Delineamento Experimentais UERGS SLIDES

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Delineamentos Delineamentos 
ExperimentaisExperimentais
Prof. Dra. Adriana DantasProf. Dra. Adriana Dantas
UERGS UERGS 
Planejamento de ExperimentosPlanejamento de Experimentos
 
Delineamentos EstatísticosDelineamentos Estatísticos
É o processo de planejar e conduzir É o processo de planejar e conduzir 
um ensaio ou experiência, incluindo um ensaio ou experiência, incluindo 
a sua implantação, de modo que seja a sua implantação, de modo que seja 
possível recolher dados que possam possível recolher dados que possam 
ser analisados, usando as ser analisados, usando as 
metodologias estatísticas metodologias estatísticas 
apropriadas, e que conduzam a apropriadas, e que conduzam a 
conclusões válidas e objetivas.conclusões válidas e objetivas.
 
Delineamento experimentalDelineamento experimental
1. Reconhecimento do problema e objetivos1. Reconhecimento do problema e objetivos
2. Identificação das unidades experimentais2. Identificação das unidades experimentais
3. Seleção dos fatores, tratamentos3. Seleção dos fatores, tratamentos
4. Seleção da(s) variável(eis)-resposta4. Seleção da(s) variável(eis)-resposta
5. Escolha do tipo de delineamento5. Escolha do tipo de delineamento
6. Realização do ensaio e recolha de dados6. Realização do ensaio e recolha de dados
7. Análise estatística dos resultados7. Análise estatística dos resultados
8. Conclusões e recomendações8. Conclusões e recomendações
 
Delineamento experimentalDelineamento experimental
 Identificação das unidades experimentaisIdentificação das unidades experimentais
• Adequação ao ensaioAdequação ao ensaio
• UniformidadeUniformidade
 No. de unidades experimentais disponíveisNo. de unidades experimentais disponíveis
 Serão necessários blocosSerão necessários blocos
 
FatoresFatores
 Variáveis independentesVariáveis independentes
 São as variáveis controladas pelo São as variáveis controladas pelo 
experimentador, e que se pretende experimentador, e que se pretende 
testar se produzem algum efeito testar se produzem algum efeito 
numa (ou várias) variável-resposta.numa (ou várias) variável-resposta.
 Fatores fixos: número fixo de níveis;Fatores fixos: número fixo de níveis;
 Fatores aleatórios: amostra aleatória Fatores aleatórios: amostra aleatória 
de níveisde níveis
 
TratamentosTratamentos
 São os vários níveis de cada um dos São os vários níveis de cada um dos 
fatores do ensaio.fatores do ensaio.
 Controle ou testemunha:Controle ou testemunha:
• É um dos níveis do fator, e que serve de É um dos níveis do fator, e que serve de 
termo de comparação aos restantes termo de comparação aos restantes 
tratamentos.tratamentos.
 Pode ser o “nível zero” de um fator.Pode ser o “nível zero” de um fator.
 
Unidade experimentalUnidade experimental
 É a unidade física que recebe cada É a unidade física que recebe cada 
um dos tratamentos, e na qual se vai um dos tratamentos, e na qual se vai 
quantificar o efeito desse quantificar o efeito desse 
tratamento.tratamento.
 Pode ser um vaso, um talhão, uma Pode ser um vaso, um talhão, uma 
planta, um animal, um lote de planta, um animal, um lote de 
animais, etc.animais, etc.
 Homogeneidade das unidades Homogeneidade das unidades 
experimentaisexperimentais
 
Repetição ou ReplicaçãoRepetição ou Replicação
 É a atribuição do mesmo tratamento É a atribuição do mesmo tratamento 
a várias unidades experimentais.a várias unidades experimentais.
 Objetivos:Objetivos:
• Estimar o erro experimentalEstimar o erro experimental
• Estimar o efeito do tratamentoEstimar o efeito do tratamento
 Repetição Repetição ≠ ≠ Medidas repetidasMedidas repetidas
 
AleatorizaçãoAleatorização
 As unidades experimentais devem receber As unidades experimentais devem receber 
os tratamentos de um modo os tratamentos de um modo 
completamente aleatório.completamente aleatório.
 A análise estatística requer que as A análise estatística requer que as 
observações (isto é, os dados recolhidos observações (isto é, os dados recolhidos 
das unidades experimentais) sejam das unidades experimentais) sejam 
variáveis aleatórias independentes.variáveis aleatórias independentes.
 A aleatorização garante este pressupostoA aleatorização garante este pressuposto
 
