Livro - Cálculo Numérico

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CÁLCULO
NUMÉRICO
CÁLCULO
NUMÉRICO
Cálculo Num
érico Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro 
GRUPO SER EDUCACIONAL
gente criando o futuro
A simulação computacional proveniente do constante avanço tecnológico é possibilita-
da pela modelagem Matemática, prática que permite esquematizar uma situação-
problema. Nesse contexto, surge a necessidade de compreensão do Cálculo Numérico.
Dentre as vertentes do Cálculo Numérico, há alguns eixos e teorias que precisam ser 
esclarecidas: a Teoria dos Erros e a Aritmética de ponto � utuante, que serão estuda-
dos a partir de suas de� nições e propriedades. 
Além disso, passaremos também pelo estudo dos métodos do meio intervalo (MMI), 
das aproximações sucessivas (MAS), das secantes (MS) e de Newton-Raphson (MNR). 
Falaremos também sobre eliminação gaussiana, método da fatoração LU, método de 
Gauss-Jacobi, método de Gauss-Seidel e MMQ.
Por � m, abordaremos os conteúdos de interpolação polinomial, método de Euler, mé-
todo de Runge-Kutta e integração numérica. 
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ASSISTA
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple-
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
CITANDO
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado.
CONTEXTUALIZANDO
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
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Unidade 1 - Teoria dos Erros e Aritmética de ponto flutuante
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12
Conceitos iniciais e princípios gerais do Cálculo Numérico ...................................... 13
Cálculo Numérico ............................................................................................................ 14
Teoria dos Erros .................................................................................................................... 15
Erro na origem dos dados .............................................................................................. 18
Erro de truncamento ....................................................................................................... 19
Erro de arredondamento ................................................................................................ 20
Erro absoluto, erro relativo e erro percentual ............................................................ 21
Aritmética de ponto flutuante ............................................................................................ 22
Algarismos significativos ............................................................................................... 23
Sistemas numéricos ........................................................................................................ 24
Mudança de bases numéricas ...................................................................................... 27
Sistema e Aritmética de ponto flutuante ..................................................................... 32
Sintetizando ........................................................................................................................... 39
Referências bibliográficas ................................................................................................. 40
Sumário
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Sumário
Unidade 2 - Equações não lineares
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 42
Equações não lineares ........................................................................................................ 43
Solução de equações não lineares .............................................................................. 43
Teorema de Bolzano........................................................................................................ 44
Métodos de solução de equações não lineares I .......................................................... 45
Método do meio intervalo (MMI) ................................................................................. 46
Método das aproximações sucessivas (MAS) ........................................................... 50
Métodos de solução de equações não lineares II ......................................................... 53
Método das secantes (MS) ........................................................................................... 54
Método de Newton-Raphson (MNR) ........................................................................... 58
Comparação entre os métodos numéricos ................................................................. 62
Sintetizando ........................................................................................................................... 64
Referências bibliográficas ................................................................................................. 65
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Sumário
Unidade 3 - Sistemas lineares
Objetivos da unidade ....................................................................................................... 67
Sistemas lineares ................................................................................................................. 68
Classificação de sistemas lineares .............................................................................. 69
Métodos diretos .................................................................................................................... 79
Método da eliminação gaussiana ................................................................................ 71
Método da fatoração LU ................................................................................................ 76
Métodos iterativos ............................................................................................................... 79
Método de Gauss-Jacobi ............................................................................................... 80
Método de Gauss-Sieldel ............................................................................................... 85
Teoria da aproximação ........................................................................................................ 89
Ajustes de curvas ............................................................................................................90
Método dos Mínimos Quadrados (MNQ) .................................................................... 90
Sintetizando ........................................................................................................................... 96
Referências bibliográficas ................................................................................................. 97
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Sumário
Unidade 4 – Interpolação polinomial, equações diferenciais ordinárias e integra-
ção numérica.
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 99
Interpolação polinomial .................................................................................................... 100
Método de Newton-Gregory ....................................................................................... 101
Método de Lagrange ..................................................................................................... 105
Equações diferenciais ordinárias ................................................................................... 108
Método de Euler ............................................................................................................ 110
Método de Runge-Kutta ............................................................................................... 113
Integração numérica.......................................................................................................... 116
Regra do trapézio .......................................................................................................... 117
Primeira regra de Simpson .......................................................................................... 120
Segunda regra de Simpson ......................................................................................... 122
Sintetizando ......................................................................................................................... 126
Referências bibliográficas ............................................................................................... 127
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A simulação computacional proveniente do constante avanço tecnológico é 
possibilitada pela modelagem Matemática, prática que permite esquematizar 
uma situação-problema. Nesse contexto, surge a necessidade de compreensão 
do Cálculo Numérico.
Dentre as vertentes do Cálculo Numérico, há alguns eixos e teorias que pre-
cisam ser esclarecidas: a Teoria dos Erros e a Aritmética de ponto fl utuante, que 
serão estudados a partir de suas defi nições e propriedades. 
Além disso, passaremos também pelo estudo dos métodos do meio inter-
valo (MMI), das aproximações sucessivas (MAS), das secantes (MS) e de New-
ton-Raphson (MNR). 
Falaremos também sobre eliminação gaussiana, método da fatoração LU, 
método de Gauss-Jacobi, método de Gauss-Seidel e MMQ.
Por fi m, abordaremos os conteúdos de interpolação polinomial, método de 
Euler, método de Runge-Kutta e integração numérica. 
Bons estudos!
CÁLCULO NUMÉRICO 9
Apresentação
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Dedico este material a Deus, que que me concede saúde e sabedoria; ao 
meu marido, Cleber, por seu apoio incondicional; àminha fi lha, Mariana, 
que é fonte de inspiração diária; à minha família, que tanto me auxilia nas 
mais diversas situações.
A professora Rafaela Rodrigues Oli-
veira Amaro é especialista em Meto-
dologia do Ensino de Matemática pela 
Faculdade de Administração, Ciências, 
Educação e Letras (FACEL) em 2012 e 
graduada em Matemática pela Funda-
ção Comunitária de Ensino de Itabira 
(FUNCESI) em 2009.
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/7630524977124650
CÁLCULO NUMÉRICO 10
A autora
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FUNÇÕES ALGÉBRICAS 
E NÃO ALGÉBRICAS: 
DEFINIÇÕES E 
APLICAÇÕES
1
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Compreender a definição de Cálculo Numérico, bem como os conceitos que 
permeiam o seu estudo;
 Conceituar, identificar e calcular o erro;
 Definir o que é Aritmética de ponto flutuante e apresentar suas 
propriedades.
 Conceitos iniciais e princípios 
gerais do Cálculo Numérico
 Cálculo Numérico
 Teoria dos Erros
 Erro na origem dos dados
 Erro de truncamento
 Erro de arredondamento
 Erro absoluto, erro relativo e 
erro percentual
 Aritmética de ponto flutuante
 Algarismos significativos
 Sistemas numéricos
 Mudança de bases numéricas
 Sistema e Aritmética de ponto 
flutuante
CÁLCULO NUMÉRICO 12
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Conceitos iniciais e princípios gerais do Cálculo Nu-
mérico
O ato de resolver problemas é 
inerente à condição humana. Desse 
modo, sempre nos deparamos com 
situações nas quais devemos determi-
nar uma solução. Em contrapartida, os 
computadores possuem um sistema 
operacional que necessita de algorit-
mos para possibilitar a resolução de 
problemas.
E qual é a relação existente entre o 
Cálculo Numérico e esses algoritmos computacionais? Ora, o constante avan-
ço da capacidade de cálculo dos computadores ocasionou uma expansão na 
capacidade de resolução de diferentes problemas intermediados por simula-
dores computacionais. O estudo desses problemas requisita a prática da mo-
delagem matemática, que pode ser defi nida como o ato de descrever mate-
maticamente um determinado fenômeno.
O livro Noções de Cálculo Numérico, publicado em 1984 pelos autores Hu-
mes, Melo, Yoshida e Martins, apresenta as seguintes etapas para a solução 
de um problema: defi nição do problema a ser resolvido; obtenção de um mo-
delo matemático para retratar a situação proposta, descrição do problema e 
resolução do problema. O Diagrama 1 apresenta as etapas descritas para a 
resolução de um problema. 
Modelagem Resolução
Problema Modelo matemático Solução 
DIAGRAMA 1. ETAPAS PARA A RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA
Fonte: HUMES, 1984, p. 1. (Adaptado).
CÁLCULO NUMÉRICO 13
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Cálculo Numérico
O estudo do Cálculo Numérico ana-
lisa os métodos numéricos de maneira 
a solucionar problemas. Assim, uma 
solução numérica é um valor numéri-
co aproximado que resolve um proble-
ma matemático. 
A análise dos procedimentos, téc-
nicas e aplicações são benefi ciadas 
quando a tecnologia está associada, 
seja na realização de cálculos ou na 
interpretação das respostas encontra-
das. Estabelece-se, assim, uma íntima 
ligação entre a Matemática e a tec-
nologia por meio de ferramentas computacionais, que podem ser entendidas 
como agentes de um processo interativo de ensino e aprendizagem, colocando 
os alunos como sujeitos efetivos e autônomos no trabalho teórico-prático com 
soluções numéricas. 
E qual é o propósito de estudar essa disciplina? A resposta é simples: o ob-
jetivo do Cálculo Númerico se resume em analisar os processos numéricos, 
também chamados de algoritmos, para resolver problemas tidos como compli-
cados, empregando as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, 
ou seja, os procedimentos que integram a Aritmética.
A disciplina de Cálculo Numérico é estruturada em seis grandes agrupa-
mentos: modelagem numérica, resolução de equações lineares, não lineares e 
transcendentes, ajustes de curvas, interpolação, integração numérica e equa-
ções diferenciais ordinárias como pode ser visualizado no Diagrama 2.
Atente-se que são necessárias duas fases para transpor do problema para 
a solução: modelagem e resolução. A primeira consiste na fase de aquisição de 
um modelo matemático que representa o desempenho do problema proposto, 
a segunda, por sua vez, na compreensão da fase em que se é obtida a solução 
do modelo matemático após utilização dosmétodos numéricos.
