Matemática - 4

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BASES DA MATEMÁTICA PARA CIÊNCIAS
UNIDADE 4 - TÉCNICAS DO CÁLCULO 
DIFERENCIAL E INTEGRAL
Autoria: Thiago Fernando Mendes - Revisão técnica: Sheila Motta Steffen do 
Nascimento
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Introdução
É comum que docentes e discentes de diferentes países tenham
dificuldades relacionadas ao processo de ensino e
aprendizagem de conceitos do cálculo integral, em especial nos
cursos universitários. É por isso que pesquisas —
principalmente aquelas voltadas à educação matemática — têm
se dedicado a apresentar sugestões para solucionar ou
minimizar o problema.
Nesse sentido, a aplicação de técnicas de integração, como
integrais por partes e substituições diversas, além do uso de fórmulas clássicas, como as da recursividade, são
meios de facilitar ou potencializar o processo de aprendizagem de conteúdos relacionados ao cálculo. Com a
ajuda dessas ferramentas de ensino, os estudantes podem, por exemplo, entender erros de interpretação,
construir conceitos de modo mais consistente e obter uma aprendizagem autônoma.
Contudo, você conhece, de fato, as principais técnicas de integração? Consegue imaginar como essas técnicas
podem facilitar os cálculos? Sabe quando devemos utilizar cada uma das técnicas?
São essas questões que buscaremos responder ao longo desta última unidade. Em síntese, nossos objetivos de
aprendizagem serão resolver integrais envolvendo raiz, logaritmos e funções exponenciais; resolver integrais
que envolvem funções trigonométricas; assim como conhecer as integrais por partes, as substituições diversas, a
fórmula de recursividade e a tábua de integrais.
Bons estudos!
4.1 Integrais exponenciais e logarítmicas
Com relação às , seja uma função diferenciável de . Temos que a regra de exponencialintegrais exponenciais
simples é dada por . Análoga à ela, conforme nos explica Thomas (2008), temos a regra exponencial
geral: .
Já estudamos anteriormente as regras de diferenciações, mas, neste momento, cabe ressaltar que cada uma
delas, quando referentes às funções exponenciais, trazem sua própria regra de integração correspondente.
Vejamos alguns exemplos, com base nas ideias de Faccin (2015), Fernandes (2014) e Thomas (2008):
• Regra do múltiplo constante
.
• Regra da integração por partes
.
• Regra da soma
.
Façamos juntos um exemplo calculando a seguinte integral indefinida: . Inicialmente, consideraremos 
, logo, temos que . Nesse caso, o fator ausente 3 pode ser introduzido no integrado mediante a
multiplicação e divisão por três:
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•
•
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Já com relação às , Thomas (2008) nos ensina que: seja uma funçãointegrais de funções logarítmicas
diferenciável de . Temos que a regra logarítmica simples é dada por . Análoga à ela, temos a regra
logarítmica: .
Assim como a integral exponencial, cada uma das regras de diferenciação de funções logarítmicas também tem
sua regra de integração correspondente:
• Regra do múltiplo constante
.
• Regra da integração por partes
.
• Regra logarítmica geral
.
Para exemplificar, vamos calcular a seguinte integral indefinida: . Fazendo , temos . Aqui,
devemos introduzir o fator necessário 2 no integrando, multiplicando e dividindo por dois. Assim, temos:
Você quer ver?
A obra , produzida por Jos Leys, Étienne Ghys eChaos: Uma Aventura Matemática
Aurélien Alvarez, é composta por nove capítulos de 13 minutos cada. Ela aborda
sistemas dinâmicos, efeito borboleta e Teoria do Caos. Cada assunto está diretamente
relacionado aos conceitos de cálculo integral, especialmente quanto às integrais
exponenciais, logarítmicas e trigonométricas. Se você gosta dessas temáticas, assista
ao filme e preste atenção aos detalhes. Clique no link a seguir e descubra cada
capítulo!
Acesse
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https://www.chaos-math.org/pt-br.html
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Ainda sobre as integrais logarítmicas, conforme destacam Gonçalves e Flemming (2006, p. 47), elas costumam
“[...] ser dadas em forma disfarçada”. Por exemplo, se uma função racional tem o numerador de grau não inferior
ao do denominador, devemos, primeiro, efetuar a divisão, obtendo uma parte inteira e outra fracionária:
Entendido a respeito desse assunto, estudaremos a respeito das integrais trigonométricas no próximo tópico.
