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original é decomposto em 
suas sub-bandas ou níveis. Cada destes níveis representam parte do sinal original 
ocorrendo em um dado tempo e em uma particular faixa de freqüência. Estas bandas 
particulares de freqüência são espaçadas logaritmicamente a contrário da TF. Os 
sinais decompostos possuem uma poderosa propriedade de localização “tempo-
109
 
freqüência”, a qual é a principal vantagem provida pela TW. O sinal resultante pode 
então ser analisado em ambos os domínios do tempo e da freqüência. 
A análise multiresolução se refere ao procedimento de se obter aproximações 
passa-baixa e detalhes passa-banda dos sinais originais. Uma aproximação é uma 
representação de baixa resolução do sinal original, enquanto que um detalhe é a 
diferença entre duas sucessivas representações de baixa resolução. Uma aproximação 
contêm a tendência geral do sinal original, enquanto que um detalhe engloba o 
conteúdo de alta freqüência do sinal original. Aproximações e detalhes são obtidos 
por sucessivos processos de convolução. O sinal original é dividido em diferentes 
escalas de resolução, ao invés de diferentes freqüências, como no caso da análise de 
Fourier. 
O algoritmo da análise multiresolução é ilustrado na Figura 50, onde três 
níveis de decomposição são tomados como um exemplo para ilustração. Os detalhes 
e as aproximações do sinal original S são obtidos passando-se o mesmo por um 
banco de filtros, o qual consiste de filtros passa baixa e alta. O filtro passa-baixa 
remove os componentes de alta freqüência, enquanto que o filtro passa alta destaca o 
conteúdo de alta freqüência do sinal em análise. Com referência a figura, os 
procedimentos de multiresolução são definidos como: 
( ) ( ) ( )knAkhnD j
k
j −= −∑ 1 
( ) ( ) ( )knAklnA j
k
j −= −∑ 1 
onde l e h são vetores dos filtros passa baixa e alta respectivamente. D1 e Aj são os 
detalhes e as aproximações na resolução j, j =1, 2, ..., J. Aj-1 é a aproximação do nível 
imediatamente acima do nível j, k =1, 2, ..., K, onde K é o comprimento do vetor 
filtro. 
110
 
D1
S
A1
2 2H L
D2 A2
2 2H L
D3 A3
2 2H L
Sinal original
Nível 1
Nível 2
Nível 3
 
Figura 50 – Multiresolução e a decomposição Wavelet 
 
Para se ter uma representação não redundante e uma reconstrução única do 
sinal original, bancos de filtros ortogonais são exigidos. A TW e a decomposição por 
multiresolução são rigidamente relacionadas. Também, como mostrado na figura, a 
decomposição por wavelet é completa incluindo-se uma operação de reamostragem 
na análise por multiresolução. 
O número máximo dos níveis de decomposição por wavelet para a TW é 
determinado pelo comprimento do sinal original, pela particular wavelet selecionada 
e o nível de detalhe requerido. Os filtros passa baixa e alta são determinados pela 
função de escala e função wavelet respectivamente. 
O processamento de sinais emprega exclusivamente wavelets ortogonais. 
Uma representação não redundante e uma perfeita reconstrução do sinal original 
podem somente ser alcançadas por wavelets ortogonais compactadas. Das que são 
usualmente empregadas podemos destacar as wavelets Daubechies, Morlets, Coiflets 
e Symlets. Estas wavelets apresentam diferentes atributos e critérios de desempenho 
quando são aplicadas a específicas aplicações, tais como a detecção de transitórios e 
compressão de sinais. Embora não exista um critério definitivo para a escolha de 
uma wavelet, a melhor opção deve apresentar uma notável semelhança com o 
fenômeno as ser estudado. 
111
 
Embora haja muitas aplicações de TW em sistemas de energia, será 
apresentado neste trabalho somente alguns casos ilustrativos como, a localização e 
proteção contra faltas em um sistema de energia, a detecção de distúrbios na 
qualidade da energia e a análise de um fenômeno de disparo parcial em uma 
subestação isolada a gás (Gas Insulated Substations – GIS). Ênfase particular é 
direcionada a considerações práticas que dizem respeito à TW incluindo: a seleção 
de uma adequada wavelet mãe, seleção das características mais relevantes, análise 
multiresolução e, finalmente, uma avaliação do desempenho. 
 
