Equação da Primeira Lei de Termodinâmica para Escoamento de Fluidos

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118 
 
 
 ESCOAMENTO DOS GASES E VAPORES 
 
RESUMO DA TEORIA 
 
10.1 Equação da Primeira Lei de Termodinâmica para fluxos de fluido. 
 
 Na técnica amplamente difundidos processos de transformação da energia no fluxo, 
quando o fluido transmite-se de região com alguns parâmetros ( P1, v1 ) ao região com os outros 
parâmetros ( P2, v2 ). Por exemplo, o trabalho mecânico obtém-se a custa da variação de energia 
cinética do fluído motor durante sua expansão na parte de escoamento das turbinas de vapor e á 
gás, nos motores de reacção e foguetes , durante compressão nos compressores, durante 
escoamento através de orifícios, bocais, difusores ou movimento nas condutas, etc. 
 Na Termodinâmica consideram-se os fluxos unidimensionais, estacionários, onde os 
parâmetros dependem de uma só coordenada, que coincide com direcção do vector da velocidade 
e não depende de tempo. A condição de continuidade de escoamento nestes fluxos consiste em 
igualdade de caudais mássicos do fluido em qualquer secção. 
 G = F  C / v = const ( 10.1 ) 
onde F – a área de secção transversal de canal em que o fluxo escoa, 
 C - a velocidade de fluido, 
 v - volume especifico do fluxo. 
 Consideraremos um sistema termodinâmico ( figura 10.1 ) , onde um fluido de trabalho 
escoando no tubagem 1 sob parâmetros na secção I-I T1 , P1 , v1 e com velocidade de C1 
dirige-se ao unidade termomecânico 2 ( turbina, compressor, gerador de vapor, etc. ). O sistema 
determina-se como aberto, pois através a sua fronteira alem de troca de calor e trabalho com o 
meio ambiente é admissível também, troca da massa. 
 q 
 I 2 II 
 1 3 
 
 
 I II 
 
 ltec 
Figura 10.1. Sistema termodinâmico aberto 
 
Aqui cada quilograma de fluido de trabalho, de modo geral, pode obter de fonte externa uma 
quantidade de calor q e executar um trabalho técnico ltec ( por exemplo, pôr em movimento o 
 
119 
rotor da turbina ) e depois é extraído através de válvula de escape 3 sob parâmetros na secção 
II-II T2 , P2 , v2 com velocidade C2 . 
 Da Primeira Lei, para um processo em regime permanente, concluímos que 
 q = u + l 
 A energia interna é função só de estado do fluido e u = u2 – u1 . 
 O trabalho de expansão l realiza-se pelo fluido de trabalho nas fronteiras de sistema. 
Algumas fronteiras são rigidas e trabalho de expansão aquí é igual a zero. Outras fronteiras 
especialmente fabricam-se moveis ( pás de trabalho das turbinas, embolo de motores alternativos 
etc. ), onde o fluido de trabalho executa o trabalho técnico ltec . 
Na entrada do sistema o fluido de trabalho deve ser empurrado ao canal ( unidade ), para isso é 
preciso superar a pressão P1 . Visto que, P1 = const cada quilograma do fluido motor pode 
ocupar o volume v gastando trabalho lemrp = - P1 v1 . Na saída da conduta de escape 3 o fluido 
de trabalho deve empuxar da mesma quantidade superar a pressão P2 , assim, cada quilograma 
de fluido ocupando do volume de v2 tem de executar um trabalho de empuxo de lempx = P2 v2 . 
A soma 
 lsubs = P2 v2 – P1 v1 ( 10.2 ) 
chama-se o trabalho de substituição. 
 Se a velocidade do fluxo na saída for maior que na entrada, uma parte de trabalho de 
expansão vai ser gasta para o aumento da energia cinética do fluxo 
 Ecin = C2
2
/ 2 – C1
2
 / 2 ( 10.3 ) 
 
 Por fim, no processo irreversível uma parte de trabalho gasta-se para superar as forças de 
atrito latr . 
 Assim, l = ltec + ( P2 v2 – P1 v1 ) + ( C2
2
/ 2 – C1
2
 / 2 ) + latr ( 10.4 ) 
 
 O calor fornecido para cada quilograma de fluido de trabalho consiste de calor dirigido de 
exterior e de calor de trabalho por atrito 
 q = qext + qatr ( 10.5 ) 
 
 Substituindo os valores obtidos de l e q à equação de Primeira Lei, teremos 
 qext + qatr = ltec + ( P2 v2 – P1 v1 ) + ( C2
2
/ 2 – C1
2
 / 2 ) + latr ( 10.6) 
 
Porquanto qatr = latr e u + P v = i , finalmente obtém-se 
 qext = i2 – i1 + ltec + ( C2
2
/ 2 – C1
2
 / 2 ) ( 10.7 ) 
 
 A equação ( 10.7 ) é a expressão da Primeira Lei de Termodinâmica para fluxo, que 
formula-se: 
O calor fornecido ao fluxo de fluido de trabalho de exterior gasta-se para aumento da 
entalpia do fluido de trabalho, produção de trabalho técnico e aumento da 
energia cinética do fluxo. 
Na forma diferencial a equação de ( 10.7 ) escreve-se como 
 






2
2C
ddldidq tecext ( 10.8 ) 
e é valido tanto para processos reversíveis, como para processos acompanhados por atrito. 
Lembrando que 
 dq = dqext + dqatr = di – v dP , daqui dqext = di - v dP – dlatr 
e comparando com ( 10.8 ) temos : 
 - v dP = dltec + dlatr + d ( C
2
/ 2 ) ou 
 
120 
 
atrtec
P
P
l
CC
ldPv 

 2
2
1
2
2
1
2
 ( 10.9 ) 
O valor de lo =  
1
2
P
P
dPv é denominado pelo trabalho disponível, e no diagrama P-v apresenta-
se pela areia 1-2-P2-P1 . 
 O trabalho disponível é acréscimo da energia 
 P cinética do gás que escoa num canal, que pode ser 
 P1 1 usado mas maquinas para transformar em outros 
 tipos de energia e, também, trabalho de desloca- 
 camento de canal. 
  