Acompanhe o que preparamos!
4.2 Integrais trigonométricas
Antes de abordarmos, especificamente, as integrais trigonométricas, é importante, mesmo que rapidamente,
entendermos as principais propriedades trigonométricas.
Inicialmente, vale destacar que as funções trigonométricas, em síntese, possuem comportamento periódico, ou
seja, cíclico. Precisamos lembrar que a pode ser definida como , dada por que função seno , 
associa a cada número real um único número também real (IEZZI; MURAKAMI, 1993). O comportamento
gráfico dessa função é ilustrado a seguir.
Figura 1 - Comportamento gráfico da função trigonométrica 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
#PraCegoVer: na figura, temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de a e eixo das ordenadas
Você quer ler?
Nesta unidade, nosso foco está nas técnicas de integração, mas, caso você tenha
interesse em conhecer como surgiram essas técnicas e de que modo foram
desenvolvidas, indicamos a leitura do livro ,Demonstrações de Integrais Indefinidas
em que o autor Paulo Márcio Farias Coelho, fazendo uso de uma linguagem bastante
simples, cria um ambiente para estudantes que realmente gostariam de aprender e
dominar as técnicas utilizadas para cálculo de integrais. Vale ler!
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#PraCegoVer: na figura, temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de a e eixo das ordenadas
indo de -1 a 1. Há uma curva trigonométrica representando o comportamento gráfico da função .
A , por sua vez, é definida como dada por , que, de forma análoga à funçãofunção cosseno , 
seno, associa a cada número real um único número também real (DEMANA ., 2008). Oet al
comportamento gráfico pode ser observado na sequência.
Figura 2 - Comportamento gráfico da função trigonométrica 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
#PraCegoVer: na figura, temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de a e eixo das ordenadas
indo de -1 a 1. Há uma curva trigonométrica representando o comportamento gráfico da função .
Por fim, a é definida como , com com , dada por , que associa afunção tangente 
cada número real um único número também real (DEMANA ., 2008). Vejamos o comportamentoet al
gráfico a seguir.
Figura 3 - Comportamento gráfico da função trigonométrica 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
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#PraCegoVer: na figura, temos um plano cartesiano com eixo das abscissas indo de a e eixo das ordenadas
indo de -2 a 3. Há uma curva trigonométrica representando o comportamento gráfico da função .
Nesse sentido, Fernandes (2014) elenca algumas propriedades a serem consideradas. Vamos conhecer cada uma
delas?
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• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• .
Partindo dessas propriedades ou identidades, temos as seguintes integrais trigonométricas:
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• .
Vejamos na sequência um caso para compreender mais detalhadamente a respeito da temática. Assim, você
poderá aprofundar seus conhecimentos. Confira!
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Caso
Há na matemática alguns modelos clássicos, como os mesoscópicos. De acordo com Bassanezi (2002),
se examinarmos mais atentamente o crescimento de certas populações ou, até mesmo, de um
indivíduo, verificamos que podem existir comportamentos diferentes em relação ao tamanho limite
pré-estimado.
Ao analisar o crescimento populacional das abelhas em certa região brasileira, uma equipe de
pesquisadores determinou que tal crescimento se dava à uma velocidade que pode ser descrita pela
função . Com a função, os pesquisadores determinaram a quantidade de abelhas
existentes na região a partir da primitiva de . Para tanto, bastou calcular .
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Existem outras propriedades que envolvem as relações trigonométricas e funções exponenciais, mas nós a
conheceremos quando formos tratar das fórmulas de recorrências, que será muito em breve. No momento,
passaremos ao estudodas técnicas de integração, conforme conteúdo disposto a seguir.
4.3 Técnicas de integração
Como já tratamos em tópicos anteriores, as técnicas matemáticas nos permitem realizar os cálculos de forma
rápida e prática, de modo que os erros sejam minimizados. No caso das integrais, também temos uma série de
técnicas que facilitam a determinação das funções primitivas.
As principais técnicas utilizadas são a integral por partes, as substituições diversas, as próprias fórmulas de
recursividade e a tábua de integrais. Esta reúne uma série de integrais que podem ser aplicadas na resolução de
problemas. Conheceremos cada uma dessas metodologias a partir de agora. Acompanhe!
4.3.1 Integral por partes
Na , aprenderemos a lidar com integrais de produtos de funções do tipo . Essaintegração por partes
regra, conforme explicitam Fróes, Fábrega e Geraldini (2016), traz que, dadas duas funções deriváveis e ,
então .