11.2.3 Análise da qualidade de energia pela TW 
No trabalho intitulado “Análise da qualidade da energia utilizando 
transformadas wavelet combinadas às redes neurais artificiais” (apresentado no XVII 
SNPTEE, Oleskovicz et al., 2003) é proposto o emprego da técnica ARM para 
detectar e localizar o distúrbio agregado às formas de ondas de tensão analisadas. 
Além da detecção e localização, os distúrbios são classificados segundo sua natureza, 
utilizando-se um método baseado em limiar, bem como por técnicas de inteligência 
artificial, como Redes Neurais Artificiais (RNAs). As grandezas analisadas referem-
se a valores amostrados de tensões de um sistema elétrico real, cujos dados foram 
fornecidos pela CPFL - Companhia Paulista de Força e Luz e simulados pela 
aplicação do software ATP – Alternative Transients Program. Os software Matlab 
e o NeuralWorks também são utilizados para as respectivas aplicações da TW e 
RNAs propostas. Como aplicação prática, visando os interesses do setor energético 
atual, um software para a análise da QE fornecida por um dado sistema elétrico está 
sendo implementando e extensamente testado, com resultados iniciais bastante 
promissores. 
Análise de resoluções múltiplas 
A técnica de Análise de Resoluções Múltiplas (ARM) permite a 
decomposição de um dado sinal em diferentes níveis de resolução, fornecendo 
importantes informações no domínio do tempo e da freqüência. Por esta técnica, o 
sinal analisado é primeiramente decomposto em dois outros sinais, uma versão 
detalhada e outra atenuada, através de filtros passa alta (h1) e passa baixa (h0) que 
são representados matematicamente por funções Wavelets e funções escala, 
respectivamente (Figura 51). Como o sinal atenuado – proveniente do filtro passa 
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baixa – é novamente decomposto, resultando em dois novos sinais detalhados e 
atenuados, em níveis de freqüência diferentes, estes fornecem informações diretas, 
relativas ao sinal original, no domínio da freqüência e do tempo (GOMES & 
VELHO, 1998). 
As Figuras 51 e 52 ilustram a técnica descrita, tendo-se na primeira a 
representação do processo de filtragem que é acompanhado também de um operador 
downsampling, o qual reduz a quantidade de informações a ser processada. A 
segunda ilustra as respectivas decomposições do sinal. A Figura 52 - (a) representa a 
versão aproximada do sinal, e os detalhes da decomposição são apresentados na 
Figura 52 – (b), (c) e (d). 
 
Figura 51 - Processo de decomposição de um sinal através de filtragem. 
Neste trabalho utiliza-se como wavelet mãe a família das Daubechies, mais 
precisamente a daubechies de ordem 4, ou db4. Conforme mostrado em ARRUDA et 
al. (2002) e também em muitos artigos desta área, esta wavelet mãe é bastante 
adequada para decomposição dos distúrbios mencionados. 
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-20
0
20
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-1
0
1
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-2
0
2
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-1
0
1
(a) 
(b) 
(c) 
 (d) 
 
Figura 52 - Representação de um sinal sob ARM. Aproximação A3 (a), detalhe 1 (b), 
detalhe 2 (c) e detalhe 3 (d). 
113
 
Uma visão geral do trabalho 
Pela aplicação da TW, podemos constantemente monitorar o sistema, através 
dos seus valores amostrados de tensões, a uma freqüência de 7,68 kHz. Tal valor foi 
respeitado devido à freqüência de amostragem usualmente empregada pelos 
instrumentos de medição e obtenção de dados, como por exemplo, o BMI (Basic 
Measuring Instrument) Model 7100, que apresenta um valor em torno de 7,7 kHz. 
Com uma janela de dados móvel, a ferramenta poderá, com um alto índice de 
precisão, detectar uma descontinuidade nos sinais, contendo a