Lista 1 de Computação e Informação Quântica - Álgebra Linear e Circuitos Quânticos

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Computação e Informação Quântica - 2019/02 
 
Lista 1 - Álgebra linear, postulados da Mecânica Quântica e circuitos quânticos 
 
Q1 (propriedades do traço): 
 (a) Mostre que 𝑡𝑟 𝐴𝐵 = 𝑡𝑟 𝐵𝐴 ; 
 (b) Mostre que o traço de um produto de operadores é invariante por permutações cíclicas. Isto é: que 
𝑡𝑟 𝐴1𝐴2…𝐴𝑘−1𝐴𝑘 = 𝑡𝑟 𝐴𝑘𝐴1𝐴2…𝐴𝑘−1 ; 
 (c) Mostre que o traço é invariante por mudanças de base do espaço vetorial. 
 
Q2 (matrizes de Pauli): 
 (a) Encontre os autovetores das matrizes de Pauli 
 
𝑋 = 
0 1
1 0
 ,𝑌 = 
0 −𝑖
𝑖 0
 ,𝑍 = 
1 0
0 −1
 . 
 
e identifique os pontos correspondentes aos respectivos estados na esfera de Bloch. 
 (b) Encontre a ação da porta Hadamard (𝐻) 
𝐻 =
1
 2
 
1 1
1 −1
 
sobre os autovetores das matrizes de Pauli 𝑋 e 𝑍. Identifique a ação dessa porta nos pontos 
correspondentes sobre a esfera de Bloch. 
 
Q3 (funções de operadores): 
Seja 𝑓: ℂ → ℂ uma função analítica. Em aula, demos duas formas de definir a função 𝑓 𝑀 , onde 𝑀 é um 
operador normal (e, portanto, diagonalizável). Na primeira, escrevemos: 
 
𝑓 𝑀 = 𝑓 𝑚𝑖 |𝑚𝑖⟩⟨𝑚𝑖|,
𝑖
 
onde {𝑚𝑖} são os autovalores de 𝑀 com respectivos autovetores {|𝑚𝑖⟩} (suponha 𝑀 não degenerado por 
simplicidade). Na outra definição, usamos a série de Taylor de 𝑓: 
 
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑗𝑥
𝑗
𝑗
 
para escrever 
𝑓 𝑀 = 𝑐𝑗𝑀
𝑗
𝑗
 
 (a) Mostre que essas definições coincidem. 
 (b) Prove que, se 𝐴 e 𝐵 são hermiteanos e comutam, 
exp 𝐴 + 𝐵 = exp 𝐴 exp 𝐵 
Dica: Você pode usar a expansão em séries de Taylor ou propriedades conhecidas de matrizes que 
comutam (veja seção 2.1.9 do Nielsen e Chuang). 
 (c) Use o resultado da letra (b) acima para mostrar que, se um Hamiltoniano de dois qubits é da forma 
𝐻 = 𝐻1 ⊗ 𝐼 + 𝐼⊗ 𝐻2, a evolução temporal gerada por ele é da forma 𝑈1 ⊗ 𝑈2. 
 (d) (pós-graduação) Prove que: 
𝑒𝐴𝑡𝐵𝑒−𝐴𝑡 = 𝐵 + 𝐴,𝐵 𝑡 +
1
2
 𝐴, 𝐴,𝐵 𝑡2 + 𝑂 𝑡3 
onde 𝐴,𝐵 é o comutador entre 𝐴 e 𝐵. 
 
Q4 Prove que a porta CNOT não pode ser escrita como um produto tensorial de portas de um qubit. 
 
Q5 Mostre que, se 𝐴 é tal que 𝐴2 = 𝐼, então 
exp 𝑖 𝐴 𝑥 = cos 𝑥 𝐼 + 𝑖 sin 𝑥 𝐴 
 
 
 
 
Q6 (Base de Bell) 
 (a) Prove que os quatro estados de Bell formam uma base do espaço de estados de dois qubits. 
 (b) Encontre um circuito, formado apenas por portas de um e dois qubits e medidas na base 
computacional, que implemente uma medida na base de Bell. 
 
Q7 Prove as identidades de circuitos abaixo (dica: você pode fazer isso multiplicando as matrizes 
explicitamente, ou verificando a ação dos circuitos nos estados da base).