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DIAGRAMA 2. SEGMENTOS DO CÁLCULO NUMÉRICO
Modelagem 
numérica 
Equações 
diferenciais 
ordinárias
Ajuste de 
curvas
Interpolação 
Integração 
numérica 
Cálculo 
Numérico 
Equações lineares, 
não lineares e 
transcendentes 
Teoria dos Erros 
A obtenção de resultados provenientes de observações é limitada. Afi -
nal, o ser humano é falho. Todavia, uma vez que é difícil determinar respos-
tas exatas e precisas, torna-se necessário estimar quão boa e efi ciente foi a 
medição realizada, quantifi cando a qualidade da solução descoberta. Essa 
diferença entre o resultado encontrado e o resultado correto recebe o nome 
de erro e é inerente aos processos numéricos, não podendo, em muitos 
casos, ser evitado.
Dentro do cenário habitual aos cálculos numéricos, nasce a Teoria dos Er-
ros, que estuda a dinâmica do erro nas diversas situações em que ele pode es-
tar inserido. Baseando-se em tal indicador, é possível compreender a precisão 
dos cálculos executados.
Conforme Humes e outros autores, no livro Noções de Cálculo Numérico, pu-
blicado em 1987, é propósito da Teoria dos Erros:
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• determinar o mais correto resultado para a medida aferida a partir dos 
dados experimentais existentes, ou seja, definir, em termos estatísticos, a mais 
acertada aproximação para o valor verdadeiro;
• encontrar a incerteza no valor obtido, isto é, determinar o grau de precisão 
e confiança da medida analisada.
E onde podemos encontrar esse erro tão instalado em nosso cotidiano? 
Como identificá-lo? Vamos explorar um contexto comum à nossa vida e que 
fará toda a diferença para compreensão desse conteúdo.
Considere uma pista de atletismo de forma circular e raio (distância do cen-
tro à borda da circunferência) equivalente a 50 m. Um atleta tem como meta 
percorrer tal pista dez vezes diariamente, de maneira a se preparar para uma 
competição. Se a meta proposta pelo atleta for cumprida, quantos metros ele 
terá percorrido? 
Como se calcula o comprimento de uma circunferência? Vocês se lembram? 
A relação que permite calcular o comprimento de uma circunferência é C = 2 · 
π · r, em que π é uma constante e r indica a medida do raio da circunferência. 
Agora que já definimos os componentes da fórmula a ser utilizada, podemos 
solucionar o problema. 
Figura 1. Elementos de uma circunferência. Fonte: Adobe Stock. Acesso em: 05/10/2019.
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Como já foi definido, o raio equivale a 50 m, mas e o valor de π? Que número 
representa essa constante? 
Para sanar essas interrogações, partiremos para o cálculo da metragem 
percorrida baseado nos valores de π indicados a seguir:
π = 3,14
Sendo assim:
C = 2 · π · r
C = 2 · 3,14 · 50 = 314
Como esse percurso será executado dez vezes, logo, a conta que deve ser 
feita é: 
314 · 10 = 3140 m
Para outro valor de π:
π = 3,1416
Desse modo:
C = 2 · π · r
C = 2 · 3,1416 · 50 = 314,16 
Como esse percurso será executado dez vezes, logo, será percorrido: 
314,16 · 10 = 3140,6 m
Para o seguinte valor de π:
π = 3,14159265
C = 2 · π · r
C = 2 · 3,14159265 · 50 = 314,159265 
Como esse percurso será executado dez vezes, logo, será percorrido o se-
guinte valor: 
314,159265 · 10 =
3141,59265 m
Você identificou alguma alteração nas metragens percorridas? A resposta é 
categórica: sim! Atente-se ao fato de como o resultado é alterado mediante o 
valor definido para π. Verifique que quanto mais preciso e exato se define essa 
constante, mais preciso e exato também é o resultado proveniente das opera-
ções que o utilizam. 
No entanto, a cada cálculo realizado, existe uma diferença, ainda que pe-
quena, entre os resultados. Logo, há a incidência de erro, proveniente da uti-
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lização de um valor arredondado a outro mais preciso. Para operações como 
essa, é preciso identifi car o tipo de erro existente para, posteriormente, men-
surar o indicador.
CURIOSIDADE
O número π indica a razão entre a circunferência de um círculo e seu 
diâmetro. Com a descoberta e aprimoramento do cálculo infi nitesimal, 
passou-se também a recorrer é utilização de séries infi nitas convergentes 
de produtos e frações com o intuito de aproximar o valor de π.
Erro na origem dos dados
Alguns dados são obtidos por medidas experimentais. Em outras palavras, 
até obter determinadas informações, é comum que surjam incoerências. Des-
sa forma, logo no início, nos deparamos com os erros dos dados de entrada. 
Quando o modelo matemático é proveniente de um problema físico, há incer-
tezas quanto às medidas realizadas pelos instrumentos de medição, que possuem 
uma precisão limitada devido a diversos fatores, conforme mostra a Figura 2. 
Figura 2. Fontes de s na origem de dados.
Medidas
incorretas
Aprelhos
de medição
inadequados
Falha humana
Erro na origem de dados
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De maneira geral, na tentativa de indicar um fenômeno físico por um modelo 
matemático, difi cilmente se obtém uma descrição adequada a este fenômeno. Ge-
ralmente, é preciso várias simplifi cações do mundo físico para se obter um modelo 
matemático que possibilite seu uso. 
Erro de truncamento
O erro de truncamento consiste no erro característico e inerente aos modelos 
numéricos. O ato de truncar corresponde aos erros originários da utilização de 
processos, que são compostos por termos infi nitos ou muito grandes para a de-
terminação de um valor. 
Figura 3. Fontes de erro de truncamento.
Linearrização 
de uma função
Tranformação 
de uma série 
infi nita em 
fi nita
Erro de truncamento
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São considerados exemplos de erro de truncamento:
• estudo de uma série infi nita, uma vez que ao adaptá-la para uma quantidade 
de termos fi nitos, ou seja, limitar uma quantidade de termos, cometemos erro de 
truncamento; 
• processo de linearização de uma função, pois consiste no desenvolvimento 
da função em série de Taylor, considerando apenas os termos lineares. Por exem-
plo: para o valor de e1,5 ou de qualquer valor de e, pode-se utilizar a série de Taylor 
de uma função exponencial como recurso, defi nida por: 
x2 x3 x4 x5 xn
2 ! 3 ! 4 ! 5 ! n !e
x = 1 + x + + + +···
Erro de arredondamento
De maneira a entender melhor o erro de arredondamento, é importante 
defi nir o que é arredondamento e quais regras fundamentam o ato de arre-
dondar.
Arredondamento é o processo que “dispensa” algumas casas decimais à 
direita de um algarismo. A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) 
publicou, em 10 de dezembro de 2014, a norma ABNT NBR 5891:2014 – Regras 
de arredondamento na numeração decimal, defi nindo as regras para executar 
tal operação. 
A seguir, é possível ver quais são essas indicações, bem como seus respectivos 
exemplos: 
• Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último for inferior a 5, o últi-
mo algarismo a ser conservado permanecerá sem modifi cação.
Exemplo 1: o algarismo 14,9834, quando arredondado, fi ca 14,98.
• Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser 
conservado for superior ou igual a 5 e for seguido de, no mínimo, um algarismo 
diferente de zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado 
em uma unidade. 
Exemplo 2: o algarismo 4,6691, quando arredondado à segunda decimal, fi ca 
4,67. 
• Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser con-
servado for 5 seguido de zeros, deve-se arredondar o algarismo a ser conservado 
para o algarismo par mais próximo. 
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Exemplo 3: o algarismo 0,63500, quandoarredondado à segunda decimal, fi ca 
0,64.
• Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último a ser conservado for 
5 e estiver seguido de zeros, ele permanecerá sem modifi cação quando for par. 
Exemplo: o algarismo 10,6650, quando arredondado à segunda decimal, fi ca 
10,66.
Logo, os erros de arredondamento ocorrem a cada arredondamento mal rea-
lizado e são introduzidos nas operações efetuadas, infl uenciando diretamente na 
solução e gerando, assim, resultados diferentes ou muito distantes do correto.
Erro absoluto, erro relativo e erro percentual
É fundamental a quantifi cação do erro, ou seja, mensurar quão grande ou 
quão pequeno foi o erro cometido nos processos numéricos. Para tal, podemos 
utilizar as medidas de erro denominadas erro absoluto, erro relativo e erro 
percentual.
O erro absoluto (EAx), lido como erro absoluto em x, compreende o resultado 
entre a subtração do valor exato de um número x e seu valor aproximado x, encon-
trado a partir de um procedimento numérico e da seguinte relação: 
EAx = x - x 
Na maioria das situações, apenas x é um valor conhecido. Desse modo, o que 
se faz é fi xar um limitante superior ou uma estimativa para o módulo do erro ab-
soluto. O erro absoluto não é sufi ciente para descrever a precisão de um cálculo. 
Por isso, é mais incidente a utilização do erro relativo.
O erro relativo (ERx), também lido como erro relativo em x, é a razão entre o erro 
absoluto. Seu valor aproximado é dado por:
EAx x - x
x xErx = + 
Por fi m, o erro percentual é o erro relativo em porcentagem:
EPx = ERx · 100%
Você conhece o número de Euler? Já ouviu falar sobre essa interessante cons-
tante? Pois bem, ele é um famoso número irracional que possui infi nitas casas 
decimais. Tendo isso em mente, vamos aplicar os conceitos aprendidos a esse po-
pular número. 
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CURIOSIDADE
O número de Euler tem esse nome em homenagem ao matemático Leonhard 
Euler. Ele é um número irracional, positivo e funciona como base para os 
logaritmos naturais. Além disso, o número de Euler possui infi nitas casas de-
cimais e nenhum padrão. O símbolo utilizado para representá-lo é a letra e.
Admita que o número de Euler esteja compreendido no seguinte intervalo:
e ∈ [2,71; 2,72]
Consideraremos o valor aproximado de x = 2,72. Nesse contexto, calcularemos 
o erro absoluto, o erro relativo e o erro percentual.
• Erro absoluto
Para determinar o erro absoluto, basta substituir o valor determinado como 
aproximado (x) e o valor cujo erro queremos mensurar (x):
EAx = x - x = 2,72 - 2,71 = 0,01
• Erro relativo
Para calcular o erro relativo, utilizaremos o valor determinado para o erro ab-
soluto:
EAx 0,01
x 2,71ERx = = = 0,0037 
• Erro percentual
Para mensurar o erro percentual, é necessário realizar o produto entre o 
erro relativo por 100%. Logo:
EPx = ERx · 100% = 0,37%
A conclusão referente a essa situação é mais fácil de ser interpretada pelo re-
sultado do erro percentual, que permite concluir que o número e = 2,71 possui 
0,37% de precisão em sua representação.