Por exemplo, vamos calcular a integral da função : . No caso, inicialmente, devemos
escolher e entre as funções da integral. Assim, temos que e . Após isso, determinamos ,
em que . Analogamente, determinamos , em que e .
Substituindo as funções na regra da integração por partes, temos:
Compreendida essa parte, vamos passar à técnica de substituições diversas. Continue seus estudos com o
próximo item!
Você sabia?
Na tentativa de solucionar alguns problemas relacionados à navegação, os gregos se
interessaram em determinar o raio da Terra e a distância desta à Lua. O último
problema implicou no surgimento das primeiras noções que conhecemos até hoje em
trigonometria. No entanto, os cálculos nunca davam certo! Tais respostas foram
obtidas apenas décadas depois, quando conhecimentos relacionados às integrais
trigonométricos foram desenvolvidos e puderam ser aplicados em tais contextos
(BOYER; MERZBACH, 2019).
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4.3.2 Substituições diversas
Sobre a mudança de variáveis ou , Demana . (2008) afirma que determinadas integraissubstituições et al
permitem que se realize uma transformação na variável. Isso reduz uma integral mais complicada em uma
simples e imediata.
Para isso, definimos uma nova variável relacionada à variável por meio da expressão . Usaremos o
seguinte: . Logo, temos que .
Por exemplo, a mudança de variáveis facilita o cálculo da integral da função . Assim, temos .
Realizando a substituição, teremos:
Além destas, as substituições trigonométricas também podem ser utilizadas no desenvolvimento de integrais,
conforme regras explicitadas na tabela a seguir.
Tabela 1 - Regras de substituição trigonométrica
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em FRÓES; FÁBREGA; GERALDINI, 2016.
#PraCegoVer: na tabela, temos três colunas e quatro linhas. Na primeira coluna, encontramos a expressão no
integrando, envolvendo , e . Já na segunda coluna, temos as substituições, com , 
 e . Na última coluna, há as restrições sobre .
Neste momento, antes de seguirmos com o conteúdo, vamos realizar uma atividade para fixar nossos
conhecimentos adquiridos? Leia atentamente à questão proposta na sequência e responda da melhor maneira!
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
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Além das técnicas, as fórmulas clássicas também são mecanismos utilizados nas aulas de cálculo, a fim de
facilitar a determinação das funções primitivas.
4.3.3 Fórmula de recursividade
Assim como as técnicas de integração, o uso de fórmulas também facilita os cálculos e permite que uma série de
primitivas sejam determinadas, sem que haja a necessidade de deduzir inúmeras relações.
As principais , são as seguintes:fórmulas de recursividade ou recorrência
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• .
Ademais, em uma sequência do cálculo diferencial e integral, há fórmulas de recursividade que têm grande
aplicabilidade em outras ciências, como a física, a exemplo da transformada de Fourier e da transformada de
Laplace. No entanto, ambas fazem uso de conceitos relacionados a equações diferenciais e ordinárias, que não
dizem respeito à esta disciplina.
Já que o assunto ficou claro, vamos realizar mais uma atividade? Colocaremos em prática nossos conhecimentos
sobre um cálculo de integral envolver a substituição trigonométrica. Leia atentamente e tente resolver o
problema!
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Há, também, mais um mecanismo utilizado nas aulas de cálculo integral, que reúne as principais propriedades e
técnicas: a tábua de integrais. Falaremos a respeito dessa ferramenta na sequência. Acompanhe!
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Você o conhece?
Pierre-Simon (1749-1827), também conhecido como Marquês de Laplace, foi um
matemático, astrônomo e físico francês que organizou a astronomia matemática,
resumindo e ampliando o trabalho de importantes estudiosos, como Isaac Newton. A
importância de Laplace para a matemática foi tão ampla que até hoje seu nome é
lembrado nas disciplinas de cálculo por conta de seus estudos relacionados,
principalmente, à Teoria da Probabilidade.
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4.3.4 Tábua de integrais
De acordo com Stewart (2016, p. 132) uma ou tabela de integrais é “[...] uma lista quetábua de integrais
relaciona funções a famílias de antiderivadas apropriadas. Associada às propriedades de integração, tais tabelas
são ferramentas de auxílio no cálculo de integrais”. Assim, considerando que a integral de uma função é também
a sua antiderivada, em uma tábua de integrais, é comum termos uma lista das principais derivadas.
