admitindo que o meio seja o 
grafite, cuja dimensão ��		é de 300 cm, a fonte �� é 10
��	������/������, o coeficiente de 
difusão é 0,84 cm e o comprimento de difusão é 59 cm. 
 
 
Figura 8.29 – Fluxo de Nêutrons para o Caso de Uma Fonte Plana Infinita e Limitada por 
Um Meio Homogêneo de Dimensão �� = ���	��, calculado 
Usando as Equações (8.138) e (8.178) 
 
Existe um amplo arsenal de técnicas disponíveis para resolver EDO 2ª ordem não homogêneas, 
aqui apresentamos apenas ao leitor a ideia da função de Green, no entanto, poderíamos ter lançado 
mão de outras técnicas, assim como a técnica de variação de parâmetros, a qual apresentaremos 
brevemente ao leitor no apêndice A deste material. 
 
8.5 – O Princípio de Superposição e Fluxo de uma Fonte Pontual 
Neste último exemplo da seção anterior vimos claramente que o fluxo de nêutrons gerado por 
uma fonte plana infinita e limitada por um meio finito, pode ser cálculo como sendo a soma de 
vários fluxos, o que denominado de princípio de superposição. Essa soma só se justifica desde 
que a equação de difusão permaneça linear, isto é, o fluxo resultante de duas fontes diferentes 
pode ser adicionado se não houver interação entre elas (por exemplo, fontes acopladas pelo fluxo). 
Por exemplo: vamos determinar o fluxo de nêutrons gerado por uma distribuição discreta de 
fontes pontuais isotrópicas em um ponto � qualquer do espaço, conforme a Figura 8.25 
 
 
Figura 8.25 – Distribuição Discreta de � Fontes Pontuais Isotrópicas. 
 
O leitor deve-se recordar que no Exemplo 8.2 o fluxo de nêutrons gerado por uma fonte pontual 
isotrópica depende da intensidade da fonte ��, do coeficiente de difusão do meio �, e 
principalmente da distância � entre a fonte pontual e ponto de observação � do fluxo, isto é, 
�(�) =
��
4��
���(−�/�)
�
, ����	� > 0.																																																																																	(8.179) 
Por analogia, o fluxo de nêutrons no ponto � gerado por uma fonte pontual arbitrária � é dada por: 
 
��(�) =
��
4��
���(−|� − ��|/�)
|� − ��|
, ����	� ≠ ��.