Aritmética de ponto flutuante 
Caro(a) aluno(a), você se recorda da notação científi ca? Lembra 
como representá-la? 
A notação científi ca é um modo simplifi cado de es-
crever números decimais muito grandes ou pequenos. 
Ela pode ser utilizada no sistema de numeração bi-
nário? A resposta é categórica: não! Para atender a essa 
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demanda, foi criado o ponto fl utuante, que nada mais é do que uma versão 
da notação científi ca adaptada para o sistema binário. 
DIAGRAMA 3. SISTEMA DECIMAL X SISTEMA BINÁRIO
Sistema decimal
Notação científi ca 
Sistema binário
Ponto fl utuante
Já Aritmética de ponto fl utuante, como o próprio nome sugere, trabalha 
as operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação e divisão) com os 
números representados em ponto fl utuante.
Algarismos significativos 
Medições de grandezas físicas são constantemente utilizadas nas mais distin-
tas operações. Assim, considerando o resultado de uma medição, os algarismos 
signifi cativos são identifi cados como aqueles que são contabilizados da direita 
para a esquerda, partindo do primeiro algarismo diferente de zero.
E como contabilizar estes algarismos signifi cativos? Veja alguns exemplos:
• o algarismo 0,014 possui dois algarismos signifi cativos;
• o algarismo 37,5 possui três algarismos signifi cativos; 
• o algarismo 64700 possui três algarismos signifi cativos;
• o algarismo 0,007800 possui quatro algarismos signifi cativos;
• o algarismo 91,042 possui cinco algarismos signifi cativos.
O número zero, no entanto, quando posicionado à esquerda de um algaris-
mo, depois ou antes da vírgula, sinaliza apenas o uso das unidades, múltiplos e 
submúltiplos, não sendo considerado como signifi cativo. 
Exemplo 1: 0,00234 equivale a 0,234 · 10-3. Sua representação mudou, mas a 
quantidade de algarismos signifi cativos permanece inalterada.
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Zeros à direita do número, por sua vez, indicam maior exatidão. Desse modo, 
quando ele se encontra alocado à direita do resultado da medição, há a represen-
tação de um algarismo signifi cativo. 
Exemplo 2: 0,00000014 possui dois algarismos signifi cativos.
Adição e subtração com algarismos signifi cativos
Para as operações de adição ou subtração, devemos arredondar os valores dos 
algarismos signifi cativos a fi m de deixá-los com uma igual quantidade de casas 
decimais e, em seguida, executar a operação.
Exemplo 3:
10,08299 + 23,06 = 10,08 + 23,06 = 33,14
99,112 - 87,4436 = 99,112 - 87,444 = 11,668
Após os cálculos, a referência para representação em relação à quantidade 
de casas decimais continua com o componente que apresenta menor quanti-
dade de algarismos signifi cativos. 
Multiplicação e divisão com algarismos signifi cativos
Operações de multiplicação e divisão são executadas conforme suas especi-
fi cações próprias e o resultado obtido deve ser escrito com a mesma quantidade 
de algarismos signifi cativos ao fator que compõe a operação que possui a menor 
quantidade de algarismos signifi cativos.
Exemplo 4:
0,012 · 12,7306 = 15,27672 ≅ 15,276
67,23 : 7,0119 = 9,58798614 ≅ 9,59
Observe que o critério de quantidade de casas decimais se baseia no número 
constituído por menos algarismos signifi cativos.
Sistemas numéricos
Como organizar vários algarismos de maneira a se obter uma estruturação ló-
gica e concisa? 
Nossos antepassados se preocuparam com essa questão e, para solucioná-la, 
criaram os sistemas de numeração. Como exemplo, temos o sistema de numera-
ção romana, que foi desenvolvido na Roma Antiga e consiste na utilização de sete 
letras maiúsculas, I, V, X, L, C, D e M, às quais são atribuídos valores específi cos a 
cada representação, de modo a diferenciá-las. 
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Figura 4. Sistema de numeração romana. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 31/10/2019.
Um sistema de numeração é uma esquematização que representa uma gran-
de quantidade de números de uma forma coerente e concisa, direcionando, a cada 
número, uma particular e única representação, refletindo em suas estruturas al-
gébricas e aritméticas.
Tendo isso em mente, estudaremos os quatro grandes sistemas de numeração 
que são amplamente utilizados na matemática e computação, conforme mostra 
o Diagrama 4. 
DIAGRAMA 4. PRINCIPAIS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
Sistemas de
numeração
DECIMAL
OCTAL
BINÁRIO
HEXADECIMAL
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Sistema de numeração decimal 
O sistema de numeração decimal demais é instituído por dez dígitos: 0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Sua dinâmica ocorre pelo agrupamento de dez, sendo que cada 
algarismo é multiplicado por uma potência de 10, diferenciada pelovalor de seu 
expoente. Constitui um sistema posicional, isto é, o valor de um algarismo é deter-
minado pela posição que ocupa no numeral.
Exemplo 1.
O número 671 é representado no sistema decimal da seguinte maneira: 
671 = 6 centenas + 7 dezenas + 1 unidade
671 = 6 · 102 + 7 · 101 + 1 · 100
Exemplo 2. 
O número 4125 é representado no sistema decimal da seguinte maneira: 
4125 = 4 unidades de milhar + 1 centena + 2 dezenas + 5 unidades
4125 = 4 · 103 + 1 · 102 + 2 · 101 + 5 · 100
Sistema de numeração binário
O sistema de numeração binário é formado pelos algarismos 0 e 1, que são 
conhecidos como bits. No funcionamento desse sistema, cada algarismo que com-
põe o número é multiplicado por uma potência de dois, distinguida pelo valor atri-
buído a seu expoente.
Exemplo 3. 
O número 111 é representado no sistema binário da seguinte maneira: 
(111)2 = 1 · 2
2 + 1 · 21 + 1 · 20
Exemplo 4. 
O número 10101 é representado no sistema binário da seguinte maneira: 
(101,01)2 = 1 · 2
2 + 0 · 1011 · 20 + 0 · 2-1 + 1 · 2-2
Sistema de numeração octal
No sistema de numeração octal, a base é 8 e cada posição é indicada por um 
múltiplo de uma potência de 8. Como o próprio nome sugere, é formado por 
oito algarismos, que originam outros números. 
Exemplo 5. 
O número 532 é representado no sistema octal da seguinte maneira: 
532 = 5 · 82 + 3 · 81 + 2 · 80
Exemplo 6.
O número 9876 é representado no sistema octal da seguinte maneira: 
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987,6 = 9 · 82 + 8 · 81 + 2 · 80 + 5 · 8-1
Sistema de numeração hexadecimal
O sistema de numeração hexadecimal possui base igual a 16, que é elabo-
rada pelo conjunto dos seguintes algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, 
E, F. Nesse sistema, existe a combinação entre letras e números. Assim, cada 
algarismo pode conter dezesseis possibilidades de símbolos. Ao fi ndar todos 
os dígitos hexadecimais, a repetição começa com o incremento de outro dígito. 
Dessa maneira, a continuidade da sequência é dada por: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 
16, 17, 18, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21, 22, 23 etc.
Exemplo 7. 
O número 10024 é representado no sistema hexadecimal da seguinte ma-
neira: 
10024 = 307 C
Exemplo 8. 
O número 424 é representado no sistema hexadecimal da seguinte maneira: 
424 = 01AB
Mudança de bases numéricas 
Antes de prosseguirmos com o conteúdo, vamos fazer uma breve revisão? 
Aprendemos que os números podem se representados em formatos diferen-
tes, atrelados a sistemas posicionais que utilizam bases específi cas. 
Nesse contexto, surge uma dúvida: de que maneira é possível con-
verter os números representados em bases posicionais 
diferentes? Como alterar um número alocado em 
base decimal para uma base binária? E o processo 
inverso, como deve ser realizado? Explicações a 
estas interrogações descobriremos a seguir! 
Base binária para base decimal 
Para converter um número representado na base 
binária para a base decimal, é necessário realizar os se-
guintes passos:
• escreva o número na base binária e relacione as potências da direita para a 
esquerda;
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• comece com o último algarismo mais à direita e associe a ele a mul-
tiplicação por 20; 
• adicione o número 1 a cada expoente, sempre da direita 
para a esquerda; 
• encerre quando o número de elementos presentes 
na listagem for equivalente à quantidade de algarismos 
presentes na representação binária;
• realize a operação aritmética resultante, começando pelas multiplicações e, 
em seguida, as adições;
• o resultado do somatório indica o número procurado.
Exemplo 1.
(1001)2 = (?)10
( 1 0 0 1 )2 = 1 · 2
3 + 0 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20
( 1 0 0 1 )2 = 1 · 8 + 0 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1
( 1 0 0 1 )2 = 8 + 0 + 0 + 1
( 1 0 0 1 )2 = (9)10
Logo, o número 1002, representado na base binária, equivale a 9 na represen-
tação decimal.
Exemplo 2.
(110101)2 = (?)10
( 1 1 0 1 0 1 )2 = 1 · 2
5 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20
( 1 1 0 1 0 1 )2 = 1 · 32 + 1 · 16 + 0 · 8 + 1 · 4 + 0 · 2 + 1 · 1
( 1 1 0 1 0 1 )2 = 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1
( 1 1 0 1 0 1 )2 = (53)10
Logo, o número 110101, representado na base binária, equivale a 53 na repre-
sentação decimal.
Exemplo 3.
(10,01)2 = (?)10
( 1 0 ,0 1 )2 = 1 · 2
1 + 0 · 20 + 0 · 2-1 + 1 · 2-2
( 1 0 ,0 1 )2 = 1 · 2 + 0 · 1 + 0 · 0,5 + 1 · 0,25
( 1 0 ,0 1 )2 = 2 + 0 + 0 + 0,25
( 1 0 ,0 1 )2 = (2,25)10
Logo, o número 10,01, representado na base binária, equivale a 2,25 na repre-
sentação decimal. 
