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Unidade II
Unidade II
5 INDO ALÉM DOS DADOS
5.1 Distribuição amostral e o teorema central do limite
Para entender uma distribuição amostral, vamos usar exemplo uma população bem pequena. 
Durante a Primeira Guerra Mundial, os alemães ocuparam a floresta Białowieža, na Polônia, um dos 
últimos locais onde o bisão europeu ainda podia ser visto na natureza. Como consequência do cerco 
e para a manutenção do exército, os soldados alemães caçaram esses espécimes. Ao final da guerra, 
durante a retirada, eles atiraram em mais espécimes (simplesmente porque podiam). Como resultado, 
apenas nove animais sobreviveram. A população de uma espécie estava reduzida a nove indivíduos. 
Os sobreviventes foram abrigados em zoológicos e um programa de reprodução em cativeiro foi iniciado, 
com a tentativa de reintroduzir a espécie na natureza. Conforme dados de 2017 (MILLER, 2017), a floresta 
Białowieža abriga, atualmente, 600 espécimes em vida livre (cerca de 10% da população atualmente 
existente na Europa). Sabendo que a massa corporal de um bisão adulto pode variar entre 300 e 920 kg, 
suponhamos que a massa dessa população de nove indivíduos seguisse o perfil observado na figura seguinte.
0
300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950
Fr
eq
uê
nc
ia
Massa (kg)
1
2
Figura 19 – Histograma da distribuição da massa corporal de bisões europeus. 
A distribuição de escores nessa população é achatada (dados hipotéticos)
Esses nove indivíduos correspondiam a toda a população de bisões europeus. Assumindo que os valores 
de suas massas corporais fossem conforme apresentado, poderíamos obter a média populacional (µ):
X
N
∑
µ =
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Sendo:
µ = a média populacional
ΣX = o somatório dos valores da variável X
N = o número de observações da população
( )350 430 480 540 560 680 760 810 880
9
+ + + + + + + +
µ =
5490
610 kg
9
µ = =
Para realizar uma distribuição amostral para a média dessa população, em primeiro lugar se retira, 
aleatoriamente, amostras a partir da população; para cada amostra, calcula‑se sua média; e, em seguida, 
verifica‑se a distribuição de frequências das médias amostrais.
Dois aspectos importantes precisam ser destacados:
I – A amostragem ocorre com reposição: isso significa que, após a seleção de um indivíduo e 
registro do seu valor de massa (kg), ele será devolvido para a população, dando‑lhe a chance de ser 
selecionado novamente; de tal forma, todos os indivíduos apresentam sempre a mesma chance de 
serem aleatoriamente selecionados (no caso, 1/9 = 0,1111 = 11,11%).
II – A ordem em que os casos forem selecionados não importa: se o indivíduo A for selecionado 
primeiro e, em seguida, o indivíduo B, isso levaria ao mesmo resultado caso o indivíduo B fosse 
selecionado primeiro e, em seguida, o indivíduo A.
Assumindo que nossas amostras obtidas a partir da população possuam tamanho igual a dois 
indivíduos, quantas possibilidades únicas seriam possíveis, extraindo‑se dois indivíduos de uma 
população com total de nove?
 Observação
O número de combinações com repetição a partir N elementos tomados 
n a n é 
( )
( )N n 1,n 1
N n 1 !
C 
n! N 1 !+ − −
+ −
=
−
 possíveis amostras de n elementos, que 
 
