Artigo1_Otimização_KamilaStromm

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Otimização da Expansão de um Sistema Elétrico
Utilizando Programação Linear Inteira Mista
Kamila Cassol Stromm
Pós-Graduação em Engenharia Elétrica – Universidade Federal de Santa Maria
E-mail: kamilastromm@hotmail.com
Resumo- O objetivo do trabalho é por meio da programação
Linear Inteira Mista buscar o menor custo para o atendimento
da expansão de cargas de um sistema elétrico, em um horizonte
de 10 anos. Através da utilização do software ANAREDE foram
testadas diferentes opções para resolver os problemas oriundos
da expansão. O software OTIMIZA permitiu a otimização das
alternativas propostas, escolhendo a que tem o menor custo e
respeitando as restrições impostas.
Palavras-Chave: Programação Linear Inteira Mista, simulação,
menor custo.
I. INTRODUCÃO
O planejamento da expansão de uma rede elétrica de
distribuição tem por objetivo realizar o diagnóstico do
desempenho sob os critérios básicos (queda de tensão,
carregamentos de equipamentos e redes de distribuição,
perdas elétricas nos elementos da rede, etc.). Isto é necessário
para assegurar boas condições técnico-econômicas das
instalações e a qualidade do serviço de energia elétrica
através de investimentos adequados, atendendo aos critérios e
padrões estabelecidos pelo órgão regulador [1].
De acordo com o exposto acima, no planejamento é
avaliada a necessidade de construção/reforço de redes de
distribuição, substituição ou instalação de novos
transformadores, construção de novas subestações, instalação
de equipamentos especiais, instalação de geração distribuída,
etc [1].
Com as condições técnicas aceitas, há necessidade de uma
avaliação econômica dos investimentos a serem realizados
através de alternativas viáveis.
Para estudos de expansão do sistema elétrico, a maioria das
concessionárias de energia elétrica utiliza análises de prazo
envolvendo empreendimentos com menor custo. Neste
trabalho, será demonstrado um modelo para escolha da
melhor opção de investimento no planejamento de expansão
do sistema elétrico através da utilização de programação
Linear Inteira Mista, em um horizonte de 10 anos.
Assim, foi utilizado o software ANAREDE para a
modelagem e os cálculos de fluxo de potência das diferentes
topologias da rede propostas. Os resultados obtidos no
software ANAREDE foram utilizados para a modelagem da
função objetivo e suas restrições, com o intuito de maximizar
os benefícios considerando critérios de baixos custos de
realização das obras e baixos custos com as perdas de energia.
O cálculo para a tomada de decisão foi realizado usando o
software OTIMIZA, onde foram inseridas a função objetivo e
restrições do problema proposto.
II. REFERENCIAL TEÓRICO
Nesta seção são apresentados conceitos referentes à
Programação Linear Inteira Mista.
A. Programação Linear (PL)
A programação Linear (também conhecida como PL)
consiste na representação das características de um problema
em forma de um conjunto de equações lineares. Usa-se
apenas a matemática básica na etapa de elaboração dessas
equações. A esta etapa chamamos de modelagem do
problema [2].
A modelagem é a construção de um modelo que represente
a situação que se quer estudar ou resolver. Podemos dizer que
o modelo nesse caso da PL nada mais é do que a tradução das
características do problema para uma linguagem matemática.
Geralmente os problemas de otimização com o uso de
Programação Linear tem como objetivo minimizar custos ou
maximizar lucros ou faturamento, pois esses são objetivos
comuns das organizações. No entanto, devemos enfatizar que
a PL não serve apenas para minimizar ou maximizar esses
itens. Podemos encontrar um problema, por exemplo, de
roteirização (ex.: ir até um estádio de futebol e voltar para a
sua casa) no qual se deseja minimizar o tempo de
deslocamento, permitindo assim terminar o quanto antes o
percurso.
Outra opção seria minimizar o deslocamento total em
quilômetros a ser percorrido, ou ainda o custo de transporte.
Sendo assim, pode-se minimizar ou maximizar segundo uma
variedade de critérios em uma modelagem de Programação
Linear, desde que a modelagem esteja coerente.
