Aula -02-Fundações diretas_ comportamento

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DESCRIÇÃO
A concepção e o comportamento de um sistema de fundações diretas são um procedimento complexo que envolve
a verificação e o cálculo de diversos fatores. Assim, deve-se abordar os principais aspectos que influenciam as
fundações diretas como: a capacidade de carga do solo e do elemento de fundação, os recalques, a tensão
admissível do solo e a promoção da interação solo-fundação.
PROPÓSITO
Descrever o comportamento das fundações superficiais. Identificar conceitos voltados à capacidade de carga de um
projeto de fundações, bem como o cálculo da tensão admissível sobre fundações diretas. Além disso, será
necessário reconhecer como ocorrem os recalques, seus tipos e como se dá o processo para o seu cálculo. Por fim,
discutiremos métodos para avaliar como ocorrem a interação solo-fundação.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, é recomendado ter calculadora científica em mãos, bem como conhecer
ferramentas que facilitaram os processos de cálculo como o Excel.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Definir a capacidade de carga de um projeto de fundações
MÓDULO 2
Identificar como ocorre o recalque, seus tipos e como se dá o processo para o seu cálculo
MÓDULO 3
Calcular a tensão admissível sobre fundações diretas
MÓDULO 4
Avaliar como ocorre a interação solo-fundação
FUNDAÇÕES DIRETAS – CARGAS E
COMPORTAMENTO
AVISO: Orientações sobre unidades de medida
ORIENTAÇÕES SOBRE UNIDADES DE MEDIDA
Em nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia
e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25
km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de
separação dos números e das unidades.
MÓDULO 1
 Definir a capacidade de carga de um projeto de fundações
javascript:void(0)
CAPACIDADE DE CARGA PARA UM PROJETO DE
FUNDAÇÃO
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
A fundação é um dos itens mais importantes em um projeto de engenharia, seja para edificações, pontes ou
quaisquer tipos de obra. Dessa forma, o primeiro passo para iniciar o projeto é definir qual o tipo de fundação é o
mais adequado.
Para definir o tipo de fundação, devem ser verificadas algumas situações: como obter as informações sobre a
natureza da superestrutura, quais as cargas serão transmitidas à fundação, verificar as condições do solo
subterrâneo, analisar a capacidade de carga do solo e os efeitos adversos na estrutura devido a recalques
diferenciais.
A partir disso, é possível sugerir um ou mais tipos de fundação que atendam esses estudos preliminares. Dessa
forma, serão feitas análises mais detalhadas, como estimativas de custo, para definir a fundação mais indicada de
forma técnico/econômica para aquela situação.
Sendo assim, cada tipo de fundação terá um procedimento de cálculo para verificar a capacidade de carga e seu
comportamento no solo de fundação. Neste módulo, será apresentado o comportamento e o cálculo da capacidade
de carga para fundações diretas. O estudo para esse conteúdo pode ser entendido de forma simplificada pela
imagem a seguir.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Processos para cálculo de capacidade de carga do solo.
Já se sabe que fundações superficiais são aquelas em que o elemento de fundação transmite a carga ao terreno
pelas tensões distribuídas sob a base da fundação e que a profundidade de assentamento em relação ao terreno
adjacente é inferior a duas vezes a menor dimensão da fundação. Tal definição é posta pela NBR 6122:2019.
Considere uma fundação superficial tipo sapata para uma análise genérica da transferência de cargas (imagem).
Pode-se afirmar que, quando a fundação é projetada de forma correta, ou seja, analisando o solo que receberá a
carga, as cargas geradas pelo elemento de fundação serão transmitidas para o solo sem sobrecarregá-lo.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Transferência de carga em uma sapata.
Ainda analisando a imagem acima, suponha que a carga
(P)
esteja sendo aplicada sobre a sapata e que essa possua dimensões
(B × L)
, estando apoiada a uma profundidade
(h)
da superfície do terreno. Dessa forma, a tensão aplicada ao solo pela sapata pode ser representada pela equação
1.
Σ =
P
B × L
(1)
TIPOS DE RUPTURA NO SOLO
O termo capacidade de carga está associado diretamente à preocupação de se estabelecer um limite de segurança
para o trabalho de qualquer estrutura. No caso da interação fundação/solo, o estudo da capacidade da carga do
solo procura estabelecer critérios de segurança para um projeto de fundação.
Junto a esse fator, durante o estudo da capacidade de carga no solo, são verificadas situações determinadas como
modos de ruptura do solo. Segundo Cintra e Aoki (2011), a capacidade de carga geotécnica do solo está
associada diretamente a um mecanismo de ruptura, que pode ocorrer de diferentes formas. Veja:
Imagem: Geotechnical Engineering, principles and practices of soil mechanics and foundation
engineering. MURTHY, 2003, p.485. Adaptado por Dayanne Severiano Meneguete
 Modelo de ruptura geral do solo de fundação.
RUPTURA FRÁGIL
Onde o elemento de fundação superficial, normalmente a sapata, pode girar, e nesse caso, ocorre um levantamento
de uma porção de solo para cima da superfície do terreno. Foi denominada por Aleksandar Vesic (1975) como
sendo a ruptura geral.

Imagem: Geotechnical Engineering, principles and practices of soil mechanics and foundation
engineering. MURTHY, 2003, p.485. Adaptado por Dayanne Severiano Meneguete
 Modelo de ruptura por puncionamento do solo de defundação.
RUPTURA DÚCTIL
É caracterizada por provocar deslocamentos significativos da sapata para baixo, sem ocorrer o desaprumo. Foi
denominada por ruptura por puncionamento.
Para entender melhor esses modelos de ruptura do solo, considere que uma sapata, caracterizada pela dimensão
B, esteja apoiada na superfície do terreno, sendo submetida a uma carga P que aumenta gradativamente a partir de
zero. A partir do aumento gradativo da carga serão feitas medições dos seus valores e dos deslocamentos verticais
correspondentes (recalques).
Imagem: Fundações: critérios de projeto, investigação de subsolo. VELOSO & LOPES, 2004, p. 55. Adaptado por
Dayanne Severiano Meneguete
 Comportamento de uma sapata sob carga vertical.
Entenda o que ocorre em cada fase vista na imagem anterior:
FASE I
Pode-se observar que, para pequenos valores de incremento de carga, os recalques ocorrem de forma proporcional,
ou seja, sem grandes diferenciais. Essa fase é chamada de fase elástica. Com o passar do tempo ocorre a
estabilização dos recalques, ou seja, a velocidade de deformação tende a diminuir e tende a zero, de forma que,
nessa fase, os recalques são reversíveis.
FASE II
Nesta fase ocorrem os deslocamentos plásticos. Seguindo os princípios da Lei de Hooke, o estado plástico aparece,
inicialmente, junto às bordas da fundação e vão aumentando de acordo com o crescimento do carregamento. Nesta
fase, as deformações são irreversíveis e, no caso do solo, os recalques são irreversíveis.
FASE III
Fase em que a velocidade de recalque cresce continuamente até ocorrer a ruptura do solo, ou seja, o carregamento
aplicado atinge o limite de resistência da fundação, sendo essa carga denominada capacidade de carga na ruptura
(ou simplesmente capacidade de carga).
CAPACIDADE DE CARGA – MÉTODO DE TERZAGHI
CONCEITOS GERAIS
Segundo vários autores da literatura da Mecânica dos Solos, o estudioso Karl Terzaghi é intitulado o “Pai da
Mecânica dos Solos”. Isso se justifica pelo seu pioneirismo no desenvolvimento de estudos relacionados à teoria de
capacidade de carga de um sistema sapata-solo.
Autores descrevem que Terzaghi (1943) usou a mesma formulação da equação anteriormente desenvolvida pelo
físico Ludwig Prandtl e a estendeu à sua própria teoria para levar em consideração o peso do solo e o efeito do solo
acima da base da fundação na capacidade de carga dosolo.
Para o desenvolvimento de sua fórmula, Terzaghi fez algumas suposições a fim de propor uma equação para
determinar a capacidade de carga de um solo em função de sua coesão e o ângulo de atrito. Veja quais foram essas
suposições:
O solo é semi-infinito, homogêneo e isotrópico.
O problema formulado é bidimensional, ou seja, trata-se de uma sapata corrida, o que significa que o seu
comprimento (L) deve ser bem maior do que a sua largura (B).
A base da sapata é áspera (possui atrito com o solo).
A ruptura é por ruptura geral, ou seja, o maciço de solo sob a base da sapata deve ser pouco deformável (rígido).
A carga é vertical e simétrica.
A superfície do solo é horizontal.
A pressão de sobrecarga no nível da fundação é equivalente a uma carga de sobrecarga
q ′0 = γh
em que
γ
é o peso específico do solo de apoio da sapata, e h é a profundidade da fundação, sendo que h deve ser menor que
a largura B da fundação.
O princípio da sobreposição é válido.
A lei de Coulomb é estritamente válida, ou seja,
σ = c + σtanϕ
.
A partir dessas considerações, Terzaghi propõem um modelo esquemático que mostra a superfície de ruptura sendo
composta pelo que ele denomina como sendo zonas de equilíbrio plástico, representadas na imagem abaixo pela
( )
área GEDCF.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Superfície de ruptura geral.
As zonas de equilíbrio plástico podem ser subdivididas em:
ZONA I
Equilíbrio elástico
ZONA II
Estado de cisalhamento radial
ZONA III
Estado passivo de Rankine
Ao analisar a imagem, pode-se verificar que:
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
Quando a carga
qu
por unidade de área atua sob a base da sapata de largura B sua carga é transmitida para o solo, sendo que a
tendência inicial é essa carga se concentrar na Zona I, e, consequentemente, se espalhar, mas isso é neutralizado
pelo atrito e aderência entre o solo e a base da sapata.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
Devido à existência de uma resistência ao espalhamento lateral da carga, o solo localizado imediatamente abaixo
da base permanecerá em um estado de equilíbrio elástico e o solo localizado dentro desta Zona I central irá se
comportar como se fosse parte da base, afundando com a base sob a carga sobreposta.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
A profundidade deste corpo em forma de cunha de solo ABC permanece praticamente inalterada, mas a base
afunda. Este processo só é concebível se o solo localizado logo abaixo do ponto C se mover verticalmente para
baixo.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
Este tipo de movimento requer que a superfície de deslizamento CD através do ponto C inicie em uma tangente
vertical. O limite da zona do leito de cisalhamento radial (Zona II) é também a superfície de deslizamento.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
Considerando a teoria da plasticidade, as superfícies potenciais de deslizamento formam um material plástico e se
cruzam em todos os pontos da zona de equilíbrio plástico em um ângulo
90 ∘ − ϕ
. Portanto, o limite deve se elevar em um ângulo
ϕ
em relação à horizontal, desde que o atrito e a coesão entre o solo e a base da sapata seja suficiente para evitar um
movimento de deslizamento na base.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
Dessa forma, o deslocamento da Zona I provocará o aparecimento de duas zonas de equilíbrio plástico, II e III, em
cada lado da base da sapata. A Zona II é considerada uma zona de cisalhamento radial cujos limites remotos BD e
AF se encontram com a horizontal da superfície em ângulos de
45 ∘ −
ϕ
2
.
Entenda a diferença entre as zonas II e III:
Zona II
As partes curvas CD e CF, que ocorrem na Zona II, são partes das denominadas espirais logarítmicas cujos centros
estão localizados nos pontos B e A, respectivamente.
( )
( )