podem ser extraídas a partir da população. No caso, N = 9 e n = 2, logo:
( )
( )
( )
9 2 1 !N n 1! 10! 10.9.8! 10.9 90
 45
n! N 1 ! 2! 9 1 ! 2!8! 2!8! 2 2
+ −+ −
= = = = = =
− −
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Unidade II
Observe a tabela seguinte e as 45 combinações únicas. Sua segunda seção traz os pares de valores 
de massa para cada amostra, enquanto a terceira apresenta os valores de média para essas amostras. 
Observe que os valores das médias amostrais diferem entre si, estando algumas mais próximas da média 
populacional e outras mais distantes.
Como existe variabilidade entre as médias, é possível calcular uma medida de dispersão para a distribuição 
amostral. Essa medida é conhecida como erro padrão da média (σM) e indica quanta variabilidade há, 
em média, entre uma média amostral e outra. Diferentemente do desvio padrão, que mede a variabilidade 
dentro de uma única amostra, o erro padrão da média estima a variabilidade entre elas.
Tabela 20 – Amostras (n = 2) a partir de uma população contendo nove indivíduos
Todas as amostras possíveis com combinação única
A, A A, B A, C A, D A, E A, F A, G A, H A, I
B, B B, C B, D B, E B, F B, G B, H B, I
C, C C, D C, E C, F C, G C, H C, I
D, D D, E D, F D, G D, H D, I
E, E E, F E, G E, H E, I
F, F F, G F, H F, I
G, G G, H G, I
H, H H, I
I, I
Valores de massa (kg) para todas as amostras possíveis
350, 350 350, 430 350, 480 350, 540 350, 560 350, 680 350, 760 350, 810 350, 880
430, 430 430, 480 430, 540 430, 560 430, 680 430, 760 430, 810 430, 880
480, 480 480, 540 480, 560 480, 680 480, 760 480, 810 480, 880
540, 540 540, 560 540, 680 540, 760 540, 810 540, 880
560, 560 560, 680 560, 760 560, 810 560, 880
680, 680 680, 760 680, 810 680, 880
760, 760 760, 810 760, 880
810, 810 810, 880
880, 880
Médias dos valores de massa (kg) para as amostras
350 390 415 445 455 515 555 580 615
430 455 485 495 555 595 620 655
480 510 520 580 620 645 680
540 550 610 650 675 710
560 620 660 685 720
680 720 745 780
760 785 820
810 845
880
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 Observação
As letras empregadas na primeira seção representam todas as 
possibilidades de combinações para uma amostragem com reposição e 
n = 2. Na segunda parte, são apresentados os valores de massa (kg) dos 
indivíduos em cada amostra. Na terceira, são reportados os valores de 
média para cada amostra.
A figura a seguir apresenta o histograma para as 45 médias obtidas na terceira parte da tabela 
anterior. Observe o formato da distribuição: a população apresentava, na figura anterior, distribuição 
achatada, mas a distribuição amostral aparenta assumir o formato de uma distribuição normal (compare 
com a curva normal, em vermelho, sobreposta ao histograma).
0
300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950
Fr
eq
uê
nc
ia
Média da massa (kg)
8
7
6
5
4
3
2
1
Figura 20 – Distribuição amostral das médias para amostragem com reposição e n = 2, a partir dos valores 
da massa corporal de bisões europeus (N = 9). O teorema central do limite estabelece que uma distribuição 
amostral da média tenderá à distribuição normal, independentemente do formato da distribuição da população, 
desde que o tamanho amostral seja grande (n ≥ 30). Nesse exemplo, ainda que n amostral seja 
pequeno (n = 2), a distribuição amostral já aparenta assumir o formato de uma distribuição normal, 
como é possível evidenciar pela comparação com a curva sobreposta
A média dessa distribuição amostral (µM) leva a uma observação interessante: ela é igual à média da 
população. Observe que, se tirarmos a média dos 45 valores da terceira seção da tabela anterior, temos:
M
27450
610 kg
45
µ = =
Uma vez observadas as diferentes médias amostrais, a partir da massa (kg) de uma pequena 
população de bisões europeus, imagine, agora, que uma amostra de 100 brasileiros foi selecionada ao 
acaso e a média de sua massa corporal (kg) foi obtida. Como seria o formato da distribuição amostral 
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para a média se muitas amostras aleatórias contendo 100 indivíduos fossem coletadas? Com mais de 
200 milhões de habitantes no Brasil, seria impossível obter cada amostra com n = 100 indivíduos. 
É nessa hora que entra em cena o teorema central do limite, fornecendo uma descrição matemática 
do que a distribuição amostral se pareceria, caso um pesquisador obtivesse todas as amostras possíveiscom tamanho n a partir da população.
Tenha em mente que, para que o teorema central do limite se aplique, o tamanho da amostra precisa 
ser grande. Quão grande? Com n = 2, tal como vimos no exemplo anterior, certamente estamos bem 
distante da concepção do termo. Em geral, assume‑se que um n = 30 já pode assim ser considerado. 
De tal forma, o teorema central do limite se aplica quando o tamanho das amostras utilizadas para 
avaliar uma distribuição amostral seja n ≥ 30.
O teorema central do limite é importante, pois três constatações podem ser observadas:
I – Se o n amostral for grande, então a distribuição amostral da média tenderá à distribuição normal, 
independentemente do formato da distribuição de frequências da população.
II – Se o n amostral for grande, então a média das médias que compõem a distribuição amostral será 
igual à média da população, a partir da qual as amostras foram obtidas.
III – Se o n amostral for grande, será possível estimar o erro padrão da média, uma medida que 
indicará quanta variabilidade haverá, em média, entre uma média amostral e outra. O erro padrão pode 
ser calculado conforme a seguinte equação:
M
n
σ
σ =
Sendo:
σM = o erro padrão da média
σ = o desvio padrão populacional
n = o número de observações da amostra
Com base no exemplo dos bisões, sendo o desvio padrão populacional 128,60 kg, tem‑se:
M
n
σ
σ =
M
128,60 128,60
 90,94 kg
1,41422
σ = = ≅
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O acesso a toda uma população raramente ocorre e, portanto, dificilmente se tem acesso ao 
desvio padrão populacional. Então, como será possível calcular o erro padrão para a média sem o desvio 
padrão populacional? Nessas situações, emprega‑se o desvio padrão amostral, uma estimativa 
do desvio padrão populacional, para calcular uma estimativa do erro padrão da média (sM). 
Observe a equação:
M
s
s
n
=
Sendo:
sM = uma estimativa do erro padrão da média
s = o desvio padrão amostral
n = o número de observações da amostra
Comparemos duas amostras extraídas da tabela anterior: A1 = {540, 680} e A2 = {560, 760}; cujas 
médias são, respectivamente, 610 e 660 kg. Os desvios padrões amostrais obtidos serão de 99,00 e 
141,42 kg, respectivamente. Substituindo‑se, na equação:
M
s
s
n
=
M1
99 99
s 70,00 kg
1,41422
= = =
M1
141,42 141,42
s 100,00 kg
1,41422
= = =
Quanto menor for a medida do erro padrão da média, mais as médias em uma distribuição amostral 
se aproximam. Por consequência, isso nos diz que há menos erro amostral. Assumindo que a 
amostra tenha um n grande, logo, a média dessa amostra tenderá a estar mais próxima da média 
populacional. Em outras palavras, se o erro padrão da média for pequeno, então a média de uma amostra 
provavelmente refletirá com maior precisão a média populacional.
Note, no exemplo anterior, que as médias que compõem a primeira amostra se distanciam 
em 140 unidades (680 – 540 = 140), já as médias que compõem a segunda amostra se distanciam em 
200 unidades (760 – 560 = 200). A estimativa do erro padrão foi menor na primeira amostra 
(sM1 = 70,00 kg) do que na segunda (sM2 = 100,00 kg), indicando que há menos erro amostral na primeira, 
ou seja, seus valores se aproximam mais entre si.
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Graças ao teorema central do limite, um pesquisador não precisa se preocupar com o formato da 
distribuição de frequências da população a partir da qual uma amostra é retirada. Desde que o tamanho 
amostral seja grande o suficiente, a distribuição amostral da média tenderá à normalidade, ainda 
que a população não o seja. Esta noção é útil, pois a curva normal possui propriedades matemáticas 
conhecidas, em relação à porcentagem de casos que estão sob diferentes porções da curva. No próximo 
capítulo serão introduzidos os testes de hipóteses, e este conceito permitirá estimar com que frequência 
um dado valor pode ocorrer.
5.2 Calculando intervalos de confiança
Em geral, utilizamos informações obtidas a partir de uma amostra para estimar parâmetros de 
uma população. Vimos que a estimativa de um parâmetro (como a média populacional) variará entre 
diferentes amostras obtidas a partir dessa população. É possível utilizar o erro padrão para ter ideia do 
quanto essas estimativas se diferem entre si. Também é possível utilizar essa informação para calcular 
limites dentro dos quais se acredita que o parâmetro populacional cairá. Tais limites são chamados 
intervalos de confiança.
Domjan, Blesbois e Williams (1998) estudaram a quantidade de sêmen e espermatozoides liberados 
por codornas quando estimuladas para cópula. Basicamente, as aves foram colocadas em uma 
câmara experimental na presença de fêmeas, em que associaram elementos do ambiente com o ato 
de copular. Uma vez condicionadas, as aves foram colocadas na câmara experimental, só que, dessa 
vez, em vez de uma fêmea, uma boneca de feltro com cabeça embalsamada de codorna foi colocada 
para estimular os machos, e o volume do ejaculado foi coletado para análise. Animais que haviam 
sido condicionados e haviam associado o ambiente com o ato da cópula liberaram volumes maiores 
de sêmen, contendo mais espermatozoides do que os animais que não haviam sido condicionados à 
câmara experimental.
Figura 21 – Boneca de codorna utilizada pelos pesquisadores 
para estimular as aves no dia da coleta do ejaculado
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Um dos grupos condicionados (n = 7) obteve uma média, de espermatozoides liberados, de 17 
milhões. Essa é a média amostral. E quanto seria a média populacional? Não temos acesso a essa 
informação. Como não sabemos a média populacional, não podemos inferir que 17 milhões seja um 
bom ou mau estimador desse valor. Portanto, em vez de fixar apenas um único valor da amostra, é 
possível estimar um intervalo, usando a média amostral como ponto médio e estabelecendo um limite 
superior e inferior para esse intervalo.
Assumindo que o valor da média populacional fosse de 15 milhões de espermatozoides 
(hipoteticamente), observe a figura seguinte e considere que 50 experimentos independentes foram 
realizados, gerando 50 amostras diferentes (com n = 7 cada). Note que as médias amostrais (pontos) 
variam entre si e diferem da média populacional (linha pontilhada). Embora a maioria dos intervalos 
contenha o valor real da média populacional (eles cruzam a linha pontilhada, indicando que o valor de 
15 milhões de espermatozoides está contido entre o limite superior e inferior do intervalo de confiança), 
alguns não a possuem (pontos vermelhos, em destaque).
0
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Es
pe
rm
at
oz
ói
de
s (
m
ilh
õe
s)
Amostra
Figura 22 – Intervalos de confiança da contagem de espermatozoides de codornas em 50 amostras diferentes. Assumindo, 
hipoteticamente, que a média populacional seja de 15 milhões de espermatozoides (linha pontilhada), a média de cada uma 
das 50 amostras diferentes (com n = 7) – pontos em preto – é apresentada com seus respectivos intervalos de confiança 
(barras acima e abaixo da média). Das 50 amostras, três (destaque) não contemplam a média populacional em seus intervalos
De certa forma, os intervalos de confiança informam a chance que esses valores possuem em conter 
o parâmetro que se procura estimar (nesse caso, a média). Em geral, procuramos por intervalos de 
confiança de 95% (e, algumas vezes, intervalos de confiança de 99%): eles são limites calculados de tal 
forma que certa porcentagem de amostras contenha o valor real do parâmetro dentro da amplitude 
do intervalo. Assim, quando vir um intervalo de confiança de 95% para a média, pense da seguinte 
forma: se coletássemos100 amostras independentes, calculássemos a média e, então, obtivéssemos os 
intervalos de confiança para a média, em 95 das 100 amostras, os intervalos de confiança conteriam o 
valor da média populacional.
Para calcular um intervalo de confiança de 95%, é preciso conhecer os limites dentro dos quais 95% 
das médias cairão. Sabemos que, se o n amostral for grande, a distribuição amostral das médias será 
normal. Para facilitar a explicação, vamos assumir uma distribuição normal com centro (média) igual 
a 0 e desvio padrão igual a 1. A vantagem disso é que podemos utilizar valores tabelados. O intervalo 
compreendido entre ‑1 e +1 unidades de desvio padrão seleciona aproximadamente 68,27% da área 
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total sob a curva; já o intervalo compreendido entre ‑2 e +2 unidades de desvio padrão corresponde 
a 95,45% da área sob a curva; enquanto o intervalo compreendido entre ‑3 e +3 unidades de desvio 
padrão, a aproximadamente 99,73% da área sob a curva. Essas são propriedades matemáticas da 
distribuição normal.
–3 –2 –1 0
z
1 2 3
68,27%
95,45%
99,73%
Figura 23 – A curva normal padrão e suas porcentagens de área sob a curva. Assumindo‑se média = 0 e desvio padrão = 1, 
nota‑se que o intervalo compreendido entre ‑1 e +1 seleciona aproximadamente 68,27% da área total sob a curva; já o intervalo 
compreendido entre ‑2 e +2 corresponde a 95,45%; enquanto o intervalo compreendido entre ‑3 e +3, a aproximadamente 99,73%
Qual seria o valor exato de desvios padrões acima e abaixo da média que criariam um intervalo 
compreendendo os 95% centrais da área sob a curva? Para responder a essa pergunta, devemos recorrer 
a uma tabela de z escores – que corresponde à transformação de qualquer valor de um conjunto de 
dados em unidades de uma curva normal padrão.
X M
z 
s
−
=
Sendo:
z = o escore padrão
X = um valor da amostra
M = a média amostra
s = o desvio padrão amostral
Uma tabela completa de z escores pode ser encontrada no Apêndice A deste livro‑texto. A seguir, 
observe um recorte da tabela z escores para encontrarmos a informação desejada. Procuramos pela 
informação correspondente ao valor de z escore necessário para termos preenchidos os 95% centrais 
da área sob a curva normal. Conforme esquematiza a figura a seguir, devemos buscar essa informação 
na coluna D da tabela mencionada.
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média–z z
D
Figura 24 – Esquematização de área central sob a curva normal. Os valores de z 
escores necessários para que se obtenha determinada área (representada pela coluna D 
na tabela 21 – excertos do Apêndice A) podem ser consultados em uma tabela de z escores
Tabela 21 – Área sob a curva normal (excerto do Apêndice A)
Área sob a curva normal
z escore
A
Abaixo de +z
acima de ‑z
B
Da média a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
abaixo de ‑z
D
Entre ‑z e +z
1,90 97,13% 47,13% 2,87% 94,26%
1,91 97,19% 47,19% 2,81% 94,39%
1,92 97,26% 47,26% 2,74% 94,51%
1,93 97,32% 47,32% 2,68% 94,64%
1,94 97,38% 47,38% 2,62% 94,76%
1,95 97,44% 47,44% 2,56% 94,88%
1,96 97,50% 47,50% 2,50% 95,00%
1,97 97,56% 47,56% 2,44% 95,12%
1,98 97,61% 47,61% 2,39% 95,23%
1,99 97,67% 47,67% 2,33% 95,34%
2,00 97,72% 47,72% 2,28% 95,45%
Nota: o intervalo necessário para que 95% da área central sob a curva normal seja assinalado 
está compreendido entre ‑1,96 e +1,96 desvios padrões a partir da média (destaque).
O intervalo de confiança de 95% para a média pode ser facilmente calculado uma vez que o desvio 
padrão amostral e a média amostral sejam conhecidos. Entretanto, para o cálculo se utiliza o erro padrão, 
porque estamos interessados na variabilidade de uma distribuição amostral de médias e não na 
variabilidade das observações dentro de uma amostra. Assim:
s
limite inferior doI C95% M 1,96
n
= − ×
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Unidade II
s
limite superior doI C95% M 1,96
n
= + ×
Sendo:
IC95% = o intervalo de confiança de 95% para a média
M = a média amostra
s = o desvio padrão amostral
n = o número de observações da amostra
 Lembrete
Lembre que o desvio padrão amostral (s) dividido pela raiz quadrada de 
n é igual ao erro padrão (sM):
M
s
s
n
=
Exemplo de aplicação
Exemplo 18
Assuma que a variável pressão diastólica tenha uma distribuição normal com média populacional (µ) 
desconhecida. Em uma amostra de 83 indivíduos, a média amostral foi de 81 mmHg e o erro padrão foi 
de 1,21 mmHg. Qual seria o intervalo de confiança de 95% para a média?
Resolução
Temos:
Mlimite inferior do IC95% M 1,96 s= − ×
limite inferior do IC95% 81 1,96 1,21= − ×
limite inferior doI C95% 81 2,3716= −
limite inferior doI C95% 78,63=
Mlimite superior do IC95% M 1,96 s= + ×
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limite superior do IC95% 81 1,96 1,21= + ×
limite superior doI C95% 81 2,3716= +
limite superior doI C95% 83,37=
O intervalo de confiança de 95% para a média varia de 78,63 a 83,37 mmHg. Note que a subtração 
foi feita primeiro, pois o intervalo de confiança é reportado do limite inferior para o limite superior. 
Logo, o intervalo [78,63; 83,37] contém o valor médio da população com 95% de confiança. De forma 
abreviada, poderíamos reportar estes valores como M = 81,00, IC95% [78,63; 83,37].
O procedimento anterior é válido desde que as amostras sejam grandes, uma vez que o teorema 
central do limite nos diz que a distribuição amostral das médias será normal. Entretanto, para amostras 
pequenas, a distribuição amostral não será necessariamente normal. Nesses casos, emprega‑se a 
distribuição t – uma família de distribuições de probabilidade cujos formatos variam à medida que o 
tamanho amostral aumenta (quando a amostra for muito grande, tenderá à distribuição normal – veja 
na figura a seguir).
Para construir um intervalo de confiança para a média em uma amostra pequena, utiliza‑se o mesmo 
princípio apresentado anteriormente, mas, em vez de um valor de z, utiliza‑se um valor de t. Assim, 
quais seriam os valores de t que limitariam os 95% centrais da área sob a curva t? Para responder a essa 
pergunta, devemos recorrer a uma tabela de valores críticos de t.
Uma tabela t pode ser encontrada no Apêndice B deste livro‑texto. A seguir, observe um recorte dessa 
tabela para encontrarmos a informação desejada. Procuramos pela informação correspondente ao valor de t 
necessário para termos preenchidos os 95% centrais da área sob a curva t. Conforme esquematiza a figura 26, 
devemos buscar essa informação na coluna B.
0–1–2–3 1 2 3
GL = +∞
GL = 1
GL = 2
GL = 5
Figura 25 – Distribuição t. À medida que o n amostral aumenta – observado pelo aumento 
dos graus de liberdade (GL) – a distribuição t se assemelha à distribuição normal
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0–t t
B
Figura 26 – Valores críticos da distribuição t. Para uma distribuição t com n – 1 graus de liberdade (GL), os valores críticos de t no 
eixo x, que correspondam aos limites inferior e superior de 95% da área sob a curva, podem ser encontrados na coluna B da tabela 
seguinte. Se a área assinalada em cinza corresponder a 95% da curva, tem‑se 2,5% à esquerda e 2,5% à direita nas áreas em branco
Tabela 22 – Valores críticos de t (excerto do Apêndice B)
GL
A
α = 0,05 unicaudal
ou
α = 0,10 bicaudal
B
α = 0,025 unicaudal
ou
α = 0,05 bicaudal
C
α = 0,01 unicaudal
ou
α = 0,02 bicaudal
D
α = 0,005 unicaudal
ou
α = 0,01 bicaudal
1 6,314 12,706 31,821 63,657
2 2,920 4,303 6,965 9,925
3 2,353 3,182 4,541 5,841
4 2,132 2,776 3,747 4,604
5 2,015 2,571 3,365 4,032
6 1,943 2,447 3,143 3,707
7 1,895 2,365 2,998 3,499
8 1,860 2,306 2,896 3,355
9 1,833 2,262 2,821 3,250
10 1,812 2,228 2,7643,169
Nota: a distribuição t varia conforme o grau de liberdade (GL). Para se obter os 95% c entrais da área sob a curva, 
deve‑se olhar na coluna B (destaque) e cruzar com a informação do grau de liberdade desejado, pois a soma das 
áreas das caudas à esquerda e à direita corresponderão a 5% da área sob a curva (α = 0,05 ou 5%).
Assim:
n 1
s
limite inferior doI C95% M t
n
−= − ×
n 1
s
limite superior doI C95% M t
n
−= + ×
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Sendo:
IC95% = o intervalo de confiança de 95% para a média
M = a média amostra
tn – 1 = valor crítico de t com n – 1 graus de liberdade
s = o desvio padrão amostral
n = o número de observações da amostra
Exemplo de aplicação
Exemplo 19
Assumindo que uma amostra de sete codornas condicionadas obteve, em média, 17 milhões de 
espermatozoides em seu ejaculado, com desvio padrão de 8,8 milhões de espermatozoides, calcule o 
intervalo de confiança de 95% para a média.
Resolução
Temos que, conforme a tabela anterior, para n – 1 graus de liberdade (n = 7, portanto GL = 6), o valor 
crítico de t na coluna B seria t = 2,447. Assim:
s
limite inferior doI C95% M 2,447
n
= − ×
8,8
limite inferior doI C95% 1 7,0 2,447
7
= − ×
8,8
limite inferior doI C95% 1 7,0 2,447
2,6458
= − ×
limite inferior doI C95% 1 7,0 8,14 8,86= − =
s
limite superior doI C95% M 2,447
n
= + ×
8,8
limite superior doI C95% 1 7,0 2,447
7
= + ×
8,8
limite superior doI C95% 1 7,0 2,447
2,6458
= + ×
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limite superior doI C95% 1 7,0 8,14 25,14= + =
O intervalo de confiança de 95% para a média varia de 8,86 a 25,14 milhões de espermatozoides. 
Note que a subtração foi feita primeiro, pois o intervalo de confiança é reportado do limite inferior para 
o limite superior. De forma abreviada, poderíamos reportar a média e o intervalo de confiança como 
M = 17,00, IC95% [8,86; 25,14].
 Lembrete
O que o intervalo de confiança nos diz? Oficialmente, um intervalo 
de confiança de 95% apenas revela que, se repetíssemos o processo de 
coleta de dados e de obtenção de novas amostras e calculássemos o 
intervalo de confiança para cada amostra, em 95 de 100 repetições, os 
intervalos de confiança calculados conteriam o valor da média populacional.
Diante de um intervalo de confiança calculado, não se sabe, contudo, se estamos diante de uma 
dessas 95 situações. No dia a dia, as pessoas tendem a interpretar o intervalo de confiança como um 
limite dentro do qual o parâmetro populacional pode estar. Também há uma chance de o parâmetro 
populacional não cair dentro de um intervalo de confiança calculado (reveja as amostras destacadas em 
vermelho na figura 21 e observe a figura seguinte).
0
µ
–2 2–1–3 31
B A
Figura 27 – Distribuição amostral de médias com destaque para dois intervalos de confiança de 95%. 
Conforme o teorema central do limite, uma distribuição amostral de médias tenderá à distribuição normal, 
sendo o ponto médio da distribuição – a média das médias de todas as amostras que compõem essa 
distribuição – igual à média populacional (µ). Duas médias aleatórias – pontos A e B – são destacadas com 
seus respectivos intervalos de confiança de 95% demarcados. Note que a média populacional 
(centro da distribuição) está compreendida dentro dos limites do intervalo de confiança da média destacada pelo 
ponto A, mas não está compreendida dentro dos limites do intervalo de confiança da média destacada pelo ponto B
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5.3 Probabilidade
As conclusões estatísticas envolvem noções de probabilidade, tal como os meteorologistas indicam 
que há chance de chover ao longo da semana. As condições podem ser adequadas para a previsão 
de que choverá, no entanto, a chuva não é garantida. A probabilidade pode ser explicada em função do 
número de eventos específicos para um dado resultado em função do total de eventos possíveis.
( ) número de vezes que um evento A pode ocorrerp A
número total de eventos possíveis
=
Sendo:
p = probabilidade
A = um evento específico
Moedas geralmente são usadas como exemplos simples para ensinar noções de probabilidade. Uma 
moeda possui duas faces – cara e coroa –, que são mutuamente exclusivas, ao jogar uma moeda não 
é possível obter cara e coroa simultaneamente. Assim, qual seria a chance de obter cara ao jogar uma 
moeda? Tendo em vista apenas dois resultados possíveis, observa‑se que:
( ) 1p cara ou 0,50 ou 50%
2
=
A probabilidade pode ser reportada como uma fração; nesse caso, há uma chance em duas de 
uma moeda dar cara. É possível, ainda, reportar na forma decimal, afirmando que a probabilidade 
de uma moeda dar cara é 0,50. Multiplicando‑se o decimal por 100, a probabilidade pode ser 
expressa em porcentagem, e alguém poderia afirmar que, ao jogar uma moeda, há uma chance de 
50% de obter cara.
Se lançássemos um dado, qual seria a chance de obtermos um número quatro na face voltada para 
cima? Assumindo que um dado possui seis faces, e todas têm a mesma chance de serem obtidas em um 
lançamento, para obter o número quatro (evento específico), devemos dividir o número de vezes que 
esse resultado pode ocorrer pelo total de eventos possíveis (seis faces):
( ) 1p quatro ou 0,1667 ou1 6,67%
6
=
E se resolvêssemos tirar aleatoriamente uma carta em um baralho, qual seria a chance de ser um ás 
de copas? Existe apenas um evento possível em um total de 52 possibilidades, logo:
( ) 1p ás de copas ou 0,0192 ou1 ,92%
52
=
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E qual seria a chance de tirarmos um ás qualquer? Como existem quatro ases em 52 cartas:
( ) 4p ás ou 0,0769 ou 7,69%
52
=
Vejamos agora como se comportam eventos independentes. Ao jogar duas moedas, simultaneamente, 
qual a chance de obter duas caras? Ao assumir que os eventos são independentes, entende‑se que o 
resultado de uma moeda não impacta no resultado da outra moeda, ou seja, obter cara ou coroa na 
primeira moeda não exercerá efeito sobre o resultado da segunda moeda.
Existem quatro cenários possíveis para o lançamento de duas moedas:
• cara na primeira e cara na segunda;
• cara na primeira e coroa na segunda;
• coroa na primeira e cara na segunda;
• coroa na primeira e coroa na segunda.
Logo:
( ) 1p cara, cara ou 0,25 ou 25,00%
4
=
É possível obter o mesmo resultado multiplicando a probabilidade de um evento específico acontecer 
pela probabilidade do outro evento específico também ocorrer: a chance de obter cara em uma moeda 
é de 
1
2
, e a chance de obter cara na outra moeda também é de 
1
2
. Assim:
( ) 1 1 1p cara, cara ou 0,25 ou 25,00%
2 2 4
= × =
Se lançássemos dois dados, qual seria a chance de obtermos uma soma igual a sete nas faces voltadas 
para cima?
Para que seja obtida uma soma igual a sete, vejamos os cenários possíveis no lançamento de dois dados:
• um no primeiro e seis no segundo;
• dois no primeiro e cinco no segundo;
• três no primeiro e quatro no segundo;
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• quatro no primeiro e três no segundo;
• cinco no primeiro e dois no segundo;
• seis no primeiro e um no segundo.
Havendo seis possibilidades de resultados no primeiro dado e outras seis possibilidades no segundo 
dado, temos um total de 36 resultados possíveis, logo:
( ) 6 1p soma sete ou 0,1667 ou1 6,67%
36 6
= =
Vejamos agora como se comportam eventos relacionados. Uma urna contém três bolas brancas e 
três bolas pretas. Suponha que sejam sorteadas duas bolas ao acaso, sem reposição. Isso significa que, ao 
extrairmos a primeira bola, observamos sua cor e não a devolvemos à urna. O total de bolas disponíveis 
na urna reduziuem uma unidade após a extração da primeira, e isso terá impacto sobre o número de 
eventos possíveis. Nesse exemplo, qual seria a chance de obter duas bolas pretas?
Existem três bolas pretas em um total de seis bolas na urna, logo, a chance de a primeira bola sorteada 
ser preta é de 
3 1
6 2
= ; para que a segunda bola também seja preta, devemos atentar que restaram apenas 
duas bolas pretas em um total de cinco, ou seja, resultando em uma chance de 
2
5
. Assim:
( ) 1 2 2 1p preta, preta ou 0,20 ou 20,00%
2 5 10 5
= × = =
Se a probabilidade de um evento for igual a 1,00 – ou expressa em porcentagem (100%) –, isso 
significa que determinado resultado é uma certeza. Nenhum evento possível pode possuir uma 
probabilidade maior que 1,00; e a soma das probabilidades de todos os eventos possíveis será sempre 
igual a 1,00. De forma inversa, é possível concluir que a probabilidade de um evento ocorrer nunca 
poderá ser menor que zero (0%) – uma probabilidade zero indica que um resultado não pode ocorrer. 
Assim, verifica‑se que:
( )0,00 p A 1,00≤ ≤
Noções de probabilidade são muito importantes quando trabalhamos com a curva normal. Por exemplo, 
se uma variável apresentar perfil de distribuição normal e um caso for selecionado aleatoriamente a 
partir da população, qual a chance desse caso cair dentro de um determinado intervalo da curva (por 
exemplo, entre ‑1 e +1 desvios padrões a partir da média populacional)? Como vimos na figura 23, a 
área sob uma curva normal compreendida entre ‑1 e +1 desvios padrões a partir da média corresponde 
a aproximadamente 68,27% do total da curva.
Os estatísticos usam probabilidade para avaliar se um determinado resultado ou evento será comum 
ou raro. Por comum, deduz‑se que certo resultado ocorra frequentemente, ou seja, ocorrerá em alguma 
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região próxima ao centro de uma distribuição normal. Tipicamente, algo que tenha 95% de chance de 
ocorrer é considerado comum. Um resultado raro, por outro lado, é aquele que tem uma chance 
pequena de ocorrer, ou seja, estará mais distante do centro da distribuição, em alguma de suas caudas (à 
esquerda ou à direita). Usualmente, os estatísticos consideram um evento raro aquele que tenha menos 
de 5% de chance de ocorrer. Escrito em termos de probabilidade, se p < 0,05, em geral, esse evento é 
considerado raro.
Considerando que uma variável numérica qualquer assuma um perfil de distribuição normal na 
população, qual a probabilidade de um evento aleatório cair acima de dois desvios padrões da média?
média z
C
Figura 28 – Esquematização de área sob a curva normal à direita de um z escore. 
Os valores de área sob a curva à direita de um z escore (representada pela 
coluna C na tabela 21) podem ser consultados numa tabela de z escores
Ao consultarmos uma tabela de z escores (Apêndice A), veremos que, para um z escore igual a 2,00, a 
área à direita da curva (coluna C) corresponde a 2,28% do total da curva. Logo, a chance de um evento 
aleatório cair acima de dois desvios padrões da média é considerada rara, com p = 0,0228.
6 TESTES DE HIPÓTESES PARA UMA E DUAS AMOSTRAS
6.1 Introdução aos testes de hipóteses
Na definição de inferência estatística, vimos que as informações obtidas em uma amostra podem ser 
utilizadas para obter uma conclusão geral acerca da população. A transição entre a estatística descritiva 
e a estatística inferencial começa com a lógica que os estatísticos utilizam para tomada de decisão, um 
processo chamado testes de hipóteses.
As etapas de um teste de hipóteses se assemelham ao preparo de um bolo. Antes de colocar a massa 
para assar, você precisa obter os ingredientes, misturá‑los na ordem adequada, pré‑aquecer o forno etc. 
Da mesma forma, existe uma ordem nas etapas para a condução de um teste de hipóteses.
Uma hipótese é uma predição a partir de uma teoria, ou seja, uma explicação proposta para os fatos 
observados. Por exemplo, um dia, a observação de que pessoas que fumavam desenvolviam câncer de 
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pulmão com frequência mais elevada do que não fumantes levou à hipótese de que fumar causaria 
câncer de pulmão (hoje essa hipótese é considerada fato).
Vejamos dez conceitos importantes acerca de testes de hipóteses:
I – Uma hipótese é uma predição a partir da população, não da amostra. Isso porque um pesquisador 
deseja estender sua conclusão para o todo e não apenas para a amostra específica à qual tem acesso.
II – Trabalha‑se com o modelo de duas hipóteses – uma hipótese nula, H0, e outra, chamada 
hipótese alternativa, Ha.
III – As duas hipóteses precisam contemplar, juntas, todos os resultados possíveis – se alguém formulasse 
duas hipóteses dizendo que (1) “todas as flores do mundo são vermelhas” e (2) “todas as flores do mundo 
são brancas”, essas duas hipóteses não contemplariam todos os resultados possíveis, pois também existem 
flores de outras cores. Contudo, se alguém dissesse que (1) “todas as flores são brancas” e (2) “nem todas 
as flores são brancas”, então as duas hipóteses cobririam todos os eventos possíveis.
IV – As duas hipóteses precisam ser mutuamente exclusivas, o que significa que apenas uma hipótese 
pode ser correta em um dado momento.
V – A hipótese nula sempre deverá afirmar que a variável independente não exerce efeito sobre a 
variável dependente. Por exemplo, se um pesquisador está avaliando o efeito de um dado tratamento 
para curar uma doença, a hipótese nula deverá afirmar que aquele tratamento não exerce efeito de cura. 
Em outras palavras, esse tratamento teria impacto zero (nulo) sobre a cura.
VI – A hipótese alternativa é aquela que os pesquisadores acreditam estar certa, pois ela afirma que 
a variável independente exerce certo efeito sobre a variável dependente. Para o exemplo do parágrafo 
anterior, seria dito que o tratamento exerce algum efeito de cura. Note que a hipótese alternativa não 
estabelece como será esse efeito, mas seguramente será diferente de zero.
VII – Uma hipótese nula, por ser uma hipótese negativa, não pode ser provada. Suponha que um 
adulto deseje provar para uma criança que não existem monstros embaixo da cama. Não importa 
quantas evidências ele ofereça, a criança sempre contra‑argumentará dizendo que o adulto não olhou 
direito ou que os monstros ouviram seus passos e se esconderam. Uma negação não pode ser provada.
VIII – Entretanto, uma negação pode ser refutada/rejeitada – basta apenas um exemplo. Se uma 
criança conseguir capturar um monstro embaixo da cama, um adulto não poderá mais afirmar que não 
existem monstros embaixo da cama. Se um experimento não se der conforme postula a hipótese nula, 
um pesquisador a rejeitará e, então, poderá aceitar a hipótese alternativa.
IX – Por serem mutuamente exclusivas, caso a hipótese nula seja rejeitada, o pesquisador aceitará 
a hipótese alternativa. Como um pesquisador geralmente acredita que a hipótese alternativa seja 
verdadeira, o objetivo de um estudo quase sempre é rejeitar a hipótese nula.
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Unidade II
X – Entretanto, se um pesquisador falhar em refutar a hipótese nula, não se pode afirmar que a 
hipótese nula seja verdadeira. Lembre‑se de que uma negação não pode ser provada. O melhor que o 
pesquisador poderá afirmar é que ele não obteve evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula. 
Em analogia a um veredito jurídico, dizer que não há evidências que permitam refutar a hipótese 
nula seria como declarar que o réu não é culpado; não ser culpado não quer dizer que o réu seja 
inocente, apenas não houve evidências suficientes para que o juiz ou júri o considerasse culpado.
O aprendizado para completar um teste de hipóteses é semelhante ao processo de aprender a 
cozinhar – o melhor a fazer é seguir uma receita. Vejamos umareceita de seis passos para condução de 
um teste de hipóteses:
I – Escolher o teste estatístico adequado.
II – Verificar os pressupostos (ou pré‑requisitos) do teste estatístico escolhido.
III – Listar as hipóteses nula e alternativa.
IV – Encontrar o valor crítico da estatística que determine quando rejeitar a hipótese nula.
V – Calcular o valor do teste estatístico.
VI – Interpretar os resultados e reportar, por extenso, o que eles indicam.
A primeira etapa consiste na escolha do teste estatístico adequado, pois existem centenas de testes 
disponíveis. A escolha correta dependerá de alguns fatores, tais como a pergunta de pesquisa, o tipo de estudo 
a ser realizado, a escala de medição dos dados, a quantidade e o tipo de variáveis envolvidas na pergunta.
Todos os testes estatísticos possuem pressupostos, condições que precisam ser atendidas antes que o 
teste seja efetuado. Se os pressupostos não forem atendidos, os pesquisadores não poderão ter certeza 
se os resultados do teste realmente são válidos. Existem dois tipos de pressupostos: robustos e não 
robustos. Um pressuposto não robusto precisa ser atendido para dar prosseguimento ao teste; a violação 
de um pré‑requisito não robusto indica que o pesquisador deverá parar e reavaliar a escolha do teste 
em questão. Um pressuposto robusto poderá ser violado até certo grau, de forma que o teste poderá ser 
concluído e interpretado.
Imagine um indivíduo cujo sistema imune esteja abalado (não robusto), tal como um indivíduo em 
tratamento quimioterápico ou à base de medicamentos imunossupressores, para que não haja rejeição 
de um órgão transplantado. Podemos imaginar que o funcionamento adequado do sistema imune é 
um pressuposto do nosso estado de saúde. Esse indivíduo, cuja imunidade está violada, estará mais 
propenso a contrair uma infecção, como gripe, caso esteja em um ambiente com certa aglomeração de 
pessoas e alguém contaminado espirre no ambiente.
Agora, uma pessoa que esteja com seu sistema imune funcional (robusto) será capaz de lidar com 
esse agente infeccioso e, de tal forma, permanecerá saudável. Entretanto, ainda assim, essa pessoa 
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poderá contrair a doença caso a exposição ao patógeno se dê em grande quantidade ou por uma via 
mais direta – digamos que, em vez de estar em um ambiente em que alguém simplesmente espirrou, o 
aerossol formado pelas gotículas de saliva atingiram em cheio o rosto dessa pessoa ou ela compartilhou 
sua escova de dentes com alguém gripado. Mesmo que um pressuposto seja robusto, ele poderá ser 
violado a depender das condições.
As hipóteses podem ser listadas para testes bicaudais (bilaterais ou não direcionais) ou unicaudais 
(unilaterais ou direcionais). Um teste de hipóteses bicaudal não indica se a variável independente exerce 
um efeito positivo ou negativo sobre a variável dependente, apenas indica que há algum impacto. 
Em geral, testes bilaterais são muito mais empregados do que testes unilaterais. Quando um pesquisador 
estabelece, a priori, uma direção para o impacto da variável independente sobre a variável dependente 
(se levará a um resultado maior que ou menor que), emprega‑se um teste de hipóteses unicaudal. 
A vantagem deste sobre o outro é que a rejeição da hipótese nula se torna mais fácil, facilitando o aceite 
da hipótese alternativa.
Para a tomada de decisão, é importante estabelecer um valor crítico – que deve ser alcançado 
ou excedido para que se possa rejeitar a hipótese nula – da estatística adotada. Qual será esse valor 
crítico dependerá de uma série de fatores, tais como quão disposto o pesquisador está em assumir uma 
conclusão errada (em termos probabilísticos) e quantos casos existem em sua amostra.
O cálculo da medida de afastamento da hipótese nula, ou estatística do teste, é a etapa mais direta 
das seis apresentadas: basta adicionar os valores certos a uma equação e apertar os botões corretos da 
calculadora na ordem certa.
A interpretação dos resultados é a razão pela qual os testes estatísticos são realizados. Na última 
etapa, reportam‑se os achados de forma direta. Alguns aspectos devem constar na descrição dos 
resultados, tais como:
• uma recapitulação das causas pelas quais o estudo foi realizado;
• a apresentação de medidas‑resumo importantes, como média e desvio padrão;
• uma explicação do que esses resultados significam; e
• possíveis sugestões para pesquisas futuras.
6.2 Teste z para uma amostra
Agora que a lógica geral por trás de um teste de hipóteses foi apresentada, vejamos as etapas 
específicas para a condução de um teste z para uma amostra.
O teste z para uma amostra é utilizado para avaliar se a média de uma amostra (M) difere da média 
populacional (µ) quando o desvio padrão populacional (σ) for conhecido.
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Suponhamos uma máquina automática de encher pacotes de café os enche segundo uma distribuição 
normal, com média ajustável e variância igual 400 g2 (desvio padrão populacional = 400 = 20 g). 
O valor da média ajustável pode ser fixado em um mostrador, porém a sua localização está em uma 
posição pouco acessível. A máquina foi regulada para uma média = 500 g (média populacional). 
Desejamos, de meia em meia hora, colher uma amostra de 16 pacotes e verificar se a produção está sob 
controle, isto é, se a média realmente é igual a 500 g ou não. Caso a média amostral em uma dessas 
coletas seja igual a 492 g, seria necessário parar a produção para verificar o mostrador?
Os pressupostos do teste z para uma amostra são os seguintes:
• Amostras aleatórias: a amostra deve ser obtida aleatoriamente a partir da população. Este 
pré‑requisito é robusto, logo, mesmo que a coleta de dados não se dê de forma randômica, 
ainda poderemos prosseguir com o teste. Deve‑se, contudo, permanecer atento à conclusão do 
teste, pois, ao estender os resultados obtidos na amostra para a população, deve‑se lembrar das 
características do processo de amostragem.
• Independência de observações: o segundo pressuposto nos diz que os casos registrados em uma amostra 
são independentes, ou seja, não são influenciados por outros casos na mesma amostra. Este pré‑requisito 
não é robusto, logo sua violação implica cuidado, pois não devemos prosseguir com o teste escolhido.
• Normalidade: o terceiro pressuposto indica que a variável dependente deverá apresentar distribuição 
normal na população. Este pré‑requisito também é robusto, logo, sua violação não implica 
necessariamente na anulação do teste, desde que o desvio à normalidade não seja tão grande.
Em nosso exemplo, observamos que amostras de 16 pacotes são coletadas aleatoriamente da linha de 
produção, a cada meia hora. Os eventos são independentes, pois o conteúdo de café em um pacote não 
influencia no resultado do outro pacote. Conforme o enunciado, sabemos que a máquina automática 
preenche os pacotes segundo uma distribuição normal. Logo, todos os pressupostos foram atendidos e 
podemos prosseguir para a próxima etapa.
O próximo passo consiste em listar as hipóteses nula e alternativa. Devemos iniciar pela determinação 
da hipótese nula, que deve ser sempre uma hipótese negativa. Em seguida, podemos estabelecer a 
hipótese alternativa, mutuamente exclusiva à hipótese nula, dizendo seu contrário.
Como o objetivo do experimento proposto é determinar se a média amostral em uma das coletas 
pode ser considerada diferente da média populacional (500 g, informação que vai estampada no rótulo 
das embalagens) e a hipótese nula deve ser sempre uma hipótese negativa, assumiremos que a média da 
amostra não será diferente da média populacional ou, em outras palavras, que essas médias são iguais:
H
0: média amostral (M) = média populacional (µ)
Já a hipótese alternativa deverá ser mutuamente exclusiva à hipótese nula. No caso, assumindo 
um teste bicaudal (pois não nosimporta se a média da amostra será maior ou menor que a média 
populacional, mas sim se será diferente):
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Ha: média amostral (M) ≠ média populacional (µ)
A quarta etapa consiste em encontrar o valor crítico da estatística, que determina quando rejeitar 
a hipótese nula. Em qualquer teste de hipóteses, até que se prove o contrário, devemos sempre assumir 
que a hipótese nula seja verdadeira. Graças ao teorema central do limite, sabemos que a distribuição 
amostral das médias terá como centro a média populacional e essa distribuição será normal.
Sabemos que a distribuição normal possui características importantes, especialmente quanto à 
área sob a curva em função de quantos desvios padrões nos deslocamos à esquerda ou à direita do 
centro (veja a figura no Apêndice A). Logo, podemos dividir essa área sob a curva em duas partes: 
uma região em que os eventos são frequentes e outra em que são raros. Vimos que, quanto mais 
próximo do centro, maior a frequência de observações, logo mais comuns serão os eventos. Quanto 
mais nos distanciamos do centro, mais os eventos passam a ser raros. Assim, duas constatações 
podem ser feitas:
• Se a média de uma amostra cair dentro da área em que os eventos são frequentes, não haverá 
razão para rejeitarmos a hipótese nula. A média da amostra será um valor considerado comum, o 
que seria esperado se a hipótese nula fosse verdadeira.
• Se a média de uma amostra cair dentro da área em que os eventos são raros (região crítica ou área 
de rejeição), então estamos diante da ocorrência de um evento não frequente, incomum. Nessa 
situação, conforme a lógica dos testes de hipóteses, a hipótese nula deverá ser rejeitada e será 
aceita a hipótese alternativa.
A divisória entre a área em que os eventos são frequentes e aquela em que são raros é conhecida como 
valor crítico do teste. O valor crítico de z (zcrit) dependerá de quão pequena o pesquisador considerar a 
área de rejeição. Por convenção, assume‑se que um evento comum é aquele que ocorre 95% das vezes, 
logo, se algo ocorre apenas 5% das vezes ou menos, será considerado raro. Esses valores são arbitrários 
e deverão ser estabelecidos pelo pesquisador, a priori.
Sendo os 95% da área mais próxima ao centro considerados a região em que os eventos são 
frequentes, teremos uma área de rejeição de 5%, que corresponderá a 2,5% da área dispostos na cauda 
à esquerda e a 2,5% dispostos na cauda à direita. Por essa razão, um teste é considerado bicaudal – a 
área crítica se localiza em ambas as laterais (caudas) da distribuição de frequências. Um teste unicaudal 
assumirá uma área crítica em apenas uma das laterais da distribuição.
 Lembrete
Vimos que os valores de z escores de ±1,96 limitam os 95% centrais 
de uma distribuição normal padrão. Agora, eles serão usados como valores 
críticos para o teste z para uma amostra. Outros valores críticos de z podem 
ser obtidos conforme necessário no Apêndice A.
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Unidade II
Se um valor de z escore calculado (na próxima etapa) for menor ou igual ao valor de ‑zcrit ou maior 
ou igual ao valor de +zcrit, então a hipótese nula de um teste bicaudal deverá ser rejeitada. Escrito de 
forma matemática, se zcalc ≤ ‑zcrit ou se zcalc ≥ +zcrit, rejeita‑se H0 e aceita‑se Ha. Já se for maior que o 
valor de ‑zcrit e menor que o valor de +zcrit, então não haverá evidências para rejeitar a hipótese nula. 
Escrito de forma matemática, se ‑zcrit < zcalc < +zcrit, aceita‑se H0.
O tamanho da região crítica, expresso em termos de probabilidade, é conhecido como nível de 
significância (α) e consiste na probabilidade de um resultado cair na região crítica e a hipótese nula ser 
rejeitada, mesmo quando a hipótese nula for verdadeira. Os valores críticos que dividem a área em que 
os eventos são mais frequentes da área em que são mais raros dependem se o pesquisador realizará um 
teste unicaudal ou bicaudal e qual será o nível de significância (α) adotado.
Para o nosso exemplo, assumindo um teste de hipóteses bicaudal e um nível de significância 
(α) = 0,05 ou 5%, quais seriam os valores críticos de z? Conforme mencionado anteriormente, os 
valores de zcrit seriam iguais a ±1,96 e podem ser consultados no Apêndice A deste livro‑texto.
Devemos agora prosseguir com o cálculo da estatística do teste. A estatística z pode ser calculada 
conforme a seguinte equação:
M
M
z
−µ
=
σ
Sendo:
z = um valor de z escore
M = a média amostral
µ = a média populacional
σM = o erro padrão da média
Para o nosso exemplo, temos que:
M = 492 g
µ = 500 g
σM = 
20 20
4N 16
σ
= = = 5 g
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Aplicando‑os na equação:
M
M
z
−µ
=
σ
492 500 8
z 1,6
5 5
− −
= = = −
Para interpretar os resultados, vejamos se a hipótese nula foi rejeitada. Conforme destacado 
anteriormente, se zcalc ≤ ‑zcrit ou se zcalc ≥ +zcrit, rejeita‑se H0 e se aceita Ha, caso seja empregado um 
teste bicaudal.
Para o nosso exemplo, temos que zcalc = ‑1,6. Para um α = 0,05 em um teste z bicaudal, zcrit = ±1,96. Assim:
‑zcrit < zcalc < +zcrit
‑1,96 < ‑1,6 < +1,96
Portanto, aceita‑se H0 como verdadeira, pois os dados não forneceram evidências suficientes para 
rejeitá‑la. Conclui‑se que a média amostral de 492 g de café não pôde ser considerada significativamente 
diferente da média populacional de 500 g.
Estabelecida a conclusão, além da interpretação, convém reportar algumas informações adicionais, 
como o valor do teste estatístico utilizado, o valor do nível de significância (α) adotado e se a hipótese 
nula foi ou não rejeitada, indicando‑se a chance de erro (p ou p‑valor) obtida.
Quando se realiza um teste de hipóteses, o p‑valor pode ser utilizado para determinar a significância 
dos seus achados. A chance de erro é a probabilidade de obter o valor observado (estatística do teste, 
no caso, zcal). É importante ter a noção de que, quanto menor o p‑valor (p ≤ α), maior será a evidência 
contra a hipótese nula, portanto, seria mais prudente rejeitá‑la (se p = 0,01 e α = 0,05, a probabilidade 
de a hipótese nula ser verdadeira será de 1%, menos do que o nível de significância adotado). Um valor 
alto da chance de erro (p > α) indica uma fraca evidência contra a hipótese nula, assim, seria mais 
prudente aceitá‑la como verdadeira (se p = 0,10 e α = 0,05, a probabilidade de a hipótese nula ser 
verdadeira será de 10%, mais do que o nível de significância adotado).
 Observação
Se p > α, os dados não fornecem evidências para rejeitar H0, logo 
aceitamos H0 como verdadeira; se p ≤ α, os dados fornecem evidências 
para rejeitar H0, logo, aceitamos Ha.
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Unidade II
Associando o valor da estatística do teste (zcal, no caso) à chance de erro (p), nota‑se uma relação 
importante em um teste bicaudal:
• se ‑zcrit < zcalc < +zcrit, ou, dito em termos mais diretos, |zcalc| < |zcrit|, p > α, logo, não existem 
evidências para rejeitar H0, devendo aceitá‑la como verdadeira;
• se zcalc ≤ ‑zcrit ou se zcalc ≥ +zcrit, ou melhor, se |zcalc| ≥ |zcrit|, p ≤ α, logo, os dados fornecem evidências 
para rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Nessa avaliação, uma amostra de 16 pacotes de café foi aleatoriamente selecionada a partir da linha 
de produção e suas massas foram avaliadas, a fim de verificar se a regulagem da empacotadora estava 
em acordo com as especificações preestabelecidas.
Sendo a média populacional µ = 500 g e o desvio padrão populacional σ = 20 g, um teste z 
para uma amostra bilateral foi empregado, visando avaliar se a diferença entre a média amostral 
e a média populacional seria considerada significativamente distinta a um nível de significância 
α = 0,05. A média amostral obtidaM = 492 g não pôde ser considerada diferente da média 
populacional (z(n = 16) = – 1,6, p = 0,1096). Conclui‑se que não é necessário interromper a produção, 
visto que o equipamento não gerou uma amostra com média diferente das especificações.
Note que o valor da chance de erro (p), em testes bicaudais, corresponde à soma da área sob a curva 
normal à esquerda e à direita do módulo do valor de zcalc (coluna C do Apêndice A – para z = 1,6, valor 
da coluna C = 5,48%; dobrando‑se esse valor, obtemos p = 0,1096).
Veja que:
|zcalc| < |zcrit|, logo p > α
|‑1,6| < |1,96|, logo p > 0,05
Se p > α (p = 0,1096), aceita‑se H0 como verdadeira.
Exemplo de aplicação
Exemplo 20
O departamento de saúde de uma cidade deseja determinar se a média de coliformes fecais 
por unidade de volume de água em uma lagoa está dentro dos níveis considerados saudáveis 
(µ = 200 unidades formadoras de colônia/unidade de volume, σ = 20 unidades formadoras de 
colônia/unidade de volume). Considere que foram coletadas, aleatoriamente, 10 amostras de água 
da lagoa, e se obteve os seguintes valores de unidades formadoras de colônia (UFC):
 175 190 215 198 184
 207 210 193 196 180
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Com base nesses dados, considerando α = 0,01 e assumindo que a distribuição respeita a normalidade, 
compare a média amostral com a média populacional.
Resolução
Desse modo, sendo o desvio padrão populacional conhecido, podemos empregar o teste z para uma 
amostra. Em relação aos pressupostos do teste, observamos que 10 amostras de água foram coletadas 
aleatoriamente a partir de uma lagoa, com cada coleta independente da outra, e o enunciado indica 
que a distribuição respeita a normalidade. Sem haver violação dos pressupostos, podemos proceder 
com o teste.
Quanto às hipóteses, observe que o desejo é avaliar se a média de coliformes fecais por unidade 
de volume de água está dentro dos níveis considerados saudáveis (µ = 200 unidades formadoras de 
colônia/unidade de volume). Se a média for menor ou igual a 200 unidades formadoras de colônia/unidade 
de volume, estamos dentro dos níveis considerados saudáveis; porém, se esse valor estiver acima de 200, 
os níveis serão considerados impróprios para o consumo humano. Assim, o delineamento do objetivo 
sugere um teste de hipóteses unicaudal com as seguintes hipóteses:
H0: média amostral (M) ≤ média populacional (µ)
Ha: média amostral (M) > média populacional (µ)
Segundo o enunciado, o nível de significância adotado é α = 0,01. Sendo o teste unilateral à direita, 
deseja‑se saber o valor crítico de z que corresponda a uma área crítica de 1% à direita. Conforme o 
Apêndice A, em sua coluna C, observamos que para uma área de 1% à direita, zcrit = 2,33.
Podemos, enfim, prosseguir com a estatística do teste. Com base nos valores apresentados, 
temos que:
M = 194,8 unidades formadoras de colônia/unidade de volume
µ = 200 unidades formadoras de colônia/unidade de volume
σM = 
20 20
3,1623N 10
σ
= = = 6,3245 unidades formadoras de colônia/unidade de volume
Aplicando‑os na equação:
M
M
z
−µ
=
σ
194,8 200 5,2
z 0,8222 0,82
6,3245 6,3245
− −
= = = − ≅−
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Temos que zcalc = ‑0,82. Para um α = 0,01 em um teste z unicaudal, zcrit = 2,33. Assim:
zcalc < zcrit
‑0,82 < 2,33
Se zcalc < zcrit, logo p > α; assim, os dados não fornecem evidências para rejeitar H0. Para estimar o 
valor de p, podemos recorrer ao Apêndice A e procurar pela área à direita de ‑0,82 (no caso, coluna A 
– veja figura no Apêndice). Nota‑se que a área à direita de z = ‑0,82 corresponde a 79,39% do total da 
curva, portanto, p‑valor = 0,7939.
O que esse valor nos indica? Que a média amostral de 194,8 unidades formadoras de colônia/unidade 
de volume tem 79,39% de chance de ser menor ou igual à média populacional de 200 unidades formadoras de 
colônia/unidade de volume. Como p > α, aceita‑se H0.
Resta‑nos, agora, reportar a conclusão final por extenso:
Nessa avaliação, uma amostra com 10 coletas de água foi realizada a partir de uma lagoa, e 
seus valores de unidades formadoras de colônia/unidade de volume foram determinados para 
verificar se os níveis de coliformes fecais estavam dentro dos limites considerados saudáveis. Sendo 
a média populacional µ = 200 unidades formadoras de colônia/unidade de volume e o desvio padrão 
populacional σ = 20 unidades formadoras de colônia/unidade de volume, um teste z para uma amostra 
unilateral foi empregado, visando avaliar se a média amostral seria significativamente maior que a 
média populacional, a um nível de significância α = 0,01. A média amostral obtida M = 194,8 unidades 
formadoras de colônia/unidade de volume não pôde ser considerada maior que a média populacional 
(z(n = 10) = ‑0,82, p = 0,7939). Conclui‑se que o nível de coliformes fecais por unidade de volume de água 
na lagoa está dentro dos níveis considerados saudáveis.
Todo teste de hipóteses tem sua conclusão sujeita a erro. O erro em afirmar que existe 
uma diferença quando ela efetivamente não existe – ou seja, rejeitar H0 quando se deveria 
aceitá‑la – é chamado de erro do tipo I e tem uma probabilidade de ocorrer igual ao α adotado. 
No entanto, também é possível cometer o erro de aceitar H0 quando não se deveria, isto é, 
afirmar uma igualdade quando o correto seria afirmar uma diferença. Chamamos esse erro 
de erro do tipo II ou β, cuja probabilidade, em geral, é difícil de estimar, pois é necessário 
conhecer o valor do parâmetro na população amostrada. Como a probabilidade complementar 
desse erro (1 – β) representa a probabilidade em afirmar corretamente que existe uma diferença 
quando ela realmente existe, diz‑se que 1 – β é o poder do teste estatístico em detectar uma 
diferença real. Não serão abordados cálculos de β e poder do teste, mas esses conceitos podem 
ser utilizados para estimar o tamanho amostral necessário para atingir determinado objetivo 
ou para determinar, após a realização de uma pesquisa, que poder a amostra estudada tem em 
detectar uma diferença estipulada pelo pesquisador.
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
 Saiba mais
Para mais informações sobre erros do tipo I e do tipo II, consulte:
HOEL, P. G. Introduction to Mathematical Statistics. 3 ed. New York: 
John Wiley & Sons Inc, 1966.
6.3 Teste t para uma amostra
O teste t para uma amostra é utilizado para comparar a média de uma amostra a um valor específico, 
como a média populacional. Em suma, é equivalente ao teste z para uma amostra, entretanto, é mais 
utilizado, pois não demanda o conhecimento do desvio padrão populacional (σ). Em vez disso, o teste t 
para uma amostra emprega o desvio padrão amostral (s).
Suponhamos que, durante uma semana, 13 bebês nasceram em determinada maternidade. Parte do 
procedimento padrão consiste em medir o comprimento dos recém‑nascidos. Com base nos dados a 
seguir, dispostos em cm, a um nível de significância de 5%, os dados fornecem evidências para afirmar 
que o comprimento médio dessa amostra é diferente de 50 cm?
49 50 45 51 47 49 48 54 53 55 45 50 48
A primeira etapa de um teste de hipóteses é a seleção do teste adequado. Como o objetivo é comparar 
uma média amostral a certo valor (como a média populacional), devemos considerar o teste z para uma 
amostra ou o teste t para uma amostra. Entretanto, por não dispormos do desvio padrão populacional, 
nesse caso, devemos escolher o teste t para uma amostra.
Os pressupostos do teste t para uma amostra são os mesmos do teste z para uma amostra: 
amostras devem ser aleatórias, deve haver independência de observações e os dados devem apresentar 
distribuição normal.
Assim, os 13 bebês da suposição anterior, que compõem a amostra, representam uma amostra 
aleatória entre os nascimentosregistrados na maternidade. Há independência entre as observações, 
pois não há informações que indiquem que os casos exerçam influência uns sobre os outros. A variável 
dependente (comprimento) apresenta perfil de distribuição normal na população, portanto, assumiremos 
que os dados seguem esse perfil.
 Observação
Existem testes de hipóteses chamados testes de normalidade, que visam 
avaliar se os valores contidos em determinada amostra apresentam perfil 
semelhante à curva normal. Alguns exemplos são os testes de Shapiro‑Wilk, 
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d’Agostino‑Pearson, Anderson‑Darling e Kolgomorov‑Smirnov. Nesses 
testes, temos H0: distribuição dos dados = distribuição normal; Ha: 
distribuição dos dados ≠ distribuição normal.
Para esse conjunto de dados, o teste de normalidade de Shapiro‑Wilk 
teve chance de erro p = 0,6842. Para um nível de significância α = 0,05, 
podemos concluir que p > α, portanto, se aceita H0 – os dados apresentam 
distribuição normal.
 Saiba mais
Para mais informações sobre os testes de normalidade, leia:
FÁVERO, L. P.; BELFIORE, P. Manual de análise de dados. Rio de Janeiro: 
Elsevier, 2017.
FIELD, A. Discovering statistics using IBM SPSS statistics. 4. ed. Thousand 
Oaks: Sage, 2013.
Na figura a seguir, a inspeção visual do box‑plot indica se tratar de um conjunto de dados relativamente 
simétrico, sem outliers. Ao lado, vemos um gráfico quantil‑quantil (Q‑Q plot), muito útil para ter uma ideia 
do perfil de distribuição de um conjunto de dados numéricos. Quanto mais os pontos se aproximarem da 
linha de tendência central, mais tenderão à normalidade. Note que nenhuma observação (cada ponto no 
Q‑Q plot) ultrapassou o limite de ±2,0 desvios padrões (eixo vertical) em função da média.
40 40 45 50 55 60
–2.0
–1.5
–1.0
–0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
45
50
55
60
Co
m
pr
im
en
to
 (c
m
)
Recém‑nascidosA) B) Valores observados
N
or
m
al
 e
sp
er
ad
a
Figura 29 – Box‑plot e Q‑Q plot da variável comprimento (cm) de uma amostra de recém‑nascidos (n = 13). 
O box‑plot indica se tratar de conjunto de dados relativamente simétrico, sem outliers (A). O Q‑Q plot indica 
que os dados do conjunto apresentam distribuição que tende à normalidade (pontos se aproximam da linha de 
tendência central), sendo que nenhuma observação ultrapassou o limite de ±2,0 desvio padrão em função da média (B)
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A próxima etapa consiste na descrição das hipóteses nula e alternativa. Antes de defini‑las, deve‑se 
estipular se estamos diante de um teste unicaudal ou bicaudal. Testes bicaudais são comumente 
empregados e são mais conservadores, no sentido de que tornam mais difícil a rejeição de H0. De tal 
forma, um teste bicaudal é a escolha padrão, em geral – devendo ser empregado quando um pesquisador 
deseja avaliar se existe alguma diferença entre a média amostral e o valor a ser comparado, para qualquer 
uma das direções.
Um teste unicaudal é utilizado quando um pesquisador já possui uma dada predição a partir da 
direção dos resultados antes da coleta de dados. Em outras palavras, deseja avaliar se a média amostral 
é maior que ou menor que determinado valor a ser comparado, ou seja, objetiva‑se apenas uma das 
laterais da distribuição.
Dada a hipótese anterior, uma vez que se deseja avaliar se o comprimento médio dessa amostra é 
diferente de 50 cm, pressupõe‑se o uso de um teste bicaudal. Assim, temos:
H0: média amostral = 50 cm
Ha: média amostral ≠ 50 cm
Em seguida, devemos estimar o valor crítico do teste. Lembre‑se que, ao utilizar um teste t, 
utilizaremos uma distribuição t. A interpretação do valor crítico é a mesma que vimos para o teste z 
para uma amostra, entretanto, para obter esse valor na tabela de valores críticos de t, devemos levar em 
conta as seguintes observações:
• O teste é unicaudal ou bicaudal?
• Qual é o nível de significância (α) adotado?
• Qual é o tamanho da amostra (n)?
Para os dados do nosso exemplo, temos que o teste em questão é bicaudal; segundo o enunciado, o 
nível de significância adotado é α = 0,05 ou 5% e; o tamanho da amostra é de 13 bebês.
Com base nesses valores, é possível recorrer a uma tabela t (Apêndice B) e cruzar os graus de liberdade 
(n – 1) com o nível de significância adotado.
Sendo GL = n – 1 = 12 e α bicaudal = 0,05, observamos que o valor crítico de t para essa estatística 
será igual a 2,179.
tcrit = 2,179
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Tabela 23 – Valores críticos de t (excerto do Apêndice B)
GL
A
α = 0,05 unicaudal
ou
α = 0,10 bicaudal
B
α = 0,025 unicaudal
ou
α = 0,05 bicaudal
C
α = 0,01 unicaudal
ou
α = 0,02 bicaudal
D
α = 0,005 unicaudal
ou
α = 0,01 bicaudal
1 6,314 12,706 31,821 63,657
2 2,920 4,303 6,965 9,925
3 2,353 3,182 4,541 5,841
4 2,132 2,776 3,747 4,604
5 2,015 2,571 3,365 4,032
6 1,943 2,447 3,143 3,707
7 1,895 2,365 2,998 3,499
8 1,860 2,306 2,896 3,355
9 1,833 2,262 2,821 3,250
10 1,812 2,228 2,764 3,169
11 1,796 2,201 2,718 3,106
12 1,782 2,179 2,681 3,055
Nota: a distribuição t varia conforme o grau de liberdade (GL). Como o nível de significância 
adotado no nosso exemplo é α = 0,05 bicaudal e o conjunto apresenta 12 graus de liberdade, 
temos que o valor crítico de t para este cálculo será de 2,179 (conforme destaque)
Para um teste bicaudal, a tomada de decisão se dará:
• se ‑tcrit < tcalc < +tcrit, não há evidências para rejeitar H0, devendo aceitá‑la como verdadeira;
• se tcalc ≤ ‑tcrit ou se tcalc ≥ +tcrit, há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Calcula‑se o valor da estatística t, conforme a equação a seguir:
M
M
t
s
−µ
=
Sendo:
t = o valor da estatística t
M = a média amostral
µ = a média populacional (ou valor de referência)
sM = a estimativa do erro padrão da média
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Com base nos 13 valores descritos no início de nossa suposição, podemos calcular a média e o desvio 
padrão amostrais:
Média M = 49,54 cm e desvio padrão s = 3,13 cm.
Em seguida, substituindo‑se, na equação do teste t para uma amostra, temos:
M = 49,54 cm
µ = 50 cm
sM = 
s 3,13 3,13
 