1
2
P
P
dPv Para calcular o valor de trabalho disponível 
 P2 2 ( fazer integração ) é preciso saber a relação entre 
 a pressão e volume especifico ou saber o caracter 
 do processo termodinâmico. 
 
 V Para processo politrópico P v
n
 = const 
Figura 10.2 . Apresentação do trabalho 
 disponível. lo = (P1 v1 – P2 v2 )n / ( n – 1 ) ( 10.10 ) 
 
Consideraremos aplicação resultados obtidos aos diferentes tipos de equipamento 
termomecânico. 
 
Termopermutador: O termopermutador é um dispositivo onde o calor é transmitido de uma 
substancia (gasosa ou liquida ) a outra. Aquí o trabalho técnico não realiza-se, ltec = 0 e 
geralmente(C2
2
 – C1
2 
) « qext , por isso 
 qext = i2 – i1 ( 10.11 ) 
É preciso sublinhar que a expressão ( 10.11 ) é valido tanto para processos reversíveis, 
isobáricos, como para processos irreversíveis com atrito, onde a pressão do fluido de trabalho 
reduz-es por cause de resistência. 
 
Motor térmico: Geralmente o fluido de trabalho executa trabalho técnico a custa de redução 
da entalpia e qext = 0 , ltec » ( C2
2
 – C1
2
 ) 
 ltec = i1 – i2 ( 10.12 ) 
A grandeza i1 – i2 chama-se salto térmico disponível. 
 
Compressor: Se o processo de compressão ocorre sem troca de calor com meio ambiente 
 qext=0 e C1 = C2 que é possível assegurar pelo selecção das secções das 
condutas de adução e de escape, obtém-se 
 ltec = i1 – i2 ( 10.13 ) 
Distinção de caso anterior é que o trabalho técnico no compressor gasta-se para aumento da 
entalpia do fluido de trabalho. 
 
Bocal e difusor: Os canais especialmente perfilados para aceleração do fluxo e dar lhe uma 
direcção bem determinada chamam-se bocais. Durante o escoamento do fluido através de bocais 
o fluxo se acelera devido a sua expansão. O movimento do fluido nos difusores ocorre com 
aumento da sua pressão e diminuição de velocidade. 
 
121 
 
 O trabalho técnico do fluido motor durante o escoamento nas condutas, bocais e difusores 
não se executa e frequentemente o processo de escoamento ocorre tão rapidamente que é 
possível desprezar a troca de calor entre o gás e o ambiente ( dqext = 0 ) . Neste caso 
da (10.8) temos a equação 
 
2
0
2
2
1
2
2
21
2 CC
iiou
dC
di

 ( 10.14 ) 
 No caso da velocidade inicial do fluxo vai ser igual a zero C1 = 0, para a 
velocidade de escape obtém-se a expressão: 
  21
2
2 2 iiC  ou C2 = )(2 21 ii  ( 10.15 ) 
 Portanto, a aceleração do fluxo adiabático ocorre a custa de diminuição da sua entalpia, a 
frenagem de fluxo relaciona com o seu aumento. 
Se a entalpia for expressa em kj/kg 
 212 72,44 iiC  ( 10.16 ) 
 Os valores da entalpia i1 e i2 determina-se das tabelas das propriedades de gases ou 
para vapor de água com ajuda do diagrama " I-S " . 
 Para os gases perfeitos o valor da velocidade determina-se através dos parâmetros de 
estado. 
      22112121
2
2
1
222 vPvP
k
k
TTciiC p 

 ( 10.17 ) 
 No caso escoamento adiabático: 
 




















k
k
P
P
vP
k
k
C
1
1
2
112 1
1
2
 ( 10.18 ) 
 
10.2 Escoamento de fluxos a parâmetros iniciais permanentes. 
 
Escoamento através de bocal convergente : Consideraremos um processo adiabático reversível 
do escoamento dum gás através de bocal convergente. Os parâmetros de gás na entrada de bocal 
são P1 , v1 , T1 e velocidade na entrada C1 . Admite-se a pressão na saída de bocal é igual a 
pressão do meio para onde o gás escoa P2 . Calculo de bocal consiste na determinação da 
velocidade e caudal mássico do gás na saída de bocal, sua área u correctamente escolher da sua 
forma. De ( 10.14 ) segue que 
 C2 = 
2
121 )(2 Cii  ( 10.19 ) 
 Algumas vezes é mais cómodo usar expressão ( 10.15 ) , admitindo que a área de entrada de 
bocal pode ser muito grande e velocidade C1 = 0. Outro caminho de aplicar da mesma expressão 
consiste na redução de parâmetros na entrada de bocal ao, assim chamadas, parâmetros de 
estagnação, que são parâmetros convencionais que possui o fluxo completamente frenado 
adiabaticamente. A entalpia de estado de estagnação , com base na Primeira Lei de 
Termodinâmica determina-se como : 
 