Zona III
A Zona III é denominada zona passiva de Rankine, onde os limites DE e FG são linhas retas e encontram a
superfície em ângulos de
45 ∘ −
ϕ
2
.
CAPACIDADE DE CARGA
A partir de seus estudos, Terzaghi desenvolveu uma equação para o cálculo da capacidade de carga para sapatas,
com base na análise das forças atuantes na cunha ABC, como foi visto na imagem anterior. A equação proposta
para o cálculo da capacidade de carga última ou final
qu
está indicada pela equação 2.
QU =
QULT
B
= CNC + ΓDFNQ +
1
2ΓBNΓ
(2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
Qult
é a carga final por unidade de comprimento da sapata.
c
é a coesão do solo.
γ
( )
( )
é o peso específico do solo.
B
é a largura da sapata.
Df
é a profundidade da fundação.
Nc, Nq
e
Nγ
são os fatores de capacidade de carga de Terzaghi e são obtidos por equações em função do ângulo de atrito
do solo,
ϕ
.
Os fatores de capacidade de carga são expressos pelas seguintes equações 3, 4, 5 e 6.
N∅ = TAN
2 45 ∘ +
Φ
2
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
NQ = NΦ ⋅ EΠ ⋅TAN Φ
(4)
( )
NC = NQ − 1 × COTΦ
(5)
NΓ = 2 ⋅ TANΦ ⋅ NQ + 1
(6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esses valores também podem ser encontrados na literatura em formato de tabela. Veja:
ϕ Nc Nq Nγ
0 5,14 1 0
5 6,49 1,57 0,45
10 8,35 2,47 1,22
15 10,98 3,94 2,65
16 11,63 4,34 3,06
17 12,34 4,77 3,53
18 13,1 5,26 4,07
19 13,93 5,8 4,68
20 14,83 6,4 5,39
( )
( )
ϕ Nc Nq Nγ
21 15,82 7,07 6,2
22 16,88 7,82 7,13
23 18,05 8,66 8,2
24 19,32 9,6 9,44
25 20,72 10,66 10,88
26 22,25 11,85 12,54
27 23,94 13,2 14,47
28 25,8 14,72 16,72
29 27,86 16,44 19,34
30 30,14 18,4 22,4
31 32,67 20,63 25,99
32 35,49 23,18 30,22
33 38,64 26,09 35,19
34 42,16 29,44 41,06
35 46,12 33,3 48,03
36 50,59 37,75 56,31
37 55,63 42,92 66,19
ϕ Nc Nq Nγ
38 61,35 48,93 78,03
39 67,87 55,96 92,25
40 75,31 64,2 109,41
41 83,86 73,9 130,22
42 93,71 85,38 155,55
43 105,11 99,02 186,54
44 118,37 115,31 224,64
45 133,88 134,88 271,76
Tabela: Fatores de capacidade de carga.
Elaborada por Dayanne Severiano Meneguete
Sendo
γDf = q
, a equação de Terzaghi pode ser escrita como indicado na equação 7 .
QU = CNC + QNQ +
1
2ΓBNΓ
(7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa equação expressa o efeito de superposição de efeitos para os três casos particulares analisados
anteriormente. Como visto, os fatores de capacidade de carga são adimensionais e dependem unicamente do
ângulo de atrito. Porém, no cálculo geral, existem outros elementos, como a dimensão da sapata, que influenciam
no resultado.
EFEITO DA FORMA DA SAPATA
A equação geral para o cálculo da capacidade de carga desenvolvida por Terzaghi é adotada para o cálculo de
carga de fundações para sapatas corridas em solos passíveis de ruptura geral. No entanto, existem situações em
que as sapatas possuem bases quadradas ou circulares, por exemplo.
Diante disso, equações para fundações com sapatas quadradas, circulares e retangulares foram desenvolvidas com
base na equação de capacidade de carga de Terzaghi, em que foram modificados alguns parâmetros para atender a
outros tipos de fundações. Essa modificação ocorreu a partir da introdução do que foi denominado por fatores de
forma. Para o cálculo da capacidade de carga última, considerando efeito da forma da sapata, tem-se a equação 8:
ΣR = ΣULT = CNCSC + QNQSQ +
1
2ΓBNΓSΓ
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
Sc, Sq
e
Sγ
são denominados fatores de forma, cujos valores são obtidos pela tabela abaixo:
Sapata Sc Sq Sγ
Corrida (Lado B) 1 1 1
Quadrada (B = L) 1,2 1 0,8
Circular (B = diâmetro) 1,2 1 0,6
Tabela: Fatores de forma de Terzaghi-Peck.
Adaptada de Cintra e Aoki, 2011, p. 31
OUTROS MÉTODOS PARA CÁLCULO DA
CAPACIDADE DE CARGA
PRESUNÇÃO DE VESIC 1975
Existem outros métodos desenvolvidos com base nas formulações de Terzaghi para o cálculo da capacidade de
carga de fundações. Vários livros na literatura apresentam os estudos desenvolvido por Aleksander S. Vesic(1975),
que foi um dos principais pesquisadores sobre este tema. Suas contribuições foram muito importantes para o
cálculo da capacidade de carga para as fundações diretas.
Nos estudos desenvolvidos por Vesic, foram feitas substituições nos fatores da equação geral de capacidade de
carga de Terzaghi para atender às situações para solos mais rígidos, passíveis da ruptura geral, como mostra a
equação 9.
ΣR = CNCSC + QNQSQ +
1
2ΓBNΓSΓ
(9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Neste caso, o valor do fator de capacidade de carga
Nγ
será obtido pela equação 10.
NΓ ≅ 2 NQ + 1 TANΦ
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com essa equação, são obtidos novos valores para
Nc
( )
e
Nq
. Além disso, Versic apresenta novas formulações para o cálculo dos fatores de forma, como pode ser visto na
tabela a seguir.
Sapata Sc Sq Sγ
Corrida 1,00 1,00 1,00
Quadrada ou Circular 1 + Nq /Nc 1 + tanϕ 0,60
Retangular 1 +
B
L
Nq
Nc
1 +
B
L
tanϕ 1 − 0, 4
B
L
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Tabela: Fatores de forma de Vesic.
Adaptada de Cintra e Aoki, 2011, p. 33
RUPTURA POR PUNCIONAMENTO
A dita ruptura por puncionamento ocorre nas situações em que não é possível realizar o desenvolvimento teórico
para a capacidade de carga. Isso normalmente ocorre em solos fofos ou moles. Para tal situação, Terzaghi faz a
aplicação da equação utilizada para ruptura geral, mas efetua uma redução empírica nos valores dos parâmetros de
resistência do solo (c e
ϕ
) conforme as equações 11 e 12.
C ∗ =
2
3C
(11)
( )
( )( ) ( ) ( )
TANΦ ∗ =
2
3TANΦ
(12)
Logo, como o ângulo de átrio é substituído, os fatores de capacidade de carga que dependem desse valor tornam-
se
N ′c, N
′
q
e
N ′γ
. Dessa forma, o valor aproximado para o cálculo da capacidade de carga para ruptura por puncionamento é dado
pela Equação 13.
Σ ′R = C
∗N ′CSC + QN
′
QSQ +
1
2ΓBN
′
ΓSΓ
(13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. ESTIME A CAPACIDADE DE CARGA DE UM ELEMENTO DE FUNDAÇÃO POR SAPATA
COM AS SEGUINTES CONDIÇÕES DE SOLO: AREIA ARGILOSA COM
Φ = 25 ∘
,
C = 50KPA
,
YT = 18
KN
M3E
,
B = 2M
E
L = 3M
. (UTILIZE OS FATORES DE FORMAS DE VESIC).
IMAGEM: DAYANNE SEVERIANO MENEGUETE
A)
0, 79MPa
B)
0, 90MPa
C)
1, 39MPa
D)
1, 79MPa
E)
2, 19MPa
2. A DITA RUPTURA POR PUNCIONAMENTO OCORRE NAS SITUAÇÕES EM QUE NÃO É
POSSÍVEL REALIZAR O DESENVOLVIMENTO TEÓRICO PARA A CAPACIDADE DE CARGA.
ISSO NORMALMENTE OCORRE EM SOLOS FOFOS OU MOLES. DIANTE DISSO, ESTIME A
CAPACIDADE DE CARGA PARA UM ELEMENTO POR RUPTURA POR PUNCIONAMENTO
CONSIDERANDO OS DADOS ABAIXO SOBRE AS CONDIÇÕES DO SOLO:
ARGILA ARENOSA
C = 40KPA
Φ = 20 ∘
N ′C = 9, 81,
N ′Q = 3, 26
E
N ′Γ = 1, 97
SC = 1, 22,
SQ = 1, 16,
SΓ = 0, 73
Q = 14KPA
B = 2M
Γ = 14KNM3
LOGO, A CAPACIDADE DE CARGA POR RUPTURA POR PUNCIONAMENTO É:
A)
0, 362MPa
B)
0, 367MPa
C)
0, 382MPa
D)
0, 392MPa
E)
0, 399MPa
GABARITO
1. Estime a capacidade de carga de um elemento de fundação por sapata com as seguintes condições de
solo: areia argilosa com
ϕ = 25 ∘
,
c = 50kPa
,
Yt = 18
kN
m3e
,
B = 2m
e
L = 3m
. (Utilize os fatores de formas de Vesic).
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
A alternativa "D " está correta.
σr = cNcSc + qNqSq +
1
2
γBNγSγ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
1° Cálculo dos Fatores de capacidade de carga:
N∅ = tan
2 45 ∘ + ϕ /2 N∅ = tan
2 45 ∘ + 25 ∘ /2 N∅ = 2, 464
Nq = Nϕ ⋅ e
π ⋅ tan ϕ Nq = 2, 464. e
π ⋅ tan 25 ∘ Nq = 10, 662
Nc = Nq − 1 × cotϕ Nc = (10, 662 − 1) × cot 25
∘ Nc = 20, 720
Nγ = 2 ⋅ tanϕ ⋅ Nq + 1 NY = 2 ⋅ tan 25
∘ ⋅ (10, 662 + 1) Nγ = 10, 876
⇋ Utilize a rolagem horizontal
2° Cálculo dos Fatores de Forma de Vesic:
SC = 1 +
B
L
Nq
Nc
Sc = 1 +
2
3
10, 662
20, 720
Sc = 1, 343
Sq = 1 +
B
L
tanϕ Sq = 1 +
2
3
tan 25 ∘ Sq = 1, 311
Sγ = 1 − 0, 4
B
L
Sγ = 1 − 0, 4
2
3
Sγ = 0, 733
⇋ Utilize a rolagem horizontal
3° Cálculo da tensão na base da sapata:
Q = ΓDF
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Q = 18 × 1
Q = 18KPA
4° Cálculo da capacidade de carga:
ΣR = CNCSC + QNQSQ +
1
2ΓBNΓSΓ
ΣR = 50 × 20, 72 × 1, 343 + 18 × 10, 662 × 1, 311 +
1
218 × 2 × 10, 876 × 0, 733
ΣR ≅ 1786, 44KPA ≅ 1, 79MPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. A dita ruptura por puncionamento ocorre nas situações em que não é possível realizar o desenvolvimento
teórico para a capacidade de carga. Isso normalmente ocorre em solos fofos ou moles. Diante disso, estime
a capacidade de carga para um elemento por ruptura por puncionamento considerando os dados abaixo
sobre as condições do solo:
Argila Arenosa
c = 40kPa
ϕ = 20 ∘
N ′c = 9, 81,
N ′q = 3, 26
e
N ′γ = 1, 97
Sc = 1, 22,
Sq = 1, 16,
Sγ = 0, 73
q = 14kPa
B = 2m
γ = 14kNm3
Logo, a capacidade de carga por ruptura por puncionamento é:
A alternativa "D " está correta.
Σ ′R = C
∗N ′CSC + QN
′
QSQ +
1
2ΓBN
′
ΓSΓ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo,
C ∗ =
2
3C → C
∗ =
2
3 × 40 → C
∗ = 26, 7
Φ ∗ =
2
3Φ → Φ
∗ =
2
3 × 20 → Φ
∗ = 13, 3 ∘