3,6056n 13
= = = 0,8681 cm
M
M
t
s
−µ
=
49,54 50 0,46
t 0,530
0,8681 0,8681
− −
= = ≅ −
Vamos agora à interpretação do resultado do teste. Em primeiro lugar, a hipótese nula foi rejeitada? 
Temos que tcalc = ‑0,530 e tcrit = 2,179. Como o teste é bicaudal, devemos observar que, se ‑tcrit < tcalc < +tcrit, 
não há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como verdadeira; já se tcalc ≤ ‑tcrit ou se tcalc ≥ +tcrit, 
há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Nesse caso, estamos diante da primeira situação, pois:
‑tcrit < tcalc < +tcrit
–2,179 < –0,530 < 2,179
Portanto, não há evidências para rejeitar H0 e devemos aceitá‑la como verdadeira.
Assim, quanto será a chance de erro (p)? Ela é maior ou menor que o nível de significância (α) adotado? 
A interpretação segue o mesmo raciocínio apresentado para o teste z para uma amostra. Como:
|tcalc| < |tcrit|, logo p > α
|‑0,530| < |2,179|, logo p > 0,05
Se p > 0,05, aceita‑se H0 como verdadeira. Mas qual será o valor exato da chance de erro (p)? 
Para obter o valor exato, teríamos duas abordagens: calcular a integral da área sob a curva além 
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do valor de tcalc (ambas as caudas) ou utilizar um software de análise (para o exemplo em questão, 
via software, p = 0,6042).
Ambas as opções demandam conhecimentos específicos que não serão abordados. Note que, 
independentemente de estar em posse do valor exato da chance de erro (p) ou não, nossa conclusão 
nãose altera: p > 0,05. Compare os Apêndices A e B e note como a nossa tabela t é reduzida se 
comparada à tabela z. Isso se deve ao fato de, nessa tabela t, apresentarmos apenas alguns valores 
de probabilidade (α – no topo das colunas), que, em geral, são necessários para obtenção dos 
valores críticos.
 Observação
Para um teste t bicaudal, temos que, se ‑tcrit < tcalc < +tcrit, ou, dito em termos 
mais diretos, |tcalc| < |tcrit|, p > α, logo, não existem evidências para rejeitar 
H0, devendo aceitá‑la como verdadeira; já se tcalc ≤ ‑tcrit ou se tcalc ≥ +tcrit, ou 
melhor, |tcalc| ≥ |tcrit|, p ≤ α, logo, os dados fornecem evidências para rejeitar H0, 
devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Uma vez interpretado o resultado, podemos prosseguir para sua descrição por extenso. Devemos 
destacar alguns elementos importantes na resposta, tais como:
I – o teste utilizado;
II – o número de elementos da amostra;
III – o valor calculado do teste estatístico acompanhado dos graus de liberdade;
IV – o nível de significância (α) adotado;
V – se H0 foi rejeitada ou não.
Assim, vejamos como concluiríamos nosso caso: uma amostra contendo 13 recém‑nascidos foi 
avaliada em uma maternidade, e um teste t para uma amostra bilateral foi empregado, visando avaliar se o 
comprimento médio amostral seria diferente de 50 cm, a um nível de significância de 5%. A média obtida 
M = 49,54 cm, com desvio padrão s = 3,13 cm, não pôde ser considerada diferente de 50 cm (t(12) = ‑0,530, 
p > 0,05). Conclui‑se que o comprimento médio desses bebês não foi diferente do valor esperado.
Exemplo de aplicação
Exemplo 21
Uma empresa diz que o volume médio de suas garrafas de refrigerante é de 1500 mL (1,5 L). Para 
que ela não corra o risco de sofrer punições do órgão fiscalizador, seu departamento de controle de 
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qualidade realiza testes frequentes com amostras retiradas da linha de produção. Sabendo‑se que a 
empresa só seria autuada caso as garrafas apresentassem volume inferior a 1500 mL, determine se 
a empresa corre esse risco por não cumprir a informação divulgada nas embalagens de seus produtos. 
Para seus cálculos, observe a amostra a seguir e adote um nível de significância α = 0,025.
Volumes medidos (mL)
 1508 1518 1492 1505 1515
 1498 1496 1505 1510 1507
Resolução
Assumindo que a distribuição amostral seja normal, a primeira etapa de um teste de hipóteses é 
a seleção do teste adequado. Como o objetivo é comparar uma média amostral a certo valor (como a 
média populacional), devemos considerar o teste z para uma amostra ou o teste t para uma amostra. 
Entretanto, por não dispormos do desvio padrão populacional, neste caso, devemos escolher o teste t 
para uma amostra.
As dez garrafas que compõem a amostra representam uma amostra aleatória retirada da linha de 
produção. Há independência entre as observações, pois não há informações que indiquem que os casos 
da amostra exerçam influência uns sobre os outros. A variável dependente (volume em mL) apresenta 
perfil de distribuição normal na população, conforme relatado no enunciado, portanto, assumiremos 
que os dados seguem esse perfil. Podemos inspecionar o box‑plot e o Q‑Q plot dos dados.
1485
1490
1495
1500
1505
1510
1515
1520
1485 1495 1505 1515 1525
–2.0
–1.5
–1.0
–0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Vo
lu
m
e 
(m
l)
Refrigerante
A) B)
Valores observados
N
or
m
al
 e
sp
er
ad
a
Figura 30 – Box‑plot e Q‑Q plot da variável volume (mL) de uma amostra de refrigerantes (n = 10). 
O box‑plot indica se tratar de conjunto de dados relativamente simétrico, sem outliers (A). O Q‑Q plot 
indica que os dados do conjunto apresentam distribuição que tende à normalidade (pontos se aproximam 
da linha de tendência central), sendo que nenhuma observação ultrapassou o limite de ±2,0 
desvios padrões em função da média (B)
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Quanto às hipóteses, observe que o desejo é avaliar se a média do volume amostral condiz com 
a informação do rótulo da embalagem (1500 mL). Sabendo que a empresa só seria autuada caso as 
garrafas apresentassem volume inferior a 1500 mL, o delineamento do objetivo sugere um teste de 
hipóteses unicaudal com as hipóteses de H0: média amostral ≥ valor de referência (1500 mL); Ha: média 
amostral < valor de referência (1500 mL).
Segundo o enunciado, o nível de significância adotado é α = 0,025. Sendo o teste unilateral à 
esquerda, deseja‑se saber um valor crítico de t que corresponda a uma área crítica de 2,5% à esquerda. 
Conforme a tabela anterior, em sua coluna B, observamos que, para uma área de 2,5% à esquerda, com 
9 graus de liberdade (n – 1 = 10 – 1 = 9), tcrit = ‑2,262 (negativo, pois está à esquerda).
Para um teste unilateral à esquerda, a tomada de decisão se dará de modo que, se tcalc > ‑tcrit, não 
há evidências para rejeitar H0, devendo aceitá‑la como verdadeira; já se tcalc ≤ ‑tcrit, há evidências para 
rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Para calcular o valor da estatística t a partir do conjunto de dados, podemos determinar a média 
amostral M = 1505,4 mL e o desvio padrão amostral s = 8,20 mL. Substituindo‑se, na equação:
M = 1505,4 mL
µ = 1500 mL
sM = 
s 8,20 8,20
 
3,1623n 10
= = = 2,593 mL
M
M
t
s
−µ
=
1505,4 1500 5,4
t 2,083
2,593 2,593
−
= = ≅
Vamos agora à interpretação do resultado do teste t para uma amostra. Em primeiro lugar, a hipótese 
nula foi rejeitada? Note que a média amostral foi maior que a média populacional, que nos dá um indício 
importante (pois a empresa só seria autuada se o volume médio dos refrigerantes estivesse abaixo da 
informação da embalagem).
Temos que tcalc = 2,083 e tcrit = ‑2,262. Como o teste é unicaudal à esquerda, observamos que:
tcalc > ‑tcrit
2,083 > ‑2,262
Portanto, não há evidências para rejeitar H0, e devemos aceitá‑la como verdadeira. Assim, quanto 
será a chance de erro (p)? Ela é maior ou menor que nível de significância (α) adotado?
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Para um teste t unilateral à esquerda, temos que, se tcalc > ‑tcrit, p > α; já se tcalc ≤ ‑tcrit, p ≤ α. Como:
tcalc > ‑tcrit, logo p > α
2,083 > ‑2,262, logo p > 0,025
Se p > 0,025, aceita‑se H0 como verdadeira. Como o teste em questão é unilateral à esquerda, para 
obter o valor exato da chance de erro (p), teríamos duas abordagens: calcular a integral da área sob a 
curva à esquerda do valor de tcalc ou utilizar um software de análise (para o exemplo em questão, via 
software, p = 0,9665). Note que, independentemente de estar em posse do valor exato da chance de erro 
(p) ou não, nossa conclusão não se altera: p > 0,025.
Resta‑nos, agora, reportar a conclusão final por extenso:
Uma amostra contendo 10 garrafas de refrigerante foi avaliada em uma fábrica, e um teste t para uma 
amostra unilateral foi empregado, visando avaliar se o volume médio amostral seria menor que 1500 mL 
a um nível de significância de 2,5%. Visto que a empresa só seria autuada caso as garrafas apresentassem 
volume inferior à informação presente no rótulo, a média amostral obtida M = 1505, 4 mL, com desvio padrão 
s = 8,20 mL, não pôde ser considerada menor que 1500 mL (t(9) = 2,083, p > 0,025). Conclui‑se que o volume 
médio das garrafas presentes na amostra não foi menor do que o valor esperado, portanto, a empresa 
não corre riscos.
6.4 Teste t para duas amostras independentes
Nos dois últimos tópicos, vimos o teste z e o teste t, ambos para uma amostra. Eles foram os 
primeiros testes apresentados porque são bons para introduzir a lógica dos testes de hipóteses. Contudo, 
raramente os pesquisadores se perguntam se a média de uma amostra difere da média populacional.
Agora, veremos um teste utilizado para comparar duas amostras. Essa estratégia é bastanteutilizada 
porque, classicamente, os experimentos envolvem dois grupos: um grupo experimental e um grupo 
controle; algo diferente é feito ou administrado no grupo experimental (mas não no grupo controle), e, 
então, os resultados obtidos são comparados para avaliar se existe efeito da variável independente 
(algo diferente feito ou administrado) sobre a variável dependente que se registra.
Existem dois tipos de testes t que envolvem duas amostras: teste t para amostras independentes e 
para amostras dependentes (pareadas ou relacionadas). Por amostras independentes, entende‑se que a 
forma como os casos são selecionados para compor uma amostra não exerce influência sobre a forma 
como os casos são selecionados para compor a outra amostra.
Já por amostras dependentes, os casos selecionados para compor uma amostra estão 
relacionados/conectados com os casos que compõem a outra amostra. Para facilitar a compreensão, 
vejamos dois exemplos:
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• Uma amostra aleatória de homens é selecionada a partir da população de homens e uma amostra 
aleatória de mulheres é selecionada a partir da população de mulheres. Cada indivíduo terá 
determinado analito dosado em seu sangue e sua média no grupo dos homens será comparada à 
média do grupo das mulheres.
• Uma amostra de casais heterossexuais será selecionada aleatoriamente a partir da população. 
Cada cônjuge terá um determinado analito dosado em seu sangue, e a média do grupo dos 
homens será comparada à média do grupo das mulheres.
No primeiro exemplo, os casos selecionados para compor um grupo não exercem influência sobre os 
casos selecionados para compor o outro grupo, de tal forma, diz‑se que as amostras são independentes. 
Já no segundo cenário, os homens estão relacionados às mulheres (e vice‑versa), diz‑se que as amostras são 
pareadas ou dependentes.
É importante determinar se as amostras que serão analisadas são independentes ou não, para que 
seja escolhido o teste estatístico mais adequado à situação. Observe o quadro seguinte, que traz algumas 
informações resumidas sobre esse assunto.
Quadro 3 – Como determinar se as amostras são independentes ou pareadas
Amostras independentes Amostras pareadas
Cada amostra é selecionada aleatoriamente a partir 
da sua respectiva população;
ou
se cada amostra apresentar um tamanho amostral 
diferente*, isto é, n1 ≠ n2.
As amostras são compostas pelos mesmos casos (por 
exemplo, os mesmos indivíduos) que serão avaliados 
mais de uma vez ao longo do tempo, ou antes e após 
uma determinada intervenção;
ou
a escolha dos casos para uma amostra determina a 
seleção dos casos para a outra amostra;
ou
os casos são pares, ou correspondentes um ao outro, de 
certa forma, entre as amostras.
Nota: estas diretrizes ajudam a decidir se as amostras são independentes ou pareadas. 
*Amostras independentes podem diferir entre si quanto ao tamanho amostral, entretanto amostras pareadas 
sempre deverão apresentar o mesmo n.
Primeiramente, será abordado o teste para duas amostras independentes.
Suponhamos que um fabricante de aspiradores de pó resolveu avaliar se o teor de poeira 
acumulada na ventilação dos aparelhos, como consequência do escape do saco armazenador, seria 
diferente entre dois modelos de sua companhia. Durante um período de tempo similar, diferentes 
equipamentos foram testados nas mesmas condições, e a quantidade de poeira (em gramas) presa 
nos filtros de cada aparelho foi conforme segue. A um nível de significância de 5%, é possível afirmar 
que o teor de poeira acumulada nos dois modelos é diferente? Assumindo que as distribuições 
amostrais sejam normais:
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Modelo A
73,1; 56,4; 82,1; 67,2; 78,7; 75,1; 48,0; 53,3; 55,5; 61,5; 60,6; 55,2; 63,1
Modelo B
53,0; 39,3; 55,8; 58,8; 41,2; 66,6; 46,0; 56,4; 58,9
Uma forma útil de efetuar uma comparação entre os grupos é construir um box‑plot para cada 
conjunto de dados, lado a lado. Nota‑se que os equipamentos do modelo B, embora em menor número 
(nA = 13 e nB = 9), apresentaram valores de poeira (g) retida em seus filtros aparentemente menores do 
que os do modelo A. Será que essa diferença será considerada significativa?
30
40
50
60
70
80
90
Qu
an
tid
ad
e 
de
 p
oe
ira
 (g
)
Modelo A Modelo B
Figura 31 – Box‑plots da variável quantidade de poeira (g) para duas amostras de aspiradores de pó. 
A inspeção visual dos box‑plots indica que os conjuntos de dados possuem leve assimetria, 
possivelmente não o suficiente para deixarem de serem considerados normais; 
além disso, não foram observados outliers nos conjuntos
A primeira etapa de um teste de hipóteses é a seleção do teste adequado. Como o objetivo é comparar 
a média de uma população (aspiradores do modelo A) à média de outra população (aspiradores do 
modelo B), um teste t é adequado à proposição. Sem acesso aos valores populacionais, selecionou‑se 
uma amostra a partir de cada população de aspiradores. O tamanho das duas amostras é diferente 
(nA = 13 e nB = 9), o que indica se tratar de amostras independentes (veja a tabela anterior). Além 
disso, nota‑se que os dados não são relacionados, outro indicador de amostras independentes. Portanto, 
diante das evidências, a escolha do teste t para duas amostras independentes é adequada à situação.
A maioria dos pressupostos do teste t para duas amostras são semelhantes aos do teste t para uma 
amostra, mas um deles é novo:
I – Cada amostra deve ser aleatoriamente selecionada a partir da população: o teste é robusto a 
esse pressuposto.
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II – Deve haver independência de observações: o teste não é robusto à violação deste pressuposto.
III – A variável dependente deve apresentar distribuição normal em cada população: o teste é 
relativamente robusto a esse pressuposto, sobretudo se o n amostral for grande.
IV – Deve haver homogeneidade de variâncias, em outras palavras, a variabilidade em ambas as 
populações deve ser equivalente: o teste é relativamente robusto a esse pressuposto, sobretudo se o n 
amostral for grande.
V – O pressuposto IV (a homogeneidade de variâncias) indica que a variabilidade nas duas populações 
a partir das quais as amostras foram extraídas deve ser aproximadamente igual. Uma regra prática 
sugere que, ao comparar os desvios padrões amostrais, se o maior desvio padrão não for mais do que 
duas vezes o menor desvio padrão, então as variabilidades podem ser consideradas iguais (BARTZ, 1999). 
Outra abordagem para avaliar esse pré‑requisito é executar um teste de homogeneidade de variâncias.
Assim, temos que os aspiradores de pó foram aleatoriamente selecionados para compor as amostras. 
Há independência entre as observações, pois se tratam de dois modelos diferentes de equipamentos 
(modelos A e B), sendo que a seleção de um caso em uma amostra não exerce influência sobre a seleção 
de um caso na outra amostra. A variável dependente (poeira acumulada) apresenta perfil de distribuição 
normal nas populações de origem (segundo enunciado), portanto, assumiremos que os dados seguem 
esse perfil. A inspeção dos Q‑Q plots reforça essa afirmação. Ao compararmos os desvios padrões das 
duas amostras, temos que sA = 10,63 g e sB = 9,00 g; como o maior desvio padrão não excede o menor 
em mais de duas vezes, então as variabilidades podem ser consideradas iguais, afirmando‑se que há 
homogeneidade de variâncias.
Modelo A Modelo B
30 3050 5070 7090 90
–2.0 –2.0
–1.5 –1.5
–1.0 –1.0
–0.5 –0.5
0.0 0.0
0.5 0.5
1.0 1.0
1.5 1.5
2.0 2.0
Valores observados Valores observados
N
or
m
al
 e
sp
er
ad
a
N
or
m
al
 e
sp
er
ad
a
Figura 32 – Q‑Q plots da variável quantidade de poeira (g) para amostras de aspiradores de pó do 
modelo A (A) e do modelo B (B). Q‑Q plots indicandoque os dados dos conjuntos apresentam 
distribuição que tende à normalidade (pontos se aproximam da linha de tendência central), sendo 
que nenhuma observação ultrapassou o limite de ±2,0 desvios padrões em função da média
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 Observação
Existem testes de hipóteses chamados testes de homogeneidade de variâncias 
(ou homocedasticidade), que avaliam se a variabilidade em uma população, a 
partir da qual uma amostra foi retirada, assemelha‑se à variabilidade na outra 
população, da qual a outra amostra foi retirada. Um exemplo bastante empregado 
para esse fim é o teste de Levene, que segue as seguintes hipóteses:
H0: variância população1 = variância população2
Ha: variância população1 ≠ variância população2
Para os dados do exemplo proposto, o teste de Levene teve chance de 
erro p = 0,4797. Para um nível de significância α = 0,05, podemos concluir 
que p > α, portanto, se aceita H0 – as variâncias são homogêneas.
A próxima etapa consiste na descrição das hipóteses nula e alternativa. Antes de definir as hipóteses, 
deve‑se estipular se estamos diante de um teste unicaudal ou bicaudal. Testes bicaudais são empregados 
mais frequentemente, então vamos iniciar a explicação por eles.
Testes bilaterais são utilizados quando não há predição acerca de qual grupo apresentará um escore 
maior do que o outro. Em outras palavras, um pesquisador deseja avaliar se existe alguma diferença 
entre a média de uma população (µ1) e a média da outra população (µ2). Isso significa que a 
diferença entre as médias amostrais M1 e M2 deverá ser maior do que o erro amostral poderia explicar, 
caso fossem extraídas da mesma população. Assim:
H0: µ1 = µ2
Ha: µ1 ≠ µ2
Um teste unilateral requer mais atenção na formulação das hipóteses, pois o pesquisador já possui 
uma dada predição da direção dos resultados antes da coleta de dados. Deseja‑se, assim, avaliar se 
a média de uma população (µ1) é maior que ou menor que a média de outra população (µ2), ou seja, 
objetiva‑se apenas uma das laterais da distribuição. Desse modo:
H0: µ1 ≤ µ2 H0: µ1 ≥ µ2
 ou
Ha: µ1 > µ2 Ha: µ1 < µ2
Uma vez que se deseja avaliar se as médias da quantidade de poeira acumulada nos filtros dos 
aspiradores de pó dos modelos A e B diferem entre si, pressupõe‑se o uso de um teste bicaudal. Assim, 
nossas hipóteses serão:
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Unidade II
H0: µA = µB
Ha: µA ≠ µB
Em seguida, devemos estimar o valor crítico do teste. A interpretação do valor crítico é a mesma 
mencionada anteriormente para o teste t para uma amostra, cujo valor se encontra na tabela seguinte 
(excerto do Apêndice B). Deveremos levar em conta as seguintes observações:
I – O teste é unicaudal ou bicaudal?
II – Qual o nível de significância (α) adotado?
III – Quantos graus de liberdade nosso teste possui?
Para os dados fornecidos, temos que o teste em questão é bicaudal; segundo o enunciado, o nível 
de significância adotado é α = 0,05 ou 5%, e como nA = 13 e nB = 9, cada mostra possui um grau de 
liberdade GL = n – 1, correspondendo a um grau de liberdade total GL = GLA + GLB = 12 + 8 = 20.
Note que, no cálculo do teste para duas amostras independentes, o tamanho amostral das duas 
amostras deve ser considerado. Simplificando‑se a observação acima, temos que:
GL = n1 + n2 – 2
Com base nesses valores, é possível recorrer a uma tabela t (Apêndice B) e cruzar os graus de liberdade 
com o nível de significância adotado.
Sendo GL = 20 e α bicaudal = 0,05, observamos que o valor crítico de t para essa estatística será 
igual a 2,086 (veja na tabela a seguir).
tcrit = 2,086
Tabela 24 – Valores críticos de t
GL
A
α = 0,05 unicaudal ou
α = 0,10 bicaudal
B
α = 0,025 unicaudal ou
α = 0,05 bicaudal
C
α = 0,01 unicaudal ou
α = 0,02 bicaudal
D
α = 0,005 unicaudal ou
α = 0,01 bicaudal
18 1,734 2,101 2,552 2,878
19 1,729 2,093 2,539 2,861
20 1,725 2,086 2,528 2,845
21 1,721 2,080 2,518 2,831
22 1,717 2,074 2,508 2,819
Nota: a distribuição t varia conforme o grau de liberdade (GL). Como o nível de significância adotado no nosso 
exemplo é α = 0,05 bicaudal e o teste possui 20 graus de liberdade, temos que o valor crítico de t para esse 
cálculo será de 2,086 (conforme destaque).
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Para um teste bicaudal, a tomada de decisão se dará:
• se ‑tcrit < tcalc < +tcrit, não há evidências para rejeitar H0, devendo aceitá‑la como verdadeira;
• se tcalc ≤ ‑tcrit ou tcalc ≥ +tcrit, há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Assim, podemos calcular o valor da estatística t. Para compreendermos a fórmula do teste t para 
duas amostras independentes, recordemos a equação do teste t para uma amostra:
 Lembrete
A fórmula do teste para uma amostra é:
M
M
t
s
−µ
=
Sendo:
t = o valor da estatística t
M = a média amostral
µ = a média populacional (ou valor de referência)
sM = a estimativa do erro padrão da média
Note que o numerador da equação consiste em uma medida de desvio (ou erro), ou seja, o 
quanto a média amostral se distancia da média populacional. Já o denominador é um tipo de 
desvio padrão: uma medida do desvio padrão da distribuição amostral das médias, que chamamos 
de erro padrão. Considere agora que, no teste t para duas amostras independentes, teremos duas 
amostras nessa equação, logo, informações dessas duas amostras deverão constar no numerador 
e no denominador:
( ) ( )1 2 1 2
M M1 2
M Mmedida de desvio
t
erro padrão s −
− − µ −µ
= =
Como um teste de hipóteses assume a suposição de que a hipótese nula seja verdadeira, podemos 
considerar que µ1 = µ2, simplificando o numerador para M1 – M2. Já no denominador, temos o erro 
padrão da diferença, ou seja, precisamos transformar uma estimativa da variância combinada das duas 
amostras em um erro padrão.
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Unidade II
A variância combinada das duas amostras pode ser calculada da seguinte forma:
( ) ( )2 22 1 1 2 2
combinada
s n 1 s n 1
s
GL
× − + × −
=
Sendo:
s2combinada = a variância combinada das duas amostras
s1
2 = a variância do grupo 1
n1 = o tamanho do grupo 1
s2
2 = a variância do grupo 2
n2 = o tamanho do grupo 2
GL = os graus de liberdade totais (n1 + n2 – 2)
Com base nos dados, em que:
s1
2 = 113,01 g2
n1 = 13
s2
2 = 81,08 g2
n2 = 9
GL = 13 + 9 – 2 = 20
Temos:
( ) ( )2 22 1 1 2 2
combinada
s n 1 s n 1
s
GL
× − + × −
=
( ) ( )2
combinada
113,01 13 1 81,08 9 1 1356,12 648,64
s
20 20
× − + × − +
= =
2
combinadas 100,24=
A variância combinada das duas amostras é de 100,24 g2.
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Em posse da variância combinada, podemos calcular o erro padrão da média com base na seguinte equação:
2 1 2
M M combinada1 2
1 2
n n
s s
n n−
 +
= × × 
Sendo:
M M1 2
s − = o erro padrão da diferença
s2combinada = a variância combinada das duas amostras
n1 = o tamanho do grupo 1
n2 = o tamanho do grupo 2
Com base nos dados, em que:
s2combinada = 100,24 g
2
n1 = 13
n2 = 9
Temos:
2 1 2
M M combinada1 2
1 2
n n
s s
n n−
 +
= × × 
M M1 2
13 9
s 100,24
13 9−
+ = × × 
M M1 2
22
s 100,24
117−
 = × 
 
M M1 2
s 100,24 0,1880− = ×
M M1 2
s 18,8451− =
M M1 2
s 4,34− =
O erro padrão da diferença é 4,34 g.
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Unidade II
Passada a parte mais complicada do cálculo, basta voltar à equação simplificada do teste t para duas 
amostras independentes para descobrir o valor da estatística t:
1 2
M M1 2
M M
t
s −
−
=
Sendo:
t = o valor da estatística t
M1 = a média dogrupo 1
M2 = a média do grupo 2
M M1 2
s − = o erro padrão da diferença
Com base nos dados, em que:
M1 = 63,83 g
M2 = 52,89 g
M M1 2
s − = 4,34 g
Temos:
1 2
M M1 2
M M
t
s −
−
=
63,83 52,89
t
4,34
−
=
10,94
t 2,521
4,34
= =
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
 Observação
É possível calcular a estatística t sem obter primeiramente a variância 
combinada e o erro padrão da diferença?
Reorganizando as equações e com um pouco de álgebra, quase tudo é 
possível. A equação combinada do teste t para duas amostras independentes 
ficaria assim:
( ) ( )
1 2
2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
M M
t
s n 1 s n 1 n n
GL n n
−
=
× − + × −  +
× × 
Entre realizar o cálculo por etapas ou de uma única vez, siga a estratégia 
que se sentir mais confortável.
Quanto à interpretação do resultado do teste, é necessário, em primeiro lugar, saber se a hipótese 
nula foi rejeitada.
Temos que tcalc = 2,521 e tcrit = 2,086. Como o teste é bicaudal, devemos observar que, se ‑tcrit < tcalc < +tcrit, 
não há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como verdadeira; já se tcalc ≤ ‑tcrit ou tcalc ≥ +tcrit, há 
evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Nesse caso, estamos diante da segunda situação, pois:
tcalc ≥ +tcrit
2,521 ≥ 2,086
Portanto, há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Quanto será a chance de erro (p)? Ela é maior ou menor que o nível de significância (α) adotado? 
A interpretação segue o mesmo raciocínio apresentado para o teste t para uma amostra. Veremos a seguir.
Para um teste t bicaudal, temos que, se ‑tcrit < tcalc < +tcrit, ou, dito em termos mais diretos, |tcalc| < |tcrit|, 
p > α, logo, não existem evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como verdadeira; já se 
tcalc ≤ ‑tcrit ou tcalc ≥ +tcrit, ou melhor, |tcalc| ≥ |tcrit|, p ≤ α, logo, os dados fornecem evidências para rejeitar 
H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
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Unidade II
Assim:
|tcalc| ≥ |tcrit|, logo p ≤ α
|2,521| ≥ |2,086|, logo p ≤ 0,05
Se p ≤ 0,05, rejeita‑se H0 como verdadeira. Mas qual será o valor exato da chance de erro (p)? Para obter o 
valor exato, teríamos duas abordagens: calcular a integral da área sob a curva além do valor de tcalc (ambas 
as caudas) ou utilizar um software de análise (para o exemplo em questão, via software, p = 0,0203). 
Ambas as opções demandam conhecimentos específicos que não abordados. Note que, independentemente de 
estar em posse do valor exato da chance de erro (p) ou não, nossa conclusão não se alterará: p < 0,05.
 Observação
Note como o valor de tcalc = 2,521 está bem próximo do valor da 
intersecção entre 20 graus de liberdade e α bicaudal = 0,02 (coluna C 
da tabela anterior), indicando que o valor da chance de erro está mais 
próximo de p = 0,02 (2%) do que de p = 0,05 (5%). De qualquer forma, 
p < α adotado, apenas podemos dar um pouco mais de precisão ao cálculo, 
utilizando informações disponíveis sobre os valores de t.
Uma vez interpretado o resultado, segue‑se para sua descrição por extenso. Devemos destacar 
alguns elementos importantes na resposta, tais como:
I – o teste utilizado;
II – o tamanho das amostras;
III – o valor calculado do teste estatístico acompanhado dos graus de liberdade;
IV – o nível de significância (α) adotado;
V – se H0 foi rejeitada ou não.
Veja: com o objetivo de avaliar se haveria diferença no teor médio de poeira acumulada nos filtros de 
ventilação de dois modelos distintos de aspiradores de pó (modelos A e B), duas amostras independentes 
– uma contendo 13 equipamentos do modelo A e outra contendo 9 equipamentos do modelo B – 
foram avaliadas nas mesmas condições. Um teste t para amostras independentes foi empregado e as 
médias puderam ser consideradas distintas a um nível de significância α = 0,05. Os equipamentos do 
modelo A retiveram significativamente mais poeira em seus filtros (MA = 63,83 g, sA = 10,63 g) do que 
aqueles do modelo B (MB = 52,89 g, sB = 9,00 g) – t(20) = 2,521, p < 0,05. Conclui‑se, portanto, que os 
equipamentos do modelo A apresentam maior escape de poeira do saco armazenador, refletindo em 
mais poeira acumulada nos filtros dos aparelhos.
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Exemplo de aplicação
Exemplo 22
Um indivíduo, suspeitando que o preço dos estacionamentos na região em que trabalha é acima da média 
da região em que ele mora, resolveu avaliar se sua suspeita era verdadeira. Ele coletou informações do preço de 
meia diária (12 h) em cinco estacionamentos próximos a seu trabalho e em cinco estacionamentos próximos 
a sua residência. Os resultados estão apresentados a seguir. Com base nessas informações, determine se a 
suspeita do indivíduo é verdadeira ou não. Assuma α = 2,5% e considere que a normalidade foi respeitada.
Custo do período de 12 h (em R$) próximo ao trabalho: 35,00; 40,00; 50,00; 45,00; 45,00.
Custo do período de 12 h (em R$) próximo à residência: 25,00; 18,00; 30,00; 20,00; 25,00.
Como os conjuntos de dados são pequenos, realizemos uma inspeção gráfica dos dot‑plots para 
cada amostra, lado a lado. É possível avaliar que as médias das duas amostras são numericamente 
distintas entre si e o valor praticado pelos estacionamentos próximos à residência do indivíduo é menor 
do que próximo ao trabalho. Será que essa diferença será considerada significativa?
0
10
20
30
40
50
60
Próximo ao trabalho Próximo à residência
Va
lo
r (
R$
)
Figura 33 – Dot‑plots da variável valor (R$) da meia diária em estacionamentos 
dispostos em duas regiões. A inspeção visual dos dot‑plots indica que os valores 
praticados pelos estacionamentos próximos à residência do indivíduo são menores do 
que os praticados próximo ao trabalho. Serão essas diferenças significativas?
Resolução
Os estacionamentos foram aleatoriamente selecionados para compor as amostras com base na 
região em que se localizam. Há independência entre as observações, pois se tratam de estabelecimentos 
em regiões diferentes (próximo ao trabalho ou à residência), sendo que a seleção de um caso em uma 
amostra não exerce influência sobre a seleção de um caso na outra amostra. A variável dependente 
(valor de meia diária em R$) apresenta perfil de distribuição normal nas populações de origem (segundo 
enunciado), portanto, assumiremos que os dados seguem esse perfil.
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Unidade II
A inspeção dos Q‑Q plots reforça essa afirmação (veja a figura seguinte). Ao compararmos os desvios 
padrões das duas amostras, temos que sTrabalho = R$ 5,70 e sResidência = R$ 4,72, como o maior desvio padrão 
não excede o menor em mais de duas vezes, então, as variabilidades podem ser consideradas iguais, 
afirmando‑se que há homogeneidade de variâncias.
Próximo ao trabalho Próximo à residência
0 020 2040 4060 60
–2.0 –2.0
–1.5 –1.5
–1.0 –1.0
–0.5 –0.5
0.0 0.0
0.5 0.5
1.0 1.0
1.5 1.5
2.0 2.0
Valores observados Valores observados
N
or
m
al
 e
sp
er
ad
a
N
or
m
al
 e
sp
er
ad
a
A) B)
Figura 34 – Q‑Q plots da variável valor (R$) da meia diária em estacionamentos dispostos próximo 
ao trabalho (A) e próximo à residência (B). Q‑Q plots indicando que os dados dos conjuntos apresentam 
distribuição que tende à normalidade (pontos se aproximam da linha de tendência central), sendo que 
nenhuma observação ultrapassou o limite de ±2,0 desvio padrão em função da média
A próxima etapa consiste na descrição das hipóteses nula e alternativa. Antes de definir as hipóteses, 
deve‑se estipular se estamos diante de um teste unicaudal ou bicaudal. No caso, o indivíduo deseja 
avaliar se o preço praticado próximo ao trabalho está acima do preço praticado próximo à residência. 
Portanto,estamos diante de um teste unilateral à direita. Assim, nossas hipóteses serão:
H0: µTrabalho ≤ µResidência
Ha: µTrabalho > µResidência
Em seguida, devemos estimar o valor crítico do teste. Consideremos que o teste em questão é 
unicaudal. Segundo o enunciado, o nível de significância adotado é α = 0,025 ou 2,5% e, como 
nTrabalho = 5 e nResidência = 5, cada amostra possui um grau de liberdade GL = n – 1, correspondendo a 
um grau de liberdade total GL = GLA + GLB = 4 + 4 = 8.
Com base nesses valores, é possível recorrer a uma tabela t (Apêndice B) e cruzar os graus de liberdade 
com o nível de significância adotado.
Sendo GL = 8 e α unicaudal = 0,025, observamos que o valor crítico de t para essa estatística é igual 
a 2,306 (veja na tabela em seguida).
tcrit = 2,306
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Tabela 25 – Recorte de valores críticos de t
GL
A
α = 0,05 unicaudal ou
α = 0,10 bicaudal
B
α = 0,025 unicaudal ou
α = 0,05 bicaudal
C
α = 0,01 unicaudal ou
α = 0,02 bicaudal
D
α = 0,005 unicaudal ou
α = 0,01 bicaudal
6 1,943 2,447 3,143 3,707
7 1,895 2,365 2,998 3,499
8 1,860 2,306 2,896 3,355
9 1,833 2,262 2,821 3,250
10 1,812 2,228 2,764 3,169
Nota: a distribuição t varia conforme o grau de liberdade (GL). Como o nível de significância adotado no nosso 
exemplo é α = 0,025 unicaudal e o teste possui 8 graus de liberdade, temos que o valor crítico de t para este 
cálculo será de 2,306 (conforme destaque).
Para um teste unilateral à direita, a tomada de decisão se dará de modo que, se tcrit < tcalc, não há 
evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como verdadeira; já se tcalc ≥ tcrit, há evidências para 
rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Para calcular o valor da estatística t, prossigamos em etapas, obtendo: (1) a variância combinada; (2) 
o erro padrão da diferença e (3) o valor da estatística do teste.
(1) ( ) ( )
2 2
2 1 1 2 2
combinada
s n 1 s n 1
s
GL
× − + × −
=
Com base nos dados do nosso exemplo, em que:
s1
2 = 32,5 reais2
n1 = 5
s2
2 = 22,3 reais2
n2 = 5
GL = 5 + 5 – 2 = 8
Temos:
( ) ( )2
combinada
32,5 5 1 22,3 5 1 130 89,2
s
8 8
× − + × − +
= =
2
combinadas 27,4=
A variância combinada das duas amostras é de 27,4 reais2.
(2) 2 1 2M M combinada1 2
1 2
n n
s s
n n−
 +
= × × 
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Sendo:
s2combinada = 27,4 reais
2
n1 = 5
n2 = 5
M M1 2
5 5
s 27,4
5 5−
+ = × × 
M M1 2
10
s 27,4
25−
 = × 
 