122 
 i* = i1 + C1
2
 / 2 ( 10.20 ) 
 O estado de estagnação para um gás típico ou vapor é apresentado na figura 10.3. 
 I P* Para gás ideal e escoamento adiabático 
 i* t* a velocidade de gás pode ser calculada 
 Estado de estagnação semelhante ( 10.18 ) . 
C1
2
/2 
 
P1 
























k
k
P
P
vP
k
k
C
1
1
2
112 1
1
2
 (10.21) 
 O caudal mássico do gás determina-se 
 Estado inicial com base de equação de continuidade 
 G = F2 C2 / v2 
 S onde F2 é área de secção da saída de 
 Figura 10. 3. definição do estado de bocal. 
 estagnação. Usando expressão ( 10.21 ) obtém-se 
 
 






























 k
k
k
P
P
P
P
v
P
k
k
FG
1
1
2
/2
1
2
1
1
1
2 ( 10.22 ) 
 
 Desta equação segue-se que o caudal do escoamento do gás ideal depende de área de 
secção da saída, de propriedades do fluido , de parâmetros iniciais e de grau de expansão 
=P2/P1 ( para simplificar a descrição das formulas deixamos de escrever índice * , lembrando 
que no caso de C1 > 0, em vez de parâmetros iniciais termodinamicos é preciso substituir 
parâmetros de estagnação ). A curva construída pela equação ( 10.22 ) indica ( figura 10.4 ) 
que o caudal deve ser zero quando P2 = P1 e quando P2/ P1=0 . Naturalmente, com redução 
da contrapressão P2 a partir de estado 1 , o caudal mássico de fluido aumenta-se e num estado 
que caracteriza-se pelo razão 
 cr = P2
critica
/ P1 . Pela expressão ( 10.22 ) a redução seguinte da pressão P2 também o caudal 
reduz-se ( linha interrompida ), mas como mostra de experiência, na faixa de 0 < P2 / P1 < cr o 
caudal mássico Go mantém-se constante . 
 Para explicar isso o cientista A.Sen-Venan Go=Gcr 
em 1839 propôs uma hipótese, que no bocal Go 
convergente é impossível obter pressão Go=f(P2/P1 ) 
na secção de saída menor de um valor C2 
denominado pressão critica , apesar de que C2=Ccr 
a pressão de meio para onde realiza-se 
escoamento pode ser menor deste valor. 
Respectivamente a velocidade do fluxo e o seu C2=f(P2 /P1 ) 
 caudal mássico determinam-se pelos seus 
valores na secção mais estreita, que é secção de 
 saída. A hipótese de A.Sen-Venan é justificada 0  cr 1P2/P1 
 experimentalmente . 
 O valor de razão critica de pressões Figura 10.4. Relação de velocidade e 
 determina-se como: caudal mássico de bocal em razão P2/P1 
 
123 
 
1
1
2
1
2)( 








k
k
cr
cr
kP
P
 ( 10.23 ) 
Assim, o valor de razão critica de pressões na saída e na entrada de bocal depende só de 
natureza do fluido de trabalho ( de expoente adiabatíco ). 
Com a diminuição do  = P2/P1 até os valores menores de cr o bocal convergente já não serve 
para aceleração do luxo e expansão do fluido de pressão Pcr até a pressão P2 ( menor de Pcr ) 
ocorre fora de bocal com as perdas de energia. 
 A velocidade máxima ( velocidade critica ) que pode ser alcançada no bocal convergente 
é velocidade de som , calculada pela expressão : 
 crcrcrcr kRTvPkaC  
ou 1111
1
2 vPvP
k
k
Ccr 

 ( 10.24 ) 
 aqui Pcr e vcr - são os parâmetros do gás na secção mais estreito onde estabelece-se a 
velocidade crítica . 
 P1 , v1 - são os parâmetros na entrada do bocal ; 
 o valor de coeficiente 
1
2


k
k
 ( 10.25 ) 
 O caudal mássico máximo , também, pode ser calculado como : 
 onde 
1
2
1
2
,
1
1
max
1
1
maxminmax











k
k
k
v
P
FG
k
 ( 10.26 ) 
 
 Das fórmulas (10.25 e 10.26) segue-se que os coeficientes, , max também 
como cr são funções de k, pois de natureza de fluido. 
 Na tabela 10.1 são apresentados as características do regime crítico do escoamento dos 
gases e vapores, paras diferentes valores k 
 
 Coeficientes cr ,  , max para diferentes gases Tabela 10.1 
 
K cr  max 
1.0 
1,1 
1,2 
1,3 
1,4 
1,5 
1,667 
0,6065 
0,5847 
0,5645 
0,5457 
0,5283 
0,5120 
0,4871 
1,000 
1,024 
1,044 
1,063 
1,080 
1,095 
1,118 
0,6064 
0,6283 
0,6484 
0,6672 
0,6846 
0,7010 
0,7261 
 
 
124 
Escoamento através de bocal de Laval : Para obter a velocidade de escoamento do fluxo na 
saída de bocal sónico ou supersónico é preciso construir um bocal especialmente perfilado. 
Ao regime de escoamento permanente em todas as secções do bocal o caudal mássico se mantém 
constante . Diferenciando da equação de continuidade (10.1), obtemos : 
 dF = G ( C dv - v dC ) / C
2
 ( 10.27 ) 
Dividindo pelo ( 10.1 ) vimos, que 
 dF / F = dv / v - dC / C ( 10.28 ) 
Considerando escoamento como adiabático de equação do processo P v
k
 = cte, depois de 
diferenciação temos dv / v = - dP / ( kP ) ( 10.29 ) 
Tomando em conta que durante escoamento do fluxo através de bocal não realiza-se trabalho 
técnico e desprezando as forças por atrito, dividindo expressão ( 10.9 ) por P v acha-se que 
 dP / P = - C dC / ( P v ) = - C
2
 dC / ( P v C ) ( 10.30 ) 
Substituindo à ( 10.28 ) em vez de dv /v a sua expressão de ( 10.29 ) e tomando em conta 
ultima expressão vimos à 
 