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EXPLICANDO
Quando houver a existência de uma vírgula na representação binária, é 
indicação que há uma parte fracionária. Sendo assim, é necessário lem-
brar que toda base elevada a um expoente negativo possui a propriedade 
de ser convertida a uma fração. Por exemplo:
2-1 = = 0,5 e 2-2 = = = 0, 251
2
( ) 1
2
( ) 1
4
1 2
 
Assim, conseguimos determinar os outros termos relativos à representa-
ção binária.
Exemplo 4.
(10,111)2 = (?)
10
(1 0 ,1 1 1)2 = 1 · 2
1 + 0 · 20 + 1 · 2-1 + 1 · 2-2 + 1 · 2-3
(1 0 ,1 1 1)2 = 1 · 2 + 0 · 1 + 1 · 0,5 + 1 · 0,25 + 1 · 0,125
(1 0 ,1 1 1)2 = 2 + 0 + 0,25 + 0,125
(1 0 ,1 1 1)2 = (2,375)10
Base decimal para base binária 
O processo de conversão de um número indicado na base decimal para a base 
binária é diferenciado para a parte inteira e a parte decimal (se houver). Assim, 
conheceremos as duas técnicas.
A transformação da parte inteira, ou o método das divisões sucessivas, é guia-
da pelas seguintes orientações:
• divida o número inteiro por 2;
• divida novamente o quociente da divisão anterior por 2;
• repita o processo de divisão por 2 até obter o último quociente igual a 1.
O número binário é obtido pela escrita do último quociente e seus respectivos 
restos referentes às divisões. Além disso, eles são lidos sempre em sentido inverso.
Quando o número for composto por uma porção fracionária, ou seja, quan-
do ele for decimal, utilizamos o método das multiplicações sucessivas, que é 
orientado pelos seguintes passos:
• multiplique a parte fracionária por 2;
• do resultado obtido, a parte inteira será o primeiro dígito do número em 
base binária. Caso haja parte fracionária restante, ela deverá ser multiplicada 
novamente por 2;
• o processo é repetido até se obter o número 0 na parte fracionária da 
última multiplicação. 
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Exemplo 1. 
(14)10 = (?)2 
TABELA 1. CONVERSÃO DA BASE DECIMAL PARA A BINÁRIA DO EXEMPLO 1
QUOCIENTE RESTO
14 : 2 7 0
7 : 2 3 1
3 : 2 1 1
A leitura é realizada sempre no sentido contrário e a partir do quociente 1. 
Assim, o número 14, indicado na base decimal, possui representação binária 
dada por ( 1 1 1 0 )2.
Exemplo 2.
(41)10 = (?)2 
TABELA 2. CONVERSÃO DA BASE DECIMAL PARA A BINÁRIA DO EXEMPLO 2
QUOCIENTE RESTO
41 : 2 20 1
20 : 2 10 0
10 : 2 5 0
5 : 2 2 1
2 : 2 1 0
CÁLCULO NUMÉRICO 30
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Considerando a leitura no sentido contrário a partir do quociente 1, concluí-
mos que o número 41, indicado na base decimal, possui representação binária 
dada por (1 0 1 0 0 1)2.
Exemplo 3.
 (0,1875)10 = (?)2
0,1875 · 2 = 0,375
0,375 · 2 = 0,75
0,75 · 2 = 1,50
0,50 · 2 = 1,00
Como a parte inteira é zero, ela permanece inalterada. Já a leitura, é feita 
baseada na parte inteira provinda dos resultados das multiplicações e segue o 
sentido de cima para baixo. Logo, o número 0,1875 possui representação biná-
ria equivalente a (0,0 0 1 1)2.
Nesta situação, de um número composto por uma parte inteira e outra de-
cimal, é necessário realizar um procedimento adequado para número inteiro e 
outro para a porção decimal. 
TABELA 3. CONVERSÃO DA BASE DECIMAL PARA A BINÁRIA DO EXEMPLO 3 – 
PARTE INTEIRAQUOCIENTE RESTO
85 : 2 42 1
42 : 2 21 0
21 : 2 10 1
10 : 2 5 0
5 : 2 2 1
2 : 2 1 0
Para a parte decimal, é necessário realizar o seguinte procedimento: 
0,375 · 2 = 0,75
0,75 · 2 = 1,50
0,50 · 2 = 1,00
Assim, é possível concluir que a representação binária para o número 
83,375 é (1 0 1 0 1 0 1 ,0 1 1)2.
CÁLCULO NUMÉRICO 31
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DICA
Observe que todas as representações binárias são passíveis de conferên-
cia. Assim, ao optar em conferir se o resultado encontrado está realmente 
correto, basta realizar o processo inverso, ou seja, seguir os parâmetros 
para conversão da base binária para a base decimal.
Sistema e Aritmética de ponto flutuante 
A necessidade de representar computacionalmente números muito ex-
tensos, sejam muito grandes ou números muito pequenos, justifi ca a utili-
zação da representação em ponto fl utuante, que consiste em uma versão da 
notação científi ca tendo a base binária como referência. A representação em 
Aritmética de ponto fl utuante é muito utilizada na computação digital. Um 
exemplo disso são as calculadoras científi cas.
Um número real (R) é representado internamente em um computador por 
meio de uma série de impulsos elétricos que apontam dois resultados possí-
veis: 0 ou 1, indicando a utilização de uma base binária. Observe, na Figura 5, 
a transformação do número 14 em um computador para a linguagem binária.
14
Impulsos
elétricos
(1 1 1 0 )2
Figura 5. Representação interna de um número real (R). 
CÁLCULO NUMÉRICO 32
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 A vantagem na utilização do ponto flutuante consiste na capacidade am-
pliada de representar uma grande faixa de números se comparada com a re-
presentação de ponto fixo. Mas de que forma? Vamos entender isso melhor?
Admita uma representação com cinco dígitos, vamos compreender sua ca-
pacidade de representação nos seguintes sistemas:
a) representação de ponto fixo:
• maior número representável = 9,9999 ≅ 10
• menor número representável = 0,0001 ≅ 10-5
b) representação com ponto flutuante: deslocamento de dois dos cinco dígi-
tos para representar a potência de 10:
• maior número representável = 9,999 · 1099
• menor número representável = 0,001 ≅ 10-99
Dessa forma, foi possível entender melhor essa capacidade de representa-
ção ampliada em relação à representação de ponto fixo. Devido a isso, a lingua-
gem ocupacional utiliza esse recurso para sua programação. 
Cada número representado em ponto flutuante está relacionado com três 
outros números: mantissa, expoente (valor mínimo e máximo) e base. 
A mantissa é a parte do número que representa seus dígitos significativos. 
O expoente está associado à base utilizada e a base corresponde ao sistema 
que opera a máquina. Outro componente importante é t, que revela o número 
de dígitos significativos do sistema de representação, também definido por ser 
a precisão da máquina.
De acordo com Franco, autor do livro Cálculo Numérico, publicado em 2006, 
um número x, representado no sistema de numeração de ponto flutuante é 
dado por:
x = mantissa · βe
x = ± 0, d1, d2, d3 …dp· βe
Em que é possível identificar os componentes:
• β é a base de operações aritméticas da máquina;
• e é o expoente que está compreendido no intervalo -m ≤ e ≤ M, em que (m, 
M ∈ N);
• t é a quantidade de dígitos da mantissa, em que d1 ≠ 0, 0 ≤ di < β, i = 1, 2, 3, …t.
De maneira prática e resumida, todas as informações necessárias para um 
sistema de ponto flutuante serão apresentadas da seguinte forma:
CÁLCULO NUMÉRICO 33
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F (β,p,m,M)
Bem, considere um sistema de ponto flutuante descrito por: 
F (2, 5, -4, 4)
Sendo que:
• a base é binária;
• a precisão equivale a 5;
• -4 indica o valor mínimo para o expoente;
• 4 indica o valor máximo para o expoente.
É indicado que exista uma forma normalizada de representação numérica. 
Para tanto, em nosso contexto, utilizaremos somente mantissas normalizadas. 
Uma mantissa se encontra normalizada quando é constituída unicamente por 
uma parte fracionária (não existe parte inteira) e quando o primeiro dígito à 
direita da vírgula for diferente de 0, ou seja, considerando o sistema numérico, 
só existe a possibilidade de ser o algarismo 1. 
Destaca-se que um número não normalizado é passível de normalização. 
Para isso, basta realizar deslocamentos da mantissa para a direita ou esquerda 
e incrementos ou decrementos do expoente, respectivamente. 
Para manter a magnitude, ou seja, o tamanho do número, é necessário a 
multiplicação pela base elevado a um expoente composto pela quantidade de 
casas deslocadas. O sinal que o acompanhará será positivo caso o deslocamen-
to aconteça pela esquerda e será negativo quando ocorrer pela direita.
Exemplo 1. 
Considere a seguinte representação binária não normalizada:
 (-111,101)2
Para normalizá-la, é necessário deslocar três dígitos para a direita, de modo 
que o primeiro algarismo antes da vírgula seja igual a 0. Logo, seu formato será:
(-0,111101)2
Observe que o deslocamento ocorreu para a direita e três casas foram mo-
vidas. Assim, a versão normalizada pode ser descrita por: 
(-0,111101 · 23)2
Aprendemos como identificar se a representação numérica está normaliza-
da. No entanto, como converter um número retratado por uma base numérica 
qualquer para o sistema de ponto flutuante? Basta seguirmos os três passos 
descritos a seguir:
CÁLCULO NUMÉRICO 34
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• 1°: verifique se a base é igual à solicitada;
• 2°: converta, caso necessário, o número para a base indicada; 
• 3°: normalize.
Exemplo 2.
Escreva o número (-3,625)10 no sistema F (10, 5, -3, 3).
• 1°: observe que a base do sistema é 10, igual a da representação numérica. 
Logo, não é necessário o segundo passo, uma vez que não haverá conversão.
• 2°: normalize. Será necessário deslocar a vírgula uma casa à esquerda. 
Logo, a base 10 deverá ter o expoente igual a 1.
 Sendo assim, a resposta correta é: 
(-0,3625 · 101 )10
Exemplo 3. 
Escreva o número (-3,625)10 no sistema F (2, 5, -3, 3).
• 1°: a base é diferente. Logo, há a necessidade de conversão;
• 2°: Para converter uma base decimal em uma binária, é preciso utilizar o mé-
todo das divisões sucessivas para a parte inteira (Tabela 4); e o de multiplicações 
sucessivas para a parte decimal. Esses cálculos podem ser vistos a seguir.