M M1 2
s 27,4 0,4− = ×
M M1 2
s 10,96− =
M M1 2
s 3,31− =
O erro padrão da diferença é R$ 3,31.
(3) 1 2
M M1 2
M M
t
s −
−
=
Sendo:
M1 = R$ 43,00
M2 = R$ 23,60
M M1 2
s − = R$ 3,31
43,00 23,60
t
3,31
−
=
19,4
t 5,861
3,31
= =
O valor da estatística t é tcalc = 5,861.
Interpretando o resultado do teste, temos que, em primeiro lugar, saber se a hipótese nula foi rejeitada.
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Temos que tcalc = 5,861 e tcrit = 2,306. Como o teste é unicaudal à direita, devemos observar que, se 
tcrit < tcalc, não há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como verdadeira; já se tcalc ≥ tcrit, 
há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Nesse caso, estamos diante da segunda situação, pois:
tcalc ≥ tcrit
5,861 ≥ 2,306
Portanto, há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Quanto será a chance de erro (p)? Ela é maior ou menor que o nível de significância (α) adotado?
Para um teste t unilateral à direita, temos que, se tcrit < tcalc, p > α, logo, não existem evidências 
para rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como verdadeira; já se tcalc ≥ tcrit, p ≤ α, logo, os dados fornecem 
evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Como:
tcalc ≥ tcrit, logo p ≤ α
5,861 ≥ 2,306, logo p ≤ 0,025
Se p ≤ 0,025, rejeita‑se H0 como verdadeira. Mas qual será o valor exato da chance de erro (p)? Para obter 
o valor exato, teríamos duas abordagens: calcular a integral da área sob a curva além do valor de tcalc (ambas 
as caudas) ou utilizar um software de análise (para o exemplo em questão, via software, p = 0,0002).
Com base na tabela t, ao observarmos a linha de 8 graus de liberdade, notamos que o valor de t 
que mais se aproxima do valor calculado é 3,355, que corresponde a uma probabilidade unicaudal 
de 0,005 (coluna D da tabela anterior), indicando que o valor da chance de erro está mais próximo de 
p = 0,005 (0,5%) do que de p = 0,025 (2,5%). De qualquer forma, para o p < α adotado, apenas 
podemos dar um pouco mais de precisão ao cálculo utilizando informações disponíveis na tabela de 
valores de t.
Uma vez interpretado o resultado, podemos prosseguir para sua descrição por extenso:
Com o objetivo de avaliar se o preço médio praticado por estacionamentos próximos ao trabalho 
seria maior do que o preço médio praticado próximo a sua residência, um indivíduo obteve duas amostras 
independentes de cinco orçamentos cada. Um teste t para amostras independentes foi conduzido e, a 
um nível de significância α = 0,025, concluiu‑se que os estacionamentos próximos ao trabalho cobram 
valores significativamente maiores (MTrabalho = R$ 43,00, sTrabalho = R$ 5,70) do que aqueles próximos à 
residência (MResidência = R$ 23,60, sresidência = R$ 4,72) – t(8) = 5,861, p < 0,025.
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6.4.1 Teste t para duas amostras independentes com variâncias desiguais
Vimos que os pressupostos do teste t para duas amostras independentes são: aleatoriedade das 
amostras, independência de observações, normalidade e homogeneidade de variâncias. O último 
pressuposto indica que a variabilidade nas duas populações, a partir das quais as amostras foram 
extraídas, deve ser aproximadamente igual.
Caso ocorra a violação desse pressuposto e se conclua que as amostras são heterocedásticas 
(variâncias desiguais), uma correção pode ser aplicada à fórmula do teste t e aos graus de liberdade, 
conforme se segue:
1 2
2 2
1 2
1 2
M M
t
s s
n n
−
=
+
Sendo:
t = o valor da estatística t
M1 = a média do grupo 1
M2 = a média do grupo 2
s1
2 = a variância do grupo 1
n1 = o tamanho do grupo 1
s2
2 = a variância do grupo 2
n2 = o tamanho do grupo 2
Os cálculos dos graus de liberdade, nesse caso, se darão por:
( )
( )
( )
( )
22 2
1 2
1 2
2 22 2
1 1 2 2
1 2
s s
n n
GL 
s / n s / n
n 1 n 1
 
+  
 =
+
− −
Sendo:
GL = o grau de liberdade da estatística t
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
s1
2 = a variância do grupo 1
n1 = o tamanho do grupo 1
s2
2 = a variância do grupo 2
n2 = o tamanho do grupo 2
Essa correção, conhecida como teste t de Welch, é mais robusta à violação da homogeneidade 
de variâncias e pode ser aplicada sem qualquer desvantagem, mesmo quando as variâncias forem 
consideradas iguais. Caso as duas amostras tenham o mesmo tamanho amostral e as variâncias sejam 
homogêneas, as duas fórmulas do teste t apresentadas darão os mesmos resultados.
Com base nos valores a seguir, observe:
M1 = R$ 43,00
M2 = R$ 23,60
s1
2 = 32,5 reais2
n1 = 5
s2
2 = 22,3 reais2
n2 = 5
GL = 5 + 5 – 2 = 8
( ) ( )
1 2
2 2
1 1 2 2 1 2
1 2
M M
t
s n 1 s n 1 n n
GL n n
−
=
× − + × −  +
× ×  
1 2
2 2
1 2
1 2
M M
t
s s
n n
−
=
+
( ) ( )
43,00 23,60
t
32,5 5 1 22,3 5 1 5 5
8 5 5
−
=
× − + × − + × ×  
43,00 23,60
t
32,5 22,3
5 5
−
=
+
19,4
t
32,5 4 22,3 4 10
8 25
=
× + ×  × 
  
19,4
t
54,8
5
=
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Unidade II
19,4
t
130 89,2
0,4
8
=
+
×
 
19,4
t
10,96
=
19,4
t
27,4 0,4
=
× 
19,4
t 5,861
3,31= =
19,4
t
10,96
=
19,4
t 5,861
3,31
= =
Note que ambas as equações forneceram resultados iguais.
6.5 Teste t para duas amostras pareadas
Quando duas amostras são pareadas (dependentes, emparelhadas, relacionadas), cada caso consiste 
em um par de dados, sendo um valor apresentado em cada amostra. Uma forma de emparelhar os 
dados ocorre em desenhos experimentais que envolvam medidas repetidas, ou seja, os participantes da 
amostra são avaliados em dois pontos do tempo (antes e depois de alguma intervenção, por exemplo).
Outra forma de emparelhamento são os estudos que visam avaliar efeitos dentro dos grupos 
(within‑subjects design, em inglês). Por exemplo, suponha que os mesmos indivíduos serão avaliados 
em duas situações diferentes: o nível de atenção dos alunos será avaliado pelo professor, por meio 
do desempenho em um teste quantitativo, quando os alunos forem expostos ao silêncio e quando os 
alunos forem expostos a um ruído de fundo (como o maquinário de obra civil nos arredores da sala de 
aula). Os mesmos indivíduos serão avaliados em ambas as situações.
 Observação
Medidas repetidas ou efeitos dentro dos grupos envolvem uma 
amostra de casos avaliada em dois momentos do tempo ou sob duas 
condições distintas.
Suponhamos que dois laboratórios determinaram a quantidade de cloro (ppm, partes por 
milhão) das mesmas amostras de água retiradas da rede de abastecimento de uma cidade. Com 
base nessas informações, procuraremos informações para dizer se existem diferenças significativas 
entre as medições realizadas pelos dois laboratórios. Assumiremos α = 1% e consideraremos que a 
normalidade foi respeitada.
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Tabela 26 – Quantidade de cloro (ppm) em amostras de 
água retiradas da rede de abastecimento de uma cidade
Amostra Laboratório A Laboratório B Escore da diferença(B – A)
1 1,15 1,00 ‑0,15
2 1,86 1,90 0,04
3 0,75 0,90 0,15
4 1,82 1,80 ‑0,02
5 1,14 1,20 0,06
6 1,65 1,70 0,05
7 1,90 1,95 0,05
M = 1,467 1,493 0,026
s = 0,451 0,446 0,092
Nota: o escore da diferença é obtido se subtraindo os valores de cada observação 
emparelhada. A ordem da subtração (A – B ou B – A) não interessa, desde que a 
mesma abordagem seja efetuada em todos os pares. Neste exemplo, optou‑se pela 
subtração que resultou em média positiva.
A primeira etapa de um teste de hipóteses é a seleção do teste adequado. Como o objetivo é comparar 
a dosagem média de cloro efetuada por dois laboratórios nas mesmas amostras de água, observe que os 
casos são relacionados ou emparelhados. Portanto, diante das evidências, a escolha do teste t para duas 
amostras pareadas aparenta ser adequada à situação.
A figura a seguir traz os box‑plots dos valores de cloro, obtidos a partir das dosagens efetuadas pelos 
dois laboratórios. A inspeção visual dos gráficos sugere não haver diferença, em média, na dosagem 
efetuada pelos dois laboratórios. Será que chegaremos à mesma conclusão em termos de probabilidade?
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Qu
an
tid
ad
e 
de
 p
oe
ira
 (g
)
Laboratório A Laboratório B
Figura 35 – Box‑plots da variável quantidade de cloro (ppm) para dosagem das mesmas amostras de água efetuada 
por dois laboratórios distintos, indicando que os conjuntos de dados possuem leve assimetria, possivelmente não 
o suficiente para deixarem de serem considerados normais; além disso, não foram observados outliers nos conjuntos
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Unidade II
Existem três pressupostos para o teste t pareado, que já são familiares ao leitor:
I – Cada amostra deve ser aleatoriamente selecionada a partir da população: o teste é robusto a esse 
pressuposto.
II – Deve haver independência de observações dentro da amostra: o teste não é robusto à violação 
deste pressuposto. Note que a independência de observações, nesse caso, não se dá entre amostras 
(pois os grupos são relacionados), não sim dentro da amostra, ou seja, um par de observações deve ser 
avaliado individualmente e não exercer efeito sobre outro par de observações presente na amostra.
III – O escore da diferença deve apresentar distribuição normal: o teste é relativamente robusto 
a esse pressuposto, sobretudo se o n amostral for grande. Além disso, não deverá haver um número 
significativo de outliers nos escores da diferença, uma vez que exercerão forte impacto sobre a média 
da diferença e sobre o desvio padrão da diferença.
Assim, as amostras de água foram aleatoriamente selecionadas a partir da rede de abastecimento de 
uma cidade, e a quantidade de cloro foi, então, dosada em cada amostra por dois laboratórios diferentes. 
Há independência de observações, pois cada observação emparelhada não exerce influência sobre outro par 
de observações presente no conjunto. O escore da diferença entre as medições apresenta perfil de distribuição 
normal (segundo enunciado), portanto, assumiremos que os dados seguem esse perfil. A inspeção do 
Q‑Q plot dos escores da diferença reforça essa afirmação.
Escore da diferença
–0.20 –0.10 0.00 0.10 0.20
–2.0
–1.5
–1.0
–0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Valores observados
N
or
m
al
 e
sp
er
ad
a
Figura 36 – Q‑Q plot do escore da diferença da quantidade de cloro (ppm) obtido a partir da dosagem 
por dois laboratórios distintos. O Q‑Q plot indica que os escores da diferença apresentam distribuição 
que tende à normalidade (pontos se aproximam da linha de tendência central), sendo que nenhuma 
observação ultrapassou o limite de ±2,0 desvios padrões em função da média
A próxima etapa consiste na descrição das hipóteses nula e alternativa. O raciocínio será o mesmo 
do teste t para duas amostras independentes. Antes de definir as hipóteses, deve‑se estipular se estamos 
diante de um teste unicaudal ou bicaudal. Testes bicaudais são empregados mais frequentemente, então 
vamos iniciar a explicação por eles.
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Testes bilaterais são utilizados quando não há predição de qual grupo apresentará um escore maior 
do que o outro. Em outras palavras, a hipótese nula nos dirá que as médias populacionais são iguais 
entre si. A hipótese alternativa afirmará que as médias populacionais diferem entre si, mas sem indicar 
a direção ou a magnitude da diferença. Isso significa que a diferença entre as médias amostrais M1 e 
M2 deverá ser maior do que o erro amostral poderia explicar, assumindo que foram extraídas da mesma 
população. Assim:
H0: se µ1 = µ2, logo, µ1 – µ2 = 0
Ha: se µ1 ≠ µ2, logo, µ1 – µ2 ≠ 0
Para a hipótese nula, caso as médias sejam iguais, é possível inferir que a diferença entre as médias 
será igual a zero. Já para a hipótese alternativa, assumindo que as médias sejam distintas entre si, a 
diferença entre as médias levará a algum valor diferente de zero.
Um teste unilateral requer mais atenção na formulação das hipóteses, pois um pesquisador já possui 
uma dada predição da direção dos resultados antes da coleta de dados. Assim, deseja‑se avaliar se a 
média de uma população (µ1) é maior que ou menor que a média de outra população (µ2), ou seja, 
objetiva‑se apenas uma das laterais da distribuição, e, dessa forma, a diferença entre as médias assumirá 
um valor maior que ou menor que zero. Temos, então:
H0: se µ1 ≤ µ2, logo, µ1 – µ2 ≤ 0 H0: se µ1 ≥ µ2, logo, µ1 – µ2 ≥ 0
 ou
Ha: se µ1 > µ2, logo, µ1 – µ2 > 0 Ha: se µ1 < µ2, logo, µ1 – µ2 < 0
Uma vez que se deseja avaliar se as medições realizadas pelos dois laboratórios são diferentes entre 
si para os mesmos materiais, pressupõe‑se o uso de um teste bicaudal. Assim, nossas hipóteses serão:
H0: se µA = µB, logo, µA – µB = 0
Ha: se µA ≠ µB, logo, µA – µB ≠ 0
Em seguida, devemos estimar o valor crítico do teste. A interpretação do valor crítico éa mesma que 
vimos no teste t para duas amostras independentes. Procuraremos por este valor na tabela t seguinte 
(Apêndice B). Deveremos levar em conta as seguintes observações:
I – O teste é unicaudal ou bicaudal?
II – Qual o nível de significância (α) adotado?
III – Quantos graus de liberdade nosso teste possui?
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Unidade II
Para os dados do nosso exemplo, temos que o teste em questão é bicaudal; segundo o enunciado, o 
nível de significância adotado é α = 0,01 ou 1%; como sete amostras de água foram avaliadas por dois 
laboratórios, temos que GL = n – 1, logo, GL = 6.
Com base nesses valores, é possível recorrer a uma tabela t e cruzar os graus de liberdade com o nível 
de significância adotado.
Sendo GL = 6 e α bicaudal = 0,01, observamos que o valor crítico de t para essa estatística será igual 
a 3,707 (veja na tabela seguinte).
tcrit = 3,707
Tabela 27 – Recorte de valores críticos de t
GL
A
α = 0,05 unicaudal ou
α = 0,10 bicaudal
B
α = 0,025 unicaudal ou
α = 0,05 bicaudal
C
α = 0,01 unicaudal ou
α = 0,02 bicaudal
D
α = 0,005 unicaudal ou
α = 0,01 bicaudal
4 2,132 2,776 3,747 4,604
5 2,015 2,571 3,365 4,032
6 1,943 2,447 3,143 3,707
7 1,895 2,365 2,998 3,499
8 1,860 2,306 2,896 3,355
Nota: a distribuição t varia conforme o grau de liberdade (GL). Como o nível de significância adotado no nosso 
exemplo é α = 0,01 bicaudal e o teste possui 6 graus de liberdade, temos que o valor crítico de t para esse cálculo 
será de 3,707 (conforme destaque).
Para um teste bicaudal, a tomada de decisão se dará de forma que:
• se ‑tcrit < tcalc < +tcrit, não haverá evidências para rejeitar H0, devendo aceitá‑la como verdadeira;
• se tcalc ≤ ‑tcrit ou se tcalc ≥ +tcrit, haverá evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como 
verdadeira.
Para compreendermos a fórmula do teste t pareado e calcular o valor da estatística t, utilizamos a 
equação do teste t para uma amostra.
 Lembrete
A fórmula do teste para uma amostra é:
M
M
t
s
−µ
=
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Sendo:
t = o valor da estatística t
M = a média amostral
µ = a média populacional (ou valor de referência)
sM = a estimativa do erro padrão da média
Note que o numerador da equação consiste em uma medida de desvio (ou erro), ou seja, o quanto 
a média amostral se distancia da média populacional. Já o denominador é um tipo de desvio padrão: 
uma medida do desvio padrão da distribuição amostral das médias, que chamamos de erro padrão. Para 
o teste t pareado, empregam‑se as medidas do escore da diferença, logo, essas informações deverão 
constar no numerador e no denominador:
( ) ( )1 2 1 2
M M1 2
M Mmedida de desvio
t
erro padrão s −
− − µ −µ
= =
Como um teste de hipóteses assume a suposição de que a hipótese nula seja verdadeira, podemos 
considerar que µ1 = µ2, simplificando o numerador para M1 – M2. Já no denominador, temos o erro 
padrão da diferença, que pode ser representado por:
D
MD
s
s
n
=
Sendo:
MD
s
= o erro padrão da diferença média para os escores da diferença
sD = o desvio padrão dos escores da diferença
n = o número de observações emparelhadas
A equação do teste t pareado se torna:
1 2
MD
M M
t
s
−
=
Sendo:
t = o valor da estatística t
M1 = a média do grupo 1
M2 = a média do grupo 2
MD
s
= o erro padrão da diferença média para os escores da diferença
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Unidade II
 Observação
A diferença entre médias (M1 – M2) será numericamente igual à média dos 
escores da diferença (MD). Observe a tabela 26, com os dados do exemplo, e 
note que, se subtrairmos as médias entre si, obteremos exatamente o valor 
da média dos escores da diferença (linha M da tabela). Assim, a equação do 
teste t pareado pode ser grafada como:
1 2 D
M MD D
M M M
t ou t 
s s
−
= =
Com base nos dados, em que:
MD = 0,026 ppm
sD = 0,092 ppm
n = 7
Temos:
D
MD
M
t 
s
=
( )
0,026
t 
0,092 / 7
=
( )
0,026
t 
0,092 / 2,6458
=
0,026
t 0,747
0,0348
= =
Para a interpretação do resultado do teste, é necessário, em primeiro lugar, saber se a hipótese nula 
foi rejeitada.
Temos que tcalc = 0,747 e tcrit = 3,707. Como o teste é bicaudal, devemos observar que, se ‑tcrit < tcalc < tcrit, 
não há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como verdadeira; se tcalc ≤ ‑tcrit ou se tcalc ≥ +tcrit, 
há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
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Nesse caso, estamos diante da primeira situação, pois:
‑tcrit < tcalc < +tcrit
‑3,707 < 0,747 < 3,707
Portanto, não há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como verdadeira.
Quanto será a chance de erro (p)? Ela é maior ou menor que o nível de significância (α) adotado? 
A interpretação segue o mesmo raciocínio apresentado para o teste t para duas amostras independentes.
Para um teste t bicaudal, temos que, se ‑tcrit < tcalc < +tcrit, ou, dito em termos mais diretos, |tcalc| < |tcrit|, 
p > α, logo, não existem evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como verdadeira; já se 
tcalc ≤ ‑tcrit ou se tcalc ≥ +tcrit, ou melhor, |tcalc| ≥ |tcrit|, p ≤ α, logo, os dados fornecem evidências para 
rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Como:
|tcalc| < |tcrit|, logo, p > α
|0,747| ≥ |3,707|, logo, p > 0,01
Se p > 0,01, aceita‑se H0 como verdadeira. Para obter o valor exato da chance de erro (p), teríamos 
duas abordagens: calcular a integral da área sob a curva além do valor de tcalc (ambas as caudas) ou 
utilizar um software de análise (para o exemplo em questão, via software, p = 0,4883). Ambas as opções 
demandam conhecimentos específicos não abordados. Note que, independentemente de estar em posse 
do valor exato da chance de erro (p) ou não, nossa conclusão não se alterará: p > 0,01.
 Observação
Com base na tabela anterior, na linha de 6 graus de liberdade, note 
que o valor de tcalc = 0,747 está mais próximo de 1,943 (intersecção entre 
6 graus de liberdade e α bicaudal = 0,10, coluna A) do que de tcrit = 3,707. 
Se 0,747 < 1,943, então, p > 0,10 (10%). Não temos acesso ao valor exato 
de p, mas podemos usar a tabela para dar um pouco mais de precisão ao 
cálculo. De qualquer forma, a conclusão se mantém: p > α adotado.
Uma vez interpretado o resultado, podemos prosseguir para sua descrição por extenso. Devemos 
destacar alguns elementos importantes na resposta, tais como:
I – o teste utilizado;
II – o tamanho da amostra emparelhada;
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III – o valor calculado do teste estatístico acompanhado dos graus de liberdade;
IV – o nível de significância (α) adotado;
V – se H0 foi rejeitada ou não.
Assim, vejamos como ficaria a descrição do nosso exemplo: com o objetivo de avaliar se haveria 
diferença na dosagem de cloro (ppm) obtida por dois laboratórios nas mesmas amostras de água (n = 7), 
empregou‑se um teste t pareado. A um nível de significância α = 0,01, os resultados obtidos pelo 
laboratório A (MA = 1,467 ppm, sA = 0,451 ppm) não foram considerados significativamente distintos 
dos resultados obtidos pelo laboratório B (MB = 1,493 ppm, sB = 0,446 ppm) – t(6) = 0,747, p > 0,01. 
Conclui‑se, portanto, que os resultados liberados pelos dois laboratórios estão em acordo.
Exemplo de aplicação
Exemplo 23
A fim de determinar a eficiência de um medicamento antitérmico, a temperatura corporal (ºC) de 
20 indivíduos foi medida. Em seguida, foi administrado o medicamento, e, depois de uma hora, suas 
temperaturas foram medidas novamente. Os resultados podem ser encontrados na tabela a seguir. 
Com base nessas informações, verifique se há evidências suficientes nos resultadosque nos permitam 
afirmar que o medicamento é um bom antitérmico. Assuma α = 2,5% e considere que a normalidade 
foi respeitada.
Tabela 28 – Temperatura corporal (ºC) em indivíduos antes e 
depois da administração de medicamento antitérmico
Indivíduo Temperaturaantes
Temperatura
depois
Escore da diferença
(A – B)
1 37,5 37,8 ‑0,3
2 36,0 36,4 ‑0,4
3 39,0 37,6 1,4
4 38,0 37,2 0,8
5 37,8 36,9 0,9
6 38,5 37,7 0,8
7 36,9 36,8 0,1
8 39,4 38,1 1,3
9 37,2 36,7 0,5
10 38,1 37,3 0,8
11 39,3 38,0 1,3
12 37,5 37,1 0,4
13 38,5 36,6 1,9
14 39,0 37,5 1,5
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15 36,9 37,0 ‑0,1
16 37,0 36,2 0,8
17 38,5 37,6 0,9
18 39,0 36,8 2,2
19 36,2 36,4 ‑0,2
20 36,8 36,8 0,0
M = 37,86 37,13 0,73
s = 1,03 0,56 0,74
Nota: o escore da diferença é obtido subtraindo‑se os valores de cada observação emparelhada. 
A ordem da subtração (A – B ou B – A) não interessa, desde que a mesma abordagem seja efetuada 
em todos os pares. Neste exemplo, optou‑se pela subtração que resultou em média positiva.
A primeira etapa de um teste de hipóteses é a seleção do teste adequado. Como o objetivo é 
comparar a temperatura corporal dos mesmos indivíduos em dois momentos, observe que os casos são 
relacionados ou emparelhados. Portanto, diante das evidências, a escolha do teste t para duas amostras 
pareadas aparenta ser adequada à situação.
A figura seguinte traz os box‑plots dos valores de temperatura obtidos antes e depois da administração 
do medicamento antitérmico. É possível avaliar que, após a administração do medicamento, a temperatura 
média dos indivíduos diminuiu. Será que essa diferença será considerada significativa?
34
35
36
37
38
39
40
Te
m
pe
ra
tu
ra
 (º
C)
Antes Depois
Figura 37 – Box‑plots da variável temperatura corporal (ºC) de indivíduos antes e depois da administração de medicamento 
antitérmico. A inspeção visual dos box‑plots indica que, após a administração do medicamento antitérmico, os valores de 
temperatura corporal dos indivíduos diminuíram. Os conjuntos são relativamente simétricos e não foram observados outliers
Os indivíduos foram aleatoriamente selecionados a partir da população, e suas temperaturas 
corporais foram, então, avaliadas em dois momentos, antes e depois da administração de medicamento 
antitérmico. Há independência de observações, pois cada observação emparelhada não exerce influência 
sobre outro par de observações presente no conjunto. O escore da diferença entre as medições apresenta 
perfil de distribuição normal (segundo enunciado), portanto, assumiremos que os dados seguem esse perfil. 
A inspeção do Q‑Q plot dos escores da diferença reforça esta afirmação.
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Escore da diferença
–0.5 0.5 1.5 2.5
–2.0
–1.5
–1.0
–0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Valor observado
N
or
m
al
 e
sp
er
ad
a
Figura 38 – Q‑Q plot do escore da diferença da temperatura corporal (ºC) 
de indivíduos antes e depois da administração de medicamento antitérmico, 
indicando que os escores da diferença apresentam distribuição que tende 
à normalidade (pontos se aproximam da linha de tendência central), sendo que 
nenhuma observação ultrapassou o limite de ±2,0 desvio padrão em função da média
A próxima etapa consiste na descrição das hipóteses nula e alternativa. Antes de defini‑las, 
deve‑se estipular se estamos diante de um teste unicaudal ou bicaudal. No caso, procura‑se saber se 
o medicamento é um bom antitérmico, ou seja, se levará a uma significativa redução (µAntes > µDepois) 
da temperatura corporal. Portanto, estamos diante de um teste unilateral à direita. Assim, nossas 
hipóteses serão:
H0: se µAntes ≤ µDepois, logo µAntes – µDepois ≤ 0
Ha: se µAntes > µDepois, logo µAntes – µDepois > 0
Em seguida, devemos estimar o valor crítico do teste. Consideremos que o teste em questão é 
unicaudal. Segundo o enunciado, o nível de significância adotado é α = 0,025 ou 2,5%; como, ao 
todo, vinte indivíduos foram avaliados antes e depois da administração do medicamento, temos que 
GL = n – 1, logo, GL = 19.
Com base nesses valores, é possível recorrer à tabela t e cruzar os graus de liberdade com o nível de 
significância adotado.
Sendo GL = 19 e α unicaudal = 0,025, observamos que o valor crítico de t para essa estatística será 
igual a 2,093 (veja na tabela seguinte).
tcrit = 2,093
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Tabela 29 – Recorte de valores críticos de t
GL
A
α = 0,05 unicaudal
ou
α = 0,10 bicaudal
B
α = 0,025 unicaudal
ou
α = 0,05 bicaudal
C
α = 0,01 unicaudal
ou
α = 0,02 bicaudal
D
α = 0,005 unicaudal
ou
α = 0,01 bicaudal
17 1,740 2,110 2,567 2,898
18 1,734 2,101 2,552 2,878
19 1,729 2,093 2,539 2,861
20 1,725 2,086 2,528 2,845
21 1,721 2,080 2,518 2,831
Nota: a distribuição t varia conforme o grau de liberdade (GL). Como o nível de significância adotado no nosso 
exemplo é α = 0,025 unicaudal e o teste possui 19 graus de liberdade, temos que o valor crítico de t para esse 
cálculo será de 2,093 (conforme destaque).
Para um teste unilateral à direita, a tomada de decisão se dará de modo que, se tcrit < tcalc, não há 
evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como verdadeira; já se tcalc ≥ tcrit, há evidências para 
rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Com base nos dados apresentados, em que:
MD = 0,73ºC
sD = 0,74ºC
n = 20
Para calcular o valor da estatística t, temos:
D
MD
M
t 
s
=
( )
0,73
t 
0,74 / 20
=
( )
0,73
t 
0,74 / 4,4721
=
0,73
t 4,411
0,1655
= =
O valor da estatística t é tcalc = 4,411.
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Unidade II
Temos que tcalc = 4,411 e tcrit = 2,093. Como o teste é unicaudal à direita, devemos observar que, se 
tcrit < tcalc, não há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como verdadeira; já se tcalc ≥ tcrit, há 
evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Nesse caso, estamos diante da segunda situação, pois:
tcalc ≥ tcrit
4,411 ≥ 2,093
Portanto, há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Quanto será a chance de erro (p)? Ela é maior ou menor que nível de significância (α) adotado? Para 
um teste t unilateral à direita, temos que, se tcrit < tcalc, p > α, logo, não existem evidências para rejeitar 
H0, devendo‑se aceitá‑la como verdadeira; se tcalc ≥ tcrit, p ≤ α, logo, os dados fornecem evidências para 
rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Como:
tcalc ≥ tcrit, logo, p ≤ α
4,411 ≥ 2,093, logo, p ≤ 0,025
Se p ≤ 0,025, rejeita‑se H0 como verdadeira. Mas qual será o valor exato da chance de erro (p)? 
Para obtê‑lo, teríamos duas abordagens: calcular a integral da área sob a curva além do valor de 
tcalc (ambas as caudas) ou utilizar um software de análise (para o exemplo em questão, via software, 
p = 0,00014 ou 0,014%).
Com base na tabela t, ao observarmos a linha de 19 graus de liberdade, notamos que o valor que 
mais se aproxima do valor calculado é 2,861, que corresponde a uma probabilidade unicaudal de 0,005 
(coluna D da tabela anterior), indicando que o valor da chance de erro está mais próximo de p = 0,005 
(0,5%) do que de p = 0,025 (2,5%). De qualquer forma, p < α adotado, apenas podemos dar um pouco 
mais de precisão ao cálculo utilizando informações disponíveis na tabela t.
Uma vez interpretado o resultado, podemos prosseguir para sua descrição por extenso:
Com o objetivo de avaliar se um medicamento antitérmico levaria a uma redução da temperatura corporal 
em 20 indivíduos, registros de temperatura foram realizados antes (MAntes = 37,86 ºC, sAntes = 1,03 ºC) 
e depois de uma hora (MDepois = 37,13 ºC, sDepois = 0,56 ºC) da administração do medicamento. Por se 
tratarem de dados emparelhados(medidas repetidas), um teste t pareado foi conduzido, e, a um nível 
de significância α = 0,025, concluiu‑se que houve uma redução significativa de 0,73 ºC entre os dois 
momentos, como consequência da intervenção (t(19) = 4,411, p < 0,025).
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7 TESTES DE HIPÓTESES PARA TRÊS OU MAIS AMOSTRAS
7.1 Análise de variância (ANOVA) de um fator
A análise de variância (ANOVA) é uma família de testes utilizados para comparação de médias 
entre dois ou mais grupos. Trataremos, aqui, apenas da ANOVA de um fator (one‑way ANOVA, 
em inglês), uma extensão do teste t para amostras independentes. A ANOVA de um fator permite 
verificar o efeito de uma variável explicativa de natureza qualitativa (fator, por exemplo, grupos) 
em uma variável dependente de natureza quantitativa. Cada grupo inclui as observações da variável 
dependente em uma categoria do fator.
Considere um estudo com cinco condições (cinco grupos). Você poderia imaginar que seria possível 
analisar esses resultados efetuando uma série de testes t para amostras independentes. Por exemplo, 
um pesquisador poderia comparar a média da condição 1 com a da condição 2, a média da condição 1 
com a da condição 3, a média da condição 1 com a da condição 4 e assim sucessivamente, conforme a 
tabela a seguir. Seriam necessários 10 testes t nesse cenário.
Quadro 4 – Todos os possíveis pares da 
comparação de cinco grupos experimentais
1 versus 2 1 versus 3 1 versus 4 1 versus 5
2 versus 3 2 versus 4 2 versus 5
3 versus 4 3 versus 5
4 versus 5
Nota: se um estudo possuir cinco condições experimentais, e comparações múltiplas, 
uma a uma, fossem realizadas, seriam necessários 10 testes t. Se cada comparação 
individual assumir uma chance de 5% de incorrer em erro do tipo I, haverá quase 
50% de chance de uma em dez comparações apresentar um erro do tipo I.
A probabilidade de incorrer em um erro do tipo I – rejeitar a hipótese nula quando ela for verdadeira 
– é determinada pelo nível de significância (α) adotado. Para α = 0,05, assumimos que, caso repetíssemos 
um mesmo experimento 100 vezes, em 5 dessas 100 repetições, chegaríamos a conclusões diferentes 
por conta do acaso. Logo, ao assumir α = 0,05, um pesquisador assume que sua chance de cometer um 
erro do tipo I é de 5%.
O problema em efetuar múltiplos testes t é que aumentamos a probabilidade de incorrer em erro do 
tipo I. Em dez testes separados, o nível de significância total se eleva para quase 50%. Isso significa que 
há perto de 50% de chance de uma em dez comparações conduzir a uma conclusão errada, rejeitando 
a hipótese nula quando ela for verdadeira. Isto não é bom sinal, e o experimentador não saberia qual 
dessas dez análises leva a uma conclusão incorreta.
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Unidade II
 Observação
Testes t comparam médias entre grupos, então por que a análise de 
variância é necessária? Se tivermos mais de dois grupos, por que não 
fazemos múltiplos testes t, simplesmente?
A ANOVA é necessária para que evitemos a rejeição incorreta da hipótese 
nula (afirmando que há uma diferença significativa quando ela, de fato, 
pode não existir). Esse erro é chamado erro do tipo I e sua probabilidade é 
determinada pelo nível de significância (α) adotado.
A análise de variância resolve esse problema porque todas as médias são comparadas entre si de uma 
única vez. De tal forma, o nível de significância (α) é mantido constante, conforme adoção inicial. Se 
o resultado da ANOVA for significativo, ou seja, conduzir à conclusão de que a hipótese nula deve ser 
rejeitada, é preciso efetuar uma análise post‑hoc (do latim, “depois disso”), visando descobrir quais pares 
de grupos realmente são diferentes entre si.
 Observação
Note que a ANOVA não informa quais grupos diferem entre si, 
somente informa que há uma diferença. Após encontrar uma diferença, 
é preciso conduzir testes post‑hoc no fator para examinar as diferenças entre 
os níveis.
Observe uma analogia que ajuda a entender melhor o relacionamento entre uma ANOVA e um 
teste post‑hoc. Imagine‑se do lado de fora de um estádio de futebol em um dia de jogo, com a casa 
cheia. De repente, você escuta um brado da multidão. Esse seria o equivalente ao resultado da ANOVA – 
sinalizando, em geral, que alguma coisa interessante ocorreu, mas sem especificar o quê. Para descobrir 
o que houve naquela partida, estando do lado de fora, você precisaria obter uma entrada para o estádio. 
Entrar no estádio seria como efetuar um teste post‑hoc. Testes post‑hoc são conduzidos após a ANOVA, 
quando se tem certeza de que há algo interessante a ser encontrado.
Assim, na ANOVA, um conjunto de valores é analisado e são identificadas diferentes fontes de 
variabilidade. A variabilidade total da amostra pode ser dividida em duas fontes de variação: entre 
os grupos e dentro dos grupos. Esta é causada primariamente pelas diferenças entre os valores que 
compõem um mesmo grupo, fruto da variabilidade individual caso a caso. Já a primeira é resultado 
da combinação entre os tratamentos diferentes que os grupos recebem e da variabilidade entre os 
indivíduos divididos nos diferentes grupos.
Por exemplo, deseja‑se avaliar o efeito do álcool no organismo quanto à seletividade na escolha de 
parceiros sexuais. Imaginemos que um grande grupo de pessoas será dividido aleatoriamente em três 
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grupos, em que os indivíduos consumirão (1) 4 latas de cerveja em um curto intervalo de tempo, (2) 2 
latas de cerveja em curto intervalo de tempo e (3) 2 latas de cerveja sem álcool – grupo controle. Cada 
grupo possuirá certa variabilidade observada na variável dependente, como reflexo da sua composição 
diversa – essa seria a fonte de variação dentro dos grupos. Uma vez que os indivíduos foram distribuídos 
aleatoriamente entre os grupos, espera‑se que eles sejam relativamente homogêneos entre si, em termos 
de sexo, massa corporal, tempo de jejum, experiência com álcool e assim por diante. Cada grupo foi 
exposto a uma quantidade diferente de álcool.
Os resultados da variável dependente serão exatamente os mesmos entre eles? Não, porque existem 
diferenças entre os grupos em função do tratamento – quantidade de álcool consumida – e das diferenças 
individuais entre os componentes dos três grupos.
Outro exemplo, agora com números, para compreendermos as etapas da ANOVA é supormos que 
doze mulheres, de mesma faixa etária e massa corporal aproximada, foram divididas aleatoriamente em 
três grupos, submetidos a diferentes dietas, durante quatro semanas. A perda de massa individual 
(em kg) está indicada na tabela seguinte. A um nível de significância de 5%, é possível inferir que houve 
efeito da dieta adotada sobre a perda de massa? Assumindo que a normalidade e a homogeneidade 
foram respeitadas.
Tabela 30 – Perda de massa (kg) ao 
final do período experimental
Dieta A Dieta B Dieta C Total
2,00 3,00 6,00
5,00 4,00 5,00
4,00 5,00 7,00
3,00 6,00 8,00
Σ= 14,00 18,00 26,00 58,00
n = 4 4 4 12
M = 3,50 4,50 6,50 4,83
s = 1,29 1,29 1,29 1,75
Nota: esses valores representam os resultados obtidos para a variável 
dependente perda de massa (kg), para 12 mulheres distribuídas 
aleatoriamente em três grupos, cada qual submetido a uma dieta diferente 
durante o período de quatro semanas. A última coluna, denominada total, 
fornece a informação para todos os indivíduos combinados.
A primeira etapa de um teste de hipóteses é a seleção do teste adequado. No exemplo anterior, o 
objetivo é comparar a média da perda de massas em três grupos, cada qual submetido a uma dieta 
diferente, sendo que os indivíduos que compõem um grupo não estão relacionados com os indivíduos 
que compõem outro, ou seja, são observações independentes. Portanto, diante dasevidências, a escolha 
da ANOVA de um fator aparenta ser adequada à situação.
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Unidade II
Como o tamanho amostral em cada grupo é pequeno, a figura seguinte traz os dot‑plots da 
perda de massa obtida em função das dietas empregadas. Será que esses resultados são significativos, 
adotando‑se α = 0,05?
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Dieta A Dieta B Dieta C
Pe
rd
a 
de
 m
as
sa
 (k
g)
Figura 39 – Dot‑plots da variável perda de massa (kg) para mulheres 
submetidas a três dietas distintas. A inspeção visual dos dot‑plots indica que a 
dieta C levou a maior média de perda de massa entre as apresentadas
Os pressupostos da ANOVA de um fator são os mesmos do teste t para duas amostras independentes, 
já mencionados:
I – Cada amostra deve ser aleatoriamente selecionada a partir da população: o teste é robusto a 
este pressuposto.
II – Deve haver independência de observações: o teste não é robusto à violação deste pressuposto.
III – A variável dependente deve apresentar distribuição normal em cada população: o teste é 
relativamente robusto a este pressuposto, sobretudo se o n amostral for grande.
IV – Deve haver homogeneidade de variâncias, em outras palavras, a variabilidade em ambas as 
populações deve ser equivalente: o teste é relativamente robusto a este pressuposto, sobretudo se o n 
amostral for grande.
Assim, temos que as participantes foram aleatoriamente selecionadas para compor os grupos. 
Há independência entre as observações, pois cada participante foi alocada em um grupo e avaliada 
individualmente, sendo que a seleção de uma participante em um grupo não exerceu influência sobre a 
seleção de outra participante em outro grupo. A variável dependente (perda de massa) apresenta perfil 
de distribuição normal nas populações de origem (segundo enunciado), portanto, assumiremos que os 
dados seguem esse perfil.
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
A inspeção dos Q‑Q plots reforça essa afirmação. Ao compararmos os desvios padrões das três 
amostras, temos que sA = 1,29 kg, sB = 1,29 kg e sC = 1,29 kg, então as variabilidades podem ser 
consideradas iguais, afirmando‑se que há homogeneidade de variâncias.
Dieta A
0 2 4 6 8 10
–2.0
–1.5
–1.0
–0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Valores observados
N
or
m
al
 e
sp
er
ad
a
Dieta B
0 2 4 6 8 10
–2.0
–1.5
–1.0
–0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Valores observados
N
or
m
al
 e
sp
er
ad
a
Dieta C
0 2 4 6 8 10
–2.0
–1.5
–1.0
–0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
Valores observados
N
or
m
al
 e
sp
er
ad
a
Figura 40 – Q‑Q plots da variável perda de massa (kg) em função da dieta adotada. O Q‑Q plots indica 
que os dados dos conjuntos apresentam distribuição que tende à normalidade (pontos se aproximam 
da linha de tendência central), sendo que nenhuma observação ultrapassou o limite 
de ±2,0 desvios padrões em função da média
A próxima etapa consiste na descrição das hipóteses nula e alternativa. A hipótese nula nos dirá que 
as médias populacionais são iguais entre si. A hipótese alternativa afirmará que nem todas as médias 
populacionais são iguais entre si, ou seja, pelo menos uma das médias será diferente das demais. Isso 
significa que a diferença entre pelo menos um par de médias amostrais (M1, M2 e M3) deverá ser maior 
do que o erro amostral poderia explicar, assumindo que foram extraídas da mesma população. Assim:
H0: µ1 = µ2 = µ3
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Unidade II
Ha: pelo menos uma das médias populacionais é diferente das demais
Em seguida, devemos estimar o valor crítico do teste. A interpretação do valor crítico é 
semelhante à que vimos para o teste t, entretanto, lidamos, agora, com outro teste estatístico 
e deveremos procurar por esse valor na tabela seguinte (excerto do Apêndice C). Deveremos levar 
em conta algumas observações:
I – Qual o nível de significância (α) adotado?
II – Quantos graus de liberdade há no numerador da equação do teste?
III – Quantos graus de liberdade há no denominador da equação do teste?
Os graus de liberdade no numerador da estatística F, que estão representados nas colunas da tabela 
de valores críticos de F, são os graus de liberdade entre os grupos e correspondem a:
nGrupos – 1
Os graus de liberdade no denominador da estatística F, que estão representados nas linhas da tabela 
de valores críticos de F, são os graus de liberdade dentro dos grupos e correspondem a:
nTotal – nGrupos
Os graus de liberdade totais da estatística F correspondem a:
nTotal – 1
Para os dados do nosso exemplo, temos que o nível de significância é α = 0,05 ou 5%; os 
graus de liberdade no numerador nGrupos – 1 = 3 – 1 = 2; e os graus de liberdade no denominador 
nTotal – nGrupos = 12 – 3 = 9.
Com base nesses valores, é possível recorrer a uma tabela F (Apêndice C) e cruzar as informações dos 
valores dos graus de liberdade no numerador com as dos graus de liberdade no denominador (note que 
a tabela de valores críticos de F possui nível de significância fixado em α = 0,05; para outros valores de 
α, outras tabelas deverão ser consultadas, em outras fontes).
Sendo GLNumerador = 2 e GLDenominador = 9, com α = 0,05, observamos que o valor crítico de F para essa 
estatística será igual a 4,256 (veja a tabela seguinte).
Fcrit = 4,256
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Tabela 31 – Valores críticos de F, α = 0,05
GL denominador GL numerador
1 2 3 4 5 6 7 8
1 161,448 199,500 215,707 224,583 230,162 233,986 236,768 238,883
2 18,513 19,000 19,164 19,247 19,296 19,330 19,353 19,371
3 10,128 9,552 9,277 9,117 9,013 8,941 8,887 8,845
4 7,709 6,944 6,591 6,388 6,256 6,163 6,094 6,041
5 6,608 5,786 5,409 5,192 5,050 4,950 4,876 4,818
6 5,987 5,143 4,757 4,534 4,387 4,284 4,207 4,147
7 5,591 4,737 4,347 4,120 3,972 3,866 3,787 3,726
8 5,318 4,459 4,066 3,838 3,687 3,581 3,500 3,438
9 5,117 4,256 3,863 3,633 3,482 3,374 3,293 3,230
10 4,965 4,103 3,708 3,478 3,326 3,217 3,135 3,072
11 4,844 3,982 3,587 3,357 3,204 3,095 3,012 2,948
12 4,747 3,885 3,490 3,259 3,106 2,996 2,913 2,849
13 4,667 3,806 3,411 3,179 3,025 2,915 2,832 2,767
14 4,600 3,739 3,344 3,112 2,958 2,848 2,764 2,699
15 4,543 3,682 3,287 3,056 2,901 2,790 2,707 2,641
Nota: a distribuição F varia conforme os graus de liberdade (GL). Como o nível de significância adotado no nosso 
exemplo é α = 0,05 e o teste possui GLNumerador = 2 e GLDenominador = 9, temos que o valor crítico de F para esse 
cálculo será de 4,256 (conforme destaque).
Para a ANOVA, a tomada de decisão se dará de modo que:
• se Fcalc < Fcrit, não há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como verdadeira;
• se Fcalc ≥ Fcrit, há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Para compreendermos a fórmula da ANOVA de um fator e calcularmos o valor da estatística F, 
usamos a equação que define a variância amostral.
 Lembrete
Fórmula da variância amostral:
( )22 X M soma dos quadradoss 
n 1 grau de liberdade
∑ −
= =
−
Sendo:
s2 = a variância amostral
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Unidade II
X = um valor observado
M = a média amostral
n = o tamanho da amostra
Simplificadamente, a variância amostral pode ser definida como a soma dos quadrados dividida 
por grau de liberdade. Para o cálculo da ANOVA, existem três somas dos quadrados que deverão ser 
calculadas: a soma dos quadrados entre os grupos, a dentro dos grupos e a total. A soma dos quadrados 
total representa toda a variabilidade existente nos dados, assim:
SQTotal = SQEntre + SQDentro
Para calcular SQTotal, todas as observações são tratadas como se houvesse apenas um único e grande 
grupo: a média total será subtraída de cada observação; esses desviosserão elevados ao quadrado e, 
então, somados entre si. De forma simplificada, podemos usar a equação a seguir:
( ) ( )
2
2
Total
X
SQ X
n
∑
= ∑ −
Sendo:
SQTotal = a soma dos quadrados total
X = um valor observado
n = o tamanho da amostra
Essa fórmula indica que devemos:
I – Elevar todos os valores observados ao quadrado e somá‑los entre si.
II – Somar todos os valores entre si, elevar a soma ao quadrado e dividi‑la pelo total de elementos 
da amostra.
III – Subtrair o resultado da etapa II do resultado da etapa I.
Com base nos valores do nosso exemplo, observe:
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Tabela 32 – Perda de massa (kg) ao final do 
período experimental, quadrados e somas
Dieta A Dieta B Dieta C Total
X X2 X X2 X X2
2,00 4,00 3,00 9,00 6,00 36,00
5,00 25,00 4,00 16,00 5,00 25,00
4,00 16,00 5,00 25,00 7,00 49,00
3,00 9,00 6,00 36,00 8,00 64,00 X X2
Σ= 14,00 54,00 18,00 86,00 26,00 174,00 58,00 314,00
n = 4 4 4 12
Substituindo‑os na equação:
( ) ( )
2
2
Total
X
SQ X
n
∑
= ∑ −
( )2
Total
58
SQ 314
12
= −
Total
3364
SQ 314
12
= −
TotalSQ 314 280,33 33,67= − =
Em seguida, devemos calcular a soma dos quadrados entre os grupos, conforme a seguinte equação:
( ) ( )2 2Grupo
Entre
Grupo
X X
SQ
n n
 ∑ ∑ = ∑ − 
  