Seleção dos fatoresSeleção dos fatores
 Três tipos de fatores (quanto à Três tipos de fatores (quanto à 
importância):importância):
• Fatores importantes e interessantes Fatores importantes e interessantes (“design (“design 
factores”)factores”)
• Fatores importantes mas não interessantes Fatores importantes mas não interessantes 
(“held constant factores”) = (“held constant factores”) = Uniformização Uniformização 
pelos blocospelos blocos
• Fatores menos importantes Fatores menos importantes (“allowed-to-vary”)(“allowed-to-vary”)
 Natureza dos fatoresNatureza dos fatores
 Numéricos - Modelos de regressãoNuméricos - Modelos de regressão
 Categóricos - Modelos de ANOVACategóricos - Modelos de ANOVA
 
Tipo de fatores quanto ao efeitoTipo de fatores quanto ao efeito
 Fatores de efeito fixoFatores de efeito fixo
 Fatores de efeito aleatórioFatores de efeito aleatório
 Para cada fator, quantos níveis ou Para cada fator, quantos níveis ou 
tratamentos?tratamentos?
 Atenção à complexidade!Atenção à complexidade!
 
Seleção da variável-respostaSeleção da variável-resposta
 Variável aleatóriaVariável aleatória
 Tipo de variávelTipo de variável
 escalar, ordinal, %, escalar, ordinal, %, 
 Tempo de respostaTempo de resposta
 Adequação aos objetivos do ensaioAdequação aos objetivos do ensaio
 Ensaios com múltiplas respostasEnsaios com múltiplas respostas
 Vantagens em termos de optimizaçãoVantagens em termos de optimização
 Atenção à complexidade!Atenção à complexidade!
 
Escolha do tipo de delineamentoEscolha do tipo de delineamento
 Uni ou multi-fatorialUni ou multi-fatorial
 Número de repetições (tamanho Número de repetições (tamanho 
amostral)amostral)
 Blocos? (Uniformidade das unidades Blocos? (Uniformidade das unidades 
experimentais)experimentais)
 Equilibrado ou desequilibradoEquilibrado ou desequilibrado
 AleatorizaçãoAleatorização
 
 Realização do ensaio e recolha de Realização do ensaio e recolha de 
dadosdados
 Análise estatística dos resultadosAnálise estatística dos resultados
 A Estatística não descobre nada de A Estatística não descobre nada de 
novo; é apenas uma ferramenta que novo; é apenas uma ferramenta que 
auxilia a realçar o que os dados têm auxilia a realçar o que os dados têm 
a dizer!a dizer!
 Conclusões e recomendaçõesConclusões e recomendações
 
Delineamento Completamente Delineamento Completamente 
AleatórioAleatório
 Todas as unidades experimentais deverão ser Todas as unidades experimentais deverão ser 
homogêneas. homogêneas. 
 É o delineamento que assegura completa É o delineamento que assegura completa 
aleatorização na distribuição dos tratamentos às aleatorização na distribuição dos tratamentos às 
unidades unidades 
 Facilidade de implantação Facilidade de implantação 
 Flexibilidade: número de tratamentos; repetiçõesFlexibilidade: número de tratamentos; repetições
 Facilidade de interpretação dos resultados: a Facilidade de interpretação dos resultados: a 
variabilidade é apenas devida aos tratamentos ou variabilidade é apenas devida aos tratamentos ou 
ao erro experimentalao erro experimental
 Maximiza os graus de liberdade do erro Maximiza os graus de liberdade do erro 
experimentalexperimental
 
Delineamento completamente Delineamento completamente 
casualizado (DCC)casualizado (DCC)
 O DDC é o mais simples de todos os O DDC é o mais simples de todos os 
delineamento estatísticodelineamento estatístico
 Levam em conta somente princípios da Levam em conta somente princípios da 
repetição e da casualização, repetição e da casualização, semsem controle controle 
locallocal
 Dessa forma, os tratamentos são localizados Dessa forma, os tratamentos são localizadosnas parcelas de uma maneira totalmente nas parcelas de uma maneira totalmente 
aleatória. aleatória. 
 Pelo fato de não terem controle local, exige-Pelo fato de não terem controle local, exige-
se que o ambiente do experimento seja o se que o ambiente do experimento seja o 
mais uniforme possível. mais uniforme possível. 
 São recomendados na experimentação em São recomendados na experimentação em 
laboratórios, viveiros, casa-de-vegetação, laboratórios, viveiros, casa-de-vegetação, 
estábulo, etc.estábulo, etc.
 
