437797825-2ª-Apostila-Experimentacao-Agricola

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1. PARCELA PERDIDA
Muitas vezes, ocorre o fato de chegarmos ao final do experimento e não conseguirmos obter o valor observado em uma ou mais parcelas do experimento. Quando isto ocorre, temos o que denominamos de parcelas perdidas. Existem várias explicações para a ocorrência de parcelas perdidas num experimento, dentre as quais citamos:
a)
morte da maioria das plantas responsáveis pela parcela;
b)
falha do experimentador na coleta dos dados (por exemplo, inclui a produção da bordadura na da área útil da parcela);
c)
extravio da ficha onde estão anotados os dados da parcela;
d)
a parcela apresenta um valor muito discrepante dos demais e não é considerado para efeito de analise;
e)
a parcela apresenta um valor duvidoso.
1.1. PARCELA PERDIDA EM DBC
No caso do delineamento em blocos casualizados com uma parcela perdida, para podermos efetuar a analise de variância, devemos inicialmente calcular uma estimativa da parcela perdida, que vai nos possibilitar a execução da aná1ise do experimento. 
A perda de uma parcela em DBC é estimada através do método dos mínimos quadrados, pela seguinte fórmula:
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0
10
20
 = 
)
1
(
)
1
(
-
·
-
¢
-
+
J
I
G
JB
IT
, onde:
I = numero de tratamentos do experimento;
T = total das parcelas existentes no tratamento que teve a parcela perdida;
J = numero de blocos do experimento;
B = total das parcelas existentes no bloco que teve a parcela perdida;
G’ = total de todas as parcelas existentes no experimento.
Obtida a estimativa da parcela perdida, completamos o quadro de valores observados e calculamos as somas de quadrados da maneira usual, como se não houvesse parcela perdida. Ao montar o quadro de analise de variância do experimento, devemos lembrar que a parcela perdida foi estimada, o que acarreta a perda de um grau de liberdade para o total e, conseqüentemente, para o resíduo. Portanto, o esquema de analise de variância de um experimento em blocos casualizados com I tratamentos, J repetições e uma parcela perdida será:
	CAUSA DA VARIAÇÃO
	G.L.
	TRATAMENTOS
	Nº TRAT - 1
	BLOCOS
	Nº BLOC - 1
	RESÍDUO (ERRO)
	DIF.
	TOTAL
	T – 2
Exemplo:
Cinco provadores de cerveja fizeram um teste de sabor para 3 marcas conhecidas. Os resultados obtidos foram:
	MARCA DE CERVEJA
	PROVADORES
	BAMBA
	ESCORIA
	ANÁRQUICA
	TOTAL
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	TOTAL
	
	
	
	
O provador______________não se sentiu bem e por isso não avaliou a cerveja escoria
Pergunta-se: existe diferença nos sabores das 3 marcas de cerveja?
1º Passo: calculo da parcela perdida através da fórmula:
X
)
 = 
)
1
(
)
1
(
-
·
-
¢
-
+
J
I
G
JB
IT
2º Passo: Coloca-se a estimativa da parcela perdida no quadro de resultados e refaz o somatório dos tratamentos e dos blocos;
3º Passo: Calcula-se as somas de quadrados de maneira usual;
SQTotal = 
SC
2
 - 
(
)
SC
2
N
SQ Trat’s = 1/r 
S
´
T²i – C
SQ Blocos = 1/n 
S
´
B²i – C
4º Passo: Calcula-se a anava de maneira usual.
	F.V.
	G.L.
	S.Q..
	Q.M.
	Fc
	Ft
	TRATAMENTOS
	
	
	
	
	
	BLOCOS
	
	
	
	
	
	ERRO
	
	
	
	
	
	TOTAL
	
	
	
	
	
5º Passo: Conclusões da ANAVA
1.2. PARCELA PERDIDA EM DIC
Quando temos 1 parcela perdida em delineamento inteiramente casualizado não é necessário estimar a parcela, pois as condições experimentais são tidas como homogêneas, porém deve-se levar em conta a perda de 1 grau de liberdade para o total, e que determinado tratamento terá um número menor de repetição.
Exemplo:
Um DIC foi instalado para testar o efeito da época de aplicação de fungicida no controle da ferrugem do cafeeiro. Cada parcela útil era composta por 4 plantas e a partir de cada uma delas se determinou o número médio de pústulas obtido a partir de 10 folhas por planta.
	ÉPOCA
	S
	O
	N
	D
	J
	TEST
	
	2,4
	2,5
	2,4
	2,8
	8,5
	4,9
	
	1,8
	1,7
	4,6
	3,3
	7,8
	5,3
	
	2,6
	1,9
	3,3
	3,1
	6,5
	5,2
	
	2,2
	2,8
	2,7
	3,2
	X
	6,1
	TOTAL
	
	
	
	
	
	
Pede-se fazer a anava e tirar as conclusões de interesse.
1º Passo: Calcula-se as somas de quadrados de maneira usual;
SQTotal = 
SC
2
 - 
(
)
SC
2
N
SQ Trat’s = 1/r 
S
´
T²i – C
2º Passo: Calcula-se a anava de maneira usual.
	F.V.
	G.L.
	S.Q.
	Q.M.
	Fc
	Ft
	TRATAMENTOS
	
	
	
	
	
	ERRO
	
	
	
	
	
	TOTAL
	
	
	
	
	
3º Passo: Conclusões da anava:
EXERCÍCIOS: PARCELA PERDIDA EM D.B.C.
1. Num experimento de competição de variedades de cana-de-açúcar foram obtidos os seguintes dados referentes a produção em t/ha. 
	VARIEDADES
	1
	2
	3
	4
	TOTAIS
	1 - CB 50-70
	135
	148
	133
	149
	
	2 - CB 50-72
	X
	142
	142
	142
	
	3 - CB 50-76
	95
	110
	94
	110
	
	4 - CB 50-80
	124
	130
	100
	140
	
	5 - CB 50-84
	139
	142
	133
	147
	
	TOTAIS
	
	
	
	
	
Pede-se:
a) Estimar a parcela perdida
b) Fazer a ANAVA e tirar as conclusões de interesse.
2. Em um experimento para comparar a produção de quatro variedades de alho foi utilizado o D.B.C com 4 repetições. Os dados em Kg/parcela são apresentados no quadro seguinte:
	VARIEDADES
	I
	II
	III
	TOTAL
	AMARANTE
	23,19
	20,13
	24,52
	
	GIGANTE LAVÍNIA
	21,90
	24,56
	27,13
	
	QUITÉRIA
	26,27
	X
	24,15
	
	CHONAN
	21,32
	27,58
	36,05
	
	TOTAL
	
	
	
	
Pede-se:
a) Estimar a parcela perdida
b) Fazer a ANAVA e tirar as conclusões de interesse.
2. NOÇÕES DE CONTRASTE, CONCEITOS DE COVARIÂNCIA E ORTOGONALIDADE 
Os testes de comparações múltiplas, ou testes de comparações de médias, servem como um complemento do teste de “F”, para detectar diferenças entre os tratamentos, o teste de TUKEY é um deles, porém existem outros, e para sua melhor compreensão é necessário o conhecimento de alguns conceitos.
2.1 CONTRASTE DE MÉDIAS
Se tivermos a seguinte função linear:
Y = f (x) = a1x1 + a2x2 + ...+ anxn
E verificarmos que:
S
ai = a1 + a2 + ...+ an = 0
Dizemos que Y é um contraste nas variáveis x
Por exemplo:
Y = x1 + x2 – x3 – x4.
Y é um contraste, pois temos:
a1 = 1, a2 = 1, a3 = (1 e a4 = (1, e temos:
1 + 1 + (( 1) + (( 1) = 0
Se, as variáveis x forem médias, teremos um contraste de médias. Suponha 4 tratamentos, cujas médias verdadeiras são: M1, M2, M3, M4, as seguintes relações constituem contraste de médias:
Y1 = M1 – M2
Y2 = M1 + M2 – 2M3
Y3 = M1 + M2 + M3 – 3M4
Fica claro que o número de contrastes que podemos formar com grupos de médias é grande, e numa análise estatística formamos aqueles que realmente são de interesse da pesquisa.
Quando temos as estimativas das médias, obtemos também as estimativas dos contrastes, e representamos por:
=
Y
ˆ
 EMBED Equation.3 c
1 
m
ˆ
1 + 
c
2 
m
ˆ
2 + . . . +
c
n 
m
ˆ
n , onde: 
c
S
i = 0
2.3 CONTRASTES ORTOGONAIS
A ortogonalidade entre dois contrastes indica uma independência entre eles, isto é, a variação de um é completamente independente da variação do outro.
Os contrastes são ortogonais quando o somatório dos coeficientes de cada média em cada contraste é igual a zero.
Considerando o exemplo temos:
	Y
	M1
	M2
	M3
	M4
	