Um problema de PL é composto por:
1) Uma função linear formada com as variáveis de decisão
chamada de função objetivo, cujo valor deve ser otimizado;
2) Relações de interdependência entre as variáveis de
decisão que se expressam por um conjunto de equações ou
inequações lineares, chamadas de restrições do modelo;
3) Variáveis de decisão que devem ser positivas ou nulas.
A equação (1) mostra a formulação para um problema de
PL:
maximize (ou minimize)
z=
𝑗ϵ𝑁
∑ 𝑐
𝑗
𝑥
𝑗
, 𝑁 = {1,..., 𝑛}
sujeito a (1)
𝑗ϵ𝑁
∑ 𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑗
 (≤, = 𝑜𝑢 ≥)𝑏
𝑖
, 𝑖 ϵ 𝑀 = {1, 2,..., 𝑚}
2
0, j N𝑥
𝑗
 ≥
no qual , e são constantes conhecidas para todo i e j;𝑐
𝑗
𝑎
𝑖𝑗
𝑏
𝑖
são variáveis não negativas.𝑥
𝑗
As restrições do problema podem ser transformadas em
equações adicionando-se uma variável de folga (não negativa)
, se a i-ésima desigualdade é do tipo e subtraindo uma𝑥
𝑛+𝑗
≤
variável de folga (não negativa), se a k-ésima𝑥
𝑛+𝑘
desigualdade é do tipo. Considerando que ao serem
acrescentadas as variáveis de folga, obtém-se um total de m +
n variáveis, pode-se escrever o problema na forma matricial
como mostra a equação (2):
maximize (ou minimize)
z=cx
sujeito a (2)
Ax=b
x 0≥
no qual, c é um vetor linha de ordem (n + m), A é uma matriz
m x (m + n), x é um vetor coluna de ordem (m + n) e b é um
vetor coluna de ordem m.
B. Programação Inteira (PI) e Programação Inteira Mista
(PIM)
Alguns problemas reais requerem o uso de variáveis que
assumem somente valores inteiros. Quando isto acontece
tem-se um problema de Programação Inteira (PI). Este
problema está definido na equação (3) a seguir:
maximize (ou minimize)
z=𝑔
0
(𝑥
1
, 𝑥
2
,..., 𝑥
𝑛
)
sujeito a (3)
ou=ou ) ,𝑔
𝑖
(𝑥
1
, 𝑥
2
,..., 𝑥
𝑛
)(≤ ≥ 𝑏
𝑖
𝑖 ϵ 𝑀 = {1, 2,..., 𝑚}
𝑥
𝑗
 ≥ 0, 𝑗 ϵ 𝑁 = {1, 2,..., 𝑛}
inteira, j I N𝑥
𝑗
 ⊆
no qual, , j são as variáveis, ,i {0} são funções𝑥
𝑗
ϵ 𝑁 𝑔
𝑖
ϵ 𝑀 𝑈
das variáveis , e ,i são constantes𝑥
1
, 𝑥
2
,..., 𝑥
𝑛
𝑏
𝑖
ϵ 𝑀
conhecidas. Se I=N, isto é, todas as variáveis são inteiras,
então o problema é dito PI. Caso contrário, se I N, então⊂
chama-se de problema de Programação Inteira Mista (PIM).
C. Programação Linear Inteira (PLI) e Programação
Linear Inteira Mista (PLIM)
Em muitos dos problemas abordados em PI, as funções ,i𝑔
𝑖
{0} M na equação (3) são lineares e o modelo pode entãoϵ 𝑈
ser descrito como mostra a equação (4):
maximize (ou minimize)
z=
𝑗ϵ𝑁
∑ 𝑐
𝑗
𝑥
𝑗
, 𝑁 = {1,..., 𝑛}
sujeito a (4)
𝑗ϵ𝑁
∑ 𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑖
 (≤, ≥ 𝑜𝑢 =)𝑏
𝑖
, 𝑖 ϵ 𝑀 = {1,..., 𝑚}
𝑥
𝑗
 ≥ 0, 𝑗 ϵ 𝑁
inteira, j I N𝑥
𝑗
 ⊆
onde, e são constantes conhecidas para todo i e j, e𝑐
𝑗
, 𝑎
𝑖𝑗
 𝑏
𝑖
 
xj são variáveis não negativas. Se I = N, isto é, todas as
variáveis são inteiras, então temos um problema Programação
Linear Inteira (PLI). Se I N, então, o problema é de⊂
Programação Linear Inteira Mista (PLIM). As restrições do
problema podem ser transformadas em equações.
