Notas Cálculo 1

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Universidade Federal de Minas Gerais
Instituto de Ciências Exatas � ICEx
Departamento de Matemática
Notas de Aula:
Cálculo Diferencial e Integral 1
Prof. Ricardo H. C. Takahashi
Março de 2023
Conteúdo
Prólogo 5
1 O Sistema SageMath 6
1.1 Obtendo o SageMath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Primeiros passos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Versão on-line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Versão instalada localmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Entrada de comandos no SageMath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Algumas dicas úteis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Salvando grá�cos no SAGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Funções 12
2.1 Introdução: modelos com variáveis contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Funções reais de uma variável real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Domínio, contradomínio e imagem de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.1 Funções polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3.2 Funções racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.3 Função raiz de grau n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.4 Função xp com p negativo ou fracionário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.5 Funções algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.6 Função potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.7 Funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.8 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Funções inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.1 Funções logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4.2 Funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5 Transformações de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5.1 Identi�cando as transformações em uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.6 Funções implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 Limites e Continuidade 62
3.1 Limites para x �nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2 Continuidade de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2
CONTEÚDO 3
3.3 Limites in�nitos para x �nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Limites no in�nito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5 Propriedades de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.5.1 Casos especiais importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.6 Limites por confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.7 Calculando limites com o sistema Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.8 Teorema do valor intermediário e determinação de raízes de funções . . . . . . . . . . 80
3.9 Raízes de funções e resolução de equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.10 Interseção de grá�cos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4 Derivadas 90
4.1 Taxa de variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.1.1 Taxa de variação variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.2 Interpretação da taxa de variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1.3 Taxa de variação instantânea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.1 Função derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3 Derivadas de funções elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.3.1 Função constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.2 Função xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.3 Função xa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3.4 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.5 Função logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.3.6 Funções trigonométricas seno e cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.4 Propriedades de derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.4.1 Soma, subtração e multiplicação por constante . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.4.2 Multiplicação de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.4.3 Divisão de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.4.4 Funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.4.5 Casos mais complicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.5 Calculando derivadas com o sistema Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.6 Derivação implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.7 Retas tangentes a grá�cos de funções implícitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5 Aplicações de Derivadas 140
5.1 Limites indeterminados e o teorema de L'Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.1.1 Outras indeterminações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.2 Crescimento e decrescimento de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2.1 Crescimento e decrescimento de funções no Sage . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.3 Concavidade de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.4 Máximos e mínimos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.4.1 Máximos e mínimos globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.4.2 Determinação de máximos e mínimos com o Sage . . . . . . . . . . . . . . . . 161
CONTEÚDO 4
5.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6 Integrais Inde�nidas 165
6.1 Cálculo de integrais inde�nidas no Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.2 Integração por substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.2.1 Dedução da regra de integração por substituição . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.2.2 Procedimento passo-a-passo para integração por substituição . . . . . . . . . 172
6.2.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2.4 Exemplos no Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
6.3 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7 Integrais De�nidas 181
7.1 Teorema fundamental do cálculo e cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.2 Integral de�nida em geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.2.1 Cálculo de integraisde�nidas no Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7.3 Área sob o grá�co de funções - caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.4 Área entre grá�cos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.4.1 Área delimitada por grá�cos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.5 Volume de sólidos de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8 Técnicas de Integração 196
8.1 Integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.1.1 Dedução da regra de integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.1.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.2 Integração de funções racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.3 Integrais trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.4 Integrais impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
9 Equações Diferenciais 201
9.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.1.1 Exemplo de equação diferencial como modelo de um sistema real . . . . . . . 202
9.1.2 Por quê equações diferenciais são importantes? . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
9.1.3 Soluções numéricas de equações diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.2 Terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.3 Equações diferenciais separáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.3.1 Algumas equações diferenciais separáveis importantes . . . . . . . . . . . . . 209
9.4 Resolvendo equações diferenciais com o Sage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.4.1 Soluções analíticas de equações diferenciais no Sage . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.4.2 Soluções numéricas de equações diferenciais no Sage . . . . . . . . . . . . . . 221
Prólogo
Estas Notas de Aula constituem um primeiro rascunho de um material cujo objetivo é servir como
bibliogra�a complementar para a disciplina de Cálculo Diferencial 1. O estudante deve ser alertado
para o fato de que apenas uma parte do conteúdo programático dessa disciplina encontra-se neste
momento coberta. Assim, é importante que o estudante tenha acesso a livros-texto de Cálculo 1,
que irão permitir o estudo de todo o conteúdo previsto.
A concepção deste material leva em consideração a atual disponibilidade de pacotes computacio-
nais que permitem a execução automatizada de procedimentos de manipulação simbólica de funções
matemáticas, tendo sido desenvolvido utilizando o pacote SageMath, que é um software livre, que
pode ser obtido gratuitamente para ser instalado em qualquer computador. O primeiro capítulo
traz informações sobre a obtenção, a instalação e o uso desse pacote.
5
Capítulo 1
O Sistema SageMath
Estas Notas de Aula prevêem a utilização intensiva de computador como ferramenta para a auxiliar a
resolução de problemas relacionados com a temática do Cálculo Diferencial e Integral. Será utilizado
o pacote SageMath, que é um software livre que pode ser obtido gratuitamente para ser instalado
em qualquer computador. Este capítulo apresenta algumas informações gerais sobre a instalação e
o uso desse pacote.
1.1 Obtendo o SageMath
Esse pacote pode ser obtido no seguinte endereço:
https://www.sagemath.org/
Após baixar o pacote, basta realizar os procedimentos usuais de instalação de programas no
sistema operacional de seu computador (Windows ou Linux) para instalá-lo. Por vezes, a versão
para Windows �ca indisponível nesse endereço. Quando isso ocorre, recomenda-se a utilização do
seguinte endereço:
https://github.com/sagemath/sage-windows/releases
Esse pacote também pode ser utilizado em uma versão on-line, que não requer a instalação. Essa
versão pode ser utilizada diretamente por meio de qualquer navegador de internet, sendo acessível
pelo endereço:
https://sagecell.sagemath.org/
1.2 Primeiros passos
1.2.1 Versão on-line
Se você for utilizar a versão on-line, o link indicado na seção anterior levará a uma página que
contém os elementos mostrados na �gura abaixo:
6
CAPÍTULO 1. O SISTEMA SAGEMATH 7
Para utilizar o pacote, basta inserir os comandos na janela de comandos, que encontra-se indicada
na �gura. Quando os comandos estiverem inseridos, pressiona-se o botão �Evaluate�, e então o
SageMath executará os cálculos solicitados.
1.2.2 Versão instalada localmente
Se você optar por instalar o SageMath em seu computador, verá que logo após a instalação aparecem
três ícones para abrir o aplicativo, denominados:
� SageMath X.X
� SageMath X.X Shell
� SageMath X.X Notebook
onde X.X signi�ca o número da versão do SageMath. Recomenda-se utilizar o terceiro ícone, ou
seja, aquele denominado SageMath X.X Notebook, que abre uma interface mais amigável. Após
clicar nesse ícone, siga os seguintes passos:
Passo 1: Ao clicar nesse ícone, aparece inicialmente uma tela preta que serve apenas para inicializar
o sistema. Você não deve mexer nessa tela � simplesmente aguarde o aparecimento da próxima tela.
Passo 2: Logo após a tela preta, será automaticamente aberta uma aba no navegador de internet
cujo título é Jupyter. O sistema Jupyter serve para fornecer a interface para a execução de diversos
pacotes computacionais, incluindo o SageMath. A tela inicial desse sistema é mostrada na �gura a
seguir.
CAPÍTULO 1. O SISTEMA SAGEMATH 8
Passo 3: No canto superior direito da tela do Jupyter, aparece um botão denominado New, indicado
na �gura abaixo com uma seta vermelha. Você deve pressionar esse botão, e escolher a opção
SageMath, também indicada na �gura com uma seta vermelha, que irá aparecer junto com outras
opções.
Passo 4: Feito isso, aparecerá a tela da interface com o SageMath. Basta utilizar o espaço que
aparece, indicado na �gura abaixo por uma seta vermelha, para escrever os comandos do Sage.
Passo 5: Para executar os comandos, basta pressionar o botão Run, também indicado na �gura
acima por uma seta vermelha.
Caso você queira que apareçam mais blocos para poder dividir o código SageMath em diversos
pedaços, basta pressionar o menu Insert, e escolher a opção Insert Cell Below.
1.3 Entrada de comandos no SageMath
Ao longo do texto destas Notas de Aula, serão mostrados exemplos de código SageMath capaz de
executar operações relacionadas com o assunto que estiver sendo estudado. Esses exemplos terão
um formato parecido com o exemplo abaixo:
> f(x) = x�3
> g(x) = 1/sin(x)
> h(x) = f(x) + g(x)
CAPÍTULO 1. O SISTEMA SAGEMATH 9
> H(x) = integral(h,x)
> show(H)
Esse pequeno exemplo mostra um código executável no SageMath, que realiza as seguintes
operações:
� Na primeira linha, é de�nida a função f(x) = x3;
� Na segunda linha, é de�nida a função g(x) = 1sen(x) ;
� Na terceira linha, as funções de�nidas anteriormente são utilizadas para de�nir uma nova
função h(x) = f(x) + g(x);
� Na quarta linha, o comando integral é chamado para realizar o cálculo da integral da função
h em relação à variável x. O resultado dessa operação é armazenado na função H(x) (ou seja,
a função H(x) é de�nida como a integral de h(x));
� Por �m, na quinta linha o comando show é chamado para fazer a exibição da expressão da
função H(x), anteriormente calculada.
Após o usuário digitar essa sequência de comandos na janela de comandos do Sage, este deve
pressionar o botão �Evaluate� (na versão on-line) ou o botão �Run� (na versão instalada localmente)
� feito isso, o sistema SageMath irá executar os comandos, exibindo a resposta.