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
Σ ′R = 26, 7 × 9, 81 × 1, 22 + 14 × 3, 26 × 1, 16 +
1
2 × 14 × 2 × 1, 97 × 0, 73
Σ ′R = 392KPA
OU
0, 392MPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Identificar como ocorre o recalque, seus tipos e como se dá o processo para o seu cálculo
O FENÔMENO DO RECALQUE UNIDIMENSIONAL
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
O conhecimento dos aspectos que compõem a mecânica dos solos é de suma importância para a formação do
engenheiro civil. Como todas as obras de engenharia civil são apoiadas sobre o solo. Ele será o responsável em
suportar as cargas das obras, que podem ser edificações, pontes, viadutos etc.
Diante disso, se faz importante entender quais são as tensões atuantes no solo, ou seja, como elas se manifestam e
como isso impactará no material. Segundo Pinto (2006), as tensões no solo podem ser divididas em:
TENSÕES DEVIDO AO PESO PRÓPRIO
DECORRÊNCIA DE CARREGAMENTOS EM SUPERFÍCIE
ALÍVIO DE CARGAS PROVOCADO POR ESCAVAÇÕES
Tudo isso se faz de suma importância, pois sua compreensão será a base para entender o comportamento de
praticamente todas as obras de engenharia geotécnica.
Além disso, existe a necessidade de conhecer a distribuição de tensões (pressões) nas várias profundidades abaixo
do terreno para a solução de problemas de recalques, empuxo de terra, capacidade de carga no solo etc.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Dissipação das cargas sobre o solo.
Pela imagem acima, é possível verificar que a construção de uma edificação gerará um acréscimo de tensão
(pressão) no solo e, eventualmente, dependendo das condições do solo, se este for de consistência mole, esse
acréscimo poderá ocasionar um descolamento vertical no solo, denominado recalque.
REVISÃO DE GEOTÉCNICA
ÍNDICES FÍSICOS
O solo normalmente é classificado em um sistema dito trifásico, ou seja, constituído por partículas sólidas, líquidas e
gasosas.
 ATENÇÃO
Para fins práticos no estudo da Engenharia Civil (mecânica dos solos, fundações etc.), o líquido pode ser
considerado sendo a água, o gás e o ar.
O sistema de fase pode ser expresso em unidades do Sistema Internacional (SI), ou seja, em termos de relações
massa-volume ou peso-volume. Essas inter-relações das diferentes fases são importantes, pois ajudam a definir a
condição ou a composição física do solo.
As relações de fase em termos de peso-volume ou massa-volume podem ser entendidas ao analisar a massa de
solo expressas por um bloco esquemático. A imagem abaixo representa um bloco com área de seção (Situação (a)).
Imagem: Geotechical Engineering, principles and practices of soil mechanics and foundation egineering.MURTHY,
2003, p. 20. Adaptado por Dayanne Severiano Meneguete
 Representação esquemática das três fases constituintes dos solos.
Os volumes dos diferentes constituintes são mostrados no lado direito e os pesos correspondentes no lado
esquerdo do esquema.
 ATENÇÃO
Importante ressaltar que peso ou massa do ar pode ser assumido como zero.
A partir dessas ponderações surgem as razões volumétricas. No contexto geral, existem três razões volumétricas
que são muito úteis em engenharia geotécnica. Elas podem ser determinadas diretamente a partir desse esquema
de fases. No geral, para a estimativa de todos os índices físicos de um determinado solo, normalmente efetuam-se
as seguintes determinações:
UMIDADE
(W)
PESO ESPECÍFICO DO SOLO
(Γ)
PESO ESPECÍFICO DAS PARTÍCULAS SÓLIDAS
ΓS
RELAÇÃO ENTRE PESOS ESPECÍFICOS
Para identificar o estado de um solo, empregam-se índices que correlacionam os pesos e os volumes das três
fases. Por exemplo, o peso específico natural ou peso específico de um solo é a relação entre o seu peso total
e o seu volume total. Isso inclui o peso da água existente em seus vazios e o volume de vazios do solo, equação 14.
ΓT =
WT
VT
(14)
Para sua determinação, molda-se um cilindro do solo cujas dimensões conhecidas permitem calcular o volume. O
peso total dividido pelo volume é o peso específico natural.
O peso específico também pode ser determinado a partir de corpos irregulares, obtendo-se o volume por meio do
peso imerso em água. Para tal, o corpo deve ser previamente envolto por parafina.
O peso específico natural não varia muito entre os diferentes solos. Situa-se entre: 19 a
20
kN
m3
e
, por isso, quando não conhecido, é estimado como
20
kN
m3
( )
. Casos especiais, como as argilas orgânicas moles, podem apresentar pesos específicos ele
14
kN
m3
.
O peso específico das partículas sólidas (ou dos grãos) é uma característica dos sólidos e é calculado pela
relação entre o peso das partículas sólidas (não consideramos o peso da água) pelo volume ocupado pelas
partículas sólidas (sem considerar o volume ocupado pelos vazios do solo). É o maior valor de peso específico que
um solo pode ter, já que as outras duas fases que compõem o solo são menos densas que as partículas sólidas.
ΓS =
WS
VS
(15)
Para medir o “peso” de cada tipo de solo, é necessário colocar o “peso seco” do devido solo em um equipamento
chamado de picnômetro e completar o volume restante (dissolvendo o solo) com água, à temperatura ambiente,
para conseguir determinar o “peso total” do solo.
O peso do picnômetro completado só com água, mais o peso do solo, menos o peso do picnômetro com solo e
água, é o peso da água que foi substituída pelo solo. Deste peso, calcula-se o volume de água que foi substituído
pelo solo e que é o volume do solo. Com o peso e o volume, tem-se o peso específico.
O peso específico dos grãos dos solos varia pouco de solo para solo e, por si, não permite identificar o solo em
questão, mas é necessário para cálculos de outros índices.
Os valores situam-se em torno de:
PICNÔMETRO
Picnômetro é a vidaria utilizada na picnometria, que é a técnica de laboratório determinar massa específica e
densidade de líquidos e sólidos.
27
KN
M3
javascript:void(0)
Peso adotado quando não se dispõe do valor específico para o solo em estudo.
26, 5
KN
M3
Peso específico para grãos de quartzo (areia).
30
KN
M3
Peso máximo para argilas lateríticas, em virtude da deposição de sais de ferro.
Com base no peso específico dos sólidos é determinada uma outra grandeza, a densidade relativa dos grãos
(GS)
, sendo um valor adimensional dado pela relação entre o peso específico dos sólidos e o peso específico da água.
De uma forma geral, segundo Castello (1998), esta densidade varia muito pouco e pode ser tomada como 2,65 em
geral. Existe uma pequena divergência entre esses valores, sendo que, para solos orgânicos,
GS < 2, 60
e solos muito ferrosos,
GS > 2, 70
, equação 16.
GS =
ΓS
ΓW
(16)
O peso específico do solo seco corresponde a um caso particular do peso específico do solo, obtido para
S = 0
, equação 17 .
ΓD =
WS
VT
(17)
O peso específico do solo saturado é o peso específico do solo quando todos os seus vazios estão ocupados
pela água. É numericamente dado pelo peso das partículas sólidas dividido pelo volume total do solo, equação 18.
ΓSAT =
WT
VT
(18)
Já o peso específico do solo submerso, considera-se a existência do empuxo de água no solo. Logo, o peso
específico do solo submerso será equivalente ao peso específico do solo menos o peso específico da água,
equação 19.
ΓSUB = ΓSAT − ΓW
(19)
RELAÇÃO ENTRE PESOS (OU MASSAS)
A umidade é definida como a relação entre o peso da água e o peso dos sólidos em uma porção do solo, sendo
expressa em percentagem na equação 20.
W =
WW
WS
× 100
(20)
RELAÇÃO ENTRE VOLUMES
Porosidade é definida como a relação entre o volume de vazios e o volume total. O intervalo de variação da
porosidade está compreendido entre 0 e 1, equação 21.
N =
VV
VT
(21)
A saturação dos vazios do solo pode estar apenas parcialmente ocupada por água. A relação entre o volume de
água e o volume dos vazios é definida como o grau de saturação, expresso em percentagem e com variação de 0
(solo seco) a 100% (solo saturado), equação 22.
S =
VW
VV
× 100
(22)
O índice de vazios é definido como a relação entre o volume de vazios e o volume das partículas sólidas, expresso
em termos absolutos, podendo ser maior do que a unidade, como pode ser visto na equação 23.
E =
VV
VS
(23)
RELAÇÃO ENTRE ÍNDICES FÍSICOS
Dos índices vistos, só três são determinados diretamente em laboratório:
UMIDADE
PESO ESPECÍFICO DAS PARTÍCULAS SÓLIDAS
PESO ESPECÍFICO NATURAL
O peso específico da água é adotado, os outros são calculados a partir dos determinados. Dividindo os volumes de
água, ar e sólidos, por um determinado fator, conservado constante para todas as fases, de modo que o volume de
sólidos se torne unitário, e utilizando-se as relações entre volumes e entre pesos e volumes, definidas
anteriormente:
Equação 24 Equação 25 Equação 26 Equação 27
n =
e
1 + e γ =
γs(1 + w)
1 + e
γd =
γs
1 + e
γsat =
γs + e ⋅ γw
1 + e
⇋ Utilize a rolagem horizontal
A sequência natural dos cálculos a partir de valores determinados em laboratório ou estimados seria:
EQUAÇÃO 28
γd =
γn
1 + w