QUOCIENTE RESTO
3 ÷ 2 1 1
Multiplicações sucessivas para a parte decimal:
0,625 · 2 = 1,25
0,25 · 2 = 0,50
0,50 · 2 = 1,00
Assim, a representação binária para o número -3,625 é:
(1 1, 1 0 1 1 )2.
• 3° Normalize: para normalizar é necessário deslocar duas casas para a 
esquerda. Logo, a base 2 terá um expoente de número 2 positivo (22).
A resposta correta é:
(-0,1 1 1 0 1 1 · 22 )2
Exemplo 4.
TABELA 4. DIVISÕES SUCESSIVAS PARA A PARTE INTEIRA
CÁLCULO NUMÉRICO 35
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Escreva o número (11,01)2 no sistema F (2, 4, -5, 5).
• 1°: observe que a base do sistema é 2, igual à da representação numérica. 
Logo, não se torna necessário o segundo passo, uma vez que não haverá con-
versão;
• 2°: normalize. Será necessário deslocar a vírgula duas casas para a esquer-
da. Logo, a base 10 deverá ter o expoente igual a +2.
 Logo, a representação neste sistema de ponto flutuante será:
(0,1101 · 102 )10
Exemplo 5.
Escreva o número (-3,625)10 no sistema F (10, 3, -3, 3).
• 1°: as bases são distintas. Logo, existe a necessidade de conversão;
• 2°: para converter uma base binária em uma decimal, é preciso realizar 
produtos entre a base 2:
(11,01)2 = (?)10
( 1 1 , 0 1 )2 = 1 · 2
1 + 1 · 20 + 0 · 2-1 + 1 · 2-2
( 1 1 ,0 1 )2 = 1 · 2 + 1 · 1 + 0 · 0,5 + 1 · 0,25
( 1 0 ,1 1 1 )2 = 2 + 1 + 0 + 0,25
( 1 1 ,0 1 )2 = (3,25)10
• 3°: para normalizar, é necessário deslocar uma casa para a esquerda. 
Logo, a base 2 terá umexpoente um positivo:
(0,325 · 101 )10
Assim, a representação adequada para esse sistema é:
(-0,325 · 101 )2
Exemplo 6. 
Escreva o número (0,00012238)10 no sistema F (10, 5, -3, 3).
• 1°: observe que as bases são 10. Logo, é necessário realizar o segundo 
passo, uma vez que não haverá conversão;
• 2°: será necessário deslocar a vírgula por três casas à direita. Logo, a base 
10 deverá ter o expoente igual a -3.
 A representação nesse sistema de ponto flutuante é:
(0,12238 · 10-3 )10
Como sabemos, o conjunto de números reais é ilimitado, ou seja, infinito. 
Todavia, sua representação em um sistema de ponto flutuante não é o que o 
torna limitado, isto é, um sistema finito. 
CÁLCULO NUMÉRICO 36
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID1.indd 36 12/12/2019 10:20:33
Essa limitação atribuída ao sistema de ponto flutuante é oriunda de duas 
vertentes: faixa do expoente limitada, sendo delimitada por um valor mínimo e 
outro máximo, e a mantissa, que também indica um número finito de números.
Sempre que uma operação matemática gera um número com expoente aci-
ma do expoente máximo, tem-se o overflow. As operações que resultam em 
expoente abaixo do expoente mínimo, por sua vez, sofrem underflow.
De forma mais simplificada, é possível afirmar que um erro ocasionado por 
overflow acontece quando um número é muito grande para ser representado. 
Em contrapartida, um erro de underflow é gerado quando um número é muito 
pequeno para ser representado.
Um dúvida que pode aparecer é a seguinte: como determinar o maior e o 
menor número em um sistema de ponto flutuante, uma vez que ele é limitado? 
Bem, vamos resolver dois exercícios, de modo a sanar tal questionamento.
Exemplo 7. 
Admita um sistema de ponto flutuante descrito por F (2, 3, -3, -3). A partir 
disso, determine:
a) O maior número representável nesse sistema.
Como o desejado é o maior número, ele pode ser descrito por:
xn = 0,111 · 2
3
Uma vez que a maior mantissa no sistema binário é o 1 1 1 e o maior ex-
poente, conforme especificações, é o 3. Logo, convertendo para a base deci-
mal, tem-se: 
xn = (1 · 2
-1 + 1 · 2-2 + 1 · 2-3) · 23 = 7
Assim, em um sistema flutuante F (2, 3, -3, -3), o maior valor passível de re-
presentação é o 7.
b) O menor número representável nesse sistema.
Como o desejado é o maior número, ele pode ser descrito por:
xn = 0,100 · 2
3
Uma vez que a maior mantissa no sistema binário é o 1 0 0 e o maior ex-
poente, conforme especificações, é o -3. Logo, convertendo para a base deci-
mal, tem-se:
xn = (1 · 2
-1 + 0 · 2-2 + 0 · 2-3) · 2-3 = 0,0625
Assim, em um sistema flutuante F (2, 3, -3, -3), o maior valor passível de re-
presentação é o 0,0625.
CÁLCULO NUMÉRICO 37
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID1.indd 37 12/12/2019 10:20:33
ASSISTA
Ainda com dúvidas sobre a dinâmica do ponto flutuante? 
Para complementar suas habilidades, assista ao vídeo 
denominado Notação Ponto Flutuante, produzido pelo 
professor Gilberto Farias, no qual ele explica detalha-
damente sobre esse conteúdo mais direcionado para a 
linguagem computacional.
CÁLCULO NUMÉRICO 38
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID1.indd 38 12/12/2019 10:20:33
Sintetizando
Caros(as) aluno(as), chegamos ao fim da primeira unidade de nosso curso, 
cujo principal objetivo foi o de apresentar a disciplina de Cálculo Numérico, 
compreendendo os conceitos que a fundamentam. 
Vimos que o Cálculo Numérico consiste na relação e posterior resolução de 
sistemas numéricos e que ele se subdivide em seis grandes eixos temáticos: 
modelagem numérica, resolução de equações lineares, não lineares e trans-
cendentes, ajustes de curvas, interpolação, integração numérica e equações 
diferenciais ordinárias.
A Teoria dos Erros está implícita nos cálculos numéricos. Aprendemos que 
existem três fatores que ocasionam seu surgimento: a origem dos dados, pro-
vindos da inexatidão dos dados obtidos, o erro pelo ato de truncar, ou seja, de 
limitar uma série de termos infinitos, e o erro originado pelo arredondamento 
mal sucedido. Mensurar esse erro torna-se necessário e pode ser determinado 
pelas relações de erro absoluto, erro relativo e erro percentual.
A compreensão do conteúdo de Aritmética de ponto flutuante é mais com-
plexa e necessita de conhecimentos prévios sobre bases numéricas, bem como 
sua conversão. Nesse contexto, aprendemos que as bases numéricas são me-
canismos que possibilitam organizar os algarismos. As bases mais conhecidas 
e utilizadas são: base decimal, base binária, base octal e base hexadecimal, 
com destaque para a base decimal e binária, que comumente são as mais uti-
lizadas e convertidas.
O sistema de ponto flutuante é muito utilizado no meio computacional, fun-
damentando conceitos relacionados à programação. Basicamente, os pontos 
flutuantes correspondem ao número de operações e cálculos de processamen-
to que um computador é capaz de fazer em um segundo. Para trabalhar com 
essa dinâmica de ponto flutuante, é necessário os seguintes elementos: a base 
a ser utilizada, precisão a ser instituída, expoente limitado por valores máximo 
e mínimo e a mantissa.
CÁLCULO NUMÉRICO 39
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Referências bibliográficas
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 5891: Regras de arredonda-
mento na numeração decimal. Rio de Janeiro, 2014. 
AMARAL T. R.; LEITE N. M. G.; SILVA, A.O. O ensino de Cálculo Numérico utilizando 
o Scilab. In: VI Congresso Internacional de Ensino da Matemática, 2013, Canoas.
BARROSO, L. C. et al. Cálculo Numérico (com aplicações). 2. ed. São Paulo: Editora 
Harbra, 1987. 
CAMPOS, F. F. F. Algoritmos numéricos. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
COSTA, A. Erros e algarismos significativos. Gazeta da Física, Pedroso, 2015. Dispo-
nível em: <https://www.spf.pt/magazines/GFIS/94/article/651/pdf>. Acesso em: 08 
out. 2019.
DALCÍDIO, D. M.; MARINS, J. M. Cálculo Numérico computacional – teoria e prática. 
2. ed. São Paulo: Editora Atlas, 1994.
DÉCIO, S.; MENDES, J. T.; MONKEN, L. H. Cálculo Numérico. São Paulo: Makron 
Books, 2003.
FRANCO, N. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
HUMES, M. Y. M. Noções de Cálculo Numérico. São Paulo: Ed. McGraw Hill, 1984.
KLÜBER, T. E. Modelagem Matemática: revisitando aspectos que justificam a sua uti-
lização no ensino. Brandt, CF, Burak, D., & Klüber, TE, orgs, [s.l.], pp. 41-58, 2016.
LICENCIATURA em computação – Notação Ponto Flutuante (Prof. Gilberto Farias).
Postado por VideosUFPBVirtual. (10min. 21s.). color. son. port. Disponível em: <ht-
tps://www.youtube.com/watch?time_continue=10&v=psyH7eBVLr4>. Acesso em: 
31 out. 2019. 
RAMOS, D. M. C.; ARAUJO, W. B.; OLIVEIRA, A. R. Aplicação de métodos numéricos 
através ambiente gráfico no ensino de engenharia. In: XXVIII Encontro Nacional de 
Engenharia de Produção, 2008, Rio de Janeiro.
RUGGIERO, M. A. G.; LOPES, V. L. R. Cálculo Numérico – aspectos teóricos e compu-
tacionais. 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1996.
CÁLCULO NUMÉRICO 40
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EQUAÇÕES NÃO 
LINEARES
2
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Conceituar equações não lineares;
 Apresentar diferentes métodos numéricos para determinar as raízes das 
equações não lineares;
 Definir e solucionar problemas associados ao método do meio intervalo 
(MMI), método das aproximações sucessivas (MAS), método das secantes (MS) 
e método de Newton-Rapson (MNR);
 Desenvolver habilidades para identificar o melhor método para solucionar as 
equações não lineares;
 Comparar a convergência inserida na utilização de cada método numérico.