Sendo:
SQEntre = a soma dos quadrados entre os grupos
XGrupo = os valores observados em um grupo
nGrupo = o número de elementos em um grupo
X = os valores observados
n = o tamanho da amostra
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Unidade II
Essa fórmula indica que devemos:
I – Para cada grupo: somar todos os valores observados, elevar seu resultado ao quadrado e, então, 
dividir pelo tamanho do respectivo grupo. Somar, então, os resultados obtidos para todos os grupos.
II – Somar todos os valores entre si, elevar a soma ao quadrado e dividi‑la pelo total de elementos 
da amostra.
III – Subtrair o resultado da etapa II do resultado da etapa I.
Substituindo‑os, na equação:
( ) ( )2 2Grupo
Entre
Grupo
X X
SQ
n n
 ∑ ∑ = ∑ − 
  
( )22 2 2
Entre
5814 18 26
SQ
4 4 4 12
 
= + + − 
  
Entre
196 324 676 3364
SQ
4 4 4 12
 = + + −  
Entre
1196 3364
SQ
4 12
 = −  
EntreSQ 299 280,33 18,67= − =
Por fim, calculamos a soma dos quadrados dentro dos grupos, conforme a equação a seguir:
( )2Grupo2
Dentro Grupo
Grupo
X
SQ X
n
 ∑ = ∑ ∑ − 
  
Sendo:
SQDentro = a soma dos quadrados dentro dos grupos
XGrupo = os valores observados em um grupo
nGrupo = o número de elementos em um grupo
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Nessa fórmula, deve‑se:
I – Para cada grupo: elevar todos os valores observados ao quadrado e somá‑los.
II – Para cada grupo: somar todos os valores observados, elevar seu resultado ao quadrado e, então, 
dividir pelo tamanho do respectivo grupo.
III – Para cada grupo: subtrair o resultado da etapa II do resultado da etapa I.
IV – Somar todos os valores obtidos na etapa III.
Substituindo‑os, na equação:
( )2Grupo2
Dentro Grupo
Grupo
X
SQ X
n
 ∑ = ∑ ∑ − 
  
