algebra

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Marina Vargas
Esta obra apresenta desde a primeira definição de espaço 
vetorial, indispensável para toda a estrutura que vem a 
seguir, até os operadores sobre espaços com produto 
interno com características peculiares. Para que seja 
possível estruturar todo esse conhecimento, este livro 
inicia com conceitos abordados no ensino médio, porém, 
adaptados para o ensino superior. São trabalhados 
diversos conceitos fundamentais para o estudo da 
álgebra linear – matrizes, sistemas de equações lineares, 
teoria dos espaços, transformações lineares no plano, 
operadores lineares, produto interno, teorema espectral, 
entre outros –, de modo interessante e agradável.
M
arina Vargas
ÁLGEBRA LINEAR
Código Logístico
59323
Fundação Biblioteca Nacional
ISBN 978-85-387-6618-6
9 7 8 8 5 3 8 7 6 6 1 8 6
Álgebra Linear
Marina Vargas
IESDE BRASIL
2020
Todos os direitos reservados.
IESDE BRASIL S/A.
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482. CEP: 80730-200
Batel – Curitiba – PR
0800 708 88 88 – www.iesde.com.br
© 2020 – IESDE BRASIL S/A.
É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito da autora e do 
detentor dos direitos autorais.
Projeto de capa: IESDE BRASIL S/A. Imagem da capa: devotchkah/ENVATO ELEMENTS
CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO
SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ
V427a
Vargas, Marina
Álgebra linear / Marina Vargas. - 1. ed. - Curitiba [PR] : IESDE, 2020. 
146 p. : il.
Inclui bibliografia
ISBN 978-85-387-6618-6
1. Álgebra linear. I. Título.
20-64176 CDD: 512.5
CDU: 512.64
Marina Vargas Doutora e mestre em Métodos Numéricos em 
Engenharia pela Universidade Federal do Paraná 
(UFPR). Especialista em Educação Matemática 
e licenciada em Matemática pela Universidade 
Paranaense (Unipar). Professora no ensino superior 
nas modalidades presencial e a distância, ministrando 
as disciplinas: Cálculo de funções de uma e mais 
variáveis, Álgebra Linear, Geometria Analítica, Métodos 
Numéricos, Teoria dos Números, Pesquisa Operacional, 
Matemática Aplicada, Estatística Aplicada e Métodos 
Quantitativos. Atua também como professora 
conteudista em diversas instituições e empresas. 
Atualmente, tem desenvolvido pesquisas nas áreas de 
programação matemática, mecânica computacional, 
educação matemática e educação em engenharias.
Agora é possível acessar os vídeos do livro por 
meio de QR codes (códigos de barras) presentes 
no início de cada seção de capítulo.
Acesse os vídeos automaticamente, direcionando 
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SUMÁRIO
1 Matrizes e sistemas de equações lineares 9
1.1 Matrizes 10
1.2 Matrizes elementares 11
1.3 Operações com matrizes 15
1.4 Inversa de uma matriz 18
1.5 Sistemas de equações lineares 24
2 Espaços vetoriais 32
2.1 Definição de espaços vetoriais 32
2.2 Subespaços vetoriais 36
2.3 Combinação linear 45
2.4 Dependência e independência linear 46
2.5 Base de um espaço vetorial 48
2.6 Posto, nulidade e espaços fundamentais 58
3 Transformações lineares 63
3.1 Transformações do plano no plano 63
3.2 Transformações ℝn 71
3.3 Núcleo e imagem de uma transformação linear 75
3.4 Matrizes de transformações 83
4 Operadores e matrizes diagonalizáveis 87
4.1 Operadores 87
4.2 Polinômio característico 96
4.3 Matrizes diagonalizáveis 99
4.4 Aplicações 102
5 Espaço com produto interno 107
5.1 Produto interno 107
5.2 Ortogonalidade 114
5.3 Ortogonalização de Gram-Schmidt 120
5.4 Transformações que preservam produtos internos 123
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6 Operadores sobre espaços com produto interno 129
6.1 Operador autoadjunto e ortogonal 130
6.2 Teorema espectral 138
6.3 Formas bilineares e quadráticas 139
Esta obra apresenta desde a primeira definição de espaço vetorial, 
indispensável para toda a estrutura que vem a seguir, até os operadores 
sobre espaços com produto interno com características peculiares. Para que 
seja possível estruturar todo esse conhecimento, iniciamos com conceitos 
conhecidos pela maioria dos estudantes, abordados no ensino médio de todas 
as escolas brasileiras, porém, adaptados para o ensino superior e voltados às 
necessidades subsequentes desta obra.
Assim, o primeiro capítulo é destinado ao estudo de matrizes, suas 
propriedades, operações e determinantes, e aos sistemas de equações 
lineares, que podem ser representados e resolvidos por meio de matrizes.
O segundo capítulo aborda a teoria dos espaços e subespaços vetoriais, 
tornando essencial tratar de dependência e independência linear entre 
vetores desses espaços, suas bases e suas dimensões. Abordamos, ainda, 
o conceito de mudança de base, que será fundamental no estudo das 
transformações lineares.
O terceiro capítulo tem início com as transformações lineares no plano, 
por meio das quais é possível entender como ocorre esse processo, para que, 
posteriormente, possamos extrapolar esse conhecimento para espaços de 
dimensão finita.
O quarto capítulo é dedicado a um assunto que talvez se enquadre nos 
mais importantes e citados da álgebra linear: os operadores lineares, sendo 
que os autovalores e autovetores de uma transformação linear estão inclusos 
nesse conceito. O estudo desse tema e suas subseções revela um poderoso 
caminho para o mundo das aplicações da álgebra linear.
O quinto capítulo pode ser interpretado como uma extensão do quarto, 
pois vemos os operadores lineares que preservam o produto interno. 
Para entendermos esse processo, iniciamos recordando os conceitos 
de produto interno, ortogonalidade e ortonormalidade, e subespaços 
ortogonais. Também apresentamos a ortogonalização de Gram-Schmidt, 
que nos auxilia nesse processo.
APRESENTAÇÃO
O sexto, e último, capítulo dá continuidade à abordagem dos espaços 
vetoriais com produto interno. Trazemos as isometrias e os operadores 
autoadjuntos, a fim de apresentar um dos teoremas mais aplicados da álgebra 
linear: o teorema espectral. Nossa abordagem é voltada a espaços vetoriais 
reais e finalizamos a obra tratando de formas quadráticas.
Esta obra trata de muitos conceitos, mas procuramos abordá-los de modo 
a tornar a leitura interessante e agradável. Bons estudos!
Matrizes e sistemas de equações lineares 9
1
Matrizes e sistemas de 
equações lineares
Poderíamos iniciar este livro com o conceito de espaços veto-
riais ou com o conceito de matrizes e sistemas de equações lineares. 
Optamos por abordar, primeiramente, a segunda opção.
Por que essa escolha? Justamente porque acreditamos ser 
necessário estruturar um vínculo entre os vetores aprendidos em 
disciplinas como geometria analítica, tanto do ensino médio como 
do ensino superior, e os espaços vetoriais, com todas as suas pro-
priedades e axiomas, que serão abordados nesta obra.
Dessa forma, este capítulo trará a estrutura das matrizes, suas 
propriedades e operações e poderemos entender a relação de li-
nhas e colunas de matrizes com vetores no plano, no espaço ou 
mesmo no ℝn.
Após esse processo, trabalharemos com os sistemas de 
equações lineares, que podem ser escritos em notação matricial. 
Veremos algumas maneiras de encontrar soluções desses siste-
mas e, quando possível, suas interpretações geométricas.
Percebemos, com esse raciocínio, que um sistema de equações 
lineares nada mais é do que um sistema vetorial e que pode ser re-
solvido com propriedades vistas tanto na geometria analítica como 
na álgebra linear,as quais serão abordadas neste material.
Portanto, a escolha por iniciarmos com matrizes e sistemas 
de equações lineares nada mais é do que uma visão de múltiplas 
oportunidades de interpretação de um mesmo sistema.
10 Álgebra Linear
1.1 Matrizes 
Vídeo Pense em uma sala de aula. Em geral, temos alunos distribuídos em 
filas de carteiras viradas na direção do quadro negro, como podemos 
ver na figura a seguir.
Figura 1
Sala de aula
m
ar
ris
hu
an
na
/S
hu
tte
rs
to
ck
Para identificar os alunos, o professor pode numerá-los, usando 
como referência a linha e a coluna em que esses alunos estão senta-
dos. Dessa forma, o aluno que está logo à frente da mesa do docente 
se localiza na linha 1, coluna 1.
Figura 2
Sala de aula numerada por linhas e colunas.
Ad
ap
ta
da
 d
e 
m
ar
ris
hu
an
na
/S
hu
tte
rs
to
ck
3.1
2.1
1.1 1.2 1.3
3.2
2.2
3.3
2.3
O colega à direita dele está na linha 1, coluna 2, e assim, sucessiva-
mente, os alunos podem ser encontrados de acordo com a linha e a co-
luna em que estão sentados. Essa é uma típica representação matricial.
Matrizes e sistemas de equações lineares 11
Definição 1
Chama-se matriz de ordem m por n um quadro de mxn elementos dispostos em m 
linhas e n colunas da seguinte forma (LEON, 2019):
A
a a a
a a a
a a a
am n
n
n
m m mn
ij mx �
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11 12 1
21 22 2
1 2
�
� � � �
�
[ ] xxn
Se pensarmos em matriz como uma forma de organizar coisas em 
posições específicas, é possível perceber que os elementos dessa ma-
triz podem ser qualquer objeto. Contudo, matematicamente, entende-
mos os elementos de uma matriz como números (reais ou complexos), 
funções ou, ainda, outras matrizes.
A nomenclatura usual para uma matriz é dada por:
 • letras maiúsculas para simbolizar matrizes;
 • letras minúsculas para denotar os elementos.
A posição de cada elemento é apresentada por meio de subíndices: 
i para a posição do elemento em relação à linha, e j para a posição do 
elemento em relação à coluna: aij. Para indicar a ordem de uma matriz 
A (isto é, o número de linhas e colunas), escrevemos Amxn, sendo que m 
representa o número de linhas, e n representa o número de colunas.
Portanto, cada elemento da matriz A possui dois índices: aij , sendo 
que o primeiro índice representa a linha a que esse elemento pertence 
e o segundo representa a coluna. Dessa forma [aij], com i variando de 
1 a m e j variando de 1 a n, representa abreviadamente a matriz A de 
ordem m por n.
1.2 Matrizes elementares 
Vídeo Quando identificamos alguma particularidade em uma matriz, po-
demos usar esse fato como facilitador no cálculo ou solução de proble-
mas que a envolvam. Dessa forma, vamos classificar algumas matrizes.
 • Temos uma matriz dita retangular quando m ≠ n . Se m = n, a 
matriz é dita quadrada.
12 Álgebra Linear
Exemplo 1 
Matriz retangular
A
a
a2 1
11
21
x �
�
�
�
�
�
�
Exemplo 2
Matriz quadrada
B
a a
a a2 2
11 12
21 22
x �
�
�
�
�
�
�
 • Duas matrizes A = [aij] e B = [bij] de ordem m por n são iguais se, e 
somente se, aij = bij.
 • A matriz de ordem n por 1 é uma matriz coluna.
A
a
a
a
an
n
ij nx x1
11
21
1
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�

[ ]
 • A matriz de ordem 1 por n é uma matriz linha.
A1xn = [a11 a12 … a1n] = [aij]1xn
 • Em uma matriz quadrada A de ordem n, ou seja, [aij]nxn, os elemen-
tos aij, em que i = j, constituem a diagonal principal.
A
a
a
a
an
mn
ij n�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11
22

