Integração Numérica

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Integração Numérica 
Campus Santos Dumont Charles Ribeiro, Juliana Amaral e Marcele Albuquerque 
Introdução 
● · A integração numérica envolve métodos numéricos para o cálculo de integrais 
definidas. 
● No cálculo, a integral de uma função foi criada com o objetivo determinar a área sob 
uma curva no plano cartesiano. Ademais, ela surge naturalmente em dezenas de 
problemas de Física, como por exemplo, na determinação da posição em todos os 
instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os 
instantes.
 
· Definição:
● Seja uma função f (x) contínua em um intervalo [a,b] e sua primitiva F(x) conhecida. A integral 
definida de f (x) pode ser calculada pela fórmula de Newton-Leibniz: 
● Entretanto, essa técnica não pode ser utilizada quando se conhece apenas alguns pontos 
tabelados da função f(x) ou, quando f(x) não pode ser integrada. Com isso, os métodos de 
integração numérica permitem calcular o valor aproximado de uma integral definida sem 
conhecer uma expressão analítica para a sua primitiva. 
 
· Definição:
 
Fórmulas de Newton – Cotes
● Considere uma função definida em x0,x1,...,Xn(n=1) sendo eles pontos distintos e 
equidistantes em um intervalo fechado [a,b]. Para determinar as fórmulas de Newton-Cotes 
é usado o polinômio interpolador de Newton-Gregory para pontos equidistantes:
em que :
 
Fórmulas de Newton – Cotes
● Aproximando a função f(x) pelo polinômio de Newton-Gregory pn(s) e integrando-o, obtém-se 
as fórmulas de Newton-Cotes.
 
 
Erro cometido na integração numérica 
● Teorema:
● Se f(x) possui (n+1) derivadas contínuas no intervalo [x0,xn], e os pontos xj= x0 + jh, 
j=0,1,..., n subdividem o intervalo de integração em um número ímpar de intervalos 
iguais, então a expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes com n ímpar é 
dada por: 
Teorema:
● Se f(x) possui (n+2) : 
 
Erro cometido na integração numérica 
● Teorema:
● Se f(x) possui (n+1) derivadas contínuas no intervalo [x0,xn], e os pontos xj= x0 + jh, 
j=0,1,..., n subdividem o intervalo de integração em um número ímpar de intervalos 
iguais, então a expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes com n ímpar é 
dada por: 
Teorema:
● Se f(x) possui (n+2) : 
Regra do Trapézio
Sabemos a importância da integração numérica, para a integrar 
determinadas funções
Uma das formas de fazer isso, é utilizando a chamada de Regra 
do Trapézio, a qual consiste em aproximar a função no intervalo 
[a,b] desejada, com um Polinômio simples de primeiro grau de 
lagrange. 
Tratando h como x1-x0 , iremos passar pelos seguintes passos.
Regra do Trapézio
Primeiro, iremos igualar a integral, a um polinômio interpolador
Como esse polinômio simples, é uma equação da reta, que une os 
dois pontos do intervalo, podemos escrever sua integral dessa 
forma
Com o resultado da integral do polinômio, chegamos nessa 
equação
Regra do Trapézio
observando a representação gráfica, da 
regra do trapézio, aplicada na integral 
definida de 1 a 2, da função ex, nota-se 
que existe um espaço acima do trapézio, 
o qual apesar de pequeno, tende a 
aumentar com intervalos maiores, e não 
é pego no cálculo da função
Regra do Trapézio
Para resolver tal problema, utilizamos a chamada Regra do Trapézio 
Repetida, para isso, iremos somar a área de n trapézios, cada um com 
um subintervalo, então aplicamos a Regra do Trapézio, para descobrir a 
área de cada subintervalo
Mudando agora nosso h para 
Somando o resultado das nossas integrais, iremos encontrar
Regra do Trapézio
Para resolver tal problema, utilizamos a chamada Regra do 
Trapézio Repetida, para isso, iremos somar a área de n trapézios, 
cada um com um subintervalo, então aplicamos a Regra do 
Trapézio, para descobrir a área de cada subintervalo
Mudando agora nosso h para 
Somando o resultado das nossas integrais, iremos encontrar
Regra do Trapézio
-Tendo h como o tamanho dos subintervalos, o nosso erro será limitado por
Regra do Trapézio
 
Quadratura Gaussiana 
● Para determinar a fórmula da quadratura gaussiana para n= 2, é necessário que 
ocorra uma mudança no intervalo de integração de [a,b] para [1,-1], para que isso 
ocorra é preciso fazer uma troca de variável 
substituindo na função: 
De forma que:
 
Quadratura Gaussiana 
● A partir disso, o objetivo da quadratura de gauss é determinar os coeficientes da 
equação na forma: 
Onde A0 e A1 são coeficientes desconhecidos. Devido ao fato de x0 e x1 serem 
consideradas incógnitas, teremos então três incógnitas a serem avaliadas e por esse 
mesmo motivos precisamos de quatro condições para determiná-la. 
 