VantagensVantagens
 Qualquer número de tratamentos Qualquer número de tratamentos 
ou de repetições pode ser usadoou de repetições pode ser usado
 O número de repetições pode O número de repetições pode 
variar de um tratamento para variar de um tratamento para 
outrooutro
 A análise estatística é a mais A análise estatística é a mais 
simplessimples
 O número de graus de liberdade O número de graus de liberdade 
para o resíduo é o maior possívelpara o resíduo é o maior possível
 
DesvantagensDesvantagens
 Exige homogeneidade total Exige homogeneidade total 
das condições experimentaisdas condições experimentais
 Conduz estimativas elevadas Conduz estimativas elevadas 
do erro experimentaldo erro experimental
 
Instalação do experimento DCCInstalação do experimento DCC
 Consideremos um experimento com 4 Consideremos um experimento com 4 
tratamentos (A, B, C e D) e 5 repetições, tratamentos (A, B, C e D) e 5 repetições, 
que dá um total de 20 parcelas (que é o que dá um total de 20 parcelas (que é o 
numero mínimo de parcelas exigido por numero mínimo de parcelas exigido por 
ensaio) Então temos:ensaio) Então temos:
A2B3D3C3D5C5C1A5D1C2
C4B5A4B4B2D4B1D2A3A1
Observa-se que todos os tratamentos com suas respectivas repetições Observa-se que todos os tratamentos com suas respectivas repetições 
foram distribuídos aleatoriamente nas parcelas.foram distribuídos aleatoriamente nas parcelas.
 
EtapasEtapas
1.1. Definir o local onde o experimento será conduzido, Definir o local onde o experimento será conduzido, 
que neste caso, seria, por exemplo, o laboratório, a que neste caso, seria, por exemplo, o laboratório, a 
casa de vegetação, um estábulo, etc.casa de vegetação, um estábulo, etc.
2.2. Identificar as parcelas experimentais com etiquetas, Identificar as parcelas experimentais com etiquetas, 
plaquetas, etc., seguindo o que consta no croqui do plaquetas, etc., seguindo o que consta no croqui do 
experimento. As parcelas nesse caso poderiam ser, experimento. As parcelas nesse caso poderiam ser, 
por exemplo, placas de petri, vasos, caixas, baias, por exemplo, placas de petri, vasos, caixas, baias, 
gaiolas, etc.gaiolas, etc.
3.3. Distribuis as parcelas experimentais no local onde o Distribuis as parcelas experimentais no local onde o 
experimento será conduzido, conforme croqui do experimento será conduzido, conforme croqui do 
experimentoexperimento
4.4. Colocar as plantas, animais, etc., correpondentes ao Colocar as plantas, animais, etc., correpondentes ao 
seu respectivo tratamento em cada parcela.seu respectivo tratamento em cada parcela.
 
Efeito de 4 doses de penicilina no desenvolvimento Efeito de 4 doses de penicilina no desenvolvimento 
de colónias de de colónias de Escherichia colli.Escherichia colli.
 A penicilina é adicionada ao meio de cultura.A penicilina é adicionada ao meio de cultura.
 Ensaio laboratorial: cultura em estufa à Ensaio laboratorial: cultura em estufa à 
temperatura constante de 25ºCtemperatura constante de 25ºC
 As unidades experimentais são as caixas de PetriAs unidades experimentais são as caixas de Petri
 É um tratamento uni-factorial: único tratamento É um tratamento uni-factorial: único tratamento 
n dosen dose
 4 níveis do fator ou 4 tratamentos4 níveis do fator ou 4 tratamentos
 Variável resposta: diâmetro da colônia de Variável resposta: diâmetro da colônia de E. colliE. colli, , 
em cm, em cada uma das placas de Petriem cm, em cada uma das placas de Petri
 