C
dC
a
C
c
dC
kPv
C
F
dF












 11
2
22
 ( 10.31 ) 
Visto que o bocal projectado serve para aceleração do fluxo o valor de dC > 0 de (10.31 ) segue 
que o sinal de dF depende de razão de velocidade de escoamento e velocidade de som C / a . 
Assim, quando aceleração do fluxo ocorre na faixa 0 < C < a , temos C / a < 1 e 
dF < 0 ou aceleração do fluxo até as velocidades menores de velocidade de som realiza-se no 
bocal divergente. A aceleração do fluxo na faixa de C > a ( até as velocidades supersónicas ) , 
quando C / a > 1 requer dF > 0 ou as velocidades supersónicas podem ser obtidos só durante 
de expansão do fluxo no bocal divergente. O bocal combinado com partes convergente e 
divergente, que serve para aceleração do fluxo até as velocidades supersónicas chama-se bocal 
de Laval em honra de engenheiro de Suéco Gustav Laval. 
 1 3 Neste bocal ( figura 10.5 ) na parte 
 2 convergente até a secção mínima 
 Pcr que se chama garganta, ocorre 
P1  P2 expansão do gás até a pressão 
 Ccr crítica com aceleração do fluxo 
 C1 C2 até velocidade sónica . 
 2 3 Na garganta de bocal mantém-se 
 1 Ccr C2 pressão critica e velocidade 
 P1 igual a velocidade de som 
 Pcr 
 crcrcr vPkC  (10.32) 
 C1 P2 
 
Figura 10.5 . Bocal de Laval e variação de velocidade 
 e da pressão ao longo de bocal. 
 
125 
No bocal do Laval correctamente projectado ocorre a expansão total do fluxo até a pressão final 
P2 com aceleração do fluxo até as velocidades supersónicas na sua parte convergente. Mas o 
valor do caudal mássico é determinado pelo valor da secção mínima e poder ser calculado das 
expressões (10.22), onde em vez de P2 deve se substituir a pressão crítica Pcr e área Fmin da 
garganta. O angulo de abertura da parte divergente  tem de ser menor de 10 -12 o para evitar 
desprendimento do fluxo de paredes do bocal. 
 Para calcular a velocidade de escape do bocal usa-se expressões (10.19) e (10.21). 
Se for dado o caudal mássico do fluxo, a área mínima do bocal determina-se da expressão: 
 
 
1
1
max
min
v
P
G
F cr

 ( 10.33 ) 
é a área da secção de escape 
 


























k
k
k
saida
P
P
P
P
v
P
k
k
G
F
1
1
2
2
1
2
1
1
1
2
 ( 10.34 ) 
O comprimento da parte divergente acha-se pela formula 
  
2
2min

tgddL saidadiv  ( 10.35 ) 
 
 Particularidades de escoamento de vapores: É preciso notar, que as fórmulas obtidas para os 
gases perfeitos não servem para o vapor da água porque o valor de k é variável. Cálculos do 
escoamento do vapor da água é melhorfazer na base nas expressões gerais (10.15 e 10.16), 
usando tabelas das propriedades de vapor ou diagrama I-S. 
 O valor da velocidade crítica , por exemplo, calcula-se como 
 crcr iiC  172,44 ( 10.36 ) 
onde entalpia inicial do vapor i1 [kj/kg] determina-se de tabelas com base nos dados P1 e t1 . O 
valor de icr não é possível determinar-se directamente, pois não é sabido o valor da pressão critica 
Pcr . Admitindo para vapor superaquecido na primeira aproximação k = 1,3 , calcula-se 
 
1
1 1
2 








k
k
cr
cr
kP
P
 = 0,5457 , 
e acha-se Pcr = cr P1 . Depois de diagrama I-S ou de tabelas das propriedades de vapor de 
água determinam se valores v1 = f ( P1 , t1 ) , s1 = f ( P1 , v1 ), vcr = f ( Pcr , s1 ) , que permitem 
pela expressão 
1
1
ln
ln
v
v
P
P
k
cr
cr determinar o valor de coeficiente adiabatico . 
 O valor de k calculado compra-se com o valor k admitido. Se os valores de k admitida e 
calculada não coincidem-se, os cálculos de cr repetem-se, para novo valor k. 
 