	Y1
	
	
	
	
	
	Y2
	
	
	
	
	
	Y3
	
	
	
	
	
	
S
	
	
	
	
	
Dizemos então que os contrastes Y1, Y2 e Y3 são ortogonais entre si.
Considerando os seguintes contrastes:
Y1 = M1 + M2 – M3 – M4
Y2 = M2 ( M3 
Temos:
	Y
	M1
	M2
	M3
	M4
	
	Y1
	
	
	
	
	
	Y2
	
	
	
	
	
	
S
	
	
	
	
	
Dizemos que os contrastes Y1 e Y2 não são ortogonais entre si.
2.4 COVARIÂNCIA DE DOIS CONTRASTES
A covariância, ou variância da estimativa de um contraste, quando as médias possuem o mesmo número de repetições, o que é mais freqüente em análise de variância, é dado por:
Cov (
Y
1, 
Y
ˆ
2) = (a1x1 + a2x2 + ...+ anxn) ( 
r
s
2
Ou mais simplesmente:
V (
Y
ˆ
) = 
r
QMERRO
 ( 
2
i
a
S
, Onde ai indica os coeficientes dos contrastes envolvidos
Exemplo:
As médias de produção de frutos de abacaxi (em t/ha), num estudo de consórcio na cultura do abacaxi foram as seguintes:
1 - abacaxi (0,90 x 0,30 m) monocultivo 
 m1 = 53,5 t/ha 
2 - abacaxi (0,80 x 0,30 m) monocultivo 
 m2 = 56,5 t/ha 
3 - abacaxi (0,80 x 0,30 m) + amendoimm3 = 62,0 t/ha 
4 - abacaxi (0,80 x 0,30 m) + feijão 
 m4 = 60,4 t/ha
Verificando os tratamentos, temos que 2 são monocultivo e 2 são em consórcio. Interessa comparar esses 2 grupos de tratamentos, bem como comparar dentro de cada grupo. Os contrastes de médias que nos dão essas comparações são:
Y1 = m1 + m2 - m3 - m4 
Y2 = m1 - m2
Y3 = m3 - m4
As estimativas desses contrastes são:
Y
ˆ
1 = m1 + m2 ( m3 ( m4 = 
Y
ˆ
2 = m1 ( m2 = 
Y
ˆ
3 = m3 ( m4 = 
Observamos que o contraste 
Y
ˆ
1 compara as médias do grupo de monocultivo e do grupo em consórcio, isto é:
Y
ˆ
1 = 
=
+
-
+
=
2
4
3
2
2
1
2
ˆ
m
m
m
m
Y
E isto nos indica que o grupo monocultivo produz, em média, ____t/ha de frutos a menos que o grupo em consórcio.
Para os outros temos:
Y
ˆ
2 = O tratamento em monocultivo no espaçamento 0,90 x 0,30 m produz, em média, ____ t/ha a menos do que o abacaxi no espaçamento 0,90 x 0,30 m
Y
ˆ
3 = O consorcio abacaxi + amendoim produz em média ___ t/ha. De frutos a mais que o consórcio abacaxi + feijão.
3. OUTROS TESTES ESTATÍSTICOS
3.1 Teste de SCHEFFÉ
É utilizado para contrastes que envolvam grupos de médias.
Para sua utilização, temos os seguintes passos:
1º) Escolha do contraste:
Y = a1x1 + a2x2 + ...+ anxn
2º) Formulação das hipóteses:
H0 : Y = 0 (o contraste é não significativo)
H1 : Y 
¹
0 (o contraste é significativo)
3º) Calculo da estatística do teste:
S = 
2
)
1
(
i
a
R
QMERRO
fx
I
å
×
×
×
-
, onde:
I = número de tratamentos do experimento;
fx = valor de tabela (geralmente 5%) em função dos números de graus de liberdade de tratamentos e resíduo (erro) (tabela de F);
R = Número de repetições do tratamento;
2
i
a
å
 = Somatório dos coeficientes, ao quadrado, dos contrastes envolvidos.
4º) Estimativa do contraste:
Y = a1y1 + a2y2 +...+ anyn
5º) Aplicação do teste:
Se Y ( S ( H0 (aceita-se H0),
Se Y ( S ( H1 (rejeita-se H0, e aceita-se H1)
Um exemplo:
Um experimento foi conduzido com a finalidade de se testar cultivares de arroz em solos sob vegetação de cerrado. As médias relativas à matéria seca total (em gramas) das cultivares analisadas estão apresentadas no quadro abaixo:
	CULTIVAR
	MÉDIAS
	A - IAC 64
	2,28
	B - IR 30
	1,28
	C - PRETO PRECOCE
	2,21
	D - CICA
	1,21
A ANAVA foi:
	F.V.
	G.L.
	S.Q.
	Q.M.
	Fc
	Ft
	TRATAMENTOS
	3
	2,9934
	0,9978
	25,54
	4,07
	ERRO
	8
	0,3126
	0,0391
	
	
	TOTAL
	11
	3,3060
	
	
	
Quero comparar a cultivar IAC 64 com as demais.
Aplicando o teste de Scheffé:
1º Escolha do contraste:
Y
ˆ
 = 3 x mA – mB – mC – mD 
2º Formulação das hipóteses
H0 ( mA = (mB + mC + mD)/3, ou seja: a produção média da cultivar IAC 64 é igual a produção média das outras três cultivares.
HA ( mA ( (mB + mC + mD)/3, ou seja: a produção média da cultivar IAC 64 é diferente da produção média das outras três cultivares.
3º Calculo da estatística do teste:
S = 
2
)
1
(
i
a
R
QMERRO
fx
I
å
·
·
·
-
S = 
S = 
S ( 
S ( 
4º Estimativa do contraste
Y
ˆ
= 
Y
ˆ
 = 
5º Aplicação do teste:
Como 
Y
ˆ
 > S = ____ 
Outro exemplo:
Em um experimento de competição de adubos nitrogenados para o abacaxizeiro, foram utilizados 6 tratamentos (5 adubos e 1 testemunha) e 4 repetições, no delineamento em blocos casualizados. Os tratamentos utilizados, com as respectivas médias de produção, em Kg/ parcela foram:
	TRATAMENTOS
	MÉDIAS
	1 – Testemunha
	21,57
	2 – Sulfato de amônio
	27,76
	3 – Salitre do Chile
	24,58
	4 – Uréia
	28,44
	5 – Nitrocalcio de Cubatão
	28,85
	6 – Nitrocalcio de Cubatão + enxofre
	28,30
Dados: Q.M. ERRO = 0,64, 
G.L. ERRO = 15
Pede-se:
Verificar pelo teste de Scheffé se existe diferença, ao nível de 5% de probabilidade, entre o Nitrocálcio de Cubatão (com e sem enxofre) e os demais adubos nitrogenados.
1º Escolha do contraste:
Y
ˆ
= 
2º Formulação das hipóteses
H0 ( 
HA ( 
3º Calculo da estatística do teste:
S = 
2
)
1
(
i
a
R
QMERRO
fx
I
å
·
·
·
-
S = 
S = 
S = 
 ( S = 
4º Estimativa do contraste
Y
ˆ
 = 
Y
ˆ
 = 
Y
ˆ
 = 
Y
ˆ
 = 
5º Aplicação do teste:
Como 
Y
ˆ
 = 
3.2 Teste “t” de STUDENT
O teste de “t” serve para comparar médias, ou grupos de médias. Geralmente o interesse é verificar se a estimativa do contraste difere significativamente de zero. (valor que deveria assumir se a hipótese H0 fosse verdadeira).
Outra aplicação do teste é comparar a estimativa do contraste com um valor arbitrário.
Em qualquer das aplicações, o valor da estatística “t” deve ser comparado (em valor absoluto) com os valores críticos de “t”, tabelados em função do número de graus de liberdade (G.L.) associado à variância e do nível de significância do teste.
A estatística “t” é dado pela seguinte fórmula:
t = 
)
ˆ
(
ˆ
0
ˆ
Y
V
Y
-
, onde:
Y
ˆ
= é o contraste de interesse;
)
ˆ
(
ˆ
Y
V
 = 
r
QMERRO
 . 
å
2
i
a
, onde cada 
2
i
a
indica os coeficientes dos contrastes envolvidos.
Exemplo: 
Considere o exemplo anterior (competição de adubos nitrogenados)
Pede-se : 
Verificar, pelo teste de “t”, se os adubos nitrogenados possuem efeito na produção do abacaxizeiro.
O contraste que nos permite fazer essa comparação é:
Y
ˆ
 =______________________________________________________, e a sua estimativa é:
Y
ˆ
 = ______________________________________________________
Y
ˆ
 =______.Kg/parcela.
Isto indica que os adubos nitrogenados proporcionam, em média um aumento de produção de _____Kg/parcela (
Y
ˆ
/5) em relação a testemunha.
Calculo da estatística “t”
t = 
å
·
-
2
0
ˆ
i
a
R
QMERRO
Y
t = 
t = 
t = 
t = 
Na tabela de “t” temos para 15 G.L. do Erro = 2,13 (5%) 
Como a estatística “t” (calculada) supera (em valor absoluto) o valor crítico ao nível de 5% de probabilidade, concluímos que o contraste é significativo, ou seja, existe uma probabilidade superior a 95% que os adubos nitrogenados proporcionem um aumento médio de _____ kg/parcela na produção do abacaxizeiro, quando comparados com a testemunha.
3.3 Teste de DUNCAN
O teste de DUNCAN fornece resultados mais discriminados que os do teste de TUKEY. Sendo menos rigoroso que ele, porém de aplicação mais trabalhosa.
A diferença fundamental está na obtenção da estatística do teste, enquanto o teste de TUKEY tem apenas uma DMS, o teste de DUNCAN tem várias, ou seja uma para cada número de médias abrangidas pelo contraste.
A estatística do teste é dada por:
Dn = Zn ( 
d
QMERRO
, onde:
Zn = É a amplitude total estudentizada cujo valor é encontrado em tabela, em função do número de médias abrangidas pelo contraste (i) e do número de graus de liberdade do erro.
Para aplicação do teste as médias devem ser colocadas em ordem decrescente.
Exemplo:
Considere o exemplo anterior (competição de adubos nitrogenados)
As médias devem estar em ordem decrescente, então:
	TRATAMENTOS
	MÉDIAS
	5 – Nitrocalcio de Cubatão
	28,85
	4 – Uréia
	28,44
	6 – Nitrocalcio de Cubatão + enxofre
	28,30
	2 – Sulfato de amônio
	27,76
	3 – Salitre do Chile
	24,58
	1 – Testemunha
	21,57
1º Contraste que abrange 6 médias
Y
ˆ
1 = M5 – M1 ( 28,85 ( 21,57 = 7,28 Kg/parcela.
Para testar o contraste calculamos:
D6 = Z6 ( 
4
64
,
0
 ( Z6 (5%) (6 médias e 15 G.L. Erro) = 3,36
D6 = 3,36 ( 
16
,
0
 