 
Esquema da Análise da VariânciaEsquema da Análise da Variância
Inteiramente CasualizadoInteiramente Casualizado
ou Completamente Casualizadoou Completamente Casualizado
Causas da 
variação 
Graus de 
liberdade 
(GL) 
Soma dos quadrados 
(SQ) 
Quadrados médios 
(QM) 
F calculado 
Entre amostras t - 1 SQ 1 QM 1 = SQ 1/t-1 F= QM 1 / QM 2 
Dentro das 
amostras 
T (r-1) SQ 2 = SQ total – SQ 1 QM 2 =SQ 2/t (r – 1) 
Total t.r - 1 SQ total 
 
 
Medições em termos de variânciaMedições em termos de variância
 Calculada a Calculada a soma dos quadradossoma dos quadrados (SQ)(SQ)
 Número de Número de graus de liberdade (GL)graus de liberdade (GL)
 SQ/GL = SQ/GL = Quadrados médio (QM)Quadrados médio (QM) 
– – são as variâncias entre as amostrassão as variâncias entre as amostras
t = número de tratamentost = número de tratamentos
r = número de repetiçõesr = número de repetições
GL = número de graus de liberdadeGL = número de graus de liberdade
 Estas são confrontadas através de um Estas são confrontadas através de um 
teste de hipótese (Teste F)teste de hipótese (Teste F) 
– – avalia-se sua significânciaavalia-se sua significância
 
Soma dos QuadradosSoma dos Quadrados
SQ total = SQ total = ∑∑x2 - x2 - ((∑∑x)2x)2
 NN
X = valor de cada observaçãoX = valor de cada observação
N = número de observações, que corresponde ao N = número de observações, que corresponde ao 
número de tratamentos (t) multiplicado pelo número de tratamentos (t) multiplicado pelo 
número de repetições do experimento (r )número de repetições do experimento (r )
SQ tratamentos = SQ tratamentos = ∑∑T2T2 - - ((∑∑x)2x)2
 R NR N
T = total de cada tratamentoT = total de cada tratamento
SQ resíduo = SQ total – SQ tratamentosSQ resíduo = SQ total – SQ tratamentos
 
Quadrados médiosQuadrados médios
QM tratamentos = QM tratamentos = SQ tratamentosSQ tratamentos
 GL tratamentosGL tratamentos
QM resíduo = QM resíduo = SQ resíduoSQ resíduo
 GL resíduoGL resíduo
O QM resíduo corresponde à estimativa da variância O QM resíduo corresponde à estimativa da variância 
do erro experimental (sdo erro experimental (s22), cujo valor é utilizado ), cujo valor é utilizado 
nos testes de hipóteses, objetivando verificar se nos testes de hipóteses, objetivando verificar se 
existe ou não diferença significativa entre os existe ou não diferença significativa entre os 
tratamentos avaliados.tratamentos avaliados.
 
Exercício 1. A partir dos dados da Tabela 1, pede-se:Exercício 1. A partir dos dados da Tabela 1, pede-se:
a) Fazer a analise de variânciaa) Fazer a analise de variância
b) Obter coeficiente de variaçãob) Obter coeficiente de variação
Repetições Linhagens 
1 2 3 4 5 6 
Totais de 
linhagens 
MSE1 
MSE2 
MSE3 
MSE4 
MSE5 
MSE6 
MSE7 
MSE8 
MSE9 
385 
406 
354 
271 
344 
354 
167 
344 
385 
323 
385 
292 
208 
292 
354 
115 
385 
385 
417 
444 
389 
347 
354 
410 
194 
410 
396 
370 
443 
312 
302 
354 
453 
130 
437 
453 
437 
474 
432 
370 
401 
448 
240 
437 
458 
340 
437 
299 
264 
306 
417 
139 
410 
417 
2.272 
2.589 
2.078 
1.762 
2.051 
2.436 
985 
2.423 
2.494 
Total 19.090 
 