Atenção: O símbolo '>' que aparece no início de cada linha tem a função apenas de indicar o
início de uma nova linha. Esse símbolo não deve ser colocado no código a ser executado no
SageMath. Quando esse símbolo não aparece no início deuma linha, isso signi�ca apenas que o
conteúdo dessa linha é continuação da linha anterior, como pode ser visto no trecho a seguir:
> f(x) = sin(x)
> Graf = plot(f,-10,10,color='orange',linestyle='-.',gridlines='minor',frame=true,
legend_label='$f(x) = sen(x)$')
> Graf
Nesse exemplo, a segunda linha é muito extensa para poder aparecer em uma única linha neste texto
(essa limitação não existe no sistema SageMath em si, ela ocorre apenas quando tentamos escrever
o conteúdo da linha em um documento PDF como este). Essa linha é então apresentada em uma
linha que mostra o início do comando e outra linha que mostra sua continuidade. Podemos saber
que a linha que mostra o trecho legend_label='$f(x) = sen(x)$') é continuidade da anterior
porque no início dessa linha não aparece o símbolo '>'.
Recomenda-se ao estudante ler ao menos o primeiro capítulo do manual de referência do Sage-
Math, que também está postado no Moodle da disciplina. Ao longo destas Notas de Aula, diversos
exemplos de análises utilizando o sistema SageMath serão apresentados. Além disso, serão propostos
trabalhos a serem executados nesse sistema.
1.4 Algumas dicas úteis
� Em alguns computadores, o símbolo de acento circun�exo, que é utilizado no Sage para indicar
a operação de exponenciação, é codi�cado de maneira diferente da usual. Isso faz com que esse
CAPÍTULO 1. O SISTEMA SAGEMATH 10
símbolo não sirva para signi�car a operação de elevar uma base a uma potência. Felizmente
há uma outra forma de indicar a exponenciação: basta utilizar dois símbolos de asterisco
seguidos. Assim, por exemplo, 2**3 signi�ca o mesmo que 2�3, ou seja, dois elevado ao cubo.
� As constantes matemáticas π ≈ 3.14159..., e ≈ 2.71828... e i =
√
−1 são pré-de�nidas no
SageMath. Assim, o comando y = 3*pi faz a atribuição do valor 3π à variável y, o comando
z = e�2 faz a atribuição do valor e2 à variável z, e o comando x = i�2 faz a atribuição do
valor −1 à variável x.
� O SageMath armazena preferencialmente as expressões exatas referentes a valores, sempre que
estas estejam disponíveis. Assim, por exemplo, se você escrever: x = sqrt(2), e então der
um comando print(x), o resultado mostrado será:
√
2. Se você quiser ver o valor numérico
correspondente a essa expressão, utilize o comando: print(N(sqrt(2))). Esse comando fará
com que seja mostrado o resultado 1.4142.... Em geral, sempre que você quiser ver o valor
numérico de uma expressão E qualquer, utilize o comando N(E). O mesmo efeito é obtido com
o comando n(E).
1.5 Salvando grá�cos no SAGE
Para a execução de diversas das tarefas propostas ao longo deste curso, o estudante deverá salvar
�guras geradas pelo sistema SageMath em arquivos, de forma a poder incluir tais �guras no texto
de relatórios a serem entregues. Deve-se notar que tarefas de confecção de �guras contendo grá�cos
para serem colocadas em relatórios certamente irão surgir inúmeras outras vezes no futuro, tanto em
outras disciplinas a serem cursadas na universidade quanto durante o exercício da futura pro�ssão.
A ferramenta SageMath poderá ser uma boa alternativa para a execução de tal tipo de tarefa. Esta
seção tem por objetivo mostrar como é feita a geração desses arquivos contendo �guras.
O trecho de código a seguir mostra os comandos que são utilizados para a criação de um grá�co,
seguida do armazenamento do grá�co em um arquivo:
> f(x) = sin(x)
> P = plot(f,-2*pi,2*pi)
> P.save('grafico.png')
Na primeira linha, é de�nida a função f(x) = sen(x). Na segunda linha, é criado um grá�co dessa
função no intervalo −2π ≤ x ≤ 2π, sendo esse grá�co armazenado na variável computacional P. Na
terceira linha, o grá�co que se encontra armazenado nessa variável computacional é então salvo no
arquivo denominado grafico.png. Deve-se notar que:
� O nome da variável computacional utilizada para armazenar o grá�co pode ser qualquer nome
de�nido pelo usuário. No exemplo acima, essa variável foi chamada de P.
� O nome do arquivo a ser salvo também pode ser qualquer nome de�nido pelo usuário, seguido
de uma extensão que seja ou png, pdf ou eps. No exemplo acima, o arquivo foi denominado
grafico, e a extensão utilizada foi png.
� O comando de salvamento do grá�co tem sempre a estrutura:
nome_da_variavel.save('nome_do_arquivo.extensão') .
CAPÍTULO 1. O SISTEMA SAGEMATH 11
Caso o SageMath esteja instalado localmente no computador do usuário, o arquivo é salvo no
diretório de trabalho do SageMath. Caso o estudante esteja utilizando a versão on-line do SageMath,
a execução do código acima produzirá o seguinte resultado:
Encontra-se destacado, no canto inferior esquerdo desta imagem, um link que o sistema SageMath
devolve, como resultado da execução do trecho de código. Quando esse link é acionado, o navegador
abre a �gura em uma nova aba. Clicando com o botão direito do mouse sobre a �gura que foi aberta,
abre-se uma caixa de diálogo que permite salvar o arquivo da �gura em um diretório à escolha do
usuário.
Capítulo 2
Funções
2.1 Introdução: modelos com variáveis contínuas
Neste texto, iremos estudar funções reais de uma variável real. Essas funções são particularmente
importantes quando se trata de construir representações de fenômenos da realidade. O mundo físico
à nossa volta é estruturado predominantemente em termos de grandezas que percebemos como
contínuas. Por exemplo, percebemos as distâncias, as áreas e os volumes como contínuos, o que
nos faz representar essas grandezas por meio de números reais, que são os números adequados para
representar o contínuo. Outras grandezas que representam diferentes aspectos da realidade também
são contínuas, tais como: pressões, temperaturas, massas, velocidades. Podemos prosseguir citando
outras grandezas representadas por números reais, tais como o ph de uma solução, a intensidade
luminosa, a umidade relativa do ar, a potência de um motor, e muitas outras1. Uma grandeza
em especial é bastante importante em grande parte das ocasiões em que analisamos fenômenos da
realidade: o tempo � e essa grandeza também é percebida por nós como contínua. Deve �car claro
então que, quando pretendemos analisar o mundo real, é de grande importância construir modelos
capazes de relacionar variáveis reais com outras variáveis reais � esses são os chamados modelos
contínuos.
As técnicas do cálculo diferencial e integral foram desenvolvidas para analisar funções desse
tipo (ou suas generalizações, as funções reais de várias variáveis reais). Devido ao sucesso dessas
técnicas, a matemática das funções contínuas passou a ser utilizada também para analisar fenôme-
nos relacionados a grandezas que, vistas em escala macroscópica, não são contínuas. Exemplos de
situações assim surgem, por exemplo, quando tentamos analisar fenômenos relacionados com popu-
lações. Variáveis tais como o número de indivíduos infectados por determinado vírus são de interesse
quando elaboramos modelos para estudar a progagação de epidemias. Já o número de indivíduos
de cada espécie é a grandeza relevante quando estudamos a interação entre espécies diferentes. O
ponto importante nesses dois exemplos é: um número que representa uma contagem de indivíduos
é sempre um número inteiro, e nunca um número fracionário. Apesar disso, para aproveitar o
ferramental matemático que temos disponível para a análise de funções contínuas, frequentemente
fazemos aproximações considerando populações como se pudessem ser representadas por números
1É importante lembrar que, a rigor, essa nossa percepção de um mundo �contínuo� pode não corresponder à
realidade em um nível microscópico. Por exemplo: a matéria é constituída de átomos, e não por uma substância
que seria contínua em qualquer escala em que fosse observada. Apesar disso, a representação contínua das grandezas
físicas permite a obtenção de modelos que são su�cientemente precisos para a maior parte das �nalidades práticas.
12
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 13
reais � o que nos permite obter resultados analíticos que seriam muito difíceis de obter se �zéssemos
análises considerando as variáveis como númerosinteiros.
Algo semelhante, porém diferente, acontece quando analisamos fenômenos relacionados a �-
nanças. Deve-se notar que, para qualquer �nalidade prática, uma grandeza monetária pode ser
considerada contínua, ainda que nós saibamos que não há fracionamento de valores monetários em
quantidades menores que �um centavo�. Aproximar grandezas monetárias por números contínuos,
em certo sentido, é parecido com aproximar uma massa por um número contínuo mesmo sabendo
que a matéria é constituída de átomos: o erro resultante dessa aproximação normalmente é comple-
tamente desprezível, para �ns práticos. No entanto, no caso dos fenômenos �nanceiros, o tempo não
pode ser adequadamente considerado como contínuo. A aplicação de taxas de juros, por exemplo,
ocorre sempre de um dia para o outro, e nunca de segundo a segundo. Pois bem: mesmo havendo,
no caso da variável tempo, uma imprecisão relevante, ainda assim é muito frequente a construção
de modelos considerando o tempo como se este fosse uma variável contínua.
Em síntese, as funções reais de variáveis reais foram primeiramente desenvolvidas para repre-
sentar grandezas do mundo físico que aparentavam ser contínuas. Com o passar do tempo, foram
sendo descobertas diversas situações em que a aplicação dessas funções sobre variáveis não contínuas
permitia a construção de modelos interessantes, capazes de produzir informações relevantes sobre a
estrutura de funcionamento dos sistemas reais que estavam sendo modelados.
2.2 Funções reais de uma variável real
As funções reais de uma variável real são representadas por expressões parecidas com:
y = f(x) (2.1)
sendo x e y dois números reais, o que é representado pela notação: x ∈ R e y ∈ R. A expressão (2.1)
signi�ca que se escolhermos um número real x e �zermos uma �conta� representada pela operação
f(·) sobre esse número, obteremos um outro número real y que corresponde à aplicação da função
f sobre x. Por exemplo, consideremos a função f(x) descrita pela expressão:
f(x) =
x2 + 1
x
Essa expressão está dizendo que a função f , neste caso, corresponde à realização das seguintes
operações sobre um número x:
1. elevar o número x ao quadrado;
2. somar 1 ao resultado;
3. dividir o resultado do passo anterior por x.