 Equações não lineares
 Solução de equações não 
lineares
 Teorema de Bolzano
 Métodos de solução de equa-
ções não lineares I
 Método do meio intervalo 
(MMI) 
 Método das aproximações 
sucessivas (MAS)
 Métodos de solução de equa-
ções não lineares II
 Método das secantes (MS)
 Método de Newton-Raphson(MNR)
 Comparação entre os métodos 
numéricos
CÁLCULO NUMÉRICO 42
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Equações não lineares
Caro aluno, é trivial resolver uma equação polinomial do primeiro grau, 
como 3x - 15 = 0, concordam? Uma equação neste formato pode ser soluciona-
da da seguinte maneira:
3x - 15 = 0
3x = 15
x = 153
Podemos defi nir uma equação não linear como toda e qualquer equação 
com variável de grau diferente de 1. 
As equações não lineares não podem ser solucionadas a partir de um nú-
mero limitado de operações algébricas simples (+, −, /, ×, exp, log) ou funções 
elementares (polinômios, razão entre polinômios, potências racionais e as fun-
ções transcendentais: exponenciais, logaritmo, trigonométricas, hiperbólicas). 
Existem casos em que a própria função é desconhecida explicitamente, ou seja, 
sua defi nição ocorre a partir de uma série infi nita ou de uma integral. O re-
sultado também pode ser uma equação diferencial. Nesses casos, utilizamos 
métodos numéricos para resolver a equação.
Solução de equações não lineares
Solucionar uma equação não linear consistirá em aproximar soluções com 
precisão cada vez mais alta de equações que se encontram no formato f(x) = 0, 
sendo que f: e f deverá ser, no mínimo, uma função contínua, ou seja, sem 
intervalos de descontinuidade em uma vizinhança da raiz.
Em seu livro Noções de cálculo numérico, de 1984, Humes descreve o pro-
cesso iterativo como aquele que calcula uma sequência de aproximações (x1, 
x2, x3, …) da solução desejada. O cálculo de uma nova iteração é realizado com 
base nas aproximações anteriores; desta maneira, devem ser informadas as 
aproximações iniciais que o processo demandar.
Dizemos que o processo iterativo converge para x se a sequência constituí-
da por x1, x2, x3,… também converge para esse valor. Essa informação é obtida 
= 5
CÁLCULO NUMÉRICO 43
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após um número fi nito de passos, aplicando um algoritmo determinado núme-
ro de vezes. Logo, os processos iterativos não fornecerão valores exatos para 
as raízes, mas sim um valor aproximado.
Embora os métodos numéricos não forneçam soluções precisas, eles po-
dem ser calculados com a exatidão requerida pelo problema. De modo geral, 
conforme afi rma Barroso et al. em seu livro Cálculo numérico (com aplicações), 
de 1987, para se calcular uma raiz, dois passos devem ser seguidos:
• Isolamento da raiz: consiste em determinar um intervalo [a, b], o menor 
possível, que contenha uma e somente uma raiz da equação f(x) = 0;
• Refi namento da raiz: ou seja, melhorar a raiz aproximada, aproximando-a 
até o grau de exatidão pretendido.
CURIOSIDADE
Determinar raízes de uma equação sempre foi uma questão debatida ao 
longo dos séculos. Na antiga Babilônia, já era conhecida a fórmula para 
o cálculo das raízes exatas de uma equação quadrática. No século XVI, 
matemáticos italianos encontraram modelos para o cálculo de soluções 
exatas de equações polinomiais do terceiro e do quarto grau. No século 
XVII, o matemático Niels Abel (1802-1829) contribuiu para soluções notá-
veis e consideráveis para a evolução da matemática, provando que não há 
uma fórmula geral para o cálculo das raízes exatas de uma equação poli-
nomial de grau maior ou igual a 5. Nesta conjuntura, é necessário recorrer 
aos métodos numéricos para calcular aproximações para as raízes reais 
de dada equação.
Teorema de Bolzano
Na pesquisa de zero de uma função, é muito comum utilizarmos o teorema 
de Bolzano, que só pode ser aplicado em funções contínuas em um intervalo, 
trabalhando a existência de uma raiz em determinado intervalo: 
Seja f: uma função contínua em um intervalo [a, b] ⊂ :
• Se f(a) . f(b) < 0, então existe x [a, b], tal que f(x) = 0;
• Se f(a) . f(b) > 0, então não existe x [a, b], tal que f(x) = 0.
De modo geral, podemos afi rmar que, se uma função contínua muda de 
sinal em um determinado intervalo, então ela possui pelo menos um 0, ou seja, 
uma raiz nesse intervalo, conforme pode ser verifi cado no Gráfi co 1.
CÁLCULO NUMÉRICO 44
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GRÁFICO 1. TEOREMA DE BOLZANO
y
ƒ(α)
ƒ(b)
α c
b
x
Métodos de solução de equações não lineares I
Aprendemos que, para determinar a solução de uma equação linear, é 
necessário limitar um intervalo que contenha uma raiz; em seguida, deve 
ocorrer seu refinamento. 
Mas em que consiste este processo? Como é possível refinar, ou seja, 
melhorar a precisão de uma raiz de uma função? 
O formato no qual ocorre esse refi namento é que diferencia e catego-
riza os métodos numéricos, sendo que todos estes são classifi cados como 
métodos iterativos, pois a repetição contínua e sucessiva de um método 
recebe a denominação de iteração, enquanto as aproximações sucessivas 
encontradas por estes processos são chamadas de termos iterados.
Conheceremos, inicialmente, os seguintes métodos:
• Método do meio intervalo (MMI);
• Método das aproximações sucessivas (MAS).
Seremos apresentados à sua correta definição matemá-
tica e sua interpretação geométrica, ou seja, à maneira na qual podemos 
visualizar, no plano, sua dedução, assim como o algoritmo a ser utilizado 
em cada técnica.
CÁLCULO NUMÉRICO 45
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Método do meio intervalo (MMI) 
O método do meio intervalo também recebe o nome de método da bis-
secção e consiste em dividir sucessivamente por dois o intervalo em que se 
localiza a raiz até que a solução seja isolada conforme a correção estabelecida.
Para a utilização do método do meio intervalo, é necessário admitir um in-
tervalo [a, b], para qual f(a) . f(b) < 0, assim será calculado o valor da função 
no ponto médio: x1 = 
a + b
2 , como f(a) 
. f(x1) < 0, então f tem uma raiz entre a e x1. 
Baseado nisso, o processo é repetido sobre o novo intervalo [a, x1]; para fi nali-
zar se f(a) . f(x1 ) > 0, segue que f(b) . f(x1 ) < 0, desde que f(a) e f(b) tenham sinais 
contrários. Portanto, f tem um 0 entre x1 e b. O processo será repetido, porém 
utilizando o intervalo [x1, b].
De modo geral, o MMI pode ser caracterizado como:
Para k = 1, 2, 3,…, e um intervalo defi nido por [a, b], faça:
GRÁFICO 2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: MÉTODO DO MEIO INTERVALO (MMI)
f(x)
f(b)
f(a)
x2a
b
x
x3 x1
x
Fonte: FRANCO, 2006, p. 66. (Adaptado).
Utilizar o MMI consiste em construir uma tabela semelhante à Tabela 1:
TABELA 1. ALGORITMO DO MEIO INTERVALO (MMI)
k a b xk = 
a + b
2 f(xk) f(a) 
. f(xk) |b - a|≤ ε
xk = 
a + b
2
Se f(a) . f(xk)
< 0 então b = xk 
> 0 a = xk
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Sobre o preenchimento desta tabela, é necessário se atentar às seguintes 
observações:
• k corresponde ao número de iteração respectiva à linha preenchida e deve 
iniciar sempre por 0;
• a e b são determinados pelo intervalo informado, ou seja, [a; b];
• xk será respectivo à linha utilizada, correspondendo ao número de iteração 
realizada;
• f(xk ) significa o resultado da função dada a média utilizada, sendo necessá-
rio apenas o sinal do resultado;
• f(a) . f(xk ): nesta etapa, é realizada a regra de sinais e seu resultado influen-
ciará na próxima iteração. Veja a regra:
Se f(a) . f(xk)
< 0 então b = xk 
> 0 a = xk
• |b - a| ≤ ε indica a precisão da iteração. Assim, quando o resultado dessa sub-
tração corresponder a um número menor ou igual ao erro que é determinado 
no exercício, a média da próxima iteração corresponderá à raiz da equação.
EXPLICANDO
Na multiplicação entre dois números inteiros, utilizamos a regra de sinais 
para determinar o sinal resultante das respectivas operações. Basicamente, 
essa regra afirma que o produto entre números que possuem sinais iguais 
(+) ∙ (+) ou (-) ∙ (-) gera um resultado positivo; já o produto entre números com 
sinais diferentes (+) ∙ (-) ou (-) ∙ (+) origina um resultado negativo.
Exemplo 1: determinara raiz da equação ex - 2cos(x) - 4 = 0, x1 ∈ [1; 2] com 
precisão, ou seja, com erro de ϵ = 0,01.
Para iniciar o processo de determinação da solução deste exemplo, cons-
truiremos uma tabela com o cabeçalho igual à Tabela 1.
TABELA 2. DADOS OBTIDOS PELO MÉTODO DO MEIO INTERVALO (MMI)
k a b xk = 
a + b
2 f(xk) f(a) 
. f(xk ) |b - a|≤ ε
0 1 2 x0 = = 1,5 
1 + 2
2 + (-) 
. (+) = (-) |2 - 1| = 1
CÁLCULO NUMÉRICO 47
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k a b xk = 
a + b
2 f(xk) f(a) 
. f(xk ) |b - a|≤ ε
1 1 1,5 x1 = = 2,25
1 + 1,5
2 - (-) 
. (-) = (+) |1,5 - 1| = 0,5
2 1,25 1,5 x2 = = 1,375
1,25 + 1,5
2 - (-) 
. (-) = (+)
|1,5 - 1,25| = 
0,25
3 1,375 1,5 x3 = = 1,4375
1,375 + 1,5
2 - (-) 
. (-) = (+)
|1,5 - 1,375| = 
0,125
4 1,4375 1,5
x4 = 
1,4375 + 1,5
2
= 1,46875
+ (-) . (+) = (-)
|1,5 - 1,4375|
= 0,0625
5 1,4375 1,46875
x5 = 
1,4375 + 1,46875
2
= 1,453125
+ (-) . (+) = (-)
|1,46875 - 
1,4375|
 = 0,03125
6 1,4375 1,453125
x6 = 
1,4375 + 1,453125
2
= 1,4453125
+ (-) . (+) = (-)
|1,453125 - 
1,4375|
= 0,015625
7 1,4375 1,4453125
x7 = 
1,4375 + 1,4453125
2
= 1,44140625
|1,4453125 - 
1,4375|
 = 0,0078125
Assim, é possível concluir que a raiz da equação ex - 2cos(x) - 4 = 0, localizada 
no intervalo x1 ∈ [1; 2] equivale a 1,44 devido à precisão solicitada de ϵ = 0,01. 
