Slide_10_Cálculo Numérico

Prévia do material em texto

Aula 10
Cálculo Numérico
Métodos Numéricos
Métodos Numéricos e Computação Científica
Integração Numérica
Prof. Dalton Vinicius Kozak, Dr. Eng.
SOBRE A AULA
 Objetivo
 Apresentar técnicas de integração numérica com intervalos constantes 
e variáveis.
 Conteúdos
 Uso e princípios da integração numérica.
 Regra do trapézio: método e aplicação.
 Regras de Simpson: método e aplicação.
 Intervalos de integração variáveis: interpolação polinomial.
 Integração por polinômio de grau 1 (reta) e por polinômio de Lagrange 
de grau 2 com intervalo variável de integração.
• Determina-se a área abaixo da função 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) entre 𝑥𝑥0 e 𝑥𝑥𝑛𝑛 sem utilizar as 
fórmulas do cálculo diferencial e 
integral. 
• Utilizam-se os valores da função em 
vários pontos selecionados (conforme 
o método) para se estimar a integral. 
• Utiliza a interpolação de polinômios 
em conjuntos de tamanho 
determinado: dois pontos para reta, 
três pontos para parábola, etc.
Integração Numérica
Princípio
• Destacam-se dois métodos ou regras.
• A regra do trapézio, que usa uma interpolação linear (usa retas ligando 
dois pontos consecutivos).
• As regras de Simpson, que usam uma interpolação parabólica (passando 
por três pontos consecutivos) ou cúbica (passando por quatro pontos 
consecutivos).
• Essas regras são aplicáveis a pontos da função igualmente espaçados 
em 𝑥𝑥: intervalos constantes.
• Quando a expressão da função é conhecida, isso é sempre possível.
Integração Numérica
Métodos para intervalos constantes
• Para integração, uma reta é interpolada entre 
dois pontos consecutivos e a integral calculada 
como sendo a área desse trapézio.
�
𝑎𝑎=𝑥𝑥0
𝑏𝑏=𝑥𝑥1
𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ≅ 𝐼𝐼𝑅𝑅𝑅𝑅 =
ℎ
2 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 .
• Na fórmula, 𝐼𝐼𝑅𝑅𝑅𝑅 é a área do trapézio de altura 
ℎ = 𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0 e bases 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 e 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 . 
• Existe um erro inerente ao método.
Integração Numérica
Regra do trapézio
Integração Numérica
Regra do trapézio repetida
• Se a expressão da função é 
conhecida, é possível então calcular 
seus valores para pontos 
intermediários no intervalo 𝑎𝑎. 𝑏𝑏 .
• Calcula-se a área de trapézios em 
intervalos menores e somam-se os 
resultados, diminuindo-se o erro.
�
𝑎𝑎=𝑥𝑥0
𝑏𝑏=𝑥𝑥𝑚𝑚
𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ≅ 𝐼𝐼𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 =
ℎ
2 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + 2𝑓𝑓 𝑥𝑥1 +. . . +2𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑚𝑚−1 + 𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑚𝑚 .
Integração Numérica
Regra do trapézio repetida - exemplo
• Estimativa de ∫0
1 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 (valor exato: [𝑒𝑒𝑥𝑥]01= 𝑒𝑒 − 1 = 1.718282)
• O cálculo pela regra dos trapézios repetida considerando 10 intervalos, 
sendo ℎ = 0.1.
�
0
1
𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 ≅ 𝐼𝐼𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 =
0.1
2 𝑒𝑒
0 + 2𝑒𝑒0.1 + 2𝑒𝑒0.2+. . . +2𝑒𝑒0.9 + 𝑒𝑒1 = 1.719713.
• Diferença.
𝐼𝐼𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 − 𝐼𝐼𝐸𝐸𝑥𝑥𝑎𝑎𝐸𝐸𝐸𝐸 = 1.719713 − 1.718282 = 0.001432.
Integração Numérica
Regra de Simpson 1/3
• Nessa integração, uma parábola é interpolada por três pontos 
consecutivos, resultando na expressão abaixo (o 1/3 na fórmula 
especifica a regra).
�
𝑎𝑎=𝑥𝑥0
𝑏𝑏=𝑥𝑥2
𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ≅ 𝐼𝐼
𝑅𝑅𝑅𝑅13
=
1
3ℎ 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + 4𝑓𝑓 𝑥𝑥1 + 𝑓𝑓 𝑥𝑥2 .
• A parábola consegue capturar melhor a curvatura da função entre os 
pontos: o resultado é mais exato do que utilizando a regrado trapézio 
repetida para dois intervalos.
Integração Numérica
Regra de Simpson 1/3 repetida
• Para uma função cuja expressão é conhecida, é possível calcular seus 
valores para pontos intermediários no intervalo 𝑎𝑎. 𝑏𝑏 .
• A regra de Simpson é aplicada para vários intervalos menores, desde que 
em quantidades pares (𝑚𝑚 par), melhorando a exatidão. 