O número resultante dessa sequência de passos é o valor da função para aquele valor de x. Via de
regra, as funções reais de uma variável real correspondem a variações em torno desse esquema. O
que muda de uma função para outra é a �conta� que é realizada.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 14
2.2.1 Domínio, contradomínio e imagem de funções
O domínio de uma função real de uma variável real f(x), indicado por D(f(x)), normalmente
corresponde ao conjunto de todos os números reais x que podem ser aplicados na função, de forma
que a �conta� correspondente à função possa ser realizada, resultando em um número real bem
de�nido2 y = f(x). Assim, por exemplo, a função f(x) de�nida da seguinte forma:
f(x) = x2
possui um domínio D(f(x)) = R, ou seja, todos os números reais x ∈ R podem ser aplicados na
função, e o resultado da �conta� realizada pela função é bem de�nido, sendo igual ao quadrado de
x. Já no caso da função f(x) de�nida da seguinte forma:
f(x) =
√
x
devemos notar que números reais negativos não podem ser aplicados na função, pois a raiz quadrada
de um número negativo não se encontra de�nida3. Então os números reais negativos não podem ser
incluídos no domínio desta função, que desta forma terá um domínio D(f(x)) = [0,+∞), ou seja, o
seu domínio é o conjunto dos x reais que são maiores ou iguais a zero.
De maneira geral4, uma função é uma relação entre dois conjuntos, que leva cada ponto do
primeiro conjunto, que é chamado de domínio da função, a um ponto no segundo conjunto, que é
chamado de contradomínio da função. Em geral, para qualquer função, todos os pontos do primeiro
conjunto (o conjunto domínio), sem exceção, devem poder ser aplicados na função, e o resultado
dessa aplicação deve ser exatamente um ponto do segundo conjunto (o contradomínio). Usamos a
seguinte notação para dizer que uma função f(x) leva os pontos de um conjunto A (o domínio da
função) em pontos de um conjunto B (o contradomínio da função):
f : A 7→ B
Também de maneira geral, uma função tem de ter as seguintes propriedades:
� Um determinado ponto x pertencente ao domínio A, ao ser aplicado na função, deve resultar
em um único ponto y pertencente ao contradomínio B. Uma função jamais leva um ponto do
domínio a dois ou mais pontos diferentes no contradomínio.
� Todos os pontos x pertencentes ao domínio A devem levar a algum ponto y pertencente ao
contradomínio B. Não pode haver um ponto do domínio que não leva a nenhum ponto do
contradomínio.
Por outro lado, o contradomínio de uma função pode conter pontos ỹ que não são gerados pela
aplicação na função de nenhum ponto x do domínio. Da mesma forma, também é possível que
alguns pontos ȳ sejam gerados por mais de um ponto do domínio.
2A rigor, deve-se dizer que o domínio de uma função real de uma variável real usualmente é o maior conjunto de
números reais que podem ser aplicados na função sem causar inconsistências, mas há situações em que é conveniente
de�nir funções com um domínio menor do que esse máximo possível. Ainda neste capítulo será mostrado que, para
de�nir as chamadas funções inversas, algumas funções serão de�nidas com domínios menores que esse máximo.
3É importante chamar a atenção de que isso vale para as funções reais. Há uma extensão desse conceito para
as chamadas funções complexas, em que os números negativos passam a ter raízes de�nidas em termos da constante
complexa i =
√
−1. O curso de Cálculo I não aborda tal extensão conceitual.
4Isso vale para qualquer função, e não apenas para funções reais de uma variável real.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 15
É claro que o conjunto dos pontos pertencentes ao contradomínio de uma função f(x) que são
gerados pela aplicação na função de algum ponto x do domínio corresponde a um subconjunto
do contradomínio. Esse subconjunto é chamado de conjunto imagem da função f(x), indicado
por I(f(x)). Então, se um ponto y pertence à imagem de f(x), necessariamente existe algum x
pertencente ao domínio de f(x) tal que y = f(x).
Examinaremos agora esses conceitos de domínio, contradomínio e imagem no caso de funções
reais de uma variável real. Consideremos uma função f(x) tal que:
y = f(x)
sendo f(x) explicitamente de�nida por uma expressão matemática que depende da variável x. Então:
� Se apenas a expressão de f(x) é apresentada, sem uma de�nição explícita do domínio a ser
considerado, o domínio de f(x) será o maior subconjunto de R em que a expressão possa ser
calculada sem causar inconsistências.
� Ainda no caso de apenas a expressão de f(x) ser apresentada, também sem uma de�nição
explícita do contradomínio a ser considerado, o contradomínio de f(x) será todo o conjunto
R.
� O conjunto imagem de f(x), por outro lado, corresponderá ao subconjunto do contradomínio
que contenha todos os pontos y ∈ R que sejam gerados pela aplicação de algum x, ou seja, os
pontos para os quais exista algum x pertencente ao domínio tais que y = f(x).
� É possível ainda de�nir a função f(x) considerando um domínio menor que o máximo possível,
ou um contradomínio menor que R. Para que isso ocorra, é preciso que a função seja de�nida
com seu domínio e contradomínio explicitamente enunciados.
Para exempli�car esses conceitos, vamos considerar a função:
f(x) = x2
Se não enunciamos de maneira explícita o domínio e o contradomínio dessa função, �ca implícito
que:
f : R 7→ R
ou seja, o domínio da função é o conjunto R dos números reais e o contradomínio também é o
conjunto R. É claro que a função f(x) só é capaz de gerar os números reais maiores ou iguais a
zero, o que signi�ca que a imagem da função é dada por: I(f(x)) = [0,+∞).
Entretanto, se de�nirmos explicitamente que:
f : R 7→ [0,+∞)
temos a situação em que o contradomínio da função é igual à imagem da função. Neste caso, a
função f(x) torna-se uma função sobrejetora.
Nos doiscasos anteriores, é fácil perceber que há mais de um ponto do domínio levando aos
mesmos pontos na imagem, pois tanto se aplicarmos um ponto x = a quanto se aplicarmos um
ponto x = −a na função, teremos como resultado y = f(a) = f(−a) = a2. Podemos, entretanto,
rede�nir o domínio da função da seguinte forma:
f : [0,+∞) 7→ R
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 16
Agora temos um domínio que inclui apenas os números maiores ou iguais a zero, de forma que cada
ponto da imagem da função será gerado por um único ponto x do domínio. Neste caso, a função
f(x) torna-se uma função injetora.
É claro que é possível de�nir tanto o domínio quanto o contradomínio de f(x) de maneira a fazer
com que haja mais de um ponto do domínio gerando o mesmo ponto no contradomínio, e também
não haja pontos do contradomínio que não sejam gerados por nenhum ponto do domínio. Isso é
obtido de�nindo:
f : [0,+∞) 7→ [0,+∞)
Agora, cada ponto do contradomínio é gerado por exatamente um ponto do domínio, e não há
pontos do contradomínio que não sejam gerados por algum ponto do domínio. A função f(x), neste
caso, torna-se uma função bijetora.
2.3 Funções elementares
Embora evidentemente possam existir in�nitas formas de de�nir operações que possam ser realizadas
sobre números reais, nós iremos estudar aqui apenas um pequeno número destas. Estudaremos as
funções dos seguintes tipos:
� polinomial
� racional
� algébrica
� potência
� exponencial
� logarítmica
� trigonométrica
A maior parte da matemática das funções contínuas é construída utilizando apenas esse pequeno
número de funções e suas combinações. Para se construir as técnicas matemáticas adequadas para
tratar a maior parte das aplicações, não se fazem necessárias funções de tipos extravagantes que não
estão incluídas nessa lista. A seguir, apresentaremos uma breve explanação sobre como são feitas
�as contas� que de�nem cada uma das funções dessa lista.
2.3.1 Funções polinomiais
As funções polinomiais são as de construção mais simples, pois podem ser obtidas com a aplicação,
sobre a variável x, de três operações aritméticas básicas: soma, subtração e produto. Assim, por
exemplo, a função polinomial f(x) dada por
f(x) = x3 − 7x+ 1
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 17
-2 -1 1 2
-2
2
4f(x) = 2x+ 1
Figura 2.1: Função polinomial de primeiro grau.
corresponde a multiplicar x vezes x vezes x (ou seja, obtendo x3), a seguir subtrair disso o resultado
da multiplicação de 7 vezes x, e então somar 1. Todo polinômio pode ser construído com base
apenas nessas três operações. Em geral, um polinômio f(x) de grau n é dado por:
f(x) = anx
n + an−1x
n−1 + an−2x
n−2 + . . .+ a1x+ a0 (2.2)
As �guras 2.1, 2.2 e 2.3 mostram os grá�cos de funções polinomiais de graus 1, 2 e 3, respecti-
vamente.
Os grá�cos mostrados nas �guras 2.1, 2.2 e 2.3 podem ser traçados no sistema Sage. No caso
da �gura 2.1, os comandos são os seguintes:
> f(x) = 2*x + 1
> plot(f,-2,2)
A primeira linha faz a de�nição da função f(x) como sendo o primeiro polinômio, no caso:
f(x) = 2x+ 1. A segunda linha faz o traçado do grá�co de f(x) no intervalo −2 ≤ x ≤ 2.
No caso da �gura 2.2, deve-se mudar a primeira linha, assim de�nindo f(x) como sendo o
segundo polinômio, f(x) = x2 + x − 2, e mudar a segunda linha de forma a que o grá�co seja
traçado no intervalo −3 ≤ x ≤ 3:
> f(x) = x�2 + x - 2
> plot(f,-3,3)
O estudante é convidado a tentar reproduzir o grá�co da �gura 2.3.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 18
-3 -2 -1 1 2 3
-2
2
4
6
8
10
f(x) = x2 + x− 2
Figura 2.2: Função polinomial de segundo grau.
