Exercícios Resolvidos Taxa Relacionada

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EExxeerrccíícciioos s RReessoollvviiddoos s DDiieeggo o OOlliivveeiirra a - - VViittóórriia a dda a CCoonnqquuiissttaa//BBAA
Exercícios Resolvidos: Taxa RelacionadaExercícios Resolvidos: Taxa Relacionada
ContContato: ato: nibbnibbledilediego@ego@gmaigmail.col.comm
Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 11/11/2018 - Atualizado em 08/08/2017Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 11/11/2018 - Atualizado em 08/08/2017
Resolver problemas relativo a taxas relacionadas é basicamente um processo deResolver problemas relativo a taxas relacionadas é basicamente um processo de
3 passos:3 passos:
1. verificamos os dados que o problema nos dá e o que é requerido;1. verificamos os dados que o problema nos dá e o que é requerido;
2. 2. encencontontramramos os uma funçãuma função o que após que após derderivaivada da impimpliclicitaitamenmente te nosnos
forneça o que é solicitado;forneça o que é solicitado;
3. 3. substsubstituímituímos todos os todos os valores requeros valores requeridos e idos e achamoachamos s a a soluçsoluçãoão
Dica:Dica: Algumas vezes fazer um desenho ou esquema da situação problema ajuda Algumas vezes fazer um desenho ou esquema da situação problema ajuda
basbastantantete aa ententendenderer melmelhorhor aa quequestãstão. Emo. Emborbora, a, depdependendendendoo dada suasua habhabiliilidaddade, e, issoisso
seja dispensável.seja dispensável.
Exemplo 01Exemplo 01
UmUma a pipipa esta voapa esta voandndo o a a umuma a alaltutura de ra de 4040m. m. UmUma a crcriaiançnça a esesta empta empininadado o aa
de tal forma que ela se de tal forma que ela se movmova a horhorizoizontantalmelmente a nte a uma veluma velociocidaddade de e de 3m/3m/s. s. Se aSe a
linha estiver esticada, com que velocidade a linha esta sendo “dada", quando olinha estiver esticada, com que velocidade a linha esta sendo “dada", quando o
comprimento da linha desenrolada for de 50m?comprimento da linha desenrolada for de 50m?
Solução:Solução:
11◦◦   Passo:  Passo:
Uma representação geométrica bem simples do problema é o triângulo retânguloUma representação geométrica bem simples do problema é o triângulo retângulo
a baixo.a baixo.
40 40 mm
xx
50 50 mm
Os dados que o enunciado nos fornece diretamente são:Os dados que o enunciado nos fornece diretamente são:
y = 40 my = 40 m
z = 50 mz = 50 m
11
  
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dx/dt = 3 m/sdx/dt = 3 m/s
E o que desejamos saber é dz/dt.E o que desejamos saber é dz/dt.
PePelolo teoteoreremama dede pitpitágoágorasras ainaindada podpodemoemoss detdetererminminarar aa disdistantanciacia horhorizoizontantall ententrere
o garoto e a pipa (a variável x do diagrama)o garoto e a pipa (a variável x do diagrama)
 z  z 22 == y  y 22 ++  22
⇒⇒    = =
  
505022 −− 404022
== 30 30
e como a pipa não possui uma velocidade vertical ainda podemos afirmar quee como a pipa não possui uma velocidade vertical ainda podemos afirmar que
dy/dt = 0.dy/dt = 0.
22◦◦   Passo:  Passo:
O desenho do problema sugere que a relação entre os dados (x, y, z) é o próprioO desenho do problema sugere que a relação entre os dados (x, y, z) é o próprio
teorema de Pitágoras.teorema de Pitágoras.
 z  z 22 ==  22 ++ y  y 22
Derivando implicitamente essa função obtemosDerivando implicitamente essa função obtemos
22 z  z 
dz dz 
dt dt 
== 2 2  
dd
dt dt 
++ 2 2 y  y 
dy dy 
dt dt 
33◦◦   Passo:  Passo:
Finalmente, substituindo todos os valores, obtemos o valor desejado.Finalmente, substituindo todos os valores, obtemos o valor desejado.
22 z  z 
dz dz 
dt dt 
== 2 2  
dd
dt dt 
++ 2 2 y  y 
dy dy 
dt dt 
22((5050))
dz dz 
dt dt 
== 2 2((3030)()(33) +) +  2 2((4040)()(00))
⇒⇒
dz dz 
dt dt 
==
99
55
m/m/ ss
22
  
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Exemplo 02Exemplo 02
Acumula se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igualAcumula se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual
ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 mao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m 33/h, a que razão/h, a que razão
aumenta a área da base quando a altura do monte é 4 m?aumenta a área da base quando a altura do monte é 4 m?
Solução:Solução:
11◦◦   Passo:  Passo:
Dados:Dados:
r r = = 44
h = r = 4h = r = 4
dV dV 
dt dt 
== 10 10  m m33/h/h
e o que desejamos saber ée o que desejamos saber é
   dAdA
dt dt 
..
Pela derivada implícita da equação do volume ainda podemos obter dr/dt e dh/dtPela derivada implícita da equação do volume ainda podemos obter dr/dt e dh/dt
(mesmo que este último não seja muito importante neste exercício).(mesmo que este último não seja muito importante neste exercício).
V V  = =
11
33
πr πr 22hh
Mas comoMas como  h h  = =  r  r , então, então
V V  = =
11
33
πr πr 33
⇒⇒
dV dV 
dt dt 
== π πr r 22
dr dr 
dt dt 
⇒⇒
dr dr 
dt dt 
==
1010
π π ((44))22
⇒⇒
dr dr 
dt dt 
==
1010
1616π π 
E como h = r, então dh/dt = dr/dt.E como h = r, então dh/dt = dr/dt.
22◦◦   Passo:  Passo:
Neste caso a fórmula capaz de fornecer o que é pedido é a da área do circulo.Neste caso a fórmula capaz de fornecer o que é pedido é a da área do circulo.
 A A = =  π πr r 22
dAdA
dt dt 
== 2 2πr πr 
dr dr 
dt dt 
33
  
