Lista 2 - P1

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Universidade Federal de Viçosa - UFV
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - CCE
Departamento de Matemática - DMA
MAT 146 - Cálculo I Peŕıodo 2023/I
2a Lista de exerćıcios – Primeira Prova
1) Para a função g, cujo gráfico é apresentado abaixo, encontrar os seguintes limites ou explicar porque não existe.
a) lim
x→1
g(x) b) lim
x→2
g(x) c) lim
x→3
g(x)
1 2 3
x
1
y
0
2) Suponha que lim
x→0
f(x) = 1 e lim
x→0
g(x) = −5. Calcule
lim
x→0
2f(x)− g(x)
(f(x) + 7)
2
3
.
3) Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→7
x2 − 49
x− 7
b) lim
x→− 32
4x2 − 9
2x + 3
c) lim
s→4
3s2 − 8s− 16
2s2 − 9s + 4
d) lim
y→−2
y3 + 8
y + 2
e) lim
y→−3
√
y2 − 9
2y2 + 7y + 3
f) lim
x→1
√
x− 1
x− 1
g) lim
x→0
√
x + 2−
√
2
x
h) lim
h→0
3
√
h + 1− 1
h
i) lim
x→3
x2 − 4x + 3
x2 − x− 6
j) lim
x→ 12
2x2 + 5x− 3
2x2 − 5x + 2
k) lim
x→1
x3 − 1
x2 − 1
l) lim
x→−2
8 + x3
4− x2
m) lim
x→2
x4 − 16
8− x2
n) lim
x→3
√
1 + x− 2
x− 3
o) lim
x→1
√
x− 1
x− 1
p) lim
x→0
1−
√
1− x
x
q) lim
x→0
√
1 + x−
√
1− x
x
r) lim
x→1
√
x + 3− 2
x− 1
s) lim
x→4
√
2x + 1− 3
√
x− 2−
√
2
,
4) Faça o esboço do gráfico de cada uma das funções abaixo e ache o limite indicado, se existir. Se o limite não existir,
justifique o motivo da não existência do mesmo.
a) f(x) =
 2, se x < 1,−1, se x = 1−3, se x > 1.
lim
x→1+
f(x), lim
x→1−
f(x), lim
x→1
f(x)
b) f(x) =
{
−2, se x < 0,
2, se x ≥ 0.
lim
x→0+
f(x), lim
x→0−
f(x), lim
x→0
f(x)
c) f(t) =
{
t + 4, se t ≤ −4,
4− t, se t > −4.
lim
t→−4+
f(t), lim
t→−4−
f(t), lim
t→−4
f(t)
1
5) Dada a função f, definida por f(x) =
|x|
x
para todo x ∈ R∗, calcule lim
x→0+
f(x) e lim
x→0−
f(x). O limite lim
x→0
f(x) existe?
Justifique.
6) Calcule os limites laterais, nos pontos que não pertencem ao domı́nio de f, onde
a) f(x) =
|x + 1|
x + 1
. b) f(x) =
|3x− 2|
2− 3x
.
7) Para cada função f , definida em cada item a seguir, determine o valor da constante a para existir o limite no ponto x0
dado.
a) f(x) =
 3x− 2, se x > −1,3, se x = −1
5− ax, se x < −1.
; x0 = −1.
b) f(x) =
{
4x + 3, se x ≤ −2,
3x + a, se x > −2. ; x0 = −2
8) Verificar se a função f é cont́ınua no ponto especificado.
a) f(x) =
 x
2 − 4
x + 2
, se x 6= −2,
4, se x = −2.
, no ponto x = −2.
b) f(x) =
 1− x
2
x− 1
, se x 6= 1,
−2, se x = 1.
, no ponto x = 1.
9) Faça o esboço do gráfico de h. Em seguida encontre cada um dos seguintes limites, se existirem: lim
x→1−
h(x), lim
x→1+
h(x) e
lim
x→1
h(x), onde:
h(x) =
{
4− x2, se x ≤ 1,
2 + x2, se x > 1.
.
10) Determine L, em cada item, para que a função dada abaixo seja cont́ınua no ponto p especificado. Justifique.
a) f(x) =
 x
2 − 4
x− 2
, se x 6= 2,
L, se x = 2.
, em p = 2.
b) f(x) =
 x
2 − x
x
, se x 6= 0,
L, se x = 0.
, em p = 0.
