09 Campo Magnético - Lei de Biot-Savar

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Campo Magnético - Lei de Biot-Savart
Evandro Bastos dos Santos
22 de Maio de 2017
1 Campo Magnético
Na aula anterior vimos que uma carga elétrica, quando em movimento, sofre uma força
devido a um campo magnético. Nessa aula veremos qual a fonte desse campo magnético e
uma técnica de como calculá-lo.
É de se imaginar que como uma carga em movimento sofre uma força de um campo
elétrico, também teremos que uma carga elétrica em movimento pode produzir um campo
magnético.
Vamos considerar um fio de seção transversão A. Nesse fio podemos considerar um
comprimento infinitesimal d~l, que possui carga total dq.
Figura 1: Corrente I percorrendo um fio
Podemos, então, determinar que
dq = nAdlq (1)
em que n é o total de portadores de carga e q é a carga total no fio.
A lei de Biot-Savart, garante que o campo magnético produzido por uma carga com
velocidade ~va é
B =
µ0
4π
qva sin θ
r2
(2)
em que µ0 é uma constante universal e tem valor igual a 4π · 10−7N/A2 e θ é o angulo
entre o vetor velocidade e o vetor posição até o ponto ~r. Vetorialmente podemos escrever
que
~B =
µ0
4π
q~va × r̂
r2
(3)
como dq = nAdlq, temos que
B =
µ0
4π
nAdlqva sin θ
r2
. (4)
1
A parcela nqva é definida como a densidade de corrente, J . Portanto, se J é densidade
de corrente
J =
I
A
(5)
I = JA = nqvaA. (6)
Logo,
B =
µ0
4π
Idl sin θ
r2
. (7)
Ou vetorialmente
~B =
µ0
4π
Id~l × r̂
r2
. (8)
A equação 8 é conhecida por Lei de Biot-Savart.
2 Linhas de Campo Magnético
As linhas de campo magnético são então determinadas pelo produto vetorial de d~l com ~r.
Ao considerarmos todas as posições do vetor ~r temos que as linhas formadas por ~B formam
uma circuferência ao longo do fio.
Figura 2: Linhas de campo magnético de um fio percorrido por corrente elétrica
A determinação dessas linhas de campo pode ser também feita através da regra da mão
direita, em que o dedo polegar tem o sentido da corrente I e os demais dedos formam as
linhas de campo quando fechados.
2
Figura 3: Determinação das linhas de campo magnético pela regra da mão direita.
Essa direção chamamos de ϕ̂.
3 Campo magnético devido a um fio transportando corrente
Vamos agora calcular o campo magnético que um fio de comprimento 2a transportando
uma corrente I, produz em um ponto distante r.
Figura 4: Campo magnético em um ponto P devido a um fio transportando corrente.
Queremos calcular
d ~B =
µ0
4π
Id~l × r̂
r2
(9)
dB =
µ0
4π
Idl sinφ
r2
(10)
em que φ é o angulo oposto a θ. Como r = (x2 + y2)1/2, e como dl = dy. sinφ = cosθ =
x
(x2+y2)1/2
temos que
dB =
µ0
4π
Idyx
(x2 + y2)3/2
. (11)
Integrando no comprimento do fio, ou seja, de −a a a.
B =
µ0
4π
∫ a
−a
Idyx
(x2 + y2)3/2
(12)
B =
µ0
4π
I2a
x(x2 + a2)1/2
. (13)
3
Se o comprimento do fio for muito grande, a >> x, então (x2 + a2)1/2 = a, portanto
B =
µ0
4π
I2a
xa
(14)
B =
µ0I
2πx
(15)
ou vetorialmente
~B =
µ0I
2πx
ϕ̂ (16)
que é a expressão para o campo magnético produzido por um fio percorrido por corrente.
Exemplo: Calcule o campo magnético produzido por um fio que transporta uma corrente
de 2A, a uma distância de 3mm.
4 Campo Magnético devido a uma espira circular
Figura 5: Campo magnético em um ponto P devido a uma espira transportando corrente.
Queremos calcular
d ~B =
µ0
4π
Id~l × r̂
r2
(17)
dB =
µ0
4π
Idl
d2
(18)
dB =
µ0
4π
Idl
z2 +R2
(19)
em que φ é o angulo oposto a α.
Em termos de componentes podemos escrever
dBz = dB cosφ =
µ0
4π
IdlR
(z2 +R2)3/2
(20)
dBy = dB sinφ =
µ0
4π
Idlz
(z2 +R2)3/2
. (21)
4
Por simetria, ao integrar dBy, temos que o mesmo é nulo. Portanto o campo é somente
na direção ẑ.
Fazendo dl = Rdθ e integrando em todo a circunferência.
dB =
µ0
4π
∫ 2π
0
IRdθR
(z2 +R2)3/2
(22)
B =
µ0
4π
IR22π
(z2 +R2)3/2
(23)
~B =
µ0
2
IR2
(z2 +R2)3/2
ẑ (24)
Se quisermos o campo no centro da espira, ou seja, z = 0 temos que
~B =
µ0I
2R
ẑ (25)
Ou seja, o campo magnético está na direção perpendicular a espira. Podemos também
determinar essa direção pela regra da mão direita.
Figura 6: Campo magnético no centro de uma espira transportando corrente.
Exemplo: Em que ponto, distante do centro de uma espira transportando uma corrente
I o campo magnético é nulo?
4.1 Momento de dipolo magnético
No caso da espira, também podemos determinar que há um momento de dipolo magnético
nesse mesmo sentido e dado por
~m = IAẑ (26)
em que A é a área da espira.
5
Assim como no campo elétrico a energia associada ao campo magnético, analogamente
ao momento de dipolo elétrico (~p), é dada por
EB = −~m · ~B (27)
Se houver N espiras enroladas, então
EB = −N ~m · ~B (28)
Portanto, também podemos determinar que se ~m · ~B = mb, então a energia terá seu valor
mínimo, ou seja, a minimização de energia ocorre quando ~m e ~B estão alinhados.
Essa mesma espira, sujeita a um campo magnético ~B, sofrerá uma rotação, ou seja, um
torque, dado por
τ = ~m× ~B (29)
Exercícios:
Halliday 9ed:
cap 28. 49, 55.
cap 29. 3, 7, 9, 12
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