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Capítulo 9 Centroide por Área Composta Disciplina: Mecânica Técnica Engenharia de Produção Professora : MSc. Marcela Gonçalves Ferreira • Discutir o conceito do centro de gravidade e o centroide. • Mostrar como determinar o local do centro de gravidade e centroide para um sistema de partículas discretas e um corpo de forma arbitrária. Objetivos do Capítulo CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA E CENTROIDE DE UM CORPO Centro De Gravidade Um corpo é composto de uma série infinita de partículas de tamanho diferenciado, e assim, se o corpo estiver localizado dentro de um campo gravitacional, então cada uma das partículas terá um peso dW. Centro de gravidade Esses pesos formarão um sistema de forças aproximadamente paralelas, e o resultante desse sistema é o peso total do corpo, que passa por um único ponto chamado centro de gravidade, G. CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA E CENTROIDE DE UM CORPO Centro de Gravidade Imagine que o corpo está fixo dentro do sistema de coordenadas e esse sistema é girado em 90° em torno do eixo y. CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA E CENTROIDE DE UM CORPO Portanto, o local do centro de gravidade G com relação aos eixos x, y, z torna-se: CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA E CENTROIDE DE UM CORPO CENTRO DE MASSA DE UM CORPO Para estudar a resposta dinâmica ou movimento acelerado de um corpo, é importante localizar o centro de massa Cm do corpo. •Esse local pode ser determinado substituindo dW = g dm nas equações mostradas anteriormente. •Como g é constante, ele é removido, e portanto, CENTRO DE MASSA DE UM CORPO Se o corpo na figura ao lado é composto de um material homogêneo, então sua densidade r (rho) será constante. Portanto, um elemento diferencial de volume dV tem uma massa dm = r dV. Substituindo isso nas equações anteriormente apresentadas e removendo r, obtemos fórmulas que localizam o centroide C ou centro geométrico do corpo; a saber, CENTROIDE DE UM VOLUME Se o corpo na figura ao lado é composto de um material homogêneo, então sua densidade r (rho) será constante. Portanto, um elemento diferencial de volume dV tem uma massa dm = r dV. Substituindo isso nas equações anteriormente apresentadas e removendo r, obtemos fórmulas que localizam o centroide C ou centro geométrico do corpo; a saber, CENTROIDE DE UM VOLUME Essas equações representam um equilíbrio dos momentos do volume do corpo. Portanto, se o volume possui dois planos de simetria, então seu centroide precisa estar ao longo da linha de interseção desses dois planos. CENTROIDE DE UM VOLUME Exemplo: CENTROIDE DE UMA ÁREA Se uma área se encontra no plano x–y e estiver ligada pela curva y = f(x), como mostra a figura abaixo, então seu centroide estará nesse plano e pode ser determinado a partir de integrais semelhantes às equações anteriormente apresentadas, a saber, Por exemplo, se uma faixa vertical for usada, a área do elemento é dA = y dx, e seu centroide está localizado em Se considerarmos uma faixa horizontal, então dA = x dy, e seu centroide está localizado em CENTROIDE DE UMA ÁREA CENTROIDE DE UMA LINHA Se um segmento de linha (ou vara) se encontra dentro do plano x–y e pode ser descrito por uma linha curva y = f (x) (figura ao lado), então seu centroide é determinado a partir de: PONTOS IMPORTANTES O centroide representa o centro geométrico de um corpo. Esse ponto coincide com o centro de massa ou centro de gravidade somente se o material compondo o corpo for uniforme ou homogêneo. As fórmulas usadas para localizar o centro de gravidade ou o centroide simplesmente representam um equilíbrio entre a soma dos momentos de todas as partes do sistema e o momento do ‘resultante’ para o sistema. Em alguns casos, o centroide está localizado em um ponto que não está no objeto, como no caso de um anel, onde o centroide está no seu centro. Além disso, esse ponto estará em qualquer eixo de simetria para o corpo (figura ao lado). PONTOS IMPORTANTES Elemento diferencial Selecione um sistema de coordenadas apropriado, especifique os eixos de coordenadas e depois escolha um elemento diferencial para integração. Para linhas, o elemento é representado por um segmento de linha diferencial com comprimento dL. Para áreas, o elemento geralmente é um retângulo com área dA, tendo um comprimento finito e largura diferencial. PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE Elemento diferencial Para volumes, o elemento pode ser um disco circular de volume dV, com um raio finito e espessura diferencial. Localize o elemento de modo que ele toque no ponto arbitrário (x, y, z) na curva que define o limite da forma. PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE Comprimento e braços do momento Expresse o comprimento dL, área dA ou volume dV do elemento em termos das coordenadas descrevendo a curva. Expresse os braços do momento para o centroide ou centro de gravidade do elemento em termos das coordenadas que descrevem a curva. PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE Integrações Substitua as formulações para e dL, dA ou dV nas equações apropriadas. Expresse a função no integrando em termos da mesma variável que a espessura diferencial do elemento. Os limites da integral são definidos a partir dos dois locais extremos da espessura diferencial do elemento, de modo que, quando os elementos são ‘somados’ ou a integração é realizada, a região inteira é coberta. PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE Capítulo 9 Centroide por Área Composta CORPOS COMPOSTOS Um corpo composto consiste de uma série de corpos de formas ‘mais simples’ conectados, que podem ser retangulares, triangulares, semicirculares etc. Tal corpo normalmente pode ser seccionado ou dividido em suas partes componentes e, desde que o peso e a localização do centro de gravidade de cada uma dessas partes sejam conhecidos, podemos então eliminar a necessidade de integração para determinar o centro de gravidade para o corpo inteiro. O resultado são fórmulas: PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE PARTES COMPOSTAS Usando um esboço, divida o corpo ou objeto em um número finito de partes compostas que possuem formas mais simples. Se um corpo composto tem um furo, ou uma região geométrica sem material, então considere o corpo composto sem o furo e considere o furo como uma parte composta adicional de peso ou dimensão negativo. PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE BRAÇOS DO MOMENTO Estabeleça os eixos de coordenadas no esboço e determine as coordenadas do centro de gravidade ou centroide de cada parte. SOMATÓRIOS PROCEDIMENTOS PARA ANÁLISE Determine aplicando as equações de centro de gravidade ou as equações de centroide correspondentes. Se um objeto é simétrico em relação ao eixo, o centroide do objeto se encontra nesse eixo. Exemplo: Localize o centroide do fio mostrado na figura abaixo. • O fio é dividido em 3 segmentos: Obs.: 188,5 = 2πR / 2 = metade do círculo! • 60 = distância do braço, vai do eixo (0,0) de origem até o centro de cada figura! • x~ (mm) =0 , Não corta o eixo x! • - 38,2 mm = ȳ = 2R/p • - 10 mm = corta oe eixo z em – 10 mm. Assim: Exemplo 2) Localize o centroide da área da placa mostrada abaixo: Exemplo 2) Localize o centroideda área da placa mostrada abaixo: Assim:
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