-3 -2 -1 1 2 3 4
-20
-10
10
20
30
f(x) = x3 − x2 − 4 ∗ x+ 4
Figura 2.3: Função polinomial de terceiro grau.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 19
Domínio das funções polinomiais
É fácil perceber que, no caso de uma função f(x) que seja polinomial, é sempre possível calcular
o valor da função para qualquer valor da variável x. Dito de outra forma, o domínio de todas as
funções polinomiais é todo o conjunto dos números reais, ou seja, esse domínio é o conjunto:
D(f(x)) = (−∞,+∞)
Imagem das funções polinomiais
Uma função polinomial terá como seu conjunto imagem todo o conjunto dos números reais quando
o grau do polinômio for ímpar:
I(f(x)) = (−∞,+∞)
Já se o grau do polinômio for par, duas situações podem ocorrer. Se o sinal do termo de maior grau
do polinômio for positivo, o conjunto imagem da função será igual a:
I(f(x)) = [ϕmin,+∞)
ou seja, a função irá gerar todos os valores que se encontrem entre um valor mínimo, ϕmin, e +∞.
Já se o sinal do termo de maior grau for negativo, o conjunto imagem da função será igual a:
I(f(x)) = (−∞, ϕmax]
o que signi�ca que a função irá gerar todos os valores entre −∞ e um valor máximo ϕmax. O
estudante é convidado a buscar uma explicação para esses fatos.
2.3.2 Funções racionais
Nós chamamos de funções racionais as funções obtidas dividindo-se um polinômio por outro polinô-
mio:
f(x) =
N(x)
D(x)
onde N(x) e D(x) são dois polinômios. Seguindo o formato da expressão de polinômios, também
podemos escrever:
f(x) =
anx
n + an−1x
n−1 + an−2x
n−2 + . . .+ a1x+ a0
bmxm + bm−1xm−1 + bm−2xm−2 + . . .+ b1x+ b0
sendo n e m dois inteiros que representam os graus dos polinômios do numerador e do denominador,
respectivamente.
A �gura 2.4 mostra o grá�co da função racional dada por:
f(x) =
x2 − x+ 1
x2 + 3
Um grá�co bastante diferente ocorre para a função racional dada por:
f(x) =
x2 − x+ 1
x2 − 3
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 20
-15 -10 -5 0 5 10 15 20
0.4
0.6
0.8
1
f(x) = x
2 − x+ 1
x2 + 3
Figura 2.4: Função racional.
O grá�co dessa função é mostrado na �gura 2.5. Nessa �gura, para dois valores de x, o grá�co
parece crescer de maneira ilimitada. A causa disto é que o polinômio do denominador (x2 − 3)
agora possui duas raízes (ou seja, dois valores para os quais esse polinômio �ca igual a zero), iguais
a x =
√
3 e x = −
√
3. O fenômeno, portanto, é causado por essa �divisão por zero�, fazendo com
que a função (e portanto também o grá�co) não seja de�nida para esses valores de x. Mais adiante,
na seção sobre limites, discutiremos o que acontece com essa função quando x se aproxima desses
valores, sem �car igual a eles.
O grá�co da �gura 2.5 tem uma característica diferente dos grá�cos traçados anteriormente:
nos valores de x em que ocorreria uma divisão por zero na função, encontram-se traçadas linhas
tracejadas verticais, que indicam exatamente isso: para esses valores de x, a função não pode ser
calculada. Esses valores de x que causariam uma divisão por zero são chamados de polos da função.
Para traçar um grá�co como o da �gura 2.5, o comando plot é chamado de uma maneira um pouco
diferente no sistema Sage:
> f(x) = (x�2 - x + 1)/(x�2 - 3)
> plot(f,-15,20,ymin=-5,ymax=5,detect_poles='show')
Agora aparecem dois tipos de diretivas diferentes na chamada da função plot: as diretivas
ymin=-5 e ymax=5 fazem com que a janela do plano cartesiano mostrada no grá�co abranja apenas
o intervalo −5 ≤ y ≤ 5. Caso não fossem utilizadas essas diretivas, a escala mostrada no grá�co
poderia ser da ordem de alguns milhões, uma vez que a função cresce arbitrariamente quando x
se aproxima dos polos. Já a diretiva detect_poles='show' faz com que sejam traçadas as retas
verticais tracejadas nos valores de x correspondentes aos polos � o que auxilia a interpretação do
grá�co.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 21
-15 -10 -5 5 10 15 20
-4
-2
2
4f(x) = x
2 − x+ 1
x2 − 3
Figura 2.5: Função racional com descontinuidades.
Domínio das funções racionais
No caso das funções racionais, é possível que existam alguns valores de x para os quais o valor de
f(x) não possa ser calculado. Esses valores, caso existam, correspondem aos valores que fazem com
que o denominador da função racional �que igual a zero, ou seja, são excluídos do domínio os valores
de x que causariam uma divisão por zero no cálculo da função.
Um exemplo de função racional para a qual esse problema de divisão por zero não ocorre é
f(x) =
x2 − x+ 1
x2 + 3
No caso dessa função, o seu domínio corresponde a todo o conjunto dos números reais:
−∞ < x <∞Um exemplo de função racional que não pode ser calculada para alguns valores de x é:
f(x) =
x2 − x+ 1
x2 − 3
Agora, é claro que quando x =
√
3 e quando x = −
√
3 o denominador da função �ca igual a zero. A
função então não pode ser calculada, pois ocorreria uma divisão por zero. O domínio desta função
é, então:
x 6=
{
−
√
3,
√
3
}
Essa expressão quer dizer que a função f(x) pode ser calculada para qualquer valor de x diferente
de −
√
3 e
√
3.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 22
Imagem das funções racionais
O conjunto imagem de uma função racional pode apresentar formatos bastante diversi�cados, in-
cluindo segmentos de comprimento �nito, trechos que vão de um determinado valor até ∞ ou de
−∞ até um determinado valor, ou ainda ser toda a reta real. A Figura 2.4 mostra um exemplo de
função cuja imagem é um segmento de comprimento �nito, fechado em ambas as extremidades:
I(f(x)) = [ϕmin, ϕmax]
Já a Figura 2.5 mostra um exemplo de função cuja imagem contém dois trechos: um trecho vai de
−∞ até um valor ϕ1 e o outro vai de outro valor ϕ2 até +∞, sendo esses trechos respectivamente
fechado em ϕ1 e aberto em ϕ2:
I(f(x)) = (−∞, ϕ1] ∪ (ϕ2,+∞)
O estudante é convidado e examinar as �guras, procurando entender porque as imagens das funções
adquirem essas formas.
2.3.3 Função raiz de grau n
Uma generalização dos termos do tipo xn, que são usados para formar polinômios e funções raci-
onais, nos quais n é um número inteiro positivo, são os termos do tipo x
1
n . Quê signi�cam tais
situações? Vamos formar nossa compreensão por etapas. Iniciamos a discussão retomando a situa-
ção já conhecida, quando x se encontra elevado a um número inteiro positivo. Nós já sabemos que
xn signi�ca:
xn = x · x · x · · ·x︸ ︷︷ ︸
n vezes
Fica fácil notar que, dados dois números inteiros n e m, tem de valer:
xn · xm = x · x · x · · ·x︸ ︷︷ ︸
n vezes
·x · x · x · · ·x︸ ︷︷ ︸
m vezes
= xn+m (2.3)
Para interpretar o que signi�ca a função x
1
n mantendo a validade da relação xn · xm = xn+m,
notamos que a seguinte expressão tem de ser válida:
x
1
n · x
1
n · x
1
n · · · x
1
n︸ ︷︷ ︸
n vezes
= x(
1
n
+ 1
n
+ 1
n
+...+ 1
n
)
É fácil ver que:
1
n
+
1
n
+
1
n
+ . . .+
1
n︸ ︷︷ ︸
n vezes
= 1
Então:
x
1
n · x
1
n · x
1
n · · · x
1
n︸ ︷︷ ︸
n vezes
= x1 = x
Observamos então que:
x
1
n · x
1
n · x
1
n · · · x
1
n︸ ︷︷ ︸
n vezes
=
(
x
1
n
)n
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 23
Considerando em conjunto as duas últimas expressões, obtemos então:(
x
1
n
)n
= x
Essa expressão nos diz que x
1
n é um número que, elevado à potência n, resulta em x, ou seja: x
1
n é
a n-ésima raiz de x:
n
√
x = x
1
n
2.3.4 Função xp com p negativo ou fracionário
Outras generalizações dos termos do tipo xn com n inteiro positivo são os termos dos tipos x−n,
x
n
m e x−
n
m . Para examinar essas situações, inicialmente, vamos procurar entender qual deve ser
o signi�cado da expressão x
n
m , sendo n e m dois números inteiros positivos. Observamos que a
expressão a seguir é verdadeira:
x
1
m · x
1
m · x
1
m · · ·x
1
m︸ ︷︷ ︸
n vezes
= x(
1
m
+ 1
m
+ 1
m
+...+ 1
m) = x
n
m =
(
m
√
x
)n
= m
√
xn
Podemos então interpretar x
n
m como sendo um número obtido da seguinte forma5: (i) tiramos
a m-ésima raiz de x; (ii) a seguir, elevamos o resultado x
1
m à potência n, obtendo x
n
m . Desta
forma, descobrimos o que signi�ca xp quando p é um número racional positivo, lembrando que os
números racionais são os números reais que podem ser escritos na forma de frações, com numerador
e denominador inteiros.
Agora vamos examinar o que acontece com a expressão xp quando p é um número racional
negativo. Tomamos a mesma expressão xn · xm = xn+m utilizada anteriormente, e notamos que ela
implica o seguinte:
xp · x−p = x(p−p) = x0 = 1
Então obtemos:
x−p =
1
xp
Ou seja, x elevado a um número negativo é o mesmo que um sobre x elevado ao mesmo número
com sinal positivo. Então, em geral, se m e n são dois números inteiros positivos, temos que:
x−
n
m =
1
m
√
xn
2.3.5 Funções algébricas
As chamadas funções algébricas são construídas exclusivamente pela aplicação das operações algé-
bricas:
� soma / subtração;
� multiplicação / divisão;
5Se o procedimento for realizado na ordem inversa à que é mostrada aqui, com a exponenciação realizada primeiro
e a radiciação a seguir, a função resultante terá um domínio um pouco maior. O leitor é convidado a pensar a esse
respeito.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 24
-4 -2 2 4
1
2
3
4
5
f(x) =
√
x2 + 1
Figura 2.6: Função algébrica. Este grá�co também mostra a função |x|, em linhas tracejadas.