EQUAÇÃO 29
e =
γs
γd
− 1

EQUAÇÃO 30
S =
w
e
⋅
γs
γw
EXEMPLO 1
Alguns dos índices físicos apresentados são obtidos a partir de determinações diretas, e os outros a partir destes.
Diante disso, faça a manipulação algébrica necessária para obter a relação entre os índices apresentados abaixo.
a.
yt, yd, w
b.
γd, γs, e → γd =
γs
1 + e
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
a) Tem-se as equações que representam
γt
,
γd
e
w
γt γd w
γt =
Wt
Vt
γd =
Ws
Vt
w =
Ww
Ws
γt =
Wt
Vt
→ γt =
Ww + WS
Vt
→
(dividindo tudo por
Ws
)
→
ww + ws
Ws
Vt
ws
→
→
Numerador:
Ww + Ws
Ws
=
Ww
Ws
+
Ws
Ws
= w + 1
→
Denominador:
Vt
Ws
=
1
γd
Logo:
γt = (w + 1) ⋅ γd
⇋ Utilize a rolagem horizontal
( )
( )
b) Tem-se as equações que representam
γd
,
γS
,
e
γd γs e
γd =
Ws
Vt
γs =
Ws
Vs
e =
Vv
VS
γd =
Ws
Vt
→ γd =
Ws
Vs + Vv
→
(dividindo tudo por
Vs
→
WS
VS
VS + VV
VS
→
→
Numerador:
Ws
Vs
= γs
→
Denominador:
Vs + Vv
Vs
=
Vs
VS
+
Vv
Vs
= 1 + e
Logo:
( )
( )
γd γs e
γd =
γs
1 + e
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Os índices físicos obtidos diretamente são:
UMIDADE
MASSA OU PESO ESPECÍFICO TOTAL
MASSA OU PESO ESPECÍFICO DOS SÓLIDOS
Outros índices físicos são obtidos a partir de relações como as mostradas no exemplo anterior. Observe que nestas
relações, usando os decimais, são omitidos valores percentuais.
 EXEMPLO
Se a umidade, ou porosidade, ou saturação for 50%, usa-se 0,5.
TENSÕES EFETIVAS, NEUTRAS E TOTAIS
Dentre as tensões ocorrentes no solo, encontram-se as tensões devidas ao peso próprio do solo, ou seja, são as
tensões provocadaspelo próprio volume do solo.
 ATENÇÃO
Ao analisar o comportamento dos solos, as tensões devidas ao peso próprio assumem valores consideráveis, ou
seja, não podem ser desconsideradas.
Dessa forma, tem-se que a pressão transmitida de grão a grão nos pontos de contato através de uma massa de
solo é denominada como pressão efetiva, uma vez que esta pressão é responsável pela diminuição da razão de
vazios ou aumento da resistência ao atrito de um solo massa.
Para as situações em que os vazios de uma massa de solo estão cheios de água, tem-se a pressão denominada
como pressão de água dos poros ou pressão neutra ou por opressão. O efeito dessa pressão é aumentar o volume
ou diminuir a resistência ao atrito da massa do solo.
Dessa forma, é preciso entender como são feitos os cálculos para se obter as tensões atuantes na massa de solo,
em suas diversas profundidades, de forma a considerar somente o peso próprio, isto é, apenas o peso sujeito à
ação da gravidade, sem cargas externas atuantes. Essas tensões são denominadas pressões virgens ou
geostáticas.
Logo, podemos concluir que as tensões devidas ao peso próprio do solo estão divididas em três elementos:
TENSÕES TOTAIS
As tensões totais representam as tensões provocadas pelos sólidos e pela água.
TENSÕES NEUTRAS
As tensões neutras ou por opressões representam as tensões provocadas pela água.
TENSÕES NEUTRAS
As tensões efetivas representam as tensões geradas pelos elementos sólidos que compõem o solo.
TENSÃO TOTAL
A tensão total do solo pode ser entendida como a tensão atuante devido as forças atuantes nos elementos sólidos e
as forças geradas pela presença de água nos vazios, ou seja, o somatório de todas as forças sobre uma respectiva
área.
A transmissão de forças entre as partículas dependerá do tipo de mineral que forma o solo.
Solos constituídos por partículas maiores
Solos constituídos por partículas maiores, em que as três dimensões ortogonais são aproximadamente iguais, como
são os siltes e areias, a transmissão de forças se faz através do contato direto de mineral a mineral.