11) Encontre, caso exista, os seguintes limites no infinito.
a) lim
x→+∞
1
x2
b) lim
x→−∞
1
x3
c) lim
x→−∞
(
5 +
1
x
+
3
x2
)
d) lim
x→+∞
(
2− 1
x
)
e) lim
x→+∞
2x + 1
x + 3
f) lim
x→−∞
2x + 1
x + 3
g) lim
x→−∞
x2 − 2x + 3
3x2 + x + 1
h) lim
x→+∞
5x4 − 2x + 1
4x4 + 3x + 2
i) lim
x→+∞
x
x2 + 3x + 1
j) lim
x→−∞
2x3 + 1
x4 + 2x + 3
k) lim
x→+∞
3
√
5 +
2
x
l) lim
x→−∞
3
√
x
x2 + 3
m) lim
x→+∞
√
x2 + 1
3x + 2
n) lim
x→+∞
3
√
x3 + 2x− 1√
x2 + x + 1
o) lim
x→+∞
√
x + 3
√
x
x2 + 3
p) lim
x→+∞
3√
x
q) lim
x→+∞
(
x−
√
x2 + 1
)
r) lim
x→+∞
(√
x + 1−
√
x + 3
)
s) lim
x→+∞
(x4 − 3x + 2)
t) lim
x→+∞
(5− 4x + x2 − x5)
u) lim
x→−∞
(3x3 + 2x + 1)
v) lim
x→+∞
(x3 − 2x + 3)
w) lim
x→+∞
5x3 − 6x + 1
6x3 + 2
12) Resolva os seguintes limites laterais.
2
a) lim
x→3+
5
3− x
b) lim
x→3−
4
x− 3
c) lim
x→ 12
+
4
2x− 1
d) lim
x→0−
1
x
e) lim
x→0+
2x + 1
x
f) lim
x→0−
x− 3
x2
g) lim
x→0+
3
x2 − x
h) lim
x→0−
3
x2 − x
i) lim
x→ 12
+
3x + 1
4x2 − 1
j) lim
x→1−
2x + 3
x2 − 1
k) lim
x→1+
2x + 3
x2 − 1
l) lim
x→3+
x2 − 3x
x2 − 6x + 9
m) lim
x→−1+
2x + 1
x2 + x
n) lim
x→0+
2x + 1
x2 + x
o) lim
x→1+
3x− 5
x2 + 3x− 4
p) lim
x→2+
x2 − 4
x2 − 4x + 4
q) lim
x→2+
x + 2
x2 − 4
r) lim
x→2−
x + 2
x2 − 4
s) lim
x→0−
√
3 + x2
x
t) lim
x→3+
√
x2 − 9
x− 3
u) lim
x→0+
1
x
− 1
x2
v) lim
x→0−
2− 4x3
5x2 + 3x3
w) lim
x→−4−
(
2
x2 + 3x− 4
− 3
x + 4
)
13) Ache todas a(s) asśıntota(s) vertical(is) e horizontal(is) das funções f definidas abaixo.
a) f(x) =
2x + 1
x− 3
b) f(x) = 1− 1
x
c) f(x) =
2√
x2 − 4
14) Calcule f ′(p), pela definição, onde:
a) f(x) = x2 + x e p = 1.
b) f(x) =
√
x e p = 4.
c) f(x) = 5x− 3 e p = −3.
d) f(x) =
1
x
e p = 1.
e) f(x) = 2x3 − x2 e p = 1.
f) f(x) = 3
√
x e p = 2.
15) Seja f(x) = 10.000x + 4
√
10.000. Qual o valor de f ′(10)?
16) Calcule as derivadas das funções abaixo.
a) f(x) = x2 + x
b) f(x) = 3x− 1
c) f(x) = x3
d) f(x) =
1
x
e) f(x) = 5x
f) f(x) = 100000000
g) f(x) =
x
x + 1
h) f(x) =
1
x2
17) Verifique se as funções abaixo são deriváveis no pontos p. Em caso afirmativo calcule f ′(p).
a) f(x) =
{
2x + 1 se x < 1
−x + 4 se x ≥ 1 , em p = 1.
b) f(x) =
{
x2 + 2 se x < 1
2x + 1 se x ≥ 1 , em p = 1.
c) f(x) =
{
2 se x ≥ 0
x2 + 2 se x < 0
, em p = 0
18) Seja f(x) =
{
x + 1 se x < 2
x2 + 2 se x ≥ 2 . A função f é cont́ınua em x = 2? É derivável em x = 2? Justifique.
19) Seja f(x) =
{
x2 se x ≤ 0
−x2 se x > 0 . A função f é derivável em x = 0? É cont́ınua em x = 0? Justifique.
20) Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f definida por f(x) = x3 − 3x + 4 no ponto (x1, y1).
21) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em (p, f(p)) para cada item abaixo:
a) f(x) = x2 e p = 2 b) f(x) =
√
x e p = 9 c) f(x) = x2 − x e p = 1
22) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f , definida por f(x) =
1
x
, no ponto de abscissa x = 2. Esboce o gráfico
de f e da reta tangente no ponto solicitado anteriormente.