D6 = 1,34 Kg/ parcela
Como 
Y
ˆ
1 ( D6, O contraste é significativo, rejeitamos H0 e concluímos que M5 ( M1
2º Contraste que abrange 5 médias
Y
ˆ
2 =
Y
ˆ
3 =
Para testar os contrastes 
Y
ˆ
2 e 
Y
ˆ
3 calculamos:
D5 = Z5 ( 
4
64
,
0
 ( Z5 (5%) (5 médias e 15 G.L. Erro) = _____
D5 = ____( 
16
,
0
 
D5 = ____ Kg/ parcela
Como 
Y
ˆ
2 
Como 
Y
ˆ
3 
3º Contraste que abrange 4 médias
Y
ˆ
4 = 
Y
ˆ
5 =
Y
ˆ
6 =
Para testar os contrastes
Y
ˆ
4, 
Y
ˆ
5 e 
Y
ˆ
6 calculamos:
D4 = Z4 ( 
4
64
,
0
 ( Z4 (5%) (4 médias e 15 G.L. Erro) = ____
D4 = ____( 
16
,
0
 
D4 = ____ Kg/ parcela
Como 
Y
ˆ
4 
Como 
Y
ˆ
5Como 
Y
ˆ
6
4º Contraste que abrange 3 médias
Y
ˆ
7 = 
Y
ˆ
8 = 
Para testar os contrastes 
Y
ˆ
7 e 
Y
ˆ
8 calculamos:
D3 = Z3 ( 
4
64
,
0
 ( Z3 (5%) (3 médias e 15 G.L. Erro) = ____
D3 = ____( 
16
,
0
 
D3 = ____ Kg/ parcela
Como 
Y
ˆ
7
Como 
Y
ˆ
8
5º Contraste que abrange 2 médias
Y
ˆ
9 = 
Y
ˆ
10 =
Para testar os contrastes 
Y
ˆ
9 e 
Y
ˆ
10 calculamos:
D2 = Z2 ( 
4
64
,
0
 ( Z2 (5%) (2 médias e 15 G.L. Erro) = ____
D2 = ____ ( 
16
,
0
 
D2 = ____ Kg/ parcela
Como 
Y
ˆ
9
Como 
Y
ˆ
10
Em resumo temos:
	TRATAMENTOS
	MÉDIAS
	5 – Nitrocalcio de Cubatão
	28,85
	4 – Uréia
	28,44
	6 – Nitrocalcio de Cubatão + enxofre
	28,30
	2 – Sulfato de amônio
	27,76
	3 – Salitre do Chile
	24,58
	1 – Testemunha
	21,57
Médias ligadas por uma barra não diferem entre si pelo teste de DUNCAM ao nível de 5% de probabilidade.
OBSERVAÇÃO:
Neste exemplo o teste de DUNCAN apresentou resultados iguais aos do teste de TUKEY, o que nem sempre ocorre, pois freqüentemente o teste de DUNCAN acusa diferenças significativas entre médias que não diferiram pelo teste de TUKEY.
EXERCÍCIOS: TESTES DE SCHEFFÉ, t DE STUDENT e DUNCAN.
1. Foram comparadas diferentes fontes de Nitrogênio em um ensaio segundo o delineamento inteiramente casualizado com 3 repetições na cultura do repolho. Os dados seguintes referem-se as produções em Kg por 10 m² 
	
	REPETIÇÕES
	TRATAMENTOS
	I
	II
	III
	Nitrocálcio dose 1
	70,3
	64,3
	79,0
	Nitrocálcio dose 2
	81,0
	75,1
	71,3
	Sulfato de Amônia
	75,5
	63,0
	65,4
	Nitrato de Cálcio
	85,2
	80,5
	83,6
	Testemunha
	35,7
	39,6
	45,5
Pede-se:]
a) Apresente a análise de variância e tire as conclusões de interesse
b) Monte um grupo de contrastes ortogonais de interesse prático e aplique um teste adequado.
c) Responda através de um teste adequado se a adubação nitrogenada na cultura do repolho é significativa.
2. Um experimento foi realizado com o objetivo de avaliar os efeitos de 5 tratamentos em relação ao crescimento de mudas de Pinus scarpa, 60 dias após a semeadura. O ensaio foi executado num viveiro onde havia uma grande homogeneidade nas condições experimentais. Optou-se por um delineamento inteiramente casualizado com 4 repetições. Os tratamentos utilizados foram os seguintes:
A - Solo de cerrado (SC)
B - Solo de cerrado + esterco (SC + E)
C - Solo de cerrado + esterco + NPK (SC + E + NPK)
D - Solo de cerrado + vermiculita (SC + V)
E - Solo de cerrado + vermiculita + NPK (SC + V + NPK)
Os resultados obtidos para as alturas médias de plantas, em cm, foram:
	
	REPETIÇÕES
	
	TRATAMENTOS
	1
	2
	3
	4
	TOTAIS
	SC
	6,0
	5,5
	5,2
	4,5
	21,2
	SC + E
	7,1
	7,3
	6,7
	6,1
	27,2
	SC + E + NPK
	6,8
	6,6
	7,2
	5,8
	26,4
	SC + V
	5,0
	5,8
	5,7
	5,9
	22,4
	SC + V + NPK
	6,5
	6,7
	6,7
	5,7
	25,6
A) Faça a ANAVA e interprete-a
B) Aplique o teste de Duncan e interprete
C) Teste um contraste de interesse usando Scheffé.
4. EXPERIMENTOS FATORIAIS 
Nos experimentos mais simples comparamos tratamentos de apenas um tipo ou fator, permanecendo os demais fatores constantes. Assim, nesses experimentos, quando comparamos inseticidas, todos os demais fatores, como, por exemplo: variedades, adubações, tratos culturais etc., devem ser mantidos constantes, isto é, devem ser os mesmos para todos os inseticidas estudados.
Entretanto, existem casos em que vários fatores devem ser estudados simultaneamente para que possam nos conduzir a resultados de interesse. Para tanto, nos utilizamos dos experimentos fatoriais, que são aqueles nos quais são estudados, ao mesmo tempo, os efeitos de dois ou mais tipos de tratamentos ou fatores.
Cada subdivisão de um fator é denominada de nível do fator e os tratamentos nos experimentos fatoriais consistem de todas as combinações possíveis entre os diversos fatores nos seus diferentes níveis.
Por exemplo, podemos, em um experimento fatorial, combinar 2 variedades de cana-de-açúcar, com 3 diferentes herbicidas. Então, teremos um fatorial 2x3, com os fatores: Variedades (V) e Herbicidas (H), sendo que o fator Variedades ocorre em 2 níveis (V1 e V2), o fator Herbicidas ocorre em 3 níveis (H1, H2 e H3) e os 6 tratamentos são:
	