 
Quadratura Gaussiana 
 
 
 
Quadratura Gaussiana 
 
 
● Essa aproximação vai nos dar o valor exato 
da integral para polinômios de grau menor 
ou igual a 2n-1. Nesse caso, onde n=2 , a 
aproximação não deve ter erro para 
polinômios de grau menor ou igual a 3 . 
Então vamos encontrar essas funções que 
podem ser aproximadas sem erro, ou seja:
Regra de ⅓ de Simpson
Outra forma de se resolver integrais por Integração Numérica, é 
utilizando a regra de ⅓ de simpson
De forma parecida com a regra dos trapézios, ela utiliza um polinômio 
de grau 2, o qual pode ser definido por
É interessante notar que o h do primeiro e do último 
termo apenas, são multiplicados por 2
Regra de ⅓ de Simpson
Integrando e fazendo algumas manipulações, 
chegamos nessa fórmula, para definir essa 
regra
Essa fórmula contudo, requer 3 
pontos para funcionar, 
normalmente, definimos tais pontos 
como : (x0 = a; x1 = a+b/2; x2 = b)
Regra de ⅓ de Simpson
Seu erro, é dado por
Assim como na regra do trapézio, a Regra de ⅓ de simspon, também 
possui problemas para calcular intervalos grandes, para isso, 
utilizamos a Regra de ⅓ de simpson repetida
Na qual em cada par de intervalos, aplicamos a regra individual, vista 
antes, com k = 1,..,n/2
No fim, chegamos nessa aproximação
Regra de ⅓ de Simpson
Por fim, multiplicamos todos os xi pares por 2, e todos os xi 
ímpares por 4, multiplicamos por h, e dividimos por algum número, 
que nesse caso usamos o 3
Exercício 
Exercício 
Integração Numérica- Método de Romberg
O método de Romberg é um algoritmo projetado para construir quadraturas 
de alta ordem de forma iterativa a partir do método dos trapézios.
Considere o método de trapézios composto aplicado à integral:
O método de Romberg usa como base o método de 
n-trapézios, cujas propriedades foram analisadas em detalhe nas 
aulas da disciplina. O cálculo da integral pelo método dos trapézios 
é muito simples. Subdivide-se o intervalo de integração em n 
subintervalos de igual tamanho, aproximando-se a área definida 
pela integral da função em cada subintervalo pela área do trapézio 
obtido ao se interpolar os valores da função nos extremos do 
subintervalo por uma reta.
Integração Numérica- Método de Romberg
Vamos introduzir alguma notação. Seja [a, b], o intervalo em 
que queremos integrar a função f(x). Vamos definir os n 
subintervalos de [a, b] de espaçamento h = (b−a)/n, através da 
introdução dos pontos xi = a + ih, i = 0, 1, ..., n. Assim,
Aproximando, em cada subintervalo obtemos a 
fórmula dos n-trapézios (com espaçamento h = (b − a)/n): 
 O método de Romberg consiste em uma exploração recursiva desta ideia, 
sintetizada na tabela a seguir: 
Em que a segunda igualdade é conveniente do ponto de vista 
numérico por expressar o novo valor calculado como um valor da coluna 
anterior mais uma correção. Todas as entradas da tabela representam uma 
aproximação para a integral, e o erro entre esta e Tik decai 
proporcionalmente a (h/2 i−k ) 2k+2. Em particular, o erro entre Tnn e a 
integral decai como h 2n+2, o que nos dá um método de integração de 
ordem alta. Note que a coluna k = 0 é construída usando-se a fórmula dos 
trapézios e o espaçamento diminui por um fator de doisentre linhas 
consecutivas. 
Exercício:
- Encontre o valor da integral abaixo com K=1.
Vamos considerar como F(x)= e^x²
1º) calcular , Se K=1, a=0 e b=1 
 
Exercício:
2º) usando a fórmula para k=1 
● Se F(x)= e^x² 
● F(0)=1
● f(1)=e¹
Ao substituir novamente obtemos 
Aplicações- Estudo do Comportamento Dinâmico de uma Ponte Ferroviária 
considerando os efeitos do lastro e de irregularidades da via.
 CARGAS NODAIS 
O trem atravessa a viga solicitando pontualmente 
o elemento com uma velocidade adequada. Em 
elementos que são finitos, a carga pode ser 
aplicada nos graus de liberdade, a carga pontual 
deve ser distribuída nos nós próximos à carga 
através das funções de forma, conforme equação 
onde f corresponde à carga pontual, L é o 
comprimento do elemento e x é a distância da 
carga até o nó esquerdo (Método de Integração 
de Newmark)
Aplicações de integração numérica na Engenharia 
Influência da rigidez do lastro no deslocamento com irregularidade randômica
“São analisadas as velocidades máximas na ponte em módulo para os diferentes tipos de 
amortecimento. As velocidades na ponte são a primeira derivada do deslocamento em 
função do tempo e são obtidas pela integração numérica. A partir dos resultados 
analisados, observa-se uma tendência de redução da velocidade em função do 
amortecimento do lastro.”
Referência bibliográfica
- PEREIRA REGO REMOR, JULIANA.Estudo do Comportamento Dinâmico de uma PONTE FERROVIÁRIA 
considerando os efeitos do lastro e de irregularidades da via. 2017. 118. - UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA 
FEDERAL DO PARANÁ PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL 
- Integração-Numérica.pdf (ifc.edu.br)
- Introdução aos Métodos Numéricos (ifsc.edu.br)
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