[ ]
 • Em uma matriz quadrada A, de ordem n, os elementos aij, em que 
i + j = n + 1, constituem a diagonal secundária.
A
a
a
a
an
n
n
n
ij n�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
1
2 1
1

[ ]
 • A matriz quadrada A tem os elementos aij = 0 quando i ≠ j é uma 
matriz diagonal.
A
a
a
a
an
nn
ij n�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11
22
0 0
0 0
0 0
�
�
� � � �
�
[ ]
Matrizes e sistemas de equações lineares 13
 • Quando todos os elementos de uma matriz são iguais a zero, 
essa matriz é dita matriz nula e denotada por 0.
 • Uma matriz identidade é aquela em que seus elementos são es-
critos da seguinte forma:
a
i j
i jij
�
�
�
�
�
�
��
1
0
para
para
Em geral, denota-se uma matriz identidade pela letra I maiúscula.
 • Uma matriz quadrada A é dita invertível quando existe outra ma-
triz denotada por A–1, tal que:
A . A–1 = A–1 . A = I
onde I é a matriz identidade.
Não é preciso decorar essas propriedades, mas o entendimen-
to delas agiliza muitos processos quando estamos aplicando a teoria 
matricial. Um exemplo simples pode ser apresentado com a matriz 
identidade, pois, ao identificarmos que determinada matriz tem essa 
estrutura, apenas conhecendo sua ordem, podemos representá-la 
rapidamente. Estudaremos mais sobre esse conceito na sequência.
1.2.1 Matrizes diagonais, triangulares e simétricas
Nesta seção, continuaremos tratando de algumas particularida-
des das matrizes. A seguir, veremos exemplos que facilitarão nosso 
entendimento.
 • Uma matriz triangular superior é uma matriz quadrada, na qual 
todos os elementos abaixo da diagonal principal ou secundária 
são nulos, isto é, m = n e aij = 0 para i > j.
Exemplo 3 
Matriz triangular superior, quadrada, de ordem 3.
1 6 6
0 1 9
0 0 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
14 Álgebra Linear
 • Uma matriz triangular inferior é aquela em que m = n e aij = 0 
para i < j.
Exemplo 4
Matriz triangular inferior, quadrada, de ordem 3.
1 0 0
6 1 0
8 7 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Para entendermos o conceito de matriz simétrica, primeiramente, 
precisamos conceituar uma matriz transposta. Assim:
Definição 2
Dada uma matriz A = [a
ij
]
mxn
, pode-se obter uma outra matriz At = [b
ij
]
nxm
, cujas 
linhas são as colunas de A, isto é, b
ij 
= a
ji
. Dessa forma, At é denominada trans-
posta de A.
Exemplo 5
Seja a matriz A B� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 1
3 2
0 1
. Sua transposta será dada por
Bt �
� �
�
�
�
�
�
�
2 3 0
1 2 1 .
 • Uma matriz simétrica é aquela na qual m = n e aij = aji, ou seja, ela 
é simétrica se, e somente se, for igual à sua transposta, ou seja, 
A = At.
Exemplo 6
Seja a matriz C �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1 4
1 5 2
4 2 7 .
A matriz é simétrica, pois Ct �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1 4
1 5 2
4 2 7
, ou seja, C = Ct.
Observando o exemplo de uma matriz simétrica, podemos nos per-
guntar: “onde isso ocorre na prática?”.
Temos inúmeros exemplos dessa propriedade na engenharia: mé-
todo dos três momentos para vigas; circuitos elétricos; condução de ca-
lor e tantos outros (BRASIL; BALTHAZAR; GÓIS, 2015). O que todos eles 
Matrizes e sistemas de equações lineares 15
têm em comum é, justamente, a possibilidade de resolver um sistema 
de equações, no qual a matriz dos coeficientes que forma esse sistema 
é uma matriz simétrica. Tal matriz nos permite usar métodos numéri-
cos (ou exatos) com ganho computacional superior ao que teríamos se 
usássemos uma matriz qualquer.
1.3 Operações com matrizes 
Vídeo As matrizes podem ser operadas por meio da adição e do produ-
to, sendo que, quando falamos em adição, pensamos também na sua 
operação inversa (subtração); e quando falamos em produto, temos a 
multiplicação entre matrizes e a multiplicação de uma matriz por um 
escalar, conforme veremos a seguir.
1.3.1 Soma de matrizes
A soma de duas matrizes A = [aij] e B = [bij] de ordem m por n é uma 
matriz C = [cij], tal que cij = aij + bij.
a a
a a
b b
b b
am
m mn
m
m mn
11 1
1
11 1
1
1�
� � �
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11 11 1 1
1 1
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
b a b
a b a b
m m
m m mn mn
�
� � �
�
Exemplo 7
Sejam as matrizes A �
�
�
�
�
�
�
1 2
3 4
 e B �
�
�
�
�
�
�
4 5
6 7
, então:
A B� �
� �
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
1 4 2 5
3 6 4 7
5 7
9 11
 