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33◦◦   Passo:  Passo:
Finalmente substituímos os valores e encontramos a solução.Finalmente substituímos os valores e encontramos a solução.
dAdA
dt dt 
== 2 2 ·· 44π π 
1010
1616π π 
⇒⇒ dAdA
dt dt 
== 5 5  m m22 / / hh
Os próximos exercícios seguem a mesma lógica do passo a passo, mas porOs próximos exercícios seguem a mesma lógica do passo a passo, mas por
questão de economia serão resolvidos de forma menos detalhada.questão de economia serão resolvidos de forma menos detalhada.
Exemplo 03Exemplo 03
Uma escada de 6 Uma escada de 6 m de m de comprcomprimentimento está apoiada em uma o está apoiada em uma pareparede verticde vertical. al. Se aSe a
base da escada começa a escorregar horizontalmente a taxa constante de 0.6 m/s,base da escada começa a escorregar horizontalmente a taxa constante de 0.6 m/s,
com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando esta a 4 m do solo?com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando esta a 4 m do solo?
Solução:Solução:
Com base Com base nos dados nos dados constrconstruímos um triângulo com as uímos um triângulo com as seguiseguintes medidasntes medidas..
4 4 mm
xx
6 6 mm
Os dados fornecidos pelo problema são:Os dados fornecidos pelo problema são:
x x = = 22
  
55 m m
y = 4 my = 4 m
z = 6 mz = 6 m
dx/dt= 0.6 m/sdx/dt= 0.6 m/s
E o que precisamos é de dy/dt.E o que precisamos é de dy/dt.
Pelo teorema de pitágoras ainda podemos determinar a distância entre o pé daPelo teorema de pitágoras ainda podemos determinar a distância entre o pé da
escada e a parede quando seu topo está a 4 metros do solo.escada e a parede quando seu topo está a 4 metros do solo.
  22 == z  z 22 −−  y  y 22
  22 == 6 622 −− 4422
  22 == 2 2
   22
  
55
44
  
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E como o tamanho da escada é fixo ainda podemos afirmar que dz/dt = 0.E como o tamanho da escada é fixo ainda podemos afirmar que dz/dt = 0.
A fórmula que fornecerá o valor desejado será o próprio teorema de Pitágoras.A fórmula que fornecerá o valor desejado será o próprio teorema de Pitágoras.
  22 ++ y  y 22 == z  z 22
⇒⇒ 22  
dd
dt dt  ++ 2 2 y  y 
dy dy 
dt dt  == 2 2 z  z 
dz dz 
dt dt 
⇒⇒ 22((22
  
55mm))00..66m/m/ ss ++ 2 2((44mm))
dy dy 
dt dt 
== 2 2((66))00
⇒⇒ 22..44
  
55mm22 / / ss ++ 8 8mm
dy dy 
dt dt 
== 0 0
⇒⇒
dy dy 
dt dt 
== −−00..33
  
55m/m/ ssNeste caso o sinal de negativo indica o sentido do movimento da escada (paraNeste caso o sinal de negativo indica o sentido do movimento da escada (para
baixo).baixo).
Exemplo 04Exemplo 04
Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura eUm tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e
raio da base 2 m. Se água entra no tanque á razão de 0.001 mraio da base 2 m. Se água entra no tanque á razão de 0.001 m33/min calcule a razão/min calcule a razão
em que o nível de água está subindo quando a altura é 1 m?em que o nível de água está subindo quando a altura é 1 m?
Solução:Solução:
Dados:Dados:
h = 4 mh = 4 m
r = 2 mr = 2 m
dV dV 
dt dt 
= 0.001 m= 0.001 m33/min/min
Queremos descobrirQueremos descobrir
   dhdh
dt dt 
quando h = 1 m.quando h = 1 m.
A equação que irá nos dar esse resultado será a do volume do cone.A equação que irá nos dar esse resultado será a do volume do cone.
V V   ==
11
33
πr πr 22hh
EntEntreretantantoto sese derderiváivássessemosmos impimpliclicitaitamementente essessaa funfunçãoção nesnestete mommomententoo chechegargaríamíamosos
aa
dV dV 
dt dt 
==
11
33
π π 

22rrhh
dr dr 
dt dt 
++ r  r 22
dhdh
dt dt 

55
  
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O O que serique seria a um probum problemlema, a, poipois s não sabemnão sabemos o os o valvalor de or de dr/dr/dt. dt. EntEntão como re-ão como re-
solver este problema?solver este problema?
Pelos dados do enunciado percebemos quePelos dados do enunciado percebemos que
hh
r r 
==
44
22 ⇒⇒
r r  = =  h/  h/ 22
Substituindo esse valor na equação do volume nos livramos de qualquer em-Substituindo esse valor na equação do volume nos livramos de qualquer em-
pecilho, veja agora.pecilho, veja agora.
V V  = =
11
33
π π 

hh
22
22
hh
⇒⇒ V V  = =
hh33
1212
π π 
⇒⇒
dV dV 
dt dt 
==
33π π 
1212
hh22
dhdh
dt dt 
⇒⇒ 00..001001 = =
33π π 
1212
((11))22
dhdh
dt dt 
⇒⇒
dhdh
dt dt 
==
44
101033π π 
m/mnm/mn
Exemplo 05Exemplo 05
Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia á razão deAo ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia á razão de
0.00.005 cm/mi05 cm/min. n. DetDetererminmine a e a taxtaxa a á á quaqual l a a árárea de ea de uma das faces variuma das faces varia a quaquando ondo o
diâmetro é 30 cm.diâmetro é 30 cm.
Solução:Solução:
Dados:Dados:
dD/dt = 0.005 cm/mindD/dt = 0.005 cm/min
dA/dt = ?dA/dt = ?
D = 30 cmD = 30 cm
 T Tomando omando a a relação A relação A ==  π π r r 22 que é que é fórmfórmula para ula para área do área do círccírculo.ulo.
e derivando a implicitamente temos:e derivando a implicitamente temos:
dAdA
dt dt 
== 2 2πr πr 
dr dr 
dt dt 
66
  