Solos constituídos por partículas do mineral argila
Solos constituídos por partículas do mineral argila, sendo elas em números muito grandes, as forças em cada
contato são muito pequenas e a transmissão pode ocorrer através da água quimicamente adsorvida.
Nos dois casos, entretanto, a transmissão se faz nos contatos e, portanto, em áreas muito reduzidas em relação à
área total envolvida.
Uma forma muito utilizada para se obter as tensões atuantes no solo consiste em considerar que os solos sejam
formados de partículas e que as forças aplicadas a elas são transmitidas de partícula à partícula. Além disso, teriam
as forças suportadas pela água nos vazios.
Partindo dos princípios básicos da física clássica, imagine um plano de área (A), onde será aplicada uma força
pontual (F) sobre esta área de maneira que esta forma irá se distribuir uniformemente sobre toda a superfície.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Força x área.
Tem-se que a relação entre a força (somatório) e área dará a tensão atuante sobre a superfíciel, conforme equação
18.
Σ =
F
A
(31)
Onde:
σ =
Tensão
∣
kN
m2
= kPa
,
F =
Força
(kN)
e
A =
Área
m2
.
Aplicando esse processo em um perfil de solo, tem-se algo semelhante. Imagine um prisma em um perfil de solo.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Esquema do prisma imaginário sobre o solo.
Neste perfil, é possível verificar que cada camada de solo possui uma altura (
h
) e um peso específico do material (
γ
( )
( )
) próprio. Sabe-se que a relação entre o peso e o volume fornece o peso específico do material. Dessa forma, pode-
se verificar, conforme a equação 19, que,
PESO ESPECÍFICO TOTAL
ΓT =
 PESO TOTAL 
 VOLUME TOTAL =
WT
VT
=
WS + WW
VS + VV
(32)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pelo perfil de solo apresentado na imagem anterior, tem-se um perfil com três camadas de solo, cada um com seu
peso próprio e altura, mas todas de mesma seção de área. Aplicando a equação 19 neste caso tem-se,
σ =
W1 + W2 + W3
A
Sabendo que o peso específico total será
γt =
WT
VT
→ WT = γt ⋅ VT
, e para solos saturados,
WT = γsat. VT
, substituindo esses valores na fórmula da tensão
(σ)
, tem-se:
Σ =
Γ1 ⋅ V1 + Γ2 ⋅ V2 + Γ3. V3
A
Σ =
Γ1 ⋅ H1A + Γ2 ⋅ H2 ⋅ A + Γ3 ⋅ H3 ⋅ A
A
( )
Σ = ΓT1 ⋅ H1 . + ΓSAT 2 ⋅ H2 + ΓSAT 3. H3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, para um perfil de solo de n camadas, cada uma com sua altura, tem-se a equação 20.
Σ =
N
∑
I = 1
ΓI ⋅ HI
(33)
O peso específico total deverá ser calculado pela Equação 21 e o peso específico saturado pela equação 22.
ΓT =
ΓS ⋅ (1 + Ω)
(1 + E)
(34)
ΓSAT =
ΓS + SEΓW
(1 + E)
(35)
Onde:
ω
: Umidade (%)
e
: Índice de vazios
S
: Grau de saturação (para solos saturados
S = 1
)
GS :
Densidade real dos grãos (faixa típica: 2,6 a 2,7
)
.
γt
: representa o peso específico dos sólidos e pode ser obtido pela multiplicação da densidade real dos grãos pelo
peso específico da água.
 COMENTÁRIO
Para entender melhor como acontecem as tensões totais no solo, veja o exemplo 2.
EXEMPLO 2
Para o perfil de solo mostrado na imagem abaixo, calcule as tensões totais existentes nas cotas indicadas no perfil:
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Exemplo 2.
Não se sabe o grau de saturação da camada de areia grossa acima do nível da água, mas sabe-se que os índices
de vazios nas camadas saturada e não saturada serão os mesmos. A diferença é que, para a camada saturada,
todo o volume de vazios estará preenchido com água e, na camada não saturada, este volume terá água e ar.
Dessa forma, para resolução do problema os cálculos serão iniciados pela camada de material saturado.
Camada de areia grossa – abaixo do NA:
ω = 20%
h = 6
metros
GS = 2, 65
S = 1
(Solo Saturado)
1º Passo γs = Gs ⋅ γw = 2, 65 × 10 = 26, 5KN/m
3
2º Passo S. e = Gs. ω = 1. e = 2, 65 × 0, 2 → e = 0, 53
3º Passo
γsat =
γs + Seγw
(1 + e)
γsat =
26, 5 + 1.0, 53.10
(1 + 0, 53)
γsat = 20, 78KN /m
3
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Camada de areia grossa – acima do NA:
ω = 5%
h = 2
metros
GS = 2, 65
e = 0, 53
(cálculo anterior)
1º Passo γs = 26, 5KN/m
3
2º Passo e = 0, 53
3º Passo
γt =
γs ⋅ (1 + ω)
(1 + e)
γt =
26, 5 ⋅ (1 + 0, 05)
(1 + 0, 53)
γt = 18, 19KN/m
3
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Camada de argila orgânica:
ω = 80%
h = 8
metros
GS = 2, 3
S = 1
(solo saturado)
1º Passo γs = Gs. γw = 2, 3 × 10 = 23KN/m
3
2º Passo S. e = Gs. ω = 1. e = 2, 3 × 0, 8 → e = 1, 84
3º Passo
γsat =
γs + Seγw
(1 + e)
γsat =
23 + 1.1, 84.10
(1 + 1, 84)
γsat = 14, 58kN/m
3
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Cota
Altura
(m)
Υ kN/m3 σ kN/m2
−2 2 18, 19 σ1 = 2 × 18, 19 = 36, 38
−8 6 20, 78 σ2 = 36, 38 + 6 × 20, 78 = 161, 06
−16 8 14, 58 σ3 = 161, 06 + 8 × 14, 58 = 277, 7
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Cota, altura, peso específico e Tensão para camadas de argila.
Elaborada por Dayane Meneguete
Gráfico ou diagrama da tensão total
( ) ( )
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Exemplo 2: Gráfico ou diagrama da tensão total.
TENSÃO NEUTRA
Segundo Pinto (2006), a água no interior dos vazios do solo, abaixo do nível d'água, estará sob uma pressão que
independe da porosidade do solo. Essa pressão depende da sua profundidade em relação ao nível freático. No
plano considerado na imagem a seguir, a pressão da água, que em mecânica dos solos é representada pelo
símbolo
μ
, será dada pela altura
z
, que se inicia no nível d'água até o ponto analisado.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Poropressão no solo.
Considere um cilindro de seção com área
A
, a uma profundidade
z
, do nível d'água até o ponto analisado. Considerando que pressão é força divido pela área e, no caso em questão,
a força será dada pelo peso da coluna de água
Ww
, como apresentado na equação 36
Μ =
WW
A
(36)
Sendo o peso específico da águadado pela equação 37.
ΓW =
WW
VW
→ WW = VW ⋅ ΓW
(37)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E, por fim, sabe-se que o volume do cilindro pode ser calculado pelo produto entre a área da seção pela altura,
como apresenta a equação 38.
VW = A ⋅ Z
(38)
Substituindo a equação 38 na equação 37, e a equação 36 na equação 35, temos a equação 39, que é expressão
para o cálculo da poropressão na mecânica dos solos.
( )
Μ =
A ⋅ Z ⋅ ΓW
A
→
Μ = Z. ΓW
(39)
TENSÃO EFETIVA
Os conceitos iniciais sobre tensão efetiva foram apresentados por Terzaghi. Em uma análise geral, foi determinado
que a tensão efetiva do solo, que é a tensão que representa as partículas sólidas, seria calculada pela equação 40.
Σ′ = Σ − Μ
(40)
Segundo Pinto (2006), esta constatação de Terzaghi pode ser entendida pela imagem a seguir.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Pressão efetiva no solo.
Sabendo que a tensão total é a soma da tensão efetiva com a tensão de água, tem a relação:
Σ = Σ′ + Μ
A tensão neutra pode ser expressa pelo peso de água
Ww
por uma área
(A)
e tensão efetiva pode ser expressa como o somatório das forças efetivas atuantes
∑N ′
por uma área
(A)
. Logo:
Σ =
∑ N′ + WW
A
A poropressão de água é
μ =
Ww
A
. Sendo assim, o peso de água pode ser representado por:
WW = Μ ⋅ A
′
A área
A ′
representa a área de contatos e a de poros. Para efeito de cálculo das tensões, se considera apenas a área dos
poros. Logo,
( )
( )
A′ = AV + AC(AC =
ÁREA DOS CONTATOS,
AV =
ÁREA DOS POROS
)
AC ≈ 0 → A′ = AV
Σ =
∑ N′
A
+
Μ ⋅ AV
A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∑ N′
A
→
GERADA PELO ESQUELETO SÓLIDO
Μ ⋅ AV
A →
GERADA PELA ÁGUA
Σ =
∑ N′
A
+ Μ
∑ N′
A
→
TENSÃO EFETIVA
Σ = Σ′ + Μ
Σ′ = ∑Σ − ∑Μ
(41)
Esse processo foi desenvolvido por Terzarghi em 1925. Ele foi considerado o “Pai da Mecânica dos Solos”.
Para entender melhor esse processo veja os exemplos 3 e 4:
EXEMPLO 3
Dada a situação do perfil de solo mostrado abaixo, calcule a tensão efetiva existente à cota – 12 metros mostrada
na imagem a seguir.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete, adaptada por Roseane Bahiense
 Exemplo 3.
Para o cálculo da tensão efetiva, deve-se aplicar a equação. Logo:
Σ′ = ∑Σ − ∑Μ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
São três camadas de solo:
Solo Tipo Peso específico Altura da camada Altura de coluna d’água
1 Areia Fina Média Compacta
γt1 = 17
kN
m3
γsat1 = 19
kN
m3
h1 = 5m hsat 1 = 3, 5m
2 Silte argiloso γsat2 = 18
kN
m3
h2 = 3m hsat 2 = 3m
3 Argila orgânica γsat3 = 15
kN
m3
h3 = 4m hsat 3 = 4m
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Peso Específico, Altura da Camada e altura da coluna d’água, para os tipos de solo.
Elaborada por Dayane Meneguete