	
	
	
	
	
Outro exemplo:
Podemos, num experimento fatorial 3x3x2, combinar 3 Variedades (V1, V2 e V3), 3 Adubações (A1, A2 e A3) e 2 Épocas de plantio (E1 e E2) e teremos 18 tratamentos, que são todas as combinações possíveis dos 3 fatores em seus diferentes níveis. Os 18 tratamentos são:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Os experimentos fatoriais não constituem um delineamento experimental, e sim um esquema orientado de desdobramento de graus de liberdade de tratamentos e podem ser instalados em qualquer dos delineamentos experimentais.
Os experimentos fatoriais nos permitem tirar conclusões mais amplas. Assim, se num experimento fatorial competirmos diversos adubos para uma cultura e diversos espaçamentos de plantio, podemos estudar o comportamento dos adubos, dos espaçamentos e ainda, se o comportamento dos adubos, quando associados a um determinado espaçamento de plantio, se altera se for associado aos outros espaçamentos (ou, se o comportamento dos espaçamentos de plantio, quando associados a um determinado adubo, se altera se for associado aos outros adubos).
Nos experimentos fatoriais, após uma análise de variância preliminar, de acordo com o delineamento adotado, procedemos ao desdobramento dos graus de liberdade de tratamentos, isolando os efeitos principais dos fatores e os efeitos das interações entre os fatores.
As principais vantagens dos experimentos fatoriais em relação aos experimentos simples são:
A) Permitem estudar os efeitos simples e principais dos fatores e os efeitos das interações entre eles;
B) Todas as parcelas são utilizadas no cálculo dos efeitos principais dos fatores e dos efeitos das interações, razão pela qual o número de repetições é elevado.
As principais desvantagens dos experimentos fatoriais são:
A) Sendo os tratamentos constituídos por todas as com binações possíveis entre os níveis dos diversos fatores, o número de tratamentos aumenta muito e, muitas vezes, não podemos distribuí-los em blocos casualizados, devido à exigência de homogeneidade das parcelas dentro de cada bloco. Isto nos obriga a utilizar a técnica do confundimento e a trabalhar com blocos incompletos equilibrados, o que leva a algumas complicações na análise estatística;
B) A análise estatística é mais trabalhosa que nos experimentos simples e a interpretação dos resultados se torna mais difícil à medida que aumentamos o número de níveis e de fatores no experimento.
4.1 ANÁLISE DE VARIÂNCIA:
O esquema da ANAVA, para o caso de DBC fica:
	F.V.
	G.L.
	S.Q.
	Q.M.
	Fc
	BLOCOS
	B – 1
	SQB
	QMB
	QMB/QME
	1º FATOR
	1º F – 1
	SQF1
	QMF1
	QMF1/QME
	2º FATOR
	2º F – 1
	SQF2
	QMF2
	QMF2/QME
	INTERAÇÃO
	(1ºF – 1).(2ºF – 1)
	SQI
	QMI
	QMI/QME
	ERRO
	
¹
	SQE
	QME
	
	TOTAL
	TOTAL – 1
	
	
	
Exemplo:
Um experimento fatorial 2X3, com 2 níveis de calagem (C1 e C2) e 3 níveis de adubação (A1, A2 e A3) teria os seguintes tratamentos:
	
	
	
	
	
	
E poderia ter a seguinte casualização, se fosse instalado em 4 blocos ao acaso:
	1º B
	
	2º B
	
	3º B
	
	4º B
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
O esquema da ANAVA preliminar seria:
	F.V.
	G.L.
	TRATAMENTOS
	
	BLOCOS
	
	ERRO
	
	TOTAL
	
Os graus de liberdade de tratamentos devem ser desdobrados de acordo com o esquema fatorial 2X3, ficando:
	X
)
	Calagem (C) =
	Tratamentos = 5 G.L.
	Adubação (A) =
	
	Interação (CxA) =
O esquema de análise de variância, com desdobramento dos graus de liberdade de tratamentos, de acordo com o esquema fatorial 2X3 fica:
	F.V.
	G.L.
	(TRATAMENTOS)
	
	BLOCOS
	
	ERRO
	
	CALAGEM (C)
	
	ADUBAÇÃO (A) 
	
	INTERAÇÃO (CXA)
	
	TOTAL
	
4.2 INTERAÇÃO ENTRE FATORES:
A interação mede a dependência entre os dois ou mais fatores em estudo, e podemos ter: Interação não significativa, eInteração significativa.
4.2.1 Interação não significativa 
Quando o comportamento de um fator é semelhante para todos os níveis do outro fator, dizemos que a interação não é significativa, isto é, os dois fatores agem independentemente. Exemplo:
Considere que temos dois fatores A e B, sendo que o fator A ocorre em dois níveis (0 e 1), e o fator B ocorre em três níveis (0, 1 e 2), temos o seguinte quadro de interação:
	
	0
	1
	2
	
	0
10
20
30
40
50
60
70
0
10
20
0
	
	
	
	
	0
10
20
30
40
50
60
70
0
10
20
1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Observa-se claramente que o comportamento do fator B é o mesmo para os dois níveis de A; da mesma forma o comportamento de A é o mesmo para os três níveis de B.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0
10
20
Representando graficamente, temos:
Observa-se que há uma tendência das retas serem paralelas quando a interação não é significativa.
4.2.2 Interação significativa 
Quando o comportamento de um fator varia dependendo do nível do outro fator, dizemos que a interação é significativa, isto é, os dois fatores são dependentes.
Considere o exemplo anterior com os seguintes valores:
	
	0
	1
	2
	
	0
10
20
30
40
50
60
70
0
10
20
0
	
	
	
	
	0
10
20
30
40
50
60
70
0
10
20
1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Neste caso o comportamento do fator B para o nível 0 do fator A; é diferente do comportamento para o nível 1 de A.
Representando graficamente, temos:
Neste caso as retas não são paralelas e inclusive, geralmente, se cruzam.
Considere ainda o exemplo anterior, agora com os seguintes valores:
	
	0
	1
	2
	
	0
	
	
	
	
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Neste caso vemos que o efeito do fator B para o nível 0 do fator A; é menor do que o efeito de B para o nível 1 do fator A.
Representando graficamente, temos:
Neste caso a tendência das retas são de se afastarem entre si.
A) EXEMPLO DE FATORIAL COM INTERAÇÃO NÃO SIGNIFICATIVA:
Um experimento em blocos ao acaso foi conduzido com a finalidade de se estudar o efeito do cycocel no desenvolvimento de duas cultivares de arroz. Os dados obtidos para altura das plantas na época da maturação dos grãos foram:
	
	TRATAMENTOS
	
	BLOCOS
	IAC 25
	IAC 47
	TOTAL
	
	0
	50
	100
	150
	0
	50
	100
	150
	
	I
	88,0
	81,9
	71,4
	75,8
	75,4
	70,9
	64,6
	68,3
	596,3
	II
	85,5
	77,6
	74,6
	72,6
	78,7
	73,4
	66,2
	69,5
	597,1
	III
	80,0
	81,3
	73,2
	72,3
	78,5
	72,8
	66,1
	69,1
	593,3
	TOTAL
	253,5
	240,8
	219,2
	220,7
	232,6
	217,1
	196,9
	206,9
	1787,7
SQTotal = 
SQTrat’s = 
SQBlocos = 
O quadro de ANAVA preliminar fica:
	F.V.
	G.L.
	S.Q.
	Q.M.
	Fc
	Ft
	Trat’s
	
	
	
	
	
	Blocos
	
	
	
	
	
	Erro
	
	
	
	
	
	Total
	
	
	
	
	