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O problema é que não sabemos o valor de dr/dt, sendo assim, antes efetuar aO problema é que não sabemos o valor de dr/dt, sendo assim, antes efetuar a
derivada realizaremos uma pequena substituição levando em conta que o diâmetroderivada realizaremos uma pequena substituição levando em conta que o diâmetro
(D) e duas vezes o raio (D = 2r).(D) e duas vezes o raio (D = 2r).
 A A = =  π  π 

DD
22
22
⇒⇒  A A = =
π π 
44
DD22
⇒⇒
dAdA
dt dt 
==
π π 
22
DD
dDdD
dt dt 
⇒⇒
dAdA
dt dt 
==
π π 
22
((3030))
55
10001000
⇒⇒
dAdA
dt dt 
== 0 0..075075π π   ((cmcm22 / / mnmn))
Exemplo 06Exemplo 06
Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo aSuponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo a
razão constante 2 cm/min. Qual a variação do volume quando o raio está com 25razão constante 2 cm/min. Qual a variação do volume quando o raio está com 25
cm?cm?
Solução:Solução:
Dados:Dados:
dr/dt = -2 cm/mindr/dt = -2 cm/min
dv/dt = ?dv/dt = ?
r = 25 cm.r = 25 cm.
A fórmula do volume da esfera é:A fórmula do volume da esfera é:
V V   ==
44
33
πr πr 33
Derivando implicitamente.Derivando implicitamente.
dV dV 
dt dt 
==
44
33
π π 33r r 22
dr dr 
dt dt 
⇒⇒
dV dV 
dt dt 
== 4 4πr πr 22
dr dr 
dt dt 
e substituindo os valorese substituindo os valores
77
  
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dV dV 
dt dt 
== 4 4π π ((2525))22((−−22))  c cmm33 / / mnmn
chegamos a soluçãochegamos a solução
⇒⇒
dV dV 
dt dt 
==
−−
50005000π π cmcm33 / / mnmn
Exemplo 07Exemplo 07
A areia que vaza de um deposito e forma uma pilha cônica cuja altura sempreA areia que vaza de um deposito e forma uma pilha cônica cuja altura sempre
é igual ao raio da é igual ao raio da basebase. . Se a Se a altaltura da pilha aumeura da pilha aumenta a nta a uma razãuma razão o de 15 cm/mide 15 cm/min.n.
Determine a taxa a qual a areia está se escoado quando a altura da pilha for de 25Determine a taxa a qual a areia está se escoado quando a altura da pilha for de 25
cm.cm.
Solução:Solução:
Dados:Dados:
h h = = rr
dh/dt = 15 cm/mindh/dt = 15 cm/min
dv/dt = ?dv/dt = ?
h = 25.h = 25.
E como h = r então dh/dt = dr/dt também.E como h = r então dh/dt = dr/dt também.
 T Tomando omando a a equação equação do do volumevolume
V V  = =
11
33
πr πr 22hh
e substituindoe substituindo  r  r 
V V  = =
11
33 πhπh
33
Derivando implicitamente.Derivando implicitamente.
dV dV 
dt dt 
== π πhh22
dhdh
dt dt 
dV dV 
dt dt 
== π  π ((2525))22((1515))
88
  
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dV dV 
dt dt 
== 9375 9375π π cmcm33 / / mnmn
Exemplo 08Exemplo 08
Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a umaUma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a umataxa constante de 3 m/s. Com que rapidez estaria variando a área englobada pelataxa constante de 3 m/s. Com que rapidez estaria variando a área englobada pela
onda crescente ao final de 10 segundos?onda crescente ao final de 10 segundos?
Solução:Solução:
Dados:Dados:
dr/dt = 3 m/sdr/dt = 3 m/s
dA/dt = ?dA/dt = ?
t = 10st = 10s
 A A = =  π πr r 22
⇒⇒
dAdA
dt dt 
== 2 2πr πr 
dr dr 
dt dt 
Como o raio varia 3 m/s em 10 segundos teremos um raio de 30 m.Como o raio varia 3 m/s em 10 segundos teremos um raio de 30 m.
dAdA
dt dt 
== 2 2π π ((33 ·· 1010)()(33) ) == 180 180π π mm22 / / ss
Exemplo 09Exemplo 09
Um balão esférico é inflado de tal forma que o volume cresce a taxa de 3 mUm balão esférico é inflado de tal forma que o volume cresce a taxa de 3 m33/min./min.
Com que rapidez o diâmetro do balão estará crescendo quando o raio for de 1 m?Com que rapidez o diâmetro do balão estará crescendo quando o raio for de 1 m?
Solução:Solução:
V V   ==
44
33
πr πr 33
d d 
dt dt 
== 4 4πr πr 22
dr dr 
dt dt 
33   ((mm33 / / mnmn) ) == 4 4π π ((11  m m))22
dr dr 
dt dt 
dr dr 
dt dt 
==
33
44π π 
((m/mnm/mn))
ComoComo   22r r  =Diâmetro então: =Diâmetro então:
99
  
