Slides de Aula Unidade III Matematica

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Profa. Dra. Larissa Damiani
UNIDADE III
Matemática para 
Computação
 A potenciação é uma operação aritmética que envolve dois elementos: base (a) e expoente 
(n). Após efetuada, a operação resulta em uma potência (p).
 Potência com expoente natural: considere uma base real a e um expoente natural n. A 
potência, nesse caso, é igual ao produto de n fatores iguais a a.
Equações e funções exponenciais – potenciação (expoente natural)
 Para expoentes naturais, temos os casos de destaque: 
23 = 2×2×2 = 8
(–2)3= (–2)×(–2)×(–2) = –8
a0 = 1 (para a ≠ 0)
a1 = a
30 = 1
31 = 3
 Potência com expoente inteiro negativo: considere uma base real não nula a e um expoente 
inteiro n. Nesse caso, temos a propriedade a seguir:
 A mesma propriedade anterior pode ser reescrita no formato a seguir:
Equações e funções exponenciais – potenciação (expoente inteiro negativo)
 Se partimos de uma base fracionária, podemos considerar: 
(para a ≠ 0 e b ≠ 0 )
 Potência com expoente inteiro: considere uma base real não nula a e um expoente inteiro n. 
Nesse caso, são válidas as propriedades a seguir:
Equações e funções exponenciais – potenciação (expoente inteiro)
(para a ≠ 0)
(para b ≠ 0)
 Potência com expoente racional: considere um número real positivo a e dois números 
naturais não nulos, m e n, que irão compor o expoente racional. Temos as propriedades a 
seguir, que permitem transformar uma potenciação em uma radiciação.
Equações e funções exponenciais – potenciação (expoente racional)
64 2
32 2
16
8
2
2
4 2
2 2
1
64 = 26
índice n
radicando am
Determine o resultado da potenciação demonstrada abaixo:
a) 0,1.
b) 0,2.
c) 0,3.
d) 0,4.
e) 0,5.
Interatividade
Determine o resultado da potenciação demonstrada abaixo:
a) 0,1.
b) 0,2.
c) 0,3.
d) 0,4.
e) 0,5.
Resposta
Solução:
 Uma equação exponencial é toda equação que contém a incógnita no expoente. Observe 
o exemplo:
 Uma forma de resolver equações exponenciais consiste em expressar os membros da 
equação como potências de mesma base.
Equações e funções exponenciais – equações exponenciais
incógnita
625 5
125 5
25
5
5
5
1
625 = 54
125 = 53
Equações e funções exponenciais – equações exponenciais
343 7
49 7
7
1
7
343 = 73
49 = 72
 Uma função exponencial de base a, sendo a um número real (a > 0 e a ≠ 1), é toda função f
definida no conjunto dos números reais por:
 Temos, portanto, a variável como expoente.
 O gráfico da função exponencial é uma curva no plano cartesiano, sendo:
 Para a > 1: a função é crescente.
 Para 0 < a < 1: a função é decrescente.
Equações e funções exponenciais – funções exponenciais
variável
Fonte: autoria própria.
Exemplo: determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após 
sua compra, é dado por:
Em que v0 é uma constante real que representa o valor de compra do equipamento, em reais. 
Após dez anos, a máquina está valendo R$ 12.000,00. Determine por quanto ela foi comprada.
Equações e funções exponenciais – funções exponenciais
Solução:
t: tempo (anos) → t =10
v0: valor de compra (reais)
v(t): valor após t anos (reais) → v(10) = 12000
(Adaptado de: Prefeitura de Bauru/2021) O diretor de uma escola recebeu uma doação de uma 
árvore rara do Equador. Alguns alunos ficaram responsáveis pelo monitoramento diário do 
crescimento da árvore. Verificou-se que o crescimento se dava de acordo com a função abaixo, 
em que t representa o número de dias contados a partir do primeiro registro e f(t) a altura em 
cm da planta no dia t. O tempo necessário para que a árvore atinja a altura de 6,55 cm é:
Interatividade
a) 20 dias.
b) 10 dias.
c) 5 dias.
d) 35 dias.
e) 40 dias.
(Adaptado de: Prefeitura de Bauru/2021) O diretor de uma escola recebeu uma doação de uma 
árvore rara do Equador. Alguns alunos ficaram responsáveis pelo monitoramento diário do 
crescimento da árvore. Verificou-se que o crescimento se dava de acordo com a função abaixo, 
em que t representa o número de dias contados a partir do primeiro registro e f(t) a altura em 
cm da planta no dia t. O tempo necessário para que a árvore atinja a altura de 6,55 cm é:
Resposta
a) 20 dias.
b) 10 dias.
c) 5 dias.
d) 35 dias.
e) 40 dias.
Solução:
t: tempo (dias)
f(t): altura (cm) → f(t) = 6,55
 Uma matriz é a estrutura de dados matemáticos parecida com uma tabela, que possui linhas 
e colunas identificadas de forma a “endereçar” cada um de seus elementos.