Como podemos observar o teste de F deu resultado altamente significativo para tratamentos, porém este resultado é de pouco interesse, pois não se sabe para cada cultivar de arroz qual a dosagem de cycocel é recomendada. Devemos então isolar essas dosagem para cada cultivar, o que é feito montando-se o quadro de interação, da seguinte maneira:
	
	0
	50
	100
	150
	
	IAC 25
	
	
	
	
	
	IAC 47
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Calculamos, então, as somas de quadrado de doses, cultivares e da interação entre as doses e as cultivares.
SQCultivar = 
SQDoses = 
SQ Cult. X Doses = 
Com as somas de quadrados montamos o novo quadro de ANAVA, que fica:
	F.V.
	G.L.
	S.Q.
	Q.M.
	Fc
	Ft
	(Trat’s)
	
	
	
	
	
	Blocos
	
	
	
	
	
	Erro
	
	
	
	
	
	Cultivar
	
	
	
	
	
	Doses
	
	
	
	
	
	C x D
	
	
	
	
	
	Total
	
	
	
	
	
Vemos então que a cultivar IAC apresenta plantas mais altas independente da dosagem de cycocel.
Para se verificar qual a melhor dose de cycocel há necessidade de aplicar um teste de médias, no caso, vamos aplicar o teste de Tukey.
DMS = q . 
d
QMerro
 ( DMS = 
	DOSES
	
	médias
	Letras
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
As médias seguidas de mesma letra não diferem entre si pelo teste de Tukey ao nível de 5% de significância.
B) EXEMPLO DE FATORIAL COM INTERAÇÃO SIGNIFICATIVA:
Considere o mesmo exemplo anterior, porém com os dados obtidos em relação à produção de grãos (g/vaso)
	TRATAMENTOS
	IAC 25
	IAC 47
	BLOCOS
	0
	50
	100
	150
	0
	50
	100
	150
	
	I
	7,25
	7,45
	9,70
	9,15
	5,10
	6,30
	4,45
	8,10
	57,50
	II
	6,40
	6,90
	9,10
	8,30
	4,20
	5,10
	6,05
	7,65
	53,70
	III
	6,00
	7,40
	9,85
	8,20
	2,70
	4,74
	6,15
	7,11
	52,15
	TOTAL
	19,65
	21,75
	28,65
	25,65
	12,00
	16,14
	16,65
	22,86
	163,35
Completar:
EXERCÍCIOS: EXPERIMENTOS FATORIAIS
1. Um experimento fatorial 3x2 de adubação PK em cana-de-açúcar foi instalado para avaliar a sua produção. Os dados de produção, em t/ha, foram os seguintes:
	TRAT’S
	BLOCO I
	BLOCO II
	BLOCO III
	BLOCO IV
	TOTAL
	00
	46,2
	77,3
	54,5
	63,2
	241,20
	01
	61,8
	59,9
	60,8
	61,9
	244,40
	02
	46,9
	55,6
	59,3
	53,4
	215,20
	10
	54,9
	64,9
	59,1
	57,8
	236,70
	11
	58,6
	74,6
	71,3
	68,6
	273,1
	12
	61,0
	72,6
	63,8
	65,3
	262,7
	20
	67,4
	77,8
	68,8
	70,8
	284,8
	21
	72,8
	76,0
	68,6
	73,6
	291,0
	22
	66,0
	89,0
	51,5
	75,7
	282,2
	TOTAL
	541,6
	648,8
	556,6
	590,8
	2337,8
As doses de nutrientes empregadas foram:
N = 70 Kg/ha, sendo 1/3 no plantio e 2/3 em cobertura;
P = 0 – 75 – 150 Kg/ha, no plantio;
K = 0 – 75 – 150 Kg/ha, no plantio;
Tire todas as conclusões de interesse
2. Considere o experimento onde são comparados 2 variedades de aveia e 4 tratamentos de sementes (3 produtos químicos e testemunha não tratada) quanto ao efeito sobre a produção (g/parcela). 
	As variedades utilizadas foram:
	V1 = Vicland infectada com H. victoriae,
	
	V2 = Vicland não infectada
	
	
	Os tratamentos de sementes foram:
	T1 = Testemunha (não tratada)
	
	T2 Ceresan M
	
	T3 Panogen
	
	T4 Agrox
	VARIEDADES
	TRAT.
SEMENTES
	BLOCOS
	TOTAIS
	
	
	1
	2
	3
	4
	
	
	1
	42,9
	41,6
	28,9
	30,8
	144,2
	V1
	2
	53,8
	58,5
	43,9
	46,3
	202,5
	
	3
	49,5
	53,8
	40,7
	39,4
	183,4
	
	4
	44,4
	41,8
	28,3
	34,7
	149,2
	
	
	
	
	
	
	
	
	1
	53,3
	69,6
	45,4
	35,1
	203,4
	V2
	2
	57,6
	69,6
	42,4
	51,9
	221,5
	
	3
	59,8
	65,8
	41,4
	45,4
	212,4
	
	4
	64,1
	57,4
	44,1
	51,6
	217,2
	TOTAIS
	
	
	
	
	
Tire as conclusões de interesse.
5. EXPERIMENTOS EM PARCELAS SUBDIVIDIDAS
Os experimentos em esquema fatorial geralmente recebem críticas quanto ao fato de não tornarem prática a instalação de determinado tipo de tratamento como por exemplo: sistema de irrigação e densidade de plantio, cultivares e adubação, cultivares e espaçamento adubação, raças e doses de vermífugo, tipos de rações e raças etc.
Para exemplificar melhor, considere um experimento para comparar 2 variedades (A e B)e 3 níveis de irrigação (0,1 e 2). Instalando este experimento em blocos ao acaso no esquema fatorial poderíamos ter no 1º bloco o seguinte:
	
	
	
	
	
	
É obvio que a instalação deste experimento não seria prática. Se tivéssemos mais variedades e/ou mais níveis de água o problema seria mais grave.
Uma opção para resolver o problema seria a seguinte; inicialmente sorteamos o fator que torna difícil a instalação no esquema fatorial (irrigação), assim:
	
	
	
A seguir sorteamos dentro de cada parcela o outro fator (variedades). Desta forma teremos no 1º bloco:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
O que fazemos neste caso é simplesmente subdividir a parcela em subparcelas e nesta utilizar outro fator.
Qualquer que seja o caso, devemos colocar nas subparcelas aquele fator mais importante ou no qual estejamos mais interessados.
5.1 ESQUEMA GERAL DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA
Para o caso mais comum relativo ao modelo quando temos “A” tratamentos nas parcelas e “B” tratamentos nas subparcelas e “r” repetições, a análise de variância fica:
	F.V.
	G.L.
	S.Q.
	Q.M.
	Fc
	BLOCOS
	r – 1
	SQB
	-
	-
	TRAT. A
	A – 1
	SQT A
	QMT A
	QMT A / QME A
	ERRO A
	(A – 1) (r – 1)
	SQE A
	QME A
	
	PARCELAS
	A.r ( 1
	SQ PARC.
	
	
	TRAT. B
	B – 1 
	SQT B
	QMT B
	QMT B / QME B
	A x B
	(A – 1) (B – 1)
	SQ AxB
	QMAxB
	QMAxB / QME B
	ERRO B
	A (B – 1) (r – 1)
	SQE B
	QME B
	
	SUB PARCELAS
	A B r – 1
	
	
	
Uma característica importante deste esquema é a existência de dois erros (QME A e QME B) e geralmente oQME B é menor que QME A pelo seguinte: 
1. O tratamento que vai nas subparcelas é repetido maior número de vezes originando maior número de graus de liberdade para o Erro B, o que implica em que ele seja menor.
2. O que mede o Erro A é a variação entre parcelas enquanto que o Erro B é proveniente das variações entre subparcelas. Como se espera que as subparcelae destro das parcelas variem menos do que as parcelas dentro dos blocos normalmente QME B < QME A.
Exemplo:
Um experimento em blocos ao acaso foi instalado para estudar o efeito do corte das plantas baixeiras do milho, foram utilizadas trás densidades de plantio. O esquema experimental utilizado foi o de parcelas subdivididas:
	Nas parcelas:
	DENSIDADE 1 = 25.000 plantas/ha
	
	DENSIDADE 2 = 50.000 plantas/ha
	
	DENSIDADE 2 = 75.000 plantas/ha
	
	
	
	Tratamentos nas subparcelas:
	A – Sem corte das folhas
	
	B – Corte das folhas baixeiras aos 50 dias
	
	C – Corte das folhas baixeiras aos 60 dias
	
	D – Corte das folhas baixeiras aos 70 dias
Esquema de uma parcela:
	D1
	D3
	D2
	A
	C
	B
	D
	B
	A
	C
	D
	D
	A
	C
	B
Os dados de produção em kg / parcela foram:
	