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22
dr dr 
dt dt 
==
dDdD
dt dt 
e portanto:e portanto:
dDdD
dt dt 
==
33
22π π 
((m/mnm/mn))
Exemplo 10Exemplo 10
Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindoDois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo
a direção leste a uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60a direção leste a uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60
km/h. km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximQual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do am um do outroutro no o no instaninstante emte em
que o primeiro carro está a 0.2 km do cruzamento e o segundo a 0.15 km?que o primeiro carro está a 0.2 km do cruzamento e o segundo a 0.15 km?
Solução:Solução:
Dados:Dados:dx/dt = 90dx/dt = 90
dy/dt = -60dy/dt = -60
dz/dt = ?dz/dt = ?
x = 0.2 Kmx = 0.2 Km
y = 0.15 Kmy = 0.15 Km
60 km/h60 km/h
90 km/h90 km/h
Neste caso desejamos saberNeste caso desejamos saber
   dz dz 
dt dt 
quando x = 0.2 Km e y = 0.15 Km.quando x = 0.2 Km e y = 0.15 Km.
Para isso usaremos o teorema de Pitágoras:Para isso usaremos o teorema de Pitágoras:    22 ++ y  y 22 == z  z 22
derivando implicitamente.derivando implicitamente.
22  
dd
dt dt 
++ 2 2 y  y 
dy dy 
dt dt 
== 2 2 z  z 
dz dz 
dt dt 
e simplificandoe simplificando
1010
  
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  
dd
dt dt 
++ y  y 
dy dy 
dt dt 
== z  z 
dz dz 
dt dt 
substituímos os valores de dx/dt e dy/dtsubstituímos os valores de dx/dt e dy/dt
22  ((9090) +) +  2 2 y  y ((6060) ) == 2 2 z  z dz dz 
dt dt 
e evidenciamos o dz/dt.e evidenciamos o dz/dt.
dz dz 
dt dt 
==
00..22((9090) + ) + ((00..1515)()(−−6060))
 z  z 
Quando x = 0.2 e y = 0.15, z é igual 0.25 (teorema de Pitágoras). E portanto:Quando x = 0.2 e y = 0.15, z é igual 0.25 (teorema de Pitágoras). E portanto:
dz dz 
dt dt 
== −−108108  Km/h Km/h
Um resultado interessante neste problema ocorre se aplicarmos o teorema deUm resultado interessante neste problema ocorre se aplicarmos o teorema de
Pitágoras diretamente as velocidades (que são nada mais que vetores).Pitágoras diretamente as velocidades (que são nada mais que vetores).
VV z  z   ==
  
606022 ++ 90 9022 ≈≈ 108108..167167  km/h km/h
Que é um resultado bastante próximo do calculado por meio da derivação im-Que é um resultado bastante próximo do calculado por meio da derivação im-
plícita.plícita.
Exemplo 11Exemplo 11
Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranjas sejam forneci-Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranjas sejam forneci-
dos diariamente sendo p o preço por caixa e a equação de ofertados diariamente sendo p o preço por caixa e a equação de oferta
 p p −− 2020 p p −− 33   ++ 105 105  = =  0 0
Se o fornecimento diário estiver decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia,Se o fornecimento diário estiver decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia,
com que taxa os preços estarão variando quando o fornecimento diário for de 5 milcom que taxa os preços estarão variando quando o fornecimento diário for de 5 mil
caixas?caixas?
Solução:Solução:
Queremos descobrirQueremos descobrir
   dpdp
dt dt 
quando x = 5. quando x = 5. DerivDerivando a expresando a expressão implicisão implicitametamentente
chega-se à:chega-se à:

  
dpdp
dt dt 
++
dd
dt dt 
 p p

−− 2020
dpdp
dt dt 
−− 33
dd
dt dt 
++ 0 0  = =  0 0
⇒⇒
dpdp
dt dt 
((   −− 2020) +) +
dd
dt dt 
(( p p −− 33) ) == 0 0
1111
  
EExxeerrccíícciioos s RReessoollvviiddoos s DDiieeggo o OOlliivveeiirra a - - VViittóórriia a dda a CCoonnqquuiissttaa//BBAA
⇒⇒
dpdp
dt dt 
==
−−
dd
dt dt 
(( p p−− 33))
   −− 2020
QuandoQuando    é igual 5 é igual 5  p p  é igual à 6 é igual à 6
 p p((55)) −− 2020 p p−− 33((55) +) +  105 105  = =  0 0
 p p((55) ) == 6 6
A taxa de fornecimento (dx/dt) está decrescendo em 250, mas comoA taxa de fornecimento (dx/dt) está decrescendo em 250, mas como      é uma é uma
unidade em milhares usaremosunidade em milhares usaremos
   dd
dt dt 
== −−
250250
101033
..
Assim:Assim:
dpdp
dt dt 
==
00..2525((66−− 33))
((55−− 2020))
== −−00..0505
Ou seja o preço está decrescendo a uma taxa de R$ 0,05 ao dia.Ou seja o preço está decrescendo a uma taxa de R$ 0,05 ao dia.
Exemplo 12Exemplo 12
Um avião voa a 152.4 m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220 m noUm avião voa a 152.4 m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220 m no
sentido oeste, tomando como referencia um holofote fixado no solo que o focaliza esentido oeste, tomando como referencia um holofote fixado no solo que o focaliza e
que se encontra à esquerda da projeção vertical do avião em relação ao solo.que se encontra à esquerda da projeção vertical do avião em relação ao solo.
Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminado o avião, qualSabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminado o avião, qual
dedeveverárá seserr aa vevelolocicidadadede anangugulalarr (d(dee gigiroro)) dodo hohololofofotete, , nono ininststanantete emem ququee aa didiststânânciciaa
horizontal entre ele e a projeção vertical do avião for de 610 m?horizontal entre ele e a projeção vertical do avião for de 610 m?
Solução:Solução:
1220 m1220 m
Queremos encontrarQueremos encontrar
   dθdθ
dt dt 
quandoquando    = =  610 610  m. E como m. E como  t t g g θθ = =
12201220
  
então:então:
secsec22θθ
dθdθ
dt dt 
== −−
12201220
  22
dd
dt dt 
SubstituindoSubstituindo
   dd
dt dt 
== − −152152..44  na equação anterior e dividindo por sec na equação anterior e dividindo por sec22 θθ, iremos, iremos
obterobter
1212
  
