Cálculos Matemáticos

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207. Problema: Se \( g(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 4} \), qual é a derivada de \( g(x) \)? 
 Resposta: \( \frac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4x + 4}} \) 
 Explicação: Utilizando a regra da cadeia e a derivada da função raiz quadrada, temos 
que a derivada de \( g(x) \) é \( \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 4x + 4}} \times (2x + 4) = \frac{x + 
2}{\sqrt{x^2 + 4x + 4}} \). 
 
208. Problema: Se \( f(x) = \frac{1}{x^2} \), qual é a integral definida de \( f(x) \) de 1 a 2? 
 Resposta: \( \frac{-1}{2} \) 
 Explicação: A integral definida de \( f(x) \) de 1 a 2 é \( \int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} dx = \left[-
\frac{1}{x}\right]_{1}^{2} = -\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{-1}{2} \). 
 
209. Problema: Se \( \tan(\theta) = \frac{3}{4} \), qual é o valor de \( \theta \) em radianos? 
 Resposta: \( \arctan\left(\frac{3}{4}\right) \) 
 Explicação: \( \tan(\theta) = \frac{3}{4} \) implica que \( \theta = 
\arctan\left(\frac{3}{4}\right) \). 
 
210. Problema: Se \( y = e^{2x} \), qual é a segunda derivada de \( y \) em relação a \( x \)? 
 Resposta: \( 4e^{2x} \) 
 Explicação: A primeira derivada de \( y \) em relação a \( x \) é \( \frac{dy}{dx} = 2e^{2x} \). 
A segunda derivada é \( \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(2e^{2x}) = 4e^{2x} \). 
 
211. Problema: Se \( \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C \), onde \( C \) é a constante de 
integração, qual é o valor de \( C \)? 
 Resposta: Qualquer número real 
 Explicação: A constante de integração \( C \) pode ser qualquer número real, pois ao 
derivar \( \frac{x^3}{3} + C \), a constante desaparece. 
 
212. Problema: Se \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = L \), qual é o valor de \( L \)? 
 Resposta: 4 
 Explicação: Podemos simplificar a expressão para \( \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} 
= \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4 \). 
 
213. Problema: Se \( \cos(\theta) = \frac{1}{2} \) e \( \theta \) está no segundo quadrante, 
qual é o valor de \( \