.
A mesma propriedade é válida para a subtração entre matrizes.
Exemplo 8
Sejam as matrizes A �
�
�
�
�
�
�
1 2
3 4
 e B �
�
�
�
�
�
�
4 56 7
, então:
A B� �
� �
� �
�
�
�
�
�
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
1 4 2 5
3 6 4 7
3 3
3 3 .
16 Álgebra Linear
Propriedades
Sejam A, B e C três matrizes de ordem m por n, temos: 
 • A + (B + C) = (A + B) + C → associatividade
 • A + 0 = 0 + A = A → elemento neutro da adição
 • A – A = A + (–A) = 0 → elemento inverso da adição
 • A + B = B + A → comutatividade
Com as propriedades de adição de matrizes enunciadas e os exem-
plos demonstrados, podemos seguir com o conceito de produto de 
uma matriz por um escalar (ℝ). 
1.3.2 Produto de uma matriz por um escalar
Seja λ um escalar e A = [aij ]mxn, o produto de λ por A é uma matriz 
B = [bij ]mxn, tal que bij = λaij
�
� �
� �
a a
a a
a a
a a
m
m mn
m
m mn
11 1
1
11 1
1
�
� � �
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
Exemplo 9
Seja λ = 3 e uma matriz A � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
4
, então B A� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 3
1
1
4
3
3
12
.
Propriedades
Sejam λ, μ dois escalares e A, B duas matrizes de ordem m por n, 
temos:
 • (λμ)A = λ(μA) 
 • (λ + μ)A = λA + μA 
 • λ(A + B) = λA + λB 
 • 1A = A
Nesta seção, vimos como resolver o produto de uma matriz com um 
escalar. Essa é uma importante operação que também será aplicada 
aos sistemas de equações.
Matrizes e sistemas de equações lineares 17
1.3.3 Produto entre duas matrizes
Sejam A = [aij ]mxn e B = [brs ]lxp, o produto de A por B é definido como:
AB = [cuv]mxp
onde: c a b a b a buv k
n
uk kv u v un nv� � � ���1 1 1 .
 • O produto entre duas matrizes Amxn e Blxp só é possível se o número 
de colunas da matriz A for igual ao número de linhas da matriz B, 
n = l. O resultado desse produto será uma matriz de ordem mxp.
 • O elemento resultante desse produto será denotado por cij (i-ésima 
linha e j-ésima coluna da matriz produto) e obtido por meio da soma 
entre os produtos dos elementos da i-ésima linha da primeira ma-
triz pelos elementos correspondentes da j-ésima coluna da segun-
da matriz.
Exemplo 10
Vamos efetuar o produto entre as matrizes A1x2 = [–1 1] e 
B2 3
2 1 4
3 4 3x
�
� �
�
�
�
�
�
�
� .
Verificamos se o número de colunas da matriz A é igual ao nú-
mero de linhas da matriz B. Nesse caso:
colunas de A = linhas de B = 2
Portanto, o produto entre matrizes é possível e dará origem 
a uma matriz C com o número de linhas de A e o número de 
colunas de B (C1x3)
C �x1 3 1 1
2 1 4
3 4 3
1 2 1 3 1 1 1 4 1 4
� ��� �� �
� �
�
�
�
�
�
�
� �
�� � � � � �� � �� � � � �� � ��� � � � �� ��� �� � �� ��1 3 1 5 1
Propriedades
 • Em geral, AB ≠ BA
 • AB = 0 sem que A = 0 ou B = 0
 • AI = IA = A, onde I é a matriz identidade
 • A(B + C) = AB + AC → distributividade
 • (A + B)C = AC + BC → distributividade
 • (AB)C = A(BC) → distributividade
 • (AB)t = Bt At
 • 0A = A0 = 0
18 Álgebra Linear
Finalizamos esta seção com as propriedades algébricas da multipli-
cação entre matrizes. Com isso, temos em mãos as propriedades ma-
triciais necessárias para resolvermos diversos exemplos e aplicações.
1.4 Inversa de uma matriz
Vídeo Há algumas maneiras de calcular a inversa de uma matriz. Uma de-
las exige o cálculo do determinante. Assim, o próximo tópico será des-
tinado ao conceito de determinantes.
1.4.1 Determinantes
O determinante de uma matriz quadrada é uma função que associa 
um escalar a essa matriz. Uma matriz possui inversa quando seu deter-
minante é um escalar diferente de zero.
Quando uma matriz A quadrada possui apenas um elemento, aij, 
dizemos que essa matriz é de ordem 1, e seu determinante será o valor 
do próprio elemento.
det A A aij� � � �
Quando uma matriz A quadrada é de ordem 2,
A
a a
a a
�
�
�
�
�
�
�11 12
21 22
o cálculo do seu valor numérico é feito pela diferença do produto da 
diagonal principal com o produto da diagonal secundária.
det A A a a a a� � � � �11 22 12 21
Quando temos matrizes de ordem 3 ou superior, precisamos de 
algum método para encontrar o escalar que a representa. A regra de 
Sarrus, ou esquema de Sarrus, pode ser usada como método para o 
cálculo do determinante de matrizes de ordem 3. O esquema é escrito 
como segue.
Considerando uma matriz A de ordem 3,
A
a a a
a a a
a a a
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11 12 13
21 22 23
31 32 33
o seu determinante pode ser calculado por meio do seguinte esquema:
O vídeo Determinante de matriz 
de ordem 1, 2 e 3, publicado 
pelo canal Brasil Escola, traz a 
resolução de exercícios com de-
terminante de matriz de ordem 
1, 2 e 3. É uma ótima aula para 
fixar conteúdo! 
Disponível em: https://youtu.
be/1gsGPQ7QPx0. Acesso em: 4 
maio 2020.
Vídeo
Matrizes e sistemas de equações lineares 19
Figura 3
Determinante de uma matriz de ordem três pela regra de Sarrus
in
ck
to
of
ay
/W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
det A A a a a a a a a a a a a a a a a� � � � � � � �11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 ��a a a12 21 33.
Exemplo 11
Seja A �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 2 3
1 3
2 0 1
1 . Portanto:
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
=
a a a a a a a a a
a a a a a a
11 22 33 12 23 31 13 21 32
13 22 31 11 23
. . . . . .
( . . . .
� � �
� 332 12 21 33�a a a. . )
− −
−
−
2 2 3
1 1 3
2 0 1
= ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �2 1 1 2 3 2 3 1 0 ( 3) 1 2 ( 2) 3 0 2 ( 1) �� � �( 1) 18
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
=
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
=
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
=
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
=
Para matrizes quadradas de ordem maior que 3, um dos métodos 
usados para encontrar o determinante é o Teorema de Laplace.
Teorema 1 (Teorema de Laplace)
O determinante de uma matriz A = [aij]n é igual à soma algébrica dos 
produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) pelos respectivos 
cofatores (ou complementos algébricos).
O cofator do elemento aij de uma matriz é o escalar Aij , definido por
A Mij
i j
ij� �
�( )1
A regra de Sarrus foi apresentada 
de modo que precisamos repetir 
as duas primeiras colunas e 
realizar alguns procedimentos 
numéricos. Seria possível 
repetir as duas primeiras linhas? 
Nesse caso, como ficaria nosso 
procedimento numérico para 
a obtenção do determinante 
de uma matriz quadrada de 
ordem 3? Explique.
Atividade 1
20 Álgebra Linear
onde Mij representa a matriz que se obtém da matriz original pela elimi-
nação da i-ésima linha e da j-ésima coluna.
Tem-se, então, que:
det A a A a A a Ai i i i in in� � � � � �1 1 2 2 
ou
det A a A a A a Aj j j j nj nj� � � � � �1 1 2 2 
conforme seja escolhida a i-ésima linha ou a j-ésima coluna.
O Teorema de Laplace pode ser aplicado quantas vezes for necessá-
rio, até se obter matrizes de ordem 2 ou 3.
Exemplo 12
Vamos calcular o determinante da matriz de ordem 3, dada 
por B �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 2 3
1 1 3
2 0 1
, usando o Teorema de Laplace.
det A� � � �� � � � �
�
� �� � � � � �
�
� �� � � � � �
�
� � �1 2
1 3
2 1
1 1
2 3
2 1
1 0
2 3
1
1 2 2 2 3 2
33
det A� � � �� � � �� � � �� � �� � �� � � � �� � � �� � � � �� �� �2 1 1 2 3 1 2 1 2 3
det A� � � �� � � �� � � �2 5 8 18
A seguir, apresentamos propriedades que agilizam o processo para en-
contrar o determinante de uma matriz (BOLDRINI et al., 1986).
Propriedades
 • Se uma matriz possuir uma linha ou uma coluna nula, seu determi-
nante será zero.
 • O determinante de uma matriz será sempre igual ao determinante 
de sua transposta.
 • Se trocarmos as duas linhas ou as duas colunas da matriz, trocare-
mos o sinal do determinante.
 • Se multiplicarmos os elementos de uma linha ou de uma coluna da 
matriz por um valor n qualquer, o determinante também será multi-
plicado por n.
 • Se uma matriz possui duas linhas ou colunas iguais ou múltiplas uma 
da outra, o determinante é nulo.
O vídeo Teorema de Laplace, 
publicado pelo canal Brasil 
Escola, exemplifica a resolução 
de determinantes de ordem 4 
por meio do Teorema de Laplace. 
Disponível em:https://
www.youtube.com/
watch?v=FhAep0GezGA. Acesso 
em: 4 maio 2020.
Vídeo
Matrizes e sistemas de equações lineares 21
 • Se uma linha ou coluna de uma matriz quadrada é a combinação 
linear de duas ou mais das linhas ou colunas restantes, seu determi-
nante é zero.
 • Se somarmos uma linha ou coluna à outra que foi multiplicada por 
um número, o determinante não será alterado.
 • O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto de 
seus determinantes.
 • O determinante de uma matriz triangular superior ou inferior é o 
produto dos elementos da diagonal principal.
 • O determinante da matriz identidade I é igual a 1.
Todas essas propriedades podem ser demonstradas e são utilizadas 
para otimizar o processo de cálculo do determinante de uma matriz. 
Além disso, são necessárias para que possamos compreender conceitos 
que ainda serão trabalhados, como os espaços vetoriais e a indepen-
dência entre vetores desses espaços. Esses são apenas alguns exemplo, 
mas já mostram a importância da compreensão dessas propriedades.
1.4.2 Cálculo de determinantes por triangularização 
de matrizes
Na subseção anterior, vimos que o determinante de uma matriz 
triangular (superior ou inferior) é o produto dos elementos da diagonal 
principal. Essa propriedade facilita muito o cálculo para o determinan-
te, principalmente se precisarmos trabalhar com matrizes com ordem 
superior a três.
O que faremos nesta subseção é aplicar operações elementares so-
bre suas linhas, para que possamos obter matrizes triangulares. Esse 
processo é chamado de triangularização de matrizes.
Contudo, precisamos verificar se a operação aplicada a cada linha 
altera o valor final do determinante. Dessa forma, precisamos entender 
algumas regras:
 • permutar linhas troca o sinal do determinante;
 • multiplicar uma linha por um número real λ não nulo multiplica o 
determinante por λ;
 • somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante.
Assim, se sabemos que, durante o processo de triangularização, 
houve troca de linhas, sabemos também que o resultado obtido para 
22 Álgebra Linear
o determinante, multiplicando os valores contidos na diagonal, estará 
com sinal oposto. Nesses casos, basta ficar atento às regras utilizadas e 
corrigir essas pequenas alterações.
As operações elementares podem ser escritas da seguinte maneira:
 • Permuta da i-ésima linha pela j-ésima linha: Li ↔ Lj – a troca de 
linhas corresponde à troca da posição das equações, o que não 
influencia a solução do sistema.
 • Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo λ: Li → λLi – 
equivale a multiplicar um número não nulo na equação correspon-
dente, que também não altera a solução.
 • Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais λ vezes a 
j-ésima linha: Li → Li + λLj – equivale a somar o múltiplo da outra 
equação, que também não altera a solução do sistema.
Exemplo 13
Seja a matriz A �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2 2 3
1 1 3
2 0 1
, queremos calcular seu determi-
nante por meio de uma triangularização. Assim, aplicando opera-
ções elementares, temos:
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� �
� �
2 2 3
1 1 3
2 0 1
2 2 3
0 0 9
2
0 2 4
3 3 1
2 2 1
2
1
L L L
L L L 
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
2 2 3
0 0 9
2
0 2 4
2 2 3
0 2 4
0 0 9
2
3 2L L ��
�
Neste ponto, já temos uma matriz triangularizada, portanto,
det �( )A � � � � ��
�
�
�
�
� �2 2
9
2
18 
.
Dessa forma, identificamos uma poderosa ferramenta para o cálcu-
lo de determinantes, a qual independe da ordem na matriz e pode ser 
aplicada rapidamente com operações fundamentais (adição, multipli-
Matrizes e sistemas de equações lineares 23
cação e suas operações inversas). A triangularização de matrizes ainda 
será utilizada para outros processos, mas já percebemos sua importân-
cia e, por isso, sugerimos que sejam praticadas.
1.4.3 Cálculo de uma matriz inversa
Uma das formas de encontrarmos a inversa de uma matriz quadra-
da A se dá por meio da matriz dos cofatores de A. Com esse resultado, é 
possível obter a matriz adjunta de A e, na sequência, sua matriz inversa.
Primeiramente, precisamos conhecer o cofator de cada um dos ele-
mentos de A, dados por:
A Mij
i j
ij� �
�( )1
onde Mij representa a matriz que se obtém da matriz original pela elimi-
nação da i-ésima linha e da j-ésima coluna. Então, é possível formar uma 
nova matriz, chamada de A, onde A = [Aij]. Essa será a matriz dos cofatores.
A transposição dessa matriz A origina a chamada matriz adjunta de 
A, adj(A).
adj(A) = A t
Teorema 2
De acordo com Kolman e Hill (2013), uma matriz quadrada A admite 
uma inversa se, e somente se, det (A) ≠ 0. Nesse caso:
A
A
adj A� � � � � �� �
1 1
det
Propriedades
 • Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, ambas invertí-
veis (ou seja, existe A–1 e B–1), então A.B é invertível e (A.B)–1 = B–1A–1.
 • Se A é uma matriz quadrada e existe uma matriz B tal que BA = I, 
então A é invertível, ou seja A–1 existe e, além disso, B = A–1.
 • Uma matriz A é semelhante a uma matriz B se, e somente se, exis-
te uma matriz Q (invertível), de modo que A = Q–1BQ
Assim como fizemos com as propriedades para as operações entre 
matrizes, ou mesmo com as propriedades para o determinante de uma 
matriz, nesta seção, destinamos um espaço para tratarmos das pro-
priedades das matrizes invertíveis. Em todos os casos, podemos usar 
24 Álgebra Linear
essas características algébricas para otimizar processos numéricos e 
agilizar a obtenção de uma resposta final.
Computacionalmente, encontramos muitas vantagens quando po-
demos simplificar processos. Uma delas é a possibilidade de diminuir 
o custo computacional. Ainda, é possível minimizar erros quando re-
duzimos a quantidade de operações realizadas. Dessa forma, o estudo 
das matrizes invertíveis e suas propriedades nos traz um ganho em 
diferentes áreas e aplicações.
1.5 Sistemas de equações lineares
Videoaula De acordo com Callioli, Domingues e Costa (2003, p. 2), um sistema 
de equações lineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de 
equações do tipo:
a x a x b
a x a x b
n n
m mn n m
11 1 1 1
1 1
� � �
� � �
�
�
�
�
�
�
� �
�
(1)
com aij , 1 < i < m, 1 < j < n, números reais ou complexos. Uma solução 
do Sistema (1) é uma n–upla de números (x1, ..., xn) que satisfaça simul-
taneamente essas m equações.
Dizemos que esse sistema é homogêneo se bi = 0 para todo i = 1, ..., m.
Definição 3
Dois sistemas de equações lineares envolvendo as mesmas variáveis são equivalen-
tes se, e somente se, tiverem o mesmo conjunto solução (LEON, 2019).
Todo sistema de equações lineares pode ser escrito na forma matri-
cial. Vamos exemplificar esse conceito usando como referência o Siste-
ma (1). Assim, temos:
A
a a
a a
n
m mn
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
11 1
1
�
� � �
�
 → é a matriz dos coeficientes;
X
x
xn
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
 → é a matriz das incógnitas;
É possível mostrar a semelhança 
entre duas matrizes por meio de 
seus determinantes? Explique. 
Atividade 2
Matrizes e sistemas de equações lineares 25
B
b
bm
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
 → é a matriz dos termos independentes;
de maneira que podemos escrever a equação matricial para o Sistema 
(1) como:
AX = B
Uma matriz associada ao Sistema (1) é denominada matriz ampliada 
quando podemos representá-la na forma:
a a b
a a b
n
m mn m
11 1 1
1
�
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
É comum usarmos as matrizes ampliadas para solucionar os siste-
mas de equações lineares associados. Um dos métodos que pode ser 
aplicado, nesse caso, é o método da eliminação gaussiana, mas existem 
outras formas de encontrarmos soluções para sistemas de equações 
lineares. Veremos mais adiante alguns desses casos.
1.5.1 Solução para um sistema de equações lineares
Uma das formas mais rápidas de se encontrar um conjunto solu-
ção para um sistema de equações lineares é por meiodo chamado 
escalonamento da matriz ampliada – método de eliminação de Gauss 
(KOLMANN; HILL, 2013).
Uma matriz é denominada escalonada quando o número de zeros 
ao lado esquerdo do primeiro elemento não nulo da linha aumenta a 
cada linha.
1 2 0 1
0 2 0 1
0 0 1 0
0 0 0 3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
No caso de ter esgotado o número de colunas, isto é, quando uma 
linha se tornar nula, todas as linhas seguintes devem ser linhas nulas.
Para obter uma matriz escalonada a partir de uma matriz ampliada 
do sistema de equações lineares, utilizam-se operações elementares 
vistas na subseção que trata da triangularização de matrizes. Assim, o 
processo de escalonar é muito parecido ao processo de triangularizar.
26 Álgebra Linear
As operações realizadas em uma matriz ampliada resultam em uma 
matriz equivalente.
Definição 4
Dois sistemas que possuem matrizes ampliadas equivalentes têm o mesmo conjunto 
solução. Dessa forma, podemos dizer que: “desde que os sistemas possuam matri-
zes ampliadas equivalentes, estes podem ser denominados Sistemas Equivalentes” 
(LEON, 2019, p. 4, grifo nosso).
Apresentaremos três exemplos, que posteriormente serão usa-
dos para exemplificar os tipos de solução possíveis em um sistema de 
equações lineares. Vamos utilizar uma calculadora on-line para resolver 
o escalonamento.
Exemplo 14
x x
x x
1 2
1 2
2
3 2 3
� �
� �
�
�
�
��
1 1 2
3 2 3
1 1 2
0 –1 –3
x (–3)
L2 – 3 x L1 → L2
~( ( ((
Exemplo 15
x x
x x
1 2
1 2
2 3
3 6 9
� �
� �
�
�
�
��
1 2 3
3 6 9
1 2 3
0 0 0
x (–3)
L2 – 3 x L1 → L2
~( ( ((
Exemplo 16
x x
x x
1 2
1 2
2 3
3 6 3
� �
� �
�
�
�
��
1 2 3
3 6 3 x (–3)
L2 – 3 x L1 → L2
~( ( ((1 2 30 0 –6
Matrizes e sistemas de equações lineares 27
Mediante o processo de escalonamento da matriz ampliada, o sis-
tema de equações lineares pode ser resolvido por meio de substitui-
ções regressivas.
Observe o sistema de equações do Exemplo 14. Se as matrizes am-
pliadas são equivalentes, temos que a solução do sistema gerado pela 
matriz escalonada é equivalente à solução do sistema original. Assim, 
podemos escrever:
x x
x
1 2
2
2
3
� �
� � �
�
�
�
��
Logo, x2 = 3 e x1 = –1.
Observando graficamente essas duas retas que formam o nosso sis-
tema de equações lineares, obtemos:
x x
x
1 2
2
2
3
� � �
� � �
�
�
�
Figura 4
Sistema de equações 
eq1: x + y = 2
eq2: –y = –3
+
eq2
eq1
7
5
6
4
3
1
0 1–1–3–5–7 –2–4–6–8 2 3
–1
Interseção
(–1,3)
Fonte: Elaborada pela autora.
Para obter esse gráfico, utilizamos o software GeoGebra on-line 1 .
Observamos que as retas formadas pela eq1 e eq2 se interceptam 
em um ponto que, não por acaso, é a nossa solução. Ou seja, a solução 
de um sistema de equações é justamente o ponto de intersecção das 
retas que formam esse sistema.
Mas o que ocorre nos exemplos seguintes? No Exemplo 15, após o 
escalonamento, podemos escrever o sistema de equações equivalente 
da seguinte maneira:
x x
x x1 2 1 2
2 3
0 0
2 3
� �
�
� � �
Disponível em: https://www.
geogebra.org/. Acesso em: 4 
maio 2020.
1
28 Álgebra Linear
Vamos observar o gráfico formado pelas retas da figura a seguir:
x x
x x
1 2
1 2
2 3
3 6 9
� �
� �
�
�
�
Figura 5
Sistema de equações 
eq1: x + 2y = 3
eq2: 3x + 6y = 9
+
eq2
eq1
10
10
12
14
16
6
6
8
8
4
4
2
20
-2
-2-4-6-8
Fonte: Elaborada pela autora.
Observamos que eq1 e eq2, presentes na Figura 5, sobrepõem-se, 
isto é, são retas coincidentes. Portanto, nesse caso, dizemos que temos 
infinitos pontos de intersecção, o que nos permite concluir que possuí-
mos infinitas soluções para o sistema de equações.
Vamos fazer o mesmo para o Exemplo 16. Primeiro, reescreveremos 
o sistema de equações equivalente escalonado, na seguinte forma:
x x
x x
1 2
1 2
2 3
0 0 6
� �
� � �
Figura 6
Sistema de equações x x
x x
1 2
1 2
2 3
3 6 3
� � �
� � �
�
�
�
eq1: x + 2y = 3
eq2: 3x + 6y = 3
+
0
eq2
eq1
2
2
4
4
6
6
8
8
10
10
12
12
14
14
16–4
–4
–2
–6
–8
–2–8 –6
Fonte: Elaborada pela autora.
Matrizes e sistemas de equações lineares 29
Já no sistema de equações da Figura 6, as equações eq1 e eq2 são pa-
ralelas, o que nos mostra que elas não possuem pontos de intersecção. 
Isso significa que o sistema de equações representado no Exemplo 16 não 
tem solução.
Assim, podemos dizer que existem três tipos de soluções possíveis 
para um sistema de equações lineares:
 • quando existe uma única solução, diz-se que o sistema é compa-
tível e determinado;
 • quando existem infinitas soluções, diz-se que o sistema é compa-
tível e indeterminado;
 • quando não existe solução, diz-se que o sistema é incompatível.
Com essas informações, temos as ferramentas necessárias para re-
solver e classificar sistemas de equações lineares. Mas essa não é a 
única forma, existem outras maneiras de se obter a solução e a classi-
ficação de um sistema de equações. Quando for oportuno, trabalha-
remos essas opções.
Um sistema de equações da 
forma
com a
11
, a
12
, a
13
, a
21
, a
22
, a
23
 ≠ 0 
possui duas equações e três 
incógnitas. Somente com essas 
informações, é possível saber se 
o sistema possui solução (única 
ou infinitas) ou não? Explique.
a x a x a x b
a x a x a x b
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
� � �
� � �
�
�
�
Atividade 3
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Chegamos ao fim deste capítulo, no qual foi possível rever alguns con-
ceitos vistos no ensino médio e fundamental, além de aprender algumas 
teorias ainda não trabalhadas na educação básica.
O conceito de matriz, assim como os sistemas de equações lineares, 
é peça fundamental para as próximas unidades. Dessa forma, caso você 
ainda tenha alguma dúvida sobre esse tema, sugerimos que releia este 
capítulo. Também recomendamos acesso aos links indicados como com-
plementação do conteúdo e a resolução do máximo de exercícios pos-
síveis sobre o tema. Acreditamos que o tripé teoria, prática e aplicação é 
necessário para a boa compreensão de qualquer conceito ou disciplina.
REFERÊNCIAS
BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1986.
BRASIL, R. M. L. R. F.; BALTHAZAR, J. M.; GÓIS, W. Métodos numéricos e computacionais na 
prática de engenharias e ciências. São Paulo: Blucher, 2015.
CALLIOLI, C. A.; DOMINGUES, H. H.; COSTA, R. C. F. Álgebra linear e aplicações. 6. ed. São 
Paulo: Atual, 2003.
KOLMAN, B.; HILL, D. R. Álgebra linear com aplicações. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013.
LEON, S. J. Álgebra linear com aplicações. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2019.
30 Álgebra Linear
GABARITO
1. Uma forma simples de apresentar a semelhança entre duas matrizes quadradas é 
mediante o determinante dessas matrizes.
Sabendo que a semelhança se verifica por meio da equação
A Q BQ� �1
Como Q é invertível, podemos escrever:
A Q BQ A Q BQ� � �� �1 1det det( )
det det det detA Q B Q� ��1
det ( / det )det detA Q B Q� �1
Logo:
det detA B=
O que mostra que a semelhança entre duas matrizes quadradas pode ser demonstra-
da com a verificação da igualdade entre seus determinantes.
2. A regra de Sarrus com a repetição das duas primeiras linhas é um processo de cálculo 
muito comum. Na verdade, fica a seu cargo montar o esquema com linhas ou colunas.
Para o caso da repetição das duas primeiras linhas, podemos nos basear na seguinte 
figura:
Cm
gl
ee
/W
ik
im
ed
ia
 C
om
m
on
s
3. Apenas com a informação do número de equações e incógnitas não é possível deter-
minar se existe ou não solução, pois poderíamos ter dois casos distintos:
• infinitas soluções (compatível e indeterminado), com a a a a a a11 12 13 21 22 23 0,� ,� , , , ≠ , 
sendo que precisaríamos traçar uma relação de dependência com alguma das 
três variáveis.
• sem solução (incompatível): um sistema de equações com retas paralelas.
Podemos exemplificar com o seguinte sistema de equações lineares.
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
2
2 3 4
� � �
� � �
�
�
�
��
Nesse caso, após escalonado, obtemos: 
1 1 1 2
2 31 4
2 2
1 1 1 2
0 1 1 02 1 2
1 2 3
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
� �
��
�
�
�
�
�
� �
� � �
x L x L L
x x x
( )
22
0
2
2 3x x� �
�
�
�
��
( )
Matrizes e sistemas de equações lineares 31
• Da Equação 2 do Sistema (2), obtemos a variável x2: x x2 3� �
• Da Equação 1 do Sistema (2), obtemos a variável x1:
x x x x x x1 2 3 3 3 32 2 2 2� � � � � �� � � � �� �
A resposta seria:
x x
x x
x x
1 3
2 3
3 3
2 2� �
� �
�
�
A solução geral: X = 
2 2 3
3
3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�x
x
x
Com isso, obtemos um sistema com infinitas soluções que dependem de X3. Um exem-
plo de um sistema nesse formato que não possui solução pode ser escrito como:
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
2
2 2 2 5
� � �
� � �
�
�
�
��
32 Álgebra Linear
2
Espaços vetoriais
Neste capítulo, trataremos de uma estrutura fundamental na 
álgebra linear: espaços vetoriais. Como o próprio nome já diz, traba-
lharemos com conjuntos de “vetores”, com propriedades predefini-
das de soma entre seus elementos e multiplicação por um escalar.
O termo vetores aparece entre aspas porque não fazemos refe-
rência apenas às estruturas representadas por segmentos de reta 
orientados, com direção, sentido e módulo; trataremos como ve-
tores todas as possíveis estruturas de um espaço que possuam as 
propriedades que o delimitam, por exemplo, funções, matrizes e ou-
tras estruturas. É importante que esses conceitos sejam conhecidos 
para que possamos ampliar nosso repertório sobre o tema.
Podemos imaginar que cada pessoa tem uma caixa de ferra-
mentas cheia de conceitos matemáticos, e quanto mais ferramen-
tas diferentes tiver e melhor souber usá-las, mais rapidamente 
poderá solucionar determinado problema. O objetivo é ampliar 
nosso ferramental, portanto, neste capítulo, vamos entender a ál-
gebra dos espaços vetoriais.
2.1 Definição de espaços vetoriais 
Videoaula É muito interessante a maneira como Lay (2013, p. 192, grifo nosso) 
inicia seu capítulo sobre espaços vetoriais:
Uma nave espacial possui sistemas de controle sensíveis e ab-
solutamente críticos. Pensando nessa nave como uma célula 
instável, concluímos que ela precisará de um monitoramento com-
putacional constante durante o seu voo atmosférico. O papel 
do sistema de controle de voo é o de enviar um fluxo de coman-
dos para controlar superfícies aerodinâmicas e pequenos jatos 
de propulsão.
Matematicamente, “os sinais que entram” e “os que saem” de um 
Espaços vetoriais 33
sistema são funções. É importante, nas aplicações, que estas fun-
ções possam ser somadas e multiplicadas por um escalar. Estas 
duas operações realizadas em funções possuem propriedades 
algébricas que são análogas às operações de soma de vetores 
e multiplicação de vetor por um escalar em ℝ3. Por esta razão, o 
conjunto de todos os possíveis “sinais que entram” (funções) é 
chamado espaço vetorial.
Esse é um pequeno exemplo de aplicação na engenharia, entre tan-
tos outros que podemos citar.
Este capítulo discorrerá sobre os espaços vetoriais e suas proprie-
dades, mas não podemos falar desses espaços antes de relembrarmos, 
ao menos brevemente, o que são vetores. A definição de vetor é sim-
ples e precisa.
Definição 1
Vetor é um segmento de reta com módulo, direção e sentido.
Fisicamente, podemos pensar em vetor por meio de quantidades, 
por exemplo, de força.
“Sejam dois vetores, F1 e F2, chamamos de força resultante a soma 
de F1 com F2 e denotamos por R = F1 + F2” (HIBBELER, 2011, p. 13, grifos 
nossos).
Força
Atrito
Gravidade
Área de contato
Caixa
Superfície
Figura 1
Força de atrito
De
si
gn
ua
/S
hu
tte
rs
to
ck
34 Álgebra Linear
A força é uma grandeza vetorial, de modo que podemos somá-la e 
multiplicá-la por um escalar, mantendo-a no mesmo espaço de vetores.
Uma importante observação é que vetores não precisam ser repre-
sentados, em todos os casos, por meio de flechas, como exemplificamos 
na Figura 1. Eles são objetos matemáticos abstratos, com propriedades 
particulares, que, em alguns casos, podem ser visualizados por meio de 
flechas, mas é preciso cuidado, pois o sentido da flecha altera comple-
tamente sua interpretação.
Um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas 
operações:
 • Soma: V V Vx �
�
� �
 • Multiplicação por escalar: xV → V
Para qualquer u, v, w ∈ V e a, b ∈ ℝ , as propriedades a seguir preci-
sam ser satisfeitas.
Propriedades
 • (u + v) + w = u + (v + w) → associatividade
 • u + v = v + u → comutatividade
 • ∃!