 
Delineamento em Blocos casualizados Delineamento em Blocos casualizados 
(DBC)(DBC)
 Delineamento estatístico mais utilizado nas pesquisas Delineamento estatístico mais utilizado nas pesquisas 
devido sua simplicidade e alta precisão. devido sua simplicidade e alta precisão. 
 Levam em consideração três princípios básicos da Levam em consideração três princípios básicos da 
experimentação: repetição, casualização e controle local.experimentação: repetição, casualização e controle local.
 O controle local e usado na sua forma mais simples O controle local e usado na sua forma mais simples 
possível e é aqui representadopelos blocos, cada um dos possível e é aqui representado pelos blocos, cada um dos 
quais inclui todos os tratamentos são atribuídos as quais inclui todos os tratamentos são atribuídos as 
parcelas aleatoriamente. parcelas aleatoriamente. 
 Para que o experimento seja eficiente, cada bloco deverá Para que o experimento seja eficiente, cada bloco deverá 
ser o mais uniforme possível.ser o mais uniforme possível.
 Em experimentos zootécnicos, cada bloco constituído de Em experimentos zootécnicos, cada bloco constituído de 
animais de características semelhantes.animais de características semelhantes.
• Por exemplo, se temos interesse em estudar rações Por exemplo, se temos interesse em estudar rações 
para galinhas poedeiras, colocaremos no mesmo bloco para galinhas poedeiras, colocaremos no mesmo bloco 
animais da mesma raça, da mesma idade, da mesma animais da mesma raça, da mesma idade, da mesma 
época de postura e de produção de ovos semelhantes. época de postura e de produção de ovos semelhantes. 
 
BlocosBlocos
 Lotes de unidades experimentais o mais homogêneas Lotes de unidades experimentais o mais homogêneas 
possíveis. Quando temos duvidas sobre a homogeneidade possíveis. Quando temos duvidas sobre a homogeneidade 
do ambiente onde o experimento será conduzido ou se do ambiente onde o experimento será conduzido ou se 
termos certeza de sua heterogeneidade, devemos utilizar o termos certeza de sua heterogeneidade, devemos utilizar o 
delineamento em blocos casualizados que, nestas delineamento em blocos casualizados que, nestas 
condições, é mais eficiente do que o delineamento condições, é mais eficiente do que o delineamento 
completamente casualizado.completamente casualizado.
Objetivo dos blocos:Objetivo dos blocos:
 Homogeneizar as unidades experimentais dentro de cada Homogeneizar as unidades experimentais dentro de cada 
bloco, de modo a minimizar a variabilidade dentro dos bloco, de modo a minimizar a variabilidade dentro dos 
blocos, e maximizar a variabilidade entre os blocos.blocos, e maximizar a variabilidade entre os blocos.
 Em cada bloco: uma ou mais repetições de cada um dos Em cada bloco: uma ou mais repetições de cada um dos 
tratamentostratamentos
 
Num experimento com 4 tratamentos podemos ter as Num experimento com 4 tratamentos podemos ter as 
seguintes formas para os blocos:seguintes formas para os blocos:
DCBA
DB
CA
 
O DBC apresenta vantagens:O DBC apresenta vantagens:
a) A perda total de um ou mais blocos ou de a) A perda total de um ou mais blocos ou de 
um ou mais tratamentos em nada dificulta um ou mais tratamentos em nada dificulta 
a análise estatísticaa análise estatística
b) Conduz a estimativas menos elevada do b) Conduz a estimativas menos elevada do 
erro experimentalerro experimental
c) A analise estatística é relativamente c) A analise estatística é relativamente 
simplessimples
d) Permite, dentro de certos limites, utilizar d) Permite, dentro de certos limites, utilizar 
qualquer número de tratamentos e qualquer número de tratamentos e 
repetiçõesrepetições
e) Controla a homogeneidade do ambiente e) Controla a homogeneidade do ambiente 
onde o experimento e conduzidoonde o experimento e conduzido
 
Instalação do experimentoInstalação do experimento
 Consideremos 5 tratamentos (A, B, C, D e Consideremos 5 tratamentos (A, B, C, D e 
E) e 4 repetiçõesE) e 4 repetições
EBDCA DBAEC
BDCAE CBEAD
Observa-se que em cada bloco os tratamentos foram distribuídos aleatoriamente 
nas parcelas e que os mesmos só aparecem uma única vez por bloco.
BI
BII
BIII
BIV
 