3
23) Encontre uma equação da reta normal à curva dada abaixo no ponto especificado.
a) y = x2 − x + 2, P = (2, 4)
b) y =
6
x
, P = (3, 2.)
24) Considere a função y = ax2
a) Determine f ′(x) usando a definição de derivada
b) Calcule f ′(a) e use o resultado para encontrar a equação da reta tangente à parábola no ponto de abscissa x = a.
25) Ache
dy
dx
para as funções abaixo.
a) y = x8 + x6 + x5 + 3x
b) y − 2 = x−3 + 8x2
c) y = axn + 2xn−1 + kx, ∀ a, k ∈ R.
d) xb
2+a2 − 4x = y, ∀ a, b ∈ R.
4
GABARITO
1) a) Não existe b) 1 c) 0
2)
7
4
3) a) 14
b) −6
c)
16
7
d) 12
e)
√
6
5
f)
1
2
g)
√
2
4
h)
1
3
i)
2
5
j)
−7
3
k)
3
2
l) 3
m) 0
n)
1
4
o)
1
2
p)
1
2
q) 1
r)
1
4
s)
2
3
√
2
4) a) lim
x→1+
f(x) = −3, lim
x→1−
f(x) = 2, O limite não existe, pois os limites laterais são diferentes.
b) lim
x→0+
f(x) = 2, lim
x→0−
f(x) = −2, O limite não existe, pois lim
x→0+
f(x) 6= lim
x→0−
f(x)
c) lim
x→−4+
f(x) = 8, lim
x→−4−
f(x) = 0, O limite não existe,pois lim
x→−4+
f(x) 6= lim
x→−4−
f(x).
5) lim
x→0+
f(x) = 1 e lim
x→0−
f(x) = −1. Não existe lim
x→0
f(x)
6) a) e b) possuem a mesma resposta da questão anterior;
7) a) a = −10, b) a = 1
8) a) f não é cont́ınua em x = −2, pois lim
x→−2
f(x) 6= f(−2); b) f é cont́ınua em x = 1, pois lim
x→1
f(x) = f(1).
9) limx→1− h(x) = 3 e limx→1+ h(x) = 3
10) a) L=4, pois lim
x→2
x2 − 4
x− 2
= L, b) L = −1, pois lim
x→0
x2 − x
x
= L.
11) a) 0
b) 0
c) 5
d) 2
e) 2
f) 2
g)
1
3
h)
5
4
i) 0
j) 0
k) 3
√
5
l) 0
m)
1
3
n) 1
o) 0
p) 0
q) 0
r) 0
s) +∞
t) −∞
u) −∞
v) +∞
w)
5
6
12) a) −∞
b) −∞
c) +∞
d) −∞
e) +∞
f) −∞
g) −∞
h) +∞
i) +∞
j) −∞
k) +∞
l) +∞
m) +∞
n) +∞
o) −∞
p) +∞
q) +∞
r) −∞
s) −∞
t) +∞
u) −∞
v) +∞
w) +∞
13) a) y = 2, x = 3 b) y = 1, x = 0 c) y = 0, x = −2, x = 2
14) a) 3
b)
1
4
c) 5
d) −1
e) 4
f)
1
3 3
√
4
15) Para todos o valos de p, f ′(p) = 10.000.
16) a) 2x + 1
b) 3
c) 3x2
d)
−1
x2
e) 5
f) 0
g)
1
(x + 1)2
h) − 2
x3
5
17) As funções b) e c) são deriváveis em p, mas a a) não é derivável em p,pois a derivada a direita e a esquerdasão diferentes.
18) Não é cont́ınua em 2, pois não existe o limite de f quando x tende a 2. A função f também não é derivável em 2, pois
as derivadas no ponto a direita e esquerda são diferentes.
19) f é derivável em 0, pois f
′
−(0) = f
′
+(0). Logo é também cont́ınua em 0, pois derivabilidade implica continuidade.
20) y′(x1) = 3(x1)
2 − 3
21) a) y = 4x− 4 b) x− 6y + 9 = 0 c) y = x− 1
22) y = −1
4
x + 1
23) a)y =
−x + 14
3
e b)y =
3x− 5
2
24) a)f ′(x) = 2ax b)f ′(a) = 2a2; y = 2a2x− a3
25) a)
dy
dx
= 8x7 + 6x5 + 5x4 + 3
b)
dy
dx
= −3x−4 + 16x
c)
dy
dx
= anxn−1 + 2(n− 1)xn−2 + k
d)
dy
dx
= (b2 + a2)xb
2+a2−1 − 4
6