EExxeerrccíícciioos s RReessoollvviiddoos s DDiieeggo o OOlliivveeiirra a - - VViittóórriia a dda a CCoonnqquuiissttaa//BBAA
dθdθ
dt dt 
==
185185..928928
  22secsec22θθ
Quando x = 610, tgQuando x = 610, tgθθ = 2 e sec = 2 e sec22 θθ =  = 5.5.
dθdθ
dt dt 
== 185185..928928
61061022 ·· 55
⇒⇒
dθdθ
dt dt 
≈≈
11
1010
rd/srd/s
Exemplo 13Exemplo 13
Uma piscina tem 5 m de largura por 10 m de comprimento, 1 m de profundidadeUma piscina tem 5 m de largura por 10 m de comprimento, 1 m de profundidade
na parte rasa, e 3 m na parte mais funda.na parte rasa, e 3 m na parte mais funda.
1100m m 55mm
1m1m
3m3m1.5m1.5m    4m4m
A figura acima mostra as medidaA figura acima mostra as medidas e s e formforma da a da piscipiscina. na. Se a Se a piscipiscina for enchidana for enchida
a uma taxa de 0.1 ma uma taxa de 0.1 m
33
/min, quão rápido estará subindo o nível de água quando sua/min, quão rápido estará subindo o nível de água quando suaprofundidade no ponto mais profundo for de 1 m?profundidade no ponto mais profundo for de 1 m?
Solução:Solução:
Quando a profundidade da água no ponto mais fundo da piscina for de 1m entãoQuando a profundidade da água no ponto mais fundo da piscina for de 1m então
somensomente a área cuja seção transvete a área cuja seção transversal é um rsal é um trapétrapézio estará sendzio estará sendo usada. o usada. AssimAssim
vamos consivamos considerar apenaderar apenas essa parte da s essa parte da piscinpiscina. a. Essa parte é repreEssa parte é representasentada peloda pelo
desenho a seguir.desenho a seguir.
1313
  
EExxeerrccíícciioos s RReessoollvviiddoos s DDiieeggo o OOlliivveeiirra a - - VViittóórriia a dda a CCoonnqquuiissttaa//BBAA
1 1 mm
2m2m
11..55m m 44mm
3m3m
Á equação que vamos usar é a da área do trapézio:Á equação que vamos usar é a da área do trapézio:
 A A = =
BseBseMor Mor  + +  Bse Bsemenor menor 
22
hh
ComoComo
   BMBM
BmBm
==
11..55 ++ 4 4 ++ 3 3
33
⇒⇒ BBMM = =
88,, 55
33
BmBm então então
 A A = =

1111,, 55
66
BBmm

hh
Como a piscina têm 5 m de largura então seu volume é 5 vezes a área do trapézioComo a piscina têm 5 m de largura então seu volume é 5 vezes a área do trapéziodeterminado:determinado:
V V  = =  5 5 A A
V V   == 5 5

1111,, 55
66
BBmmhh

E comoE como  B Bmm  = =  3 3
V V   ==
172172,, 55
66
hh
Derivando implicitamenteDerivando implicitamente
dV dV 
dt dt 
==
172172,, 55
66
dhdh
dt dt Substituindo a taxaSubstituindo a taxa
00..11 = =
dhdh
dt dt 
172172,, 55
66
⇒⇒
dhdh
dt dt 
==
22
575575
mm
1414
  
EExxeerrccíícciioos s RReessoollvviiddoos s DDiieeggo o OOlliivveeiirra a - - VViittóórriia a dda a CCoonnqquuiissttaa//BBAA
Exemplo 14Exemplo 14
Água está saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa deÁgua está saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de
10.000 cm10.000 cm33/min no momento em que água está sendo bombeada para dentro a/min no momento em que água está sendo bombeada para dentro a
uma taxa constante.O tanque tem 6 m de altura e seu diâmetro no topo é 8 m. Seuma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e seu diâmetro no topo é 8 m. Se
o nível da água está subindo a uma taxa de 20 cm/min quando a altura era 2 m,o nível da água está subindo a uma taxa de 20 cm/min quando a altura era 2 m,
encontre a taxa com que a água está sendo bombeada para dentro.encontre a taxa com que a água está sendo bombeada para dentro.
Solução:Solução:
2 m = 200 cm2 m = 200 cm
5.8 m = 600 cm5.8 m = 600 cm
4 m = 400 cm4 m = 400 cm
A variação do volume de água é dada pela fórmulaA variação do volume de água é dada pela fórmula
dV dV 
dt dt 
==
d d ee
dt dt 
−−
d d ss
dt dt 
OndeOnde
   d d ee
dt dt 
é a taxa de variação de entrada da água eé a taxa de variação de entrada da água e
   d d ss
dt dt 
a taxa de variação daa taxa de variação da
saída da água, que é igual ásaída da água, que é igual á  1 100..000000 cm cm33/min./min.
Sabe-se que a expressão para o volume de um cone é:Sabe-se que a expressão para o volume de um cone é:
V V   ==
11
33
πr πr 22hh
Pelo desenho é fácil verificar quePelo desenho é fácil verificar que
   hh
r r 
==
66
44
que resulta emque resulta em r  r  = =
22
33
hh. Assim:. Assim:
V V  = =
11
33
π π 

22hh
33
22
hh = =
44πhπh33
2727
onde derivando implicitamente obtemos:onde derivando implicitamente obtemos:
dV dV 
dt dt 
==
44πhπh22
99
dhdh
dt dt 
ComoComo
   dV dV 
dt dt 
==
d d ee
dt dt 
−−
d d ss
t t 
então:então:
1515
  