Esquema da analise de variância Esquema da analise de variância 
DBCDBC
Causas da 
variação 
GL SQ QM F 
Tratamentos 
Blocos 
residuo 
t-1 
r - 1 
t (r-1) 
SQ tratamentos 
SQ blocos 
SQ residuo 
QM tratamentos 
QM blocos 
QM residuo 
QM trat/QM resíduo 
QM blocos / QM residuo 
Total tr - 1 SQ total 
 
 
Soma dos quadrados DBCSoma dos quadrados DBC
SQ total = SQ total = ∑∑x2 - x2 - ((∑∑x)2x)2
 NN
Onde:Onde:
X = valor de cada observaçãoX = valor de cada observação
N = número de observações, que corresponde ao número de N = número de observações, que corresponde ao número de 
tratamentos (t) multiplicado pelo número de repetições do tratamentos (t) multiplicado pelo número de repetições do 
experimento (r )experimento (r )
SQ tratamentos = SQ tratamentos = ∑∑T2T2 - - ((∑∑x)2x)2
 R NR N
T = total de cada tratamentoT = total de cada tratamento
SQ tratamentos = SQ tratamentos = ∑∑B2B2 - - ((∑∑x)2x)2
 t Nt N
SQ resíduo = SQ total – (SQ tratamentos + SQ blocos)SQ resíduo = SQ total – (SQ tratamentos + SQ blocos)
 
Quadrados médios DBCQuadrados médios DBC
QM tratamentos = QM tratamentos = SQ tratamentosSQ tratamentos
 GL tratamentosGL tratamentos
QM blocos = SQ blocos / GL blocosQM blocos = SQ blocos / GL blocos
QM resíduo = QM resíduo = SQ resíduoSQ resíduo
 GL resíduoGL resíduo
 
Exercício 2. A partir dos dados da tabela 2, pede-se:Exercício 2. A partir dos dados da tabela 2, pede-se:
a) Fazer a analise da variânciaa) Fazer a analise da variância
b) Obter o coeficiente de Variaçãob) Obter o coeficiente de Variação
Tabela 2. Comportamento de clones de seringueira (Hevea sp.) em relação ao Tabela 2. Comportamento de clones de seringueira (Hevea sp.) em relação ao 
desenvolvimento do tronco desenvolvimento do tronco 
Blocos (média 8 plantas) 
Clones 1 2 3 4 5 
 
Totais 
FX 2804 
FX 4425 
FX 567 
FX 652 
FX 3032 
PB 86 
FX 516 
FX 4109 
FX 3635 
FX 232 
FX 25 
68,61 
56,39 
63,51 
62,28 
57,11 
49,83 
54,09 
56,01 
61,49 
62,01 
58,94 
69,69 
53,38 
63,63 
59,26 
56,11 
43,50 
48,09 
44,71 
63,10 
62,58 
57,96 
70,21 
54,21 
64,91 
60,90 
57,20 
43,58 
49,86 
45,60 
63,94 
63,31 
59,56 
72,49 
56,27 
67,87 
64,19 
60,01 
43,76 
47,52 
47,93 
66,70 
65,08 
62,32 
74,85 
61,57 
69,75 
68,77 
61,38 
46,66 
50,01 
49,96 
69,37 
68,05 
64,42 
355,85 
281,82 
329,67 
315,40 
291,81 
227,33 
250,38 
244,21 
324,60 
321,03 
303,20 
Totais dos 
blocos 
650,27 622,82 633,28 654,14 684,79 3.245,30 
 
 
EXPERIMENTOS FATORIAISEXPERIMENTOS FATORIAIS
 Em casos em que vários grupos de tratamentos Em casos em que vários grupos de tratamentos 
são estudados simultaneamente para que possam são estudados simultaneamente para que possam 
nos conduzir a resultados de interessenos conduzir a resultados de interesse
• Por exemplo, o estudo de efeito de diferentes Por exemplo, o estudo de efeito de diferentes 
espaçamentos em cultivares de milho em uma espaçamentos em cultivares de milho em uma 
determinada região. determinada região. 
• Exemplo combinamos 5 cultivares - Fator: nos Exemplo combinamos 5 cultivares - Fator: nos 
2 espaçamentos - Fator: espaçamento – 2 espaçamentos - Fator: espaçamento – 
níveis: 2níveis: 2
 Experimentos fatoriais dois termos devem ser Experimentos fatoriais dois termos devem ser 
definidos: fator e nível. definidos: fator e nível. 
 Fator é qualquer grupo de tratamentos avaliadoFator é qualquer grupo de tratamentos avaliado
 Nível é qualquer uma das subdivisões dentro do Nível é qualquer uma das subdivisões dentro do 
fator cultivares fator cultivares 
 