Observe que a raiz encontrada deve pertencer, ou seja, estar compreendida no 
intervalo determinado.
DICA
O erro indicado no enunciado do exercício indica a precisão na qual os 
cálculos devem ser realizados. Basicamente, informa com quantas casas 
decimais o resultado deve ser informado; no entanto, pode-se já aplicar a 
precisão indicada em cada iteração, de modo a facilitar os cálculos, uma 
vez que não serão utilizadas todas as casas decimais.
Exemplo 2: determinar a raiz da equação x2 - 4 + 5e2x = 0, x1 ∈ [-1; 0] com 
precisão, ou seja, com erro de ϵ = 0,001.
Para iniciar a resolução deste exemplo, construiremos uma tabela com o 
cabeçalho igual à Tabela 1.
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TABELA 3. DADOS OBTIDOS PELO MÉTODO DO MEIO INTERVALO (MMI)
k a b xk = 
a + b
2 f(xk) f(a) 
. f(xk ) |b - a|≤ ε
0 -1 0 x0 = = - 0,5 
-1 + 0
2 - (-) 
. (-) = (+) |0 - (-1)| = 1
1 -0,5 0 x1 = = - 0,25
-0,5 + 0
2 - (-) 
. (-) = (+)
|0 - (-0,5)| 
= 0,5
2 -0,25 0 x2 = = - 0,125
-0,25 + 0
2
- (-) . (-) = (+)
|0 - (-0,25)| = 
0,25
3 -0,125 0 x3 = = - 0,062
-0,125 + 0
2
+ (-) . (+) = (-)
|0 - (-0,125)| = 
0,125
4 -0,125 -0,062
x4 = 
= - 0,093
-0,125 + (-0,062)
2 + (-) . (+) = (-)
|-0,062 - 
(-0,125)| = 
0,063
5 -0,125 -0,093
x5 = 
= - 0,109
-0,125 + (-0,093)
2 + (-) . (+) = (-)
|-0,093 - 
(-0,125)| = 
0,032
6 -0,125 -0,109
x6 = 
= - 0,117
-0,125 + (-0,109)
2 + (-) . (+) = (-)
|-0,109 - 
(-0,125)| = 
0,016
7 -0,125 -0,117
x7 = 
= - 0,121
-0,125 + (-0,117)
2 - (-) . (-) = (+)
|-0,117 - 
(-0,125)| = 
0,008
8 -0,121 -0,117 x8 = 
= - 0,119
-0,121 + (-0,117)
2 - (-) . (-) = (+)
|-0,117 - 
(-0,121)| = 
0,004
9 -0,119 -0,117 x9 = 
= - 0,118
-0,119 + (-0,117)
2 - (-) . (-) = (+)
|-0,117 - 
(-0,119)| = 
0,002
10 -0,118 -0,117
x10 = 
= - 0,118
-0,118 + (-0,117)
2
|-0,117 - 
(-0,118)| = 
0,001
É possível concluir que a raiz da equação x2 - 4 + 5e2x = 0, localizada no in-
tervalo x1 ∈ [-1; 0], equivale a -0,118 devido à precisão solicitada de ϵ = 0,001, ou 
três casas decimais.
Podemos inferir sobre este método: 
• Sua convergência é linear, ou seja, é lenta;
CÁLCULO NUMÉRICO 49
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• A cada iteração, o comprimento do intervalo que contém a solução é re-
duzido à metade;
• Indicado para diminuir o intervalo que contém a raiz.
Método do meio intervalo (MMI) 
O método das aproximações sucessivas (MAS), que também recebe o nome 
de método da iteração linear ou método do ponto fi xo, é demonstrado por uma 
sequência de aproximações da raiz de uma função f(x), e é obtido por inter-
médio de uma relação de recorrência: 
xn + 1 = xn n = 1, 2, 3, …
Sendo que: x0 é uma aproximação inicial de e (x) é uma função que tem 
como ponto fi xo, ou seja, = ( ).
A representação gráfi ca respectiva ao método das aproximações sucessivas 
(MAS) é indicada no Gráfi co 3.
GRÁFICO 3. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÉTODO 
DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS (MAS)
y
xx2x1x0
Ø(x2)
y = Ø(x)
y = x
Ø(x1)
Ø(x0)
y
xx1x2x0
Ø(x1)
y = Ø(x)
y = x
Ø(x2)
Ø(x0)
Fonte: HUMES, 1984, p. 22. (Adaptado).
Para determinar as raízes de funções utilizando o método das aproxima-
ções sucessivas (MAS), é útil elaborar uma tabela com o cabeçalho igual ao 
representado na Tabela 4.
CÁLCULO NUMÉRICO 50
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TABELA 4. ALGORITMO DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS (MAS)
k Xk (Xk ) Xk - (Xk ) ≤ ε
Sobre o preenchimento desta tabela, é necessário se atentar às seguintes 
observações:
• k corresponde ao número de iteração respectiva à linha preenchida e deve 
iniciar sempre por 0;
• xk é a aproximação inicial e é informado no enunciado do exercício;
• (xk) indica o resultado da transformação x = x, logo mudará conforme a 
função trabalhada;
• xk - (xk ) ≤ ε permite mensurar o erro encontrado a cada iteração; a partir 
deste valor, identifica-se a parada.
Exemplo 3: determinar a raiz da equação 2x - cos(x) = 0 considerando o 
processo iterativo definido por xk + 1 = xk com (x) = cos(x)
2
, x0 = 
π/4 0,7854 e 
precisão de ϵ = 0,001.
Para solucionar o exemplo 3, iniciaremos a construção de uma tabela que 
contenha um cabeçalho igual ao disposto na Tabela 4.
k xk
cos(xK )
2
 (xk ) = 
xk - (xk ) ≤ ε
0 x0 = 0,7854 (x0 ) = = 0,3536
cos(x0 ) cos(0,7854 )
2 2
= |0,7854 - 0,3536| = 0,4318
1 x1 = 0,3536 (x1 ) = = 0,4691
cos(x1 ) cos(0,3536 )
2 2
= |0,3536 - 0,4691| = 0,1155
2 x2 = 0,4691 (x2 ) = = 0,4460
cos(x2 ) cos(0,4691)
2 2
= |0,4691 - 0,4460| = 0,023
3 x3 = 0,4460 (x3 ) = = 0,4511
cos(x3 ) cos(0,4460)
2 2
= |0,4460 - 0,4511| = 0,005
4 x4 = 0,4511 (x4 ) = = 0,4500
cos(x4 ) cos(0,4511)
2 2
= |0,4511 - 0,4500| = 0,011
5 x5 = 0,4500 (x5 ) = = 0,4502
cos(x5 ) cos(0,4500)
2 2
= |0,4500 - 0,4502| = 0,002
6 x6 = 4502 (x6 ) = = 0,4502
cos(x6 ) cos(0,4502)
2 2
= |0,4502 - 0,4502| = 0,000
TABELA 5. DADOS OBTIDOS PELO MÉTODO DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS (MAS)
CÁLCULO NUMÉRICO 51
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Logo, caro aluno, concluímos que a raiz da equação 2x - cos(x) = 0, partindo 
do chute inicial de x0 = 
π/4 0,7854 e precisão de três casas decimais, é 0,4502. 
Muita cautela ao efetuar as operações em sua calculadora: a inserção de um 
símbolo incorreto ou mal alocado interfere diretamente nos resultados par-
ciais e finais.
DICA
É importante que a calculadora a ser utilizada nos cálculos esteja sempre 
configurada no modo RAD. Verifique a maneira adequada para realizar 
essa alteração, uma vez que, não ocorrendo tal mudança, haverá diver-
gência nos resultados.
Exemplo 4: determinar a raiz da função f(x) = e-x - x. Considere o processo 
iterativo definido por xk + 1 = xk com (x) = e
-x, x0 = 0 e ϵ =0,0001.
Para resolver o exemplo 4, iniciaremos com a construção de uma tabela que 
contenha um cabeçalho igual ao disposto na Tabela 4.
TABELA 6. DADOS OBTIDOS PELO MÉTODO DAS APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS (MAS)
k Xk (Xk ) = e
-XK |Xk - (Xk )| ≤ ε
0 x0 = 0 (x0 ) = e-x0 = e
-0 = 1 |0 - 1| = 1
1 x1 = 1 (x1 ) = e-x1 = e
-1 = 0,3679 |1 - 0,3679| = 0,6321
2 x2 = 0,3679 (x2 ) = e-x2 = e
-0,3679 = 0,6922 |0,3679 - 0,6922| = 0,3243
3 x3 = 0,6922 (x3 ) = e-x3 =e
-0,6922 = 0,5005 |0,6922 - 0,5005| = 0,1917
4 x4 = 0,5005 (x4 ) = e-x4 = e
-0,5005 = 0,6062 |0,5005 - 0,6062| = 0,1057
5 x5 = 0,6062 (x5 ) = e-x5 = e
-0,6062 = 0,5454 |0,6062 - 0,5454| = 0,0608
6 x6 = 0,5454 (x6 ) = e-x6 = e
-0,5454 = 0,5796 |0,5454 - 0,5796| = 0,0342
7 x7 = 0,5796 (x7 ) = e-x7 = e
-0,5796 = 0,5601 |0,5796 - 0,5601| = 0,0195
8 x8 = 0,5601 (x8 ) = e-x8 =e
-0,5601 = 0,5712 |0,5601 -0,5712| = 0,1110
9 x9 = 0,5712 (x9 ) = e-x9 =e
-0,5712 = 0,5648 |0,5712 - 0,5648| = 0,0064
10 x10 = 0,5648 (x10 ) = e-x10 = e
-0,5648 = 0,5685 |0,5648 - 0,5685| = 0,0037
11 x11 = 0,5685 (x11 ) = e-x11 = e
-0,5685 = 0,5664 |0,5685 - 0,5664| = 0,0021
CÁLCULO NUMÉRICO 52
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k Xk (Xk ) = e
-XK |Xk - (Xk )| ≤ ε
12 x12 = 0,5664 (x12 ) = e-x12 = e
-0,5664 = 0,5674 |0,5664 - 0,5674| = 0,0010
13 x13 = 0,5674 (x13 ) = e-x13 = e
-0,5674 = 0,5670 |0,5674 - 0,5670| = 0,0004
14 x14 = 0,5670 (x14 ) = e-x15 = e
-0,5670 = 0,5672 |0,5670 - 0,5672| = 0,0002
15 x15 = 0,5672 (x15 ) = e-x15 = e 
-0,5672 = 0,5671 |0,5672 - 0,5671| = 0,0001
Concluímos que a raiz da equação f(x) = e-x - x, partindo do chute inicial de x0 = 
0 e precisão de quatro casas decimais, é 0,5671. Observe que foram necessárias 
muitas iterações para se alcançar o resultado perante a precisão determinada; 
no entanto, é comum no enunciado dos exercícios já estarem estipuladas as 
quantidades de iterações a serem realizadas, de modo a tornar o processo de 
resolução mais prático.