Figura 4 - Relação das principais propriedades derivativas de uma função
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em THOMAS, 2008.
#PraCegoVer: na figura, temos 20 propriedades para cálculo da derivada de uma função. Vão desde as mais
simples — como a derivada de uma função potência — até as mais complexas — como a
derivada da função arco cosseno.
De forma geral, uma tábua de integrais também apresenta, de forma suscinta, as principais propriedades de
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De forma geral, uma tábua de integrais também apresenta, de forma suscinta, as principais propriedades de
integrais indefinidas, integrais definidas, funções simples (funções racionais, logaritmos, funções exponenciais,
funções irracionais, funções trigonométricas e funções hiperbólicas), integrais impróprias e funções
exponenciais (função gama, função erro, logaritmos integrais, integral elíptica, seno integral e cosseno integral).
Figura 5 - Relação das principais propriedades integrativas de uma função
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em THOMAS, 2008.
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#PraCegoVer: na figura, temos 21 propriedades para cálculo da integral de uma função. Vão desde as mais
simples — como a integral — até as mais complexas — como as funções envolvendo substituições
trigonométricas.
Por muitos anos o ensino de matemática no Brasil foi completamente processado nos moldes tradicionais, ou
seja, sem a abordagem e discussão de propostas metodológicas voltadas à inovação. Em um primeiro momento,
o uso de tábuas de integrais pode nos remeter a esse molde de ensino: focado na memorização e reprodução de
técnicas. No entanto, no desenvolvimento desta unidade, observamos que tudo depende dos intuitos pelos quais
tais usos são realizados. No caso da tábua de integrais, especificamente, podemos considerá-la como algo que
facilita a vida do estudante, sem que este precise deduzir cada uma das propriedades.
Conclusão
Chegamos ao fim da quarta e última unidade da disciplina de Bases da Matemática para Ciências. Após
discutirmos conceitos e propriedades importantes anteriormente, aqui, nosso foco foi as técnicas, que, de várias
maneiras, podem facilitar o trabalho com integrais.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
• conhecer conceitos e técnicas relativas às integrais de funções de uma variável e suas aplicações;
• determinar funções primitivas envolvendo raízes, logaritmos e funções exponenciais;
• resolver integrais envolvendo funções trigonométricas;
• trabalhar com técnicas como integrais por partes e substituições diversas;
• aprender sobre a fórmula de recursividade e a tábua de integrais.
Referências
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagemcom modelagem
. São Paulo: Contexto, 2002.matemática
BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. . São Paulo:História da matemática
Blucher, 2019.
CHAOS: uma aventura matemática. , [ ], [ .]. DisponívelCHAOS s. l. s. d
em: https://www.chaos-math.org/pt-br.html. Acesso em: 18 dez.
2020.
COELHO, P. M. F. . Rio deDemonstrações de integrais indefinidas
Janeiro: Ciência Moderna, 2012.
DEMANA, F. D. . . et al Pré-cálculo São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2008.
FACCIN, G. M. . São Paulo: InterSaberes, 2015.Elementos de cálculo diferencial e integral
FERNANDES, D. B. (org.). . São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014.Cálculo diferencial
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https://www.chaos-math.org/pt-br.html
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FRÓES, A. L. D.; FÁBREGA, F. M.; GERALDINI, D. . Londrina: Editora eCálculo diferencial e integral II
Distribuidora Educacional S.A., 2016.
GONÇALVES, M. B.; FLEMMING, D. M. : funções, limite, derivação, integração. 6. ed. São Paulo: PearsonCálculo A
Universidades, 2006.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. : conjuntos, funções. 7. ed. São Paulo: Atual,Fundamentos de matemática elementar
1993.
STEWART, J. . 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2016.Cálculo
THOMAS, G. B. . São Paulo: Pearson, 2008. v. 1.Cálculo
	Introdução
	4.1 Integrais exponenciais e logarítmicas
	Regra do múltiplo constante
	Regra da integração por partes
	Regra da soma
	Você quer ver?
	Regra do múltiplo constante
	Regra da integração por partes
	Regra logarítmica geral
	Você quer ler?
	4.2 Integrais trigonométricas
	Caso
	4.3 Técnicas de integração
	Você sabia?
	4.3.1 Integral por partes
	4.3.2 Substituições diversas
	Teste seus conhecimentos
	4.3.3 Fórmula de recursividade
	Você o conhece?
	Teste seus conhecimentos
	4.3.4 Tábua de integrais
	Conclusão
	Referências