9 - AULA 8 - MECÂNICA TÉCNICA

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Capítulo 10 
Momentos de inércia 
Disciplina: Mecânica Técnica 
Engenharia de Produção 
Professora : MSc. Marcela Gonçalves Ferreira 
OBJETIVO 
 
 
Desenvolver um método para 
determinar o momento de inércia de 
uma área. 
 
DEFINIÇÃO DE MOMENTOS DE INÉRCIA 
PARA ÁREAS 
Sempre que uma carga distribuída atua perpendicularmente a uma área e 
sua intensidade varia linearmente, o cálculo do momento da distribuição 
de carga em relação a um eixo envolverá uma quantidade chamada 
momento de inércia de área. Por exemplo: 
 •P varia linearmente com a profundidade; 
 
•O momento dessa força em relação ao eixo 
x, é dM = y.dF = γ.y2dA, integrando dM 
sobre a área inteira da chapa gera: 
 
 M = γ ʃy2dA 
 
A INTEGRAL é CHAMADO de Momento de 
Inércia de área Ix, em relação ao eixo x. 
MOMENTO DE INÉRCIA 
•Por definição, os momentos de inércia de uma área 
diferencial dA em relação aos eixos x e y são dIx = y
2 dA e 
dIy = x
2 dA, respectivamente. 
•Para a área inteira A, os momentos de inércia são 
determinados por integração; ou seja, 
 
MOMENTO DE INÉRCIA 
Para a área inteira, o momento de inércia polar é 
 
•Essa relação entre JO e Ix, Iy é possível porque r
2 = x2 + y2. 
 
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS PARA UMA 
ÁREA 
O teorema dos eixos paralelos pode ser usado para 
determinar o momento de inércia de uma área em relação a 
qualquer eixo que seja paralelo a um eixo passando pelo 
centroide e em relação ao momento de inércia é conhecido. 
 
• Para o momento de inércia polar, como 
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS PARA UMA 
ÁREA 
TEMOS: 
• A forma de cada uma dessas três equações indica que o momento 
de inércia para uma área em torno de um eixo é igual ao seu 
momento de inércia em torno de um eixo paralelo passando pelo 
centroide da área mais o produto da área e o quadrado da distância 
perpendicular entre os eixos. 
MOMENTOS DE INÉRCIA PARA ÁREAS 
COMPOSTAS 
 Uma área composta consiste em uma série de partes ou 
formas ‘mais simples’ conectadas, como retângulos, 
triângulos e círculos. 
 
 Se o momento de inércia de cada uma dessas partes for 
conhecido ou puder ser determinado em relação a um 
eixo comum, então o momento de inércia da área 
composta em relação ao eixo é igual à soma algébrica 
dos momentos de inércia de todas as suas partes. 
 
Partes compostas 
 Usando um esboço, divida a área em suas partes 
compostas e indique a distância perpendicular do 
centroide de cada parte até o eixo de referência. 
 
Teorema do eixo paralelo 
 Se o eixo centroidal para cada parte não coincide 
com o eixo de referência, o teorema do eixo 
paralelo deve ser usado para determinar o momento 
de inércia da parte em relação ao eixo de referência 
Somatório 
 
 O momento de inércia da área inteira em relação ao 
eixo de referência é determinado pela soma dos 
resultados de suas partes compostas em relação a esse 
eixo. 
 
 Se uma parte composta tem um ‘furo’, seu momento 
de inércia é encontrado ‘subtraindo’ o momento de 
inércia do furo do momento de inércia da parte inteira, 
incluindo o furo. 
Exemplo 10.1 
• Foi escolhido para integração o elemento infinitesimal mostrado na figura. 
•Por causa da localização e orientação, todo o elemento está à distância y’ do eixo x’. 
•Nesse caso é necessário integrar de y’= - h/2 a y’= h/2 
•Como dA = bdy’ 
Letra a): 
(b) 
Letra b): Determine o momento de inércia com relação ao eixo xb que 
passa pela base do retângulo. 
O momento de inércia em relação a um eixo que passa pela base do retângulo pode 
ser obtido por meio da utilização do resultado de parte da letra a) e da aplicação do 
Teorema dos Eixos Paralelos. 
•Utilizando a equação abaixo, o momento polar de inércia em relação 
a C é portanto: 
•Sendo: 
Letra c) : Ao pólo ou eixo z´ perpendicular ao plano x´- y´ e que passa 
pelo centroide C. 
Para determinarmos o momento polar de inércia em relação ao ponto C, 
devemos primeiro obter Iy´ 
Exemplo 10.5 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS 
•PARTES CONSTITUINTES: A área composta é obtida pela subtração 
do círculo do retângulo, como mostra figura ao lado; 
 
•O CENTROIDE DE CADA ÁREA é localizado na figura. 
(a) (b) 
Calcule o momento de inércia da área composta mostrada na figura (a) 
abaixo em relação ao eixo x. 
•Teorema dos eixos paralelos: Os momentos de inércia em 
relação ao eixo x são determinados usando-se o teorema dos eixos 
paralelos e os dados da TABELA ( Tabela em anexo). 
CÍRCULO: 
RETÂNGULO: 
Distância do eixo x até o centro da figura! 
SOMATÓRIO: o momento de inércia da área composta é então: 
Exemplo 10.5 
Determine os momentos de inércia da área da seção reta da viga 
mostrada na figura abaixo, em relação e os eixos x e y que passam pelo 
centroide. 
Partes Constituintes: 
•A seção transversal da viga pode ser considerada uma composição das 
3 áreas retangulares A,B e D, mostradas na figura abaixo. 
•Para os cálculos, o centroide de cada uma desses retângulos está localizado 
na figura. 
(150 mm + 50 mm = 200 mm) 
Teorema dos eixos paralelos: De acordo com a tabela em anexo, 
o momento de inércia de um retângulo em relação ao eixo que passa pelo seu 
centroide é: 
 
•Utilizando o Teorema dos Eixos Paralelos 
para os retângulos A e D, os cálculos são 
os seguintes: 
Retângulo A: 
Em x: 
Em y: Lembrando que: 
Retângulo B: 
Retângulo D: 
Em x: 
Em y: 
Somatório: os momentos de inércia para toda a seção reta, 
dessa forma: 
Exercício 10.33 – Décima segunda edição 
Exercício 10. 59 – décima segunda edição