	BLOCOS
	DENSIDADE
	CORTE
	I
	II
	III
	IV
	V
	VI
	1
	A
	4,4
	4,2
	3,5
	4,0
	7,5
	2,2
	
	B
	2,4
	3,4
	2,8
	3,2
	2,3
	2,5
	
	C
	2,8
	4,2
	3,2
	3,2
	2,4
	3,0
	
	D
	2,6
	3,6
	3,3
	3,1
	2,8
	3,2
	2
	A
	5,4
	4,6
	4,2
	3,1
	4,5
	4,4
	
	B
	5,0
	4,3
	2,6
	3,2
	5,2
	4,1
	
	C
	5,0
	4,2
	3,9
	4,8
	3,6
	3,9
	
	D
	5,0
	3,7
	2,7
	4,3
	3,7
	4,1
	3
	A
	6,3
	4,9
	5,4
	2,8
	4,2
	4,7
	
	B
	6,0
	5,0
	5,5
	3,6
	3,1
	4,8
	
	C
	5,7
	3,6
	4,6
	2,4
	3,6
	4,6
	
	D
	5,3
	3,6
	4,3
	5,7
	3,0
	4,9
	TOTAL
	
	55,9
	49,3
	46,0
	443,4
	45,9
	46,4
QUADROS AUXILIARES
1º) Quadro de interação de blocos com o tratamento nas subparcelas
	
	BLOCOS
	
	DENSIDADE
	
	I
	II
	III
	IV
	V
	VI
	
	
	1
	12,2(4)
	
	
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	286,9(72)
2º) Quadro de interação de tratamentos
	
	
	CORTE
	
	DENSIDADE
	
	A
	B
	C
	D
	
	
	1
	25,8(6)
	
	
	
	
	
	2
	
	
	
	
	
	
	3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	286,9(72)
SQ Blocos = 
SQ Densidade = 
SQ Parcelas = 
SQ Erro A = SQ Parcelas – SQ Blocos – SQ Densidade
SQ SubParcelas = 
SQ Épocas = 
SQ E x D = ??????? – C – SQE - SQD
SQ Erro B = SQ SubParcelas – SQ Parcelas – SQ Épocas – SQ E x D
ANÁLISE DE VARIÂNCIA:
	F.V.
	G.L.
	S.Q.
	Q.M.
	Fc
	BLOCOS
	
	
	
	
	Densidade
	
	
	
	
	Erro A 
	
	
	
	
	Parcelas
	
	
	
	
	Épocas
	
	
	
	
	D x E
	
	
	
	
	Erro B
	
	
	
	
	SubParcelas
	
	
	
	
5.2. TESTES DE MÉDIAS
5.2.1 Caso em que a interação não é significativa
A) Comparações entre os tratamentos que foram nas parcelas (densidades)
Seria o único caso necessário de ser aplicado no presente exemplo, pois foi o único efeito que deu significativo:
DMS = q . 
d
QMerroA
 ( DMS = 3,88 . 
24
78
,
1
 ( DMS =1,06
	DENSIDADE
	
	médias
	Letras
	D 3
	
	
	
	D 2
	
	
	
	D 1
	
	
	
As médias seguidas de mesma letra não diferem entre si pelo teste de Tukey ao nível de 5% de significância.
B) Comparação entre tratamentos nas subparcelas (épocas de corte)
5.2.2 Casos em que a interação é significativa
A) Comparar dois ou mais tratamentos que foram nas subparcelas um mesmo nível do tratamento da parcela.
No presente caso seria comparar duas ou mais épocas de corte para cada densidade.
B) Comparar 2 ou mais tratamentos que foram nas parcelas num mesmo nível do tratamento da subparcela.
No nosso caso seria comparar duas ou mais densidades para cada época de corte.
EXERCÍCOS: PARCELAS SUBDIVIDIDAS
1. Um experimento para testar o efeito da irrigação (ausência e presença) em milho, além de 3 stands (A = 20.000; B = 26.000; C = 32.000 plantas/lha) nos forneceu os seguintes resultados:
	
	
	BLOCO I
	
	
	
	I 0
	
	
	I 1
	
	C
	B
	A
	B
	A
	C
	2,66
	2,73
	2,92
	3,50
	2,67
	2,98
	
	
	BLOCO II
	
	
	
	I 0
	
	
	I 1
	
	A
	C
	B
	C
	A
	B
	2,58
	2,29
	3,02
	4,01
	3,16
	3,16
	
	
	BLOCO III
	
	
	
	I 1
	
	
	I 0
	
	A
	B
	C
	B
	C
	A
	2,78
	3,21
	3,77
	3,07
	2,54
	2,61
	
	
	BLOCO IV
	
	
	
	I 0
	
	
	I 1
	
	B
	A
	C
	A
	C
	B
	2,52
	2,53
	2,57
	3,01
	3,85
	3,66
Tire conclusões de interesse
2. Um DBC com parcelas subdivididas foi instalado para testar 3 métodos de aração (Ml, M2, M3) para 4 variedades (A, B, C, D) de soja. Os resultados (em Kg/parcela) estão abaixo:
	
	
	M2
	
	
	M1
	
	
	M3
	
	BL I
	C
	D
	A
	B
	B
	A
	C
	D
	A
	C
	D
	B
	
	63
	57
	45
	52
	23
	18
	31
	22
	28
	45
	39
	33
	
	
	M1
	
	
	M2
	
	
	M3
	
	BL II
	D
	A
	C
	B
	C
	A
	B
	D
	A
	B
	D
	C
	
	31
	29
	43
	36
	81
	60
	63
	76
	37
	45
	50
	56
Faça o quadro de ANAVA e tire conclusões gerais
6. REGRESSÃO NA ANÁLISE DE VARIÂNCIA
O estudo da regressão exerce papel relevante dentro do campo da Estatística Experimental, devido a sua larga aplicação na interpretação de resultados experimentais, e tem por objetivo determinar a relação existente entre uma característica qualquer de interesse experimental, dependente, e outra característica independente, tomadas juntas. O pesquisador, geralmente, escolhe os valores da variável independente e depois estabelece a relação existente entre os valores das duas variáveis. Tal relação é expressa por uma função matemática (equação de regressão), onde se diz que a variável depende (Y) é uma função da variável independente (X).
A regressão tem por objetivo estudar a relação entre duas ou mais varáveis visando descobrir uma curva que a descreva, utilizando-se esta para fins de estimativa ou predição de uma das varáveis. Como exemplo, podemos citar: 
· Rendimento das culturas e a quantidade de chuva caída;
· Peso dos animais e idade;
· Rendimento e densidade de plantio;
· Temperatura e ataque de insetos;
· Produção das culturas e níveis de irrigação;
· Produção e nível de adubação;
· Etc.
Como exemplo, temos um experimento para determinar o efeito de doses crescentes de nitrogênio (variável independente X), na produção de uma forrageira (variável dependente Y). 
	PARCELAS 
	1
	2
	3
	4
	5
	DOSES DE NITROGÊNIO (KG/ PARCELA) - (VARIÁVEL X)
	0,0
	50
	100
	150
	200
	PRODUÇÃO DE FORRAGEM (KG/PARCELA) - (VARIÁVEL Y)
	36
	48
	56
	62
	67
Observa-se que o aumento na dose de nitrogênio, aumenta a produção de forragem. Verifica-se que a relação entre as duas variáveis é aproximadamente linear e pode se representada por uma linha reta (curva de regressão), passando entre os pontos de um diagrama de dispersão, conforme apresentado na figura 01.
Porém nem sempre é assim, pois a regressão pode não ser linear, mas polinomial tornando mais complexo o seu estudo.
30
40
50
60
70
80
050100150200250
Doses de Nitrogênio (Kg/ha)
Produção de Forragem 
(Kg/parcela)
Figura 01. Diagrama de dispersão entre doses de nitrogênio e a produção de forragem.
6.1 ANÁLISE DE REGRESSÃO POR POLINÔMIOS ORTOGONAIS 
A análise de variância só tem validade se atender as suas hipóteses básicas: Aditividade, Independência, Normalidade e Homogeneidade de variâncias. 
Uma delas é que os erros de observação devem ser independentes, consequentemente não correlacionados. Quando esta hipótese não se verifica, a análise de variância deve refletir a dependência entre os erros de observção, sob pena de não ser válida; Assim nos experimentos em que os tratamentos são quantitativos, como, por exemplo: níveis crescentes de adubo, inseticida, fungicida etc., se justifica a existência de uma correspondência funcional, denominada equação de regressão, que ligue os valores dos tratamentos (X) aos dados analisados (Y)
Essa correspondência pode ser sentida no exemplo anterior, onde:
X = dose de nitrogênio aplicado
Y = produção de forragem por parcela, obtida para cada X.
	PARCELAS 
	1
	2
	3
	4
	5
	DOSES DE NITROGÊNIO (KG/ PARCELA) - (VARIÁVEL X)
	0,0
	50
	100
	150
	200
	PRODUÇÃO DE FORRAGEM (KG/PARCELA) - (VARIÁVEL Y)
	36
	48
	56
	62
	67
Verificamos portanto, que há uma tendência de aumento na produção (Y) a medida que aumentamos a dose de nitrogênio (X).
Para se fazer a análise de variância para o estudo da regressão utilizamos o método dos polinômios ortogonais,que é de fácil aplicação quando os níveis que compõem os tratamentos são igualmente espaçados, pois nos permitem a utilização de coeficientes dados em tabelas
Um exemplo:
Para se estudar o efeito de doses de gesso na cultura do feijoeiro (Phaseolus vulgaris L.), RAGAZZI (1979) utilizou um experimento inteiramente casualizado com 4 repetições, para estudar os efeitos de 7 doses de gesso: 0, 50, 100, 150, 200, 250, e 300 kg/ha sobre diversas características do feijoeiro.
Para a característica: peso de 1.000 sementes, os resultados obtidos, em gramas, são apresentados no quadro abaixo.
Peso de 1.000 sementes, em gramas
	Tratamentos
	REPETIÇÕES
	