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d d ee
dt dt 
−−
d d ss
dt dt 
==
44π π ·· 20020022
99
·· 2020
⇒⇒
d d ee
dt dt 
−− 1010..000000 = =
44π π ·· 20020022
99
·· 2020
⇒⇒
d d ee
dt dt 
==

44π π ·· 20020022
99
·· 2020

++ 10 10..000000
⇒⇒
d d ee
dt dt 
≈≈ 11..127127..010010,, 77cmcm33 / / mnmn
logo a taxa de entrada no momento em que a altura era 200 cm é de 10148,6logo a taxa de entrada no momento em que a altura era 200 cm é de 10148,6
cmcm33/min/min
Exemplo 15Exemplo 15
Um corredor corre em uma trajetória circular de raio 100 m a uma velocidadeUm corredor corre em uma trajetória circular de raio 100 m a uma velocidade
constante de 7 m/s. Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200 m doconstante de 7 m/s. Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200 m do
cencentrtro o da pistada pista. . QuaQual l a a taxtaxa a de variade variação da ção da disdistântância entrcia entre e os dois os dois quaquando estando esta
distância era 200 m?distância era 200 m?
Solução:Solução:
Observe o esquema a seguirObserve o esquema a seguir
200m200m
θθ
xx
yy    zz
O problema é que não sabemos exatamente a posição dos dois corredores. EntãoO problema é que não sabemos exatamente a posição dos dois corredores. Então
não podemos usar o teorema de Pitágnão podemos usar o teorema de Pitágoras. oras. VVamos usar aamos usar a   lei dos cossenos lei dos cossenos  para para
expressar a distância entre os dois:expressar a distância entre os dois:
 z  z 22 ==  22 ++ y  y 22 −− 22 y  y ·· cosθcosθ
Derivando implicitamente e levando em conta queDerivando implicitamente e levando em conta que    x x   ee    y y  não variam no tempo não variam no tempo
(ou seja, (ou seja, são constantesão constantes) chega-se á:s) chega-se á:
22 z  z 
dz dz 
dt dt 
== 0 0 ++ 0 0 ++ 2 2 y  y ((senθsenθ))
dθdθ
dt dt 
⇒⇒ 22 z  z 
dz dz 
dt dt 
== 2 2 y  y ((senθsenθ))
dθdθ
dt dt 
1616
  
EExxeerrccíícciioos s RReessoollvviiddoos s DDiieeggo o OOlliivveeiirra a - - VViittóórriia a dda a CCoonnqquuiissttaa//BBAA
⇒⇒ z  z 
dz dz 
dt dt 
== y  y ((senθsenθ))
dθdθ
dt dt 
SubstiSubstituindtuindo o o o valor devalor de   ,,  y  y  e e  z  z ..
200200
dz dz 
dt dt 
== 200 200 ·· 100100((senθsenθ))
dθdθ
dt dt 
⇒⇒
dz dz 
dt dt 
== 100 100((senθsenθ))
dθdθ
dt dt 
Da física sabemos queDa física sabemos que  S S  = =  r r θθ logo: logo:
dSdS
dt dt 
== r  r 
dθdθ
dt dt 
⇒⇒
dSdS
dt dt 
··
11
r r 
==
dθdθ
dt dt 
..
Substituindo esse último valor em dz/dtSubstituindo esse último valor em dz/dt
dz dz 
dt dt 
== 100 100((senθsenθ))

dSdS
dt dt 
··
11
r r 

⇒⇒
dz dz 
dt dt 
==
100100
r r 
((senθsenθ))
dSdS
dt dt 
ComoComo  r  r   == 100 100mm então então
dz dz 
dt dt 
==
100100
100100
((senθsenθ))
dSdS
dt dt 
⇒⇒
dz dz 
dt dt 
= = ((senθsenθ))
dSdS
dt dt 
Quando a distância entre eles for de exatamente 200m então o ânguloQuando a distância entre eles for de exatamente 200m então o ângulo    θθ  será será
de:de:
20020022 == 200 200 22 ++ 100 100 22 −− 22 ·· 200200 ·· 100100coscos((θθ))
⇒⇒ 20020022 == 100 100 22 ++ 200 200 22 −− 44 ·· 101044coscos((θθ))
⇒⇒ coscos((θθ) ) ==
11
44
⇒⇒ θθ ≈≈ 7575,, 55◦◦
Assim:Assim:
1717
  
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dz dz 
dt dt 
== sen sen((7575,, 55◦◦)) ··
dSdS
dt dt 
⇒⇒
dz dz 
dt dt 
== sen sen((7575,, 55◦◦)) ·· 77 ≈≈ 66,, 7878  m m// ss
Exemplo 16Exemplo 16
A equação de demanda de uma determinada camisa éA equação de demanda de uma determinada camisa é    22 p p + +  6 655 p p −−  4950 4950   ==    00,,
ondeonde       centenas de camisas são demandadas por semana quando  centenas de camisas são demandadas por semana quando    pp   for o preço for o preço
unitário. Se a camisa estiver sendo vendida esta semana R$ 30,00 e o preço estiverunitário. Se a camisa estiver sendo vendida esta semana R$ 30,00 e o preço estiver
crescendo a uma taxa de R$ 0,20 por semana, ache a taxa de variação na demanda.crescendo a uma taxa de R$ 0,20 por semana, ache a taxa de variação na demanda.
Solução:Solução:
A equação é a seguinte:A equação é a seguinte:
22 p p ++ 65 65 p p −− 49504950 = =  0 0
Derivando a equação implicitamente chega-se à:Derivando a equação implicitamente chega-se à:
22 dpdp
dt dt 
   ++ 2 2 p p dd
dt dt 
++ 65 65 dpdp
dt dt 
== 0 0
ComoComo  p p  = =  30 30  e e
   dpdp
dt dt 
== 0 0..22 então: então:
22((00..2020))   ++ 2 2((3030))
dd
dt dt 
++ 65 65((00..2020) ) == 0 0
⇒⇒
dd
dt dt 
== −−
6565((00..2020) +) +  2 2((00..2020))  
22 ·· 3030
Para descobrir o valor dePara descobrir o valor de     usamos a equação inicial. usamos a equação inicial.
22 p p ++ 65 65 p p −− 49504950 = =  0 0
⇒⇒ 22((3030))   ++ 65 65((3030)) −− 49504950 = =  0 0 ⇒⇒    = =  50 50
PortantoPortanto
dd
dt dt 
== −−
6565((00..2020) +) +  2 2((00..2020)()(5050))
22 ·· 3030
== −−00..5555
Decresce a taxa de 55 camisas por semana.Decresce a taxa de 55 camisas por semana.
1818
  
