Pontos Médios e Vetores

Prévia do material em texto

Questão 8 da lista 1:
Resolução: Considere o triângulo ABC. Sejam M,N e P os pontos médios de BC, CA e
AB, respectivamente. Considere ainda os pontos G, H e I que dividem os segmentos AM , BN
e CP , respectivamente, na proporção de 23 . Ou seja
AG =
2
3
AM, BH =
2
3
BN, CI =
2
3
CP. (1)
Consequentemente, tem-se
GM =
1
3
AM, HN =
1
3
BN, IP =
1
3
CP. (2)
Até agora tratamos apenas de proporções nos "tamanhos"dos segmentos. A partir de agora
trataremos de forma vetorial. Nosso objetivo é mostrar que os pontos G,H e I são iguais. Equi-
valentemente, basta mostrar que
# »
GH =
# »
HI =
#»
0 . Mostraremos que
# »
GH =
#»
0 e analogamente se
mostra que
# »
HI =
#»
0 .
Temos as seguintes igualdades vetoriais:
# »
GH =
# »
GA+
# »
AB +
# »
BH e
# »
GH =
# »
GM +
# »
MN +
# »
NH.
Somando as duas equações obtemos:
2
# »
GH =
# »
GA+
# »
AB +
# »
BH +
# »
GM +
# »
MN +
# »
NH. (3)
Usando as relações de (1) e (2) concluímos que
# »
GA+
# »
GM =
1
3
# »
MA,
# »
BH +
# »
NH =
1
3
# »
BN.
Além disso, como M e N são pontos médios, temos que 2
# »
MN =
# »
BA. Utilizando-se das identi-
dades acima e substituindo em (3) tem-se:
2
# »
GH =
1
3
# »
MA+
1
3
# »
BN +
# »
NM
=
1
3
(
# »
MA+
# »
BN + 3
# »
NM
)
=
1
3
(
# »
MA+
# »
BN + 2
# »
NM + (
# »
NB +
# »
BA+
# »
AM)
)
=
1
3
(
(
# »
MA+
# »
AM) + (
# »
BN +
# »
NB) + 2
# »
NM +
# »
BA)
)
=
#»
0 .
Logo
# »
GH =
#»
0 e portanto G = H. Analogamente se prova H = I.