	(kg/ha)
	1
	2
	3
	4
	total
	1 -
	0
	134,8
	139,7
	147,6
	132,3
	554,4
	2 -
	50
	161,7
	157,7
	150,3
	144,7
	614,4
	3 -
	100
	160,7
	172,7
	163,4
	161,3
	658,1
	4 -
	150
	169,8
	168,2
	160,7
	161,0
	659,7
	5 -
	200
	165,7
	160,0
	158,2
	151,0
	634,9
	6 -
	250
	171,8
	157,3
	150,4
	160,4
	639,9
	7 -
	300
	154,5
	160,4
	148,8
	154,0
	617,7
	
	
	
	
	
	4.379,1
Inicialmente, faz-se uma análise de variância preliminar:
	F. V.
	G.L.
	S.Q.
	Q.M.
	Fc
	TRAT.
	6
	1.941,83
	323,64
	7,67 **
	ERRO
	21
	886,34
	42,21
	
	TOTAL
	27
	2.828,17
	
	
Observando os resultados do experimento, verificamos que há uma tendência de resposta crescente até um certo ponto para depois diminuir. 
Num caso como este, em que os tratamentos são quantitativos e em mais de dois níveis, uma análise completa deve levar em conta a regressão, subdividindo-se os 6 graus de liberdade de tratamentos, no entanto, regressão maior que 3º grau não tem interesse prático, de modo que, na análise de variância, podemos considerar as regressões maiores que 3º grau como uma única causa de variação, que denominamos desvios de regressão, ficando para o nosso exemplo, o desdobramento seguinte:
	F. V.
	G.L.
	Regressão linear
	1
	Regressão quadrática
	1
	Regressão cúbica
	1
	Desvios de Regressão
	3
	(Tratamentos)
	(6)
Como os níveis são eqüidistantes (0, 50, 100, 150, 200, 250, 300), esta decomposição pode ser feita de modo simples pelo método dos polinômios ortogonais, com o auxílio de coeficientes dados em tabela.
Montamos, então um quadro onde aparecem os totais (Ti) dos tratamentos e os coeficientes (Ci) a serem usados para os componentes de 1º grau (C1i), 2º grau (C2i) e 3º grau (C3i)
Quadro 1. Coeficientes (Ci) e Totais (Ti) para o experimento com 7 tratamentos
	TOTAIS DE TRATAMENTOS
	COEFICIENTES PARA N= 7 NÍVEIS
	
	1º GRAU
	2º GRAU
	3º GRAU
	(Ti)
	C1i
	C2i
	C3i
	T1 = 554,4
	- 3
	+ 5
	- 1
	T2 = 614,4
	- 2
	0
	+ 1
	T3 = 658,1
	- 1
	- 3
	+ 1
	T4 = 659,7
	0
	- 4
	0
	T5 = 634,9
	+ 1
	- 3
	- 1
	T6 = 639,9
	+ 2 
	0
	- 1
	T7 = 617,7
	+ 3
	+ 5
	+ 1
	K
	28
	84
	6
	M
	1
	1
	1/6
Com estes coeficientes (Ci) e totais (Ti) estabelecemos contrastes ortogonais, sendo um contraste para a Regressão linear, outro para a regressão quadrática e outro para a cúbica.
As tabelas já nos fornecem a soma dos quadrados dos coeficientes (K), e uma constante (M) que será utilizada na determinação da equação de regressão.
Calculamos os contrastes através das fórmulas:
Soma de quadrados de regressão linear ( 
(
)
1
2
.
k
r
y
c
SQRL
i
i
å
=
Soma de quadrados de regressão quadrática ( 
(
)
2
2
.
k
r
y
c
SQRQ
i
i
å
=
Soma de quadrados de regressão cúbica ( 
(
)
3
2
.
k
r
y
c
SQRC
i
i
å
=
Onde:
ci = coeficiente do nível (1º, 2º ou 3º grau (tabela),
yi = total do tratamento
“r”= número de parcelas somadas para obter cada total (Ti) de tratamentos, no nosso caso = 4
“k” = soma dos quadrados dos coeficientes, (dados em tabela)
Para a soma de quadrados de regressão linear temos:
 EMBED Equation.3 å
=
i
i
y
c
 
)
7
,
617
(
3
)
9
,
639
(
2
)
9
,
634
(
1
)
7
,
659
(
0
)
1
,
658
(
1
)
4
,
614
(
2
)
4
,
554
(
3
+
+
+
+
-
-
-
 = 217,7g
(
)
1
2
.
k
r
y
c
SQRL
i
i
å
=
(
(
)
15
,
423
28
4
7
,
217
2
=
Þ
´
=
SQRL
SQRL
Da mesma forma calculamos para a regressão quadrática e cúbica, e obtemos:
(
)
2
2
.
k
r
y
c
SQRQ
i
i
å
=
= 1.285,84
(
)
3
2
.
k
r
y
c
SQRC
i
i
å
=
 = 155,04
A SQDesvios de regressão pode ser calculada por diferença:
SQDR = SQTrat – SQRL – SQRQ – SQRC, e temos
SQDR = 1.941,83 – 423,15 – 1.285,84 – 155,04 = 77,80
Com estes valores montamos o quadro de análise de variância para estudo da regressão
	F. V.
	G.L.
	S.Q.
	Q.M.
	Fc
	Regressão Linear
	1
	423,15
	423,15
	10,02 **
	Regressão quadrática
	1
	1.285,84
	1.285,84
	30,46 **
	Regressão cúbica
	1
	155,04
	155,04
	3,67 NS
	Desvios de Regressão
	3
	77,80
	25,93
	0,61 NS
	TRAT.
	(6)
	(1.941,83)
	-
	-
	ERRO
	21
	886,34
	42,21
	-
	TOTAL
	27
	2.828,17
	-
	-
Verificamos que a regressão linear e a regressão quadrática foram significativas, indicando que é possível estabelecer uma relação funcional entre a dose de gesso colocada (X) e o peso de 1.000 sementes (Y) do feijoeiro.
Devemos, então, determinar a equação de regressão, que será a correspondente à regressão de mais alto grau que foi significativa, mesmo que outra de grau menor seja não significativa.
No nosso exemplo, devemos determinar uma equação de 2º grau.
Quando o teste de “F” para desvios de regressão for significativo, isto indica que existe alguma regressão significativa, de grau maior que o 3º e, se tivermos interesse em estuda-la, devemos desdobrar os desvios de regressão.
6.2 DETERMINAÇÃO DA EQUAÇÃO DE REGRESSÃO
A fórmula geral da equação de regressão é:
k
k
k
P
M
B
P
M
B
P
M
B
y
y
+
+
+
=
=
...
ˆ
2
2
2
1
1
1
Onde:
:
y
 média geral do experimento; 
:
,...,
,
2
1
k
B
B
B
 coeficientes correspondentes aos componentes linear, quadrático, cúbico, ..., k-ésimo grau; 
:
,...,
,
2
1
k
M
M
M
 multiplicadores dados nas tabelas de polinômios ortogonais; 
:
,...,
,
2
1
k
P
P
P
 polinômios constantes das tabelas.
Alguns destes são:
 
q
x
x
P
-
=
1
 
12
1
2
2
2
-
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
n
q
x
x
P
 
x
n
q
x
x
P
20
7
3
2
3
3
-
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
=
onde: 
:
x
 média dos níveis; n: número de níveis;
1
.
1
k
r
y
c
B
i
i
å
=
 