0 ∈V tal que u u u� � � �
 
0 0 → elemento neutro da adição
 • ∃! – u ∈ V tal que u u� �� � �

0 → elemento inverso
 • a(u + v) = au + av → distributividade
 • (a + b)v = av + bv → distributividade
 • (ab)v = a(bv) → comutatividade do produto
 • 1u = u → elemento neutro da multiplicação
Quando temos, em vez de escalares reais, números reais comple-
xos, o espaço V é chamado de espaço vetorial complexo.
É comum que os elementos de um espaço vetorial sejam chamados 
de vetores, independentemente de sua natureza. Já os números reais 
que desempenham o seu papel na ação de multiplicar um vetor são 
chamados de escalares.
Talvez o espaço vetorial mais “importante” seja o ℝn, munido das 
oito propriedades supracitadas.
Para relembrar mais 
propriedades sobre ve-
tores, sugerimos o vídeo 
intitulado Introdução de 
vetores para álgebra linear, 
publicado pela Khan 
Academy. 
Disponível em: https://pt.khana-
cademy.org/math/linear-algebra/
vectors-and-spaces/vectors/v/
vector-introduction-linear-algebra. 
Acesso em: 4 maio 2020.
Vídeo
Espaços vetoriais 35
Exemplo 1
Seja V x x x xn� � �� � � { , , , | }1 2� n i e sejam três vetores 
desse espaço dados por u x x xn� �� �1 2, , ,� � , v y y yn� �� �1 2, , ,� e 
w z z zn� �� �1 2, , , . Sejam, ainda, a, b ∈ ℝ. Podemos rapidamente per-
ceber que:
 • Associativa da adição: (u + v) + w = ((x1,x2,…,xn) + (y1,y2,…,yn)) 
+ (z1,z2,…,zn) = (x1 + y1,x2 + y2,…,xn + yn) + (z1,z2,…,zn) = (x1+ y1+ z1, 
x2 + y2 + z2,…,xn + yn + zn) = (x1,x2,…,xn) + (y1 + z1,y2 + z2,…,yn + zn) = 
(x1, x2,…,xn) + ((y1,y2,…, yn) + (z1,z2,…,zn)) = u + (v + w).
 • Comutativa da adição: u + v = (x1,x2,…,xn) + (y1,y2,…,yn) = 
(x1 + y1,x2 + y2,…,xn + yn) = (y1 + x1,y2 + x2,…,yn + xn) = (y1,y2,…,yn) + (x1, 
x2,…,xn) = v + u.
 • Elemento neutro da adição: u + u u� �� � �

0 = (x1,x2,…,xn) + (0,0,…,0) = 
(0,0,…,0) + (x1,x2,…,xn) = u u� �� � �

0 + u = u.
 • Elemento inverso da adição: u + (–u) = (x1,x2,…,xn) + (–x1,–x2, 
…,–xn) = (x1 – x1,x2 – x2,…,xn – xn) = (0,0,…,0) = u u� �� � �

0.
 • Distributiva: a(u + v) = a((x1,x2,…,xn) + (y1,y2,…,yn)) = a(x1 + y1,x2 + 
y2,…,xn + yn) = (a(x1 + y1), a(x2 + y2),…,a(xn + yn)) = (ax1 + ay1,ax2 + ay2,
…,axn + ayn) = (ax1,ax2,…, axn) + (ay1,ay2,…,ayn) = au + av.
 • Comutativa do produto: a(b . u) = a(b(x1,x2,…,xn)) = a(bx1,bx2, 
…,bxn) = (abx1,abx2,…,abxn) = ab(x1,x2,…,xn) = (ab) . u.
 • Elemento neutro do produto: 1 . u = 1 . (x1,x2,…,xn) = (1x1,1x2,
…,1xn) = (x1,x2,…,xn) = u.
Exemplo 2
Seja x, y ∈ V e λ ∈ ℝ, em que a soma entre x e y é dada por xx y z x yz xyz xy z xy z x y z     � � � � � � � � � � � � � � �y = xy e 
o produto de x pelo escalar λ é dado por λ � ( )� � � �� � � � �� � � � � �x y xy xy x y x y x y� � � � � � � � � � � � � � � � � x = xλ, verifiquemos 
cada uma das oito propriedades:
 • Associativa da adição:
x y z x yz xyz xy z xy z x y z     � � � � � � � � � � � � � � � para 
quaisquer x, y, z ∈ V.
 • Comutativa da adição: x y xy yx y x = = = para quais-
quer x, y ∈ V.
 • Elemento neutro da adição: se x ∈ V, como 1∈ V, temos 
1x y xy yx y x = = = = 1x = x.
� ( )� � � �� � � � �� � � � � �x y xy xy x y x y x y� � � � � � � � � � � � � � � � � é um símbolo matemático 
utilizado para indicar produto 
não usual.
x y z x yz xyz xy z xy z x y z     � � � � � � � � � � � � � � � é um símbolo matemático 
utilizado para indicar soma não 
usual.
Atenção
(Continua)
36 Álgebra Linear
 • Elemento inverso da adição: se x ∈ V, então x-1 ∈ V. Assim, 
x � � � �� � � � � ���� � � � � � � � ��� � � � �x x x x x x x x x-1 = x.x-1 = 1.
 • Distributiva:
� ( )� � � �� � � � �� � � � � �x y xy xy x y x y x y� � � � � � � � � � � � � � � � � 
para quaisquer x, y ∈ V e λ ∈ ℝ.
 • Distributiva: 
� � � �� � � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � �x x x x x x x x para 
quaisquer x ∈ V e λ, µ ∈ ℝ.
 • Comutativa do produto:
 � � � ��� � � �� ��   x x x x x x� � � � � � � � �( ) para quais-
quer x ∈ V e λ, µ ∈ ℝ.
 • Elemento neutro do produto: 1� ( )� � � �� � � � �� � � � � �x y xy xy x y x y x y� � � � � � � � � � � � � � � � � x = x1 = x para qualquer x∈V.
Assim, para trabalhar com um espaço vetorial, precisamos verificar 
se as oito propriedades enunciadas são satisfeitas.
Atividade 1
Vimos que um espaço vetorial é assim denominado quando trabalhamos com objetos matemáticos, que não 
necessariamente serão vetores, mas que devem respeitar as oito propriedades enunciadas. Tais objetos podem 
ser funções, polinômios, matrizes etc.
Se V = M
2
, com A
a a
a a
�
�
�
�
�
�
�
11 12
21 22
, B
b b
b b
�
�
�
�
�
�
�
11 12
21 22
, C
c c
c c
�
�
�
�
�
�
�
11 12
21 22
 elementos de M
2
, e sejam α, β ∈ ℝ, a 
soma entre dois elementos desse conjunto é dada por
A B
a b
a b
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
12 21
22 22
0
0
e o produto é usual.
Analise se V = M
2 
 é um espaço vetorial e justifique sua resposta.
2.2 Subespaços vetoriais 
Videoaula Seja V um espaço vetorial, os subconjuntos de V, que respeitam as 
oito propriedades para um espaço vetorial, serão chamados de subes-
paços de V e denotados por W ⊆ V.
Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W não vazio será um 
subespaço vetorial de V se:
Espaços vetoriais 37
 • para quaisquer u, v ∈ W, tivermos u + v ∈ W;
 • para quaisquer λ ∈ ℝ, u ∈ W, tivermos λ . u ∈ W.
 •u u� �� � �

0 ∈ W.
Ao escrevermos que W ⊆ V, estamos admitindo que W = V. Nesse 
caso, temos um espaço dito trivial ou impróprio. Temos outro espaço 
trivial presente como subconjunto de V, que é o espaço vetorial que 
contém apenas o vetor nulo. Dessa forma, dizemos que um espaço ve-
torial admite dois espaços triviais:
 • W = V
 • W = { u u� �� � �

0 }
Analisando v = ℝ2, temos que os subespaços triviais são {(0,0)} e ℝ2. 
Os demais, que, nesse caso, são as retas que passam pela origem, são 
chamados de subespaços próprios.
Exemplo 3
Seja o espaço vetorial dado por V = ℝ2 e seja a reta dada por 
W1 = {y = 3x} em ℝ
2, verifique se W1 ⊂ V é subespaço de V.
Solução:
Precisamos verificar três condições:
 • se para quaisquer u, v ∈ W1, temos u + v ∈ W1;
 • se para quaisquer λ ∈ ℝ, u ∈ W1, temos λ . u ∈ W1;
 • se u u� �� � �

0 ∈ W1.
 • Se (x1, y1) pertence à reta y1 = 3x1, precisamos verificar se 
x x y y1 2 1 2� �� �, também pertence, logo:
y y x x x x1 2 1 2 1 23 3 3� � � � �� �
 • Se (x, y) pertence à reta y = 3x, precisamos verificar se λx tam-
bém pertence, assim:
y x x� � � �� �3 3
 • (0, 0) ∈ W1, pois é fácil verificar que esse par ordenado satisfaz 
0 = 3.0.
Portanto, W1 é subespaço vetorial de V.
38 Álgebra Linear
Figura 2a
Reta y = 3x e y = 3ax para a ∈ ℝ 
f: y = 3x
a = –2
–5
g (x) = 3ax
→ 3 (–2)x
A = Ponto(f)
→ (1, 3)
B = Ponto(g)
→ (1, 6)
+
5
-2
-2
-3
-4
-1 0
-1
1 3
3
2
2
4
4
5
5
f: y = 3x
A
B
1
Figura 2b
Subespaço y = 3x
1 2 3 4 5 x
y
f (x) = 3x
h(x) = 3(x1 + x2)
g(x) = 3.λx
1
2
3
4
6
g
Fonte: Elaboradas pela autora. 
Observando as imagens, percebemos que, se em g (x) adotarmos λ = 1, 
obteremos g (x) = f (x). Para a reta h (x), se adotarmos x1 + x2 = 1, sendo, por 
exemplo, x1 = 0,3 e x2 = 0,7 (infinitas combinações), obteremos h (x) = f (x).
Exemplo 4
Vamos considerar um sistema linear homogêneo da forma 
(BOLDRINI et al., 1986): 5 4 0
0
3 0
x y z
x y z
x y z
� � �
� � � �
� � �
�
�
�
�
�
Colocando em forma matricial, obtemos:
5 4 1
1 1 1
1 3 1
0
0
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
x
y
z
Procuramos, dentro do espaço vetorial M3x1, espaço das 
matrizes-coluna de três linhas, aqueles vetores que satisfazem a 
Relação (1), ou seja, os vetores-solução do sistema. Precisamos ve-
rificar se o conjunto dos vetores-solução é um subespaço de M3x1. A 
abordagem continua sendo a mesma:
 • Tomaremos dois vetores pertencentes ao conjunto de veto-
res-solução e verificaremos se a soma entre eles continua 
pertencendo ao conjunto de vetores-solução.
(Continua)
Espaços vetoriais 39
 • Após essa etapa, verificaremos se a multiplicação de um ve-
tor-solução por um escalar continua fazendo parte do con-
junto de vetores-solução.
 • Por fim, analisaremos se o vetor nulo faz parte do conjunto 
de vetores-solução. Se as três condições forem verificadas, 
podemos dizer que o conjunto de vetores-solução é um su-
bespaço de M3x1.
Sejam 
x
y
z
1
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 e 
x
y
z
2
2
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
 dois vetores-solução e seja λ ∈ ℝ. Então:
5 4 1
1 1 1
1 3 1
1
1
1
2
2
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
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�
�
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�
�
�
�
�
�
x
y
z
x
y
z
��
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
5 4 1
1 1 1
1 3 1
5 4 1
1 1 1
1 3
1
1
1
x
y
z 11
0
0
0
0
0
0
2
2
2
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
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�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
x
y
z
00
0
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Portanto, a soma é solução.
5 4 1
1 1 1
1 3 1
5 4 1
1 1
1
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �k
x
y
z
k 11
1 3 1
0
0
0
1
1
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
x
y
z
k ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0
0
0
Logo, o produto de uma constante por uma solução ainda é uma 
solução.
O vetor nulo sempre será solução, pois todo sistema de equações 
lineares homogêneo admite solução trivial (0, 0, 0).
Geometricamente, conseguimos analisar esse conjunto por meio da 
intersecção dos três planos dados por 5 4 1 0x y z� � � , � � � �x y z 0 e 
x y z� � �3 0 .
Figura 3
Intersecção entre os planos 5x + 4y + z = 0; –x + y + z = 0; e x + 3y – z = 0
eq1: 5x + 4y + z = 0
eq2: –x + y + z = 0
eq3: x + 3y – z = 0
+
Fonte: Elaborada pela autora.
eq1
eq2
eq3
–0,5
–0
,5
–1 –1
,5
–2 –2
,5
–1
–1,5
0,5
1,5
2,5
3,5
4,55
1
2
3
4
1,5
2,5
1
0,5
–0,5
–1,5
–1
2
–2,5
–3,5
–4,5
–5,5
–2
–3
–4
–5
40 Álgebra Linear
Com as oito propriedades de espaço vetorial e as três verificações 
necessárias para identificarmos um subespaço vetorial, é possível ana-
lisar diversas aplicações, entre elas as que exemplificamos.
2.2.1 Intersecção de subespaços
Analisar se existe uma intersecção entre subespaços é similar a ana-
lisar a intersecção entre conjuntos. Sendo assim, precisamos verificar 
se existem elementos em comum entre ambos.
Seja V um espaço vetorial e W um subconjunto de V, vimos que é 
necessário demonstrar três condições fundamentais para que W seja 
considerado um subespaço de V:
 • se para quaisquer u, v ∈ W, temos u + v ∈ W;
 • se para quaisquer λ ∈ ℝ, u ∈ W, temos λ . u ∈ W;
 • se 

0 ∈W .
Portanto, um subespaço sempre conterá o vetor nulo. Dessa forma, 
se queremos demonstrar que a intersecção entre dois subespaços, U 
e W (de V), continua sendo um subespaço de V, a primeira coisa que 
precisa ser verificada é se ele contém o vetor nulo. Caso isso não se 
verifique, não há necessidade de seguir o processo, pois podemos 
concluir que a intersecção não é um subespaço de V. Vamos enunciar 
o teorema e apresentar uma demonstração para tal.
Teorema 1
Dados U e W subespaços de um espaço vetorial V, a intersecção U ∩ W 
ainda é um subespaço de V.
Demonstração
Inicialmente, observamos que U ∩ W nunca é vazio, pois tanto U 
quanto W contêm o vetor nulo de V. Verificamos, então, as condições 
de existência de um subespaço vetorial:
 • Dados x, y ∈ U, então é lógico que x, y ∈ U e x, y ∈ W. Assim,como 
U e W são subespaços de V, podemos escrever que x + y ∈ U e x + 
y ∈ W. Portanto, x + y ∈ U ∩ W.
 • Dados k ∈ ℝ e x ∈ U ∩ W, então, pela mesma ideia da primeira 
propriedade, podemos escrever que x ∈ U e x ∈ W e, ainda, que kx 
∈ U e kx∈ W, logo kx∈ U ∩ W.
∴ U ∩ W é subespaço vetorial de V. ■
∴ é um símbolo matemático 
para indicar uma conclusão ób-
via. Pode ser lido como portanto, 
logo ou em conclusão.
■ é um símbolo matemá-
tico para indicar que uma 
demonstração foi finalizada. 
Pode ser lido como quod erat 
demonstrandum (como se queria 
demonstrar).
Atenção
Espaços vetoriais 41
Exemplo 5
Vamos supor dois subespaços V = ℝ3 dados por 
U x y z x� � �� �� �, , ;3 0 e W x y z z� � �� �� �, , ; .3 0
Antes de analisarmos se a intersecção U ∩ W é um subespaço 
vetorial de V, vamos entender quem são U e W. Assim, temos as 
seguintes figuras representando geometricamente U e W.
Figura 4b
Representação geométrica do subespaço W
0
0,5
1
2
2
–2
–2,5
1,5
z = 0 4,5
–4,5 –5
–5,5
5
2,5
Figura 4a
Representação geométrica do subespaço U
2,5
1,5
0,5
–0,
5
–1
–1,
5
–2
–3
–4
–5
–2,
5
–3,
5
–4,
5
–5,
5
1,5
2
1
2,5
2
3
1
4
5
3,5
4,5
Fonte: Elaboradas pela autora.
É fácil imaginar que U ∩ W terá uma reta em sua intersecção. 
Mas qual reta é essa? É exatamente o eixo das ordenadas, isto é, o 
eixo y, como podemos visualizar na figura a seguir.
Figura 5
Intersecção entre subespaços
0,52
–5
–2
–2,5
–5,5
4,5
51
1,5
2
2,5
Fonte: Elaborada pela autora.
(Continua)
42 Álgebra Linear
Portanto, a intersecção entre U ∩ W é um subespaço vetorial 
V = ℝ3, sendo que U ∩ W = eixo das ordenadas y.
Teorema 2
Se W1, W2, ..., Wr forem subespaços de um espaço vetorial, então 
a intersecção desses subespaços também será um subespaço de V 
(ANTON; BUSBY, 2006).
Demonstração
Seja W a intersecção dos subespaços W1, W2, ..., Wr. Como todos 
esses subespaços contêm o vetor nulo de V, a intersecção entre eles, 
W W Wr1 2� ��� , também contém o vetor nulo de V. Resta-nos ainda 
mostrar que as propriedades de adição e multiplicação por escalar 
são válidas para W, ou seja, W é fechado na adição e multiplicação por 
escalar.
Sejam u e v vetores de W. Como u + v está presente em todos os su-
bespaços W1, ..., Wr, então podemos dizer que u + v está na intersecção 
desses subespaços, logo W é fechado para a adição.
O mesmo se dá para a multiplicação por escalar. Como W é a inter-
secção entre W1, ..., Wr e au está em cada um desses subespaços de V, 
então au pertence a W1 ∩ ... ∩ Wr, portanto W contém au. Logo, W = W1 
∩ ... ∩ Wr é um subespaço vetorial de V. ■
Dessa forma, finalizamos esta subseção com uma importante de-
monstração sobre a teoria de subespaços vetoriais.
2.2.2 Soma de subespaços
A soma de subespaços também pode nos levar a importantes re-
sultados algébricos e geométricos. Vamos definir o conceito de soma, 
para que, na sequência, possamos pensar nessa soma como subespa-
ço vetorial de um espaço vetorial maior.
Definição 2
Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V, definimos a soma de U e W como:
U + W = {u + w, u ∈ U e w ∈ W}
Segue de imediato a definição de que as propriedades de comutatividade e exis-
tência de um elemento neutro para a soma são válidas. Assim, dizemos que 
U + V = V + U e que U + u u� �� ��

0 = U.
Espaços vetoriais 43
Teorema 3
Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V, então o conjunto 
U + W é subespaço de V. Além disso, U ∪ W ⊂ U + W.
Demonstração
Primeiramente, verifiquemos que U + W é subespaço vetorial de V.
 • Como u u� �� � �

0 ∈ U e u u� �� � �

0 ∈ W, então u u� �� � �

0 ∈ U + W.
 • Sejam x1, x2, ∈ U + W, então xj = uj + wj, com uj ∈ U e wj ∈ W, j = 1,2.
Agora, se λ ∈ ℝ2, então 
x x u w u w u u w w U W1 2 1 1 2 2 1 2 1 2� � � � �� � � �� � � �� �� �� � � � , pois U,W 
são subespaços vetoriais de V.
Mostremos agora que U ∪ W ⊂ U + W. Seja v ∈ U ∪ W. Se v ∈ U, 
então v v U W� � � �

0 . Se v ∈ W, então v v U W� � � �

0 . Ou seja, 
 U W U W� � � . ■
Observação 1
Ainda usando a notação anterior, suponha que V’ seja subespaço de 
V, que contém U e W. Nesse caso, para todo u ∈ U ⊂ V’ e todo w ∈ W ⊂ V’, 
temos que u + w ∈ V’, ou seja, U + W ⊂ V’.
Proposição 1
Sejam U e W dois subespaços de V, em que U + W ∈ V. Podemos dizer 
que U + W é o menor subespaço vetorial de V que contém a intersecção 
entre U e W. Ou seja, se V’ é subespaço vetorial de V contendo U ∪ W, 
então U ∪ W ⊂ U + W ⊂ V’.
Partindo dessa proposição, podemos definir:
Definição 3
Seja V um espaço vetorial e U e W dois subespaços de V, temos que U + W é a soma 
direta de U e W se U ∪ W = {u u� �� ��

0 }. A notação para soma direta é dada por U ⊕ W 
representando U + W.
Teorema 4
Sejam U e W subespaços vetoriais de um espaço vetorial V, temos 
V = U ⊕ W se, e somente se, para cada v ∈ V existir um único u ∈ U e um 
único w ∈ W satisfazendo v = u + w.
44 Álgebra Linear
Demonstração
Suponha que V U W� � , isto é, V U W� � e U W� � � �0 . Então, dado 
v ∈ V, existem u ∈ U e w ∈ W satisfazendo v = u + w. Queremos mostrar 
que tal decomposição é única.
Suponha que existem u’ ∈ U e w’ ∈ W, tal que v = u’ + w’. Então, 
u + w = u’ + w’, o que implica em u – u’ = w' – w. Mas u – u’ ∈ U e w' – w ∈ W, 
portanto u u w w U W� � � � � � � �' ' 0 , ou seja, u = u’ e w' = w.
Suponha agora que para cada v ∈ V exista um único u ∈ U e um úni-
co w ∈ W satisfazendo v = u + w. É claro que V = U + W. Resta mostrar que 
U ∩ W =U W� � � �0 . Obviamente, 0� �U W . Seja v ∈ U ∩ W, isto é, v ∈ U e v ∈ W, 
então existe um único u ∈ U e um único w ∈ W satisfazendo v = u + w. 
Observe que v = u + w = (u + v) – (w – v) com u + v ∈ U e w – v ∈ W. Pela 
unicidade da decomposição, devemos ter u = u + v e w = w – v, isto é, v = 