126 
 
 
 O método referido é valido para expansão 
 1 v1 P1 adiabática . 
 t1 Na expansão do vapor real, por causa das 
 irreversibilidades a velocidade real é menor 
 da velocidade teórica ( obtida no processo 
 s = cte vcr expansão real da expansão esentrópica ) 
 Pcr A razão da velocidade real e teórica 
 chama-se o coeficiente da velocidade 
 
 v2 P2 
teor
real
C
C
 ( 10.37 ) 
 i t1 A técnica moderna permite executar 
 s 2 os bocais com coeficiente de velocidade 
  = 0,95 - 0,98 
 
 Figura 10.6. Processos reversível Assim, a velocidade real do vapor 
 e irreversível de expansão do vapor que escoa através de bocal será: 
 no diagrama I-S . 212 72,44 iiC   ( 10.38 ) 
Introduzindo noção de eficiência de expansão do fluxo como 
 
oisentropicescoamentocombocaldesaidanacineticaEnergia
bocaldesaidanarealcineticaEnergia
i
 
obtêm-se relação entre o coeficiente de velocidade e eficiência de bocal 
  =  
 
Escoamento através de difusores. Os difusores são canais, onde o escoamento de fluido 
acompanha-se pelo aumento da sua pressão. O aumento de pressão ocorre á custa de redução da 
energia cinética do fluxo dC < 0. De equação ( 10.31 ) segue que no case de C / a < 1 a 
variação de área deve ser dF >0 , isto é quer dizer, se a velocidade na entrada de canal for 
menor da velocidade de som, o difusor deverá ser divergente ao direcção do movimento de 
fluido. Nocase da velocidade na entrada de canal for maior da velocidade de som C / a > 1 , o 
difusor deverá ser convergente dF < 0 . 
Para cálculos dos processos aos difusores são válidas mesmas fórmulas que para bocais. O 
trabalho da variação da pressão no caso de compressão adiabática é igual : 
 












1
122
1
1
2
11
2
2
2
1
12
k
k
P
P
vP
k
kCC
w ( 10.39 ) 
 Desta expressão acha-se a velocidade C2 quando é sabido a velocidade C1 ou vice-versa 
 
 
127 
 



















1
1
2
1
1
2
11
2
12
K
K
P
P
vP
k
k
CC ( 10.40 ) 
 
 ou 




















1
1
2
1
1
2
11
2
21
k
k
P
P
vP
k
k
CC ( 10.41 ) 
 Respectivamente as áreas de entrada e de saída respectivamente são 
 
2
2
2
1
1
1
C
vG
Fe
C
vG
F

 
Escoamento através de orifícios: O processo de escoamento através de orifícios cilíndricos ou 
de canto agudo é acompanhado pelo apertão do jacto e secção mínima é afastado de secção da 
saída ( figura 10.7 ) 
 dmin 
 P1 P2 d min P1 P2 
 
 d0 d0 
 
 
 
 
Figura 10.7 . Esquema de escoamento do jacto através de orifícios. 
 A razão de dmin
2
 / do
2
 =  chama-se coeficiente de estreitamento 
 Para determinação da velocidade de escoamento e caudal mássico usam-se mesmas 
formulas que para bocal convergente para zonas adequados. 
 






























 k
k
k
P
P
P
P
v
P
k
k
FG
1
1
2
/2
1
2
1
1
1
2 ( 10.42 ) 
aqui  é um coeficiente de descarga de orifício 
 F - área de orifício. 
O coeficiente de descarga para ar no caso de escoamento subsónico os valores de  são dados na 
tabela 10.2 . Preciso notar, que o valor maximo de caudal atraves de orificio tem o seu proprio 
valor de razão critica de pressões na saída e entrada cr
* 
 
 Coeficientes de descarga para orifícios de canto agudo. Tabela 10.2. 
Razão P2 / P1 0,676 0,641 0,606 0,559 0,529 0,037 
Coeficiente  0,680 0,700 0,710 0,730 0,740 0,850 
 
 
128 
A razão das pressões na saída e na entrada critica e os coeficientes de descarga máximo para 
escoamento ar e vapor são obtidos experimentalmente e apresentados na tabela 10.3. 
 
Razão das pressões critica e coeficientes de descarga critico. Tabela 10.3. 
 
 
Forma de orifício 
Razão critica de pressões 
cr
* 
Coeficiente de descarga 
critica cr 
Ar Vapor de água 
superaquecido 
Ar Vapor de água 
superaquecido 
 
d  /d < 0,3 
  
 
0,037 
 
0,100 
 
0,850 
 
0,760 
 
d  /d = 1 
  
 
0,180 
 
0,220 
 
0,870 
 
0,780 
 
d  /d = 1,5 
  
 
0,280 
 
0,240 
 
0,915 
 
0,900 
 
d  /d = 2 
  
 
0,420 
 
0,280 
 
0,928 
 
0,855 
 
 d  /d = 1 
  
 
 
0,520 
 
0,539 
 
0,982 
 
0,985 
 
O coeficiente de velocidade de orificio relaciona-se com coeficiente de descarga pelo expressão: 
 = 
 
 Escoamento dos gases incompressíveis. 
 Durante o escoamento dos líquidos admite-se que o volume específico não depende da 
pressão e nos bocais utiliza-se praticamente o salto total das pressões. 
 A velocidade do escoamento determina-se as expressões: 
 
   ,/102 5212 smPPvC  ( 10.43 ) 
Sendo que v - volume específico do fluido motor, em m
3
/ kg; 
 P1 e P2 - pressões na entrada e saída de bocal, em bar. 
Caudal mássico será : 
2
22
v
CF
G  
 
 
129 
10.3. Escoamento de volume sob parâmetros iniciais variáveis 
 
Escoamento de um volume finito através de orifício de secção permanente: Consideremos o 
escoamento do gás de um reservatório com capacidade V0 , através dum orifício da área F num 
espaço com pressão P2 . Os parâmetros iniciais do gás são P1 e v1 . O tempo necessário para a 
pressão no reservatório reduz-se até o valor Pi determina-se pelas condições de escoamento. 
Se escoamento realiza-se na região supersónica: P2 / Pi < cr 
 
 
 
s
P
P
vPFn
V
n
n
i
o ,1
1
2
2
1
1
11max
















 ( 10.44 ) 
aqui n- expoente politrópico do processo da variação do estado no reservatório; 
  - coeficiente de descarga do orifício 
 