2
.
2
k
r
y
c
B
i
i
å
=
 
3
.
3
k
r
y
c
B
i
i
å
=
Para o nosso exemplo, a equação de regressão será:
2
2
2
1
1
1
ˆ
P
M
B
P
M
B
y
y
+
=
=
Onde: 
=
y
média geral = 156,3964
=
=
å
1
.
1
k
r
y
c
B
i
i
 EMBED Equation.3 9438
,
1
28
4
7
,
217
1
=
´
=
B
2
.
2
k
r
y
c
B
i
i
å
=
=
9563
,
1
84
4
3
,
657
2
-
=
´
-
=
B
M1 = 1 (tabela)
M2 = 1 (tabela)
P1 = x (tabela)
P2 = x²-
12
1
2
-
n
, n = número de níveis = 7
P2 = x²-
12
1
7
2
-
= x² - 4
Logo, a equação de regressão fica:
y
ˆ
= 156,3964 + 1,9438x – 1,9563 (x² - 4)
y
ˆ
= 164,2216 + 1,9438x – 1,9563 x²
x é uma variável auxiliar dada por 
²
000783
,
0
2737
,
0
7835
,
140
ˆ
x
y
-
+
=
50
150
-
=
x
x
Substituindo o valor de x em (1), fica:
2
)
50
150
(
9563
,
1
)
50
150
(
9438
,
1
2216
,
164
ˆ
-
-
-
+
=
x
x
y
)
500
.
2
500
.
22
300
²
(
9563
,
1
)
50
150
(
9438
,
1
2216
,
164
ˆ
+
-
-
-
+
=
x
x
x
y
²
000783
,
0
2737
,
0
7835
,
140
ˆ
x
y
-
+
=
, onde :
=
y
ˆ
peso de 1.000 sementes ( em gramas)
x = dose de gesso (em kg/ha)
6.3 COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO E COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO
Quando determinamos uma equação de regressão é conveniente apresentar o correspondente coeficiente de determinação (R²) que representa, em percentagem, quanto da variação na resposta é explicada pela regressão em questão.
O coeficiente de determinação R2 é calculado como segue:
	Efeito Linear
	Efeito quadrático
	Efeito Cúbico
	
SQT
SQRL
R
=
2
	
SQT
SQRQ
SQRL
R
+
=
2
	
SQT
SQRC
SQRQ
SQRL
R
+
+
=
2
O coeficientede correlação linear (r) é a raiz quadrada do coefiente de determinação. É dado por: 
 EMBED Equation.3 SQT
SQRL
r
±
=
O coeficiente de correlação linear, medindo o grau de associação entre variáveis, pode ser negativo ou positivo. Seu campo de variação se estende de – 1, que indica perfeita associação negativa até + 1, que indica uma perfeita associação positiva. Um valor de r nulo mostra que não existe ligação entre as variáveis.
No nosso caso fica:
SQT
SQRQ
SQRL
R
+
=
2
 = 
8801
,
0
83
,
941
.
1
84
,
285
.
1
15
,
423
²
=
+
=
R
 = 88,01%
O coeficiente de determinação r2 = 88,01% (0,8801) nos informa que 88,01% das variações no peso de 1000 sementes são devidas às variações nas doses de gesso aplicadas em Kg/ha. 
Por fim devemos calcular os valores esperados (
y
ˆ
) através da equação, e os valores observados (y obs) pelas médias dos tratamentos, e traçar a curva de regressão.
Devemos ter 
å
å
@
y
yobs
ˆ
, então temos:
	TRATAMENTOS (X)
	Y Obs
	Y estimado
	0
	138,60
	140,78
	50
	153,60
	152,51
	100
	164,53
	160,32
	150
	164,93
	164,22
	200
	158,73
	164,20
	250
	159,98
	160,27
	300
	154,43
	152,42
	
S
	1.094,80
	1.094,72
135
140
145
150
155
160
165
170
0
50
100
150
200
250
300
350
Doses de gesso (kg/ha)
Peso de 1.000 sementes
6.4 A PREDIÇÃO E SEUS PROBLEMAS
As equações de regressão são muito usadas nos estudos de séries temporais, nos experimentos agrícolas de adubação, espaçamento e outros tipos onde os tratamentos constituem níveis crescentes de um fator. 
Todo cuidado deve ser tomado em relação ao seu uso, a fim de evitar os abusos que são muito comuns quando se emprega a técnica de regressão. Sempre que se pretende usar a experiencia adquirida no passado para prever eventos no futuro, devemos estar confiantes de que os dados passados são pertinentes, ou seja, que as mesmas considerações fundamentais de operação que existiam no passado, prevaleçam na época em que se aplica a predição.
O uso da equação de regressão é, em peral, válido dentro do intervalo de variação da variable independente. A extrapolação para valores fora dos limites da variable é perigosa e só é válida se temos conhecimento do fenómeno em estudo. O problema que surge é que não sabemos se fora dos limites no qual estimamos a curva de regressão, ela ainda continua a mostrar aquele comportamento. Por tanto, estime a sua equação, use e abuse dele em seu intervalo e esteja previnido contra os perigos danosos da extrapolação, que podem levar a resultados ilusórios.
EXERCÍCOS: ANÁLISE DE REGRESSÃO
1 : Um experimento foi realizado na Fazenda Itamarati, localizada em Ponta Porá, MS, com o objetivo de estudar o efeito de doses de cloreto de mepiquat, sobre algumas características do algodoeiro. O delineamento experimental foi o de blocos casualizados com quatro repetições. A doses utilizadas na aplicação foram: 0, 25, 50, 75 e 100 g/ha de ia de mepiquat. Os dados de massa seca de folhas se encontram na tabela 1 e do número de capulhos por planta na tabela 2.
Tabela 1. Massa seca de folhas (g/planta)
	
	
	Blocos
	
	
	
	Doses
	1
	2
	3
	4
	total
	0
	23,9
	25,2
	23,4
	24,0
	96,5
	25
	22,3
	22,8
	23,1
	20,5
	88,7
	50
	20,1
	19,8
	21,4
	20,9
	82,2
	75
	18,5
	18,4
	17,6
	19,1
	73,6
	100
	17,6
	17,3
	18,0
	17,1
	70,0
	Total
	102,4
	103,5
	103,5
	101,6
	411,0
2 : Um trabalho foi realizado com o objetivo de estudar o efeito de seis espaçamentos (entre plantas na linha de plantio) na produção de frutos do maracujazeiro amarelo. O experimento foi conduzido no Centro de Pesquisa e Extensão em Fruticultura tropical, em Porto Lucena, RS. O delineamento experimental foi de blocos casualizados com 4 repetições. Os dados de peso de fruto em t/há encontram-se a seguir. 
Tabela 1. Os dados de peso de frutos em t/ha
	Espaçamento
	BLOCOS
	
	1
	2
	3
	4
	1,25
	46,36
	46,28
	48,50
	45,97
	2,00
	44,16
	40,00
	43,29
	43,20
	2,75
	42,58
	40,00
	40,27
	40,56
	3,50
	41,74
	33,29
	41,00
	43,00
	4,25
	40,82
	38,29
	43,87
	41,57
	5,00
	44,63
	50,27
	48,00
	45,00
FATOR A
FATOR B
� EMBED MSGraph.Chart.8 \s ���
FATOR A
FATOR B
� EMBED MSGraph.Chart.8 \s ���
FATOR A
FATOR B
� EMBED MSGraph.Chart.8 \s ���
CULTIVAR
DOSES
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Gráf1
		0
		50
		100
		150
		200
		250
		300
Doses de gesso (kg/ha)
Peso de 1.000 sementes
140.78
152.51
160.32
164.22
164.2
160.27
152.42
Plan1
		x		y
		0		140.78
		50		152.51
		100		160.32
		150		164.22
		200		164.20
		250		160.27
		300		152.42
Plan1
		0
		0
		0
		0
		0
		0
		0
Doses de gesso (kg/ha)
Peso de 1.000 sementes
0
0
0
0
0
0
0
Plan2
		
Plan3
		
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