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Exemplo 17Exemplo 17
Uma lâmpada está pendurUma lâmpada está pendurada a ada a 4,5m de um 4,5m de um piso horizonpiso horizontal. tal. Se um homem comSe um homem com
1,80m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade horizontal de1,80m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade horizontal de
1,5m/s:1,5m/s:
a) Qual a velocidade de crescimento da sombra?a) Qual a velocidade de crescimento da sombra?
b) Com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo?b) Com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo?
Solução:Solução:
Vamos imaginar a situação descrita como na imagem abaixo.Vamos imaginar a situação descrita como na imagem abaixo.
ww    kk
LâmpadaLâmpada
O problema envolve uma semelhança de triângulos. Onde:O problema envolve uma semelhança de triângulos. Onde:
 é a distância horizontal do homem até a lâmpada; é a distância horizontal do homem até a lâmpada;
k k  é o comprimento da sombra; é o comprimento da sombra;
d/dt d/dt  é a taxa de variação com que o homem se afasta da lampada horizontal- é a taxa de variação com que o homem se afasta da lampada horizontal-
mente;mente;
dk/dt dk/dt  a taxa de crescimentoda sombra. a taxa de crescimento da sombra.
Por semelhança de triângulosPor semelhança de triângulos
(( ++ k  k ))
44,, 55
==
k k 
11,, 8080
⇒⇒

k k 
== 1 1,, 55
1919
  
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⇒⇒  = =  1 1,, 55k k 
Derivamos em ambos os lados em relação ao tempo (t):Derivamos em ambos os lados em relação ao tempo (t):
dd
dt dt 
== 1 1,, 55
dk dk 
dt dt 
e comoe como  d/dt  d/dt  = =  1 1..55 m/s então m/s então
dk/dt = 1 m/s (Primeira resposta).dk/dt = 1 m/s (Primeira resposta).
A velocidade com que a ponta da sombra do homem está se movendo é a somaA velocidade com que a ponta da sombra do homem está se movendo é a soma
da taxa de variação com que o homem se move somada a taxa de variação deda taxa de variação com que o homem se move somada a taxa de variação de
crescimento da sombra.crescimento da sombra.
d(w + k)/dt = dw/dt + dk/dtd(w + k)/dt = dw/dt + dk/dt
⇒⇒ d(w + k)/dt = 1,5 + 1 d(w + k)/dt = 1,5 + 1
⇒⇒
 d(w + k)/dt = 2,5 m/s (segunda resposta) d(w + k)/dt = 2,5 m/s (segunda resposta)
Respostas:Respostas:
(a) 1,0 m/s(a) 1,0 m/s
(b) 2,5 m/s(b) 2,5 m/s
Exemplo 18Exemplo 18
Um radar da polícia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que fica aUm radar da polícia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que fica a
12 metr12 metros de os de uma roduma rodoviovia a que segque segue em ue em linlinha reta por um longo treha reta por um longo trechocho. . A 16A 16
metros do ponto da rodovia mais próximo do radar da polícia, está um telefone demetros do ponto da rodovia mais próximo do radar da polícia, está um telefone de
emeemergêrgêncincia. a. O policO policial mirial mira o a o cancanhão do radar no telehão do radar no telefonfone de e de emeemergêrgêncincia. a. UmUm
carro passa pelo telefone e, naquele momento, o radar indica que a distância entrecarro passa pelo telefone e, naquele momento, o radar indica que a distância entre
o policial e o carro está aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limite de velocidadeo policial e o carro está aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limite de velocidade
naquenaquele trecho da rodovia é de le trecho da rodovia é de 80km/80km/h. h. O policial deve ou O policial deve ou não multar o não multar o motormotorista?ista?
2020
  
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Solução:Solução:
O problema acima é esquematizado na figura abaixo:O problema acima é esquematizado na figura abaixo:
RadarRadar
   12m12m
 T Telefoneelefone
16m16m
 z  z 22 ==  22 ++ y  y 22
Como a distância horizontal entre a rodovia e o radar se mantêm constante.Como a distância horizontal entre a rodovia e o radar se mantêm constante.
 z  z 22 == 12 1222 ++ y  y 22
⇒⇒
 z  z 22 == 144 144 ++ y  y 22
Derivando implicitamente.Derivando implicitamente.
22 z  z 
dz dz 
dt dt 
== 0 0 ++ 2 2 y  y 
dy dy 
dt dt 
e evidenciando dy/dte evidenciando dy/dt
dy dy 
dt dt 
==
22 z  z ((dz/dt dz/dt ))
22 y  y 
⇒⇒
dy dy 
dt dt 
==
 z  z ((dz/dt dz/dt ))
 y  y 
e finalmente substituindo os valores chega-se ao resultado.e finalmente substituindo os valores chega-se ao resultado.
dy dy 
dt dt 
==
  