Levando em consideração este método, podemos concluir que:
• Difícil de determinar uma função de iteração que satisfaça a condição de 
convergência; 
• A velocidade de convergência é inversamente proporcional a |F'(ε)|;
• Utilizar o teste |F'(x0)| < 1 pode levar a um engano caso x0 não esteja sufi -
cientemente próximo à raiz.
Métodos de solução de equações não lineares II
Caro aluno, nós já fomos apresentados a dois métodos numéricos que 
viabilizam encontrar a raiz de uma função: o método do meio intervalo e o 
método das aproximações sucessivas. Agora, dando sequência ao estudo 
dos métodos numéricos que são capazes de determinar o zero de uma 
função, conheceremos mais duas metodologias que apresentam caracte-
rísticas peculiares. São elas:
• Método das secantes (MS);
• Método de Newton-Raphson (MNR).
Estes métodos são mais utilizados que os anteriores, 
uma vez que possuem uma capacidade de convergência 
mais rápida, ou seja, necessitam de menos iterações 
para se encontrar o zero da função.
CÁLCULO NUMÉRICO 53
SER_ENGCPME_CALNUME_UNID2.indd 53 12/12/2019 10:28:52
Continuando com a metodologia adotada anteriormente, veremos a 
correta definição matemática associada a cada método e sua interpreta-
ção geométrica, além de conhecer com detalhes o algoritmo a ser utilizado 
em cada técnica.
Método das secantes (MS)
O método das secantes, que também pode ser chamado de método das 
cordas, baseia-se em um algoritmo de determinação de zeros de uma função 
que utiliza uma sequência de raízes de linhas secantes para aproximar cada 
vez mais e com mais precisão da raiz de uma função.
CURIOSIDADE
A secante de um ângulo representa a razão entre a hipotenusa e o cateto 
adjacente, dependendo diretamente do valor dessa abertura. Outra rela-
ção também defi ne a secante como sendo o inverso da função cosseno do 
respectivo ângulo.
Geometricamente, o método das 
secantes (Gráfi co 4) consiste em con-
siderar como aproximação posterior a 
intersecção da corda que une os pon-
tos (xk, f(xk)) e (xk - 1, f(xk - 1) com o eixo 
das abscissas: a partir de duas aproxi-
mações, um ponto é encontrado como 
sendo a abscissa de intersecção do 
eixo horizontal e da reta secante que 
passa pelos pontos. A reta secante in-
terceptada pelas aproximações iniciais 
corta o eixo x, obtendo a primeira esti-
mativa para a raiz. Não satisfazendo a 
condição proposta, é necessário fazer 
mais iterações até que se identifi que um valor que atenda a precisão estipu-
lada. Observe que, grafi camente, a função é interceptada pela reta secante; 
também visualizamos a composição de dois triângulos semelhantes.
CÁLCULO NUMÉRICO 54
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GRÁFICO 4. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA: MÉTODO DAS SECANTES
TABELA 7. ALGORITMO DO MÉTODO DAS SECANTES (MS)
y
ƒ(xk)
xk x
α
α
ƒ(xk) - ƒ(xk - 1)
ƒ(xk - 1)
xk + 1 xk - 1x
xk f(xk )
af(b) - bf(a)
f(b) - f(a)
xk + 1 = |xk + 1 - xk| ≤ ε
a
b
Para determinar as raízes de funções utilizando o método das secantes, é 
útil elaborar uma tabela com o cabeçalho igual ao representado na Tabela 7.
Sobre o preenchimento desta tabela, são imprescindíveis as seguintes 
observações:
• a e b correspondem aos números que compõem o ponto inicial;
• f(xk) é o valor da função para o valor de a e b e, a partir deste resultado, 
será definido quem será fixado, seguindo a regra:
• Se f(a) > 0, ou seja, (+), fixa a e f(a);
• Se f(b) > 0, ou seja, (+), fixa b e f(b).
• xk + 1 indica o próximo termo da iteração;
•|xk + 1 - xk| ≤ ε calcula o erro encontrado a cada iteração; a partir deste valor, 
identifica-se a parada.
Que tal compreender melhor o funcionamento deste outro método numé-
rico? Vamos lá! Começaremos com a construção de uma tabela que contenha 
um cabeçalho igual ao disposto na Tabela 7.
Fonte: FRANCO, 2006, p. 81. (Adaptado).
CÁLCULO NUMÉRICO 55
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Exemplo 6: encontre a estimativa da raiz de equação x2 - 10ln(x) - 5 = 0, 
x1 [4; 5] com precisão, ou seja, com erro de ϵ = 0,0001.
xk
f(xk )
x2 - 10ln(x) - 5 = 0
af(b) - bf(a)
f(b) - f(a)
xk + 1 = |xk + 1 - xk| ≤ ε
a = 4
f(a) = f(4) = 42 
- 10ln(4) - 5 = 
-2,8629
= 4,4230
4 . 3,9086 - 5 . (-2,8629)
3,9056 - (-2,8629)
=
b = 5
f(b) = f(5) =52 - 
10ln(5) - 5 = 3,9056
a = 4,4230
f(a) = f(4,4230) 
= 4,42302 - 
10ln(4,4230) - 5
= -0,3054
= 4,4680
4,4230 . 3,9086 - 5 . (-0,3054)
3,9056 - (-0,3054)
=
a = 4,4680
f(a) = f(4,4680)
= 4,46802 - 
10ln(4,4680) - 5
= -0,0064
= 4,4723
4,4680 . 3,9086 - 5 . (-0,0064)
3,9056 - (-0,0064)
= |4,4723 - 4,4680|
= 0,0043
a = 4,4723
f(a) = f(4,4723)
= 4,47232 
-10ln(4,4723) - 5
= 0,0224
= 4,4727
4,4723 . 3,9086 - 5 . 0,0224
3,9056 - 0,0224
= |4,4727 - 4,4723|
= 0,0004
a = 4,4727
f(a) = f(4,4727)
= 4,47272 - 
10ln(4,4727) - 5
= 0,0251
= 4,4727
4,4727 . 3,9086 - 5 . 0,0251
3,9056 - 0,0251
= |4,4727-4,4727|
= 0,0000
TABELA 8. DADOS OBTIDOS PELO MÉTODO DAS SECANTES (MS)
Assim, de acordo com a precisão encontrada, é possível concluir que 4,4727 
é uma aproximação da raiz da equação x2- 10ln(x) - 5 = 0 no intervalo [4; 5]. Ob-
serve que os valores de b e f(b) foram fixados (destacados em outra cor), ou seja, 
mantidos até o final. Isso ocorreu porque o valor que representa f(b) foi positivo.
Exemplo 7: determinar a raiz da equação 3x - cos(x) = 0, x1 ∈ [0; 1] com preci-
são, ou seja, com erro de ϵ = 10-4 = 0,0001.
CÁLCULO NUMÉRICO 56
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TABELA 9. DADOS OBTIDOS PELO MÉTODO DAS SECANTES (MS)
xk
f(xk )
x2 - 10ln(x) - 5 = 0
af(b) - bf(a)
f(b) - f(a)
xk + 1 = |xk + 1 - xk| ≤ ε
a = 0
f(a) = f(0)
= 3 . 0 - cos(0)
= -1
= 0,2890
0 . 2,4597 - 1 . (-1)
2,4597 - (-1)
=
b = 1
f(b) = f(1)
= 3 . 1 - cos(1)
= 2,4597
a = 0,2890
f(a) = f(0,2890)
= 3 . 0,2890 - 
cos(0,2890)
= -0,0915
= 0,3145
0,2890 . 2,4597 - 1 . (-0,0915)
2,4597 - (-0,0915)
= |0,3145 - 0,2890|
= 0,0255
a = 0,3145
f(a) = f(0,3145)
= 3 . 0,3145 - 
cos(0,3145)
= -0,0075
= 0,3166
0,3145 . 2,4597 - 1 . (-0,0075)
2,4597 - (-0,0075)
= |0,3166 - 0,3145|
= 0,0021
a = 0,3166
f(a) = f(0,3166)
= 3 . 0,3166 - 
cos(0,3166)
= -0,0005
= 0,3167
0,3166 . 2,4597 - 1 . (-0,0005)
2,4597 - (-0,0005)
= |0,3167 - 0,3166|
= 0,0001
Logo, de acordo com a precisão determinada, é possível estabelecer que 
0,3167 é uma aproximação da raiz da equação 3x - cos(x) = 0, x1∈ [0; 1]. Averigue 
que o valor de b = 1 e f(b) = 2,4597 foram constantes (destacados em outra cor), 
ou seja, mantidos até o final da resolução. Isso ocorreu porque o número que 
representa f(b) possuía um sinal positivo.
Podemos dizer que este método: 
• Exige que o sinal da segunda derivada seja constante no intervalo;
• Se o ponto c for próximo da raiz, haverá boa convergência; caso contrário, 
será mais lento que o método