2 2 2
Dentro
14 18 26
SQ 54 86 174
4 4 4
     
= − + − + −          
     
Dentro
196 324 676
SQ 54 86 174
4 4 4
     = − + − + −     
     
( ) ( ) ( )DentroSQ 54 49 86 81 174 169= − + − + −
( ) ( ) ( )DentroSQ 5 5 5 15= + + =
Note que:
SQTotal = SQEntre + SQDentro
33,67 = 18,67 + 15
33,67 = 33,67
Agora que as somas dos quadrados e os graus de liberdade foram calculados, podemos calcular a estatística F. 
Organizando os valores obtidos até o momento em uma tabela, temos:
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Unidade II
Tabela 33 – Cálculos da ANOVA
Fonte de variação Soma dos quadrados
Graus de 
liberdade
Quadrados 
médios F
Entre os grupos 18,67 2 SQEntre/GLEntre QMEntre/QMDentro
Dentro dos grupos 15,00 9 SQDentro/GLDentro
Total 33,67 11
Note que, a partir das somas dos quadrados e dos graus de liberdade, é possível obter medidas de 
variância, que também podemos chamar de quadrados médios. Duas dessas medidas são importantes 
para nosso cálculo, o quadrado médio entre os grupos e o quadrado médio dentro dos grupos, que 
podem ser obtidos dividindo‑se as somas dos quadrados pelos respectivos graus de liberdade, conforme 
apontado na tabela anterior.
Em posse desses valores, podemos calcular a estatística F, que corresponde a:
Entre
Dentro
QM
F 
QM
=
Sendo:
F = a estatística F
QMEntre = o quadrado médio entre os grupos
QMDentro = o quadrado médio dentro dos grupos
Atualizando as informações da tabela anterior, obtemos a tabela seguinte:
Tabela 34 – Cálculos completos da ANOVA
Fonte de variação Soma dos quadrados
Graus de 
liberdade
Quadrados 
médios F
Entre os grupos 18,67 2 9,335 5,600
Dentro dos grupos 15,00 9 1,667
Total 33,67 11
Para a interpretação do resultado do teste, é necessário saber se a hipótese nula foi rejeitada. Temos 
que Fcalc = 5,600 e Fcrit = 4,256. Devemos observar que, se Fcalc < Fcrit, não há evidências para rejeitar H0, 
devendo‑se aceitá‑la como verdadeira; já se Fcalc ≥ Fcrit, há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitar 
Ha como verdadeira.
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Nesse caso, estamos diante da segunda situação, pois:
Fcalc ≥ Fcrit
5,600 ≥ 4,256
Portanto, há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Quanto será a chance de erro (p)? Ela é maior ou menor que o nível de significância (α) adotado? 
A interpretação segue o mesmo raciocínio apresentado no teste t para duas amostras independentes.
Se Fcalc < Fcrit, p > α, logo, não existem evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como 
verdadeira; se Fcalc ≥ Fcrit, p ≤ α, logo, os dados fornecem evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitar 
Ha como verdadeira.
Assim, como:
Fcalc ≥ Fcrit, logo, p < α
5,600 ≥ 4,256, logo, p < 0,05
Se p < 0,05, rejeita‑se H0 e aceita‑se Ha como verdadeira. Para obter o valor exato da chance de 
erro (p), teríamos duas abordagens: calcular a integral da área sob a curva, além do valor de Fcalc, ou 
utilizar um software de análise (para o exemplo em questão, via software, p = 0,0263). Note que, 
independentemente de estar em posse do valor exato da chance de erro (p) ou não, nossa conclusão 
não se altera: p < 0,05.
Uma vez interpretado o resultado, chegou‑se à conclusão de que ao menos uma das médias é 
diferente das demais. Mas qual(is)? Para responder a essa pergunta, precisamos efetuar um teste 
post‑hoc para múltiplas comparações.
Há uma grande variedade de testes post‑hoc, como Bonferroni, Scheffé, Newman‑Keuls, entre 
outros. Veremos o teste de Tukey (HSD, do inglês honestly significant difference, diferença mínima 
significativa). Por meio do teste de Tukey, poderemos determinar uma diferença mínima necessária para 
considerar duas médias significativamente distintas entre si.
A fórmula do teste de Tukey (HSD) é como segue:
Dentro
Menor Grupo
QM
HSD q
n
=
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Unidade II
Sendo:
HSD = a diferença mínima necessária para considerar duas médias significativamente distintas entre si
q = um valor da amplitude estudentizada para uso no teste de Tukey (Apêndice D)
QMDentro = o quadrado médio dentro dos grupos
nMenor Grupo = tamanho do menor grupo
Para obter o valor de q, é necessário recorrer a uma tabela de valores da amplitude total estudentizada 
(disponível no Apêndice D). Observe um recorte na tabela em seguida.
Tabela 35 – Valores da amplitude total estudentizada (q), 
para uso no teste de Tukey, α = 0,05
GLDentro
Número de grupos
2 3 4 5 6 7 8 9
1 17,969 26,97632,819 37,082 40,408 43,119 45,397 47,357
2 6,085 8,331 9,798 10,881 11,734 12,435 13,027 13,539
3 4,501 5,910 6,825 7,502 8,037 8,478 8,852 9,177
4 3,926 5,040 5,757 6,287 6,706 7,053 7,347 7,602
5 3,635 4,602 5,218 5,673 6,033 6,330 6,582 6,801
6 3,460 4,339 4,896 5,305 5,628 5,895 6,122 6,319
7 3,344 4,165 4,681 5,060 5,359 5,606 5,815 5,997
8 3,261 4,041 4,529 4,886 5,167 5,399 5,596 5,767
9 3,199 3,948 4,415 4,755 5,024 5,244 5,432 5,595
10 3,151 3,877 4,327 4,654 4,912 5,124 5,304 5,460
Nota: um valor de q é necessário para o cálculo do teste post‑hoc de Tukey. Um valor de q pode 
ser obtido a partir da intersecção do número de grupos presente em sua análise (colunas) com o 
grau de liberdade dentro dos grupos (linhas). A um nível de significância α = 0,05, GLDentro = 9 e 
nGrupos = 3, temos que o valor de q para esse cálculo será de 3,948 (conforme destaque).
Substituindo‑se os valores na equação:
Dentro
Menor Grupo
QM
HSD q
n
=
1,667
HSD 3,948
4
=
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HSD 3,948 0,4168=
HSD 3,948 0,6456 2,55= × =
Quaisquer médias que diferirem entre si por pelo menos 2,55 unidades serão consideradas 
significativamente distintas entre si. Assim, se efetuarmos uma comparação entre as médias, é possível 
evidenciar que o único par da comparação que obteve uma diferença entre médias acima de 2,55 foi 
dieta A versus dieta C:
Tabela 36 – Comparação múltipla entre as médias
Grupo 1 Grupo 2 |M1 – M2|
Diferença 
crítica
Diferença 
significativa
Dieta A Dieta B 1,00 2,55 Não
Dieta A Dieta C 3,00 2,55 Sim
Dieta B Dieta C 2,00 2,55 Não
Uma vez interpretado o resultado, podemos prosseguir para sua descrição por extenso. Devemos 
destacar alguns elementos importantes na resposta, tais como:
I – o teste utilizado;
II – o tamanho da amostra;
III – o valor calculado do teste estatístico acompanhado dos graus de liberdade;
IV – o nível de significância (α) adotado;
V – se H0 foi rejeitada ou não;
VI – o resultado do teste post‑hoc (caso efetuado).
Vejamos como ficaria a descrição do nosso exemplo: com o objetivo de avaliar se haveria efeito 
da dieta adotada sobre a perda de massa corporal, doze mulheres, de mesma faixa etária e massa 
corporal aproximada, foram distribuídas aleatoriamente em três grupos que diferiram entre si pela dieta 
praticada. Os indivíduos que adotaram a dieta A perderam, em média, MA = 3,50 kg (sA = 1,29 kg, nA = 4); 
os indivíduos que seguiram a dieta B perderam, em média, MB = 4,50 kg (sB = 1,29 kg, nB = 4); já os 
indivíduos que seguiram a dieta C eliminaram, em média, MC = 6,50 kg (sC = 1,29 kg, nC = 4).
Uma análise de variância de um fator foi conduzida, a fim de investigar se as médias observadas 
poderiam ser consideradas distintas entre si a um nível de significância α = 0,05. Houve uma diferença 
significativa da dieta escolhida sobre a perda de massa média (F(2,9) = 5,600, p < 0,05). Um teste post‑hoc 
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de Tukey (HSD) foi efetuado para avaliar quais médias poderiam ser consideradas distintas entre si, 
concluiu‑se, assim, que a dieta C levou a uma perda de massa significativamente maior do que a dieta A 
(diferença entre médias = 3,0 kg, diferença mínima necessária = 2,55 kg), sendo, portanto, mais efetiva 
para o objetivo inicial, em termos comparativos.
8 TESTES DE HIPÓTESES PARA VARIÁVEIS CATEGÓRICAS
8.1 Teste do chi quadrado
Vimos, até o momento, os testes z, t e F, que vêm de uma família de testes chamados testes 
paramétricos. Esses testes devem ser utilizados apenas quando os pressupostos acerca da população 
são respeitados. Em contrapartida, os testes não paramétricos não assumem os mesmos pressupostos.
Existem duas situações em que os testes não paramétricos são empregados:
• se a variável dependente é avaliada em escala nominal ou ordinal, então um teste não paramétrico 
deve ser considerado;
• se um pesquisador planeja utilizar um teste paramétrico, mas há violação a algum(ns) pressuposto(s).
Em geral, testes não paramétricos são menos poderosos do que os testes paramétricos. Abordaremos 
um teste chamado teste do chi quadrado (x2), que é empregado quando lidamos com variáveis tratadas 
como categóricas. Existem três empregos principais para esse teste estatístico:
I – Um teste de chi quadrado (x2) de aderência (ou de ajustamento) serve para ajudar o pesquisador 
a decidir se os dados que ele colheu se ajustam bem a uma determinada lei. Em outras palavras, serve 
para testar a adequabilidade de um modelo probabilístico a um conjunto de dados observados.
II – Um teste de chi quadrado (x2) de homogeneidade visa verificar se uma variável aleatória se 
comporta de modo similar ou homogêneo em várias subpopulações. Em outras palavras, em um teste 
de chi quadrado de homogeneidade, podemos testar a afirmação de que diferentes populações têm a 
mesma proporção de indivíduos com alguma característica.
III – Um teste de chi quadrado (x2) de independência é semelhante ao teste de chi quadrado de 
aderência, mas considera uma lei oriunda da própria tabela de dados experimentais, a fim de avaliar 
se há ou não dependência entre duas variáveis. Quanto maior a dependência entre as duas variáveis, 
maior será o valor de x2. Quando as duas variáveis forem independentes, o valor de x2 tenderá a zero.
Para uma melhor compreensão, vejamos que, segundo Mendel, os resultados dos cruzamentos de 
ervilhas amarelas redondas com ervilhas verdes enrugadas seguem uma distribuição de probabilidades 
dada pela seguinte razão de fenótipos: 9:3:3:1.
Uma amostra de 556 ervilhas resultantes de cruzamentos de ervilhas amarelas redondas com ervilhas 
verdes enrugadas foi classificada da seguinte forma:
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Tabela 37 – Resultados obtidos para o cruzamento de ervilhas
Resultado Amarela redonda
Amarela 
enrugada
Verde 
redonda
Verde 
enrugada
Frequência observada 315 101 108 32
Consideraremos α = 0,05, a fim de investigar se há evidências de que os resultados desse experimento 
estejam de acordo com a distribuição de probabilidades proposta por Mendel.
O cenário anterior se adequa à aplicação de um teste de aderência, pois se deseja avaliar se os 
resultados obtidos estão de acordo com a distribuição de probabilidades proposta por Mendel.
Os pressupostos de um teste do chi quadrado são três:
I – Cada amostra deve ser aleatoriamente selecionada a partir da população: o teste é robusto a 
este pressuposto.
II – Deve haver independência de observações: o teste não é robusto à violação deste pressuposto.
III – A frequência esperada em cada casela da tabela deve ser de, no mínimo, cinco casos: o teste 
não é robusto à violação deste pressuposto, portanto, o chi quadrado não poderá ser calculado se não 
houver um número mínimo de casos. Veremos mais adiante como estimar a frequência esperada.
O próximo passo consiste em listar as hipóteses nula e alternativa. A hipótese nula afirma que 
a proporção de cada categoria na população respeita valores específicos. Isso significa que, desde 
que a amostra seja representativa da população, as proporções na amostra deverão corresponder 
a valores específicos. Lembre‑se, contudo, da existência do erro amostral, logo, não se espera que a 
amostra corresponda exatamente aos valores esperados na população. A hipótese alternativa afirma 
que a distribuição das características na população é diferente daqueles valores específicos. Em outras 
palavras, a diferença entre as frequências observadas na amostra e na população seriam muito grandes 
para serem explicadas apenas pelo erro amostral. Assim:
• H0: o modelo proposto é adequado a esta situação;
• Ha: o modelo proposto não é adequado a esta situação.
Em nosso exemplo, podemos listar que, para H0, a razão 9:3:3:1 é observadanessa amostra; para Ha, 
ao menos uma das igualdades não se verifica segundo a razão mendeliana.
Em seguida, devemos estimar o valor crítico do teste. A interpretação do valor crítico é semelhante 
à que vimos para os demais testes, entretanto, lidamos, agora, com outro teste estatístico e devemos 
procurar por esse valor na tabela seguinte (excerto do Apêndice E). Devemos, também, levar em conta 
as seguintes observações:
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Unidade II
• Qual o nível de significância (α) adotado?
• Quantos graus de liberdade possui nosso teste?
Os graus de liberdade do chi quadrado (x2) de aderência, que estão representados nas linhas da 
tabela de valores críticos, correspondem a:
GL = nCategorias – 1
Já o nível de significância é definido a priori e dependerá da escolha do pesquisador. Tradicionalmente 
se emprega α = 0,05.
Para os dados do nosso exemplo, temos o nível de significância é α = 0,05 ou 5% e os graus de 
liberdade GL = nCategorias – 1 = 4 – 1 = 3.
Com base nesses valores, é possível recorrer a uma tabela x2 (Apêndice E) e cruzar as informações 
entre os valores dos graus de liberdade com o nível de significância adotado.
Sendo GL = 3, com α = 0,05, observamos que o valor crítico de x2 para essa estatística será igual a 
7,815 (veja na tabela a seguir).
x2crit = 7,815
Tabela 38 – Valores críticos de 
chi quadrado (excerto do Apêndice E)
GL
Nível de significância adotado
0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 0,001
1 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 10,828
2 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597 13,816
3 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 16,266
4 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860 18,467
5 9,236 11,070 12,833 15,086 16,750 20,515
6 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 22,458
7 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 24,322
Nota: a distribuição x2 varia conforme os graus de liberdade (GL). Como o nível de 
significância adotado no nosso exemplo é α = 0,05 e o teste possui GL = 3, temos 
que o valor crítico de x2 para esse cálculo será de 7,815 (conforme destaque).
Para o chi quadrado, a tomada de decisão se dará de modo que:
• se x2calc < x
2
crit, não há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como verdadeira;
• se x2calc ≥ x
2
crit, há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Para calcular o valor da estatística x2, a primeira etapa é obter a frequência esperada e, depois, calcular 
os resíduos para cada casela, lembrando que o resíduo = frequência observada – frequência esperada.
Para calcular a frequência esperada, dada a razão mendeliana de 9:3:3:1, temos:
n = 556 ervilhas
9+3+3+1=16
556 x 9/16 = 312,75
556 x 3/16 = 104,25
556 x 3/16 = 104,25
556 x 1/16 = 34,75
Assim:
Tabela 39 – Frequência observada e frequência 
esperada para o cruzamento de ervilhas
Resultado Amarela redonda
Amarela 
enrugada
Verde 
redonda
Verde 
enrugada
Frequência observada 315 101 108 32
Frequência esperada 312,75 104,25 104,25 34,75
A diferença entre a frequência observada e a frequência esperada é chamada de resíduo. Observe a 
tabela a seguir:
Tabela 40 – Frequência observada, frequência 
esperada e resíduos para o cruzamento de ervilhas
Resultado Amarela redonda
Amarela 
enrugada
Verde 
redonda
Verde 
enrugada
Frequência observada 315 101 108 32
Frequência esperada 312,75 104,25 104,25 34,75
Resíduo 2,25 ‑3,25 3,75 ‑2,75
Por fim, podemos substituir os valores na equação do chi quadrado:
( ) ( )2 2Observada Esperada2
Esperada Esperada
f f resíduo
f f
−
χ = ∑ = ∑
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Unidade II
Sendo:
x2 = o valor da estatística do teste de chi quadrado
fObservada = frequência observada
fEsperada = frequência esperada
Substituindo‑se, na equação, os valores já calculados, temos:
( ) ( )2 2Observada Esperada2
Esperada Esperada
f f resíduo
f f
−
χ = ∑ = ∑
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2,25 3,25 3,75 2,75
312,75 104,25 104,25 34,75
− −
χ = + + +
2 0,016 0,101 0,135 0,218χ = + + +
2 0,470χ =
Assim, para a interpretação do resultado do teste, é necessário saber se a hipótese nula foi rejeitada. 
Temos que x2calc = 0,470 e x
2
crit = 7,815. Devemos observar que, se x
2
calc < x
2
crit, não há evidências para 
rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como verdadeira; já se x
2
calc ≥ x
2
crit, há evidências para rejeitar H0, 
devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Nesse caso, estamos diante da primeira situação, pois:
x2calc < x
2
crit
0,470 < 7,815
Portanto, não há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como verdadeira.
Quanto será a chance de erro (p)? Ela é maior ou menor que o nível de significância (α) adotado? 
A interpretação segue o mesmo raciocínio apresentado para os últimos testes.
Se x2calc < x
2
crit, p > α, logo, não existem evidências para rejeitar H0, devendo aceitá‑la como 
verdadeira; se x2calc ≥ x
2
crit, p ≤ α, logo, os dados fornecem evidências para rejeitar H0, devendo‑se 
aceitar Ha como verdadeira.
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Como:
x2calc < x
2
crit, logo p > α
0,470 < 7,815, logo p > 0,05
Se p > 0,05, aceita‑se H0 como verdadeira.
Uma vez interpretado o resultado, podemos prosseguir para sua descrição por extenso. Devemos 
destacar alguns elementos importantes na resposta, tais como:
I – o teste utilizado;
II – tamanho da amostra;
III – valor calculado do teste estatístico acompanhado dos graus de liberdade;
IV – nível de significância (α) adotado;
V – se H0 foi rejeitada ou não.
Vejamos como ficaria a descrição do nosso exemplo: com o objetivo de avaliar se uma amostra de 
556 ervilhas seguiria uma distribuição de probabilidades mendeliana, dada por uma razão de fenótipos 
(9:3:3:1), um teste de chi quadrado de aderência foi empregado. Para um nível de significância de 5%, 
os dados não forneceram evidências para rejeitar H0, ou seja, essa amostra segue uma distribuição de 
probabilidades mendeliana na proporção de 9:3:3:1 (x2(3) = 0,470; p > 0,05).
Observe, agora, um exemplo de um teste de chi quadrado (x2) de independência, quando se considera 
uma lei oriunda da própria tabela de dados experimentais, a fim de avaliar se há ou não dependência 
entre duas variáveis.
Suponhamos, então, que um pesquisador resolveu avaliar se a droga Prozac (fluoxetina) apresentaria 
efeitos benéficos no tratamento da anorexia em pacientes que sofrem desse distúrbio. O Prozac é um inibidor 
seletivo da recaptação de serotonina, utilizado normalmente para combater sintomas de depressão, pânico, 
ansiedade e sintomas obsessivos‑compulsivos. Após o tratamento, observou‑se se o quadro de anorexia seria 
superado (sucesso) ou se haveria reincidência do distúrbio alimentar (falha). Com base nos resultados a seguir 
e considerando α = 0,05, há associação entre o tipo de tratamento e a permanência do distúrbio alimentar?
Tabela 41 – Frequência observada para tratamento 
com Prozac ou placebo e efeito sobre anorexia
Anorexia
Droga Sucesso Falha
Prozac 13 36
Placebo 14 30
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Unidade II
Assumindo que os pressupostos não foram violados, como proceder em situações em que há duas 
variáveis categóricas na mesma tabela? O objetivo de um teste do chi quadrado (x2) de independência 
é, justamente, avaliar se existe ou não associação entre as variáveis categóricas.
Sendo as hipóteses nula e alternativa:
• H0: as variáveis são independentes.
• Ha: as variáveis não são independentes.
Para proceder com o cálculo, devemos encontrar os valores totais para linhas e colunas da tabela de 
frequência observada:
Tabela 42 – Frequência observada para tratamento 
com Prozac ou placebo e efeito sobre anorexia, com 
destaque para os totais das linhas e das colunasAnorexia
Droga Sucesso Falha Totais
Prozac 13 36 49
Placebo 14 30 44
Totais 27 66 93
Em seguida, calcula‑se a frequência esperada, sendo que, para cada casela, a frequência esperada 
será igual a:
linha coluna
Esperada
tabela
n n
f 
n
×
=
Tabela 43 – Frequência esperada para tratamento 
com Prozac ou placebo e efeito sobre anorexia
Anorexia
Droga Sucesso Falha
Prozac 14,23 34,77
Placebo 12,77 31,23
A partir das frequências observada e esperada, obtêm‑se os resíduos (frequência observada – 
frequência esperada):
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Tabela 44 – Resíduos para tratamento com 
Prozac ou placebo e efeito sobre anorexia
Anorexia
Droga Sucesso Falha
Prozac ‑1,23 1,23
Placebo 1,23 ‑1,23
Prosseguindo com o cálculo do chi quadrado, substituindo‑se, na equação, os valores já calculados:
( ) ( )2 2Observada Esperada2
Esperada Esperada
f f resíduo
f f
−
χ = ∑ = ∑
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1,23 1,23 1,23 1,23
14,23 34,77 12,77 31,23
− −
χ = + + +
2 0,106 0,043 0,118 0,048χ = + + +
2 0,315χ =
Qual será o valor crítico? Como trabalhamos com uma tabela que possui duas linhas e duas colunas, 
o número de graus de liberdade será igual a:
GL = (ncoluna ‑1)(nlinha – 1) = (2 – 1)(2 – 1) = 1 x 1 = 1
Assim, para um nível de significância α = 0,05 e uma estatística x2 com 1 grau de liberdade, espera‑se 
um valor crítico de 3,841 (observe no Apêndice E).
Quanto à interpretação do resultado do teste, é necessário, em primeiro lugar, saber se a hipótese 
nula foi rejeitada. Temos que x2calc = 0,315 e x
2
crit = 3,841. Devemos observar que, se x
2
calc < x
2
crit, não há 
evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como verdadeira; já se x
2
calc ≥ x
2
crit, há evidências para 
rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
Nesse caso, estamos diante da primeira situação, pois:
x2calc < x
2
crit
0,315 < 3,841
Portanto, não há evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como verdadeira.
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Unidade II
Quanto será a chance de erro (p)? Ela é maior ou menor que nível de significância (α) adotado?
Se x2calc < x
2
crit, p > α, logo, não existem evidências para rejeitar H0, devendo aceitá‑la como 
verdadeira; se x2calc ≥ x
2
crit, p ≤ α, logo, os dados fornecem evidências para rejeitar H0, devendo‑se 
aceitar Ha como verdadeira.
Como:
x2calc < x
2
crit, logo p > α
0,315 < 3,841, logo p > 0,05
Se p > 0,05, aceita‑se H0 como verdadeira.
Uma vez interpretado o resultado, podemos prosseguir para sua descrição por extenso. Devemos 
destacar alguns elementos importantes na resposta, tais como:
I – o teste utilizado;
II – tamanho da amostra;
III – valor calculado do teste estatístico acompanhado dos graus de liberdade;
IV – nível de significância (α) adotado;
V – se H0 foi rejeitada ou não.
Vejamos como ficaria a descrição do nosso exemplo: com o objetivo de avaliar se haveria associação 
entre o tipo de tratamento (Prozac ou placebo), e se os pacientes apresentariam superação ou reincidência 
no quadro de anorexia, um teste de chi quadrado de independência foi empregado. Para um nível de 
significância de 5%, os dados não forneceram evidências para rejeitar H0 (x
2
(1) = 0,315; p > 0,05), ou 
seja, conclui‑se que as variáveis são independentes: tanto faz serem tratados com uma droga ou outra, 
a chance de reincidirem no quadro de anorexia é a mesma para os participantes e independe do tipo de 
tratamento utilizado.
 Resumo
O teorema central do limite é baseado em uma distribuição amostral da 
média e assume três predições importantes: a distribuição amostral tenderá à 
normalidade; a média da distribuição amostral será a média populacional; 
e o erro padrão da média poderá ser calculado se forem conhecidos o desvio 
padrão e o tamanho amostral.
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
O intervalo de confiança de 95% para a média populacional é uma 
estimativa de um valor populacional a partir da média amostral, criando um 
intervalo dentro do qual o valor populacional possui chance de ser encontrado.
Testes de hipóteses utilizam amostras para extrapolar predições sobre a 
população. Se o que for observado em uma amostra estiver próximo ao que 
for esperado, com base na hipótese, então não há motivos para refutá‑la.
A hipótese nula deve ser emparelhada com uma hipótese que a anule 
mutuamente, e que, em geral, o pesquisador acredite ser verdadeira. Esta 
hipótese é conhecida como hipótese alternativa. Se a hipótese nula não for 
rejeitada, o pesquisador não pode afirmar que ela foi provada, apenas que 
não houve evidências suficientes para rejeitá‑la.
Para calcular um teste de hipóteses, lembre‑se de escolher o teste 
apropriado em função da pergunta de pesquisa e das variáveis envolvidas. 
Sempre avalie se os pressupostos estão sendo violados ou não. Liste as 
hipóteses nula e alternativa. Obtenha o valor crítico de um teste e 
esquematize, de forma clara, seu procedimento para tomada de decisão. 
Calcule, então, o teste estatístico e interprete os resultados.
Um teste z para uma amostra é utilizado para comparar uma média 
amostral a uma média populacional ou a um valor específico, desde 
que o desvio padrão populacional seja conhecido. Caso o desvio padrão 
populacional não seja conhecido, um teste t para uma amostra é uma 
alternativa possível. Diferentemente do teste z, com um teste t obteremos 
uma estatística t, que deverá ser interpretada de forma adequada.
Um teste t para duas amostras independentes compara as suas médias, 
como, por exemplo, de dois grupos experimentais não relacionados. Existem 
dois tipos de testes t para duas amostras: para amostras independentes e 
para amostras emparelhadas. Neste caso, deve‑se optar pelo teste t pareado.
A análise de variância (ANOVA) é uma família de testes que também 
visa comparar médias entre si, porém, diferentemente do teste t, é possível 
comparar mais de duas. Caso um resultado significativo aponte pela 
rejeição da hipótese nula, um teste post‑hoc deverá ser empregado, para 
que se localize entre quais pares de médias realmente há uma diferença 
mínima significativa.
Um teste do chi quadrado é um exemplo de teste não paramétrico que 
pode ser usado com variáveis categóricas, quando o interesse é investigar 
se a frequência de eventos em uma amostra se adequa a algum modelo 
probabilístico ou se existe, ou não, associação entre variáveis categóricas.
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Unidade II
Todos os testes de hipóteses apresentam raciocínios semelhantes para 
a tomada de decisão, sendo que, se estatísticacalc < estatísticacrit, p > α, 
logo, não existem evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitá‑la como 
verdadeira; agora, se estatísticacalc ≥ estatísticacrit, p ≤ α, logo, os dados 
fornecem evidências para rejeitar H0, devendo‑se aceitar Ha como verdadeira.
 Exercícios
Questão 1. (Idecan 2014) As reações adversas de uma nova vacina que foi desenvolvida para gripe 
estão sendo estudadas. A tabela resume os resultados obtidos.
Tabela 45
Reação adversa
Tratamento Não Sim
Vacina 83 17
Placebo 87 13
Deseja‑se testar a hipótese de homogeneidade na ocorrência de reações adversas entre os pacientes 
tratados com placebo e vacina. O valor da contribuição da primeira célula da tabela para a estatística do 
teste chi quadrado de homogeneidade é, aproximadamente, igual a:
A) 0,023.
B) 0,047.
C) 1,232.
D) 2,447.
E) 3,651.
Resposta correta: alternativa B.
Análise da questão
O valor da contribuição da primeira célula da tabela para a estatística do teste chi quadrado de 
homogeneidade é obtido da seguinte fórmula:
Pela fórmula:
X
E
E
2
20
�
�� ��
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BIOESTATÍSTICA APLICADA À BIOMEDICINA
Primeiro você vai totalizar as linhas e colunas.
Tabela 46
Reação adversa
Tratamento Não Sim Total
Vacina 83 17 100
Placebo 87 13 100
Total 170 30 200
Em seguida você irá calcular os valores esperados (E):
Os valores esperados, que estão entre parênteses na tabela a seguir, são calculados multiplicando 
o total de cada linha pelo total de cada coluna e em seguida dividindo este resultado pelo total geral 
(número de sujeitos da amostra).
Tabela 47
Reação adversa
Tratamento Não Sim Total
Vacina 83 (85) 17 (15) 100
Placebo 87 (85) 13 (15) 100
Total 170 30 200
E, por último, você irá calcular (O–E)2/E:
(O‑E)2/E =
(83‑85)2/85 =
0,047
Questão 2. (Cetro 2013) Para fazer uso do teste de chi quadrado, é preciso que se satisfaçam 
algumas condições. Assinale a alternativa que não apresenta uma dessas condições.
A) Cada grupo deve ter itens selecionados aleatoriamente.
B) Observações devem ser feitas por frequências ou contagens.
C) Os grupos devem ser codependentes.
D) Cada observação pertence a uma e somente uma categoria.
E) A amostra é grande em relação ao grupo estudado.
Resolução desta questão na plataforma.
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FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 1
FIELD, A. Discovering statistics using IBM SPSS statistics. 4. ed. Thousand Oaks: Sage, 2013. Adaptada.
Figura 2
CORTY, E. W. Using and Interpreting Statistics. 3. ed. New York: Worth Publishers, 2016. Adaptada.
Figura 3
CORTY, E. W. Using and Interpreting Statistics. 3. ed. New York: Worth Publishers, 2016. Adaptada.
Figura 4
FÁVERO, L. P.; BELFIORE, P. Manual de análise de dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2017. Adaptada.
Figura 10
RAKOTOMALALA, R. Tanagra: un logiciel gratuit pour l’enseignement et la recherche. In Actes de 
EGC’2005, RNTI‑E‑3, v. 2, 2005. Adaptada.
Figura 11
INSTITUTO NACIONAL DE METEOROLOGIA (INMET). Estação meteorológica de observação de 
superfície automática. 2019. Disponível em: <http://www.inmet.gov.br/portal/index.php?r=estacoes/
estacoesAutomaticas>. Acesso em: 3 jun. 2019.
Figura 12
CORTY, E. W. Using and Interpreting Statistics. 3. ed. New York: Worth Publishers, 2016. Adaptada.
Figura 14
ROBERT_WADLOW_POSTCARD.JPG. Disponível em: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/
commons/f/f7/Robert_Wadlow_postcard.jpg>. Acesso em: 29 abr. 2019.