� potenciação / radiciação
sobre a variável x ou sobre resultados de operações anteriores do mesmo tipo. Portanto, as funções
algébricas podem ser entendidas como sendo as funções de�nidas a partir de aplicações sucessivas
das funções de�nidas nas subseções anteriores.
As formas dessas funções podem ser muito variadas; por esse motivo não é fácil escrever uma
expressão geral das funções algébricas do tipo que nós escrevemos para as funções polinomiais e
para as funções racionais.
Um exemplo de função algébrica é dado por:
f(x) =
√
x2 + 1
O grá�co dessa função é mostrado na �gura 2.6. Nessa �gura também é mostrado, em linhas
tracejadas, o grá�co da função g(x) = |x|. Pode-se notar que, à medida em que os valores de x
se dirigem para +∞ e para −∞, esses dois grá�cos se aproximam. O leitor curioso poderá tentar
encontrar uma explicação para esse comportamento desses grá�cos. Outro exemplo de função
algébrica é a seguinte função:
f(x) =
x4 − 16x2
x+
√
x+ 1
+ (x− 2) 3
√
x+ 1
O grá�co dessa função é mostrado na �gura 2.7. Desta vez, um aspecto importante do grá�co é que
ele só existe para x ≥ 0. Isso ocorre porque a função contém um termo
√
x, que não se encontra
de�nido para x < 0.
O trecho de código a seguir pode ser utilizado para produzir o grá�co da �gura 2.7:
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 25
1 2 3 4 5
-10
10
20
30
f(x) = x
4 − 16x2
x+
√
x + 1
+ (x− 2)3
√
x+ 1
Figura 2.7: Função algébrica. Este grá�co só existe para valores de x maiores ou iguais a zero,
devido à presença de um termo
√
x que não existe para valores negativos de x.
> f(x) = (x�4 - 16*x�2)/(x + x�(1/2) + 1) + (x - 2)*(x+1)�(1/3)
> plot(f,0,5)
Deve-se notar que o termo x
1
2 é o mesmo que a raiz quadrada de x, e o termo (x+ 1)
1
3 representa
a raiz cúbica de (x + 1). Para representar a raiz quadrada, também seria possível também usar o
comando sqrt (o nome desse comando vem das palavras em inglês: square root). Nesse caso, o
código �caria assim:
> f(x) = (x�4 - 16*x�2)/(x + sqrt(x) + 1) + (x - 2)*(x+1)�(1/3)
> plot(f,0,5)
Para a raiz cúbica, assim como para quaisquer outras raízes de ordem diferente de dois, não existe
um comando como o sqrt, sendo necessário utilizar a notação de potência fracionária.
Domínio das funções algébricas
No caso das funções algébricas, podem ocorrer as seguintes situações nas quais é impossível calcular
o valor da função:
� Quando uma expressão que se encontra no denominador de uma divisão �ca igual a zero;
� Quando uma expressão cuja raiz quadrada se tenta extrair �ca negativa;
� Há casos mais gerais da situação anterior: não se pode extrair raiz de grau par (ou seja, raiz
quadrada, raiz quarta, raiz sexta, etc) de número negativo.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 26
Um exemplo de situação que se enquadra nos dois primeiros casos é a seguinte função:
f(x) =
1
1−
√
x
No caso desta função, o denominador 1−
√
x �ca igual a zero quando x = 1; portanto x não pode
assumir esse valor. Além disso, x não pode �car negativo, pois não se pode tirar a raiz quadrada
de um número negativo. Dessa forma, o domínio dessa função é o seguinte conjunto:
x ≥ 0 ; x 6= 1
2.3.6 Função potência
Há mais uma generalização importante da operação de potenciação que não foi discutida até agora.
Trata-se da situação em que a variável x se encontra elevada a uma potência que é um número real
a:
f(x) = xa
Nós já sabemos o que signi�ca essa expressão quando a é um número pertencente ao conjunto dos
racionais, ou seja, quandoa = nm . Consideremos agora a expressão x
a na situação em que a é um
número real irracional, ou seja, um número que não pode ser escrito como uma divisão de dois
números inteiros. O caminho para descobrir o que agora signi�ca xa é observar que todo número
irracional a sempre estará localizado, na reta real, entre dois números racionais r1 = n1m1 e r2 =
n2
m2
próximos a ele:
n1
m1
< a <
n2
m2
Nós já descobrimos, nas seções anteriores, como calcular x
n1
m1 e x
n2
m2 . Escolhemos, para fazer a
conta, dois números r1 = n1m1 e r2 =
n2
m2
que, permanecendo respectivamente menor e maior que a,
devem estar muitíssimo próximos de a. Isso fará com que xr1 e xr2 �quem muito próximos entre
si. Notando que podemos escolher números r1 e r2 tão próximos quanto se queira, a diferença entre
xr1 e xr2 �cará tão próxima de zero quanto quisermos. O valor de xa é esse número do qual tanto
xr1 quanto xr2 estão se aproximando.
Conceitualmente, essa de�nição de xa se baseia na noção de limite, que iremos discutir em outra
parte deste texto. A ideia importante é que existe um número bem de�nido, igual a xa, do qual
tanto xr1 quanto xr2 se aproximam quando fazemos r1 e r2 se aproximarem, por baixo e por cima,
do valor de a.
Com essas etapas, nós de�nimos completamente o que signi�ca a função potência
f(x) = xa
quando a potência a é qualquer número real.
Deve-se observar que não existe solução, nos números reais, para o problema de se tirar raiz
quadrada (ou qualquer n-ésima raiz para n par) de um número negativo. Por esse motivo, normal-
mente de�nimos a função potência xa apenas para valores de x maiores ou iguais a zero quando a
não é um número inteiro. A �gura 2.8 mostra a superposição das seguintes funções potência, para
valores positivos do expoente a:
f1(x) = x f2(x) = x
3
2 f3(x) = x
2 f4(x) = x
5
2 f5(x) = x
3
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 27
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
x1.5
x2
x2.5
x3
Figura 2.8: Função potência. Superposição das funções potência f(x) = xa, para a = 1, a = 1.5,
a = 2, a = 2.5 e a = 3.
Essa �gura mostra apenas valores positivos de x, uma vez que as funções potências com expoentes
não inteiros podem �car não de�nidas para x < 0.
A �gura 2.9 mostra a superposição das seguintes funções potência, para valores negativos do
expoente a:
f1(x) = x
−1 f2(x) = x
− 3
2 f3(x) = x
−2 f4(x) = x
− 5
2 f5(x) = x
−3
Essa �gura mostra apenas valores positivos de x, e se inicia em x = 0.5 e não em x = 0 porque
todas essas funções não estão de�nidas para x = 0. (Perguntamos ao leitor: porquê as funções não
estão de�nidas em x = 0?)
As �guras 2.8 e 2.9 são as primeiras, neste capítulo, que apresentam os grá�cos de várias funções
superpostos em uma mesma �gura. Para exempli�car como se faz isso no Sage, os comandos para
o traçado da �gura 2.8 são mostrados a seguir:
> f1(x) = x
> f2(x) = x�1.5
> f3(x) = x�2
> f4(x) = x�2.5
> f5(x) = x�3
> P1 = plot(f1,0,1.5,color='blue')
> P2 = plot(f2,0,1.5,color='orange')
> P3 = plot(f3,0,1.5,color='magenta')
> P4 = plot(f4,0,1.5,color='red')
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 28
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
2
4
6
8
x−1
x−1.5
x−2
x−2.5
x−3
Figura 2.9: Função potência. Superposição das funções potência f(x) = xa, para a = −1, a = −1.5,
a = −2, a = −2.5 e a = −3.
> P5 = plot(f5,0,1.5,color='green')
> P1 + P2 + P3 + P4 + P5
As cinco primeiras linhas de�nem as cinco funções cujos grá�cos devem ser traçados. Nas cinco
linhas seguintes, o traçado do grá�co de cada uma dessas funções no intervalo 0 ≤ x ≤ 1.5 é
processado, e então armazenado nas variáveis computacionais P1, P2, P3, P4 e P5. Quando se faz o
armazenamento do traçado de um grá�co em uma variável computacional, o grá�co não é mostrado
imediatamente, ele apenas �ca guardado nessa variável. Deve-se notar que cada comando plot, neste
caso, especi�ca uma cor diferente para o grá�co a ser traçado, o que irá facilitar identi�cação de
cada grá�co. Para fazer isso, é utilizada a diretiva color='nome_de_cor'. No código acima, foram
utilizadas as cores azul (blue), laranja (orange), magenta (magenta), vermelha (red) e verde (green).
Finalmente, na última linha, é chamada a execução da soma das variáveis nas quais encontram-se
armazenados os cinco grá�cos; isso faz com que os cinco grá�cos sejam traçados todos juntos, em
uma mesma �gura.
Domínio das funções potência
Não iremos, neste texto, examinar toda a variedade de situações que podem ocorrer quando se estuda
o domínio de uma função potência. Vamos apenas falar de três casos nos quais a identi�cação do
domínio é fácil:
� Quando o expoente é inteiro positivo, o domínio corresponde a todo o conjunto dos números
reais. Exemplo: f(x) = x4.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 29
-2 -1 1 2
2
4
6
8
1.5x
2x
2.5x
3x
Figura 2.10: Funções exponenciais. Superposição das funções exponenciais f(x) = ax, para a = 1.5,
a = 2, a = 2.5 e a = 3.
� Quando o expoente é inteiro negativo, o domínio corresponde a todo o conjunto dos reais,
excluindo-se x = 0. Exemplo: f(x) = x−3.
� Quando o expoente é um número racional positivo com denominador par, o domínio corres-
ponde ao conjunto x ≥ 0. Exemplo: f(x) = x1/4.