 Nesta tabela, as linhas representam as pessoas e as colunas representam as características. 
Existem 6 elementos numéricos, dispostos nos posicionamentos adequados. 
Matrizes – introdução
Idade
(anos)
Altura 
(m)
José 22 1,78
Maria 19 1,57
Ana 31 1,65
n = 2
m = 3
Ordem: m×n = 3×2
i: índice da linha do elemento
j: índice da coluna do elemento
aij: elemento da matriz A
Ex: a11 = 22
a32 = 1,65
a21 = 19
Podemos realizar as operações de adição e subtração entre as matrizes, desde que possuam 
a mesma ordem:
Matrizes – operações
 As matrizes A e B, de ordem 2×2, resultaram na matriz C, 
também de ordem 2×2.
 A matriz resultante de adição ou subtração sempre terá a 
mesma ordem que as matrizes de origem.
Adição:
Subtração:
Podemos realizar a operação de multiplicação entre as matrizes, desde que a quantidade de 
colunas da 1ª seja igual à quantidade de linhas da 2ª:
Matrizes – operações
2×3 3×2
=
2×2
Para calcular os elementos, “caminhamos” nas linhas de A e nas colunas de B, multiplicando 
os seus elementos ordenadamente. Depois, fazemos o somatório dos produtos:
Matrizes – operações
Formato:
A matriz C fornece o custo das porções de arroz, proteína e salada, em reais, utilizadas em um 
restaurante. A matriz P fornece o número de porções de arroz, proteína e salada usadas na 
composição dos pratos P1, P2 e P3. Assinale a alternativa que indica o somatório dos 
elementos da matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2 e P3:
a) 22.
b) 24.
c) 26.
d) 28.
e) 30.
Interatividade
A matriz C fornece o custo das porções de arroz, proteína e salada, em reais, utilizadas em um 
restaurante. A matriz P fornece o número de porções de arroz, proteína e salada usadas na 
composição dos pratos P1, P2 e P3. Assinale a alternativa que indica o somatório dos 
elementos da matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2 e P3:
a) 22.
b) 24.
c) 26.
d) 28.
e) 30.
Resposta
P
3×3
C
3×1
=
3×1
7 + 9 + 8 = 24
 Um determinante é um número real obtido a partir dos elementos que compõem uma matriz 
quadrada (como 3×3 ou 2×2). A partir dos determinantes, é possível resolver diversos 
problemas de forma sistemática.
3×3:
Matrizes – determinantes
4–6
= 4 – 6 = –2
2×2:
= 1 + 24 + 24 – 9 – 8 – 8 = 24
–8–8–9 24241
 A regra de Cramer permite a resolução de um sistema de equações lineares.
Exemplo: determine a lei de formação da função de formato f(𝑥) = a𝑥 + b a qual pertencem os 
pares ordenados (1,8) e (6,33):
Matrizes – determinantes (regra de Cramer)
Solução: Par (1,8) → para 𝑥 = 1, temos 𝑦 = 8:
𝑦 = a𝑥+ b
a(1)+ b = 8
a + b = 8
Par (6,33) → para 𝑥 = 6, temos 𝑦 = 33:
𝑦 = a𝑥+ b
a(6)+ b = 33
6a + b = 33
Sistema de equações:
 A regra de Cramer permite a resolução de um sistema de equações lineares.
Exemplo: determine a lei de formação da função de formato f(𝑥) = a𝑥 + b a qual pertencem os 
pares ordenados (1,8) e (6,33):
Matrizes – determinantes (regra de Cramer)
Solução:
= 1 – 6 = –5 
= 8 – 33 = –25 
= 33 – 48 = –15 
f(𝑥) = 5𝑥 + 3
(Adaptado de: Consesp/2018) A temperatura de minha cidade, em graus Celsius, hoje de 
manhã, quando acordei, era igual ao determinante da matriz a seguir. Qual é essa 
temperatura? 
a) 14 ºC.
b) 7 ºC.
c) -9 ºC.
d) -18 ºC.
e) -20 ºC.
Interatividade
(Adaptado de: Consesp/2018) A temperatura de minha cidade, em graus Celsius, hoje de 
manhã, quando acordei, era igual ao determinante da matriz a seguir. Qual é essa 
temperatura?a) 14 ºC.
b) 7 ºC.
c) -9 ºC.
d) -18 ºC.
e) -20 ºC.
Resposta
Solução:
1683645–144–18–105
= 45 + 36 + 168 – 144 – 18 – 105 = –18 
 DANTE, L. R.; VIANA, F. Matemática: contexto & aplicações – volume único. São Paulo: 
Ática, 2018.
 GUEDES, S. Lógica de programação algorítmica. São Paulo: Pearson Education do 
Brasil, 2014.
 LAPA, N. Matemática Aplicada. São Paulo: Saraiva, 2012. 
 MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSAB, H. O. Cálculo: 
funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2016.
 OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: InterSaberes, 2016.
Referências
ATÉ A PRÓXIMA!