Para escoamento, quando dentro de reservatório a temperatura não varia ( processo isotérmico 
com n =1 ) 
 s
P
P
n
vPF
V
i
o ,1
11max




 ( 10.45 ) 
 
 Se o escoamento inicia na região supersónica e termina até fronteira supersonica-
subsonica: 
 
 
s
P
P
vPFn
V
n
n
cro
cr ,1
1
2
2
1
2
1
11max

















 ( 10.46 ) 
aqui 
1
1
1
2









kk
cr 
No caso n=1 
 
 s
P
P
n
vPF
V cro
cr ,
2
1
11max


  ( 10.47 ) 
 
Se o escoamento realiza-se totalmente na região subsónica o tempo da diminuição da pressão no 
reservatório até valor Pi acha-se da expressão. 
 
   szz
P
P
vPnF
V
i
n
n
,1
2
1
2
1
11
0 








 ( 10.48 ) 
aquí 













in
n
i
P
P
P
P
i
P
P
d
P
P
zz
i
2
2
1
2
1
1
2
1
2 
 ( 10.49 ) 
 
130 
sendo que 

























k
k
k
i P
P
P
P
k
k
1
1
2
2
2
1
2 ( 10.50 ) 
O valor ( zi - z1 ) determina-se na curva de integral, construída como resultado de integração 
graficamente da parte direita da equação ( 10.49 ) . Na figura 10.8 é apresentada o esquema tal 
integração, onde: 
linha 1 - 
n
n
iP
P 2
1
2







; linha 2 é 
n
n
iP
P 2
1
2







 ; linha 3 -
n
n
P
P 2
1
1
2
1








; linha 4 -  












1
2
2
1
1
2
1
P
P
d
P
P n
n

. 
 
 Z 3 
 max  
 4 
 2 
 
 
 1 
 zi 
 z1 
 cr 1  = P2 / Pi 
 P2/P1 P2/Pi 
Figura 10.8. Ao integração graficamente do valor zi - z1 
Com base nas equações (10.44) - (10.50) determina-se o tempo necessário para diminuição da 
pressão no reservatório de P1 até Pi , quando são dados P2 / P1 e P2 / Pi e significa valores 
z1 e zi ou calcula-se pressão Pi que instala-se no reservatório daqui a  segundos depois de 
inicio de escoamento. 
Se o escoamento começa na zona supersónica e termina na zona subsónica para cálculos utilizam-
se as expressões 
 
 
sz
P
P
nP
P
nvPF
V
i
n
n
n
n
cro ,
1
1
1
2 2
1
2
12
1
2
1
max11 





















 









 ( 10.51 ) 
 para escoamento isotérmico n=1 
 
 sz
P
P
n
vPF
V
i
cro ,
1
.. 2
1
max11











  ( 10.52 ) 
 
 Os valores zi são apresentados na tabela A8.1 de anexo 
 
 
 
131 
10.4. Estrangulação. 
 A estrangulação é um processo de redução da pressão do fluxo sem produção de trabalho 
externo e sem fornecimento ou rejeição de calor durante passagem numa resistência local. 
 A estrangulação, por exemplo, ocorre durante passagem do fluxo através dum diafragma 
instalada no tubagem , dispositivo que frequentemente usa-se para medir o caudal mássico do 
fluxo ( figura 10.9 ). 
 
 I II 
 
 d do d 
 C1 C2 
 
 I II 
 P1 
 P2
*
 
 
 P2 
 
 0 Lcanal 
 Figura 10.9 . Esquema de estrangulação do fluxo e variação 
a pressão ao longo de canal 
 
 A pressão P2 do fluido após o diafragma verifica-se que menor de P2
*
 que é no caso da 
seu ausência. Diminuição da pressão acompanha-se pelo aumento do volume específico. Tal 
processo irreversível de expansão do fluxo de gás, como foi dito é estrangulação. O valor da 
queda da pressão (P1 - P2) depende da natureza do fluído motor, dos seus parâmetros do 
estado, do valor do estreitamento da tubagem e da velocidade do movimento dos gases. 
Como regra, a estrangulação está relacionado com diminuição da capacidade do trabalho do 
fluido motor e tem carácter negativo. 
 Mas ás vezes o estreitamento cria-se artificialmente e serve para regulação das potências 
de máquinas de vapor, usa-se nas máquinas frigoríficas ou nos aparelhos de medição de caudal. 
 Durante passagemdo fluido pelo orifício, que representa uma resistência ao escoamento, a 
energia cinética aumenta-se o que provoca diminuição da pressão. 
 De acordo com expressão (10.14 ) , escrito para secções I e II i1 - i2 = 0,5 ( C2
2
 - C1
2
 ), 
onde i1 e i2 respectivamente entalpias do fluido nas secções I e II. Na pratica admite-se que 
a variação das velocidades é muito pequena e C1  C2 . Daqui segue que i1 = i2 e , assim, o 
processo adiabático de estrangulação é isentalpico. 
 Para gases ideais di = cp dt , portanto durante estrangulação a temperatura do gás ideal 
também mantém-se constante , t1 = t2 
Durante de estrangulação do gás real uma parte da energia cinética do gás gasta-se para superar 
as forças por atritos e por resistência do escoamento e transforma-se em calor e, como resultado, 
 
132 
a temperatura do gás altera-se. Como mostra de experiência a sinal de variação da temperatura 
pode ser tanto positivo dT / dP > 0 ( gás durante de estrangulação arrefece-se ) , como negativo 
dT / dP < 0 ( gás durante de estrangulação aquece-se ). Tal comportamento de estrangulação 
adiabática do gás real é conhecido como efeito de Joule-Tomsson (foi descoberto em 1852 por 
experiência) . 
 O estado de gás ao qual o valor de dT / dP = 0 chama-se ponto de inversão de efeito de 
Joule-Tomsson e a temperatura correspondente dado estado - temperatura de inversão. 
 