2.3.7 Funções exponenciais
Ao tratar da função potência, nós �zemos todo um esforço para de�nir o que signi�ca a expressão
wz, sendo w e z dois números reais. A função potência aparece quando de�nimos que w, ou seja,
a base da operação de potenciação, é uma variável, enquanto z, o expoente da potenciação, é um
número real �xo. Nós podemos, claro, fazer o contrário: de�nir a base como sendo �xa e o expoente
como sendo uma variável. Assim obtemos uma função exponencial:
f(x) = ax
sendo a um número real positivo. A �gura 2.10 mostra a superposição dos grá�cos das funções
exponenciais para os seguintes valores da base: a = 1.5, a = 2, a = 2.5, a = 3. Pergunta-se ao
leitor: como seria o grá�co da função quando a = 1? Já a �gura 2.11 mostra a superposição dos
grá�cos das funções exponenciais para os seguintes valores da base: a = 0.7, a = 0.5, a = 0.3.
Pergunta-se ao leitor: por quê os grá�cos das funções exponenciais são decrescentes quando a < 1?
O trecho de código a seguir pode ser utilizado para traçar os grá�cos mostrados na �gura 2.10:
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 30
-2 -1 1 2
2
4
6
8
10
0.7x
0.5x
0.3x
Figura 2.11: Funções exponenciais. Superposição das funções exponenciais f(x) = ax, para a = 0.7,
a = 0.5, a = 0.3.
> f1(x) = 1.5�x
> f2(x) = 2�x
> f3(x) = 2.5�x
> f4(x) = 3�x
> C1 = plot(f1,x,-2,2,color='blue')
> C2 = plot(f2,x,-2,2,color='orange')
> C3 = plot(f3,x,-2,2,color='magenta')
> C4 = plot(f4,x,-2,2,color='red')
> C1 + C2 + C3 + C4
Diferentes funções exponenciais são obtidas para diferentes valores da base a. Há um valor em
especial, o número e ≈ 2.71828, que é utilizado com muito maior frequência que outros valores de
base. Assim, embora existam muitas funções exponenciais com diferentes valores de base, quando
se menciona a função exponencial, sem se especi�car um valor de base, deve-se entender a função
exponencial com base e, ou seja:
f(x) = ex = exp(x)
O grá�co da função exponencial é mostrado na �gura 2.12.
Assim como no caso da raiz quadrada, a função exponencial também pode ser representada, no
SageMath, de duas formas diferentes. Uma forma é utilizando a notação de potenciação:
> f(x) = e�x
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 31
-2 -1 1 2
1
2
3
4
5
6
7
Figura 2.12: Função exponencial: f(x) = exp(x)
A outra forma é utilizando o comando exp:
> f(x) = exp(x)
Ambas as formas são equivalentes, não faz diferença utilizar uma ou outra.
O leitor deve procurar observar a de�nição de funções exponenciais e compreender as seguintes
propriedades dessas funções:
� Uma função exponencial, qualquer que seja sua base (lembrando que a base é sempre positiva),
sempre fornecerá um resultado estritamente positivo (maior que zero). Dizendo de outra
forma, uma função exponencial nunca retornará nem um resultado negativo nem um resultado
igual a zero, para nenhum valor de x.
� A relação f(0) = 1 é válida para todas asfunções exponenciais f(x) = ax. Ou seja, a0 = 1,
qualquer que seja o valor de a, para a > 0.
� As funções exponenciais f(x) = ax com base a > 1 serão todas crescentes, ou seja, sempre
que x cresce, o valor de f(x) também cresce.
� As funções exponenciais f(x) = ax com base a < 1 serão todas decrescentes, ou seja, sempre
que x cresce, o valor de f(x) deve decrescer.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 32
Domínio das funções exponenciais
As funções exponenciais com base a positiva sempre podem ser calculadas para qualquer valor de
x, ou seja, seu domínio corresponde ao conjunto:
−∞ < x <∞
Imagem das funções exponenciais
O conjunto imagem das funções exponenciais será sempre igual ao trecho de 0 a +∞:
I(ax) = (0,+∞)
para qualquer valor de a positivo e diferente de 1. O estudante é convidado a examinar essa função
para compreender porquê sua imagem tem sempre esse formato.
2.3.8 Funções trigonométricas
A forma de se de�nir as funções trigonométricas é diferente daquela utilizada para de�nir as demais
funções vistas até agora. Todas as funções que já examinamos foram de�nidas seguindo uma lógica
que partia das quatro operações básicas da aritmética, por sobre as quais eram de�nidas operações
mais complexas. No caso das funções trigonométricas, a construção de suas de�nições se baseia
em �guras geométricas. A ideia é que são medidos determinados comprimentos em uma construção
geométrica que depende de um ângulo θ, e então se aplicam operações de divisão sobre esses compri-
mentos, obtendo-se dessa forma números que correspondem às funções seno, cosseno e tangente de
θ. A �gura geométrica usada para de�nir essas funções, chamada círculo trigonométrico, é mostrada
na �gura 2.13. A �gura 2.14 mostra como mudam os valores das funções seno e cosseno quando o
ângulo θ se encontra no primeiro, no segundo e no terceiro quadrantes do círculo trigonométrico.
A utilização do círculo trigonométrico para de�nir as funções trigonométricas faz com que essas
funções sejam periódicas. Isso ocorre assumindo-se a convenção de que o ângulo θ possa assumir
qualquer valor real, sendo que a cada volta completa no sentido anti-horário do ponto de referência
ao redor do círculo é somado um valor de 2π ao valor de θ, e o giro no sentido horário corresponde
ao incremento negativo do ângulo θ. Estabelecida essa convenção, �cam bem de�nidas as funções
sen(x) e cos(x). A �gura 2.15 mostra os grá�cos das funções sen(x) e cos(x) superpostos.
Outras funções trigonométricas são de�nidas a partir de operações realizadas sobre as funções
sen(x) e cos(x):
� Função tangente: tan(x) =
sen(x)
cos(x)
� Função secante: sec(x) =
1
cos(x)
� Função cossecante: csc(x) =
1
sen(x)
� Função cotangente: cot(x) =
1
tan(x)
=
cos(x)
sen(x)
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 33
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
θ
sin(θ)
cos(θ)
(a, b)
Figura 2.13: Círculo trigonométrico: Considera-se um círculo de raio R = 1. Traça-se o segmento
que liga a origem ao círculo, formando um ângulo θ com o semi-eixo horizontal positivo. A interseção
desse segmento com o círculo é o ponto de coordenadas (a, b). As funções trigonométricas seno,
cosseno e tangente são de�nidas como: sen(θ) = b; cos(θ) = a; tan(θ) = ba .
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
θ
sin(θ)
cos(θ)
(a, b)
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
θ
sin(θ)
cos(θ)
(a, b)
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
θ
sin(θ)
cos(θ)
(a, b)
(a) (b) (c)
Figura 2.14: Círculo trigonométrico: valores de seno e cosseno quando θ �ca igual a: (a) π3 (no
primeiro quadrante do círculo); (b) 2π3 (no segundo quadrante); (c)
4π
3 (no terceiro quadrante).
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 34
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
sin(x)
cos(x)
Figura 2.15: Funções trigonométricas. Superposição dos grá�cos das funções sen(x) e cos(x).
-10 -5 5 10
-10
-5
5
10
Figura 2.16: Funções trigonométricas. Função tan(x).
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 35
A �gura 2.16 mostra o grá�co da função tan(x).
O código a seguir faz o traçado de grá�cos das funções seno e cosseno, como mostrados na �gura
2.15:
> f1(x) = sin(x)
> f2(x) = cos(x)
> C1 = plot(f1,x,-12,12)
> C2 = plot(f2,x,-12,12,color='red')
> C1 + C2
Chamamos a atenção para que, no SageMath, as funções seno e cosseno sejam representadas res-
pectivamente pelo comando sin e pelo comando cos. Os nomes desses comandos vêm das palavras
sine e cosine, que signi�cam seno e cosseno, em língua inglesa.
Já o código abaixo faz o traçado do grá�co da função tangente, como mostrada na �gura 2.16:
> f(x) = tan(x)
> plot(f,x,-12,12,color='green',ymin=-10,ymax=10,detect_poles='show')
No SageMath, o comando tan representa a função tangente (que, em inglês, se escreve tangent).
Nesse trecho de código, ainda deve-se notar que foi necessário de�nir valores mínimo e máximo
a serem representados no eixo y, uma vez que a função tangente atinge valores in�nitos sem-
pre que x é um múltiplo ímpar de π/2. Chamamos a atenção ainda para o uso da diretiva
detect_poles='show', que também funciona para a função tangente de maneira similar ao que
ocorre nas funções racionais.
É importante sempre lembrar alguns fatos a respeito das funções sen(x) e cos(x):
� As funções seno, cosseno e tangente são periódicas com período 2π, ou seja: sen(x) = sen(x+
2π), cos(x) = cos(x+ 2π) e tan(x) = tan(x+ 2π). Isso decorre do fato de que, a cada vez que
θ percorre um ângulo de 2π, o ponto de referência volta sempre ao mesmo lugar no círculo
trigonométrico.
� As funções seno e cosseno produzem resultados que sempre se encontram dentro do intervalo
[−1, 1], ou seja: −1 ≤ sen(x) ≤ 1 e −1 ≤ cos(x) ≤ 1.
� O estudante deve sempre se lembrar dos valores das funções seno e cosseno indicados na tabela
abaixo:
x sen(x) cos(x)
0 0 1
π
2
1 0
π 0 −1
3π
2
−1 0
2π 0 1
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 36
Deve-se ainda notar que são esses os valores de x para os quais as funções seno e cosseno
passam por zero ou atingem seu máximo ou seu mínimo.
Domínio das funções trigonométricas
No caso das funções trigonométricas sen(x) e cos(x), essas funções encontram-se de�nidas para
todos os valores possíveis de x. Os domínios dessas funções correspondem portanto ao conjunto:
−∞ < x <∞
Já a função trigonométrica tan(x), que é o mesmo que:
tan(x) =
sen(x)
cos(x)
pode ser calculada para quaisquer valores de x, exceto aqueles que fazem com que cos(x) se iguale
a zero. O domínio desta função é, portanto:
x 6=
(π
2
+Kπ
)
sendo que a constante K deve pertencer ao conjunto dos números inteiros.