Os problemas de programação inteira podem ser
classificados em problemas de programação inteira puros e
programação inteira mista. A primeira classe consiste em
problemas em que todas as variáveis do problema assumem
valores inteiros. Nesta classe podemos destacar os problemas
de programação binária em que as variáveis correspondem a
“não ou sim” ou (0,1). A programação inteira mista trata de
problemas nos quais algumas variáveis são inteiras e as
demais são contínuas reais [3].
III. ESTUDO DE CADO
O estudo foi desenvolvido tendo como base o sistema
elétrico apresentado na Figura 1. Inicialmente em seu
primeiro ano de operação, o sistema opera de forma
adequada, não apresentando violações nas barras e nos
transformadores.
Fig. 1. Sistema elétrico ano de referência.
A partir do ano de referência é realizada uma projeção de
carga considerando um período de dez anos à frente, o
sistema sofrerá aumentos progressivos de carga ao longo de
cadaano, conforme mostra a Tabela I.
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TABELA I
Os percentuais de crescimento são de 3,79%, 3,96%,
3,05% e 4,76% para as subestações SE-1, SE-2, SE-3 e SE-4,
considerando o histórico de demandas referente a sete anos.
Os dados referentes ao crescimento de carga no horizonte
decenal foram aplicados no software ANAREDE, Figura 2.
Fig. 2. Sistema elétrico ano 10.
Com o crescimento estimado de carga no sistema em dez
anos, foi ocasionando o surgimento de problemas, tais como
os listados a seguir:
I. Problema 1: a linha de transmissão entre as barras 1 e 4
está sobrecarregada ;
II. Problema 2: extrapolação do limite de carregamento do
transformador da barra 4;
III. Problema 3: extrapolação do limite de carregamento do
transformador da barra 7;
IV. Problema 4: extrapolação do limite de tensão na barra
8.
A. Estudo de Caso: Rede Elétrica ano 10
Através dos problemas de sobrecarga e sobretensão,
marcados na Figura 2, é necessário projetar algumas soluções
para que o sistema volte a operar normalmente, após o
crescimento da demanda. Estas soluções serão posteriormente
selecionadas pelo método (PLIM).
Dessa forma, foi simulado no software ANAREDE, um
conjunto de obras a fim de expandir o sistema de acordo com
a lista abaixo:
I. Acrescentar uma nova linha de transmissão entre as
barras 1 e 4, soluciona os problemas 1 e 4 ;
II. Acrescentar um transformador de 25 MVA em paralelo
entre as barras 4 e 5, soluciona o problema 2;
III. Acrescentar um transformador de 25 MVA em paralelo
entre as barras 7 e 8, soluciona os problemas 3 e 4;
IV. Acrescentar uma GD de 30 MVA na barra 5,
solucionando os problemas 1,2 e 4;
V. Acrescentar uma GD de 30 MVA na barra 8, soluciona
os problemas 1,3 e 4.
Fig. 3. Nova LT entre as barras 1 e 4.
Fig. 4. Transformador paralelo entre as barras 4 e 5.
4
Fig. 5. Transformador paralelo entre as barras 7 e 8.
Fig. 6. Geração distribuída na barra 5.
Fig. 7. Geração distribuída na barra 8.
IV. OTIMIZAÇÃO DE OBRA E INVESTIMENTO
O problema de otimização deve selecionar as obras que
ofereçam menor investimento, através da função objetivo. As
modificações (X1, X2, X3, X4, e X5) apresentam soluções
factíveis para os problemas identificados com o aumento da
carga no horizonte dos 10 anos (Figura 2). Buscou-se
encontrar a solução ótima que minimiza os custos oriundos
das modificações sugeridas utilizando o software OTIMIZA.
O conjunto de restrições, que são funções variáveis de
decisão do problema, devem abranger variáveis inteiras e
reais contínuas relativas aos limites de carregamento das
linhas de transmissão, transformadores e níveis de tensão, que
dependem do inter-relacionamento entre as demais soluções
[3]. Deste modo, existe a possibilidade de uma obra só ser
viável se a outra também for selecionada.