Para hidrogénio a temperatura de inversão é de -57°C, para hélio -239°C. A estrangulação 
adiabática utiliza-se na técnica para liquefação de gases ou para obter as temperaturas dos gases 
baixas (menores da temperatura de inversão ). 
 A estrangulação é um típico processo irreversível, onde como resultado a entropia de 
fluido de trabalho aumenta-se sem fornecimento de calor. Como qualquer processo irreversível a 
estrangulação conduz as perdas de trabalho disponível. Por exemplo, se o vapor na entrada duma 
turbina de vapor for estrangulado adiabaticamente ( figura 10. 10 ) , o seu trabalho técnico 
diminui-se Ho
*
 < Ho . 
 
 Po Po
* 
 io = cte 
 
 Ho
*
 
 Ho 
 i1
* 
 i 
 i1 
 s 
 Figura 10.10 . Estrangulação adiabática de vapor de água 
 
 As vezes a estrangulação utiliza-se para regulação da potência das maquinas térmicas, 
sendo muito simples pela sua construção, mas evidentemente que tal regulação não é razoável 
economicamente, pois perde-se uma parte de trabalho. 
 
 
 
EXERCÍCIOS. 
 
 
10.1 O ar sob parâmetros de pressão P1 = 15 bar e temperatura t1 = 100
 o
C escoa através 
 um bocal convergente ao meio sob pressão de P2 = 9 bar. Determinar da velocidade 
teórica de escoamento. 
 Resposta: 
 C2 =319 m / s 
 
133 
 
10.2 O ar com parâmetros iniciais P1 = 15 bar e temperatura t1 = 100 
o
C escoa através de 
 bocal convergente de diâmetro de jusante de d = 10 mm ao meio sob pressão de 
 P2 = 2 bar. Determinar a velocidade de escoamento do ar e o seu caudal mássico, se o 
coeficiente de velocidade do bocal  = 0,85. 
 Resposta: 
 C2 = 300,4 m / s ; Gmax = 0,247 kg / s . 
 
10.3 O vapor saturado seco sob pressão de 15 bar escoa através de bocal convergente ao 
 meio sob pressão de 0,05 bar . Determinar a velocidade teórica de escoamento e caudal 
mássico, se o diâmetro de jusante de bocal é de 5 mm. 
 Resposta: 
 C2 = Ccr = 459,1 m / s ; Gmax = 0,042 kg / s. 
 
10.4 O vapor superaquecido sob parâmetros de 25 bar e 450
 o
C escoa através de um bocal ao 
 meio sob pressão de 3 bar. Determinar qual deve ser forma de bocal para obter a 
velocidade máxima de escoamento, calcular valor desta velocidade e caudal mássico que escoa, 
admitindo secção mínima de bocal tem diâmetro de 5 mm e coeficiente de velocidade de 0,9 . 
 Resposta: 
 Bocal tipo de Laval; C2 =1045,4 m/s; Gmax = 0,0569 kg/s 
 
10.5 Através dum bocal de Laval escoa vapor superaquecido sob parâmetros P1 = 30 bar e 
 temperatura t1 = 400 
o
C ao meio sob pressão de P2 = 3 bar, Determinar a razão de 
volumes específicos na garganta e na jusante de bocal no caso de expansão adiabática e no case 
de expansão politrópica, admitindo coeficiente de velocidade de bocal  = 0,9 . 
 Resposta: 
 Expansão adiabática v2 / vgarg = 3,755 
 Expansão politrópica v2 /vgarg = 4,076 
 
10.6 O ar comprimido até a pressão absoluta de 19,62 bar e temperatura de 50
o
C expande- 
 -se no primeiro caso até pressão de 11,77 bar e no segundo caso até pressão 7,85 bar , 
escoando através de bocais . Seleccionar de forma de bocal para completamente aproveitar da 
energia disponível e calcular as velocidades de escoamento , se expansão admite-se como 
adiabático. 
 Resposta: 
 Caso primeiro bocal convergente, C2 = 299 m/s; 
 Caso segundo bocal de Laval, C2 = 386 m/s . 
 
10.7 Como altera-se a velocidade de escoamento para dados de problema 10.6 se expansão 
 realiza-se tomando irreversibilidade e admite-se coeficiente de velocidade no ambos casos. 
 Resposta : 
 1 caso C2 = 269 m/s; 
 2 caso C2 = 346 m/ s. 
10.8 De balão de volume de 200 l ocorre escoamento de oxigénio através da válvula de 
 diâmetro de 5 mm . Parâmetros iniciais de oxigénio são P1 = 30 atm e temperatura de 
t1 = 15 
o
C , escoamento realiza-se ao ambiente sob pressão de P2 = 1 atm. Determinar que 
tempo é necessário para obter pressão à balão de 5,65 atm e que quantidade de oxigénio foi 
extraído. Admitira a lei de variação do estado do oxigénio à balão P v = const e o coeficiente de 
descarga do orifício da válvula  = 0,9. 
 Resposta : 
 
134 
   100 s ; G = 6,37 kg . 
 