0� �U W. 
Logo, U ∩ W = U W� � � �0 . ■
Exemplo 6
Seja o espaço vetorial V = ℝ3 e os subespaços de ℝ3 dados por
U x y z x y� � �� � �� �, , ;3 0 e W x y z x y z� � �� � � �� �, , ;3 0 , 
queremos mostrar que V é soma direta de U e W (ZANI, 2010).
Solução:
Podemos escrever como
W x y z z x y� � �� �� �� �, , ; �3
Logo, dado (x, y, z) ∈ ℝ3, temos:
x y z z x y x y x y
U U
, , , , , ,� � � � �� � � � �� �
� �
0 0
� ��� ��� � ��� ���
 
E como
0 0, , � � � � ,� ,� � � �� � � � � � z x y U e x y x y W� �� � � � �� � � ,
obtemos3 � �U W .
Por fim, precisamos mostrar que essa soma é direta: U ∩ W = U W� � � �0 .
Assim, seja x y z U W,� ,� � � �� � � � , 
Se (x, y, z) ∈ U, devemos ter x = y = 0.
Se (x, y, z) ∈ W, devemos ter x + y + z = 0.
(Continua)
Espaços vetoriais 45
Portanto, temos que encontrar todas as soluções do sistema de 
equações lineares dado por:
x
y
x y z
�
�
� � �
�
�
�
�
�
0
0
0
�, ou seja, (x, y, z) = (0, 0, 0) = u u� �� � �

0 .
Logo, U W� � � �0 . Com isso, temos U W V� � � 3 .
2.3 Combinação linear
Videoaula Uma combinação linear entre vetores pode ser uma ferramenta útil 
quando precisamos decompor um vetor em diferentes direções. 
Vamos entender.
Definição 4 
Sejam v
1
, ..., v
n
 elementos de um espaço vetorial V, dizemos que v é uma combina-
ção linear de v
1
, ..., v
n 
se existirem números reais a
1
, ..., a
n
, tais que:
v = α
1
 v
1 
+ ... + α
n
 v
n
(1)
Sejam V um espaço vetorial e U ⊂ V um subespaço vetorial, se u
1
, ..., u
n
 ∈ U e 
α
1
, …, α
n
∈ ℝ, então a combinação linear
u u un n � �� �1 1 
pertence a V.
Exemplo 7
Em P2, o polinômio p(x) = 2 + x
2 é uma combinação linear 
dos polinômios p1(x) = 1, p2(x) = x e p3(x) = x
2. Basta ver que 
p x p x p x p x� � � � � � � � � � �2 01 2 3 .
Exemplo 8
Seja V = ℝ2, temos que o elemento v = (–5,3) ∈ V é uma combinação 
linear dos elementos v1 = (1,0) e v2 = (0,1), pois é possível escrever:
�� � � � � � � � � � � �5 3 5 1 0 3 0 1 5 31 2, � , , � v v .
Geometricamente, o que estamos dizendo é que existem esca-
lares a1 = –5 e a2 = 3, tais que v v v� �� �1 1 2 2 .
46 Álgebra Linear
Figura 6
Combinação linear entre v1 e v2
y
x
v1 = (1,0)v2 = (0,1)
– 5v1
3v2
Fonte: Elaborada pela autora.
As combinações lineares serão necessárias para entendermos con-
ceitos como base e dimensão de espaços vetoriais, conforme veremos 
na sequência.
2.4 Dependência e independência linear 
Videoaula Vamos imaginar a seguinte situação: temos um vetor u, escrito 
como u a v a v a v� � �1 1 2 2 3 3 e u ∈ ℝ2, ou seja, u é uma combinação linear 
entre os vetores v1, v2 e v3, com vi = (xi , yi). Mas queremos saber quais 
desses três vetores são fundamentais para gerar u, isto é, quais desses 
vetores são linearmente independentes, de modo que geram u, sem 
a necessidade de nenhum outro vetor, e não se sobrepõem. Essa é a 
pergunta que responderemos nesta seção.
Definição 5
Uma sequência de vetores v
1
, ..., v
n
 de um espaço vetorial V é linearmente 
independente (L.I.) se
� �1 1 0v vn n� � ��
�
.
E isso só é verdade se � �1 0� � � n .
Definição 6
Seja um espaço vetorial V e uma sequência de vetores v
1
, ..., v
n
 de V, dizemos 
que essa sequência é linearmente dependente (L.D.) se não for linearmente 
independente.
Espaços vetoriais 47
De acordo com Leon (2019), a definição de dependência linear para 
a sequência v1, ..., vn equivale a dizer que é possível encontrar números 
reais a1, ..., an, não todos nulos, tais que � �1 1 0v vn n� � � .
Exemplo 9
O conjunto unitário {u u� �� � �

0} é linearmente dependente. Logo, qual-
quer n-upla que contenha o vetor nulo também é L.D.
Se dispusermos os vetores que desejamos analisar em uma ma-
triz quadrada A (quando possível) e calcularmos seu determinante, 
podemos ter dois tipos de solução:
 • det A = 0 vetores L.D.
 • det A ≠ 0 vetores L.I.
Exemplo 10
Sejam os vetores u = (1,2,3), v = (3,–1,6) e w = (4,2,1), queremos 
classificar os três vetores em L.I. ou L.D. Assim, fazemos:
A � �
1 2 3
3 1 6
4 2 1
Reduzindo a matriz à forma escada (escalonada), obtemos:
A � � �
�
� � �� � � ��
�
�
�
�
� �
1 2 3
0 7 3
0 0 59
7
1 7 59
7
59
Logo, os vetores u, v e w são linearmente independentes.
Teorema 5
{v1, ..., vn} é L.D. se, e somente se, um desses vetores for combinação 
linear dos outros.
Demonstração
Sejam v1, ..., vn L.D. e
� � �1 1 0v v vj j n n� � � � �  .
Segundo a definição dada, um dos coeficientes deve ser diferente 
de zero. Suponhamos que aj ≠ 0. 
48 Álgebra Linear
Então, v v v v vj
j
j j j j n n� � ��� � ���� �� � � �1 1 1 1 1 1� � � � �
e, portanto,
v v vj
j
n
j
n� � � �
�
�
�
�
1
1  .
Logo, vj é uma combinação linear dos outros vetores.
Por outro lado, se tivermos v v vj n1, , , , , � � tal que, para algum j,
v v v v vj j j j j n n� � � � � �� � � �� � � �1 1 1 1 1 1  ,
temos
� �1 1 1 0v v vj n n� � � � � 
com βj = –1. Portanto, {v1, ..., vn} é L.D. ■
Algumas considerações importantes:
 • Em V = ℝ2, sempre que tivermos três vetores da forma u = (a, b), 
um deles será combinação linear dos outros dois.
 • Em V = ℝ3, sempre que tivermos quatro vetores da forma 
u = (a, b, c), um deles será combinação linear dos outros três.
Dessa forma, podemos identificar vetores que são combinação li-
near dos demais. Agora, precisamos identificar vetores que, além de 
serem linearmente independentes, geram um espaço vetorial deseja-
do. Vamos entender melhor esse conceito a seguir.
2.5 Base de um espaço vetorial
Videoaula Um conjunto de geradores para um espaço vetorial V é um conjunto 
S de vetores de V,S = {v1, ..., vk}, tal que qualquer vetor de V pode ser 
expresso como uma combinação linear (finita) dos vetores de S, isto é, 
v v vk k� � �� �1 1  , em que cada ai ∈ ℝ e cada vi ∈ S. Nesse caso, dize-
mos que S gera V e denotamos por V = [S].
Dizemos que o espaço vetorial V é finitamente gerado quando V é 
não nulo e existe um conjunto finito de vetores que gera V.
Espaços vetoriais 49
Definição 7
Dizemos que um conjunto S ⊂ V é uma base para o espaço V se:
• V = [S]
• S é L.I.
Exemplo 11
Um exemplo clássico de base são as bases canônicas para ℝ2 e ℝ3:
 • Para ℝ2, temos e1 = (1,0) e e2 = (0,1). 
Esses dois vetores geram qualquer outro vetor de ℝ2 e são L.I.
 • Para ℝ3, temos e1 = (1,0,0), e2= (0,1,0) e e3 = (0,0,1). 
Esses três vetores geram qualquer outro vetor de ℝ3 e são L.I.
Teorema 6
Sejam v1, ..., vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V, 
podemos extrair desses vetores uma base de V.
Demonstração
Se v1, ..., vn são L.I., então eles cumprem as condições para uma base, 
e não temos mais nada a fazer. Se v1, ..., vn são L.D., então existe uma 
combinação linear deles, com algum coeficiente não zero, dando o ve-
tor nulo.
� �1 1 0v vn n� � �
Seja, por exemplo, an ≠ 0, podemos escrever:
v v vn
n
n
n
n� � � �
�
�
�
�
�
�
1
1
1
1 .
Dessa forma, vn é uma combinação linear de v1, ..., vn–1, portanto 
v1, ..., vn–1 ainda gera V. Se v1, ..., vn–1 são L.I., então eles cumprem as 
condições para uma base. Se forem L.D., então existe uma combinação 
linear deles resultando no vetor nulo, com algum coeficiente diferen-
te de zero, portanto podemos extrair aquele vetor que corresponde a 
esse coeficiente. Seguindo dessa forma, após uma quantidade finita de 
passos, chegaremos a um subconjunto de {v1, ..., vn}, formado por r veto-
res, r < n, que ainda geram V, ou seja, formaremos uma base para V. ■
50 Álgebra Linear
Teorema 7
Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores 
v1, ..., vn, então qualquer conjunto com mais de n vetores é necessaria-
mente L.D.
Assim, temos que:
 • Em V = ℝ2, sempre que tivermos um conjunto com três ou mais 
vetores na forma u = (a, b), esse conjunto será linearmente 
dependente.
 • Em V = ℝ3, sempre que tivermos um conjunto com quatro ou mais 
vetores na forma u = (a, b, c), esse conjunto será linearmente 
dependente.
Assim, já temos algumas informações importantes: sabemos defi-
nir se os vetores são L.I. ou L.D., encontrar um espaço gerado por tais 
vetores e definir uma base para um espaço. Agora, precisamos juntar 
essas informações para definir a dimensão de um espaço vetorial. Esse 
é o assunto da nossa próxima subseção.
2.5.1 Dimensão de um espaço vetorial
Poderíamos prosseguir com este conteúdo na seção anterior, mas 
optamos por destacar o conceito de dimensão de um espaço vetorial. 
Assim, o corolário a seguir é uma extensão do Teorema 7.
Corolário 1
A dimensão de um espaço vetorial V é dada pelo número de ele-
mentos que compõe sua base, sendo que toda base de um espaço ve-
torial tem sempre o mesmo número de elementos.
Demonstração
Sejam {v1, ..., vn} e {w1, ..., wm} duas bases de V. Como [v1, ..., vn] = V e 
w1, ..., wm são L.I., pelo Teorema 6, m < n.
Por outro lado, como [w1, ..., wm] = V e v1, ..., vn são L.I., ainda pelo 
Teorema 6, n < m. Logo, m = n. ■
Teorema 8
Qualquer conjunto de vetores L.I. de um espaço vetorial V de dimen-
são finita pode ser completado de modo a formar uma base de V .
Espaços vetoriais 51
Demonstração
Sejam dimV = n e v1, ..., vr vetores L.I. (pelo Teorema 6 r < n). Se 
v v Vr1, ,�� �� � , então v vr1, ,� � forma uma base, e não temos mais 
nada a fazer (r = n).
Se existe v Vr� �1 tal que v v vr r� � �� ��1 1, , , isto é, vr + 1 não é uma 
combinação linear de v vr1, , , então v v vr r1 1, , , �� � é L.I.
Se v v v Vr r1 1, , , ��� �� � , então v v vr r1 1, , , �� � é a base procurada. Caso 
contrário, existe v v v vr r r� �� �� ��2 1 1, , , e, então, v v v vr r r1 1 2, , , , � �� � é L.I.
Como não podemos ter mais do que n vetores L.I. em V (pelo Teore-
ma 6), após um número finito de passos, teremos obtido uma base de 
V que contém os vetores dados. ■
Corolário 2
Se dimV = n, qualquer conjunto de n vetores L.I. formará uma base 
de V.
Teorema 9
Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão 
finita, então dimU < dimV e dimW < dimV. Além disso:
dim(U ∩ W) + dim(U + W) = dimU + dimW (2)
Demonstração
Todo subespaço de um espaço vetorial de dimensão finita também 
tem dimensão finita.
Sejam v1, ..., vm elementos de uma base de (U ∩ W), comoesses veto-
res são L.I. e pertencem a U, pelo Teorema 7, existem u1, ..., up ∈ U, tais 
que u u v vp m1 1, , , , ,  formam uma base de U.
Por outro lado, os vetores v1, ..., vm também pertencem a W e, pelo 
mesmo teorema, é possível encontrar w w Wq1, , , ∈ de modo que 
w w v vq m1 1, , , , ,  formem uma base de W.
Com a notação usada, temos dim U W m�� � � , dimU m p� � e 
dimW m q� � . Sendo assim, a fim de mostrarmos que a Equação 2 é 
válida, é necessário e suficiente mostrar que dim U W m p q�� � � � � . 
Para tanto, basta mostramos que os seguintes vetores formam uma 
base de (U + W).
u1, ..., up, w1, ..., wq, v1, ..., vmdim(U W) + dim(U + W) = dimU + dimW (3)
52 Álgebra Linear
Mostraremos, primeiramente, que eles geram (U + W).
Dado v ∈ (U + W), existem u ∈ U e w ∈ W, tais que v = u + w. Como u 
é uma combinação linear de u u v vp m1 1 , , , , e w é uma combinação 
linear de w w v vq m1 1, , , , ,  , segue que v = u + w é uma combinação 
linear de u u w w v vp q m1 1 1, , , , , , , ,   .
Portanto,
U W u u w w v vp q m� � ��
�
�1 1 1, , , , , , , , .  
Verifiquemos que os vetores de (3) são L.I.
Suponhamos que:
α1 u1 + ... + αp up + β1 w1 + ... + βq wq + γ1 v1 + ... + γm vm = 0 (4)
Ou seja,
U u u v v w w Wp p m m q q� � � � � �1 1 1 1 1 1� � � � � � � � � �  
Logo,
� � � � �� � � �� ��� �1 1 1w w U W v vq q m , ,
Consequentemente, existem γ1, ..., γm tais que
� � � � � �� � � �1 1 1 1w w v vq q m m 
Ou seja,
� � � �1 1 1 1 0w w v vq q m m� � � � � � 
Como w w v vq m1 1, , , , ,  são L.I., pois formam uma base de W, se-
gue-se que:
� � � �1 1 0� � � � � � m q
Assim, a Equação 4 se reduz a
� � � �1 1 1 1 0u u v vp p m m � � � �
E como u u v vp m1 1, , , , ,  são L.I., pois formam uma base de U, se-
gue-se que
� � � �1 1 0� � � � � � m p
Ou seja, os vetores de (3) são L.I. ■
Teorema 10
Dada uma base B v v vn� �� �1 2, , , ordenada de V, cada vetor de V é 
escrito de maneira única como combinação linear de v1, v2, ..., vn.
Espaços vetoriais 53
Demonstração
Temos que v ∈ V e v v vn n� ���� �1 1 , pois v v Vn1, ,��� �� � , e como 
v vn1, ,�� � é L.I., a1, ..., an são univocamente determinados. ■
Exemplo 12
Seja o conjunto W, gerado pelos vetores 
0 11 0 111 2 111 2, , , ,� , , , ,� , , ,� � � � � �� �� � , um conjunto do espaço vetorial 
V = ℝ4, queremos obter uma base para W.
Sabemos que uma base sempre é formada por vetores L.I., por-
tanto podemos escrever os três vetores em forma de matriz, sendo 
que cada um deles será um vetor linha dessa matriz.
Na sequência, escalonamos a matriz para conseguirmos visuali-
zar quais vetores são linearmente dependentes, caso existam.
0 1 1
1 1 1
1 1 1
0
2
2
1 0 0
0 1 1
0 0 0
2
0
0� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
���� ����~
Portanto, os vetores (1,0,0,2) e (0,1,1,0) geram o espaço W, e 
como eles são L.I., podemos dizer que formam uma base para W.
Ainda, conseguimos perceber que W ⊂ 4 , mas não gera ℝ4, 
pois W tem dimW = 2, enquanto dimℝ4 = 4.
Vistos esses conceitos, começaremos a trabalhar com mudanças de 
base e conceitos relacionados.
2.5.2 Mudança de base
Como é possível encontrar as coordenadas de um vetor em relação 
a uma base sabendo suas coordenadas em relação a outra base?
Na física, esse conceito é aplicado corriqueiramente, pois é comum 
encontrarmos, na estática, exemplos em que é mais simples escolher 
um novo referencial para descrever determinado movimento.
Dessa forma, vamos entender como trabalhar com essas mudanças 
de referencial, as quais, na álgebra linear, são chamadas de mudan-
ças de base.
Sugerimos que assista ao 
vídeo intitulado Combinações 
lineares, subespaços gerados, 
e bases, publicado pelo canal 
3Blue1Brown, o qual traz uma 
versão geométrica dos conceitos 
da álgebra que nos auxilia no 
entendimento do conteúdo 
deste capítulo. 
Disponível em: https://www.
youtube.com/watch?v=k7R-
M-ot2NWY. Acesso em: 4 maio 
2020.
Vídeo
54 Álgebra Linear
Seja V um espaço vetorial finitamente gerado e sejam B e C bases de 
V formadas pelos vetores b1, ..., bn e c1, ..., cn, respectivamente. Como B 
é uma base, existem aij ∈ ℝ, 1 < i e j < n, tais que:
c b b
c b b
n n
n n nn n
1 11 1 1
1 1
� � �
� � �
� �
� �
�
�
�
Assim, as coordenadas de c1, ..., cn em relação à base B são, 
respectivamente:
c c
B
n
nB
n
nn
1
11
1
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �, ,
As informações sobre as coordenadas dos vetores da base C em 
relação à base B podem ser organizadas em uma matriz, conforme ve-
mos a seguir:
MB
C
n
n nn
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
11 1
1
�
� � �
�
Temos que as colunas são formadas pelas coordenadas de c1, ..., cn 
em relação à base B. Essa matriz é chamada de matriz de mudança da 
base B para a base C.
Exemplo 13
Sejam as bases dadas por B � � � � �� �1 0 0 1, ,� , e C � � � � �� �11 0 1, ,� , , 
queremos encontrar MB
C , ou seja, a matriz de mudança de base.
Para isso, vamos escrever os elementos da base C como combi-
nação linear dos elementos da base B. Temos:
11 1 0 0 1
1
11 1
1
1
, , ,� � � � � � � � � �
�
�
�
�
��
x y
x
y
0 1 11 0 1
0
1
0
12 2
2
2 2
2
2
, , ,� � � � � � � � � �
� �
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
x y
x
x y
x
y
Assim,
11 1 1 0 1 0 1, , ,� � � � � � � �
0 1 0 1 0 1 0 1, , ,� � � � � � � �
(Continua)
Espaços vetoriais 55
Portanto, a matriz de mudança da base B para a base C é dada por:
MB
C �
�
�
�
�
�
�
1 0
1 1
A base B é a base canônica e pode ser vista na Figura 7a. Já a 
base C é uma base de 2, que pode ser vista na Figura 7b.
Figura 7a
Base B
Figura 7b
Base C
y
(0,1)
(1,0) x
(0,1)
y
x
(1,1)
Fonte: Elaboradas pela autora.
De acordo com Boldrini (1986), temos a proposição a seguir.
Proposição 2
Sejam duas bases de dimensão finita, de um espaço vetorial V, de-
notadas por B e C. Se vB e vC são coordenadas de um dado vetor v ∈ V 
em relação às bases B e C, respectivamente, e se MB
C é a matriz de mu-
dança da base B para a base C, então v M vB B
C
C= .
Vamos entendê-la.
Supondo que B e C são bases de um espaço vetorial V finito, que-
remos interpretar como as coordenadas de um vetor se relacionam 
em relação a B e C. Para isso, assumiremos os vetores b b Bn1, ,� �� e 
c c Cn1, ,� �� . Assim, dado um vetor v em V, temos que
v
x
x
v
y
y
B
n
C
n
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1
 �e�
são as coordenadas em relação às bases B e C, respectivamente. Sa-
bendo que a matriz de mudança da base B para a base C é dada por
56 Álgebra Linear
MB
C
ij� � �� , podemos escrever:
v x b y c y b
i
n
i i
j
n
j j
j
n
j
n
i
ij i
i
n n
j
� � �
�
�
��
�
�
�� � �
� � �
�
�
�� � � �1 1 1 1 1 1
� �iij j iy b
�
�
��
�
�
��
pois c bj i
n
ij i� �� 1 � , j = 1, ..., n. Como os vetores b1, ..., b2 são L.I., x yi
j
n
ij j�
�
�
1
�
e i = 1, ..., n.
Dessa forma, temos n equações que são escritas matricialmente 
na forma:
� �
� �
11 1
1
1 1�
� � �
�
� �
n
n nn n n
y
y
x
x
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
E de maneira simplificada:
v M vB B
C
C=
Exemplo 14
Sejam as bases dadas por B = {(1,0), (0,1)} e C = {(1,1), (0,1)}, va-
mos encontrar MC
B , ou seja, os elementos da base B escritos como 
combinação linear da base C. Dessa forma, fazemos:
1 0 11 0 1
1
0
1
11 1
1
1 1
1
1
, , ,
�� � � � � � � � �
�
� �
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
��
x y
x
x y
x
y
0 1 11 0 1
0
1
0
12 2
2
2 2
2
2
, , ,� � � � � � � � � �
� �
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
��
x y
x
x y
x
y
Portanto, as matrizes de mudança de base são: MC
B �
�
�
�
�
�
�
�
1 0
1 1
e 
MB
C �
�
�
�
�
�
�
1 0
1 1
, sendo que esta já foi calculada no exemplo anterior.
Queremos verificar as relações v M vB B
C
C= e v M vC C
B
B=  , portanto 
vamos usar as matrizes de mudança de base para encontrar:
 • vB para (–3,5)C
 • vC para (–3,2)B
(Continua)
Espaços vetoriais 57
Para a primeira,