Imagem das funções trigonométricas
Tanto a função seno quanto a função cosseno possuem conjunto imagem igual ao segmento de -1 a
1:
I(sen(x)) = I(cos(x)) = [−1, 1]
Já a função tangente possui conjunto imagem igual ao conjunto dos números reais:
I(tan(x)) = (−∞,+∞)
2.4 Funções inversas
Dada uma função f(x), dizemos que a função g(x) é a sua função inversa se for verdade que:
f(g(x)) = g(f(x)) = x
Por convenção, adota-se a notação f−1(x) para representar a função inversa de f(x):
g(x) = f−1(x) ⇔ f(g(x)) = g(f(x)) = x
O leitor é alertado para uma possível confusão que pode ocorrer: o indicador −1 junto a um símbolo
que representa uma função não signi�ca um expoente, ou seja, a notação f−1(x) não signi�ca
1/f(x). Esse indicador junto ao símbolo de uma função sempre irá signi�car a função inversa
daquela função.
Para começar a discussão, vamos considerar a função f(x) dada por:
f(x) = x2
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 37
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
8
Figura 2.17: Cada ponto da imagem da função f(x) = x2 é gerado por dois pontos diferentes do
domínio. Por exemplo, o ponto y = 4 é gerado tanto por x = 2 quanto por x = −2.
Parece intuitivo que se possa concluir que a função inversa de f(x) seja dada pela função g(x)
de�nida como:
g(x) =
√
x
De fato, parece trivial notar que:
f(g(x)) = (
√
x)2 = g(f(x)) =
√
x2
No entanto, o leitor mais atento já terá notado um problema: isso tudo funciona quando x é um
número positivo, por exemplo, quando x = 2. Nesse caso temos:
f(2) = 22 = 4
g(4) =
√
4 = 2
ou seja, a função f(x) = x2 leva o número 2 no número 4, e a função g(x) =
√
x fazo caminho
contrário, levando o número 4 de volta no número 2. Para números negativos, entretanto, esse
esquema parece dar errado. Por exemplo, se x = −2, temos:
f(−2) = (−2)2 = 4
g(4) =
√
4 = 2
Agora, a função f(x) = x2 leva o número −2 no número 4, mas a função g(x) =
√
x leva o número 4
no número 2, não retornando ao ponto de partida que era −2. Para números negativos, a igualdade
f(g(x)) = g(f(x)) não se veri�ca, ou seja, nesse caso a função g(x) não é a função inversa de f(x).
A di�culdade que encontramos decorre do fato de que a função f(x) = x2 não é uma função
injetora, ou seja, dois valores diferentes de x levam ao mesmo valor de f(x), a exemplo de x = 2 e
x = −2 que levam, ambos, a f(x) = 4. Isso é mostrado na Figura 2.17. Na verdade, para de�nirmos
adequadamente duas funções f(x) e g(x) que sejam inversas uma da outra, ou seja, que atendam a:
f(g(x)) = g(f(x)) = x
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 38
é preciso que o domínio de f(x) seja igual à imagem de g(x), e também que o domínio de g(x) seja
igual à imagem de f(x). Essas condições só podem ocorrer simultaneamente se tanto f(x) quanto
g(x) forem funções bijetoras.
Assim, ao lidarmos com funções inversas, muitas vezes será preciso de�nir as funções utilizando
um enunciado explícito de seu domínio e de seu contradomínio (que deverá coincidir com sua ima-
gem). Retomando o exemplo anterior, consideremos agora uma outra forma de de�nir a função
f(x):
f(x) = x2
f : [0,+∞) 7→ [0,+∞)
De�nida desta forma, a função f(x) agora tem seu domínio restrito ao conjunto dos números reais
maiores ou iguais a zero. Para esta função, não existe a possibilidade de uma entrada ser negativa.
Com essa de�nição, a função f(x) torna-se bijetora, ou seja, cada valor de x pertencente ao domínio
gera um único ponto y do contradomínio, e cada ponto y do contradomínio é gerado por um único
valor de x no domínio da função. Assim, �ca bem de�nida a função inversa:
g(x) =
√
x
g : [0,+∞) 7→ [0,+∞)
A função f(x) de�nida desta forma leva o número 2 no número 4, enquanto a função g(x) leva o
número 4 de volta ao número 2. Agora, f−1(x) = g(x). Esta função e sua inversa são representadas
no lado direito da Figura 2.18.
É possível também de�nir f(x) com outro domínio:
f(x) = x2
f : (−∞, 0] 7→ [0,+∞)
Agora, a função f(x) tem seu domínio restrito ao conjunto dos números reais menores ou iguais a
zero. Para esta função, não existe a possibilidade de uma entrada ser positiva. Novamente �ca bem
de�nida a função inversa:
g(x) = −
√
x
g : [0,+∞) 7→ (−∞, 0]
A função f(x) de�nida desta forma leva o número −2 no número 4, enquanto a função g(x) leva
o número 4 de volta ao número −2. Novamente, f−1(x) = g(x), mesmo notando que agora g(x)
possui uma expressão diferente daquela do caso anterior. Esta função e sua inversa encontram-se
mostradas no lado esquerdo da Figura 2.18.
2.4.1 Funções logaritmo
As funções logaritmo são de�nidas como funções inversas das funções exponenciais. Para explicar
o que isso signi�ca, vamos retomar a de�nição de função exponencial:
f(x) = ax
sendo a um número real positivo. Nós vamos agora falar de uma função f−1(x), que ainda não
sabemos qual é, que é a inversa de f(x), o que signi�ca que:
f(f−1(x)) = x e f−1(f(x)) = x
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 39
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5
2
4
6
8f(x) = x2
0.5 1 1.5 2 2.5 3
2
4
6
8 f(x) = x2
2 4 6 8
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
f−1(x) = −
√
x
2 4 6 8
0.5
1
1.5
2
2.5
3
f−1(x) =
√
xf−1(x) =
√
x
Figura 2.18: A função f(x) = x2 é mostrada em azul no topo da �gura, tendo à esquerda o seu
domínio restrito a x ≤ 0, e à direita o seu domínio restrito a x ≥ 0. Abaixo, são mostradas as
respectivas funções inversas, f−1(x) = −
√
x e f−1(x) =
√
x.
A essa função f−1(x) damos o nome de logaritmo na base a:
f−1(x) = loga(x)
Para conseguirmos compreender o que signi�ca essa função, vamos falar do logaritmo na base
10, que normalmente é estudado no ensino médio. Por exemplo, temos que:
log10(0.01) = −2 ↔ 10−2 = 0.01
log10(0.1) = −1 ↔ 10−1 = 0.1
log10(1) = 0 ↔ 100 = 1
log10(10) = 1 ↔ 101 = 10
log10(100) = 2 ↔ 102 = 100
log10(1000) = 3 ↔ 103 = 1000
O logaritmo na base 10 de um número x, portanto, é o número ao qual deve-se elevar a base, ou
seja, 10, para que se obtenha como resultado o número x. Em geral:
log10(a) = b ↔ 10b = a
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 40
É claro que x pode ser qualquer número real positivo: se tomamos por exemplo x = 3.5, obtemos
a relação:
log10(3.5) ≈ 0.544068 ↔ 100.544068 ≈ 3.5
Deve �car claro para o leitor que x só pode assumir valores positivos, uma vez que sempre que
elevarmos 10 a qualquer número, o resultado sempre será positivo. A �gura 2.19 mostra o grá�co
da função log10(x).
2 4 6 8 10
-4
-3
-2
-1
1
2
ln(x)
log10(x)
Figura 2.19: Funções logaritmo: ln(x) em verde e log10(x) em azul.
Assim como, dentre as funções exponenciais, existe uma função exponencial que é especialmente
útil no contexto de cálculo, que é a função exponencial com base e, também dentre as funções
logaritmo nós temos a função logaritmo com base e (também conhecida como logaritmo neperiano)
que é particularmente adequada para manipulações de cálculo. Essa função logaritmo recebe uma
notação diferente das demais:
loge(x) = log(x) = ln(x)
Ou seja, podemos representar o logaritmo de base e pela notação ln(x), que deixa mais claro que
esta função se trata do logaritmo neperiano, ou podemos simplesmente representar a função como
log(x), sem dizer explicitamente qual é a base do logaritmo. Nesse caso, �ca implícito que a base é
o número e. É claro que, para esta função, temos que:
loge(a) = b ↔ eb = a
A �gura 2.19 também mostra o grá�co da função ln(x).
O leitor deve �car atento para algumas características das funções logaritmo:
� Quando a base a é tal que a > 1, a função logaritmo será sempre crescente, ou seja, sempre
que x cresce a função loga(x) também cresce.
� Toda função loga(x) é igual a zero para x = 1. Convidamos o leitor a explicar a razão disso.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 41
� Quando a base a é tal que a > 1, a função logaritmo será negativa para valores de x no intervalo
0 < x < 1, e positiva para valores de x no intervalo x > 1. Também aqui, convidamos o leitor
a encontrar uma explicação para isso.
� Nenhuma função logaritmo, em nenhuma base, encontra-se de�nida para x ≤ 0.
No sistema SageMath, o comando log serve para representar as funções logaritmo. Assim, por
exemplo, a linha de código a seguir de�ne a função logaritmo de base 10:
> f(x) = log(x,10)
Deve-se notar que esse comando tem dois argumentos, o primeiro é o número cujo logaritmo será
calculado e o segundo é a base do logaritmo. Para de�nir a função logaritmo de base e, são possíveis
as três formas a seguir:
> f(x) = log(x,e)
> f(x) = ln(x)
> f(x) = log(x)
As três formas são equivalentes: não faz qualquer diferença adotar uma ou outra. Chamamos a
atenção em especial para a última das três: o comando log com apenas um argumento representa
o logaritmo neperiano, ou seja, assume implicitamente que a base do logaritmo seja igual a e.