10.9 Num reservatório de capacidade 5 m
3 
 encontra-se ar comprimido sob pressão de 
 24,5 bar e temperatura de 40
o
C . Depois de abertura de válvula de diâmetro 15mm o 
ar começa escoar ao ambiente sob pressão barométrica 760 mm Hg . A variação do estado do ar 
no reservatório obedece processo politrópico com n = 1,22. Admitindo o coeficiente de 
velocidade  = 0,9 e o coeficiente de descarga do orifício da válvula  = 0,82 , determinar 
tempo necessária para pressão cai até valor de 4,9 bar e velocidade de escoamento neste 
instante. 
 Resposta: 
  = 243 s ; C2 = 252 m / s . 
 
10.10 Na entrada dum bocal o ar possui parâmetros P1 = 1,5 bar , t1 = 30 
o
C e velocidade 
 C1 =250 m / s . Determinar a temperatura e a pressão de estagnação isentrópica, 
considerando o ar como gás perfeito. 
 Resposta: 
 P1
* 
 = 1,9 bar ; t1
*
 = 51 
o
C . 
 
10.11 Determinar a velocidade de som no ar a temperatura de 450 
o
C e no vapor saturado 
 seco a temperatura 350 
o
C. 
 Resposta: 
 aar = 539 m / s ; avap = 406,6 m / s.10.12 Vapor de água em quantidade de 8000 kg / h e sob parâmetros P1= 60 bar e 
 t1 = 345 
o
C dirige-se ao bocal sob velocidade de 150 m / s. A pressão de vapor na 
saída de bocal é de 20 bar . Admitindo o escoamento como adiabático reversível determinar 
áreas de garganta e de saída de bocal. 
 Resposta: 
 Fgarg = 0,00028 m
2
 ; F2 = 0,000314 m
2
. 
 
10.13 Num motor de reacção , onde queima-se mistura de querosene e oxigénio liquido a 
 pressão e temperatura de gases de combustão são P1 = 150 bar e T1 = 3680 K e na 
jusante de bocal P2 = 0,5 bar e T2 = 1810 K.. Determinar a velocidade de saída de bocal e 
caudal mássico através de bocal se área de jusante F2 = 0,65 m
2 
 e a massa molecular de produtos 
de combustão 
 = 22,5 kg / mole . 
 NOTA: O expoente adiabático de produtos de combustão determinar de equação 
 
k
k
P
P
T
T
1
2
1
2
1







 Resposta: C2 = 3372,2 m / s ; G = 163,87 kg / s . 
 
10.14 Nas pás de bocal duma turbina a gás a velocidade do fluxo aumenta-se de 165 m/s 
 até 590 m / s . calcular das alterações de entalpia do gás. 
 Resposta :  i = 160,4 kJ / kg 
 
10.15 Determinar velocidade dos gases na saída de bocais duma turbina á gás se entalpia dos 
 gases na entrada de bocais é de i1 = 1000 kJ / kg e na saída de i2 = 880 kJ / kg. A 
velocidade na entrada de bocal é de C1 = 160 m / s . 
 Resposta: 
 C2 = 515,4 m / s . 
 
135 
 
10.16 Na câmara de combustão dum motor de avião a temperatura de gases altera-se de 500 K 
 até de 1200 K e velocidade de gases respectivamente de 100 m / s até 200 m / s . 
Admitindo o calor especifico de gás cP = 1 ,09 kJ / kg K , determinar quantidade de calor 
libertado na câmara de combustão. 
 Resposta: 
 q = 778 kJ / kg . 
 
10.17 Por que vezes altera-se velocidade de escoamento do fluido de trabalho de turbina, 
 se o bocal convergente substituir pelo bocal de Laval. A pressão na entrada de bocais é de 
 25 bar , pressão na saída 1,2 bar . Considerar que os gases possuem as propriedades de ar. 
 Resposta: 
 Por 1 865 vezes. 
 
10.18 Nitrogénio sob pressão de 30 bar e temperatura de 250
o
C escoa ao meio sob pressão 
 de 6 bar. Seleccionar tipo de bocal para completamente aproveitar queda de pressões 
disponível e calcular velocidade na saída de bocal. 
 Resposta: 
 Bocal de Laval, C2 = 633 m / s . 
 
10.19 Determinar tamanhos da garganta e da secção de saída um bocal de Laval, se a 
 pressão na entrada de bocal é 7 bar , temperatura 27
o
C e caudal mássico 7200 kg/ h. 
Pressão do meio para onde realiza-se escoamento é de 1 bar. Como se altera a velocidade e o 
caudal mássico do ar , se a temperatura na entrada de bocal aumenta-se até 177 
o
C ? Como é 
preciso alterar dos tamanhos de bocal para deixar o caudal mesmo ? 
 Resposta: 
 Fgarg = 12,24 cm
2
 ; F2 = 19,44 cm
2
 ; 
 A temperatura de 177
o
C a velocidade aumenta-se, 
 mas caudal diminui-se até de 5850 kg / h. 
 Para deixar caudal mesmo é preciso aumentar 
 da área de garganta até Fgarg
*
 = 14,99 cm
3
 . 
 
10.20 De balão da capacidade 36 l ocorre escoamento do ar comprimido ao ambiente sob 
 pressão de 750 mm Hg através de orifício cilíndrico de diâmetro de 10 mm. Admitindo 
que no balão mantém se pressão de 60 bar e temperatura de 23 
o
C , determinar a velocidade de 
escoamento e caudal mássico do ar extraído. 
 Resposta: 
 C = 314,6 m / s ; G = 1,107 kg / s .