�
𝑎𝑎=𝑥𝑥0
𝑏𝑏=𝑥𝑥𝑚𝑚
𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ≅ 𝐼𝐼
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅13
=
1
3
ℎ 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + 4𝑓𝑓 𝑥𝑥1 + 2𝑓𝑓 𝑥𝑥2 + . . . +2𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑚𝑚−1 + 4𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑚𝑚−1 + 𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑚𝑚 .
Integração Numérica
Regra de Simpson 1/3 repetida - exemplo
• Seja a integral ∫0
1 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 utilizada no exemplo da aplicação da regra do 
trapézio repetida, onde 𝐼𝐼𝐸𝐸𝑥𝑥𝑎𝑎𝐸𝐸𝐸𝐸 = 1.718282. 
• Pela regra de Simpson 1/3 repetida considerando 4 intervalos, com 
ℎ = 0.25 e 𝑚𝑚 = 4 (par), é
�
0
1
𝑒𝑒𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 ≅ 𝐼𝐼
𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅13
=
0.1
3 𝑒𝑒
0 + 4𝑒𝑒0.25 + 2𝑒𝑒0.5 + 4𝑒𝑒0.75 + 𝑒𝑒1 = 1.718319.
• Diferença.
𝐼𝐼𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅13
− 𝐼𝐼𝐸𝐸𝑥𝑥𝑎𝑎𝐸𝐸𝐸𝐸 = 1.718319− 1.718282 = 0.000037.
Integração Numérica
Regra do trapézio x regra de Simpson 1/3
• Regra do trapézio repetida para 10 intervalos em 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 .
𝐼𝐼𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 − 𝐼𝐼𝐸𝐸𝑥𝑥𝑎𝑎𝐸𝐸𝐸𝐸 = 1.719713 − 1.718282 = 0.001432.
• Regra de Simpson 1/3 repetida para 4 intervalos em 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ..
𝐼𝐼𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅13
− 𝐼𝐼𝐸𝐸𝑥𝑥𝑎𝑎𝐸𝐸𝐸𝐸 = 1.718319− 1.718282 = 0.000037.
• Nota-se que, mesmo para menos intervalos, a regra de Simpson 
fornece um resultado melhor.
Integração Numérica
Regra de Simpson 3/8
• Aplicada apenas uma vez (no início ou no fim) quando o número de 
intervalos é impar. No restante aplica-se a regra 1/3.
�
𝑎𝑎=𝑥𝑥0
𝑏𝑏=𝑥𝑥3
𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 ≅ 𝐼𝐼
𝑅𝑅𝑅𝑅38
=
3
8
ℎ 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + 3𝑓𝑓 𝑥𝑥1 + 3𝑓𝑓 𝑥𝑥2 + 𝑓𝑓 𝑥𝑥3 .
• Só será necessária ser utilizada quando a expressão da função, 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 
não for conhecida.
• Em situações onde esse espaçamento pode não ser constante, ou seja, 
os intervalos são variáveis (pontos medidos experimentalmente), 
novos procedimentos numéricos devem ser adotados. 
Integração numérica 
Intervalos variáveis
• As regras do trapézio e de Simpson são obtidas, respectivamente, 
através da obtenção de polinômios interpolantes de grau 1 (reta por 
dois pontos) e grau 2/3 (parábola por três pontos; cúbica por quatro 
pontos) com intervalo de integração ℎ constante.
• Para intervalos variáveis, utiliza-se o mesmo procedimento: da tabela 
de pontos 𝑥𝑥𝑘𝑘 ,𝑦𝑦𝑘𝑘 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑘𝑘) obtém-se o polinômio interpolante e 
realiza-se a integração do polinômio para os diversos intervalos.
Integração numérica - intervalos variáveis
Interpolação polinomial
• Calcula-se a área do trapézio para cada intervalo.
ℎ𝑘𝑘+1 = 𝑥𝑥𝑘𝑘+1 − 𝑥𝑥𝑘𝑘,𝑘𝑘 = 0,1, … ,𝑚𝑚 − 1.
�
𝑎𝑎=𝑥𝑥0
𝑏𝑏=𝑥𝑥𝑚𝑚
𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 ≅ 𝐼𝐼𝐺𝐺1 =
𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + 𝑓𝑓 𝑥𝑥1
2
+
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 + 𝑓𝑓 𝑥𝑥2
2
+ ⋯
… +
𝑥𝑥𝑚𝑚 − 𝑥𝑥𝑚𝑚−1 𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑚𝑚−1 + 𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑚𝑚
2
Integração numérica - intervalos variáveis
Interpolação de grau 1
• Seja a tabela abaixo. A integral ∫0
1 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥 usando interpolação de 
grau 1 para esses pontos é
𝐼𝐼𝐺𝐺1 =
0.25 − 0 0 + 0.5000
2
+
0.70 − 0.25 0.5000 + 0.8367
2
+
+
1.00 − 0.70 0.8367 + 1.000
2
= 0.6388.
Integração numérica - intervalos variáveis
Interpolação de grau 1 - exemplo (1/2)
x 0.00 0.25 0.70 1.00
f(x) 0.0000 0.5000 0.8367 1.0000
• Para fins de comparação, a tabela anterior foi gerada a partir de 
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 . 