Domínio e imagem das funções logaritmo
Como foi visto anteriormente, dada uma função f(x), sua função inversa f−1(x) deve ter domínio
igual à imagem de f(x), e deve ter imagem igual ao domínio de f(x). Uma função exponencial
f(x) = ax tem domínio igual a todo o conjunto dos números reais, e tem imagem igual aos reais
maiores que zero:
f(x) = ax , f : R 7→ (0,+∞)
Então, a função f−1(x) = loga(x) deve ter seu domínio igual aos reais positivos, e seu conjunto
imagem igual ao conjunto dos reais:
f−1(x) = loga(x) , f
−1 : (0,+∞) 7→ R
É importante chamar a atenção para que o domínio de uma função logaritmo, em qualquer base,
será sempre:
x > 0
O domínio de uma função logaritmo inclui os valores de x estritamente maiores que zero (ou seja,
não é possível calcular o logaritmo para x = 0) � o que é uma consequência do fato de que uma
função exponencial nunca atinge o valor zero, ou seja, ax não tem y = 0 em sua imagem. O domínio
de um logaritmo, portanto, é diferente por exemplo do domínioda função
√
x, que admite valores
x ≥ 0.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 42
2.4.2 Funções trigonométricas inversas
As funções trigonométricas, sendo funções periódicas, levam in�nitos valores de x no mesmo valor
y. No entanto, é possível de�nir funções inversas para as funções trigonométricas estabelecendo
explicitamente um domínio que compreenda um intervalo de valores de x para o qual a saída y da
função percorra todo o conjunto imagem uma única vez.
Função inversa do seno:
A função inversa do seno é denominada função arco-seno, sendo representada por:
sen−1(x) = arcsen(x)
Para de�nir essa função, primeiro se faz a restrição do domínio da função seno ao intervalo [−π2 ,
π
2 ]:
f(x) = sen(x) , f :
[
−π
2
,
π
2
]
7→ [−1, 1]
Quando x percorre esse domínio, a imagem de sen(x) percorre uma vez todo o conjunto imagem
da função, que corresponde ao intervalo [−1, 1]. A função arco-seno, consequentemente, passa a ser
de�nida de forma que:
f−1(x) = sen−1(x) , f−1 : [−1, 1] 7→
[
−π
2
,
π
2
]
ou seja, o domínio da função arco-seno é o intervalo [−1, 1] e o contradomínio (que coincide com
a imagem) é o intervalo [−π2 ,
π
2 ]. Os grá�cos da função seno restrita e da função arco-seno são
mostrados na Figura 2.20.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-0.5
0.5
1
sen(x)
-1 -0.5 0.5 1
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
sen−1(x)sen−1(x)
Figura 2.20: Função arco-seno: sen(x) em azul e sen−1(x) em verde.
No sistema SageMath, o comando asin representa a função arco-seno. A linha de código a
seguir de�ne f(x) como sendo a função arco-seno:
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 43
> f(x) = asin(x)
Função inversa do cosseno:
A função inversa do cosseno é denominada função arco-cosseno, sendo representada por:
cos−1(x) = arccos(x)
Para de�nir essa função, primeiro se faz a restrição do domínio da função seno ao intervalo [0, π]:
f(x) = cos(x) , f : [0, π] 7→ [−1, 1]
Quando x percorre esse domínio, a imagem de cos(x) percorre uma vez todo o conjunto imagem da
função, que corresponde ao intervalo [−1, 1]. A função arco-cosseno passa então a ser de�nida de
forma que:
f−1(x) = cos−1(x) , f−1 : [−1, 1] 7→ [0, π]
ou seja, o domínio da função arco-cosseno é o intervalo [−1, 1] e o contradomínio (que coincide com
a imagem) é o intervalo [0, π]. Os grá�cos da função cosseno restrita e da função arco-cosseno são
mostrados na Figura 2.21.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
-0.5
0.5
1
cos(x)
-1 -0.5 0.5 1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
cos−1(x)cos−1(x)
Figura 2.21: Função arco-cosseno: cos(x) em azul e cos−1(x) em verde.
No sistema SageMath, o comando acos representa a função arco-cosseno. A linha de código a
seguir de�ne f(x) como sendo a função arco-cosseno:
> f(x) = acos(x)
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 44
Função inversa da tangente:
A função inversa da tangente é denominada função arco-tangente, sendo representada por:
tan−1(x) = arctan(x)
Para de�nir essa função, primeiro se faz a restrição do domínio da função seno ao intervalo [−π2 ,
π
2 ]:
f(x) = tan(x) , f :
[
−π
2
,
π
2
]
7→ R
Quando x percorre esse domínio, a imagem de sen(x) percorre uma vez todo o conjunto imagem
da função, que agora corresponde a todo o conjunto dos números reais. A função arco-tangente é
então de�nida de forma que:
f−1(x) = tan−1(x) , f−1 : R 7→
[
−π
2
,
π
2
]
Agora, o domínio da função arco-tangente é todo o conjunto dos reais e o contradomínio (que
coincide com a imagem) é o intervalo [−π2 ,
π
2 ]. Os grá�cos da função tangente restrita e da função
arco-tangente são mostrados na Figura 2.22.
4 2 2 4
8
6
4
2
2
4
6
8
tan(x)
8 6 4 2 2 4 6 8
1.5
1.0
0.5
0.5
1.0
1.5
tan−1(x)
Figura 2.22: Função arco-tangente: tan(x) em azul e tan−1(x) em verde.
No sistema SageMath, o comando atan representa a função arco-tangente. A linha de código a
seguir de�ne f(x) como sendo a função arco-tangente:
> f(x) = atan(x)
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 45
2.5 Transformações de funções
Nesta seção, estudaremos algumas transformações simples que podem ser feitas nas expressões de
uma função, que corresponderão a transformações também simples nos respectivos grá�cos. Essas
transformações nos grá�cos corresponderão a operações geométricas que signi�cam translações,
expansões, compressões ou re�exões do grá�co original. A Tabela abaixo mostra as transformações
que serão estudadas aqui. Nessa tabela, k representa uma constante positiva. No caso das expansões
e contrações, também se assume que a constante k, além de ser positiva, seja maior que 1.
Transformações em f(x)
Movimento do grá�co Mudança na expressão
Translação vertical para cima f(x) + k
Translação vertical para baixo f(x)− k
Translação horizontal para a esquerda f(x+ k)
Translação horizontal para a direita f(x− k)
Expansão vertical k · f(x)
Contração vertical
1
k
· f(x)
Expansão horizontal f
(x
k
)
Contração horizontal f(k · x)
Re�exão ao redor do eixo x −f(x)
Re�exão ao redor do eixo y f(−x)
A seguir, são mostrados exemplos de cada uma dessas transformações.
Translações verticais
Considere-se a função:
f(x) = x2
A partir dessa função, construímos duas funções transformadas:
fa(x) = x
2 + 1 fb(x) = x
2 − 1
A função fa(x) tem um grá�co que corresponde à translação vertical para cima do grá�co da função
f(x), e a função fb(x) tem um grá�co que corresponde à translação vertical para baixo do grá�co
da função f(x). Os três grá�cos são mostrados sobrepostos na �gura 2.23.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 46
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-1
1
2
3
4
5
f(x)
fa(x)
fb(x)
Figura 2.23: Grá�co da função original f(x) = x2, superposto à sua translação para cima fa(x) =
x2 + 1 e à sua translação para baixo fb(x) = x2 − 1.
Translações horizontais
Considere-se a função:
f(x) =
√
x
A partir dessa função, construímos duas funções transformadas:
fa(x) =
√
x+ 1 fb(x) =
√
x− 1
A função fa(x) tem um grá�co que corresponde à translação horizontal para a esquerda do grá�co
da função f(x), e a função fb(x) tem um grá�co que corresponde à translação horizontal para a
direita do grá�co da função f(x). Os três grá�cos são mostrados sobrepostos na �gura 2.24.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 47
-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
f(x)
fa(x)
fb(x)
Figura 2.24: Grá�co da função original f(x) =
√
x, superposto à sua translação horizontal para a
esquerda fa(x) =
√
x+ 1 e à sua translação horizontal para a direita fb(x) =
√
x− 1.
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 48
0.5 1 1.5 2
-4
-3
-2
-1
1 f(x)
fa(x)
fb(x)
Figura 2.25: Grá�co da função original f(x) = ln(x), superposto à sua expansão vertical fa(x) =
2 · ln(x) e à sua contração vertical fb(x) = 12 ln(x).
Expansão e contração vertical
Considere-se a função:
f(x) = ln(x)
A partir dessa função, construímos duas funções transformadas:
fa(x) = 2 · ln(x) fb(x) =
1
2
ln(x)
A função fa(x) tem um grá�co que corresponde à expansão vertical do grá�co da função f(x), e a
função fb(x) tem um grá�co que corresponde à contração do grá�co da função f(x). Os três grá�cos
são mostrados sobrepostos na �gura 2.25.
Expansão e contração horizontal
Considere-se a função:
f(x) = sen(x)
A partir dessa função, construímos duas funções transformadas:
fa(x) = sen(2x) fb(x) = sen
(x
2
)
A função fa(x) tem um grá�co que corresponde à contração horizontal do grá�co da função f(x),
e a função fb(x) tem um grá�co que corresponde à expansão horizontal do grá�co da função f(x).
Os três grá�cos são mostrados na �gura 2.26.
É interessante mostrar como se constrói uma �gura contendo três janelas grá�cas diferentes
utilizando o sistema Sage. Os comandos utilizados para montar a �gura 2.26 são mostrados a
seguir:
CAPÍTULO 2. FUNÇÕES 49
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
f(x)
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
fa(x)
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
fb(x)
Figura 2.26: Grá�co da função original f(x) = sen(x), de sua contração horizontal fa(x) = sen(2x)
e de sua expansão horizontal fb(x) = sen
(
x
2
)
.
> f(x) = sin(x)
> fa(x) = f(2*x)
> fb(x) = f(x/2)
> P1 = plot(f,-10,10)
> P2 = plot(fa,-10,10,color='red')
> P3 = plot(fb,-10,10,color='green')
> Graf = graphics_array((P1,P2,P3),ncols=1)