Figura 21
HILLIARD, S.; NGUYEN, M.; DOMJAN, M. One‑trial appetitive conditioning in the sexual behavior 
system. Psychonomic Bulletin & Review, v. 4, n. 2, p. 238, 1997.
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Figura 22
FIELD, A. Discovering statistics using IBM SPSS statistics. 4. ed. Thousand Oaks: SAGE Publications, 2013. Adaptada.
REFERÊNCIAS
Textuais
BARTZ, A. E. Basic statistical concepts. 4. ed. Upper Saddle River: Prentice Hall, 1999.
BOLFARINE, H.; BUSSAB, W. O. Elementos de amostragem. São Paulo: Edgard Blücher, 2005.
BRASIL. Ministério da Saúde. Monitoramento dos casos de dengue, febre de chikungunya e febre 
pelo vírus zika até a semana epidemiológica 52, 2017. Boletim Epidemiológico, Brasília, v. 49, 
n. 2, 2018a. Disponível em: <http://portalarquivos2.saude.gov.br/images/pdf/2018/janeiro/23/
Boletim‑2018‑001‑Dengue.pdf>. Acesso em: 15 dez. 2018.
___. Ministério da Saúde. Monitoramento integrado de alterações no crescimento e desenvolvimento 
relacionadas à infecção pelo vírus zika e outras etiologias infecciosas, até a Semana Epidemiológica 
45 de 2018. Boletim Epidemiológico, Brasília, v. 49, n. 54, dez. 2018b. Disponível em: <http://
portalarquivos2.saude.gov.br/images/pdf/2018/dezembro/14/2018‑061.pdf>. Acesso em: 30 abr. 2019.
BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 8. ed. São Paulo: Saraiva, 2013.
CALLEGARI‑JACQUES, S. M. Bioestatística: princípios e aplicações. Porto Alegre: Artmed, 2003.
CAREY, T. Why Britain’s cats and dogs have turned into couch pawtatoes. Daily Mail, Dec. 2018. 
Disponível em: <https://www.dailymail.co.uk/femail/article‑6477343/New‑HD‑TVs‑twice‑powerful 
‑used‑mean‑pets‑FINALLY‑watch‑telly.html>. Acesso em: 30 abr. 2019.
CORTY, E. W. Using and interpreting statistics. 3. ed. New York: Worth Publishers, 2016.
COSTA NETO, P. L. O. Estatística. 2. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2002.
DANCEY, C. P.; REIDY, J. Estatística sem matemática para psicologia. 5. ed. Porto Alegre: Penso, 2013.
DOMJAN, M.; BLESBOIS, E.; WILLIAMS, J. The adaptive significance of sexual conditioning: pavlovian 
control of sperm release. Psychological Science, v. 9, n. 5, p. 411–415, 1998.
FÁVERO, L. P.; BELFIORE, P. Manual de análise de dados. Rio de Janeiro: Elsevier, 2017.
FIELD, A. Discovering statistics using IBM SPSS statistics. 4. ed. Thousand Oaks: Sage, 2013.
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FREUND, J. E. Estatística aplicada: economia, administração e contabilidade. 11. ed. Porto Alegre: 
Bookman, 2006.
HOEL, P. G. Introduction to mathematical statistics. 3 ed. New York: John Wiley & Sons Inc, 1966.
INSTITUTO NACIONAL DE METEOROLOGIA (INMET). Estação meteorológica de observação de 
superfície automática. 2019. Disponível em: <http://www.inmet.gov.br/portal/index.php?r=estacoes/
estacoesAutomaticas>. Acesso em: 3 jun. 2019.
MILLER, M. L. The remarkable story of how the bison returned to europe. Nature, 
Wildlife, Aug. 2017. Disponível em: <https://blog.nature.org/science/2017/08/22/
remarkable‑story‑how‑bison‑returned‑europe/>. Acesso em: 30 abr. 2019.
MILLER, P. E.; MURPHY, C. J. Vision in dogs. Journal of the American Veterinary Medical Association, 
v. 207, n. 12, p. 1623‑1634, Dec. 1995.
Exercícios
Unidade I – Questão 1: CONSULPLAN. Tribunal Superior Eleitoral 2012: analista judiciário. Estatística. 
Questão 53. Disponível em: <https://s3.amazonaws.com/files‑s3.iesde.com.br/resolucaoq/prova/
prova/1543.pdf>. Acesso em: 6 maio 2019.
Unidade I – Questão 2: POLÍCIA MILITAR DE MINAS GERAIS (PM‑MG). Concurso público para admissão 
ao curso de formação de soldados da polícia militar de minas gerais (QPPM), para o ano de 2019, 
2018. Questão 29. Disponível em: <https://www.policiamilitar.mg.gov.br/conteudoportal/sites/
concurso/030920181024443820.pdf>. Acesso em: 6 maio 2019.
Unidade II – Questão 1: INSTITUTO DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL, CULTURAL E ASSISTENCIAL 
NACIONAL (IDECAN). Departamento Estadual de Trânsito de Rondônia 2014: analista em trânsito. 
Estatística. Questão 38. Disponível em: <https://s3.amazonaws.com/files‑s3.iesde.com.br/resolucaoq/
prova/prova/36703.pdf>. Acesso em: 13 maio 2019.
Unidade II – Questão 2: CETRO CONCURSOS PÚBLICOS. Ministério das Cidades 2013: estatístico. 
Questão 41. Disponível em: <https://s3.amazonaws.com/files‑s3.iesde.com.br/resolucaoq/prova/
prova/31674.pdf>. Acesso em: 13 maio 2019.
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APÊNDICE A: VALORES DE Z ESCORES
média
média
média
média
média
média
zzz
–z –z –z
C
C
B
B
A
A
média z–z
D
Apêndice A: tabela de valores de z escores
Área sob a curva normal Área sob a curva normal
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de ‑z
D
Entre ‑z e +z
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de –z
D
Entre ‑z e +z
0,00 50,00% 0,00% 50,00% 0.00% 0,14 55,57% 5,57% 44,43% 11,14%
0,01 50,40% 0,40% 49,60% 0,80% 0,15 55,96% 5,96% 44,04% 11,92%
0,02 50,80% 0,80% 49,20% 1,60% 0,16 56,36% 6,36% 43,64% 12,72%
0,03 51,20% 1,20% 48,80% 2,40% 0,17 56,75% 6,75% 43,35% 13,50%
0,04 51,60% 1,60% 48,40% 3,20% 0,18 57,14% 7,14% 42,86% 14,28%
0,05 51,99% 1,99% 48,01% 3,98% 0,19 57,53% 7,53% 42,47% 15,06%
0,06 52,39% 2,39% 47,61% 4,78% 0,20 57,93% 7,93% 42,07% 15,86%
0,07 52,79% 2,79% 47,21% 5,58% 0,21 58,32% 8,32% 41,68% 16,64%
0,08 53,19% 3,19% 46,81% 6,38% 0,22 58,71% 8,71% 41,29% 17,42%
0,09 53,59% 3,59% 46,41% 7,18% 0,23 59,10% 9,10% 40,90%18,20%
0,10 53,98% 3,98% 46,02% 7,96% 0,24 59,48% 9,48% 40,52% 18,96%
0,11 54,38% 4,38% 45,62% 8,76% 0,25 59,87% 9,87% 40,13% 19,74%
0,12 54,78% 4,78% 45,22% 9,56% 0,26 60,26% 10,26% 39,74% 20,52%
0,13 55,17% 5,17% 44,83% 10.34% 0,27 60,64% 10,64% 39,36% 21,28%
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Apêndice A: valores de z escores (continuação)
Área sob a curva normal Área sob a curva normal
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de ‑z
D
Entre ‑z e +z
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de –z
D
Entre ‑z e +z
0,28 61,03% 11,03% 38,97% 22,05% 0,56 71,23% 21,23% 28,77% 42,45%
0,29 61,41% 11,41% 38,59% 22,82% 0,57 71,57% 21,57% 28,43% 43,13%
0,30 61,79% 11,79% 38,21% 23,58% 0,58 71,90% 21,90% 28,10% 43,81%
0,31 62,17% 12,17% 37,83% 24,34% 0,59 72,24% 22,24% 27,76% 44,48%
0,32 62,55% 12,55% 37,45% 25,10% 0,60 72,57% 22,57% 27,43% 45,15%
0,33 62,93% 12,93% 37,07% 25,86% 0,61 72,91% 22,91% 27,09% 45,81%
0,34 63,31% 13,31% 36,69% 26,61% 0,62 73,24% 23,24% 26,76% 46,47%
0,35 63,68% 13,68% 36,32% 27,37% 0,63 73,57% 23,57% 26,43% 47,13%
0,36 64,06% 14,06% 35,94% 28,12% 0,64 73,89% 23,89% 26,11% 47,78%
0,37 64,43% 14,43% 35,57% 28,86% 0,65 74,22% 24,22% 25,78% 48,43%
0,38 64,80% 14,80% 35,20% 29,61% 0,66 74,54% 24,54% 25,46% 49,07%
0,39 65,17% 15,17% 34,83% 30,35% 0,67 74,86% 24,86% 25,14% 49,71%
0,40 65,54% 15,54% 34,46% 31,08% 0,68 75,17% 25,17% 24,83% 50,35%
0,41 65,91% 15,91% 34,09% 31,82% 0,69 75,49% 25,49% 24,51% 50,98%
0,42 66,28% 16,28% 33,72% 32,55% 0,70 75,80% 25,80% 24,20% 51,61%
0,43 66,64% 16,64% 33,36% 33,28% 0,71 76,11% 26,11% 23,89% 52,23%
0,44 67,00% 17,00% 33,00% 34,01% 0,72 76,42% 26,42% 23,58% 52,85%
0,45 67,36% 17,36% 32,64% 34,73% 0,73 76,73% 26,73% 23,27% 53,46%
0,46 67,72% 17,72% 32,28% 35,45% 0,74 77,04% 27,04% 22,96% 54,07%
0,47 68,08% 18,08% 31,92% 36,16% 0,75 77,34% 27,34% 22,66% 54,67%
0,48 68,44% 18,44% 31,56% 36,88% 0,76 77,64% 27,64% 22,36% 55,27%
0,49 68,79% 18,79% 31,21% 37,59% 0,77 77,94% 27,94% 22,06% 55,87%
0,50 69,15% 19,15% 30,85% 38,29% 0,78 78,23% 28,23% 21,77% 56,46%
0,51 69,50% 19,50% 30,50% 38,99% 0,79 78,52% 28,52% 21,48% 57,05%
0,52 69,85% 19,85% 30,15% 39,69% 0,80 78,81% 28,81% 21,19% 57,63%
0,53 70,19% 20,19% 29,81% 40,39% 0,81 79,10% 29,10% 20,90% 58,21%
0,54 70,54% 20,54% 29,46% 41,08% 0,82 79,39% 29,39% 20,61% 58,78%
0,55 70,88% 20,88% 29,12% 41,77% 0,83 79,67% 29,67% 20,33% 59,35%
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Apêndice A: valores de z escores (continuação)
Área sob a curva normal Área sob a curva normal
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de ‑z
D
Entre ‑z e +z
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de –z
D
Entre ‑z e +z
0,84 79,95% 29,95% 20,05% 59,91% 1,11 86,65% 36,65% 13,35% 73,30%
0,85 80,23% 30,23% 19,77% 60,47% 1,12 86,86% 36,86% 13,14% 73,73%
0,86 80,51% 30,51% 19,49% 61,02% 1,13 87,08% 37,08% 12,92% 74,15%
0,87 80,78% 30,78% 19,22% 61,57% 1,14 87,29% 37,29% 12,71% 74,57%
0,88 81,06% 31,06% 18,94% 62,11% 1,15 87,49% 37,49% 12,51% 74,99%
0,89 81,33% 31,33% 18,67% 62,65% 1,16 87,70% 37,70% 12,30% 75,40%
0,90 81,59% 31,59% 18,41% 63,19% 1,17 87,90% 37,90% 12,10% 75,80%
0,91 81,86% 31,86% 18,14% 63,72% 1,18 88,10% 38,10% 11,90% 76,20%
0,92 82,12% 32,12% 17,88% 64,24% 1,19 88,30% 38,30% 11,70% 76,60%
0,93 82,38% 32,38% 17,62% 64,76% 1,20 88,49% 38,49% 11,51% 76,99%
0,94 82,64% 32,64% 17,36% 65,28% 1,21 88,69% 38,69% 11,31% 77,37%
0,95 82,89% 32,89% 17,11% 65,79% 1,22 88,88% 38,88% 11,12% 77,75%
0,96 83,15% 33,15% 16,85% 66,29% 1,23 89,07% 39,07% 10,93% 78,13%
0,97 83,40% 33,40% 16,60% 66,80% 1,24 89,25% 39,25% 10,75% 78,50%
0,98 83,65% 33,65% 16,35% 67,29% 1,25 89,44% 39,44% 10,56% 78,87%
0,99 83,89% 33,89% 16,11% 67,78% 1,26 89,62% 39,62% 10,38% 79,23%
1,00 84,13% 34,13% 15,87% 68,27% 1,27 89,80% 39,80% 10,20% 79,59%
1,01 84,38% 34,38% 15,62% 68,75% 1,28 89,97% 39,97% 10,03% 79,95%
1,02 84,61% 34,61% 15,39% 69,23% 1,29 90,15% 40,15% 9,85% 80,29%
1,03 84,85% 34,85% 15,15% 69,70% 1,30 90,32% 40,32% 9,68% 80,64%
1,04 85,08% 35,08% 14,92% 70,17% 1,31 90,49% 40,49% 9,51% 80,98%
1,05 85,31% 35,31% 14,69% 70,63% 1,32 90,66% 40,66% 9,34% 81,32%
1,06 85,54% 35,54% 14,46% 71,09% 1,33 90,82% 40,82% 9,18% 81,65%
1,07 85,77% 35,77% 14,23% 71,54% 1,34 90,99% 40,99% 9,01% 81,98%
1,08 85,99% 35,99% 14,01% 71,99% 1,35 91,15% 41,15% 8,85% 82,30%
1,09 86,21% 36,21% 13,79% 72,43% 1,36 91,31% 41,31% 8,69% 82,62%
1,10 86,43% 36,43% 13,57% 72,87% 1,37 91,47% 41,47% 8,53% 82,93%
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Apêndice A: valores de z escores (continuação)
Área sob a curva normal Área sob a curva normal
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de ‑z
D
Entre ‑z e +z
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de –z
D
Entre ‑z e +z
1,38 91,62% 41,62% 8,38% 83,24% 1,65 95,05% 45,05% 4,95% 90,11%
1,39 91,77% 41,77% 8,23% 83,55% 1,66 95,15% 45,15% 4,85% 90,31%
1,40 91,92% 41,92% 8,08% 83,85% 1,67 95,25% 45,25% 4,75% 90,51%
1,41 92,07% 42,07% 7,93% 84,15% 1,68 95,35% 45,35% 4,65% 90,70%
1,42 92,22% 42,22% 7,78% 84,44% 1,69 95,45% 45,45% 4,55% 90,90%
1,43 92,36% 42,36% 7,64% 84,73% 1,70 95,54% 45,54% 4,46% 91,09%
1,44 92,51% 42,51% 7,49% 85,01% 1,71 95,64% 45,64% 4,36% 91,27%
1,45 92,65% 42,65% 7,35% 85,29% 1,72 95,73% 45,73% 4,27% 91,46%
1,46 92,79% 42,79% 7,21% 85,57% 1,73 95,82% 45,82% 4,18% 91,64%
1,47 92,92% 42,92% 7,08% 85,84% 1,74 95,91% 45,91% 4,09% 91,81%
1,48 93,06% 43,06% 6,94% 86,11% 1,75 95,99% 45,99% 4,01% 91,99%
1,49 93,19% 43,19% 6,81% 86,38% 1,76 96,08% 46,08% 3,92% 92,16%
1,50 93,32% 43,32% 6,68% 86,64% 1,77 96,16% 46,16% 3,84% 92,33%
1,51 93,45% 43,45% 6,55% 86,90% 1,78 96,25% 46,25% 3,75% 92,49%
1,52 93,57% 43,57% 6,43% 87,15% 1,79 96,33% 46,33% 3,67% 92,65%
1,53 93,70% 43,70% 6,30% 87,40% 1,80 96,41% 46,41% 3,59% 92,81%
1,54 93,82% 43,82% 6,18% 87,64% 1,81 96,49% 46,49% 3,51% 92,97%
1,55 93,94% 43,94% 6,06% 87,89% 1,82 96,56% 46,56% 3,44% 93,12%
1,56 94,06% 44,06% 5,94% 88,12% 1,83 96,64% 46,64% 3,36% 93,28%
1,57 94,18% 44,18% 5,82% 88,36% 1,84 96,71% 46,71% 3,29% 93,42%
1,58 94,29% 44,29% 5,71% 88,59% 1,85 96,78% 46,78% 3,22% 93,57%
1,59 94,41% 44,41% 5,59% 88,82% 1,86 96,86% 46,86% 3,14% 93,71%
1,60 94,52% 44,52% 5,48% 89,04% 1,87 96,93% 46,93% 3,07% 93,85%
1,61 94,63% 44,63% 5,37% 89,26% 1,88 96,99% 46,99% 3,01% 93,99%
1,62 94,74% 44,74% 5,26% 89,48% 1,89 97,06% 47,06% 2,94% 94,12%
1,63 94,84% 44,84% 5,16% 89,69% 1,90 97,13% 47,13% 2,87% 94,26%
1,64 94,95% 44,95% 5,05% 89,90% 1,91 97,19% 47,19% 2,81% 94,39%
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Apêndice A: valores de z escores (continuação)
Área sob a curva normal Área sob a curva normal
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de ‑z
D
Entre ‑z e +z
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de ‑z
D
Entre ‑z e +z
1,92 97,26% 47,26% 2,74% 94,51% 2,19 98,57% 48,57% 1,43% 97,15%
1,93 97,32% 47,32% 2,68% 94,64% 2,20 98,61% 48,61% 1,39% 97,22%
1,94 97,38% 47,38% 2,62% 94,76% 2,21 98,64% 48,64% 1,36% 97,29%
1,95 97,44% 47,44% 2,56% 94,88% 2,22 98,68% 48,68% 1,32% 97,36%
1,96 97,50% 47,50% 2,50% 95,00% 2,23 98,71% 48,71% 1,29% 97,43%
1,97 97,56% 47,56% 2,44% 95,12% 2,24 98,75% 48,75% 1,25% 97,49%
1,98 97,61% 47,61% 2,39% 95,23% 2,25 98,78% 48,78% 1,22% 97,56%
1,99 97,67% 47,67% 2,33% 95,34% 2,26 98,81% 48,81% 1,19% 97,62%
2,00 97,72% 47,72% 2,28% 95,45% 2,27 98,84% 48,84% 1,16% 97,68%
2,01 97,78% 47,78% 2,22% 95,56% 2,28 98,87% 48,87% 1,13% 97,74%
2,02 97,83% 47,83% 2,17% 95,66% 2,29 98,90% 48,90%1,10% 97,80%
2,03 97,88% 47,88% 2,12% 95,76% 2,30 98,93% 48,93% 1,07% 97,86%
2,04 97,93% 47,93% 2,07% 95,86% 2,31 98,96% 48,96% 1,04% 97,91%
2,05 97,98% 47,98% 2,02% 95,96% 2,32 98,98% 48,98% 1,02% 97,97%
2,06 98,03% 48,03% 1,97% 96,06% 2,33 99,01% 49,01% 0,99% 98,02%
2,07 98,08% 48,08% 1,92% 96,15% 2,34 99,04% 49,04% 0,96% 98,07%
2,08 98,12% 48,12% 1,88% 96,25% 2,35 99,06% 49,06% 0,94% 98,12%
2,09 98,17% 48,17% 1,83% 96,34% 2,36 99,09% 49,09% 0,91% 98,17%
2,10 98,21% 48,21% 1,79% 96,43% 2,37 99,11% 49,11% 0,89% 98,22%
2,11 98,26% 48,26% 1,74% 96,51% 2,38 99,13% 49,13% 0,87% 98,27%
2,12 98,30% 48,30% 1,70% 96,60% 2,39 99,16% 49,16% 0,84% 98,32%
2,13 98,34% 48,34% 1,66% 96,68% 2,40 99,18% 49,18% 0,82% 98,36%
2,14 98,38% 48,38% 1,62% 96,76% 2,41 99,20% 49,20% 0,80% 98,40%
2,15 98,42% 48,42% 1,58% 96,84% 2,42 99,22% 49,22% 0,78% 98,45%
2,16 98,46% 48,46% 1,54% 96,92% 2,43 99,25% 49,25% 0,75% 98,49%
2,17 98,50% 48,50% 1,50% 97,00% 2,44 99,27% 49,27% 0,73% 98,53%
2,18 98,54% 48,54% 1,46% 97,07% 2,45 99,29% 49,29% 0,71% 98,57%
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Apêndice A: valores de z escores (continuação)
Área sob a curva normal Área sob a curva normal
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de ‑z
D
Entre ‑z e +z
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de ‑z
D
Entre ‑z e +z
2,46 99,31% 49,31% 0,69% 98,61% 2,73 99,68% 49,68% 0,32% 99,37%
2,47 99,32% 49,32% 0,68% 98,65% 2,74 99,69% 49,69% 0,31% 99,39%
2,48 99,34% 49,34% 0,66% 98,69% 2,75 99,702% 49,702% 0,298% 99,404%
2,49 99,36% 49,36% 0,64% 98,72% 2,76 99,711% 49,711% 0,289% 99,422%
2,50 99,38% 49,38% 0,62% 98,76% 2,77 99,720% 49,720% 0,280% 99,439%
2,51 99,40% 49,40% 0,60% 98,79% 2,78 99,728% 49,728% 0,272% 99,456%
2,52 99,41% 49,41% 0,59% 98,83% 2,79 99,736% 49,736% 0,264% 99,473%
2,53 99,43% 49,43% 0,57% 98,86% 2,80 99,744% 49,744% 0,256% 99,489%
2,54 99,45% 49,45% 0,55% 98,89% 2,81 99,752% 49,752% 0,248% 99,505%
2,55 99,46% 49,46% 0,54% 98,92% 2,82 99,760% 49,760% 0,240% 99,520%
2,56 99,48% 49,48% 0,52% 98,95% 2,83 99,767% 49,767% 0,233% 99,535%
2,57 99,49% 49,49% 0,51% 98,98% 2,84 99,774% 49,774% 0,226% 99,549%
2,58 99,51% 49,51% 0,49% 99,01% 2,85 99,781% 49,781% 0,219% 99,563%
2,59 99,52% 49,52% 0,48% 99,04% 2,86 99,788% 49,788% 0,212% 99,576%
2,60 99,53% 49,53% 0,47% 99,07% 2,87 99,795% 49,795% 0,205% 99,590%
2,61 99,55% 49,55% 0,45% 99,09% 2,88 99,801% 49,801% 0,199% 99,602%
2,62 99,56% 49,56% 0,44% 99,12% 2,89 99,807% 49,807% 0,193% 99,615%
2,63 99,57% 49,57% 0,43% 99,15% 2,90 99,813% 49,813% 0,187% 99,627%
2,64 99,59% 49,59% 0,41% 99,17% 2,91 99,819% 49,819% 0,181% 99,639%
2,65 99,60% 49,60% 0,40% 99,20% 2,92 99,825% 49,825% 0,175% 99,650%
2,66 99,61% 49,61% 0,39% 99,22% 2,93 99,831% 49,831% 0,169% 99,661%
2,67 99,62% 49,62% 0,38% 99,24% 2,94 99,836% 49,836% 0,164% 99,672%
2,68 99,63% 49,63% 0,37% 99,26% 2,95 99,841% 49,841% 0,159% 99,682%
2,69 99,64% 49,64% 0,36% 99,29% 2,96 99,846% 49,846% 0,154% 99,692%
2,70 99,65% 49,65% 0,35% 99,31% 2,97 99,851% 49,851% 0,149% 99,702%
2,71 99,66% 49,66% 0,34% 99,33% 2,98 99,856% 49,856% 0,144% 99,712%
2,72 99,67% 49,67% 0,33% 99,35% 2,99 99,861% 49,861% 0,139% 99,721%
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Apêndice A: valores de z escores (continuação)
Área sob a curva normal Área sob a curva normal
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de ‑z
D
Entre ‑z e +z
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de ‑z
D
Entre ‑z e +z
3,00 99,865% 49,865% 0,135% 99,730% 3,27 99,946% 49,946% 0,054% 99,892%
3,01 99,869% 49,869% 0,131% 99,739% 3,28 99,948% 49,948% 0,052% 99,896%
3,02 99,874% 49,874% 0,126% 99,747% 3,29 99,950% 49,950% 0,050% 99,900%
3,03 99,878% 49,878% 0,122% 99,755% 3,30 99,952% 49,952% 0,048% 99,903%
3,04 99,882% 49,882% 0,118% 99,763% 3,31 99,953% 49,953% 0,047% 99,907%
3,05 99,886% 49,886% 0,114% 99,771% 3,32 99,955% 49,955% 0,045% 99,910%
3,06 99,889% 49,889% 0,111% 99,779% 3,33 99,957% 49,957% 0,043% 99,913%
3,07 99,893% 49,893% 0,107% 99,786% 3,34 99,958% 49,958% 0,042% 99,916%
3,08 99,896% 49,896% 0,104% 99,793% 3,35 99,960% 49,960% 0,040% 99,919%
3,09 99,900% 49,900% 0,100% 99,800% 3,36 99,961% 49,961% 0,039% 99,922%
3,10 99,903% 49,903% 0,097% 99,806% 3,37 99,962% 49,962% 0,038% 99,925%
3,11 99,906% 49,906% 0,094% 99,813% 3,38 99,964% 49,964% 0,036% 99,928%
3,12 99,910% 49,910% 0,090% 99,819% 3,39 99,965% 49,965% 0,035% 99,930%
3,13 99,913% 49,913% 0,087% 99,825% 3,40 99,966% 49,966% 0,034% 99,933%
3,14 99,916% 49,916% 0,084% 99,831% 3,41 99,968% 49,968% 0,032% 99,935%
3,15 99,918% 49,918% 0,082% 99,837% 3,42 99,969% 49,969% 0,031% 99,937%
3,16 99,921% 49,921% 0,079% 99,842% 3,43 99,970% 49,970% 0,030% 99,940%
3,17 99,924% 49,924% 0,076% 99,848% 3,44 99,971% 49,971% 0,029% 99,942%
3,18 99,926% 49,926% 0,074% 99,853% 3,45 99,972% 49,972% 0,028% 99,944%
3,19 99,929% 49,929% 0,071% 99,858% 3,46 99,973% 49,973% 0,027% 99,946%
3,20 99,931% 49,931% 0,069% 99,863% 3,47 99,974% 49,974% 0,026% 99,948%
3,21 99,934% 49,934% 0,066% 99,867% 3,48 99,975% 49,975% 0,025% 99,950%
3,22 99,936% 49,936% 0,064% 99,872% 3,49 99,976% 49,976% 0,024% 99,952%
3,23 99,938% 49,938% 0,062% 99,876% 3,50 99,9767% 49,9767% 0,0233% 99,9535%
3,24 99,940% 49,940% 0,060% 99,880% 3,51 99,9776% 49,9776% 0,0224% 99,9552%
3,25 99,942% 49,942% 0,058% 99,885% 3,52 99,9784% 49,9784% 0,0216% 99,9568%
3,26 99,944% 49,944% 0,056% 99,889% 3,53 99,9792% 49,9792% 0,0208% 99,9584%
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Apêndice A: valores de z escores (continuação)
Área sob a curva normal Área sob a curva normal
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de –z
D
Entre ‑z e +z
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de ‑z
D
Entre ‑z e +z
3,54 99,9800% 49,9800% 0,0200% 99,9600% 3,81 99,9931% 49,9931% 0,0069% 99,9861%
3,55 99,9807% 49,9807% 0,0193% 99,9615% 3,82 99,9933% 49,9933% 0,0067% 99,9867%
3,56 99,9815% 49,9815% 0,0185% 99,9629% 3,83 99,9936% 49,9936% 0,0064% 99,9872%
3,57 99,9822% 49,9822% 0,0178% 99,9643% 3,84 99,9938% 49,9938% 0,0062% 99,9877%
3,58 99,9828% 49,9828% 0,0172% 99,9656% 3,85 99,9941% 49,9941% 0,0059% 99,9882%
3,59 99,9835% 49,9835% 0,0165% 99,9669% 3,86 99,9943% 49,9943% 0,0057% 99,9887%
3,60 99,9841% 49,9841% 0,0159% 99,9682% 3,87 99,9946% 49,9946% 0,0054% 99,9891%
3,61 99,9847% 49,9847% 0,0153% 99,9694% 3,88 99,9948% 49,9948% 0,0052% 99,9896%
3,62 99,9853% 49,9853% 0,0147% 99,9705% 3,89 99,9950% 49,9950% 0,0050% 99,9900%
3,63 99,9858% 49,9858% 0,0142% 99,9717% 3,90 99,9952% 49,9952% 0,0048% 99,9904%
3,64 99,9864% 49,9864% 0,0136% 99,9727% 3,91 99,9954% 49,9954% 0,0046% 99,9908%
3,65 99,9869% 49,9869% 0,0131% 99,9738% 3,92 99,9956% 49,9956% 0,0044% 99,9911%
3,66 99,9874% 49,9874% 0,0126% 99,9748% 3,93 99,9958% 49,9958% 0,0042% 99,9915%
3,67 99,9879% 49,9879% 0,0121% 99,9757% 3,94 99,9959% 49,9959% 0,0041% 99,9919%
3,68 99,9883% 49,9883% 0,0117% 99,9767% 3,95 99,9961% 49,9961% 0,0039% 99,9922%
3,69 99,9888% 49,9888% 0,0112% 99,9776% 3,96 99,9963% 49,9963% 0,0037% 99,9925%
3,70 99,9892% 49,9892% 0,0108% 99,9784% 3,97 99,9964% 49,9964% 0,0036% 99,9928%
3,71 99,9896% 49,9896% 0,0104% 99,9793% 3,98 99,9966% 49,9966% 0,0034% 99,9931%
3,72 99,9900% 49,9900% 0,0100% 99,9801% 3,99 99,9967% 49,9967% 0,0033% 99,9934%
3,73 99,9904% 49,9904% 0,0096% 99,9809% 4,00 99,9968% 49,9968% 0,0032% 99,9937%
3,74 99,9908% 49,9908% 0,0092% 99,9816% 4,01 99,99696% 49,99696% 0,00304% 99,99393%
3,75 99,9912% 49,9912% 0,0088% 99,9823% 4,02 99,99709% 49,99709% 0,00291% 99,99418%
3,76 99,9915% 49,9915% 0,0085% 99,9830% 4,03 99,99721% 49,99721% 0,00279% 99,99442%
3,77 99,9918% 49,9918% 0,0082% 99,9837%4,04 99,99733% 49,99733% 0,00267% 99,99465%
3,78 99,9922% 49,9922% 0,0078% 99,9843% 4,05 99,99744% 49,99744% 0,00256% 99,99488%
3,79 99,9925% 49,9925% 0,0075% 99,9849% 4,06 99,99755% 49,99755% 0,00245% 99,99509%
3,80 99,9928% 49,9928% 0,0072% 99,9855% 4,07 99,99765% 49,99765% 0,00235% 99,99530%
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Apêndice A: valores de z escores (continuação)
Área sob a curva normal Área sob a curva normal
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de –z
D
Entre ‑z e +z
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de ‑z
D
Entre ‑z e +z
4,08 99,99775% 49,99775% 0,00225% 99,99550% 4,35 99,99932% 49,99932% 0,00068% 99,99864%
4,09 99,99784% 49,99784% 0,00216% 99,99569% 4,36 99,99935% 49,99935% 0,00065% 99,99870%
4,10 99,99793% 49,99793% 0,00207% 99,99587% 4,37 99,99938% 49,99938% 0,00062% 99,99876%
4,11 99,99802% 49,99802% 0,00198% 99,99604% 4,38 99,99941% 49,99941% 0,00059% 99,99881%
4,12 99,99811% 49,99811% 0,00189% 99,99621% 4,39 99,99943% 49,99943% 0,00057% 99,99887%
4,13 99,99819% 49,99819% 0,00181% 99,99637% 4,40 99,99946% 49,99946% 0,00054% 99,99892%
4,14 99,99826% 49,99826% 0,00174% 99,99653% 4,41 99,99948% 49,99948% 0,00052% 99,99897%
4,15 99,99834% 49,99834% 0,00166% 99,99668% 4,42 99,99951% 49,99951% 0,00049% 99,99901%
4,16 99,99841% 49,99841% 0,00159% 99,99682% 4,43 99,99953% 49,99953% 0,00047% 99,99906%
4,17 99,99848% 49,99848% 0,00152% 99,99695% 4,44 99,99955% 49,99955% 0,00045% 99,99910%
4,18 99,99854% 49,99854% 0,00146% 99,99708% 4,45 99,99957% 49,99957% 0,00043% 99,99914%
4,19 99,99861% 49,99861% 0,00139% 99,99721% 4,46 99,99959% 49,99959% 0,00041% 99,99918%
4,20 99,99867% 49,99867% 0,00133% 99,99733% 4,47 99,99961% 49,99961% 0,00039% 99,99922%
4,21 99,99872% 49,99872% 0,00128% 99,99745% 4,48 99,99963% 49,99963% 0,00037% 99,99925%
4,22 99,99878% 49,99878% 0,00122% 99,99756% 4,49 99,99964% 49,99964% 0,00036% 99,99929%
4,23 99,99883% 49,99883% 0,00117% 99,99766% 4,50 99,99966% 49,99966% 0,00034% 99,99932%
4,24 99,99888% 49,99888% 0,00112% 99,99776% 4,51 99,99968% 49,99968% 0,00032% 99,99935%
4,25 99,99893% 49,99893% 0,00107% 99,99786% 4,52 99,99969% 49,99969% 0,00031% 99,99938%
4,26 99,99898% 49,99898% 0,00102% 99,99796% 4,53 99,99971% 49,99971% 0,00029% 99,99941%
4,27 99,99902% 49,99902% 0,00098% 99,99805% 4,54 99,99972% 49,99972% 0,00028% 99,99944%
4,28 99,99907% 49,99907% 0,00093% 99,99813% 4,55 99,99973% 49,99973% 0,00027% 99,99946%
4,29 99,99911% 49,99911% 0,00089% 99,99821% 4,56 99,99974% 49,99974% 0,00026% 99,99949%
4,30 99,99915% 49,99915% 0,00085% 99,99829% 4,57 99,99976% 49,99976% 0,00024% 99,99951%
4,31 99,99918% 49,99918% 0,00082% 99,99837% 4,58 99,99977% 49,99977% 0,00023% 99,99954%
4,32 99,99922% 49,99922% 0,00078% 99,99844% 4,59 99,99978% 49,99978% 0,00022% 99,99956%
4,33 99,99925% 49,99925% 0,00075% 99,99851% 4,60 99,99979% 49,99979% 0,00021% 99,99958%
4,34 99,99929% 49,99929% 0,00071% 99,99858% 4,61 99,99980% 49,99980% 0,00020% 99,99960%
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Apêndice A: valores de z escores (continuação)
Área sob a curva normal Área sob a curva normal
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de –z
D
Entre ‑z e +z
z 
escore
A
Abaixo de +z
Acima de ‑z
B
Da média 
a +z ou a ‑z
C
Acima de +z
Abaixo de ‑z
D
Entre ‑z 
e +z
4,62 99,99981% 49,99981% 0,00019% 99,99962% 4,89 99,99995% 49,99995% 0,00005% 99,99990%
4,63 99,99982% 49,99982% 0,00018% 99,99963% 4,90 99,99995% 49,99995% 0,00005% 99,99990%
4,64 99,99983% 49,99983% 0,00017% 99,99965% 4,91 99,99995% 49,99995% 0,00005% 99,99991%
4,65 99,99983% 49,99983% 0,00017% 99,99967% 4,92 99,99996% 49,99996% 0,00004% 99,99991%
4,66 99,99984% 49,99984% 0,00016% 99,99968% 4,93 99,99996% 49,99996% 0,00004% 99,99992%
4,67 99,99985% 49,99985% 0,00015% 99,99970% 4,94 99,99996% 49,99996% 0,00004% 99,99992%
4,68 99,99986% 49,99986% 0,00014% 99,99971% 4,95 99,99996% 49,99996% 0,00004% 99,99993%
4,69 99,99986% 49,99986% 0,00014% 99,99973% 4,96 99,99996% 49,99996% 0,00004% 99,99993%
4,70 99,99987% 49,99987% 0,00013% 99,99974% 4,97 99,99997% 49,99997% 0,00003% 99,99993%
4,71 99,99988% 49,99988% 0,00012% 99,99975% 4,98 99,99997% 49,99997% 0,00003% 99,99994%
4,72 99,99988% 49,99988% 0,00012% 99,99976% 4,99 99,99997% 49,99997% 0,00003% 99,99994%
4,73 99,99989% 49,99989% 0,00011% 99,99978% 5,00 99,99997% 49,99997% 0,00003% 99,99994%
4,74 99,99989% 49,99989% 0,00011% 99,99979%
4,75 99,99990% 49,99990% 0,00010% 99,99980%
4,76 99,99990% 49,99990% 0,00010% 99,99981%
4,77 99,99991% 49,99991% 0,00009% 99,99982%
4,78 99,99991% 49,99991% 0,00009% 99,99982%
4,79 99,99992% 49,99992% 0,00008% 99,99983%
4,80 99,99992% 49,99992% 0,00008% 99,99984%
4,81 99,99992% 49,99992% 0,00008% 99,99985%
4,82 99,99993% 49,99993% 0,00007% 99,99986%
4,83 99,99993% 49,99993% 0,00007% 99,99986%
4,84 99,99994% 49,99994% 0,00006% 99,99987%
4,85 99,99994% 49,99994% 0,00006% 99,99988%
4,86 99,99994% 49,99994% 0,00006% 99,99988%
4,87 99,99994% 49,99994% 0,00006% 99,99989%
4,88 99,99995% 49,99995% 0,00005% 99,99989%
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Apêndice B: valores críticos de t
GL
A
α = 0,05 unicaudal
ou
α = 0,10 bicaudal
B
α = 0,025 unicaudal
ou
α = 0,05 bicaudal
C
α = 0,01 unicaudal
ou
α = 0,02 bicaudal
D
α = 0,005 unicaudal
ou
α = 0,01 bicaudal
1 6,314 12,706 31,821 63,657
2 2,920 4,303 6,965 9,925
3 2,353 3,182 4,541 5,841
4 2,132 2,776 3,747 4,604
5 2,015 2,571 3,365 4,032
6 1,943 2,447 3,143 3,707
7 1,895 2,365 2,998 3,499
8 1,860 2,306 2,896 3,355
9 1,833 2,262 2,821 3,250
10 1,812 2,228 2,764 3,169
11 1,796 2,201 2,718 3,106
12 1,782 2,179 2,681 3,055
13 1,771 2,160 2,650 3,012
14 1,761 2,145 2,624 2,977
15 1,753 2,131 2,602 2,947
16 1,746 2,120 2,583 2,921
17 1,740 2,110 2,567 2,898
18 1,734 2,101 2,552 2,878
19 1,729 2,093 2,539 2,861
20 1,725 2,086 2,528 2,845
21 1,721 2,080 2,518 2,831
22 1,717 2,074 2,508 2,819
23 1,714 2,069 2,500 2,807
24 1,711 2,064 2,492 2,797
25 1,708 2,060 2,485 2,787
26 1,706 2,056 2,479 2,779
27 1,703 2,052 2,473 2,771
28 1,701 2,048 2,467 2,763
29 1,699 2,045 2,462 2,756
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Apêndice B: valores críticos de t (continuação)
GL
A
α = 0,05 unicaudal
ou
α = 0,10 bicaudal
B
α = 0,025 unicaudal
ou
α = 0,05 bicaudal
C
α = 0,01 unicaudal
ou
α = 0,02 bicaudal
D
α = 0,005 unicaudal
ou
α = 0,01 bicaudal
30 1,697 2,042 2,457 2,750
31 1,696 2,040 2,453 2,744
32 1,694 2,037 2,449 2,738
33 1,692 2,035 2,445 2,733
34 1,691 2,032 2,441 2,728
35 1,690 2,030 2,438 2,724
36 1,688 2,028 2,434 2,719
37 1,687 2,026 2,431 2,715
38 1,686 2,024 2,429 2,712
39 1,685 2,023 2,426 2,708
40 1,684 2,021 2,423 2,704
41 1,683 2,020 2,421 2,701
42 1,682 2,018 2,418 2,698
43 1,681 2,017 2,416 2,695
44 1,680 2,015 2,414 2,692
45 1,679 2,014 2,412 2,690
46 1,679 2,013 2,410 2,687
47 1,678 2,012 2,408 2,685
48 1,677 2,011 2,407 2,682
49 1,677 2,010 2,405 2,680
50 1,676 2,009 2,403 2,678
51 1,675 2,008 2,402 2,676
52 1,675 2,007 2,400 2,674
53 1,674 2,006 2,399 2,672
54 1,674 2,005 2,397 2,670
55 1,673 2,004 2,396 2,668
56 1,673 2,003 2,395 2,667
57 1,672 2,002 2,394 2,665
58 1,672 2,002 2,392 2,663
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Apêndice B: valores críticos de t (continuação)
GL
A
α = 0,05 unicaudal
ou
α = 0,10 bicaudal
B
α = 0,025 unicaudal
ou
α = 0,05 bicaudal
C
α = 0,01 unicaudal
ou
α = 0,02 bicaudal
D
α = 0,005 unicaudal
ou
α = 0,01 bicaudal
59 1,671 2,001 2,391 2,662
60 1,671 2,000 2,390 2,660
61 1,670 2,000 2,389 2,659
62 1,670 1,999 2,388 2,657
63 1,669 1,998 2,387 2,656
64 1,669 1,998 2,386 2,655
65 1,669 1,997 2,385 2,654
66 1,6681,997 2,384 2,652
67 1,668 1,996 2,383 2,651
68 1,668 1,995 2,382 2,650
69 1,667 1,995 2,382 2,649
70 1,667 1,994 2,381 2,648
71 1,667 1,994 2,380 2,647
72 1,666 1,993 2,379 2,646
73 1,666 1,993 2,379 2,645
74 1,666 1,993 2,378 2,644
75 1,665 1,992 2,377 2,643
76 1,665 1,992 2,376 2,642
77 1,665 1,991 2,376 2,641
78 1,665 1,991 2,375 2,640
79 1,664 1,990 2,374 2,640
80 1,664 1,990 2,374 2,639
81 1,664 1,990 2,373 2,638
82 1,664 1,989 2,373 2,637
83 1,663 1,989 2,372 2,636
84 1,663 1,989 2,372 2,636
85 1,663 1,988 2,371 2,635
86 1,663 1,988 2,370 2,634
87 1,663 1,988 2,370 2,634
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Apêndice B: valores críticos de t (continuação)
GL
A
α = 0,05 unicaudal
ou
α = 0,10 bicaudal
B
α = 0,025 unicaudal
ou
α = 0,05 bicaudal
C
α = 0,01 unicaudal
ou
α = 0,02 bicaudal
D
α = 0,005 unicaudal
ou
α = 0,01 bicaudal
88 1,662 1,987 2,369 2,633
89 1,662 1,987 2,369 2,632
90 1,662 1,987 2,368 2,632
91 1,662 1,986 2,368 2,631
92 1,662 1,986 2,368 2,630
93 1,661 1,986 2,367 2,630
94 1,661 1,986 2,367 2,629
95 1,661 1,985 2,366 2,629
96 1,661 1,985 2,366 2,628
97 1,661 1,985 2,365 2,627
98 1,661 1,984 2,365 2,627
99 1,660 1,984 2,365 2,626
100 1,660 1,984 2,364 2,626
110 1,659 1,982 2,361 2,621
120 1,658 1,980 2,358 2,617
130 1,657 1,978 2,355 2,614
140 1,656 1,977 2,353 2,611
150 1,655 1,976 2,351 2,609
160 1,654 1,975 2,350 2,607
170 1,654 1,974 2,348 2,605
180 1,653 1,973 2,347 2,603
190 1,653 1,973 2,346 2,602
200 1,653 1,972 2,345 2,601
210 1,652 1,971 2,344 2,599
220 1,652 1,971 2,343 2,598
230 1,652 1,970 2,343 2,597
240 1,651 1,970 2,342 2,596
250 1,651 1,969 2,341 2,596
260 1,651 1,969 2,341 2,595
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Apêndice B: valores críticos de t (continuação)
GL
A
α = 0,05 unicaudal
ou
α = 0,10 bicaudal
B
α = 0,025 unicaudal
ou
α = 0,05 bicaudal
C
α = 0,01 unicaudal
ou
α = 0,02 bicaudal
D
α = 0,005 unicaudal
ou
α = 0,01 bicaudal
270 1,651 1,969 2,340 2,594
280 1,650 1,968 2,340 2,594
290 1,650 1,968 2,339 2,593
300 1,650 1,968 2,339 2,592
400 1,649 1,966 2,336 2,588
500 1,648 1,965 2,334 2,586