 
Esquema da analise de Esquema da analise de 
variânciavariância
 Considerando o experimento fatorial Considerando o experimento fatorial 
3 x 2, onde combinamos 3 3 x 2, onde combinamos 3 
tratamentos A (A0, A1 e A2) e 2 tratamentos A (A0, A1 e A2) e 2 
tratamentos B (B0 e B1) e 4 tratamentos B (B0 e B1) e 4 
repetições, teremos o seguinte repetições, teremos o seguinte 
quadro de variância?quadro de variância?
 
Causas da 
variação 
GL SQ QM F 
Tratamento A 
Tratamento B 
Interação(A x B) 
tA-1 
tB-1 
(tA-1)(tB-1) 
SQ tratamento A 
SQ tratamento B 
SQ interação 
QM trat. A 
QM trat. B 
QM interação 
QM trat. A/QM resíduo 
QM trat. B/QM residuo 
QM inter.(A x B)/QM residuo 
Tratamentos 
Blocos 
Resíduo 
t-1 
r-1 
(t-1)(r-1) 
SQ tratamentos 
SQ blocos 
SQ resíduo 
 
 
QM residuo 
 
Total tr - 1 SQ total 
 
Onde:Onde:
GL = número de graus de liberdadeGL = número de graus de liberdade
SQ = soma dos quadradosSQ = soma dos quadrados
QM = quadrado médioQM = quadrado médio
F = valor calculado do teste FF = valor calculado do teste F
T = número de tratamentos (combinações)T = número de tratamentos (combinações)
R = número de repetiçõesR = número de repetições
tA = numero de tratamentos AtA = numero de tratamentos A
tB = número de tratamentos BtB = número de tratamentos B
 
Soma dos quadradosSoma dos quadrados
SQ total =SQ total =∑∑x2 - x2 - ((∑∑x)2x)2
 NN
X = valor de cada observaçãoX = valor de cada observação
N = número de observações, que corresponde ao número de tratamentos (t) multiplicado N = número de observações, que corresponde ao número de tratamentos (t) multiplicado 
pelo número de repetições do experimento (r )pelo número de repetições do experimento (r )
SQ tratamentos = SQ tratamentos = ∑∑T(AB)2T(AB)2 - - ((∑∑x)2x)2
 R NR N
T(AB) = total de cada combinação (AB)T(AB) = total de cada combinação (AB)
SQ blocos = SQ blocos = ∑∑B2B2 - - ((∑∑x)2x)2
 t Nt N
B = total de cada blocoB = total de cada bloco
SQ tratamentos A = SQ tratamentos A = ∑∑T(tA)2T(tA)2 - - ((∑∑x)2x)2
 r.tB Nr.tB N
SQ tratamentos B = SQ tratamentos B = ∑∑T(tB)2T(tB)2 - - ((∑∑x)2x)2
 r.tA Nr.tA N
SQ interação (AxB) = SQ interação (AxB) = ∑∑T(AB)2T(AB)2 - - ((∑∑x)2x)2 – (SQ trat. A + SQ trat.B) – (SQ trat. A + SQ trat.B)
 R NR N
SQ resíduo = SQ resíduo = SQ residuoSQ residuo
 GL residuoGL residuo
 
Quadrados MédiosQuadrados Médios
QM tratamentos A = QM tratamentos A = SQ tratamentos A SQ tratamentos A 
 GL tratamentos AGL tratamentos A
QM tratamentos B = QM tratamentos B = SQ tratamentos BSQ tratamentos B
 GL tratamentos BGL tratamentos B
QM interação (AxB) = QM interação (AxB) = SQ interação AXBSQ interação AXB
 GL interação AXBGL interação AXB
QM blocos = SQ blocos / GL blocosQM blocos = SQ blocos / GL blocos
QM resíduo = QM resíduo = SQ resíduoSQ resíduo
 GL resíduoGL resíduo
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