121222 ++ 16 1622 ·· 7070
1616
== 87 87..55
Como o limite é de 80 Km/h e a velocidade do carro é de 87.5 km/h a não serComo o limite é de 80 Km/h e a velocidade do carro é de 87.5 km/h a não ser
que o motorista tenha uma desculpa realmente boa ele deve ser multado.que o motorista tenha uma desculpa realmente boa ele deve ser multado.
2121
  
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Exemplo 19Exemplo 19
aumenta a distância eConsidere um balão meteorológico a ser lançado de umaumenta a distância eConsidere um balão meteorológico a ser lançado de um
ponto a 100 metros de distância de uma câmera de televisão montada no nível doponto a 100 metros de distância de uma câmera de televisão montada no nível do
chãchão. o. À medidÀ medida em a em que o balão sobeque o balão sobe,nt,ntre a câmerre a câmera e a e o balão e o balão e o ângulo ângulo que ao que a
câmera faz com o chão.câmera faz com o chão.
Se o balão está subindo a uma velocidade de 6 m/s, pergunta-se:Se o balão está subindo a uma velocidade de 6 m/s, pergunta-se:
(a) Quando o balão estiver a 75m de altura, qual a velocidade com que o(a) Quando o balão estiver a 75m de altura, qual a velocidade com que o
balão se afasta da câmera?balão se afasta da câmera?
(b) Decorridos 5 segundos após o lançamento, para filmar a subida do(b) Decorridos 5 segundos após o lançamento, para filmar a subida do
balão, com que velocidade a câmera está girando?balão, com que velocidade a câmera está girando?
Solução de A:Solução de A:
Considere o esquemaConsidere o esquema
CâmeraCâmera
BalãoBalão
yy
xx
zz
θθ
Usando PitágorasUsando Pitágoras
 z  z 22 == y  y 22 ++ 100 10022
⇒⇒ 22 z  z 
dz dz 
dt dt 
== 2 2 y  y 
dy dy 
dt dt 
QuandoQuando y  y  = =  75 75  por Pitágoras conclui-se que por Pitágoras conclui-se que  z  z  = =  125 125, então:, então:
22((125125))
dz dz 
dt dt 
== 2 2((7575))66
⇒⇒
dz dz 
dt dt 
== 3 3,,66
Logo a velocidade com que o balão se afasta é de 3.6 m/sLogo a velocidade com que o balão se afasta é de 3.6 m/s
2222
  
EExxeerrccíícciioos s RReessoollvviiddoos s DDiieeggo o OOlliivveeiirra a - - VViittóórriia a dda a CCoonnqquuiissttaa//BBAA
Solução de B:Solução de B:
Para resolver o item (b), podemos usar a função da tangente.Para resolver o item (b), podemos usar a função da tangente.
tntn((θθ) ) ==
 y  y 
100100
Fazendo a derivada da função e evidenciando dFazendo a derivada da função e evidenciando dθθ/dt/dt
secsec22((θθ))
dθdθ
dt dt 
==
11
100100
dy dy 
dt dt 
dθdθ
dt dt 
==
11
100100secsec22((θθ))
dy dy 
dt dt 
Em 5 segundos a 6 m/s o balão percorre 30m (y = 30). Como x é sempre igual aEm 5 segundos a 6 m/s o balão percorre 30m (y = 30). Como x é sempre igual a
100 pelo teorema de pitágoras z =100 pelo teorema de pitágoras z =
  
101044 ++ 30 3022 ==  10 10
  
109109. De modo que. De modo que   secsec((θθ) ) ==
1010
  
109109
100100
..
ComoComo
   dy dy 
dt dt 
== 6 6  então então
dθdθ
dt dt 
==
11
100100

1010
  
109109
100100
22
66
dθdθ
dt dt 
==
66
109109
Rad/sRad/s
  
Exemplo 20Exemplo 20
Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s. UmaUm homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s. Umalâmpada está localizada no chão a 20m da trajetória (distância ortogonal) e é man-lâmpada está localizada no chão a 20m da trajetória (distância ortogonal) e é man-
tidtida a focfocalializadzada a na na dirdireçãeção o do do homhomem. em. QuaQual l a a velvelociocidaddade e de rotaçde rotação ão da da lâmlâmpadpadaa
quando o homem está a 15m do ponto do caminho mais próximo da lâmpada?quando o homem está a 15m do ponto do caminho mais próximo da lâmpada?
Solução de A:Solução de A:
Considere o esquema:Considere o esquema:
2323
  
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HomemHomem
LâmpadaLâmpada
θθ
z=20mz=20m
x=15mx=15m
yy

tgtg((θθ) ) ==
  
 y  y 
Derivando implicitamenteDerivando implicitamente
dθ/dt dθ/dt 
coscos22((θθ))
==
((d/dt d/dt )) y  y −− ((dy/dt dy/dt ))  
 y  y 22
Como y é uma constante então dy/dt = 0 e assim:Como y é uma constante então dy/dt = 0 e assim:
dθ/dt dθ/dt 
coscos22((θθ))
==
((d/dt d/dt )) y  y 
 y  y 22
   ==
((d/dt d/dt ))
 y  y 
((11))
Pelo teorema de PitágorasPelo teorema de Pitágoras  2 20022 == 15 1522 ++ y  y 22. Que resulta em. Que resulta em  y  y 22 == 175 175
Substituindo esse valor em (1) e explicitandoSubstituindo esse valor em (1) e explicitando  dθ/dt  dθ/dt 
dθdθ
dt dt 
==
((d/dt d/dt ))
  
175175
·· coscos22((θθ))
Comodx/dt = 4 e cosComo dx/dt = 4 e cos((θθ) ) ==
  
175175
2020
quando x = 15quando x = 15
dθdθ
dt dt 
==
44
  
175175
··
  
175175
2020
22
≈≈ 00..1313
Assim a velocidade é de aproximadamente 0.13 rad/sAssim a velocidade é de aproximadamente 0.13 rad/s
2424
  
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