�
0
1
𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0.6667
• A diferença, em módulo, entre a integral exata acima e o cálculo pelo 
polinômio de grau 1 (repetidas vezes) anterior é de apenas 0.0279.
Integração numérica - intervalos variáveis
Interpolação de grau 1 - exemplo (2/2)
• Lagrange propôs a seguinte expressão para obter o polinômio de
grau 2 para a tabela abaixo.
𝑝𝑝2 𝑥𝑥 =
𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2
(𝑥𝑥0 − 𝑥𝑥1)(𝑥𝑥0 − 𝑥𝑥2)
𝑦𝑦0 +
𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2
(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥0)(𝑥𝑥1 − 𝑥𝑥2)
𝑦𝑦1 +
𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1
(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥0)(𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1)
𝑦𝑦2.
Integração numérica - intervalos variáveis
Interpolação de Lagrange de grau 2
𝒙𝒙 𝑥𝑥0 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2
𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝑦𝑦0 𝑦𝑦1 𝑦𝑦2
• Para a tabela abaixo.
𝑝𝑝2 𝑥𝑥 =
𝑥𝑥 − 0 𝑥𝑥 − 2
(−1 − 0)(−1 − 2)
4 +
𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 − 2
(0 + 1)(0 − 2)
1 +
𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 − 0
2 + 1 2 − 0
−1 (A);
𝑝𝑝2 𝑥𝑥 = 1 −
7
3 𝑥𝑥 +
2
3 𝑥𝑥
2;
�
−1
2
𝑝𝑝2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 −
7
6 𝑥𝑥
2 +
2
9 𝑥𝑥
3
−1
2
= 1.5.
Integração numérica - intervalos variáveis
Interpolação de Lagrange de grau 2 - exemplo
𝒙𝒙 -1 0 2
𝒇𝒇 𝒙𝒙 4 1 -1
• É possível usar um atalho sem precisar desenvolver o polinômio de 
Lagrange para transformá-lo na forma 𝑝𝑝2 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎0+ 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥2.
• Aplica-se a regra de Simpson 1/3 calculando-se o polinômio de 
Lagrange obtido (forma A) nos pontos 𝑥𝑥0, ⁄𝑥𝑥0 + 𝑥𝑥2 2 e 𝑥𝑥2 do 
respectivo intervalo de integração.
𝐼𝐼𝑅𝑅𝑅𝑅13
= 1
3
ℎ 𝑓𝑓 𝑥𝑥0 + 4 𝑥𝑥1 + 𝑓𝑓 𝑥𝑥2 =
1
3
1.5 4 + 4 � 0 − 1 = 0.5 3 = 1.5.
• O resultado é o mesmo.
Integração numérica - intervalos variáveis
Interpolação de Lagrange de grau 2 - exemplo Simpson 1/3
𝒙𝒙 -1 0.5 2
𝒇𝒇 𝒙𝒙 4 1 -1
REFERÊNCIAS
1. FERNANDES, D. B. Cálculo Numérico. 2ª ed. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil, 2015 (BV).
2. SPERANDIO, D.; MENDES, J.T.; SILVA, L. H. M. Cálculo Numérico. 2ª 
ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014 (BV).
3. BRASIL, R. M. L. R. F.; BALTHAZAR, J. M.; GÓIS, W. Métodos 
Numéricos e Computacionais na Prática de Engenharias e Ciências. 
São Paulo: Blucher, 2015 (BV).
4. JARLETTI, C. Cálculo Numérico. Curitiba: InterSaberes, 2018 (BV).
5. FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 
2006 (BV).
21
Bons estudos!
	Número do slide 1
	Número do slide 2
	Integração Numérica�Princípio
	Integração Numérica�Métodos para intervalos constantes
	Integração Numérica�Regra do trapézio
	Integração Numérica�Regra do trapézio repetida
	Integração Numérica�Regra do trapézio repetida - exemplo
	Integração Numérica�Regra de Simpson 1/3
	Integração Numérica�Regra de Simpson 1/3 repetida
	Integração Numérica�Regra de Simpson 1/3 repetida - exemplo
	Integração Numérica�Regra do trapézio x regra de Simpson 1/3
	Integração Numérica�Regra de Simpson 3/8
	Integração numérica �Intervalos variáveis
	Integração numérica - intervalos variáveis�Interpolação polinomial
	Integração numérica - intervalos variáveis�Interpolação de grau 1
	Integração numérica - intervalos variáveis�Interpolação de grau 1 - exemplo (1/2)
	Integração numérica - intervalos variáveis�Interpolação de grau 1 - exemplo (2/2)
	Integração numérica - intervalos variáveis�Interpolação de Lagrange de grau 2
	Integração numérica - intervalos variáveis�Interpolação de Lagrange de grau 2 - exemplo
	Integração numérica - intervalos variáveis�Interpolação de Lagrange de grau 2 - exemplo Simpson 1/3
	Número do slide 21
	Número do slide 22