600 1,647 1,964 2,333 2,584
700 1,647 1,963 2,332 2,583
800 1,647 1,963 2,331 2,582
900 1,647 1,963 2,330 2,581
1000 1,646 1,962 2,330 2,581
∞ 1,645 1,960 2,326 2,576
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19
Apêndice C: valores críticos de F, α = 0,05
GL denominador
GL numerador
1 2 3 4 5 6 7 8
1 161,448 199,500 215,707 224,583 230,162 233,986 236,768 238,883
2 18,513 19,000 19,164 19,247 19,296 19,330 19,353 19,371
3 10,128 9,552 9,277 9,117 9,013 8,941 8,887 8,845
4 7,709 6,944 6,591 6,388 6,256 6,163 6,094 6,041
5 6,608 5,786 5,409 5,192 5,050 4,950 4,876 4,818
6 5,987 5,143 4,757 4,534 4,387 4,284 4,207 4,147
7 5,591 4,737 4,347 4,120 3,972 3,866 3,787 3,726
8 5,318 4,459 4,066 3,838 3,687 3,581 3,500 3,438
9 5,117 4,256 3,863 3,633 3,482 3,374 3,293 3,230
10 4,965 4,103 3,708 3,478 3,326 3,217 3,135 3,072
11 4,844 3,982 3,587 3,357 3,204 3,095 3,012 2,948
12 4,747 3,885 3,490 3,259 3,106 2,996 2,913 2,849
13 4,667 3,806 3,411 3,179 3,025 2,915 2,832 2,767
14 4,600 3,739 3,344 3,112 2,958 2,848 2,764 2,699
15 4,543 3,682 3,287 3,056 2,901 2,790 2,707 2,641
16 4,494 3,634 3,239 3,007 2,852 2,741 2,657 2,591
17 4,451 3,592 3,197 2,965 2,810 2,699 2,614 2,548
18 4,414 3,555 3,160 2,928 2,773 2,661 2,577 2,510
19 4,381 3,522 3,127 2,895 2,740 2,628 2,544 2,477
20 4,351 3,493 3,098 2,866 2,711 2,599 2,514 2,447
21 4,325 3,467 3,072 2,840 2,685 2,573 2,488 2,420
22 4,301 3,443 3,049 2,817 2,661 2,549 2,464 2,397
23 4,279 3,422 3,028 2,796 2,640 2,528 2,442 2,375
24 4,260 3,403 3,009 2,776 2,621 2,508 2,423 2,355
25 4,242 3,385 2,991 2,759 2,603 2,490 2,405 2,337
26 4,225 3,369 2,975 2,743 2,587 2,474 2,388 2,321
27 4,210 3,354 2,960 2,728 2,572 2,459 2,373 2,305
28 4,196 3,340 2,947 2,714 2,558 2,445 2,359 2,291
29 4,183 3,328 2,934 2,701 2,545 2,432 2,346 2,278
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Apêndice C: valores críticos de F, α = 0,05 (continuação)
GL denominador
GL numerador
9 10 11 12 13 14 15 16
1 240,543 241,882 242,983 243,906 244,690 245,364 245,950 246,464
2 19,385 19,396 19,405 19,413 19,419 19,424 19,429 19,433
3 8,812 8,786 8,763 8,745 8,729 8,715 8,703 8,692
4 5,999 5,964 5,936 5,912 5,891 5,873 5,858 5,844
5 4,772 4,735 4,704 4,678 4,655 4,636 4,619 4,604
6 4,099 4,060 4,027 4,000 3,976 3,956 3,938 3,922
7 3,677 3,637 3,603 3,575 3,550 3,529 3,511 3,494
8 3,388 3,347 3,313 3,284 3,259 3,237 3,218 3,202
9 3,179 3,137 3,102 3,073 3,048 3,025 3,006 2,989
10 3,020 2,978 2,943 2,913 2,887 2,865 2,845 2,828
11 2,896 2,854 2,818 2,788 2,761 2,739 2,719 2,701
12 2,796 2,753 2,717 2,687 2,660 2,637 2,617 2,599
13 2,714 2,671 2,635 2,604 2,577 2,554 2,533 2,515
14 2,646 2,602 2,565 2,534 2,507 2,484 2,463 2,445
15 2,588 2,544 2,507 2,475 2,448 2,424 2,403 2,385
16 2,538 2,494 2,456 2,425 2,397 2,373 2,352 2,333
17 2,494 2,450 2,413 2,381 2,353 2,329 2,308 2,289
18 2,456 2,412 2,374 2,342 2,314 2,290 2,269 2,250
19 2,423 2,378 2,340 2,308 2,280 2,256 2,234 2,215
20 2,393 2,348 2,310 2,278 2,250 2,225 2,203 2,184
21 2,366 2,321 2,283 2,250 2,222 2,197 2,176 2,156
22 2,342 2,297 2,259 2,226 2,198 2,173 2,151 2,131
23 2,320 2,275 2,236 2,204 2,175 2,150 2,128 2,109
24 2,300 2,255 2,216 2,183 2,155 2,130 2,108 2,088
25 2,282 2,236 2,198 2,165 2,136 2,111 2,089 2,069
26 2,265 2,220 2,181 2,148 2,119 2,094 2,072 2,052
27 2,250 2,204 2,166 2,132 2,103 2,078 2,056 2,036
28 2,236 2,190 2,151 2,118 2,089 2,064 2,041 2,021
29 2,223 2,177 2,138 2,104 2,075 2,050 2,027 2,007
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Apêndice C: valores críticos de F, α = 0,05 (continuação)
GL denominador
GL numerador
1 2 3 4 5 6 7 8
30 4,171 3,316 2,922 2,690 2,534 2,421 2,334 2,266
31 4,160 3,305 2,911 2,679 2,523 2,409 2,323 2,255
32 4,149 3,295 2,901 2,668 2,512 2,399 2,313 2,244
33 4,139 3,285 2,892 2,659 2,503 2,389 2,303 2,235
34 4,130 3,276 2,883 2,650 2,494 2,380 2,294 2,225
35 4,121 3,267 2,874 2,641 2,485 2,372 2,285 2,217
36 4,113 3,259 2,866 2,634 2,477 2,364 2,277 2,209
37 4,105 3,252 2,859 2,626 2,470 2,356 2,270 2,201
38 4,098 3,245 2,852 2,619 2,463 2,349 2,262 2,194
39 4,091 3,238 2,845 2,612 2,456 2,342 2,255 2,187
40 4,085 3,232 2,839 2,606 2,449 2,336 2,249 2,180
41 4,079 3,226 2,833 2,600 2,443 2,330 2,243 2,174
42 4,073 3,220 2,827 2,594 2,438 2,324 2,237 2,168
43 4,067 3,214 2,822 2,589 2,432 2,318 2,232 2,163
44 4,062 3,209 2,816 2,584 2,427 2,313 2,226 2,157
45 4,057 3,204 2,812 2,579 2,422 2,308 2,221 2,152
46 4,052 3,200 2,807 2,574 2,417 2,304 2,216 2,147
47 4,047 3,195 2,802 2,570 2,413 2,299 2,212 2,143
48 4,043 3,191 2,798 2,565 2,409 2,295 2,207 2,138
49 4,038 3,187 2,794 2,561 2,404 2,290 2,203 2,134
50 4,034 3,183 2,790 2,557 2,400 2,286 2,199 2,130
51 4,030 3,179 2,786 2,553 2,397 2,283 2,195 2,126
52 4,027 3,175 2,783 2,550 2,393 2,279 2,192 2,122
53 4,023 3,172 2,779 2,546 2,389 2,275 2,188 2,119
54 4,020 3,168 2,776 2,543 2,386 2,272 2,185 2,115
55 4,016 3,165 2,773 2,540 2,383 2,269 2,181 2,112
56 4,013 3,162 2,769 2,537 2,380 2,266 2,178 2,109
57 4,010 3,159 2,766 2,534 2,377 2,263 2,175 2,106
58 4,007 3,156 2,764 2,531 2,374 2,260 2,172 2,103
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Apêndice C: valores críticos de F, α = 0,05 (continuação)
GL denominador
GL numerador
9 10 11 12 13 14 15 16
30 2,211 2,165 2,126 2,092 2,063 2,037 2,015 1,995
31 2,199 2,153 2,114 2,080 2,051 2,026 2,003 1,983
32 2,189 2,142 2,103 2,070 2,040 2,015 1,992 1,972
33 2,179 2,133 2,093 2,060 2,030 2,004 1,982 1,961
34 2,170 2,123 2,084 2,050 2,021 1,995 1,972 1,952
35 2,161 2,1142,075 2,041 2,012 1,986 1,963 1,942
36 2,153 2,106 2,067 2,033 2,003 1,977 1,954 1,934
37 2,145 2,098 2,059 2,025 1,995 1,969 1,946 1,926
38 2,138 2,091 2,051 2,017 1,988 1,962 1,939 1,918
39 2,131 2,084 2,044 2,010 1,981 1,954 1,931 1,911
40 2,124 2,077 2,038 2,003 1,974 1,948 1,924 1,904
41 2,118 2,071 2,031 1,997 1,967 1,941 1,918 1,897
42 2,112 2,065 2,025 1,991 1,961 1,935 1,912 1,891
43 2,106 2,059 2,020 1,985 1,955 1,929 1,906 1,885
44 2,101 2,054 2,014 1,980 1,950 1,924 1,900 1,879
45 2,096 2,049 2,009 1,974 1,945 1,918 1,895 1,874
46 2,091 2,044 2,004 1,969 1,940 1,913 1,890 1,869
47 2,086 2,039 1,999 1,965 1,935 1,908 1,885 1,864
48 2,082 2,035 1,995 1,960 1,930 1,904 1,880 1,859
49 2,077 2,030 1,990 1,956 1,926 1,899 1,876 1,855
50 2,073 2,026 1,986 1,952 1,921 1,895 1,871 1,850
51 2,069 2,022 1,982 1,947 1,917 1,891 1,867 1,846
52 2,066 2,018 1,978 1,944 1,913 1,887 1,863 1,842
53 2,062 2,015 1,975 1,940 1,910 1,883 1,859 1,838
54 2,059 2,011 1,971 1,936 1,906 1,879 1,856 1,835
55 2,055 2,008 1,968 1,933 1,903 1,876 1,852 1,831
56 2,052 2,005 1,964 1,930 1,899 1,873 1,849 1,828
57 2,049 2,001 1,961 1,926 1,896 1,869 1,846 1,824
58 2,046 1,998 1,958 1,923 1,893 1,866 1,842 1,821
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Apêndice C: valores críticos de F, α = 0,05 (continuação)
GL denominador
GL numerador
1 2 3 4 5 6 7 8
59 4,004 3,153 2,761 2,528 2,371 2,257 2,169 2,100
60 4,001 3,150 2,758 2,525 2,368 2,254 2,167 2,097
61 3,998 3,148 2,755 2,523 2,366 2,251 2,164 2,094
62 3,996 3,145 2,753 2,520 2,363 2,249 2,161 2,092
63 3,993 3,143 2,751 2,518 2,361 2,246 2,159 2,089
64 3,991 3,140 2,748 2,515 2,358 2,244 2,156 2,087
65 3,989 3,138 2,746 2,513 2,356 2,242 2,154 2,084
66 3,986 3,136 2,744 2,511 2,354 2,239 2,152 2,082
67 3,984 3,134 2,742 2,509 2,352 2,237 2,150 2,080
68 3,982 3,132 2,740 2,507 2,350 2,235 2,148 2,078
69 3,980 3,130 2,737 2,505 2,348 2,233 2,145 2,076
70 3,978 3,128 2,736 2,503 2,346 2,231 2,143 2,074
71 3,976 3,126 2,734 2,501 2,344 2,229 2,142 2,072
72 3,974 3,124 2,732 2,499 2,342 2,227 2,140 2,070
73 3,972 3,122 2,730 2,497 2,340 2,226 2,138 2,068
74 3,970 3,120 2,728 2,495 2,338 2,224 2,136 2,066
75 3,968 3,119 2,727 2,494 2,337 2,222 2,134 2,064
76 3,967 3,117 2,725 2,492 2,335 2,220 2,133 2,063
77 3,965 3,115 2,723 2,490 2,333 2,219 2,131 2,061
78 3,963 3,114 2,722 2,489 2,332 2,217 2,129 2,059
79 3,962 3,112 2,720 2,487 2,330 2,216 2,128 2,058
80 3,960 3,111 2,719 2,486 2,329 2,214 2,126 2,056
81 3,959 3,109 2,717 2,484 2,327 2,213 2,125 2,055
82 3,957 3,108 2,716 2,483 2,326 2,211 2,123 2,053
83 3,956 3,107 2,715 2,482 2,324 2,210 2,122 2,052
84 3,955 3,105 2,713 2,480 2,323 2,209 2,121 2,051
85 3,953 3,104 2,712 2,479 2,322 2,207 2,119 2,049
86 3,952 3,103 2,711 2,478 2,321 2,206 2,118 2,048
87 3,951 3,101 2,709 2,476 2,319 2,205 2,117 2,047
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Apêndice C: valores críticos de F, α = 0,05 (continuação)
GL denominador
GL numerador
9 10 11 12 13 14 15 16
59 2,043 1,995 1,955 1,920 1,890 1,863 1,839 1,818
60 2,040 1,993 1,952 1,917 1,887 1,860 1,836 1,815
61 2,037 1,990 1,949 1,915 1,884 1,857 1,834 1,812
62 2,035 1,987 1,947 1,912 1,882 1,855 1,831 1,809
63 2,032 1,985 1,944 1,909 1,879 1,852 1,828 1,807
64 2,030 1,982 1,942 1,907 1,876 1,849 1,826 1,804
65 2,027 1,980 1,939 1,904 1,874 1,847 1,823 1,802
66 2,025 1,977 1,937 1,902 1,871 1,845 1,821 1,799
67 2,023 1,975 1,935 1,900 1,869 1,842 1,818 1,797
68 2,021 1,973 1,932 1,897 1,867 1,840 1,816 1,795
69 2,019 1,971 1,930 1,895 1,865 1,838 1,814 1,792
70 2,017 1,969 1,928 1,893 1,863 1,836 1,812 1,790
71 2,015 1,967 1,926 1,891 1,861 1,834 1,810 1,788
72 2,013 1,965 1,924 1,889 1,859 1,832 1,808 1,786
73 2,011 1,963 1,922 1,887 1,857 1,830 1,806 1,784
74 2,009 1,961 1,921 1,885 1,855 1,828 1,804 1,782
75 2,007 1,959 1,919 1,884 1,853 1,826 1,802 1,780
76 2,006 1,958 1,917 1,882 1,851 1,824 1,800 1,778
77 2,004 1,956 1,915 1,880 1,849 1,822 1,798 1,777
78 2,002 1,954 1,914 1,878 1,848 1,821 1,797 1,775
79 2,001 1,953 1,912 1,877 1,846 1,819 1,795 1,773
80 1,999 1,951 1,910 1,875 1,845 1,817 1,793 1,772
81 1,998 1,950 1,909 1,874 1,843 1,816 1,792 1,770
82 1,996 1,948 1,907 1,872 1,841 1,814 1,790 1,768
83 1,995 1,947 1,906 1,871 1,840 1,813 1,789 1,767
84 1,993 1,945 1,905 1,869 1,838 1,811 1,787 1,765
85 1,992 1,944 1,903 1,868 1,837 1,810 1,786 1,764
86 1,991 1,943 1,902 1,867 1,836 1,808 1,784 1,763
87 1,989 1,941 1,900 1,865 1,834 1,807 1,783 1,761
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Apêndice C: valores críticos de F, α = 0,05 (continuação)
GL denominador
GL numerador
1 2 3 4 5 6 7 8
88 3,949 3,100 2,708 2,475 2,318 2,203 2,115 2,045
89 3,948 3,099 2,707 2,474 2,317 2,202 2,114 2,044
90 3,947 3,098 2,706 2,473 2,316 2,201 2,113 2,043
91 3,946 3,097 2,705 2,472 2,315 2,200 2,112 2,042
92 3,945 3,095 2,704 2,471 2,313 2,199 2,111 2,041
93 3,943 3,094 2,703 2,470 2,312 2,198 2,110 2,040
94 3,942 3,093 2,701 2,469 2,311 2,197 2,109 2,038
95 3,941 3,092 2,700 2,467 2,310 2,196 2,108 2,037
96 3,940 3,091 2,699 2,466 2,309 2,195 2,106 2,036
97 3,939 3,090 2,698 2,465 2,308 2,194 2,105 2,035
98 3,938 3,089 2,697 2,465 2,307 2,193 2,104 2,034
99 3,937 3,088 2,696 2,464 2,306 2,192 2,103 2,033
100 3,936 3,087 2,696 2,463 2,305 2,191 2,103 2,032
120 3,920 3,072 2,680 2,447 2,290 2,175 2,087 2,016
140 3,909 3,061 2,669 2,436 2,279 2,164 2,076 2,005
160 3,900 3,053 2,661 2,428 2,271 2,156 2,067 1,997
180 3,894 3,046 2,655 2,422 2,264 2,149 2,061 1,990
200 3,888 3,041 2,650 2,417 2,259 2,144 2,056 1,985
250 3,879 3,032 2,641 2,408 2,250 2,135 2,046 1,976
300 3,873 3,026 2,635 2,402 2,244 2,129 2,040 1,969
350 3,868 3,022 2,630 2,397 2,240 2,125 2,036 1,965
400 3,865 3,018 2,627 2,394 2,237 2,121 2,032 1,962
450 3,862 3,016 2,625 2,392 2,234 2,119 2,030 1,959
500 3,860 3,014 2,623 2,390 2,232 2,117 2,028 1,957
600 3,857 3,011 2,620 2,387 2,229 2,114 2,025 1,954
700 3,855 3,009 2,618 2,385 2,227 2,112 2,023 1,952
800 3,853 3,007 2,616 2,383 2,225 2,110 2,021 1,950
900 3,852 3,006 2,615 2,382 2,224 2,109 2,020 1,949
1000 3,851 3,005 2,614 2,381 2,223 2,108 2,019 1,948
∞ 3,841 2,996 2,605 2,372 2,214 2,099 2,010 1,938
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Apêndice C: valores críticos de F, α = 0,05 (continuação)
GL denominador
GL numerador
9 10 11 12 13 14 15 16
88 1,988 1,940 1,899 1,864 1,833 1,806 1,782 1,760
89 1,987 1,939 1,898 1,863 1,832 1,804 1,780 1,758
90 1,986 1,938 1,897 1,861 1,830 1,803 1,779 1,757
91 1,984 1,936 1,895 1,860 1,829 1,802 1,778 1,756
92 1,983 1,935 1,894 1,859 1,828 1,801 1,776 1,755
93 1,982 1,934 1,893 1,858 1,827 1,800 1,775 1,753
94 1,981 1,933 1,892 1,857 1,826 1,798 1,774 1,752
95 1,980 1,932 1,891 1,856 1,825 1,797 1,773 1,751
96 1,979 1,931 1,890 1,854 1,823 1,796 1,772 1,750
97 1,978 1,930 1,889 1,853 1,822 1,795 1,771 1,749
98 1,977 1,929 1,888 1,852 1,821 1,794 1,770 1,748
99 1,976 1,928 1,887 1,851 1,820 1,793 1,769 1,747
100 1,975 1,927 1,886 1,850 1,819 1,792 1,768 1,746
120 1,959 1,910 1,869 1,834 1,803 1,775 1,750 1,728
140 1,947 1,899 1,858 1,822 1,791 1,763 1,738 1,716
160 1,939 1,890 1,849 1,813 1,782 1,754 1,729 1,707
180 1,932 1,884 1,842 1,806 1,775 1,747 1,722 1,700
200 1,927 1,878 1,837 1,801 1,769 1,742 1,717 1,694
250 1,917 1,869 1,827 1,791 1,759 1,732 1,707 1,684
300 1,911 1,862 1,821 1,785 1,753 1,725 1,700 1,677
350 1,907 1,858 1,816 1,780 1,748 1,720 1,695 1,672
400 1,903 1,854 1,813 1,776 1,745 1,717 1,691 1,669
450 1,901 1,852 1,810 1,774 1,742 1,714 1,689 1,666
500 1,899 1,850 1,808 1,772 1,740 1,712 1,686 1,664
600 1,895 1,846 1,805 1,768 1,736 1,708 1,683 1,660
700 1,893 1,844 1,802 1,766 1,734 1,706 1,681 1,658
800 1,892 1,843 1,801 1,764 1,732 1,704 1,679 1,656900 1,890 1,841 1,799 1,763 1,731 1,703 1,678 1,655
1000 1,889 1,840 1,798 1,762 1,730 1,702 1,676 1,654
∞ 1,880 1,831 1,789 1,752 1,720 1,692 1,666 1,644
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Apêndice D: valores da amplitude total estudentizada (q), para uso no teste de Tukey, 
α = 0,05
GLDentro
Número de grupos
2 3 4 5 6 7 8 9
1 17,969 26,976 32,819 37,082 40,408 43,119 45,397 47,357
2 6,085 8,331 9,798 10,881 11,734 12,435 13,027 13,539
3 4,501 5,910 6,825 7,502 8,037 8,478 8,852 9,177
4 3,926 5,040 5,757 6,287 6,706 7,053 7,347 7,602
5 3,635 4,602 5,218 5,673 6,033 6,330 6,582 6,801
6 3,460 4,339 4,896 5,305 5,628 5,895 6,122 6,319
7 3,344 4,165 4,681 5,060 5,359 5,606 5,815 5,997
8 3,261 4,041 4,529 4,886 5,167 5,399 5,596 5,767
9 3,199 3,948 4,415 4,755 5,024 5,244 5,432 5,595
10 3,151 3,877 4,327 4,654 4,912 5,124 5,304 5,460
11 3,113 3,820 4,256 4,574 4,823 5,028 5,202 5,353
12 3,081 3,773 4,199 4,508 4,750 4,950 5,119 5,265
13 3,055 3,734 4,151 4,453 4,690 4,884 5,049 5,192
14 3,033 3,701 4,111 4,407 4,639 4,829 4,990 5,130
15 3,014 3,673 4,076 4,367 4,595 4,782 4,940 5,077
16 2,998 3,649 4,046 4,333 4,557 4,741 4,896 5,031
17 2,984 3,628 4,020 4,303 4,524 4,705 4,858 4,991
18 2,971 3,609 3,997 4,276 4,494 4,673 4,824 4,955
19 2,960 3,593 3,977 4,253 4,468 4,645 4,794 4,924
20 2,950 3,578 3,958 4,232 4,445 4,620 4,768 4,895
21 2,941 3,565 3,942 4,213 4,424 4,597 4,743 4,870
22 2,933 3,553 3,927 4,196 4,405 4,577 4,722 4,847
23 2,926 3,542 3,914 4,180 4,388 4,558 4,702 4,826
24 2,919 3,532 3,901 4,166 4,373 4,541 4,684 4,807
25 2,913 3,523 3,890 4,153 4,358 4,526 4,667 4,789
26 2,907 3,514 3,880 4,141 4,345 4,511 4,652 4,773
27 2,902 3,506 3,870 4,130 4,333 4,498 4,638 4,758
28 2,897 3,499 3,861 4,120 4,322 4,486 4,625 4,745
29 2,892 3,493 3,853 4,111 4,311 4,475 4,613 4,732
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Apêndice D: valores da amplitude total estudentizada (q), para uso no teste de Tukey, 
α = 0,05 (continuação)
GLDentro
Número de grupos
10 11 12 13 14 15 16 17
1 49,071 50,592 51,957 53,194 54,323 55,361 56,320 57,212
2 13,988 14,389 14,749 15,076 15,375 15,650 15,905 16,143
3 9,462 9,717 9,946 10,155 10,346 10,522 10,686 10,838
4 7,826 8,027 8,208 8,373 8,524 8,664 8,793 8,914
5 6,995 7,167 7,323 7,466 7,596 7,716 7,828 7,932
6 6,493 6,649 6,789 6,917 7,034 7,143 7,244 7,338
7 6,158 6,302 6,431 6,550 6,658 6,759 6,852 6,939
8 5,918 6,053 6,175 6,287 6,389 6,483 6,571 6,653
9 5,738 5,867 5,983 6,089 6,186 6,276 6,359 6,437
10 5,598 5,722 5,833 5,935 6,028 6,114 6,194 6,269
11 5,486 5,605 5,713 5,811 5,901 5,984 6,062 6,134
12 5,395 5,510 5,615 5,710 5,797 5,878 5,953 6,023
13 5,318 5,431 5,533 5,625 5,711 5,789 5,862 5,931
14 5,253 5,364 5,463 5,554 5,637 5,714 5,785 5,852
15 5,198 5,306 5,403 5,492 5,574 5,649 5,719 5,785
16 5,150 5,256 5,352 5,439 5,519 5,593 5,662 5,726
17 5,108 5,212 5,306 5,392 5,471 5,544 5,612 5,675
18 5,071 5,173 5,266 5,351 5,429 5,501 5,567 5,629
19 5,037 5,139 5,231 5,314 5,391 5,462 5,528 5,589
20 5,008 5,108 5,199 5,282 5,357 5,427 5,492 5,553
21 4,981 5,081 5,170 5,252 5,327 5,396 5,460 5,520
22 4,957 5,056 5,144 5,225 5,299 5,368 5,431 5,491
23 4,935 5,033 5,121 5,201 5,274 5,342 5,405 5,464
24 4,915 5,012 5,099 5,179 5,251 5,319 5,381 5,439
25 4,897 4,993 5,079 5,158 5,230 5,297 5,359 5,417
26 4,880 4,975 5,061 5,139 5,211 5,277 5,339 5,396
27 4,864 4,959 5,044 5,122 5,193 5,259 5,320 5,377
28 4,850 4,944 5,029 5,106 5,177 5,242 5,302 5,359
29 4,837 4,930 5,014 5,091 5,161 5,226 5,286 5,342
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Apêndice D: valores da amplitude total estudentizada (q), para uso no teste de Tukey, 
α = 0,05 (continuação)
GLDentro
Número de grupos
2 3 4 5 6 7 8 9
30 2,888 3,486 3,845 4,102 4,301 4,464 4,601 4,720
31 2,884 3,481 3,838 4,094 4,292 4,454 4,591 4,709
32 2,881 3,475 3,832 4,086 4,284 4,445 4,581 4,698
33 2,877 3,470 3,825 4,079 4,276 4,436 4,572 4,689
34 2,874 3,465 3,820 4,072 4,268 4,428 4,563 4,680
35 2,871 3,461 3,814 4,066 4,261 4,421 4,555 4,671
36 2,868 3,457 3,809 4,060 4,255 4,414 4,547 4,663
37 2,865 3,453 3,804 4,054 4,249 4,407 4,540 4,655
38 2,863 3,449 3,799 4,049 4,243 4,400 4,533 4,648
39 2,861 3,445 3,795 4,044 4,237 4,394 4,527 4,641
40 2,858 3,442 3,791 4,039 4,232 4,388 4,521 4,634
41 2,856 3,439 3,787 4,034 4,227 4,383 4,515 4,628
42 2,854 3,436 3,783 4,030 4,222 4,377 4,510 4,622
43 2,852 3,433 3,780 4,026 4,217 4,373 4,504 4,616
44 2,850 3,430 3,776 4,022 4,213 4,368 4,499 4,611
45 2,848 3,427 3,773 4,018 4,209 4,363 4,494 4,606
46 2,846 3,425 3,770 4,015 4,205 4,359 4,490 4,601
47 2,845 3,422 3,767 4,011 4,201 4,355 4,485 4,596
48 2,843 3,420 3,764 4,008 4,197 4,351 4,481 4,592
49 2,842 3,418 3,761 4,005 4,194 4,347 4,477 4,588
50 2,840 3,416 3,759 4,002 4,190 4,344 4,473 4,584
51 2,839 3,414 3,756 3,999 4,187 4,340 4,469 4,580
52 2,838 3,412 3,754 3,996 4,184 4,337 4,466 4,576
53 2,836 3,410 3,751 3,993 4,181 4,334 4,462 4,572
54 2,835 3,408 3,749 3,991 4,178 4,330 4,459 4,569
55 2,834 3,407 3,747 3,988 4,175 4,327 4,456 4,565
56 2,833 3,405 3,745 3,986 4,173 4,325 4,452 4,562
57 2,832 3,403 3,743 3,984 4,170 4,322 4,449 4,559
58 2,831 3,402 3,741 3,981 4,168 4,319 4,447 4,556
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Apêndice D: valores da amplitude total estudentizada (q), para uso no teste de Tukey, 
α = 0,05 (continuação)
GLDentro
Número de grupos
10 11 12 13 14 15 16 17
30 4,824 4,917 5,001 5,077 5,147 5,211 5,271 5,327
31 4,812 4,905 4,988 5,064 5,134 5,198 5,257 5,313
32 4,802 4,894 4,976 5,052 5,121 5,185 5,244 5,299
33 4,791 4,883 4,965 5,040 5,109 5,173 5,232 5,287
34 4,782 4,873 4,955 5,030 5,098 5,161 5,220 5,275
35 4,773 4,863 4,945 5,020 5,088 5,151 5,209 5,264
36 4,764 4,855 4,936 5,010 5,078 5,141 5,199 5,253
37 4,756 4,846 4,927 5,001 5,069 5,131 5,189 5,243
38 4,749 4,838 4,919 4,993 5,060 5,122 5,180 5,234
39 4,741 4,831 4,911 4,985 5,052 5,114 5,171 5,225
40 4,735 4,824 4,904 4,977 5,044 5,106 5,163 5,216
41 4,728 4,817 4,897 4,970 5,037 5,098 5,155 5,208
42 4,722 4,811 4,890 4,963 5,029 5,091 5,148 5,200
43 4,716 4,804 4,884 4,956 5,023 5,084 5,140 5,193
44 4,710 4,798 4,878 4,950 5,016 5,077 5,134 5,186
45 4,705 4,793 4,872 4,944 5,010 5,071 5,127 5,179
46 4,700 4,787 4,866 4,938 5,004 5,065 5,121 5,173
47 4,695 4,782 4,861 4,932 4,998 5,059 5,115 5,167
48 4,690 4,777 4,856 4,927 4,993 5,053 5,109 5,161
49 4,686 4,772 4,851 4,922 4,988 5,048 5,104 5,155
50 4,681 4,768 4,846 4,917 4,983 5,043 5,098 5,150
51 4,677 4,764 4,842 4,913 4,978 5,038 5,093 5,145
52 4,673 4,760 4,838 4,908 4,973 5,033 5,089 5,140
53 4,669 4,756 4,833 4,904 4,969 5,028 5,084 5,136
54 4,666 4,752 4,829 4,900 4,965 5,024 5,080 5,131
55 4,662 4,748 4,825 4,896 4,961 5,020 5,075 5,127
56 4,659 4,745 4,822 4,892 4,957 5,016 5,071 5,122
57 4,655 4,741 4,818 4,888 4,953 5,012 5,067 5,118
58 4,652 4,738 4,815 4,885 4,949 5,008 5,063 5,114
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Apêndice D: valores da amplitude total estudentizada (q), para uso no teste de Tukey, 
α = 0,05 (continuação)
GLDentro
Número de grupos
2 3 4 5 6 7 8 9
59 2,830 3,400 3,739 3,979 4,165 4,317 4,444 4,553
60 2,829 3,399 3,737 3,977 4,163 4,314 4,441 4,550
61 2,828 3,398 3,735 3,975 4,161 4,312 4,438 4,547
62 2,827 3,396 3,734 3,973 4,159 4,309 4,436 4,545
63 2,826 3,395 3,732 3,971 4,157 4,307 4,434 4,542
64 2,825 3,394 3,731 3,970 4,155 4,305 4,431 4,540
65 2,824 3,392 3,729 3,968 4,153 4,303 4,429 4,537
66 2,824 3,391 3,728 3,966 4,151 4,301 4,427 4,535
67 2,823 3,390 3,726 3,964 4,149 4,299 4,425 4,533
68 2,822 3,389 3,725 3,963 4,147 4,297 4,423 4,531
69 2,821 3,388 3,723 3,961 4,145 4,295 4,421 4,529
70 2,820 3,386 3,722 3,960 4,1444,293 4,419 4,527
71 2,820 3,385 3,721 3,958 4,142 4,291 4,417 4,525
72 2,819 3,384 3,720 3,957 4,140 4,289 4,415 4,523
73 2,818 3,383 3,718 3,956 4,139 4,288 4,413 4,521
74 2,818 3,382 3,717 3,954 4,137 4,286 4,411 4,519
75 2,817 3,381 3,716 3,953 4,136 4,284 4,410 4,517
76 2,816 3,380 3,715 3,952 4,134 4,283 4,408 4,515
77 2,816 3,380 3,714 3,951 4,133 4,281 4,407 4,514
78 2,815 3,379 3,713 3,949 4,132 4,280 4,405 4,512
79 2,815 3,378 3,712 3,948 4,130 4,278 4,403 4,511
80 2,814 3,377 3,711 3,947 4,129 4,277 4,402 4,509
81 2,813 3,376 3,710 3,946 4,128 4,276 4,401 4,507
82 2,813 3,375 3,709 3,945 4,127 4,274 4,399 4,506
83 2,812 3,375 3,708 3,944 4,125 4,273 4,398 4,505
84 2,812 3,374 3,707 3,943 4,124 4,272 4,396 4,503
85 2,812 3,373 3,706 3,942 4,123 4,271 4,395 4,502
86 2,811 3,373 3,706 3,941 4,122 4,269 4,394 4,500
87 2,811 3,372 3,705 3,940 4,121 4,268 4,393 4,499
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Apêndice D: valores da amplitude total estudentizada (q), para uso no teste de Tukey, 
α = 0,05 (continuação)
GLDentro
Número de grupos
10 11 12 13 14 15 16 17
59 4,649 4,735 4,811 4,881 4,945 5,005 5,060 5,111
60 4,646 4,732 4,808 4,878 4,942 5,001 5,056 5,107
61 4,643 4,729 4,805 4,875 4,939 4,998 5,053 5,103
62 4,640 4,726 4,802 4,872 4,936 4,994 5,049 5,100
63 4,638 4,723 4,799 4,869 4,932 4,991 5,046 5,097
64 4,635 4,721 4,796 4,866 4,930 4,988 5,043 5,093
65 4,633 4,718 4,794 4,863 4,927 4,985 5,040 5,090
66 4,630 4,715 4,791 4,860 4,924 4,982 5,037 5,087
67 4,628 4,713 4,788 4,858 4,921 4,979 5,034 5,084
68 4,626 4,710 4,786 4,855 4,918 4,977 5,031 5,081
69 4,624 4,708 4,783 4,852 4,916 4,974 5,028 5,078
70 4,621 4,706 4,781 4,850 4,913 4,971 5,026 5,076
71 4,619 4,703 4,779 4,848 4,911 4,969 5,023 5,073
72 4,617 4,701 4,777 4,845 4,909 4,966 5,021 5,070
73 4,615 4,699 4,775 4,843 4,906 4,964 5,018 5,068
74 4,613 4,697 4,772 4,841 4,904 4,962 5,016 5,065
75 4,612 4,695 4,770 4,839 4,902 4,959 5,014 5,063
76 4,610 4,693 4,768 4,837 4,900 4,957 5,011 5,061
77 4,608 4,691 4,766 4,835 4,898 4,955 5,009 5,058
78 4,606 4,690 4,765 4,833 4,896 4,953 5,007 5,056
79 4,605 4,688 4,763 4,831 4,894 4,951 5,005 5,054
80 4,603 4,686 4,761 4,829 4,892 4,949 5,003 5,052
81 4,601 4,684 4,759 4,827 4,890 4,947 5,001 5,050
82 4,600 4,683 4,758 4,825 4,888 4,945 4,999 5,048
83 4,598 4,681 4,756 4,824 4,887 4,943 4,997 5,046
84 4,597 4,680 4,754 4,822 4,885 4,942 4,995 5,044
85 4,595 4,678 4,753 4,821 4,883 4,940 4,994 5,042
86 4,594 4,677 4,751 4,819 4,882 4,938 4,992 5,041
87 4,593 4,675 4,750 4,817 4,880 4,937 4,990 5,039
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Apêndice D: valores da amplitude total estudentizada (q), para uso no teste de Tukey, 
α = 0,05 (continuação)
GLDentro
Número de grupos
2 3 4 5 6 7 8 9
88 2,810 3,371 3,704 3,939 4,120 4,267 4,391 4,498
89 2,810 3,371 3,703 3,938 4,119 4,266 4,390 4,497
90 2,809 3,370 3,702 3,937 4,118 4,265 4,389 4,495
91 2,809 3,369 3,702 3,936 4,117 4,264 4,388 4,494
92 2,809 3,369 3,701 3,935 4,116 4,263 4,387 4,493
93 2,808 3,368 3,700 3,934 4,115 4,262 4,386 4,492
94 2,808 3,368 3,699 3,934 4,114 4,261 4,385 4,491
95 2,807 3,367 3,699 3,933 4,113 4,260 4,384 4,490
96 2,807 3,367 3,698 3,932 4,113 4,259 4,383 4,489
97 2,807 3,366 3,697 3,931 4,112 4,258 4,381 4,487
98 2,806 3,365 3,697 3,930 4,111 4,257 4,381 4,486
99 2,806 3,365 3,696 3,930 4,110 4,256 4,380 4,485
100 2,806 3,364 3,695 3,929 4,109 4,255 4,379 4,484
120 2,800 3,356 3,685 3,917 4,096 4,241 4,363 4,468
140 2,796 3,350 3,678 3,908 4,087 4,231 4,352 4,456
160 2,793 3,346 3,672 3,902 4,080 4,223 4,344 4,448
180 2,791 3,342 3,668 3,897 4,074 4,217 4,337 4,441
200 2,789 3,339 3,664 3,893 4,070 4,212 4,332 4,435
250 2,785 3,334 3,658 3,886 4,062 4,204 4,322 4,425
300 2,783 3,331 3,654 3,881 4,056 4,198 4,316 4,419
350 2,782 3,328 3,651 3,878 4,053 4,194 4,312 4,414
400 2,780 3,327 3,649 3,875 4,050 4,191 4,309 4,411
450 2,779 3,325 3,647 3,873 4,048 4,189 4,306 4,408
500 2,772 3,314 3,633 3,858 4,030 4,170 4,286 4,387
600 2,772 3,314 3,633 3,858 4,030 4,170 4,286 4,387
700 2,772 3,314 3,633 3,858 4,030 4,170 4,286 4,387
800 2,772 3,314 3,633 3,858 4,030 4,170 4,286 4,387
1000 2,772 3,314 3,633 3,858 4,030 4,170 4,286 4,387
∞ 2,772 3,314 3,633 3,858 4,030 4,170 4,286 4,387
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Apêndice D: valores da amplitude total estudentizada (q), para uso no teste de Tukey, 
α = 0,05 (continuação)
GLDentro
Número de grupos
10 11 12 13 14 15 16 17
88 4,591 4,674 4,748 4,816 4,878 4,935 4,989 5,037
89 4,590 4,672 4,747 4,814 4,877 4,934 4,987 5,036
90 4,589 4,671 4,745 4,813 4,875 4,932 4,985 5,034
91 4,587 4,670 4,744 4,812 4,874 4,931 4,984 5,032
92 4,586 4,668 4,743 4,810 4,872 4,929 4,982 5,031
93 4,585 4,667 4,741 4,809 4,871 4,928 4,981 5,029
94 4,584 4,666 4,740 4,808 4,870 4,926 4,979 5,028
95 4,583 4,665 4,739 4,806 4,868 4,925 4,978 5,026
96 4,582 4,664 4,738 4,805 4,867 4,924 4,977 5,025
97 4,580 4,662 4,736 4,804 4,866 4,922 4,975 5,024
98 4,579 4,661 4,735 4,803 4,864 4,921 4,974 5,022
99 4,578 4,660 4,734 4,801 4,863 4,920 4,972 5,021
100 4,577 4,659 4,733 4,800 4,862 4,918 4,971 5,020
120 4,560 4,641 4,714 4,781 4,842 4,898 4,950 4,998
140 4,548 4,628 4,701 4,767 4,828 4,883 4,935 4,983
160 4,539 4,619 4,691 4,757 4,817 4,873 4,924 4,971
180 4,531 4,611 4,683 4,749 4,809 4,864 4,915 4,962
200 4,526 4,605 4,677 4,743 4,802 4,857 4,908 4,955
250 4,515 4,594 4,666 4,731 4,790 4,845 4,895 4,942
300 4,508 4,587 4,659 4,723 4,782 4,837 4,887 4,933
350 4,503 4,582 4,654 4,718 4,777 4,831 4,881 4,927
400 4,500 4,578 4,650 4,714 4,772 4,827 4,876 4,923
450 4,497 4,575 4,647 4,711 4,769 4,823 4,873 4,919
500 4,474 4,552 4,622 4,685 4,743 4,796 4,845 4,891
600 4,474 4,552 4,622 4,685 4,743 4,796 4,845 4,891
700 4,474 4,552 4,622 4,685 4,743 4,796 4,845 4,891
800 4,474 4,552 4,622 4,685 4,743 4,796 4,845 4,891
1000 4,474 4,552 4,622 4,685 4,743 4,796 4,845 4,891
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Apêndice E: valores críticos de chi quadrado
GL
Nível de significância adotado
0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 0,001
1 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 10,828
2 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597 13,816
3 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 16,266
4 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860 18,467
5 9,236 11,070 12,833 15,086 16,750 20,515
6 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 22,458
7 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 24,322
8 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955 26,124
9 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 27,877
10 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188 29,588
11 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757 31,264
12 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300 32,909
13 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819 34,528
14 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319 36,123
15 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801 37,697
16 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267 39,252
17 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718 40,790
18 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156 42,312
19 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582 43,820
20 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997 45,315
21 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401 46,797
22 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796 48,268
23 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181 49,728
24 33,196 36,415 39,364 42,980 45,559 51,179
25 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928 52,620
26 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290 54,052
27 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645 55,476
28 37,916 41,337 44,461 48,278 50,993 56,892
29 39,087 42,557 45,722 49,588 52,336 58,301
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Apêndice E: valores críticos de chi quadrado (continuação)
GL
Nível de significância adotado
0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 0,001
30 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672 59,703
31 41,422 44,985 48,232 52,191 55,003 61,09832 42,585 46,194 49,480 53,486 56,328 62,487
33 43,745 47,400 50,725 54,776 57,648 63,870
34 44,903 48,602 51,966 56,061 58,964 65,247
35 46,059 49,802 53,203 57,342 60,275 66,619
36 47,212 50,998 54,437 58,619 61,581 67,985
37 48,363 52,192 55,668 59,893 62,883 69,346
38 49,513 53,384 56,896 61,162 64,181 70,703
39 50,660 54,572 58,120 62,428 65,476 72,055
40 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766 73,402
41 52,949 56,942 60,561 64,950 68,053 74,745
42 54,090 58,124 61,777 66,206 69,336 76,084
43 55,230 59,304 62,990 67,459 70,616 77,419
44 56,369 60,481 64,201 68,710 71,893 78,750
45 57,505 61,656 65,410 69,957 73,166 80,077
46 58,641 62,830 66,617 71,201 74,437 81,400
47 59,774 64,001 67,821 72,443 75,704 82,720
48 60,907 65,171 69,023 73,683 76,969 84,037
49 62,038 66,339 70,222 74,919 78,231 85,351
50 63,167 67,505 71,420 76,154 79,490 86,661
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Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000