Para utilizar a PLIM, é necessário realizar um
levantamento dos investimentos utilizados para a
implementação de cada obra. Em relação às obras de geração
distribuída foi considerado o valor de usinas a óleo diesel,
pois geração fotovoltaica e eólica são fontes intermitentes não
garantindo o fornecimento ininterrupto de energia. O
resultado deste levantamento pode ser visualizado na Tabela
II, com base no banco de preços da Agência Nacional de
Energia Elétrica (ANEEL), tendo como referência o ano de
2015.
TABELA II
Em relação a nova LT entre as barras 1 e 4, adotou-se que
tem uma distância de 100km a possível e deverá ser de 55
MVA.
Com os custos de cada obra foi possível encontrar a função
objetivo, equação que pretende minimizar os custos com a
construção das obras.
As relações excludentes têm a função de garantir que se
uma obra é escolhida para ser executada, a outra deve ser
descartada e as restrições de interdependências é quando uma
obra depende da outra para ser executada. Com o objetivo de
criar uma situação de interdependência para demonstração de
modelagem para o trabalho foi considerado que a obra da
linha de transmissão só pode ocorrer se for inserida uma GD
na barra 5 ou 8.
De posse das alternativas, com seus custos de
implementação, fez-se a análise de custo-benefício no
software OTIMIZA. A modelagem para a programação linear
inteira mista (PLIM) utilizada neste estudo é a que segue na
Figura 8.
5
Fig. 8. Modelagem do problema e solução do problema.
V. RESULTADOS
Como resultado se obteve uma solução ótima utilizando as
opções de obra 3 e 4, referentes a inserção de uma geração
distribuída a óleo diesel de 30 MVA e um transformador
paralelo nas barras 7 e 8 de 25 MVA, conforme a Figura 9. O
menor custo total foi de R$ 25.322.741,00.
Fig. 9. Solução após otimização.
Se as obras necessárias para o ano 10 forem feitas no ano
1, os custos das obras devem ser trazidos para este ano. Para
isso, pode-se usar algumas técnicas de engenharia econômica,
dentre elas destaca-se o Valor Presente Líquido. Aplicando-se
o VPL e supondo que a taxa anual de juros será de 8 % a.a,
pode-se presumir o valor do investimento na data atual. Na
Tabela III é mostrado o resultado.
TABELA III
Com os resultados do VPL conclui-se que é bastante
vantajoso realizar o investimento no ano 1, para solucionar os
futuros problemas, pois o custo é aproximadamente a metade
da obra no ano 10.
VI. CONCLUSÃO
Com o crescente aumento do consumo de energia elétrica
no Brasil, torna-se muito importante o desenvolvimento de
técnicas que minimizem os custos com expansões futuras do
sistema elétrico. Alinhado a isso as empresas distribuidoras
de energia elétrica defrontam de um orçamento limitado para
as adequações de suas obras, tornando-se esse tipo de análise
indispensável.
Neste estudo de caso, foi realizada uma projeção de um
acréscimo de carga em um horizonte decenal, considerando
parte de um sistema de transmissão. A partir deste
crescimento foram encontrados problemas relacionados ao
suprimento da demanda futura, os quais foram solucionados
através de um planejamento para elaboração de obras.
A utilização dos softwares ANAREDE e OTIMIZA, foi
fundamental para a interpretação do funcionamento de
sistemas elétricos de potência e aplicação da programação
Linear Inteira Mista, demonstrando sua eficácia para a
solução desse tipo de problema.
REFERÊNCIAS
[1] GONEN, T. “Electric power distribution system engineering”. 2. ed.
Boca Raton FL EUA: CRC Press, 2008.
[2] RODRIGUES, Luís Henrique. “Pesquisa Operacional: Programação
Linear Passo a Passo”: Unisinus, 2014.
[3] KAGAN, N.; SCHMIDT, H.P.; OLIVEIRA, C.C.B; KAGAN, H.
Métodos de otimização aplicados a sistemas elétricos de potência. São
Paulo: Blucher, 2009.
[4] A. A. Bonato. Sistema inteligente para previsão de carga multinodal
em sistemas elétricos de potência. Tese de doutorado. Ilha Solteira.
[s.n.], 2010. 86 f. : il
[5] Perfectum Serviços de Engenharia. Diesel ou gás natural. Setembro de
2016. Disponível em
(https://www.joseclaudio.eng.br/geradores/Diesel_versus_gas.html)