Sendo assim:
σ ′ = ∑σ − ∑ μ
∑σ = h1 × γt1 + hsat1 × γsat 1 + hsat 2 × γsat 2 + hsat 3 × γsat 3
∑ μ = γw ⋅ hsat 1 + hsat 2 + hsat 3
σ ′ = h1 × γt1 + hsat 1 × γsat1 + hsat 2 × γsat 2 + hsat 3 × γsat 3 − γw ∗ hsat 1 + hsat 2 + hsat 3
σ ′ = 1, 5 × (17) + 3, 5 × (19) + 3 × (18) + 4 × (15) − (10 × (3, 5 + 3 + 4)
σ ′ = 101KPa
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 4
Calcule as tensões totais, efetivas e neutras para cada cota e trace os diagramas de tensão. Observe a imagem
abaixo:
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete, adaptada por Roseane Bahiense
 Exemplo 4.
Cota
Altura
(m)
Y kN/m3 σ kN/m2 μ kN/m2 σ′ kN/m2
0 0 0 0 0 0
−1, 5 1, 5 17 = 17 × 1, 5 → 25, 5 0 25, 5
( )
( ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
Cota
Altura
(m)
Y kN/m3 σ kN/m2 μ kN/m2 σ′ kN/m2
−5 3, 5 19 = 25, 5 + 19 × 3, 5 → 92 3, 5 × 10 = 35 92 − 35 = 57
−8 3 18 = 92 + 18 × 3 → 146 35 + 3 × 10 = 65 146 − 65 = 81
−12 4 15 = 146 + 15 × 4 → 206 65 + 4 × 10 = 105 206 − 105 − 101
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Peso específico, tensão, tensão de água e tensão específica, em relação à altura.
Elaborada por Dayane Meneguete
Diagramas das tensões totais, efetivas e poropressões:
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete, adaptada por Roseane Bahiense
 Resolução do exemplo 4 – diagramas das tensões.
TENSÕES NO SOLO DEVIDAS A CARREGAMENTOS
EXTERNOS
Estimativa de tensões verticais em qualquer ponto em uma massa de solo devido a carregamentos verticais
externos são de grande importância na previsão de assentamentos de edifícios, pontes, aterros e muitos outras
estruturas.
Além disso, em muitos casos, o recalque admissível de uma fundação rasa pode controlar a capacidade de suporte
admissível. O recalque admissível pode variar para cada tipo de construção e pode ser controlado por normas
técnicas.
( ) ( ) ( ) ( )
Desta forma, a capacidade de suporte admissível será o menor valor de tensão que garanta que o solo não sofrerá
ruptura nem recalque excessivo.
Sendo assim, para o cálculo do recalque ou da verificação da resistência do solo, é necessário estimar o aumento
das tensões em uma massa de solo em função da carga gerada pela construção. Nesse caso, ao se aplicar uma
carga na superfície de um terreno, numa área bem definida, os acréscimos de tensão numa certa profundidade não
se limitam à projeção da área carregada. Veja na imagem a seguir.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Acréscimos de tensão numa certa profundidade.
Para a estimativa do aumento da tensão vertical em várias profundidades do solo em função da aplicação, na
superfície do terreno, de:
CARGA PONTUAL (CONCENTRADA)
CARGA EM ÁREA RETANGULAR CARREGADA
CARGA EM ÁREA CIRCULAR CARREGADA
Existem também variações das modificações de tensões em função da posição dos elementos do terreno.
 EXEMPLO
Como exemplo dessas propagações de tensões no solo devido a carregamentos externos temos as fundações,
aterros e escavações (descarregamento).
As equações desenvolvidas para calcular tensões em qualquer ponto em uma massa de solo têm como base a
teoria da elasticidade. De acordo com a teoria elástica, existem razões constantes entre tensões e tensões.
As fórmulas mais utilizadas são o Boussinesq Westergaard, solução de Newmark e o método simplificado 2:1,
sendo que cada uma possui suas particularidades para aplicação.
MÉTODO DA TEORIA DA ELASTICIDADE – BOUSSINESQ
A aplicação da teoria da elasticidade é conveniente para tensões até um determinado nível, onde existe uma certa
proporcionalidade entre as tensões e as deformações podendo se ter um módulo de elasticidade constante do
material.
Boussinesq determinou o comportamento de tensão-deformação no interior de uma massa elástica, homogênea e
isotrópica em um semiespaço infinito de superfície horizontal gerado por uma carga pontual aplicada na superfície.
Veja na imagem abaixo.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Método de Boussinesq – carga pontual aplicada na superfície.
A imagem acima mostra uma carga pontual Q agindo em um ponto O na superfície de um sólido semi-infinito. O
problema visa determinar as tensões geradas em qualquer ponto P em uma profundidade
z
. Sendo assim, a expressão obtida por Boussinesq para calcular a tensão vertical no ponto P é representada pela
equação 42.
ΔΣ =
3Q
2ΠZ2 1 +
R
Z
2 5 / 2
(42)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cabe ressaltar que existe uma diferença na distribuição de tensão quando o raio é zero e quando o raio é maior que
zero. Veja:
Raio
(r) =
zero e mais próximo à superfície
A distribuição de tensões em solos devido a cargas de superfície será maior quando o raio
(r)
for zero e mais próxima à superfície.

Raio
(r) >
zero e profundidade maior
Valores de
r > 0
e profundidades maiores gerarão distribuições de tensões menores ao longo da profundidade.
Para compreender melhor esse efeito, veja o exemplo 5.
EXEMPLO 5
Considere os pontos indicados na imagem a seguir. Com base nos dados, calcule os acréscimos de tensão nos
pontos mostrados a seguir baseados na solução de Boussinesq.
[ ( ) ]
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Exemplo 5.
Para ocálculo do acréscimo de tensão pela solução de Boussinesq, deve-se usar a equação abaixo:
ΔΣ =
3Q
2ΠZ2 1 +
R
Z
2 5 / 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os dados necessários para aplicação da fórmula são a carga pontual
Q
, as profundidades de cada ponto
(z)
e o raio (distância entre o ponto de aplicação da carga e o ponto estudado
r)
, logo,
PONTO Q(tf) z(m) r(m) Δσ tf /m2
A 100 5 5
ΔσA
[ ( ) ]
( )
PONTO Q(tf) z(m) r(m) Δσ tf /m2
B 100 5 0 ΔσB
C 100 5 5 ΔσC
D 100 10 5 ΔσD
E 100 10 0 ΔσE
F 100 10 5 ΔσF
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Cargas, posições e variações de tensões nos pontos de A a F.
Elaborada por Dayane Meneguete
Analisando a tabela, percebe-se que os pontos A e C e os pontos D e F terão o mesmo valor de acréscimo de
tensão, pois a carga aplicada, profundidade e raios são iguais. Diante disso, basta aplicar diretamente a fórmula de
Boussinesq.
Ponto A e C
ΔΣA = ΔΣC =
3 × 100
2Π52 × 1 +
5
5
2 5 / 2
= 0, 338TF /M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ponto B
( )
[ ( ) ]
ΔΣB =
3 × 100
2Π52 × 1 +
0
5
2 5 / 2
= 1, 91TF /M2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ponto D e F
ΔΣD = ΔΣF =
3 × 100
2Π102 × 1 +
5
10
2 5 / 2
= 0, 273TF /M2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ponto E
ΔΣE =
3 × 100
2Π102 × 1 +
0
10
2 5 / 2
= 0, 48TF /M2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Graficamente, seria:
[ ( ) ]
[ ( ) ]
[ ( ) ]
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete, adaptada por Roseane Bahiense
 Resolução exemplo 4.
EXTENSÃO DO MÉTODO DA TEORIA DA ELASTICIDADE –
NEWMARK
A extensão do método da teoria da elasticidade, conhecido como solução de Newmark ou método da área
retangular uniformemente carregada (canto de área), foi desenvolvida considerando uma unidade infinitamente
pequena de área de tamanho, mostrada na imagem a seguir.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Solução de Newmark.
A pressão agindo sobre a pequena área pode ser substituída por uma carga concentrada dQ aplicada ao centro da
área. Dessa forma:
Considere a equação da solução de Boussinesq (Eq. I)
Considere que tensão é força sobre área para o trecho atingido pela força dQ (Eq. II)
Considere o raio de projeção entre o ponto de aplicação da carga no centro da figura e o ponto P estudado a
profundidade z (Eq. III).
EQ. I
Δσ =
3Q
2πz2 1 +
r
z
2 5 / 2
EQ. II
q0 =
dQ
dx ⋅ dy
ou
dQ = q0 ⋅ dx ⋅ dy
EQ. III
r = √x2 + y2
Substituindo as equações II e III em I, tem-se:
[ ( ) ]
ΔΣ =
3 ⋅ Q0 ⋅ DX ⋅ DY
2ΠZ2 1 +
X2 + Y2
Z2
5 / 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando:
ΔΣ = ∫B0∫
A
0
3 ⋅ Q0 ⋅ DX ⋅ DY
2ΠZ2 1 +
X2 + Y2
Z2
5 / 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desenvolvendo os cálculos, Newmark conclui que:
ΔΣ = Q0 ⋅ F(M, N)
(43)
Onde,
M =
A
Z EN =
B
Z
(44)
[ ]
[ ]
F(M, N) = IZ −
FATOR DE INFLUÊNCIA
(45)
Esse fator de influência é dado por um ábaco, representado pela imagem abaixo.
Imagem: Geotechnical Engineering, principles and practices of soil mechanics and foundation
engineering. MURTHY, 2003, p.184. Adaptado por Dayanne Severiano Meneguete
 Ábaco para determinar o valor de influência para tensão normal vertical.
A solução de Newmark permite ser aplicada a diferentes geometrias e posições, desde que a área carregada em
planta possa ser decomposta em retângulos, como, por exemplo, para a situação mostrada a seguir.

Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Área carregada no centro planta.
Para resolver o problema indicado na imagem ao lado, basta decompô-la em quatro retângulos, de modo que o
ponto A seja o vértice dos quatro retângulos. A tensão vertical será quatro vezes a tensão vertical de cada retângulo
menor.
A solução de Newmark permite ser aplicada a diferentes geometrias e posições, desde que a área carregada em
planta possa ser decomposta em retângulos, como mostra a imagem a seguir.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Área carregada no centro planta dividida para aplicação de Newmark.


Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Área carregada no ponto qualquer em planta.
A placa mostrada na imagem ao lado pode ser dividida em três retângulos (I, II e III), como representado na imagem
a seguir.
Dessa forma, a tensão vertical será a soma da contribuição das três placas (I, II e III).
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Área carregada no ponto qualquer em planta dividida para aplicação de Newmark.

RECALQUE
As construções, sejam elas edificações, pontes, viadutos, estradas etc., são construídas sobre o solo. Estas obras
transferem suas cargas para o solo por meio das fundações. O efeito das cargas é distribuído pelo solo
normalmente até uma profundidade de cerca de duas a três vezes a largura da fundação.
Dessa forma, ao receber essas cargas, o solo dentro desta profundidade é comprimido devido às tensões impostas.
A compressão da massa do solo leva à diminuição do volume da massa que resulta no assentamento da estrutura.
Segundo Murthy (2003), os deslocamentos que se desenvolvem em qualquer limite da massa do solo podem ser
determinados em uma base racional ao somar os deslocamentos de pequenos elementos da massa resultantes das
cargas produzidas por uma mudança no sistema de tensão.
A compressibilidade, que ocorre no solo devido às tensões impostas, pode ser quase imediata ou dependente do
tempo de acordo com a permeabilidade característica do solo. Para solos sem coesão que são altamente
permeáveis, como as areias, o efeito da compressibilidade do solo ocorre em um período relativamente curto em
comparação a solos coesos (argilas), que são menos permeáveis.
As características de compressibilidade no solo podem ser devidas a qualquer uma ou a uma combinação dos
seguintes fatores:
COMPRESSÃO DA MATÉRIA SÓLIDA
COMPRESSÃO DE ÁGUA E AR NOS VAZIOS
ESCAPE DE ÁGUA E AR DOS VAZIOS
No âmbito desse módulo, será apresentada uma revisão apenas do cálculo dessa compressibilidade, denominado
recalque, ou seja, o cálculo da compressibilidade total do solo. Sendo que o fenômeno de recalque pode ser devido
a um ou mais dos seguintes fatores:
CARGAS ESTÁTICAS EXTERNAS DE ESTRUTURAS
PESO PRÓPRIO DO SOLO, COMO PREENCHIMENTOS
RECENTEMENTE COLOCADOS
REDUÇÃO DO LENÇOL FREÁTICO
DESSECAÇÃO
Logo, a compressão total de uma camada de argila saturada sob pressão efetiva excessiva pode ser considerada
como a soma da compressão imediata, a consolidação primária, e a compressão secundária.
Para entender melhor como ocorre o processo do recalque unidimensional do solo, imagine um prisma de solo com
dimensões iniciais conhecidas. A determinação do recalque unidimensional,
ΔH
, será feita da seguinte forma:
A partir do conhecimento da altura inicial do prisma de solo, H.

A partir de seu índice de vazios inicial,
e0
.

A partir de seu índice de vazios final,
ef
.
Os outros valores que serão obtidos por dedução são:
Volume de vazios do solo na situação inicial
Vv0
.
Volume total do solo na situação inicial
Vt0
.
Volume de sólidos
VS
, que permanece inalterado.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Compressão unidimensional de um prisma de solo.
Fazendo a manipulação algébrica da situação final e inicial dos dois elementos, tem-se:
ANÁLISE I
Situação Inicial Situação Final
e0 =
VV
Vs
VT = VV + Vs
ef =
VV − A × ΔH
Vs
( )
( )
( )
( )
Situação Inicial Situação Final
e0 =
VT − Vs
Vs
=
A × H − Vs
Vs
ef =
A × H − Vs − A × ΔH
Vs
e0 − ef = Δe =
A × H − Vs − A × H − Vs − A × ΔH
Vs
Δe =
A × H − Vs − A × H + Vs + A × ΔH
Vs
Δe =
A × ΔH
Vs
Equação I
⇋ Utilize a rolagem horizontal
ANÁLISE II
E0 =
VV
VS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
E0 =
VT − VS
VS
=
A × H − VS
VS
( )
OU
E0 =
A × H
VS
− 1
 Atenção! Paravisualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
VS =
A × H
E0 + 1
(EQUAÇÃO II)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ANÁLISE III
Substituindo as equações I e II, tem-se:
ΔE =
A × ΔH
A × H
E0 + 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ΔH =
H
1 + E0
ΔE
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os parâmetros que contemplaram os valores de ∆e são obtidos em ensaios laboratoriais e seu detalhamento é feito
na disciplina de mecânica dos solos. De uma maneira geral, o recalque unidimensional do solo pode ser calculado
pela equação 46.
ΔH =
H
1 + E0
⋅ CR ⋅ LOG
Σ′P
Σ ′0
+ CC ⋅ LOG
Σ′F
Σ′P
(46)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
H =
Espessura da camada mole
e =
Índice de vazios inicial (campo) - obtido em laboratório
Cr =
Coeficiente de recompressão (laboratório ou fórmulas empíricas)
Cc =
Coeficiente de compressão (laboratório ou fórmulas empíricas)
σ ′p =
Tensão efetiva de pré
−
adensamento do solo
σ ′0 =
Tensão efetiva inicial (campo) no meio da camada de interesse (mole)
( ) ) [ ( ) ( )]
Δσ =
Acréscimo de tensão no meio da camada de interesse
A definição de pressão de pré-adensamento é a de que seja "
A
"" pressão a partir da qual existe uma queda acentuada do índice de vazios. O seu valor pode ser obtido de forma
gráfica, com base em ábacos desenvolvidos por vários autores como: método de Casagrande, método de Pacheco
Silva e o método de Janbu. Além disso, seu valor está diretamente relacionado à tensão efetiva inicial e um
coeficiente chamado de razão de sobreadensamento do solo (RSA), como pode ser visto na equação 47.
Σ ′P = Σ
′
0 ⋅ RSA
(47)
Os valores dos coeficientes de compressão e recompressão podem ser obtidos a partir de ensaios ou várias
fórmulas empíricas que correlacionam o seu valor com seus índices físicos ou índices como o limite de liquidez.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DADA A PROJEÇÃO DA SAPATA ABAIXO, CALCULE OS VALORES DO ACRÉSCIMO DE
TENSÃO NOS PONTOS INDICADOS ABAIXO E MARQUE A ALTERNATIVA CORRETA.
IMAGEM: DAYANNE SEVERIANO MENEGUETE
A)
ΔσA = 5, 8kPa
e
ΔσB = 5, 4kPa
B)
ΔσA = 5, 2kPa
e
ΔσB = 5, 6kPa
C)
ΔσA = 5, 6kPa
e
ΔσB = 5, 2kPa
D)
ΔσA = 4, 6kPa
e
ΔσB = 4, 2kPa
E)
ΔσA = 6, 6kPa
e
ΔσB = 6, 2kPa
2. PARA UMA CAMADA DE ARGILA NORMALMENTE ADENSADA NO CAMPO, SÃO
FORNECIDOS OS SEGUINTES VALORES:
ESPESSURA DA CAMADA DE ARGILA
= 2, 60M
ÍNDICE DE VAZIOS
E0 = 0, 8( )
ÍNDICE DE COMPRESSÃO
CC = 0, 28
PRESSÃO EFETIVA MÉDIA NA CAMADA DE ARGILA
Σ ′0 127KN/M
2
ACRÉSCIMO DE TENSÃO
(ΔΣ) = 46, 5KN/M2
DIANTE DESSES DADOS, CALCULE O RECALQUE POR ADENSAMENTO TOTAL DA
CAMADA DE ARGILA E ASSINALE A ALTERNATIVA QUE CONTÉM ESSE VALOR.
A) 3,48cm
B) 35,8mm
C) 4,48mm
D) 5,48cm
E) 65,4mm
GABARITO
1. Dada a projeção da sapata abaixo, calcule os valores do acréscimo de tensão nos pontos indicados
abaixo e marque a alternativa correta.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
A alternativa "C " está correta.
( )
( )
Para cada ponto deverá ser avaliado uma maneira do ponto a ser calculado o acréscimo de tensão ser apresentado
no canto.
O ponto B é o mais simples, pois ele já se encontra nessa posição. Dessa forma, basta identificar os valores
necessários para aplicação da solução de Newmark e utilizar o ábaco.
PONTO B:
z = 10m
a = 2m
b = 3m
Logo,
m
,
n
e consequentemente a
f(m, n)
serão:
M =
A
Z
=
2
10 = 0, 2
N =
B
Z
=
3
10 = 0, 3
F(M, N) = F(0, 2; 0, 3) = 0, 026
(ÁBACO)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
Logo,
ΔΣB = Q ⋅ F(M, N) → ΔΣB = 200.0, 026 → ΔΣB = 5, 2KPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PONTO A:
Para resolução do ponto A, basta dividi-lo em 4 áreas iguais. Consequentemente, tem-se:
z = 10 m
a = 1 m
b = 1,5 m
M =
A
Z =
1
10 = 0, 10
N =
B
Z
=
1, 5
10 = 0, 15
F(M, N) = F(0, 1; 0, 15) = 0, 007
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
ΔΣA = Q ⋅ F(M, N)
ΔΣA = 200.0, 007
ΔΣA = 1, 4KPA(P
ARCIAL
)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a área foi dividida em 4 partes, a tensão final no ponto A será:
ΔΣA = 4 × 1, 4KPA
ΔΣA = 5, 6KPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Para uma camada de argila normalmente adensada no campo, são fornecidos os seguintes valores:
Espessura da camada de argila
= 2, 60m
Índice de vazios
e0 = 0, 8
Índice de compressão
Cc = 0, 28
Pressão efetiva média na camada de argila
σ ′0 127kN/m
2
Acréscimo de tensão
(Δσ) = 46, 5kN/m2
Diante desses dados, calcule o recalque por adensamento total da camada de argila e assinale a alternativa
que contém esse valor.
A alternativa "D " está correta.
( )
( )
( )
ΔH =
H
1 + E0
⋅ CR ⋅ LOG
Σ′P
Σ ′0
+ CC ⋅ LOG
Σ ′F
Σ ′P
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o solo é normalmente adensado, a parcela da equação do trecho de recompressão pode ser desprezada.
ΔH =
H
1 + E0
⋅ CC ⋅ LOG
Σ ′F
Σ ′P
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Também pelo fato de o solo ser normalmente adensado:
Σ ′P = Σ
′
0 = 127
KN
M2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E,
Σ ′F = Σ
′
0 + ΔΣ
( ) ) [ ( ) ( )]
( ) ) [ ( )]
Σ ′F = 127 + 46, 5
Σ ′F = 173, 5KN /M
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
ΔH =
2, 60
1 + 0, 8 ⋅ 0, 28 ⋅ LOG
173, 5
127
ΔH = 0, 0548M
OU
5, 48CM
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Calcular a tensão admissível sobre fundações diretas
( ) [ ( )]
O QUE É A TENSÃO ADMISSÍVEL PARA UM PROJETO
DE FUNDAÇÕES
CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Segundo a NBR 6122:2019, a tensão admissível pode ser entendida como a máxima tensão que, aplicada ao
terreno pela fundação rasa ou pela base de tubulão, atende com fatores de segurança predeterminados aos estados
limites últimos (ruptura) e de serviço (recalques, vibrações etc.).
 COMENTÁRIO
Sendo assim, como base nessa definição e nos conceitos vistos anteriormente, serão apresentados neste módulo
os principais métodos para determinação da tensão admissível para fundações diretas. Esses métodos são
fundamentais para permitir ao calculista elaborar projetos para uma fundação por sapatas.
A NBR 6122:2019 determina que a grandeza fundamental para um projeto de fundações rasas é a tensão
admissível. Além disso, o projeto pode ser feito considerando fator de segurança global e valores característicos, ou
a tensão resistente de cálculo, quando for feito considerando coeficientes de ponderação e valores de cálculo.
Sendo assim, ao projetar um projeto de fundação, deve-se verificar se a estrutura é segura por dois motivos:
Foto: Shutterstock.com
O solo de apoio deve possuir capacidade de suporte contra a ruptura por cisalhamento devido às cargas impostas
sobre ele pela superestrutura.
Foto: Shutterstock.com
O assentamento da fundação deve estar dentro dos limites permitidos.
Dessa forma, vários fatores devem ser considerados para determinar a tensão admissível ou a tensão resistente de
cálculo, dentre os quais é possível destacar:

CARACTERÍSTICAS GEOMECÂNICAS DO SUBSOLO

PROFUNDIDADE DA FUNDAÇÃO

DIMENSÕES E FORMA DOS ELEMENTOS DE FUNDAÇÃO

INFLUÊNCIA DO LENÇOL D’ÁGUA

EVENTUAL ALTERAÇÃO DAS CARACTERÍSTICAS DO SOLO
(EXPANSIVOS, COLAPSÍVEIS ETC.) DEVIDO A AGENTES
EXTERNOS (ENCHARCAMENTO, CONTAMINAÇÃO,
AGRESSIVIDADE ETC.)

ALÍVIO DE TENSÕES

CARACTERÍSTICAS OU PECULIARIDADES DA OBRA

SOBRECARGAS EXTERNAS

INCLINAÇÃO DA CARGA

INCLINAÇÃO DO TERRENO

ESTRATIGRAFIA DO TERRENO

RECALQUES
Para a determinação da tensão admissível,tanto a NBR 6122:1996 como autores, como Veloso e Lopes (2012),
Cintra e Aoki (2016), Murthy (2003), se dividem em quatro métodos distintos. Já a NBR 6122, em suas versões dos
anos de 2010 e 2019, se divide em três métodos apenas.
Veja os métodos para estimativa da tensão admissível em fundações rasas abaixo:
Prova de carga sobre placa
É um ensaio regido pela ABNT NBR 6489, cujos resultados devem ser interpretados de modo a considerar a relação
modeloprotótipo, bem como as camadas influenciadas de solo.
Métodos teóricos
Pode ser empregada a teoria de capacidade de carga. As formulações mais clássicas são de Terzaghi (1943),
Meyehof (1963), Vésic (1974).
Métodos semiempíricos
São métodos que relacionam resultados de ensaios (tais como o SPT, CPT etc.) a tensões admissíveis ou tensões
resistentes de cálculo.
Métodos empíricos
São considerados métodos empíricos aqueles pelos quais se chega a uma pressão admissível com base na
descrição do terreno. Estes métodos apresentam-se isualmente sob a ma de tabelas de pressões básicas.
Além disso, a determinação da tensão admissível ou da tensão resistente de cálculo pode ser obtida através do
estado limite de serviço.
MÉTODOS PARA ESTIMATIVA DA TENSÃO
ADMISSÍVEL EM FUNDAÇÕES DIRETAS
O cálculo da tensão admissível será sempre obtido levando-se em conta dois critérios que devem nortear um projeto
de fundação, sendo estes de segurança à ruptura e o de recalques admissíveis.
Hachich (2009) afirma que dessa forma o critério de segurança à ruptura tem como objetivo proteger a fundação de
uma ruptura catastrófica, sendo normalmente satisfeito mediante a aplicação de um coeficiente de segurança
adequado à tensão que causa a ruptura do solo. Já o critério dos recalques admissíveis implicará a adoção de uma
tensão tal que conduza a fundação a recalques que a superestrutura possa suportar.
PROVA DE CARGA SOBRE PLACA
O método de prova de carga sobre placa é um procedimento normatizado pela ABNT NBR 6489:2019 (Solo - Prova
de carga estática em fundação direta). Este método surgiu antes das conceituações da mecânica dos solos,
aplicado empiricamente na tentativa de obtenção de informações sobre o comportamento tensão-deformação de um
determinado solo de fundação.
A metodologia de execução da prova de carga pode ser resumida como sendo a aplicação de uma placa de aço
rígida, onde esta é carregada em estágios por um macaco hidráulico reagindo contra uma cargueira.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Prova de carga com escavação do terreno.
As cargas serão aplicadas até a ruptura do solo e, caso isso não aconteça, será aplicada carga até que se atinja o
dobro da tensão admissível presumida para o solo, ou um recalque julgado excessivo.
Imagem: Geotechnical Engineering, principles and practice sof soil mechanics and foundation
engineering. MURTHY, 2003, p.549. Adaptado por Dayanne Severiano Meneguete
 Elementos do ensaio de prova de carga.
A partir desse ensaio são obtidos os resultados que são apresentados na forma de um gráfico tensão x recalque,
com outros dados relativos à montagem da prova, como sua localização em planta e elevação.
Imagem: Dayanne Severiano Meneguete
 Modelo de curva tensão x recalque – prova de carga.
A formulação aplicada no método de prova de carga também irá variar em função do tipo de solo. Segundo Cintra,
Aoki e Albiero (2003), para argilas sobreadensadas, é aceitável supor que, para uma mesma tensão aplicada, os
recalques imediatos irão crescer linearmente com a dimensão da sapata. Dessa forma, o recalque
ρp
obtido numa placa circular de diâmetro
Bp
( )
( )
qualquer, para uma dada tensão será dado pela Equação 49, para um recalque imediato
ρs
de uma sapata de diâmetro
Bs
, sob uma mesma tensão.
ΡS = ΡP
BS
BP
(49)
Cabe ressaltar ainda que para sapatas retangulares ou formas irregulares, pode-se considerar a sapata de área
equivalente.
EXEMPLO 1
Dada a curva de tensão x recalque obtida a partir de um ensaio de carga sobre placa com diâmetro de 80cm,
realizada em uma argila porosa no Estado de São Paulo, estime o recalque de uma sapata quadrada de 2,50metros
de lado ao ser instalada na mesma cota e em local próximo à placa de ensaio, aplicando uma tensão de 0,08MPa.
Imagem: Fundações Diretas: Projeto Geotécnico. CINTRA; AOKI & ALBIERO, 2003, p. 53
 Curva tensão x recalque – prova de carga.
( )
( )
Considerando os dados do enunciado, tem-se:
Σ = 0, 08MPA = 0, 08 × 1000 = 80KPA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A partir da curva tensão x recalque, tem-se:
Imagem: Fundações Diretas: Projeto Geotécnico. CINTRA; AOKI & ALBIERO, 2003, p. 53
ΡP = 3, 4MM
A sapata terá um diâmetro equivalente a:
Área da sapata
AS = 2, 5 × 2, 5
AS = 6, 25M2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Diâmetro equivalente
AS =
ΠD2
4
ΠD2
4 = 6, 25
D ≅ 2, 80M = BS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, o recalque na sapata será de:
ΡS = ΡP
BS
BP
ΡS = 3, 4
2, 80
0, 80
ΡS = 11, 90 MM
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÉTODOS TEÓRICOS
De modo geral, a base do método teórico consiste na aplicação de uma fórmula de capacidade de carga para
estimativa da tensão de ruptura ou tensão última do solo de apoio
σult
, a qual se aplicaria em um fator de segurança (FS) para obtenção da tensão admissível
σadm
ΣADM =
ΣULT
FS
(50)
O fator de segurança é adotado conforme recomenda a NBR 6122:2019, na qual apresenta os coeficientes de
segurança para fundação rasa, como exposto na tabela a seguir, sendo que, em geral, o valor do fator de segurança
adota é igual a 3.
Métodos para determinação da resistência última
Coeficiente de ponderação
da resistência última
γmc
Fator de segurança global
FSg
Semiempíricosa
Valores propostos no
próprio processo e, no
mínimo, 2,15.
Valores propostos no
próprio processo e, no
mínimo, 3,00.
( )
( )
Métodos para determinação da resistência última
Coeficiente de ponderação
da resistência última
γmc
Fator de segurança global
FSg
Analíticosb 2,15 3,00
Semiempíricosa ou analíticosb acrescidos de duas
ou mais provas de carga, necessariamente
executadas na fase de projeto, conforme 7.3.1.
1,40 2,00
a Atendendo ao domínio de validade para o terreno local.
b Sem aplicação de coeficientes de ponderação aos parâmetros de resistência do terreno.
c Em todas as situações de
γm, γf = 1, 4
(majoração) para o esforço atuante, se disponível apenas o seu valor característico; se já fornecido o valor de
cálculo, nenhum coeficiente de ponderação deve ser aplicado a ele.
⇋ Utilize a rolagem horizontal
Tabela: Fundações rasas – fatores de segurança e coeficientes de ponderação para solicitações de compressão.
Extraída de NBR 6122:2019, p. 17
As formulações para o cálculo da capacidade de carga de fundações (carga última) são as fórmulas apresentadas
em módulos anteriores desenvolvidas por autores como de Terzaghi e Vesic.
ΣR = ΣULT = CNCSC + QNQSQ +
1
2ΓBNΓSΓ
(51)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além do cálculo da tensão admissível, o método teórico exige a verificação dos recalques admissíveis. Neste caso,
a literatura em geral sugere a verificação do recalque admissível (Equação 52) e/ou a verificação do recalque
máximo (equação 53).
ΣADM → ΡADM
(52)
ΣADM ≤
ΣΡMA ́ X
1, 5
(53)
Para a situação proposta na equação 4, deve-se calcular o valor do recalque máximo para as sapatas. Em seguida,
calcular a tensão provocada por esse recalque máximo e, por fim, a tensão admissível.
MÉTODOS SEMIEMPÍRICOS
Os métodos semiempíricos são considerados como aqueles em que as propriedades dos materiais são estimadas
com base em correlações, e assim, são usadas em teorias adaptadas da mecânica dos solos.
 COMENTÁRIO
No geral, existem várias formulações que permitem a determinação da carga admissível para uma sapata,sendo
que ela pode ser fundamentada em diversos parâmetros, sendo os mais comuns o SPT e o CPT.
MÉTODOS BASEADOS NO SPT
O ensaio de sondagem à penetração do solo, popularmente conhecido como SPT, é o método de investigação de
subsolo mais difundido no Brasil. Graças a essa popularidade do método várias pesquisas baseadas nesse
parâmetro foram desenvolvidas. Dentre as pesquisas que desenvolveram formulações para o cálculo da carga
admissível, cabe ressaltar que a maioria das correlações desenvolvidas foram feitas para sapatas apoiadas em
areia.
Terzaghi & Peck (1948) desenvolveram uma fórmula para cálculo da tensão admissível que, além de levar em
consideração o
Nspt
do solo, considera também a menor dimensão da sapata (em pés), como exposto na equação 54.
ΣADM = 4, 4
N − 3
10
B + 1
2B
KGF
CM2
(54)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Meyerhof (1956) sugeriu as equações 55 e 56 para estimativa da tensão de ruptura em solos arenosos e argilosos,
respectivamente.
ΣR = 32N′(B + D)
KN
M2
(SOLO ARENOSO)
(55)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ΣR = 16N′
KN
M2
(SOLO ARGILOSO)
(56)
Para as equações de Meyerhof, B é menor dimensão da fundação em metros, D é profundidade de assentamento
da fundação em metros e N' é a média dos valores de
Nspt
( )( )[ ]
[ ]
[ ]
em uma espessura 1,5B abaixo do nível da fundação. Cabe ressaltar que os valores de
σr
devem ser divididos por dois quando ocorrer presença de nível d'água no solo.
Existem formulações muito aceitas no meio técnico/prático brasileiro, ou seja, equações que são muito empregadas
para o caso de sapatas apoiadas tanto em areias quanto em argilas, como a equação 57. Sendo que N na equação
é a resistência à penetração média obtida no trecho compreendido da base da sapata até 2B abaixo.
ΣADM =
N
50[MPA][5 ≤ N ≤ 20]
(57)
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Outra equação muito difundida e usada no meio técnico/prático brasileiro é a correlação proposta por Mello em 1975
(equação 58).
ΣADM = 0, 1(√N − 1)[MPA][4 ≤ N ≤ 16]
(58)
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MÉTODOS BASEADOS NO CPT
Quando se trata de métodos baseados no ensaio à penetração de cone, as correlações mais difundidas são as
propostas por Teixeira e Godoy (1996). Os autores propuseram as equações 59 e 60 para estimativa da tensão
admissível pela ruptura para solos arenosos e argilosos, respectivamente.
ΣADM =
QC
15 [MPA][ ≤ 4MPA]
(59)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ΣADM =
QC
10 [MPA][ ≤ 4MPA]
(60)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
qc
a resistência de ponta obtida do ensaio CPT no trecho correspondente ao bulbo de tensões da sapata.
MÉTODOS EMPÍRICOS
Este método foi utilizado como referência pela NBR 6122 em sua versão no ano de 1996. Nessa versão, a norma
define os métodos empíricos como sendo aqueles pelos quais se obtém uma pressão admissível com base na
descrição do terreno, ou seja, a pressão admissível é obtida com base na classificação e determinação da
compacidade ou consistência através de investigações de campo e/ou laboratoriais.
A norma apresenta uma tabela de pressões básicas, em que são apresentados valores fixados que servem para
orientação inicial da tensão admissível do solo.
CLASSE DESCRIÇÃO VALORES (MPa)
1 Rocha sã, maciça, sem laminação ou sinal de decomposição 3,0
2 Rochas laminadas, com pequenas fissuras, estratificadas 1,5
3 Rochas alteradas ou em decomposição Ver nota c
4 Solos granulares concrecionados - conglomerados 1,0
5 Solos pedregulhosos compactos a muito compactos 0,6
CLASSE DESCRIÇÃO VALORES (MPa)
6 Solos pedregulhosos fofos 0,3
7 Areias muito compactas 0,5
8 Areias compactas 0,4
9 Areias medianamente compactas 0,2
10 Argilas duras 0,3
11 Argilas rijas 0,2
12 Argilas médias 0,1
13 Siltes duros (muito compactos) 0,3
14 Siltes rijos (compactos) 0,2
15 Siltes rijos (compactos) 0,1
Notas:
a) Para a descrição dos diferentes tipos de solo, seguir as definições da NBR 6502.
b) No caso de calcário ou qualquer outra rocha cárstica, devem ser feitos estudos especiais.
c) Para rochas alteradas ou em decomposição, têm que ser levados em conta a natureza da rocha matriz e o
grau de decomposição ou alteração.
d) Os valores da Tabela 4, válidos para largura de 2m, devem ser modificados em função das dimensões e da
profundidade das fundações conforme prescrito em 6.2.2.5, 6.2.2.6 e 6.2.2.7.
Tabela: Pressões básicas.
Extraída de NBR 6122:1996, p. 9
Semelhante à tabela proposta pela norma, existem outras que seguem os mesmos princípios. Segundo Murthy
(2003), as primeiras recomendações para estimativa da tensão admissível apareceram justamente na forma de
tabelas, como a tabela desenvolvida por Terzaghi e Peck em 1948 e, no Brasil, um exemplo é dado por Vargas
(1955).
Tipo do solo
Tensão
admissível (MPa)
Rocha, conforme sua natureza geológica, sua textura e seu estado. 20 – 100
Alteração de rocha de qualquer espécie (mantendo ainda a estrutura da rocha-mãe
necessitando de martelete pneumático ou pequenas cargas de dinamite para desmonte).
4 – 20
Alteração de rocha eruptiva ou metamórfica (necessitando, quando muito, de picareta para
escavação).
< 4
Pedregulho ou areia grossa compacta (necessitando picareta de para escavação), argila
dura (que não pode ser moldada nos dedos).
4 – 6
Argila de consistência rija (dificilmente moldada nos dedos). 2 – 4
Areia grossa de compacidade média, areia fina compacta. 2 – 3
Areias fofas, argila mole (escavação a pá). < 1
Tabela: Valores de tensões admissíveis limites, a serem adotados em anteprojetos
Extraída de Vargas 1955, apud Hachich, 2009, p. 238
As tabelas são muito práticas para efeito de uma consulta rápida. Mas sua aplicação está sujeita a uma série de
limitações envolvendo profundidade de apoio, tipo de solo, existência ou não de camadas compressíveis etc.
DESEMPENHO DAS FUNDAÇÕES
O desempenho das fundações é um requisito a ser verificado, recomendado pela NBR 6122:2019 no seu Capítulo
9. De acordo com a norma, o desempenho das fundações deve ser verificado por meio de monitoramento dos
recalques medidos na estrutura, sendo obrigatório nos seguintes casos:
Estruturas nas quais a carga variável é significativa em relação à carga total, tais como silos e reservatórios.
Estruturas com mais de 55m de altura do piso do térreo à laje de cobertura do último piso habitável.
Relação altura/largura (menor dimensão) superior a quatro.
Fundações ou estruturas não convencionais.
Além de verificar o recalque, pode ser necessário o monitoramento de desempenho de outras grandezas, tais como:
DESLOCAMENTOS HORIZONTAIS
DESAPRUMOS
INTEGRIDADE
TENSÕES
Sendo que a forma mais direta de se realizar o monitoramento é comparar as medições feitas com as previsões de
projeto. Dessa forma, tem-se que o projeto de fundações deve estabelecer um programa de monitoramento que
inclua a referência de nível (indeslocável) a ser utilizada, precisão das medidas, frequência e período em que as
leituras são realizadas.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. TERZAGHI & PECK (1948) DESENVOLVERAM UMA FÓRMULA PARA CÁLCULO DA
TENSÃO ADMISSÍVEL QUE, ALÉM DE LEVAR EM CONSIDERAÇÃO O
NSPT
DO SOLO, CONSIDERA TAMBÉM A MENOR DIMENSÃO DA SAPATA (EM PÉS).
ΣADM = 4, 4
N − 3
10
B + 1
2B
KGF
CM2
.
CONSIDERANDO UMA SAPATA DE DIMENSÕES 1,5X1,8M APOIADA EM UM SOLO CUJO
NSPT
( )( )[ ]
EQUIVALE A 8, QUAL SERÁ O VALOR DA TENSÃO ADMISSÍVEL PELA EQUAÇÃO DE
TERZAGHI & PECK (1948)?
A) 1,250kgf/cm²
B) 1,283kgf/cm²
C) 1,323kgf/cm²
D) 1,393kgf/cm²
E) 1,428kgf/cm²
2. [ADAPTADO DE CINTRA, AOKI E ALBIERO (2003)] DETERMINE A TENSÃO ADMISSÍVEL
PARA FUNDAÇÕES POR SAPATAS QUADRADAS DE 4,2M DE LARGURA,
CONSIDERANDO A CURVA DE TENSÃO X RECALQUE DA IMAGEM ABAIXO. CONSIDERE
AINDA QUE A TENSÃO ADMISSÍVEL